filt ros

DISEO DE FILTROS DIGITALES

Filtros Digitales

9 INCONVENIENTES: Limitacin de velocidad Efectos de la longitud finita de las palabras Tiempos de diseo y desarrollo

9 VENTAJAS: Caractersticas imposibles con filtros analgicos (fase lineal) No cambian cualquiera que sea el entorno Procesamiento de varias seales con un nico filtro Posibilidad de almacenar datos Repetitividad Uso en aplicaciones de muy bajas frecuencias

Algoritmo implementado sobre hardware que opera sobre seales analgicas digitalizadas o sobre seales digitales almacenadas.

Filtros Digitales- Clasificacin de los Filtros Digitales.

- IIR : Respuesta al Impulso Infinita.

- FIR : Respuesta al Impulso Finita.

[ ] [ ] [ ]=

=0k

knxkhny [ ] [ ] [ ] = =

+=M

k

N

kkk knyaknxbny

0 1( )

=

=

= N

k

kk

M

k

kk

za

zbzH

1

0

1

[ ] [ ] [ ]=

=M

kknxkhny

0[ ] [ ] [ ]

==

M

kknkhnh

0( ) [ ]

==

M

k

kzkhzH0

Filtros Digitales

a. Especificacin de las Caractersticas del filtro.

b. Clculo de los Coeficientes. Diferentes mtodos.

c. Eleccin de la Estructura. Realizacin.

d. Anlisis de los Efectos de Precisin Finita.

e. Implementacin del filtro mediante software y/o hardware adecuado.

9 PASOS EN EL DISEO DE FILTROS:

Filtros Digitales- Especificacin de las Caractersticas del filtro.

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )inadalimebandalaenmnimaAtenuacinlogdBs

pasodebandalaenmximaAtenuacinlogdBs

Hlog)(H

logdBs

a

p

2

1

20

120

20120

==

==

( ) ( )( ) ( ) ( )inadalimebandalaenmnimaAtenuacinlogdBs

pasodebandalaenrizadologdBsr

aa

p

pp

=

+=

20

11

20

RELACIN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (I)

( )( )

>>

Bloque A/D:

F

RELACIN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (II)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

==n

sccs nTttxtstxtx

F

( ) ( )=

=k

scs

s kXTX 1

( ) ( ) ( )=

=n

sscs nTtnTxtx ( ) ( )=

=n

nTjscs senTxX

( ) [ ]=

=n

njenxX ( ) ( )

==

n

nTjscs senTxX

( ) ( ) ( ) =

=

===

==

k ssc

ksc

ss T

kT

XkXT

XX

sTsT

21

Bloque D/A:

[ ]=

=n

njenyY )(

[ ] =

= ==

n

nTj

n

nTjsss ss enyenTyY )()(

sTsYY == )()(

RELACIN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (III)

( ) ( )sTrrsc

YHHYY === )()()(

( ) =

==

k ssc

s Tk

TX

THXHY 21)()()(

( )=

== ==k

scs

s kXTHYY

sTsT1)()()(

RELACIN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (IV)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

== =k

scs

rsrc kXTHHYHY

sT1)(

( )( ) ( )

>>

RELACIN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (V)

Ejemplo: Obtener la plantilla de un filtro digital que se va a utilizar para realizar un filtrado paso bajo de una seal continua, utilizando la estructura de la figura anterior, conlas siguientes caractersticas:

El periodo de muestreo ser Ts = 10-4 segundos.

( )( ) s/rad;,H

s/rad;,H,

eff

eff

300020010

200020011990

RELACIN SISTEMAS CONTINUOS - SISTEMAS DISCRETOS (VI)

( )( )

30002

2000260log20001,0

086,01log2001,0

==

===+=

a

p

aa

pp

dBdB

.rad,T

.rad,T

saa

spp

======

601030002

4010200024

4

sT=

DISEO DE FILTROS DIGITALES IIR

DISEO DE FILTROS IIR A PARTIR DE FILTROS ANALGICOS

PROCESO:

ESPECIFICACIONES FILTRO DIGITAL

ESPECIFICACIONES FILTRO ANALGICO

FUNCIN DE TRANSFERENCIA ANALGICA H(s)

FUNCIN DE SISTEMA H(z)

-Aproximacin por derivadas

-Respuesta al impulso invariante.

