GódelLa tógica de los escépticos

Cuando en e[ año dos mjL ta revista f íme et ig ió a los c ie- ,nersnnaips más r iestacados det s io{o. Kurt Godet era e[ ' i r i , - -|u. |LJ|** lY"--

rna[ernátrco de la [ is ta. Contat su v ida es contar el s:ui , . 'veinte, con sus monrentos estelares y sus desventu[as. i i i ] r :et Ia crrzan dic l -aCi:ras sanguir tar ias y obsesior l€s pdrdr i - r _apero tambiéir noches de intercambio inf-etectLial cü; . i 1, . - .mejoi 'es pensadot 'es de su t ienrpo y t res descubr imis; ' ,1 "

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L¿ matemática en sus Personajes

Colección dirigicla por Antonio PétezSanz

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P ró1 ogo

De los heroes a 1a 1ógi ca

l ln i r rcso de eqncios

Un n' iño inquis i t ivo (1906-1924)

Años de aprendizaje (1924-1929)

97

La suf ic ienci a de 1a 1ógica

( 1929- 1930)

Los teoremas de incomplet i tud

(1930- 1931)

127 Tiempos de cr i s i s (1932-1939)

145

163

1e1

203

209

2t7

221

E1 problema de1 cont ' inuo (1-939-1940)

En Pr inceton: f Ís ' i ca Y f i losofía

(1941- 1956)

El ocaso de una mente (L967-1'978). ' j - ' " - ¡ . : r l - -

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Epí logo

Cronologi a

Bi bf i ograf í a

Nota bibl iográf ica

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Ami podre,que me enseñó a contar

P ró1 ogo

Es pronto todavíá,para.intuir qué quedará del siglo veinte, pero no

parece aventurado suponer que las generaciones venideras tardarán

en explicarse, si es que lo consiguen, por qué el siglo de la ciencia

alumbró también dos guerras mundiales y otros muchos conflictos

sanguinarios. Contar la üda de Gódel es contar el siglo veinte, con

sus momentos estelares y sus desventuras, que son también las

de este hombre extraordinario. Nació en el imperio austro-húngaro

poco después de que Einstein revolucionara la física moderna y

murió setenta y dos años más tarde en un exilio que siempre le

fue grato. Para seguir su peripecia ütal hay que entender primero

el desarrollo de la lógica, y hasta qué punto el nazismo frenó un

futuro mejor. Por eso, éste es sólo un acercarniento parcial a su figura.

No me ha moüdo tanto el afán por dar a conocer detalles ínti-

mos del personaje como el poner su obra en relación con el desa-

rrollo intelectual que la hizo posible. Quien quiera abrir el libro con

lo que Salinger l lamó con gracia "todo ese rollo Daüd Copperfield"

-es decir, dónde nació Gódel y qué hacían sus padres antes de

tenerlo- tal vez se ciespiste al encontrar casi treinta páginas en las

que sus apariciones son sólo fugaces. Me he tomado mi tiempo pa-

ra contar por qué nace la lógicamoderna y cómo se desarrolló -en

un fascinante juego de espejos en los que se reflejan Frege y Hil-

bert, Russell y Cantor- un optimismo desmedido que Gódel situó de

nuevo en su lugar. De haberme sometido siempre a la rigidez del

hilo cronológico, el aluvión de fechas haría menos nítido el retra-

to: he preferido, en varias ocasiones, organizar la üda de Gódel en

bloques temáticos que iluminan mejor una faceta del personaje.

Para cubrir estas lagunas temporales, el lector interesado tiene a su

disposición una Iínea cronológica al final del libro.

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Al presentar los contenidos matemáticos he intentado seguir

una vía intermedia entre los textos de dilulgación que, aunque tra-

tan con loable claridad los teoremas de incompletitud, rara vez son

fieles a los artículos de Gódel, y las exposiciones de cualquier texto

de lógica avanzada, que estarían fuera de lugar. Así, he procurado

respetar en ia medida de lo posible la obra de nuestro protagonista,

pero haciéndola más accesible o, cuando los tecnicismos resultan

irremediables, yendo al corazón de las ideas. Los dos textos de

consulta básica que he manejado son Logical Dilemmos. The life

and uork of Kurt Gódel [Wellesley: A K Peters, 1996), la monumen-

tal biografía de John Dawson, y las Obras completas de Gódel en

español (Madrid:Al ianza Edi tor ia l , [1981],2006), a cargo de Jesús

Mosterín, que se adelantó varios años a Ia edición canónica ingle-

sa. De allí proceden la mayoría de los textos citados a lo largo del

volumen.

Gódel no fue un escéptico en el sentido usual de la palabra:

creia que el mundo estaba racionalrrrente organizado y que las

verdades matemáticas existen más allá de nuestras descripciones.

Pero sometía todas sus ideas al examen implacable de la duda, y

eso ie permitió obtener resultados espectaculares. En la sentencia

indecidible con la que prueba su primer teorema de incompletitud,

muchos han üsto el cogito del siglo veinte, y otros comparan su

obra con la de Kafka, que "nada conocía mejor que la indecisión".

Su vida nos enseña como pocas la importancia que tiene para el

método científico no dejarse guiar por la inercia de nuestro tiempo.

Es una lección muy necesaria, pero difícil de aprender: sin ir más

lejos, temo haberme dejado seducir en estas páginas por el friso de

una época y algunos personajes secundarios.

Escribir un primer libro supone contraer más deudas de las que

uno está en condiciones de pagar. No podría olüdarme de las clases

de lógica de Mariano Martínez, que leyó con atención el manuscrito

de esta obra. Tampoco del r,rrelo de la inteligencia de José Antonio

Pascual y de Rosa Navarro Durán, mis policías del verbo, decons-

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tructores a media jcrnada. Pablo Martín me ha demostrado que elsueño del hombre del Renacimiento es aún posible: sin sus eruditasobservaciones el libro perdería muchos de sus hipotéticos aciertos.A veces una referencia bibliográfica es más valiosa que mil pala_bras de ánimo; por eso, quiero agradecer Ia ayuda de Alfonso GarcíaSuárez, que conoce la vida secreta de los genios, y de Jesús Arana,mi bibliotecario. Iñaki fubeloa, tan generoso con su tiempo, se de_[uvo en estas págirras camino de Bombay; por compañeros de viajecomo él t ienen sentido los desvelos.

Javier Fresán

Madrid, enero de 2007

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13

De 1os héroes a 1a 1ógica

La historia de la humanidad es la historia de una búsqueda: la

de esas verdades que logran tl.aspasar Ios siglos. No es otra la razón

de que, desde tiempos inmemoriales, el hombre haya intentado

anticiparse a su destino escrutando las estrellas o la dirección del

humo; tampoco Ce que inventara las religiones para dar respuesta a

preguntas alejadas de la certidumbre, como si hay un más allá o cuál Fes el sentido último de la existencia. Nos asusta lo desconocido, todo +aquello que somos incapaces de someter a nuestro cálculo, pero 3

estamos hechos de la misma materia que los sueños, las dudas y el efuturo. Ya los primeros filósofos presocráticos trataron de distinguir ¡entre esencia y apariencia en un mundo en el que todo fluye como Ias 3

aguas del río heraclitano. De otro ío, ei Leteo, bebían los rnuertos or

antes de partir al Hades para olüdar el camino de la üda, para que illes quedara oculto por las nieblas de la desmemona; por eso, los =,griegos llamaron olethéio a la verdad desvelada. No era el mundo de T.los mitos, sin embargo, terreno propicio para dicha búsqueda; pronto !se hizo necesario trascender los relatos sobrenaturales y dirigirse al

logos,al lenguaje del razonamiento universal: la ciencia.

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Tampoco son las ciencias naturales fuente del conocimiento

duradero que buscamos. La palabra inglesa óreohthrough, sin equi-

valente exacto en español, alude a un descubrimiento que rompe

nuestra üsión del mundo y nos sitúa ante una realidad desconoci-

da, uno de los que sólo se producen cada cien o doscientos años.

Al hacer recuento de los más importantes de la historia, cualquier

científico destacaría el enunciado newtoniano de las leyes de Ia

mecánica. Alexander Pope lo celebró con estos versos: "La natura-

lezay sus leyes dormían en la oscuridad/ Dios dijo: 'Hágase Newton'

-Y todo fue claridad"; y es conocido un pensamiento de Lagrange

que identifica a Newton como el hombre más inteligente de todos

los tiempos, pero también el más afortunado "porque sólo una vez

puede establécerse el sistema del mundo". Lagrange se equivoca-

ba: con sus artículos de 1905 y el desarrollo posterior de la teoría de

la relatiüdad, Einstein demostró que no existe un tiempo absoluto

como el que imaginaba Newton. Viümos en un Universo defor-

mable de cuatro dimensiones (espacio-tiempo), donde fenómenos

apalentemente simultáneos a dos obselvadores no lo son si uno se

desplaza respecto del otro. Una de las consecuencias de este nue-

vo paradigma -la luz no viaja en línea recta en las proximidades de

grandes masas- quedó ratificada en 1919 cuando una expedición

inglesa en África observó durante un eclipse cómo se curvaba la

luz a su paso por el Sol.

Pese a ello, ia relatiüdacl sigue siendo una teoría parcial: fun-

ciona muy bien a escalas planetarias, pero, üajando a los confines

de la materia, choca con la mecánica cuántica. Para esta rama,

que se desarrolló a partir de la segunda década del siglo vein-

te, las partículas subatómicas no tienen posiciones y velocidades

definidas de forma independiente, sino una combinación proba-

bilística de ambas dentro de los límites que establece el principio

de incertidumbre. El propio Einstein tuvo un papel destacado en

su aparición, aunque nunca llegaría a aceptarlo: pensaba que la

mecánica cuántica "nos aporta muchas cosas, pero apenas nos

acerca al secreto del Viejo. Yo estoy convencido de que Él no iue-

ga a los dados". En la actualidad, fisicos y matemáticos intentanconciliar la relatiüdad con la mecánica cuántica en una teoía unifi-cada de cuya existencia nadie está seguro. Podría ser una colecciónde enunciados que se solapan, en lugar de un'único paradigma ala manera de los anteriores; o quizá estemos condenados a apro-ximaciones sucesivas, nunca exactas, como Aquiles detrás de latortuga.

También se equivocó John Trowbridge, decano de la Facultadde Ciencias de Harr¿ard a finales del ciiecinueve, que solía recibira los neófitos asegurando que "en ffsica ya está todo descubierto:sólo queda corregir algunas meoidas y añadir decimales". y el granlord Kelün, para el que no cabía duda de que "nada más pesa-

do que el aire puede volar". Y un médico anónimo del Siglo deOro: "el abdomen, el pecho y la mente estarán siempre cerrados ala intervención del sabio cirujano humano". Llegados a las arenasmovedizas de la informática, los ejemplos aumentan vertiginosa-mente: en 1943, el presidente de la IBM creía que "no hay,mercadoen el mundo para rnás de cinco ordenadores", y cuarenta años mástarde, el mismísimo Bill Gates declaraba que 640 Kb debeúan bastara todo el mundo.

He procurado limpiar de profecias este libro. Toda verdad físicasólo es probable. Frente a los sueños ilustrados, cuya sublimacióncasi caricaturesca es el positivismo de Comte, Karl Popper ha apor-tado lúcidas reflexiones a la fi losofía de la ciencia. Desde los iniciosdel método hipotético-deductivo, inducir una teoría del análisis decierto número de experimentos que la corroboran se ha convertidoen pieza imprescindible de la práctica científica. Sin embargo, anteun horizonte de infinitos casos posibles, el principio de verificaciónpierde su base epistemológica: basta un solo contraejemplo para

"falsar" una hipótesis, pero cien pruebas a favor no la hacen del to-do verdadera. Cada nuevo experimento es un lance a üda o muerte,y el quehacer de los científ icos, una "búsqueda sin término", comotituló Popper su autobiografía.

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de una obra de

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Prescindir del Universo

Una misma lengua puede hablar de muchas cosas: en español

están escritas las frases: "Trae leche del supermercacio'? y "La belle-

za será convulsiva o no será". Centrarse en las matemáticas como

refugio de la seguridad desterrada de otras ciencias fue un cambio

de registro. Irrraginen una conversación en la que sólo se permi-

ten términos abstractos, en'uueltos en una sintaxis suficiente y de-

mocrática. Aunque las reglas del juego son precisas, las primeras

palabras de los participantes serán igual de torpes que las jugadas

de un ajedrecista que acaba de aprender el movimiento de las pie-

zas. Saben que cualquier referencia al exterior está prohibida, pero

les cuesta desprenderse de los ejemplos que han ido acumulando y

dar a sus ideas la consistencia de lo permanente. Nada ha cambia-

do en el teorema de Pitágoras en más de dos milenios, y tampoco

cambiaría si Ios triángulos rectángulos fueran entelequias tan impo-

sibles de construir como las escaleras del mundo onírico de Escher.

IÓ 19

Por eso dice Borges que las matemáticas, como la música, puedenprescindir del Universo.

Los diccionarios definen demostración como "prueba de unacosa, partiendo de verdades universales y evidentes", pero para

los matemáticos cada una de ellas encierra muchos más secretos.Guil lermo Martínez ha hablado de la "Dequeña calma piadosa, esesingular bálsamo intelectual, el simulacro de orden en el caos que

se obtiene al seguir los pasos de un teorema". Ante una proposi-

ción cuyo valor de verdad se desconoce. la primera reacción essemejante a la de los escritores frente al papel en blancr,: un miedocasi paralizante, o el impulso de l lenarlo todo con operaciones que

raravez conducen a algún sit io. Pero, más adelante, las pupiias seacostumbran a la oscuridad y exploran pequeñas variaciones de lo

conocido, o deciden abrir caminos nuevos; cuando la imaginación

lo ilumina todo es hora de poner en orden los argumentos. para

un mismo enunciado matemático caben muv distintos métodos deprueba. Voy a detenerme en algunos de los principales.

La cleducción es el que más presencia tiene en campos apa-rentemente tan ajenos a las maternáticas como la psicología o lainvestigación de un crimen. Consiste en aplicar las armas del razo-namiento lógico ordenado (reglas de transformación, identidades)

a una serie de premisas hasta obtener el resultado que se busca.Para probar la afirmación "Sócrates es mortal", podemos recurrir

al silogismo "Si todo A es B, y C es A, entonces C es B". Así, sitodos los hombres son mortales, y Sócrates es hombre, entoncesSócrates es mortal. Al menos dos precauciones requiere el uso de ladeducción lógica: en primer lugar, es necesario asegurarse de que

las proposiciones de las que nos servimos ya han sido demostradas

antes de otra forma; si no, terminaríamos dibujando círculos ücio-sos o escribiendo artículos supeditados a la verdad o falsedad deuna conjetura. En ocasiones, para simplificar problemas difíciles,

conüene imaginarse qué ocurriría si algún otro enunciado fuese

cierto, pero la prueba no podrá darse por concluida hasta que se

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demuestre también el segundo. Por otra parte, partiendo de premi-

sas falsas puede probarse cualquier cosa. Podría afirmar que usted

ha escrito estas páginas; veamos si le convenzo: supongamos que

1 + 1 = 3, entonces, al restar una unidad a ambos términos, se obtie-

ne 1 = 2, que también puede escribirse 2 = l. Lector y autor son dos

personas en principio distintas -la literatura sería, en otro caso, una

tautología-, pero, como 2 = l, lector y autor son la misma persona;

es usted quien ha escrito, aunque rro lo recuerde, el texto que tiene

entre sus manos.

Otras veces para demostrar un teorema conüene recorrerlo

mlrcha atrás, iajar a sus orígenes. Es conocido entre los aficio-

nados a los problemas de ingenio un juego en el que interüenen

nueve bolas (cuatro blancas y cinco negras) dispuestas aleatoria-

mente sobre una circunferencia. A cada movimiento, entre dos

bolas se coloca una blanca si los colores son distintos, y una negra

en caso de que coincidan. Luego se retiran las iniciales. Zllegará tnpunto de la partida en el que todas las bolas sobre la circunfe-

rencia sean blancas? La respuesta es no. En efecto, imaginert una

circurrferencia cubierta por bolas blancas: Zcuál sería la situación

inmediatamente anterior? Los colores deberían alternarse: negra,

blanca, negra, blanca, negra, blanca, negra, blanca, negra, blanca;

pero así nos salen diez bolas. También los conseguimos con ocho

o doce, y en general, sólo con números pares. Luego...

Quizá la forma más refinada de marcha otrás sea la reducción

al absurdo, que consiste en suponer falsa la tesis que se desea pro-

bar y llegar a partir de ella, por medio de pasos ded.uctivos, a un

absurdo: la negación de las hipótesis en las que nos apoyamos.

Como todos los pasos intermedios son correctos, el único error po-

sible ha sido considerar falsa la proposición: ila hemos demostrado

asíl En medio de la mayor epidemia de peste de Atenas, una de-

legación llegó hasta Delfos para obtener del oráculo instruccionesprecisas para detenerla. Tras retirarse algunos minutos, Ia sacerdo-

tisa volüó diciendo que era necesario duplicar el altar de Apolo,

un cubo de un metro de arista. Desde nuestra perspectiva actual,resulta tan sencillo como construir un nuevo cubo de medida muypróxima a VZ -iqué bien funcionaría el mundo si ejercicios tan le-ves de aritmética sustituyesen a las intervenciones militares!-, peropara un griego era difícil comprender que entre los números, enlos que estaba cifrada la armonía del Universo, hay algunos cuyaexpresión decimal no termina nunca de escribirse. Por reducción alabsurdo se demuestra que V2 es irracional y que, dado un númeroprimo, siempre existe otro mayor. Sigamos el bello argumento deEuclides:

"Supongamos que hubiera una cantidad finita de números pri-mos, digamos n, y l lanrémoslos pt,pz, . . . ,pn.Mult ipl icando todosy añadiendo una unidad al resultado, podemos obtener el enteroZ = pt.pz' . . . pn+ l . Ahora, el teorema fundamental de laar i tnét icaasegura que, dado un número, es primo o se descompone comoproducto de primos. Es claro que la división de Z por cualquiera delos p¡ arroja un resto distinto de cero; por tanto, la única posibilidades que Z sea primo. Pero hemos supuesto que sólo había n númerosprimos, y con Z tendíamos n + 7".

También la inducción cumple aquí un papel fundamental. I{e-mos hablado de los problemas que la inhabilitan como base decertidumbre en las ciencias naturales, pero la que se usa en ma-temáticas es total, perfecta, porque asimila en su procedimientomismo el patrón de infinitud de los objetos de los que se ocupa, yesto permite examinar todos los casos. En su versión más sencilla,se emplea para probar teoremas sobre los números naturales. ParaCemostrar por inducción que una cierta propiedad P(n) es ciertasi n es un número natural, debemos probar primero que P(1) esverdadera. Suponemos ahora que, para cualquier m rratural, P(m)se verifica, y nos queda por demostrar que, en ese caso, P(rn + 1),Ia misma propiedad enunciada para el número siguiente, tambiénsería cierta. Así, la afirmación es cierta para I y, por verificarse P(1),también es cierta para 2; ahora para 3, para 4, y de ahí al infinito.

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Algunos autores han comparado la inducción con la caída de una

hilera sin fin de fichas de dominó.

Un modelo axiomático

Pese a la analogía de Borges con la música, ningún teorema

debe entenderse como una pieza aislada: en matemáticas las pro-

posiciones no nacen del vacío ni conducen a la nada; son, más

bien, moümientos de una misma sinfonía. Cada resultado se expli-

ca únicamente atendiendo al contexto en el que surge (al marco

de definiciones y teoremas previos) y puede extenderse si se ge-

neralizan las hipótesis. Me gusta la imagen, aunque imprecisa, de

una ciencia de estratos donde las nuevas aportaciones sedimentan

sobre lo ya construido. Por su apariencia externa, los Elementos de

Euclides no son distintos de otras sumas antiguas: en una cultura

donde la oralidad cobraba una presencia mucho mayor que ahora,

representan la voluntad de sistematizar todo el conocimiento ma-

temático de la época, de darle un hilo riguroso sin la inmediatez de

la palabra dicha. No es posible obviar su afán didáctico: todavía a

principios del siglo veinte seguía siendo manual de referencia para

el aprendizaje de la geometría en muchos centros de enseñanza, y

algunos profesores defendían encendidamente el poder de la obra

de formar hábitos de disciplina intelectual y conducir a los estu-

diantes porun "camino de perfección" paralelo al de la matemática

gnega.

En estas circunstancias leyó los Elenentos el joven Einsteirr, al

que continuaría asombrando durante el resto de su vida que "un

hombre sea capaz de alcanzar tal grado de certeza y pureza hacien-

do uso exclusivo de su pensamiento". Y también quedó atrapado

por su hechizo Bertrand Russell, que tuvo una adolescencia infeliz,

pero no sucumbió a las tentaciones del suicidio para llegar a saber

más matemáticas:

'A la edad de once años empecé a estudiar geometría, teniendopor preceptor a mi hermano. Fue uno de los grandes acontecimien-

tos de mi üda, tan deslumbrante como el primer amor. Jamás habíaimaginado que pudiera haber a.lgo tan delicioso en el mundo [...]Desde aquel momento hasia que Whitehead y yo concluimos los

Principia Mothematica, cuando yo tenía treinta y ocho años, las ma-

temáticas aeapararon mi principál interés y constituyeron mi prin-

cipal fuente de felicidad. Como toda felicidad, sin embargo, no era

cornpleta Se me había dicho que Euclides demostraba las cosas, y

me sentÍ profundamente decepcionado al ver que empezaba con

axiomas. Al principio me negué a admitirlos, a menos que mi her-

mano me ofreciera algún razonamiento para que lo hiciera. [...] Laduda que me asaltó en aquel momento respecto a las premisas de

las matemáticas no me abandonó. v determinó el curso de mi labor

subsiguiente".

Con su inteligencia incisiva, Russell pone el dedo en la l laga:

si algo distingue a los Elemenfos de otras obras científicas anti-

guas es su estructura novedosa; cómo, partiendo de un número

reducidísimo de principios que se aceptan sin demostración, se

consiguen deducir todos los enunciados de la geometría clásica. El

libro se abre con veintitrés definiciones de conceptos (ángulo, rec-

ta, superficie, etc.) que aparecerán constantemente. Quienes han

intervenido en la redacción de un diccionario saben que a veces las

palabras de uso cotidiano son más difíciles de definir que otras de

sonoridad aristocráticay ámbito de empleo restringido: así, Euclides

llama punto a "lo que no tiene partes", y línea, a "una longitud sin

anchura"; pero, para especificar cuáles son rectas, tiene que buscar

"aquellas que, entre todas las líneas, están situadas de modo igual

con relación a todos sus puntos", que es menos intuitivo.

Después de las definiciones üenen cinco postulados, que las

ünculan entre sí y establecen a priori la posibilidad de construir

ciertos esquemas:

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hasta un punto cualquiera.

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III. Y él describir un círctrlo con cualquiei céntro y distancia.

IV. Y él ser todoS los ángulos rectos iguaies entre sí.

V Y que si una recla al incidir snbre dos rectas hace los ángult- 's

iniernos del mismó lado menores que <1os rectos, las dos

rectaS prolongadas indefinidamente 5e encontra-rán en el

lado en el que están los ángulos mcnores que dos rectos.

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Ninguno de ellos tan famoso como el quinto, equivalente a

que "por un punto exterior a una recta dada cabe trazar una y sólo

una paralela": por su historia cruzan visionarios que idearon nuevas

geometrías y pusieron en cuestión que estos presupuestos fueran

preferibles a otros.'[ras los postulados, Euclides coloca las nociones

cornunes: 1'cosas que son iguaies a la misma cosa son iguales entre

sí", "las mitades del mismo son iguales entre sí", o "ei todo es mayor

que la pane".

Los griegos entendían que los a-xiomas son verdades tan fuera

de tocia duda, que cualquieta podría descubrirlas por sí mismo in-

cluso aislado en mitad del océano: principios como que "el ser es

y no puede no ser" no requieren más apoyo que su propia autoeü-

dencia. Eliminaban de esta forma uno de los peligros que amenaza

a los modelos axiomáticos: la inconsistencia. Diremos que un sisie-

ma es consistente cuando de sus axionras no es posible deducir al

mismo tiempo una sentencia y su negación. Pensar en las novelas

como estructuras donde los datos que nos proporciona el narrador

sobre sus personajes sirven de resortes para echar a volar nues-

tra imaginación lógica quizá ilustre el problema. Si admitiéramos

entre los axiomas de Sherlock Holmes, por ejemplo, "Valoraba su

salud por encima de todas las cosas" y "Sin casos que resolver,

alimentaba su curiosidad de otra manera", estaríamos formando

un sistema incoherente, porque del primer principio se sigue quenunca tomaría alucinógenos, pero del segundo podemos concluirque cambiaría el misterio de un crimen por los paraísos artificialesdel opio y Ia cocaína. Los matemáticos antiguos no se planteabanestos interrogantes: creían que no pueden ser ciertas afirmaciorresincompatibles desde un punto de vista lógico y que, si era verdaderoel conjunto de axiornhs euclídeos, era automáticamente consisten-te. No era necesaria ninguna prueba adicional.

Euclides nunca llegó a saber hasta qué punto daba a las ma-temáticas un horizonte estético que pronto las separaría del restode ias ciencias. sus enemigos arguyen en su contra la dif icultad deseguir paso a paso cadenas de razonamientos que se apoyan en"figuras con líneas por todas partes" y lo comparan con un médi_co que conoce los tratamientos, pero no por qué funcionan. Enlas primeras páginas del Mundo como uoluntad y representación,Schopenhauer da un paso adelante y l lama ,,bri l lantes pruebas deperversidad" a algunas de las demostraciones. Sin ernbargo, es in_negable que los Elementos marcan una mutación en la historia dela cultrrra occidental: desde Euclides, cualquier ¡ 'ama del conoci-miento que se presente como saber deductivo debe volver la üsraatrás. Es el caso de Spinoza, cuyo tratado de ética l leva el subtítulode Demostrada según el orden geométrico; o de Descartes, que,sentado frente a la estufa de un cuartel alemán, sin cuidados ni pa-siones que Io turbaran, se lanzó a la búsqueda de principios ,,claros

y distintos" sobre los que volver a construir la f i losofía entera.

El sueño de una lengua universal

Otra consecuencia importantísima de la obra de Euclides es laaparición del sueño de una lengua universal con la que los hom_bres fueran capaces de nuevo de entenderse. Todo se remonta alGénesis, cuando Dios decidió castigar la soberbia humana transfor-mando la lengua de Adán en un sinfín de idiomas distintos; es el

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mito de la torre de Babel, que, por su fuerza iconográfica, ha ins-

pirado miles de representaciones a lo largo de la historia. Muchos

intentos ha habido desde entonces para frenar esta conlusio lin-

guarum: Dante trató de componer un vulgar ilustre, que sirüera lo

mismo como lengua cie sabiduría que para los asuntos cotidianos;

y, por las mismas fechas, Ramon Llull estudiaba en su Ars magna

las combinaciones posibles de los símbolos de un alfabeto formado

por nueve letras y cuatro figuras. Ya en el siglo diecisiete, Descar-

tes había distinguido entre una lengua que "los espíritus r,^.rlgares"

serían capaces de aprender en unas cuantas horas y una lengua

f;losófica, donde todos los significados dudosos se suprimirían y los

conceptos quedarían representados clara y distintamente. El sueño

de esta lengua filosófica a priori se irá desvaneciendo poco a po-

co, mientras surgen otras formulaciones, de tipo empírico, que no

tratan de crear una lengua de la nada, sino sólo de simplificar la

gramática y el vocaLrulario de las existentes. Así nacieron el latino

sine flexione de Peano, el bqsic English, con sólo ochocientas cin-

cuenta palabras, o el esperanto, sin ducia la versión más conocida.

Pero ninguno de los proyectos anteriores tiene la ambición de

lalingua generalis imaginada por Leibniz en varios manuscritos que

no se descubrieron hasta dos siglos después de su muerte:

"Todo razonamiento humano se realiza por medio de ciertos

signos o caracteres [. . . ] Si cada vez que el geómetra nombra la

hipérbola o la espiral en el curso de una demostración se viera obli-

gado a representarse exactamente sus definlciones o generaciones,

y luego nuevamente las definiciones de los términos que entran en

las primeras, tardaía muchísimo en llegar a sus descubrimientos.

Por esto se ha llegado a asignar nombres a los convenios, a las fi-

guras y a las distintas especies de cosas, signos a los números de la

aritmética y a las magnitudes del álgebra [...] Las Ienguas comunes,

aunque sirven para el razonamiento, no obstante están sometidas a

innumerables equívocos, y no pueden ser utilizadas por el cálculo,

de manera que se puedan descubrir los errores de razonamiento re-

montándose a la formación y a la construcción de las palabras. Estaventaja admirabirísima hasta ahora sóro la proporcionan ros signosempleados por los aritméticos y los algebústas, para quienes todorazonamiento consiste en el uso de caracteres, y todo error men_tal equivale a un error de cálculo. Meditando prorúndamente sobreeste tema, de pronto vi claro que todos los pensamientos huma-nos podían resumirse'completamente en unos pocos pensamieniosque deben considerarse como primit ivos. Si luego se les asignan loscaracteres a estos últimos, a partir de aquí se pueden formar loscaracteres de las nociones derivadas, de donde siempre es posibleextraer sus requisitos y las rrociones primitivas que las componen,es deci¡ las definiciones y los valores y, por lo tanto, también susmodif icaciones que se pueden derivar de las definiciones. Una vezhecho esto, quien se si^,a cle los caracteres así descritos a la horade razonar y de escribir, o no cometerá nunca errores, o bien los re_conocerá siempre por sí mismo, ya sean suyos o de otros, metliantecomprobaciones muy simples,,.

Tendremos ocasión de hablar con más detalle de las aporta_ciones del f i lósofo alemán en un par de capítulos, pues su lecturasugirió a Gódel ra intrcducción de una técnica que daría resulta-dos espectaculares. Entre 1930 y lg40 nuestro protagonista revolu-cionó la lógica moderna, hasta er momento ra única disciprina don-de la búsqueda de esa lengua universal ha dado frutos bri lrantes.

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Un uego de espej os

Los primeros estudios sistemáticos de las formas de razona-miento válido son obra de Aristóteles, que clasificó los silogismosdespués de postular que el resto de demostraciones podría reducir-se a ellos. Un silogismo consta de tres afirmaciones, de las cualeslas dos primeras, unidas por un término medio, son las premisas,y la última, la conclusión, donde no aparece ya el enlace entre lasanteriores. Las sentencias no pueden ser arbitrarias, sino afirmacio-nes universales ("Todo A es B"), negaciones generales ("Ningún,4

es B"), afirmaciones particulares (" Existe un A que es .8"), o bien ne-gaciones concretas ("Existe un A que no es ̂ 8"). Combinando estascuatro formas, pueden obtenerse sesenta y cuatro silogismos, delos cuafes sólo catorce son correctos. Sobre la base delosAnalíticosprimeros y segundos, continuaron trabaiando los escolásticos du-rante la Edad Media, con el propósito de demostrar racionalmentela existencia de Dios. Entre todas estas tentativas, tal vez la másfamosa sea el argumento ontológico de san Anselmo, que Gódelestudió con profundidad en sus últimos años. El filósofo de Canter-bury consideraba que el ser humano lleva dentro de sí la idea de un

29

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ser superior, tal que ningún otro más perfecto pueda ser pensado'

Como un cuadro pintado es siempre mejor que un lienzo que el

pintor imaginó, pero que nunca llegó a terminar -razonaba-' si Dios

existiese sólo en la inteligencia, cabría pensar en un ser superior a

él; luego existe.

Sin embargo, las aportaciones medievales no son relevantes

para nuestra historia, pues la lógica que fundó el Estagirita y desa-

rrollaron sus seguidores no era aún simbólica: salvo por las variables

A yB, Ios silogismos se exponían completamente con palabras' Fue

George Boole quien se dio cuenta por primera vez de la analogía

existente entre las operaciones de sumar y multiplicar y los conec-

tores"o"e"y",eintrodujolasconstantes0ylpararepresentar los

dos valores de verdad posibles' Así, Ios cuatro modelos que había

descrito Aristóteles quedaban matematizados en forma de ecua-

ciorres: ,,Todo x es Y" se escribía x(l - y) = 0, donde, al sustituir

x por 1, se obtiene también | = | ' En esta línea de encontrar un

álgebra para la lógica contitruaron trabajando Augustus de Morgan'

ErnstSchróderyCharlesPeirce,queintrodujolossímbolosxyl l '

antecedentes de los cuantificadores'

Las geometrías no euclídeas

otrohechocrucialeneldesarrol lodelalógicamodernafue

la aparición, durante el siglo XIX, de las geometrías no euclídeas'

Gausshabíadescubiertoyaqueeraposibledesarrol largeometrÍas

di ferentesdelausualeincompat ib lesconel la,peroseguardóde

publicar sus resultados "por miedo al escándalo de los espíritus

obtusos". Menos precauciones tomaron Lobachevski y Bolyai, que,

al negar el quinto postulado de Euclides, construyeron modelos

completamente distintos, aunque sin contradicciones internas. Par-

tiendo del principio de que por un punto exterior se pueden trazar

infinitas paralelas a una recta dada, Lobachevski dedujo una serie

de teoremas opuestos a los de los Elementos' que constituyen la

geometría hiperbólica: la suma de los ángulos de un triángulo ya noera de 180', sino siempre menot y resultaba imposible dibujar unafigura semejante a otra si las dimensiones no coincidían. por su par-te, Bolyai impuso que no pueden trazarse paralelas y llegó así a otrosresultados, incompatibles al mismo tiempo con los de Euclides yLobachevski. Mientras las nuevas geometría_s parecían reproducirsecomo un virus, se abrió un intenso debate entre los defensores desu uti l idad y quienes las consideraban entelequias engendradas pormentes ocio-sas. Entre estos últimos se encontraba Gottlob Frege,que en un escrito póstumo, "Sobre geometría euclídea", argumentacon vehemencia que sólo una geometría es posible:

"Nadie puede servir a ra vez a dos señores. No es posible servira la vez a la verdad y a ra ialsedad. si ra geometría euclídea es verda-dera, entonces la geometía no euclídea es falsa; y si la geometríano euclídea es verdadera, entonces la geometría euclídea es falsa.Si por un punto exterior a una recta pasa siempre una pararela a esarecta y sólo una, entonces para cada recta y para cada p.rnto exteriora ella hay una paralela a esa recta que pasa por ese punro y cadaparalela a esa recta pcr ese punto coincide con ella. Quien reconocela geometría eucrídea corno verdadera, debe rechazar como falsala no euclídea, y quien reconoce la no euclídea como verdadera,debe rechazar como falsa la euclídea. Ahora se trata de arrojar auna de ellas, a la geometría euclídea o a la no euclídea, fuera de lalista de las ciencias y de colocarla como momia junto a Ia arquimiay a la astrología... iDentro o fuera! iA cuál hay que arrojar fuera, a lageometría euclídea o a la no euclídea? Esa es la cuestión,,.

Las geometrías no euclídeas dieron un giro radicalmente nuevoal método axiomático: ya no podía exigirse que los axiomas fueranverdaderos, pues entre todos los postulados sobre las paralelas,

a lo sumo uno podúa serlo. Poco a poco, los geómetras se fueronconvenciendo de que no había razón alguna para considerar ciertosunos axiomas frente a otros; ninguno de ellos lo era en realidad.una de las personas que mejor entendió este cambio inesperado

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fue Einstein, a quien la nueva geometría le proporcionó el marco

preciso para desarrollar su teoría de la relatiüdad. En una página

bellísima, el padre de la física moderna explica que la geometría

es sólo un sistema formal, un coniunto de axiomas y reglas de

deducción que nada dicen sobre el mundo. Por tanto, hay tantas

geornetrías como uno tenga paciencia de desarrolla¡ y el científico

debe iimitarse a elegir la que le vaya mejor, igual que el carpintero

escoge entre el formón, la sierra o el martillo.

áQué ciebía esperarse, entonces, de los nuevos axiomas? Desde

luego, consistencia e independencia y, a ser posible, completitud.

Como hemos apuntado ya, un conjunto de axiomas se dice consis-

tente cuando de ellos no pueden deducirse simultáneamente una

propiedad y su negación. Las teorías inconsistentes terminan de-

mostrándose inútiles, porque en ellas cualquier afirmación es un

teorema. En efecto, un argumento está bien construido cuando, por

hablar en términos de Leibniz, en cualquier mundo posible en el

que se verif iquen las premisas, la conclusión también es verdadera.

Suponiendo que M fuera una sentencia tal que M y su negación, -M,son teoremas de la teoría, el argumento cuyas premisas son M y

-My cuya conclusión es una cierta propiedad R sería válido sea cual sea

R, pues siempre que M Y -M son verdaderas, se verifica también R'

Alrora, como M y -M son teoremas de la teoría, ambos tienen una

demostración, es decir, una sucesión finita de afirmaciones tales

que cada una de ellas es un axioma, o se deduce de los axiomas

aplicando las reglas de inferencia permitidas. Si concatenamos las

dos pruebas, habremos probado que R es un teorema de la teoría,

independientemente de su valor de verdad. Además, se dice que

una estructura lf es un modelo de los axiomas cuando éstos son

verdaderos en ella (por ejemplo, al trabaiar con el álgebra de los

números reales, un modelo son los propios números reales, aun-

que no el único). Uno de los resultados más profundos de Gódel, el

teorema de completitud, demostrará precisamente que las teoías

inconsistentes no tienen modelos, o lo que es lo mismo: no hablan

de nada.

32 33

La segunda condición que conviene exigir a los axiomas esla independencia, es decir, que ninguno pueda deducirse de iosdemás aplicando las reglas fi jadas; todos ellos deben añadir nuevainformación. Para demostrar la independencia de un axioma res-pecto a los demás, es suficiente con describir un modelo que lossatisfaga todos menos é1, ya que si fuera posible obtenerlo de losotros, autoináticarnente sería verdadero en el sistema construido.Nada se indica sobre el número de ¿uliomas que pueden elegirsepara una teoría; pueden ser infinitos, pero sería entonces difíci lmen_te manejable, y no tiene sentido, en cualguier caso, añadir axiomasy axiomas si ya pueden deducirse cle unos pocos. En 1889 el ita-l iano Giuseppe Peano a.riorrratizó la aritmética, introduciendo lossiguientes cinco principios, que se han mantenido hasta la fecha,sin más que sustituir el uno por el cero:

I. 1 es un número natural.

Il. I no es el sucesor de ningún otro número natural.

III. Cada número natural tiene un sucesor:.

IV Sí Ios sucesores de m y n son distintos, también son distintos

my n-

V (Axioma de inducción). Si un conjunto A de números natu-

rales contiene al I y, siempre que contiene a un número n

también contiene a su sucesor, entonces A contiene a todos

los núrneros naturales.

A los axiomas de Feano podríamos aiadir, por ejemplo, el pos-tuiado de que 1 es distinto de 2, pero sería inúti i, porque 2 es pre_cisamente el sucesor de l, y el axioma II ya indica que I no es elsucesor de ningún número rratural.

Finalmente, se trató de estudiar en qué condiciones una teoríaaxiomática era completa, canlpo en el que Gódel obtendrá resuha-dos espectaculares, tanto en uno corrro en otro sentido. En general,

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diremos que un sistema axiomático consistente es completo cuan-

do, dada una sentencia A, si A no es demostrable, entonces su

negación es un teorema de la teoría. una fórmula tal que ni ella ni

su negación son teoremas se llama indecidible. Así, en los sistemas

completos no existen fórmulas indecidibles, y lo verdadero coil-tci-

de con lo demostrable. Mientras Frege creía que la existencia de

modelos matemáticos de una teoría depenclía fundamentalrnente

de qué objetos componen el Universo -le gustaba utilizar este argu-

mento para defender que sólo hay una geometría posible porque

sólo existe un mundo-, otros maternáticos de la época, en la línea

de David Hilbert, con el que Frege mantuvo una agria polémica, eran

de la opinión de que la existencia dependía de la consistencia: una

teoúa consistente genera obietos que la verifican. En otras palabras:

"Cada teorÍa no es sino un tinglado o esquema de conceptos

iunto con ciertas relaciones necesarias entre ellos, y sus elemen-

tos básicos pueden ser pensados arbitrariamente. Si entiendo por

puntos, rectas, planos cualquier sistema de cosas -por ejemplo, el

sistema formado por amor, ley, deshollinador-, y considero que to-

dos mis axiomas resultanválidos para esas cosas, entonces también

resultan válidos para esas cosas mis teoremas, como, por ejemplo,

el de Pitágoras. Cada teoría puede ser aplicada a una infinidad de

sistemas de elementos básicos",

como él mismo escribe en una carta a Frege. Para explicar estas

posiciones enfrentadas, el filósofo de la ciencia Ulises Moulines

distingue tos sistemas axiomáticos "de estilo eüdencial-concreto",

que seleccionan unas cuantas verdades prioritarias sobre las que

se fundan las demás proposiciones, de los de tipo "democrático-

abstracto", donde todos los enunciados de la teoía son candidatos

igualmente válidos para ser tomados como axiomas, siempre que

el resto de proposiciones se pueda deducir a partir de ellos. Otros

autores han hablado de la diferencia entre los sistemas que ponen

orden en estructuras ya conocidas y los que las crean por el simple

hecho de hablar sobre ellas.

El nacimiento de la lógica moderna

6ott ' .ob Frege

Pese a su rechazo üsceral del nue-vo método axiomático, Gotttob Frege esconsiderado de forma casi unánime elpadre de Ia lógica moderna. En el prólo-go a Begriffsschrift, eine der arithmetis-chen nachgebildete Formelsprache desreinen Denkens (ldeografío. Un lenguaje

de fórrnulos, similar al aritmético, para elpensamiento puro), publicada en 1879,Frege sitúa su proyecto en la estela de lalingua generalis leibniziana, y lo explicacon una bella metáfora:

"Creo que la meior manera de ilustrar la relación de mi escritura

conceptual con el lenguaje de Ia üda es compararla con la relacióndel microscopio con el ojo. EI ojo es muy superior al microscopio,

si consideramos el alcance de su aplicabilidad o la flexibilidad conque se acomoda a las más distintas soluciones. Sin embargo, con_siderado como aparato óptico muestra muchas imperfecciones, delas que apenas nos damos cuenta debido a su íntima conexión connuestra vida espiritual. En cuanto nuestras metas científicas plan_

tean grandes exigencias a la precisión de la distinción, el ojo semuestra insuficiente. El microscopio, por el contrario, está perfecta_

mente adaptado a tales menesteres, aunque precisamente por ellono es aplicable a los demás."

Para actuar de microscopio, el filósofo alemán introdujo algu-nos conceptos básicos para el desarrollo posterior de la lógica; así,es el primero que elige dos conectores primitivos, la negación (-) yIa implicación "si..., entonces" ( ---+), para definir en función de ellostodos los demás. Igual que no es necesario añadir nuevos axiomasa la aritmética de Peano, estos dos conectores bastan para construirel resto: por ejemplo, la disyunción A v B es (- B) -+ A v no es ne-

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cesario incluirla como símbolo independiente. Algunos años más

tarde, Frege consideraría primitiva la disyunción, y reconstruiría el

condicional como (-A) v B. Además, empleó por primera vez los

cuantificadores "para todo" y "existe", y distinguió la lógica de pri-

mer orden, en la que los argumentos de los predicados son objetos

y sólo se puede cuantificar sobre términos, de la de segundo or-

den, donde los argumentos son ya predicados de primer orden y

está admitida la cuantif icación sobre clases.

Como apunta Jesús Mosterín, "la extraordinaria importancia de

la ldeografío sólo fue valorada mucho más tarde", gracias sobre

todo a los esfuerzos de Bertrand Russell, que reconoció al momen-

to la "honestidad intelectual y el rigor diamantino" de la obra de

Frege. Gran parte de la culpa de su falta de reconocimiento -sólo

dos alumnos acudían a sus clases en la Universidad de Jena, y a

menudo tenía problemas para publicar sus investigaciones- la tuvo

el simbolismo escogido para dar forma a sus ideas. Era un conjunto

de signos bidimensionales, complicados de escribir y componer ti-

pográficamente, que se distribuían a lo largo de las páginas del libro

como las notas de una partitura de música contemporánea. Nadie

los empleó después de Frege, pero suponen el primer punto de

partida de otras hazañas venideras. Para encontrar el segundo, ten-

dremos que desplazarnos hasta Halle, donde Cantor desarrolló la

teoría de conjuntos, algo en apariencia completamente ajeno a

nuestra historia.

Georg Cantor no era lógico, sino analista; de hecho, empezó a

inieresarse por los conjuntos para dar respuesta a algunas cuestio-

nes sobre series de Fourier. Cantor se preguntó qué es un conjunto

con la máxima generalidad posible, y creó, a lo largo de casi vein-

ticinco años, una rama completamente nueva de las matemáticas,

en la que muchos de sus contemporáneos, incluido su acérrimo

enemigo Kronecker, sólo vieron "teología disfrazada" . En una prime-

ra aproximación, un conjunto es una colección de cosas (números,

funciones continuas, figuras geométricas...); pero es preciso dis-

tinguir los conjuntos finitos de los infinitos, aunque Cantcr nuncallegaría a dar una definición satisfactoria. Esta falta la supliría algu-nos años más tarde su colega Dedekind, que, en un texto de lggg,caracterizaba los conjuntos finitos como aquellos ,,que no se pue_den poner en correspondencia uno a uno con una parte propia desí mismos". Por ejemplo, el conjunto de los números naturales esinfinito porque podemos restringirnos a los pares, asociando cadauno de ellos con su doble.

Llegados al terreno de lo infinito, gran parte de nuestra.s intui-ciones se desmoronan; así, a la pregunta de si hay infinitos mayoresque otros, la respuesta natural enseguida se demuestra falsa. cantorcomenzó diferenciando dos potencias: el numerable, que expresala cantidad de números naturales, y el continuo, que viene dadopor el conjunto de puntos de una recta. Durante su primera época,consiguió demostrar que los números reales no son numerables,y se preguntó después si hay algún conjunto con una cantidad cleelenrentos interrnedia entre la de los nurnerables, Re, y la del con.tinuo, que solía represental'se por la letra c. para responder a estacuestión, tuvo que cesarroilar una teoría de los cardinales transfi-nitos, que bautizó con la primera letra del alfabeto hebreo seguidade un subíndice. Se trataba de generalizar Ia idea de número a laque estamos acostumbrados: de la misma forma que puede inter_pretarse el cero como el número de elementos del conjunto vacío,el uno, Ccrrro el cardinal de un conjunto que sólo posea un ele-mento, y así sucesivamente, es posible asignar cardinales infinirosa conjuntos infinitos de distinto tamaño. cantor creía que entre f{¡y c no habría ninguno de estos nuevos cardinales: es lo que se co_noce como hipótesis del continuo, de la que tendremos ocasión dehablar más adelante, cuando estudiemos el legado matemático deGódel.

