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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES

DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 1: VISCOSIDAD Y

MECANISMO DEL TRANSPORTE.

Ing. Willians Medina.

Maturín, julio de 2017.

Capítulo 1. Viscosidad y Mecanismo del Transporte.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. http://www.tutoruniversitario.com/ 2

CONTENIDO.

CONTENIDO. ...................................................................................................................... 2

PRESENTACIÓN. ............................................................................................................... 4

ACERCA DEL AUTOR. ..................................................................................................... 6

1.1.- DEFINICIONES BÁSICAS. ......................................................................................... 8

Fenómenos de transporte. .................................................................................................... 8

Objeto de estudio de los fenómenos de transporte. ............................................................. 8

Propiedades de transporte: .................................................................................................. 9

Viscosidad. ....................................................................................................................... 9

Densidad. ......................................................................................................................... 9

Viscosidad cinemática. .................................................................................................. 10

Reología. ........................................................................................................................ 10

1.2.- CLASIFICACIÓN DE FLUIDOS. .............................................................................. 10

Tipos de fluidos. ................................................................................................................ 10

Ejemplo 1.1. ................................................................................................................... 12

Ejercicios propuestos. .................................................................................................... 12

1.3.- APLICACIONES DEL PERFIL LINEAL DE VELOCIDADES. .............................. 15

Caso 1. Dos láminas paralelas, una de ellas en movimiento. ............................................ 15

Ejemplo 1.2. ................................................................................................................... 16


Caso 2. Dos láminas paralelas, movimiento de una tercera contenida entre ellas. ........... 17

Ejemplo 1.3. Primer Examen Parcial 10/05/2001. Prof. Pedro Tineo. .......................... 18

Ejemplo 1.4. ................................................................................................................... 19

Ejemplo 1.5. ................................................................................................................... 19

Ejemplo 1.6. Primer Examen Parcial. 28/08/2002. Prof. Pedro Tineo. ......................... 19


Ejemplo 1.7. ................................................................................................................... 24


Sistemas que involucran fuerza gravitacional. .................................................................. 25

Sistemas en los cuales un objeto se desliza sobre un fluido en un plano inclinado. ......... 25


Sistemas en régimen no estacionario (Velocidad en función del tiempo). ....................... 30

Ejemplo 1.8. ................................................................................................................... 31


Ejemplo 1.9. ................................................................................................................... 34

Ejemplo 1.10. ................................................................................................................. 34

Ejemplo 1.11. Movimiento en un plano inclinado. Primer Examen Parcial. 27/03/2004.

Prof. Pedro Tineo. .......................................................................................................... 34

Ejemplo 1.12. Primer Examen Parcial. 14/06/2003. Prof. Pedro Tineo. ....................... 35


Ejemplo 1.13. ................................................................................................................. 40

Ejemplo 1.14. Primer Examen Parcial. 17/11/2001. Prof. Pedro Tineo. ....................... 40



Sistemas radiales. .............................................................................................................. 41

Ejemplo 1.15. ................................................................................................................. 41

Ejemplo 1.16. ................................................................................................................. 41

Ejemplo 1.17. ................................................................................................................. 42


Flujo rotacional. ................................................................................................................ 45


Ejemplo 1.18. ................................................................................................................. 51


Ejemplo 1.19. ................................................................................................................. 54


1.4.- LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD PARA PERFILES DE VELOCIDAD NO

LINEALES. .......................................................................................................................... 58

Sistemas rectangulares. ..................................................................................................... 58

Ejemplo 1.20. ................................................................................................................. 59


Sistemas radiales. .............................................................................................................. 69

Ejemplo 1.21. ................................................................................................................. 70

Ejemplo 1.22. ................................................................................................................. 71


RESUMEN DE FIGURAS Y TABLAS. ...................................................................... 80

Tabla 1.1. Fórmulas de geometría.................................................................................. 80

Tabla 1.2. Dimensiones y unidades en el sistema internacional e inglés de parámetros

relacionados con el flujo de fluidos. .............................................................................. 81

Tabla 1.3. Factores de conversión de unidades.............................................................. 82

Tabla 1.4. Densidad de varias sustancias. ...................................................................... 84

Tabla 1.5. Propiedades del Agua a 1 atm de presión, Sistema Internacional (Mott). .... 84

Tabla 1.6. Propiedades del Agua a 1 atm de presión, Sistema Inglés (Mott). ............... 85

Tabla 1.7. Propiedades de la Glicerina (Çengel). .......................................................... 85

Tabla 1.8. Viscosidades de algunos líquidos a la presión atmosférica (Bird). .............. 86

Tabla 1.9. Propiedades de líquidos comunes a 25ºC, Sistema Internacional. ................ 86

Tabla 1.10. Propiedades de líquidos comunes a 25ºC, Sistema Inglés. ......................... 87

Tabla 1.11. Propiedades del Aire a 1 atm de presión (Çengel). ..................................... 88

Tabla 1.12. Parámetros de flujo de algunos plásticos de Bingham familiares

(Levenspiel). .................................................................................................................. 88

Tabla 1.13. Parámetros de la ley de potencias para soluciones acuosas (Bird -

Levenspiel). .................................................................................................................... 89

Figura 1.1. Viscosidad absoluta de diversos líquidos en función de la temperatura. .... 90

BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................... 91

TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE TRANSPORTE. ................................................................................ 92

OBRAS DEL MISMO AUTOR. ....................................................................................... 93

OFERTA DE SERVICIOS. ............................................................................................... 96



PRESENTACIÓN.

El presente es un Manual de Fenómenos de Transporte para estudiantes de

Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Química, Mecánica y

de Petróleo de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de

algunos ejemplos, la inclusión de las respuestas a ejercicios propuestos y su compilación en

atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada

en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor

sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente

en la literatura.

Este manual, cuyo contenido se limita al estudio de la viscosidad y mecanismos de

transporte, contiene los fundamentos teóricos, 22 ejercicios resueltos paso a paso y 93

ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal para ser utilizada por estudiantes

autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad Abierta) y por estudiantes que están

tomando un curso universitario de Fenómenos de Transporte o Mecánica de Fluidos, así

como por profesores que estén impartiendo clases en el área de enseñanza de los

Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología.

Antes de abordar los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante debe

haber tomado un curso sobre matemáticas básicas, cálculo (diferencial e integral),

ecuaciones diferenciales y métodos numéricos.

Los conceptos involucrados en la viscosidad y mecanismo de transporte, tales como

propiedades de transporte, clasificación de los fluidos, perfil lineal de velocidades y ley de

Newton de la viscosidad son fundamentales en el estudio de los fenómenos de transporte,

pues son la base de muchas definiciones involucradas en el estudio de esta materia

(Distribuciones de velocidad en flujo laminar, Ecuaciones de variación en sistemas

isotérmicos, Flujo en canales y Balances macroscópicos en sistemas isotérmicos), y en este



manual el autor presenta de manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas

en el manejo la viscosidad y mecanismos del transporte, perfil lineal de velocidades,

distribuciones de velocidad y ley de Newton de la viscosidad.

Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en este manual, el estudiante

puede abordar sin mayor dificultad el tema correspondiente a Distribuciones de velocidad

en flujo laminar.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, correo

electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.




ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la

Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó

sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas

mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por

LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios

universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó

como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica

Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a

la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de

Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado

Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma

corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte

del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan

Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de

preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando

finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad

de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos

de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,

forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,

Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),

cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),

Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV

(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de



Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. El autor de video tutoriales para la

enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a

través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de

ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física,

Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de

Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica.

En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración

de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso

y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda,

siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a

los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como

una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017)

ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a

través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con

privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual

cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa)

mediante la corporación http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros

de Venezuela.



1.1.- DEFINICIONES BÁSICAS.

Fenómenos de transporte.

Estudio sistemático y unificado de la transferencia de momento, energía y materia.

Para entender muchos procesos en ingeniería, agricultura, meteorología, fisiología,

biología, química analítica, ciencia de los materiales, farmacia y otras áreas, es esencial

tener una buena comprensión de los fenómenos de transporte. Tales fenómenos constituyen

una rama bien desarrollada y eminentemente útil de la física que trasciende muchas áreas

de la ciencia aplicada.

El estudio y la aplicación de los fenómenos de transporte son esenciales para la ingeniería

contemporánea, principalmente en la ingeniería química y la ingeniería mecánica.

Objeto de estudio de los fenómenos de transporte.

El dominio de los fenómenos de transporte comprende tres temas estrechamente

relacionados: dinámica de fluidos, transmisión del calor y transferencia de materia. La

dinámica de fluidos se refiere al transporte de cantidad de movimiento, la transmisión de

calor trata sobre el transporte de energía, y la transferencia de materia estudia el transporte

de materia de varias especies químicas.

Transporte de cantidad de movimiento.

Ley de Newton.

yd

vd x

yx (1.1)

Transferencia de calor.

Ley de Fourier.

yd

Tdkq y (1.2)

Transferencia de masa.

Ley de Fick de la difusión.

yd

CdDj AByA (1.3)



Propiedades de transporte:

Viscosidad ( ), conductividad térmica (k), coeficiente de difusión (DAB).

Las ecuaciones básicas que describen los tres fenómenos de transporte están bastante

relacionadas entre sí. La semejanza de las ecuaciones en condiciones simples es la base

para resolver problemas “por analogía”. Las herramientas matemáticas necesarias para

describir estos fenómenos son muy semejantes.

El lector debe tener dominio de los siguientes procedimientos matemáticos para abordar la

solución de problemas de fenómenos de transporte:

- Análisis de regresión (método de mínimos cuadrados).

- Solución de ecuaciones de una variable.

- Solución de sistemas de ecuaciones.

- Identificación y solución de ecuaciones diferenciales.

- Diferenciación (Cálculo de derivadas).

- Integración (Cálculo de integrales indefinidas e integrales definidas).

- Optimización de ecuaciones en una variable.

- Cálculo de límites indeterminados (regla de L´Hopital).

- Fórmulas de geometría (perímetro, área y volumen de figuras planas y sólidos regulares).

- Manejo de gráficas.

Viscosidad.

Propiedad física que caracteriza la resistencia al flujo de los fluidos sencillos.

Para los gases a baja densidad, la viscosidad aumenta con la temperatura, mientras que en

el caso de los líquidos, la viscosidad generalmente disminuye al aumentar la temperatura.

Las unidades de la viscosidad son kg/m.s y lbf.s/ft

2 en el sistema internacional y en el

sistema inglés respectivamente. La mayor parte de los datos de viscosidad están expresados

en la unidad poise, la cual equivale a 1 g/cm.s.

Densidad.

Propiedad física que representa la masa por unidad de volumen para todos los materiales.

Por definición: V

m

(1.4)



La densidad generalmente disminuye al aumentar la temperatura.

Las unidades de la densidad son kg/m3

y slug/ft

3 en el sistema internacional y en el sistema

inglés respectivamente.

Viscosidad cinemática.

El cociente entre la viscosidad de un material y su densidad es definido como viscosidad

cinemática.

(1.5)

Las unidades de la viscosidad cinemática son m2/s y

ft

2/s en el sistema internacional y en el

sistema inglés respectivamente.

Reología.

La ciencia del flujo y la deformación. Estudia las propiedades mecánicas de los gases,

líquidos, plásticos, sustancias asfálticas y materiales cristalinos. El campo de la reología se

extiende desde la mecánica de fluidos newtonianos por una parte, hasta la elasticidad de

Hooke por otra. La región comprendida entre ellas corresponde a la deformación y flujo de

todos los tipos de materiales pastosos y suspensiones.

1.2.- CLASIFICACIÓN DE FLUIDOS.

Tipos de fluidos.

- Newtoniano: yd

vd x

yx (1.1)

Al representar gráficamente frente a yd

vd x para un fluido determinado, debe obtenerse

una línea recta que pasa por el origen de coordenadas, y cuya pendiente es la viscosidad del

fluido a una cierta temperatura y presión. La viscosidad puede ser determinada aplicando

regresión lineal simple.

Existen algunos materiales industrialmente importantes que no se comportan de acuerdo

con la ecuación (1.1). Se conoce a estas sustancias con el nombre de fluidos no-

newtonianos.



- Bingham: yd

vd x

yx 0 (1.6)

Toda sustancia que se comporta de acuerdo con este modelo de dos parámetros se

denomina plástico de Bingham; permanece rígida mientras el esfuerzo cortante es menor de

un determinado valor 0 , por encima del cual se comporta de forma semejante a un fluido

newtoniano. Este modelo resulta suficientemente exacto para muchas pastas y suspensiones

finas.

Para un fluido de Bingham, la gráfica de vs yd

vd x se corresponde a una línea recta cuya

pendiente es y cuya intersección al eje y es 0 . Estos parámetros pueden ser

determinados aplicando regresión lineal simple.

- Modelo de Ostwald-de Waele (Ley de la potencia):

n

x

yxyd

vdm

(1.7)

Esta ecuación de dos parámetros se conoce también con el nombre de ley de la potencia.

Para 1n se transforma en la ley de la viscosidad de Newton, siendo m ; por

consiguiente, la desviación del valor de n con respecto a la unidad es una medida del grado

de desviación del comportamiento newtoniano. Cuando 1n el comportamiento es

pseudoplástico, mientras que para valores superiores a la unidad es dilatante.

Para un fluido pseudoplástico, la gráfica de ln vs

yd

vd xln se corresponde a una línea

recta cuya pendiente es n y cuya intersección al eje y es ln m. Estos parámetros pueden ser

determinados aplicando regresión lineal simple.



