Diseo de filtros digitales empleando MATLAB. 1) Requerimientos y especificaciones de filtrado. 2) Diseo de filtros IIR. Diseo basado en prototipos analgicos. Comparacin de filtros IIR. Mtodo directo de sntesis de filtros IIR.

Diseo de filtros digitales empleando MATLAB. 3) Diseo de filtros FIR. Mtodo de enventanado. Diseo de filtros FIR multibanda con bandas de transicin. Diseo de filtros FIR por el mtodo de mnimos cuadrados con restriccin. Diseo de filtros de respuesta arbitraria.

4) Bibliografa

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Requerimientos y especificaciones de filtrado. Filtros de respuesta impulsional finita (FIR) y filtros de respuesta impulsional infinita (IIR). Normalizacin de frecuencias: MATLAB emplea la convencin de normalizar la frecuencia con respecto a la mitad de la frecuencia de muestreo, de modo que el rango analgico 0 < f < Fs/2 se normaliza a 0 < f < 1.

Requerimientos y especificaciones de filtrado (2). El objetivo de diseo de un filtro es producir una alteracin dependiente de la frecuencia sobre una secuencia de datos. Otras especificaciones ms precisas marcan el rizado de la banda de paso (Rp), el rechazo a la banda atenuada (Rs) y la anchura de la banda de transicin (Ws - Wp).

2

[b,a]=ellip(6,8,40,0.5); freqz(b,a,1024,10000);

% Filtro elptico con Rp = 8 dB, Rs = 40 dB y fc a 2500 Hz

20 Magnitude (dB) 0 -20 -40 -60 -80 -100 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 F re q u e n c y ( H z ) 3500 4000 4500 5000

200 P h a s e (degrees)

0

-200

-400

-600 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 F re q u e n c y ( H z ) 3500 4000 4500 5000

Diseo de filtros IIR

3

Ventajas de los filtros IIR. Al tener ceros y polos es necesario un menor nmero de coeficientes para realizar un determinado filtrado.

N ( ) H ( ) = = D ( )

b k =0 N k =0

M

k

e

j k

ak e

j k

Inconvenientes de los filtros IIR. La presencia de polos puede producir inestabilidades No garantizan que la fase de su funcin de transferencia sea lineal. Implementacin hardware ms compleja que en el caso de filtros FIR.

4

Diseo basado en prototipos analgicos. Filtros de Butterworth. Butter.m Filtros de Chebyshev (Tipo 1). Cheby1.m Filtros de Chebyshev (Tipo 2). Cheby2.m Filtros elpicos. Ellip.m

Diseo basado en prototipos analgicos (2). Empleando todas estas tcnicas se pueden disear filtros: Paso bajo. Paso alto. Paso banda. De banda eliminada.

5

Diseo basado en prototipos analgicos (3). A la hora de determinar el orden del filtro con las funciones: Buttord.m, Cheb1ord.m, Cheb2ord.m, Ellipord.m

Hay que especificar: La banda de paso. La banda atenuada. El rizado de la banda de paso. El rechazo en la banda atenuada.

Comparacin de filtros IIR

6

Filtros de Butterworth. Tiene una respuesta mximalmente plana en f = 0 y f = 1. Banda de transicin es relativamente ancha.1 0.9 0.8 0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0 100 200 300 400 500 600

Filtros de Chebyshev (Tipo 1). Garantiza un equirizado de Rp dB en la banda de paso. La banda atenuada es mxim. plana. Banda de transicin menor que con Butterworth.1 0.9 0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0 100 200 300 400 500 600

7

Filtros de Chebyshev (Tipo 2). Garantiza equirizado de Rp dB en la banda atenuada. La banda de paso es mximal. plana Banda de transicin menor que con Butterworth.1 0.9 0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 0 100 200 300 400 500 600

Filtros elpticos. Garantiza equirizado en la banda de paso y en la banda atenuada. Cumple los requerimientos con un orden mnimo.1.4 1.2 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0 100 200 300 400 500 600

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Diseo de filtros IIR por el mtodo directo. Diseo de un filtro IIR segn un patrn frecuencial dado. Empleo de tcnica Yule-Walker f=0:0.1:1; patron=[0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0]; [b,a]=yulewalk(20,f,patron); freqz(b,a); % Eje de frecuencias % Marcamos el patrn con dos zonas de paso % Diseamos el filtro % Dibujo

Diseo de filtros IIR por el mtodo directo (2).20 0 -20 -40 -60 -80 -100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Norm a lized Frequency ( pr a d / s a m p l e )

M a g n itude (dB) Phase (degrees)

200

0

-200

-400

-600

-800 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Norm a lized Frequency ( pr a d / s a m p l e )

9

Diseo de filtros FIR.

Ventajas de los filtros FIR. Pueden disearse con fase perfectamente lineal. Son incondicionalmente estables. Implementacin hardware es sencilla.H ( ) = N ( ) =

M

bk e

j k

k = 0

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Inconvenientes de los filtros FIR. Es necesario un gran nmero de coeficientes para conseguir las prestaciones que dara un filtro IIR de orden mucho menor.

Tcnicas de diseo de filtros FIR. Mtodo de enventanado. Diseo de filtros FIR multibanda con bandas de transicin. Diseo de filtros FIR por el mtodo de mnimos cuadrados con restriccin.

