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Facultad de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Telecomunicaciones y Electrónica
TRABAJO DE DIPLOMA
Diseño de guías de laboratorio de Matemática III y Matemática IV con aplicaciones
en la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica
Autor: Osmar Gómez César
E-mail: [email protected]
Tutora: MSc. María Milena Rodríguez Fernández
E-mail: [email protected]
Santa Clara
2013
“Año 55 de la Revolución”
Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central
“Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad
de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, autorizando a que el mismo sea
utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial
como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicado sin
autorización de la Universidad.
____________________
Firma del Autor
Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo
de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un
trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.
__________________
Firma del Tutor
___________________ ________________________
Firma del Jefe de Departamento Firma del Responsable
Información Científico-Técnica
i
PENSAMIENTO
El secreto del éxito es la constancia del propósito.
Benjamín Disraeli
ii
DEDICATORIA
A mi familia
iii
AGRADECIMIENTOS
A mi mamá por estar pendiente de mi bienestar y a quien le debo
todo en mi vida.
A mi hermana por ser mi fuente de inspiración en cuanto a elevar
mis metas estudiantiles y profesionales.
A mi tutora por ayudarme en el desarrollo de la tesis y en mi vida
estudiantil.
A mi profesora Gloria, por ser mi ídolo profesional y la mejor
profesora que he tenido.
A profesora Ileana por ayudarme en la elaboración de la tesis.
A mis mejores amigos Arcy y Lissandra, por ayudarme en todos los
momentos, apoyarme durante los años universitarios y por
compartir mi vida.
A mis amigos y compañeros Sergio, Yalina, Yaimeé quienes me han
apoyado incondicionalmente.
A todos aquellos que me han brindado sus recursos para el desarrollo
de mi tesis.
Muchas Gracias.
iv
RESUMEN
Para contribuir al acercamiento de temas de las asignaturas Matemática III y
Matemática IV de la disciplina Matemática a contenidos propios de asignaturas de
disciplinas de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, en la
presente investigación se abordan temas de Matemática III y Matemática IV y su
relación con contenidos de asignaturas de las disciplinas: Circuitos Eléctricos,
Electrónica, Teoría de las Comunicaciones y Sistemas de Radiocomunicaciones,
de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica. Como resultado
se diseñaron ocho guías de prácticas de laboratorio con ejercicios de aplicación de
estas asignaturas de la disciplina Matemática con otras de las disciplinas
anteriormente mencionadas, asignaturas estudiadas en la Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica en semestres posteriores, de modo que el
estudiante de segundo año, con los resultados obtenidos de emplear técnicas
propias de la asignatura correspondiente, aplique los conocimientos matemáticos
que posee para el análisis de estos resultados y dar solución a estos ejercicios
utilizando el asistente matemático MATLAB, software empleado durante toda la
carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica. Estas guías de
laboratorio se incluyen en los Programas analíticos de Matemática III y Matemática
IV.
v
TABLA DE CONTENIDOS
PENSAMIENTO ....................................................................................................................i
DEDICATORIA .....................................................................................................................ii
AGRADECIMIENTOS ........................................................................................................iii
RESUMEN............................................................................................................................ iv
INTRODUCCIÓN................................................................................................................. 1
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA …………………………………………………………………………..6
1.1 Características de la disciplina Matemática en la Ingeniería
Telecomunicaciones y Electrónica según el Plan D .................................................. 6
1.2 Relación de Matemática III y Matemática IV con otras asignaturas de
disciplinas en la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica .... 15
1.3 Uso del MATLAB en la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica .... 18
1.4 Estructura de las guías de laboratorio ................................................................ 20
1.5 Conclusiones del capítulo ..................................................................................... 21
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB ............................................. 23
2.1 Características generales del asistente matemático MATLAB ....................... 23
2.2 Ventajas del asistente matemático MATLAB ..................................................... 24
2.3 Características del entorno de trabajo de MATLAB.......................................... 26
2.4 Funciones de librería de MATLAB ....................................................................... 33
2.5 Conclusiones del capítulo ..................................................................................... 36
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO ............................................................... 37
3.1 Características de las guías de laboratorio .................................................... 37
3.2 Distribución de las guías de laboratorio en cada semestre ......................... 40
vi
3.3 Conclusiones del capítulo ................................................................................. 48
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................................... 49
Conclusiones.................................................................................................................. 49
Recomendaciones ........................................................................................................ 50
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................... 51
Anexo I GUÍAS DE LABORATORIO .............................................................................. 54
Título: Serie de Fourier............................................................................................. 54
Título: Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias............................................ 57
Título: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias. .................... 63
Título: Cálculo con números complejos................................................................. 66
Título: Análisis de circuitos eléctricos mediante la transformada de
Laplace. ..................................................................................................................... 70
Título: Aplicaciones de la transformada Z en el análisis de procesamiento
digital de señales....................................................................................................... 74
Título: Aplicaciones de la transformada de Fourier. ............................................ 76
Transformada de Fourier continua ...................................................................... 76
Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT) y Transformada
Discreta de Fourier (DFT) ..................................................................................... 80
Título: Aplicaciones de la función transferencial desde la transformada de
Laplace, Z y Fourier. ................................................................................................. 82
Función de sistema ................................................................................................ 85
Respuesta de frecuencias .................................................................................... 87
Función transferencial analógica ......................................................................... 89
INTRODUCCIÓN 1
INTRODUCCIÓN
La Matemática es, junto al método experimental, la base sobre la que se ha
edificado la ciencia moderna, y en consecuencia el desarrollo tecnológico, y
permean hoy en día todos los aspectos de la sociedad contemporánea, desde la
ingeniería hasta la información y la finanza, sin olvidar el movimiento de las
disciplinas sociales hacia el estatus de ciencias, que en otras palabras y con las
debidas salvedades, quiere decir el uso en estas disciplinas del método
matemático. La disciplina Matemática contribuye al desarrollo del pensamiento
lógico y algorítmico y aporta los fundamentos básicos de un especialista en
Ciencias Técnicas, dado que todo ingeniero considera representaciones técnicas y
científicas en términos matemáticos, con los cuales refleja los rasgos cuantitativos
y cualitativos de los fenómenos que estudia. En general como objeto de la
Matemática en la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica puede ser
considerado los modelos que se utilizan para describir sistemas de
telecomunicaciones y problemas relacionados con el desarrollo, explotación y
mantenimiento de equipos electrónicos de acuerdo con el nivel actual del
desarrollo de la ciencia y la técnica (Montalvo, 2002 ).
Es objetivo general educativo de la disciplina Matemática, según el Programa
Director de la Matemática, que el estudiante de la carrera de Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica debe asumir una concepción científica del
mundo al interpretar los conceptos del Cálculo Diferencial e Integral, Álgebra
Lineal, Geometría Analítica, las Series, las Ecuaciones Diferenciales, Matemática
Numérica, la Variable Compleja, el Cálculo Operacional, y Teoría de las
Probabilidades y la Estadística como resultados de la Ciencia Matemática, que
son un reflejo de la realidad material existente objetivamente y contribuyen a la
INTRODUCCIÓN 2
solución de problemas reales vinculados a otras disciplinas de la carrera como
Circuitos Eléctricos, Teoría de las Comunicaciones, Elec trónica, así como la
comprensión de fenómenos aleatorios y determinísticos en el campo de acción del
ingeniero en Telecomunicaciones y Electrónica. La disciplina Matemática está
ubicada en el ciclo básico, impartiéndose en los dos primeros años de la carre ra
de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica y aunque no se identifica con
el objeto de trabajo del ingeniero que la estudia, sí ofrece conocimientos y
habilidades imprescindibles para el futuro egresado, aportándole a las disciplinas
principales elementos esenciales para un análisis profundo en la solución de los
problemas que se planteen (Superior).
El estudiante de segundo año de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica debe saber aplicar a nivel productivo: conceptos básicos de
Ecuaciones Diferenciales, Series, Transformadas de Laplace , Zeta (Z) y Fourier ,
así como las asociadas al campo eléctrico y mecánico-cuántico en problemas
relevantes o asociados a la carrera o profesión; y tener dominio de programas
asistentes, como el MATLAB, o programas profesionales de aplicación en la
solución de problemas, así como elaborar programas de computación en lenguaje
de alto nivel (Superior).
Actualmente las actividades de laboratorio desarrolladas en las asignaturas de la
disciplina Matemática solo consiguen comprobar resultados de ejercicios de
contenido matemático y no contienen aplicaciones de la carrera de Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica, que evidencien cómo la Matemática contribuye
a la formación del ingeniero en Telecomunicaciones y Electrónica. Las dificultades
docentes en Matemática que han sido detectadas por el colectivo de profesores de
la disciplina se dividen en:
Dificultades fundamentales detectadas en la enseñanza de la Matemática
en la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica:
Existen pocas clases donde se plantean y resuelven problemas vinculados
con la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, siendo la mayoría
de las actividades teóricas o teórica-prácticas.