Tras la oposición inicial, las ideas de Cantor comenzaron unrápido triunfo, que durante muchos años rnantuvo üva la esperanzade que toda la matemática podría reducirse al lenguaje conjuntista:

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esa,,teología disfrazaba" contra la que disparaban sus enemigos tal

vez fuese la lengua universal definitiva. Un primer motivo de júbilo

fue la construcción de todas las clases de números a partir de los

naturales, que l.,ronecker consideraba los únicos creados por Dios.

El resto no eran obra sino de los matemáticos' que consiguieron

formalizarlos mediante la introducción de relaciones de equivalen-

cia. Dado un conjunto, una relación binaria entre sus elementos es'

una afirmación clel tipo "cz está relacionado con b cuando.'.", que

suele representarse por oRb e P, donde P es una cierta propiedad

que deben cumplir los términos. Si una relación binaria es reflexiva

(a está relacionado con d, para cualquier a del conjunto), simétrica

(si a está relacionado con b, entonces b está relacionado con a) y

transitiva (si a está relacionado con b, y b está relacionado con c'

entonces a está relacionado con c), se dice que es tna relación de

equivalencia. Nótese que estas propiedades no son triüales porque

siempre añaden algo nuevo: la relación aRb e a + b no es reflexiva

y aRb e c < b es claramente antisimétrica. Uno de los paradigmas

de las relaciones de equivalencia son las congruencias:

La importancia de las relaciones de equivalencia radica en que

clasifican el conjunto sobre el que se definen, es decir, dan sentido

a la igualdad. Al diüdir por dos, sólo hay dos restos posibles, 0 y 1,

de modo que Ia relación de congruencia módulo dos clasifica los

números enteros en pares e impares. En general, dado un elemen-

to x del conjunto A y una relación de equivalencia R, la clase de x

es el coniunto de todos los elementos relacionados con él por R :

[x] = {y e A : yRxi. Siguiendo con el ejemplo anterior, la clase del 0

3B 39

es la misma que la del 2, el 4 o el 28 porque todos estos númerosson divisibles por dos, mientras que la del 1 coincide con la del 3, ladel 5 y, en general, con la clase de todos los impares. Así, cualquierrelación de equivalencia en un conjunto A lo divide en clases queno tienen elementos comunes y lo cubren totalmente: es lo quese conoce como una partición. Si formamos el conjunto de todasIas,.ilaSes de equivalencia inducidas por la relación, surge el espa-cio cociente AlR, al que podríamos dotar cie una cierta estructuradefiniendo en él operaciones"

Una de las formas predilectas de los matemáticos para defi-nir nuevos objetos consiste en identificarlos con clases de equi-valencia respecto de una cierta relación. Así, los números enterossurgen de los naturales si se introduce la relación de equivalencia(a,b)R(c,d) <+ o+d = b +c, según lacual dos pares ordenados sonel mismo cuando las diferencias entre la primera y la segunda coor-denada coinciden. Por ejemplo , (2, 1) está relacionado con (8,2) ytambién con (23, 22), porque Ia diferencia es de una unidad en losdos casos; análogamente, la clase del par (8, 1S) es la misma que Iadel (1, 8). Sólo queda, entonces, formar la clase de todos los parescuya resta es 1 y llamarla precisamente l, hacer lo mismo con 2,con 3..., pero también con 0, -1 , -2, -3... Habremos construid o asíZcomo el conjunto cociente de NxN bajo la relación de equivalenciaanterior. De modo muy similar se forman las fracciones a partir delos enteros, e, introduciendo las sucesiones de Cauchv. los númerosreales a partir de los racionales.

ttSe acabaron las mañanas alegres y segurastt

Cuando la importancia de la obra de Cantor comenzaba a estarfuera de toda duda, tres paradojas, descubiertas por Burali-Forti en1897, Bertrand Russell en 1902, y Berry cuatro años después, pu-sieron en entredicho la corrección de los métodos del matemáticoalemán. Hablando en términos rnuy generales, las paradojas son

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afirmaciones contradictorias, de las que la tradición literaria y fi-losófica nos brinda ejemplos abundantes. Quevedo, en la línea del"Pace non trovo" de Petrarca, al tratar de definir el amor comienzaun precioso soneto con esta estrofa:

"Es hielo abrasador, es fuego helado' ' es heridaque-du_ele y.no se qiege

es un soñado bien, un mal presente

es un breve descanso muy cansado".

Y Zenón de EIea quiso mostrar que no existe el moümiento conla paradoja de Aquiles y la tortuga. La ventaja que Aquiles deja ala tortuga -explica el griego- supone una brecha insalvable, pues,cuando el atleta haya corrido hasta la posición inicial de la tortuga,ésta ya se habrá desplazado un poco; y del espacio que los sepa-re entonces, quedará siempre una fracción, por mínima que sea,que impide la üctoria del de los pies ligeros. En otra formulaciónequivalente se afirma que "un corredor no puede alcanzar nunca lameta, porque cuando haya recorrido la primera mitad, tendrá quecorrer la otra mitad; cuando haya recorrido la mitad de ésta, lequedará todavía la cuarta parte; cuando haya corrido la mitad de

ocupado en su última etapa, y Berry ponía en cuestión qué significarealmente definir un concepto.

Ninguna de estas paradojas tend¡ía efectos tan devastadorescomo la de Russell, que surgió de improüso en la primavera de

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Bertrand Russel l hablando en un ml t l n

en Trafalgar Square en 1-962

1901, mientras el filósofo inglés reüsaba los resultados de varios

meses de investigación intensa sobre ia lógica de Peano:

"Cantor tenía una prueba de que no existe el número más gran-

de, y a mí me parecía que el número de todas las cosas del mundo

debería ser el más grande posible. En consecuencia, examiné su

prueba con detalle y me propuse aplicarlo a la categoía de todas

las cosas que existen. Esto me llevó a considerar aquellas categorías

que no son miembros de sí mismas, y a preguntarme si la categoría

rle tales categorías es o no miembro de sí misrna. Encontté que

cualquier respuesta implica la contraria"-

El conjunto al que se refiere Russell contiene todas las clases

que no son miembros de sí misma. Así, la clase de todos los ma-

temáticos no es m¡embro de sí misma porque no es un matemático,

pero si imaginamos el conjunto de todas las cosas pensables, sí se

pertenece, pues lo estamos pensando en el mismo momento de

escribirlo. En notación matemática, tendúamos R = {X : X S X\,yla

pregunta surge naturalmente: Zestá R en R? Supongamos por unmomento que R perteneciera a R, entonces R no incluye a R,tal y como afirma la propiedad que define Ia clase. Debemos en-tender entonces que R no pertenece a R; sin embargo, en esecaso, automáticamente debería estar en R, pues R contiene a to-das las clases que no son miembros de sí mismas. En definitiva,R e R e R É R, to cüa1 viola el axioma del tercio excluso (un

elemento pertenece o no pertenece a un conjunto: cualquier otraposibilidad está excluida), heredero directo de la idea griega de que

entre el ser y el no ser no hay nada.

La paradoja de Russell puede ilustrarse fácilmente con el casode un pueblo donde el barbero afelta sólo a los que no se afeitana sí mismos: Zquién afeita al barbero? Pero mi ejemplo favorito esel de una biblioteca tan vasta que es preciso componer un catálo-go que aglutine todos los catálogos anteriores. Tras una discusiónacaiorada, uno de los bibliotecarios propone crear el catálogo detodos los catálogos que no se citan a sí mismos. Todo el personal

se pone manos a la obra; trabajan durante años día y noche, hastaque terminan con todos los anaqueles, y ya sólo queda el volumenque llevan tanto tiempo preparando. ZTendrán que incluirlo o no?

Igual que a los bibliotecarios, a Russell en un primer momentola paradoja le pareció una curiosidad entretenida, un juego de in-genio para el que antes o después daía con una solución simple.Pero los días se iban sucediendo con rapidez sin que Russell en-contrara resquicio alguno en su razonatniento y comenzó a preocu-parse:

"Todas las mañanas me sentaba ante una hoja de papel en

blanco. Durante todo el día, salvo un breve intervalo para comer,

miraba fijamente la hoja en blanco. A menudo, cuando llegaba Ia

noche, la hoja seguía intacta. Los dos veranos de 1903 y 1904 están

grabados en mi mente como un periodo de absoluto estancamiento

intelectual".

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Mientras tanto, la difusión de la paradoja conmocionaba todos

los círculos matemáücos europeos: en Francia, Poincaré, enemigo

de la nueva lógica, repetía üctorioso: "La lógica formal no es estéril;

produce contradicciones". En Inglaterra, Whitehead, el maestro de

Russell. anunciaba el fin "de las mañanas alegres y seguras". Y

en Alemania, Frege reüsaba las galeradas de los Grundlagen derArithmetih (Fundamentos de la aritmética), donde se emplea re-petidamente la noción intuitiva de clase, cuando tuvo noticia de laparadoja a través de una carta del propio Russell: "Nada más tristepuede suceder a un escritor científico que ver cómo, después dehaber terminado su trabaio, uno de los fundamentos de su cons-trucción se tambalea" -añade corpo apéndice.

Entre 1906 y 1908, Russell creyó encontrar una solución defini-tiva al problema de las paradojas introduciendo la teoría de tipos.Arrtes había desarrollado un análisis de las descripciones, que per-mitía entender mejor el significado de frases como "el actual reyde Francia", o "el mayor número primo". También "el conjunto detodos los conjuntos que no son miernbros de sí mismos" pertenece

a este tipo de sentencias bien construidas, pero de referente vacío.Una primera opción sería condenarla, pues su aceptación conducea paradojas insalvables, pero resultaría imposible saber qué ex-presiones similares tampoco son válidas; era necesario un criterioque permitiese discernir unas de otras. Según Ia teoría de tipos, lasclases se diüden en distintos niveles en función del carácter de losobjetos que las componen: los elementos tienen tipo uno, las clasesde elementos forman un segundo tipo, las clases de clases, el terce-ro, las clases de clases de clases son las entidades de tipo cuatro, yasí sucesivamente. La norma es que sólo se puede afirmar o negarla pertenencia de un tipo n a la clase de tipo n + l; por eso, la sen-tencia R e R está mal formulada, al tratarse de un enunciado entreelementos del mismo tipo. Apoyándose en la teoría de tipos, Russellreconstruyó su üsión logicista, y la puso en práctica escribiendo en-tre 1907 y 1910, a razón de más de diez horas diarias, los tres gruesos

volúmenes que componen los Pzh cipio Mathematica. Para el inglés,las matemáticas enteras eran reducibles a la lógica, pues todos susconceptos podían definirse partiendo de unas pocas nociones pu-

ramente lógicas, y cualquier teorema sería deducible también apartir de estos principios. Sin embargo, no fue Russell, sino DavidHilbert quien puso más atención en cómo solucionar el problema.

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Páginas manuscr i tas de David Hi lber i

El prograrna de Hilbert

Cuando Russell descubrió la paradoja que lleva su nombre, Hil-

bert acababa de cumplir cuarenta años y era el matemático más

prestigioso de su generación. Sólo dos años antes había pronuncia-

do en el auditorio de la Sorbona una conferencia en la que comen-

zaba dirigiéndose así a Ia comunidad matemática:

"ZQuién de nosotros no se alegraría al levantar el velo tras el que

se oculta el futuro; de echar una mirada a los próximos avances de

nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo durante los siglos

futuros? iCuáles serán los objetivos concretos por los que se esfor-

zarán las mejores mentes matemáticas de las generaciones venide-

ras? ZQué nuevos métodos y nuevos hechos descubrirán las nuevas

centurias en el amplio y rico campo del pensamiento matemático?"

Hilbert estaba convencido de que las matemáticas avanzan me-

diante la resolución de problemas, y de que un campo donde no

surgieran cuestiones nuevas cada día era una rama muerta de ladisciplina; por ello, en París insistió mucho en qué significaba resol-ver un problema -en la necesidad de dar con un argumento que,partiendo de un número finito de hipótesis formuladas en términosexactos, llegara a la conclusión tras un número finito de deduccio-nes lógicas-, y, para fijar sus ideas, escogió los veintitrés problemasabiertos a su juicio más importante,s, entre lOs-.qlié.eafe destacarlos dos primeros, directamente relacionados con la obra de Gódel:

I ) El problelna de Cantor del núrnero cardinal del continuo:

"Todo sistema de infinitos números reales es o bien equivalenteal coniunto de los números naturales o bien equivalente al corrjuntode todos los núrneros reales".

2) La compatibil idad de los axiomas de la aritmética:

"Demostrar que los axiom¿Ls no son contradictorios, es decir.que un núlnero finito de pasos lógicos basados en ello nunca puedellevar a resultados contradictorios".

Hacia 1892 Hilbert había abandonado el estudio de la teoúade números para dedicarse al de los fundamentos de la geometíaelernental, donde se proponía ver qué axiomas eran necesarios ycuáles no; fruto de este trabajo surgió Grundlagen der Geometrie(Fundomentos de lo geometría), que cosechó un enorme éxito. Hil-bert pretcndía también inaugurar un lenguaje preciso en el que laelección por convenio de una u otm palabra no afectara en abso-luto al significado de los resultados; en este sentido es famosa lacarta que le escribe a Felix Klein donde asegura que ,,uno deberíapoder decir siempre, en lugar de 'puntos, líneas y planos', ,mesas,

sillas y jarras de cerveza"'. Más adelante dedicó esfuerzos simila-res a persuadir a los científicos de las ventajas que conllevarÍa unaaxiomatización de la física, y se fueron obteniendo de este modoresultados como los cie Hamel para la mecánica clásica (1903), oRobb en la relatiüdad especial (1914). En resumen, Hilbert era elhombre al que acudir con un problema de fundamentos.

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En su opinión, el descubrimiento de las tres paradojas que he-

mos mencionado tuvo una consecuencia doble: por un lado, re-quería reformular el edificio matemático de modo que éstas que-

dasen eliminadas, pero era necesario hacerlo con mucha mayor

precisión que hasta la fecha para poder asegurar que no volverían

a surgir otras contradicciones. Con este propósito, Hilbert desa-

rrolló su programa a lo largo de casi veinte años. En un artículo

aparecido en 1926, "Sobre el infinito", argumentaba que el único

modo completamente satisfactorio de escapar de las paradojas sin

cometer alta traición contra el espíritu de las matemáticas consistía

en clarificar la naturaleza del infinito, que se había demostrado

útil como constructo teórico, pero no aparecía realizado en ningún

rincón del Universo ni del pensamiento racional. Si el infinito era

la causa de la crisis, todas las pruebas debían ser sustituidas por

razonamientos finitarios. Hilbert nunca llegó a precisar a qué se

refería exactamente, pero sí dio algunos ejemplos de qué aspecto

tendrían esas nuevas matemáticas; así, demostró que la estructu-

ra ü = (N, *, l), con cinco axiolnas y un par de reglas deCuctivas

forma una teoría consistente. Pero se trataba sólo de una "mínima

aritmética, como una franciscana florecilla", y era difícil intuir dequé manera podrían extenderse estos razonamientos a estructuras

mucho más complejas.

Hilbert se dio cuenta también de que -bastaba con probar la

consisterrcia de la aritmética de Peano, porque a partir de ella,

usando razonamientos estrictamente finitarios, podría demostrarse la

consistencia del análisis o la geometúa. Pero, mientras la geometría se

había axiomatizado desde la aritmética, nadie sabía muy bien sobrequé teoría podúa demostr¿üse la consistencia de la aritmética. La con-

tribución más destacada de Gódel en este aspecto sería hacer hablar

de laaritméticaalospropios números, mediante un código que luego

se llamó gódelización Aún así, no había razones para el optimismo

con el que Hilbert se dirigió de nuevo a los matemáticos algunos

años después: "No hay ningún problema irresoluble. En lugar del

ridículo lgnorobimus, nuestro credo es: 'Debemos saber, sabremos"'.

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Conjunto de Mandelbrot .

iQuién no lo habría imaginado?

En definitiva, Hilbert tenía Ia esperanza de que lo verdadero fue-

ra equivalente a lo demostrable: si la isla de las verdades tenía forma

de circunferencia, los teoremas se iían aproximando infinitamente

a ella, como una sucesión de polígonos inscritos; y, al pasar al lími-

te, el velo del futuro quedaría descubierto para siempre. Con sus

teoremas de incompletitud de 1931, Kuri Gódel demostró que ese

archipiélago soñado por Hilbert era en nealidad una ínsula extraña,

de costas abruptas y salientes tan irreguJares que, a cada intento de

cubrirlos, se fragmentaban como un fraclal huidizo.

Para ello, tuvo que considerar primero que los enunciados ma-

temáticos eran simples cadenas de sÍrnbolos que se manipulan de

acuerdo con unas reglas de transformacón formales. Con este en-

foque sintáctico, podría guardar en rni, ordenador dos borradores

distintos de estas páginas, llamándolos "capítulo dos" y "capítulo 2",

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que para mí tienen exactamente el rnismo significado, pero la

máquina interpreta como cadenas distintas, cuyo contenido tal vez

no tenga nada en común. Así, una proposición es demostrable si

puede obtenerse de los axiomas manipularrdo los símbolos hasta

llegar al resultado. Como nos gusta pensar que las teoías se re-

fieren a algo, bien sea a los números naturales o las integrales de

Lebesgue, llegado este punto se introducen las nociones de verda-

dero y falso, que se maneiaron durante mucho tiempo de modo

intuitivo, hasta que en un artículo de más de doscientas páginas,

publicado en polaco en 1933, Alfred Tarski dio una definición formal

de verdad. Tarski no se proponía dar a la palábra "verdadero" un

nuevo significado, sino capturar matemáticamente la noción aris-

totélica de verdad como correspondencia entre lo que se afirma

sobre la realidad y lo que la realidad es. De la misma forma que

"la nieve es blanca" si y sólo si la nieve es blanca, una sentencia

A será verdadera en una teoría si y sólo si, al interpretar A en la

estructura a la que se refiere, A es verdadera. Mientras la sintaxis se

ocupaba en exclusiva del uso de los símbolos, la semántica pone50 51

en contacto dos parcelas separadas: las expresiones de un lenguajey los objetos a los que se refieren esas expresiones.

Gódel abrió la distinción entre la sintaxis y la semántica de lasmatemáticas con su tesis doctoral de 1929, en Ia que establecíael teorema de completitud: en el sistema axiomático de la lógica

- de primer orden, si una afirmacién es verdadera, entonces puededemostrarse. A este resultado positivo, sin embargo, siguieron dosteoremas de incompletitud con los que el segundo de los veintitrésproblemas de Hilbert quedaba resuelto en sentido negativo: en unsistema axiornático aparentemente tan sencillo como la aritméticausual, sobre Ia que Russell había construido los Principia Mathe-matica, existen proposiciones formalmente indecidibles, es decir,afirmaciones verdaderas que no pueden demostrarse ni refutarse.El programa de Hilbert estaba abocado al fracaso: Zquién no lohabría imaginado?

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Un n' i ño inquis ' i t ivo( 1906-1,924)

Brno es hoy, con una población de alrededor de cincuenta milhabitantes, la segunda ciudad en importancia de la República Che-ca. Situada al sureste del país, en Ia confluencia de los ríos Sütava ySwatka, es e! fruto de una historia tan larga como agitada. Allí pasa-ron su juventud Robert Musil y el físico y filósofo Ernst Mach, cuyastesis constituirían una suerte de programa fundador del círculo deViena. Fue también en Brno, en el interior de un pequeño monaste-rio al pie de la colina Spielberg, donde Gregor Mendel llevó a cabolos experimentos con guisantes lisos y rugosos qrre le permitiíanenunciar las leyes de la genética. Pero, más que por un puñado dehombres ilustres que r.'ivieron en sus calles, el devenir de la ciudadestuvo marcado siempre por los conflictos entre dos grupos étnicos:los eslavos y los sajones.

Los primeros asentamientos checos de la zona se remontan alsiglo ! si bien habúa que esperar hasta 1243 para que el rey con-cediera priülegios a esta antigua aldea, donde había comenzadoa establecerse poco a poco un grupo de comerciantes germanos;

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seguían siendo minoría, pero controlaban una parte sustancial de

las finanzas. A mediados del siglo XVI la Reforma se extendió rápida-

mente, conquistando también a una aristocracia que había hecho

oídos sordos a la advertencia de los Habsburgo de que no hay sal-

vación fuera del catolicismo. Estas y otras tensiones acumuladas

condujeron a la Guerra de los Treinta Años, que asoló Europa cen-

tral entre 1 61 8 y I 648 y dio lugar a que las tierras se incorporaran al

imperio y pasasen a ser gobernadas desde la capital. Ya en el siglo

XX, cristalizó con fuerza un sentimiento nacionalista que llevaba

siglos fraguándose: varios líderes políticos, con Tornas Masaryk a la

cabeza, huyeron del país y fundaron en Francia el Consejo Nacional

Checoslovaco, que, tras la derrota austriaca en la Ftimera Guerra

Mundial, se convertiía en el primer gobierno del nuevo estado de

Checoslovaquia. Aun así, la inteligentsia y la alta sociedad estu-

üeron en todo momento del lado de los alemanes: Gódel nunca

llegaría a aprender checo, y hasta que le fue concedida la naciona-

lidad austriaca, en 1929, siguió confesando sin tapujos que se sentía

un exiliado.

Los antepasados de nuestro protagonista de los que tenemos

noticia proüenen, tanto por el lado paterno como materno, de

Bohemia y Moravia, y habían recalado en Brno atraídos por su inci-

piente industria textil. A finales del siglo XIX la ciudad era uno de los

principales focos industriales de Austria, que había seguido el ejem-

plo alemán y gozaba de una economía floreciente. Josef, el abuelo

de Gódel, se suicidó cuando su hijo Rudolf Gódel era todavía muy

joven, y esto, añadido a la escasez de recursos de la familia, deter-

minó que no fuera su madre, sino sus tíos Anna y August quienes lo

educaran. En üsta de que no podía con las exigencias académicas,

pronto decidieron dar al muchacho una formación más práctica en

una escuela profesional. Con el cambio, Rudolf mostró un talento

que había permanecido oculto hasta la fecha, gracias al cual ob-

tuvo su título con sobresaliente y se puso a trabajar en el taller de

Friedrich Redlich, donde permaneció hasta su muerte. No era un

empleado corriente: la empresa lo apreciaba mucho y con el tiem-

po llegaría a ser copropietario y accionista. Por la correspondencia

conservada por sus hijos sabemos que poseía derechos sobre va-rias patentes y que trabajó hasta sus últimos días en la mejora delas técnicas del sector.

El 22 de abril de I 90 I Rudolf Gódel contrajo matrimonio con Ma-

rianne Handschuch. Su familia compartía con los tíos AnnayAugust

el número nueve de la calle Báckergasse (hoy Pekarská), un edifi-

cio con patios donde se reunían los vecinos para conversar o tocar

música. Los Handschuh, procedentes de la cuenca del Rin, también

se dedicaban a la industria del cuero, lo que facilitó la relación entre

ambas familias. Además, Gustav, el abuelo materno de Gódel, era

un personaje bastante conocido en Brno por su participación en

la vida pública: había ay'r-rdado a fundar el servicio de ambulancias

e intervino en otras muchas empresas. Tuvo que trabajar mientras

estudiaba y, como no disporrÍa del dinero suficiente para adquirir

los libros, en varias ocasiones se vio obligado a copiarlos a mano,

o a memorizar sobre la marcha las e-xplicaciones del maestro. Por

eso, se propuso dar la mejor educación posible a la madre de Gódel

y sus hermanos, que estudiaron en el Liceo Francés con los hijos

de las familias más influventes.

Marianne había nacido el 3l de agosto de 1879 y, a diferencia

de su madre, que cultivó siempre una tristeza sostenida, pasó una

infancia muy feliz en el paisaje seguro de aquella Europa de final

de siglo; sólo tras la muerte de su marido, y la de algunas amigas

en campos de exterminio nazi, comenzó a envoiverse en un halo

de melancolía. Sus hijos la recuerdan contemplando absorta los

ejercicios de los patinadores sobre hielo, cuyo milagroso don del

equilibrio la sorprendía a cada paso. Le gustaba también charlar

hasta bien entrada la noche, o montar representaciones de tea-

tro, aunque su especialidad era acompañar los lieder de Schubert

o Strauss al piano; de hecho, durante toda su vida lamentó que

ni Rudolf ni el joven Gódel se aficionaran a la música. Fue una

mujer de gran cultura, cuya biblioteca contenía toda una sección

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dedicada a Goethe y que, tras el ascenso de los totalitarismos enEuropa, leyó cuantos libros de política e historia cayeron en susmanos para tratar de comprender las causas del desastre. Sabíade memoria muchos poemas, y prefería las lenguas en las que lascosas se aprenden de corazón ("by heart", "par coeur"), por la ex-traña intimidad que se establece entre la razóny el sentimiento. Sinembargo, no perdió nunca su interés por los asuntos domésticos:

durante la Primera Guerra Mundial invitaba al menos una vez por

semana a un amplio círculo de amistades y, aunque tenÍa sirvientes

encargados de la comida, era ella quien superüsaba cada detalle

del evento.

La fami l ia Góde1.

Tras la boda, los Gódel se mudaron a la calle Gomperzgasse(actualmente Bezrucova), donde el 7 de febrero de 1902 nació suprimer hijo, Rudolf. AI hacer recuento de su üda setenta aÍios des-pués, sería él mismo quien reconociese que el matrimonio de suspadres "no fue una cuestión de amor, pero estuvo siempre lleno

de afecto y simpatía". Marianne admiraba cómo Rudolf se había

abierto camino en un terreno hostil y había pasado en poco tiem-

po de empleado menor de la industria a copropietario de uno de

los talleres más prestigiosos. El padre de Gódel, más distante, no

dejó nunca de admirar la cultura y los encantos sociales de su es-

posa, además del cariño con el que leía o cantaba para sus hijos.

Arrrbos permanecieron toda su üda muy unidos a su madre y, cuan-

do la distancia los separó, le escribieron multitud de cartas: a los

cuatro años Gódel aún lloraba desconsoladamente cada vez que

Marianne salía a hacer algún recado y, en opinión de varios de sus

colegas, siempre necesitó tener detrás una figura protectora. Con

el padre, que dedicaba la may'or parte del día a sus negocios, la

relación fue menos cálida; pero gracias a sus esfuerzos pudieron

disfrutar de un nivel de vida muy elevado para la scciedad de la

época (basta pensar que condujeron uno de los primeros Chrysler

de toda Austria).

Poco después de la mudanza, regresaron al número cinco de

la calle Báckergasse, dos bloques más allá de la casa en la que se

habían conocido; allí nació el 28 de abril de 1906 un niño al que

llamaron Kurt Friedrich. El bautizo de Gódel, seis días después, tuvo

lugar en la congregación luterana de Brno, y su padrino fue el jefe

de Rudolf. Marianne había sido educada en un rígido protestantis-

mo, y su marido era nominalmente católico, aunque ninguno de

los dos iba a misa con frecuencia, y todo apunta a que se trató de

una ceremonia pro forma. En casa se celebraban la Navidad y otras

fiestas religiosas, pero los Gódel decidieron criar a sus hijos como

librepensadores: el mayor fue siempre agnóstico, y la postura de

Gódel cambió varias veces con el paso del tiempo. En un cuestio-

nario remitido en 1975 por el sociólogo Burke D. Grandjean, que

constituye una fuente valiosísima para sus biógrafos, contestaba

ser "más deísta que panteísta, más identificado con Leibniz que

con Spinoza". Y en los últ imos años l legó a la conclusión de que

en los fenómenos religiosos había mucha más racionalidad de la

que se creía: el cristianismo, además de contarse, podía ser ex-

plicado.

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A medida que los niños se hacían mayores' el piso de la calle

Báckergasse se fue quedando cada vez más pequeño' Al fin, en

1 9l 3, los Gódel decidieron trasladarse a una casa situada en la parte

alta de la colina spielberg, un oasis de verdor en el paisaje negro

de la industria. La casa, recién cónstruida, tenía tres pisos, además

de un precioso vestíbulo modernista: la familia vivía en la planta

baja, la primera estaba reservada para la tía Anna 1'en la superior se

construyó un apartamento que sólo ocuparía Pauline, la hermana

soltera de Marianne, una vez terminada la Segunda Guerra Mundial.

Dos perros solían corretear por un jardín con árboles frutales, sobre

el que Marianne escribió alguna vez un verso tan hermoso como

decadente: ,,Morir no sería tan terrible como perder la primavera".

En la azotea, Rudolf y Kurt pasaban muchas horas jugando con

un telescopio, con el que apuntaban a los pináculos de la catedral

gótica de Brno y en algunas ocasiones conseguían ver partir los

trenes de la estación de Viena.

La casa de 1os GodeI

a1 pie de 1a col ina

Spielberg en Brno

De la infancia de Gódel, su hermano recuerda sobre todo lacostumbre de preguntar por la razón de cualquier cosa: con cincoaños, la familia ya se dirigía a él cariñosamente como ,,der HerrWarum" (el señor Por qué), y se conservan varios retratos en iosque mira a la cámara con una fijeza poco corriente, tratando deaveriguar tal vez los secretos de Ia fotografia.

Como gran parte de los niños, Gódel suponía que todo tieneuna explicación; por eso, sus dudas no se l imitaban a fenómencscientíficos de causas fáciles, sino que le interesaba también el posi-ble orden de lo impredecible: por qué al lanzar un dado sale ciertonúmero o cuáles son las probabilidades cle que llueva de aquí a unaño. Más que preguntas embarazosas -aunque una vez interrogó auna inütada sobre el tamaño de su nariz-, Gódel elegía cuestionesque todos consideran carentes de respuesta. piaget y otros psicólo-gos del desarrollo cognitivo han estudiado en qué momento de lainfancia aparecen este tipo de preguntas y cuál es la edad en que re-

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miten. Gódel las mantuvo durante toda su üda, convencido de que

el caos es una apariencia errónea. Tras su muerte, se encontraron

varias anotaciones en las que recogía catorce principios fundamen-

tales para entender la realidad, con enunciados que recuerdan al

Wittgensteirr del Troctatus: el primero aseguraba que e/ nuffitlo es ra-

cíonsl.Es posible que esta fuera una de las razones que Io llevaron,

como veremos, a abandonar sus estudios de física para adentrarse

por las matemáticas, donde él veía todo en orden: , 'Podtmls rcuutirlo

mísno sobre ln rutlídndl -pregunta en una carta.

Gódel fue un alumno bril lante: salvo contadas excepciones, ob-

tuvo siempre las mejores notas, y uno de los entretenimientos favo-

ritos de su madre era contar historias del talento infantil del mucha-

cho, en las que ella habría üsto un anticipo de sus triunfos académi-

cos. Gódel comenzó las clases en septiembre de 1912 en una es-

cuela protestante cercana a su domicil io. En primaria, Gódel reci-

bió clases de lectura y escritura, gramática alemana, aritmética, geo-

grafía e historia, ciencias naturales, dibujo, gimnasia y religión. A los

ochos años, padeció una fiebre reumática que le haría desarrollar

una hipocondría crónica: aunque los médicos le aseguraron que la

recuperación había sido absoluta, el señor Por qué no puedo evitar

leer todos los manuales existentes al respecto, y entre ellos los que

describían con detalle secuelas terroríf icas. Viüó desde entonces

con el presentimiento de que su corazón se había üsto afectado por

la enfermedad; esto le condujo a faltar mucho a clase (entre veinte

y treinta días al año), y a que en el curso siguiente fuera eximido de

practicar educación física; aún así, sus calificaciones no bajaron.

En el ínterin, el asesinato del archiduque Francisco Fernando

propició el ataque de Austria a Serbia con el que se iniciaba la

Primera Guerra Mundial. Para los Gódel, el conflicto tuvo efectos

fundamentalmente económicos, si bien es razonable pensar que

se percibiría al mismo tiempo un cambio más sutil -pero de conse-

cuencias no menos duras- en los valores de ese "mundo de ayer"

que describía Stefan Zweig en sus memorias. Mientras tanto, al me-

nos, Brno quedaba lejos de los campos de la contienda, los niños

eran demasiado jóvenes para enrolarse en el ejército, y Rudolf tuvo

la fortuna de no ser llamado a filas. Pese a ello, sus conücciones

políticas Ie habían llevado a inverlir mucho dinero en préstamos deguerra, que perdió tras la derrota de los Habsburgo. Se redujeron

de esta forma los ingresos de la familia, pero los Gódel pudieron

conservar l;) casa, y ei cambio de nivel de üda no l legó a afectar a

la educación de los chicos. Tarrto es así que lo único que recordaría

Gódel años más tarde fue cómo los partes de guerra incrementa-

ron su afición al ajedrez y a otros j,-regos de estrategia: en muy poco

tiempo, inspirándose acaso en los movirnientos militares, se convir-

t ió en un gran jugador a! que sólo conseguían vencer los ajedrecistas

más avezados.

En julio de 1916, con sólo diez años, Gódel obtuvo el título de la

escuela primaria y entró en un instituto situado en las inmediacio-

nes de la fábrica paterna. Se trataba de un centro público donde la

mayoría de los alumnos eran calólicos, y la lengua predominante, el

alemán. Cada año se matriculaban alrededor de cuatlocientas cua-

renta personas, de las cuales no más de un tercio completaba sus

estudios: el primer curso, la clase de Gódel tenía noventa y dos estu-

diantes, pero en 1 9l 8 el número de asistentes ya se había reducido atreinta y seis, entre ellos una única chica. Gódel se sentía atraído por

todas las materias, pero le interesaban más las lenguas que la histo-

ria o la l i teratura. Siguió sacando las mejores notas, con la excepción

de imatemáticas!, en las que los primeros informes dan cuenta de

un notable, tal vez a causa de su edad. Sin embargo, sus com-pañeros recuerdan que ya entonces se había despertado su interéspor esta disciplina. A los catorce años su talento para la geornetría

era conocido por todos, y los únicos artículos no dedicados a la lógi-

ca que escribirá más adelante se ocupan, con una concisión inau-

dita, de cómo resolver algunos problemas de geometría diferencial

sin hacer uso de la pesada maquinaria de las coordenadas ("Sobre

la inmersibilidad isométrica de cuádruplos de puntos en la super-

ficie de una esfera" y "Discusión sobre geometría diferencial sin

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coordenadas", 1933). A los dieciséis, al estudiar en profundidad la

obra kaniiana, le impresionó muchísimo su descripción de cómo se

construye el conocimiento a partir de las sensaciones más básicas.

Latín y francés eran obligatorios, y Gódel escogió la lengua de

Shakespeare como optativa. El checo era todavía un idioma en pro-

ceso de normalización, después de que su uso se hubiera limitado

durante siglos al ámbito de la agricultura; tenía entonces la vitalidad

de las palabras que se oyen por prirrrera r"ez, yMadimlr Holan había

comenzado ya a escribir algunos de los mejores poemas del siglo

XX en esa lengua. Sin ernbargo, Gódel no se interesó por aprenderla

ni siquiera cuando se convirtió en el idioma oficial de checoslova-

quia, y sus profesores se sorprendían de no haberle escuchado una

sola palabra en checo. No hay duda de que este rechazo respon-

de al nacionalismo alemán en el que sus padres lo educaron, y

a la idea común de que Ios eslavos eran una raza inferior' pues

Gódel siguió interesándose por otras lenguas (italiano, holandés)

y guardaba una buena colección de diccionarios en su biblioteca

personal. Me gusta imaginarlo, a muy temprana edad, escogiendo

uno de esos tomos gruesos y encontrándose con una palabra cuyo

significado desconocía por completo, con un nombre de sonoridad

sagrada que bien podía ser una especie poco común de reptiles

amazónicos, o una cerbatana de los indígenas de Australia. Bus-

cando, por ejemplo, negligencio en el diccionario, y encontrando

otro término desconocid o, honestidad, al que remite la definición;

corriendo a esta última palabra hasta dar conun pudor incompren-

sible, fruto del descuido, que no es sino omisión o negligencio'Y

vuelta a empezar: podría haber pasado horas y horas en este bucle

infinito que nunca saciaúa su curiosidad:

ne glige nc ia. honestidad, modestia

honestidad. recato, Pudor

pudor. descuido, omisión

descuido. omisión, negligencia

Como señala Douglas R. Hofstadter en su interesante Gódel,Escher, Bach. Un eterno y grácil bucle, nuestro protagonista diosentido matemático a los bucles que se esconden desde tiemposinmenroriales en la música, el arte o las palabras. Un paseo por eldiccionario no habría sido mala fuente de inspiración. ZFue así comointuyó los límites de Io decidible?

En cuanto a las ciencias, por los cuadernos de notas conser-vados sabemos que el programa de matemática.s cubría el álgebraelernental, la geometría descriptiva del plano y el espacio, y nocio-nes rudimentarias de cálculo en una variable. Más que en deduc.cicnes del esti lo de las de Euclides, los maestros ponían énfasis enmétodos constructivos para levantar perspectivas, dibujar poliedroso proyectar cilindros. Otras asignaturas que cursó durante su estan-cia en el instituto fueron zoología, psicología o geografía e historia.De su primer curso se conserva un trabajo con el título Metales alseruicio de la humanidad, y también traducciones y comentariosde texto de distintos pasajes del Cantar de los Nibelungos.

Las opiniones sobre la calidad de la enseñanza de su institutovarían mucho de unas personas a otras: algunos compañeros declase lo consideraban como uno de los mejores centros de la mo-narquía austriaca primero y luego de Checoslovaquia, mientras quemuchos otros recordaban con horror la atmósfera autoritaria, la ri-gidez de los métodos de aprendizaje y la falta total de interacciónentre los profesores y los alumnos. Gódel parecía encontrarse entrelos segundos, tal y como se desprende de una cana a su madre es-crita en 1960, en respuesta al envío de un libro sobre la historia deBrno, que olüdaba mencionar el colegio sryramefife porque su pasadttno es dígno rle alcbanza, o íncluso vergonzoso,lo cualno me sorpre nde cousíderrrn,dolqs condícíones annda estffi,e allí. En cualquier caso, había un númeroconsiderable de profesores en relación al de alumnos y en gene-ral estaban bien cualificados (de los veintiuno que dieron clase aGódel, por ejemplo, once se habían doctorado ya). Georg Burggraf,que enseñaba física y matemáticas, fue quien más impresionó al

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ioven Gódel, aunque en el cuestionario de Grandjean, a la pregunta

de qué influencia destacaría como especialmente importante para

el nacimiento de su interés por las matemáticas, contestó con unaescueta referencia a un libro introductorio al cálculo de la editorial

Góschen.

No debemos olvidar otra de las asignaturas que Gódel cursó enel instituto y que desempeñaría urr papel importante en su üda,al t iempo que ha dificultado muchísimo la tarea de quienes traba-jan sobre sus archivos: el sistema de taquigrafía Gabelsberg, que

empleó primero para tomar apuntes, y luego en la preparación

de artículos 1'conferencias. Actualmente, el uso de estos métodos

está restringido a ciertos países, y al mundo de los negocios o el de-recho, pero en la Europa de la primera mitad del siglo pasado era

común que los científ icos lo aprendiesen para agil izar en la medlda

de lo posible la escritura de sus textos: tomaban así notas e incluso

a veces escribían cartas con este sistema. No debemos imaginarnos

un esti lo de escritura criptográfico, como el de la máquina Enigma,

pues su uso estaba demasiado extendido como para que a alguien

se le ocurriera proteger así la información del enemigo. ExistÍan

dos sistemas diferentes, el Gabelsberger y el Stolze-Schrey, que se

unificarían unos pocos años después de que Gódel aprendiese elprimero. Por eso, los biógrafos tienen que enfrentarse no sólo a

símbolos obsoletos, sino también a dos posibles interpretaciones.

Sus compañeros recuerdan a Gódel como un chico introverti-

do, con una tendencia natural al aislamiento y a ensimismarse en

sus papeles. En las fotografías de la época luce ya esas gafas circu-

lares de pasta negra que lo acompañaron siempre, reforzando su

imagen de estudioso. Su interés por participar en actiüdades depor-

tivas disminuyó gradualmente: durante el curso 1917-1918 estuvo de

nuevo exento de la asignatura de educación física y dejó de nadar

y hacer gimnasia, actiüdades que hasta la fecha le habían gustado,

para dedicar más tiempo a la lectura. Tampoco solía acompañar a

su familia en las excursiones de fin de semana a Moraüa, lo que

originó varios conflictcs con su padre. En una de esas salidas de

domingo, sin embargo, leyó e interpretó con Marianne una página

de la biografía de Góethe escrita por Chamberlain que hablaba de

la teoría del color del escritor alemán y de cómo entraba en conflic-

to directo con la descomposición mediante un prisrna hecha por

Newton; años después consideraría este descubrimiento como fun-

darnental en su elección del estudio de la lógica. Sabemos que tuvo

al menos dos amigos: Harry Klepetar, su compañero de pupitre, y

Adolf Hochwald, con el que jugaba al ajedrez.

El l9 de junio de 1924, Gódel se graduó con sobresaliente en el

instituto: su nombre era uno de los cuatro que aparecían en negrita

en el anuario, distinción reservada a los mejores estudiantes. En

palabras de su hermano, por aquel entonces Gódel teníaya un nivel

de matemáticas similar al de un l icenciado, por lo qrre podría haber

empezado directamente los cursos para doctorarse. Sin embargo,

al trasladarse a la Universidad de Viena, donde Rudolf llevaba ya

cuatro años estudiando medicina, se matriculó en física en lugar de

hacerlo en matemáticas.

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Años de aprendizaje(L924 - 1"929)

Laüda de los Gódel dio un nuevogiro cuando Kurt, tras comple-tar su educación secundaria en Brno, decidió trasladarse a Viena,donde su hermano estudiaba medicina desde 1919. Por norma ge-

neral, los trenes cubían en apenas tres horas el trayecto que separalas dos ciudades, pero, recién termirnda la Primera Guerra Mundial,algunos üajes llegaron a prolongarse más de quince. Austria ente-ra sufría racionamlentos, y Ia escalada desmedida de los preciosllegó a convertir en bienes de lujo productos de primera necesidadcomo el carbón o el trigo. Por eso Marianne procuraba llevarlescomida a sus hijos a menudo, mientras se hacía a la idea de quesu marcha quizá fuese definitiva:'tras el ocaso de la monarquíaaustro-húngara, las perspectivas de que un alemán hiciese carreraen Checoslovaquia no eran favorables.

Sin embargo, la actitud de los dos hermanos era muy distinta:si el mayor solía lamentarse de que "tuvieran que permanecer enAustria para siempre", Gódel contemplaba entusiasmado cómo lagran cultura üenesa elevaba su horizonte de proüncias a cada mi-

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nuto. Antes de mudarse, nuestro protagonista había tenido contactocon la ciudad gracias a varias üsitas de fin de semana, y tambiénpor medio de Rudolf y de las crónicas de sociedad del periódicoNeue Freie Presse, que le gustaba hojear.

Pese al descalabro de su economía, la herencia cultural y losmonurnentos arquitectónicos que transforrnaron la Viena de fina-les del XIX en el centro metafórico del mundo habían permanecidointactos durante la guerra, y la universidad conservó siempre suprestigio. Basada en el modelo germano, su estructura descendíadirectamente de la de los centros de enseñanza medievales: así,de las cuatro escuelas, tr-es estaban consagradas a la formacióntécnica (teología, leyes y medicina), y sólo la facultad de filosofíaponía el énfasis preciso en la "investigación libre en las artes libe-rales y las ciencias". Los estudianLes asistían a escuelas diferentesen función de hacia dóude encaminaran su futuro, y era habitual,hasta que los nazis lo prohibieron, que se reunieran en fraternida-des. En cuanto a ios métodos docentes, Hermann Weyl recuerdaque solían combinarse las clases magistrales con la resolución deejercicios en los laboratorios y los seminarios de investigación, con-ducidos por los Priuatdozenl, profesores cuyo único sueldo con-sistía en las pequeñas tasas de inscripción que estaban autorizadosa cobrar a los asistentes. Los profesores contaban a menudo conla ayuda de colaboradores jóvenes que se encargaban de resolverIas dudas de los estudiantes y calificar sus ejercicios, pues las cla-ses eran muy numerc¡sas: las de Philip Furtwángler sobre teoría denúmeros podían llegar a congregar a trescientos o a cuatrocien-tos aiumnos. Furtwángler, sobrino del famoso director de orquesta,sólo enseñaba la asignatura cada tres años, en alternancia con susclases de álgebra y cálculo diferencial; Gódel tuvo la suerte de asis-tir a ellas, Ias nejores que o7ó tlufica, y, al parecer, fue este el detonantede su cambio de vocación.

Cuesta imaginar, ahogados en las modernas burocracias, quetuüese éxito un sistema donde las normas quedaban reducidas a

su mínima expresión: no sólo no era necesaria preparación algu-

na para acceder a la universidad, sino que los estudiantes podían

inscribirse en todas las asignaturas que creyeran oportuno. Para

comprobar si su elección había sido correcta, disponían de las hos-

pitieren, varias semanas al inicio del curso en las que eran libres

de cambiarse de clase antes de pagar la matrícula. Tampoco había

exámenes ni se ponían notas, y la diferencia entre los graduados y

los que aún no lo eran casi se limitaba a una cuestión de edad. El

único requerimiento para obtener ei título era una prueba de habi-

l itación al f inal de la carrera, que se dejaba en manos del estado,

y que solía requerir tres o cuatro años de estudio en uno o varios

centros distintos. De hecho, era costumbre que los alumnos más

brillantes cambiaran varias veces de universidad, atraídos por la

fama de algrin p¡s¡stor que enseñaba en ellas. Así, John von Neu-

mann, al que volveremos a encontrar más adelante, fue admitido

en la Universidad de Budapest, pero en la práctica sólo se exami-

naba allí: asistía a las clases de Einstein en Berlín y a los seminarios

de Hilbert en Góttingen, y más tarde se matriculó también en la

Escuela Politécnica de Zürich, donde coincidió con su compatriota

Georg Pólya. Naciie llegaba a comprender este extraño don de ubi-

cuidad del húngaro, que frecuentaba también los cabarets y tenía

fama de bon uiuant. Gódel, sin embargo, estudió siempre en Vie-

na, de donde no quiso salir por las frecuentes üsitas de sus padres

y Ia posibilidad de compartir apartamento con Rudolf, que había

encontrado un piso en la calle Floriangasse lo suficientemente am-

plio como para que los dos hermanos durmieran en habitaciones

separadas. La calidad de la facultad de matemáticas de Viena, don-

de enseñaban por aquel entonces Wilhelm Wirtinger, Hans Hahn,

Alfred Tauber, Ernst Blaschke, Eduard Helly, Josef Lense, Leopold

Vietoris y Lothar Schrutka, no fue, en principio, un factor decisivo.

