Figuras amorfas Document Transcript

1. Mediciones De Figuras Amorfas
Introduccin: Las figuras amorfas, son aquellas figuras que no tienen forma porque en realidad TODO tiene una forma, pero se refiere a que no tiene forma conocida, no es un cuadrado, ni tringulo, ni nada de ese estilo. Es una curva o una figura de muchos lados distintos y "deforme". y su principal finalidad es encontrar en una grfica dada su rea de la parte de adentro de la figura donde se encuentra el punto dado de la figura amorfa. La notacin sumatoria es encontrar el valor de la ecuacin dada respecto a un nmero determinado cuando un punto n tiende a cualquier nmero dado. Existen dos tipos de notacin sumatoria: la notacin sumatoria abierta y la notacin sumatoria pertinente. La suma de riemman es igual al de las figuras amorfas solo que en esta se emplean una series de frmulas para una aproximacin del rea total bajo la grfica de una curva. La integral definida se utiliza para determinar el valor de las reas limitadas por curvas y rectas, tambin son llamadas as porque dada una ecuacin su integral es definida por que esta tiende de un punto a otro y se podra decir que se conoce el valor al que se quiere graficar esa funcin.
MEDICIONES APROXIMADAS DE FIGURAS AMORFAS Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su rea se le es muy difcil, aun queriendo utilizar las frmulas de otras figuras. Para un polgono irregular (figuras con curvas) trazas diagonales y resuelves por tringulos. NOTACIN DE SUMATORIA
En el estudio del rea se trataran sumas de muchos trminos, de modo que se introduce una notacin, llamada notacin sigma, para facilitar la escritura de estas sumas. Esta notacin requiere el uso del smbolo ( ),la letra sigma mayscula del alfabeto griego.

1.1 Medicin aproximada de figuras amorfas`..`

Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que pasa que al querer sacar su rea se le es muy difcil, aun queriendo utilizar las formulasde otras figuras.

AT= A1+A2 n=nmero de particin *Ejemplo:

A1=(.5)(0) =0 A2=(.5)(.25) =.125 A3=(.5)(1) =.5 A4=(.5)(2.25) =1.125 A5=(.5)(4) =2 A6=(.5)(6.25) =3.125 A7=(.5)(9) =4.5 A8=(.5)(12.25)=6.125

AT=17.5

1.2 Notacin sumatoriao

Los nmeros cuya suma se indica en una notacin sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemticos ms complicados. Si la suma tiene un nmero infinito de trminos, se conoce como serie infinita. Dada una sucesin:

sta se puede representar como la suma de los primeros trminos con la notacin de sumatoria o notacin sigma. El nombre de esta notacin se denomina de la letra griega

(sigma mayscula, que corresponde a nuesta S de "suma"). La notacin sigma es de la siguiente manera:

La suma de los primeros pares

Impares

*Ejemplo:

1.3 Sumatoria de Riemann..0En matemticas, la suma de Riemann es un mtodo de integracin numrica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida es decir el rea bajo una curva, este metodo es muy til cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Clculo. Estas sumas toman su nombre del matemtico alemnBernhard Riemann. La suma de Riemann consiste bsicamente en trazar un nmero finito de rectangulos dentro de un rea irregular, calcular el rea de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este mtodo de integracin numrica es que al sumar las reas se obtiene un margen de error muy grande.

*Ejemplo: Encuentre el rea bajo el rea de

f(x)=x+2 en el intervlo de [0,4]

..

2.1 Definicin de Integral Indefinida`..`

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivasque puede tener una funcin. Se representa por f(x) dx. Se lee: integral de x diferencial de x. es el signo de integracin. f(x) es el integrando o funcin a integrar. dx es diferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra.

C es la constante de integraciny puede tomar cualquier valor numrico real. Si F(x) es una primitivade f(x) se tiene que: f(x) dx = F(x) + C Para comprobar que la primitivade una funcin es correcta basta con derivar.

Ejemplo:

Sustiticin:

u= 4x-3

du= 4 dx

du= 4x dx

`..

2.2 Propiedades de Integrales IndefinidasoOo 1.La integral de una sumade funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx Ejemplo:

2.La integral del producto de una constante por una funcin es igual a la constante por la integralde la funcin. k f(x) dx = k f(x) dx Ejemplo:

oOo

2.3 Clculo de Integrales Indefinidas..Una funcin f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F(x) = f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una funcin no es nica; Todas las primitivas de f (x) =2x estn representadas por la expresin x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integracin.

..

