filtro chevishev
TRANSCRIPT
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de Vigo
Síntesis de circuitos eléctricos y electrónicos
Sesión 8
Síntesis de filtros pasivos (1)
Síntesis de filtr os pasivos (1) 2
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoPotencia reflejada
Ze
Rc
Vg
Rg+
Vc
–
I1 I2
FiltroLC
pasobajo
Fuente
!
Pm(") =Vg(j")
2
8RgPotencia máxima a la entrada del filtro:
!
Pc(") =Vc(j")
2
2RcPotencia absorbida en la carga:
Potencia reflejada: Pr(!) " Pm(!) – Pc(!)
Z e =
R g
Cuadripolo reactivo puro # no absorbe potencia
La potencia que llega a la carga es la que la fuente pone a la entrada del filtro
Síntesis de filtr os pasivos (1) 3
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoCoeficientes de reflexión y transmisión
$%(j!)$
2 ! 1
Coeficiente de transmisión, %(s):
!
"(j#)2
=Pc(#)
Pm(#)
Coeficiente de reflexión, &(s):
!
"(j#)2
=1$ %(j#)2
=Pr (#)
Pm(#)!
"(j#)2
=
Vc(j#)2
2Rc
Vg (j#)2
8Rg
=4Rg
Rc
Vc(j#)2
Vg(j#)2
=4Rg
RcT(j#)
2
!
"(s) = ±Ze(s)# Rg
Ze(s)+ Rg
!
" Ze(s) = Rg1± #(s)
1m #(s)
$&(j!
)$2 !
1
Síntesis de filtr os pasivos (1) 4
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de Vigo
! Procedimiento general:
" Se elige forma para — y por ende para
" Se calcula
" Se extiende a todo el plano complejo y se halla &(s)
" Se calcula la impedancia Ze(s)(la que presentan en conjunto el filtro y la carga)
" Se desarrolla esta impedancia
# Formas de Foster
# Formas de Cauer
!
T(j")2
!
"(j#)2
Síntesis global
!
"(j#)2
Síntesis de filtr os pasivos (1) 5
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoRelación de inserción (1)
!
H(s) =T(s)Vg
Rc
Rg + RcVg
=Rg + Rc
RcT(s)
!
H(j")2
=Rg + Rc
Rc
#
$ %
&
' (
2
T(j")2
=(Rg + Rc)
2
4RgRc)(j")
2
!
PIdB(") = #20log H(j")Pérdidas de inserción:
Relación de inserción:
!
H(s) =Tensión de salida con filtro
Tensión de salida sin filtro
Versión escalada de la
función de transferencia
RcFiltro
Vg
Rg+
Vc
–
Fuente
Síntesis de filtr os pasivos (1) 6
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoRelación de inserción (2)
$H(j!)$
$T(j!)$
$T(j!)$
$H(j!)$
Fuente Filtro
Vg
1 '1 '
1.41 H
1.41 F
Fuente Filtro
Vg
1 '
6 '3.72 H
444 mF
Síntesis de filtr os pasivos (1) 7
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoDiseño de filtros pasivos
Datos
Circuito final
Circuitoprototipo
¿Paso bajo? Transformar especificacionesNo
Sí
¿Elíptico?Sí
Programas
Desnormalizar circuito(en impedancia)
Transformar componentes
No
¿Paso bajo?
No
Fórmulas
explícitas
Desnormalizar circuito(en frecuencia e impedancia)
Sí
Síntesis de filtr os pasivos (1) 8
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoFiltros pasivos en escalera
! Las fórmulas de Bossé y Takahasi nos proporcionan losvalores (gm) de los elementos de los filtros prototipopaso bajo, normalizados con Rg = 1 ' y !c = 1 rad/s
Rc
…
Fuente Filtro
Rg
Vg
g1
g2
g3
g4
Rc
…
Fuente Filtro
Rg
Vg g1
g2
g3
g4
Rc " Rg
Rc ! Rg
Síntesis de filtr os pasivos (1) 9
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoFiltros de Butterworth
! Elegimos la aproximación de Butterworth:
!
"(j#)2
=4Rg
RcT(j#)
2=
K
1+#2n
$1
!
"(j0)2
=4Rg
RcT(j0)
2=4Rg
Rc
Rc
Rg + Rc
#
$ % %
&
' ( (
2
=4RgRc
(Rg + Rc)2
=K )1
" En particular, en el origen:
!
K =4R gRc
(R g + Rc)2"1 # 0 " (R g $Rc)
2
Rc
Vg
Rg+
Vc
–
Filtro
LC
paso
bajo
Fuente
Cierto (
R g y R c
Síntesis de filtr os pasivos (1) 10
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoFórmulas de Bossé
! Filtro Butterworth prototipo normalizado de orden n:
!