- Transformacin bilineal.

s z

7SIMILITUDES CON LOS ANALGICOS RELACIN

APROXIMACIN POR DERIVADAS (I)

= =

=N

k

M

kk

kkk

kk

dt)t(xd

dt)t(yd

0 0

Filtro Analgico:

( ) ( ) [ ] [ ]T

nynyT

TnTynTydt

)t(dy

nTt

1==

Transformacin:

( ) ( )T

zs

sHzH

=

= 11

Restringido a filtros paso bajo y paso banda con frecuencias de corte bajas

APROXIMACIN POR DERIVADAS (II)

( ) 9101

2 ++= ,s)s(H

( ) ( )( )( ) ( ) 22122

2

2101,92,01

101,92,01

1,0121

01,92,01

91,01

1

++++++

++=+

+

=z

TTz

TTT

TTT

Tz

zH

Ejemplo:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-3

10-2

10-1

100

101

/ (rad/s)

|

H

(

)

|

(

d

B

s

)

Mdulo de la respuesta en frecuencia del filtro analgico

1/T1 1/T2

1/T3

1/T4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110-3

10-2

10-1

100

/ (rad)

|

H

(

)

|

(

d

B

s

)

Mdulo de la respuesta en frecuencia del filtro digital

T4

T1

T2

T3

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (I)

CONCEPTO: Obtener la Respuesta Impulsiva del Filtro Discreto Muestreando la de un Filtro Continuo

[ ] ( )h n T h nTd c d= ck d d

2 kH( ) HT T

=

= = Td

( ) ( )c cd d

H H SIEMPRE QUE H 0T T = < = ( )H

dT

dT ( )H

2 3 42 3 4

( ) = =N

1k k

kc ss

AsH

( )h tA e t

c

k s tk

Nk

=

=1 00

,

, t < 0

[ ] [ ]h n T A e u nd k s nTk

Nk d= =1

( ) = =N

1k 1Ts

kd

ze1ATzH

dk

SUPONEMOS OBTENIDA:

OBTENCIN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

MUESTREANDO hc (t) SE OBTIENE:

APLICANDO TRANSFORMADA Z:

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (II)

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (III)

( ) ( )k d

N Nd kk

c s T 1k 1 k 1k

T AAH s H zs s 1 e z= =

= =

PLANO S PLANO Z

POLOS

COEFICIENTES

ESTABILIDAD

ks

kA kd AT

kd sTe

{ } 0Re

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (IV)

Ejemplo: Convertir el filtro analgico con funcin de transferencia:

( ) ( ) 91.01

2 ++= ssHcen un filtro IIR digital aplicando la invarianza al impulso.

jsp 31.0 = ( ) jsj

js

jsHc 31.0

61

31.061

+++=

( ) ( ) ( ) 131.0131.0 161

161

+

=

ze

jT

ze

jTzH

dd Tjd

Tjd

( ) ( )( ) 220110110

321

331

+

=zezTcose

zTseneTzH

dd

d

T.d

T.d

T.d

RESPUESTA AL IMPULSO INVARIANTE (V)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-3

10-2

10-1

100

101

/ (rad/s)

|

H

(

)

|

(

d

B

s

)


1/T1 1/T2

1/T3

1/T4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110-3

10-2

10-1

100

101

/|

H

(

)

|

(

d

B

s

)


T4

T3

T2

T1

TRANSFORMACIN BILINEAL (I)

1

1d d

2 1 z 2 z 1sT 1 z T z 1

= = + +

d

d

T1 s2z T1 s2

+=

SemiplanoIzquierdo Interior Circunferencia Unidad

SemiplanoDerecho

Exterior Circunferencia Unidad

Eje ImaginarioCircunferencia Unidad

( ) ( )

z

zHs

sH inTansformac

+++++

=+=+=

cosrr

rsenjcosrr

rTre

reT

jsdj

j

d 212

2112

112

22

2

TRANSFORMACIN BILINEAL (II)

d

2 z 1sT z 1

= + j

jd

2 e 1jT e 1

= + d

2 tgT 2

=

dT2 arctg2 =

Relacin Eje Imaginario Plano s Circunferencia Unidad Plano z

( )H e j( )Hc

TRANSFORMACIN BILINEAL (III)

Relacin NO LINEAL

2TdTd

Td

22

Td

tg

( )[ ]Arg H e j

2Td

Td

TRANSFORMACIN BILINEAL (IV)

Relacin NO LINEAL ( )s js je e ( FASE LINEAL)= =

( )d2j tg

T 2

d

2e tg ( Fase NO LINEAL)T 2

=

TRANSFORMACIN BILINEAL (V)

Ejemplo 1: Convertir el filtro analgico con funcin de transferencia:

( ) ( ) 9101

2 ++= .ssHa

en un filtro IIR digital mediante la transformacin bilineal.

