1

Secretaría de Educación Distrital COLEGIO REPÚBLICA DE COLOMBIA IED

“Educación en Valores para la Convivencia y la Productividad”

MATERIAL DE APOYO ACADEMICO ACTIVIDADES ACADÉMICAS A DESARROLLAR EN EL TERCER PERIODO

GRADO DÉCIMO Área: Matemáticas Profesoras: Andrea Ponce de León – Sandra Alape Estudiante: _________________________________________________________ curso: ___________ Unidad: Funciones Trigonométricas Eje Temático: Circunferencia unitaria, función seno, función coseno, graficas de las funciones sinusoidales, función tangente, función cotangente, función secante, función cosecante. Contenidos: circunferencia unitaria, definición de las funciones trigonométricas, ángulos cuadrantales, función trigonometrías, gráfica de las funciones trigonométricas, amplitud, periodo, desfase, desplazamiento vertical Saberes previos: ángulo en posición normal, ángulos coterminales, teorema de Pitágoras y razones trigonométricas Desempeños:

• Identifica las funciones periódicas y sus características

• Construye e interpreta graficas de funciones periódicas.

• Reconoce los elementos para analizar una función en la gráfica.

Pregunta problematizadora: Alguna vez se te ocurrió pensar, ¿cómo se pueden relacionar las matemáticas con los fenómenos periódicos de la naturaleza? Conexión con la vida

Fenómenos periódicos en la naturaleza El termino periodo (del latín periodus) se utiliza para designar el intervalo del tiempo necesario para completar un ciclo repetitivo o simplemente el espacio de tiempo que dura un fenómeno. En matemáticas, el periodo (para un numero racional periódico) es el conjunto de cifras de repetición indefinida después de la coma. El comportamiento periódico es muy natural en la naturaleza. Por ejemplo, un día determinado de la semana es periódico debido a que se repite con la misma frecuencia. Otros ejemplos de comportamiento periódico involucran el movimiento causado por la vibración o la oscilación, entre estos podemos considerar: una masa suspendida en un resorte comprimido, que después se deja vibrar libremente en forma vertical; las ondas sonoras; las ondas luminosas y la corriente eléctrica. En Astronomía un ejemplo es una estrella variable, cuya brillantez aumenta y disminuye de manera alternada; Delta Cephei, es una de estas y es la cuarta estrella de magnitud aparente de la constelación Cefeo. Fue la segunda de este tipo en ser descubierta y la que más cerca se encuentra del sol. En 1784, Jhon Goodricke observó la variabilidad del tiempo entre periodos de máxima brillantez de esta estrella, la cual ocurre con un periodo de reloj de precisión de 5 días 8 horas 47 minutos y 32 segundos. Es una de las pocas estrellas variables cuyo cambio de brillo (entre magnitudes 3,5 y 4,3) puede apreciarse a simple vista, sin ayuda de instrumentos. El estudio de las estrellas variables tipo Delta Cephei les a proporcionado a los astrónomos valiosa información, principalmente para la medición de distancias astronómicas. Analiza y resuelve De acuerdo con la lectura anterior responde:

1. ¿Cuál es el periodo del número 7,435435435435…? 2. ¿Cuál es el periodo de brillantez máxima de la estrella Delta Cephei? 3. En magnitud, ¿Qué puesto ocupa la estrella Delta Cephei en la Constelación Cefeo? 4. ¿Cuál de los siguientes fenómenos no clasificarías como periódico? Justifica tu repsuesta

a. Impresión diaria de una revista b. El movimiento de un resorte c. El movimiento de un péndulo d. Cantidad de kilómetros recorridos en una carretera

5. ¿Para qué ha servido el estudio de las estrellas variables a los astrónomos?

2

1. Circunferencia Unitaria

La circunferencia unitaria es simplemente una circunferencia de radio 1, cuyo centro coincide con el origen del plano cartesiano.

En la circunferencia unitaria se forma un triángulo rectángulo, entonces, ponemos en acción el Teorema de Pitágoras y tenemos los siguiente:

𝑥2 + 𝑦2 = 1

Esta es la ecuación de la circunferencia unitaria

Con la ecuación de la circunferencia unitaria podemos verificar si un punto pertenece a ella, ejemplo.

Actividad 1

1. Representa los siguientes puntos, cada uno en un plano cartesiano. Luego, define un triángulo rectángulo y halla las razones trigonométricas.

2. Determina si cada punto esta en la circunferencia unitaria o no

1.1. Ángulo en Posición Normal: recuerda que, es un ángulo cuyo vértice esta en el origen del plano

cartesiano y su lado inicial esta sobre el semieje positivo de la x (abscisas). Según la medida de un ángulo en posición normal, este se considera ubicado en alguno de los cuatro cuadrantes en los que se divide el plano cartesiano. Como lo muestra la siguiente figura:

3

El lado terminal de un ángulo α, en posición normal interseca la circunferencia unitaria en un único punto P(x,y)

