fasores rotantes una señal periódica cosenoidal puede representarse mediante la parte real de un...
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FASORES ROTANTESFASORES ROTANTES
Una señal periódica cosenoidal puede representarse mediante la parte real de un fasor rotante:
Entonces:
AA coscos oo tt ReRe AA eejj oo tt
AA eejj oott
Recordando la relación de Euler:
AA eejj oo tt
AA coscos oo tt jj sinsin(( oo tt
Ejemplo 4:Fasor Rotante:
A ej o t
0 Re
Im
A o t 1
tt11 o
A cos o t 1
Las ecuaciones anteriores muestran que una señal periódica cosenoidal está completamente definida si se conocen:
ESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE UNILATERALES ESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE UNILATERALES (sólo frecuencias positivas)(sólo frecuencias positivas)
Así que podemos representarla mediante dos gráficos en el dominio de la frecuencia, denominados espectros de amplitud y de fase
1.1. La amplitud ALa amplitud A2.2. La frecuencia La frecuencia o o (o f(o foo))3.3. La fase La fase
o
amplitudamplitud
A
o
fasefase
0 0
A cos o t
SEÑAL COSENOIDAL COMO SUMA DE DOS FASORES SEÑAL COSENOIDAL COMO SUMA DE DOS FASORES ROTANTES CONJUGADOSROTANTES CONJUGADOS
Una señal periódica cosenoidal también puede representarse mediante la suma de dos fasores rotantes, uno complejo conjugado del otro:
A cos o t .
AA coscos oo tt AA22
eejj oo tt
eejj oo tt
De hecho:
AA22
eejj oo tt
eejj oo tt
AA22
coscos oo tt jj sinsin oo tt coscos oo tt jj sinsin oo tt
Sumando los términos del segundo miembro, se demuestra lo anterior.
ESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE BILATERALESESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE BILATERALES
La representación de la señal cosenoidal mediante la suma de dos fasores rotantes conjugados, da origen a la representación espectral bilateral de amplitud y
fase:
o
amplitudamplitud
A/2
0- oo
fasefase
0
-
- o
Una señal real siempre tiene un espectro de amplitud bilateral par y un espectro bilateral de fase impar
LA SERIE EXPONENCIALLA SERIE EXPONENCIALDE FOURIERDE FOURIER
f t( )
n
F n ej n o
t
=
F n1T t o
t o T
tf t( ) ej n o
t d
Una señal periódica, de período T, puede representarse mediante la serie de Fourier (en este caso exponencial):
o2
T
En donde:
Representación de la Representación de la rampa en el dominio rampa en el dominio del tiempo mediante del tiempo mediante seis términos de la seis términos de la
serie de Fourierserie de Fourier
Para las señales reales: F n Fn
F0 0
F1 0.32j
F2 0.16j
F3 0.11j
F4 0.08j
F5 0.06j
F6 0.05j
Coeficientes de Fourier Fn
Rampa:Rampa:
f t( ) 2 F1 sin 2 t( ) F2 sin 4 t( ) F3 sin 6 t( )( ) F4 sin 8 t( ) F5 sin 10 t( ) F6 sin 12 t( ) ...