Dado el carácter peripatético de la formación de muchos de los

mejores estudiantes, se diseñó una especie de pasaporte académi-

co, elMeldungsbuch, a efectos de guardar registro de las asignaturas

en las que se habían matriculado. No se conserva el de Gódel, pero

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sí se ha podido reconstruir con cierta exactitud el listado de cursos

a los que asistió; la cronología es, en cualquier caso, confusa, pues

solía tomar apuntes de distintas materias en el mismo cuaderno y

escribir sus reflexiones en los márgenes vacíos. Se conservan notas

de un curso sobre filosofía europea dirigido por Heinrich Gomperz

en el inüerno de 1925, en el que, tras cubrir la historia del pen-

samiento occidental hasta la Reforma, los asistentes habrían leído

textos de Descartes, Leibniz, Spinoza, Kant, Hegel y Schopenhauer.

De física sólo queda constancia de que asistió a un curso sobre la

teoría cinética de la materia en 1926, aunque las fichas conserva-

das en los archivos de la biblioteca de la universidad ilustran cuáles

fueron sus lecturas del momento: los escritos de Riemann sobre

ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y sus aplicaciones,

la introducción de Euler al análisis infinito, la Mecánica analítico de

Lagrange, junto a otros textos de Dirichlet y, cómo no,los Elementos

de Euclides.

El Círculo de Viena

En la segunda mitad del siglo XIX, entre el centro de Viena y los

barrios residenciales de la periferia se erigió la Ringstrasse, una ave-

nida circular con edificios monumentales (la universidad, el teatro

de la ópera, el parlamento), que encerraba toda la vida intelectual

en un área relativaurente pequeña y de fácil acceso. Tarnbién allí se

fueron estableciendo poco a poco los mejores cafés de la ciudad,que con el tiempo darían a Viena un toque distinto del de Londres o

París. Cuentan que el origen de esta auténtica institución austriaca

se remonta al hallazgo de grandes cantidades de café abandonadas

por los turcos tras el sitio de Viena de 1683. Al margen de lo verda_-

dero de esta historia, en 1900 los cafés se habían convertido ya en

clubes informales, espaciosos y bien amueblados, donde el precio

de admisión quedaba reducido al de una taza de café; a cambio,

los clientes tenían derecho a permanecer en el establecimiento du-rante el resto del día 1' ¿ recibir, cada media hora, un vaso de agua

l lor i tz Schl ick (1882-1936).

Asesinado en L9l6 en 1as escaleras

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Universidad de Viena Por

Johann Nelbóck, qúe habj a

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en bandeja de plata. La lectura de revistas y el uso de las mesas de

bil lar y los juegos de ajedrez no suponía coste adicional alguno para

los clientes, que tenían también a su disposición útiles de escritura;

además, los parroquianos podían solicitar que el correo les fuera

enüado a su café favorito, y muchos locales tenían un servicio de

guardarropa. Otros contaban con enciclopedias al alcance de los

escritores que quisieran trabaiar allí: era el caso del cafe Grierrsteidl,

que frecuentaban Arthur Schnitzler, Hugo von Hofmannsthal y Ste-

fan Zweig. Sus mesas de mármol constituían un soporte tan bueno

para las ideas como Ios periódicos o las publicaciones científicas.

En un café de estas características comenzó a reunirse cada

jueves un grupo de filósofos y científicos, que se hacían llamar So-

ciedad Ernst Mach. I\lach había descubierto la importancia de los

canales del oído interno para el equilibrio, y logró fotografiar balas

que viajaban a velocidades supersónicas. Sin embargo, enseguicla

centró su atención en la filosofía: era muy crítico con la metafísi-

ca y admiraba a Hume por haber puesto de relieve el abuso del

concepto de alma; para é1, igual que el dios de Laplace, el yo era

una hipóiesis que no necesitaba. La atracción que muchos miem-

bros del grupo sentían por las ideas de Mach no impidió que pronto

cambiaran su nombre por el deWíener Kreis, el Círculo de Viena.

Surgió de este modo uno de los movimientos fundamentales de la

filosofía del siglo XX, opuesto de raíz a la doctrina de Heidegger,

que otros consideran el pensador más destacado de su época- El

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cabecilla del Kre¿s era Moritz Schlick, un berlinés formado como

físico bajos las órdenes de Planck, y entre los asiduos, unos vein-

te, destacaban Otto Neurah, sociólogo, economista y filósofo de la

ciencia; Rudolf Carnap, que había sido alumno de Frege en Jena;

Philip Frank, físico; Heinz Hartmann, psicoanalista; y, por supuesto,

Gódel. Karl Popper y Ludwig Wittgenstein sólo se reunían con ellos

esporádicamente.

Pese a sus intereses comunes, los miembros del Círculo cubrían

un arnplio espectro de personalidades; no es de extrañar, por tanto,que fueran tan distintas las relaciones que mantuvieron entre ellos.

Todo el mundo reconocía la extraordinaria lucidez de Schlick, pero,

mientras para algunos era un hombre cálido y modesto, otros no

soportaban su talante aristocrático y conservador, casi dogmático.

Carnap y Neurath eran, por su parte, grandísimos amigos, aunquede caracteres opuestos: si el primero era inttovertido, cerebral y

sistemático, Neurath tenía fama de üvo e ingenioso -había ideado

un sistema de dos mil símbolos, que llamó rsotrpos, para enseñar a

leer a los analfabetos; y él mismo firmaba sus cartas con el isotipode un elefante. Además, en su artículo "Proposiciones protocolares"

nos brinda una de las definiciones más bellas de la ciencia: "somoscomo navegantes que tienen que transformar su nave en pleno mar,

sin jamás poder desmantelarla en un dique de arena y reconstruirla

con los mejores materiales". Por su parte, Carnap había sido inütado

como FYiuatdozen¿ de filosofía de la Universidad de Viena en 1926,y nada más llegar se incorporó al Círculo. Comenzó a asistir a las

reuniones más o menos por la misma época que Gódel, y los dos

reconocieron al instante la inteligencia del otro: Carnap podíallev,tr

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sólo cotro 1n'ografia,y Gódel estaba a punto de revolucionar la historia

de la lógica.

Carnap y Hahn tenían un extraño interés por los fenómenos pa-

ranormales, que Gódel también compartió, según se desprende de

su correspondencia. Los demás miembros del Kre¡s nunca alcanza-

ron a entender qué atractivo encontraban ellos en estas disciplinascompletamente ajenas a la ciencia; de hecho, parece que la rupturade la amistad entre Carnap y Wittgenstein se produjo después deque el segundo encontrase un libro sobre fantasmas cuando curio-seaba en la biblioteca del matemático austriaco. Mientras tanto, enViena proliferaban los médium, y llegó a organizarse un comité deinvestigación sobre el fenómeno, del que se conserva un memoran-do. La madre de Gódel se rnostró siempre muy crítica con el interésde su hijo hacia estos temas, a lo que él contestaba: tutt,crsíútestúnútsc¡ut jtrstíficn,ln, sobre totlo, por lo rítfícíl quc rcsultd dístinguír los_finótrentts gt:,nuítns de lqs rnezclús tle fi'autle, cretluiíclad y estufiíúz 1...1 pero tl sntído ,leli t r

_frunk n0 cs qlt( sintukt, síno qut enflL7s(úrn los result¡/,os t'erdarlert,s. Aún así,Gódel siguió interesándose por ellos durante toda su üda: no cons-ta que fornrara parte del comité, pero sí leyó nruchos libros sobrela materia, y creía tambiérr en la capacidad de algunas personas

-entre ellas su mujer- de predecir los números que aparecerían enuna ruleta o de comunicarse telepáticamente. Su amigo Morgens-tern solía recordar la sorpresa de Gódel ante el hecho de que laciencia hubiese descubierto las partículas subatómicas elementa-les y las fuerzas que las mantienen unidas, pero no de qué factorespsíquicos básicos está formado el cerebro.

En un principio Schlick se había referido a la filosofía que sedesarroflaba en Viena por aquellos años como Aonse quenter Em-pirismus, pero el nombre que ha pasado a la historia es el de posi-tiüsmo lógico. En 1929 Carnap y Neurath publicaron un manifiestodonde exponían sus ideas principales y el Círculo de Viena que-daba constituido como escuela: se organizó también un congresointernacional y, mientras surgían grupos similares en Berlín y praga,

comenzó a editarse la reüsta Erkenntnis (Conocimienfo). El punto

de arranque del pensamiento del l*eis era una cútica feroz a lametafísica y, en general, a cualquier otra corriente que sugirierala existencia de un mundo más allá del que nos es revelado porlos sentidos. Luego, el análisis del lenguaje de la ciencia dio lugara la distinción entre dos tipos de proposiciones con significado:

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las analíticas (las de las matemáticas y la lógica) son puramente

sintácticas, tautológicas; y, como nada nos dicen sobre la realidad,

su comprobación se reduce al examen formal de su coherencia. Sin

embargo, las proposiciones sintéticas (las de las ciencias natttrales)

se refieren a los hechos y tienen una verdad natural, que debe ser

confirmada por Ia experiencia.

Para los positivistas lógicos, las proposiciones metafísicas sim-

plemente no tienen sentido: al no ser ni analít icas ni sintéticas no

pueden ser verif icadas, y su análisis resulta absurdo. En su opinión

la tarea prir-rritaria consistía en liberar ai pensamiento de la hostiii-

dad hacia la ciencia que habían mostrado los ñlósofos precedentes,

más interesados en "promover las causas de la religión o la morali-

dad"; la filosofía no debía entenderse ya como una ciencia básica,

sino como una disciplina que habla de las ciencias que hablan del

mundo. Por tanto, el problema de la metafísica quedaba reducido

al del uso incorrecto del lenguaje: o bien se emplean palabras sin

significado, corno causa o sustancia, o bien las frases están mal

construidas. Al rechazar la proposición "Dios existe", los miembros

del Círculo -que detestaban la incoherencia lógica del Ser y tiem-

po de Heidegger- no estaban afirmando que fuese falsa, sino sólo

que "de lo que no se puede hablar hay que callar". Así, la filosofía

se l imita al análisis lógico del lenguaie, y lo ideal sería diseñar un

programa, análogo al de Hilbert, que eliminase "a marti l lazos" los

términos carentes de sentido.

La obra que más repercusión tuvo en el Kreis fue el Tractatus

Logico-Philosophicus. Su autor, Ludwig Wittgenstein, habÍa nacido

en Viena en 1889 en ei seno de una rica familia de ascendencia

judía, pero pronto se trasladó a Cambridge para estudiar allí ma-

temáticas. Tenía un carácter fortísinro, tremendamente seductor,

según cuentan quienes lo conocieron: al terminar su primer se-

mestre en el Trinity College se presentó en el despacho de Bertranci

Russell para preguntarle: "ZSería usted tan amable de decirme si soy

un completo idiota? Porque si soy un completo idiota me haré in-

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geniero aeronáutico, pero si no lo soy me haré filósofo"; y años

más tarde, cuando gozaba ya de gran prestigio, en una conferen-

cia del Moral Sciences Club, habría amenazado a Popper con un

atizador después de un tenso debate sobre los problemas y pseu-

doproblemas filosóficos. Rechazó también la fortuna de su padre

para trabajar como maestro de escuela, y durante la Primera Gue-

rra Mundial se alistó como voluntario en la artillería austriaca; fue

precisarnente en los campos de contienda donde comenzó a re-

dactar unos cuadernos que constituyen el germen del Troctatus.

Tál y como apunta en el prólogo, "el libro trata de los problemas

de Ia filosofía y muestra que la razón de por qué se plantean estas

cuestiones es que la lógica de nuestro lenguaje ha sido mal com-

prendida". Para Wittgenstein, el lenguaje es una pintura del mundo

en correspondencia perfecta con él; por eso, algunas de Ias sen-

tencias más famosas son "Los límites de mi lenguaje significan los

límites de mi mundo" o "lmaginar un lenguaje equivale a imaginar

una forma de üda".

Consanguinidad de espíritus

Otro de los miembros más activos del Círculo era el matemáti-

co Hans Hahn, que había contribuido, con una amplitud de miras

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inaudita, al desarrollo de la teoría de conjuntos, el cálculo de va-

riaciones y el análisis funcional -donde se inscribe su resultado

más famoso: el teorema de extensión de Hahn-Banach. También

había publicado varios libros y monografías, entre ellos un clásico

en dos volúmenes sobre funciones de variable real, y era conocido

entre los estudiantes por su rigor en las demostraciones. Su domi-

nio enciclopédico de líneas de investigación tan amplias como las

anteriores hacía que los doctorandos con los que trabajaba tuvieran

intereses muy distintos, como eran los de Karl Menger, uno de lospadres de la teoría cie la dimensión, Witold l{urewick y Gódel. Pue-

de resultar chocante que un lógico hiciera su tesis bajo la dirección

de Hahn, pero a comienzos de los años veinte también se habíainteresado por los fundamentos de la matemática y, aunque nollegaría a obtener resultados teóricos importantes, dirigió muchos

seminarios sobre el tema. Entre 1924 y 1925, diseccionó para sus

alumnos los Principia Mathematicc, pero no queda constancia deque Gódel asistiese a sus clases, según confirman las palabras deOlga Taussky-Todd cuando asegura que su primer contacto con las

ideas de Russell se produjo al airo siguiente, en un curso dedicadoala Introducción a la frlosofía de las motemáticas. Sin embargo, la

influencia de Hahn sobre Gódel, del que fue su principal mentor

en Viena, sólo se vería parcialmente eclipsada por las clases deFurtwángler.

En1922 Hahn había propuesto que Moritz Schlick fuese inül.ado

a ocupar la cátedra cie filosofía de las ciencias inductivas, vacantetras la muerte de su maestro Mach. Ambos comenzaron a reunir-se una vez a la semana con un pequeño gr!.rpo de académicos, y',

casi sin proponérselo, pusieron la primera piedra delWiener Kreis.

Sólo se podía acceder a las reuniones por inütación de uno delos miembros; y parece que fue Schlich, o el propio Hahn, quien

anirnó a Gódel a que se les uniera cuando todos andaban enfras-cados en una relectura de los textos de Wittgenstein. Durante dosaños asistió a todas las sesiones, pero dejaría de hacerlo de golpe

en 1928 al darse cuenta de que estaba en completo desacuerdo

con las ideas del Círculo: abominaba especialmente de la doctrinade Carnap, para el que las matemáticas Cebían entenderse comosintaxis del lenguaje. Aún así, Gódel nunca polemizó con él: legustaba permanecer en silencio, intercalando sólo algunas vecescomentarios incisivos. En las reuniones del Kre¡s nuestro protago-nista comprendió por vez primera que la expresión de opinionesopuestas sobre un tema también poclía ser motivo de amistad: pa-ra Gódel, como para Proust, la consangunidad de espíritus estuvosiempre por encirna de la identidad de pensamientos.

Gracias al Círculo, Gódel no sólo conoció de primera manoalgunas obras determinantes para su trabajo posterior, sino quepudo establecer contacto con colegas de intereses comunes: fueallí donde trabó amistad con Carnap, Menger y el economista OskarMorgenstern. La relación ccn Carnap, pese a sus discrepancias, lepermitió asistir durante el semestre de invierno del curso 1 928- I 929a un seminario sobre los fundamentos filosóficos de la aritméti-ca, que señalará en el cuestionario del sociólogo Grandjean comofundamental para sus artículos de los años siguientes. Menger or-ganizaba también unos coloquios matemáticos, en los que Gódelparticipó activamente, y cuyas actas (Ergebnisse eines mathema-tischen Kolloquiums) contribuyó a editar. Sus otros dos grandesamigos fueron Herbert Feigl y Marcel Natkin, con los que se reuníaa menudo para pasear por los parques de Viena y charlaba en loscafés hasta bien entrada la noche. En I930, Feigl emigró a América,donde adquiriría con el tiempo mucho prestigio como filósofo de laciencia; Natkin, por su parte, abandonó la üda académica nada máster¡ninar el doctorado ), se hizo fotógrafo en el París de los artistas.Aunque siguieron manteniendo correspondencia, sólo volverían averse treinta años después, en una üsita de Natkin a Princeton.

En 1931 un puñado de páginas sobre proposiciones formalmen-te indecidibles dieron la vuelta al mundo, y Gódel sería recordadoa partir de entonces como el joven genio que asestó la estocadamortal al programa de Hilbert. Sin embargo, la gloria académica no

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le hizo más feliz, pues nunca disfrutó de una felicidad tan sostenida ,como la de los primeros años en Viena, cuando todavía frecuen- ,.taba los cafés y disfrutaba de la agitación artística de la ciudad. i;,.,Aunque seguía siendo reservado y no le gustaba intervenir en con- t.¿-':lversacionesajenasalasmatemát icas(Mengerlorecuerclacomo

"un hombre de una expresión, tanto oral como e,scrita, 'de la ma- ,,..yor precisión y brevedad posibles, que nunca tom{ba la iniciativa y 'r

solía mostrar interés sólo con pequeños movimieritos de cabeza"),

tuvo muchos más amigos en el Kre¿s -donde sus glandísimas habi- :

l idades fueron reconocidas inmediatamentq- que burante su etapa

de escolar en Brno.

En abril de 1927, sin que se sepa por qué, Gódel se trasladó a

un apartamento en la calle Frankgasse, donde permaneció hasta

el 20 de julio. Cinco días antes, el 15 de julio, una multitud de ma-

nifestantes furiosos habían quemado el palacio de Justicia, y en

la represión policial posterior murieron ochenta y nueve personas.

Tal vez los disturbios no tuüeran reiación algrrna con la marcha de

Gódel, pero lo cierto es que no volvería a establecerse en la ciu-

dad hasta pasados unos meses. El 6 de octubre estaba de vuelta,

dispuesto a mudarse con su hermano a un edificio en la Warin-

gerstrasse, que le encantaba, pues en sus bajcs se encontraba el

café Josephinum, uno cie los lugares de reunión predilectos del

Círculo de \/iena. AIIÍ üüeron durante algo menos de un año, hasta

que se trasladaron al apartamento de Ia calle Langegasse donde

más tarde su madre üüría también con ellos. La situación fami-

liar cambió repentinamente con la muerte del padre en febrero de

1929, cuando sólo tenía 54 años. Marianne cayó durante meses en el

pozo de una depresión de Ia que sus hijos esperaban el peor desen-

lace; por eso, pensaron que no era conveniente dejarla sola en la

casa de Brno, llena de recuerdos y presencias vacías. Alquilaron la

casa, y los tres se mudaron a un apanamento mayor en Josefstad,

el barrio de los doctores. Los acompañó también la tía Anna, que

había criado de pequeño al padre de Gódel; era una buena persona,

pero su pesimismo y su impaciencia a menudo sacaban de quicio

Adele Nimbursky se convir t ió

en Adele Porkert después de su pr imer

matr imonio. Lueso oasaría a ser Adete Góde1.

a Marianne, y la convivencia no siempre fue fácil. Cuando el ánimo

de la madre mejoró, comenzó un proceso del que todos guardan

excelentes recuerdos: muchas noches acudían los tres a represen-

taciones teatrales o a conciertos, que luego comentaban, sentados

en el sofá, hasta altas horas de la madrugada.

Cuando murió su padre, Rudolf ya había completado los es-

tudios de medicina y trabajaba en dos clínicas muy prestigiosas

(Wenckebach y Eiselberg), aunque pronto se estableció como ra-

diólogo en el instituto Holzknecht. Kurt estaba a punto de terminar

el doctorado y empezaba a ser un personaje conocido en el mundo

académico, por lo que los Gódel recibían con frecuencia la üsita de

otros investigadores, venidos incluso desde el extranjero. Sin em-

bargo, ni la madre ni el hermano fueron conscientes de la magnitud78 7g

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de los descubrimientos de Gódel: tuüeron que ser otros quienes sela señalaran, pues él solía guardar la luz de sus ideas como unsol interior. En general, los dos hermanos se movían en ambientes

distintos y, aunque siempre mantuüeron buenas relaciones, eranmuy diferentes. Contra todo pronóstico, Gódel estaba mucho másinteresado en las mujeres que Rudolf: en palabras de su hermano,

siempre "le gustó mirar a las chicas guapas", e incluso durante unater-nporada comía casi diariamente en el mismo restaurante parapoder admirar la belleza de la camarera. No queda claro cuándo seenamoró por primera vez: tal vez fue la hija de unos amigos de lafamilia, diez años mayor que é1, o una tal Marie de la qtre habla asu madre en una carta.

Aunque los Gódel sólo permanecieron dieciséis meses en el

apartamento de la calle Langegasse, fue allí donde nuestro prota-

gonista recibió la nacionalidad austríaca, escribió su tesis doctoral

y conoció a Adele Thusnelda Porkert, la hija mayor de un fotógrafo

de retratos, que con el tiempo se convertiría en su esposa. Cuando

Gódel y ella se conocieron, estaba ya casada, pero era un matri-

monio infeliz, y Adele pronto se propuso convertirse en el centro

de atención de Gódel. El noviazgo se prolongó mucho más de lo

habitual, pues los padres de Gódel reprobaban completamente la

relación; ante sus ojos, Adele era una mujer ilena de faltas: no sólo

estaba divorciada, era seis años mayor que su hijo, católicay de una

familia de clase inferior, sino que se ganaba la üda como bailarina

en el Nochtfalter, tn club nocturno üenés con nombre de polilla.

En su defensa, Adele aducía haberse dedicado al ballet clásico, pe-

ro la familia de Gódei estaba demasiado influida por la creencia

común de que una bailarina se ponía al serücio del mejor postor,

a cualquier hora, por menos de doscientas coronas. De hecho, era

famoso todavía por aquella época en Viena el caso del pintor Hans

Mark, cuya reputación había caído en picado tras su boda, en I 881 ,con una bailarina de ballet que le contagió de varias enfermedades

venéreas. Rudolf y Marianne no podían imaginar peor esposa para

su hijo e hicieron todo Io que estuvo en sus manos para impedir el

enlace. Aún así, Gódel y Adele se casarían en septiembre de 1938.

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y Kurt Gódelsu boda en 1938

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La suf ic iencia de la(L929- 1930)

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Pocas veces llega un biógrafo a tropezarse con una üda articu-

Iada en etapas tan distintas como la que nos presenta Gódel, hasta

el punto de que resulta difícil encontrar alguna relación entre los

tres actos en los que podría organizarse su paso por el mundo: la

infancia en el seno familiar en Brno, los años de aprendizaje del

joven matemático en Viena y el tiempo de atormentada madurez

en los Estados Unidos, metido ya de lleno en la física y la filosofía.

Támbién lo más significativo de su obra, realizado entre 1929 y 1940,

discurre por tres caminos matemáticos distintos: la demostración

de la suficiencia lógica del cálculo de primer orden, los teoremas de

incompletitud y la prueba de la consistencia relativa de la hipótesis

del continuo y el iixioma de elección.

En el verano de 1928, el interés de Gódel pasó de las ramas tra-

dicionales de la matemática (teoría de números, análisis funcional,

geometía) a las cuestiones de fundamentos, dentro de las que se

enmarca el problema elegido para su tesis doctoral. Como señala

Dawson, el rumbo que tomó la obra de Gódel estuvo marcado por

la lectura de los Grundzüge der theoretischen Logik (Elementos de

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lógica teórica) de Hilbert y Ackherman, donde se plantea por prime-ravez si los axiomas y las reglas de deducción de la lógica de primerorden bastan para obtener todas las fórmulas verdaderas. Tambiénlas conversaciones con Carnap y dos conferencias pronunciadaspor L. E. J. Brour,ver ese mismo año en Viena fueron determinantes.

Este topólogo danés, completamente contrario a los plantea-mientos de Russell y Hilbert. representaba urra tercera vía de esca-pe de la crisis finisecular de fundamentos: el intuicionismo, para elcuai la consistencia de una teoría no erarazónde peso para suponerque existen las entidades a las que se refiere. Sus seguidores creíanque la mente humana sólo puede realizar razonamientos finitarios,por lo que no aceptaban más demostraciones que las constructivas.Muchos teoremas del álgebra y el análisis se refieren a la existenciade ciertos elementos (por ejemplo, las raíces de una ecuación ola forma diagonal de una matriz) y suelen probarse mostrando unabsurdo que se produciría si no existiesen. Para los intuicionistasestas demostraciones no eran válidas: había que indicar explícita-mente cuál era la raíz o cómo se diagonaliza la matriz. Cualquieruso del infinito estaba prohibido, y también el del principio de no-contradicción -(A ,ri -A), equivalente al axioma del tercio excluso(A v -Á). Cuando en el segundo capítulo demostramos que existeninfinitos números primos, la clave del argumento consistía en su-poner que los únicos primos eran pt,p2, . . . ,pn y construir el enteroZ = pt 'pz' . .pn + 1, una unidad mayor que el producto de todos losp¡. Como Z no puede ser primo y compuesto a la vez, Z es primoo es compuesto; pero Z no es compuesto, ya que ninguno de losp¡ aparece en su descomposición factorial, luego Z es primo. Unintuicionista nunca aceptaría esta demostración, sino que trataríade encontrar un procedimiento que permita obtener el siguientenúmero primo a uno dado. Con tantas restricciones, los seguido-res de esta corriente a menudo terminaban enunciando teoremasopuestos a los de la matemática clásica, como la inexistencia defunciones discontinuas, y el propio Brouwer tuvo que renunciar ala mayoría de su brillante obra anterior.

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Es posible rastrear los primeros pasos de Gódel en el estudio

de la lógica gracias a las fichas conservadas en los archivos de la

biblioteca de la universidad, que indican que por esa época leyó a

Frege, Schlick y Leibniz, además de los Principia Mathematica y

un par de artículos de Skolem. No queda claro, sin embargo, qué le

condujo a interesarse por la cuestión de Ia completitud; tal vez fuera

Hans Hahn, su director de tesis -al que luego agradece en una nota

a pie de página t,nríos consejos sobre ln cscríttn'rt il este trtíctlcr quien

le propuso el problerna. En las prlmeras páginas de su disertación

Gódel explica que el cálculo de primer orden será completo sólo si

cada-fórrrutla vilídd puede dedwírce de los ctxíonuts l0r ilrcdío de una secuencín

_finítn ,le inlferencías fonnnles. La completitud de una teoría relaciona

dos conceptos en principio independientes: la demostrabilidad, en

la que está implicada la sintaxis, y la validez, donde interviene la

semántica. Supongamos que, partiencio de una estructura ![, se

construye una teoría A, basada en un conjunto E de axiomas. Se

dice que una proposición P es demostrable en la teoría, y suele

escribirse f v P o t F P, si los axiomas pueden transformarse en

P en un número finito de pasos mediante las reglas de deducción

permitidas. En cambio, para que P seaválida en la estructura, 2I F P,

debemos comprobar que todos los objetos a los que se refiere P

tienen en efecto esa propiedad. Así, la afirmación de que n3 - n es

dMsible por seis sea cual sea n es válida en los números naturales

(porque cualquier entero positivo que se escriba en esa forma,

por ejemplo, 24 o 7320, es múltiplo de seis) y demostrable en la

aritmética de Peano (ya que existe un argumento que prueba que

es así).

En una teoría consistente, todas las proposiciones demostra-

bles son también verdaderas (teoremo de ualidez), pero el recípro-

co, como veremos enseguida, no tiene por qué ser cierto. Con su

teorema de completitud, Gódel mostrará precisamente que en Ia

lógica de primer orden ambos conceptos son intercambiables: to-

das las fórmulas demostrables son válidas, y cualquier proposición

válida es demostrable. Esto permite sustituir la noción escurridiza

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nulo, con el producto usual ye = In.La teoría de grupos también nos

proporciona un ejemplo de sistema incompleto ya que la fórmula

Yx Yy(x+y = y*x), que expresa la conmutatividad de la operación *,

es indecidible. En efecto, esta fórmula no puede ser un teorema de

la teoría, porque en el grupo de las matrices invertibles de orden dos:

t ; i ) tl?)=(?l)per. t l?) t ;l l t i ; )XF,4 :e >,EP

Segunda iorma: Sea X el conjunto de axiomas de una teoríat S¡ !I es consisténte, entcnces f tiene al rrtenos un modelo.

de verdad por la de demostración, que es purarnente finitaria. En lasprimeras páginas de su tesis Gódel anuncia también la equivalencialógica entre el teorema de completitud y el hecho de que todosistema formal r:onsi.stente admita un mocleio. Recordemos que unmodelo es una est^lctura -formada por un universo de objetos ypor la interpretación del significado de las operaciones, relaciones yconstantes del lenguaje- donde los axiomas se realizan. En la teoríade grupos, por ejemplo, la terna (G, * ,e) representa rrn ccnjuntodotado de una operación interna *, asociativa, y tal que e es elelemento neutro y todos los miembros de G tienen simétrico. Esdecir:

Yx Yy Vz [(x *y) x z = x + (y + z)l

Vx(xxe=e*x=x)

Yx Jx-t(x *xt= x- t *x=e)

Así, dar un modelo ?I de la teoría de grupos significa encontrarun conjunto A, una operación xs eu€ interprete el significado de *

y un elemento e1¡ eue haga el papel de e, de modo que (A, xu , €rr)verifique los axiomas anteriores. por ejemplo, los números enteroscon la suma ye = 0, o las matrices de orden n con determinante no

Entonces, quizá su negación -:l x - ay(x *y = y *x) sea demos-

trable. Pero esto es imposible, porque, interpretada en (2, + ), la

fórmula alirma que la suma de números enteros no es conmutativa.

La importancia de Ia segunda forma del teorema de comple-

titud radica en que se demuestra así que el método para probar

la consistencia de una teoría (la búsqueda de un rnodelo que sa-

tisfaga los axiomas) es correcto. Para ver que las dos formas son

equivalentes, probaremos primero por reducción al absurdo que la

primera implica la segunda. Supongamos que el conjunto de axio-

mas es consistente, pero que rrc admite ningún modelo, y sea B

una fórmula cualquiera del lenguaie. Entonces, B A -B se verif ica

en todos los modelos de la teoría, luego es verdadera; así, I p B ¡- B

y, por la primera for ma, I r B zr - ^8. Por tanto, B y su negación serían

demostrables en t, y la teoría no sería consistente, lo cual contra-

dice la hipótesis de partida. Veamos ahora que la segunda forma

implica la primera. En efecto, supongamos que existe una fórmula

A verdadera, pero no demostrable. En ese caso, si añadimos -Aa los axiomas; la teoría sigue siendo consistente. Por la segunda

forma, existe al menos un modelo B para la extensión I [-A]; pero

entonces en 6 seían verdaderas simultáneamente A v -4. lo cual

es absurdo.

Sin duda, las ideas de Brouwer, que había mostrado enérgica-

mente su desacuerdo con que se pudieran construir modelos para

todas las teorías consistentes, fueron un estímulo para la tesis de

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Gódel, aunque sigue siendo incierto cómo tuvo contacto con ellas.Parece que no asistió a sus conferencias en Viena, ya que, cuandoen 1966 la Sociedad Americana de Filosofía le encargó un obituario,Gódel declinó la invitación aduciendo que era del toJo íncapaz, puess6lo hsbía yísttt s Brtntwer tmñ yez, en ryfi, en un viaje relámpago deldanés a Princeton. De todos modos, él mismo era consciente de quesu teorema de completitud suponía un triunfo para el programa deHilbeft, por lo que no iba a ser bien recibido por los intuicionistas.Por eso, añadió una nota donde defendía el uso del principio deltercio excluso y argumentaba que para Brouwer y su escuela el pro-blema de la srrficiencia lógica debería plantearse en otros términos.

A menudo Gódel mostraba su sorpresa ante el hecho de quenadie antes que él hubiera demostrado el teorema de completitud.En una carta a Hao Wang, escrita en 1967, reconoce que sus resul-tados podrían haberse deducido fácilmente de la obra de Skolerny añade: est6 cegr.tüa de los lógíctts es d,- verus íntrígtrntt, pero creo que Iaexplícncíón no es dífcíl de encontrar: sc tlebe Ll utiLr-fitbú de la nctíruil qrste-nológíca necesarítt hscío l0 mcfamcfernátíca 1 los métodos ntt fnítnríos nruStextendídtt por esü época. La distinción entre las visiones semánticas ysintácticas a la que apuntábamos en el segundo capítulo no estabaclara para los primeros lógicos, y, aunque Frege y Russell ya habíanpresentado cálculos deductivos parciales, no llegaron a plantearsecuestiones metamatemáticas. Tampoco estaban en condiciones dehacerlo porque entendían aún la lógica como una lengua univer-sal que habla de todo y de la que resulta imposible salir, mientrasque para responder a estas preguntas era preciso mirar el cálculodeductivo desde arriba, desde un metalenguaje que hablara dellenguaje. Así, la proposición "en cualquier triángulo rectángulo, elcuadrado de Ia hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados delos catetos" pertenece a las matemáticas, porque se refiere a figurasgeométricas, pero "hay muchas demostraciones distintas del teo-rema de Pitágoras" es ya un enunciado metamatemático. En ciertamedida, la lógica sufrió un cambio con la introducción del meta-lenguaje análoga al conocimiento de la Tierra antes y después de

la obtención de las primeras imágenes desde el espacio. Además,

aunque Gódel distinguía claramente las nociones de demostrabili-

dad yverdad, hasta la publicación delartículo de Tarski nadie había

dado una definición matemática formal. No sólo eso: en respuesta

a un alumno, Gódel escribe que Ln1 cúnceptl objetít,o tle t,erdad ma-

temótíca esfctl:a t,ísto entlnc(s cln grLln susljíc0Lí11, 1, sttlío rtchazdrst rualrluier

tcltttth'tt c0nt0 crrr€flf€ de stnrít\0. Aunque el significado de los concep-

tos semánticos, tal y como se usan al hablar, parecía indiscutrble,

muchos argumentos habían conducido a paradojas.

Godel comenzó a trabajar en su tesis doctoral a finales de 1928,

y en julio del año siguiente la disertación ya había recibido elvisto

bueno de sus dos superüsores, Hahn y Furtwángler. Todo apunta

a que ni la muerte de su padre rri el ascenso del totalitarisnro que

comenzaba a enrarecer la vida universitaria frenaron demasiado el

trabajo de Gódel. El 6 de febrero de 1930 obtuvo oficialmente el

título de doctor, pero esto no garantizaba un empleo, y tampoco

la posibiliciad de comenzar una carrera académica como Priuat-

dozent. Para ello se requería tener la habilitación, es decir, realizar

un trabajo de investigación de la mayor relevancia posible: Gódel

eligió el segundo problema de la lista de Hilbert.

La prueba del teorema de completitud

Los resultados de la tesis doctoral de Gódel aparecieron por

primera vez bajo el título de "Uber die Vollstándigkeit des Logik-

kalkülls" ("La suficiencia lógica de los axiomas del cálculo deduc-

tivo de primer orden") en el volurnen 37 de la revista Monatshefte

für Mothematih und Physih. Tras una reüsión concienzuda, en la

que había suprimido las reflexiones iniciales y añadido nuevas re-

ferencias bibliográficas, el artículo, de una brevedad extraordinaria,

quedó üsto para sentencia a finales de octubre de 1929, aunque

no se publicaría hasta septiembre del año siguiente. Mientras tan-

to, Gódel fue presentando su demostración en distintos círculos: el

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coloquio de Menger, en mayo, y la segunda Conferencia Interna-

cional sobre la Epistemología de las Ciencias Exactas, celebrada en

Kónigsberg en septiembre. Casi a modo de abstract, Gódel comien-

za exponiendo el estatus quo del problema de la completitud:

Cono es b íen ssbí do, \Yhíteheo d1 Russellh qn c ofl str; i do In I ógíca 1Innntemáf ícn paníendo en cabeza contt axíomns cíertas scnrertcLts et, ídentes

7 dúucíentlo a l,arf ír de ellas los teorent¡s ile Lt lógktt ,- Ia tnstsnrtfícade un nndo !urLltneilfaflrnal (es decít', sínhncer usrl tlcl sign'tfrcsdo deios sínrboios) , según nlgunos príncípíos de ínftrurch formulctilos cott rodttprccísíón. RespL;ctl ú esta il1nnerú de procctler, se platlttú tlt. ítunetlístt, Ittut¿stíón de sí el sktenut tle axíotnns 7 príncí1,í05 de htfircncís '1uclrcmosptlcstl cu cnhrz,t e s ntftcíente, es decír, sírealtnenf ebastit pilra letltrcír cttdqt(ore tnü !ó5í;o-,,rle ,,,ntíco, tr, si ntns bíttt cs l"osihk ytiisJr ttt s(ttt(tttíLtsyerdaderas (7 quízA nrtbíén demostrsbles segun ofros 1tríncípíos) tyrcn0 ltusflo¡ ser derít,ndas an el sístenta consíderndo. EstLl prc*fiIt¡l )úln encontrado Lfittl t€sfue-srt1 l0sítít'11 j,ttr't el tlonúnío Jc ltts_iórnnthsde In lógíca cütectít,&, es clecir, se lta fitostrado que tle lrccho cada fór-mul6 cttnectí1'a yálítla se sígue de los sxíotnas presmtndos en PríncípínM¡fhent'atícn. Aquí vo"nros nhacer ltt núsno para rut domínío ntos amplíotle-iórtulas, n ,nirr, psralds de la lagícn de prínrcr ortlert.

En efecto, lo que Gódel se propone demostrar e s que (ntlLlflrffiLt-

Is verdadcrt ,!e la lógíco dc prhner ,rrdtn es demostrahle, proposición que

aparece enunciada en el artículo como teorema I. Para ello sigue uningenioso razonamiento en escalera donde cada enunciado acortael camino hasta la prueba final. Gódel comienza considerando elsistema axiomático de los Principio Mothematica -del que excluyeel principio de asociatiüdad, pues Bernays había probado que eraredundante- y formula de modo explícito algunas reglas de deduc-ción que se usarán constantemente, como el modus ponens, quepermite deducir B de las premisas A y A --+ B, o la regla de susti-tución, que afirma que si ?'(x) es un teorema de la teoría, tambiénlo es el resultado de sustituir x por cualquier constante en ?". Lue-

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go, introduce algunos detalles técnicos sobre n-tuplas de variables,como la validez de la fórmula:

Vxr . . .YxnF(x1 . . .xn) A lxr . . .1xrG(xr. . .xr) -

- -+ lxr . . .axnF(x1.. .xn) A G(x1 . . .xn)

que, para una sola variable, permite formalizar razonamientos delestilo "si todos los libros anónimos tienen autor, y el Lozorillo lo es-cribió Alfonso de Valdés, entonces el Lazorillo tiene autcr y lo escri-bió Alfonso de Valdés".

Después de estas consideraciones previas, Gódel argumentaque el teorema de completitud también se puede enunciar usandoel concepto más general de satisfacción. Diremos que una fórmulaes satisfactible si existe al menos un modelo en el que es verda-dera. Análogamente, un conjunto I de fórmulas será satisfactiblesi y sólo si lo es cada una de sus fórrnulas. La idea de satisfacciónextienCe a la dc verdad, ya que las sentencias verdaderas de unateoría son aquellas satisfactibles en todos sus rnodelos, pero hayproposiciones satisfactibles que no son verdaderas. por ejemplo,en la aritmética de Peano la afirmación "cualquier número es divi-sible por dos", que se escribe yxly(x = 2y), es satisfactible, pue.sse verifica en el modeio que toma como universo los números pa_res, pero no es verdadera, ya que tres no es divisible por dos. por

otra parte, una fórmulaA se dice refutable cuando su negación -A

puede demostrarse en la teoría. Introduciendo los conceptos de sa_tisfacción y refutación, el teorema de completitud es equivalente a:

Teorema ll: Cada fórmula de la lógica de primer orden es o refu_table o satisfactible (sobre un uniuerso infinito numeroble).

En efecto, supongamos queA fuera una fórmula verdadera, en_tonces -A es falsa, Iuego no satisfactible. por el teorema II, -4 s,refutable, es decir, --A,y en consecuenciaA, que es semántica-mente equivalente, es demostrable. Así se prueba que II implica I.

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Recíprocamente, sea A una fórmula de la lógica de primer orden:

si A es verdadera, entonces A es satisfactible; si, por el contrario,

A es falsa, entonces -A es verdadera Y, Por el teorema I, -A es

demostrable, luego A es refutable.

A continuación, Gódel deñne una especie particular de fórmrr-

las, las llamadas K-fórmulas, fórmulas prenex (comienzan con un

prefijo de cuantificadores), que carecen de variables libres indi-

viduales (todas ellas se ven afectadas por cuantificadores) y cu-

yo prefiio comienza con un V y termina con un :l' Por ejemplo,

YxYyaz (x = y ---'> z = 0)es unaK-fórmula; no así (x = x)v - (x = x),

donde no apareceil cuantificadores. Gódel reduce el estudio de la

completitud al caso de las K-fórmulas, ya que, tal y como afírma el

tercer teorema, sí cada X-fórnnln es reJtrtttble o sotísJoctíble , tsnúíén Io es

cualquierftinnula.;por tanto, basta con mostrar que tcdas las K-fórmu-

las son satisfactibles o refutables. Para ello, se define el grado de

una K-fórmula como el número de series de cuantificadores uni-

versales en su prefijo, separados unos de otros por cuantificadores

existenciales; y se procede por inducción sobre este grado. El teo-

rema IV prueba el paso de in¿ucción'. si uda K-fórnruin de grado n es

satíl¡ctíble 0 fefírtcúl?, etrtlt',ces tantbíén lt¡ es cttda K-JórmrIn 'le grndo n + t

Dada zr¡ d una K-fórmula de grado n + 1, Gódel separa los primeros

cuaniificadores y construye dos fórmulas B y y tales que 7 es de

grado n, y las fórmul as B <-+ y y B ---) 7r1 ú/ sofi válidas. Por la hipótesis

de inducción,7 es satisfactible o refutable, luego también lo sonBy

zr1 a. Llegado este punto, sólo queda por probar que las K-fórmulas

de primer grado son satisfactibles o refutables; esta propiedad se

enuncia como teorema Vy es la más difícil del artículo'

Ahora Í a representa cualquier K-fórmula de primer grado y

prefijo zr. A partir de a, Gódel construye una sucesión {4,} de fórmu-

las libres de cuantificadores, y llama ltn dn = llxo llrr ' ' ' lxts an' En el

teorema VI demuestra por inducción que, para cada n , es deducible

7Íu --) ltnan. Gódel introduce después una de las principales nove-

dades del trabaio: si hasta ese momento toda la prueba había sido

formal, construye ahora un modero !, con los números naturarescomo dominio, para cada K-fórmula que no es refutable. por tanto,las K-fórrnulas que no son refutabres se verifican en ar menos unmodelo y son satisfactibles. eueda dernostrada así la quinta propo-sición, y con ella ros teoremas I y II: Entonces estú tlnro quc cl sístcnn r. haceverdadernla,fórmula n a . Así pues, ett este c&to ft e es sntírtctíbb, conlo queh¡ fenniunlo ln l,rueba dc In su,ficícncía ,Jel slí¡enn ,ü ,tx¡onins ¡rribn itid.icnrlo.

El artículo contiene aún muchos resultaclos de interés. En l9l5Lówenhein había demostrado que si una fórmura es satisfactibreen un modelo cualquiera entonces también es satisfactible en unmodelo infinito numerabre, y Skorem había generarizado esta pro-piedad a un conjunto arbitrario de fórmuias de primer orden. Elteorema de Lówenheim-skorem se deduce ahora como corolariode la demostración de Góder. se estudi4 además, cómo pocrría am-pliarse el alcance de los resultados, añadiendo a los seis axiomasconsiderados al principiolas fórmulasx = x\ x =y ___+ (Fx

- Fy).

[,os teoremas vll y vil señaran que para ra rógica de primer ordencon identidad la situación es la misma: cada fórmula verdaderaes demostrable. También podría generarizarse er teorema de com-pletitud en otra dirección, considerando ahora conjuntos infinitosnumerables de fórmulas. En esta línea, el teorema IX afirma quetodo coniunto íttfrníto mmrcrrtbk dcfórmu[as dt la lógfta de príntcr ordett as osatísfncfílsle o contíene tm sul,conjunto_finíto cryva con-ftmcíón es refutnble. Esteresultado se sigue inmediatamente del:

Teorema Xz Para que un conjunto infinito numeroble I de fórmutassea satisfactible es necesario y sufrciente que cada subconiuntoñnito de I seo satisfoctibte.

que se conoce con el nombre de teorerna de compacidacJ y quetambién puede enunciarse de ra siguiente forma: I tiene un modero siy sólo si todos los subconjuntos firritos de r tienen urr modelo. Final-mente, los últimos parrafos del artículo están dedicados a probar laindependencia de los ocho axiomas que se han venido considerando.

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Modelos no estándar

Tras la publicación de la obra de Gódel el teorema de com-

plet i tudhasidoprobadodemuydist intasformas'hastaconvert i r '

se en uno de los resultados con más ciemostraciones diferentes

de la lógica: en 1930 Hilbert y Bernays ofrecieron una demostra-

ción puramente sintáctica, y en 1949 Henkin presentó una prue-

ba más simple de la segunda forma dei teorema que constituye

la base de las demostraciones actuales de !a suficiencia de lcs

axiomas. En cualquier caso, las ideas empleadas en todas las de-

mostraciones constituyen los pilares de la teoría de modelos y de

gran pane de Ia lógica actual' Una de las consecuencias más im-

portantes derivadas de él es la aparición de los primeros mode-

los no estándar. El teorema de completituC asegura que si una

teoría es consistente entonces existe un modelo en el que los axio-

mas se verifican, pero nada dice sobre qué características tiene

ese mocielo ni sobre cómo construirlo' Durante mucho tiempo se

pensó que la teoría caracterizaía unívocamente ia estructura de

sus modelos; dicho de otro modo, todos los modelos seían iso-

morfos, es decir, si tratáramos de capturarlos por medio de re-

laciones de equivalencia, el conlunto cociente tendría una sola

clase.

Sin embargo, en un artículo de 1933, "Sobre la imposibilidad

de una caracterización completa de la serie numérica mediante

un conjunto finito de axiomas", el lógico noruego Skolem cons-

truyó un modelo para la aritmética que no era isomorfo al consi-

derado hasta la fecha. Tuüeron que distinguirse' a partir de enton-

jcuttad de sus investigaciones' aunque también contiene algunas

aportaciones muy novedosas. supongamos que Ao,Ar,A2, .. ' fue-

raunal istadeaxiomasparacaracter izar losnúmerosnaturales,

que incluye los axiomas de Peano. Ahora consideraremos la lis_ta ampl iada conA6,

- i = O,At,- i = s0, ,42,- i = ssQ.. . donde i es

una nueva constante y s representa la función sucesor. para cadasubconjunto finito, todas las fórmulas Ar se satisfacen, y tambiénlas que hemos añadido, sin más que considerar i = n, donde nes un número natural tal que la fórmula

-i - 5n+t)6 no aparece

en el subconjunto. Por tanto, si aplicamos el teorema de compa_cidad, todas las fónnulas de la lista son satisfactibles simultánea-mente, y hemcs construido un modelo !t- para el que son váii_das todas las afirmaciones que puedan hacerse sobre los númerosnaturales, pero que no es isomorfo al clásico, plres, al ser distin-ta de todos, la constante i no puede ser ningún número naturalfinito.