INTRODUCCIÓN 3
Las actividades de laboratorio donde se deben aplicar los conocimientos ya
adquiridos en ocasiones se usan para sistematizar o comprobar resultados
sin que el estudiante llegue a comprender que el software es la herramienta
que tendrá en sus manos una vez que se gradúe para modelar situaciones
o resolver otras ya modeladas.
No se cuenta con una selección de problemas fundamentales que debe
resolver el futuro especialista en Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica acordes a la etapa de estudio que cursa.
Principales dificultades de los estudiantes:
Limitaciones en la detección, análisis y solución de problemas.
Falta de integración de conocimientos.
Bajos niveles de creatividad.
Limitaciones en el trabajo cooperativo para el beneficio de la adquisición y
uso del conocimiento tanto individual como colectivo.
Pobre valoración personal con respecto a los niveles de apropiación del
conocimiento.
Los estudiantes con los que se comienza a impartir la disciplina tienen
desarrollados los conceptos solamente hasta el nivel reproductivo.
Existe un rechazo por parte de los estudiantes de esta ingeniería a las asignaturas
de Matemática, dado que las consideran poco útiles para su carrera. Resulta
necesario preguntarse: ¿Cómo contribuir al acercamiento de temas de Matemática
III y Matemática IV a contenidos propios de la carrera de Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica utilizando el asistente matemático MATLAB en
actividades de laboratorio?
Como objetivo general de esta investigación, se plantea:
Proponer un sistema de guías de prácticas de laboratorios utilizando el asistente
matemático MATLAB que proporcione mayor vinculación de temas de Matemática
INTRODUCCIÓN 4
III y Matemática IV con contenidos propios de la carrera de Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica.
Los objetivos específicos a cumplir serían:
Caracterizar en la disciplina Matemática de la Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica las asignaturas Matemática III y
Matemática IV.
Mostrar la relación de las asignaturas Matemática III y Matemática IV con
otras asignaturas de disciplinas de la Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica.
Describir las ventajas, características del asistente matemático MATLAB y
su uso en la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica.
Diseñar guías de prácticas de laboratorio utilizando el asistente matemático
MATLAB.
A partir de los objetivos se derivan las siguientes interrogantes científicas:
¿Cuáles son las características de las asignaturas Matemática III y
Matemática IV en la disciplina Matemática en la Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica?
¿Cómo se relacionan las asignaturas Matemática III y Matemática IV
con otras asignaturas de disciplinas de la Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica?
¿Qué ventajas y características posee el asistente matemático MATLAB
y cuál es su uso en la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica?
¿Cuáles son las características de las guías de laboratorio a diseñar?
El diseño de guías de prácticas de laboratorio usando MATLAB contribuye a que
el estudiante de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica
pueda resolver problemas prácticos de asignaturas de disciplinas de esta
ingeniería a partir de conocimientos adquiridos en temas de Matemática III y
Matemática IV utilizando la programación con este asistente matemático.
INTRODUCCIÓN 5
Los aportes que brinda esta investigación son:
Propuesta de guías de laboratorios con ejercicios prácticos de Ingeniería
en Telecomunicaciones y Electrónica usando el asistente matemático
MATLAB.
Relación de Matemática III y Matemática IV con otras asignaturas de
disciplinas de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica.
El trabajo queda estructurado en: introducción, tres capítulos, conclusiones,
recomendaciones, referencias bibliográficas y anexos.
En el capítulo 1 se abordan las características de la disciplina Matemática en la
Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica según el plan de estudio vigente,
la relación de temas abordados en las asignaturas Matemática III y Matemática IV
con otras de las disciplinas: Circuitos Eléctricos, Electrónica, Teoría de las
Comunicaciones y Sistemas de Radiocomunicaciones, el uso del asistente
matemático MATLAB en la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica y las
características de la estructura de las guías de prácticas de laboratorio a diseñar.
En el capítulo 2 se abordan las principales características del asistente
matemático MATLAB, sus ventajas y se definen las funciones de la librería de
MATLAB a emplear para la resolución de los ejercicios de las guías de prácticas
de laboratorio.
En el capítulo 3 se describen las características de las guías de prácticas de
laboratorio para las asignaturas Matemática III y Matemática IV y cómo se rán
desarrolladas en cada semestre de segundo año de la carrera de Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica.
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
6
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA
III Y MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN
TELECOMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA
En el presente capítulo se analizan las características de la disciplina Matemática
abordadas en el “Documento Base para la Elaboración de los Planes de Estudio
D”, la relación de las asignaturas Matemática III y Matemática IV con otras
asignaturas de disciplinas de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica, el uso del MATLAB en esta ingeniería y las características de la
estructura de las guías de laboratorio a diseñar en la investigación.
1.1 Características de la disciplina Matemática en la Ingeniería
Telecomunicaciones y Electrónica según el Plan D
Los programas de estudio de Matemática han sufrido transformaciones con el
objetivo de buscar un perfeccionamiento en el proceso de enseñanza y
aprendizaje. Investigaciones realizadas en la Educación Superior Cubana y los
adelantos en la Ciencia y la Técnica, incluyendo la introducción masiva de las
tecnologías de la informática y las comunicaciones, han impuesto un cambio en
los planes de estudio y se ha transitado hacia el Plan D. En el “Documento Base
para la Elaboración de los Planes de Estudio D” elaborado por el Ministerio de
Educación Superior se recogen los aspectos fundamentales que deben
caracterizar la elaboración de los planes de estudios y que sirven de base a la
propuesta del plan estudio de la disciplina Matemática.
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
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Según el “Documento Base para la Elaboración de los Planes de Estudio D” se
señalan como aspectos específicos de la contribución de la disciplina Matemática
a la formación del futuro ingeniero en Telecomunicaciones y Electrónica los
siguientes (Superior):
Ampliar la madurez Matemática y la capacidad de trabajo con la
abstracción.
Desarrollar habilidades para la comunicación y comprensión de
propiedades y características matemáticas de magnitudes y formas en las
variantes formal, gráfica, numérica y verbal.
Contribuir a la conformación de una cultura científica general e integral
actualizada.
Identificar, interpretar, analizar y construir modelos matemáticos de
procesos técnicos, económicos, productivos y científicos vinculados a la
carrera, así como resolver los problemas de índole matemático a los que
éstos conducen, utilizando para ello contenidos matemáticos que se
estudian en la disciplina, haciendo un uso eficiente de las técnicas
modernas de cómputo y de los asistentes matemáticos.
Se identifican los objetivos generales de la disciplina Matemática, de los cuales es
preciso centrar la atención en: que el estudiante de Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica asuma una concepción científica del mundo al
interpretar los conceptos abordados en las asignaturas de esta disciplina,
utilizando la modelación matemática para la resolución de problemas reales
vinculados a otras disciplinas de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones
y Electrónica; e interpretar a partir de su análisis en el transcurso de la disciplina,
cómo la historia de la Matemática ha estado esencialmente vinculada con las
necesidades de la vida material de la sociedad. Como objetivos generales
instructivos se hallan (Superior):
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
8
Caracterizar, interpretar, comunicar y aplicar los conceptos y principales
resultados de la disciplina, mediante una correcta utilización del lenguaje
matemático en sus formas analítica, gráfica, numérica y verbal, centrando
la atención en los modelos matemáticos, como invariante esencial del
conocimiento para la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica y modo de articulación con las restantes asignaturas y
disciplinas.
Establecer una base conceptual sólida, integrada y generalizada, a partir
de un aprendizaje basado en la búsqueda consciente, significativa y con
sentido personal de los conceptos fundamentales de la disciplina, para lo
cual deben ser diseñadas cada una de las actividades docentes
planificadas con este fin.
Analizar y resolver problemas que se modelen por los conceptos de la
disciplina, utilizando los recursos y los métodos matemáticos estudiados y
los asistentes matemáticos, a partir de escoger en cada caso el método
que se ajusta al problema en dependencia de los datos disponibles, de la
respuesta que se desea hallar y de los medios con que se cuente para su
solución.
Desarrollar la capacidad de razonamiento y las formas de pensamiento
lógico mediante la utilización de elementos de la Lógica Matemática en la
comprensión de propiedades y teoremas, en el trabajo con conceptos
matemáticos, en la identificación e interpretación de los mismos, en la
argumentación lógica de propiedades de los objetos matemáticos y en la
demostración de resultados teóricos sencillos, así como mediante el
empleo de métodos analíticos, gráficos y/o numéricos en la solución de
problemas.
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
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Valorar los métodos estadísticos como herramientas útiles para diseñar,
analizar y tomar decisiones en situaciones propias de la carrera,
relacionadas con el mantenimiento, fiabilidad y disponibilidad de sistemas,
equipos y componentes así como en la construcción de dispositivos y
sistemas, utilizando los métodos estadísticos para el muestreo, estimación
de parámetros y la toma de decisiones.
