fca2tema4_12-13

Fundamentos

de

Control Automático

2º G. Ing. Tecn. Industrial

Tema 4: Análisis de

respuesta temporal de

los sistemas lineales

Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind.

Índice del tema

2

1. Respuesta temporal de los sistemas de primer orden

Respuesta a escalón

Identificación por respuesta a escalón

Respuesta a rampa

2. Respuesta temporal de los sistemas de segundo orden

3. Sistemas de orden superior

4. Efecto de los ceros en la respuesta temporal

5. Estabilidad

Bibliografía para este tema:

• “Fundamentos de Control Automático”. Bolzern, Scattolini y Schiavoni, Ed. McGraw-

Hill, 2009. Capítulos 3 y 4. • “Ingeniería de Control Moderna”. Ogata, Ed. Pearson, 2010. Capítulo 5. • “Sistemas de Control Automático”. B.J. Huo. Prentice-Hall, 1996. Capítulos 6


Introducción

3

En este tema se analizará el comportamiento temporal de sistemas lineales simples ante señales de entrada de prueba, principalmente la entrada en escalón.

Se analizarán los sistemas de primer y segundo orden. También se harán algunas consideraciones para sistemas de orden superior.

A partir de modelos de Función de Transferencia se analizará el comportamiento obteniendo la respuesta temporal mediante al cálculo de la antitransformada y analizando el efecto de la posición de los polos con respecto al comportamiento del sistema

...)(

)()()(2

2

22

21

ps

a

s

ssUsGsY

...)sen()( 2

221 tpt eabteaty


Respuesta temporal de sistemas de primer orden

sa

b

dtaybuy

buaydt

dy

U(s)

Y(s)G(s)

:ncia transferede

función deforma en nulas, iniciales scondicione las si o

)( integralforma en o

ldiferencia ec.forma en

Se puede describir

- +

4

u

R

C y

sRC

RC

sU

sY

1

1

)(

)(

yy

s1

a

bu


tiempo)de unidadesen (medida tiempode Constante :

salida)y entrada de las a conformes (unidades u

y estática Ganancia :K

1U(s)

Y(s)G(s)

:nulas iniciales scondicionecon

1

s

K

uKydt

dy

uK

ydt

dy

Se suele expresar con parámetros con significado físico:

s/1 - +

1K


5

u

R

C y

RC

K

RCssU

sY

1

1

1

)(

)(

- + y y

s

1

1

Ku

yyu


estables) (sistemas

tiempode Constante :

modificaNo1

Amplifica1

Atenúa1

u

y estática Ganancia :K

positivasiempre

K

K

K

negativaopositivaserpuede


6


unitario escalón un )( con

1)(

)()(

tu

s

K

sU

sYsGsi


7

Respuesta a un escalón unitario:

unoporTanto

t

permanenterégimen

envalor

t

eyeKty )1()1()(

)(ty

)(ty

1

1K

1

2

5.0


99.0)1(5

98.0)1(4

95.0)1(3

86.0)1(2

63.0)1(

)1()1()(

5

4

3

2

1

etPara

etPara

etPara

etPara

etPara

eyeKty

unoporTanto

t

permanenterégimen

envalor

t


8



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.450.5

0.550.6

0.650.7

0.750.8

0.850.9

0.951

1.051.1

1.151.2

tiempotiempo

)1(

t

e


9



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

tiempo

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

u

Entrada en escalón Respuesta del sistema

¿Cómo obtener el modelo G(s) del sistema?

10

Identificación por respuesta a un escalón:

Queremos obtener el modelo de un sistema

Sometemos el sistema a una entrada en escalón y obtenemos la respuesta experimentalmente


Sistema real


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

tiempo

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

u

Entrada en escalón Respuesta del sistema

Respuesta típica de sistema de primer orden:

evolución exponencial con pendiente no nula en el instante de

cambio del escalón

11




Función de transferencia candidata

s

KsG

1)(

Dos parámetros:

¿K?