Otra versión del teorema de Lówenhein-Skolem afirma que siuna teoría t t iene al menos un modelo lnfinito !I. entonces tienemoclelos infinitos de cualquier cardinal y, por tanto, no isomorfosa 1I. Así, ninguna teoría infinita puede ser categórica. Siguiendo elejemplo de Skolem, en 1960 Abraham Robinson decidió utilizar losprocedimientos de la teoría de modelos para construir un modelono estándar de los números reales en el que, en lugar de añadirconstantes mayores que todas las demás, se extendía el sistemacon cantidades infinitamente pequeñas. De esta forma se daba porfin sentido matemático preciso a la,s nociones intuitivas sobre lasque Leibniz había fundado el cálculo diferencial casi trescienrosaños antes, pues nunca llegó a precisar qué eran y cómo debíanmanejarse los infinitésimos. En el marco del anátisis no estándar,algunas pruebas y definiciones resultan mucho más sencillas. Así,de la idea de continuidad uniforme de una función real, que nor_malmente se formula como f es uniformemente continua si y sólosi para todo e > 0 existe un ó > 0 tal que siempre que lx -yl < d setenga lf(x) - f9)l < e, resulta ahora: f es uniformemente continuasiysólo s ipara todoxey tales euex ry se t iene f(x) = / (y) , dondex ^, y significa que los números r e y difieren sólo en una cantidadinfinitamente pequeña.

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En marzo de 1973 Robinson, con el que Gódel había mante-

nido abundante correspondencia, dio una charla sobre el análisis

no estándar en el Instituto de Estudios Avanzados. En el coloquio

posterior, Gódel hizo una declaración, ingenua y entusiasta a partes

iguales, que merece la pena transcribir:

N't r .oT t st ar í n s e n ql n r ú t h e d t o qu e m e p s r rc e ilx Lry ítt ry a r f ü1t q úLu l qu e

no hay sído explítítcrntente mencionado par el prafesor Roltínson, s

sttber, cyte el annlísís no est,indar símp!íJtcnfrecLrcfiteffifitrlns pruebo's

no sólo de tettremns elementnl*, shto tnntbíén de revLlttdos profundas.

1...1. fsra situacíófi debtríqírnpe'\írIn errónn1t *tentlíd't cttrsídcrncíón

,lel m(tlísís no estíudsr cü1,0 ut'tl especíe dc extrat'aganda o modn de

Ios lógi;os n'titferníttíros. Nnda mas alejada de ln verdad. Mús bíen hn ¡

buenns razL)fies pñrs cÍ(er qtre el análkís no estúntlnr, efl una versíÓn u

otr¡, será el anílkís del{uturo"

{Jns razón *la sínplíf,cacíón S,a mencíottsds delns pruebas, pues la

shnplíficnción-t'adlíta el descubrimíefil. atra rszór¡, todnía mcts ct'¡tt'

tíncenle, esla síguíentc: Ia trítn'tétíca empíezfi con los nímeros tt¡tttrales

y procede nrcdísnte la ntnplíacíón sucesivrt del sístema nuntéríco con los

níuneros rncíonales, negath:os, írrqcíofinles, efc. Perl el paso completa'

ffffile ilatLu'al despuis de los nún'reros reales, a saber, Ia íntrodttccíón de

Ios ínfnítesíntales, ha sído si;nplemente onútido. Píensa qtrc en los síglos

t,enídertts se consíderará con"ttt alg6 stu'tltunenfe exfruño en It hístorís

dt los ncttertátícns que Lt prímera teotía exacta de los ínfinítesínales se

descrr,-tllssetrescíffitús tlfi0s despvLés dela ín,-eniíón del cálcilo dferettciol.

Me síento ínclínado ¡:t crser qtrc esfa extraña ,ircunstauin rierc algo ryte1:ir (ü1 ctfrs exfrnñg -:ítu¡.cíó¡t reJerente ,tl nismtt lapso de tienryo, a

saber, el hecho de que probletnas tales como el de Femtat, que pueden

ser Jbrmulados en díez sígnos de arítmétíca elemental, todsvía cñrecerl

de solucíón trescíentos años después de haber sído planteados. Qtízúlc'omísíón mencíonada sea en grüx parte responsafsl¿ del hecho de quq en

comparacíón cttn el enorme desarroLlo de Ins maternátícas absfrnctas, Ia

solucíón de problemas numérícos clmplícadls ha quedado nuy atrós'

Los teoremas dei ncomplet i tud (1-930-193L)

Hacia 1930 la situación del programa de Hilbert daba razones

para la esperanza: el primer requisito, formalizar la matemática, pa-

recía haberse completado con éxito en los Principia, y varios lógi-

cos trataban de demostrar la consistencia de los sistemas formales

clásicos, comenzando por la aritmética. Aunque en la introducción

a su tesis doctoral Gódel ya había sugerido la existencia de sentencías

t,erdnder¡s que no pueden ser derívados en el, sísfemd consíderndo, su objeti-

vo no era poner fin al sueño de Hilbert, sino probar la validez del

prograrna con un resultado en la misma línea del teorema de com-

pletitud. Sin embargo, el espíritu intelech-rai de la época apuntaba

en otra dirección: se había. demostrado que es imposible dibujar

un mapa perfecto de la Tierra, ya que "dos superficies isométricas

tienen la misma curvatura de Gauss", y Heisenberg acababa de

establecer un nuevo límite para la ciencia con el principio de inde-

terminación, según el cual no se puede medir al mismo tiempo y

con idéntica exactitud la posición y la velocidad de los electrones.

Con sus teoremas, Gódel pondrá a la vista de todos las limitacio-

nes intrínsecas del método axiomático: en cualquier sistema formal

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que incorpore suficiente aritmética elemental hay sentencias ver-daderas que no son demostrables (primer teoremo de incomple-

titud), y la solución no consiste en añadir esas sentencias comoaxiomas, porque entonces aparecen otras nuevas. Además, la con-sistencia de esos sistemas no puede probarse dentro de ellos mis-mos, es decir, "la aritmética es consistente" es un ejemplo de estetipo de proposiciones indecidibles (segundo teorema de incom-pletitud).

El 26 de agosto de 1930, Gódel, Carnap, Feigl y Waismann sereunieron en el café Reichsrat para comentar algunos detalles dela Conferencia sobre la Epistemología de las Ciencias Exactas en laque todos tenían pensado intervenir la semana siguiente; pero en-seguida ei tema de la conversación se desplazó hacia los descubri-mientos de Gódel, cuyo alcarrce Carnap no logró entender al prin-

cipio. El encuentro, organizado por la Gesellschoft für empirischePhilosophie, una sociedad alemana que colaboraba habitualmente

con el Círculo de Viena, tuvo lugar entre el 5 y el 7 de septiembreen Kónigsberg, la ciudad de los siete puentes, donde Euler habíadesarrollado la teoría de grafos y Kant había fijado los límites decompetencia de la razón pura dos siglos antes. La conferencia seinauguró con tres sesiones que presentaban las corrientes lógicasmás importantes del momento: el logicismo, a cargo de Carnap, elintuicionismo, por Arend Heyting, y el formalismo, de manos de VonNeumann. Al día siguiente, entre las tres y las tres y veinte de Ia tar-de, Gódel expuso un breve resumen de su teorema de completitud,y el domingo 7 de septiembre se cerró el congreso con una mesaredonda en la que se retomaron varias de las cuestiones tratadasdurante las primeras ponencias, en especial, hasta qué punto sehabía conseguido dar respuesta a la crisis de fundamentos de lasmatemáticas. Sólo al final, con esa mezcla de conücción y cautelatan suya, Gódel anunció que pueden darse elern?tlos de proposícíones yerda-

deraspor su contenído, peroíndemostrsbles en el sístemafonnol delas mntemíÉícasclásícas;aunque parece que no había descubierto todavía el segundoteorema de incompletitud.

98 99

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Carta autógr¿fa de GÓde1 di r ig ida a su madre

Este golpe de efecto, similar al que suelen reservarnos los fina-

les de los cuentos, pilló tan de sorpresa a los asistentes que apenas

hubo discusión, y en las actas del encuentro ni siquiera aparecen

recogidos los comentarios de Gódel. El único que mostró mucho

interés fue John von Neumann, que, "con su legendaria rapidez

mental", le pidió más detalles sobre la demostración una vez ter-

minada la conferencia y aprovechó para comentar con él algunas

de sus reservas ante los criterios de consistencia enunciados por su

maestro Hilbert. Más adelante, el 20 de noüembre, Von Neumann

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le escribirá contándole cómo ha descubierto que en un sistema

consistente es posibie transformar en una contradicción cualquierprueba de la indecidibil idad de la fórmula 0 = l, y se ofrece aexplicarle sus resultados cuando se publiquen. Sin embargo, tresdías antes Gódel había enviado el manuscrito "Uber formal unents-

cheidbare Sátze der Principia Mathemotica und verwandter Syste-me" ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles en Principia

L'lathematicc y sistemas afines"), donde aparecía ya el segundo teo-rema de incompletitud, al Moncttshefte für Mathematih und Physik.

"Puesto que has probado la indemostrabil idad de la consistencia

como continuación natural de ius resultados anteriores, no publi-

caré nada al respecto" -responde John von Neumann al enterarse

de la noticia.

Restrltaría natural que Von Neumann, con su síndrome de pri-

mero de Ia ciase, se hubiera enfurecido ante la intromisión de Gódel

en sus investigaciones, pero el matemático húngaro lo tenía en altaesiima. Tanto es así que en mitad de un curso en la Universidad deBerlín anunció que acababa de "recibir un artículo en el que un jo-

ven matemático vienés mostraba que los objetivos que Hilbert tenía

en mente eran irrealizables", y eligió los teoremas de incompletitud,

en lugar de sus propios resultados, como tema de las conferencias

de Pr inceton de 1931.

Fue allí donde Stephen Kleene, uno de los lógicos que mejorconocieron la obra de Gódel, oyó hablar por primera vez sobre los

teoremas de incompletitud: "Un día de otoño de 1931, el confe-renciante en el coloquio matemático de Prirrceton era John .¡on

Neumann. En lugar de hablar de su trabajo, que era abundante,

comentó los resultados del artículo de Gódel, que acababa de sa-

fir publicado en el Monatshefte, pero en el que aún no habíamos

reparado ni Church ni nosotros, sus alumnos [...]. Tras el coloquio,

el curso de Church continuó como hasta entonces, centrado en su

sistema formal, pero al mismo tiempo los alumnos nos leímos el

artículo, que a mí me abrió todo un mundo nuevo de ideas y pers-

pectivas fascinantes. La impresión que me causó fue tanto mayor

debido a la concisión y sagacidad del enfoque de Gódel".

Además, aVon Neumann le gustaba contar que, durante el tiem-

po en el que había tratado de demostrar la consistencia de las ma-

temáticas clásicas usando métodos finitarios, aunque no se había

percatado, como Gódel, de las dificultades a la hora de formalizar

el concepto de verdad, sí había obtenido algunos resultados parcia-

les positivos que lo l levaron a trabajar ininterrumpidamente. Una

noche, soñó que había superado el últ imo escollo, se levantó so-

bresaltado y pensó en el problema hasta el día siguiente, pero, a

la hora de acostarse, quedabatr todavía cabos por atar. Esa noche

soñó de nuevo que había descubierto la solución, pero, al tratar de

redactarla, encorrtró otro fallo en los argumentos y decidió dedicar-

se a otros asuntos. "iQué suerle tuvieron las matemáticas de que

yo no soñase nada la tercera nochel".

También David Hilbert se encontraba en Kónigsberg, aunque no

en Ia Conferencia sobre la Epistemología de las Ciencias Exactas,

sino en un encuentro de la Sociedad de Físicos y Científicos Ale-

manes, que lo había invitado a pronunciar su charla "La lógica y la

comprensión de la naturaleza", justo el día después del anuncio de

Gódel. Aunque Hilbert y él nunca llegaron a entablar conversación,

es muy posible que Gódel se encontrara entre el público que es-

cuchó a Hilbert proclamar que no existen problemas irresolubles.

Sólo una semana más tarde, cuando se enteró de lo que podríamos

llamar, en clave de novela policíaca, los sucesos de Kónigsberg, Hil-

bert le pidió una copia del borrador del artículo a través de Paul

Bernays, con el que solía colaborar. Tras su desconcierto inicial,

pronto aceptó la demostración de Gódel, en la que sólo encontraba

argumerrtos impecables desde un punto de üsta lógico. De hecho,

fueron Hilbert y Bernays quienes dieron la primera prueba com-

pleta del segundo teorema de incompletitud, que en el artículo de

Gódel sóf o se esbozaba, a la espera de una segunda parte fu proxitn;t

úp(trí(.íó11, que nunca llegó a escribir. No deja de ser paradójico que

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fuese el propio Hilbert quien completara el teorema que ponía enserias dudas su trabajo de veinticinco años. Entre enero y mayo

de 1931, Hilbert estudió con detalle la demostración, que Carrrap

seguía considerando "nluy difíci l de entender". Para salvar lo quequedaba en pie de su programa, Hilbert introdujo algunas innova-

ciones técnicas, como la r..,-regla, que, para cualquier fórmula F sincuantif icadores, permite deducir Y xF(x) si se han probado F(0),F(1), F(2), . . . Así , la proposic ión indecidible construida por Gódelse volúa automáticamente demostrable y, al extender la ¿d-regla atodas las fórmulas con una sola variable, los teoremas del sisternaformal correspondían biunívocamente a las sentencias verdade-

ras en los modelos estándar. Era, pese a sus ventajas, un principio

opuesto deraíz al carácter f initario de las demostraciones de Hilbert.

El l5 de enero Gódel habló sobre sus resultados en el Círculode Viena, donde sus amigos le hicieron algunas objeciones rela-tir¡as a la autorreferencia que solventó en pocas palabras con subrillantez habitual. Una semana más tarde presentó los teoremasde incompletitud en el coloquio de Menger, aunque éste se encon-traba en Houston, como profesor inütado del Rice Institute. Durantesu ausencia, Menger había dejado a Georg Nóbeling a cargo de lasreuniones: cuando su sustituto le escriL¡ió para informarle sobre laintervención de Gódel ("Algunos resultados rnetamatemáticos so-bre completitud y consistencia"), Menger interrumpió sus clases deteoría de la dimensión para resumir parte de la solución de Gódelal segundo problema de Hilbert. Al darle la enhorabuena, Mengerle proponía también un problema relativo al cálculo proposicional,que constituye el germen de "Una propiedad de los modelos delcálculo conectivo".

El 25 de marzo de 1931 Gódel recibió las primeras copias delartículo más famoso de la historia de la lógica: veinte años despuésVon Neumann seguiría recordando aquel momento como "un hitoque podrá diüsarse desde remotas distancias en el espacio y en eltiempo".

Del teorema de validez al de incompletitud

Los griegos habían descubierto ya que una proposición demos-

trable en una teoría es autonráticamente verdadera en la estructura

sobre la que ésta se construye. Este resultado, escrito en el lengua-

je de la lógica moderna, se conoce con el nombre de teorema de

validez:

Teorema de validez

Si I es un teorema de Ia teoría t. entonces 7 es verdadero en todos

Ios modelos de !.

Aunque la prueba se realiza por inducción sobre la longitud de

las deducciones, es posible dar una idea informal de su significado:

si I es un teorema de la teoría I, entonces existe una demostra-

ción de ?', es decir, una sucesión finita de fói 'mulas cuyo último

elemento es la propia 7. Vamos recorriéndoia fórmula a fórmula:

cada una de ellas podrá ser un axioma u obtenerse de las anterio-

res mediante ciertas reglas de deducción. Sea A¡ la fórmula que

encontramos en el iésimo paso. Si A¡ es un axioma, entonces

es verdadera de acuerdo con la definición de los modelos de una

teoría; si, por el contrario, A¡ se ha deducido de las l- I fórmulas an-

teriores, basta con observar que las reglas de inferencia están bien

construidas sólo si la conclusión es cierta siempre que lo sean todas

las premisas.

El teorema de validez establece la implicación err el sentido

de izquierda a derecha, pues, dado un teorema de la teoría, po-

demos asegurarnos de que será válido en todos sus modelos. La

pregunta surge ahora de forma natural: Zes el recíproco cierto?,

es decir, dada una proposición que sabemos verdadera en la es-

tructura \li, Zserá necesariamente un ieorema de la teoría t? Para

ilustrar el significado de esta cuestión, Dawson imagina en Logí-

cal Dilemmas dos tablas infinitas que recogen todas las fórmulas

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-m¡r¡)=qJ

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F¡(y) con su interpretación en los sucesivos nún'reros naturales: en

la primera, escribiremos una D en la casil la (m,n) si es posible

demostrar F^(n) y una / en caso contrario; en la segunda tabla

pondremos un 1 en la posición correspondiente si F^(n) es ver-

dadera y un 0 si es falsa. Así, cada vez que aparezca una D en la

primera tabla encontraremos un 1 en la segunda, pero, Zse corres-

ponden todos los 1 de la segunda tabla con una D de la primera?

De ser así, se obtendría una equivalencia perfecta entre la pro-

piedad sintáctica de scr demostro,ble y la propiedad semántica de

ser uerdadero, análoga a la que Gódel ya había probado pai'a la

lógica Cc primer orden en su teorem¿r de completitud, y existiría

un algoritmo capaz de demostrar cualquier afirrnación verdade-

ra. Pero nada es tan sencillo en la isla de las verdades matemáti-

cas: Gódel construyó una fórrnula verdadera (l), pero indemos-

trable (/j.

Es incorrecto imaginar el teorema de incompletitud como un

resultado contradictorio con el de completitud, pues ambos se re-

fieren a distintas cosas: en un sentido semántico, la palabra com-

pleto significa capaz de demostrar todo lo que es válido, mientras

que, desde un punto de üsta sintáctico, completo quiere decir ca-

paz de probar o refutar cada sentencia de Ia teoría. Así, en 1929

. Gódel demostró que la lógica de primer orden era completa en el

primer sentido, es decir, que todas las fórmulas verdaderas son

demostrables y, al año siguiente, obtuvo una prueba de que la

aritmética (y cualquier sistema formal en el que puedan introdu-

cirse los números naturales) es incompleta en el sentido sintáctico.

De todos n¡odos, Gódel no corría el riesgo de caer en esta am-

bigüedad porque las dos interpretaciones se distinguen en alemán

con los términos uollstiindig, que en el capítulo anterior algunas ve-

ces hemos traducido por suficiente,y entscheidungsdefinit, formado

a partir del verbo decidir. Es precisamente esta segunda idea la que

Gódel usa en la introducción a su artículo "Sobre proposiciones

formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas

afines":

Como es bíen sshido, el y,rogreso cleln mstematícahncía una mtryorexactítud ha conducído a lnfonnnlizacíón dc exteilsls donúníos de lomísma,

'le tll modo que lns cleduccít¡nes pucden llevnrse acsbo de acuerdo

cL)n uilL1s poctts reglas ntecánícns. Los sísfenas -fornales más amplíosconstruidos hast,t la feúa st¡n el sístemq dc icrs ftincipia Mathematica

7 ltr teorín tuíotnúf íca tle conjlurtos de Zermelo-Fr,tcnkel (desat.rolla,lattberíormentc l(1r J. v0t1 l,luuncmn) .

Esttts tlos sísretlns s0n tail extens()s, ryrc toaos los t:téiodos ,l¿ dnnr-trttrífut e mplemlos lny cn dín e n ln nafantí;tttit pue rlen ur-fornttlízrtdosen dlos, es olccír, rducídos a x{110s li\cLs ct:rít¡nttts ) rtglas ,le ínJcrenci,t.Es natural, l,0r tiittflt, etnítír ltt cttnieturr.t de qtte *os axíotnos 7 rcglo:

'le ínfercncía son ntltcíentc: psrtt dctidír tolds lLls úrcstílfles nnttenítticds

qLrc puülLm srJtwnulodts en díchos sístenbls. Et.t Io ryte sígie se tnuestrLlque esfl 110 $ t1sí, síno tyte, en kts dos sístenas citttdos hrg, problunrrsrcltttít'ttttttttt¿ sínrplts dt ltt fcorí¡ or¡.\íuaría fu los níunerts uLrturLl¡as qLt(110 lty¡s/,c'¡1 ser deJucídos it pfit'tir d( los l¡¡rr,rt. Esttt sítuacíón no resíJcm In esptcínl nsttmlezn delos sístcnms cstnblecitlos, síill) ifte LtiettLl a LuhTnnt¡lísínn clase le sístcntas_fbrntlcs en los que s,: íncltg,¿¡¡, efi plrtiLulLtr,todos ar1utllos que xrryan por adícíón dc un ni.tnero f,níto ,le Llxílmíts,nryoniendo que ninguna proltosícíón-fttlsa se t0rt;e detnctstrnble por t írtuddt: Ios axíontts ¡nndít\os.

Gódel comienza describiendo el sistema formal P consideradoen la demostración, que se obtiene a partir de la teoría simple detipos de los Principia Mothemoticc, tomando los núnreros naturalescomo elementos de tipo I y añadiendo los axiomas de Peano; setrata, pues, de un sistema interpretado, en el que cada fórmula,aciemás de ser una cadena de símbolos abstractos, expresa algu-na propiedad (verdadera o falsa) sobre los números naturales. Lossignos primitivos del sistema P son 0, s (el siguiente de), - (no),v (o), I (existe), - y los paréntesis de apertura y cierre, ademásde variables de tipo I (numéricas), de tipo 2 (sentenciales), queexpresan relaciones entre los números naturales, y de tipo 3 (pre-dicativas), que son clases de variables de tipo 2. A lo largo de estecapítulo he introducido ligeras modificaciones en las técnicas em-

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pleadas por Gódel en su artículo de 1931 con el f in de presentar sus

resultados con la mayor ciaridad posible. Por eiemplo, él no con-

sidera primitivo el cuantificador existencial, sino el universal, que

representa por fI. El predicado de igualdad se puede definir en fun-

ción de los otros símbolos: ¡ = / €s una abreviatura de la fórmula

- lA - (-A(x) v A(y)), dondeA es unavariable de tipo 2. He optado

también por modernizar la notación de algunas de las relaciones

recursivas: así, escribiremos Gen (x, y) en lugar de x Geny'

A continuación se formalizan los a-riomas segundo, cuarto y

quinto de Peano y se establece la validez de cualquier fórmula

que resulte de sustituir X, Y, Z por otras fórmulas en las reglas de

deducción:

XvX-:X; X--+XvY,

X v Y --.¡ l' v X'. (X --+ Y) --+ (Z v X'-+ Z v Y')

En segundo lugar, Gódel introduce un método para codificar

los objetos formales del sistema P que permite asignar a cada su-

cesión de íórmulas un número natural, su número de Gódel, y,

recíprocamente, decidir si un número dado es la codificación de

alguna fórmula. Gracias a esta ingeniosa idea, todas las afirmacio-

nes metamatemáticas tienen un correlato numérico: por ejemplo,

la propiedad de que B sea una subfórrnula de A se convierte en

una cierta relación en'rre los números de Gódel de A y B, que bien

podría ser que uno diüda al otro. En particular, pueden "expresarse

numéricamente" propiedades tan importantes como la de ser un

axioma, la negación de una sentencia o una fórmula deducible.

Apoyándose en estas técnicas y en la paradoja del mentiroso,

Gódel se dio cuenta de que no es posible expresar la verdad y la

demostrabilidad en un mismo lenguaie. El problema de la autorre-

ferencia ya había sido explorado por otros miembros del Círculo

de Viena (Carnap recuerda en su autobiografía intelectual que solía

discutir con Gódel sobre estos temas) preocupados fundamental-

1_06 1"07

mente por las incongruencias a las que podía conducir. pero Gódelconsigue alejarse de ellas, sustituyendo la noción de verdad por lapw'amenft jormrtl \' fi'nrc\rc', tn,is tlébíl de indecidibilidad: sin riesgo decontradicciones, la afirmación sq, htdentostrttúl¿ es verdadera y, portanto, indecidible, con lo que conüerte a P en un sistema formalincompleto.

Los números de Gódel

En su cuento "La Biblioteca de Babel", Borges imaginó unabiblioteca, aparentemente tan infinita como el Universo, cuya leyinterna había descubierto un genio del pasado;

"Este pensador observó que todos los l ibros, por diversos que

sean, constan de elementos iguales: el espacio, el punto, la conra,las veint idós letras del alfabeto. De esas premisas incontrovert ibles

dedujo que la Bibl ioteca es total y que sus anaqueles registran todaslas posibies combinaciones de los veintitantos símbolos ortográficos(número, aunque vastísimo, no infinito) o sea todo lo que es dableexpresar: en todos los idiomas. Todo: la historia minuciosa del por_

venir, el catálogo f iel de la Bibl ioteca, miles y miles de catálogosfalsos, la demostración de la falacia de esos catálogos, la demostra_ción de la falacia del catálogo verdadero, la relación verídica de tumuerte, Ia versión de cada l ibro a todas las lenguas, el t i .atado que

Beda pudo escribir (y no escribió) sobre Ia mitología de los sajones,los l ibros perdidos de Tácito".

En un sentido muy general, un alfabeto es un conjunto finito

de signos que se combinan en ristras de tamaño arbitrario donde

el mismo símbolo puede ocupar posiciones distintas y repetirse.

Si consideramos un alfabeto de veinticinco símbolos y cadenas de

exactamente n signos, el número de combinaciones posibles es

25n. Dado un lenguaje l, gódelizorlo significa asignar un número a

cada uno de los símbolos de su alfabeto, de tal modo que podamos

Í-o

ÉrD

-=o)

o_o

-oJ

15

.D(+

a+co_

I

t,

(J

Po_

.0.1

LAu

o

ct6

J

dJp

TJ

.!t

!t

*

codificar más adelante una hilera arbitraria de símbolos, por ejem-

plo, la del tratado de mitología sajona que Beda pudo escribir. En

términos precisos, se trata de encontrar una aplicación g : I --+ \

con las siguientes prcpiedades:

Por su parte, a las variables de tipo n les corresponden números

primos mayores que 15 elevados a la potencia enésima, es decir,

77 , 19, 23 para las variables numéricas x, !, Zi 172, 792,232 para las

variables sentenciales A, B, C;y 173,193, 233 para las predicativas

R Q, R. Por tanto, es posible descomponer cada fórmula en sus

signos elementales, calcular el número de Gódel de cada uno de

ellos y componer, mediante ciertas operaciones, su gódelización.

Para una fórmula con n signos elementales de números de Gódel

tr t t , r r tz, . . . , f ln, Gódel propone mult ip l icar los n pr imeros números

primos elevados al m¡ correspondiente. Para codificar una demos-

tración es suficiente con obtener la gódelizoción de cada una de

sus fórmulas y hacer el prcducto de los resultados. Por eiemplo, el

segundo axioma de Peano, por el que "cero no es el sucesor de

ningún número", queda:

g(- lx(sx= o)) = 2s x3e x5r7 x 7¡3 x 113 x 1317 x lTrr x 19r x23's

Llegado este puntc, tal vez el lector se pregunte por qué en el sis-

tema de numeración de Gódel no aparecen signos bien conocidos

como la conjunción, el condicional o el cuantif icador universal. La

respuesta es que estos símbolos son sólo abreviaturas informales,

que en la metateoría se pueden definir en función de la negación,

fa disyunción y el existe; de hecho, la gódelización propuesta por

Gódel contiene más signos de los estrictamente necesarios pues

los paréntesis pueden suprimirse, como demuestra el teorema de

lectura única. Veamos algunos ejemplos:

S(A n B) = g(-(- ,4 v -B))=2sx-3r3*55"7t22 x117x 13st17rs2 *19rs

g(A -

B) = g((-A) v B)=213 "3sr.5172

xTisx l1z* 13rd

g(v xA) = g(- lx(-A)) = 25 x3e x 5r7 x 7r3 x 11s x 13¡72 x lTrs

Como apuntábamos en el primer capítulo, para construir su

lingua generalis, Leibniz había propuesto resumir todos los pensa-

mientos en un puñado de ideas primitivas, a las que fuese posible

asignar coracteres para formar a partir de ellos los caracteres de

I ) g es inyectiva: si x e y son hileras de signos distintas, entonces

los números de Gddelg(x) Vg0) son también dist intos'

2) g es computable: para cualquier cadena de símbolos se puede

calcular en un núniero flnito de pasos su número de Gódel.

3) Ei recorrid<; de g es decidiblc: dado un número natural n, es

posible determinar si existe o no alguna hilera de sÍgnos ciel

lenguaje cuyo número de Gódel sea n. Además, si n pedenece

a g(tl), podemos escribir la cadena de símbolos que gódelizo.

En el marco de la lógica, las gódelizaciones proporcionan meto-

dos numéricos de represeniación de fórmulas, igual que las juga-

das de ajedrez pueden codificarse mediante un sistema de letras

y números, de forma que "CfS Ah4" contenga toda la información

relevante sobre el movimiento del caballo que se encontraba en la

casilla f5 para comerse al alfil de la h4. Para demostrar los teore-

mas de incompletitud, Gódel introduio la primera gódelización cle

la historia -o, tal vez, la segunda-, en lo que constituye a juicio

de muchos el sistema de representación más importante des-

pués de la geornetría analítica de Descartes, que hizo corresponder

pares ordenados de números reales a los puntos del plano, y cier-

tas ecuaciones algebraicas a las figuras gecnétricas. En su artículo,

Gódel asigna primero números impares del uno al quince a los

símbolos primitivos del sistemaP:

11 13J(

'f

r--o

+.D

-o=q.J

L4

rD

:f

-o=

n

(+

-o_

I

(!

.:

108

l5

t_ 09

(^oU

P

.(u\Jurut1

OJ

las nociones deúvadas. En efecto, si hiciéramos corresponder a

cada idea simple un número primo, los pensamientos compues-

tos podrían obtenerse como producto de los números primos de

sus ideas componentes, y todas las verdades conceptuales que-

darían representadas por verdades aritméticas. En particular, el es-

tudio de las relaciones sujeto-predicado se reduciría a comprobar

si el carácter del sujeto es múltipTci¡l(ffiUIl]gro del predicado. La

anaiogía del programa leibnizano con los métodos de Gódel es de-

masiado fuerte como para considerarla fruto del azar; más bien,

durante sus primeros años en viena, en los que asistió a los semi-

narios de historia de Ia filosofía del profesor Gomperz, Gódel habúa

leído los manuscritos inéditos det filósofo alemán, editados por

Louis Couturat en 1903. A su modo, también Leibniz se planteaba

la cuestión de cómo reconstruir la idea que representa un carácter

dado. Como todos los números naturales se descomponen de rna-

nera única como producto de primos, en su caso era suficiente

con obtener dicha descomposición y buscar en la enciclopedia de

ideas primitivas los pensamientos correspondientes a los factores.

Sin embargo, sólo una porción restringida de los números natura-

les son números de Gódel; por eso se hace necesario describir un

algoritmo que permita decidir si un número N eslagódelización de

una fórmula o no, es decir, un procedimiento automático que, tras

un número finito de pasos, concluya si existe alguna fórmula con

número de Gódel /V.

En el test anterior, después Ce las etapas marcadas con un as-

terisco, es posible concluir que N es un número de GÓdel, mientras

que, si encontramos una exciamáción, fú no se corresponde con

ninguna fórmula de P. Por tanto, el algoritmo puede llevarse a cabo

en un número finito de pasos, que pueden acotarse a priori en fun-

ción del valor de /ú. Apoyándose en ideas similares, Gódel introduce

una digresión de varias páginas para definir las funciones recursivas

primitivas, que, aunque ya habían sido utilizadas antes por Dede-

kind, Skolem y Hilbert, nadie había definido aún explícitamente.

En general, los métodos recursivos permiten reducir el cálculo de

/(n) al de ciertos f(n¡), donde todos los n¡ son estrictamente meno-res que n; así, es posible ir descendiendo hasta encontrar un casobase, por ejemplo, /(0) o f(l), de valor conocido. Algunas de las re-laciones recurrentes más conocidas son la que permite calcular elfactorial de un númeÍo, o Fn = Fn-t * Fn-2, que, tomando Fo = Fr = I ,define la sucesión de Fibonaccil,1,2,3, 5, 8, l3i;**"**'

a*=.*,*,'- _

Las funciones recursivas primitivas se obtienen a partir de cier-tas funciones ti'iüales por composición y recursión, y "tienen la im-portante propiedad de que, para un conjunto dado de argumentos,el valor de la función puede computarse rnediante un procedimien-to nnito". En 1742 Goldbach planteó a Euler la pregunta de si todos

ñU

ho.o

fitJ

o)o:o(9

f-

o(,

-.D:.D=CJt¡

o_rD

l

r)o=ca

éo_

tsLO(,

ts

1t0 111

pa-

.cJ

OJ

LN

E

(J

ru

(c\I

OJE

(5

{

{Ji

! i

rí

kfl

Ios números pares mayores que dos pueden escribirse como sumade dos primos. Los primeros casos se estudian fácilmente (4 = 2+2,6 = 3 + 3,8 = 3 + 5, 10 =3+7,. . . ) , pero el problema sigue estandoabierio casi tres siglos después. Llamando números de Goldbach

a los pares para los que la conjetura es cierta y considerando lafunción f(n) = I si n es un número de Goldbachy f (n) = 0 en ca-so contrario, la cuestión podría plantearse en otros términos: debeser f (2n) = I para todo n > 2. Fijado un número par cualquiera,es posible decidir en un núrrrero finito de pasos si es un número

de Goldbach: para elio basta con considerar todos los pares denúmeros prirnos (p¡,q¡), con p¡ I e¡, y calcular p¡ + e¡.En caso deque ninguna de estas sumas coincidiese con el número dado, laconjetura resultaría falsa y habríamos encontrado un conrraejem-plo; si, por el contrario, alguno de los p¡ + e¡es n, hemos obtenidouna descomposición posil--le. Por snpuesto, esto no nos acerca a lasolución real del problema, pero hace más probable que ésta seapositiva y es una fuente de confianza. En trabajos posteriores, Gócielse referiría a las cuestiones cie esta naturaleza precisamente como

Irrtthlemns de típo Cloldbac"li. Como cabe esperar, otra vez las cosas noson tan fáciles como parecen: Ia mayoría de los problemas no sonde tipo Goldbach. Así, resulta imposible diseñar un algoritmo que

busque un contraejemplo para la conjetura Ce los primos gemelos,

según la cual existen infinitos números primos p tales que p + 2 estambién primo.

Aritmetización de la matemática

Partiendo de las funciones recursivas primitivas, Gódel intro-duce las relaciones homónimas: una relación R entre n númerosnaturales es recursiva primitiva si y sólo si existe una función recur-s ivapr imit ivadenargumentos ta l queR(x, . . . xn)

- f (x, . . . xn) = g,

es decir, tal que si los x¡ están relacionados por R, entonces el re-sultado de efectuar ciertas operaciones aritméticas entre ellos escero, y recíprocamente. La gran belleza del argumento de Gódel

radica en que, puesto que cada fórmula de P lleva asociada unívo-

camente un número de Gódel, las relaciones metamatemáticas

entre las fórmulas cuyas gódelizociones Son x1 ,r2, ...,xn se trans-

forman en propiedades aritméticas de esos mismos números. Esta

equivalencia constituye una increíble iuente de metáforas sobre los

teoremas de incompletitud: Hintikka ha comparado el artificio de

nuestro protagonista con una obra de teatro en la que cada actor

representa al rrrismo tiempc su personalidad propia (en este caso,

la de ser un número natural) y un carácter prestado (el papel de

proposición formai que interpreta), y otros autores suelen recurrir a

símiles musicales para hablar de una "asombrosa sinfonía intelec-

tual" avarias voces. De ahora en adelante, para no hacer tan pesado

el texto, en lugar de escribir siempre "la fórmula cuya número de

Gódel es x", algunas veces diremos simplentente la fórmula x (con

cursiva).

En el artículo se consideran cuarenta y seis funciones y relacio-

nes -casi cuarenta y seis modos de ser, como los de A¡istóteles-,

de las cuales todas menos la última son recursivas primitivas. En-

tre ellas destacaremos Gen(x,y), Sb(x, u,y)y Bew(x), relaciones de

dos, tres y un argumentos respectivamente. Gen(x,y) es la gene-

ralización de la fórmula cuyo número de Gódel es y respecto de

la variable cuyo número de Gódel es x, es decir, el resultado de

aplicar el cuantificador universal a la variable x en y. Tomemos, por

ejemplo, la fórmula que, interpretada en el sistema de los núme-

ros naturales, indica que, hay algún número y para el que existe

-v + 1 : f y (y = sx). La generalización intuitiva de la fórmula respec-

to de x af;rma que todos los números naturales tienen sucesor, es

decir , VxJy(y = sx), o lo que es lo mismo, - l r - ly-0/ = sx),

el tercer axioma de Peano. Si hacemos corresponder ahora a cada

una de estas fórmulas su número de Gódel:

m = 2s x3tsx5l3xZIexl l r l x133xl7r7x19ls

n = 2s x3s x517 x 7s x 1le x 13re x 17s x 1913 x23re x29rrx313 x3717 x41rs

f-

s

a+ao

-rD=OJ

o_

=ñ=

r+

Co

(,I

ro

r72 113

debe verif icarse la igualdad n = Gen(77,m), donde l7 es la gódeti_

zoción de la variable x. Otra relación muy importante es Sb(x,u,y),resultado de sustituir en la fórmula cuyo número de Gódel es x ro_das las presencias l ibres de la variable u por y. por ejemplo, si enla fórmulaA(x), donde A es una cierta propiedad aritmética, susti_tuimos x por el número 1, se t iene A( l ) = A(s0), cuyo número deGódel eSp = 2tz2 ,gts x53 x 7rx I l rs. Entonces, p = Sb(q,1 Z+,I .$.WA..

O - r"' x 313 x 5r? x 7r5, lagódetizacrón original

La penúltima relación, B(x,y), expresa la propiedad de que x esel número de Gódel de una demostración de la fórmula cuyo núme-ro de Gódel es.v; así, 1x B(x,y) -que abreviaremos por Ber,v(x), delalemán beuseisbctr (demostrable)-, afirma que la fórmula gócleli-zado por y es demostrable en P, y su negación,

- Betu(x), que noexiste en P ninguna demostración de la fórmula ¡. Naturalmente,esta función va no es recursiva primitiva, pues es imposible decidiren el sentido algorítmico de los problemas de tipo Goldbach si unafórmula es demostrable o no. Suponiendo que pudier.a demostrarsela proposición de número de Gódel x, habría que examinar una poruna todas las demostraciones de P hasta ver si alquna de ellas termi-na con x; pero six correspondiese ala gódelización deuna fórmulaindemostrable, entonces el proceso sería infinito. Con una leve nro-dificación, dada una fórmulaA, podemos construir eQ,i para ex-presar que la fórmula de número de Gódelx no es una demostraciónde ACv); por tanto, V xQQ,_v) asegura que A(y) no es demostrable.

Es ahora cuando entra en juego la paradoja del mentiroso; re-cordemos que esta anti:-lomia, cuya prinrera formulación suele atn-buirse a Epiménides de Creta, surge al afirmar "soy una proposiciónfalsa", ya que entonces la sentencia es verdadera si y sólo si es fal-sa. La solución propuesta por la teoía de tipos de los principia

Mathematica suponÍa eliminar cualquier clase de autorreferencia,de modo que las fórmulas que hablaban de sí mismas simplementeestuüeran mal formadas. A Gódel esta prohibición le resultó desdeun principio demasiado drástica, pues:

Podenrcs tonsfruír sefifenciLls c¡uth,tcen ltJrnnadones saltre sí ntísmts,

y dehccho sotr sentcncías qLrc contíuten fimcío;rcs de-finíJns rc(ursí1)nttíente

y l10r ellt fíetrcn sm dudct síüúhrrtdn [ ] Esfn cttn-;frttrcíón sólo pue'k

Ibt,rsc ú útbtt sí Ia propledrtd r exprextble en el síst¿nn, v l¡t solucíón

ría In 1,¡v¡l¡1¡rt dc Eputtérritles e¡ríh't ctt tltíe cstl iLifíntt no cs posíblc

parir ct{(tlquítr propíeJnd metLwnt(fitátícit. Cttnsídercilk)s ILl ú11tt1'íut'

t-ltnrtncíón h*ltn por X. X dcltr csltt:¡i¡rn, ,¡11 l¿n";uult l ',t ' i it:ír r¡ttt -@

cttttii\tricr tfinruít)rt qttt tl httlr'thttln ett c! títrn1,o ,ittt¡'ttth¡,ttí¡ u ttt ',i

;tirt¡tct"ítin,ftt!ttl tit L. P¿rtt "tthrntttttón.fcJsrt ctI L" 11ú lueLk (xrrr"t'r" (11

L, iit tttt',la qLL¿ slt ¡!.ifttrLtcítit¡ tsr,tl'¡ ¿¡1 ¡!,1r;tt ,¡¡¡'0 !¿1v4Lti1ít: !, ptti' it1l!il,

tle s s l, rtt' t' ct ia p ¡¡ ¡ rl ¡ ¡ rr.

I

o

'c,,

CJ

o

qJ.l

rE

tr¡. -

J

a)c

|j

De hecho, la clave para probar el primer teorema de incomple-

titud está en sustituir la noción de verdad por otra expresable en

el lenguaje, la de demostrabil idad, y construir de nuer¡o la afirma-

ción "soy indemostrable". Veamos cómo es posible formalizarlo' De

acuerclo con lo anterior, hagamos corresponder a Q(x, y) su número

de Gódel q. Si generalizamos esta fórmula respecto de la variabie

x podemos obtener P = Gen(17, g), que sólo afirma, hasta el mo-

mento, que la fórmula cuya gódelización es y no es demostrable

en el sistema P. Ahora, sea r el resultado de sustituir en Q(x,y)

la var iable y pcr p, es decir , r = Sb(q, l9,p). r es el correlato

numérico de la proposición r,letamatemática siguiente: x no es

una demostracion de " x no es una demostración de .v ". Ya sólo fal-

ta generalizar esta últ ima fórmula respecto de la variable x; de este

modo, estaríamos afirmando que no es demostrable que y no sea

demcstrable o, poniendo la proposición en boca de 1l "no soy de-

mostrable". Su gódelización no será otra que Gen(17, r) -o, corno

escribe Gódel, 17 Genr- que, naturalmente interpretada, afirma su

propia indecidibil idad y es la sentencia que andábamos buscando'

En fo sucesivo abreviaremos por G la fórmula 17 Gertr.

Llegado este punto, resulta necesario imponer alguna condi-

ción restricti'¿a al sistema P considerado. En lugar de establecer

que sólo pueden probarse las fórmulas verdaderas, Gódel supone

T-

a+.Do

ID

ó

eó

t-¡

=9iD+

r+=.J

I

(O

i1A 115

t

vt

pa_

.(J

o)

q-JaJ

ruU

.o

ru_l

(j

c

LT

I

d

I

{

que P es ¿r-consistente, es decir, que no existe ninguna fórmula Atal que A(0), A( l ) , A(2), . . .y f x -A(x) sean demostrables. La con_sistencia simple se sigue de la ¿¿-consistencia, y en 1936 et lógicoBarkley Rosser logró demostrar, construyendo una sentencia inde_cidible más complicada, que basta que el sistema p sea consisren_te en el sentido que venimos estudiando hasta ahora. suponiendoque P sea consistente, G es verdadera, ya que, si fuera falsa, es_taríamos afirmando que es posibre demostrar u.a fórmura falsa, locual contradice la hipótesis de coherencia del sistema. pero, si Ges verdadera, entonces, como ella misma indica, G no es denros_trable; a esto se refería Gódel al hablar de prtt¡tt:stít;nts turdttderas porsu catÍctida, ¡rero índcntostrttbl¿s. otros razonamientos conducen a lamisma conclusión; supongamos que G fuera demostrable, enton_ces automáticamente se volvería falsa, pero, al ser falsa, no podríaprobarse en un sistema consistente; así, G sóro puede ser inde-mostrable y, por tanto, verdadera. Tal vez pueda probarse entoncesla negación de G, pero

- G es falsa y, por tanto, indemostrable encualquier teoría consistente. La sentenci a lz Genr es irremediable-mente indecidible.

La única solución posible sería añadirla como a-rioma, es de-cir, considerar el sistema P extendido con la fórmula G. Gódel seasegura de cerrar también esta hipotética vía de escape, pues, co-mo señala NÍanuel Garrido, "ei ensayo de remediar la incompletitudañadiendo al sistema formal como nuevo axioma la fórmula indeci-dibie, no haría más que quitarle a la hidra una de sus innumerablescabezas: tarde o temprano, el perturbador incidente se reprodu-ciría en el nuevo sistema con otra fórmula anároga, y así indefini-damente". Además, los teoremas de incompretitud no se refierensófo a los Principia Mathemotica ampliados con la aritmética dePeano, sino a cualquier sistema formal de grado igual o superiorque la incluya. En particular, como en Ia teoría de conjuntos sepueden sumergir los números naturales, también existen proposi_ciones sobre los conjuntos que son verdaderas, pero formalmenteindecidibles.

Otra vez la consistencia

Al introducir la consistencia, en el segundo capítulo, hablamos

sobre cómo la negación del quinto axioma de los Elementos había

hecho posible el desarrollo de las geometrías no euclídeas. Desde

varios siglos antes, el postulado de las paralelas no parecía tan auto-

eüdente como los demás, pues involucraba regiones infinitamente

leianas dei espacio. Muchos matemáticos trataron de demostrarlo

partiendo del resto de axiomas, pero resultó ser independiente de

la geometría absoluta, ya que, extendiendo los cuatros primeros

a-xiomas de Euclides con la negación del quinto postulado, se ob-

tenían teorías consistentes -como la geometría riemanniana, cuyo

modelo más sencil lo es una esfera, si identif icamos los puntos con

puntos de su superficie, y las rectas con los círculos máximos. Lo-

bachevski logró oetnostrar que si la geometría hiperbólica era con-

sistente también lo era la euclídea, y Klein y Beltrami establecieron

la implicación en el sentido contrario: si la geometría euclídea era

consistente, lo era la no euclídea. Así, los nuevos sistemas axiomáti-

cos eran consistentes si y sólo si lo era el clásico, y todo dependía de

la coherencia de la teoría de los números reales; se trata, por tanto,

de una consistencia relativa (equiconsistencia). Si, por el contrario,

pretendemos demostrar la consistencia absoluta de una teoría, es

muy útil dar con una característica de todos los teoremas de la teoría

y mostrar después una fórmula A que no la verifica. En efecto, si la

teoría luese inconsistente podría demostrarse cualquier afirmación

sobre los objetos a los que se refiere -v, en pa,rticular, A sería un

teorema.

