FENOMENOGÍA MAGNÉTICA: IMANES. OERSTED

Imanes naturales: Materiales que atraen pequeños trozos de hierro. Existen otras sustancias, como

el acero, que pueden adquirir el magnetismo de una manera artificial, son imanes artificiales. La

propiedad que tienen se llama magnetismo.

Propiedades de los imanes: El magnetismo aparece concentrado en ciertas regiones denominadas

polos magnéticos que se les conoce como Norte y Sur y que se orientan según los polos geográficos

de la Tierra, que es un gigantesco imán natural. Los polos no se pueden separar. Un imán siempre

presenta los dos polos. Los polos del mismo nombre se repelen y los de distinto nombre se atraen.

Se dio un paso importante en el magnetismo cuando Oersted descubrió en 1820 que las corrientes

eléctricas crean efectos magnéticos.

Observó que una corriente eléctrica ejerce una fuerza sobre una aguja

imantada próxima. Cuando pasa corriente, la brújula tiende a colocarse

perpendicularmente al conductor. Por lo tanto la corriente se comporta

como un imán y concluimos que el magnetismo es una consecuencia de la

electricidad.

N S S N S N S N

CAMPO MAGNÉTICO. FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA

Las interacciones eléctrica y magnética están íntimamente relacionadas, siendo sólo dos aspectos

distintos de la misma propiedad de la materia: la carga eléctrica. El magnetismo es un efecto del

movimiento de las cargas eléctricas. Las interacciones eléctrica y magnética se consideran conjun-

tamente bajo la denominación más general de interacción electromagnética.

Como observamos interacciones a distancia entre cuerpos magnetizados, podemos decir, por analo-

gía con el campos eléctrico, que un cuerpo magnetizado crea un campo magnético, que es la región

del espacio en la que se manifiestan los efectos magnéticos del cuerpo magnetizado.

Por definición, la orientación del campo magnético en un punto está deter-

minada por la dirección y el sentido de la fuerza que actúa sobre el polo nor-

te de un pequeño imán colocado en ese punto.

Igual que el campo eléctrico, el campo magnético se representa por medio de

líneas de fuerza (líneas de inducción magnética), que son tangentes en cada

punto al campo magnético y tienen su misma orientación. Las líneas de in-

ducción salen por el polo norte, entran por el sur y se cierran por el interior

del imán; es decir, son cerradas.

Las líneas se dibujan de modo que su densidad en un punto particular es pro-

porcional al campo magnético.

( )F q

( )F q

B

v

sinv

q

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento

Al colocar una carga en movimiento en un campo magnético, se observa una fuerza sobre ella.

Al medir, en el mismo punto de un campo magnético, la fuerza

que experimentan diferentes cargas que se mueven de distinta

manera, podemos obtener una relación experimental entre la

fuerza, la carga y la velocidad.

Se ha encontrado que la fuerza magnética ejercida sobre una

partícula cargada que se mueve en la dirección del campo mag-

nético es cero y es máxima cuando se mueve perpendicularmen-

te al mismo. Es decir, experimentalmente se obtiene que la fuer-

za ejercida por un campo magnético sobre una carga en movi-

miento es proporcional a la carga eléctrica y a la componente de

la velocidad de la carga en la dirección perpendicular a la del campo magnético.

sinF qBv qBv

donde B es la constante de proporcionalidad, que se define como la magnitud del vector B de la fi-

gura, que tiene la orientación del campo magnético. El valor de B se halla experimentalmente com-

parando el valor observado de F con los de q, v y .

Otro resultado experimental es que B puede variar de un punto a otro, pero en cada uno de ellos es

el mismo para todas las cargas y velocidades; es decir, no depende de q ni de .v Esto indica que re-

presenta una propiedad del campo magnético, que llamamos intensidad del campo magnético o

también, por razones históricas, inducción magnética.

Como hemos dicho: 0 0α F y 2 maxmax

Fα π F q vB B

q v (pues sin 2 1 )

Otro hecho experimental es que la dirección de la fuerza magnética

es perpendicular al plano determinado por la velocidad de la carga y

la dirección del campo magnético. El sentido se obtiene, para cargas

positivas, mediante la regla de la mano derecha o la del sacacorchos;

para las negativas el sentido es el opuesto. De acuerdo con esto, la

ecuación sinF qBv se expresa vectorialmente como,

F qv B ( )F q E v B (si existe también un )E

y se conoce como fuerza de Lorentz.

