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1. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas
deportivas. El fabricante dispone para la confeccin de 550 m de tejido de
algodn y 900 m de tejido de polister. Cada pantaln precisa 1 m dealgodn y 2 m de polister. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de
algodn y 1 m de polister. El precio del pantaln se fija en 50000 y el de la
chaqueta en 40000. Qu nmero de pantalones y chaquetas debe
suministrar el fabricante a los almacenes para que stos consigan una
venta mxima?
1 Eleccin de las incgnitas.
x = nmero de pantalones
y = nmero de chaquetas
2 Funcin objetivo
f(x,y)= 50000x + 40000y
3 Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
pantalones chaquetas disponible
algodn 1 1,5 550
polister 2 1 900
x + 1.5y 550 2x+3y1100
2x + y 900
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Como el nmero de pantalones y chaquetas son nmeros naturales,tendremos dos restricciones ms:
x 0
y 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar grficamente las restricciones.
Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos grficamente la inecuacin: 2x +3y 1100, para ellotomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
20 + 30 1100
Como 0 1 500 entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplanodonde se cumple la desigualdad.
De modo anlogo resolvemos 2x + y 900.
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20 + 0 900
La zona de interseccin de las soluciones de las inecuaciones sera lasolucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las
soluciones factibles.
5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de lassoluciones factibles.
La solucin ptima, si es nica, se encuentra en un vrtice delrecinto. stos son las soluciones a los sistemas:
2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500)
2x + y = 1000; y = 0 (500, 0)
2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250)
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6 Calcular el valor de la funcin objetivo
En la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices.
f(x, y) = 50x + 40y
f(0, 500) = 500 + 40500 = 20000
f(500, 0) = 50500 + 400 = 25000
f(375, 250) = 50375 + 40250 = 28750 Mximo
La solucin ptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas paraobtener un beneficio de 28750 .
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2. Una compaa fabrica y venden dos modelos de lmpara L1y L2. Para su
fabricacin se necesita un trabajo manual de 35 minutos para el modelo L1
y de 20 minutos para el L2; y un trabajo de mquina para L1de 15 minutos y
de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 120 horas al
mes y para la mquina 90 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por
unidad es de 15000 y 10000 pesos para L1y L2, respectivamente, planificar
la produccin para obtener el mximo beneficio.
1Eleccin de las incgnitas.
x = n de lmparas L1
y = n de lmparas L2
2Funcin objetivo
f(x, y) = 15x + 10y
3Restricciones
Pasamos los tiempos a horas
20 min = 1/3 h
30 min = 1/2 h
10 min = 1/6 h
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
L1 L2 Tiempo
Manual 1/3 1/2 100
Mquina 1/3 1/6 80
1/3x + 1/2y 100
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1/3x + 1/6y 80
Como el nmero de lmparas son nmeros naturales, tendremos dosrestricciones ms:
x 0
y 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
Tenemos que representar grficamente las restricciones.
Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante.
Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.
Resolvemos grficamente la inecuacin: 1/3 x + 1/2 y 100; para ellotomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0).
1/30 + 1/20 100
1/30 + 1/60 80
La zona de interseccin de las soluciones de las inecuaciones sera lasolucin al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de lassoluciones factibles.
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5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de lassoluciones factibles.
La solucin ptima si es nica se encuentra en un vrtice del recinto.stos son las soluciones a los sistemas:
1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200)
1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0)
1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)
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6 Calcular el valor de la funcin objetivo
En la funcin objetivo sustituimos cada uno de los vrtices.
f(x, y) = 15x + 10y
f(0, 200) = 150 + 10200 = 2 000
f(240, 0 ) = 15240 + 100 = 3 600
f(210, 60) = 15210 + 1060 = 3 750 Mximo
La solucin ptima es fabricar 210 del modelo L1y 60 del modelo L1para obtener un beneficio de 3 750 .
3. Se dispone de 600 g de un determinado frmaco para elaborar pastillas grandes
y pequeas. Las grandes pesan 40 g y las pequeas 30 g. Se necesitan al menos
tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeas que de las grandes. Cada
pastilla grande proporciona un beneficio de 20 Pesos y la pequea de 10 pesos.
Cuntas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea
mximo?
1Eleccin de las incgnitas.
x = Pastillas grandes
y = Pastillas pequeas
2Funcin objetivo
f(x, y) = 2x + y
3Restricciones
40x + 30y 600
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x 3
y 2x
x 0
y 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de lassoluciones factibles.
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6 Calcular el valor de la funcin objetivo
f(x, y)= 2 3 + 16 = 22
f(x, y)= 2 3 + 6 = 12
f(x, y)= 2 6 + 12 = 24 Mximo
El mximo beneficio es de 24 , y se obtiene fabricando 6 pastillasgrandes y 12 pequeas .
4.Una escuela prepara una excursin para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene
8 buses de 40 pasajeros y 10 de 50 pasajeros, pero slo dispone de 9 conductores. El
alquiler de un bus grande cuesta 800000 pesos y el de uno pequeo 65000 pesos.
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Calcular cuntos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursin resulte lo
ms econmica posible para la escuela.
1Eleccin de las incgnitas.
x = autobuses pequeos
y = autobuses grandes
2Funcin objetivo
f(x, y) = 600x + 800y
3Restricciones
40x + 50y 400
x + y 9
x 0
y 0
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
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5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de lassoluciones factibles.
6 Calcular el valor de la funcin objetivo
f(0, 8) = 600 0 + 800 8 = 6 400
f(0, 9) = 600 0 + 800 9 = 7 200
f(5, 4) = 6 00 5 + 800 4 = 6 200 Mnimo
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El coste mnimo es de 6 200 , y se consigue 4 autobuses grandes y5 pequeos .
5. Unos grandes almacenes desean liquidar 250 camisas y 120 pantalones de la
temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un
lote de una camisa y un pantaln, que se venden a 33000; la oferta B consiste en
un lote de tres camisas y un pantaln, que se vende a 52000 pesos. No se desea
ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuntos lotes
ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
1Eleccin de las incgnitas.
x = n de lotes de A
y = n de lotes de B
2Funcin objetivo
f(x, y) = 30x + 50y
3Restricciones
A B Mnimo
Camisas 1 3 200
Pantalones 1 1 100
x + 3y 200
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x + y 100
x 20
y 10
4 Hallar el conjunto de soluciones factibles
5 Calcular las coordenadas de los vrtices del recinto de las
soluciones factibles.
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6 Calcular el valor de la funcin objetivo
f(x, y) = 30 20 + 50 10 = 1100
f(x, y) = 30 90 + 50 10 = 3200
f(x, y) = 30 20 + 50 60 = 3600
f(x, y) = 30 50 + 50 50 = 4000 Mximo
Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia mxima de 4000 .