El segundo teorema de incompletitud, que el propio Gódel

consideraba un corolsrío slr7rüil|üfte del primer teorema, estable-

ce que estas pruebas absolutas de la consistencia de un sistema

en ningún caso pueden ser realizadas dentro de la teoría cuya

coherencia se pretende demostrar. En líneas generales, el argu-

mento es el siguiente: l lamemos C a la proposición "El sistema

formal de la aritmética de Peano es consistente" y G a la fórmu-

T-

o

:m=

o_rD

f

=c

rDd

.+C

(,

(-o

,qilF

116 r17

ú)v

p

.(J

U6

a)

LN

a)c

ruU

hñ

. -

\- roJ

a)D

15

la de Gódel que hemos construido en er epígrafe anterior. vea-mos primero que, teniendo en cuenta que un sistema consistentees aquer en er que existe ar menos una fórmura no demos[abre-que bien podría ser 0 = l, como le sugería Von Neumann aGódel en su carta_, es posible formalizar C en el sistema p. Enefecto,

WidP e+ f x (Formx n -Betux).

donde Wid p _de nuevo una abreviatura del término alemán ¿¿_r¿_derspruchsfrer- significa "p es consistente" y Formx es la reraciónrecursiva prinrit iva "ser urra fórmura del sistema,,, dice precisarnen_te que hay una fórmula en p que no es demostrable. EI primerteorema de incompletitud asegura que, si p es consistente, en_tonces existe una fórmula verdadera, pero indecidible G, es de_cir, la implicación tógica Widp -->

-Beu.t(lZGenr). por tanto,si la consistencia de p pudiera demostrarse dentro del sistema,automática¡-nente quedaría demostrada también G, ro cuar resurtaabsurdo.

Además de prometiendo una segunda entrega, donde los resul-tnrlos en foln su generrtrírrod serínn t'ornruraios y probarJos,Góder terminabasu artículo señalanclo que el segundo de teorema de incompletitudde níngúrr ntc,do contr,díceltt posícíón_t''orntalísta de Uíll,er r, pu;;;;;r';;rrpr,r,sólo ls exístetrcín de tm,: prichn de in consist*tcín,evúdq'0 rnb,o io,r'*rda,Itnítaríos' y sería concebíbre clue exístíe-sett crtmostraciones jnrtas ryte tn pu-díeron represefltsfse en P. Sin embargo, la comunidad matemática noüo en esia obserwación sino una forma más o menos eregante dedorar ra pírdora, y muchos consideraron definitivamente fracasa-do el programa del alemán. En 1936, Gerhard Gentzen, a quien sedebe el símbolo V para el cuantificador universal, obtuvo la prime_ra demostración, usando recursos transfinitos, de ra consistenciade la aritmética clásica; y también Gódel continuó trabajando so_bre posibles extensiones der método finitario en las que pudierademostrarse Ia coherencia de p.

Hablar del absoluto

A Mostowsky, uno de los meiores conocedores de la teoría de

coniuntos, le gustaba dar largos pasos con Gódel por Viena, hasta

que un día de 1937, Gódel le anunció con aire solemne que la próxi-

ma vez hablarían sobre el absoluto. "Y no volví" -contaba corr gracia

el polaco. Gran parte de las interpretaciones erróneas de los resul-

tados de Gódel surgen de considerar en sentido absoluio lo que

en el artículo de 1931 se refiere sólo al contexto del sistema formal

consiCerado. Así, el teorema de Gódel no afirma que hay verdades

qlre no se pueden probar, sino que, una vez fi jados los axiomas y

reglas deductivas de P, existen proposiciones que sabemos ciertas

por su contenido, pero que son indecidibles en el sistema. Es fácil

darse cuenta de que no tiene serrtido hablar de verdades ni de-

mostraciones sin tomar primero estructuras y teorías, porque una

cierta afirmación sobre los naturales no tiene por qué verificar-

se al mismo tiempo en lR. En particular, cualquier proposición es

demostrable en un sistema que la incorpore como axioma. El se-

gundo teorema de incompletitud tampoco dice que sea imposible

demostrar la consistencia de la aritmética, sino únicamente que

para hacerlo se requieren técnicas de orden superior, del mismo

modo que el problema de dividir un ángulo en tres partes iguales

no tiene solución con la sola ayr,rda de la regla y el compás, pero

se resrrelve al instante disponiendo también de un instrumento de

medida.

Otro error frecuente es fruto de entender los teoremas de in-

completituc como un comodín aplicable a todos los sistemas que

aparecen en la física o la filosofía. Por supuesto, "Sobre proposi-

ciones formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y

sistemas afines" poco o nada tiene que ver con interpretaciones

tan peregrinas como la de un fotógrafo posmoderno que arguye,

haciendo uso del teorema de incompletitud, que no existe la ins-

tantánea perfecta, o la de quienes lo únculan con el budismo zen

o intentan acercarse a las enfermedades de la mente:

-

-

-a=OJt/]

o_rD

f

o=

E

r+

e+cc_

I

rg

r_8i19

.qil|l;É

r/l

U

+Jo-

.qJ

\J

a)

r¡

E

rUU

bn

rgJ

Precisamente, una de las consecuencias inesperadas delteorema de Gódel era la imposibilidad de distinguir la locura delgenio. Dado que todos los sistemas poseen proposiciones ver-daderas que no pueden ser demostradas, es posible que existan

también razonamientos ciertos que no se pueden comprobar. Lamente, como las matemáticas, es incapaz de cuidar de sí rnisma

frente a la incoherencia. Una persona nunca podrá discernir siestá loca o cuerda pcr el simple hecho de que no tiene un marco

externo de referencia fuera de su propio cerebro. El demente

sólo puede rrredirse con la lógica de la demencia y el genio, conla lógica de la genialidad.

_ Lo primero que sorprende al estudiar la recepción de los teore-

3 mas de incompletitud es la indiferencia de muchos matemáticos,(, que redujeron su alcarrce "a la construcción de la sentencia pa-

tológica 17 Genr"; y la seguridad de quienes af,rmaban que Gódel

había cometido errores en el momenio cumbre de su razc-¡namien-

to. Lo cierto es que el trabajo de Gódel era ininteligible para la

mayor parte de sus colegas, pues incorporaba técnicas novísimas,y la lógica ha sido siempre un campo de estudio reducido. Además,

como reflexionaba Thomas Kuhn, "en la ciencia, la novedad surge

sólo con dificultad, puesta de manifiesto por la resistencia, sobre

el fondo que proporciona lo esperado. Inicialmente, sólo se experi-

menta lo preüsto y lo habitual, incluso en circunstancias en las que

más adelante se observarán anomalías".

En septiembre de 1931 Gódel üajó a Bad Elster para hablar so-bre los teoremas de incompletitud ante los miembros de ia tJniónMatemática Alemana. Fue allí donde encontró a uno de sus princi-pales detractores, un Ernst Zermelo sexagenario, mtry írascíble, que sesentítt malfratado, y que conocía mejor que nadie lo duro que resultaluchar por una idea, pues su axioma de elección, como veremosenseguida, había tenido que vencer innumerables críticas. Las mis-mas burlas de las que había sido objeto las empleaba ahora contra"el skolenismo, la doctrina de que cada teoría matemática, iincluso

la teoría de conjuntos!, se realiza en un modelo numerable", y en

general, contra aquellos que entendían las pruebas como deduccio-

nes formales en lugar de como métodos metamatemáticos para de-

terminar si una proposición es verdadera o falsa. Sus puntos de üsta

eran tan diferentes de los de Gódel que le impedían entender sus re-

sultados. Quizá por eso no tuviera ningún interés en conocer a nues-

tro protagonista: parece que se resistió cuando un grupo de acólitos

quiso presentarle a Gódel y propuso que todos almorzaran juntos en

lo alto de una colina cercana. Tras queiarse amargamente de que no

estaba en condiciones físicas para subi¡ de que no habría suficiente

comida si Gódel se les unía, o, simplemente, de que no le gustaba su

aspecto, los dos terminaron conversando sobre lógica colina arriba.

Pero ¿,sc ancLtetxtrl ltitcífrco na-iuc el ctwienza fu unn lrtrgc ami:titd: el21

de septiembre Zermelo le escribe contándole que ha encontrado

un fallo que invalida toda la demostración, pues de sus resultados

"podría desprenderse una frase que, como la paradoia de Russell,

afirmara su propia falsedad". Gódel se tomó la paciencia de expli-

carle, en una carta de diez folios, que el concepto de verdad sólo

se había usado en el esbozo informal de la introducción, pues, a lo

largo del artículo, quedaba reemplazado por el de demostrabilidad,

que no incurre en contradicciones, a menos que supongamos que

todo lo vcrdarlertt ts demostrnúlr:. Terminaba diciéndole también que el

problema que creía haber detectado era consecuencia de Ia suposi-

ción de que el concepto de verdad es expresable dentro del sistema

P, una hipótesis sLryú, tt l tttítt. De poco sirvieron, sin embargo, tan-

tas aclaraciones: Zermelo siguió poniendo pegas durante mucho

tiempo, que Gódel decidió no refutar. Al leer parte de la corres-

pondencia entre los dos lógicos, Carnap aseguró que Zermelo no

había entendido nada de los teoremas de incompletitud. Tampoco

Wittgenstein y Russell los comprendieron.

En unas Obseruaciones sobre los fundomentos de lo matemáti-

co publicadas tras su muerte, Wittgenstein arremete contra Gódel

en un apéndice que la mayoría de los estudiosos del filósofo alemán

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no consideran a Ia altura del resto de su obra. Como él mismo afir-

ma, el propósito de Wittgenstein no es "hablar de la demostración,

sino rozarla mientras habla"; así, en Iugar de discutir cómo se cons-

truye la sentencia 17 Gen r, o si es correcto probar su indecidibilidad

a la manera de Gódel, rechaza el contenido metamatemático del

artícufo. Uno de los rnotivos recurrentes del Tractatus es lo inade-

cuado que resulta resolver los problemas del lenguaje recurriendo

a una estructura de orden superior; por eso, como apunta Manuel

Garrido, "lo que tl i lbert, Tarski y Carnap propusieron como meta-

matemátlca y metalógica le parecía un mal sustituto de la vieja me-

tafísica, que, tanto los formalistas como los nuevos positivistas pre-

tendían eliminar". Wittgenstein veía un contraste desmedido entre

el rigor de las construcciones sintácticas de las funciones recursi-

vas primitivas y "la nebulosa semántica del programa" que hacía co-

rresponder a cada fórmula su número de Gódel. Aunque algunas de

estas consideraciones puedan resultar de interés, Wittgenstein tam-

bién se pregunta por qué es imposible expresar las proposiciones

cle la física en el simbclismo de la lógica, o escribe que "la contradic-

ción que surge cuando alguien dice 'Estoy mintiendo' interesa sólo

porque ha atormentado a la gente" y "la proposición 'P es indemos-

trable' tiene un sentido diferente después de haber sido probada".

Russell, por su parte, en una cana escrita en 1963, reconocía que:

"Hace cincuenta años que nc trabajo seriamente en lógica ma-

temática, y casi el único trabajo que he leído desde entonces es el

de Gódel. Me doy cuenta, por supuesto, de que es de fundamen-

tal importancia, pero sigue siendo para mí todo un quebradero de

cabeza; me hizo feliz no trabajarya en lógica matemática. Si un con-

iunto de axiomas dado conduce a una contrad¡cción, es claro que al

menos un axioma debe ser falso. ZSe aplica esto a la aritmética de la

escuela y, si es así, podemos creernos algo de lo que nos enseñaron

de pequeños? ZDebemos pensar que 2 + 2 no es 4 sino 4001?"

A partir de la década de los cincuenta comenzaron a entenderse

los teoremas de incompletitud como "el avance más importante de

la lógica desde Aristóteies", gracias en parte a obras dirigidas al gran

público como Gódel's proof, de Ernst Nagel y James Newman, y a

tres traducciones del artículo al inglés que aparecieron entre 1962y

1967. La primera de ellas, firmada por un profesor de la Universidad

de Edimburgo, se publicó sin la autorización de Gódel, quien, al no

responder a la solicitud, obligó a la editorial a ponerse en contacto

directamente con elMoneilshefie. Se trataba de una traducción llena

de fallos que recibió una crítica devastadora d,elJournal of Symbolic

Logic e hizo temer a Gódel que los lectores pensaran que él había

intervenido en el proceso. Afortunadamente, Elliot Mendelsol pron-

to la sustituyó por otra, para una antología titulada El indecidible,

que mejoraba muchos pasajes. Pero la traducción que Gódel pre-

fería era obra de Jean van Heijenoort, casi un personaje de novela.

De joven, Van Heijenoort había sido revolucionario y llegó a

convertirse en el secretario 1, guardaespaldas personal de Trotsky, 1-al que acompañó en su exilio en Turquía, Francia y México. Des- ;

pués del asesinato de su ídolo, ei hallazgo causal de unos Principia ;'Mathematica en una biblioteca de Nueva York condujo a Jean u Ilas pasiones sosegadas de la lógica. Uegó a ser un erudito fbrmi- g

dable, capazde hablar inglés, alemán, francés, español y ruso con H

fluidez, y con conocimientos enciclopéciicos de matemáticas y fi- Blosofía. Sin embargo, los días revolucionarios de su juventud no se ;mudaron en una lánguida üda acadérnica: sustituyó el calor de las 3utopías comunistas por una üda enluelta de tormentos anrorosos.

i,Mientras preparaba Ia edición de las obras completas de Gódel en zStanford, una antigua amante lo conrrenció para volver a México, ly, allí, en la cama, le pegó tres tiros antes de dispararse ella mis- ema en la boca. Para traducir el artículo fundamental de Gódel, Van :Heijenoort trabajó en estrecha colabsación con Gódel, y ambos Sdiscutieron más de un centenar de crynbios para mejorar el texto. ?

Aunque trató siempre de nrostrarse cordial, en su opinión, Gódel Sera el individuo "más tenazmente meliculoso" que había conoci- 5do nunca, como avalan las sesenta cütas que se escribieron y sus

abundantes conversaciones.722 r23

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Otros trabajos

Sería de esperar que Gódel hubiese enviado la demostración

de los teoremas de incompletitud como trabajo de habilitación na-

da más publicarse, pero no lo hizo hasta junio de 1932. Mientras

tanto, siguió interüniendo activamente en el seminario de lógica

de Hahn y en los coloquios de Menger, clonde Oswald Veblen, uno

de los miembros del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton,

le escuchó hablar por primera vez y salió trastabil lado por su "in-

creíble densidad de pensamiento". En el currículum ütae para la

habil itación, Gódel señalaba que había sido responsable de elegir

algunos temas de debate de los encuentros y de ayudar a otros

conferenciantes. Además, por esas fechas trabajó como reseñis-

ta del Zentralblatt für Mothematik und ihre Grenzgebiete, donde

aparecieron sus recensiones de varios artículos de Neder, Betsch,

Hasse, Scholz, Von Juhos, Skolem, Carnap, Heyting, Klein, Dinger,

Kacsmarz, Lewis, Quine o Chen. Se había comprometido también

a colaborar con Heyting en un libro sobre el estado de la investiga-

ción en los fundamentos de la matemática para la editorial Springer.

Los dos habían acordado que la obra debía recoger las tendencias

principales (logicismo, formalismo e intuicionismo) y que Gódel

se ocuparía de la redacción de los tres primeros capítulos, cuyos

títulos proüsionales eran: "Breve intrcducción histórica: la crítica

de Poincaré", "Las paradojas y los intentos para clarificarlas" y "El

cálculo de la lógica y su desarrollo posterior: el logicismo". Sin em-

bargo, Gódel fue retrasando la entrega cada vez más, primero por

problemas de salud y luego por los trámites para su viaie a Prin-

ceton y otro tipo dc proyectos -estaba reüsando varios capítulos

de un libro de Menger sobre geometría, y también la Metológica

de Carnap, donde encontró errores en la definición de las llama-

das fórmulas analíticas-. Finalmente, tuvo que publicarse sólo la

segunda mitad, que Heyting había terminado casi dos años antes.

Gódel se conürtió en Ia pesadilla de sus editores: aunque se veía

incapaz de escribir los artículos en el plazo estipulado, continuaba

aceptando encargos, no sólo por admiración a sus mentores, sino

también para frenar los problemas económicos que empezaban aacuciarlo.

Por esta misma razón, había pedido también la Dozentur, pre-rrequisito para iniciar una carrera docente. Junto con el escrito dehabil itación era preciso adjrrntar una lista de temas sobre los queel candidato podría dar su lección de prueba (probeuortrag) anteun tribunal; Gódel escogió: ltigín sínrbolit;r, Jrncittnrcntos lirgkos rlt lrr,trítiltiiícci ;, d attilisís, frinilruttctrtos de ln gLttnttrítt, ttxíotn¡tíziicitin ¡lt lttftor!n fu ii]\íLtnf (ts, t! yrirÍiktit,t ,lt lt cott-síste itiítt 1, lit ;onpictítu,tt tle kts fto; ns

-farrrrtlcs, !,¡s tre: Jireccíarcs !,t'íttcí1,¡lcs tlt ínvesrigncíón sohrc los_fiutinnrctrÍos

de I¡ nntnúrít't (logrt,íntt:, jttnntlísn'ro e íntuíciatrsnto), d ctilnlo dc clttstsfu Boob .t' Peí!'cc, t, resilt¡tla-, rtcíttff¡:s tle ftoritt ik Lt ilrcdítla. La comisiónse reunió el 25 de noüembre de 1932, presidida por el decano dela facultad, y con la presencia, entre otros, de Furtwáneler, Hahn(que hacía las veces cie secretario), Menger y Schlick. Al presentara Gódel, Hahn destacó que su tesis doctoral sobre la suficiencialógica del cálculo de primer orden ya era un logro muy notable,pero que el escrito que había presentado para la habil itación era unresultado de primera magnitud, que "había atraído la mayor aten_ción en los círculos científ icos" y suponía un jalón en la historia delas matemáticas; el solicitante, en resumen, superaba con creces elcorte habitual. Con sólo un voto en contra, del profesor Wirtinger,que pensaba que lel artículo de 1931 repetía muchos resultadosdel teorema de completitud!, Gódel se conürtió en docente, y sulección de prueba fue fi jada para febrero del año siguiente. En lugarde alguno de los temas de la l ista, la comisión le pidió que diser-tara sobre "El cálculo proposicional irrtuicionista',, y la lección fueaprobada varios días después, esta vez sin votos en contra.

Gódel sabía, aún así, de qué hablaba, y en junio de 1932, apro-vechó parte de sus investigaciones en la ponencia "sobre la teoríade números y la aritmética intuicionista". Como apuntábamos enel capítulo anterior, el intuicionismo había surgido en respuesta alas paradojas emergentes de la teoía de conjuntos. para eliminar

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cualquier contradicción posible de las matemáticas, los intuicionis-

tas habían generado un sistema más restrictivo, donde el infinito

no entraba en juego, y las demostraciones constructivas daban se.

guridad a los teoremas. Las fórmulas válidas en esta lógica se nos

presentan a priori como un subconjunto propio de las del cálculo

clásico sin más que establecer una traducción de los conectoreS

de una teoría a otra. Gódel demostrará que eI rAdÍ[xoco también

es cierto, es decir, que el cálculo conectivo clásico es un subsiste:

ma del intuicionista. Así, cualquier teorema de la aritmética clásica

es otro teorema de la intuicionista, y todas las irrconsistencias que

surjan en el seno de la lógica usual son automáticamente contra-

dicciones en el otro cálculo. Más que una solución, ei intuicionismo

es un disfraz.

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Tiempos de cr is is(1932-1939)

Mientras la incompletitud de la aritmética continuaba asorn-

brando a la comunidad científica, Viena se encontraba en una si-

tuación insostenible: las disputas entre las distintas facciones del

parlamento austriaco habían motivado la dimisión de su presidente

en marzo de 1933, y, con la üctoria en Alemania del partido nazi

en las elecciones al Reichstag y el nombramiento de Hitler como

canciller, se aceleraron los cambios. Tanto es así que al día siguien-

te del triunfo, Engelbert Dollfuss se proclamó presidente de Austria,

cerró el parlamento y prohibió cualquier forma de manifestación

pública; pese a ello, en los catorce meses que duró su mandato

(hasta su asesinato) no Íbe capaz de construir una coalición que

pusiera freno a la.Ansch1uss, la invasión de Austria preüsta por Hitler

para ampliar el espacio uital de los alemanes. Sobre la reacción de

Gódel ante estos acontecimientos, Menger recuerda que procuraba

estar bien informado y que a menudo conversaban sobre política,

aunque sus opiniones eran siempre "no concomitantes" y solían

terminar con las palabras: "Zno crees?". Este aparente distancia-

miento de la crisis enfriaría la relación de Gódel con muchos de sus

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Icolegas profesores, que sufrieron vejaciones continuas y no podíanentender la falta de compromiso por su parte. Sin embargo, cuan_do Gódel regresó de su primera estancia en Princeton, la gravedaddel panorama deterioró hasta tal extremo su salud física y mental,que tuvo que ser ingresado en el sanatorio Purkersdorf, donde Iediagnosticaron un colapso nervioso.

Flexner había contribuido de forma decisiva a la fundación del

instituto. Los hermanos Bamberger habían amasado una grandísi-

ma fortuna en su negocio textil, que vendieron por veinticinco mil

dólares sólo seis semanas antes del crack de 1929.'Tal vez por este

golpe Ce suerte, decidieron dedicar parte de su riqueza a un acto

filantrópico y pensarcn en un principio en fundar una escuela de

odontología. Fue el propio Flexner quien les convenció de que era

más urgente crear un instituto puntero de investigación que se dedi-

cara a las matemáticas, pues, a su iuicio, no sólo constituían la base

del resto de las ciencias, sino que había un insólito acuerdo entre los

matemáticos sobre quiénes eran las mejores mentes, más allá de

las envidias y miserias características cie otros ámbitos académicos.

Con este espíritu nació el Instituto de Estudios Avanzados, basado en

el Rockefeller Institute for Medical Research que dirigía el hermano

de Flexner: como un templo consagrado a la investigación donde

no había clases ni estudiantes, y las obligaciones de sus miembros,

entre los que se encontraban Einstein y Hermann Weyl, eran míni-

mas. Por eso, Flexner no imaginaba meior "oportunidad para que

Gódel continuase su trabajo con otros colegas"; en especial, Veblen

había pensado que seúa muy fructífera la colaboración de Gódel

con Alonzo Church, que con el tiempo se conürtió en uno de los

mejores lógicos americanos: "creo que puede ser interesante para

el formalismo de Church entrar en contacto con tu espíritu crítico"

-le escribe. También Von Neumann, que dirigía un seminario sobre

mecánica cuántica en el IAS, le animó a incorporarse al claustro,

y parece que ambos se encontraron en Viena a finales de junio de

1933 para hablar sobre Princeton.

Venia legendt

Antes de su primer viaje a los Estados Unidos, Gódel ejerció su

recién conquistada libertad de cátedra con un curso de dos horas

semanales sobre los fundamentos de la aritmética en el que habrían

participado al menos quince estudiantes, ocho de ellos mujeres. Las

Durante el otoño de 1932 Gódel estu-vo muy ocupado con sus trabajos de in_vestigación, la solicitud para convertirse

en Dozent y los preparativos de su viaje a,América. Fue Oswald Veblen quien tuvola idea, dos años antes, de que sería degran provecho ianto para GóCel comopara el Instituto de Estudios Avanzados(LA,S) que pasara allí el curso 1933-1934.

Veblen se había doctorado en la Univer-

sidaci de Chicago con una axiomatiza-

ción de la geometría euclídea diferentede la propuesta por Hilbert, y enseñaba en Princeton desde 1905,pero no disponía en ese momento de la autoridad necesaria pa-ra realizar la oferta, por lo que decidió sugerirle a Menger que leofreciera a Gódel un puesto de un año, con un sueldo de aproxima-damente dos mil quinientos dólares y alguna suma adicional paracubrir los gastos de desplazamiento. Menger dio acuse de recibocon una tarjeta y trasladó la inütación a Gódel, que no responderíahasta transcurrido mucho tiempo, cuando estuvo seguro de queuna estancia en los Estados Unidos no afectaría en modo alguno alos trámites para su habilitación. Sin embargo, Veblen no recibió latarjeta del organizador de los coloquios üeneses y, temiendo quesu propuesta se hubiera perdido en el ancho océano, enüó un tele-grama urgente el 7 de enero de 1933: para entonces, Gódel ya habíadecidido viajar al IAS, y su respuesta, en una carta larga donde ex-plicaba los motivos de su dilación, fue inmediata. poco después,Abraham Flexner, el director, enüó la invitación oficial.

Abraham Flexner

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condiciones del ejercicio de la docencia empeoraban a marchasforzadas: imitando a sus secuaces alemanes, los nazis austriacosponían bombas y apaleaban a los estudiantes judíos alrededor dela universidad, en la que, a causa de un anacrónico privilegio, la po_licía no estaba autorizada a intervenir. El único consuelo posible eravolver la vista hacia Alernania, donde la situación era considerable-ntente peor: la ley de Restauración del Servicio profesional Civil, del7 de abril de ese mismo año, había supuesto la expulsión de todoslos profesores judíos de las universiclades alemanas, v en algunoscasos las planti l las quedaron reducidas hasta en una tercera parte.Se lra discutido mucho sobre ei posible antisemitismo de Gódel, amenudo teniendo en cuenta el poco apoyo que habría rnostradoa algunos de sus amigos de esta raza. Por el ambiente intelectualen el que se moúa, muchos pensaban que él mismo era judío; así,en una página del segundo volumen de su autcbiografía, Russellrecuerda cómo "solía ir a casa de Einstein una vez a la sentanapara discutir con Gódel, Pauli y é1. Estas conversaciones eran enciel 'ta medida decepcionantes, porque, a pesar de que los tres eranjudíos, exil iados y cosmopolitas, tenían una inclinación germanahacia la metafísica". Cuando en 1971 alguien l lamó la atención deGódel sobre este párrafo, redactó una respuesta, donde comenza-ba aclaranoo que él no era judío, aturqtLe est6 cuestíóil n() tl1gs rtíngunoím1to¡¡¡,rr¡',, en la que no se aprecia muestra alguna de odio hacia elpueblo judío. De hecho, quienes lo trataron, apuntan que tenía unarelación muy amistosa con ellos.

Poco tiempo después del final del curso sobre los fundamentosde la aritmética, Gódel se marchó de vacaciones con su madre aBled, un balneario situado en la actual Eslovenia muy próximo ala frcntera austriaca, donde pudo descansar de la redacción ,Ce suaftículo "Sobre el problema de decisión de la lógica de primer or-den", que aparecería en el volumen 40 del Monatshefte. Dado unconjunto de fórmulas, el problema consistía en deternlinar si existeun procedimiento automático que permita decidir en un númerofinito de pasos si cada una de las fórmulas es satisfactible o

'o.

En 1936 Church había conseguido probar que, aunque la lógica de

primer orden es indecidible, algunos tipos especiales de fórmulas

no lo son; en particula¡ las clases de fórmulas prenex cuyos prefijos

son de la forma ax1 " 'xn,Y x1 " 'x, o 3x, ' "xrYf t " 'y- son deci-

dibles. En 1930, Gódel extendió estos resultados a fórmulas prenex

con sólo dos cuantificadores universales seguidos y continuó traba-

jando sobre el tema. Por primera vez, Gódel no había presentado

sus descubrimientos en el coloquio de Menger, pues se trataba de

una prueba con detalles intrincados y suti les, tan suti les que Góclel

cometió un error qtte pasaría inadvertido durante más de cincuenta

años. No es cierto que ci f(lreffil I tcunbítn putdo scr probatlo por el mísmo

practlítníinto pfirLt_ióntulLl: qLr iltÍícttn d sígno th Itlentíd;td, como afirma

en la última frase del artículo.

En el Instituto de Estuciios Avanzados, la investigación se re-

tomaba cada primero de octubre con un acto académico en el

que Gódel quería estar presente, por eso tenía previsto partir cle

Southampton (lnglaterra) a bordo del Berengaria, que cruzaba el

Atlántico en seis días. Varios amigos fueron a despedirlo a la esta-

ción de tren de Viena, en la que tomó el Orient Express y donde, tal

y como describe uno de ellos, "un caballero de aspecto elegante,

presumiblemente su hermano doctor, permanecía apartado de no-

sotros y se fue tan pronto como el tren se puso en marcha, mientras

los demás nos despedíamos aún". Sin embargo, la suya fue una sali-

da en falso, porque durante el üaje Gódel enfermó y decidió volver

a casa; unos días después su familia lo convenció de que volüera

a intentarlo a bordo del Aquitanio, qtte pudo tomar esta vez. El 6

de octubre, en el puerto cie Nueva York lo esperaba uno de los her-

manos Bamberger, con el que üajó en coche hasta Princeton. El

primer trámite allí fue encontrar alojamiento, en el número 32 de la

Vandventer Avenue.

Se conserva mucha información sobre la actividad de Gódel en

el LAS durante el segundo semestre, gracias al minucioso registro de

Kleene, que estaba terminando en ese momento su tesis doctoral

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bajo la tutela de Church; sobre los primeros seis meses, sin embargo,las fuentes escasean. Es de suponer, de todos modos, que Gódelparticipó en el seminario de mecánica cuántica, un campo que leinteresaba mucho, pero al que no había tenido tiempo de dedicarla atención necesaria hasta entonces, y trató de mejorar su inglés.También empezó a colaborar con Church, aunque ambos teníanopiniones muy diferentes sobre el alcance de los teoremas de incom-pletitud que Gódel acababa de demostrar. No era la primera vez quese ponían en contacto: el año anterior Gódei había escrito a Church

con algunas preguntas sobre su artículo "Un conjunto de postulados

para la fundamentación de la lógica", que había publicado Annalsof Mathemadcs en 1932. Merece la pena reproducir un fragmento

muy significativo de la respuesta del matemático americano:

"No logro entencier que una prueba de la ausencia de contra-

dicciones que empiece por asumir que los Principia Mathematica

están libres de contradicciones sea de gran utilidad, porque que los

Principia Mothematica no tienen contradicciones es dudoso, o !n-

cluso improbable. De hecho, la única evidencia de su consistencia

es la evidencia empírica que surge del hecho de que ha sido usado

durante algún tiempo [...] sin que se haya encontrado todavía nin-

guna contradicción. Si mi sistema está realmente libre de contra-

dicciones, entonces la misma cantidad de trabajo para deducir sus

consecuencias valdrá como eüdencia empírica de su consistencia,'.

Church veía su cálculo 2 como una formulación radicalmente

nueva de la lógica, ajena a las estructuras de las que se había ocu-

pado Gódel en su teorema de incompleti tud. La mejor prueba de

que Church no acababa de entender la potencia de los resultados

de Gódel es que creía que la incompletitud dependía de algún rno-

do de las particularidades del sistema formal que se considerase.Talvez por ese motivo, como señala Dawson, para su curso de Prin-ceton, Gódel cambió el título "Sobre proposiciones formalmenteindecidibles de Principio Mathematica y sistemas afines" por otromás general: "Sobre proposiciones indecidibles en sistemas forma-

les matemáticos". Por sugerencia de Veblen, dos de los alumnos

tomaron unos apuntes, que el Instituto publicó ese mismo año y

que luego pasarían a formar parte de la antología El indecidible.Las

notas comienzan con una definición lo más general posible de siste-

ma formal matemático, es decir, utt sístemü fu sígnos-iunto c0n reglLls PürLrutílizarlos que permitan decidir en un número finito de pasos si una

fórmula está bien construida o no. En la introducción se adelanta ya

que el s i st u n tji r il'I ai s er ú Ét) n ryl e t o s í, p n r rt'tt d a fo n n ui ;t, rv * de kr íbl e L'( c - (v .

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Ias no es ctutrytk¡¡. El artículo lo completan una definición precisa de

las funciones recursivas primiiivas, una erposición más clara sobre

los números de Gódel y ciertas consideraciones novedosas sobre

el concepto de verdad, muy en la línea de Tarski, aunque Gódel

no leyó sus obras hasta 1936 cuarrdo fueron traducidas al alemán.

Vuelta a Europa

El seminario de Gódel tuvo lugar entre febrero y mayo, con una

pausa a mediados del mes de abril, en la que Gódel üajó a Nueva

York y Washington para dar dos conferencias de carácter dir,ulgati-

vo. Por esa misma época Flexner le ofreció dos mil dólares como

beca para el año siguiente. A principios de junio de 1934, después

de un viaje de algo más de una semana a bordo de un navío ita-

liano, Gódel desembarcó en Génova, dispuesto a pasar tres días

de descanso en Venecia antes de volver a casa. La situación que

se encontró en Viena preparaba el escenario de un conflicto de-

vastador: el 8 de junio el ministro de educación Schuschnigg había

declarado que los rectores electos y los decanos de las universida-

des sólo serían reconocidos por el gobierno si se afiliaban al Frente

Patriótico, y también Gódel se üo obligado a hacerlo en mayo de

1935 para poder continuar con su curso sobre "Capítulos selectos

de la lógica matemática". Dos meses después se reconoció el po-

der del ministro para retirar temporalmente de su cargo a todos

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los profesores qlle considerase oportuno, y uno de los primeros

en caer fue Gomperz, cuyos seminarios de historia de la filosofía

habían impresionado a Gódel años antes. Como consecuencia dela propaganda fascista, la presión y el miedo, además de la incipien-

te fuga de cerebros, Ia üda intelectual üenesa se fue debilitando

poco a poco, y quienes permanecieron en sus universidades eran

nacionalistas radicales que hacían proselitismo entre sus alumnos.

El propio Menger, que siempre se había mostrado muy reacio a

abandonar Viena, describía así la situación: "no creo que haya en

Austria más de un cuarenta y cinco por ciento de nazis; el porcen-

taje en las universidades debe de ser de un setenta y cinco por

ciento; pero entre los matemáticos con los que tengo que traiar,

con la excepción de algunos de mis estudiantes, es del cien por

cien". También él terminaría emigrando.

En medio de estos tristes aconteci-

mientos, la salud física y mental de Gódel

sufrió un grave deterioro. Durante sll es-

tancia en Princeton ya había manifesta-

do algunos de los problemas digestivos,

reales o psicosonráticos, que le perse-

guirían toda su üda; y la mujer de Ve-

blen a menudo le preparaba algunos pla-

tos para que "no se olvidase de cenar".

Gódel pasó la semana del 13 al 20 de

octubre de 1934 en el sanatorio Purkers-

dorf, que había fundado a principios de

siglo un irrdustrial en un antiguo balneario. Con alrededor de quin-

ce habitaciones individuales, más que una institución mental en el

sentido moderno, era un lugar de retiro para personas que, como

Gódel, tenían un tempera¡nento inestable o se veían sobrecargadas

de trabajo. Aún así, Gódel eütaba hablar sobre su situación: al con-

tarle a Veblen qué había estado haciendo en Europa se refirió tan

sólo a cíertos problen'tas can uns muelit mal empastadúr y a su insomnio

habitual. Para mayor seguridad, el caso de Gódel fue puesto en

Karl Menger

134

conocimiento del psiquiatla Julius wagner-Jauregg, que había re-

cibido el premio Nobel en 7927 por un nuevo tratamiento para la

demencia paralítica; fue él quien diagnosticó un colapso nerüoso,

probablemente causado por un exceso de responsabilidades, del

que el paciente se recuperaría pronto. Aunque el 6 de noüembre

Gódel asistió de nuevo a los coloquios, cuyas actas siguió editando

con ayuda de Abráham Wald, decidió posponer su üsita al Instituto

de Estudios Avanzados hasta el otoño siguiente, con el f in de evi-

tar posibles recaídas. Menger describe así su participación en los

encuentros durante esta segunda etapa:

"Gódel se mostraba más retraído después de su regreso de

América,aunqueseguíaconversandoconlosasistentesalColo-

quio [...] Siempre captaba la esencia de los problemas matemáticos

rápida y concienzudamente, y sus respuestas, tan preclsas como su-

cintas, solían abrir nuevos horizontes analíticos a sus interlocutores.

Todo eso lo expresaba como si fuera completamente rutinario, pero

con una tirrridez tan encantadora, que despertaba las simpatías de

muchos oYentes".

Durante este interludio en Viena, Gódel centró sus lecturas en -l

la física (Eddington, Planck, Mach, Schródinger, Lorentz, Dirac) con E

el objetivo de completar la formación recibida en el seminario de E

Von Neumann. Sólo unos años desptrés, a medida que Gódel iba :

desarrollando un miedo obsesivo a que lo envenenaran y a morir o

intoxicado por los gases que escapaban de su frigorífico, todas estas ?

obras serían sustituidas por manuales de toxicología y farmacia, ;

especialmente uno dedicado al monóxido de carbono. Este hecho, ;

en opinión de su hermano, respondía a planes secretos de suicidio. ;

No queda claro si Adele üüó con Gódel durante esta época, aunque 3

se conseryan varios documentos en los que aparecen registradot Y

como ,,el sr. y la sra. GÓdel" antes de casarse. En cualquier caso, s

Adele contribuyó a la mejoría del estado de salud de Gódel mucho :7

más de lo que pudiera pensar su madre y, a partir de entonces, se

dedicó a probar todo lo que él comía.r_35

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cf6

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El único indicio de sus trabajos de esta época es una nota deapenas dos páginas, "Sobre la longitud de las deducciones", en laque Gódel muestra cómo al pasar de un sistema formal dado aotro de tipo superior no sólo es posible defurcír cíertns senfencías quepret,ínn;cnte eran indeducíhies, síno tnntbíén aclrtür exn'sordínnrínntente tinnínltníd¡d ie den'nsfrttcíLtfies de lds que y dísponíamos. Sin embargo, pareceque fue durante su segundo curso en Viena cuando a Gódel se leocurrió la idea de la demostración de la consistencia relativa dela-xioma de elección con los demás axiomas de la teoría de conjun_tos, que constituye el germen de la tercera gran obra matemáticade Gódel, como describiremos en el siguiente capítulo.

Si hace algunas páginas nos referíamos a los cambios radicales enlas etapas de la üda de Gódel, lo mismo puede decirse ahora sobresus intereses matemáticos, pues, a partir de ese momento, casi noprestó atención al desarrollo de Ia lógica de la recursión y la teoría demodelos. En opinión de sus biógrafos, "fue esencialmente un abridorde nuevos caminos, alguien que atacaba grandes problemas y hacíadescubrimientos incisivos, pero dejaba Ios detalles para otros',, comohabíaocurridoya con elsegundo teorema de incompletitud.

El edi f ic io del Inst i tutefor Advanced Study ( IAS) en pr i nceton.

A principios de agosto Gódel escribió a Flexner contándole que

durante varios meses se había encontrado bien y que esperaba colt

ílusíón una nueva estancia en Princeton el otoño siguiente. Esta vez

el viaje transcurrió sin incidentes, en compañía de VTolfgang Pauli y

Paul Bernal's, que también habían sido becados por el instituto. Du-

rante el trayecto, Gódel le explicó a Bernavs todos los detalles de la

prueba del segundo teorema de incompletitud. Gódel encontró alo-

iamiento sin dificultad en el número 23 de Madison Street, donde

tenía pensado permanecer hasta el final del primer trimestre. Sin

embargo, a mediados de noviembre sufrió una nueva depresión y

tuvo que regresar a Viena. aunque el claustro del IAS acordó invi-

tarlo otra vez cuando estuviera completamente recuperado. A pe-

tición de Gódel, Veblen prometió no informar a su hermano sobre

su situación, pero pronto cambió de idea y, a fin de eütar riesgos

innecesarios, le mandó un telegrama advirtiéndole de que Gódel

llegaría a Le Havre el 7 de diciembre. Pasó tres días en París y, cuan-

do creyó encontrarse mejor, tomó él mismo un tren hasta Viena.

EI peor año de mí vído

Al hacer recuento de su üda mucho tiempo después, Gódel re-

cordaría 1936 como uno de los peores años de su vida: pasó varios

meses en un sanatorio para enfermos nerüosos en Rekawinkel, y

también se conservan facturas de otro centro médico en Golling bei

Salzburg y de un balneario de Aflenz, que había frecuentado con

su familia Curante la infancia. Tampoco le quedaban prácticarnente

amigos en Viena, pues, entre los pocos que no habían emigrado, su

mentor Hans Hahn había muerto de urt cáncer fulminante detecta-

do mientras pasaba sus vacaciones en el campo, y Moritz Schlick

había sido asesinado por uno de sus estudiantes en las escaleras

de la universidad. Tal vez Gódel nunca se sintió tan solo. Su único

artículo de 1936 fue una observación sobre las matemáticas finan-

cieras con Ia que había contribuido al coloquio de Menger dos años

antes: rn realídsd, L;t fumsndq de cnd¡ effipresdrí(t fupuule tambíén de sus

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ingresado en I93l en el Kín¿

Ilege cle Cambriclge, rlonde

Von Neumann sobre Ia me

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ma Io más ambicioso

. . : . - . i . .1: , . , . i , : : . . . . : i : r . i r , : , . . . r . . . t : : i , : . . . .

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íngrtsos,,tt ésios n -ut t,ez depcndm d':l pretío delo:fictorcs tlc 1'roduccíón. Se pa¿f,t

formtlnr unsísfetns de*undt'ntes ndccwdtt e ínt,estígnr sítíencsolucíonc'i. En sus

momentos de lucidez, Gódel siguió trabajando sobre los axiomas

de la teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo, al t iempo

que revisaba unos cuadernos escritos en Princeton, que contenían

dos secciones: la primera, sobre el axioma de elección, con la

etiqueta de rein (copia en l impio); la segurrda, sobre la hipótesis

del continuo, bajo el rótulo de halbfertig (a medias).

Sin embargo, 1936 fue un año glorioso para la lógica: Church

publicó los artículos en los que empleaba su famosa fes¿s para es-

tablecer la indecidibil idad de la noción de verdad aritmética ("Un

problema irresoluble en teoría elemental de números") y mostra-

ba que el problema de decisión de la lógica de primer orden, delque Gódel se había ocupado entre l93l y 1933, no tenía solución("Una nota sobre el Entscheidungsproblem"). Se furrdó también lhe

Journal of Symbolic Logic, Kleene continuó con sus investigaciones

sobre la 2-definibilidad y Alan Turing obtuvo una beca para doc-

torarse en Princeton bajo la dirección de Church. Turing tenía ungrandísimo interés en encontrarse con Gódel en Princeton, pero

durante el semestre que pasó allí Gódel estaba todavía en Vienarecuperándose de su última crisis. Perseguido por su homosexuali-dad, Turing se suicidaría en 1954 sin haber tenido la oportunidad de

conocer a Gódel. Tampoco pudo conocerlo Gregory Chaitin, que

en Conuersaciones con un matemático cuenta cómo, después de

haber acordado un encuentro por teléfono, su visita fue cancelada:

"Era la primavera ya: normalmente no debía estar nevando. Pero

nevaba, y rni cita quedó anulada. Yo tenía que volver a la Argentina

ese fin de semanaypresentíque no tenía otra oportunidad. Yasífue,

porque Gódel murió poco después".

Notre Dame

A mediados de noviembre de 1937, aparentemente por proble-

mas de dinero, Gódel se mudó del apa-rtamento de la Josefstádters-

trasse a otro situado en uno de los suburbios vieneses, y su madre

tuvo que regresar a la casa de Brno, una decisión arriesgada si

consideramos su vehemente oposición al régimen nazi y su poco

cuidado al hablar sobre é1. Después de varios meses, en los que

llenó tres cuadernos enteros con trabajos sobre la hipótesis del

continuo, Gódel escribe a lVlenger el l5 de diciembre: ittsttt m estc

nrcmuúl he comenzs'lo a prohnr ltt índependencí¡ de Ia hípótuís del ct',ntíru¡0,

aullryrc no sé sí tendré t.riro 0 n0, y le pide discreción, porque era la __rsegunda persona después de Von Neumann que tenía noticia sobre ;sus nuevas líneas de trabajo. Precisamente, a su regreso a Euro- !pa, Von Neumann se citó con Gódel a finales de enero de 1938, y ;

ambos conversaron acerca los descubrimientos de Gódel y sobre *la posibil idad de que éste üsitara de nuevo el Instituto de Estudios .l

Avanzados el curso siguiente. Finalmente las fechas quedaron de ;este modo; Gódel daría un seminario sobre teoría de conjuntos j'

en hinceton durante los meses de noviembre y diciembre, y en- ;

tre febrero y junio se trasladaría a la Universidad de Notre Dame 3(en South Bend, cerca de Chicago) para enseñar lógica elemen- ':tal. Estaba preocupado por rÍl ínglés hsuf;cíente, h falts de experíencia G(n lrrínrcrls offsls ) el tíempo línútadi pnro lrrrporrrlos. Para tranquilizar- g

lo, Menger acordó con él que los dos juntos se ocuparían de la

asignatura.

-w

I4L

3 Dos semanas después de su llegada al lAS, Gódel aüsó al de_

; cano de la Universidad de Viena de que iba a pasar ese año en

t3. Ios Estados Unidos. Antes había tenido que pedir un adelanto dey trescientos dólares a veblen para comprar el billete de barco. porc'i

distintas cuestiones burocráticas, Veblen no estaba autorizado a

: hacerlo, pero se ofreció a adquirir él mismo el billete. Gódel sólo

u pudo salir con veinticinco dólares de Alemania, por lo que soli-io

citó también que le fuera enüado algo de dinero a Nueva york. Ap esto se le añadieron otros problemas para realizar el üaje, porque

.3 todo el mundo anticipaba elestall ido de la Segunda Guerra Mun-

; dial, y la mayoía de los barcos iban completamente ilenos. Góctel

J reservo primero un camarote en el Líamburg, que tenía preüsta

_ la llegada a América el 7 de octubre; sin embargo, más adelante

t le escribió a Flexner preguntando si podría conseguirle un pasaje,

ü porque si tto, tttt podría ír. Finalmente partió él solo en el Neu,¡ yorh-

el día 15. Seguramente el cambio de planes se produjo porque noconseguía encontrar un billete para Adele, con la que se había ca_sadc¡ sólo una serrtana antes, el 20 de septiembre. A Ia boda, por locivil, sólo asistieron los familiares inmediatos de la pareja y algunosconocidos. Su hermano Rudolf estuvo presente en la ceremonia,pero, cuando muchos años después le preguntaron sobre el tema,lo único que recordaba era que, a pesar de Ia duración del noüaz-go, Gódel no Ie había presentado a Adele ha_sta el momento en elque decidieron casarse. Tanto Menger como Veblen, curiosos porsaber quién sería esa mujer que había cuidado de Gódel durante suenfermedad, creían que el matrimonio sería muy beneficioso para

Gódel. Tál vez por eso, Gódel queía que Adele lo acompañara ensu tercer viaje a Princeton, aunque finalmente tuvo que quedarse

en el apartamento de Viena.