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Tcnicas de enventanado. Se realiza la transformada inversa de Fourier de un filtro cuya funcin de transferencia cumpla una plantilla determinada. Se procede a truncar la secuencia resultante mediante un enventanado de dicha secuencia. El tipo de ventana empleada puede elegirse entre: Hamming, Hanning, Bartlett, Blackman, Kaiser y Chebwin.

Tcnicas de enventanado (2). Los programas que realizan este filtrado son: fir1.m: calcula los coeficientes del filtro en funcin del orden, la frecuencia de corte y el tipo de frecuencia. fir2.m: permite especificar el patrn del filtro FIR.

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Tcnicas de enventanado (3). freqz(fir1(50,0.4),1);50

Magnitude (dB)

0

-50

-100

-150 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ( 0.6 0.7 0.8 0.9 1 N o r m a liz e d F r e q u e n c y

pr a d / s a m p l e )

0

P h a s e ( d e g re e s )

-500 -1000 -1500 -2000 -2500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ( 0.6 0.7 0.8 0.9 1 N o r m a liz e d F r e q u e n c y

pr a d / s a m p l e )

Tcnicas de enventanado (4). freqz(fir1(50,0.4,'Hann'),1);50

Magnitude (dB)

0

-50

-100

-150 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ( 0.6 0.7 0.8 0.9 1 N o rm a liz e d F r e q u e n c y

pr a d / s a m p l e )

0

P h a s e (d e g re e s )

-500

-1000

-1500

-2000 -2500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 ( 0.6 0.7 0.8 0.9 1 N o rm a liz e d F r e q u e n c y

pr a d / s a m p l e )

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Tcnicas de enventanado (5). f=[0 0.1 0.4 0.5 0.9 1]; m=[0 0 1 1 0 0]; b=fir2(50,f,m); freqz(b,1);0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 N o r m a l i z e d F r e q u e n c y ( p a d / s a m p l e ) r

Magnitude (dB) Phase (degrees)

1000

0

-1000

-2000

-3000

-4000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 N o r m a l i z e d F r e q u e n c y ( p a d / s a m p l e ) r

Tcnicas de enventanado (6).Tipo de Ventana Rectangular Barlett Hanning Hamming Blackm an Ancho de transicin del lbulo principal 4/M 8/M 8/M 8/M 12/M Pico de lbulos laterales (dB) -13 -27 -32 -43 -58

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Diseo de filtros FIR multibanda con bandas de transicin. Posibilidad de implementar filtros de un modo ms general empleando las funciones: firls.m: extensin de las funciones fir1.m y fir2.m que minimiza el rea del error cuadrtico considerado como la diferencia entre la respuesta deseada y la real del filtro. remez.m: implementan el algoritmo de Parks-McClellan. Se consigue minimizar el error mximo entre la respuesta deseada y la real del filtro.

Diseo de filtros FIR multibanda con bandas de transicin (2). Comparacin de algoritmos. n=20; % Orden de los filtros f=[0 0.4 0.5 1]; % Eje de frecuencias a=[1 1 0 0]; % Amplitudes b_firls=firls(n,f,a); % Filtro firls b_remez=remez(n,f,a); % Filtro remez [H_b_firls,w]=freqz(b_firls); % Respuesta frecuencial [H_b_remez,ww]=freqz(b_remez); % Respuesta frecuencial plot(w/pi,abs(H_b_firls),ww/pi,abs(H_b_remez),'--'), grid;

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Diseo de filtros FIR multibanda con bandas de transicin (3). Comparacin de algoritmos.1.4 1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Diseo de filtros FIR por el mtodo de mnimos cuadrados con restriccin. Permite diseo de filtros sin especificar las bandas de transicin. fircls.m: para diseo de filtros multibanda. fircls1.m: para diseo de filtros paso bajo y paso alto de fase lineal.

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Diseo de filtros FIR por el mtodo de mnimos cuadrados con restriccin (2) n=61; % Orden wo=0.3; % Frecuencia de corte dp=0.02; % Rizado banda de paso ds=0.008; % Rizado banda atenuada h=fircls1(n,wo,dp,ds,'plot'); 0000

Diseo de filtros FIR por el mtodo de mnimos cuadrados con restriccin (3)1 0.5

0 0 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.01 0 -0.01 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

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Diseo de filtros FIR por el mtodo de mnimos cuadrados con restriccin (4) n=129; % Orden a=[0 .5 0 1 0]; % Amplitudes up=[.005 .51 .003 1.02 .05]; % Lmites superiores lo=[-.005 .49 -.003 0.98 -.05]; % Lmites inferiores h=fircls(n,f,a,up,lo,'plot');

Diseo de filtros FIR por el mtodo de mnimos cuadrados con restriccin (5)2 0 -2 Band #1 5 0 -5 0 Band #2 0.51 0.5 0.49 0 .x 1 0 3 4 2 0 -2 -4 0.5 1 0.98 0.7 Band #5 0.05 0 -0.05 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 Frequency 0.96 0.97 0.98 0.99 1 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 0.9-3 -3

x 0 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0.48

0.5

Band #3

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0.68

0.7

Band #4

1.02

18

Bibliografa. Signal Processing Toolbox. The Math works Inc. Captulo 2: Filter design. Discrete Time Signal Processing. A.V. Oppenheim. Captulo 7. Tratamiento digital de seales J.G. Proakis. Captulo 8

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