( )910

112

12

1

1+

+

+

=

.zz

T

zH

d

+=

1

1

112

zz

Ts

d

TRANSFORMACIN BILINEAL (VI)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110-4

10-3

10-2

10-1

100

101

/ (rad)

|

H

(

)

|

(

d

B

s

)


T4 T3T2 T1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

-3

10-2

10-1

100

101

/ (rad/s)

|

H

(

)

|

(

d

B

s

)


1/T1 1/T2

1/T3

1/T4

TRANSFORMACIN BILINEAL (VII)

Ejemplo 1: Convertir el filtro analgico con funcin de transferencia:

( ) ( ) 161.01.0

2 +++=

sssHa

en un filtro IIR digital mediante la transformacin bilineal. El filtro digital debe tener un polo a la frecuencia 2=r

441.0 == rp js

21

2224

22 === d

di

di TtgT

tgT

+=

1

1

114

zzs

( ) 214213

2

1

1

1

1

952.010096.61119.010096.6125.0

161.0114

1.0114

+++=

+

+

+

+

+

=zzzz

zz

zz

zH

TRANSFORMACIN BILINEAL (VIII)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010-3

10-2

10-1

100

101

|

H

(

)

|

(

d

B

s

)


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.510-3

10-2

10-1

100

101

|

H

(

)

|

(

d

B

s

)


EJEMPLO (I)

( )( )

3,0; 17783,0

2,00;189125,0

H

H

Disear un filtro digital paso bajo aplicando la respuesta al impulso invariante y la transformacin bilineal a un filtro de Butterworth. Las especificaciones del filtro digital son:

( ) ( )( )

( )

=

3,0; 15

2,00;10

log20

dB

dB

H

EJEMPLO (II)

dT=

a) Respuesta al Impulso Invariante b) Transformacin Bilineal

Obtencin de la plantilla del filtro paso bajo prototipo analgico:

=2

2 tgTd

EJEMPLO (III)

a) Respuesta al Impulso Invariante:

( ) Nc

aH 22

1

1

+

=

Diseo del Filtro de Butterworth

=

+

=

+

22

22

1778301301

8912501201

,T,

,T,

N

cd

N

cd

===

88,5

22433,070474,0

NTT dd

c

6=Ndd

c TT 2256,07087,0 ==

Distribucin de races:

d

d

d

Tjs

Tjs

Tjs

1834,06845.0

5011,05011.0

6845,01834.0

3

2

1

=

=

=

EJEMPLO (IV)

a) Respuesta al Impulso Invariante: Diseo del Filtro de Butterworth

( ) ( ) ( ) ( )5022,03690,15022,00022,15022,03668,0 222 ++++++= ssssss ksHa( ) 1266010 ,kHa ==

( )

1834,06845,06196,19351,0

1834,06845,06196,19351,0+

5011,05011,00797,1

5011,05011,00797,1+

6845,01834,02505,01447,0

6845,01834,02505,01447,0

jsj

jsj

jsjs

jsj

jsjsHa

++++

+

+++++

++++++

=

( )1266,06905,08824,12533,37484,37380,2

1266,023456 ++++++= sssssssHa

EJEMPLO (V)

a) Respuesta al Impulso Invariante: Obtencin del Filtro Digital

( )H z T Ae zd ks T

k

N

k d= =1 11

( )

11

11

1834,06845,01834,06845,0

5011,05011,05011,05011,0

16845,01834,016845,01834,0

16196,19351,0

16196,19351,0+

10797,1

10797,1+

12505,01447,0

12505,01447,0

+

+

++

+++

=

zeej

zeej

eezee

zeej

zeejzH

jj

zjj

jj

( ) 65432154321

0647056000072522190401835344331001000420016700105000070

+++++++=

z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,z,zH

EJEMPLO (VI)

b) Transformacin bilineal: Diseo del Filtro de Butterworth

=

+

=

+

2

2

22

17783012

302

1

89125012

202

1

,

,tgT

,

,tgT

N

cd

N

cd

=

==6

2439076620

NT

,T,

ddc

Distribucin de races:

d

d

d

Tjs

Tjs

Tjs

7401,01983.0

5418,05418.0

1983,07401.0

3

2

1

=

=

=

( ) Nc

aH 22

1

1

+

=

( )2024,00205,15728,21124,43822,49605,2

2024,023456 ++++++= sssssssHa

EJEMPLO (VII)

b) Transformacin bilineal: Obtencin del Filtro Digital

( ) ( )1

1

112

+=

=zz

Ts

a

d

sHzH

( ) 654321654321

0544,04800,08136,17795,36222,41836,31007,00004,00111,00148,00111,00044,00007,0

+++

++++++=zzzzzz

zzzzzzzH

MATLAB

[N,wc]=buttord(0.2*pi,0.3*pi,1,15,s);[B,A]=butter(N,wc,s);[R,P,K]=residue(B,A);[Bz,Az]=impinvar(B,A,Fs);

a) Respuesta al Impulso Invariante

[N,wc]=buttord(2*tan(0.1*pi),2*tan(0.15*pi),1,15,s);[B,A]=butter(N,wc,s);[Bz,Az]=bilinear(B,A,Fs);

b) Transformacin bilineal:

EJEMPLO (VIII)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|

H

(

)

|


BilinealR.I.Inv.