Nada más llegar al instituto Gódel se puso a trabajar, y el 9de noviembre ya había enüado a los Proceedings of the NationalAcademy of Sciences un anuncio de su descubrimiento de la consis-tencia relativa de la hipótesis del continuo y el axioma de elección,donde daba también un bosquejo de las ideas principales de la

prueba. El artículo completo no se publicaría hasta el año siguienie.

A finales de octubre Gódel había asistido a una convención de la

Sociedad Americana de Matemáticas con el fin de comentar allí con

Menger algunos detalles sobre el curso de Notre Dame. La sorpresa

fue encontrarse también con Emil Post, un lógico de origen pola-

co -aunque había emigrado con sus padres a los Estados Unidos

cuando sólo tenía siete años-, que había introducido las tablas de

verdad como procedimiento de decisión para la lógica proposicio-

nal, y algunas nociones fundamentales para la teoría de autómatas

y lenguajes forrnales. Post había probado en 1920 la completitud

de un fragmento del cálculo de primer orcien, y estuvo cerca tam-

bién de obtener el primer teorema de incompletitttd. Por eso se

comprende tan bien la anotación de su diario el mismo día del en-

cuentro con Gódel: "Durante quince años estuve considerando la

idea de asombrar al mundo matemático con mis ideas heterodoxas;

encontrarme al responsable principal del desvanecimiento de ese

sueño me ha entusiasmado". La actitud de Post hacia nuestro pro-

tagonista no era de resentimiento, sino más bien de admiración. AI

día siguiente le escribió una carta de cuatro folios donde terminaba

reconociendo que nada de lo que él hubiera podido conseguir "ha

reemplazado la espléndida actualidad de tu demostración [...], des-

pués de todo, no son las ideas sino su ejecución lo que constituye

una señal de grandeza". Le hablaba también del trabajo interrumpi-

do por su enfermedad maniaco-depresiva y de cómo los teoremas

de incompletitud podrían haberse desprendido como corolarios de

su dernostración de la existencia de problemas absolutamente irre-

solubles. Aunque la proposición indecidible sobre la consistencia

de la aritnrética tenía enorme interés, "muchas veces se ha malin-

terpretado el significado del teorema y su relación con las posibles

pruebas de consistencia".

Tras su estancia en Princeton, Gódel llegó a Notre Dame en

enero de 1939 y, al parece¡ buscó un lugar de residencia en el cam-

pus. Menger recordaría más tarde sus discusiones con el prefecto

del edificio, "un üejo sacerdote, con coslumbres muy arraigadas",

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por cualquier cosa. Gódel se encontró bien durante todo el trirnes-tre, pero no se le veía contento y se refugió, como solía, err sutrabaio. Aunque Menger organizaba allí un simposio a la manerade sus coloquios üeneses, el ambiente intelectual, de herencia to_mista, no suponía ningún estímulo para Gódel, que tampoco queríahablar de la situación política de Europa. En Notre Dame, Gódel dioclases de "Teoría de conjuntos" e "lntroducción a la lógica", dsgoptativas para los estudiantes graduados. AJ segundo de los cursossolían asistir unos veinte alumnos, de los cuales la mitad eran jóve-nes profesores y doctorandos con buena formación matemática, yla otra mitad filósofos uiejos, convencidos de la inutilidad de la lógi-ca moderna. Dirigiéndose especialmente a ellos, Menger mostró enla primera clase varias cuestiones para las cuales la lógica aristotéli-ca resultaba insuficiente. En las siguientes sesiones, Gódel trató dedar, en ln ntdídtt dc lo posíblt, tma t¿lríú canplett:t ,lt: cónto l¡s detluccíoneslógícas po'línu ser raducídtts s utt cíerfo nítmero Je leyes prírnítít,ns. Luegointrodujo los conectores con ejemplos del lenguaje cotidiano, ex_plicó su sentido con las tablas de verdad y dio una a.xiomatizaciónde la lógica, basada esencialmente en la de Russell, que incluía sólocuatro axiomas y tres reglas de deducció n. Atutque sc lta cont ertírJo enestfuulnr -le gustaba recordar a Gódel-, los afirnncíorrcs que se tnfiltit:cotno nxíont¡s deberí¡n sr lo nús settcíllas ltosíbles, 1 natlc hrtl níts settcíllo que

l, -

!, que dÍ)trffe en ios príncípís MsthemntíLú cL)titl relrcffis. La últirnaparte de la asignatura habría estado dedicada al análisis del cálculode predicados, al papel de los cuantif icadores y las antinomias.

Antes de abandonar Notre Dame, Gódel aceptó las invitacionespara volver al Instituto de Estudios Avanzados en el otoño de lg39y dirigirse al Congreso Internacional de Matemáticos (lCM) el añosiguiente. Sin embargo, su salida de Austria se retrasó mucho másde lo preüsto, y el ICM de 1940 fue cancelado tras el comienzo dela Segunda Guerra Mundial.

E1 problema de1 cont ' i nuo( 1939- 1940)

En un artículo aparecido en 1947 Gódel cornienza explicando

si dos conjuntos tienen el mismo número de elementos responde a

la idea intuit iva de contar y comparar los resultados. sin embargo,

la intuición a menudo conduce a resultados contradictorios, pues

no es cierto, como cabría esperar, que todos los infinitos sean del

mismo orden: hay algunos mayores que otros. Para dar sentido ma-

temático a estas ideas, el concepto de número se sustituye por el de

cardinal, y la operación de contar, por la posibilidad de establecer

una biyección. Dados dos conluntos finitos A y B con el mismo car-

dinal, si retiramos un elemento de A y otro cle B simultáneamente,

después de un cierto número de pasos, los dos coniuntos habrán

quedado vacíos, es decir, ninguno se termina antes que el otro'

TN

€-'i

o

o=o.J

a-

ño=a+

=c

5

44 L45

r l4 t ls - 116

214 215

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r/2 r l3 -

212 213

312 313

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st2 5/3

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l , /3/r

4l l

r /sl l

2)

LA

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o-.o

CJ

CJ

rs

hrr

.o

.EJ

Las biyecciones son correspondencias entreA yB que nos permitenllevar a cabo esta clase de procesos. En términos precisos:

Una biyección es una aplicación f : A + ,B con las

I ) / es inyectiva, es decir, si x e y son doS puntos distintos

de.4, entonces /(x) + f0).

elementos de una misma fila compartan el numerador. Ahora, sólo

tendríamos que recorrerlos diagonalmente, como indica la figura,

teniendo cuidado de no contar de nuevo los números repetidos:

t / t -

411 4ls

514 sls

o/ l

Uno Ce los grandes descubrimiel-rtos de Cantor consistió en

probar que el infinito de los números reales excede al de los na-

turales, es decir, que el cardinal cie R es estrictamente mayor que

fio. Para demostrar que iR no es numerable, el matemático alemán

empleó varias técnicas diferentes a lo largo de su vida. En la más

ingeniosa, el l lamado proceso diagonal, Cantor demuestra que ni

siquiera los núrneros reales del intervalo (0, i) pueden ponerse en

correspondencia biunívoca con los naturales. Supongamos que no

fuera así, es decir, que existiese alguna forma, tal vez muy compli-

cada. de colocar en fi la todos los elementos del intervalo:

Vamos a describir ahora, a partir de las posiciones recuadradas,

un número real x que, aun perteneciendo al intervalo (0, 1), jamás

podría formar parte de la tabla. Para cada fila, se examina el término

diagonal correspondiente y se sustituye, en el nuevo número, por

otro distinto. Así, suponiendo que Qt = 7,b, = 4 Y c: = 2, x podría

I es sobreyectiva, o lo que es lo mismo, para todo

ó e B existe un a eA tal que b = f(a).

_ Así, dos conjuntos tienen el mismo cardinal cuando existe una

3 biyección entre ellos, y, de la misma manera que los números natu_

3 rales 0, 1,2,. . . miden los conjuntos finitos, se definen los cardinalestransfinitos l(0,1.1,, f i, ..., representados por laaleph del alfabeto he-breo, para cuantif icar el tamaño del resto de conjuntos. La aritméti-ca cle estos nuevos cardinales ya nada tiene que ver con aquélla ala que estamos acostumbrados, pues la suma y el producto de dosnúmeros vienen dados ahora por el mayor de ellos, con lo que seobtienen resultados tan sorprendentes como N3 = ño o N0 = l{o + l,de donde no es posible deducir, claro está, 0 = 1.

De especial interés resultan los conjuntos de cardinal l. ie, querepresenta al infinito de los números naturales, y a los que llamare-mos numerables. Para comprobar si un conjunto A es numerable,basta con describir una biyección explícita entre A y N, o, lo que eslo mismo, con poner en fi la todos sus elementos. De este modo,es posible demostrar que hay la misma cantidad de números paresque de pares e impares juntos -iay, la intuición!-, y también de ente-ros y fracciones. En efecto, los números enteros pueden ordenarsesi comenzamos por el 0 y vamos desplazándonos alternativamenteuna unidad a la derechay a la izquierda: 0, l, -1, 2, -2,8, -3,. . . por

otra parte, para ver que hay tantos racionales como naturales, sue_Ien escribirse las fracciones en una tabla, de modo que todos los

cla

b4

L. l

g)

:

cl3

b3

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0,

0,

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po_'cJna)

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-:

A,JE

tJ

comenzar por 0,275... Reiterando el proceso se comprueba al ins_tante que x no es uno de los números reales de la lista: en efecto,x no es el primero, porque sus primeras posiciones son diferentes;no puede ser tampoco el segundc, ya que, aunque sus primeras

cifras decimales coincidiesen, la segunda es distinta por construc_ción; el tercero, dif iere de x en la cifra cr, y así sucesivamente. por

tanto, el conjunto de los números reales tiene cardinal mayor. alque llamarelnos c de continuo.

Cantor conjeturó que no existen conjuntos de cardinal inter_medio entre fl6 y c; es la hipótesis del contiruto. El problema puedeplantearse en otros términos si introducimos el concepto de las par-tes de un conjunto, que recoge todos sus posibles subconjuntos. por

ejemplo, si A sólo tiene dos elementos, cz y ó, los subconjuntos quepuedelr formarse son el vacío, el que sólo consta de a, aquél cu-yo único miembro es ó y el propio A. En este caso escribiríamos:p(A) = {A,{ol , {b} ,A}, que t iene cuatro elementos. Dado un conjuntofinito de n miembros, para calcular el cardinal de sus partes bas-taría con conocer cuántos subconjuntos de 1 ,2, . . . , n elementospueden formarse. Nociones básicas de combinatoria nos permiten

calcular esta cantidad:

ls , { .a)r=[ ; ) . [ ; ) . [ ; ) . . [ , i , ) . [

Se demuestra también que el cardinal de las partes de un con-junto infinito, pongamos que de 17 elementos, es 2,/. Como Gódelseñalaba al comienzo de su artículo, el cardinal del continuo coinci-de con el de las partes de los números naturales; así, c = 2No, y estopermite reformular la hipótesis de Cantor: H, = 2no. En términosmás generales todavía, tal vez sea l{r*, = 2N, para cada n, con loque quedaría establecida la relación entre un ordinal transfinito yel siguiente. Esta conjetura se conoce con el nombre de hipótesisgeneralizada del continuo, y su importancia radica en que, de sercierta, permitiría definir todos los cardinales infinitos a partir de l*"

con un procedimiento similar al sucesor que construye los natu-

rales desde el cero: igual que 2 = ss0, f{z se obtendría como 22"0 '

Afirmar que no existe ningún cardinal entre Nn y el del conjunto de

sus partes supone que, o bien ambos son iguales, o 2N' es estric-

tamente mayor que Nr, y ninguno de los demás alephs cae entre

ellos. El tecrema de Cantor, que establece que el cardinal de un

conjunto es estrictamente menor que el de sus partes. restringe las

posibil idades a la segunda opción.

- A,xiom¿is de la teoría de conjuntos ' :: :

. . ; , : . . . ' ' , . ' . . . -1. . ' . ' - ' , t ' ,

Axioma de éx[ensiónalidad: si A y B son coniuntos tales que

, )_",n)

m

-o

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a_a

r')o

5Co

tsr-o

(.o

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lós elementos de B

\¡1. Axioma de elección: si A es un conjunto cuyos elementos

s.¡n todos conjuntos, y esos elementos son disjuntos dos a

,, ..dótir no vqcios, ento,nc.gs- l4,utu,"én.de,!,contiene al mer.los

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,€*iig

, 'gg

'48 149

(¡oU

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bo.o

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Al introducir los cardinales infinitos, el padre de la teoría deconjuntos deseaba que dos cardinales cualesquiera siguiesen sien-do comparables, es decir, que para m y n una y sólo una de estastres posibil idades fuese verdadera: m < n, m = n orn > n, taly como ocurre con los números naturales. En 1878 Cantor intro-dujo el principio de tricotomía como un resultado obüo y, cincoq[os,más tarde, propuso, también sin demostración, que todosIos conjuntos pueden ser bien ordenados, es decir, que es po-

sible definir un orden tal que cualquiera de los subconjuntos novacíos posea un mínimo elemento. "Esta forma de postular la exis-tencia de principios sin definirlos ni construirlos explícitamente"

sufrió el rechazo de muchos matemáticos, hasta que en 1904Zer-

melo consiguió probar los dos teoremas, introduciendo un nuevoaxloma.

Desde un primer momento el axioma de elección no frie acep-tado como los demás: se postulaba que, siA es una.clase de conjun-tos, existe una función que elige un y sólo un elemento Ce cada unode sus miembros, pero no se daba pista alguna sobre el modo deencontrar dicha función. Además, haciendo uso del axioma de elec-ción, el llamado problema de lo medido -la pregunta de si puede

asignarse a cada subconjunto A del espacio euclídeo r¿-dimensional

un número no negativo que satisfaga ciertas propiedades- encon-traba respuestas sorprendentes. Así, era posible demostrar que al-gunos subconjuntos de la recta real no tienen longitud y que, si diü-dimos una esfera de volumen unitario en m+n partes disjuntas, lasm primeras y las n primeras pueden volver a combinarse median-te giros, simetrías y traslaciones en iotras dos esferas de volumen

uno! Gódel demostró que todas las sospechas eran infundadas: silos demás axiomas de la teoría de conjuntos eran consistentes, tam-bién lo es el sistema que resulta de anadir el axioma de elección,y lo mismo ocurre con la hipótesis generalizada del continuo. Enun primer avance de sus descubrimientos, publicado por los Pro-ceedings of the National Academy of Sciences, Gódel enunciaba elsiguiente teorema:

La demostración

Gódel dio dos pruebas diferentes de la consistencia relativa del

a.xioma de elección y la hipótesis del continuo: la primera de ellas,

en 1939, tomaba como base ios a-xiomas de la teoría de conjuntos

de Zermelo-Fraenkel (ZF), mientras que la segunda, publicada al

año siguiente, se inscribía en la axiomatización NBG (de Von Neu-

mann, Bernays y Gódel). Inspirándose en Cantor, Von Neumann

había introducido una importante distinción entre clases y conjun-

tos, que él llamaba simplemente 0biü0s de típo I1 ollinos de típo lI:

los conjuntos serían aquellas clases que no son fuente de contra-

dicciones cuando las consideramos miembros de otras clases; sin

embargo, las clases propias son tan gigantescas (biyectables con el

universo de todos los conjuntos) que no pertenecen a ninguna otra.

Así, ia paradoia de Russeli había surgido por considerar la clase

propia de todos los conjuntos que no son miembros de sÍ mismos,

porque, como ningún corrjunto se pertenece, baio la máscara de la

autorreferencia estábamos hablando en realidad de todos ellos.

Pese a la importante observación, seguía sin quedar del todo

claro qué es un conjunto. De la misma forma que los números

naturales se obtenían a partir del cero aplicando repetidamente

la función sucesor, Von Neumann trató de aclarar cómo podían

construirse, partiendo del vacío y a través de las operaciones de la

unión y las partes, todos los conjuntos. Estableció de esta manera

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una jerarquía acumulativa en la que la posición de cada conjunto

dependía del número de veces que se hubieran aplicado estas

operaciones para obtenerlo. En términos precisos, es posible definir

una aplicación R, con dominio los números ordinales, que satisfaga

las propiedades:

R(0) = 6

R(a+1) = s¡(R(o))

R(.¿) = U ̂ rBtP. ' l

y tal que todos los conjuntos aparezcan en alguna etapa del pro-

ceso, como establece el axioma de regularidad. Lo primero que

llamó poderosamente la atención de Gódel al estudiar la obra de

Von Neumann fue la magnitud ciel salto que permitía pasar de un

conjunto al siguiente en jerarquía: para una colección de sólo se-

senta y cuatro elementos, el cardinal de sus partes ya excede el

número de granos de arroz que pueden cultivarse en el planeta.

Además, Gódel argumentaba que es difícil tener una idea precisa

de cómo se construyen las partes de un conjunto infinito; por eso,

sustituyó la función R por otra, que bautizó I, tal que:

L(o) = a

L(a+l) = Df l l (a)

LQ) = U ^TBIl l <,1

donde DflL(a) no son ya todos los subconiuntos de l(a), sino sólo

aquellos que pueden definirse mediante un tipo especial de fórnru-

las de primer orden; los Ilamaremos conjuntos constructibles. En

esta nueva jerarquía acumulativa, el axioma de regularidad se sus-

tituye por la tesis que asegura que todos los conjuntos son cons-

tructibles (V = L). Por supuesto, Gódel no pretende que la construc-

tibilidad valga para cualquier conjunto, -de hecho, la probabilidad

de que un conjunto sea definible es nula-, pero añadir V = L le

permite describir un modelo que verifica simultáneamente todos

los axiomas de la teoría de conjuntos, el axioma de elección y la

hipótesis del continuo.

Suponiendo que la teoría de conjuntos sea consistente, el teo-

rema de completitud garantiza la existencia de un modelo (C , U , E),

donde C es el universo de las clases, U el de los conjuntos y E in-

terpreta la relaciórr usual de pertenencia. Gódel se restringe ahora

a un submodelo A, en el que sólo se consideran las clases y con-juntos constructibles, y se verif ic4 por tanto, V = L. Reescribe a

continuación los ariomas teniendo en cuenta sólo los conjuntos

constructibles y consigue demostlar que cada uno de ellos es un

teorema. Por tanto, A es un modelo en el que, adernás de V = L,

se realizan todos los axiomas; de ahí se sigue que la tesis de cons-

tructibil idad es consistente con el resto del sisterna. Finalmente se

demuestra que, al incorporar V = L, tanto el axioma de elección

como ia hipótesis del continuc pueden deducirse en la teoría. Por

tanto, cualquier modelo de los a,xiomas habituales tiene un sub-

modelo en el que se verif ican a la vez el arioma de elección, la

hipótesis del continuo y V = L.

Aunque esta prueba de la consistencia relativa supuso el ma-

yor avance de la teoría de conjuntos desde su axiomatización, una

respuesta definit iva a la pregunta de Cantor quedaba lejos aún. En

el artículo del American Mathemolical Monthly, What is Cantor's

continuum problem? ("ZQué es el problema del continuo de Can-

tor?"), al que nos hemos referido en el comienzo, Gódel describe

el paisaje después de la batalla:

EI i'¡¡tbls7n0 dal contínuo de Cantor, índelsn¡Jis7¡¿nie nte dclpunto let,ísta.ltlosofirc c¡ue se odopte, tíerc, sín níngut't dudn el sí¿príente setttídtt:el de nt,eríSusr sí a partír de ltts wíotnns de ls torh de crtn_iuntos [...]se !1¡sfls tleducír una re spuivn .tt, si ns

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Paul Cohen

En Ia primavera de 1963, Paul Cohen,

un joven matemático de Stanford, pudo

Cemostrar que la negación de la hipóte-

sis del continuo (extste un cardinal r talque i ' is < * < 2No), también es consisten-

te con el resto de ¿¡.xiomas. Así, la con-,r- jétura de Cantcr resultaba ser indecid!-

ble, y la teoría de conjuntos, incompleta.

Gódel ya había iniuido estos resultados

-d.os rdzone: pttra :rc¿rlo srrn rlLrc, tle ltt ínconsís-

ten: i,t de In trrgúcítifi, se sequír'ítt ltt ínconsístencia

tlel¡ notíón dt se;uercín t¡l*tfarín [...] l, d,;tríarna pnrcba del lxíonw de el¿ccíón-, pero no fue capaz de demostrarlos

durante los diez años siguientes a la publicación de sus artículos.

Cohen se había doctorado con una tesis sobre el análisis armóni-

co, y sus líneas de investigación quedaban lejos de la lógica, pe-

ro durante el curso 1959-1961 disfrutó de una beca en el Instituto

de Estudios Avanzados, donde Solomor-r Fef'erman ie sugirió varias

lecturas determinantes para su trabajo posterior. Tras el revuelo

causado por el anuncio de Cohen, su demostración fue sometida

a una crítica exhaustiva, en la que aparecieron algunos errores.

Por suerte, pudo subsanarlos con rapidez, aunque seguía temiendo

que se encontraran nuevos fallos en la argumentación, que algunos

matemáticos aprovecharían para castigar su intrusismo en el cotovedado de la lógica. Finalmente, Cohen optó por escribir a Gódelpidiéndole su visto bueno; y éste, en su respuesta, consideraba que

la demostración et'a, en todos los asy,cc¡'15, h nrcior posíhle y reconocía

haber experimentado el mismo gozo que ante una obra de arte.

Por eso, le conminó a publicarla lo antes posible en los Po-

ceedings of the Notional Aca'7emy of Sciences, donde ya habían

aparecido sus demostraciones de la consistencia relativa. Se ofre-

ció también a hacerle algunas sugerencias para mejorar el manus-

crito, que Cohen, sin conocer el perfeccionismo crónico de Gódel,aceptó entusiasmado: cansado de los retoques infinitos. terminaría

dando carta blanca a Gódel para modificar todos los detalles queconsiderase oportuno sin consultárselo. cuando por fin se publicó elartículo, entre 1963 y 1964, Cohen recibió una medalla Fields, y launiversidad de stanford Ie ofreció una plaza de profesor. En el Con-greso Internacional de Matemáticos celebrado en Moscú, churchfue el encargado de pronunciar la loudatio de cohen. para ello, sepuso en contacto con Gódel, v lo primero qrie hl2-oTue-pieguntarle sieran ciertos los rumores de que él ya había probado la independen-cia de la hipótesis dei continuo veinte años antes, pero que no habíaquerido dar a conocer su hallazgo. Gódel, que en ese momentc sehallaba inmerso en la revisión de unos artículos, se l imitó a negarque hubiera encontrado una demostración. El trabajo de cohen noIogró cambiar la opinión de Gódel sobre la falsedad de la conjeturade Cantor, aunque, después de que la hipótesis se hubiera demos_trado independiente, tal vez l,¿rdcríg síyíficndo In ctrc:tíón de su t,erdnd,cxL1cfLlfitetff'( del nist¡to 1il0¿o rn tltrt'Iú fr(q!iltt,t yor In t,cr,lnJ tld c1uínro pos-rulstlo Je los F,leurcnfos cnrrt ¡lt senf ídtt lnrd los tnitt{tlttifíc|, ,lesd¿ In l,ruel,ndt ln consísttttitt fu In ge.tntúrítt no urclíltrt. Aún así, Gódet siguiá bus-cando nuevos axiomas de la teoría de conjuntos que permitiesenrefutarla.

La gran marcha

Los problemas de Gódel con las autoridades americanas eranconsecuencia de sus dos intentos de entrar en los Estados unidoscon vistas a establecer allí su residencia permanente. Durante suconvalecencia en Europa, su pasaporte había caducado, pero en elotoño de 1938 Gódel pudo regresar a princeton gracias a un permi_so de salida alemán; por eso, no esperaba tener tantos problemasel curso siguiente. Mientras volúa a Europa a bordo d,el Bremert,sólo le preocupaban el reencuentro con Adele y la publicación desus conferencias sobre la hipótesis del continuo. De hecho, nadamás llegar escribió a Bernays pidiéndole que le aclarase algunascuestiones sobre el sistema axiomático del que se había serüdo en

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un artículo para el Journal of Symbolic Logic y, a pesar del tiempotranscurrido desde su última carta, le exigía una respuesta inme-diata para no retrasar más la entrega de los textos corregidos. VonNeumann, por su parte, había comentado con Gódel la posibilidad

de que las notas del curso, además de repartirse entre los asisten-tes, aparecieran como monografía en losAnnals of Mathemaflcs. Talera el prestigio de la revista, editada por la Universidad de Prince-ton, que los autores no cobraban ningún tipo de derechos, aunqueseguían conservando el copytight; Gódel lo mantuvo casi treintaaños, hasta que decidió venderlo por cien dólares, una alirta mu1guerlsa -a su juicio-, pero ridícula en comparación con las ganan-

cias de la Princeton University Press por un volumen que aún siguereimprimiéndose.

Durante los meses siguientes Gódel mantuvo viva la esperanzade poder regresar al Instituto de Estudios Avanzados en septiembre.Dos días antes de que Hitler invadiera Polonia, en lo que constituyeun auténtico "récord a la hora de no vel'se envuelto en el umbralde los acontecimientos históricos", le envía una carta a Mengerdisculpándose por no disponer del tiempo suficiente para contri-buir con más trabajos al coloquio. Gódel parecía üür de nuevo enotro mundo, tan improbable como los modelos cosmológicos que

imaginará después: sólo el anuncio de que debía someterse a unaprueba de aptitud para el ejército lo devolüó por un instante a larealidad. En cierto modo había anticipado la convocatoria, pero es-taba convencido de que lo despacharían enseguida; enlugtr dc e;0,ni exsnten se plspltsl durante tneses, cott Io que me-fue ímposíbie sllít' del ttaísanfes de qr,te cstallarc h guerra. Finalnrcntc, flre e,rclntrarln hAbíl parn lsbores deretaguardía, lo que hízo aún más dífícíl obtener el pernúso de salída. Las auto-ridades alemanas habían hecho caso omiso de las alegaciones deGódel sobre sus problemas de corazón y las secuelas de las fiebresreumáticas de su infanciay, afortunadamente, tampoco tuüeron encuenta su estancia en el sanatorio Purkersdorf, pues quizás hubieseterminado en un campo de concentración. Él mismo era conscien-te de que su enfermedad podría convertirse en un obstáculo para

que le fuera concedido un nuevo pasaporte, pero en ese momento

su mayor problema era otro distinto.

Gódel no había informado al rector de la Universidad de Viena

de su última estancia en el Instituto de Estudios Avanzados antes

de llegar Princeton. Seis semanas antes de su marcha, el ministro

de educación promulgó un edicto que prohibía a todos los profe-

sores, también a los retirados o destituidos, negociar con centros

e-xtranjeros de enseñanza sin la aprobación Cel Reich; así, cuandc

el decano recibió la carta de Gódel, lo primero que hizo fue reen-

viársela al ministerio de educación. Sólo en julio del año siguiente,

con una dilación poco habitual, se iniciaron las pesquisas para ave-

riguar si Gódel se encontraba en los Estados Unidos por asuntos

personales, o como profesor inütado de alguna universidad. Con-

cluido el informe, en lugar de retirarie la autorización para enseñar,

decidieron que no se le concedería la renovación corno Dozent,

que ya incluía un pequeño sueldo, cuando la solicitase. A media-

dcs de septiembre Gódel se encontraba en una situación difícil: no

sólo era casi imposible que Ie dejaran salir de Alemania, sino que,

con su permiso a punto de caducar, se había quedado ürtualmente

sin empleo.

Por si fuera poco, a esto hay que añadir que había tenido

muchísimos problemas para traspasar los fondos de su cuenta en

Princeton a otra en un banco de Viena: tuvo que escribir, entre

otras cosas, la única carta donde encontramos un Heil Hitler de

su puño y letra. Desesperado, pensó incluso en buscar un puesto

de trabajo en una fábrica, pues ils nlnrros fiLi (rüil strft;icntes p¡y¡1 1,i1,i¡'

dursnte mucho ntíts tíen4to. En la reconstrucción minuciosa de su üda,

Dawson ha estimado que la fortuna total de los Gódel era de cin-

co mil seiscientos dólares, aunque la rnayor parte de este dinero

procedía de la casa de Brno, ocupada por su madre y la tía Anna,

que no podía venderse. Gódel aprovechará sus problemas de di-

nero como argumento para que le fuese otorgado un permiso de

salida. Por una parte, el rector no tenía dudas de que "Gódel crea

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buena impresión, es educado y, si le permitimos salir al extranjero,

no cometerá torpezas que dañen nuestra patria", pero no estaba

dispuesto a tolerar su falta de compromiso con el régimen nazi. Sin

embargo, era consciente de que si no le dejaban salir, ni él ni Adele

tendrían cómo mantenerse y, por eso, proponía que se le ofreciera

alguna posición pagada dentro del imperio "para hacerle cambiar

de idea".

Mientras el rector se pronunciaba, Gódel decidió emprender

tres acciones paralelas: solicitó que su autorización fuese renova-

da, pidió al ejército un permiso de salida y continuó los trámites para

obtener el üsado americano. Gódel contaba a su favor con buenas

recomendaciones científicas, pero había hecho su tesis doctoral

bajo la dirección del profesor judío Hans Hahn y, "aunque las ma-

temáticas eran por esa época muyTudiosas" -decía el informe-,

"quiso moverse en los círculos liberales". Así, su petición quedo

parada, sin que los miembros de la comisión estimaran oportuno

darle el üsto bueno, pero tampoco con razones suficientes para

denegarla. Gódel entraba de esta forma en uno de esos círculos

viciosos que había querido eliminar del pensamiento matemático:

las autoridades alemanas no expedían pasaportes para los Estados

Unidos sin que el solicitante hubiera obtenido ya un üsado, pero,

para conseguirlo, era imprescindible acreditar la posesión del pa-

saporte. Además, se había instituido un cupo que sólo permitía la

entrada de veintiséis mil alemanes. Quedaba una mínima posibili-

dad de extender üsados sin cupo a los "inmigrantes que durante

al menos dos años hubiesen intentado entrar como profesores de

una universidad o seminario académico. y también a sus mujeres

si los acompañan", pero, a la hora de la verdad, esta cláusula, que

hubiera salvado las üdas de muchos intelectuales europeos, tenía

que enfrentarse a las trabas de Awa M. Warren, responsable último

de interpretar la ley para su aplicación:

"Normalmente, a una persona que solicite un üsado sin cupo

como 'profesor' se le requerirá que muestre que en ese momento

enseña como miembro del claustro de una universidad o semina-

rio académico recorrocido, y que ésta constituye su principal ocu-

pación [. . . ] En casos que envuelvan condiciones dist intas de las

anteriores se prestará atención a todos los hechos referentes a la

naturaleza de las actiüdades educativas del solicitante y al tipo de

institución con la que ha trabajado antes. El solicitante debe esra-

blecer que ha seguido su vocación de profesor de forma continua

drrrante al menos dos años completos inmediatamente antes de

solicitar su admisión en los Estados Unidos, excepto en casos en

los que el ejercicio de la docencia haya sido interrumpido contra su

voluntad".

Flexner hizo todo lo posible para que "alguien de una altura úni-

ca en la comunidad matemática" pudiera acogerse a esta últ ima

excepción, pero el hecho de que Gódel hubiera dado tan pocas cla-

ses a lo largo de su üda no facilitó las cosas. Von Neurrrann insistía

en que era necesario dirigirse al consulado para explicarles las ca-

racterísticas propias del Instituto de Estudios Avanzados, un centroque, si bien tenía derecho a expedir títulos universitarios, nunca lohabía ejercido. Fue lo que le correspondió a Frank Aydelotte, des-pués de que sustituyera a Flexner como director del IAS, tras variaspolémicas sobre qué decisiones administrativas Cebían tomar losmiembros del claustro: "las obligaciones del profesor Gódel inclu-

)'en la docencia, pero la enseñanza aquí es de nivel muy avanzado y,

en consecuencia, menos formal que en otras universidades". Gódelestaba resignado ya a permanecer en Viena, y se había mudado conAdele de los suburbios a un nuevo apartamento, perc, en noüem-bre de 1939, recibió una paliza que le hizo cambiar de opinión.Mientras paseaba con Adele por el campus de la universidad, vesti-

do, como de costumbre, con una gabardina y un sombrero negro,una banda de jóvenes nazis Io confundió con "uno de aquellos pe-

ligrosos profesores judíos que dedicaban las horas a pensar". Susatacantes lo acorralaron y, de un puñetazo, hicieron volar sus gafas,

hasta que Adele consiguió ahuyentarlos a golpes con el paraguas.

Aunque Gódel no resultó herido, el incidente le reveló de pronto la

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gravedad de su situación y, para principios de diciembre, ya había

decidido buscar un modo de salir de Europa.

Camino de Berlín, dio una conferencia sobre la hipótesis del

continuo y el axioma de elección en Góttingen. De acuerdo con

la crónica que se conserva, la charla fue un modelo de claridad

expositiva: Gódel situó primero el problema en Ia historia, y luego

definió las líneas maestras de su demostración sin detenerse en

cletalles técnicos ni cálculos laboriosos. Aprovechó también para

rendir tributo a Hilbert que, en su artículo "Sobre el infinito", había

anticipado en su opinión algunas de las ideas más importantes de

la prueba. Ya en la capital alemana, Gódel obtuvo su permiso de

salida la mañana del 17 de diciembre, aparentemente como conse-

cuencia de las gestiones del nuevo director del Instituto, que había

argumentado que "era ario y uno de los mejores matemáticos del

nrundo": su papel en el ejército no aumentaría la gloria de Alemania,

pero sí colocaría a su país en lo más alto si le era permitido conti-

nuar con sus investigaciones. Además, era improbable que su caso

sentara precedentes "porque son contadísimos los hombres de su

valía científica". Tres semanas después llegó el üsado americano,

entre cuyas condiciones se encontraba la de abandonar Europa por

el este.

Como el peligro de que un ciudadano alemán fuese arrestado

mientras trataba de cruzar el Atlántico era muy grande, Gódel y

Adele tuüeron que üajar a América por el camino más largo. El 12

de enero recibieron sus üsados rusos, y tres días después, se les

autorizó también a cruzar Lituania y Letonia. En ese momento Gódel

mandó un telegrama a Princeton anunciado que esperaba salir de

Moscú el día 18 y llegar a Yokohama, donde embarcaúan en el Taft,

una semana después; tras atravesar las regiones bálticas, los dos

viajaron hasta Madivostok en el Transiberiano. Gódel nunca más se

refirió a este viaje, pero Adele contaba a menudo que era siempre

de noche, como si el sol de Europa se hubiera apagado de por vida,

y que viajaron con miedo de en que cualquier instante se parara el

tren y los obligaran a dar la r,uelta. Cuando llegaron a Yokohama, su

barco ya había partido, por lo que tuvieron que esperar al President

Cleuelond, que no salía hasta el día 20. Aunque el nuevo cambio de

planes habría supuesto en un principio más tensión, Gódel y Adele

pudieron descansar un poco y aprovecharon para hacer algunas

compras, porque habían salido de \4ena sólo con lo estrictamente

necesario (de hecho, cuando terminó la guerra Gódel le pidió a

su hermano que le enviase un cargamento con todos los l ibros y

papeles que había olvidado en sus archivos).

Los armadores del Cleueland estaban obligados a enviar a las

autoridades americanas un minucioso registro de cada uno de sus

pasajeros que incluía no sólo una descripción física, sino también

los resultados de sus indagaciones sobre la salud mental de los via-jeros. Los Godel aparecen registrados en tercera clase, en medio de

una larga l ista de nombres y apell idos chinos: Gódel "mide 1,70, es

delgado, de complexión l igera, moreno y de ojos azules"; Adele es

un poco más ba!a, t iene "pelo claro y ojos grises". Durante el inte-

rrogatorio, los dos aseguraron que no habían sufrido ninguna clase

de desórdenes mentaies. Después de que atracasen en el muelle

de San Francisco el 4 de marzo, ya sólo les quedaba por recorrer

el oeste americano. Durante el trayecto, Gódel pudo contemplar

la belleza de los paisajes, que luego recordaría, cuando su imagen

de Europa se redujo a las postales que recibía de su madre'. dt1uí,

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En Pr i nceton: f í s i ca yf i losofía ( I941--1966)

Pese a su apariencia de zona residencial de postín, llena demansiones vetustas y campos de golf, Princeton era en 1940 elcentro matemótico del Uniuerso. Del rnismo modo que la Vienafinisecular había concentrado en unas pocas calles a los mejoresfilósofos y literatos del planeta, algunas de las mejores manzanaseuropeas, sacudidas por Hitler del árbol de la ciencia, se congre-gaban en el campus del Instituto de Estudios Avanzados, con su"bosquecillo surcado de senderos donde poder toparse con ideasfugitivas". Poco después de su llegada a hinceton, Kurt y Adeleüajaron, por recomendación de Veblen, a Brooklin (Mairre), queGódel describiría años más tarde como uta de los lusares ffias atrúctí-

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'¡,os de su vída, en el que recordó muchos paisajes de sus tardes de Gdomingo en Brno. Sin embargo, la dueña de la posada en la que Kse alojaron se formó una impresión muy distinta de "aquel hombre ?perdido por extraños mares del pensamiento": durante el día Gódel üse pasaba las horas en su habitación, yAdele hacía las camas para 6que nadie del servicio entrase a moleslarlo. Únicamente dejaba lapensión después del atardecer para pi¡sear, con las manos apoya-

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das en la espalda, hasta la medianoche. Caminaba siempre por la

carretera de Parker Point, una ruta paralela a la costa, donde aún se

encuentran las mansiones de verano de las familias más ricas. Con

los Estados Unidos en guerra, al ver de noche a un extranjero pa-

seando solo por allí, muchos pensaban que era un espía inientando

establecer contacto corr los submarinos alemanes.

Probablemente lo que más le impresionó a Gódel de Brooklin

fue la pureza del aire que se respiraba. De vuelta a hinceton, él

y Adele se mudaron de apartamento para evitar /¿.rs nutltts hutrtos d¿

la ;'tlcfic"íón, el primer síntoma de su paranoia final. Estaba obse-

sionado con los gases tóxicos que escapaban del frigoríf ico y de

las estufas: había prohibido que se calentara la casa en invierno, e

incluso llegó a devolver una cama por el fuerte olor a barniz. Sus

colegas comenzaron a preocuparse, hasta tal punto que Aydelotte

consultó con un médico si la conducta de Gódel podría volverse

peligrosa. Tal vez por eso el instituto tardó tanto en ofrecerle una

plaza definitiva: \ion Neumann se indignaba -"Zcómo podemos los

demás llamarnos profesores si Gódel aún no lo es?"-, pero otros

miembros del claustro, como Hermann Weyl y Carl Siegel, mos-

traban su firme oposición. Cuando finalmente se la concedieron,

en el contrato se especificaba que, "en caso de enfermedad físi-

ca", un triste eufemismo, "podrían retirarlo con una pensión de mil

quinientos dólares".

Cuando volvieron a mudarse, entre los vecinos de los Gódel

se encontraban Georg Bror,rm y su mujer, que los describían conto

"muy poco sociables" y recordaban que Gódel solía encerrarse, por

miedo a que trataran de asesinarlo, siempre que algún matemático

extranjero estaba de visita. Así fue, por ejemplo, cuando el topóiogo

Eduard Óech, que había sido profesor en Brno, pasó algunas sema-

nas en Princeton; aunque sí quiso ver a su üeio amigo Carnap en

1954. Para evitar que losnalossíres se acumularan en el apartamento,

Gódel deiaba las ventanas abiertas día y noche, lo que hacía de la

casa un lugar desagradable y lleno de polvo. Pese a los instintos ma-

ternales de Adele, era demasiado mayor cuando se casó con Gódel,y temía que sus problemas mentales fuesen hereditarios. Gódel, por

su parte, quiso evitar que se reprodujera el cáncer manifestado re-pentinamente en la familia de Adele, y ambos decidieron no tenerhijos. Durante la Segunda Guerra Mundial, ayudaron a mantener unorfanato, pero cuando se les ofreció la posibilidad de adoptar unbebé, Gódel objetó que sólo alguien de su sangre podría l levar suapell ido. Además, algunos problemas de salud habían comenzado

a preocupar a la pareja: Gódel pensaba que comía en exceso y que

sLL estónLtgl esraba pctn'quc tt Víena, pero raravez l legó a superar loscincuenta y cuatro kilos. Sus meiores amigos pronto se vieron en laobligación de cuidarlo.

Oskar Morgenstern, con el que Gódel había trabado amistad enViena, fue una de las primeras personas con las que se reunió alllegar a Princeton. En 1 938, mientras daba un curso en la Universidad

La foto c lásicade Einstein y Gódel juntos

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de Carnegie, la anexión de Austria aceleró su cese como director del

Instituto Austriaco para la Investigación en Economía, pero, gracias

a una generosa oferta de Flexner, pudo continuar con su trabajo en

América. Morgenstern estaba deseoso de que Gódel le informara

de primera mano sobre la situación política en Europa, pero la única

confesión que logró arrancarle fue: El café es Lh't úsco. Nunca dejaría de

sorprenderse de la poca conciencia política de Gódel, de su interés

por los fa.ntasmas y de la relación con Adele, a la que veía como "una

típica lavandera üenesa, exagerada e inculta" que jamás podría

integrarse en la üda académica de Princeton. 'A Gódel, desde luego,

le falta un tornillo" -escribe en sus diarios. Sus profecías no tardaron

en cumplirse: todos los que trataban con Adele no hacían más que

criticar cómo "monopolizaba las conversaciones, hablando a gritos

con su mal inglés", ylas mujeres no soportaban "su gusto hotrendo".

También los genios se equivocan, debía de pensar Morgenstern, que

nunca cuestionó el talento matemático de Gódel:

"No hay absolutamente ninguna duda de que GÓdel es el mejor

lógico vivc; es más, pensadores eminentes como Hermarrn Weyl y

John von Neumann han declarado que es definitivamente el mejor

lógico ciesde Leibniz, o incluso desde Aristóteles. Parecería que en

la historia entera de la Universidad de Viena la figura de ningún

profesor ha ecl ipsado a la de Gódel [ . . . ] . Einstein me contó una vez

que su trabajo ya no significaba gran cosa para é1, pero que iba al

Instituto de Estudios Avanzados sólo por el priülegio de volver a casa

andando en compañía de Gódel".

Gódel había conocido a Einstein en su primera estancia en

el Instituto de Estudios Avanzados, después de que los presenta-

ra Paul Oppenheim, pero su célebre amistad no comenzaría hasta

que Gódel se estableció definitivamente en Princeton. En palabras

de quienes los conocieron, Einstein era alegre y siempre se reía,

mientras que Gódel tenía un carácter serio y solitario. Aunque eran

diferentes en muchos aspectos, los dos congeniaron bien desde el

principio, y, a partir de 1942, todo el mundo los veía siempre jun-

166 r67

tos, envueltos en larguísimas conversaciones camino del Instituto."Todos los días los veía atravesar el sendero desde Fuld Hall a Ol-den Farm. No sé de qué hablarían: seguramente de física, porque aGódel también le interesaba esta materia" -comentaba un investi-gador. Los dos poseían inteligencias de primer orden y habían ob-tenido resultados espectaculares a una edad muy temprana: Gódeldemostró el teorema de incompletitud con sólo veintitrés años, yEinstein cumplió los veintiséis en su onn¿is mirabilis. Einstein se diocuenta muy rápido de que Gódel necesitaba una segunda maCre,labor que ya había desempeñado Veblen entre 1933 y 1938 y eue,tras su muerte, correspondeúa a Morgenstern.

En ocasiones Gódel disentía de las opiniones de Einstein, pe-ro en temas candentes, como la indeterminación de la mecánicacuántica, sus ideas discurrían por caminos paralelos: ambos teníanel axioma de que "nada de lo que ocurre en nuestro mundo se debeal accidente o ala estupidez", pues "larazónporsísolanuncayerra".Además, creían en ia necesidad de maridaie entre la ciencia v la

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filosofía: "la ciencia sin epistemología es, en la medida en que sea

concebible, primitivay confusa", declaró Einstein unavez, mientras

Gódel apostillaba: fa epístemologra sífl clfitnctl con Ia cíencís sa cotn,íerte enwtescluemaracío.Dejóvenes, los dos habían tenido que escoger entre

la física y las matemáticas, y veían en el otro el reflejo de aquello

en lo que hubieran podido convertirse. Gódel se decantó finalmen-

te por las matemáticas para alejarse de las incoherencias lógicas

que encontraba en la física, y, aunque Einstein apreciaba la belleza

de las matemáticas, "sólo en el campo de la física era capaz de

distinguir los problemas centrales de los periféricos". Sin poner en

duda la importancia de su obra, que había obligado a la lógica y ala cosmología a rehacerse por completo, ambos terminaron refu-giándose en símismos, en lo que Rebecca Goldstein ha l lamado "un

exilio dentro de un exilio mayor, que trasciende las circunstancias

geopolíiicas que les obligaron a refugiarse en Princeton".

Filosofía de las matemáticas

Frustrado por su estancamiento en la prueba de la indepen-

dencia de la hipótesis del corrtinuo, Gódel centró su atención en la

filosofía, justo en el momento en el que el editor de la "Biblioteca de

filósofos üvos" le había pedido un artículo sobre la lógica matemáti-

ca de Russell para el volumen dedicado al filósofo inglés. Gódel no

entregó el manuscrito hasta pasados seis meses, cuando el resto

del libro ya estaba terminado, y Russell, como era costumbre en

la colección, había respondido a las demás contribuciones. Gódel

esperaba con ilqsión su réplica, pero todo se redujo a una pequeña

nota, en la que aseguraba que "le habría llevado demasiado tiempo

formarse una opinión crítica de las ideas" de nuestro protagonista,

pues "habían pasado más de dieciocho años desde sus últimos tra-

bajos en lógica matemática". En la versión final del artículo, Gódel

aprovechaba al mismo tiempo para examinar Ia posición de Russell

en las dos introducciones a los Principia Mathematica y malizarla

con sus propias ideas filosóficas.

