ficha de trabajo, libreta de apuntes, videos, libro de texto

SEGUNDO TRIMESTRE

Escuela Secundaria General No.12

Asignatura Matemáticas 3

Grado 3º

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3. T e m a: Funciones. Variaciones.

En primer y segundo grados se estudió la variación lineal e inversamente proporcional por medio de distintas representaciones, incluida la representación algebraica. En este grado se amplía el estudio de la variación, incluyendo la variación cuadrática y de otros tipos, presentando fenómenos y situaciones en contextos cotidianos que resulten familiares o significativos. A continuación, se presentan los principales aspectos de la variación, así como ejemplos de problemas en donde se aplica; incluyendo fenómenos de la Física y de la Economía, como contextos apropiados para este fin.

De las distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un enunciado, una tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la que nos permite ver de un sólo vistazo su comportamiento global, de ahí su importancia. En este tema aprenderás a reconocer e interpretar sus características principales. FUNCIONES. Variaciones.

En Matemáticas; la palabra función se utiliza para expresar que un número depende de otro; es una relación entre dos conjuntos de números, que asigna a cada número de un conjunto, uno y sólo un número de otro conjunto.

Una FUNCIÓN es una relación entre dos conjuntos organizados la mayoría de las veces en una tabla: el conjunto de valores que se le asignan a la variable independiente (x ) llamado DOMINIO DE LA FUNCIÓN, y el conjunto de valores posibles para la variable dependiente (y ) al que se le denomina CONTRADOMINIO de la función.

En una función, el valor de la variable independiente (x ), determina de una manera única el valor de la variable dependiente (y ), es decir, a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del contradominio.

Variable: Es una letra o símbolo que representa un número u otra cantidad matemática. Si representa a un número, se llama también variable numérica. En la ecuación 2x + y = 9, x y y son variables numéricas (representan a un número)

Variable es una expresión que representa lo que varía o lo que está cambiando. El término «variable» se utiliza para designar una cantidad susceptible de tomar distintos valores numéricos dentro de un conjunto de números especificado.

Ejemplos:

- La velocidad a la que transitan las personas a pie, en bicicleta o automóvil es variable. (Porque no van a la misma velocidad)

Periodo de realización: 11 al 22 de enero de 2021

Qué vamos a aprender:

Analiza y compara diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

Materiales: Ficha de trabajo, libreta de apuntes, videos, libro de texto

Te explico

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- El costo por las copias fotostáticas varía de una papelería a otra. (Porque pueden tener distinto costo. En una papelería cobran por copia $1.00 y en otra $1.50 )

- En la ecuación 2x + y = 9, x y y son variables numéricas y su valor puede ser: x = 4 y y = 1 ( Al comprobar sustituyendo el valor de las variables en la ecuación, tenemos: 2(4) + 1 = 9, realizando la multiplicación aplicando la jerarquía de las operaciones: 8 + 1 = 9, finalmente: realizando la suma: 9 = 9. Se verifica de esta manera que el valor de las variables asignadas, resuelven de manera correcta la ecuación. También el valor de las variables x y y puede ser: x=2 y y=5 )

Variable dependiente: En una función de dos variables, una de ellas es dependiente y la otra independiente. Por ejemplo, en y = 5x + 1, y es la variable dependiente. Su valor depende del valor de x. Si el valor de x es 3, el valor de y es y= 5(3) + 1, o sea y = 15 + 1, y = 16.

Variable independiente: En una función de dos variables, una es la variable independiente y la otra es dependiente. Por ejemplo, en y = 4x + 1, x es la variable independiente. El valor del y depende del valor de x. Si el valor de x es 3, el valor de y es y= 4(3) + 1, o sea y = 12 + 1, y = 13.

Ejemplo:

• Al ir a la tienda, lo que se paga (y variable dependiente) depende del valor unitario del producto (constante k) que se adquiere – que se desea comprar - por la cantidad que se compra (x variable independiente).

Erick fue a la frutería del mercado de Pomuch y compró manzanas. ¿Cuánto pagó Erick (variable dependiente y )?, si compró 8 manzanas (variable independiente x ), considerando que el precio de cada manzana es $6.00 (valor unitario, constante k ).