F magnética es perpendicular a v solo modifica la dirección de v, pero no su magnitud.

De maxB F q v se deduce que la unidad del campo magnético en el S.I. es el N/Cms-1, que se de-

nomina Tesla (T). Un tesla es la intensidad de un campo magnético que ejerce una fuerza de 1 N so-

bre una carga de 1 C que se mueve perpendicularmente al campo con una velocidad de 1 m/s.

FB

v

sinv

q

MOVIMIENTO PARTÍCULAS CARGADAS EN CAMPO CTES. APLIC. PRÁCTICAS

Para una q con velocidad v B uniforme se cumple,

sin sin90F q vB q vB q vB donde F v y F B

Como F v cambia uniformemente la dirección de la velocidad sin mo-

dificar su magnitud MCU y Fm = Fc,

2cF mv R y mF q vB

mv pR

q B q B (1)

Como 2 . 1 2s v t t s v T R v f T v Rf

Combinando última ec. con (1) 2f q B m 2T m q B

que prueba que f no depende de v. Si v aumenta, de acuerdo con ,R mv q B

también lo hace R y la longitud de la circunferencia que describe es mayor, lo que compensa el aumento v.

Si ,v B , podemos separar v en sus componentes paralela (v) y perpendicular (

v ) al campo. La componente paralela no se ve afectada porque tiene la dirección

del campo magnético; o sea,

El movimiento es entonces el resultante de uno uniforme paralelo al campo y

otro circular alrededor de éste Trayectoria es una hélice.

vq

F

v

v

v

B

B

El espectrómetro de masas

Aparato capaz de separar iones (por ejemplo, isótopos) cuya razón “carga/masa” es diferente.

Las cargas (con velocidades diferentes) pasan primero por una región en la que hay un campo eléctrico y otro magnético constantes y perpendiculares entre sí (selec-tor de velocidades). Hace que sólo las partículas con una velocidad determinada sigan su marcha sin desviarse.

El selector actúa así: si q es positiva E le ejerce una

fuerza vertical hacia abajo; mientras que B le aplica una fuerza vertical hacia arriba. Las intensidades de las F son,

eF q E y mF q vB

El valor de la v que hace que e mF F es, q E q vB v E B

Si la velocidad de la partícula es E/B, las eF y mF son iguales en intensidad y

opuestas la fuerza neta que actúa sobre q es cero y no se desvía.

Las E y B del selector se ajustan para que sólo pasen las partículas que

lleven la v que más convenga y éstas alcanzan el campo magnético ( )B v

De R mv q B se deduce que las trayectorias circulares de las mismas están determinadas sólo por

su masa, lo que hace que las que tienen masas distintas sigan círculos de radio diferente. Midiendo los distintos radios podemos conocer las masas de las partículas si sabemos el valor de su carga.

eF

vB

E

mF

q

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CORRIENTE ELÉCTRICA

Los metales son estructuras gigantes de átomos dispuestos de forma ordena-da, de modo que adquieren formas geométricas espaciales que se repiten in-definidamente (celdillas unidad). Lo que caracteriza a los metales es cada uno de los átomos que los forman han perdido, dependiendo del metal, uno o dos electrones (denominados electrones libres) que se mueven libremente.

Los e- libres se mueven dentro del metal de una forma totalmente desordena-da. Sin embargo, si creamos un campo eléctrico en su interior perpendicular a sus bases (o, lo que es equivalente, una diferencia de potencial entre sus ex-tremos, con una pila por ejemplo), el campo ejerce una fuerza sobre los e- que los obliga a moverse en la dirección del campo pero en sentido opuesto. Es de-cir, se ha establecido una corriente eléctrica en el interior del cilindro metálico; si éste tiene una base despreciable frente a su longitud, tenemos un hilo con-ductor de la corriente eléctrica.

