familias de funciones cuadrÁticas l -...

funciomaticas.com- Jaqueline Cruz-1

FAMILIAS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS

La mejor manera de estudiar las funciones consiste en agruparlas por familias, dondecada una de éstas guarda características comunes que permiten analizar y entender elo�cio que ejercen los parámetros en la función.

Toda función cuadrática representa en el plano cartesiano una parábola (el objeto).Es sencillo observar las características de algunas familias de funciones cuadráticas, enuna calculadora gra�cadora como la TI_92 Plus ó Voyage 200 que utilizan el programaDerive. En programas para computador como Derive, Cabri II Plus, GeoGebra, entremuchos otros. También se pueden elaborar en lápiz y papel, aunque por supuesto estoúltimo resulta mucho más dispendioso.

También es importante estudiar los procesos para hallar las raíces de la función cua-drática (interceptos de la función con el eje xxx) para cada una de las familias defunciones, recordando procesos de factorización y la fórmula de la ecuación cuadrática.

Es importante identi�car claramente las características esenciales de cada una de lasfamilias, pues es de esta forma que se va a facilitar la comprensión del o�cio de losparámetros en cada una de las familias. En el cuadro de la página siguiente, se presentaun análisis detallado de las características de las principales familias de funciones queresultan de la expresión f(x) = ax2 + bx+ cf(x) = ax2 + bx+ cf(x) = ax2 + bx+ c, donde se identi�ca el o�cio del parámetroaaa, bbb y ccc en la función. Así mismo, los procedimientos y fórmulas matemáticas quepermiten hallar los elementos de la parábola, como son el vértice y el eje de simetría.

Igualmente lo anterior, se puede ampliar de manera experimental e interac-

tiva con el módulo �modelación� de este menú.

www.funciomaticas.com


Familias de Parábolas Generadas por la Expresión Simbólicaf(x) = ax2 + bx+ cf(x) = ax2 + bx+ cf(x) = ax2 + bx+ c

SIMBÓLICA GRÁFICA (FAMILIAS) ANÁLISIS

Familia 1:

f(x) = ax2

a < 0 ∧ a > 0

f(x) = ax2

a < 0 ∧ a > 0

f(x) = ax2

a < 0 ∧ a > 0

.

Vértice (0,0)

Eje de simetría: eje y

Concavidad hacia arriba:cuando a > 0

Concavidad hacia abajo:cuando a < 0

Se contrae si |a| > 1

Se Dilata si |a| < 1

Familia 2:

f(x) = ax2 + c

a > 0

f(x) = ax2 + c

a > 0

f(x) = ax2 + c

a > 0

aaa constante y cccvariando

.

Vértice (0, c)


Concavidad hacia arriba:porque a > 0

Dilatación igual porque aes constante

Traslación sobre y, deter-minada por c

Familia 3:

f(x) = ax2 + c

a < 0

f(x) = ax2 + c

a < 0

f(x) = ax2 + c

a < 0

aaa constante y cccvariando

.

Vértice (0, c)


Concavidad hacia abajo:porque a > 0


Traslación sobre y, deter-minada por c



Familia 4:

f(x) = ax2 + cf(x) = ax2 + cf(x) = ax2 + c

ccc constante

. Vértice (0, c) e igual


Concavidad hacia arriba:cuando a > 0

Concavidad hacia abajo:cuando a < 0

Dilatación diferente, por-que el valor de a varía

Traslación sobre y, segúnel valor de c

Familia 5:

f(x) = ax2 + bxf(x) = ax2 + bxf(x) = ax2 + bx

aaa constante,cuando a > 0a > 0a > 0 ya < 0a < 0a < 0

.

Vértice varía, dependetanto de el valor de a,como del valor de b.

Determinado por:

Vx = − b

2a

Vy = f

(− b

2a

)Eje de simetría:

x = − b

2a

Concavidad según el signode a


Tienen un punto de in-tersección en (0, 0) porquec = 0



Familia 6:

f(x) = ax2 + bxf(x) = ax2 + bxf(x) = ax2 + bx

bbb constante,cuando b > 0b > 0b > 0

. Vértice varía, como en lafamilia 5.


Eje de simetría:

x = − b

2a

Tienen un punto de in-tersección en (0,0) porquec = 0

Dilatación diferente, por-que el valor de a varía.

Familia 7:

f(x) = ax2 + bx+ cf(x) = ax2 + bx+ cf(x) = ax2 + bx+ c

aaa y bbb constantes,cuando a > 0a > 0a > 0

. El vértice varía como enla familia anterior, pero suubicación está sobre el ejede simetría

Eje de simetría: el mismo

x = − b

2a

Punto de corte de la grá-�ca con el eje y, según elvalor de c

Concavidad hacia arribaporque a > 0

Familia 8:


aaa y ccc constantes,cuando a > 0a > 0a > 0

.

Los vértices son diferentes

Eje de simetría:

x = − b

2a

Concavidad hacia arribaporque a > 0

Todas las parábolas cor-tan al eje y en el punto c



Familia 9:


bbb y ccc constantes

.Los vértices son diferentes

Eje de simetría:

x = − b

2a


Dilatación diferente, por-que el valor de a varía

Todas las parábolas cor-tan al eje y en el punto c


familias de funciones cuadrÁticas l -...

Documents