FIS-433-1Átomo de Hidrógeno

Modelo de Modelo de BohrBohr (1913)(1913)

Hipótesis del modelo de Bohr:

1.- Un electrón en un átomo puede moverse alrededor del núcleo en ciertas orbitasestables circulares sin emitir radiación.(Estados Estacionarios de Bohr)

2.- Existe una energía definida asociada a cada órbita estable (nivel de energía) y un átomo irradia Sólo cuando un electrón efectúa una transición de una órbita a otra.

En este modelo “planetario” sustestando por la hipótesis de Bohr, la magnitud del momento angular del electrón esta cuantizadoy debe ser un múltiplo entero de h/2π

Fr

m, -e

nvr

nr

rvmL rrr×=

,...3,2,1 ,2

=== nnhnL hπ

π2hnrmv nn =

m, -e

nvr

nr

rreFn

ˆ4

12

2

0πε−=

r

n

n

n rmv

re 2

2

2

041

=πε

π2hnrmv nn =

Al resolver las ecuaciones anteriores y despejar rn y vn

22

2

0 nmehrn π

ε=

Radio de la Orbita en el Modelo de Bohr

nhevn 2

1 2

0ε=

Velocidades Orbitales en el Modelo de Bohr

n

rn

El radio de la órbita más pequeña se obtiene para n=1, a este radio minimo se le llamaRadio de Bohr. (a0)

( )( )( )( )( )ma

CkgJsNmC

meha

100

21931

234212

2

2

00

10*529,010*602.110*109.91416.3

10*626.6/10*854.8

−

−−

−−

=

==π

ε0

2anrn =smv /10*19.2 6

1 =

Niveles de Energía

.4

14

1

,8

121

22

4

20

2

0

22

4

20

2

hnme

reU

hnmemvK

nn

nn

επε

ε

−=−=

==

22

4

20 81

nhmeUKE nnn ε

−=+=

2nhcREi −=Comparamos con

chmeR

320

4

8ε=

Usando ondas de De Broglie

λπ nr =2

mvhnr =π2

amrr=F

22

4mv

rze

o

=πε

ryv

cc

zen

v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

h0

2

41

πε⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2

02

2 4ze

cmc

cnr hh πε

Constante de estructura fina

1371

4

2

≈≡c

e

ohπεα

2

2 y

mcc

rncv

c

c

hD

D

=

=α

α

Por lo tanto la energíar

ZeEKE P0

2

8πε−=+=

2

222

2

2

)(6.132 n

ZeVmcnZEn −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

α

A pesar de los grandes aciertos del modelo de Bohr, tenemos aún una serie de problemas

•No explica que pasa con la introducción de un átomo con más de un electrón• No explica la formación de moléculas (como se ligan los átomos)•No explica las tasas de transición entre niveles•Es válido solo para átomo con un electrón (átomo tipo hidrogenoide)

Entonces a través de la mecánica cuántica vía la ecuación de Schrödingerm, -e

nvr

nr)()()()(

2 2

2

2

2

2

22

rErrVrzyxm

rrrrhΨ=Ψ+Ψ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−

Como el potencial tiene simetría esférica, usamos coordenadas esfericas

2

2

2222

22

sin1sin

sin11

φθθθ

θθ ∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

≡∇rrr

rrr

Átomo de Hidrogeno en Mecánica Cuántica

Coordenadas Coordenadas Esféricas Esféricas PolaresPolares

Es la distancia entre dos Es la distancia entre dos puntos cercanospuntos cercanos

Operador de Laplace en esféricas

Entonces la ecuación de Schördinger a resolver

),,(),,(4

),,(sin1),,(sin

sin1),,(1

2 0

2

2

2

2222

2

2

φθψφθψπεφ

φθψθθ

φθψθθθ

φθψ rErr

err

rrr

rrrrm

rrrrr

h=−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−

Vamos a usar la separación de variables

),()(),,( φθφθψ YrRr rr=

),()(2),()(42),(

sin)(),(sin

sin)()(),( 2

220

2

2

2

22 φθφθ

πεφφθ

θθφθθ

θθφθ YrRErmYrRrmeYrRYrR

rrRr

rY r

h

r

h

rrr

−=+∂

∂+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

ordenando

0),(sin

1),(sinsin

1),(

14

2)()(

12

2

22

0

2

22 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

φφθ

θθφθθ

θθφθπεYY

YrE

rem

drrdRr

drd

rR h

r

r

)(rf r

),( φθg

)1()( +== llcterf r )1(),( +−= llg φθ

Así el resolver la ecuación de Así el resolver la ecuación de SchrödingerSchrödinger para el átomo de Hidrogenopara el átomo de Hidrogenose ha reducido a dos ecuaciones diferenciales de segundo ordense ha reducido a dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

0)()1()(4

2)( 2

0

2

22 =++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ rRllrRrE

rem

drrdRr

drd rr

h

r

πε

0),()1(),(sin

1),(sinsin

12

2

2 =++∂

∂+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂ φθ

φφθ

θθφθθ

θθYllYY

Ecuación Radial

Ecuación Angular

Sigamos con la separación de variable en las ecuaciones y fijemos nuestra atención ahora en la ecuación angular

)()(),( φθφθ LPY =

)()1(sin)(sinsin 22 θθθθθ

θθ Pmll

ddP

dd

=++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

)()( 22

2

φφφ Lm

dLd

−= φφ imoeLL ±=)(

Función de onda Univaluada )()2( φπφ LL =+ Ζ∈m

Ecuación P(θ) tiene solución definida en los polos si

1.- entero no negativo.

2.-

llm ≤

En este caso )(cos)( θθ lPP → Polinomios de Legandre

Luego

φθφθφθ iml

ml ePYY )(cos),(),( =→

con

llllml

,1,...0,...,1,,...3,2,1,0

−+−−==

Armónicos Esféricos

Ejemplos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

==

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

==

=

±

±±

±±

2

22220

2

21

2

2222

2

01

11

00

2815)1cos3(

165

815sincos

815

3215sin

3215

43cos

43

83sin

83

41

ryxzY

zr

iyxeY

riyxeY

rzY

riyxeY

Y

i

i

i

πθ

π

πθθ

π

πθ

π

πθ

π

πθ

π

π

φ

φ

φ

mm

m

m