Ejemplo 1.1.

Para dos fluidos distintos se conoce experimentalmente la relación entre la fuerza F vs el

gradiente de velocidad ( ydvd / ), tal como se señala en la siguiente tabla. Se conoce que

el área de aplicación es 1 m2.

Fluido A F (N) 0 1 1.41 2

( ydvd / ) (s–1

) 0 1 2 4

Fluido B F (N) 0 1 5 9

( ydvd / ) (s–1

) 0 0 2 4

Se pide identificar cada fluido.

VER SOLUCIÓN

Ejercicios propuestos.

1. Clasifique qué tipo de fluido se tiene cuando, sometido a diferentes tasas de

deformación, se obtienen experimentalmente los siguientes esfuerzos cortantes. Todos los

experimentos se realizan a temperatura constante:

http://www.tutoruniversitario.com/producto/ejercicio-1/



Fluido A ( ydvd / ) (s

–1) 0 1 3 5

)/ftlb( 2

f 15 20 30 40

Fluido B ( ydvd / ) (s

–1) 0 0.5 1.1 1.8

)/ftlb( 2

f 0 2 4 6

Fluido C ( ydvd / ) (s

–1) 0 0.3 0.6 0.9 1.2

)/ftlb( 2

f 0 2 4 6 8

Fluido D ( ydvd / ) (s

–1) 1 2 3 4 5

)N/m( 2 3.57 3.89 4.96 5.62 6.13

Fluido E

(Hidroxietilcelulosa)

( ydvd / ) (s–1

) 50 70 90 110 130

)N/m( 2 5.99 7.45 8.56 9.09 10.25

Fluido F

(Sangre)

( ydvd / ) (s–1

) 105 126 215 315 402

)N/m( 2 0 0.3 0.6 0.9 1.2

Determine el valor de los parámetros correspondientes a cada modelo.

Respuesta: Fluido A: Bingham ( Pa 150 , Pa.s 50 ). Fluido B: Pseudoplástico. Fluido

C: Newtoniano ( Pa.s 6667.6 ). Fluido D: Bingham ( Pa 779.20 , Pa.s 685.00 ).

Fluido E: Potencia. Fluido F: Newtoniano ( Pa.s 0322.0 ).

2. Una suspensión de salsa de tomate a 22ºC es analizada en un reómetro rotacional con

geometría de cono y placa. Determine si el modelo de la ley de potencia describe

adecuadamente el comportamiento de este material. Los datos de esfuerzo de corte vs.

gradiente de velocidad obtenidos en el estudio fueron los siguientes:

ydvd / (s–1

) )Pa( ydvd / (s–1

) )Pa(

0.1 4.1 5 12.1

0.25 5 7.95 14

0.65 6.6 12.6 16.1

1.25 7.9 19.95 19.1

2 9.1 31.6 22.4

3.15 10.5 50.09 26.6

Respuesta: Fluido: Pseudoplástico. m = 7.6267 , n = 0.3034.

3. Los siguientes datos experimentales de esfuerzos cortantes vs. tasa de deformación

fueron obtenidos para chocolate fundido a 40ºC:

ydvd / (s–1

) )Pa( ydvd / (s–1

) )Pa(

0.099 28.6 6.4 123.8



0.140 35.7 7.9 133.3

0.199 42.8 11.5 164.2

0.390 52.4 13.1 178.5

0.790 61.9 15.9 201.1

1.60 71.4 17.9 221.3

2.40 80.9 19.9 235.6

3.90 100.0

a) Grafique el esfuerzo cortante del fluido en función de la tasa de deformación.

b) Estudie el modelo de flujo apropiado y determine los parámetros.


4. [MY] La viscosidad de la sangre se debe determinar a partir de mediciones del esfuerzo

cortante, , y de la razón de deformación de corte, ydvd / , obtenidas a partir de una

pequeña muestra de sangre probadas en un viscosímetro apropiado. Con base en los datos

que se proporcionan a continuación, determinar si la sangre es un fluido newtoniano o no

newtoniano. Explicar cómo se llegó a la respuesta.

ydvd / (s–1

) )Pa( ydvd / (s–1

) )Pa(

2.25 0.04 45.0 0.30

4.50 0.06 90.0 0.52

11.25 0.12 225 1.12

22.5 0.18 450 2.10


5. La consistencia es un factor primordial en alimentos como la salsa de kétchup. Se estudia

el comportamiento reológico a 25°C de una muestra de 3kg/m 1050 con un

viscosímetro de cilindros concéntricos, con una altura de 60 mm, un radio externo de 21

mm y un radio interno de 20.04 mm. Obteniéndose los siguientes datos:

ydvd / (s–1

) )Pa( ydvd / (s–1

) )Pa(

2.6 35 83.1 60

5.19 37 166.21 87

10.39 39.5 332.41 120

20.78 42 664.82 195

41.56 47



Caracterice el material en cuestión. Sí el envase en el que se va a vender tiene una altura de

25 cm y un diámetro de 5 cm. ¿Fluirá en posición invertida o requerirá que el consumidor

realice alguna presión sobre las paredes del envase?

Respuesta: Fluido: Bingham. Pa 097.380 , Pa.s 2409.00 . Fluye libremente.

1.3.- APLICACIONES DEL PERFIL LINEAL DE VELOCIDADES.

Perfil lineal de velocidades.

xx v

yd

vd (1.8)

Fuerza y potencia en función de la velocidad cuando en el fluido (Newtoniano) se

establece un perfil lineal de velocidades.

Caso 1. Dos láminas paralelas, una de ellas en movimiento.

Condiciones.

Estado estacionario.

Flujo laminar.

Fluido Newtoniano.

Propiedades del fluido constantes ( , ).

Efectos de borde despreciables.

Perfil lineal de velocidades.

Deducción de las ecuaciones que rigen el fenómeno.

Por definición, el esfuerzo cortante es la fuerza tangencial por unidad de área:

A

F (1.9)

Al despejar la fuerza en la ecuación anterior:

AF (1.10)



Ley de Newton de la viscosidad:

yd

vd x

yx (1.1)

Para un perfil lineal:

xx v

yd

vd (1.8)

Al sustituir (1.8) en (1.1):

xv

xv (1.11)


Av

F x

AvF x (1.12)

Potencia disipada en el movimiento.

xvFP (1.13)


AvP x

2

(1.14)

Ejemplo 1.2.

Una placa situada a 0.5 mm de otra fija, se mueve a 0.25 m/s y requiere una fuerza por

unidad de superficie de 2 N/m2, para mantener esta velocidad. Calcúlese la viscosidad

absoluta del fluido situado entre las dos placas, en unidades del sistema internacional.

VER SOLUCIÓN





6. [MY] Entre dos placas paralelas hay petróleo crudo cuya viscosidad es de 9.52×10–4

lbf.s/ft2. La placa inferior está fija y la placa superior se mueve cuando se aplica una fuerza

F (Ver figura). Si la distancia entre las dos placas es de 0.1 in, ¿qué valor de F se requiere

para trasladar la placa con una velocidad de 3 ft/s? El área efectiva de la placa superior es

de 200 in2.

Respuesta: F = 0.476 lbf.

7. Dos placas paralelas se encuentran separadas una distancia de 5 mm. Una de ellas se

mueve a una velocidad constante de 0.20 m/s. Entre ambas placas se encuentra petróleo

crudo (SG = 0.86) y 1.95×10–5

m2/s, a una temperatura de 20ºC. Se desea calcular la fuerza

ejercida sobre 1 m2 de cada placa.

Respuesta: F = 0.6695 N.

Caso 2. Dos láminas paralelas, movimiento de una tercera contenida entre ellas.

Al aplicar la ecuación (1.12) a la zona superior y a la zona inferior:

1

01

1

AvF (1.15)

2

02

2

AvF (1.16)

0v h

1 Fluido 1, 1

Fluido 2, 2

1F

2F 2



La fuerza total requerida para poner en movimiento la lámina es:

21 FFF (1.17)

Al sustituir las ecuaciones (1.15) y (1.16) en (1.17):

2

02

1

01

AvAvF

2

2

1

10

AvF

1

2

1

10

hAvF (1.18)

Separación entre las placas.

1

11

0

211

0

Av

F

Av

F

h (1.19)

Ubicación de la placa en movimiento:

Se requiere resolver la ecuación de segundo grado en 1 .

0)( 0

11

0

12

2

1

h

F

Avh

F

Av (1.20)



1

2

1

12

0

hAvP (1.21)

Ejemplo 1.3. Primer Examen Parcial 10/05/2001. Prof. Pedro Tineo.

Un espacio de 2.5 cm de ancho entre dos superficies planas de gran superficie está lleno de

glicerina a 20ºC. a) ¿Qué fuerza se necesita para halar, a una velocidad de 0.15 m/s, una

placa de espesor despreciable y 0.5 m2 de área ubicada a una distancia equidistante de las



dos superficies? b) ¿Cuál sería la fuerza necesaria si la placa se ubicase a 1.0 cm de una de

las superficies?

VER SOLUCIÓN

Ejemplo 1.4.

Se desea recubrir por ambos lados una cinta magnética de cassette con un material protector

que, en el momento de la aplicación, es un fluido con comportamiento newtoniano. Con

este fin, se hace pasar la cinta a través de una hendidura muy estrecha. La cinta tiene 0.04

cm de espesor y 0.5 cm de ancho. Se centra la cinta en la hendidura dejando una holgura de

0.03 cm en cada lado. El recubrimiento, cuya viscosidad es 1 Pa.s, llena completamente el

espacio que existe entre la cinta y la pieza que forma la hendidura a lo largo de 2 cm. Si la

cinta puede soportar una fuerza máxima de tensión de 100 N antes de romperse, determine

la velocidad máxima a la cual se puede hacer pasar la cinta a través de la hendidura.

VER SOLUCIÓN

Ejemplo 1.5.

Una placa delgada muy grande se centra en un espaciamiento de 0.06 m de anchura con

diferentes aceites de viscosidades desconocidas arriba y debajo; una viscosidad es el doble

de la otra. Cuando se jala la placa a una velocidad de 0.3 m/s, la fuerza resultante sobre 1

m2 de placa debida al esfuerzo de corte viscoso en ambos lados es de 29 N. Suponiendo un

flujo viscoso y despreciando todos los efectos de extremo, calcular las viscosidades de los

aceites.

VER SOLUCIÓN

Ejemplo 1.6. Primer Examen Parcial. 28/08/2002. Prof. Pedro Tineo.

A través de un interespaciamiento muy angosto, de altura h, se está tirando de una placa

delgada de extensión muy grande, a una velocidad constante. A un lado de la placa hay un

aceite de viscosidad , y al otro lado un aceite de viscosidad k (k veces ). Calcular la

posición de la placa para que la fuerza de tiro sobre la misma sea mínima.

http://www.tutoruniversitario.com/producto/ejercicio-3-2/





VER SOLUCIÓN


8. En la figura el fluido A tiene una viscosidad de 0.02 Pa.s y el fluido B tiene una

viscosidad de 0.07 Pa.s. Calcule la fuerza F necesaria para mover la placa con una

velocidad constante de 0.07 m/s sabiendo que el área de la placa es de 2 m2.

Respuesta: 1.2133 N.

9. [ÇC] Una placa delgada se mueve entre dos superficies estacionarias planas horizontales

paralelas, a una velocidad constante de 5 m/s. las dos superficies estacionarias están

espaciadas entre sí 4 cm, y el medio entre ellas está lleno de aceite con viscosidad de 0.9

N.s/m2. La parte de la placa que está sumergida en aceite en cualquier tiempo dado tiene

una longitud de 2 m y una anchura de 0.5 m. a) Si la placa se mueve en el plano medio

entre las dos superficies, determine la fuerza necesaria para mantener el movimiento. b)

¿Cuál sería su respuesta si la placa estuviera a 1 cm de distancia de la superficie inferior

(h2) y a 3 cm de distancia de la superficie superior (h1)?

Respuesta: F = 450 N; b) F = 600 N.

10. El espacio entre dos grandes superficies planas de 2.00 cm, se ha llenado con un líquido

de peso específico relativo 0.8. Determinar:

a) La viscosidad cinemática, si la fuerza requerida para remolcar una lámina muy delgada

de 4000 cm2 a una velocidad de 20.00 cm/s es de 0.700 kgf, cuando dicha lámina

permanece equidistante de las superficies.

b) La fuerza, si la lámina se encuentra a 7 mm de una de las superficies.

Respuesta: /sm 103630.5 24 , F = 7.5436 N.

v

1.2 cm

Fluido A

Fluido B

F

1 cm




11. Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas 25 mm y el espacio

entre ellas está lleno con un líquido cuya viscosidad absoluta es 0.10 kp.s/m2. Suponiendo

que el gradiente de velocidades es lineal, ¿qué fuerza se requiere para arrastrar una placa de

muy poco espesor y 40 dm2 de área a la velocidad constante de 32 cm/s si la placa dista 8

mm de una de las superficies?

Respuesta: F = 2.35 kp.

12. Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas 32 mm y el espacio

entre ellas está lleno con un líquido cuya viscosidad es de 0.15 poises. Suponiendo que el

gradiente de velocidades es lineal, se pide:

a) ¿Qué fuerza en N se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 0.5 m2 de

área a la velocidad constante de 20 cm/s si la placa dista 10 mm de una de las superficies?

b) ¿Cuál es la potencia disipada en watios?

Respuesta: F = 0.218 N, P = 0.0436 W.