" = (1#K)1/2n
!
bu =1+ "2 # 2"cosu$
n
%
& '
(
) *
!
gm =4 xm"1 xm
bm"1 gm"1
para m = 2, 3, …, n
" En el caso particular de que K = 1 (Rg = Rc) las fórmulas de
Bossé se simplifican y se reducen a la fórmula de Bennet
!
gm = 2sen2m"1
2n#
$
% &
'
( ) con m =1,…,n
!
xu = sen2u "1
2n#
$
% &
'
( )
!
g1 =2x1
1"#
Síntesis de filtr os pasivos (1) 11
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de Vigo
!p = 1 krad/s
Amáx = 1 dB
!s = 3 krad/s
Amín = 20 dB
Ejemplo: paso bajo Butterworth (1)
! Diseñad un filtro pasivo paso bajo Butterworth que seajuste a la plantilla de la figura y con Rg = Rc = 50 '
Síntesis de filtr os pasivos (1) 12
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoEjemplo: paso bajo Butterworth (2)
! Soluciones:
Vg
39.92 mH 39.92 mH
31.93 µF
50 '
50 '
50 '
50 'Vg 15.97 µF 15.97 µF
79.84 mH
Síntesis de filtr os pasivos (1) 13
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoFiltros de Chebyshev (1)
! Elegimos la aproximación de Chebyshev:
!
"(j#)2
=4Rg
RcT(j#)
2=
K
1+ $2Cn
2 (#)%1
" Los máximos de las trasferencias Chebyshev se alcanzan
cuando Cn(!) = 0, por tanto
Rc
Vg
Rg+
Vc
–
Filtro
LC
paso
bajo
Fuente
K ! 1
" En el origen:
!
4R g
Rc
T(j0)2
=4R gRc
(R g + Rc)2=
K
1+ "2Cn2 (0)
=
K n impar
K
1+ "2n par
#
$ %
& %
Síntesis de filtr os pasivos (1) 14
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoFiltros de Chebyshev (2)
" Cuando el orden es impar:
!
K =4R gRc
(R g + Rc)2"1 # 0 " (R g $Rc)
2
Cierto (
R g y R c
" Cuando el orden es par:
!
K =4R gRc
(R g + Rc)2
(1+ "2) #1 $ 4R gRc "
2# (R g %Rc)
2
En particular, con las técnicas descritas en este
tema, no podrán construirse filtros Chebyshev
de orden par en los que Rg y Rc sean iguales
No se cumple
( Rg y Rc
Síntesis de filtr os pasivos (1) 15
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoFórmulas de Takahasi (1)
! Filtro Chebyshev prototipo normalizado de orden n:
para m = 2, 3, …, n
!
gm =4 xm"1 xm
bm"1 gm"1
!
bu = senh2(a) + senh
2(ˆ a ) + sen
2 u"
n
#
$ %
&
' ( ) 2senh(a)senh(ˆ a )cos
u"
n
#
$ %
&
' (
!
g1 =2x1
senh(a) " senh(ˆ a )
!
xu = sen2u "1
2n#
$
% &
'
( )
!
a =1
narcsenh
1
"
#
$ % &
' (
!
ˆ a =1
narcsenh
1"K
#
$
% &
'
( )
Síntesis de filtr os pasivos (1) 16
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoFórmulas de Takahasi (2)
! En el caso particular de que K = 1 las fórmulas deTakahasi se simplifican
para m = 2, 3, …, n
!
gm =4 xm"1 xm
bm"1 gm"1
!
bu = senh2(a) + sen
2 u"
n
#
$ %
&
' (
!
g1 =2x1
senh(a)
!
xu = sen2u "1
2n#
$
% &
'
( )
!
a =1
narcsenh
1
"
#
$ % &
' (
Síntesis de filtr os pasivos (1) 17
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoEjemplo: paso bajo Chebyshev (1)
! Diseñad un filtro pasivo paso bajo Chebyshev que seajuste a la plantilla de la figura y con Rg = Rc = 50 '
!p = 1 krad/s
Amáx = 1 dB
!s = 3 krad/s
Amín = 30 dB
Síntesis de filtr os pasivos (1) 18
Departamento de
Teoría de la Señal
y Comunicaciones
Universidad de VigoEjemplo: paso bajo Chebyshev (2)
! Soluciones:
Vg
101.2 mH 101.2 mH
19.88 µF
50 '
50 '
50 '
50 'Vg 40.47 µF 40.47 µF
49.71 mH