EJEMPLO (IX)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|

H

(

)

|

Mdulo de la respuesta en frecuencia del filtro analgico prototipo

Td=1

Td=4

Td=0,2*

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|

H

(

)

|


Td=1

Td=4

Td=0,2*

Respuesta al Impulso Invariante

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (I)

Procedimientos:1.- Transformacin en frecuencias en tiempo continuo.2.- Transformacin en frecuencias en tiempo discreto.

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (II)

Transformacin en frecuencias en tiempo continuo.

1.- Transformacin paso bajo a paso bajo:

( ) ( )

=

sHs'HsHss'p

pPBPBPB'p

p

2.- Transformacin paso bajo a paso alto:

( ) ( )

=

sHsHsH

ss

'ppPBPAPB

'pp

3.- Transformacin paso bajo a paso banda:

( ) ( ) ( ) ( )

+=

+++

++

pp

pppPBPBdPB

pp

ppp s

sHsHsH

ss

s22

eriorcortedePulsacin

eriorcortedePulsacin

p

p

inf

sup

+

( ) ( ) ( ) ( )

+=+

++

++

pp

pppPBBEPB

pp

ppp

s

sHsHsH

s

ss 22

4.- Transformacin paso bajo a banda Eliminada:

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (III)

9 G(z-1) debe ser funcin racional en z-1.

9 El interior de la circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en el interior del circunferencia unidad en el plano z.

9 La circunferencia unidad en el plano z se debe transformar en lacircunferencia unidad en el plano z.

Constantinides (1970):* 1N N

1k k* 1

k 1 k 1k k

z a z az ' z '1 a z 1 a z

= =

= =

Transformacin en frecuencias en tiempo discreto.

( ) ( ) ( ) ( )1111 = == zG'zPB 'zHzHzG'z

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (IV)

Ejemplo: Paso Bajo - Paso Bajo

( )*

j m

j m *

j m * j m

j m * j m

1 a1 e1 a

1 a e 1 a

1 a e a e1 e a a e

= = = =

A A

( )*

j m

j m *

j m * j m

j m * j m

1 a1 e1 a

1 a e 1 a

1 a e a e1 e a a e

= ++ = ++ = + = +

C C

m=0 ; a = (Real) zz '1 z=

B Bp

p

p

jj

j

ee1 e

=

=

+

sen

sen

p p

p p

2

2

Para determinar :

z z aaz'*= 1

TIPO FILTRO

TRANSFORMACIN FRMULAS ASOCIADAS

PASO BAJO

zz

z'

=

11

11

=

+

sen

sen

p p

p p

2

2

p = frecuencia de corte desada

PASO ALTO

zz

z'

=

++

11

11

= +

cos

cos

p p

p p

2

2

p = frecuencia de corte desada

PASO BANDA

zz

kk

zkk

kk

zk

kz

'

=

+ ++

+ + +

1

2 1

2 1

21

11

11

21

1

=+

cos

cos

p p

p p

2 1

2 1

2

2

k g p p p=

cot tg

2 12 2

p

p

1

2

==

frecuencia de corte inferior desada

frecuencia de corte superor desada

BANDA ELIMINADA

zz

kk

zkk

kk

zkk

z'

=

+ ++

+ + +

1

2 1

2 1

21

11

11

21

1

=+

cos

cos

p p

p p

2 1

2 1

2

2

k p p p=

tg tg

2 12 2

p

p

1

2

==

frecuencia de corte inferior desada frecuencia de corte superor desada

TRANSFORMACIONES DE FILTROS DISCRETOS (V)

DISEO DE FILTROS DIGITALES FIR

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (I)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

==

j

j

eAHdageneralizalinealFase

eHHlinealFaseH

Funcin real de Constantes reales

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]===

naedeAedeHnh jnjjnj

22 221

[ ] [ ] = naenh j[ ] [ ]nana = [ ] [ ] += nhena j

[ ] [ ] +=+ nhenhe jj [ ] [ ]+= 22 nhenh j

[ ][ ] 200

MMn;nh

causalesnhSi =

[ ] [ ]nMhenh j = 2

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (II)

[ ] [ ]nMhenh j = 2Coeficientes del filtro reales [ ] [ ]nhnh = ale j Re2 Zkk = ,2/

[ ] ( ) [ ] ZknMhnh k = ,.1( ) ( ) ( ) )(,,22 filtrodelordenMZkeAH Mkj =

Tipo I: k = 0 (simetra positiva) y M par Tipo II: k = 0 (simetra positiva) y M impar [ ] [ ]nMhnh =

[ ] [ ]nMhnh = Tipo III: k = 1 (simetra negativa) y M par Tipo IV: k = 1 (simetra negativa) y M impar

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (III)Ejemplo: Obtener la respuesta en frecuencia de un sistema FIR de orden par cuya respuesta alImpulso tiene simetra positiva y demostrar que es de fase lineal.

