Educación Superior Abierta y a Distancia

UNIDAD 2

FIS_U2_P5E2_MAUO

Actividad 6.

Práctica 5. Modelo de un sistema de dos partículas

Facilitador: Adán Landa Hernández

Elaboró: Mariano Osvaldo Urban Ortega

AL10510718

GRUPO: TA-FIS-1301-021

Introducción

Johannes Kepler (1571 – 1630) tuvo la rara habilidad de matemática y la persistencia suficiente para demostrar la simplicidad del universo, lo cual fue contundente para llevar la “revolución copernica” a una base firme ne forma de leyes sobre el movimiento de los planetas, entre los cuales se encuentra la tierra.Las tres leyes de Kepler, que aparecieron en la nueva astronomía (1609) y en la armonía del mundo (1619), sintetizan, en forma sorprendentemente simple, lo esencial de los datos observables conocidos. El Sistema del mundo geocéntrico, con sus complejas combinaciones de movimientos circulares, tuvo que ceder definitivamente frente al sistema del mundo heliocéntrico, en el que los planetas siguen simples trayectorias elípticas.

Primera ley de Kepler.La trayectoria de cada planeta del Sistema Solar es una elipse y el Sol está en uno de sus focos.

Segunda ley de Kepler.La línea imaginaria que conecta el centro del Sol con el centro del planeta barre áreas iguales en intervalos iguales.

Tercera ley de Kepler.Para todos los planetas, el cuadrado del período dividido entre el cubro de la distancia media del Sol tiene el mismo valor. Si el período de revolución de un planeta es T y su distancia media al Sol es r, ,la tercera ley de Kepler afirma que:

Finalmente la Gravitación Universal es la responsable de las tres leyes de Kepler, la cual se formuló de la siguiente manera “la intensidad de las fuerzas gravitacionales entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros”

Matemáticamente se tiene:

Donde G es la constante de proporcionalidad, llamada “constante gravitacional”, cuyo valor es:

Modelo teóricoMatemáticamente los modelos a utilizar para este tema son:

Ley de la gravitación universal:

Valor de la constante de gravitación:

La tercer ley de Kepler:

Sistema formado por dos estrellas en órbita circular.Supongamos un sistema aislado formado por dos estrellas en órbita circular alrededor de su centro de masa. La posición del centro de masas se calculará de acuerdo con la siguiente relación

m1r1=m2r2 r=r1+r2

La posición del centro de masas está más cerca de la masa mayor. El movimiento de las dos estrellas es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida m, bajo la acción de la fuerza F que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre dos masas separadas una distancia r=r1+r2

 Si dicha partícula describe un movimiento circular de radio r, su aceleración es w2·r. La segunda ley de Newton se escribe.

La cantidad w2·r3 es constante, lo que nos indica que el cuadrado del periodo P=2p /w es proporcional al cubo del radio r (tercera ley de Kepler para órbitas circulares)

Una vez determinado el movimiento relativo, es decir, el radio r que describe la partícula de masa reducida m, el movimiento de cada una de las estrellas es el siguiente:

La estrella de masa m1 describe un movimiento circular de radio r1=m2·r/(m1+m2), alrededor del c.m de periodo P.

La estrella de masa m2 describe un movimiento circular de radio r2=m1·r/(m1+m2), alrededor del c.m y del mismo periodo.

Cuando la masa de una de las partículas es muy grande comparada con la de la otra, el centro de masas coincide aproximadamente con el centro de la primera partícula y podemos suponer que la segunda se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas. Por ejemplo, un satélite artificial que describe una órbita alrededor de la Tierra.Ejemplo: Calcular la masa de la Luna conocidos los datos siguientes:

Constante G=6.67·10-11 Nm2/kg2

Distancia Tierra- Luna r=3.84·108 m Masa de la Tierra m1=5.98·1024 kg Periodo P=2.36·106 s (27.3 días)