Desarrollar la capacidad de algoritmizar, a través de la utilización de los
asistentes matemáticos y los enfoques computacionales en la disciplina,
así como modelar y resolver problemas utilizando los conceptos y los
métodos numéricos estudiados en la disciplina.
La disciplina Matemática en la carrera de Telecomunicaciones y Electrónica
cuenta con seis asignaturas distribuidas en cuatro semestres durante los dos
primeros años de universidad, como se muestra en la siguiente tabla:
Tabla 1.1 Relación de asignaturas de la disciplina Matemática impartidas en la
carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica (Superior).
Asignaturas Año Semestre Horas
Matemática I 1ro. Primero 96
Álgebra Lineal y Geometría Analítica 1ro. Primero 64
Matemática II 1ro. Segundo 96
Series, Ecuaciones Diferenciales y Matemática
Numérica
2do. Primero 80
Variable Compleja y Cálculo Operacional 2do. Segundo 64
Probabilidades y Estadística 2do. Segundo 48
Algunos de los elementos más significativos que difieren del plan de estudios que
le precedió son los siguientes (Superior):
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
10
Se añaden en el primer año las asignaturas “Álgebra Lineal y Geometría
Analítica”, en el segundo año se incorporan contenidos de “Matemática
Numérica” y la asignatura “Probabilidades y Estadística”.
Se incluyen las integrales impropias múltiples y la fórmula de Taylor para
funciones de una y varias variables en las asignaturas Matemática I y
Matemática II.
Dentro de los temas de “Series y Ecuaciones Diferenciales” se estudia la
reducción a la forma canónica de Jordán, con lo que se logra un
tratamiento más completo del tema “Ecuaciones Diferenciales ” y se
incluyen las series generalizadas de Fourier, que contribuye a una mejor
preparación de los estudiantes para el análisis y procesamiento de
señales.
La inclusión de temas de articulación con la enseñanza media en las dos
primeras asignaturas de la disciplina, así como la progresiva reducción de
la presencialidad en la disciplina al pasar del primer año al segundo año.
La introducción de un nuevo texto para el Cálculo Diferencial e Integral que
facilita el desarrollo de habilidades para la comunicación matemática en los
diferentes lenguajes considerados: formal, gráfico, numérico y verbal, con
estrategias para la solución de problemas y que incluye ejemplificación y
ejercitación para la solución simbólica, gráfica y numérica de problemas
con el uso de medios técnicos, constituye un soporte fundamental para la
exitosa implementación de los aspectos de modernización.
Se orienta un incremento del trabajo independiente de los estudiantes en
la solución de problemas con asistentes matemáticos y su evaluación
mediante trabajos extraclases convenientemente seleccionados.
Se plantea la necesidad de establecer relaciones con las disciplinas
principales de la carrera a las que tributa de manera importante la
disciplina Matemática, lo que permite precisar las relaciones
interdisciplinarias con Física, Circuitos Eléctricos, Química, Computación,
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
11
Teoría de las Comunicaciones, Inglés y otras disciplinas cuya
implementación precisa de un serio y sistemático trabajo que permita
garantizar de manera efectiva y actualizada la articulación planificada.
Se recomienda referenciar algunos textos de otras asignaturas que
permiten complementar ejercicios y problemas propios para la carrera de
Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica como son: el texto de
Circuitos Eléctricos: “Engineering Circuit Analysis”, partes I y II, de los que
se propone utilizar el apéndice 4 sobre Números Complejos y los capítulos
7, 17 y 19 que tratan sobre problemas de circuitos con resistencias,
inductores y capacitores (RLC), el análisis de Fourier y las técnicas de la
Transformada de Laplace; del texto “Ingeniería de Control Moderna”,
tomos I y II de Ogata, los apéndices referidos a la Base Matemática y los
capítulos que tratan la Transformada de Laplace y la Transformada Z, lo
que no quiere decir que no se mantengan como básicos los textos de
matemática, sino que se utilicen indistintamente para que los estudiantes
puedan comprender desde las aplicaciones que estudiarán en otras
disciplinas, los diferentes enfoques de la Matemática y los tratamientos de
un mismo problema de acuerdo a la situación que se desea analizar.
Resulta importante atender el enfoque computacional que necesariamente tiene
que tener la disciplina para la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica, tanto en la formación de un pensamiento algorítmico y en la
elaboración de algunos programas sencillos, como en la utilización de los
asistentes matemáticos para interpretar conceptos, obtener y comparar
resultados, sacar conclusiones y resolver problemas reales que a mano resultan
muy engorrosos, pero para lo que es imprescindible tener claridad en los
contenidos matemáticos estudiados y es el asistente matemático MATLAB una
herramienta útil para el estudio de la disciplina.
La investigación presente abarca las asignaturas Matemática III y Matemática IV.
La asignatura Matemática III se divide en tres temas: Series, Ecuaciones
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
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Diferenciales y Matemática Numérica. Entre los principales objetivos que se debe
alcanzar en la asignatura de acuerdo al plan de estudio vigente son (Superior):
Caracterizar e interpretar los conceptos y principales resultados de las
Series y las Ecuaciones Diferenciales.
Resolver problemas sencillos de diversas aplicaciones físicas,
geométricas y/o técnicas que se modelen por los diferentes tipos de
ecuaciones diferenciales estudiadas en la asignatura, escogiendo en cada
caso el método que se ajusta al problema, en dependencia de los datos
disponibles, la respuesta que se desea hallar y los medios con que se
cuente para la resolución, uti lizando para ello los recursos matemáticos de
la asignatura y los asistentes matemáticos.
Desarrollar la capacidad de algoritmizar, a través de la uti lización de los
asistentes matemáticos y los enfoques computacionales en la asignatura.
Seleccionar el método numérico más adecuado para la solución de un
problema asociado con los temas de la asignatura.
Interpretar modelos ya creados y modelar problemas físicos, geométricos
o de características técnicas utilizando los conceptos de Matemática
Numérica.
El sistema de conocimientos de la asignatura Matemática III incluye (Superior):
De Series: Sucesiones de elementos de un conjunto arbitrario no vacío .
Casos particulares de interés: sucesiones numéricas y sucesiones de
funciones. Series numéricas: series convergentes y series divergentes.
Propiedades de las series convergentes. Criterios de convergencia para
series de términos no negativos: Criterio de l cociente, criterio de la raíz y
criterio de la integral. Series alternadas. Convergencia absoluta y
convergencia condicional. Sucesiones de funciones. Convergencia
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
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puntual. Propiedades de las sucesiones uniformemente convergentes.
Series de funciones. Convergencia puntual y convergencia uniforme de
una serie de funciones. Series de potencias. Radio e intervalo de
convergencia de una serie de potencias. Límite, derivación e integración
de una serie de potencias. Series de Taylor. Aplicaciones de las series de
potencias. Series de Fourier. Condición suficiente que permite determinar
los coeficientes de Fourier.
De Ecuaciones Diferenciales: Modelos con ecuaciones diferenciales.
Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Solución general, particular y
singular de una ecuación diferencial. Ecuaciones diferenciales ordinarias
de primer orden y primer grado. Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales de primer orden y primer grado. Ecuaciones diferenciales
ordinarias lineales de orden superior y aplicaciones. Sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales. Solución de un sistema de ecuaciones
diferenciales con matriz diagonal. Solución de un sistema de ecuaciones
diferenciales con matriz diagonalizable. Ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales. Método de separación de variables. Problemas con
condiciones iniciales y de frontera.
De la Matemática Numérica: Conceptos fundamentales de la teoría de
errores. Solución numérica de ecuaciones. Sistemas de ecuaciones
lineales. Métodos iterativos: Jacobi y Gauss-Seidel. Interpolación mediante
polinomios. Existencia y unicidad del polinomio de interpolación. Fórmula
de Lagrange. Fórmula de interpolación de Newton. Error de interpolación.
Integración Numérica. Estimación del error. Solución numérica de
ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos de Runge-Kutta.
La Matemática IV se divide en dos temas: Variable Compleja y Cálculo
Operacional y para su estudio se señalan como objetivos (Superior):
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
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Caracterizar e interpretar los conceptos y principales resultados de la
Teoría de las Funciones de Variable Compleja, las Transformadas de
Fourier, Laplace y Z.
Establecer una base conceptual sólida, integrada y generalizada, a partir
de un aprendizaje basado en la búsqueda consciente, significativa y con
sentido personal de los conceptos fundamentales de la Teoría de las
Funciones de Variable Compleja, las Transformadas de Fourier, Laplace y
Z, para lo cual deben ser diseñadas cada una de las actividades docentes
planificadas con este fin.
Resolver problemas de la carrera que se modelen por los conceptos de la
Teoría de las Funciones de Variable Compleja, la Transformada de
Fourier, Transformada de Laplace y Transformada Z, escogiendo en cada
caso el método que se ajusta al problema, en dependencia de los datos
disponibles, la respuesta que se desea hallar y los medios con que se
cuente para la resolución, uti lizando para ello los recursos matemáticos de
la asignatura y los asistentes matemáticos.