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]

+=

==

=

12

12

110

MhMh

...MhhMhh

ParMnMhnh

( ) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] =

+++

+++== jMMjMjj

M

n

nj eMheMh...eMh...ehhenhH 120

12

10

( ) [ ] [ ] [ ] [ ]

+++

+++=

2121222 12

10MjMjMjMjMj

eMheMh...Mh...eheheH

( ) [ ] [ ]

++

+

= 2

12

122

022 Mh...McoshMcosheHMj

( ) [ ] ( ) ( )=

=

+

=

jMj

neAenMcosnhMhH

M

2

0

12

22

2

( ) [ ] ( ) =

+

=

= 2;

2cos2

2

12

0

MnMnhMhA

M

n

( ) ( ) [ ] ( )[ ][ ] [ ]nh2nd

nsenndeH

21M

1n21j 2

1M

22M

=

=+

=

+

( ) ( ) [ ] [ ][ ] [ ]nh2nc

nsennceH

2M

1n

j 2M

22M

=

= =

( ) [ ] ( )[ ][ ] [ ]nh2nb

ncosnbeH

21M

1n21j 2

1M

2M

=

=+

=

+

( ) [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]nhnaha

nnaeH

MMn

jM

M

==

= =

22

0

20

cos2

2

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (IV)

Tipo h[n] Orden M H() ()

I Par

II Impar

III Par

IV Impar

SimetraNegativa

SimetraPositiva

[ ] [ ]nMhnh =

[ ] [ ]nMhnh =

2M

2M

22+ M

22+ M

2M

2M

2M

2M

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (V)

Posiciones de los ceros en los sistemas FIR de fase lineal:

( ) ( )1 = zHzzH M( ) ( ) ( ) ( )zHdecerozzHzHzzHerz Mj 1111111111 001 ====

Si h[n] real:

( ) ( )1 = zHzzH M1=z ( ) ( ) ( ) ( )1111 HHH M ==

Sistemas con simetra positiva y M impar (tipo II) poseen un cero en z = -1

( ) )()( 111 zHdeceroTambinzzHdecerotambinz Casos particulares (z = 1; z = -1):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

====

011111

111HHHimparM

HHparMHH M1=z

- Ceros de H(z):

( ) [ ] [ ] [ ] ( )=

=

=

===0

1

00 Mk

kMM

n

nM

n

n zkhzznMhznhzH

Simetra Positiva:

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (VI)

Posiciones de los ceros en los sistemas FIR de fase lineal:

( ) ( )1 = zHzzH M( ) ( ) ( ) ( )zHdecerozzHzHzzHerz Mj 1111111111 001 ====

Si h[n] real: ( ) )()( 111 zHdeceroTambinzzHdecerotambinz Casos particulares (z = 1; z = -1):

- Ceros de H(z):

( ) [ ] [ ] [ ] ( )=

=

=

===0

1

00 Mk

kMM

n

nM

n

n zkhzznMhznhzH

1=z ( ) ( ) ( ) ( )1111 HHH M == Sistemas tipo III y IV poseen un cero en z = 1 1=z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

=

===11

0111111

HHimparMHHHparM

HH M

Sistemas tipo III poseen un cero en z =- 1

Simetra Negativa: ( ) ( )1 = zHzzH M

SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL (VII)

DIAGRAMAS DE POLOS Y CEROS DE SISTEMAS FIR DE FASE LINEAL

Orden par Orden parOrden impar

Orden impar Orden par Orden impar

DISEO DE FILTROS FIR

FILTROS IDEALES:

1.- Su hd[n] tiene longitud infinita.

2.- Su hd[n] es no causal ( hd[n] 0, n < 0 ).

SOLUCIN (MTODO DE LAS VENTANAS):

1.- Limitar la longitud de hd[n] a M+1 muestras(Multiplicarla por una funcin ventana h[n] = hd[n]w[n] ).

2.- Introducir el retardo necesario para que h[n] sea causal.

DISEO DE FILTROS FIR

FILTRO DISCRETO PASO BAJO IDEAL

C C

|H ( )|d

[ ] ( ) ( )n

nCsendedeHnhC

C

njnjdd

== = 2121 2( ) [ ]

==

n

njdd enhH

Filtro ideal: Respuesta al impulso no causal e infinita.

-30 -20 -10 0 10 20 30

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

h

d

[

n

]

Respuesta al impulso de un filtro discreto Paso Bajo Ideal

......

Respuesta Impulsivadel Filtro Ideal: hd[n]

Ventana (Rectangular)w[n]

Respuesta impulsivaobtenida:

h[n] = hd[n] w[n]

Respuesta Impulsivadesplazada para quesea causal: h[n-n0]

DISEO DE FILTROS FIR: VENTANAS

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

SI PRIMERO DESPLAZAMOS Y DESPUS MULTIPLICAMOS,EL RESULTADO ES EL MISMO ( VENTANAS CAUSALES).