Celdilla unidad del hierro

( )a

( )b

Sea un hilo conductor por el que circula una corriente eléctrica. Aunque son las car-gas negativas (e-) las que se mueven en el interior del mismo (sentido real de la co-rriente), el mismo efecto se tendría si se movieran las cargas positivas en el sentido opuesto. El sentido que se asigna a la corriente eléctrica es, por razones históricas, el del movimiento de las cargas positivas (sentido convencional).

En el punto 1.1.3 de I. eléctrica definimos la intensidad de corriente como la canti-dad de carga que pasa por una sección transversal de un conductor por unidad de tiempo. Recuerda que si la carga es directamente proporcional al tiempo, la intensi-dad es constante y se cumple que,

i q t cuando i = cte

Si q no es directamente proporcional a t, el cociente da la carga que por término medio pasa por la sección del conductor en cada unidad de tiempo; es decir, la in-tensidad media (im). En este caso la intensidad varía de un instante a otro; para ob-tener la intensidad en un instante particular tenemos que calcular el cociente anterior a partir dicho instante y durante un intervalo de tiempo infinitesimal. En el lenguaje matemático equivale a hallar la derivada de q respecto de t; es decir,

i dq dt

Recuerda también que la unidad de intensidad en el S.I. es el amperio (A), que es una de las unida-des fundamentales de la Física y que definiremos en el punto 2.7.

L

dv

i

Seccióntransversal

Para un conductor recto de longitud L por el que circula una i

constante dentro de un B uniforme,

sindF qv B

donde q vd es la carga que se está moviendo dentro del con-

ductor, vd su velocidad media y el ángulo que forma B con el conductor.

El tiempo que le lleva a q atravesar la sección del extremo derecho del conductor es,

dd

L Lt v

v t

sin sin

L qF q B LB

t t

sinF iLB F iLB si 90

Si definimos el vector L como se ve en la figura,

F iL B

Para calcular la fuerza en el caso de un conductor no rectilíneo o un campo no uniforme, necesitamos recurrir al cálculo diferencial e integral. La técnica consiste en dividir de forma imaginaria al conductor en elementos de longitud infinitesi-mal dl, de modo que los podamos considerar rectos y el campo uniforme en ellos.

i

F

B

L

i

dl B

dF

i

dl B

dF

CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE ELÉCTRICA

Elemento de corriente

Sea un conductor que lleva una intensidad i. Experimentalmente se tiene que

un elemento dl crea un campo magnético elemental ( )dB en un punto P,

2ridl u

dB kr

2

sinidldB k

r

(Ley de Biot y Savart)

k (k0 en el vacio) es una cte. de proporcionalidad que depende del medio.

Para hallar B creado en P por todo el conductor tenemos que sumar los dB

creados por todos los elementos dl cálculo integral.

Como no hemos definido aún la unidad de I, vamos a dar un valor conveniente a k0 y, más tarde, usaremos la ley de la fuerza que se ejercen dos corrientes para definir la unidad de corriente.

Por razones de cálculo, una forma más conveniente de escribir k0 es,

70 0 4 10k T m A donde 7

0 4 4 10k T m A (permeabilidad magnética)

La permeabilidad de un medio material ( 0), es característica de ese medio.

Materiales ferromagnéticos ( >> 0): son fuertemente atraídas por los imanes. Tienen un interés especial porque los campos magnéticos en su interior son muchísimo más intensos que en el vacío.

Materiales paramagnéticos ( > 0): son débilmente atraídas por los imanes.

Materiales diamagnéticos ( < 0): son débilmente repelidas por los imanes.

i

dl

dB ru

r P

Circulación del campo magnético

Sea un B uniforme y una línea recta en su interior. La circulación de B desde A

hasta el B a lo largo de la recta se define: cosBAC BL

que podemos expresar como, BAC B L (1)

Si B cte y/o L no es recta, tenemos que recurrir al cálculo integral. Di-vidimos L en pequeños trozitos de longitud iL y vemos que

o Al ser los iL pequeños se aproximan a segmentos de recta y

podemos definir iL de modo que .i iL L

o B cte en cada trozo porque éstos son pequeños y ( , , ).B B x y z

o Aplicando (1) al trozo i i i iC B l

La circulación a lo largo de la curva L es aproximadamente,

1 2 1 1 2 2BA n n n i i

i

C C C C B l B l B l B l

Aproximación mejor si dividimos L en un número mayor de trozos: .i il B

El resultado exacto se obtiene hallando el límite de la suma cuando todos los 0,il

0lim

i

BBA i i Al

i

C B l B dl

ó C

C B dl (si L es cerrada)

que es una integral de línea análoga a la del trabajo de una fuerza variable.

dC B dl circulación infinitesimal de B a lo largo de un .dl Integral idC

B

A

B

L

A

4B

3B

2B

1B

4l

3l

2l

1l

B

Teorema de Ampère (1828).

