fibras ópticas

Capítulo 2

Fibras Ópticas.

El tema anterior se ha basado en el análisis de guía-ondas planas, es decir, con cambio de índice derefracción en una sola dirección. Ahora vamos a tratar con un medio de transmisión con cambio deíndice de refracción en dos direcciones del espaciox ey. Además la geometría del sistema es cilíndrica,todo esto hace que el álgebra sea muy compleja, pero como en casos anteriores podemos intentar explicarlo que ocurre.

2.1 Modos

Las fibras cilíndricas comparten con las planas la existencia de modosTE (Ez = 0) y TM (Hz = 0), sinembargo al estar limitada en dos direcciónes vamos a necesitar dos números para identificar los modos,ahora seránTElm y THlm, ambos corresponden a rayos meridionales. Otra diferencia respecto a laguía-onda plana es la existencia de rayos no meridionales que permiten la existencia de modos dondetantoEz comoHz son distintos de cero y se llaman modosHElm oEHlm dependiendo de cualE oHparticipa más en el campo transversal.

Conclusión los modos en una fibra son un lio, ahora bien, tenemos la suerte de que las fibras que seusan para comunicaciones satisfacen la condición de guiado débil o dicho de otra forma� � 1. Estoimplica que los ángulos de aceptación�a serán pequeños y por lo tanto los rayos en el interior de lafibra tendrán un ángulo pequeño respecto al eje de la fibra. Todo esto hace que haya modos que tenganconstantes de propagación tan próximas que podamos considerarlos casi iguales, en lenguaje técnicose habla de modos degenerados. La superposición de modos degenerados se corresponde con modoslinealmente polarizadosLP sin tener en cuenta cuales son las configuraciones de los campos de modoque sólo trabajaremos con estos modos.

A nivel simplemente descriptivo en la tabla 2.1 podemos ver las correspondencias entre los modosLP y los que tienen en cuenta los campos.

Tras este cambio brusco en la forma de calcular los modos, lógicamente también se complica la formade calcular cuantos pueden ser guiados en el interior de la fibra, no vamos a deducirlo, sin embargo vamosa dar como dato la frecuencia normalizada de la fibra, este es un dato que se calcula a partir de datosfísicos de la fibra y nos va a dar información acerca de el número de modos que pueden ser guiados

V =2�

�a (NA) (2.1)

V =2�

�an1p2� (2.2)

16

2.1. MODOS 17

Linealmente polarizados Exactos

LP01 HE11

LP11 HE21, TE01, TM01

LP21 HE31, EH11

LP02 HE12

LP31 HE41, EH21

LP12 HE22, TE02, TM02

LPlm HE2m, TE0m, TM0m

LPlm (l 6=0 o 1) HEl+1;m, EHl�1;mLinealmente polarizados

Tabla 2.1: Correspondencia entre los modos linealmente polarizados y los modos exactos que los forman.

La frecuencia normalizada es un parámetro adimensional y suele llamarse elnúmero Vo valor de lafibra. La relación entre V y el número de modos dependerá del tipo de fibra así que lo utilizaremos másadelante.

Los modos que no pueden ser guiados serán radiados al exterior perdiendose la energía.

2.1.1 Acoplamiento entre modos

Cuando la luz ha sido introducida en la fibra la energía transmitida pertenecerá a alguno de los modosguiados, pero £A qué modos? En un principio no lo sabemos, pero la configuración inicial de modoscambia. £Por qué? Por el acoplamiento entre modos.

Todos los aspectos referidos a la propagación que hemos tratado hasta el momento tenían en cuentaguía-ondas perfectas, pero no lo son. Las no-idealidades de la fibra como:

� desviaciones del eje respecto a una línea recta

� variaciones en el diámetro del núcleo

� irregularidades en la intercara entre núcleo y envoltura

� variaciones en el índice de refracción, tanto del núcleo como de la envoltura.

pueden cambiar las características de propagación de la fibra. Estas variaciones tendrán el efecto deacoplar la energía transmitida de un modo a otro dependiendo de la perturbación específica.

La óptica geométrica nos puede ayudar a entender el proceso que podemos observar en la figura2.1 que ilustra dos no-idealidades. Puede observarse que en ambos casos el rayo no mantiene el mismoángulo respecto al eje de la fibra. El cambio de ángulo es equivalente al cambio de modo de transmisión.Así pues un modo determinado no se propaga a lo largo de la fibra sin grandes transferencias de energíahacia otros modos, al igual que también recibe estas transferencias, incluso cuando la fibra es de grancalidad. Esta conversión entre modos se llama acoplamiento entre modos o mezcla modal.

