Josiah Willard Gibbs(18993 - 1903)

Estudió en la Universidad de Yale, recibió su doctorado

allí en 1863 uno de los primeros doctorados otorgados

en los Estados Unidos.

Entre 1873 y 1876 publica la serie de trabajos que contribuyen a dar a la

recién creada disciplina de la Termodinámica la dimensión que

conocemos actualmente. Paso a vivir en 1868-69 en Heidelberg, donde

fue influenciado por Kirchhoff y Helmholtz . Gibbs en 1871, fue

nombrado profesor de física matemática en la Universidad de Yale.

Trabajo en análisis vectorial.

La muerte le sorprendió tras una vida tranquila en su casa de New

Haven en 1903.

Nació en New Haven, en el estado norteamericano de

Connecticut el 11 de Febrero de 1839.

Historia

En el 1889, el físico Albert Michelson y su

colega S. Stratton construyeron un

sintetizador armónico: un dispositivo que

reconstruía una señal periódica

de periodo

En base a la especificación de hasta

ochenta de sus componentes armónicos.

El sintetizador implementa

matemáticamente la siguiente ecuación:

Michelson probó su dispositivo calculando los coeficientes de

Fourier de distintas señales periódicas y comparando la señal

reconstruida con la original

Sin embargo, cuando utilizó como señal de prueba una onda

cuadrada la aproximación no fue tan buena; en la maquina

aparecieron “garabatos” alrededor de las discontinuidades,

aunque el numero de los coeficientes de fourier llegaron a ser

casi infinitos, los garabatos nunca desaparecieron (puntos son

conocidos como el Fenómeno de Gibbs) pero Michelson no

podía comprender las causas del problema, y pensaba que su

aparato podría estar funcionando incorrectamente. Confió sus

dudas al matemático Josiah Gibbs.

Historia

Series de Fourier de una función cuadrada

Carta de Gibbs

El 27 de abril de 1899 Gibbs publica el resultado correcto y

mostrando que las oscilaciones no decaen, sino que el

sobrepico tiende a un numero constante (9% de la altura del

pulso).

El nombre “fenómeno de Gibbs” fue utilizado por primera vez

por Bocher en 1906, en un artículo donde extendía el

resultado de Gibbs.

Para entender mejor en que consiste dicho fenómeno, vamos

a realizar una prueba experimentar por medio de Matlab.

Fenómeno de Gibbs

Tomamos una señal con un número finito de discontinuidades

(como el pulso cuadrado ) y encontrando su representación de

series de fourier. Ahora, trataremos de reconstruir esta señal

usando sus coeficientes de fourier. Vemos que entre mas

coeficientes usemos, la señal reconstruida se parece más y más

a la señal original.

Sin embargo, alrededor de las discontinuidades, observamos

ondulaciones que no desaparecen. Al considerar el uso de más

coeficientes, las ondulaciones se vuelven estrechas, pero no

desaparecen. Incluso cuando llegamos a un número casi infinito

de coeficientes, estas ondulaciones continúan ahí.

Mientras estas ondulaciones siguen presentes (estando siempre

arriba del 9% de la altura del pulso), el área dentro de ellas

tiende a ser cero, lo que significa que la energía de las

ondulaciones llega a ser cero.

Procedimiento experimental

Lo que demuestra que su anchura tiende a ser cero y podemos

saber que la reconstrucción de la señal es exactamente igual a la

señal original excepto en las discontinuidades (por Dirichelt).

El teorema de Dirichelt nos asegura que en los puntos donde

ocurren las discontinuidades de saltos, la serie de fourier

converge al valor medio del salto. Cuando se adhieren más

términos a las series, las oscilaciones se vuelven más rápidas y

más pequeñas, pero los picos no disminuyen.

Estos picos en la series de fourier de la función

cuadrada nunca desaparecen; son llamados el fenómeno de

Gibbs