La circulación de un B alrededor de una C cerrada y orientada es igual al pro-ducto de por la I neta que atraviesa el área encerrada por C.

B dl i

Signo de i regla mano derecha 1 2 3netai i i i

Ley Àmpere, como la de Gauss, permite hallar fácilmente B siempre que la si-metría del problema pueda determinar la dirección.

CAMPOS MAGNÉTICO CREADOS POR ALGUNAS CORRIENTES ELÉCTRICAS

Conductor rectilíneo indefinido

Simetría cilíndrica: las líneas de inducción son las de la figura y B cte en la circunferencia.

Orientamos circunferencia con regla mano derecha B y dl igual direc-ción y sentido.

cos0B dl Bdl Bdl B dl i

2B dl B d i

2

iB

d

Regla mano derecha da sentido de B si orientamos pulgar en el sentido de i.

dlr

B

d

i

PB

dl

Bi

P

dl ru

rudl

R

R

Espira circular

Las líneas de inducción de una corriente circular tienen simetría axial respecto a la línea horizontal que pasa por el centro de la espira y en los puntos del plano de la espira son perpendiculares al mismo.

La orientación de las líneas de inducción se obtiene con la regla de la mano derecha, según se ve en la figura.

24ridl u

dBr

Hallemos B en el punto P (centro espira) con la ley de Biot y Savart: o Todos los elementos dl contribuyen igual al campo magnético.

o La orientación de B es la del producto .rdl u

o La simetría del problema permite obtener B sin resolver la integral,

2 2 2

sin90

4 4 4i

i i i i

idl idl iB dB dl

R R R

2i

dl R 2

iB

R

Solenoide

Un solenoide es una bobina de conductor eléctrico formada por muchas espiras circulares del mismo radio arrolladas alrededor de un cilindro, por las que circula una corriente i.

Si tiene muchas espiras y es suficientemente largo, el campo mag-nético en el exterior del mismo, salvo en los dos extremos, es muy pequeño y en el interior es prácticamente constante.

Hallemos el campo con la ley de Ampère: o Usamos el rectángulo abcd para aplicar la ley,

abcd ab bcB dl B dl B dl cd

B dl daB dl

cos0abcd ab ab ab ab

B dl B dl Bdl Bdl B dl Bl

o Solenoide de longitud L y N espiras,

n N L

abcd

B dl Bl N i N L l i Ni

BL

En los extremos del solenoide el campo es la mitad de la del centro.

La regla de la mano derecha da el sentido de las líneas de inducción.

Hilo rectilíneo indefinido

N S

1i 2i

1F 2F1B

2B

d

L L

INTERACCIONES ENTRE CORRIENTES RECTILÍNEAS PARALELAS. DEFINICIÓN DE AMPERIO

Cada conductor está dentro del campo magnético creado por el otro, que es perpendicular a cada uno de ellos.

Una longitud L del conductor 1 está sometido a una fuerza igual a,

1 1 2 1 2 0 2 01 1 1 2

2 0 2

sin90

2 2 2

F i LB i LB i LF i L i i

B i d d d

De la simetría del problema se deduce que,

0 1 02 2 2 1

2 2

i LF i L i i

d d

Observa que 1 2 ,F F como lo requiere la 3ª ley de Newton. Así pues, la

fuerza que actúa por unidad de longitud sobre los cables es,

01 2 1 2

2

F F i i

L L d

La fuerza que se ejercen dos conductores rectilíneos se ha utilizado para definir el amperio como la intensidad de corriente que circulando por dos conductores paralelos e indefinidos separados una distancia de un metro en el

vacío ejerce sobre cada conductor una fuerza de 70 2 2 10 N por metro de conductor.