ej n o
tcos n o t j sin n o t
Recordando que:Recordando que:
1.001
1.001
f t( )
30 t0 1 2 3
1
0.5
0
0.5
1
ffFF(t)(t)
tt10 2 3
0
1
-1
f(t)f(t)
tt10 2 3
0
1
-1
T=1 - < n <
f t( ) 2 t n T( ) 1 nT t nT 1
Los coeficientes de Fourier y las correspondientes frecuencias nLos coeficientes de Fourier y las correspondientes frecuencias noo definen completamente la función f(t): su conocimiento equivale a definen completamente la función f(t): su conocimiento equivale a conocer f(t). Los coeficientes de Fourier se representan mediante conocer f(t). Los coeficientes de Fourier se representan mediante
diagramas de amplitud y fase en función de la frecuencia, llamados diagramas de amplitud y fase en función de la frecuencia, llamados ESPECTROS DE LÍNEASESPECTROS DE LÍNEAS
ESPECTRO BILATERAL DE AMPLITUD ESPECTRO BILATERAL DE AMPLITUD DE LA RAMPA DE LA RAMPA [[2(t-nT)-12(t-nT)-1]] 0.32
0.160.11
0.08 0.06 0.05
0.32
0.160.11
0.080.060.05
2 4 6 8 10 12-2-4-6-8-10-12
FFnn
2 4 6 8 10 12-2-4-6-8-10-12
FFnn
90º
-90º
180º
-180º
ESPECTRO BILATERAL DE FASE DE ESPECTRO BILATERAL DE FASE DE LA RAMPA LA RAMPA [[2(t-nT)-12(t-nT)-1]]
ESPECTROS DE LÍNEAS DE SEÑALES PERIÓDICASESPECTROS DE LÍNEAS DE SEÑALES PERIÓDICAS
11
1
z t( )
30 t0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
5
0
5
10
15
g(t)
F0 5
F1 3j
Fn = 0 para n 0 y n 1
g t( ) 5 6 sin 2 t( )
33
2 4 6-2-4-6
FFnn
5
LA SERIE TRIGONOMÉTRICALA SERIE TRIGONOMÉTRICADE FOURIERDE FOURIER
t o t t o T
o2
T
f t( ) co0
n
cn cos n o t n
=
cn 2 Fn
n arg Fn
co Fo
LA TRANSFORMADALA TRANSFORMADADE FOURIERDE FOURIER
Es posible generalizar la serie de Fourier para señales aperiódicas, a pacto que sean señales de energía, es decir que
su cuadrado sea integrable entre - y +
f t( )1
2
F ( ) ej t d
F ( )
tf t( ) e j t d
La función F() es la transformada de Fourier de f(t), la cual es continua en para señales aperiódicas
f t( ) F 1 F ( )( )
F ( ) F f t( )( )
EL ESPECTRO CONTINUO DE AMPLITUDEL ESPECTRO CONTINUO DE AMPLITUD
La transformada de Fourier F() es una función compleja
Se define como espectro de amplitud, el diagrama de F( ) en función de
Ejemplo:
F ( ) F ( ) ej ( )
t2
w t( )
A
0 t2
0.2
0
F ( )
250250
A
1/ -1/ + +
f0
F( f )
0
F( ) A
sin
f
f
f
3
1
t x ( )
11 t 10-1
A
0
t
2
2
X f( )
2
2tA e j t
dX f( ) j A( )
e
j
2
ej
2
X f( ) 2 A
sin 2
X f( ) j A
ej
2
ej
2
X f( ) A 1 f sin f( ) X f( ) A
sin f( ) f( )
Cálculos relacionados con el ejemplo anterior:
EL ESPECTRO DE AMPLITUD DE LA EL ESPECTRO DE AMPLITUD DE LA FUNCIÓN IMPULSO UNITARIOFUNCIÓN IMPULSO UNITARIO
t0 t
v(t)
V()
1
t t 0 ej t 0
V()
EL ESPECTRO DE AMPLITUD DE LA EL ESPECTRO DE AMPLITUD DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJAFUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA
t
v(jt)
V()
compleja
0
2
ej 0 t
2 0
ej 0 t
EL ESPECTRO DE AMPLITUD DE LA EL ESPECTRO DE AMPLITUD DE LA FUNCIÓN CONSTANTEFUNCIÓN CONSTANTE
A 2 A ( )
t
v(t)
V()
0
2AA
GENERALIZACIÓN DE LA TRANSFORMADAGENERALIZACIÓN DE LA TRANSFORMADADE FOURIER PARA FUNCIONES PERIÓDICASDE FOURIER PARA FUNCIONES PERIÓDICAS
A A
-o o
F 1 ( ) A o o
5
5
f 1 t( )
33 t
0
A
f 1 t( ) A cos o t
1a
F
a
F ( ) ej t 0
j ( )n
F ( )
1j
F ( )
F 1 ( ) F 2 ( )
f 1 t( ) f 2 t( )
f at( )
f t t 0
ntf t( )d
d
n
tf ( )d
f 1 ( ) f 2 t ( ) d
12
F 1 ( ) F 2 ( ) d
A
0 0
A
0
f(t) F()
F f t( ) ej 0 t
F 0
F f t( ) cos 0 t 12
F 0 1
2F 0
0
A/2
0
A/2
-0
A
0
f(t) F()
La energía (normalizada a 1 La energía (normalizada a 1 ) asociada a las señales de duración finita es igual al ) asociada a las señales de duración finita es igual al área debajo de la función cuadrática de tensión o corriente. área debajo de la función cuadrática de tensión o corriente.