Desarrollar la capacidad de algoritmizar, utilizando los asistentes
matemáticos y los enfoques computacionales en la asignatura.
El sistema de conocimientos de la asignatura incluye (Superior):
De Variable Compleja: El plano complejo. Regiones en el plano complejo.
Funciones de una variable compleja. Límite, continuidad y
diferenciabilidad. Funciones analíticas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Funciones armónicas y armónicas conjugadas. Transformación conforme
en el plano complejo. Funciones elementales de una variable compleja, su
representación conforme y propiedades. Integración en el plano complejo.
Teorema de Cauchy. Integrales definidas. Derivadas sucesivas de una
función analítica. Fórmula integral de Cauchy. Series en el plano complejo.
Series de Taylor y series de Laurent. Puntos singulares de una función
analítica, caracterización y clasificación. Residuos y teorema de los
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
15
residuos. Funciones algebraicas, diagrama de polos y ceros. Teorema del
principio del argumento.
De Cálculo Operacional: Integral de Fourier. Transformación de Fourier,
propiedades y aplicaciones. Transformada de Laplace directa e inversa.
Principales propiedades operacionales. Producto de convolución.
Aplicaciones de la transformada de Laplace. Transformada Z y sus
principales propiedades operacionales. Transformada Z inversa.
Propiedades. Ecuaciones en diferencias finitas. Aplicación de la
transformada Z a la resolución de ecuaciones en diferencias finitas.
Sistemas lineales invariantes en el tiempo y función transferencial.
1.2 Relación de Matemática III y Matemática IV con otras asignaturas de
disciplinas en la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica
Los contenidos tratados en las asignaturas de la disciplina Matemática
proporcionan la base para la solución de problemas de temas propios de otras
disciplinas de la carrera Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica. En la
investigación presente se abordan temas de Matemática III y Matemática IV y su
relación con contenidos de asignaturas de las disciplinas: Circuitos Eléctricos,
Electrónica, Teoría de las Comunicaciones y Sistemas de Radiocomunicaciones,
de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, se detallan a
continuación:
De la disciplina Circuitos Eléctricos se abordan las asignaturas Circuitos
Eléctricos I, Circuitos Eléctricos II y Circuitos Eléctricos III, con temas presentes
en siete guías de laboratorio:
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
16
Dentro de Matemática III:
Serie de Fourier
Resolución de problemas, de Circuitos Eléctricos III, de análisis de circuitos
resistivos con estímulos no sinusoidales periódicos aplicando Serie
Trigonométrica de Fourier.
Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
Resolución de problemas de Circuitos Eléctricos I para el análisis en circuitos
resistivo-inductivos (RL), resistivo-capacitivos (RC) y resistivo-inductivo-
capacitivos (RLC) series y paralelos.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
Resolución de problemas de ecuaciones en circuitos dinámicos de orden
superior, cuando aparecen circuitos eléctricos ramificados con la existencia de
elementos almacenadores de energía, para el cálculo de corrientes y voltajes,
tema abordado en Circuitos Eléctricos II.
De Matemática IV:
Cálculo con números complejos
Resolución de problemas de análisis en circuitos RL, RC y RLC ramificados,
tema abordado en Circuitos Eléctricos II.
Transformada de Laplace
Resolución de problemas donde se realice el análisis de circuitos eléctricos
aplicando la transformada de Laplace, la transformación de leyes eléctricas a
forma operacional, en la representación de los distintos elementos pasivos como
resistor, inductor y capacitor, tema abordado en Circuitos Eléctricos III.
Transformada de Fourier
Resolución de problemas donde se realice el análisis de circuitos eléctricos
aplicando la transformada de Fourier continua para la determinación del espectro
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
17
de señales de voltajes y corrientes, tema correspondiente a Circuitos Eléctricos
III.
Función transferencial
Cálculo de función de red, respuesta impulsiva, diagramas de polos y ceros, en
circuitos RLC, temas abordados en Circuitos Eléctricos II.
De la disciplina Electrónica se aborda la asignatura Electrónica Analógica II en
una guía de laboratorio sobre el tema:
De Matemática III:
Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
Cálculo de voltaje de salida en amplificadores operacionales que presenten
capacitores, conociendo su voltaje de entrada.
De la disciplina Teoría de las Comunicaciones se abordan las asignaturas
Procesamiento Digital de Señales y Fundamentos de las Comunicaciones I con
temas abordados en tres guías de laboratorio sobre los siguientes temas:
De Matemática IV:
Transformada de Fourier
Resolución de problemas donde se realice el análisis espectral de señales en las
comunicaciones, tema correspondiente a Fundamentos de las Comunicaciones I,
representación y análisis espectral de señales continuas y discretas aplicando la
Transformada de Fourier continua, la Transformada de Fourier de Tiempo
Discreto (DTFT) y la Transformada Discreta de Fourier (DFT), tema
correspondiente a Procesamiento Digital de Señales.
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
18
Transformada Z
Resolución de problemas de cálculo de señales en el tiempo a partir de su
dominio en el campo Z o viceversa, temas abordados en la asignatura
Procesamiento Digital de Señales.
Función transferencial
Resolución de problemas de análisis para el diseño de filtro digitales, cálculo de
señales de procesamiento digital a la salida del filtro conocidas su función
transferencial y la señal de entrada aplicada, análisis de su espectro y obtención
de la función transferencial analógica, contenidos abordados en Procesamiento
Digital de Señales.
De la disciplina Sistemas de Radiocomunicaciones se aborda la asignatura
Antenas en una guía de laboratorio con el tema:
De Matemática IV:
Cálculo con números complejos
Cálculo de voltajes, corrientes y potencia de impedancias de antenas.
1.3 Uso del MATLAB en la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica
Las Nuevas Tecnologías de la Informática y las Comunicaciones (NTIC) muestran
un vertiginoso desarrollo en nuestros días, con influencia prácticamente en todos
los sectores de la vida contemporánea. La educación no ha escapado de esta
vorágine y se han impuesto como una importante herramienta en el proceso de
enseñanza-aprendizaje (Montalvo, 2002 ).
En el “Documento Base para la Elaboración de los Planes de Estudio D” se
recomienda la ayuda de los asistentes matemáticos para la resolución de
ejercicios de contenidos de las asignaturas de la disciplina Matemática. La
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
19
utilización de un recurso informático en la docencia trae ventajas como medio de
enseñanza, como medio de aprendizaje y como medio de investigación.
En (Mariani, 2002) se propone el uso del MATLAB como software integrador en
las carreras de ingeniería, dada su difusión en sus diferentes ramas, no solo en el
sector educacional, sino también en el de la investigación y las aplicaciones
prácticas. El asistente matemático MATLAB es una aplicación útil para poner a
punto métodos numéricos en distintas asignaturas de ingeniería; permite la
resolución de ejercicios de cualquier complejidad matemática con rapidez y la
simulación de gráficos con exactitud; posibilita desarrollar las habilidades de
programación, uno de los objetivos a conseguir por el estudiante de Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica. El estudiante de la carrera Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica está familiarizado con este asistente, pues en
el primer semestre de segundo año recibe la asignatura optativa “Asistente
Matemático para la Ingeniería”, donde aprende cómo trabajar con este software y
desde ese momento las actividades de laboratorio de varias asignaturas de la
carrera utilizan los recursos de este asistente para resolver problemas
desarrollados en clases anteriores, entre las que podemos citar: Circuitos
Eléctricos I, Circuitos Eléctricos II y Circuitos Eléctricos III, en segundo y tercer
años, para el análisis de circuitos RLC; Procesamiento Digital de Señales y
Procesamiento Digital de Imágenes, en tercer y cuarto años, para el diseño de
filtros digitales y analógicos y análisis de señales aplicadas a dichos filtros; y
Fundamentos de las Comunicaciones I, Fundamentos de las Comunicaciones II y
Fundamentos de las Comunicaciones III, en tercer y cuarto años, para el análisis
espectral de señales de comunicaciones. El desarrollo de actividades de
laboratorio con MATLAB agiliza los cálculos que resultan complejos y permite el
análisis del comportamiento de señales para conocer las propiedades del sistema
al cual se le aplican. Las principales características y ventajas de este asistente
matemático se describen en el siguiente capítulo (Vidal, 2005).
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
20
1.4 Estructura de las guías de laboratorio
Una de las formas de empleo de las NTIC es en los laboratorios virtuales. Las
actividades desarrolladas en laboratorios virtuales son posibles gracias a las
simulaciones que se pueden realizar con ayuda de la computación. Las
actividades de laboratorio constituyen una herramienta úti l para el proceso de
aprendizaje, pues contribuyen a reforzar los contenidos impartidos en las clases y
permite que el alumno sea capaz de resolver ejercicios familiarizándose con el
programa de simulación que emplee.