Este acoplamiento entre modos va a causar que pueda transferirse energía desde un modo guiado aun modo radiativo, con lo que la energía se pierde dando lugar a atenuaciones de la señal transmitida.

2.2. TIPOS DE FIBRAS 18

Figura 2.1: Dos posibles no-idealidades de la fibra que dan lugar a acoplamiento entre modos: (a)Irregularidad en la intercara entre núcleo y envoltura; (b) Doblado de la fibra.

2.2 Tipos de fibras

Vamos a empezar a ver los distintos tipos de fibras con los que nos podemos encontrar, hay variassubdivisiones y en un principio vamos a tratar los distintos perfiles de índices de refracción y el númerode modos que se transmiten en una determinada fibra.

2.2.1 Fibras de índice abrupto

Las fibras ópticas que se han visto en los apartados anteriores suponían dos índices de refracciónn1para el núcleo yn2 para la envoltura de forma quen1 > n2, esta fibra se denomina de índice abruptoporque el cambio de índices del núcleo a la envoltura es abrupto. Este tipo de perfil se puede definir dela siguiente forma

n (r) =

(n1 r < a (n�ucleo)

n2 r � a (envoltura)(2.3)

Otra forma de dividir las fibras sería teniendo en cuenta cuantos modos transmiten, uno (fibrasmonomodo) o más de uno (fibras multimodo), un ejemplo de ambas para índice abrupto puede verse enla figura 2.2. La figura 2.2 (a) muestra una fibra multimodo, suelen tener núcleos de 50�m de diámetroo mayores, que es suficiente para que se transmitan varios modos , se pueden ver los multiples rayosdibujados que representan los distintos modos. En la figura 2.2 (b) se representa una fibra monomodo,suelen tener núcleos de entre 2 y 10�m y sólo se ha representado el único modo permitipo elLP01.

Las fibras monomodo tienen como ventaja principal la baja dispersión intermodal (ensanchamientode los pulsos de luz), ya que sólo se transmite un pulso, mientras que las fibras multimodo abruptas tienenuna considerable dispersión intermodal (al permitir la transmisión de muchos modos). Esto implica quelas fibras monomodo permiten anchos de banda muy superiores a las multimodo.

La ventaja de las fibras multimodo aparecen cuando los anchos de banda grandes no son necesariosporque

� permiten el uso de LED’s mientras que en las monomodo sólo pueden usarse láseres

� permiten mayores aperturas numéricas, así como núcleos mayores lo que facilita el acoplamientode emisores ópticos

� tienen menores problemas a la hora de conexionar fibras


Figura 2.2: Perfil de índice de refracción y modos transmitidos en fibras de índice abrupto: (a) fibraabrupta multimodo; (b) fibra abrupta monomodo.

El número de modos permitidos en una fibra abrupta es dependiente de algunos parámetros físicos (losíndices de refracción y el diámetro del núcleo) así como de la longitud de la onda transmitida, estosparámetros está reunidos en el númeroV que ya vimos en las ecuaciones 2.1 y 2.2. Puede demostrarseque el número de modos permitidos en una fibra se aproxima con la siguiente expresión

Ms � V 2

2(2.4)

2.2.2 Fibras de índice gradual

Las fibras de índice gradual no tienen una índice de refracción constante en el núcleo, sino un índice queva decreciendo desde el eje de la fibra hasta que alcanza el valor de la envoltura a una distanciaa (radiodel núcleo) desde el eje. esta variación puede representarse como

n (r) =

(n1 (1� 2� (r=a)�)

1

2 r < a (n�ucleo)

n1 (1� 2�)1

2 = n2 r � a (envoltura)(2.5)

donde� es la diferencia relativa de índices de refracción (ecuación 1.9) y� es el parámetro que conformael perfil característico de índice del núcleo. La ecuación 2.5 es una forma muy adecuada de representarel perfil de índice de refracción ya que para� =1 tenemos el índice abrupto, para� = 1 el triangulary para� = 2 el parabólico. Los tres se pueden ver en la figura 2.3.

En la actualidad los perfiles de índice gradual que producen mejores resultados para propagaciónmultimodo son los que tienen un perfil cuasi parabólico con� � 2. Este tipo de fibras son tan usadasque el término índice gradual normalmente se usa para determinar a las de índice parabólico. Por dichomotivo nos vamos a basar en las fibras de índice parabólico para ver sus propiedades.

Una fibra parabólica multimodo se representa en la figura 2.4. Podemos observar como los rayos


Figura 2.3: Distintos perfiles de índice de refracción para diferentes valores de�. (ecuación 2.5)

Figura 2.4: Perfil de índice de refracción y transmisión de rayos en una fibra de perfil parabólico.