R= Erick pagó y = kx sustituyendo el valor de la constante (valor unitario, contante k. Precio de cada manzana): y = 6x sustituyendo el valor de la variable independiente (cantidad de manzanas que compró Erick x. Erick compró 8 manzanas ); y = 6(8) resolviendo (realizando la multiplicación): y = 48 . Erick pagó $48.00 por 8 manzanas que compró.

Muchas variables, en problemas del mundo real de manera cotidiana están relacionadas entre sí por medio de variaciones. Una variación es una ecuación – función que relaciona una variable con otra u otras variables mediante operaciones (elevar potencias, obtener raíz, multiplicar, dividir, sumar, restar).

Las funciones pueden ser expresadas a través de una fórmula (ecuación), una gráfica o una tabla; y en varios campos de la ciencia y de la técnica se usan para poder expresar la forma en que un valor depende o está en función de otro.

A continuación, analizaremos situaciones de variación en donde al leer la información y organizarla en una tabla, es posible con los datos elaborar una gráfica y observando la gráfica y analizado cómo varían los datos de la tabla se puede deducir-obtener la fórmula - función – ecuación que nos permite al emplearla completar valores en la tabla y calcular cualquier valor-variable- que se solicite. Así como identificar el tipo de variación.

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Apóyate de tu libro de texto: Matemáticas 3. Consultado las lecciones:

• Proporcionalidad y funciones

Lección: 1.4 Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. Página: 45 a 51.


Lección: 1.5 Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Página: 52 a 55.


Lección: 3.5 Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Página: 151 a 158.


Lección: 3.6 Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Página: 159 a 163.

Para reforzar tus conocimientos, revisa los siguientes videos: Nombre del Video: 08. La proporcionalidad en la vida cotidiana

Canal: Acervo - Televisión Educativa Link: https://www.youtube.com/watch?v=gkVG5oP0c5k&feature=youtu.be

Nombre del Video: 32.Diversos tipos de variación

Canal: Acervo - Televisión Educativa Link: https://www.youtube.com/watch?v=MER5prjQVCo

Nombre del Video: secciones curvas

Canal: Matemáticas técnica 50 Link: https://www.youtube.com/watch?v=QsBFYyDQYZo

Nombre del Video: 5. Llenado de recipientes

Canal: Acervo - Televisión Educativa Link: https://www.youtube.com/watch?v=vyIJBR-XPJM

Para aprender más

https://www.youtube.com/watch?v=gkVG5oP0c5k&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=MER5prjQVCo

https://www.youtube.com/watch?v=QsBFYyDQYZo

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Enviar resuelto: Viernes 15 de enero de 2021

Nombre del alumno: ______________________________________________ Tercer grado. Grupo: ______

• Problema 1. El año pasado, antes de la pandemia por el Covid-19, la familia González; originarios de la población de Pomuch, Campeche. Viajaron a la ciudad de México y estuvieron realizando varios recorridos por los museos y parques. Se reunieron con sus familiares que viven en la ciudad y decidieron ir al parque de diversiones Six Flags. Al llegar, en la entrada había un letrero que decía:

Six Flags México te ofrece grandes ofertas para que nos visites. Six Flags México, tiene para ustedes grandes sorpresas y espectaculares promociones con los que podrán disfrutar del parque de diversiones más grande de Latinoamérica.

Conoce todas las ofertas y promociones que tenemos para ti. ¿Eres socio Pase Anual o Membresía? Conoce los beneficios que tienes con tu Pase Anual o Membresía: Por tu cumpleaños; presentando tu pase anual o Membresía y un único pago de $100.00 tu familia se puede subir y disfrutar de todos los juegos del parque de diversiones. La familia González aprovechó la promoción y se divirtieron todo el día. De regreso estuvieron platicando sobre la promoción y al llegar a casa organizaron la información en una tabla, después empleando los datos elaboraron una gráfica y obtuvieron la ecuación tal y cómo lo aprendieron en la asignatura de Matemáticas de la Escuela Secundaria de Pomuch.

Información organizada en una tabla.

Considerando los valores de la tabla se construye la gráfica.