¿ ?

12




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo

u

K: se obtiene observando el régimen permanente

32

6

13

28

u

yK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

tiempo

y

2u

6y

13



Depto. Ing. Sistemas y Automática. Fundamentos de Control Automático. 2º G.Ing. Tecn. Ind. 14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

tiempo

y

6y

78.363.0 y


516.6

78,578.32

78.3663.063.0%63

Finalmentesegundoslosaesquevalorestealcanza

sequeelentiempoelobtenerpermitegráficalaallevadoque

escalóndelantesteníaquevaloralsumado

yessalidaladefinalincrementodelel : se obtiene

observando el

régimen transitorio



Función de transferencia obtenida:

ss

KsG

51

3

1)(

15



RECUERDE: Para definir el modelo se han utilizado variables incrementales, por lo que para obtener los valores reales hay que tener en cuenta el punto de funcionamiento.

Sistema real

Modelo G(s)

)(tu )(ty

2

1

:entofuncionami de Punto

0

0

y

u

0)()( utut 0)()( ytyt



Respuesta a una entrada en rampa

16

0)1()(

ormadaantitransfla calculando

1

1)()()(

1)(0,)(

2

2

teKKtty

ss

KsUsGsY

ssUtttu

t

Kt

t

)(ty

K


Índice del tema

17





Respuesta a un escalón

Relación de la respuesta temporal con los parámetros


Polos dominantes


Ceros de fase mínima

Ceros de fase no mínima

Cancelación de dinámicas

5. Estabilidad


Suele expresarse como

Parametrización habitual (a2>0)

Considerando condiciones iniciales nulas:

[rad/s] natural frecuencia:

nal][adimensio ión amortiguac de eCoeficient :

U]Y/dim [dim estática ganancia :K

2

n

22

2

2

uKydt

dy

dt

ydnnn

ubyadt

dya

dt

yd1212

2

18

Respuesta temporal de sistemas de 2º orden

u

R

C y

L

L

R

LC

LC

K

n

12

1

1

1

uLC

yLCdt

dy

L

R

dt

yd 112

2

22

2

2U(s)

Y(s)G(s)

nn

n

ss

K


12

44

02:Polos

2U(s)

Y(s)G(s)

2

222

2,1

22

22

2

nn

nn

n

nn

nn

n

s

ss

ss

K

19


Análisis del sistema:


siempre)0(

inestable sistema nula o positiva real partecon polos0 si

1:Polos

n

2

nn

20


Análisis del sistema

Caso 1: Sistema con amortiguamiento negativo o nulo

Re

Im


uadosubamortig entocomportami

:

1:Polos

estable sistema negativa real partecon conjugados complejoscon polos10 si

2

aamortiguadnaturalfrecuenciacon

jj

d

dnnn

Im

Re

21


Ánálisis del sistema

Caso 2: Sistema subamortiguado

1:Polos 2 nn


oamortiguad tecríticamen entocomportami

)2(:Polos

estable sistema negativos dobles reales polos1 si

n

Re

Im

22



Caso 3: Sistema críticamente amortiguado

1:Polos 2 nn


iguadosobreamort entocomportami

1:Polos

estable sistema negativos reales polos1 si

2

nn

Im

Re

23



Caso 4: Sistema sobreamortiguado

1:Polos 2 nn


)(1

1)(

)1cos1(coshacerpuedese1como

))](1

)(cos(1[)(

ormadaantitransf la calculando )()()(s

1U(s)