Las actividades de laboratorio virtual se basan en simulaciones en programas de
computación que abarcan situaciones, en las que los alumnos deben hacer lo que
necesitan y tomar decisiones de acuerdo a los resultados obtenidos. Esta
metodología de enseñanza se denomina Aprendizaje Experimental. El hacer es
uno de los aspectos principales del proceso de aprendizaje, no alcanza con ver o
escuchar algo, es necesario poder reproducirlo para tener cabal comprensión del
tema. La Informática permite un cambio cualitativo en la presentación del material
en forma de involucrar activamente al estudiante en el proceso de aprendizaje. El
uso de programas de simulación permite construcción, generación de escenarios
inexistentes, inaccesibles, escenarios de simulación (Montalvo, 2002 ).
Las actividades de laboratorio impartidas en la Enseñanza Superior Cubana
constan de una guía de ejercicios de acuerdo a contenidos abordados en la
asignatura correspondiente.
Las guías de laboratorio a diseñar con el asistente matemático MATLAB se
componen por:
Título.
Objetivo general.
Tarea preliminar.
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
21
Introducción.
Técnica operatoria.
Trabajo independiente.
El título identifica el tema que aborda el laboratorio; el objetivo general plantea
qué es lo que se desea conseguir; la tarea preliminar contiene un conjunto de
ejercicios teóricos y preguntas, que constituyen la preparación previa del
laboratorio, para ejercitar contenidos matemáticos abordados previamente en
otras actividades de las asignaturas Matemática III y Matemática IV; en la
introducción se muestra una síntesis de contenidos teóricos abordados
previamente en clases, una breve explicación de temas relacionados con otras
asignaturas de disciplinas de la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica y
los comandos de programación a emplear en la actividad; la técnica operatoria
contiene los ejercicios correspondientes a la actividad de laboratorio; y el trabajo
independiente consiste en la orientación de un conjunto de ejercicios
relacionados con la actividad de laboratorio para la ejercitación de contenidos.
Los ejercicios incluidos en las guías de laboratorio contienen aplicaciones propias
de asignaturas de disciplinas de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica que son estudiadas en semestres posteriores, pero que con los
conocimientos matemáticos que poseen los estudiantes hasta ese momento
pueden resolver.
1.5 Conclusiones del capítulo
En el capítulo se caracterizaron las asignaturas Matemática III y Matemática IV,
impartidas en el segundo año de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones
y Electrónica y la relación de temas de estas asignaturas con otras de las
disciplinas: Circuitos Eléctricos, Electrónica, Teoría de las Comunicaciones y
Sistemas de Radiocomunicaciones, para el diseño de guías de laboratorio con
ejercicios de aplicación de estas asignaturas de Matemática con otras de las
disciplinas mencionadas para que el estudiante de esta carrera aplique los
CAPÍTULO 1. APLICACIÓN DE CONTENIDOS DE MATEMÁTICA III Y
MATEMÁTICA IV EN LA INGENIERÍA EN TELECOMUNICACIONES Y
ELECTRÓNICA
22
conocimientos matemáticos que posee. Se describió además el uso del MATLAB
en la Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica y las características de la
estructura de las guías de laboratorio a diseñar.
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 23
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB
En el presente capítulo se exponen las principales características del entorno de
trabajo de MATLAB, sus ventajas y se definen las funciones de su librería a usar
para la resolución de los ejercicios de las guías de laboratorio diseñadas.
2.1 Características generales del asistente matemático MATLAB
MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. Fue creado por Cleve
Moler en los años´70 del siglo pasado. Este asistente surge para responder a la
necesidad de que estudiantes no programaran una amplia serie de algoritmos
para llevar a cabo un análisis numérico o simbólico y fue distribuido por Math
Works, Inc. desde 1984. El MATLAB es una herramienta computacional
interactiva, basada en matrices para cálculos científicos y de ingeniería y cuenta
con los siguientes usos: simular, modelar, crear prototipos, analizar datos y
encontrar soluciones a sistemas complejos. MATLAB cuenta con una librería de
Matemática Simbólica que soporta: cálculo, simplificaciones y sustituciones,
variables de precisión, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales ordinarias y lógica
booleana. Permite el estudio de sistemas continuos, discretos, lineales y no
lineales, mediante descripción interna y externa, en el dominio temporal y
frecuencial. Es un programa para realizar cálculos numéricos con vectores y
matrices. Como caso particular puede también trabajar con números escalares,
tanto reales como complejos, con cadenas de caracteres y con otras estructuras
de información más complejas. Cuenta con la capacidad de realizar una amplia
variedad de gráficos en dos y tres dimensiones y tiene un lenguaje de
programación propio (Vidal, 2005).
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 24
MATLAB es un programa de cálculo técnico y científico. Para ciertas operaciones
es rápido, cuando puede ejecutar sus funciones en código nativo con los tamaños
adecuados para aprovechar sus capacidades de vectorización. El lenguaje de
programación de MATLAB es una buena herramienta de alto nivel para desarrollar
aplicaciones técnicas, fácil de utilizar y que aumenta significativamente la
productividad de los programadores respecto a otros entornos de desarrollo.
Dispone de un código básico y de varias librerías especializadas, llamadas
toolboxes. Es con grandes matrices o grandes sistemas de ecuaciones cómo
MATLAB obtiene toda la potencia del ordenador. Dispone de una ayuda muy
completa y accesible, estructurada en varios niveles que incluye: línea de
comandos en la ventana de comandos, ventana de ayuda y manuales en formato
documento portable (PDF), con la que es muy importante estar familiarizado,
porque hasta los programadores expertos tienen que acudir a ella con una cierta
frecuencia.
2.2 Ventajas del asistente matemático MATLAB
Para el desarrollo de la investigación se utiliza MATLAB porque ofrece las
siguientes ventajas (Vidal, 2005):
Entre los sistemas de cálculo simbólico, numérico y gráfico es uno de los
más potentes.
Es un sistema general de software para matemáticas y otras aplicaciones.
Es usado por investigadores, ingenieros, analistas y estudiantes
universitarios.
Las aplicaciones de MATLAB comprenden la mayoría de las áreas de la
ciencia, la tecnología y los negocios donde se aplican los métodos
cuantitativos.
Es el paquete con el cual los estudiantes de Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica trabajan durante toda la carrera,
contribuyendo al aprovechamiento del tiempo para el desarrollo de
habilidades matemáticas y ayuda a la familiarización con este software.
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 25
Es un potente entorno integrado de cálculo simbólico y numérico con
extensiones para la programación y otros campos específicos de la
ingeniería que ofrece una gran cantidad de funciones, gráficas en colores
de dos y tres dimensiones y notación matemática estándar, todo ello
implementado en el módulo básico del programa y en numerosos toolboxes
de extensión a los distintos temas específicos de ingenierías, modelos
económicos, finanzas y otras esferas.
Permite la manipulación con faci lidad y rapidez de fórmulas y expresiones
algebraicas y puede realizar la mayoría de las operaciones con las mismas.
Puede expandir, factorizar y simplificar polinomios y expresiones racionales
y trigonométricas; puede encontrar soluciones algebraicas de ecuaciones
polinómicas y sistemas de ecuaciones algebraicas; puede evaluar
derivadas e integrales simbólicamente y encontrar funciones solución de
ecuaciones diferenciales; puede manipular series de potencias y límites;
puede ser utilizado en la mayoría de los temas de la disciplina.
Es un programa interactivo que permite realizar de manera simultánea una
gran variedad de operaciones matemáticas, además de poderse trabajar
con distintas plataformas según la potencia del software y del hardware
disponible.
La precisión con que trabaja hace que no haya prácticamente limitación en
cuanto al tamaño máximo de número entero que es capaz de manejar.
Cuenta con funciones a las que hay que pasar como argumento el nombre
de otras funciones, para que puedan ser llamadas desde dicha función. Por
ejemplo: si se desea calcular la integral definida de una función, resolver
una ecuación no lineal, o integrar numéricamente una ecuación diferencial
ordinaria que conduzca a la solución de un problema con condiciones
iniciales.
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 26
2.3 Características del entorno de trabajo de MATLAB
El entorno de trabajo de MATLAB es muy gráfico e intuitivo. Su entorno de trabajo
una vez que se abre la aplicación se muestra en la siguiente figura:
Figura 2.1 Entorno de trabajo de MATLAB (Vidal, 2005).
Las componentes de su entorno de trabajo son (Vidal, 2005):
El Escritorio de MATLAB (MATLAB Desktop), ventana o contenedor de
máximo nivel en la que se pueden situar las demás componentes.
Las componentes individuales, orientadas a tareas concretas:
La ventana de comandos (Command Window).
La ventana histórica de comandos (Command History).
El espacio de trabajo (Workspace).
La plataforma de lanzamiento (Launch Pad).
El directorio actual (Current Directory).
La ventana de ayuda (Help).
El editor de ficheros y depurador de errores (Editor & Debugger).
El editor de vectores y matrices (Array Editor).
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 27
La ventana que permite estudiar cómo se emplea el tiempo de ejecución
(Profiler).
Cuando se programa en MATLAB se requiere la información de todas las
ventanas de su entorno de trabajo, por eso es necesario estar familiarizado con
sus características.