Fórmula - función – ecuación que nos permite completar valores en la tabla y calcular cualquier valor-variable que se solicite. Así como identificar el tipo de variación.

Forma general:

y = k y = c

y = 100

Revisando la información de la tabla, gráfica y fórmula-función-ecuación; decimos para este caso que la cantidad de personas que subieron a los juegos están relacionados entre sí mediante una variación constante. La gráfica que se obtiene en este caso es una recta paralela al eje x. La ecuación de una recta paralela al eje X es de la forma y = k. El propio eje X tiene por ecuación y = 0.

• Completa la tabla, elabora la gráfica y escribe la fórmula-función-ecuación: Considerando si el único pago fuese de $150.00 (Guíate del ejemplo)


Considerando los valores de la tabla se construye la gráfica.


Variable independiente Variable dependiente

Dominio Contradominio

Personas que subieron

a los juegosPrecio - costo

x y=1000 100

1 100

2 100

3 100

4 100

5 100



Personas que subieron

a los juegosPrecio - costo

x y=0

1

2

3

4

5

Manos a la obra

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• Problema 2. Sergio camina 3 km en una hora. A medida que se incrementa-aumenta el tiempo, la distancia recorrida por la persona se incrementa-aumenta a razón de tres kilómetros por cada hora. ¿Qué distancia recorrería Sergio si camina 5, 3, 2 ó 4 horas?


Considerando los valores de la tabla se construye la gráfica. Observa que, aunque en la tabla los datos no están ordenado, pero al elaborar la gráfica se ordenan los valores


Forma general y=kx y=bx

y = 3x

Revisando la información de la tabla, gráfica y fórmula-función-ecuación; decimos para este caso que la distancia y el tiempo están relacionados entre sí mediante una variación proporcional directa. Porque las variables relacionadas o bien crecen-aumentan juntas, o bien decrecen-disminuyen juntas, a razón constante. La ecuación general para una variación directa es: y=kx. k es llamada la constante de proporcionalidad. La gráfica de una variación directa es una línea recta que pasa por el origen y cuya pendiente es k, que es la constante de proporcionalidad.

• Completa la tabla, elabora la gráfica y escribe la fórmula-función-ecuación: Considerando que Sergio camina 5 km en una hora. A medida que se incrementa-aumenta el tiempo, la distancia recorrida por la persona se incrementa-aumenta a razón de cinco kilómetros por cada hora. ¿Qué distancia recorrería Sergio si camina 5, 3, 2 ó 4 horas?



Fórmula - función – ecuación que nos permite completar valores en la tabla y calcular cualquier valor-variable que se solicite. Así

como identificar el tipo de variación.

Para reforzar tus conocimientos, revisa el siguiente video: Nombre del Video: 08. La proporcionalidad en la vida cotidiana

Canal: Acervo - Televisión Educativa Link: https://www.youtube.com/watch?v=gkVG5oP0c5k&feature=youtu.be

Variable

independiente

Variable

Dependiente

x y = 3x

Tiempo (hrs) Distancia (km)

0 y= 3(0) = 0

1 y= 3(1) = 3

5 y= 3(5) = 15

3 y= 3(3) = 9

2 y= 3(2) = 6

4 y= 3(4) = 12

Variable

independiente

Variable

Dependiente

x y = 5x

Tiempo (hrs) Distancia (km)

0

1

5

3

2

4

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• Problema 3. Se desea construir todos los rectángulos posibles que tengan por área 12 cm2 ¿Cuáles pueden ser las dimensiones o medidas (que las medias sean en números enteros, sin decimales) para el largo y ancho del rectángulo? Recuerda que para calcular el área de un rectángulo se multiplica la medida de la base por la altura.

Si tomamos como variables x, y, al largo y al ancho de los diferentes rectángulos de 12 cm2 de

área, tendríamos la función 12 = xy despejando 𝒚 =𝟏𝟐

𝒙 con valores para x = 1, … 12.