dE f2 t( ) dt
t0
f2(t)
dt
E
tf2 t( ) d
Se demuestra (teorema de PARSEVAL) que la energía también es igual al área debajo Se demuestra (teorema de PARSEVAL) que la energía también es igual al área debajo del módulo cuadrático del espectro de amplitud F(del módulo cuadrático del espectro de amplitud F()= )= FF{f{f(t)(t)}. }. EE(() = F() = F() ) 22 es la densidad espectral de energía o energía por Hz. es la densidad espectral de energía o energía por Hz.
f0
df
F() 2E() =
E
fF ( )2 d dE F ( )2 df
Las señales que tienen energía infinita como las periódicas estacionarias y que por el contrario tienen potencia finita, pueden caracterizarse mediante el
espectro de potencia (W/Hz)
Se puede demostrar que para una señal real periódica, la potencia (normalizada a 1 ) es la siguiente:
Se define espectro de potencia W(f) (normalizado a 1 ) al término:
P
n
F n2
=+ cc2
W f( ) E(f) 21/T
P
fW f( )
d
1.5
1.5
g t( )
80 t0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
0
14
-4
V (t)
segt
Problema 1: Problema 1: determine los coeficientes de Fourier de la onda cuadrada simétrica (-< n < +)
n T t n12
T
V t( )
A m
A m n12
T t n 1( ) T
F n( ) 20
1te 1j n t d
1
2te 1j n t d F n( )
2
11j n( )
e 1j n 2
1j n2
e 1j n
1j n
n par
n impar F n( )8j
n
F n( ) 0F n( )2
1jn
1jn
2jn
F n( )2
1jn
1jn
2jn
Los coeficientes del espectro bilateral de amplitud son la mitad de los coeficientes del espectro de frecuencias positivas, los cuales representan los valores pico de la componentes sinusoidales de la serie de Fourier trigonométrica
F n( ) =8
n
Determine la transformada de Fourier de la señal 5 cos 2 50 t( ) 2 cos 2 10 t( )
Solución
F ( )
t5 cos 2 50 t( ) 2 cos 2 10 t( ) e j t
d
F ( ) 10
tej 2 50 t e j 2 50 t2
ej 2 10 t e j 2 10 t2
e j t
d
F ( ) 2.5
tej 2 50 10( ) t ej 2 50 10( ) t e j 2 50 10( ) t
e j 2 50 10( ) t e j t
d
F ( ) 5 2 60( ) 2 40( ) 2 40( ) 2 60( )
Observe como el producto de dos sinusoides de frecuencias f1 y f2 da origen a componentes sinusoidales de frecuencias suma f1+f2 y diferencia f1-f2
Problema 2:Problema 2:
Determine la antitransformada de Fourier de
F ( ) 5 2 60( ) 2 40( ) 2 40( ) 2 60( )
Solución
f t( ) 2.5
2 60( ) 2 40( ) 2 40( ) 2 60( ) ( ) ej t
d
f t( ) 2.5 ej 2 60 t ej 2 40 t e j 2 60 t
e j 2 40 t
f t( ) 2.5 2 cos 2 60 t( ) 2 cos 2 40 t( )( )
f t( ) 5 cos 2 60 t( ) cos 2 40 t( )( )
Recordando la identidad trigonométrica cos x( ) cos y( ) 2 cos x y2
cos x y2
se tiene:
f t( ) 10 cos 2 50 t( ) cos 2 10 t( )(
Problema 3:Problema 3:
Problema 4:Problema 4:
Determine la serie de Fourier exponencial (bilateral) de una sucesión unipolar de pulsos de periodo T1 4s (BR 2
T1) duración del pulso
T1
4 y Xp 5V
Solución
x t( )
nFn e
j n o t
Fn
1T T
8
T8
t5 ej n o t
d
Fn5
n o T 2 sin n oT8
Fn
5 jT n o
ej n o
T8
e
j n oT8
Fn n( ) 54
sin n
4
n
4
x t( )
n
54
sin n
4
n
4
ej n o t
Continuación problema 4Continuación problema 4En general, la serie de Fourier (espectro de líneas bilateral) de un tren de pulsos de amplitud A y relación
T1