2

22

2

tsene

Kty

sen

tsenteKty

sUsGsY

d

t

dd

t

n

n

24


Respuesta a un escalón unitario

Caso 2: Sistema subamortiguado 10

dgeneralida de pérdidasin 1 supondrá se adelanteEn K


)(1

1)( 2

tsene

ty d

tn

25

21

2 es sistema del

oscilación de periodo el

n

PT


Respuesta a un escalón unitario: Sistema subamortiguado (caso 2)

jnn

21:Polos


)cos(1)](1

)[cos(1)(2

ttsentety ndd

tn

00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Tiempo

jn

Re

Im

n

pT

2

26


Respuesta a un escalón unitario Límite entre los casos 1 y 2 0


ormadaantitransf calculando

1

)(

1

)(

1

)()()()(

s

1U(s)

22 ssssssUsGsY

nn

n

n

n

27


Respuesta a un escalón unitario Caso 3: Sistema críticamente amortiguado

t

nnetty

)(1)(

1


00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

y(t)

1

1.0

7.0

9.0

5.0

03.0

28


Respuesta a un escalón unitario: Sistemas con amortiguamientos entre 0 y 1


2

2

1

2

1112

11)(

ormadaantitransf calculando)()()(s

1U(s)

2

1

2

1

2

ylentalExponencia

t

yrápidalExponencia

t nn

eety

sUsGsY

29


Respuesta a un escalón unitario Caso 4: Sistema sobreamortiguado 0


0 5 10 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

y(t)

y1(t)

y2(t)

1y2paraejemplopor n

lenta

rápida

30


Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado


1y2 n

0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo

lenta

exacta

31


Respuesta a un escalón unitario: sistema sobreamortiguado


Tiempo

0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

0.5

1

1.5

Y

32


Respuesta a un escalón unitario: respuesta de un sistema sobreamortiguado en función del amortiguamiento

2 3

14


Respuesta temporal

Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):

● Tiempo de subida (ts):Es el tiempo necesario para que la señal de salida pase de un porcentaje inicial a uno final de su valor en régimen permanente. Normalmente se usan del 0 al 100%, 5 al 95% o 10 al 90%

● Lo más habitual es (10-90%) o (0-100%) en sistemas subamortiguados

● Tiempo de pico (tp): Intervalo de tiempo hasta que se produce el primer pico en la señal de salida.

● No está definido en sistemas de primer orden y sistemas de segundo orden sobreamortiguados

Tiempo de establecimiento (te): Tiempo que tarda la señal de salida en establecerse en una banda alrededor del valor en régimen permanente. Los

valores más usados son ± 2% y ± 5%

Sobreoscilación (SO): Amplitud de la primera oscilación en tanto por ciento con respecto al valor de la señal en régimen permanente.


00

Tiempo

y(t)

)(

)()(..

y

ytyOS

p

)(y

etpt

34

Respuesta temporal

Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):

100%)(0 st


Respuesta temporal

2.2

2.2

1.0ln9.0ln

1)(

1090

s

s

t

t

ttt

ety

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.450.5

0.550.6

0.650.7

0.750.8

0.850.9

0.951

1.051.1

1.151.2

tiempotiempo

Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 1º Orden

2.2


Respuesta temporal

2.2

3

)05.0ln(

1)(

e

e

t

t

t

ety

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.050.1

0.150.2

0.250.3

0.350.4

0.450.5

0.550.6

0.650.7

0.750.8

0.850.9

0.951

1.051.1

1.151.2

tiempotiempo

Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de establecimiento te (5%) Sistema de 1º Orden

3


d

ssdsd

sd

sd

sd

sdsdsd

sdsd

t

s

dd

t

tttgttgsentsen

t

sitsen

ttsent

tsente

ty

tsentetysn

n

)(cos

)(

)cos(

cos1)(

)cos(0)(

1)cos(

0)](1

)[cos(

1)(

)](1

)[cos(1)(

22

2

2

21

nd

st

37

Respuesta temporal

Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de subida (0-100%) (ts): Sistema de 2º orden subamortiguado


Respuesta temporal

Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de subida (10-90%) Sistema de 2º orden subamortiguado

Se puede obtener de la gráfica, en la que se representa:

)()9010( ftsn


21

nd

pt

d

p

ddd

ddd

t

n

t

ttsentsene

dt

tdy

dt

tdy n

en produce se picoprimer el

...,3

,2

,0, t

:salida la de derivada la cero hace se donde instantes

...,3,2,,00)(0)(1

)(0

)(

2

00

Tiempo

y(t)

39

Respuesta temporal Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón):

Tiempo de pico (tp): Sistema de 2º orden subamortiguado


n

e

n

e

tdelfranja

tdelfranja

cionesSimplifica

4%2

3%5

:

)05.01ln(1

05.01

95.01

1

05.11

1

:que t tal

instante elen 1))y( (supuesto final valor del 5% del franja una de dentroquedan senvolvente Las

11 :son señal esta de senvolvente curvas las )(

11)(

2

2

2

2

22

n

e

t

t

t

t

d

t

te

e

e

etsen

ety

n

n

n

nn

Tiempo

y(t)

1

40

Respuesta temporal

Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Tiempo de establecimiento (te): Sistema de 2º orden subamortiguado


100)(

)()(.(%).

y

ytyOS

p

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

20

40

60

80

100

41

Respuesta temporal

Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Sobreoscilación (S.O.) Sistema de 2º orden subamortiguado

2

22

1

1

2

1

p

100.(%).luego

1]1

[cos1)y(t1)y( si

eOS

esene n

n

S.O.(%)


Re

Im

d

(95%) 3

)(

)(acos

e

d

p

d

s

t

t

t

SOSO

d SO ts tp te

- -

n

Re

Im

d

SO = cte

tp = cte

42

Respuesta temporal

Caracterización del transitorio (Respuesta a escalón): Sistema de 2º orden subamortiguado


Índice del tema

43




Respuesta a una entrada sinusoidal





Polos dominantes





5. Estabilidad


)(...

...)( nulas) (C.I. ormadaantitransf Calculando

)()(

...)()()(

...)()(

1

1

1

1

10

11

1

1011

1

1

sUasasas

bsbsbsY

tubdt

tdub

dt

tudb

dt

tudbya

dt

tdya

dt

tyda

dt

tyd

nn

nn

m

mm

mmm

m

m

m

nnn

n

n

n

44

Sistema de orden superior

Ecuación diferencial lineal de orden n


En general, los polos de G(s) podrán ser o bien polos reales o bien complejos conjugados, por lo que la respuesta ante una entrada en escalón se puede calcular:

negativa) real partecon polos sus (Todos

permanenterégimen un alcanza sistema el si Sólo

ón)continuaci aón demostraci (* )(lim

estáticaganancialasiendo

)]1cos()1([)(

)2()(

)('1)(

0

22

11

22

11

1

sGK

tctsenbeeaKty

ssps

csk

ssY

s

kkkk

r

k

tt

j

tp

j

kkk

r

kj

t

j

i

m

i

kkj

45



*La demostración hace uso del Teorema del valor final:

46

)(lim1

)(limK luego

)(lim ademásy 1

)(

unitarioescalón un sea u(t) queen caso elen

)()(lim)(lim)(lim

00

00

sGs

sGs

Ktys

sU

sUsGssYsty

ss

t

sst



• En la práctica, se dan situaciones en que algunos polos tienen una influencia en la respuesta del sistema es muy superior a la del resto de polos, a estos polos se les denomina polos dominantes.

• Esta situación ya se consideró en el estudio del sistema sobreamortiguado (exponencial rápida vs. exponencial lenta)

• Los polos dominantes son los polos que dan la respuesta más lenta.