168 169

Gódel comienza hablando del carácter doble de la lógica, que,

además de ser la disciplina qu etrstasobreclnses,relncíoneslcontbínscíones

de sígnos, en vez dehablar denúmeros,_funcíones1fr.guras geomérrícas, se había

demostrado uns cíencís prevía a todss las dentás, que contíene las nocíones

1 nríncípios cpe subyacen al relo de lns cíencítLs. Después de criticar lo

que él consideraba una gran falta de precisión en la sintaxis del

formalismo de Russell, se sorprende de su¡l'onttndnda actífudrulísts,

pues Russell había escrito: "La lógica trata del mundo real, lo mismo

que la zoología, aunque de sus rasgos más abstractos y generales".

Y luego continuaba extendiendo la analogía entre las matemáticas

y las ciencias de la naturaleza: Ios principios de la lógica no serían

tan distintos de las leyes de la naturaleza, y su evidencia podía

compararse con la percepción sensible; así, los axiomas no debían

ser autoeüdentes, sino sólo justif icables, en el mismo sentido que

la física. Esta postura, sin embargo, fue cambiando con el tiempo,

y, al tratar de poner freno a las paradojas lógicas, Russell se dio

cuenta que casi todas ellas surgían de hacer hablar a los predicados

de sí mismos, o bien al suponer la existencia de cualquier cosa

que pudiese describirse. Formuló así sus principios del zig-zag, que

exigía simplicidad a los enunciados, y de la limitación de tamaño,

que impide considerar conjuntos demasiado grandes, equivalentes

al universo de todas las cosas.

Más adelante, Russell adoptó la ideo radical de que las clases

y conceptos no existen nunca como objetos reales: son meras for-

mas de hablar, casi juegos del lenguaje. Para Gódel, sin embargo, /i:l

aceptatíófl de tales lbjetls resulta tan legltíma cotxo la úceptaciót, de los cuerpos

_físíns, y hny tsntrts razlfies parLl creer efiIp. exístewía de nquellos conto enln de es-

fo-s, porque soilflecesnrílsparaohtenerm sístentadentntemátícas satísfactorí0,

en el mísmo sentído en quelos cuerposfrsícoslo son para ufla teoría satísfnctoría defluestras })ercePcíones sensíbles. Gódel argumenta que el propio Russell,al enunciar el principio del círculo vicioso, suponía la existencia de

estas totalidades, y que para construir una teoía sin clases había

terminado considerando tantos objetos (incluso, sentencias de lon-

gitud infinita no numerable) como los que pretendía eliminar. El

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filósofo inglés, por su parte, había tomado la teoría de conjuntos co-mo apoyo a sus ideas, pues consideraba imposible que existiese laclase vacía y que los conjuntos de cardinal uno pudieran distinguir-se del único elemento que los compone. A pesar de que los objetosa los que se refiere la teoría de conjuntos transfinita no pertenecenal mundo material, Gódel seguía sosteniendo que podemos teneruna intuición matemática lo suficientemente completa como paraerigir una teoría sobre ellos, y que Ins paradojas de In teoría de conjtmtosttl süt ei1 modo ttlguno más prcblenútítns 1tt1y¡¡ las mntemútícns que In-s ílusít'¡nesde I o s s eutído s p crn laJisíc a.

Esta actitud se conoce en filosofía de las rnatemáticas como pla-tonismo. Igual que Platón había postulado la existencia del mundode las ideas, del que los objetos cotidianos eran sólo pálido reflejo,Gódel creía que las verdades matemáticas son independientes decualquier esfuerzo humano por construir sistemas formales, o des-cribirlas mediante axiomas y teoremas: mns aIIá de nttsotros se extíendewtmundo ínmenso que exíste conhulependencía del serlrunwn, rt quenls llatÍesun enígna eillrffie ) eterfll, Llufique al menos parcíslmenle srcesíble a nuesfraínspeccíónTlensamíento. Es frecuente entre los matemáticos creer quelo que se denomina grandilocuentemente creación no es más quedescubrimiento, "apuntes de nuestras observaciones", como decíaHardy; pero Gódel llevó esta postura hasta sus últimas consecuen-cias. Por eso le gustaba más la compañía de Einstein -que pensabaque la física es sólo un medio para desvelar algunos de los secretosde la realidad fÍsica objetiva- que la de los positivistas del Círculode Viena, para quienes su üsión de la ciencia era poco menos queuna herejía imperdonable.

El platonismo ontológico de Gódel ha sido criticado por otrosmuchos autores: Charles Chihara, en La ontología y el principiodel círculo uicioso, argumenta en su contra que "uno no se sienteinclinado a creer en la existencia de fantasmas sólo porque algunateoía de los fantasmas exija su existencia", y no ve razón algunapara que, si de la intuición matemática se sigue la realidad de los

cardinales infin!tos, de "la intuición teológica no se pueda postular la

existencia de los ángeles". Incluso después de que Cohen probara la

independencia de la hipótesis del continuo, Gódel siguió buscando

una solución al problema: a su juicio, los signos formales se referían

a entidades abstractas, pero existentes, de modo que era razonable

preguntarse por la verdad de la conjetura de Cantor.

Esta actifid ncgJttívú ltncía Ic teoría de conlmftos de Cnntor t hacín

iLl matel1íttiLa clítsícs, dela que es LutLl gen¿ralízacíón núttral, no es de

nít gun n otlo, sfu cn tls aryl, utl resulfs tlo n¿c esttrío de ut exatnen detalhdode sus Jundttnrcntos, síno úniannente Lnhl c(tflseLLreilcía de una cíet ta

c o n cep úó n-filo sófi c a del a n at ur abza del as n at em áticas, qu e ndmíte oltj eto s

tnatenátlcos sólo en ls nrcdítin en qLre sean ínterpretables c0ffi0 fiLrcstrils

pr\píüs cL)ttstrucd\nes 0, al ffien\' stafl c|lilpletLlmente cJadls eil wta

íntuícíón rnstemútícn. Parn quícn considerc que los obietos matemátícos Texísten índcpendientemente de nuestrLts t otistruccíones 1 de que teflgqrnos líndít idttnJntente tnt íutuícíón rle ellosy nma quíen exln únícamente que llos cttnce?,trts gcttergles mstetnntíco: sem Io suJtríenteutente clsros cotno 3pt1r6 cye seanls cttpsces de reconocer su correccítin 1 Ia t,erdad de los q

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de Ia teoría de los cotitutttts de Cantor ¿n toda n amplítud 1 sígníjtado

orígínales.

Entonces, como escribe Mosterín" "si los axiomas habituales

de la teoría de conjuntos dejan esa pregunta sin respuesta, ello

solo significa que esos axiomas son insuficientes y qlre en el futuro

tendrán que ser completados con nuevos axiomas que permitan

decidir estas y otras cuestiones abiertas cie la matemática".

En busca del Leibniz perdido

Como demuestra un texto publicado tras su muerte, Gódel di-

vidía las corrientes del pensamiento en la derecha, donde habría

que situar el espiritualismo, la teologíayla metafísica. y la izquierda,

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Gódel terminaba su artículo sobreRussell hablando de lacharacteristica uni_uersalis de Leibniz, que, -rr/lcllros rlctre(rsr6

!,tl úb r as, de s nr r oll ó es t e c úl c ul o del r n zon n n tí e t t -to consíderableillmte, yertt esperti a pul,lícarlohnsfn que la semílla pudíese crter en nreLrJirtil.Incluso, nos dice Gódel, llegó a e*ínwr eltiempo (cínco años) que se precísnría parn clueunls pacos cíentrjcos selrctos ,lessrrollnran ytcúlculo hnsta el extrento de r1ue 'la hunnníáarltuvíese ú su qltailce ufi fiue1)o rip0 de h$trLttn(nt0qM lrnt:utrúrn la upnri,!,,rd di lo ,nrnr ltut¡t¡na

mucho nús delo clue un ínstrtunento óptíco ha aunnntadt tlLutiaftt t,ísíóti.Gódel estaba convencido de que Leibniz realmente había construi-do la enciclopedia de ideas primitivas sobre las que se asentaba sucodificación. sin embargo, estos manuscritos no habían salido a laluz a causa de una conspiración secreta.

La historia recuerda a otra protagonizada por Cantor setentaaños antes: este matemático aremán se había embarcado en unacruzada para mostrar ar mundo cómo Shakespeare era, en reali-dad, el sabio ingrés Francis Bacon, que se había ocultado baio el

1.7 2

cuyos mejores representantes son el escepticismo, el materialisrnoy el positiüsmo. Desde el Renacimiento, Ia historia de la filosofíahabía sido la historia del desplazanliento de la derecha a la izquier-da, de la que sólo se habían salvado, durante mucho tiempo, lasmatemáticas. La gran crisis de iundamentos no era, en opinión deGódel, razón suficiente para que se adoptara una üsión de izquier-das de esta ciencia, pues ras paradojas de Ia teoría de conjuntoshthínn sítlo yn resuckas dt rm rnorlo c¡firyilcfL1firctxtc sniísÍactorío ) c¡sí oltyío

!ü'n cuillquí(rt1 (jLre efití(fidtt Ia tcorín. por eso, había que poner el éníasispreciso m el tt l fívtt fu ios catmptoi y en hacer claros los significados,de un modo similar al que Leibniz había ideado para poner fin a roserrores del pensamiento.

Georg Cantor

seudónimo del "que agita la lanza" (spear-shaker), con el que lo

conocían en latín algunos de sus contemporáneos. Del mismo mo-

do que Cantor creía que sus descubrimientos eran silenciados por

intereses geopolít icos, Gódel estaba seguro de que Leibniz hal,t ' t.r ido

sístentúficonunfe sttbt'¡tefldt¡ plr sus cdítores. Consiguió convencer a Mor-

genstern para que los dos microfilmaran sus manuscritos y deposi-

taran ulla copia en Princeton, a salvo de la intervención de manos

enemigas. Para hacer más atractiva la idea, Gódel le contaba que

había encontrado varios estudios de Leibniz sobre la importancia

científ ica de la ieoría de iuegos, y que el f i lósofo alemán descubrió,

tresciento.s años antes, las antinomias de la teoría de conjuntos, la

ley de la conservación de Ia energía y algunos de los paradigmas

más recientes sobre la resonancia del sonido.

Los problemas comenzaron cuando Morgenstern trató de en-

contrar el catálogo de las obras de Leibniz: la única copia de la que

se tenía noticia había sido depositada en la biblioteca de la Acade-

mia Nacional de Ciencias en 1908, pero no quedaba rastro de ella,

e igual de infructuosas resultaron las pesquisas en la biblioteca del

Congreso. Tras conseguir permiso de dos archivos de Hannover y

París para fotografiar sus manuscritos, Morgenstern y Gódel se diri-

gieron a la Fundación Rockefeller para solicitar una subvención. De

pronto, todo el mundo parecía interesarse por Leibniz: una empre-

sa alemana había pianeado realizar este mismo proyecto con fines

comerciales, y Paul Schrecker, de la Universidad de Pennsylvania,

andaba a la caza de los textos. Aunque "el aparato necesario para

editar la obra de Leibniz" se encontraba, en su opinión, en manos

rusas, fire él quien finalmente completó la tarea. Mientras tanto,

Menger y Gódel comentaban el avance de las investigaciones:

-ZY quién podría tener interés en deshuir los manuscritos de Leib-

niz?

-Pues rfít chro: lrrs c¡ue no ryieren que el serhurnnn sü mús íntelígcnte .-iPor qué no censurar, entonces, al irreverente librepensador Vol-

taire?

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-ZAcaso alguien en el mundo se ha vuelto más inteligente reyendoa Voltaire?

Más adelante, Gódel pasó a interesarse por Husserl y err susúltimos años también sostuvo la teoría de que, de haber pubricadotodas las consecuencias der empreo del método fenomenológico,el filósofo aremán habría sido asesinado. Este síndrome de la cons-piración sería, desde entonces, una constante en la üda de Gódel.cuando fue inütado a pronunciar una conferencia con motivo delcongreso sobre probremas matemáticos en er que se cerebraba elbicentenario de la rundación de la universidad de princeton, veíaen los preparativos para su organización claras eüdencias de unsecreto sólo comparable al proyecto Manhattan, y el hecho de queIas actas no llegaran nunca a publicarse no hizo sino confirmarsu idea de que algo se tramaba mientras las mejores mentes delinstituto discutían. Aún así, aceptó participar en ia primera sesióndel encuentro, donde ensalzó cómo el concepto de computabili_dad había permitido que, por primera vez, se definieran nocionesepistemológicas tan interesantes como Ia de qué es dernostrabrey qué no, con independencia de un lenguaje concreto. Gódel pro_ponía, en este caso, dos sugerencias "artamente especurativas,,.relacionadas con Ia incorporación de axiomas de infinitud.

Ciudadano Gódel

En abril de 1940, tras la llegada de Góder a princeton, er directordel Instituto de Estudios Avanzados había escrito ar cónsur aremánen Nueva York y al encargado de asuntos exieriores de la embajadapara solicitar una prórroga de su permiso de saiida, que caducaba afinales de julio. Gódel intentaba seguir dos vías opuestas de actua-ción: por un lado, pensando que podría acarrearie problemas conlas autoridades aremanas, al lregar a ros Estados unidos había de-clarado que no estaba entre sus intenciones pedir la nacionaridad;pero' en cuanto le renovaron er permiso de sarida, inició los trámites

para convertirse en ciudadano estadounidense. Uno de los primeros

obstáculos con los que tuvo que enfrentarse fue que, como Gódel

y Adele habían salido de Viena poco después de la anexión, pensa-

ban que los Estados Unidos ya no reconocían a Austria como país

independiente: así, al haberse registrado como alemanes, fueron

sospechosos durante mucho tiempo de simpatizar con el nazismo.

Cuando en l947,.dgspués de que se aclararan los malentendidos,

Gódel pudo al fin nacio¡ralizarse, tuvo lugar una de las anécdotas

más conocidas de la historia de nuestro protagcnista.

Como todos los solicitantes, Gódel debía dar cuenta de su co-

nccimiento de la legislación estadounidense en un examen sobre la

Constituciór'r. Dada su altura intelectual, yteniendo en cuenta que el

juez era amigo de Einstein, la prueba podría haberse reducido a un

mero trámite, pero Gódel quiso prepararse a conciencia. Conforme

se acercaba el día, no pudo eütar confesarle a Morgenstern, que

acudiría, iunto a Einstein, de testigo, que acababa de encontrar res-

quicios lógicos que hacían de la carta magna americana un sistema

inconsistente. Al principio, tal vez lVlorgenstern se habría tomado la

noticia como otra extravagancia más, pero rápidamente compren-

dió que, ccn lo obstinado que era Gódel, en cuanto le dejaran ex-

poner su descubrimiento peligraría la obtención de la nacionalidad.

Por tanto, Einstein y Morgenstern decidieron distraer a Gódel en la

medida de lo posible: antes de subiral coche, Einstein le preguntó si

estaba listo para su penúltimo examen - aím quetl.n nurcho para el írhínrc,

$ferl-, y, después de esta pequeña broma macabra, contó historias

de un cazador de autógrafos que lo perseguía. Al llegar al juzga-

do todo parecía estar bajo control, pero el juez Forman comenzó

diciendo:

-Usted tenía hasta ahora la nacionalidad alemana.-Ferdc¡ne, señor, austríaca -corigió Gódel.

-Ah, ya, el maldito dictador. Afortunadamente, eso no es posible en

América.-Al contrsrío -interrumpió Gódel-: iyo sé cómo!

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Viendo el desastre que se avecinaba, el juez, al que quizás

hubiera advertido Einstein, trató de acallar a Gódel, que comenzaba

a exponer con pasión sus descubrimientos, y llevó el examen hacia

preguntas rutinarias: "'lhmpoco es necesario meterse en honduras".

Hoy, la lógica déontica se ocupa precisamente de evitar que cuando

se incorporan nuevas leyes a un código ciül surjan contradicciones

o equívocos. Una semana más tarde, esta vez sin incidentes, Adele

también obtuvo sus papeles. De la ceremonia posterior ambos se

rnarcharon con /n ídctt ,lc qut la nncíc'tnllid úd nucrícitnt, nl contrttrío i;ue cnsí

tttdas lns dt'nns, realnt'nf c sígníficolro algo.

Sin llegar en ningún caso a convertirse en un patriota, la na-

cionalidad americana aumentó el interés de Gódel por la política,

hasta el punto de que en una carta escrita a su madre en 1952 con-

fesaba que, durante dos meses, su preocupación por el estado ciel

país le había impedido concentrarse en otra cosa. Lamentaba elplan de'liuman para promover la histeria anticomunista, y la caza

de brujas del senador McCarthy -que había llegado a perseguir a

algunos científicos muy próximos, como Oppenheimer- y la carre-

ra armamentística le habían llevado a cuestionarse la moral de su

país. Estas opiniones las expresaba sin reparos en largas cartas a

su madre, sin ser consciente de que el correo entre los Estados

UniCos y Austria estaba ügilado. No es de extrañar, entonces, que

el FBI tuviera conocimiento "para propósitos informativos" de dos

extractos de su correspondencia en los que al parecer había mani-

festado una actitud procomunista. Gódel sólo escuchaba hablar de

la defensa de la patria, el serücio militar obligatorio y la inflación, y

estaba convencido de que ní en Ia mós ne .qra Alemsní¡ de Hítler Iss cosns

habían estldo tsn tnll:

Eínsteín alertó olmtntdo delos pelígros debuscar Lt pazrearnántloseo ínthníd¡ncJo nl adt,ersarí0. Díio que este procedímíentl n0 contlucírí¡ aItt paz, síno a ln grerra, y estaba en lo cíerto. Es bíen ssbido que el otrontétodo (íntentar llegar a ut ttarcrdo amístoso) ní síquíernJue íntentado

plr Afiúrícfi, síno rechnzttdo desde el príncípío [...]. una cosct es clara:

bnjo el logan de "denocracitt" Atnéríca está jugondo con Ia guerrn.

Más adelante se mostraría aún más pesimisla: vivitttttsenLfittttutl-

do eil el Lfte el fill)entú) fltleveptr cíentl dclas cosasbellns-iu,:ron destruídss

ntíuffrss lsro;aban. Como muchos otros intelectuales, Gódel anhelaba

un cambio de gobierno, pero no apoyó a Stevenson, sino a Eisenho-

lver en las elecciones de 1952; Einstein iba proclamando: "ZSabéis?

Gódel se har,rrelto loco: ihavotado a Eisenhower!".Aunque le preo-

cupaba la situación de Oriente Medio, en la que preveía un conflicto

de dimensiones mundiales, consideraba que era demasiado pronto

para otra guerra y que el nuevo presidente, nlguíeu fu los que sólo llega

al poder cnd¡ cím aio-<, haría todo lo posible para irnpedirlo. Como

señala Dawson, en las cartas a su madre Gódel aparece, como en

ningún otro sit io, inmerso en los asuntos cotidianos. Por esa época

había recuperado el gusto por la cultura de sus primeros años en

Viena: iba a la ópera, frecuentaba los museos de arte moderno y

leía a Gogol ,Zweig y Kafka, sus contemporáneos favoritos.

Las noticias que Gódel recibía de su madre no eran esperanza-

doras: aunque ella había sobreviüdo al nazismo, varios familiares

habían muerto en cámaras de gas, y el estado se había incauta-

do de una parte considerable de la casa de Brno. Reestablecer el

contacto con la familia de Adele fue más difícil, y cuando al fin lo

consiguieron se enteraron de que su padre había muerto. Así las co-

sas, Adele quiso viajar a Europa para cerciorarse de que su madre

estaba bien, y Gódel estuvo de acuerdo en que una üsita mejoraría

mucho el estado anímico de su mujer. Sin embargo, él se encon-

traba muy a gusto en América , donde Ia gente es díez veces mós shnpálíca

;t todo jmcí0flú mejor, y no tenía intenciones de acompañarla. Gódel

siguió escribiendo a su madre una carta larga más o menos una

vez al mes: ie contaba sus nuevas investigaciones e incluía siempre

algo de dinero para que pudiera seguir manteniéndose. El tono era,

por lo general, muy relajado, salvo algunas incursiones de su madre

en el tema de la comida y la relación con Adele.

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Gódel se sentía totalmente libre de discutir sobre religión con

su madre, de modo que las cuatro cartas que se escribieron entre

el verano y el otoño de 1961 constituyen un documento imprescin-

dible para entencler su posición. Con una mezcla del cristianismo

tradicional y de la fe decimonónica en el progreso, Gódel criticabaque la mayoúa de los filósofbs modernos entendiesen que su obli-gación primera era sacar a Dios de las cabezas de la gente. Atmque

estamosiEos de ser capaces dedarb,tse científics als¡,ísíónteológícn dclnrmdo, esinjustif icado sostener que nada de lo religioso es accesible median-

te el entendimiento. Gódel creía que hayüda más allá de la muerte,

esgrimiendo un argumento poco consistente para su formación delógico: It cíencítt ha nostrad.t ryrc Ia regularídnd 7 el ordm prevttlecen so-bre tc,das lns cosas, así que el mundo está racionalmente organizado.

Entonces, si no hubiera otra vida, no tendría sentido crear al serhumano, con todo su potencial de comprensión v desarrollo, paraque sólo pudiera conseguir tma de cndtt cien costts de las qte es cttpca. Enese "paraíso intelectual" que imaginaba Gódel, el hombre seguiría

recordando todo lo aprendido y accedeúa a nuevas verdades conla misma claridad con la que se percibe que 2 x 2 = 4.

Viajes en el tiempo

A finales de la primavera de 1946, cuando Gódel estaba termi-nando su artículo sobre la hipótesis del continuo para el Monthly,

Schlipp Ie inütó de nuevo a colaborar con Ia "Biblioteca de filósofos

üvos", en este caso en un libro homenaje a Einstein con motivode su sexagésimo cumpleaños. Schlipp esperaba que escribiera'un

artículo informal sobre su amistad con é1, pero Gódel presentó unasesuda reflexión sobre los nexos de la teoría de la relatividad conla filosofía idealista, qué retrasó varias veces la entrega del manus-crito. Después de muchos trámites, Adele había conseguido üajar

a Europa para reencontrarse con su madre y arreglar algunos pro-

blemas del piso que todavía poseían en Viena. Durante los sietemeses que permaneció allí, Gódel se sumergió en la relatiüdad,

como sólo había hecho antes con el teorema de incompletitud o la

hipótesis del continuo. Morgenstern y Einsteirr procuraban ügilar-

lo desde lejos y cenaban con él varias veces por semana, aunque

durante algún tiempo, mientras ambos estaban de viaje, tuvo que

ser Gódel qulen cuidara de sí mismo. Sobreüvió, y finalmente pudo

pubiicar 'A remark about the relationship between relatiüty theory

and idealistic philosophy" ("Una observación sobre la relación entre

la teoría de la relatiüdad con la filosofía idealista").

Ltk't Ll( It)s aspecfls míts ínferesnnfes tJe la tcoría de ln relatívídad parn

Lma perslnú con ínre,resesflosójccs consísie en elhecho de ryrc proporcíonó tuttt

t,ísíón nttvrt ) sorpr¿vfl¿,,te de Lt naturdleza del tíempo, ese ente místeríoso

/ tl|tnv¿¡¡t,nrnte cctnfrsdicforío que, pLr 0tr6 larte, parece canstítuít' Lt bnse

de Iq exístencítt del mwu,lo I de nue*ra prlpía exístenri¿. Einstein había

imaginado a un pasaiero subido en un tren de alta velocidad, y

se había preguntado si los sucesos que una persona situada junto

al terraplén veía exactamente en el mismo lapso de tiempo eran

también simultáneos para el üajero. Para Gódel, el punto crucial

de la teoría estaba en replantearse el significado absoluto de la

simultaneidad: desde el momento en el que un observador, con

las mismas pretensiones de validez que otro, puede asegurar que

A ocurrió antes que B, afirmaciones del tipo "los sucesos A y B

son simultáneos" pierden su objetiüdad. Esto lo consideraba una

prueba inequívoca de que filósofos como Parménides y Kant habían

dado en la diana al rechazar la naturaleza objetiva del cambio y ei

tiempo: es el sujeto quien los pone. Hay en estas reflexiones una

extraña confusión entre la relatiüdad y la subjetiüdad del tiempo,

pues, de la misma manera que las propiedades "de estar cerca" o

"ser menor" son relativas, pero no subjetivas, Einstein sólo había

puesto de relieve la necesidad de referir las propiedades de un

objeto a un sistema de coordenadas. En particular, el tiempo de

un suceso sería relativo a dónde se coloca el reloj que lo mide.

Sin embargo, introduciendo un sistema de referencia móvil, que

se desplaza con las galaxias, la relatividad general permitía que los

observadores sincronizasen sus relojes con un tiempo universal,

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Ahora bíen, en todas lc¡s solucíones cosnológícas de lns eancíttnes

gratitatorías (es decír, en todr,s los uníversos posíbles) qne se cuk)cefl

hasta el presente,los tíempos locales de todos estos obsat't atlores se cncnjnne ot unsalo tíempo rmír,etsttl, demotlo ryrc, porlo cyeplrcce, resukn posíbleconsírlerar este tíenryl cotno el "verdsdeni,' qtrc durn objetít,antene,

ntíenfrss ryrc las díscrepnncías en los rcsultadas cle Ins nedídrts de otrosobservstlores resl,':ctl dc estc tíew¡'o pueden cansídersrse conn Lebídasa la hlluencín que ejerce un tnoyíníento rdatí'lo nn reslectl ql estadomedío dcl moyímíento de Is mstcrín sobrc los l1t'(lrcsos de msiícíón y losprocesosfísíros ;n guw'nl.

En el curso de sus investigaciones, Gódel se había dado cuentade que, en los modelos cosmológicos que satislacen las ecuacioneseinstenianas del campo graütatorio, la existencia de un "tiempocósmico natural" era posible siempre que la materia no estuvieseen rotación. Se propuso, por tanto, construir un nuevo Universo enel que el tiempo perdiera de una vez por todas su carácter absoluto.En el artículo "An example of a new type of cosmological solutionsto Einstein's field equation of graütation" ("Un ejemplo de un nuevotipo de soluciones cosmológicas a las ecuaciones einstenianas delcampo graütatorio"), publicado por la Reuieu,¡s of Modern Physicsen 1949, Gódel presentaba un espacio-tiempo homogéneo, pero noisotrópico (no igual en todas las direcciones para cada observador,pues está sometido a una rotación de la materia), inñnito y concurvatura constante. No se trata, en cualquier caso, de un modeloque pueda representar el mundo real, ya que no se observa elefecto Doppler que lo caracteriza. Estudiando las distancias entregalaxias, Hubble se dio cuenta en 1929 de que en los espectros dela mayoría se observaba el desplazamiento al rojo característicode las fuentes de luz que se alejan, el mismo fenómeno por el queescuchamos más agudo el tono de una sirena de policía cuanto más

cerca se encuentra. De repente, el universo dejaba de ser estático,

de tamaño fijo, como se había creído hasta entonces: no sólo se

expandía, sino que, cuanto más lejos estaba una galaxia, mayor era

su velocidad de despedida. Dado que sus soluciones presentaban

un universo estacionario, Gódel no podía pretender que el modelo

cosmológico fuera real, pero el nertt hecho de Ia compntíbílídacl con las

Iryes del¡ tnttu'aleza dalos Lrnít'ersos e4los cpte no puede exístít' un lapso objetít'o

ie tíempoirrojn nlgo de lt¡z srrlrrc su sígníficrtdo tnntbíén cn los Ltnítttrsls ett lls

cyrc se ptrcrle definír tn tienpo absoluro.

Lo que más llamó la atención de la cornunidad científica fue la

existencia de líneas de tiempo cerradas en los Universos rotatorios

de nuestro protagonista. Hasta la fecha, en todos los modelos cos-

rnológicos conocidos, si dos sucesos P y Q estaban situados sobre

la misma línea del Universo, P precedía a Q, o bien P era anterior

a Q, es decir, las trayectorias no volvían a aproximarse a ninguno

cle sus puntos precedentes. I-a inexistencia de bucles temporales

no es, sin embargo, consecuencia necesaria de la relatividad; así,

en el modelo cosmológico de Gódel, que satisface las ecuaciones

del campo graütatorio igual que todos los demás, podíart encon-

trarse dos líneas de universo de tal forma que en una de eilas P

fuera anterior a Q, y en la otra Q precediese a P. Este sorprendente

descubrimiento abría las puertas a los üaies en el tiempo, pues,

como escribe el propio Gódel, "si en estos Universos hacemos un

üaje de idea y r,uelta en un cohete sobre una curva suficientemen-

te amplia, es posible viajar a cualquier región del pasado, presente

y futuro, y volver, exactamente del mismo modo, como en otros

universos es posible liajar a regiones distantes del espacio". A Eins-

tein, que pronto se interesó por las contribuciones de su amigo,

estas posibitidades le habían hecho pensar durante mucho tiem-

po; por eso, quería saber hasta qué punto los üaies en el tiempo

tendrían consecuencias para el universo real. La primera paradoja

que siempre se plantea es una versión modemizada del mito de

Edipo: así las cosas, un üajero en el tiempo podría remontarse a

la infancia de su padre y matarlo, tal vez por accidente, sin intuir

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el futuro de su rostro, antes de que lo hubieran concebido. Esfascontradíccíones y ctras símílares -dice Góde l- parn probor In hnposíbílídad deIt¡s unhtersos en consíderacíón presLrplfien que es realnente lrrqúícnble el víaje deuno mísmo n su pasado. La energía que sería necesaria para alcanzarunavelocidad de al menos 212.000 kilómetros por segundo "superaen mucho cualquier magnitud que pueda esperarse nunca que seauna posibil idad práctica".

Gódel se tornó tan en serio las nuevas soluciones a la ecuaciónde Einstein, que descendió por una vez de la torre de ma,rfil desu razón pura en busca de datos empíricos con los que apoyar sumodelo. Según cuenta el físico John A¡chibald Wheeter, "Gódel, alque teníamos por el matemático entre los matemáticos, había co-gido una regia, había calculado los ángulos y, tras confeccionar unatabla estadística con esos valores, había concluido que, teniendoen cuenta el margen de error estadístico, no existía un sentido derotación preferido por las galaxias". Como Gódel escribe en unacarta a su madre, estos problemas habían hecho que liberase sumente de cualquier otra preocupación. Tal vez hubiera preferido

trabajar menos horas diarias, pero le resultaba imposible: cuandoiba a ver una película o escuchaba Ia radio, Iohacía sólo con nedio ttído.Mientras algunos autores han puesto en duda la importancia cle laobra cosmológica de Gódel, para otros sus bril lantes ideas repre-sentan un punto de inflexión en el desarrollo de asuntos centralesde la relatividad moderna.

El 7 de mayo de 1949 Gódel dio una charla sobre sus descu-brimientos en el Instituto de Estudios Avanzados. Durante días, suspalabras se conürtieron en la comidilla del nutrido público: aun-que todo el mundo conocía su amistad con Einstein, "nadie podíasospechar que Gódel supiese tanta física". Como ya había ocurri-do con el teorema de incompletitud, pronto se publicó un artículoen los Proceedings of the National Acodemy of Sciences cuyos au-tofes refutaban los cálculos de Gódel, aunque más tarde se com-probó que todo se debía a un malentendido. En agosto de 1950,

Gódel habló ante el Congreso Internacional de Matemáticos, cele-

brado en Cambridge (Massachussets), donde presentó sus nuevos

resultados, "Rotating universes in general relativity theory" ("Uni-

versos rotatorios en la teoría general de la relatividad"), en los que

ya no hay líneas cerradas ni son posibles los viajes en el tiempo. En

el público había centenares de personas, y Gódel recibió muchos

aplausos antes y después, pero echaba en falta que sólo el diez por

ciento de los asistentes ünieran del extranjero. Circularon otra vez

rumores de que había conseguido demostrar la independencia de

la hipótesis del continuo, pero que nc quería publicar sus resulta-

dos. En su lugar, Gódel dio a la imprenta sus nuevas soluciones de

ias ecuaciones einstenianas en un artículo un tanto enigmático en

el que muchas de las propiedades se presentan sin demostración.

Poco después, deió de interesarse por la cosmología.

Un intervalo de racionalidad

Tras la urelta de Adele, ambos se establecieron en una ruti-

na acogedora: los domingos no se levantaban hasta el mediodía,

desayunaban juntos, y luego Gódel pasaba el resto de la tarde le-

yendo el Netu York Times. Odiaba las comedias, pero le gustaban

las películas de Disney, sobre todo Bambi y Bloncanieues, y solían

ir juntos al cine. Por fin |os malos aires parecían haberse esfumado

de su üda: cuando Morgenstern cenó con él a principios de 1947 lo

encontró muy delgado todavía pero de excelente humor. Se había

dado cuenta de que "nadie vive el tiempo suficiente para hacerlo

todo", pero continuaba irabajando en un problema de ecuaciones

diofánticas muy en relación con su primer teorema de incompleti-

tud.

Una ecuación diofántica -bautizada así en honor al matemático

Diofanto de Alejandía- es un tipo particular de ecuación algebrai-

ca de la que sólo interesan sus soluciones enteras. Por ejemplo,

f + yt = 23, que no tiene soluciones enteras distintas de la triüal, o

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2x+3y = 1, que satisfacen todos los pares de la forma (2+3), -l-2^),

sin más que dar a 2 valores enteros arbitrarios. En general, una ecua-

ción diofántica de incógnitas xt,x2, ...,x, ', puede escribirse de la

forma Q(x' . . .xn) = 0. Así, es posible hablar sobre las soluciones de

una ecuación diofántica introduciendo un prefijo de cuantificadores

existenciales y universales a su expresión general. Si quisiéramos

decir que ninguna n-tupla de numeros enteros satisface la ecuación,

podemos escr ib i r - lxr . . . - lxr(Q(xt . . .xn) = 0), y, para señalar

que la existencia de soluciones es independiente del valor que to-

me la pr imera incógni ta,Y x1ax2.. . lxr(Q(x, . . -xn) = 0). Gódel se

dio cuenta de la analogía entre las ecuaciones diofánticas y el modo

en que se habían definido las relaciones recursivas primitivas. Re-

cordemos que ciertas fórmulas, de números de Gódelx¡ ,x2, . . . ,Xn,

verifican estas relaciones si existe una función recursiva primitiva talque /(x1 ' . . xn) = 0, de modo que cabía esperar que la sentencia in-

decidible 17 Genr tuviera un correlato diofántico. En 1934, después

de consideraciones muy técnicas, Gódel había l legado a la conclu-

sión de que *ístewnlrLv0sícíóns0brelsssolt¡cíonesdt ttn¡enracióndíoinntica

c!rc n0 es dtcídíble en nu¿stro sísfemn_fortnrtl. Puede probarse que es decídíhle en dtíyto ínnedíatnmente síguiente, pero cntonceslM) utrü nueva a¡rnarión qrrc il() es

decídíble ínclusl en esetípl,) nsí sucesívametfs. No existe una teoría comple-

ta del análisis diofántico, como vendría a confirmar Ia solución ne-gativa al décimo problema de la lista de Hilbert (determinar si existe

un algoritmo que decida si una ecuación diofántica arbitraria tiene

solución), que obtuvo el matemático ruso Yuri Matijaseüch en 1970.

Las constantes mudanzas de los Gódel terminaron cuandoAde-

le encontró la casa de sus sueños, que acababa de salir a la venta en

el 129 de Linden Lane. Era un bungalow con todas las comodida-

des modernas: situado en una calle tranquila, con un salón grande

y chimenea. Su precio era mucho mayor del que podían permitirse,pero Adele estaba tan decidida a comprarlo a cualquier precio, que

lo hicieron endeudándose de por vida, gracias a la ayuda de Oppen-heimer, por entonces director del Instituto, que pensaba que la casamerecía la pena. De distinta opinión era Morgenstern, al que no le

Kurt y Adele Gódel"

en su casa de 1a cal1e Linden Lane de Pr inceton

gustaba el barrio, demasiado lejos como para carninar hasta el IAS T

y las tiendas. Después de que se rrrudaran, en septiembre cle 1949, 3todos los visitantes coincidían respecto a la pésima decoración: a ]Adele le gustaban los candelabros y había puesto un flamenco de 3

plástico rosa en el jardincito de la entrada. Pero era un lugar en el q

que Gódel podía investigar sin sentirse molestado. -o

Tras un largo intervalo de buena salud y racionalidad, la si- :tuación empeoró considerablemente. En febrero de l95l Gódel ar

sufr ióunahemorragia 'ComoConSeCUenCiadeunaúlceradeduo.<

deno, que lo mantuvo varios días al borde de la muerte; en el l

hospital llegó a dictarle un testamento a Morgenstern. Por suerte, íGódel consiguió recuperarse y, de vuelta a casa, Adele lo mimó más 3que nunca. En los meses posteriores, como él mismo confesaba, J'

se olintntó 1'ríncípalnente dc mantequíIlr7, huevos,leche y comidas de ;bebé. l'enía prohibidas las sopas, el pan tiemo y la fruta ftesca, Epero, a pesar de las l imitaciones de su dieta, su aspecto había me-

Ijorado. Para animarlo, Oppenheimer pensó en proponerlo como Hcandidato para la primera edición del premio Einstein, que se con- E

cedería, a partir de entonces, cada tres años. Gódel no sólo era la

persona indicada por su amistad con el físico y sus trabajos más185

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recientes de cosmología, sino que la concesión del premio vendría

a reparar la falta de reconocimiento público por sus teoremas de

incompletitud, y los quince mil dólares de dotación le ayr-rdarían a

hacer frente a las facturas médicas. El resto de los miembros del

comité (Von Neumann, Hermann Weyl y el propio Einstein) estaban

también entusiasmados con la propuesta, pero ya habían decidido

concedérselo a Julian Schwinger, un físico y matemático de Har-

vard que recibiría el Nobel algunos años después, y lo sabía uno

de los patronos de la fundación. Finalmente, el jurado decidió que

ambos compartirían el premio, y, mientras se recuperaba, Gódel

recibió con euforia la noticia: aunque era casi alérgico a las cere-

monias. su trabajo por fin había sido valorado en su justa medida.

Durante el acto público, Oppenheimer alabó la obra de Schwinger,

yVon Neumann dijo aquello de que los teoremas de incompletitud

"podúan siempre diüsarse desde remotas distancias en el espacio

y en el tiempo". En medio del ambiente festivo, Einstein entregó la.s

rnedallas: "Ésta, querido amigo, es para ti: iaunque no la necesites!".

Pero Gódel sí la necesitaba. Éste fue el comienzo de una cadena

sin fin de reconocimientos, como su incorporación a la Academia

Nacional de Ciencias y la London Mathematical Society, o los doc-

torados honoris causo por las universidades de Yale y Harvard. De

pronto, Gódel no veía con tan malos ojos salir de Princeton, e incluso

volvió a tener la idea de üajar a Europa para buscar los manuscri-

tos de Leibniz y hacerle una visita a su madre, a la que llevaba

sin ver once años. Se escribieron muchas cartas durante el verano,

pero cuando llegó septiembre, para la desesperación de su madre,

Gódel no se encontraba con fuerzas; además, lo habían invitado a

dar una charla ante la American Mathematical Society en diciembre

de ese año. Se trataba de la prestigiosa conferencia Gibbs, uno de

los puntos centrales de la reunión de Ia sociedad, y Gódel era el

primer lógico de la historia al que se le ofrecía tal honor. En "So-

me basic theorems on the foundations of mathematics and their

philosophical implications" ("Algunos teoremas básicos sobre los

fundamentos de las matemáticas y sus implicaciones filosóficas"),

Gódel consideraba que, se adopte el punto de üsta filosófico que seadopte, la inexhaustibilidad de los sistemas formales termina siem-pre apareciendo. Reflexionaba también sobre las relaciones de suobra con el conocimiento de la mente humana, en la línea de otrosautores que habían üsto en los teoremas de incompletitud el findel mecanicismo. Gódel estaba seguro de que tl trabajo dela mcntehurn,a no pueJe ser reducídtt nl del cerebro, r1ue en aparítncío de toclos es rmctmítc1uíttct-finíttt, aunque sus argumentos no eran de tipo matemático,sino filosóñco. Gódel aprovechó de nuevo para criticar a quienessostenían que las matemáticas eran de nuestra entera creación,pues, en ese caso, sería díflcílnente concebíble c\ue algutios 1;robleina de ítn-portnncíallet arttn tqilto tíeffipl sín sttlucíón. Él seguía siendo un platónicoconvencido:- los objetos t hechos matemcttícos exíst*t objetír,antentc 7 con ín-depcndencia de mrestrls acfls y decísíttnes mentales;,forman una renlídatd ohietívanryeríor qtrc no podemos crear ní ctunbísr, síno sólo percíbír y tlescríbít .

Junto a una tumba abierta

Cuando Gódel fue nombrado, por fin, profesor del Instituto deEstudios Avanzados, ya había comenzado su retilo de las matemáti-cas: después de la conferencia Gibbs, no dio ningún seminario, ytampoco asistía a las clases de otros profesores (Br ni t ídahe dírísídouil semínnrí0, ,v tS ufi plitt tdrdt etnpe:ttr !1./0s iitt(LtetÉa ) nueve. No so1 bimoefi esús cL)sús de todos ntttdos. \[ntcn t,o1 a it''n-ferencías porclue tengo díjutltctdespnrn sryuírlas, aLtilque cü.tlzcübíen el tetna del cye rratnn). Gódel dejó sinterminar un ensayo, en el que refutaba la idea de Carnap de quelas matemáticas son sintaxis del lenguaje, para la misma colecciónen la que ya se habían publicado sus reflexiones sobre la lógicade Russell y la filosofía de la relatiüdad. Todo su trabajo se redujodurante mucho tiempo a revisar artículos anteriores o superüsar latraducción al inglés de sus textos alemanes. En cuanto a las laboresadministrativas del instituto, tenía que encargarse sobre todo de laselección de los lógicos que serían inütados cada curso. Sus co_legas pronto le cedieron completa autoridad, para evitar las largas

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deliberaciones y las llamadas telefónicas a horas intempestivas. A

finales de 1954, Gódel sufrió una depresión más fuerte, que le hizo

creer que moriría de un ataque al corazón'

La rnuerte, en un intervalo relativamente breve, de tres de sus

mejores amigos (Einstein, Von Neumann y Veblen) no contribuyó a

mejorar su estado. La que más le impactó fue la de Einstein, en

abril de 1955. A diferencia del resto de la comunidad científica,

Gódel no sabía nada de los problemas de circulación de Einstein,

que ll*aht w.ril dlLlftttiLh¡cíendr, tíc tac en su hfierittr, pues lo había visto

trabajando y defendiendo con ahínco sus ideas políticas hasta el

mismísimo momento en el que su reloj quiso pararse. Gódel deió de

comer y durante más de una semana no pudo conciliar el sueño;

se levantaba sobresaltado por extrañas coincidencias: i'n es au'íoso

qtrela m¡erte de Eirisfeí;t ytceJíers cxdctLTmsnfe cLltü ce dítts despttés del vigtsímo

qtinto anít,ersarítt ,h Infwdadór del Instítuto? Por entonces escribe a su

madre:

esas mismas fechas, Von Neumann se encontraba en un estado ter-

minal, pues había subestimado siempre los peligros de los ensayos

nucleares para la salud humana: se exponía al menos una vez al

año, en el laboratorio cle los Álamos, a intensas radiaciones y acudía

también a contemplar las pruebas de la bomba atómica. En agosio

de 1956 le detectaron un cáncer de huesos en el hombro y, aunque

trataba de sobrellevarlo con su habitual humor, en noüembre ya no

podía moverse de una silla de ruedas. El deterioro fue tan implaca-

ble que é1, que siempre había sido ateo, buscó refugio en la religión

católica: el cáncer le colapsó Ia meirte, pasaba las noches dando

gritos de terror, y así murió en febrero de 1957, con sólo cincuenta

y tres años.

Ln nuterte tle Eínsteín rne lm causttdo, desde luego, tuttt etklrffie

ímpresíón, Ilu$ ||0 mela espernba r:n absolttto. Estas úItínws Se,naflas,

píecísanen\e, ,lnbala seflsacíó, de estar ct¡nto m roble. En Ia medinhors

qtre camíníúafins íut1t|s hasta el lfistítufT, charlando al mísmo tíent¡ttt,

io mostrctbn eI menor sinfoma defatíga' cLtmlle oou'ríera flLtchrls ltras

yeces. Ello estríctantente personal, he perdído firuchísín1 i1fl su mlrcrte,

sobre todo teníendo en cueflta que efi sLts últhnos tlírts estulo qún nús

sínpatíco connúgo delo quehnbía estado ntffictt, ) me d.qbo la ímpresíón

C, qurr* nrortrirse nós exlr,verf í10- Hai que rercn,cer que .síenpre fhe

baín,,t, reservLldt. Ní que dacír tíene que mí estqLlo de sslud lta vuelÍo a

enrl,e0r6r esta ítfuina sena¡a, sobre todo por lo que respecta a! sueño St el

apitíto. pero en ufl p{v fls 66q5i¿tnes h¿ tonndo utl p,tefite sonmílbro 7,

ntúl qLtebíen, parece que vlj reatperartdo el control'

Más tarde, Gódel ayudó a ordenar los papeles que el físico había

dejado en su despacho, y en el acto conmemorativo celebrado en

su honor úguantó plf prítnera t,ez dos horas cotl'ryletns de Bach 7 Hn1dn. Por

En lugar de encerrarse en sÍ mis-mo, Gódel entabló amistad con otrosmatemáticos, como Kreisel y Bernays,que, después de su expulsión de laIJniversidad de Góttingen, no habíaencontrado un puesto fijo. La obrade Bernays y la de Gódel tenían mu-chos puntos en común; por eso, legustó recibir un artículo que Gódelescribió para un número homenajede la reüsta Dialéctica, en cuya fun-dación había intervenido. En el pri-

mer texto que escribía en alemán desde su exilio, Gódel planteaba

el estado de las pruebas de consistencia casi treinta años despuésdel segundo teorema de incompletitud. "Uber eine bisher noch ni-cht benútze Erweiterung des finiten Standpunktes" ("Sobre una am-pliación todavía no utilizada del punto de üsta finitario") comienzaexponiendo algunos rasgos de las demostraciones finitarias (*ilo senosyernite hablnr tle ol:_ittosnntentútícls enlnndíds en qrepodetnos señalarloso producírlos efectit antente ntedírtnte unl c0t6fruccíón), y luego propone eluso del concepto de función computable para traspasar el marcorestringido de Hilbert.

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Aunque, después del fin de la Segunda Guerra Mundial, Adele

üajó en varias ocasiones a Europa para üsitar a su familia, Gódel ya

no volvería a moverse de Princeton, y tuvo que ser su madre qrrien

lo fuera a ver. En 1958 Gódel le sugirió la posibilidad de que üajara a

América junto con la hermana de Morgenstern, pero finalmente fue

Rudolf quien la acompañó. Por aquellas fechas, la madre de Adele,

que empezaba a tener síntomas de demencia senil, üvía con ellos

en la casa, pero Gódel les buscó alojamiento en un hotel cercano.