1.2. Ángulos Coterminales: dos ángulos α y β en posición normal, son ángulos coterminales si tienen el

mismo lado terminal. Los ángulos coterminales cortan la circunferencia unitaria en el mismo punto. Ejemplo

figura 3.92

Actividad 2

1. Determina en que cuadrante esta ubicado cada ángulo en posición normal

2. Encuentra dos ángulos positivos y dos ángulos negativos coterminales con el ángulo α

4

2. Funciones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria

Saberes previos: describe las características de la circunferencia unitaria ¿Cuál es su centro? ¿Cuál es su radio? En esta circunferencia unitaria se forma el triángulo rectángulo OMP, con hipotenusa OP= 1, se determinan las razones trigonométricas para este triangulo teniendo en cuenta el ángulo α de la siguiente manera:

2.1. Los signos de las razones trigonométricas: dependen de los signos de las coordenadas del punto

P(x,y) en su lado terminal y son:

Ejemplo

Funciones trigonométricas 3. Función Seno La función seno se escribe como f(x)= senx o y=senx, esta asocia al número real x el valor del seno de x (si existe), para un ángulo de x radianes Estos son algunos valores relevantes de f(x)= senx, para x en radianes y grados

5

3.1. Grafica de la función seno: en una circunferencia unitaria se localizan los valores de algunos ángulos

especiales, luego en el plano cartesiano se construye la gráfica de la función seno en el intervalo [0,2π] trasladando las medidas de las líneas trigonométricas correspondientes (valores sobre el eje y) como muestra la siguiente figura:

3.2. Características de la función seno

6

Actividad 3

1. Identifica cuál es el signo de la función trigonométrica en cada cuadrante. Justifica 2. Utiliza la calculadora para hallar el valor de la función seno de cada ángulo.

3. Completa la tabla para la función y=3senx, luego represéntala gráficamente

4. La siguiente tabla muestra la gráfica del comportamiento de una población de peces durante un lapso

de tiempo t en un estanque

5.

7

4. Función coseno La función coseno se escribe como f(x)= cosx o y=cosx, esta asocia al número real x el valor del coseno de x (si existe), para un ángulo de x radianes Estos son algunos valores relevantes de f(x)= cosx, para x en radianes y grados

4.1. Grafica de la función coseno: en una circunferencia unitaria se localizan los valores de algunos

ángulos especiales, luego en el plano cartesiano se construye la gráfica de la función coseno en el intervalo [0,2π] trasladando las medidas de las líneas trigonométricas correspondientes (valores sobre el eje x) como muestra la siguiente figura:

4.2. Características de la función seno

8

Actividad 4

1. Identifica cuál es el signo de la función trigonométrica en cada cuadrante. Justifica 2. Utiliza la calculadora para hallar el valor de la función seno de cada ángulo.

3. Completa la tabla para la función y=2cosx, luego represéntala gráficamente

4.

5.

2cosx

9

5. Graficas de las funciones sinusoidales Algunas funciones (como seno y coseno) se repiten infinitamente y se llaman Funciones Periódicas. El periodo va de un pico al siguiente (o de cualquier punto al siguiente punto de coincidencia):

La amplitud es la altura desde la línea central hasta el pico (o hacia el canal). También podemos medir la altura de los puntos más altos a los más bajos y dividir eso entre 2.

El desfase es cuán desplazada está la función horizontalmente de su posición habitual.

El desplazamiento vertical es cuán desplazada está la función verticalmente de su posición habitual.

¡Ahora todo junto! Podemos tenerlo todo en una ecuación:

y = A sin(B(x + C)) + D

• la amplitud es A

• el periodo es 2π/B

• el desfase es C (a la izquierda es positivo, a la derecha negativo)

• el desplazamiento vertical es D Ten en cuenta que estamos usando radianes, no grados, y que hay 2π radianes en una vuelta completa.

Periodo

Amplitud

Amplitud

10

Frecuencia La frecuencia es qué tan seguido sucede algo por unidad de tiempo (cada "1"). De hecho, el Periodo y la Frecuencia están relacionados:

11

Actividad 5

1. Halla la amplitud, el periodo, el desfase y los desplazamientos vertical y horizontal de cada función; luego represéntalas.

2. Utiliza la calculadora y luego representa las gráficas de las siguientes funciones

6. Función tangente La función tangente se escribe como f(x)= tanx o y=tanx, esta asocia al número real x el valor de la tangente de x, para un ángulo de x radianes Estos son algunos valores relevantes de f(x)= tanx, para x en radianes y grados

12

6.1. Grafica de la función tangente: en una circunferencia unitaria se localizan los valores de algunos

ángulos especiales, luego en el plano cartesiano se construye la gráfica de la función tangente en el intervalo [0,2π] trasladando las medidas de las líneas trigonométrica, como muestra la siguiente figura:

Referencias

• Ministerio de Educación Nacional. (2017). Matemáticas 10. Primera edición. Bogotá. Equipo editorial SM.

• López Ospina, Héctor Andrés. (2009). Delta 10. Primera Edicion. Bogotá. Grupo editorial Norma

• https://www.ing.unlp.edu.ar/sitio/ingreso/archivos/Mate-Pi-Modulo-0-2018.pdf

• https://es.khanacademy.org/math/cc-eighth-grade-math/cc-8th-geometry/cc-8th-pythagorean-theorem/a/pythagorean-theorem-intro

• δ Cephei (delta Cephei) - Star in Cepheus | TheSkyLive.com

• Circunferencia Unitaria (disfrutalasmatematicas.com)