• La rapidez de respuesta viene dada por el exponente de la exponencial (la parte real del polo), recuerde:

reales) (polos iguadosobreamortorden segundo de sistemasen )1(-

)1-(-

complejo) (polo uadosubamortigorden segundo de sistemasen

real) (poloorden primer de sistemasen 1

2

2

rápido

lento

n

n

n

47

Polos dominantes:



• En la práctica, los polos dominantes se determinan por la distancia relativa de los mismos al eje imaginario

Re

Im

p1

p’1

p2

p’2

d2

d1

p1,p’ 1 se van a considerar dominantes si d2/d1>5

48

Polos dominantes:



Re

Im

p1

p2

p’2

d2

d1

p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5

49

Polos dominantes:



Re

Im

p1 p2

d2

d1

p1 se va a considerar dominante si d2/d1>5

50

Polos dominantes:



• En la práctica, un sistema de orden superior puede ser reducido despreciando el efecto de los polos no dominantes (polos rápidos).

• IMPORTANTE: al eliminar los polos no dominantes: LA GANANCIA ESTÁTICA DEBE QUEDAR INALTERADA

Ejemplo:

)17)(16)(1(

544)(

ssssG

Re

Im

-1 -16 -17

-1 es el dominante

51

Polos dominantes:



1

2

)17)(16)(1(

544

)17)(16)(1(

544)(

ssssssG

Re

Im

-1 -16 -17

-1 es el dominante.

52

Polos dominantes:



Tiempo(s)

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

y(t)

• Se ha pasado de un sistema de orden 3 a uno de orden 1 eliminando los dos polos no dominantes.

• En la figura se representa el error cometido en la respuesta del sistema ante un escalón al simplificar la función de transferencia

53

Polos dominantes:



22

12 ss

• Ejemplo 2:

6

10

s

Re

-1+j

-1-j

-6

Im

-1+j y -1-j

son los dominantes

54

Polos dominantes:



22

12 ss

• Se elimina el polo no dominante, (se mantiene su ganancia estática)

6

10

Re

-1+j

-1-j

Im

55

Polos dominantes:



0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

12148

1023 sss

22

6/102 ss

• Comparación de las respuestas

56

Polos dominantes:



0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

6

10

s

12148

1023 sss

• Comparación de las respuestas

22

12 ss

rápida

Lenta

Sistema completo

57

Polos dominantes:



• Interpretación física:

Al considerar los polos dominantes se está simplificando el sistema sustituyendo la evolución de la respuesta correspondiente a los polos no dominantes por una evolución “instantánea”.

Ejemplo:

Suponga una habitación que se pretende calentar con un calefactor de resistencias.

Estamos interesados en conocer el tiempo que debemos esperar desde que se conecta el calefactor hasta que se alcanzan unas condiciones estacionarias en la habitación.

Para ello se modelan dos subsistemas:

- El calefactor - entrada: tensión aplicada (V), salida: potencia calorífica aportada (kW)

- El habitáculo - entrada: potencia calorífica recibida del calefactor (kW), salida: incremento de temperatura con respecto al exterior (ºC)

58

Polos dominantes:



• Se tiene el modelo dado por el siguiente diagrama de bloques:

115

01.0

s 12400

7

s

V P

Dinámica del

calefactor

Dinámica del

habitáculo

59

Polos dominantes:



• Las ganancias estáticas determinan los valores de régimen permanente cuando se aplican 220V en la entrada:

115

01.0

s 12400

7

s

V P

Dinámica del

calefactor Dinámica del

habitáculo

C

kWP

VV

º4.15)(

2,2)(

220)(

:iasestacionarscondicioneen

60

Polos dominantes:



• Si la entrada (V) es un escalón de 0 a 220 v., obtenemos:

0 3000 60000

5

10

15

115

01.0

s 12400

7

s

V P

Dinámica del


habitáculo

)(º C

0 3000 60000

5

10

15

0 3000 60000

100

200

V (voltios) P (kW)

61

Polos dominantes:



115

01.0

s 12400

7

s

V P

Dinámica del


habitáculo

Dinámica rápida

Polo: -1/15 =-0.0667 Dinámica Lenta

Polo: -1/2400=-0.00041 Dominante

Re

Im

-0.00041 -0.0667

0.0667/0.0041=160 >> 5

62


Polos dominantes:


0 3000 60000

5

10

15

01.012400

7

s

V P

Dinámica del

Calefactor aproximada Dinámica del

habitáculo

)(º C

0 3000 60000

100

200

V (voltios)

0 3000 60000

5

10

15

P (kW)

63


Polos dominantes: Aplicando la dinámica del polo dominante


Time (sec.)