El MATLAB Desktop es la ventana más general de la aplicación. El resto de las
ventanas anteriores pueden alojarse en el MATLAB Desktop o ejecutarse como
ventanas independientes. La siguiente figura muestra la configuración del
MATLAB Desktop.
Figura 2.2 Configuración del MATLAB Desktop (Vidal, 2005).
El Command Window, ventana mostrada en la figura 2.3, es donde se ejecutan
interactivamente las instrucciones de MATLAB y en donde se muestran los
resultados correspondientes.
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 28
Figura 2.3 Ventana Command Window (Vidal, 2005).
La ventana Command History ofrece acceso a las sentencias que se han
ejecutado en el Command Window. Esta ventana facilita mucho el tener una visión
más general de lo hecho anteriormente y seleccionar lo que realmente se desea
repetir (Vidal, 2005).
Los programas de MATLAB se encuentran en ficheros con la extensión *.m,
ficheros de texto ASCII que contienen conjuntos de comandos o definición de
funciones. Estos ficheros se ejecutan tecleando su nombre en la línea de
comandos, sin la extensión, seguido de los argumentos entre paréntesis, si se
trata de funciones. Para que un fichero *.m pueda ejecutarse es necesario que se
cumpla una de las dos condiciones siguientes (Vidal, 2005):
Que esté en el directorio actual. MATLAB mantiene en todo momento un
único directorio con esta condición. Este directorio es el primer sitio en el
que MATLAB busca cuando desde la línea de comandos se le pide que
ejecute un fichero.
Que esté en uno de los directorios indicados en el Path de MATLAB. El
Path es una lista ordenada de directorios en los que el programa busca los
ficheros o las funciones que ha de ejecutar. La ventana Current Directory
permite explorar los directorios del ordenador en forma análoga a la del
Explorador u otras aplicaciones de Windows. Cuando se llega al directorio
deseado se muestran los ficheros contenidos.
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 29
La ventana Current Directory permite explorar los directorios del ordenador.
Cuando se llega al directorio deseado se muestran los ficheros contenidos. Esta
ventana permite ordenar los ficheros por fecha, tamaño y nombre (Vidal, 2005).
El espacio de trabajo de MATLAB (Workspace) es el conjunto de variables y de
funciones de usuario que en un determinado momento están definidas en la
memoria del programa o de la función que se está ejecutando. Constituye un
entorno gráfico para ver las variables definidas en el espacio de trabajo y sus
valores. En la siguiente figura se observan las ventanas Command History,
Current Directory y Workspace de modo independiente sobre el MATLAB Desktop
(Vidal, 2005).
Figura 2.4 Ventanas independientes: Current Directory, Command History y
Workspace sobre el MATLAB Desktop (Vidal, 2005).
El Array Editor permite ver los valores de los elementos de cualquier matriz o
vector definido en el programa y modificar estos valores. Incluye una lista
desplegable en la que se puede elegir el formato en el que se desea ver los datos.
El Array Editor es útil para entender algoritmos, ejecutando paso a paso un
programa y viendo cómo cambian los valores de las distintas variables (Vidal,
2005).
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 30
En la figura 2.5 y figura 2.6 se muestran las ventanas Workspace con elementos
definidos y Array Editor, que muestra los elementos de la matriz BARS contenida
en el Workspace.
Figura 2.5 Workspace con elementos definidos (Vidal, 2005).
Figura 2.6 Array Editor (Vidal, 2005).
MATLAB dispone del Editor que permite tanto crear, modificar los ficheros *.m y
cómo ejecutarlos paso a paso para ver si contienen errores (proceso de
depuración o Debug). En el Editor se puede escribir las sentencias del programa
que se desea ejecutar o se puede ejecutar directamente en el Command Window.
El Debugger es un programa útil para detectar y corregir errores; y para aprender
métodos numéricos y técnicas de programación. En la siguiente figura se muestra
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 31
el Editor/ Debugger, que contiene un segmento de programa con el nombre
“Prueba 1” que incluye un comentario, identificado por el caracter %, y seis
sentencias siguientes. El Editor muestra con diferentes colores los diferentes tipos
o elementos incluidos en los comandos (en verde los comentarios, en violeta las
cadenas de caracteres) y con qué cierre o apertura de corchete o paréntesis se
empareja el elemento considerado; si no se empareja con ninguno, aparece con
una rayita de tachado (Vidal, 2005).
Figura 2.7 Ventana del Editor/ Debugger que contiene un fichero llamado “Prueba
1” (Vidal, 2005).
El Profiler es un programa que permite saber cómo se ha empleado el tiempo de
la Unidad Central de Procesos (CPU) en la ejecución de un determinado
programa. Constituye una herramienta útil para determinar los cuellos de botella
de un programa, es decir, las funciones y las líneas de código que más veces se
llaman y que se llevan la mayor parte del tiempo de ejecución (Vidal, 2005).
MATLAB dispone de una ventana de ayuda (Help) en la que se puede encontrar la
información que se necesite referido al programa. Las distintas opciones que
aparecen en el menú Help son (Vidal, 2005):
Ayuda Completa del Producto de Familia (Full Product Family Help): en ella
se puede buscar información general sobre MATLAB. Esta opción del menú
Help se muestra en la figura 2.8.
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 32
Ayuda de MATLAB (MATLAB Help), subventana mostrada en la figura 2.9.
La portada de esta ayuda incluye los siguientes temas:
Funciones (Functions), que contiene información de referencia sobre las
funciones por orden alfabético o por categorías.
Gráficos de Manipulación (Handle Graphics), que permite acceder a
información concreta sobre las distintas propiedades de los objetos
gráficos.
Documentación (Documentation Set), que da acceso a versiones completas
de los manuales del programa en formato de pantalla fácilmente navegable.
Demostración de Productos (Product Demos), con una colección de
ejemplos programados que se pueden ejecutar y cuyo código se puede
examinar para ver cómo están programados.
Impresión de Documentación (Printing the Documentation Set), que permite
abrir documentos PDF, que se corresponde con las versiones en papel de
los manuales del programa, y que precisan del programa Adobe Acrobat
Reader 5.0 o versión superior.
Un apartado final sobre Recursos de Sitios Web de MATLAB (The Math
Works Web Site Resources), que permite acceder a una colección de
informaciones adicionales disponibles en la web de la empresa que ha
desarrollado MATLAB.
Figura 2.8 Ventana de Help Full Product Family (Vidal, 2005).
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 33
Figura 2.9 Ventana de Help MATLAB (Vidal, 2005).
2.4 Funciones de librería de MATLAB
MATLAB tiene funciones incorporadas. Algunas son funciones intrínsecas,
funciones incorporadas en el propio código ejecutable del programa. Estas
funciones son particularmente rápidas y eficientes. Una función tiene nombre,
valor de retorno y argumentos y se llama utilizando su nombre en una expresión o
utilizándolo como un comando. Los argumentos de una función van a continuación
del nombre, entre paréntesis y separados por comas si hay más de uno; los
valores de retorno son el resultado de la función y sustituyen a ésta en la
expresión donde la función aparece. Los nombres de las funciones de MATLAB no
son palabras reservadas del lenguaje. Los comandos son funciones de MATLAB.
Las funciones de MATLAB que son tratadas en la investigación son (Vidal, 2005):
Funciones matemáticas elementales, empleadas para el cálculo de
operaciones básicas y representación de números en diferentes formatos.
Funciones matriciales elementales, empleadas para el cálculo con vectores
y matrices.
Funciones para análisis de polinomios, empleadas para la representación
de los mismos, su evaluación y cálculo de sus raíces.
Funciones para integración de ecuaciones diferenciales ordinarias,
empleadas para resolver estas ecuaciones y calcular derivadas e integrales
de expresiones.
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 34
Funciones para procesamiento de señal, empleadas para el análisis
espectral y temporal de señales aplicadas a sistemas digitales.
Funciones para el trazado de gráficos de una dimensión, empleadas para la
representación de gráficos de dos y tres dimensiones.
Las funciones anteriores se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 2.1 Funciones de la librería de MATLAB a usar en las guías de laboratorio
(Vidal, 2005).
Tipo de función Función y/o
comando
Funciones matemáticas elementales.
sin
cos
exp
real
imag
abs
angle
limit
complex
Funciones matriciales elementales.
max
sum
mean
linsolve
ones
zeros
length
Funciones para análisis de polinomios. conv
eval
Funciones para integración de ecuaciones diferenciales
ordinarias.
solve
dsolve
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 35
diff
int
Funciones para procesamiento de señal.
freqz
grpdelay
fftshift
tf2zpk
filter
zplane
freqs
ilaplace
impulse
ztrans
iztrans
laplace
fft
ifft
fourier
ifourier
impinvar
Funciones para el trazado de gráficos en una dimensión.
stem
semilogx
grid
loglog
xlabel
plot
fprintf
fplot
ezplot
hold on
ylabel
CAPÍTULO 2. ASISTENTE MATEMÁTICO MATLAB 36
2.5 Conclusiones del capítulo
El MATLAB es un asistente matemático usado durante toda la carrera de
Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica. En el capítulo se abordaron las
características del asistente matemático MATLAB, sus ventajas para la resolución
de ejercicios de contenido matemático, las características principales de las
ventanas de su entorno de trabajo y se declararon las funciones y comandos a
utilizar en la resolución de guías de laboratorio diseñadas.