Respuesta Impulsivadel Filtro Ideal: hd[n]

Respuesta Impulsiva delFiltro Ideal desplazada

hd[n-n0]

Ventana (Rectangular)causal: w[n]

Respuesta impulsivaobtenida:h[n] = hd[n-n0] w[n]


-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.5

0

0.5

1

Transformada de Fourier de la ventana rectangular:


( ) ( ) ( )

+== 2

2

21 Mjj

p esen

MseneWW[ ]

=restoel

Mnnw

001

-3 -2 -1 0 1 2 3-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

)

-3 -2 -1 0 1 2 3-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

A

(

)

0 M...0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

w

[

n

]

...


RESPUESTA DE FASE LINEAL

Todas las ventanas van a tener simetra positiva:

[ ] [ ] ( ) ( )Las Respuestas al Impulso de los Filtros Ideales Tendrn Simetra Positiva o Negativa:

20

0Mj

pTF eWW

nderesto,Mn,nMw

nw=

=

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( ) 2

2

Mjnd

TFdd

Mjpd

TFdd

ejAHnMhnh

eAHnMhnh

==

==

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) === dWHWHHnwnhnh ddTF

d2

21

( ) ( ) ( ) ( )

= deWeAHMj

p

Mjp 222

1

( ) ( ) ( )

= dWAeH ppMj

212

Simetra positiva

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO.


-3 -2 -1 0 1 2 3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

W

p

(

)

( ) ( ) ( ) ( )==

AedWAeHMj

pp

Mj22

21

2-2 = -1 = -2 = 2 = 1

-1 -2 2 1

=

-

= --

= 2 - 1 = ZONA DE TRANSICINDebida Fundamentalmente a la Anchura del Lbulo Principal

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO. LBULO PRINCIPAL


2-2

= -1 = -2 = 2 = 1 = -

-

-

=

RIZADO EN BANDA DE PASO Y ELIMINADADebida a los Lbulos Secundarios (Principalmente al primero)

-1-2 2 1

EFECTO DEL ENVENTANADO SOBRE LA

RESPUESTADE AMPLITUD DEL FILTRO.

LBULOS SECUNDARIOS


VENTANA RECTANGULAR.

4ANCHURA DEL LBULO PRINCIPAL =M 1 = +

-2 0 20

2

4

6

8

M+1 = 9

-2 0 2

0

2

4

6

8

10

12

M+1 = 13

-2 0 20

5

10

15

M+1 = 18

-2 0 2

0

5

10

15

20

25

M+1 = 26

MDULO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE LA VENTANA RECTANGULAR


( )

+=

2

21

sen

MsenW


VENTANA RECTANGULAR.

AMPLITUD RELATIVA DEL LBULO SECUNDARIO = -13 dB

0 1 2 3-60

-50

-40

-30

-20

-10

0M+1 = 9

0 1 2 3

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

M+1 = 13

0 1 2 3-60

-50

-40

-30

-20

-10

0M+1 = 18

0 1 2 3

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0M+1 = 26

PARA MODIFICAR LA AMPLITUD DE LOS LBULOS SECUNDARIOS

HAY QUE MODIFICAR LA FORMA DE LA VENTANA.SE UTILIZAN VENTANAS QUE NO CONTENGAN

DISCONTINUIDADES ABRUPTAS ( FENMENO DE GIBBS )


CONLLEVA EL AUMENTO DE LA ANCHURA DEL LBULO PRINCIPAL

REGIN DE TRANSICIN EN LA RESPUESTA DEL FILTRO FIR MS ANCHA

PARA COMPENSARLO SE INCREMENTAR M


ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: EXPRESIN ANALTICA

[ ]

2n M, 0 nM 2

2n M2 , n Mw nM 2

0, Resto n

=

BARTLETT

[ ]2 n0,5 0,5 cos , 0 n MM

w n0, Resto n

=

HANNING

HAMMING BLACKMAN

[ ]2 n0,54 0, 46 cos , 0 n MM

w n0, Resto n

=

[ ]2 n 4 n0, 42 0,5 cos 0,08 cos 0 n MM M

w n0, Resto n

+ =


ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: REPRESENTACIN ( M = 50 )

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1BLACKMAN

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1BARTLETT

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1HANNING

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1HAMMING


0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0BLACKMAN

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0HAMMING

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0HANNING

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0BARLETT M = 50

ALGUNAS VENTANAS UTILIZADAS: .( ) ( )( )20log W / max W


VENTANA HANNIG: .( ) ( )( )20log W / max W

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 20

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 30

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 40

0 1 2 3-100

-80

-60

-40

-20

0M = 50


VENTANAS: RESUMEN DE CARACTERSTICAS

PARMETRO NICO DE DISEO: ORDEN DEL FILTRO ( M )

M

n2cos121

M

n2cos46.054.0

+

Mncos.