13. [MY] Una gran placa móvil está colocada entre dos grandes placas fijas, como se

muestra en la figura. Dos fluidos newtonianos con las viscosidades indicadas están

contenidos entre las placas. Determinar la magnitud y dirección de los esfuerzos cortantes

que actúan sobre las paredes fijas cuando la placa móvil posee una velocidad de 4 m/s

como se muestra. Suponer que la distribución de velocidad entre las placas es lineal.

Respuesta: Placa superior: Pa 33.13 . Placa inferior: Pa 33.13 .

14. Determinar el espesor de la película para cada fluido (25ºC) en el sistema siguiente.



El área de la lámina en movimiento es 0.4 m2.

Respuesta: m 0157.0Glicerina , m 0093.0ricino de Aceite .

15. Determinar la viscosidad del fluido desconocido (25ºC) en el sistema siguiente.

Identifique el fluido desconocido.

El área de la lámina en movimiento es 0.7 m2.

Respuesta: 2N.s/m10262.1 . Etilenglicol.

16. [ÇC] Se jala horizontalmente de una placa plana delgada de 20 cm × 20 cm a 1 m/s a

través de una capa de aceite de 3.6 mm de espesor, que está entre las placas, una

estacionaria y la otra moviéndose a una velocidad constante de 0.3 m/s, como se muestra en

la figura. La viscosidad dinámica del aceite es de 0.027 Pa.s. Suponiendo que la velocidad

en cada una de las capas de aceite varía en forma lineal, a) trace la gráfica del perfil de

velocidad y encuentre el lugar donde la velocidad del aceite es cero y b) determine la fuerza

que se necesita aplicar sobre la placa para mantener este movimiento.

Respuesta: a) La velocidad es nula a 0.6 mm de la placa inferior. b) F = 1.62 N.

17. Si la viscosidad del aceite encima de la placa móvil es 4 veces mayor que la del aceite

debajo de la placa, determine la distancia de la placa a la superficie inferior (h2) que

reducirá al mínimo la fuerza necesaria para tirar de la placa entre los dos aceites a velocidad

constante.



Respuesta: cm 3333.12 h .

18. Una cinta muy delgada desea recubrirse por ambos lados con dos fluidos 1 y 2 de

viscosidades diferentes. La cinta se coloca entre dos placas separadas a una distancia H. Se

halará la cinta mediante la aplicación de una fuerza horizontal de magnitud fija F.

Determine a qué distancia (h) debe colocarse la cinta de la placa superior para que la

velocidad de recubrimiento ( 0v ) sea la máxima posible.

Respuesta: 12 /1

H

h .

Fuerza en función de la velocidad cuando en el fluido (Bingham) se establece un perfil

lineal de velocidades.

Esfuerzo cortante.

yd

vd x 0 (1.6)


xv0

0 (1.22)


Av

F

0

0

(1.23)



x

x vAv

P

0

0

(1.24)



Ejemplo 1.7.

Un método para caracterizar la reología de fluidos se basa en colocar un fluido entre dos

placas paralelas y ejercer una fuerza longitudinal (F) sobre unas de las placas para llevarla a

una velocidad límite (V). Al utilizar un aparato basado en este principio para el cual la

distancia de separación entre las placas es de 0.03 mm se ha determinado que, si el fluido es

agua a 20°C, cuando la fuerza ejercida es de 0.12 N, la velocidad límite es de 1 cm/s. En el

mismo aparato se coloca un fluido tipo Bingham y se realizan dos experimentos para dos

niveles de fuerza aplicadas diferentes, obteniéndose los siguientes resultados:

F = 17.4 N corresponde a una velocidad de 1 cm/s.

F = 29.4 N corresponde a una velocidad de 2 cm/s.

Determine la viscosidad aparente y el esfuerzo de cedencia de dicho fluido.

VER SOLUCIÓN


19. Un plástico ideal de Bingham se coloca entre dos placas paralelas vecinas, una de las

cuales se mueve en dirección paralela a su cara a 4 m/s cuando la separación es de 0.02 m.

Si el esfuerzo tangencial (fuerza por unidad de área) que se desarrolla es de 0.450 kgf/m2 y

el esfuerzo de fluencia 0 es de 0.250 kgf/m2, encuentre el valor de 0 (viscosidad plástica

= coeficiente de rigidez) en N.s/m2.

Respuesta: 2

f0 .s/mkg 001.0 .

20. Una muestra de fluido está entre dos placas paralelas separadas por una distancia de 2

mm. El área de las placas es de 100 cm2. La placa inferior se encuentra fija y la placa

superior se mueve a una velocidad de 1 cm/s cuando la fuerza aplicada es de 315 dinas, y 5

cm/s cuando la fuerza es de 1650 dinas. Determinar:

a) Si el fluido es newtoniano.

b) ¿Cuál es su viscosidad?

Respuesta: El fluido no es newtoniano. Si fuese un fluido de Bingham, sus parámetros son:

Pa.s 10675.6 4

0

; 22

0 N/m 10875.1 .




Sistemas que involucran fuerza gravitacional.

Sistemas en los cuales un objeto se desliza sobre un fluido en un plano inclinado.

Fluido Newtoniano.

Balance de fuerzas.

Conviene seleccionar la parte positiva del eje en la misma dirección del movimiento.

Cuerpo moviéndose hacia abajo.

td

vdmFW x

vx (1.25)

Cuerpo moviéndose hacia arriba.

x

y

gmW

AFv

N

yW

xW

0v

A



td

vdmFW x

vx (1.26)

La componente del peso a lo largo del eje del movimiento (x) es:

sen gmWx (1.27)

Al sustituir las ecuaciones (1.12) y (1.27) en las ecuaciones (1.25) y (1.26):

td

vdm

Avgm xx

sen (1.28)

td

vdm

Avgm xx

sen (1.29)

Las cuales pueden escribirse como:

sen gv

m

A

td

vdx

x (1.30)

sen gv

m

A

td

vdx

x (1.31)

Obsérvese que independientemente de si el objeto baja o sube, la diferencia en las

ecuaciones diferenciales es el signo en la componente de gravedad, por lo cual la ecuación

diferencial puede escribirse como:

sen gv

m

A

td

vdx

x (1.32)

x

y

gmW

AFv

N

yW

xW



Se trata de sistemas dinámicos de primer orden. La ecuación diferencial (1.32) es una

ecuación lineal de primer orden. Puede resolverse mediante la utilización de un factor

integrante o mediante la separación de variables. Si se recurre a la separación de variables,

una integral útil que aparece en el método de solución es:

Cvv

vd

)(ln1

(1.33)

Análisis de la situación física.

a) Movimiento descendente.

En esta situación se alcanza una velocidad límite, también llamada velocidad terminal

( v ). Esta velocidad se obtiene para un objeto que cae en un plano inclinado cuando la

fuerza viscosa se iguala a la fuerza gravitacional ( xv WF ), provocando que el objeto se

encuentre en equilibrio ( 0F ) y por lo tanto se mueva con velocidad constante.

Si al cuerpo se le imprime una velocidad inicial ( 0v ) menor a la velocidad terminal,

entonces la velocidad del objeto aumentará asintóticamente hasta aproximarse al valor de la

velocidad terminal, mientras que si se le imprime una velocidad inicial mayor a la

velocidad terminal, ésta disminuirá asintóticamente hasta aproximarse a su valor.

Deducción de la ecuación de la velocidad terminal.

Siendo la velocidad terminal una velocidad constante, entonces 0td

vd x, teniéndose que

cuando esta velocidad terminal es alcanzada, la ecuación (1.28) se reduce a

0sen

Avgm y por lo tanto:

seng

A

mv (1.34)

Obsérvese que la velocidad terminal es independiente de la velocidad inicial del objeto.

b) Movimiento ascendente.



Puesto que la fuerza resultante ( vx FW ) que actúa sobre el objeto es opuesta al

movimiento, el movimiento es retardado, por lo tanto, al cabo de un tiempo, el objeto se

detiene ( 0xv ).

En general, para el movimiento del objeto en un plano inclinado, cuando el cuerpo baja (+)

y cuando el cuerpo sube (–), tenemos:

Ecuación del tiempo.

0sen

sen

ln

vgA

m

vgA

m

A

mt

(1.35)

Ecuación de la velocidad.

tm

At

m

A

x egA

mevtv

1sen )( 0

(1.36)

En este nivel, podemos determinar la velocidad terminal aplicando )(lim tvv xt

.

tm

At

m

A

t

egA

mevv

1sen lim 0

seng

A

mv (1.34)

Ecuación de la aceleración.

td

vdta )( (1.37)

tm

At

m

A

egevm

Ata

sen )( 0

(1.38)

Aceleración inicial.

sen 00 gv

m

Aa

(1.39)

Ecuación de la distancia recorrida.



t

tdtvtx0

)()( (1.40)

Una integral útil para determinar la distancia recorrida es:

Cea

tde tata 1

(1.41)

1sen sen 1)(

2

0

tm

At

m

A

egA

mtg

A

mev

A

mtx

(1.42)

Movimiento sobre un plano horizontal.

Finalmente, si el cuerpo se mueve en un plano horizontal ( 0 ), el movimiento es

retardado, y las ecuaciones (1.35), (1.36), (1.38), (1.39) y (1.42) son válidas, siendo

simplificadas a las siguientes:


0

lnv

v

A

mt

(1.35a)


tm

A

x evtv

0)(

(1.36a)


tm

A

evm

Ata

0)( (1.38a)


00 vm

Aa

(1.39a)


tm

A

evA

mtx

1)( 0 (1.42a)

En resumen:

1) Si el cuerpo se lanza hacia arriba del plano inclinado, eventualmente se detendrá, para

luego comenzar a descender desde una velocidad inicial nula.



2) Si el cuerpo se lanza hacia abajo con una velocidad inicial menor a la velocidad terminal,

la velocidad aumentará hasta alcanzar la velocidad terminal.

3) Si el cuerpo se lanza hacia abajo con una velocidad inicial mayor a la velocidad terminal,

la velocidad disminuirá hasta alcanzar la velocidad terminal.

4) Si el cuerpo se lanza en un plano horizontal, el movimiento es retardado. Su velocidad

disminuye asintóticamente hasta una velocidad nula.


Sistemas en régimen estacionario (Velocidad constante).

21. [RF] Un bloque que pesa 10 lb y que tiene dimensiones de 10 in en cada borde se

empuja hacia arriba en una superficie inclinada en la que hay una película de aceite SAE

10W-30 a 100ºF (2

f

4 .s/ftlb 1073.7 ). Si la velocidad del bloque es 2 ft/s y la película

de aceite es de 0.001 in de espesor, encontrar la fuerza necesaria para empujar el bloque.

Suponga que la distribución de velocidades en la película de aceite es lineal. La superficie

está inclinada en un ángulo de 25º de la horizontal.


22. [ÇC] Se debe mover un bloque de 50 cm × 30 cm (en su base) × 20 cm (de altura) que

pesa 150 N a una velocidad constante de 0.8 m/s sobre una superficie inclinada 20º con

respecto a la horizontal. Si se aplica una película de aceite de 0.4 mm de espesor, con una

viscosidad dinámica de 0.012 Pa.s entre el bloque y la superficie inclinada, determine la

fuerza F necesaria a aplicar en la dirección horizontal.


Sistemas en régimen no estacionario (Velocidad en función del tiempo).

Movimiento en un plano horizontal ( 0 ).



Ejemplo 1.8.

Cuando un automóvil frena sobre pavimento mojado, los cauchos pueden

momentáneamente deslizar sobre una película delgada de agua. Si los cauchos están lisos,

el movimiento del agua entre los cauchos y el suelo puede aproximarse al del flujo entre

dos placas infinitas paralelas, cuando la placa superior se mueve a velocidad constante. Si

el área efectiva de contacto entre los cauchos y el pavimento es 1500 cm2 y el espesor de la

película de agua es 0.02 mm, exprese la fuerza de arrastre que ejerce la película de agua

sobre el automóvil en función de su velocidad. Considerando que, durante el proceso de

frenado, la única fuerza que actúa sobre el automóvil es la ejercida por la película de agua y

suponiendo que la fuerza de arrastre – velocidad es la misma aún si la velocidad cambia,

calcule el tiempo que se requeriría para desacelerar un automóvil de 1000 kg desde 100

hasta 10 km/h si se mantuviese la película de agua a 20ºC entre los cauchos y el pavimento.

Determine además la distancia recorrida.

VER SOLUCIÓN


23. [RF] Una patinadora de hielo estilo libre femenino, con un peso de 100 lbf, se desliza

sobe un patín a una velocidad de 20 ft/s. Su peso es soportado por una fina capa de agua

líquida fundida del hielo por la presión de la cuchilla del patín. Supongamos que la hoja

tiene L = 11.5 in de largo y w = 0.125 in de ancho, y la película de agua tiene h =

0.0000575 in de espesor. Estimar la desaceleración de la patinadora que resulta del esfuerzo

viscoso en la película de agua si se desprecian los efectos finales.

Respuesta: 2

0 m/s 491.0a .

24. [FW] Un disco de hockey de aire tiene una masa de 50 g y un diámetro de 9 cm.

Cuando se coloca sobre una mesa de aire a 20ºC, el ventilador forma una película de 0.12

mm de espesor de aire bajo el disco. El disco es golpeado con una velocidad inicial de 10

m/s. ¿Cuánto tiempo se tarda el disco para que el disco a) reduzca su velocidad a 1 m/s, b)

se detenga completamente? c) ¿Cuán lejos ha viajado el disco para el caso a?

Respuesta: a) 119.0 s; b) Infinito; c) 465.11 m.