0 20000

1

2

01.0

115

01.0

s

V P

Dinámica del

Calefactor real

0 3000 60000

100

200

V (voltios)

P (kW)

0 20000

1

2

P V P (kW)

Dinámica del

Calefactor aproximada

0 3000 60000

100

200

V (voltios)

64


Polos dominantes: Se ha sustituido la dinámica del polo rápido por una dinámica instantánea


Índice del tema

65









Polos dominantes





5. Estabilidad


tteety

ss

ssG

105 18162)(

)10)(5(

)1(100)(

Efecto de los ceros en la respuesta

Los ceros afectan al transitorio

0 0.4 0.8 1.20

2

4

6

0 0.4 0.8 1.20

2

4

6

tteety

sssG

105 242)(

)10)(5(

100)(

66


0 1 20

2

4

6yc(t)

dy(t)/dt

y(t)

)()(1

)(será derespuesta La

por dadosistema delrespuesta la es Si

)()11

()sea ,una Dada

tydt

tdy

cty(s)G

G(s)y(t)

sGsc

(sGG(s)

cc

c

tt

tttt

c

ee

eeeety

105

105105

18162

2020242)(

67


Ceros de fase mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano izquierdo


-20 -15 -10 -5 0 5

0 1 20

2

4

6

0 1 20

2

4

6

0 1 20

2

4

6

x x o o o o

0 1 20

2

4

6

C>0 la derivada SUMA. Mientras más lejos esté el cero del eje imaginario, menor será su influencia

68




-20 -15 -10 -5 0 5

0 1 2

-4

-2

0

2

0 1 2

-4

-2

0

2

x x o o

C<0 la derivada RESTA Respuesta inversa

69


Ceros de fase no mínima: son ceros que se encuentran en el semiplano derecho


Índice del tema

70









Polos dominantes





5. Estabilidad


71

Motivación

Estructuras (puente de Tacoma)

Plantas de energía (Chernobyl, Fukushima)

Aeronáutica (aviones de combate)

Automóvil (ESP)

An unstable aircraft is normally difficult or impossible for a human pilot to keep under control. But the F-16's quadruple-redundant fly-by-wire computer automatically makes constant split-second corrections to keep the plane stable.

Estabilidad de todo tipo de sistemas:


72

Estabilidad

La estabilidad es una propiedad inherente del sistema. Independiente de las señales

Un sistema es estable si, ante cualquier entrada acotada responde con una salida acotada

Señal acotada si

Estable si

Se denomina estabilidad BIBO (Bounded Input – Bounded Output)

Sistema Entrada Acotada Salida Acotada

ktx )(

tKtyKtu yu )()(

72


73

Teorema: un sistema lineal e invariante en e tiempo descrito por una función de transferencia G(s) es estable si y sólo si todos los polos están situados en el semiplano izquierdo abierto del plano s.

Todos los polos tienen que tener parte real negativa.

o En Matlab: comando roots()

o Criterio de Routh-Hurwitz

X

X

X

X

X X X

X

X

Sistema inestable

Re

Im

X

X

X

X

X X X

X

X

Sistema inestable

X

X

X

X

X X X

X

X

Sistema inestable

Re

Im

Estabilidad

73


74

INESTABLE. ¡Cuidado!