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 37
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO
En el presente capítulo se describen las características de las ocho guías de
laboratorio diseñadas para las asignaturas Matemática III y Matemática IV y cómo
serán desarrolladas en cada semestre de segundo año de la carrera de Ingeniería
en Telecomunicaciones y Electrónica.
3.1 Características de las guías de laboratorio
Se diseñaron ocho guías de laboratorio, que sirven de apoyo a la ejercitación de
contenidos abordados previamente en conferencias y clases prácticas
correspondientes. Sus características se describen a continuación:
Dentro de Matemática III del primer semestre de segundo año de la carrera de
Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica se diseñaron tres guías de
laboratorio con los títulos:
Serie de Fourier: en esta guía se describe cómo calcular la serie de Fourier en
senos solamente, cosenos solamente y en senos y cosenos que genera una
función si cumple las condiciones de Dirichlet e incluye ejercicios de cálculo de
voltajes y corrientes de resistencias en circuitos monofásicos con estímulo no
sinusoidal periódico, aplicando Ley de Kirchhoff de Voltajes y Ley de Ohm. Se
calcula la serie de Fourier generada por el estímulo aplicado al circuito y para
cada armónico se determina la corriente y el voltaje de cada elemento del
circuito. Se analiza además gráficamente la convergencia de la serie
trigonométrica de Fourier generada por una función y la propia función.
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 38
Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias: se describe la relación voltaje-
corriente en capacitores e inductores utilizando su modelo matemático e
incluye ejercicios para resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias de
primer orden y de orden superior. El cálculo de corrientes y voltajes en circuitos
RL y RC conlleva a la solución de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
homogéneas y no homogéneas de primer orden, aplicando Ley de Kirchhoff de
Voltajes y Ley de Ohm; y resolver este tipo de ecuaciones diferenciales permite
el cálculo de voltaje de salida en amplificadores operaciones integradores
conocida la señal de voltaje aplicada a la entrada. Además, se da solución a
ecuaciones diferenciales lineales ordinarias, homogéneas y no homogéneas,
de orden superior con coeficientes constantes para calcular corrientes y
voltajes en circuitos RLC serie y paralelo aplicando Ley de Kirchhoff de
Voltajes, Ley de Ohm y Método de Voltajes de Nodos. Se describe además
cómo obtener analítica y gráficamente la respuesta forzada y transitoria de
voltajes y corrientes de capacitores e inductores a partir de la solución de estas
ecuaciones.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias: contiene ejercicios
para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales y ejercicios de cálculo de
corrientes y voltajes en circuitos RLC ramificados aplicando Ley de Kirchhoff de
Voltajes, Ley de Ohm y Método de Corrientes de Mallas.
Dentro de Matemática IV del segundo semestre de segundo año de la carrera de
Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica se diseñaron cinco guías de
laboratorio, con los siguientes temas:
Cálculo con números complejos: se describe el concepto de fasor empleado
en Circuitos Eléctricos II e incluye ejercicios de cálculo de combinadas con
números complejos. Contiene ejercicios de cálculo de corrientes, voltajes y
potencia en circuitos RLC, cuyos resultados se expresan en forma binómica
y polar, que conducen a ecuaciones y sistemas de ecuaciones algebraicas
con números complejos, resultado de aplicar Ley de Kirchhoff de Voltajes,
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 39
Ley de Ohm y Método de Corrientes de Mallas; y ejercicios de cálculo de
voltajes y potencia de impedancias de antenas.
Análisis de circuitos eléctricos mediante la transformada de Laplace: se
define cómo calcular la transformada de Laplace directa e inversa de una
función, cuáles son sus aplicaciones y las ventajas de usarla para calcular
voltajes y corrientes en circuitos RLC, expresando estas magnitudes
eléctricas en el dominio de la frecuencia compleja s y teniendo en cuenta
las condiciones iniciales del circuito; y ejercicios de cálculo de voltaje de
salida y ganancia de voltaje de amplificadores operacionales.
Aplicaciones de la transformada Z en el análisis de procesamiento digital de
señales: se define cómo calcular la transformada Z directa e inversa de una
función. Contiene ejercicios de cálculo de transformada Z directa e inversa
de señales discretas aplicadas a sistemas de procesamiento digital y la
obtención de su señal de salida.
Aplicaciones de la transformada de Fourier: esta se divide en dos temas:
Transformada de Fourier continua: se define cómo calcular la
transformada de Fourier continua directa e inversa, se declaran sus
propiedades y cuál es su utilidad en las comunicaciones. Contiene
ejercicios de cálculo de transformada directa e inversa, de espectros
de magnitud y fase, analítica y gráficamente, de señales de voltaje y
corriente en circuitos RLC aplicando Ley de Kirchhoff de Voltajes y
Método de Corrientes de Mallas y de señales de sistemas de
comunicaciones usando la propiedad de traslación en frecuencia de
la transformada de Fourier continua.
Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT) y Transformada
Discreta de Fourier (DFT): se define cómo calcular estas
transformadas, directa e inversa, su utilidad en las comunicaciones y
cómo se puede obtener la transformada en un dominio a partir de
otra. Contiene ejercicios de cálculo y representación grá fica de
espectros de magnitud y fase de señales aplicadas a sistemas de
procesamiento digital, definición y cálculo del ancho de banda de
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 40
señales y frecuencia de corte conocido el espectro de magnitud de
una señal y cálculo de su energía utilizando el Teorema de Parseval.
Aplicaciones de la función transferencial desde la transformada de Laplace,
Z y Fourier: se define cómo calcular la función transferencial de un sistema,
conocida su señal de entrada y señal de salida correspondiente y a partir de
ella su respuesta impulsiva. Contiene ejercicios de cálculo, análisis y
representación gráfica de espectros de magnitud y fase de la función
transferencial de un sistema de procesamiento digital; cómo determinar la
respuesta impulsiva, respuesta al escalón, tiempo de establecimiento y tipo
de amortiguamiento del sistema; obtención de su diagrama de polos y ceros
y análisis de la estabilidad del sistema; cálculo de función transferencial en
el dominio de una transformada partir de una conocida; cálculo de la señal
de salida de un sistema a partir de la señal aplicada a su entrada y su
potencia en el tiempo y en la frecuencia aplicando el Teorema de Parseval.
Además, contiene ejercicios de cálculo de función de transferencia de redes
RLC, donde se emplea la transformada de Laplace, y representación de
señales de voltaje y corriente relacionadas por dicha función transferencial.
Los ejercicios incluidos en las guías de laboratorio diseñadas son de
aplicaciones prácticas que se abordan en asignaturas de disciplinas de la
carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica, relacionadas con
temas de Matemática III y Matemática IV para que el estudiante de segundo
año pueda resolver. Las guías de laboratorio diseñadas se muestran en el
anexo I.
3.2 Distribución de las guías de laboratorio en cada semestre
La asignatura Matemática III impartida en el primer semestre de segundo año de
la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica cuenta con 80 horas.
Las guías de laboratorio diseñadas con temas correspondientes a esta asignatura
tienen duración de dos horas cada una y se pueden distribuir en el semestre de la
manera siguiente:
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 41
Laboratorio 1 con el título: “Serie de Fourier”, el cual se puede desarrollar
en la semana 6 del Programa analítico de la asignatura como actividad 13.
Los ejercicios de este laboratorio complementan los contenidos abordados
sobre Serie de Fourier abordados en la actividad 11 correspondiente a la
conferencia 6: “Series trigonométricas. Series de Fourier. Cambio de
período. Prolongación”, de la semana 5 y la actividad 12 correspondiente a
la clase práctica 6 siguiente a la conferencia.
Laboratorio 2 con el título: “Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias”, el
cual se puede desarrollar en la semana 10 del Programa analítico de la
asignatura como actividad 22. Los ejercicios de esta guía de laboratorio
complementan los contenidos abordados sobre ecuaciones diferenciales
lineales ordinarias de primer orden y orden superior, desde la conferencia 7
desarrollada en la semana 7 hasta la clase práctica 10 correspondiente a la
semana 9.
Laboratorio 3 con el título: “Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
ordinarias”, el cual se puede desarrollar en la semana 12 como actividad
27. Los ejercicios de esta guía de laboratorio complementan los contenidos
abordados sobre sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
homogéneos y no homogéneos, de la conferencia 10: “Sistemas de
ecuaciones diferenciales” desarrollada en la semana 10.