25. [WM] En el intro del comic Meteoro (Speed Racer), el Rey de las Pistas, el

archifamoso Mach 5 es frenado sobre un pavimiento mojado desde una velocidad de 120

km/h y mientras el vehículo se encuentra en movimiento a 5 km/h, el protagonista sale del

mismo. Sabiendo que dicho vehículo tiene una masa aproximada de 1500 kg (incluyendo al

protagonista, a Chispita y a Chito, que siempre viajan en la maleta), que la película de

fluido es de m 20 de espesor y que el área de contacto de los 4 cauchos con el pavimento

es de 720 cm2, determine el tiempo que tarda el Mach 5 en disminuir su velocidad y la

distancia que recorre en ese periodo de tiempo.

Respuesta: t = 1298.22 s, x = 13049.20 m.

26. [WM] Una práctica común de los niños en el baño del preescolar es disolver jabón y

agua en el piso y deslizarse colocando la parte frontal de su cuerpo contra el piso,

impulsándose con las piernas contra las paredes del recinto. Un niño de 16 kg se impulsa

con una velocidad de 4.0 m/s, tardando 2 segundos en llegar a la otra pared en el extremo

del recorrido y con una velocidad de 3.5 m/s. Si el espesor de la película es de 0.06 mm, y

el área de contacto entre la parte frontal del niño y el piso es de 500 cm2, determine la

viscosidad del agua enjabonada y la distancia recorrida por el niño.

Respuesta: 23 N.s/m1028.1 , x = 5.29 m.

27. [WM] En la Taberna de Moe, uno de los principales lugares donde se desarrolla la

trama de la serie de televisión de dibujos animados “Los Simpson”, y propiedad de Moe

Szyslak, Homero pide su acostumbrada cerveza Duff, la cual es servida en un vaso

cilíndrico de 8 cm de diámetro. El vaso (incluyendo el refrescante contenido) es lanzado a

lo largo de la mesa por Moe, quien le imprime una velocidad inicial de 40 m/s, recibiéndola

Homero a una velocidad de 1.0 m/s al cabo de 0.5 segundos. Es de esperarse que el mesón

esté mojado de cerveza, agua producto de la condensación en las paredes de los vasos, o la

saliva de Barney. La película de fluido es de m 16.1 de espesor entre la superficie del

vaso y la mesa. Asumiendo que la masa del vaso y su contenido es 0.6 kg, determine:

a) La viscosidad del fluido que moja la mesa.

b) A qué distancia de Moe se encuentra Homero?



Respuesta: 23 N.s/m1002.1 , x = 3.18 m.



Movimiento en un plano inclinado ( 0 ).

Ejemplo 1.9.

Un deporte oficial de las olimpiadas de invierno que es popular en países de altas latitudes

es el “bobsledding”. Dicho deporte consiste en deslizar un vehículo (trineo) sobre una pista

de hielo inclinada. Los vehículos tienden a alcanzar velocidades muy altas. El peso del

vehículo ejerce una presión sobre el hielo que es mayor que la presión de saturación líquido

– sólido del agua, lo que hace que el hielo se funda formando una película muy delgada de

agua entre el fondo del vehículo y el hielo. Se desea estimar el espesor de la película de

agua entre la cual se desliza el vehículo. Se sabe que la inclinación de la pista es de unos

30º con respecto a la horizontal y que el vehículo alcanza una velocidad máxima de 100

km/h. Suponga que el área de contacto entre el fondo del vehículo y la película de agua es

0.5 m2 y que la masa total del vehículo más el ocupante es de 80 kg. Especifique las

suposiciones realizadas.

VER SOLUCIÓN

Ejemplo 1.10.

Se tiene un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal, con una película de aceite de

0.5 mm de espesor y un bloque de 1 kg de masa con un área de contacto de 0.04 m2. Se

lanza el bloque hacia abajo por el plano inclinado con una velocidad inicial de 10 cm/s.

Determine cuánto tiempo tardará en incrementarse la velocidad del bloque en un 50%. La

viscosidad del aceite es de 2 mPa.s.

VER SOLUCIÓN

Ejemplo 1.11. Movimiento en un plano inclinado. Primer Examen Parcial. 27/03/2004.

Prof. Pedro Tineo.

Un bloque cúbico de 0.2 m de arista tiene una masa de 2 kg. El bloque se suelta y se desliza

sobre un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal. Entre el bloque y el plano existe

una película muy delgada de aceite SAE 10W-30 a 20°C ( 45.0 Pa.s). La película tiene

0.02 mm de espesor y el perfil de velocidades dentro de ella se puede suponer lineal con la





posición perpendicular al plano. Eventualmente, el bloque alcanza una velocidad de

deslizamiento constante, denominada velocidad terminal. Explique por qué esto ocurre.

Determine el valor de dicha velocidad y el tiempo que el bloque tarda en alcanzarla.

VER SOLUCIÓN


Se tiene un plano inclinado (ángulo de inclinación ) sobre el cual se encuentra una capa

muy delgada (espesor h) de un fluido newtoniano (viscosidad ). Sobre el plano inclinado

se coloca un bloque (masa M y área de contacto A) el cual se lanza hacia arriba (velocidad

inicial v0) y se les pide obtener:

a) Una expresión que permita calcular el tiempo que tarda el bloque en detenerse.

b) Una expresión para calcular la distancia recorrida.

VER SOLUCIÓN


28. [IS] Un bloque cúbico de 1 kN de peso y 200 mm de lado se desliza hacia abajo en un

plano inclinado sobre una película de aceite con un espesor de 0.0050 mm. Si se utiliza un

perfil lineal de velocidades en el aceite, ¿cuál es la velocidad terminal del bloque? La

viscosidad del aceite es P 107 2 .

Respuesta: m/s 11.6v .

29. [MY] Un bloque de 10 kg se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado liso, como se

muestra en la figura. Determinar la velocidad terminal del bloque si la separación de 0.1

mm entre el bloque y la superficie contiene aceite SAE 10W-30 a 60ºF (2N.s/m 38.0 ).





Suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal y que el área del bloque

en contacto con el aceite es de 0.2 m2.


30. Un bloque cúbico que pesa 5 kgf tiene 20 cm de arista y resbala sobre un plano

inclinado, en el que existe una película de aceite de espesor 0.025 cm. ¿cuál es la velocidad

límite a la que descenderá el bloque? Asumir perfil lineal de velocidades. Datos:

2

f

4

Aceite .s/mkg 102.2 , º20 (Ángulo de inclinación).


31. Un cuerpo de 40 kg de masa, resbala sobre un plano inclinado 30º con la horizontal,

apoyándose en una de sus caras planas de 1800 cm2 de superficie. Para una viscosidad de 1

poise y una velocidad de 1.5 m/s, determinar el espesor de la película lubricante y la

potencia en el deslizamiento en kW.

Respuesta: mm 1376.0 , P = 294.3 W.

32. [MY] Un cubo sólido que mide 0.5 pies de arista y pesa 100 lb desciende por una

superficie lisa que forma un ángulo de 30º con la horizontal. El bloque se desliza sobre una

película de aceite cuya viscosidad es de 1.71×10–2

lbf.s/ft2. Si la velocidad terminal del

bloque es de 1.2 ft/s, ¿cuál es el grosor de la película? Suponer una distribución de

velocidad lineal en la película.

Respuesta: ft 10125.7 7 .

33. Un cuerpo de 120 lbf y superficie plana igual a 2 ft2, resbala sobre un plano inclinado

formando un ángulo de 30° con la horizontal. Si el lubricante posee un poise y el cuerpo se

mueve a 3 ft/s. Determine el espesor de la película del lubricante.



Respuesta: ft 100885.2 3 .

34. [RF] Un bloque cúbico de 0.2 m de arista, con 5 kg de masa, se desliza por una

pendiente suave, 30º por debajo de la horizontal, sobre una película de aceite SAE 10W-30

(2N.s/m 4.0 ) que tiene 0.20 mm de espesor. Si el bloque se libera a partir de t = 0,

¿Cuál es su aceleración inicial? Deducir una expresión para la velocidad del bloque como

una función del tiempo. Trazar la curva de )(tv . Encuentre la velocidad después de 0.1 s.

Si queremos que la masa alcance una velocidad de 0.3 m/s en este momento, encuentre la

viscosidad del aceite que tendríamos que usar.

Respuesta: a0 = 4.905 m/s2,

tδm

Aμ

egA

mtv 1sen )(

, )1(3066.0)( 16tetv , v (0.1)

= 0.245 m/s, 2N.s/m 269.0 .

35. La bajada del Picacho, muy famosa en la ciudad de Maturín, Estado Monagas, es

particularmente peligrosa en periodos de lluvia, puesto que el pavimento mojado junto con

el aceite de desecho de algunos talleres mecánicos cercanos puede formar una película de

fluido que hace que algún conductor desprevenido tome la bajada y cuando pretenda frenar,

el vehículo se deslice. Dicha bajada tiene un ángulo de inclinación de 45º

aproximadamente. Un vehículo con una masa de 1600 kg entra a la bajada con una

velocidad de 21 m/s y se desliza durante 1.3 segundos, al final de los cuales choca contra

las defensas con una velocidad de 30 m/s. Si la viscosidad de la película de fluido es

1.02×10–3

N.s/m2 y el área de contacto de uno de los cauchos con el pavimento es de 576

cm2, determine:

a) El espesor de la película.



b) La distancia recorrida antes del impacto.

Respuesta: a) mm 25.0 ; b) x = 33.15 m.

Fluido de Bingham.

Para que se pueda iniciar el movimiento, es necesario vencer una fuerza umbral mínima

( A0 ). Esto se consigue aplicando una velocidad inicial (v0) o, dejando actuar sólo el efecto

gravitacional ( sengm ).

Caso I. Si Agm 0sen : El cuerpo se mueve libremente. Una vez iniciado el

movimiento con cualquier velocidad inicial, ésta varía hasta alcanzar la velocidad terminal.

Ángulo mínimo requerido para iniciar el movimiento:

gm

A01sen

(1.43)

Velocidad terminal (ó velocidad límite):

0

0

sen

A

gmv (1.44)

Caso II. Si Agm 0sen : El cuerpo se moverá sólo si se le imprime una velocidad

inicial. La velocidad disminuye hasta que el cuerpo detiene su movimiento.

En general, para este movimiento, cuando el cuerpo baja (+) y cuando el cuerpo sube (–),

tenemos:


0

0

0

sen

sen

ln

vgA

m

vgA

m

A

mt

(1.45)


tm

At

m

A

egA

mevtv

1sen )( 0

0 (1.46)




m

At

m

A

em

Agev

m

Ata

0

0 sen )( (1.47)


m

Agv

m

Aa 0

00 sen

(1.48)


1sen sen 1)( 00

0

tm

At

m

A

egA

m

A

mtg

A

mev

A

mtx

(1.49)

Si el cuerpo se mueve en un plano horizontal ( 0 ), el movimiento es retardado, y las

ecuaciones (1.45), (1.46), (1.47), (1.48) y (1.49) son válidas, siendo simplificadas a las

siguientes:


00

0

ln

v

v

A

mt

(1.45a)


00

0)(

tm

A

evtv (1.46a)


tm

A

em

Av

m

Ata

0

0)( (1.47a)


m

Av

m

Aa 0

00

(1.48a)




tevA

mtx

tm

A

00

0 1)(

(1.49a)

Ejemplo 1.13.

Un disco de 10 cm de radio y 5 cm de espesor descansa sobre una película de 1 mm de

espesor de un fluido tipo Bingham, la cual está extendida sobre un plano inclinado (ver

figura). El disco está hecho de un material con densidad de 2000 kg/m3. El esfuerzo de

cedencia del fluido es de Pa 6000 y su viscosidad es mPa.s 80 .

a) Determine el máximo valor del ángulo de inclinación )( max para que el disco no

deslice.

b) Si el max2 , determine la velocidad límite a la que se mueve el disco sobre el plano.

El perfil de velocidad en la capa de fluido entre el disco y el plano puede considerarse

lineal, una vez que se establece el movimiento.

VER SOLUCIÓN


Un bloquecito de masa m = 4 kg se lanza hacia abajo en un plano inclinado con una

velocidad inicial v0 = 2 m/s. El plano está inclinado un ángulo y puede considerarse de

longitud infinita; sobre él hay una película de espesor h = 1 mm de un fluido tipo Bingham

R L

v




( Pa 7500 y mPa.s 115 ). Si la base del bloquecito es A = (20×20) cm y su altura es

de 10 cm, calcule el tiempo que tardaría en detenerse si º30 y º60 . ¿Qué pasa en

cada caso?

VER SOLUCIÓN

Sistemas radiales.

Flujo longitudinal entre dos cilindros.

Ejemplo 1.15.

Un cilindro de 20 lb de peso se desliza dentro de un tubo lubricado. La holgura entre el

cilindro y el tubo es 0.001 in. Si se observa que el cilindro se desacelera a una tasa de 2 ft/s2

cuando la velocidad es 20 ft/s, ¿cuál es la viscosidad del aceite? El diámetro del cilindro D

es 6.00 in y la longitud L es 5.00 in.

VER SOLUCIÓN

Ejemplo 1.16.

Un método experimental para determinar la viscosidad de fluidos newtonianos consiste en

dejar caer un cilindro sólido concéntricamente en el interior de un cilindro graduado que se

encuentra lleno de fluido. El cilindro sólido alcanza una velocidad límite de caída (v0) y,

por tener ambos cilindros diámetros muy similares, el espacio entre ellos se aproximar a un

espacio entre dos placas paralelas (ver figura). La distribución de presiones puede

considerarse igual a la que existe en condiciones estáticas.