Considerando los valores de la tabla se construye la gráfica. Observa que, aunque en la tabla los datos no están ordenado, pero al

elaborar la gráfica se ordenan los valores


Forma general

𝒚 =𝒌

𝒙

𝒚 =𝒎

𝒙

𝒚 =𝟏𝟐

𝒙

Revisando la información de la tabla, gráfica y fórmula-función-ecuación; decimos para este caso: cuando dos cantidades se relacionan entre sí inversamente, resulta que a medida que una cantidad se incrementa-aumenta, la otra disminuye y viceversa, están relacionados entre sí mediante una variación proporcional inversa.

Toda función de variación proporcional inversa, es de la forma: 𝒚 =𝒌

𝒙 ó 𝒚 =

𝒎

𝒙 donde (k ó m es un número real; x

distinto a 0 y k distinto a 0), en donde despejando m se obtiene el valor de la constante: 𝒎 = 𝒙𝒚 Al elaborar la gráfica se obtiene una curva llamada hipérbola. Los puntos de la gráfica no tienen contacto con los ejes cartesianos.

• Completa la tabla, elabora la gráfica y escribe la fórmula-función-ecuación: Considerando que se desea construir todos los rectángulos posibles que tengan por área 10 cm2 ¿Cuáles pueden ser las dimensiones o medidas (que las medias sean en números enteros, sin decimales) para el largo y ancho del rectángulo?


Considerando los valores de la tabla se construye la gráfica. Observa que, aunque en la

tabla los datos no están ordenado, pero al elaborar la gráfica se ordenan los valores


Variable

independiente

Variable

dependiente


Largo Ancho

x xy = 12

1 ( 1 ) (12 ) = 12

2 ( 2 ) (6 ) = 12

3 ( 3 ) (4 ) = 12

4 ( 4 ) (3 ) = 12

6 ( 6 ) ( 2 ) = 12

12 ( 12 ) ( 1 ) = 12

Área

Variable

independiente

Variable

dependiente


Largo Ancho

x xy =

Área

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• Problema 4. De un resorte de 13 centímetros de longitud, se han suspendido varios pesos y se han medido las respectivas longitudes del resorte, registrándose en la siguiente tabla:




Forma general y = ax + b y = bx + c

y = 2x + 13

Revisando la información de la tabla, gráfica y fórmula-función-ecuación; decimos para este caso: están relacionados entre sí mediante una variación lineal. Las FUNCIONES LINEALES, se representan en forma general como y = ax + b ó y = mx + b Su gráfica es una recta: a es la pendiente y b es la ordenada al origen. La recta no pasa por el origen. Si b = 0, es de proporcionalidad directa. Si a = 0, una función constante. Su gráfica es una recta, por lo que basta localizar dos puntos de la función para determinarla.

• Completa la tabla, elabora la gráfica y escribe la fórmula-función-ecuación: Considerando que, de un resorte de 8 centímetros de longitud, se han suspendido varios pesos y se han medido las respectivas longitudes del resorte, registrándose en la siguiente tabla:


Considerando los valores de la tabla se construye la

gráfica. Observa que, aunque en la tabla los datos no están ordenado, pero al elaborar la gráfica se ordenan los valores

Fórmula - función –

ecuación que nos permite completar valores en la tabla y calcular cualquier valor-variable que se solicite. Así como identificar el tipo de variación.

Para reforzar tus conocimientos, revisa el siguiente video: Nombre del Video: 32.Diversos tipos de variación

Canal: Acervo - Televisión Educativa Link: https://www.youtube.com/watch?v=MER5prjQVCo

Variable

independienteVariable Dependiente

x y = 2x + 13

Peso (kg) Longitud del resorte (cm)

0 13

1 15

2 17

3 y = 2(3) + 13 = 6 + 13 = 19

3.5 y = 2(3.5) + 13 = 7 + 13 = 20

4 y = 2(4) + 13 = 8 + 13 = 21

Variable

independienteVariable Dependiente

x y = 2x + 10

Peso (kg) Longitud del resorte (cm)

0 10

1 12

2 14

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• Problema 5. ¿Cuáles serán las diferentes distancias a las que se encuentra una pelota que se suelta hacia abajo?