Figura 2.5: Diagrama de rayos expandido que nos muestra en lugar de una variación contínua del índicede refracción una variación escalonada que es la que produce la curvatura de los rayos.

meridionales siguen caminos curvos en las cercanías del eje de la fibra, en lugar de los caminos rectoscon reflexiones que vimos en las fibras de índice abrupto. Para intentar entender la forma en que seproducen este tipo de trayectorias volveremos a los conceptos de la óptica geométrica y nos apoyaremosen la figura 2.5. En ella podemos ver un rayo que se curva gradualmente al atravesar capas de cada vezmenor índice de refracción, hasta que se produce la condición de reflexión total y el rayo vuelve hacia eleje de la fibra. Durante su trayectoria el haz es continúamente refractado.

Las fibras graduales multimodo tienen mucha menor dispersión intermodal que las abruptas multi-modo debido a su configuración (esto lo entenderemos en el siguiente tema). Gracias a esta característicael ancho de banda para las fibrass graduales multimodo es muy superior a las abruptas multimodo sinperder las ventajas que presentaban estas últimas (apartado 2.2.1)

El número de modos que puede transmitirse en una fibra gradual se calculará de forma distina a lasabruptas, no vamos a justificar de donde aparece la fórmula pero es la siguiente

Mg ��

�

�+ 2

�(n1ka)

2� (2.6)

si utilizamos la fórmula 2.2 y sustituimos en la anterior tenemos

Mg ��

�

�+ 2

� V 2

2

!=�

�

�+ 2

�Ms (2.7)

Así pues para un índice parabólico el número de modos guiados es la mitad que para un índice abrupto

2.2.3 Fibras monomodo

La ventaja de la propagación de un sólo modo, aunque quedará más clara en capítulos posteriores, esque se eliminan las dispersiones temporales por diferencias de retardo entre distintos modos. Las fibrasmultimodo no pueden conseguir la propagación de un modo único, ya que como vimos en el apartado2.1.1 debido a irregularidades de la fibra, se generarán todos los modos posibles aunque sólo se inyecteuno. Así pues para transmitir un único modo la fibra ha de estar diseñada para permitir la propagaciónsólo de ese modo mientras que todos los otros serán dispersados o atenuados.

Basándonos en los apartados anteriores, donde vimos fibras multimodo tanto abruptas como grad-uales, para obtener una fibra monomodo hay que conseguir un númeroV adecuado. Para fibras monomo-do tan sólo el modo fundamental (LP01) puede existir. Assí pues el límite para operación monomodo es


el punto en que empieza a permitirse la transmisión de un segundo modo (LP11). La frecuencia de cortenormalizada para fibras abruptas ocurre paraVc=2.4051. De forma que para la propagación de un únicomodo (LP01) ha de cumplirse

0 � V < 2:405 (2.8)

podemos preciar que no hay límite inferior, esto es debido a que en una guía-onda cilíndrica el modofundamental se puede transmitir siempre. La reducción del númeroV se puede hacer reduciendo el radiodel núcleo de la fibra o bien reduciendo laNA o la�. La� para fibras monomodo está alrededor del1% y los radios por debajo de los 10�m.

Ejemplo

Calcular el máximo diámetro de una fibra con�=1.5% yn1=1.48 que opera con una longi-tud de onda de 0.85�m. También recalcular el diámetro máximo para una reducción de�un factor 10.

Solución: A partir de la ecuación 2.2 podemos calcular el radio de la fibraa

a =V �

2�n1p2�

=2:4� 0:85 � 10�6

2� � 1:48 �p0:03 = 1:3�m

o sea un diámetro de 2.6�m

La reducción de� 10 veces nos lleva a

a =2:4 � 0:85 � 10�6

2� � 1:48 �p0:003 = 4:0�m

con lo que tenemos un diámetro de 8�m

Parece claro con el ejemplo anterior que el diámetro de las fibras monomodo ha de ser realmente pequeño,mucho menor que las multimodo citadas en apartados anteriores. Es posible construir fibras monomo-do con núcleos un poco mayores, aunque aún con tamaños mucho menores que las fibras monomodo,reduciendo�. Tanto la reducción dea como la de� generan problemas al intentar acoplar la luz delos emisores en la fibra. La reduccióna complica la inyección de luz en la fibra y la de� complica losprocesos de fabricación.