En un fluido cuya densidad es de 1700 kg/m3 se deja caer un cilindro de 700 g. Se ha

determinado que el cilindro cae una distancia de 40 cm. en un tiempo de 2 s. Determine la

viscosidad del fluido.





VER SOLUCIÓN

Ejemplo 1.17.

Un fluido tipo Bingham cuya densidad es de 1700 kg/m3 y su esfuerzo de cedencia es de

1200 Pa se encuentra en reposo en un tubo circular vertical de 2.5 cm de radio, tal como se

muestra en la figura. Sobre el fluido se encuentra colocado un émbolo sólido cuya masa es

de 500 g. Determine la magnitud de la fuerza que debe ejercerse sobre el émbolo para que

el fluido comience a moverse hacia abajo.

VER SOLUCIÓN


36. [Cr] Este problema envuelve un cilindro cayendo dentro de un tubo que está lleno con

aceite, como se muestra en la figura. El pequeño espacio entre el cilindro y el tubo es

P0

P0

F

h = 10 cm Fluido

Bingham





lubricado con una película de aceite que tiene viscosidad . Derive una fórmula para la

velocidad estacionaria de descenso de un cilindro con peso W, diámetro d y longitud L

deslizándose dentro de un tubo vertical liso que tiene un diámetro D. Asuma que el cilindro

es concéntrico con el tubo mientras cae. Use la fórmula general para encontrar la velocidad

de descenso de un cilindro de 100 mm de diámetro que se desliza dentro de un tubo de

100.5 mm. La longitud del cilindro es 200 mm y su peso es 15 N. El lubricante es aceite

SAE 20 W a 10ºC.

Respuesta: Ld

dDWv

2

)( , v = 0.23 m/s.

37. Un cilindro solido A de masa 2.5 kg se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se

muestra en la figura. El cilindro es perfectamente concéntrico con la línea central del tubo

con una película de aceite entre el cilindro y la superficie interna del tubo. El aceite posee

7×10–3

N.s/m2. ¿Cuál es la velocidad terminal del cilindro, es decir la velocidad constante

final del cilindro?



Respuesta: v = 10.07 m/s.

38. Una probeta rectangular, de área transversal (0.1×0.4) m2, 0.9 m de longitud y 196000

N/m3, resbala verticalmente a través de un ducto rectangular con una velocidad de 12 ft/s.

La separación constante entre el ducto y la probeta es de 0.0254 in y está lleno con un

aceite de 5.6×10–9

m2/s. Encuentre la densidad del aceite.

39. Un émbolo se mueve a lo largo de un cilindro con una velocidad de 20 ft/s. La película

de aceite que separa el émbolo del cilindro tiene una viscosidad de 0.020 lb.s/ft2. ¿Cuál es

la fuerza que se requiere para mantener este movimiento?

Respuesta: F = 313.28 lbf.

40. [MY] Un eje de 25 mm de diámetro es empujado a través de un cojinete cilíndrico,

como se muestra en la figura. El lubricante que llena la separación de 0.3 mm entre el eje y

el cojinete es un aceite con viscosidad cinemática de 8.0×10–4

m2/s y densidad relativa de



0.91. Determinar la fuerza F requerida para empujar el eje a una velocidad de 3 m/s.

Suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal.


41. [OL] ¿Qué diámetro de tubo vertical permitiría a la mayonesa ( 3kg/m 1200 ) fluir

bajo su propio peso?

Respuesta: R = 1.4441×10–2

m.

Flujo rotacional.

Fuerza en función de la velocidad angular cuando en el fluido se establece un perfil

lineal de velocidades en un sistema rotatorio.

Se presentan los sistemas siguientes:

Viscosímetro de cilindro rotatorio:

La relación entre la velocidad tangencial y la velocidad angular en un sistema rotatorio es:

v = w r (1.50)

Área de contacto (Área de la superficie lateral del cilindro):

LrA 2 (1.51)

w

R

Cilindro

interior

rotatorio

Fluido

Cilindro

exterior

fijo

L



En el caso del cilindro, el radio es constante e igual al radio del cilindro interior:

r = R (1.52)

Las ecuaciones (1.50) y (1.51) se escriben como:

v = w R (1.53)

y

LRA 2 (1.54)

Al sustituir en las ecuaciones (1.53) y (1.54) en la ecuación (1.12):

)2()( LRRwF

LRwF

22 (1.55)

La ecuación (1.55) proporciona la fuerza (constante) que actúa sobre las paredes del

cilindro interno.

Torque necesario para mover el cilindro interior.

T = F×R (1.56)


RLRw

T

22

LRwT

32 (1.57)


P = T w (1.58)


LRwP

322 (1.59)


42. [MY] La viscosidad de los líquidos se puede medir usando un viscosímetro de cilindro

rotatorio como el que se ilustra en la figura. En este dispositivo, el cilindro exterior está fijo

y el cilindro interior gira con una velocidad angular w . Se mide el torque T (par) requerido



para desarrollar w y la viscosidad se calcula a partir de estas mediciones. Obtener una

ecuación que relacione , w, T, L, R0, y Ri. Ignorar los efectos en los extremos y suponer

que la distribución de velocidad en la separación es lineal.

Respuesta: i

i

RR

RLwT

0

22 .

43. Un viscosímetro giratorio consiste en dos cilindros concéntricos: un cilindro interior

estacionario de radio Ri un cilindro exterior de radio interior Ro que gira a una velocidad

angular (razón de rotación) w0. En la pequeña brecha entre ambos cilindros está el fluido

cuya viscosidad ( ) se va a medir. La longitud de los cilindros es L. L es tan largo que los

efectos de extremo son despreciables (podemos tratar este problema como bidimensional).

Se necesita un momento de torsión (T) para hacer girar el cilindro exterior a velocidad

constante. Mostrando todo su trabajo y toda su álgebra, genere una expresión aproximada

de T como función de las otras variables.

Respuesta: iRR

LRwT

0

3

002 .

44. [ÇC] Se va a medir la viscosidad de un fluido con un viscosímetro construido de dos

cilindros concéntricos de 75 cm de largo. El diámetro exterior del cilindro interior es de 15

cm y la brecha entre los dos cilindros es de 0.12 cm. Se hace girar el cilindro interior a 200

rpm y se mide que el par de torsión es de 0.8 N.m. Determine la viscosidad del fluido.



Respuesta: Pa.s0231.0 .

45. [ÇC] Considere una chumacera de 40 cm de largo que se lubrica con un aceite cuya

viscosidad es de 0.1 kg/m.s a 20ºC al principio de la operación, y de 0.008 kg/m.s a la

temperatura de operación anticipada de 80ºC. El diámetro de la flecha es de 8 cm y la

brecha promedio entre esa flecha y la chumacera es de 0.08 cm. Determine el par torsión

necesario para vencer la fricción en la chumacera, inicialmente, y durante la operación

estacionaria, cuando la flecha se hace girar a 800 rpm.

Respuesta: A 20ºC: T = 1.6844 N.m; A 80ºC: T = 0.1348 N.m.

46. [ÇC] Un eje cilíndrico de 10 cm de diámetro gira dentro de una chumacera de 40 cm de

longitud y 10.3 cm de diámetro. El espacio entre el eje está completamente lleno con aceite

cuya viscosidad a la temperatura prevista de operación es 0.300 N.s/m2. Determine la

potencia necesaria para vencer la fricción cuando el eje gira a una velocidad de a) 600 rpm,

y b) 1200 rpm.

Respuesta: a) P = 2.48 W; b) P = 9.92 W.

47. [MY] El espacio entre dos cilindros concéntricos que miden 6 pulgadas de longitud está

lleno de glicerina (viscosidad = 8.5×10–3

lbf.s/ft2). El radio del cilindro interior mide 3 in y

el ancho de la separación entre los cilindros es de 0.1 in. Determinar el torque y la potencia

requerida para hacer girar el cilindro interior a 180 rpm. El cilindro exterior está fijo.

Suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal.

Respuesta: T = 0.944 lbf.ft, P = 17.8 lbf.ft/s.

48. [OL] Se planea producir y comercializar una excelente y nueva pasta de dientes de

brillo cegador deominada <<Leer>>. Se ha construido una pequeña planta piloto y se



dispone de muestras de <<Leer>> para ensayos. En la planta industrial se tendrá que

bombear <<Leer>> a diversos sitios, y para hacer esto de una manera eficaz se necesita

saber sus propiedades de flujo. Para ello se introduce <<Leer>> en un viscosímetro de capa

rotatoria de las dimensiones mostradas a continuación.

Se encuentra que la capa es capaz de girar solamente cuando el par de torsión excede 10/

N.m; y la capa gira a 3.8 rpm cuando el par de torsión es 5/ N.m. ¿Qué clase de fluido es

<<Leer>> y cuáles son los valores de sus parámetros de flujo?

Respuesta: Fluido de Bingham. Pa 05.1960 , Pa.s 7563.90 .

Viscosímetro de disco giratorio.

Cuando la fuerza es variable con el radio, la ecuación (1.12) se escribe en forma

diferencial:

Adv

Fd

(1.60)


Adrw

Fd

(1.61)

La fuerza (F), la velocidad tangencial (v) y el área de contacto (A) son variables con la

distancia radial al centro del disco (r).



Vista superior:

El área de contacto es el área del anillo diferencial, el cual tiene longitud r2 y altura rd .

2rA (1.62)

rdrAd 2 (1.63)


)2( rdrrw

Fd

rdrw

Fd

22

(1.64)

Torque requerido para poner en movimiento uno de los discos.

2

1

r

rFdrT (1.65)


R

rdrw

rT0

22

R

rdrw

T0

32

rd

r R



2

4RwT

(1.66)



2

42RwP (1.67)

Expresiones similares pueden ser deducidas para otras configuraciones radiales en las

cuales la fuerza, la velocidad tangencial y el área de contacto varíen en función del radio de

giro. Ejemplos de estos sistemas son: Viscosímetro cónico, Viscosímetro esférico,

Viscosímetro parabólico, etc.

Ejemplo 1.18.

En algunos aparatos de medición eléctrica, el movimiento del mecanismo indicador se

atenúa al tener un disco circular que gira (con el indicador) en un tanque de aceite. De esta

forma, las rotaciones extrañas se atenúan.

a) [Cr] Deduzca una fórmula para el torque de atenuamiento como una función del radio

del disco R, espaciamiento , velocidad de rotación w y viscosidad del aceite .

b) [IS] ¿Cuál es el torque de atenuamiento para w = 0.2 rad/s si el aceite tiene una

viscosidad de 8×10–3

N.s/m2? Ignore los efectos en el borde exterior de la placa rotante.

VER SOLUCIÓN





49. [FW] El dispositivo mostrado en la figura se denomina viscosímetro de disco rotatorio.

Suponga que R = 5 cm y mm 1 . Si el torque requerido para rotar el disco a 900 rpm es

0.537 N.m, ¿cuál es la viscosidad del fluido?

Respuesta: Pa.s 2902.0 .

50. [ÇC] En algunos sistemas de amortiguación se usa como amortiguador un disco circular

sumergido en aceite, como se muestra en la figura. Demuestre que el par torsión de

amortiguamiento es proporcional a la velocidad angular w, de acuerdo con la relación

wCT ientoamortiguam en donde 4)/1/1(5.0 RbaC . Suponga perfiles lineales de

velocidad en los dos lados del disco y desprecie los efectos en los bordes del disco.

Viscosímetro cónico.



Vista superior:

El área de contacto es el área del anillo diferencial, el cual tiene longitud r2 y altura yd .

ydrAd 2 (1.68)


)2( ydrrw

Fd

ydrw

Fd

22 (1.69)

Aplicando triángulos semejantes:

R

r

HR

y

22

rR

HRy

22

(1.70)

yd

r R

R

H

y

r



rdR

HRyd

22

(1.71)


rdR

rHRwFd

2222

(1.72)

Torque requerido para poner en movimiento el cono interno.

2

1

r

rFdrT (1.65)


R

rdR

rHRwrT

0

2222

R

rdrR

HRwT

0

3

222

2

322 RHRwT

(1.73)



2

3222 RHRwP

(1.74)

Ejemplo 1.19.

Se hace rotar un cuerpo cónico con una velocidad constante de 10 rad/s. Una película de

aceite con una viscosidad de 4.5×10–5

lbf.s/pie2 separa el cono del contenedor. El espesor de

la película es 0.01 in. ¿Qué torque se requiere para mantener este movimiento? El cono

tiene un radio de 2 in en la base y 4 in de altura. Use la suposición de perfil lineal y la ley

de viscosidad de Newton.



VER SOLUCIÓN


51. [ÇC] Un cuerpo en forma de cono cortado gira a velocidad angular constante de 200

rad/s en un recipiente lleno con aceite SAE 10W-30 a 20ºC ( Pa.s 1.0 ) como se muestra

en la figura. Si, especialmente en los lados el espesor de la película de aceite es de 1.2 mm,

determine la potencia necesaria para mantener este movimiento. Determine también la

reducción en el consumo de potencia necesario cuando la temperatura del aceite se eleva

hasta 80ºC ( Pa.s 0078.0 ).

Respuesta:

dD

DdL

D

d

h

DwW

])/(1[21

32

4442, 92%.