Mncos.. 4080250420

VENTANA w[n] (0 n M) Anchura del Lbulo Principal

Ai be rbp Rectangular 1 4/(M+1) 13,3 20,9 1,57

0,11

0,033

0,00298

1,84/MHanning 8/(M+1) 31,5 43,9 6,22/M

Hamming 8/(M+1) 42,7 54,5 6,64/M

Blackman 12/(M+1) 58,1 75,3 11,12/M

Ai : Amplitud mxima relativa (en dB's) de los lbulos laterales. be=-20 log() : Atenuacin mnima (en dB's) en la banda eliminada.rbp =-20 log((1- )/(1+ )): Rizado en la banda de paso.: anchura de la banda de transicin.


VENTANA DE KAISER

[ ]( )

w nI n

In M

=

0

2

0

1

0

0

12

, resto de n

M2

=

I0 ( ): Funcin de Bessel de Orden CeroModificada de Primera Clase

: Factor de Forma

( ) ( )2k

L

0k 1

x2I (x) 1 L 25

k!=

+

DOS PARMETROS DE DISEO:

ORDEN DEL FILTRO ( M ) AJUSTE DE ANCHURA DEL LBULO PRINCIPAL

FACTOR DE FORMA ( ) AJUSTE DE AMPLITUD DE LBULOS SECUNDARIOS


VENTANA DE KAISER: REPRESENTACIN PARA DISTINTOS VALORES DE

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

= 0

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1 = 3

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1 = 6

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1 = 9

n n

n n


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

M = 10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

M = 10

M = 20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

M = 10

M = 20

M = 41

VENTANA DE KAISER: PARA DISTINTOS VALORES DE M( ) ( )( )20log W / max W


0 0.5 1 1.5-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

= 0

0 0.5 1 1.5

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

= 0

= 3

0 0.5 1 1.5-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

= 0

= 3 = 6

0 0.5 1 1.5-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

= 0

= 3 = 6

= 9

VENTANA DE KAISER: PARA DISTINTOS VALORES DE ( ) ( )( )20log W / max W

( )p aDefiniendo A 20 log con min ,= = ( )( ) ( ) =

+

0 1102 8 7

0 07886 21 21 500 0

0 4

, ,

,,

,

A

A A

A > 50

0,5842 A - 21 A < 21


VENTANA DE KAISER: OBTENCIN DE y M

A 7,95 A 7,95M2,285 14,36 f =


EJEMPLO

Se desea disear un sistema para procesar una seal analgica xc(t) (limitada en banda a 5 kHz) con un filtro digital como se indica en la figura.

Las especificaciones del mdulo de la respuesta en frecuencia del sistema analgico |H()| son:

-Atenuacin mxima en la banda de paso p= 1 dBs.- Atenuacin mnima en la banda atenuada a = 15 dBs.- Frecuencia de corte en la banda de paso: fp = 800 Hz- frecuencia de corte en la banda atenuada: fa = 1400 Hz

DISEO DE FILTROS FIR: CAMBIO DE ESPECIFICACIONES

max

min

(dB)

p a

1 - 1

|H()|

p a

1

2

max

min

201

202

1 10

10

= =

1 - p

|H()|

p a

1

a

1+ p

( ) ( ) ( ) ( ) max20p 1 p p p1 1 1 1 1 10 = + = +

( )max

min

max

2020

p a p20

10 1 ; 10 110 1

= = + +

( ) ( )min20a p 2 p1 10 1 = + = +

max maxmax max

max max

20 2020 20

p p20 20

1 10 10 110 1 1 101 10 10 1

+ = = = + +

|H()|

1

1-1

2

1-p1+p

a

DISEO DE FILTROS FIR: CAMBIO DE ESPECIFICACIONES


EJEMPLO

===

=====

35,0108114002

2,010818002

81

3

3

saa

sppss

T

TmsTT

a) Plantilla de atenuacin del Filtro Analgico: b) Plantilla de atenuacin del Filtro Discreto:

d) Plantilla de amplitud del Filtro discreto en unidades naturales:

SOLUCIN:1. PLANTILLAS:

( ) 188,0110

0575,0

110

110

110

110

20

201

201

20

20

=+=

=+

=+

=

p

p

a

p

p

a


EJEMPLOSOLUCIN:2. Diseo:

( ) ( ) dB,log',,min apap 8242005750 =====Parmetros de diseo:

VENTANA beRectangular 20,9

Hanning 43,9

Hamming 54,5

Blackman 75,3

=== 15020350 ,,,pa

424641150226 ==> M,

,,M

452744150646 ==> M,

,,M

7513741501211 ==> M,

,,M

1665151502852957824

2852957 ==

=> M,

,,,,

,,AM

Ventana de Kaiser:

( ) ( ) 2961210788602158420 40 ,A,A, , =+=

=+=+= 27502

350202

,,,apc


EJEMPLOSOLUCIN:

2210 20 +===

cacp ';';

ba

Ventana Orden p aHanning 42 0,0064 0,148 0,201 0,349

0,3480,349

Kaiser 16 0,0575 0,15 0,2 0,35

Hamming 45 0,0019 0,147 0,201 Blackman 75 0,00017 0,148 0,201

[ ] [ ] [ ]nwMn

MnsennwMnhnh

CID

=

=

2

22


EJEMPLOSOLUCIN:

[ ]( )( )

( )

=

nderesto;

n;ncosn

n,sennhD

0

42042

2121

21212750

[ ]( )( )

( )

=

nderesto;

n;ncos,,,n

,n,sennhD

0

45045

2460540522

5222750

[ ]( )( )

( )

=

nderesto;

n;ncos,ncos,,,n

,n,sennhD

0

75075

408075

250420537

5372750

- Hanning: FIR fase lineal tipo I

- Hamming: FIR fase lineal tipo II

- Blackman: FIR fase lineal tipo II

- Kaiser: FIR fase lineal tipo I

[ ] ( )( )( ) ( )

=nderesto;

n;,I

n,I

nn,sennhD

0

1602961

8812961

882750

0

0


hD,Ham= fir1(M,C,Hamming(M+1))hD,Han= fir1(M,C,Hann(M+1))

hD,Blac= fir1(M,C,Blackman(M+1)) hD,kaiser= fir1(M,C,kaiser(M+1,))0 2 4 6 8 10 12 14 16

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Kaiser

n

|

h

D

K

a

i

[

n

]

0 10 20 30 40 50 60 70-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Blackman

n

|

h

D

B

L

a

n

[

n

]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Hamming

n

|

h

D

H

a

m

[

n

]

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3Respuesta al impulso del filtro utilizando la ventana de Hanning

n

|

h

D

H

a

n

[

n

]


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|

H

D

(

)

|

Mdulo de la respuesta en frecuencia del filtro

HanningHammingBlackmanKaiser

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

|

H

D

(

)

|



1 1.5 2 2.5 30

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

|

H

D

(

)

|



DISEO DE FILTROS: COMPARACIN IIR - FIR

La perturbacin debido a la recursividad del filtro puede afectar a la seal de salida de forma indefinida.

Si la realizacin es no recursiva la salida del sistema puede verse afectada por su estado inicial o por cualquier interferencia de corta duracin durante la longitud de la respuesta al impulso.

7.- Sensibilidad a las interferencias

No se requiere un computador grande y suele utilizarse la transformacin bilineal con lo que no son demasiados clculos. Son poco complejos.

Se requiere un computador de tamao medio y la complejidad depende de la longitud de su h[n].

6.-Carga computacional y complejidad

Slo puede usarse la estructura recursiva. La ms utilizada es la de cascada de secciones de primer y segundo orden.

Admiten estructuras recursivas y no recursivas. La estructura ms utilizada es la no recursiva denominada filtro transversal

5.- Estructura

Pueden ser inestables si los polos caen fuera de la circunferencia unidad.

Son siempre estables4.- Estabilidad

Slo puede conseguirse fase lineal utilizando ecualizadores con lo que el filtro es ms complejo.

Es posible conseguir fase lineal.3.- Caracterstica de fase

Se consiguen selectividades altas con rdenes reducidos al disponer de pares polo-cero. Es posible disear todo tipo de filtros.

Para selectividades altas se requieren rdenes altos (todos los polos estn en z = 0). No es posible disear filtros paso todo.

2.- Respuesta en frecuencia

Contiene polos y ceros en puntos finitos de z, ello proporciona mayor flexibilidad en el diseo de filtros sencillos (mtodo de ubicacin de ceros y polos)

Slo contiene ceros, todos sus polos en el origen, excepto si se emplea muestreo en frecuencia

1.- Funcin del sistema H(z)

IIRFIR

Necesitan menos memoria ya que el nmero de coeficientes es menor que el equivalente FIR.

Necesitan mucha memoria para almacenar la muestra actual y las anteriores de la seal de entrada, as como los coeficientes del filtro.

9.- Memoria

Es un problema importante puesto que puede hacerse inestable. Pueden producirse oscilaciones indeseadas a causa del desbordamiento (Oscilacin de overflow) o oscilaciones de ciclo lmite.

Con estructura no recursiva no es un problema importante. Cuando estos filtros se realizan de forma recursiva debe conseguirse una cancelacin exacta de polos y ceros despus de la cuantificacin obligndonos a utilizar longitudes de palabra mayores.

8.- Efecto de la cuanti-ficacin de los coeficientes

DISEO DE FILTROS: COMPARACIN IIR - FIR

Filtros DigitalesFiltros DigitalesFiltros DigitalesFiltros Digitales

filt ros

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