2.1 Definicin de Integral Indefinida`..`

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivasque puede tener una funcin. Se representa por f(x) dx. Se lee: integral de x diferencial de x. es el signo de integracin. f(x) es el integrando o funcin a integrar. dx es diferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra. C es la constante de integraciny puede tomar cualquier valor numrico real. Si F(x) es una primitivade f(x) se tiene que: f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitivade una funcin es correcta basta con derivar.

Ejemplo:

Sustiticin:

u= 4x-3

du= 4 dx

du= 4x dx

`..

1.7 Integrales impropias_.-* *-._

I. Definida

i) Sif es continua sobre [a,b) y

cuando entonces:

ii) Sifes continua sobre (a,b] y

cuando entonces:

iii) Si cuando para alguna en c en (a,b) y fes continua en todos los dems nmeros en [a,b] de entonces:

*Ejemplo:

_.-* *-._

Teorema de integral indefinida Sea una funcin real y = f (x), que es continua en un intervalo [a , b]. Entonces se puede afirmar que existe al menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el que se verifica: El valor f se conoce como el valor medio de la funcin f (x) en el intervalo [a,b]. Quiz sea interesante hacer varias observaciones: 1) El punto c puede no ser nico. El teorema asegura la existencia de por lo menos un punto con esa propiedad. 2) El valor medio de la funcin f (x) no se refiere a la tasa de variacin media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente. 3) El clculo de dicho valor medio y el del punto c en el que se alcanza presupone el clculo de una integral definida. Dicho clculo puede hacerse por la Regla de Barrow (que se supone conocida) o bien, en el caso de funciones complicadas, utilizando mtodos numricos, como la Regla de Simpson por ejemplo. En esta unidad utilizaremos funciones de integracin sencilla. 2. EL TEOREMA APLICADO A UNA FUNCIN DETERMINADA Vamos a estudiar la aplicacin del teorema a una funcin concreta. Para una primera aproximacin vamos a escoger una funcin que sea continua en cualquier intervalo de la recta real, para que tengamos la seguridad de que se cumple la hiptesis de nuestro teorema. La funcin objeto de nuestro estudio va a ser la siguiente:Los controles a y b son los extremos del intervalo. Al cambiar sus valores se puede observar como vara el valor medio de la funcin y el punto, o puntos, en que se alcanza dicho valor. La funcin con la que estamos trabajando es simtrica y eso provoca que en algunos intervalos el punto c no sea nico.

El trazo azul indica el conjunto de valores que toma la funcin en el intervalo [a,b], cuyo valor medio queremos calcular. Ten en cuenta que el extremo del intervalo a debe ser ms

pequeo que el extremo b. En cualquier caso, si te equivocases, aparecera un mensaje de error. 3. EL TEOREMA APLICADO A UN TIPO DIFERENTE DE FUNCIONES Vamos a considerar ahora la aplicacin del teorema a un tipo diferente de funciones. Aqu el punto en el que se alcanza el valor medio es nico ya que la familia de funciones exponenciales que estudiamos, tambin con dominio en todos los nmeros reales y fcilmente integrables, se caracteriza por su monotona. El conjunto de funciones que representamos responde a la ecuacin general en la que k puede tomar diversos valores reales en el intervalo [0.5 , 0.5], lo que hace que la funcin pueda ser una exponencial creciente o decreciente. En el caso K = 0, al tratarse de una funcin constante el teorema carece de inters. En la escena anterior la funcin era definida positiva y por tanto tambin lo era su valor medio. Ahora las funciones pueden tomar valores positivos y negativos segn los intervalos, lo que afecta al valor medio obtenido. El control k permite variar la funcin exponencial considerada. Los controles a y b representan, como en la escena anterior, los extremos del intervalo. Puedes estudiar diferentes intervalos en cada funcin que representes

funcion primitiva una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original ej: y=3x+2x+18 dy/dx=6x+2 dy=6x+2 (dx) Integral=3x+2x = 3x+2x+c