52. [RF] El viscosímetro de cono y placa que se muestra es un instrumento usado

frecuentemente para caracterizar fluidos no newtonianos. Consiste de una placa plana y un

cono que gira con un ángulo muy obtuso (típicamente es menor de 5 grados). El vértice

del cono sólo toca la superficie de la placa y el líquido a ser probado llena el espacio




estrecho formado por el cono y la placa. Obtenga una expresión para la velocidad en el

líquido que llena la brecha en términos de la geometría del sistema. Evaluar el par de

torsión en el cono impulsado en términos del esfuerzo cortante y la geometría del sistema.

Respuesta:

w ,

3

2 3RwT .

53. [RF] Un eje con punta cónica gira en un cojinete cónico. El espaciamiento entre el eje y

el cojinete está lleno de un fluido que tiene viscosidad . Obtenga una expresión

algebraica para el esfuerzo cortante que actúa en la superficie del eje cónico. Calcule el

torque viscoso que actúa en el eje.

Respuesta:

tanyw ,

cos2

tan 43 HwT

54. [RF] Calcular el par torsión que actúa en el eje. El espaciamiento entre el eje y el

cojinete está lleno de aceite pesada que tiene la viscosidad de SAE 10W-30 a 30ºC

( Pa.s 2.0 ).



Respuesta: T = 0.0206 N.m.

55. Un cuerpo cónico gira a velocidad angular constante de 600 rpm en un recipiente como

se muestra en la figura. Una brecha uniforme de 0.001 ft entre el cono y el recipiente se

llena con aceite que tiene una viscosidad de 0.01 lbf.s/ft2. Determinar el par de torsión

requerido para hacer girar el cono.

Respuesta: T = 0.197 lbf.ft.

Viscosímetro esférico.

56. [RF] Se muestra un cojinete de empuje esférico. La brecha entre el miembro esférico y

la carcasa es de anchura constante . Obtener y representar gráficamente una expresión

algebraica para el par sobre el elemento esférico, en función del ángulo .



Respuesta:

sen Rw ,

3

2cos

3

cos2 34

RwT

57. [IS] Una esfera de radio R rota con una velocidad constante de w rad/s. Una película de

aceite separa la esfera rotante de un contenedor esférico estacionario. Deduzca una

expresión para el torque resistente en términos de R, w, y .

Respuesta:

3

8 4RwT .

1.4.- LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD PARA PERFILES DE VELOCIDAD

NO LINEALES.

Sistemas rectangulares.

Esfuerzo cortante.

El esfuerzo cortante se obtiene a partir del perfil de velocidades mediante la siguiente

ecuación:

yd

vd xyx

(1.1)

Velocidad máxima.

Para obtener el valor máximo de la velocidad (vy,max), se tiene que

0yd

vd x (1.75)

Luego

0yx (1.76)



Al resolver la ecuación (1.76) obtenemos un valor crítico (y = y0) para la velocidad. Para

determinar la velocidad máxima, se evalúa el perfil en el valor de y = y0, esto es

)( 0max, yvv xx

(1.77)

Ejemplo 1.20.

Dedúzcase una expresión para la componente de la fuerza F del fluido sobre cada superficie

de la figura para flujo laminar entre dos placas en movimiento.

El perfil de velocidades está dado por 000

20 )()(2

)(u

yvuyy

L

ppv L

x

.

VER SOLUCIÓN


58. [Cr] Aire a 15ºC forma una capa límite cerca de una pared sólida. La distribución de

velocidades en la capa límite está dada por )1(

2

max

y

evv

, donde vmax = 30 m/s y

cm 1 . Determine el esfuerzo cortante en la pared (y = 0).

Respuesta: Pa 08763.0 .

0v

Lp

0p

L

0u

y

x




59. [Cr] La distribución de velocidad para el agua (20ºC) cerca de una pared está dada por

6

1

b

yav , donde a = 10 m/s, b = 2 mm y y es la distancia a la pared en mm. Determine el

esfuerzo cortante en el agua a y = 1 mm.

Respuesta: Pa 2958.0 .

60. [Cr] Se muestra la distribución de velocidad para el flujo de petróleo crudo a 100ºF

(2

f

5 .s/pielb108 ) entre dos paredes, y está dado por v = 100 y (0.1 – y) ft/s, donde y

es medido en pies y el espacio entre las paredes es 0.1 ft. Trazar la distribución de

velocidad y determinar el esfuerzo cortante en las paredes.

Respuesta: 2

f

4

0/ftlb 108

y , 2

f

4

ft 1.0/ftlb 108

y .

61. Considere el flujo laminar de un fluido newtoniano de viscosidad entre dos placas

paralelas. El flujo es unidimensional y el perfil de velocidad se da como

2

max4h

y

h

yvv , donde y es la coordenada vertical desde la superficie del fondo, h es

la distancia entre las dos placas y vmax es la velocidad máxima de flujo que se tiene a la

mitad del plano. Desarrolle una relación para la fuerza de arrastre, ejercida sobre las dos

placas por el fluido en la dirección del flujo por unidad de área de las placas.



Respuesta: h

vy

max

0

4

,

h

vy

max

0

2

.

62. [RF] La distribución de velocidad para el flujo laminar entre placas paralelas está dada

por

2

max

21

h

yvv , donde h es la distancia que separa las placas y el origen se sitúa

equidistante entre las placas. Considere el flujo de agua a 15ºC con vmax = 0.10 m/s y h =

0.25 mm. Calcular el esfuerzo cortante en la placa superior y dar su dirección. Dibuje la

variación de esfuerzo cortante a través del canal.

Respuesta: Pa 91708.12/

hy

hacia la izquierda.

63. [RF] La distribución de velocidad para el flujo laminar entre placas paralelas está dada

por

2

max

21

h

yvv , donde h es la distancia que separa las placas y el origen se sitúa

equidistante entre las placas. Considere el flujo de agua a 15ºC con la velocidad máxima de

0.05 m/s y h = 1 mm. Calcular la fuerza en una sección de 1 m2 de la placa inferior y dar su

dirección.

Respuesta: N 2396.02/

hyF hacia la derecha.

64. [MY] Un fluido newtoniano con densidad relativa de 0.92 y viscosidad cinemática

4×10–4

m2/s fluye por una superficie fija. En la figura se muestra el perfil de velocidad

cerca de la superficie. Determinar la magnitud y dirección del esfuerzo cortante

desarrollado sobre la placa. Expresar la respuesta en términos de V y expresados en

unidades de metros por segundo y metros, respectivamente.

3

2

1

2

3

yy

V

v.



Respuesta:

V

552.0 hacia la izquierda.

65. [MY] Resolver el problema anterior si el perfil de velocidad está dado por la ecuación

y

V

v

2sen .

Respuesta:

V

578.0 hacia la izquierda.

66. [Cr] Supongamos que la glicerina está fluyendo (20ºC) y que el gradiente de presión

xd

pd es –1.6 kN/m

3. ¿Cuáles son la velocidad y el esfuerzo cortante a una distancia de 12

mm desde la pared si el espacio B entre las paredes es 5.0 cm? ¿Cuáles son el esfuerzo

cortante y la velocidad en la pared? La distribución de velocidad para flujo viscoso entre las

placas estacionarias es )(2

1 2yyBxd

pdv

.

Respuesta: m/s 588.0mm 12

y

v , Pa 8.20mm 12

y

. En la pared: 00

yv , Pa 40

0

y .

67. [Cr] Un flujo laminar se produce entre dos placas paralelas horizontales bajo un

gradiente de presión xd

pd (p disminuye en la dirección x positiva). La placa superior se

mueve hacia la izquierda (negativa) a la velocidad vt. La expresión para la velocidad local v

está dada por H

yvyyH

xd

pdv t )(

2

1 2

.

a) Es la magnitud del esfuerzo cortante mayor en la placa móvil (y = H) o en la placa

estacionaria (y = 0)?

b) Deducir una expresión para la posición y de esfuerzo cortante nulo.



c) Deducir una expresión para la velocidad de la placa vt requerida para hacer el esfuerzo

cortante nulo en y = 0.

Respuesta: a) El esfuerzo cortante máximo se producirá en y = H; b)

xd

pdH

vHv t

21 ;

c) 2

2

1H

xd

pdvt

.

68. Una suspensión de partículas sólidas en un líquido se encuentra entre dos placas planas

paralelas de área A separadas por una distancia h. La placa superior se mueve con una

velocidad constante v0 en la dirección x tal como se muestra en la figura. La suspensión se

encontraba inicialmente en reposo pero, debido al movimiento de la placa superior, se

desarrolla en ella un perfil de velocidades. La suspensión puede ser considerada un fluido

newtoniano pero, debido a que las partículas sólidas tienden a acumularse sobre la placa

inferior, su viscosidad será función lineal de la posición vertical. Si dicha viscosidad puede

expresarse como una función lineal de y en la forma

y10 . Halle una expresión

para calcular la fuerza que debe ejercerse sobre la placa superior para mantener su

movimiento. El perfil de velocidades está dado por 0)1(ln

1ln

v

y

vx

.



Respuesta: )1(ln

00

AvF

yx .

69. Resolver de nuevo el problema 68 para el caso de que la viscosidad dependa de la

posición en la forma siguiente: )/(

0

ye , en la que 0 es la viscosidad en la

superficie de la película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al

aumentar x. El perfil de velocidades está dado por 0

)/(

1

1v

e

ev

y

x

.

Respuesta:

)1(

00

e

AvF

yx

.

70. Resolver de nuevo el problema 68 para el caso de que la viscosidad sea constante ( 0 ).

Demostrar cómo se puede llegar a los resultados de este problema a partir del caso límite de

que 0 en los problemas 68 y 69. El perfil de velocidades está dado por 0v

yvx

.

Respuesta:

AvF

yx

00

.

71. [MY] Una capa de agua desciende por una superficie inclinada fija con el perfil de

velocidad 2

2

2

yy

V

v que se muestra en la figura. Determinar la magnitud y dirección

del esfuerzo cortante que ejerce el agua sobre la superficie fija para V = 3 m/s y m 1.0 .



Respuesta: Pa1048.4 2 en la dirección del flujo.

72. [RF] El petróleo crudo, con una gravedad específica SG = 0.85 y viscosidad

2

f

3 .s/ftlb 1015.2 fluye hacia abajo en forma constante sobre una superficie inclinada

º30 por debajo de la horizontal en una película de espesor h = 0.125 in. El perfil de

velocidad está dado por

sen

2

2

yyh

gv .

(La coordenada x está a lo largo de la superficie e y es normal a la superficie. Trazar el

perfil de velocidad. Determinar la magnitud y dirección del esfuerzo cortante que actúa en

la superficie.

Respuesta: sen hg , 2

f /ftlb 277.0 en la dirección del flujo.

73. Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en

relación con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y

aplicación de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del

fluido son constantes y se considera una región de longitud L y ancho W, suficientemente

alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la

salida no están incluidas en L; es decir, que en esta región el componente vz de velocidad es

independiente de z.



x z

)(xv z

)(xxy Dirección de

la gravedad

L

El perfil de velocidades está dado por

22

12

cos

xgvz

Determinar:

a) La posición x para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero.

b) La velocidad máxima.

c) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie.

Respuesta: a) x = 0; b)

2

cos2

,

gv máxz ; c)

cosWLgF

xz

.


posición en la forma siguiente:

x10 , en la que 0 es la viscosidad en la


aumentar x. El perfil de velocidad está dado por

)1(ln1ln1

cos2

0

2

xxgvz . Demostrar como el resultado

de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que

0 (fluido de viscosidad constante).

Respuesta: a) x = 0; b) )]1(ln[cos

2

0

2

,

gv máxz ; c)

cosWLgF

xz

.





2

22

0 1

x, en la que 0 es la viscosidad en la



)1(ln1ln

2

cos 2

2

22

2

0

2

xgvz . Demostrar como el resultado de este

problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0

(fluido de viscosidad constante).

Respuesta: a) x = 0; b) )1(ln2

cos 2

2

0

2

,

gv máxz ; c)

cosWLgF

xz

.



)/(

0

xe , en la que 0 es la viscosidad en la



1)1(

cos /

2

0

2

xee

gv x

z . Demostrar como el resultado de este

problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0

(fluido de viscosidad constante).

Respuesta: a) x = 0; b) ]1)1([cos

2

0

2

,

eg

v máxz ; c)

cosWLgFxz

.

77. Trabajar el problema 73 para el fluido que obedece la ley de potencias. El perfil de

velocidades está dado por )(cos

1

11

1

n

n

n

nn

xm

g

n

nvz

.

Demostrar que el resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano.

Respuesta: a) x = 0; b) n

nn

m

g

n

nv máxz

1

1

cos

1,

; c)

cosWLgF

xz

.



78. Determínese la fuerza tangencial por unidad de área ejercida sobre la placa superior y

su dirección.

El perfil de velocidades está dado por xh

vhxx

gvy

0)(2

sen

Respuesta: h

vhg 0

21 sen

.

79. La banda transportadora (figura) lleva fluido a un depósito de tal profundidad que la

velocidad en la superficie libre del fluido sobre la banda es cero. Determínese la fuerza

tangencial por unidad de área ejercida sobre banda transportadora y su dirección.

El perfil de velocidades está dado por )()(2

sen 0

x

vxx

gv y

Respuesta:

0

21 sen

vg .



80. Una correa continua, que pasa en forma ascendente a través de un producto químico a

una velocidad v0, levanta una película de líquido de espesor h, densidad y viscosidad ;

no hay rozamiento con la atmósfera.

El perfil de velocidades está dado por 0

2

2vx

h

xhgvy

Determinar

a) La posición x para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero.


e) Calcule el esfuerzo cortante en la pared.

Respuesta: a) x = h; b) 0

2

2v

hgv y

; c) hg

xyx 0

.