La respuesta ante

otras entradas acotadas no

está acotada

Respuesta ante un IMPULSO

No acotada ante u(t)=sen t No acotada ante escalón

Estabilidad

74


Criterio de Routh-Hurwitz I

Para determinar la estabilidad no es necesario conocer el valor de las raíces de d(s), sino sólo saber si están en el semiplano izquierdo

Criterio de Routh-Hurwitz: permite determinar si las partes reales de los polos son negativas

Un polinomio se dice polinomio de Hurwitz si todas sus raíces tienen parte real negativa. Determinar la estabilidad de G(s) equivale a determinar si d(s) es Hurwitz

n

nn

m

mm

asas

bsbsb

sd

snsG

1

1

1

10

)(

)()(

75


Criterio de Routh-Hurwitz II

1. Todos sus coeficientes son positivos ( ) y

2. Los elementos de la primera columna de la tabla de Routh son positivos

n

nn asassd 1

1)(

76

iai 0

El polinomio es Hurwitz si cumple estas dos condiciones:

La tabla de Routh se obtiene en función de los coeficientes ai del polinomio (se considera mónico, es decir, el coeficiente de es igual a 1).

Nótese que si no se cumple el punto 1 no es necesario crear la tabla de Routh.

ns


Tabla de Routh

Tiene (n+1) filas

Las 2 primeras filas son los coeficientes ai alternos

sn 1 a2 a4 ...

sn-1 a1 a3 a5 ...

sn-2 b1 b2 b3 ...

sn-3 c1 c2 c3 ...

... ... ... ...

s0 z1

Coeficientes pares

Coeficientes impares

1

30211

a

aaaab

1

50412

a

aaaab

1

70613

a

aaaab

Siendo a0 =1 y así para los ci … zi

1

21311

b

baabc

77

1

31512

b

baabc


Tabla de Routh

El número de

cambios de signo es el número de raíces con parte real positiva

sn 1 a2 a4 ...

sn-1 a1 a3 a5 ...

sn-2 b1 b2 b3 ...

sn-3 c1 c2 c3 ...

... ... ... ...

s0 z1

Para que el polinomio d(s) tenga todas sus raíces con parte real negativa, todos los elementos de la primera columna de la tabla deben ser positivos

78


Ejemplo

Polinomio: s4+5s3+3s2+s+2

1. Todos los ai positivos 2. Tabla de Routh s4 1 3 2

s3 5 1

s2

s1

s0 2

1 elemento negativo: Inestable

Dos cambios de signo:

2 polos inestables

5

14

5

153

2

5

25

14

36

5

14

105

14

js

ss

657.0168.0

33.4,1

Dos cambios de signo

Comprobación: Las raices del polinomio son:


Ejemplo

d(s)=s4+0.5s3+1.5s2+2.5s+5

1. Todos los ai positivos 2. Tabla de Routh:

s4 1 1.5 5

s3 0.5 2.5

s2

s1

s0 5

Se podría parar de calcular la tabla aquí

js

js

444.17555.0

93311.00055.1

5.35.0

5.255.1

5

5.0

55.0

21.35.3

55.05.25.3

1 elemento negativo: Inestable

Dos cambios de signo:

2 polos inestables

Comprobación: Las raíces del polinomio son:


Ejemplo Muy útil cuando uno de los

coeficientes es un parámetro

d(s)=s3+5s2+6s+k ¿Qué valores puede tomar k de

forma que el sistema sea estable?

1. Condición: k>0

2. Tabla de Routh: Debe ser positivo

Condición:

0<k<30

s3 1 6

s2 5 k

s1 (30-k)/5

s0 k


Resumen

Se ha estudiado el comportamiento temporal de sistemas de primer y segundo orden y su relación con la posición de los polos del sistema.

Para sistema de orden superior se he definido el concepto de polo dominante que puede permitir obtener un modelo aproximado más simple.

Se ha analizado el efecto de los ceros del sistema en el comportamiento temporal.

Se ha definido el concepto de estabilidad, y se ha establecido el Criterio de Routh para su determinación.

82

fca2tema4_12-13

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