Integral definida: Proceso de clculo de reas encerrada entre una curva y un eje cartesiano. Funcin Primitiva: Relacin dependiente de datos sobre uno (o ms) valores, que declaran los lmites de un rea. Es la razn del por qu se le llama funcin primitiva, al ser la base del clculo integral. Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, ms generalmente, dominio). F es una primitiva de f si y slo si f es la derivada de F: F = f. Mientras que la derivada de una funcin, cuando existe, es nica, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, tambin lo es F + k, donde k es cualquier constante real. Para encontrar una primitiva de una funcin dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinacin lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revs una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral: Aqu estn las principales funciones primitivas: Funcin F: primitiva de f funcin f: derivada de F Por ejemplo, busquemos una primitiva de x x(23x). Como no se conoce primitivas de un producto, desarollemos la expresin: x(23x)= 2x - 32. 2x es la derivada de x2, 32 es la de x3, por lo tanto 2x - 32 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si adems se pide que la primitiva verifique una condicin F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condicin inicial cuando se trata de un problema de fsica), entonces la constante k es unvocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7. Al diferir las primitivas de una misma funcin f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lgico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f: Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometra: es el rea entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: ste es el teorema fundamental del anlisis.

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo tambin lo es su integral. Por lo tanto el rea de la que hemos hablado es algebraica y no geomtrica. Si una funcin es alternadamente positiva y negativa, su integral ser la suma de las reas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x. La relacin de Chasles: cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geomtricos (con a < b < c )como analticos, tiene como consecuencia: La segunda frmula se interpreta fcilmente: el rea entre las rectas x = a y .. x = a de nuevo es nula, pues la rectas estn pegadas. La primera se puede justificar as: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el rea correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la nocin de rea est muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace. Otras propiedades Las primitivas de una funcin impar es siempre par. En efecto, como se ve en la figura siguiente, las reas antes y despus de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe as: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par. La primitiva F de una funcin f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0. En efecto, segn la figura, la reas antes y despus de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales: Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. La primitiva de una funcin peridica es la suma de una funcin lineal y de una funcin peridica Para probarlo, hay que constatar que el rea bajo una curva de una funcin peridica, entre las abcisas x y x + T (T es el perodo) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres reas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidiad y la relacin de Chasles, o sencillamente con unas tijeras! (cortando y superponiendo las reas de color).

En trmino de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la funcin G(x) = F(x) - Ax/T es peridica de perodo T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, peridica, y de Ax/T, lineal. Y por ltimo, una relacin entre la integral de una funcin y la de su recproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un nmero cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relacin: El rea morada es la integral de f, el rea amarilla es la de f 1, y la suma es el rectngulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f 1 aplicando la simetra axial al rededor de la diagonal y = x. El inters de esta frmula es permitir el clculo de la integral de f 1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresin de la recproca. PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCIN Primera propiedad Si F(x) es una primitiva de f(x) y C una constante cualquiera (un nmero), la funcin F(x) + C es otra primitiva de f(x). Demostracin: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es siempre cero. (F(x) + C) = F(x) + C = f(x) + 0 = f(x) Ejercicio: Encontrar tres primitivas de la funcin cos x. Resolucin: Se sabe que sen x es una primitiva de cos x.

Tres primitivas de cos x son, por ejemplo, Segunda propiedad Si una funcin tiene una primitiva, entonces tiene infinitas primitivas. Demostracin: Si F(x) es una primitiva de f(x), para cualquier constante C, F(x) + C es otra primitiva segn la anterior propiedad. As, hay tantas primitivas como valores se le quieran dar a C. Tercera propiedad Dos primitivas de una misma funcin se diferencian en una constante. Esto es, si F(x) y G(x) son primitivas de la funcin f(x), entonces F(x) - G(x) = C = cte. Demostracin: Hay que recordar que si una funcin f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la funcin f(x) es constante. Es decir, si f(x) = 0, entonces f(x) = C. Pues bien, si F(x) es una primitiva de f(x), F(x) = f(x); si G(x) es otra primitiva de f(x), G(x) = f(x). Restando miembro a miembro, F(x) - G(x) = (F(x) - G(x)) = f(x) - f(x) = 0, de donde se deduce que F(x) - G(x) = C.

Teorema fundamental del clculoDe Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a: navegacin, bsqueda El teorema fundamental del clculo consiste (intuitivamente) en la afirmacin de que la derivacin e integracin de una funcin son operaciones inversas. Esto significa que toda funcin continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.

Este teorema es central en la rama de las matemticas denominada anlisis matemtico o clculo. El teorema es fundamental porque hasta entonces el clculo aproximado de reas integrales- en el que se vena trabajando desde Arqumedes, era una rama de las matemticas que se segua por separado al clculo diferencial que se vena desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar reas y volmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "rea bajo una funcin" estaba ntimamente vinculado al clculo diferencial, resultando la integracin, la operacin inversa a la derivacin. Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del clculo, y que permite calcular la integral de una funcin utilizando la integral indefinida de la funcin al ser integrada.

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