Forma general

y=ax2+bx+c

y=ax2

y=5 t2

Revisando la información de la tabla, gráfica y fórmula-función-ecuación; decimos para este caso: están relacionados entre sí mediante una variación cuadrática. Una función que se representa algebraicamente con una expresión de segundo grado en una de las variables, recibe el nombre de FUNCIÓN CUADRÁTICA. Se expresa y = ax² + bx + c. Su gráfica es una curva llamada PARÁBOLA. Cada parábola tiene un eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas, y un vértice que es el punto del eje de simetría que pertenece a la curva.

• Completa la tabla y elabora la gráfica de la función que representa el siguiente problema de caída libre de una pelota que se suelta hacia abajo.



Fórmula - función – ecuación que nos permite completar valores en la tabla y calcular cualquier valor-variable que se solicite. Así

como identificar el tipo de variación.

Forma general

y=ax2+bx+c

y=ax2

y=5t2 Para reforzar tus conocimientos, revisa el siguiente video: Nombre del Video: secciones curvas

Canal: Matemáticas técnica 50 Link: https://www.youtube.com/watch?v=QsBFYyDQYZo



Tiempo (segundos) distancia (metros)

x y=5t2

0 y=5(0)2

=5(0)= 0

0.5 y=5(.5)2

=5(.25)= 1.25

1 y=5(1)2

=5(1)= 5

2 y=5(2)2

=5(4)= 20



Tiempo (segundos) distancia (metros)

x y=5t2

0 y=5(0)2

=5(0)= 0

0.5 y=5(.5)2

=5(.25)= 1.25

1 y=5(1)2

=5(1)= 5

2 y=5(2)2

=5(4)= 20

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• Problema 6. Juan tiene hoy una excursión en la escuela. Como vive lejos suele ir en bicicleta. Nada más llegar a la escuela salen todos los alumnos andando hacia la estación de trenes y allí esperan un rato a que llegue el tren. Suben al tren y por fin llegan a su destino.

La situación anterior se muestra en dos gráficas: La primera gráfica representa las velocidades a la que se desplaza Juan con respecto al tiempo transcurrido:

Al principio va en bicicleta, pero siempre a la misma velocidad (por eso la gráfica es horizontal). En cuanto llega a la escuela empieza a andar (sigue siendo horizontal, pero está más baja, lo que significa que andando va más despacio que en bicicleta). Llega a la estación y se queda parado un rato (la velocidad es cero). Sube al tren (la velocidad es constante pero la gráfica más alta indica que van mucho más deprisa). La gráfica es discontinua y los saltos se producen al cambiar el método de locomoción.

La segunda gráfica representa las distancias a su casa que va recorriendo Juan con respecto al tiempo transcurrido.

Al principio la distancia va aumentando de manera constante (viaje en bicicleta), luego sigue aumentando, pero la gráfica está menos inclinada (eso significa que la velocidad es menor: va andando). Durante un rato, la distancia no aumenta (la gráfica es horizontal, está parado). Por último, vuelve a aumentar muy deprisa (la mayor inclinación indica mayor velocidad: viaje en tren). En este caso no hay saltos en la gráfica (por lo tanto, es continua), pero sí hay cambios bruscos de velocidad que quedan reflejados en los cambios de inclinación de la gráfica.

Si próximamente tenemos la oportunidad de regresar a clases de manera presencial, guardando desde luego todos los protocolos de cuidado: usar cubrebocas, guardar la sana distancia, lavarse las manos continuamente, …; describe cómo sería tu recorrido de tu casa a la escuela el primer día de regreso a clases y elabora la gráfica que represente las distancias de tu casa a la escuela. (guíate del ejemplo de arriba) Descripción: Recorrido de casa a la escuela.

Gráfica que representa las distancias de casa a la escuela con respecto al tiempo transcurrido.

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Enviar resuelto: Viernes 22 de enero 2021

Nombre del alumno: ______________________________________________ Tercer grado. Grupo: ______

Fortalezcamos nuestros conocimientos: Distintos tipos de variación Los problemas de llenado de recipientes o los de movimiento permiten contrastar -diferenciar- formas de variación de manera cualitativa – específica. En los siguientes problemas se recurre solamente a la representación gráfica de los distintos casos. Problema 1

• Cada recipiente se llenó vertiendo agua con una taza pequeña. Para cada caso se graficó la cantidad de tazas vertidas con la altura que alcanzo el líquido. ¿Qué gráfica corresponde a cada recipiente? Relaciona trazando líneas que unan la letra del recipiente con el número de gráfica que le corresponda.