De la fórmula del periodo P, se despeja la masa de la Luna m2=3.73·1022 kgEl valor correcto es 7.34·1022 kg. Nuestro cálculo se basa en un modelo simplificado, que no tiene en cuenta el efecto del Sol sobre el periodo de la Luna, las perturbaciones de otros planetas, y la no esfericidad de la Tierra. La órbita de la Luna no es circular aunque el resultado (tercera ley de Kepler) es válido también  para órbitas elípticas.Hemos mostrado que, en un sistema formado por dos cuerpos que interaccionan de acuerdo con la ley de la Gravitación Universal, conocido el periodo P y la separación r entre ambos (por ejemplo, un sistema binario de estrellas) se puede calcular a partir de la tercera ley de Kepler, la masa combinada m1+m2 de los dos cuerpos. ActividadesSe introduce

La relación de masas m2/m1 de las estrellas un número comprendido entre 1 y 10 en el control de edición titulado Cociente masas M2/M1

Se pulsa el botón Empieza.La masa de la estrella azul m1 es fija se puede cambiar la masa de la estrella roja. La distancia entre las estrellas permanece fija e igual a una unidad de longitud. Se ha establecido un sistema de unidades tal que el G·m1=1. El periodo se calcula entonces, mediante la siguiente fórmula

Considerar el caso de que ambas estrellas tienen la misma masa.                                            Desarrollo

Usando el programa Tracker, utilizar el modelo de dinámica de partículas cartesiano. Primero considero que las indicaciones para realizar la práctica están muy confusas. Modelar el movimiento del satélite orbitando alrededor de la tierra. Cabe aclarar que si tomo como lo indica la práctica los datos obtenidos en la práctica “Cuerpo en Movimiento Circular” me tendría que referir a dicha práctica y está se baso en el movimiento circular que realiza un tren, de ser así, hago las siguientes consideraciones:

El tren es el satélite y de ser así, el gráfico es una onda, que como se sabe el movimiento circular uniforme es periódico, por tal razón presento los esquemas correspondientes, es decir el satélite realiza un movimiento de traslación alrededor de la tierra.

Por otro lado la tierra aparentemente no se mueve en un movimiento de traslación, sino el que está girando alrededor de ella es el satélite, por tal razón los datos que arroja la tierra son con una tendencia inequívoca de que no hay movimiento: en estos dos esquemas se muestra el comparativo de la gráfica con movimiento (satélite – parábola ) y la gráfica sin movimiento (tierra – recta).

Sí consideramos a la tierra y al satélite como parte de un sistema (el programa Tracker lo permite), los resultados son muy similares con respecto a la tierra, esta no muestra movimiento alguno y los datos se repiten y la gráfica es una recta completamente horizontal. Se muestran a continuación los esquemas, el punto verde es la tierra y el rosa el satélite:

Por otro lado el satélite muestra un comportamiento raro, en el sentido que se obtiene en la gráfica una línea recta inclinada de arriba hacia abajo (relacionada con las posiciones en “X” y “Y”), sin embargo la velocidad en “X” y en “Y” no se modifican como podrá observarse en los siguientes esquemas:

Considero que los resultados no son los esperados sin embargo, dieran más información de cómo utilizar el programa Tracker, tal vez los serían más precisos y cercanos a los que solicitan.

Conclusión

Ha resultado muy interesante trabajar con este tipo de simuladores de fenómenos físicos, en esta ocasión el imaginar un satélite girando alrededor de la tierra y de manera inmediata obtener datos y gráficas de dicho movimiento completa lo interesante del trabajo con ellos; quizá solo haga falta conocer un poco más dichos simuladores.

Por otra parte Newton, Galileo, Kepler, Copérnico y muchos otros más hombres de ciencia, han señalado el camino para que los actuales investigadores del espacio (astrónomos, astrofísicos, entre otros) nos muestren de manera sencilla como lo hace Julieta Fierro Gossman el movimiento de los astros, de las estrellas, y que lo encontrado por los Mayas para el 2012 solo sea el paso de un cometa o un eclipse o una lluvia de estrellas o el término de una época espacial.

Bibliografía

Alvarenga, B. (1983) Física General – con experimentos sencillos. Harla. Tercera edición. México.

Sears, F., Zemansky, M., Young, H (1988) Física universitaria. Addison – Wesley Iberoamericana. Sexta edición, pp. 176 – 177. Estados Unidos de América.

Slisko, J. (2009) Física 1. El gimnasio de la mente. Pearson Educación. Primera edición. México.

Valenti, A. (1988) Física. Principios de Mecánica. (Segunda parte). Primeras ediciones. Segunda edición. México.