El reencuentro fue tan agradable que su madre regresó otras tres

veces, una cada dos años. Tras la última üsita a Princeton su sa-

lud empeoró a marchas forzadas: en julio de 1964 se rompió un

brazo en una caída y, rnientras se recuperaba, sufrió un ataque al

corazón. Tuvo que permanecer en cama durante meses, hasta que

los médicos le diagnosticat'on una angina de pecho. Gódel trataba

de tranquilizarla a su manera: le escribía asegurándole que sólo

era una afección nerüosa, de la que se recuperaría antes de que

pudiera darse cuenta, y la animaba a tener pensamientos alegres.

Estuvo de acuerdo en compartir los costes del tratamiento con su

hermano Rudolf, pero nunca pensó en üajar a Europa, aunque Io

hubiera tenido muy fácil, ya que Adele veraneó allí en 1965 y 1966.

Precisamente se encontraba en Viena cuando su suegra murió, el

23 de julio de 1966, a los ochenta y seis años. Adele asistió al entie-

rro en representación de Gódel y, como resultado del mal tiempo,

volüó con una bronquitis. Gódel renunció a su parte de la heren-

cia; más tarde, ante los reproches de su hermano por no haber

acudido al entierro, se defendería con frialdad: ¿Plr qu¿ dabcríshtth¿r

pennanecído baio lalluvía dtrante una hora-1unto a una tunlba abíerta?

10 i l ,3 i : ; ; ,3; una mente

Aurrque nunca había sido muy sociable, en los últimos años desu üda Gódel se aisló de todo el mundo; salvo Oskar Morgenstern,

sus amigos habían muerto, y el instituto trasladó su oficina a la nue-va biblioteca, separada del resto de despachos. Amparándose ensu estado de salud, Gódel rechazaba cualquier inütación que leobligase a clejar Princeton por un día: no quiso asistir al homenaje

de la Universidad de Viena, ni a un gran encuentro sobre teoríaaxiomática de conjuntos. La mayor parte de sus colegas eütaronpresenciar sus crisis, primero intermitentes, y crónicas desde elotoño de 1975. Como en los dos episodios anteriores, Gódel sufríaataques paranoicos de hipocondría, pero Adele ya no se encontrabaen condiciones de calmar sus miedos. Ella misma había tenido que

retirarse de escena poco a poco, aquejada de hipertensión y artritis.Durante un üaje por Italia sufrió una apoplejía que la obligó a re-gresar inmediatamente desde Nápoles; unos meses después Gódelcreía que sólo le faltaba recuperar su espíritu de aventura, pero,

cuando Morgenstern celebró con ellos los sesenta años de Gódel,la situación que se encontró fue bien diferente. En 1968 Adele fue

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hospitalizada, y Gódel sufrió un ataque depresivo; a ella le resultaba

muy difícil moverse yya no tenía la energía necesaria para controlar

la alimentación de su marido.

Mientras tanto, Gódel üúa algunas rachas de normalidad. Pasó

muchas horas con Morgenstern después de que operaran al econo-

mista de un cáncer de próstata, y solía interesarse por su hijo, que

estudiaba matemáticas en Princeton; hablaban sobre economía,y Oskar lo encontraba "especialmente encantadcr". Sin embargo,

en enero de 1970 tuvo que llevarlo al hospital: Gódel estaba segu-ro de haber sufrido un ataque al corazón, y pronto mostró sínto-mas de paranoia. Pensaba que los doctores no le administraban losmedicamentos indicados y que alguien cambiaba cada noche lasdescripciones de su enfermedad en los libros de consulta. Dos díasdespués le contó por teléfono que estaba bajo un hechizo hipnótico;

era consciente de su debilidad, pero no la atribuía a la desnutrición,

sino a la libertad que le daba el instituto, donde no tenía que darclase ni organizar seminarios. En su siguiente visita, Morgenstern lodescribe como un "cadáver üüente", presa de las alucinaciones y

obsesionado con su enfermedad: estaba claro que no sobreüüría

mucho tiempo si no lo alimentaban intravenosamente. En abril de1970 Gódel lo llamó de nuevo, convencido de que estaba siendovigilado y de que entraban en su habitación para ponerle inyeccio-

nes contra su voluntad. Sí fircrss un t,erdadero amíqo nte trrcrías cínnuro

-le dijo.

Esta nueva crisis era la peor desde 1936, pero Gódel consi-guió recuperarse -gracias a alguna droga psicoactiva- con mayor

rapidez que de las anteriores. Durante el verano ganó peso yvolvió a

trabajar al instituto, y cuando Morgenstern lo visitó en su despacho

estaba "efervescente", ansioso por comentar sus riltimos descubri-mientos. Durante los tres años siguientes la salud de Gódel fue ex-traordinariamente buena: Oskar lo encontraba "lleno de üda", y losdos tenían larguísimas conversaciones sobre matemáticas, filosofíao religión. Al hablar con é1, Morgenstern entraba en "otro mundo",

con sus particulares interpretaciones de la guerra de Vietnam o elprograma espacial, que lo entusiasmaba. Gódel continuó añadien-do posdatas a sus artículos y revisando la traducción inglesa de"Sobre rrna ampliación todavía no utilizada del punio de üsta fini-

tario". Una de las notas a pie de página crecía peligrosamente, y,poco antes del plazo de entrega estipulado, Gódel decidió cambiartodo el sistema de deducciones. Comenzó también a trabajar sobredos asuntos que consideraba de exfrnordíilaríaunportonda: la forma-lización del argumento ontológico de san Anselmo y el hallazgo dela potencia real del continuo.

Gódel creía que, introduciendo los postulados precisos, podrían

explicarse conceptos metafísicos como Dios o alma que el Círcu-lo de Viena había rechazado de raíz; pero se resistía a publicar

sus resultados por miedo a que lo confundiesen con un creyente:como cuando se interesó por Ios fantasmas y los médium, sóloquería mostrar que la prueba ontológica puede llevarse a cabo enel seno de la lógica formal. En mayo de 1970 le envío a Tarski unmanuscrito titulado "Some Considerations leading to the Probable

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conclusion that the True Power of the continuum is lJz" ("Algunas

consideraciones que conducen a la conclusión probable de que la

potencia verdadera del continuo sea H2") para que le diera el üsto

bueno antes de enüarló alos Proceedings of the National Academy

ofsciences.EnseguidaSeencontraronerroresfatalesensurazona-

miento, y Gódel siguió repasándolo' seguro de que la hipótesis de

cantor era falsa: corregía su demostración, añadía úxi|tnas rú:01111'

bles alateoría de conjuntos y anunciaba la pronta publicación de

sus ideas. Pero él rnismo estaba convencido, y con razón' de que

sus resultados eran inCorrectos; ademáS, una vez que Se hubiera

jubilado, nhryunn prthlit¡ciótt t¡trts ftndttn sutítJo'

Exilio intelectual

MientrasGódelseencerrabaensímismo,enel inst i tutocrecían

los rumores sobre qué hacía con su tiempo libre' Según Rebecca

Goldstein, un grupo de doctorandos se teunía una vez a la sema-

na para poner en común sus pesquisas: entonces, alguien contaba

que lo había üsto leyendo poesía erótica en latín, y otro que todos

los libros sobre Leibniz de la biblioteca estaban en sus manos. Ya

sólo se comunicaba por teléfono: pedía a sus compañeros que lo

llamasen en lugar de ir a üsitarlo, y una vez le preguntó a Menger

qué había sido del algebrista Emil Artin, cuyo despacho estatra a

menosdecienmetrosdelsuyo.Aunquesiguióobteniendoresul ta '

dos interesantes, temía que sus ideas fuesen recibidas con desdén;

pensabaqueelposi t iüsmodesujuventudenVienainvadíaaho-

ra la enseñanza americarra. Así, cuando la universidad de Harvard

le inütó a pronunciar las prestigiosas conferencias william James,

rechazlla propuesta porque consideraba que sus departamentos

eran den"tasíado enrpírístns. Después de aceptar la publicación de un

nuevo artículo, cambiaba varias veces de opinión al día y se lo co-

municaba a sus editores. Gódel creía que exponer prematuramente

susideas,antesdecompletartodoslosrazonamientos,eradar les

un trato injusto, lo cual reafirma su arraigado platonismo'

L94 195

Entre l97l y 1972 sólo compartió sus pensamientos con Mor-genstern y Hao Wang, un profesor entonces en la UniversidadRockefeller. Wang se desplazaba a Princeton cada dos semanaspara charlar con Gódel y tomar nota de sus opiniones, que luegodiseminaría en De las matemáticos a la filosofía, Un uiaje lógico:de Gódel a la frlosofía y Reflexiones sobre Kurt Gódel, uno de losretratos clave para entender sus últimos años. En estas obras se vemejor que en ningún sitio su tendencia natural a la introspección:como san Agustín, Gódel sostenía que la verdad habita en el interiordel hombre y que es allí donde tenemos que buscarl a: ljlrú ay,renltrel ttrte de l¡íntrL)spcccíón,htw qrcsahe r cluéísnttrttr. una de ras funciones defa filosofía es, precisamente, gúr nin ínvestígacíón cíentíficn, porque /osrnattmátícos r ecluh"ocan. Así,los Ltosítit,ísfLrs st cultradícen nsínísmos alhablartlela íntroslteccíón, que il(1 rercnlrcil c0nr0 üperíencía. sín eml;argo, el concepfocie conjwffo n0 se lbúefie coma ctbstraccítin de lct exp¿yls¡1¡iíI. Gódel nuncadejó de sostener que /n-t costts dtben reducírse n las ídcns platónícns, perono estaba muy seguro de en qué momento deben mostrarse porprimera vez las verdades matemáticas. En el pasado, las conside-raciones abstractas se introducían demasiado tarde, pero la nuevapedagogía -creía Gódel- las había adelantado en exceso, pLrqlteun|tiene :¡ue soher alg.mas mafeffiátícss antes de nprecíar el vitlor y iabelleza:

Lo tlue delt mstñorse es d t,erilotlcran¡ffife asontbroso nútnerode tcorernas símyles )rno tt'itittles )trelacíones qtrc prevalecen en lnsftffttctlt(iticas [...]. Eu mí opíníón, cstg propídad de las nntentitícitsrefle_in cle nlgím modo el orden 2 h regularLlad que pretalecen en elmwtdo ü1ter0, que es nruchísínttt mayr de lo que le pnrece nl obscrt,sdor*perjcíal.

Durante el año siguiente Gódel fue mucho más sociable: quisorecibir el doctorado honoris causo por la universidad Rockefeiler,que se lo concedió a instancias de Hao Wang, y una semana des-pués de la ceremonia interüno en un acto de homenaje a Von Neu-mann, en el que preguntó si I al algo depnradAjko enlaídeademanúcluinaque cüxlzcú su pf0pí0 pflgra,na coffipletúmente . En ese momento, Gódel

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Góde1 junto a Hao Wang-

necesitaba más que nunca un grupo de amigos que le propusiese

comunicar SuS descubrimientos, "recordándole la conveniencia de

ponerlos por escrito y presionándolo, si era preciso". AveCes almor-

zaba con Abraham Robinson o Paul Bernays, pero para la mayoría

de sus colegas seguía siendo muy inaccesible, y había perdido todo

su interés por los asuntos del instituto. Casi todos los profesores que

se encontraban allí cuando él llegó habían muerto, y la lógica no

era ya una de las líneas prioritarias de investigación. Durante algún

tiempo, Gódel llegó a pensar que se celebraban reuniones sobre él

a sus espaldas.

Sí era cierto que muchos matemáticos no soportaban su apcyo

a la autoridad en las decisiones sobre la incorporación de nuevos

miembros al claustro. Así había pasado con John Milnor, que en su

prirher curso de carrera había confundido una conjetura topológica

con un ejercicio de clase, y desarrolló en poco tiempo una teorta

en la que el problema quedaba resuelto sólo como corolario de

otros descubrimientos de mayor em¡ergadura. El Instituto de Estu-

dios Avanzados quería fichar a Milnor, pero Oppenheimer se opuso

en firme, arguyendo que había prometido a la Universidad de Prin.

ceton que no le robaría a sus cerebros' Como todos los demás'

Gódel estaba deseoso de que la ioven promesa comenzase a tra-

bajar con ellos, pero la intervención de oppenheimer le hizo votar

en contra' "Esto cayó tan mal en el departamento que se decidió,unánimemente, que en lo sucesivo la lógica se trataría por separa_do". Algo similar vorüó a ocurrir años más tarde, en un caso cuyaonda expansiva sacudió incluso a ros periódicos. Er nuevo directordel IAS había propuesto construir una facultad de ciencias sociales,y muchos científicos desenterraron el hacha de guerra. El primernombramiento fue aceptado, pero cuando se propuso ra incorpora-ción de Robert Bellah, un sociólogo de las religiones, comenzaronlas disputas: "Muchos de nosotros -decía un matemático- nos he_mos molestado en leer su insignificante obra. He üsto candidatosflojos, pero jamás había tenido la se'sación de estar perdiendo eltiempo tan miserablemente". En la reunión Gódel habría tomadola palabra para pedir que se rristinguiese entre h í,fruencín y l0 yer-dad ob-ietíva de las ideas de Beilah, pero, aunque esiaba en-contra,terminó absteniéndose.

En mayo de 1975, ra universidad de princeton decidió conce-derle el reconocimiento que tantas veces le había negado. Hastael misnro día de la ceremonia, paur Benacerraf, el principar artíficedel doctorado, trató de convencerlo de que asistiera, pero Gódelpensaba que Io propío htbrt't silo r¿ribirlo hsrc dícz años, armismo tiem-po que los de Yale y Harvard, y nunca se ilegó a reer la raudatio delprograma:

"su revolucionario análisis de métodos de demostración gene-ralmente aceptados en la rama más conocida y elemental de lasmatemáticas, la aritmética de los números enteros, ha sacudido I'scimientos de nuestra compresión tanto de ra mente humana ct_¡-mo del alcance de uno de sus instrume'tos favoritos: el métodoaxiomático. como todas ras revoluciones de importancia, ésta nosólo ha puesto de rerieve los rímites de los üejos métodos sino quetambién ha demostrado ser un fértil manantiar de nuevos métodos,engendrando a su paso inéditas y florecientes disciprinas. y la rógica,las matemáticas y ra filosofía siguen beneficiándose enormementede su genio".

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Tres meses después tampoco quiso recibir ia Medalla Nacional

de la Ciencia, que le había entregado en Washington el presidente

de los Estados Unidos.

Ya sólo tomo decisíones nrytiYas

La hipocondría y la seguridad de Gódel en lo verdadero de

sus luicios ponían en peligro su salud: seguía teniendo ideas muy

extrañassobrelama|nutr ic iónynoestabadispuestoarecibiraten-ciónmédicacompleta.DurantetreintaañosGódetredactóundiar iopormenorizado de sus problemas cle estreñimiento' y se tomaba la

temp...tur. varias veces al día' Viendo el cóctel de laxantes' toclos

ellos autorrecetados, que tomaba cada mañana' Morgenstern se

sorprendía de que siguiese üvo' En 1974 los problemas de salud se

trasladaron de la mente al cuerpo: su próstata se había ensanchado

hasta tal punto que le bloqueaba los concluctos urinarios' A pesar

de los fuertes dolores y de las súplicas de Adele' creía que todo

podía controiarse bebiendo leche de magnesio y se resistió hasta

Lt nna a ser l'.ospitalizado' E'n abril le introduieron un catéter' que

se arrancó al cabo de unos días; los médicos que lo trataban no

sabían qué hacer con él y terminaron por darle el alta' Durante la

convalecencia, Morgenstern lo vio "delgado y triste"' pero volvió a

recuperarse. Sería ya la última vez'

En los meses siguientes Gódel tenía mucho frío: con más de

veinte grados de temperatura, iba a tomar el té a casa de los Mor-

genstern envuelto en dos ierséis de lana gorda' y tenía que pedirles

más ropa prestada; otras veces no se quitaba el abrigo en todo el

día. En noüembre de 1975, Oskar se encontró con "una auténtica

tragedia": Adele estaba muy enferma' y era Gódel' que no lo había

hecho nunca, quien tenía que ocuparse de las tareas del hogar'

Los problemas de próstata seguían causándole muchísimo dolor' y

ambosdecidieroncontrataraunaenfermera.ElizabethGlinka,quehabíaconocidoalosGódelvar iosañosantes,cuidabadeAdelepor

las mañanas y soportaba con rara entereza las órdenes de Gódel,que le mandaba comprar naranjas y luego las tiraba a la basura. Eli-

zabeth era una de Ias pocas personas que apleciaba algunos de los

talentos de Adele: su ayuda física debió de ser menos importante

que la posibilidad de hablar un rato cada día. No pudo convencer a

Gódel, sin embargo, de lo insuficiente de su dieta: desayunaba unhuevo duro, acompañado algunas veces de un sorbo de té, y sólo

comía un plato de judías verdes en todo el día.

Tras su letargo, la paranoia de Gódel despertó con fuerza en

febrero de 1976: l lamaba a Morgenstern dos o tres veces al día para

pedirle auxilio, porque la policía estaba a punto de detenerlo y los

médicos conspiraban contra él; un día quería ver a su hermano y al

siguiente lo odiaba. A finales de marzo pesaba menos de cuarenta

kilos e ingresó en el hospital convencido de que moriría €rr rrlenos

de una semana; pero unos días después, sin el permiso del doctor,

volvió a casa caminando. Aunque Wang lo llamaba para consultarle

algunas dudas sobre teoría de conjuntos, Gódel ya sólo estaba preo-

cupado por su salud y la de Adele, que tuvo que permanecer en

el hospital entre junio y agosto, presa del delirio. Es difícil imaginar

cómo se las apañó Gódel durante tanto tiempo: apenas cocinaba

y pasaba muchas horas en compañía de su esposa. Mientras tanto,

Morgenstern sucumbía a una metástasis, pero siguió atendiéndolo

hasta el final. Sólo dos semanas antes de su muerte escribe en su

diario una entrada escalofriante:

"Ha vuelto a llamarme Gódel [...] y hemos estado hablando cer-

ca de un cuarto de hora. Después de preguntarme de pasada cómo

estaba y de asegurarme [...] que el cáncer no sólo se me detendrá,

sino que remitiría [...] na sacado a relucir sus problemas. Me ha

dicho que los médicos no le están diciendo la verdad, que no quie-

ren tratar con é1, que ia suya no es una situación de emergencia

(exactamente lo mismo que me dijo, punto por punto, hace unas

semanas, hace un mes, hace dos años), y que debería a¡rdarlo para

que lo internasen en el hospital de Princeton [...]. También me ha

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asegurado que, hará cosa de dos años, aparecieron dos hombres

quef ingíansermédicos[. . . ] .Eranestafadoresquepretendíanin-

gresarlo en el hospital, y le costó mucho tiempo desenmascararlos

t...1. Me cuesta describir lo que semeiante conversación supone pa-

ramí:heaquíunode|oshombresmásbri l lantesde|siglo,alque

estoy muy unido, a todas luces trastornado' aqueiado de algún tipo

de paranoia, y que espera que lo ayude; ["'] pero yo soy incapaz de

hacerlo. Ni siquiera cuando conservaba la movilidad v procuraba

ayr-rdarlo conseguía nada [..']' Ahora, al aferrarse a mí' -porque no

tiene a nadie más, eso está claro- agrava la carga que ya soporto"'

En julio de 19'17 Adele tuvo que someterse a una operación

de urgencia: pasó varias semanas en cuidados intensivos y no pu-

do volver a casa hasta poco antes de la Naüdad' En su ausencia'

Gódelsedejómorir lentamente.Cuandoseenteró,sólounashoras

después, de que el cáncer había podido con Morgenstern' colgó el

teléfono sin decir palabra. Con Adele en el hospital y su mejor amigo

mueno, ya apenas quedaban testigos de su ceremonia del adiós:

en princeton, los investigadores del instituto estaban preocupados,

pero no sabían qué hacer; fuera, sólo Hao Wang era consciente de

la gravedad de Ia situación. Un día le llevó un pollo que su muier

había cocinado para é1, pero Gódel se quedó detrás de la mirilla'

mirando a su amigo sin intención de abrirle. cuando consiguió ver-

to, el 17 de diciembre, Wang tuvo la impresión de que su mente

permanecía intacta, pero él le dijo que ,yú sÓril Podíq toffiar decísíones ne-

gdtívds.persuadido porAdele, ingresó en el hospital de Princeton dos

áías antes del final de año. Ya era demasiado tarde. Gódel murió en

posición fetal el 14 de enero de 1978, víctima de la "desnutrición e

inanición" causadas por "sus trastornos mentales"'

En su testamento, en el que Adele aparece como única here-

dera,Gódelseref ierea|aCaSadeBrnoyaunacoleccióndesel los,

pero no dice nada sobre qué hacer con sus papeles' Adele se apre-

suró a destruir las cartas que había recibido de su madre: aunque

Rudolf le había pedido que se las enüase, no estaba dispuesta a que

e s t á n en t e r r,.#'..t" : li:i:"t"J:'o 0" r., n c e ton

nadie más leyese los ataques de Marianne, e intuía que el hermanoquería en realidad venderlas, como hizo algunos años después conlas que conservaba é1. Adere no entendía una palabra de ros artícu-los de su marido, pero era más consciente que Gódel de la gloriaen la que habían ido encumbrándoro desde su lregada a América ymantuvo intactos todos los paperes, que decidió ceder al instituto.Muchos detalles de la paradójica üda de Gódel sólo han podidoreconstruirse a través de ellos.

Góder fue enterrado en er cementerio de kinceton er l g deenero y, a principios de marzo, el Instituto de Estudios Avanzadosle rindió tributo en un acto de homenaje en el que Hao Wang en_salzó su figura. El lógico Simon Kochen habró de las similitudesde la obra de Gódel con la de Kafka, pues los dos habían tenido"una capacidad sobrenaturar, casi surrearista, para crear mundos

Para Adele, la muerte de su adorado Kurtele fue un golpedel que nunca consiguió recuperarse: durante casi cincuenta años

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Gódel había sido su razón de üda' Aunque vialaba cada cierto tiem'

po a Europa, sufrió, para proteger a su marido' el trato hostil que le

dispensaba la selecta sociedad de Princeton' Sin su apoyo' Gódel

no habría publicado nada a partir de 1936' Muerto Gódel' ella que-

daba inválida y sin grandes recursos económicos' Durante tres años

üüó en la soledad más absoluta hasta que falleció el 4 de febre-

ro de rggr, cincuenta años después de que Góder demostrara los

teoren'las de incomPletitud'

1 I EpÍ logo

Cuando en el año 2000, con motivo de las celebraciones del

milenio, la reüsta Time eligió a los cien personajes más destacadosdel siglo veinte, Gódel era el único matemático de la lista. Sin em-

bargo, su obra sigue siendo totalmente desconocida para el gran

público, que se ha topado muchas veces con las imposturas intelec-

tuales de quienes ven en los teoremas de incompletitud un alephen el que se refleia cualquier cosa. Gódel fue, antes que nada, unprecLrrsor, y cada uno de sus grandes resultados hicieron posible

el desarrollo de ramas importantísimas de la lógica moderna: así,

los teoremas de completitud y compacidad son las piedras funda-

cionales de la teoría de modelos, mientras que las técnicas usadas

en la prueba de sus dos grandes teoremas fueron cruciales para

el nacimiento de los estudios de la recursión. Pero tal vez Io más

interesante sea la línea ascendente que conduce de las funciones q

recursivas primitivas al nacimiento de la inteligencia artificial, y la ;polémica sobre mentes y máquinas que mantuüeron Gódel y Tu- Ering, cincuenta años después de que Frege y Hilbert se enfrentaranpor el método axiomático moderno.

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Para Gódel, sus teoremas de incompletitud no ponían límite a

la mente, sino sólo una frontera con la que linda al norte el for-

malismo que ésta es capaz de construir' Pensando de dos formas

distintas, Gódel y Turing coincidieron en la definición de sistema

formal y probaron que hay problemas indecidibles' Pero' mientras

Gódel distinguía formalismo y lógica, mecanismo y mente' Turing

los consideraba totalmente sinónimos' Llevando al extremo esta

equiparación, en 1947 el lógico inglés postulaba que el mejor mo-

delo de la mente era su máquina universal u, capaz de simular

al resto de máquinas cle Turing: cálculc¡ y pensamiento serÍan' en-

tonces, dos modos de decir Io mismo. Turing se pregunta si puede

pensar un ordenador, una cuestión que sólo podría resolverse expe-

rimentalmente. Proponía para ello un "juego de imitación"' con el

que, comunicánclose por escrito, un científico trataúa de averiguar

si estaba tratando con una máquina o un ser humano:

lFl po. favor, escriba un soneto sobre la primavera'

[ñt] Hagu-e otra pregunta: la poesía no es mi fuerte'

lF.--.--f S,r-" 34957 con 70764.

E (Pausa de unos 30 segundos) 105721'

lrP::l duega al aiedrez?

Ertl,j'.'E t ngo el rey de la casilla lR y ninguna otra pieza' Usted tiene

sólo el rey en la casilla 6R la dama en lD' Le toca rnover'

ZQué juega?

lffi (purrtu de unos 15 segundos) La dama a DE' mate'

A juzgar por las respuestas, parece que quien se esconde en

la otra habitación es una máquina, pues computa los procedimien-

tos mecánicos (operaciqnes aritméticas, jugadas de aiedrez) con

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rapidez, pero no sabe contestar las cuestiones creativas. Aún así,tampoco muchos humanos son capaces de escribir un soneto, y sipor causalidad diésemos con un poeta dadaísta, sería difícil distin-guir un poema suyo de catorce versos generados aleatoriamente.En diciembre de 1969 Gódel creyó descubrir un error con impor-tantes consecuencias filosóficas en la obra de Turing. A su juicio,Turing no había tenido en cuenta qrre la mente no es estática, sinoque está en constante desarrollo: fltmque csds t,ez el ntimero de uosi'ltlesertnclos deLt menfe sea-firitrr, ttr', ha),rn¿rin ptra supvner que uta rnrií,lorl,rn{tttlt'¡it'itl nl infinito durttnta su dessrrollo. Gódel creía que, en el transcur-so de una demostración o un cómputo, los sistemas formales nosufrían modificaciones por el añadido de axiomas o la restricciónde sus reglas deductivas, pero nada permitía asegurar que la menteno cambiase durante los razonamientos. Por tanto, jamás podría serreemplazada por una máquina.

No es éste el argumento más famoso contra la inteligencia arti-ficial. El propio Turing ya había sugerido que sólo los teoremas deincompletitud podrían poner límite a su propuesta, y en 1961 JohnLucas le tomó la palabra en su artículo "Mentes, máquinas y Gódel".En opinión de este filósofo de Oxford:

"El teorema de Gódel demuestra que la visión mecanicista esfalsa, esto es, que no se puede explicar la mente como si fuera

una máquina. Y lo mismo les parece a i¡uchos otros: casi todosIos lógicos matemáticos con quienes he tratado el tema han reco_nocido que piensan algo por el estilo, aunque se muestren reaciosa pronunciarse definiti.¿amente hasta que no vean el razonamiento

expuesto, con todas las objeciones planteadas y satisfechas cornoes debido. Eso es lo que me propongo hacer,'.

El argumento que exponía a continuación, retomado por pen-rose en La nueua mente del emperador, es rotundamente simple:puesto que somos capaces de enseñar a una máquina los axiomasy las reglas deductivas sobre los que se erige un sistema formal,

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podríamos dejarlo construyendo todas las fórmulas del lenguaje y

preguntarle cuáles son verdaderas' Antes o después, el ordenador

daría con la sentencia indecidible 17 Gen r que escapa a su noción

de verdad, aunque nosotros podamos identificarla como cierta' Al

reducir la lógicaalasintaxis, lamáquinanosaldríanuncadesu

asombro y pasaría el resto de la eternidad tratando de decidir esta

proposición que, naturalmente interpretada, afirma que es indeci-

dibie. "Lttego la máquina seguirá sin ser un modelo adecuado de

Ia mente". Ella, que está viva, "irá siempre un paso por delante de

cualquier sistema formal, osificado, muerto"'

Los teoremas de incompletitud como fuente de metáforas

Ningún resultado matemático ha sufrido tantas sobreinterpre-

taciones como el primer teorema de incompletitud' La situación

recuerda a las lecturas posmodernas del Quiiote, en las que mu-

chos filólogos han pergeñado un anticipo de su üsión del mundo'

Así, además de ser un libertario más volteriano que Voltaire' don

Qui jotehabíainventadoel feminismoydescubiertolosSecretosde la alquimia. Decía Horacio que la voz' una vez que se la deja ir'

no sabe regresar; tal vez si hubieran deiado reposar sus orgumentos

bajo sieie llaves, los enferraos de gódelitis no habrían dadc tanta

estupidezalaimprenta: . .desdee|díaenqueGódeldemostróque

noexisteunapruebadelaconsistenciadelaar i tmét icadePeano

formalizable en el rnarco de esta teoría, los politólogos pudieron

comprender, por fin, por qué había que momificar a Lenin y exhi-

birlo a los camaradas en un mausoleol' (Régis Debray). En los años

posteriores a la publicación de los teoremas de incompletitud' la

obra de Gódel permaneció atrapada en el reducido círculo de la

lógica, pero tras la aparición de Gódel's Proof y del superventas

Gódel, Escher, Bach. Iln eterno y gráci! bucle, sus ideas pasaron'

como don Quiiote, a formar parte del inconsciente colectivo'

Apart i rdeentonces,Góde|comenzósuüdal i terar ia.Recuerdo

especialmente dos novelas que, lejos de presentárnoslo como un

206

genio frío, muestran de algún modo la sensibilidad que tuvo. EnLas nueuqs confesiones, de William Boyd, la aparición de Godelsófo es fugaz. El protagonista acaba de rodar la película definitivadel cine mudo, pero el lanzamiento coincide con los primeros cor-tometrajes sonoros, y su arte pasa sin pena ni gloria para el granpúblico; sólo Gódel reconoce su maestría. Otra novela publicadaen 1999, En busca de Klingsor, contiene la siguiente escena: mien-tras el personaje principal, un físico llamado Francis Bacon, asistea un seminario de Gódel, irrumpe su novia. a la que por lo visto leestá siendo infiel, en Ia sala de conferencias del Instituto de Estu-dios Avanzados. Comienza a gritar hasta encontrarlo, y, cuando laatención se había desplazado de la hipótesis del continuo a las últ i-mas filas "el profesor Gódel anunció que no podría continuar conla clase y comenzó a llorar, irrefrenablemente". Su gran conflicto-nos viene a decir el auior por boca de Von Neumann- no son lasproposiciones formalmente indecidibles, "sino su amor desgarradoy turbulento por una prostituta: su propia esposa".

Mientras el pasaje imaginado por Boyd es perfectamente posi-ble, pues Gódel mantuvo durante toda su vida la sensibilidad artísti-ca de los primeros años en Viena, En busca de Ktingsor yerra deraíz al retratar a Gódel, al que no le gustaba mostrar en públicosus sentimientos. Lo hacía siempre con dificultad, en voz baja, asolas con sus mejores amigos, y el resto lo reservaba para la escri-tura. Por eso es absolutamente inverosímil que se echara a llorardelante de todos sus colegas, pero incluso si no lo fuera, la des-cripción de Adele es muy injusta: dedicó su üda a Gódel, y antesde la guerra llegó a alimentarlo cucharada a cucharada hasta queél recuperó casi veinte kilos. ZNo es más de lo que se espera deuna esposa? La inteligencia humana -decía yeats- debe escogerentre dos aspiraciones excluyentes: "perfección de la vida, o de la qobra". Cronistas de desgracias en el mundo hay muchos, pero sólo 5la importancia de la obra de Gódel lo conüerte en materia narrati- Eva: cuando haya muerto Avellaneda, los teoremas de incompletitudseguirán siendo un hito en el tiempo y el espacio.

207

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C ronologí a

1906 Nace Kurt Friedrich Gódelen Brno, Moravia (28 abril).

1912 Gódel ingresa en la Euangelische Priuot-Volks-und-Bürger-schule de Brno.

1914 Sufre unas fiebres reumáticas, de las que ya nunca se conside-rará curado y que !e hacen desarrollar una fuerte hipocondría.

l9l6 Se gradúa en la escuela luterana y entra en el instituto S,taats-realgymnasium mit deutscher Unterrichtssprache.

1919-1921 Estudia el método Gabelsberg de taquigrafía y se des-pierta su interés por Ias matemáticas. Al año siguiente, lellama poderosamente la atención la filosofía de Kant.

1924 A finales de junio se gradúa en el Realgymnasium y en elotoño empieza a estudiar física en la Universidad de Viena.

1926 Gracias a las clases de teoría de números de Philipp Furtwán-gler, centra su interés en las matemáticas.

Comienza a asistir a las reuniones del Círculo de Viena.

1927 Conoce a Adele Thusnelda Porkert, su futura esposa.

1928 Gódel comienza a trabajar en el problema de la completitudde la lógica de primer orden bajo la dirección de Hans Hahn.

1929 Muerte prematura del padre de Gódel (23 febrero).

Gódel recibe la nacionalidad austriaca (6 junio).

Hans Hahn y Philipp Furtwángler aprueban la tesis doctoralde Gódel (6 iulio), que la en'.ul'aal Monatshefte für Mathematikund Physik (22 octubre).

Comienza a reunirse el coloquio matemático de Karl Menger,al que Gódel contribuirá con trece colaboraciones, publica-

das entre 1932y 1936 (24 octubre).

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1930 Gódel recibe el doctorado por Ia Universidad de Viena

(6 febrero).

Presentación de su teorema de completitud en el coloquio de

Menger (14 maYo).

GódelanunciaporprimeraVezSusresultadosdeincompleti-tud en el café Reichsrat, donde se reúne con carnap, Feigl y

Waismann (26 agosto).

Gódel inierüene en la conferencia sobre la Epistemología de

lasCienciasExactascelebradaenKónigsbergentreel5yelTdesept iembre.Eldía6presentaSuteoremadecomplet i -tud, y en una mesa redonda celebrada en la última sesión

delcongresoanunciaqueexistenproposicionesverdaderas,pero indecidibles en los Principia Mothematico'

Se publica "Über ciie Vollstándigkeit des Logikkalkülls" ("La

suficiencia lógica cle los axionras del cálculo deductivo de pri-

merorden'')enlosMonatsheftefürMclthematikundPhysik,n.o 37, PP. 349-360 (sePtiembre).

Gódel envía su artículo con los dos teoremas de incompletitud

al Monotshefte für Mathemotik und Physik (l / noüembre)'

Cana de Von Neumann a Gódel anunciándole que ha descu-

bierto él mismo la indemostrabilidad de la consistencia de la

aritntética por sus propios medios (20 noüembre)'

l93l publicación de "Über formal unentscheidbare Sátze der Prin-

cipia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre propo-

siciones formalrnente indecidibles en Principia Mathematica

ysistemasaf ines' ' )enlosMonatsheftefürMathematikund

Physik, n.o 38, PP. 173-198.

Presentación de los teoremas de incompletitud ante la unión

Matemática Alemana, donde se encuentra con la firme opo-

sición de Ernst Zermelo (15 de septiembre)'

1932 Gódel obtiene laHabilitation de la universidad de Viena

(1 diciembre).210

1933 Gódel se convierte en Dozentu.r y da su primer curso sobrefundamentos de la aritmética (marzo).

Tras üajar a América a bordo del Aquitania, Gódel se incor-pora al Institute for Advanced Study (tAS) como profesor inü-tado.

Pronuncia la conferencia "The present situation in the foun-dations of mathematics" ("La situación actual en los funda-mentos de las matemáticas") para la American MathematicalSociety.

1934 Conferencias en el IAS sobre los teoremas de incompletitud(febrero a mayo).

Charla ante la New York Philosophical Society: "The existence

of undecidable propositions in any formal system containingarithmetic" ("La existencia de proposiciones indecidibles encualquier sistema formal que contenga aritmética") ( I 8 abril).

Conferencia para la Academia de Ciencias de Washington:

"Can mathematics be proved consistent?" ("ZPuede demos-trarse que las matemáticas son consistentes?") (20 abril).

Vuelta a Europa a bordo del Rex (26 mayo-3 junio).

Elección como miembro de Ia American Mathematical So-

ciety (AMS).

Muerte de su mentor Hans Hahn (24 julio).

En el otoño de 1 934 Gódel ingresa en el sanatorio Purkersdorf

de Viena para un t-ratamiento contra la depresión nerviosa.

1935 Comienza su curso "Capítulos selectos de la lógica matemáti-

ca" en la Universldad de Viena (4 mayo). 3=

Gódel presenta su última contribución al coloquio de Menger, dun artículo sobre Ia longitud de las demostraciones (19 junio).

SGódel vuelve a América a bordo del Georgic y le comunica a ;'Von Neumann que ha conseguido demostrar la consistenciarelativa del axioma de elección (octubre).

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El 17 de noviembre Gódel sufre una depresión, renuncia a su

beca en el IAS y vuelve a Viena a principios de diciembre'

1936 "El peor año de rni üda". Gódel pasa medio año en un sana-

torio.

Moritz Schlick es asesinado por uno de sus estudiantes

(22 iunio).

1937 Curso sobre teoría axiomática de conjuntos en la universidad

de Viena (mayo-junio)- La noche entre el 14 y 15 de junio

cóclel descubre el paso crucial para demostrar la co¡rsistencia

relativa de la hipótesis del continuo'

1938 Anexión de Austria al III Reich (13 marzo)'

GódelSeCaSaenVienaconAdele(20sept iembre)yviajasoloa Princeton para reincorporarse al IAS (octubre)'

Cursoenel lASsobrelaconsistenciarelat ivadelaxiomadeelección y la hipótesis del continuo (octubre-diciembre)'

Publicación del artículo "The consistency of the axiom of choi-

ce and the generalized continuum-hypothesis" ("La consis-

tencia del axioma de elección y de la hipótesis generalizada

del continuo") en los Proceedings of the National Academlt of

Sciences, vol. 24,pp. 556-557 (noviembre)'

conferencia en el VL encuentro de la AMS: "The consistency

of the generalized continuum hypothesis" ("La consistencia

de Ia hipótesis generalizada del continuo")'

1939 Entre enero y febrero Gódel da un curso de lógica junto a

Menger como profesor inütado de la Universidad de Notre

Dame.

Regreso a Europa a bordo d,el Bremen Al llegar a Viena Gódel

se encuentra con que su permiso de Priuotdozent ha sido

abolido y es llamado a filas por el ejército (1'4-20 junio)'

Gódel solicita ser readmitido como Dozent (25 septiembre)'

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Conferencia en Góttingen sobre el problema del continuo, Iaúnica vez que habló en Europa sobre estos resultados(15 diciembre).

Después de muchos probleinas con las autoridades alemanasy estadounidenses, los Gódel obtienen permisos de salida(19 diciembre).

1940 Publicación de "The consistency of the axiom of choice andof the generalized ccntinuum-hypothesls with the axioms ofset theory" ("La consistencia del axioma de elección y dela hipótesis generalizada del continuo con ios axiomas de lateoría de conjuntos") como monografía del Annals of Mothe-matics.

Tras obtener el visado como inmigrantes sin cuota, Kurt yAdele Góciel üajan a Princeton a través del Transiberiano y elbarco President Cleueland (Yokohama a San Francisco) (lgener.o-4 marzo).

Gódel se incorpora al claustro del IAS, mientras en la Univer-sidad de Viena deciden aceptarlo como Dozenf (primavera).

Conferencia en la Universidad de Bro',,rm: ,,Consistency ofCantor's continuum hypothesis" ("Consistencia de la hipóte-sis del continuo de Cantor").

1941 Conferencia en la Universidad de yale: ,,ln what sense is in-tuitionist logic constructive?" ("ZEn qué sentido es la lógicaintuicionista constructiva?") (15 de abril) y curso en el IAS.

1943 Gódel comienza a trabajar en Ia filosofía de las matemáticas.

1944 Publicación del artículo "Russell's Mathematical Logic,' (,,Lalógica matemática de Russell"), para el volumen de la ,,Bi-

blioteca de filósofos ü'/os" dedicado a Bertrand Russell.

1945 Gódel recibe tratamiento contra una úlcera de duodeno auecasi termina con su üda.

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1946 Gódel pasa a formar parte de Ia Asociation for Symbolic Logic

y lo hacen miembro permanente del IAS.

Da una charla en la Conferencia sobre Problemas Matemáti-

cos, con motivo del bicentenario de la fundación de la Uni-

versidad de Princeton (17 diciembre).

1947 Se publica el artículo de-diurlgación "What is Cantor's con-

tinuum problem?"-("áQué es el problema del continuo de

Cantor?") en el American Mothemotical Monthly, n.o 54, pp.

258-273.

1948 Kurt y Adele Gódel obtienen la nacionalidad estadouniclense.

1949 Conferencias en el IAS sobre sus resultados en teoría de la

relatiüdad (mayo).

Publicación del anículo "An example of a new type of cosmo-

logical solutions to Einstein's field equations of graütation"("Un ejemplo de un nuevo tipo de soluciones cosmológicas

a las ecuaciones einstenianas del campo graütatorio") en la

reüstaReureus of modern physiscs,vol. 21, n.o 3, pp. 447 -450.

Los Gódel se compran una casa en el 129 de'Linden Lane en

Princeton.

Aparece 'A remark about the relationship between relatiüty

theory and idealistic philosophy" ("Una observación sobre la

relación entre la teoría de la relatiüdad y la filosofía idealis-

ta"), para el volumen dedicado a Einstein en Ia "Biblioteca de

filósofos üvos".

1950 Intervención sobre "Rotating universes in general relatMty

theory" ("Universos rotatorios en la teoría general de la re-

latividad") ante el Congreso Internacional de Matemáticos(Cambridge, Mass.)

1 951 Gódel comparte con Julian Schwinger el primer premio Eins-

tein (14 marzo).

Doctorado honoris causa por la Universidad de Yale (junio).

Gódel pronuncia ra prestigiosa conferencia Gibbs *some ba-sics theorems on the foundations of mathematics and theirphilosophical imprications" ("AIgunos teoremas básicos paraias matemáticas y sus implicaciones filosóficas").

1952 Doctorado honoris causa por ra universidad de Harvard.

1953 Gódel es elegido miembro de ia Nationár Academy of Scien-ces y el Instituto de Estudios Avanzacos le reconoce su statusde profesor (l julio).

1955 Muere Atbert Einstein, er mejor amigo de Góder (lg abril).

1957 Elegido como feilou de la American Academy of Arts andSciences.

Muerte de John von Neumann (g de febrero).

1958 Aparece su artículo "über eine bisher noch rricht benütze Er-weiterung des finiten standpunktes" ("sobre una ampriacióntodavía no utilizada del punto de üsta finitario") en la reüstaDialéctica, n.o 12, pp. 280-2g7.

1959 Primer contacto con la filosofía de Husserl.

1961 Gódel es elegido miembro de ra American philosophical so-ciety.

1963 Paul cohen demuestra que la hipótesis generarizada der con-tinuo es independiente de la teoría de conjuntos ZF con elaxioma de elección. Tras revisarlo, Góder remite er artículo alos Proceedings of the NationalAcademy of Sciences.

1964 Publicación de un suplementoal artículo *what is cantor,scontinuum probrem?" ("zeué es er probrema del continuo de ?Cantor?") (1942). g

o1966 Muerte, en Viena, de Marianne Handschuch, la madre de 5

Gódel (23 julio). 5.

Gódel rechaza ser miembro hororario de ra Academia Aus-

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triaca de Ciencias.21.4

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Gódel es elegido miembro honorario de la London Mathe-

matical Society. El Amherst college le concede un doctorado

honoris causa.

Gódel es elegido miembro extranjero de la Royal Society'

Elección como miembro del Instituto de Francia (Académie

des sciences morales et politiques) y doctorado honoris causa

de la Universidad Rockefeller.

Se le conce,le la Medalla Nacional de Ciencia, que hubiera

entregado en Lrna ceremotria pública el presidente Ford

(18 sept iembre).

Gódel se retira como profesor emérito del IAS (l iulio)'

Adele es hospitalizada para una intervención quirúrgica

(julio).

Muere Oskar Morgenstern, amigo de Gódel (26 iulic)'

Hospitalización de Gódel a instancias de Adele (29 diciem-

bre).

Muere Kurt Gódel en el hospital de Princeton, debido a "malnu-

trición e inanición" (14 enero).

Se celebra un acto de homenaie en su honor en el IAS con

intervenciones de André Weil, Hao Wang, Simon Kochen y

Hassler Whitney (3 marzo).

Fallece Adele (4 febrero).

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Nota b ' i b l iográf ica

Para hacer más cómod$#yru,a lo largo del l ibro se han su-primido ias referenciastr'.üttf$t'áffcas. Es de justicia señalar aquí al-gunas de las frrentes: sobre el streñode una lengua universal (pp. 25-27), el terto básico de referenci a es Lo btisquecia de ia lenguo per-

fectct, de LJmberto Eco, de donde procede la larga cita de Leibniz.

Salvo la carta dirigida a Frege (p. aa), que aparece reproducida enBertrond Russell: antología, una edición al cuidado de José Anto-nio Robles, los textos de Russell (pp. 23, 42, 43) forman parte desu Autobiogrctfía, traducida por Jesus García-Puente. Los documen-

tos sobre la polémica entre Frege y Hi lbert (pp. 31,34,35) hansido cuidadosamente seleccionados v traducidos del alemán por

Jesús N¡losterín, de cuyo libro Los lógicos los he tomado. Las citasde los artículos de Gódel también son traducc!ón suya, excepto lasde "Sobre proposiciones formalmente indecidibles en los Principia

Mathemaiica V sistemas afines", que provienen de Ia edición deManuel Garrido, Alfonso García Suárez y Luis M. Valdés. Para pro-

fundizar más en los veintitrés problemas de Hilbert (pp. 26-27), ellectol interesado tiene a su disposición f,1 reto de Hilbert, obra deJerem¡z J. Gay. La entrada del dia_rio de Oskar Morgenstern (pp. 199-200) aparece reproducida en Gódel. Parocloja y uido, de Rebecca

Goldstein, que también la comenta al hilo de su relato. De las citasdel epílogo. el juego de imitación (p.20a) es, con mínimas variacio-

nes, el ejemplo que da el propio Turing en su artículo Maquinariu

computadora e inteligencio; y el fragmento de John Lucas (p. 205)forma parte de Mentes, máquinos y Gódel; ambos textos han sidotraducidos del inglés por Francisco h¡lartín. Finalmente, la cronología

del f inal del l ibro es obra de John W Dawson, que la elaboró para

ef primer volumen de las CollectedWorks de Gódel.

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