Sistemas radiales.

Esfuerzo cortante.



El esfuerzo cortante se obtiene a partir del perfil de velocidades mediante la siguiente

ecuación:

rd

vd zzr

(1)

Velocidad máxima.

Para obtener el valor máximo de la velocidad (vz,max), se tiene que

0rd

vd z (1.78)

Luego

0zr (1.79)

Al resolver la ecuación (1.79) obtenemos un valor crítico (r = r0) para la velocidad. Para

determinar la velocidad máxima, se evalúa el perfil en el valor de r = r0, esto es

)( 0max, rvv zz

(1.80)

Ejemplo 1.21.

Por un riel cilíndrico, tal como se muestra en la figura, se desliza otro cilindro con una

velocidad V. Halle una expresión para determinar la fuerza tangencial que actúa sobre el

cilindro que se mueve. Considere que el fluido que se encuentra entre ambos mantiene sus

propiedades constantes y que la longitud del cilindro que se desliza es L.

El perfil de velocidades está dado por k

Rr

V

v z

ln

)/(ln1

VER SOLUCIÓN

L

Rk

R

V

z

r




Ejemplo 1.22.

En una experiencia de absorción de gases, un fluido viscoso asciende por el interior de un

pequeño tubo circular, para descender después por la parte exterior del mismo.

La distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es

R

ra

R

rRgvz ln21

4

2

22

Determinar

a) La posición r para la cual el esfuerzo cortante sobre el fluido es igual a cero.


c) La componente de la fuerza F del fluido sobre la parte exterior del cilindro.

VER SOLUCIÓN

L

R

,

r

z

Ra





81. [IS] El agua corre a través de una tubería. El perfil de velocidad en una sección es como

se muestra en la figura y matemáticamente está dado por

2

2

44r

Dv

donde es una constante

r = distancia radial desde la línea central.

V = velocidad en cualquier posición r.

a) ¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre la pared de la tubería causado por el agua? b) ¿Cuál

es el esfuerzo cortante en la posición r = D/4?; si el perfil anterior persiste una distancia L a

lo largo de la tubería, c) ¿qué arrastre se induce sobre la tubería por acción del agua en la

dirección del flujo a lo largo de esta distancia?

Respuesta: a) 4/D ; b) 8/D ; c) 4/2 LDF .

82. Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante

y viscosidad constante en un tubo <<muy largo>> de longitud L y radio R.




22

14 R

r

L

RPvz

Determinar



c) La componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie.

Respuesta: a) r = 0; b) L

RPv máxz

4

2

,

; c) PRRFz 2)( .



R

r 10 , en la que 0 es la viscosidad en el centro

de la tubería, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar

r. El perfil de velocidades está dado por

)1(ln1ln1

2 2

2

R

r

R

r

L

RPvz

Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente

para el caso límite de que 0 (fluido de viscosidad constante).

Respuesta: a) r = 0; b) )]1(ln[2 2

2

L

RPvz ; c) PRRFz 2)( .


posición en la forma siguiente: Rre /

0

, en la que 0 es la viscosidad en el centro de

la tubería, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar r. El

perfil de velocidades está dado por

1)1(

2

/

2

2

R

ree

L

RPv Rr

z

Demostrar como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente

para el caso límite de que 0 (fluido de viscosidad constante).



Respuesta: a) r = 0; b) ]1)1([2 2

2

,

eL

RPv máxz ; c) PRRFz 2)( .

85. Algunos fluidos no newtonianos se comportan como un plástico de Bingham, para los

cuales el esfuerzo cortante se puede expresar como rd

vd 0 . Para el flujo laminar de

un plástico de Bingham en un tubo horizontal de radio R, el perfil de velocidad se expresa

como )()(4

)( 022 RrRrL

Prv

, en donde LP / es la caída constante en la

presión a lo largo del tubo, por unidad de longitud, es la viscosidad dinámica, r es la

distancia radial desde la línea central y 0 es el esfuerzo en el punto de fluencia del plástico

de Bingham. Determine a) el esfuerzo cortante en la pared del tubo y b) la fuerza de arrastre

que actúa sobre una sección del tubo de longitud L.

Respuesta: L

RPRr 2

, PRF 2 .

86. Trabajar el problema 82 para el fluido que obedece la ley de potencias. El perfil de

velocidades está dado por

1

1

11

112

nn

R

rR

Lm

RPv

n

z .

Demostrar que el resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano.

Respuesta: a) r = 0; b) 12 1,

1

n

máxz

R

Lm

RPv

n

; c) PRRFz 2)( .

87. [ÇC] En las regiones alejadas de la entrada, el flujo de un fluido por un tubo circular es

unidimensional y el perfil de velocidad para el flujo laminar se expresa como

2

2

max 1)(R

rvrv , donde R es el radio del tubo, r es la distancia radial desde el centro de

ese tubo y vmax es la velocidad máxima de flujo, la cual se tiene en el centro. Obtenga a)

una relación para la fuerza de resistencia al movimiento aplicada por el fluido en una

sección del tubo de longitud L, y b) el valor de la fuerza de resistencia al movimiento para

flujo de agua a 20ºC, con R = 0.08 m, L = 15 m, vmax = 3 m/s y kg/m.s 0010.0 .



Respuesta: a) max4 vLF ; b) 0.565 N.

88. [ÇC] Considere el flujo de un fluido con viscosidad por un tubo circular. El perfil de

velocidad en el tubo se expresa como

n

n

R

rvrv 1)( max , en donde vmax es la velocidad

máxima de flujo, la cual se tiene en la línea central; r es la distancia radial desde la línea

central y v (r) es la velocidad de flujo en cualquier posición r. Desarrolle una relación para

la fuerza de arrastre ejercida sobre la pared del tubo por el fluido en la dirección del flujo,

por unidad de longitud de tubo.

Respuesta: max2/ vnLF .

89. [FW] Un fluido altamente viscoso (no turbulento) llena el espacio entre dos cilindros

concéntricos largos de radio a y b, respectivamente. Si el cilindro exterior es fijo y el

cilindro interior se mueve constantemente a velocidad axial V, el fluido se moverá a la

velocidad axial )/(ln

)/(ln

ab

rb

V

vz . Encontrar expresiones para los esfuerzos cortantes en

ambas superficies de los cilindros interior y exterior y explicar por qué son diferentes.

Respuesta:

a

ba

Var

ln

,

a

bb

Vbr

ln

. Son diferentes porque están calculados a

diferentes radios.



90. Un fluido incompresible fluye en estado estacionario a través de la región comprendida

entre dos cilindros circulares coaxiales de radios k R y R.


R

r

k

k

R

r

L

RPv z ln

)/1(ln

)1(1

4

222

Determinar:



c) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior.

d) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior.

Respuesta: a) Rk

kr

)/1(ln2

)1( 2 ; b)

)/1(ln2

)1(ln1

)/1(ln2

)1(1

4

222

max,k

k

k

k

L

RPvz

; c)

)/1(ln2

)1(1)(

2

222

kk

kkRPkRFz ; d)

)/1(ln2

)1(1)(

22

k

kRPRFz .

91. Se tiene una tubería vertical de radio R2 y dentro de ella, un fluido newtoniano que se

mueve hacia arriba. Dentro de la corriente del fluido se coloca una barra muy larga y

delgada de masa m, radio R1 y longitud L (L >>> R1) como puede verse en la figura. Dicha

barra la sostiene la corriente que fluye hacia arriba.



El perfil de velocidades que hay entre los dos cilindros concéntricos está dado por

112

2

1

2

22

1

2 ln)/(ln

)(

4)(

4 R

r

RR

RR

L

PRr

L

Pvz

Determinar:


b) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior.

c) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior.

Respuesta: a)

1

22

2

2

1

2

2

ln2R

RR

RRr ; b)

1

22

1

2

1

2

22

11

ln2

1)(

R

RR

RRRPRFz ; c)

1

22

2

2

1

2

22

22

ln2

1)(

R

RR

RRRPRFz .

92. Un fluido newtoniano se encuentra entre dos cilindros concéntricos horizontales de

radio R1 y R2 (ver figura). Si el cilindro interno se mueve hacia la izquierda y el externo

hacia la derecha, ambos con velocidad v0.




2

1

2

0ln

ln

21

R

R

R

r

V

vz

Determinar:

a) La posición r para la cual la velocidad del fluido es igual a cero.

b) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido interior.

c) Componente de la fuerza F del fluido sobre el sólido exterior.

Respuesta: a) 21RRr ; b)

2

1ln

4

1

R

R

LVF

Rr

; c)

2

12

1

ln

4

2

R

RR

LRVF

Rr

.

93. En una experiencia de rebose de un tanque, un fluido viscoso asciende hasta cierto nivel

de seguridad dentro del tanque, para descender después por la parte interior de un tubo

circular de radio R.



La distribución de velocidad en la película descendente (despreciando los efectos finales) es

R

rk

R

rRgvz ln21

4

2

22

Determinar



c) La componente de la fuerza F del fluido sobre la parte interior del cilindro.

Respuesta: a) r = k R; b) )ln21(4

222

max, kkkRg

vz

; c)

)1( 22

kLgRFRr

.



RESUMEN DE FIGURAS Y TABLAS.

Tabla 1.1. Fórmulas de geometría.

Cubo

Área de la superficie inferior: A = a2 (1.81)

Volumen: V = a3 (1.82)

Paralelepípedo

Área de la base: A = L × a (1.83)

Volumen: V = L × a × h (1.84)

Cono

Área de la base: 2RA (1.85)

Volumen: hRV 2

31 (1.86)

Cilindro (o disco)

Área de la base: 2RA (1.87)

Volumen: hRV 2 (1.88)

h

L a

h

R

a



Tabla 1.2. Dimensiones y unidades en el sistema internacional e inglés de parámetros

relacionados con el flujo de fluidos.

Magnitud Símbolo Dimensión Unidad Unidades

del SI.

Unidades

del

USCS.

Aceleración a L/T2 m/s

2 m/s

2 ft/s

2

Ángulo RADIÁN Rad Rad

Area A L2 m

2 m

2 ft

2

Densidad M/L3 kg/m

3 kg/m

3 lbm/ft

3

Desplazamiento s L METRO M ft

Distancia d, h

Diámetro D

Espaciamiento

Longitud l, L

Radio R

Energía E, U, K ML2/T

2 joule (J) kg.m

2/s

2 lbm.ft

2/s

2

Esfuerzo cortante M/L.T2 Pa kg/m.s

2 lbm/ft.s

2

Frecuencia angular 1/T rad/s s–1

s–1

Fuerza F ML/T2 newton (N) kg.m/s

2 lbm.ft/s

2

Masa m, M M KILOGRAMO Kg lbm

Momento de una

fuerza ML

2/T

2 N.m kg.m

2/s

2 lbm.ft

2/s

2

Potencia P ML2/T

3 watt (W) = J/s kg.m

2/s

3 lbm.ft

2/s

3

Rapidez v L/T m/s m/s ft/s

Tiempo t T SEGUNDO s s

Velocidad angular 1/T rad/s s–1

s–1

Viscosidad M/L.T Pa.s kg/m.s lbm /ft.s

Viscosidad

cinemática L

2/T m

2/s m

2/s ft

2/s

Volumen L3 m

3 m

3 ft

3



Tabla 1.3. Factores de conversión de unidades.

Viscosidad absoluta ( ).

Unidad SI: 1 kg/m.s Equivalente a:

Centipoise = 1000 cP

Gramo por centímetro segundo = 10 g/cm.s

Libra por pie hora = 2419.08815 lbm/ft.h

Libras por pie segundo. = 0.6719689750 lbm /ft.s

Libra fuerza por segundo pie cuadrado = 0.020885430234 lbf.s/ft2

Newton por metro cuadrado por segundo = 1 N/m2.s

Pascal por segundo = 1 Pa.s

Poise (g/cm.s) = 10 P

Densidad ( ).

Unidad SI: 1 kg/m3 Equivalente a:

Gramo por galón = 58.41784449 g/gal

Gramo por litro = 1 g/L

Gramo por centímetro cúbico = 10–3

g/cm3

Gramo por metro cúbico = 1000 g/m3

Kilogramo por litro = 0.001 kg/L

Libra masa por galón = 0.008345406355 lbm/gal

Libra masa por pie cúbico = 0.06242797373 lbm/ft3

Libra masa por pulgada cúbica = 3.612729815×10–5

lbm/in3

Miligramo por litro = 1000 mg/L

Onza por galón = 0.1335265017 oz/gal

Onza por pie cubico = 0.9988473948 oz/ft3

Onza por pulgada cúbica = 0.0005780366868 oz/in3

Viscosidad cinemática ( )

Unidad SI: 1 m2/s Equivalente a:

Centímetro cuadrado por hora = 3.6×107 cm

2/h

Centistokes = 106 cSt

Pie cuadrado hora = 38750.0775 ft2/h

Pie cuadrado segundo = 10.7639104170 ft2/h

Stokes = 104 St

Energía o Trabajo (E, W)

Unidad SI: 1 Joule = 1 m3.Pa = 1 N.m = 1

kg.m2/s

2

Equivalente a:

Caballos de potencia por hora. = 3.725060×10–7

hp-h.

Calorías. = 0.2390057361 cal.



Caloría internacional. = 0.238845896 IT cal.

Caloría (Nutricional). = 2.38845896×10–4

Cal.

Centímetros cúbicos por atmósfera. = 9.869232667 cm3.atm.

Centímetros cúbicos por barias. = 10 cm3.bar.

Dinas por centímetros. = 107 Dina.cm.