entre duración del pulso y período T1, está dada por una sucesión de sinusoides ubicadas en los puntos de frecuencia fn
nT1
. La amplitud de las sinusoides es A f1 pesada por la función muestreo Sa fn . La
eventual componente continua se determina a sabiendas que Sa f 0 1
F fn A f1sin fn
fn n n entero
Para el caso numérico planteado la representación gráfica del espectro de líneas es el siguiente:
2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50.25
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
F fn
CC m( )
fn m
Observe que el primer cero se produce para:
fn1
o nT1
Problema 5Problema 5
Determine el espectro de potencia (normalizado) de la sucesión unipolar de pulsos de período T1 4s ( f1
T1
, BR 2T1
), duración del pulso T1
4 y A 5V.
SoluciónEl espectro de potencia normalizado de la sucesión de pulsos, por el teorema de Parseval es el cuadrado de las componentes de la serie de Fourier exponencial (espectro bilateral) + el cuadrado de la componente continua:
W fn cc2 A f1sin fn
fn
2 n n entero
Sustituyendo valores:
0
0.20.40.60.8
1
1.21.41.6
W fn
cc2
fn m
La potencia de la señal, si nos limitamos a las primeras cuatro componentes (bilaterales) es decir al primer cero, es por lo tanto:
W cc2
4
4
nW n
T1
W 5.643
Continuación problema 5Continuación problema 5A este resultado se puede llegar por otra vía. Se puede demostrar la siguiente relación entre el espectro de potencia de una sucesión de pulsos rectangulares de período de repetición T1 y el espectro de energía de un pulso rectangular considerado aisladamente:
W f( ) 1T1
E f( )
A sabiendas de que el espectro de energía del pulso rectangular de amplitud A y duración es su transformada de Fourier elevada al cuadrado (Teorema de parseval), se tiene:
X f( )
2
2tA e j t
dX f( ) j A( )
e
j
2
ej
2
X f( ) 2 A
sin
2
X f( ) j A
ej
2
ej
2
X f( ) A 1 f sin f( ) X f( ) A
sin f( ) f( )
E f( ) A sin f( )
f( )
2W f( ) 1
T1A2 2
sin f( ) f( )
2
Observe la existencia de la componente de corriente continuaObserve también que el primer cero se produce a la frecuencia en Hz igual a fm
1
, es decir a fm4T1
o
fm 2 BR
Es usual filtrar la señal a la frecuencia correspondiente a este primer cero sin que se produzcan distorsiones significativas en la forma de onda, puesto que con el primer lobo se abarca un porcentaje significativo de la potencia total.De manera que la banda base (ancho de banda unilateral) de una onda cuadrada con
12 bit , es igual
en Hz a dos veces la velocidad de transmisión en bit/seg.
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 301234567
W f( )
f
W
1
1
f1T1
A2 2sin f( )
f( )
2
d W 5.643
La potencia de la señal que se obtiene integrando el lobo principal del espectro de densidad de potencia, es igual a la potencia que se obtiene sumando las primeras cuatro componentes de la serie bilateral de Fourier más la componente continua.
Con relación a la componente continua, no hay que cometer el error de considerarla igual al valor pico W(0) del espectro, es necesario calculararla a parte.
Continuación problema 5Continuación problema 5