Otra forma de incrementara es la utilización de fibras monomodo graduales, esto modifica el númeroV de la siguiente forma

Vc = 2:405q1 + 2=� (2.9)

para la fibras parabólicas se produce un incremento deVc y por tanto dea (para la misma� y �) dep2,

mientras que para fibras triangulares se puede llegar a un incremento dep3. Este tipo de fibras llamadas

de dispersión modificada también se pueden encontrar comercialmente.Un problema con el que nos encontramos con las fibras monomodo con bajos� y bajosV es que

el modoLP01 penetra apreciablemente en la envoltura, es decir, que la onda evanescente es grande.Como ejemplo podemos decir que para unV de 1.4 la mitad del modo viaja en la envoltura en forma deonda evanescente, así pues, la zona de caida exponencial se extiende una distancia significativa fuera del

1Este número lo consideraremos un axioma, no sale de las ecuaciones 2.4 o 2.7, ya que ambas son aproximaciones válidaspara cantidades de modos elevadas.


núcleo de la fibra. Esto nos da a entender que será esencial que la envoltura tenga un diámetro adecuado(mayor cuanto menor sea el núcleo) y que tenga buenas caractersiticas en cuanto a absorción y dispersión.Al final veremos que el tamaño total de la fibra (núcleo+envoltura) va a ser similar independientementedel número de modos transmitidos, ya que la reducción en el tamaño del núcleo viene acompañado deun incremento en el tamaño de la envoltura y que tanto el núcleo como la envoltura son fundamentalespar la correcta transmisión por fibra.

Las fibras monomodo son muy importantes en el mundo de las comunicaciones ópticas debido a que

� Tienen el mayor ancho de banda y las pérdidas más pequeñas

� Su calidad de transmisión es mejor debido a la ausencia de ruido modal

� Son compatibles con la óptica integrada

� Tienen un elevado tiempo de vida

2.2.4 Longitud de onda de corte

Se puede apreciar en la ecuación 2.2 que la operación monomodo no lo es para todas los longitudes deonda sino para sólo sobre una longitud de onda de corte�c que se puede calcular como

�c =2�an1Vc

p2� (2.10)

dondeVc es la frecuencia de corte normalizada. Así pues para toda� > �c la fibra será monomodo, otrarelación que nos va a ser de utilidad se obtiene dividiendo las ecuaciones 2.2 y 2.10 con lo que obtenemos

�c�

=V

Vc(2.11)

Los sistemas prácticos de transmisión se operan de forma que se esté trabajando cerca de�c paramejorar el confinamiento del modo guiado pero lo suficientemente lejos como para que nose transmitanada del modoLP11.

2.2.5 Índice de refracción efectivo y retardo de grupo

La rapidez con que el modo fundamental cambia de fase mientras se propaga a través de una fibra vienedeterminado por� parámetro que ya vimos en el apartado 1.3.1 . Está directamente relacionada con lalongitud de onda�01 del modoLP01 mediante el factor2�

��01 = 2� ; �01 =2�

�(2.12)

Más alla, sería conveniente definir un índice de refracción efectivo para fibras monomodoneff como elcociente entre la constante de propagación de dicho modo y la constante de propagación en el vacio

neff =�

k(2.13)


Figura 2.6: Constante de propagación normalizada (b) del modo fundamental como función del númeroV .

de esta forma también podemos calcular la longitud de onda de transmisión para este modo respecto a sulongitud de onda en el vacio como

�01 =�

neff(2.14)

Por qué hacemos esto. La razón es que el modo findamental se transmite en un medio con un índicede refracciónn(r) que depende de la distancia al eje de la fibra (fibras abruptas y graduales) y por tantoel índice de refracción efectivo será un promedio de los índices de refracción de la fibra en los que hayapotencia transmitida.

Para fibras abruptas monomodo (por ejemplo) gran parte de la potencia es transmitida por la envolturay por tantoneff puede que tenga un valor más cercano an2 que an1. Definiremos un parámetrob alque llamaremos constante de propagación normalizada que será igual a

b ' neff � n2n1 � n2

(2.15)

Este parámetro adimensional varía entre 0 y 1 y es particularmente útil en la teoría de fibras monomodo.Suele venir representado gráficamente (ejemplo en figura 2.6) y sólo depende deV y de ningún otroparámetro para un perfil de fibra fijo.

La aparición de este índice de refracción efectivo modifica ligeramente la fórmula 1.24 que utiliz-abamos para el cálculo de la velocidad de grupo, ya que ya no tenemos un índice de refracción, estafórmula quedaría como

vg =c

Nge(2.16)

apareciendoNge (antes eraNg) que ahora valdría

Nge=neff � �dneffd�

(2.17)

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