Electrón voltio. = 6.241457006×1018

eV.

Ergios. = 107 erg.

Kilocalorías. = 2.390057361×10–4

kcal.

Kilogramos fuerza por metro. = 0.101971621 kgf.m. (Kilopondímetro)

Kilojoule = 10–3

kJ.

Kilopascal por metro cúbico. = 10–3

kPa.m3.

Kilovatio hora. = 2.77777778×10–7

kW.h.

Libra fuerza pie. = 0.737562007 lbf.ft.

Litros por atmósfera. = 9.869232667×10–3

L.atm.

Litros por barias. = 10–2

L.bar.

Metros cúbicos por barias. = 10–5

m3.bar.

Pie cúbico por libra pulgada cuadrada. = 5.121959369×10–3

ft3.(lbf/in

2abs).

Termia = 9.47817119×10–9

termia.

Unidad Térmica Británica (Btu). = 9.47817119×10–4

Btu.

Vatio segundo. = 1 W.s.

Potencia (P)

Unidad SI: 1 W = 1 J/s = 1 m3.Pa/s = 1

N.m/s = 1 kg.m2/s

3

Equivalente a:

Caballo de potencia (mecánico) = 1.341022038×10–3

hp

Caballo de potencia (eléctrico) = 1.340482574×10–3

hp

Caloría por segundo = 0.2390057361 cal/s

Kilocaloría por hora = 0.860422295 kcal/h

Kilogramo fuerza por metro sobre segundo = 0.101971621 kgf.m/s

Kilojoule por hora = 3.6 kJ/h

Kilovatio = 10–3

kW

Libra fuerza por pie sobre hora = 2655.223714546 lbf.ft/h

Libra fuerza por pie sobre minuto = 44.25372074221 lbf.ft/min

Libra fuerza por pie sobre segundo = 0.737562007 lbf.ft/s

Tonelada de refrigeración = 2.843332386×10–4

ton

Unidad Térmica Británica por hora = 3.412141285852 Btu/h

Unidad Térmica Británica por minuto = 0.056869021 Btu/min

Unidad Térmica Británica por segundo = 9.478170236×10–4

Btu/s



Tabla 1.4. Densidad de varias sustancias.

Sustancia Densidad (kg/m3) Sustancia Densidad (kg/m

3)

Aluminio 2700 Pino 373

Cobre 8920 Plata 11300

Hierro 7860 Platino 21450

Magnesio 1750 Roble 710

Oro 19300 Uranio 18700

Tabla 1.5. Propiedades del Agua a 1 atm de presión, Sistema Internacional (Mott).

Temperatura (ºC)

Peso

específico

)N/m( 3

Densidad

)kg/m( 3

Viscosidad

)Pa.s(

Viscosidad

cinemática

)/sm( 2v

0 9810 1000 1.7510–3

1.7510–6

5 9810 1000 1.5210–3

1.5210–6

10 9810 1000 1.3010–3

1.3010–6

15 9810 1000 1.1510–3

1.1510–6

20 9790 998 1.0210–3

1.0210–6

25 9780 997 8.9110–4

8.9410–7

30 9770 996 8.0010–4

8.0310–7

35 9750 994 7.1810–4

7.2210–7

40 9730 992 6.5110–4

6.5610–7

45 9710 990 5.9410–4

6.0010–7

50 9690 988 5.4110–4

5.4810–7

55 9670 986 4.9810–4

5.0510–7

60 9650 984 4.6010–4

4.6710–7

65 9620 981 4.3110–4

4.3910–7

70 9590 978 4.0210–4

4.1110–7

75 9560 975 3.7310–4

3.8310–7

80 9530 971 3.5010–4

3.6010–7

85 9500 968 3.3010–4

3.4110–7

90 9470 965 3.1110–4

3.2210–7

95 9440 962 2.9210–4

3.0410–7

100 9400 958 2.8210–4

2.9410–7



Tabla 1.6. Propiedades del Agua a 1 atm de presión, Sistema Inglés (Mott).

Temperatura (ºF)

Peso

específico

)/ftlb( 3

f .

Densidad

)/ft(lb 3

m

Densidad

)(slug/ft 3

Viscosidad

dinámica

).s/ftlb( 2

f

Viscosidad

cinemática

)/sft( 2v

32 62.4 1.94 3.6610–5

1.8910–5

40 62.4 1.94 3.2310–5

1.6710–5

50 62.4 1.94 2.7210–5

1.4010–5

60 62.4 1.94 2.3510–5

1.2110–5

70 62.3 1.94 2.0410–5

1.0510–5

80 62.2 1.93 1.7710–5

9.1510–6

90 62.1 1.93 1.6010–5

8.2910–6

100 62.0 1.93 1.4210–5

7.3710–6

110 61.9 1.92 1.2610–5

6.5510–6

120 61.7 1.92 1.1410–5

5.9410–6

130 61.5 1.91 1.0510–5

5.4910–6

140 61.4 1.91 9.6010–6

5.0310–6

150 61.2 1.90 8.9010–6

4.6810–6

160 61.0 1.90 8.3010–6

4.3810–6

170 60.8 1.89 7.7010–6

4.0710–6

180 60.6 1.88 7.2310–6

3.8410–6

190 60.4 1.88 6.8010–6

3.6210–6

200 60.1 1.87 6.2510–6

3.3410–6

212 59.8 1.86 5.8910–6

3.1710–6

Tabla 1.7. Propiedades de la Glicerina (Çengel).

Temperatura (ºC) )kg/m( 3 )Pa.s( )/sm( 2v

0 1276 10.49 8.21910–3

5 1273 6.730 5.28710–3

10 1270 4.241 3.33910–3

15 1267 2.496 1.97010–3

20 1264 1.519 1.20110–3

25 1261 0.9934 7.87810–4

30 1258 0.6582 5.23210–4

35 1255 0.4347 3.46410–4

40 1252 0.3073 2.45510–4



Tabla 1.8. Viscosidades de algunos líquidos a la presión atmosférica (Bird).

Sustancia Fórmula Temperatura (ºC) )Pa.s(

Eter etílico (C2H5)2O 20 0.24510–3

Benceno C6H6 20 0.64710–3

Bromo Br2 26 0.94610–3

Etanol C2H5OH 20 1.19410–3

Mercurio Hg 20 1.54710–3

Ácido sulfúrico H2SO4 25 19.1510–3

Tabla 1.9. Propiedades de líquidos comunes a 25ºC, Sistema Internacional.

Sustancia Gravedad

específica

Peso

específico

)N/m( 3

Densidad

(kg/m3)

Viscosidad

dinámica

(Pa.s ó

N.s/m2)

Viscosidad

cinemática

(m2/s)

Acetona 0.787 7720 787 3.1610–4

4.0210–7

Alcohol, etílico 0.787 7720 787 1.0010–3

1.2710–6

Alcohol, metílico 0.789 7740 789 5.6010–4

7.1010–7

Alcohol, propílico 0.802 7870 802 1.9210–3

2.3910–6

Amoniaco 0.826 8100 826 - -

Benceno 0.876 8590 876 6.0310–4

6.8810–7

Tetracloruro de carbono 1.590 15600 1590 9.1010–4

5.7210–7

Aceite de ricino 0.960 9420 960 6.5110–1

6.7810–4

Etilenglicol 1.100 10790 1100 1.6210–2

1.4710–5

Gasolina 0.68 6670 680 2.8710–4

4.2210–7

Glicerina 1.258 12340 1258 9.6010–1

7.6310–4

Querosen 0.823 8070 823 1.6410–3

1.9910–6

Aceite de linaza 0.930 9120 930 3.3110–2

3.5610–5

Mercurio 13.54 13280 13540 1.5310–3

1.1310–7

Propano 0.495 4860 495 1.1010–4

2.2210–7

Agua de mar 1.030 10100 1030 1.0310–3

1.0010–6

Trementina 0.870 8530 870 1.3710–3

1.5710–6

Aceite de petróleo, medio 0.852 8360 852 2.9910

–3 3.5110

–6

Aceite de petróleo, pesado 0.906 8890 906 1.0710–1

1.1810–4



Tabla 1.10. Propiedades de líquidos comunes a 25ºC, Sistema Inglés.

Sustancia Gravedad

específica

Peso

específico

)/ft(lb 3

f

Densidad

(slug/ft3)

Viscosidad

dinámica

).s/ftlb( 2

f

Viscosidad

cinemática

)/sft( 2v

Acetona 0.787 48.98 1.53 6.6010–6

4.3110–6

Alcohol, etílico 0.787 49.01 1.53 2.1010–5

1.3710–5

Alcohol, metílico 0.789 49.10 1.53 1.1710–5

7.6510–6

Alcohol, propílico 0.802 49.94 1.56 4.0110–5

2.5710–5

Amoniaco 0.826 51.41 1.60 - -

Benceno 0.876 54.55 1.70 1.2610–5

7.4110–6

Tetracloruro de carbono 1.590 98.91 3.08 1.9010–5

6.1710–6

Aceite de ricino 0.960 59.69 1.86 1.3610–2

7.3110–3

Etilenglicol 1.100 68.47 2.13 3.3810–4

1.5910–4

Gasolina 0.68 42.40 1.32 6.0010–6

4.5510–6

Glicerina 1.258 78.50 2.44 2.0010–2

8.2010–3

Querosen 0.823 51.20 1.60 3.4310–5

2.1410–5

Aceite de linaza 0.930 58.00 1.80 6.9110–4

3.8410–4

Mercurio 13.54 844.9 26.26 3.2010–5

1.2210–6

Propano 0.495 30.81 0.96 2.3010–6

2.4010–6

Agua de mar 1.030 64.00 2.00 2.1510–5

1.0810–5

Trementina 0.870 54.20 1.69 2.8710–5

1.7010–5

Aceite de petróleo, medio 0.852 53.16 1.65 6.2510

–5 3.7910

–5

Aceite de petróleo, pesado 0.906 56.53 1.76 2.2410–3

1.2710–3



Tabla 1.11. Propiedades del Aire a 1 atm de presión (Çengel).

Temperatura (ºC) )kg/m( 3 )Pa.s( )/sm( 2v

0 1.292 1.72910–5

1.33810–5

5 1.269 1.75410–5

1.38210–5

10 1.246 1.77810–5

1.42610–5

15 1.225 1.80210–5

1.47010–5

20 1.204 1.82510–5

1.51610–5

25 1.184 1.84910–5

1.56210–5

30 1.164 1.87210–5

1.60810–5

35 1.145 1.89510–5

1.65510–5

40 1.127 1.91810–5

1.70210–5

45 1.109 1.94110–5

1.75010–5

50 1.092 1.96310–5

1.79810–5

60 1.059 2.00810–5

1.89610–5

70 1.028 2.05210–5

1.99510–5

80 0.9994 2.09610–5

2.09710–5

90 0.9718 2.13910–5

2.20110–5

100 0.9458 2.18110–5

2.30610–5

Tabla 1.12. Parámetros de flujo de algunos plásticos de Bingham familiares

(Levenspiel).

Material Temperatura (ºC) )Pa(0 )Pa.s(0

Salsa de tomate, Catchup 30 14 0.08

Mostaza 30 38 0.25

Oleomargarina 30 51 0.12

Mayonesa 30 85 0.63



Tabla 1.13. Parámetros de la ley de potencias para soluciones acuosas (Bird -

Levenspiel).

Solución. Temperatura

(ºC) m (Pa.s

n)

n

(adimensional)

Hidroxietilcelulosa al 2.0% 293 93.5 0.189

313 59.7 0.223

333 38.5 0.254

Hidroxietilcelulosa al 05% 293 0.84 0.509

313 0.30 0.595

333 0.136 0.645

Oxido de Polietileno al 1.0% 293 0.994 0.532

313 0.706 0.544

333 0.486 0.599

Compota de manzana, diferentes recetas 24 0.66 0.41

24 0.50 0.65

Papilla de plátanos, diferentes muestras 24 6.5 0.46

24 10.7 0.33

Sangre humana 0.00384 0.89

Sopas y salsas 3.6 – 5.6 0.51

Zumo de tomate (5.8% sólidos) 32 0.59

Zumo de tomate (30% sólidos) 32 0.40

23.3% de arcilla amarilla de Illinois en agua. 5.55 0.229

0.67% de carboximetilcelulosa en agua. 0.304 0.716



33% de cal en agua. 7.18 0.171

10% de NAPALM en keroseno. 4.28 0.520

4% de pasta de papel en agua. 20 0.575

54.3% de cemento en agua. 2.51 0.153



Figura 1.1. Viscosidad absoluta de diversos líquidos en función de la temperatura.



BIBLIOGRAFÍA.

BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte. Editorial

Reverté., Barcelona, 1996.

BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte, Segunda

Edición. Editorial LIMUSA, S.A de C.V. Grupo Noriega Editores., México, 2006.

ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Segunda

Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012.

GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición.,

Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994.

MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall.,

México, 1996.

MOTT, R, Mecánica de Fluidos, Sexta Edición., Pearson Educación de México, S.A de

C.V., México, 2006.

SHAMES, I. Mecánica de Fluidos, Tercera Edición. Editorial McGraw Hill Interamericana

S.A. Santa Fe de Bogotá, Colombia, 1995.

STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial Mc-

Graw Hill., México, 1988.

STREETER, V, WILYE, E y BEDFORD, K, Mecánica de Fluidos, Novena Edición.,

Editorial Mc-Graw Hill., México, 2000.

WELTY, J. Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa, Segunda Edición.

Editorial LIMUSA S.A de C.V., México, 2006.



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