RECIPIENTE GRÁFICA

A 1

B 2

C 3

D 4

E 5

Problema 2

• Las gráficas representan el llenado de los distintos recipientes, ¿qué gráfica consideras corresponde a cada uno? Completa las relaciones escribiendo a lado de cada letra el número de la gráfica que le corresponde:

Para reforzar tus conocimientos, revisa el siguiente video: Nombre del Video: 5. Llenado de recipientes

Canal: Acervo - Televisión Educativa Link: https://www.youtube.com/watch?v=vyIJBR-XPJM

Repaso y practico

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Problema 3

• Representaciones tabular - tablas, gráfica y algebraica de funciones cuadráticas

Algunos alumnos están organizando planes de ahorro. Los planes que tienen son:

- Tania dio una cuota inicial de $1200 y ha estado ahorran $150 cada mes.

- Isabel ahorra lo que le sobra de su mesada.

- Gilberto dio una cuota inicial de $600 y ha estado ahorrando $300 cada mes.

- Alma dio una cuota inicial de $150 y el primer mes, $200; el segundo, $400; el tercero, $600; y así sucesivamente. Cada mes ahorra $200 más que el anterior.

Relaciona trazando líneas que una cada plan de ahorro con el número de la gráfica que muestre la variación de la cantidad de ahorro acumulado y el número de meses que se ahorra. Responda los siguientes cuestionamientos:

¿Quién va a ahorrar más rápidamente $1600? ___________________________________________ ¿Cuánto tiempo le va a tomar? ________________________________________________________

PLANES DE AHORRO GRÁFICA

TANIA 1

ISABEL 2

GILBERTO 3

ALMA 4

Considerando la información de las gráficas, completa las tablas

TANIA PLAN DE AHORRO

ISABEL PLAN DE AHORRO

GILBERTO PLAN DE AHORRO

ALMA PLAN DE AHORRO

Meses Cantidad

ahorrada

x y

0

1

2

3

4

5

6

Meses Cantidad ahorrada

x y

0

1

2

3

4

5

6


x y

0

1

2

3

4

5

6


x y

0

1

2

3

4

5

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Problema 4

Analizarás el crecimiento de las bacterias. Estos organismos procariontes se reproducen principalmente por fisión binaria, es decir, rotura o división en dos fragmentos, de tamaño aproximadamente igual; a la mayoría de las bacterias, este tipo de división les toma aproximadamente una hora.

Si se colocan 1,000 bacterias en un frasco grande, con una cantidad abundante de nutrientes (de tal forma que éstos no se terminen rápidamente) el número de bacterias se duplicará después de una hora: de 1,000 a 2,000.

En la siguiente hora, cada una de las 2,000 bacterias se dividirá y se producirán 4,000 bacterias. Después de la tercera hora, habrá 8,000 bacterias en el frasco.

Analiza la siguiente gráfica:

Como podrás darte cuenta, la gráfica que se forma es una parábola, lo que quiere decir que el crecimiento de las bacterias es exponencial, es decir, que el número de organismos agregados en cada generación reproductiva, se incrementa a sí misma.

El tamaño de la población se incrementa a tasas cada vez mayores.

¿Podrías determinar – calcular - cuántas bacterias se producirán en la hora 8? ______________________ ¿y cuántas bacterias se producirán en la hora 9? _______________________________________________

A manera de autoevaluación que te permita reflexionar sobre lo aprendido y lo que falta por aprender; rellena los círculos de los aspectos en los que se cumplió.

o Analicé y comparé diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica, que resultan de modelar situaciones y fenómenos de la física y de otros contextos.

o Reconocí las características de diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica.

o Resolví problemas de diversos tipos de variación a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica.

o Reforcé mis conocimientos consultando la información del libro de texto. o Realicé los ejercicios de la ficha de manera autónoma. o Resolví los ejercicios de la ficha con ayuda. o Tuve oportunidad de profundizar sobre el tema con el apoyo de los videos.

Lo que aprendí

ficha de trabajo, libreta de apuntes, videos, libro de texto

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