La asignatura Matemática IV impartida en el segundo semestre de segundo año
de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica cuenta con 64
horas. Las guías de laboratorio con temas correspondientes a esta asignatura
tienen duración de dos horas cada una y se pueden distribuir de la manera
siguiente:
Laboratorio 1 con el título: “Cálculo con números complejos “, el cual se
puede desarrollar en la semana 2 como actividad 3. Los ejercicios de este
laboratorio complementan los contenidos abordados sobre números
complejos de la conferencia 1: “Números complejos” y la clase práctica
siguiente, desarrolladas en la semana 1.
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 42
Laboratorio 2 con el título: “Análisis de circuitos eléctricos mediante la
transformada de Laplace”, el cual se puede desarrollar en la semana 11
como actividad 22. Los ejercicios de este laboratorio complementan los
contenidos abordados sobre transformada de Laplace y sus aplicaciones de
la conferencia 6: “Transformada de Laplace y Paso unitario” y la
conferencia 7: “Aplicaciones de la Transformada de Laplace”, desarrolladas
en las semanas 9 y 10, respectivamente.
Laboratorio 3 con el título: “Aplicaciones de la transformada Z en el análisis
de procesamiento digital de señales”, el cual se puede desarrollar en la
semana 14 como actividad 27. Los ejercicios de este laboratorio
complementan los contenidos abordados sobre Transformada Z y sus
aplicaciones, de la conferencia 8: “Transformada Z” y la clase práctica
siguiente desarrollada en la semana 12.
Laboratorio 4 con el título: “Aplicaciones de la transformada de Fourier” y
laboratorio 5 con el título: “Aplicaciones de la función transferencial desde la
transformada de Laplace, Z y Fourier”, se pueden desarrollar en la semana
15. Los ejercicios de este laboratorio complementan los contenidos
abordados sobre aplicaciones de transformada de Laplace, Z, Fourier y
función transferencial, de la conferencia 7: “Aplicaciones de la
Transformada de Laplace” de la semana 10, la conferencia 9: “Aplicaciones
de la Transformada Z. Función transferencial “de la semana 12 y la
conferencia 10:” Transformada de Fourier. Aplicaciones” de la semana 14.
El laboratorio 5 constituye un laboratorio integrador de los contenidos
tratados en el tema Cálculo Operacional.
En la tabla 3.1 se muestra la distribución de las guías de laboratorio
correspondientes a la asignatura Matemática III del primer semestre de segundo
año de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica y en la tabla
3.2, la distribución de las guías de laboratorio correspondientes a la asignatura
Matemática IV del segundo semestre de segundo año de la carrera de Ingeniería
en Telecomunicaciones y Electrónica.
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 43
Incluidas estas guías de laboratorio en el Programa analítico, la asignatura
Matemática III cuenta con 30 horas de conferencias (C), 32 horas de clases
prácticas (CP), 6 horas de evaluación parcial (PP) y 12 horas de laboratorio (Lb)
para un total de 80 horas y la asignatura Matemática IV cuenta con 20 horas de
conferencias, 28 horas de clase prácticas, 6 horas de evaluación parcial y 10
horas de laboratorio, para un total de 64 horas.
Tabla 3.1 Programa analítico de la asignatura Matemática III del primer semestre
de segundo año de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica.
Semana. Actividad Tipo Contenido
1 1 C 1
Sucesiones. Propiedades. Series numéricas.
Serie geométrica y serie armónica. Criterio del
término n-ésimo.
2 CP 1 Ejercicios.
2
3 C 2 Criterios de convergencia: integral,
comparación, Cauchy y D’Alembert.
4 CP 2 Ejercicios.
5 C 3
Series alternadas. Serie de los módulos. Regla
de Leibniz. Convergencia absoluta y
convergencia condicional.
3
6 CP 3 Ejercicios.
7 C 4 Series de potencias. Dominio e intervalo de
convergencia. Radio de convergencia.
8 CP 4 Ejercicios.
4 9 C 5 Serie de Taylor y de MacLaurin. Aplicaciones.
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 44
10 CP 5 Ejercicios.
5
11 C 6 Series trigonométricas. Series de Fourier.
Cambio de período. Prolongación.
12 CP 6 Ejercicios.
6 13 Lb 1 Tema: Serie de Fourier.
14 PP 1 Tema de Series.
7
15 C 7
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden. Separación de variables. Exactas.
Reducibles a Exactas. Lineales.
16 CP 7 Ejercicios sobre ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden.
8 17 C 8
Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden
superior homogéneas.
18 CP 8 Ejercicios.
9
19 C 9
Ecuaciones diferenciales no homogéneas.
Método de los coeficientes indeterminados y
Método de variación de parámetros.
20 CP 9 Ejercicios de Método de los coeficientes
indeterminados.
21 CP 10 Ejercicios de Método de variación de
parámetros.
10 22 Lb 2
Tema: Ecuaciones diferenciales lineales
ordinarias.
23 C 10 Sistemas de ecuaciones diferenciales.
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 45
24 CP 11 Ejercicios.
11 25 C 11 Ecuaciones en derivadas parciales.
26 CP 12 Ejercicios.
12 27 Lb 3
Tema: Sistemas de ecuaciones diferenciales
lineales ordinarias.
28 PP 2 Tema de Ecuaciones diferenciales.
13 29 C 12
Conceptos fundamentales de la teoría de
errores. Solución numérica de ecuaciones.
Determinación de raíces complejas. Sistemas de
ecuaciones lineales.
30 CP 13 Ejercicios.
14
31 C 13
Métodos iterativos: Jacobi y Gauss-Seidel.
Interpolación mediante polinomios. Existencia y
unicidad del polinomio de interpolación. Fórmula
de Lagrange. Fórmula de Interpolación de
Newton. Error de Interpolación.
32 CP 14 Ejercicios.
33 Lb 4 Interpolación.
15
34 C 14 Integración Numérica. Método de Romberg.
Estimación del error. Fórmulas de extrapolación.
35 CP 15 Ejercicios.
36 Lb 5 Integración Numérica.
16 37 C 15 Solución numérica de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Métodos de Runge-Kutta. Método de
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 46
diferencias finitas para la solución de
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
38 CP 16 Ejercicios.
17
39 Lb 6 Solución numérica de ecuaciones diferenciales
ordinarias.
40
PP 3
(Lb)
Tema de Matemática Numérica.
Tabla 3.2. Programa analítico de la asignatura Matemática IV del segundo
semestre de segundo año de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica.
Número Contenido Actividad Semana
1 Números complejos. C 1 1
2 Ejercicios sobre C 1 (suma, resta, producto,
división, radicación).
CP 1
3 Tema: Cálculo con números complejos. Lb 1 2
4 Funciones analíticas. C 2
5 Ejercicios sobre C2 (Dominio, condiciones de
Cauchy-Riemann, derivabilidad, analiticidad,
funciones armónicas conjugadas).
CP 2 3
6 Prueba Parcial 1. PP 1
7 Funciones elementales algebraicas y
trascendentes.
C 3 4
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 47
8 Ejercicios sobre C3. CP 3
9 Resumen. Pregunta escrita. CP 4 5
10 Integración compleja. C 4
11 Ejercicios sobre C 4. CP 5 6
12 Ejercicios sobre C 4 (Generalizaciones). CP 6
13 Series y Teorema de los Residuos. C 5 7
14 Ejercicios sobre C 5. CP 7
15 Ejercicios sobre C 5. CP 8 8
16 Ejercicios sobre C 5. CP 9
17 Prueba Parcial 2. PP 2 9
18 Transformada de Laplace y Paso unitario. C 6
19 Ejercicios sobre C 6. CP 10 10
20 Aplicaciones de la Transformada de Laplace. C 7
21 Ejercicios sobre C 7. CP 11 11
22 Tema: Análisis de circuitos eléctricos mediante
la transformada de Laplace.
Lb 2
23 Transformada Z. C 8 12
24 Ejercicios sobre C 8. CP 12
25 Aplicaciones de la Transformada Z. Función
transferencial.
C 9
26 Ejercicios sobre C 9. CP 13 13
CAPÍTULO 3. GUÍAS DE LABORATORIO 48
3.3 Conclusiones del capítulo
En el capítulo se describieron las características de las ocho guías de prácticas de
laboratorio diseñadas con temas de las asignaturas Matemática III y Matemática
IV relacionados con contenidos de asignaturas de disciplinas: Circuitos Eléctricos,
Teoría de las Comunicaciones, Electrónica y Sistemas de Radiocomunicaciones,
de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica. Dentro de
Matemática III se diseñaron tres guías de laboratorio con temas de Series de
Fourier, Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias y Sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales ordinarias y cinco guías de laboratorio para Matemática IV
con temas de Cálculo con números complejos, Aplicaciones de transformadas de
Laplace, Z y Fourier y Función Transferencial. Además, se muestra la distribución
de las mismas durante cada semestre de segundo año en los Programas
analíticos de Matemática III y Matemática IV.
27 Tema: Aplicaciones de la transformada Z en el
análisis de procesamiento digital de señales.
Lb 3
28 Prueba Parcial 3. PP 3 14
29 Transformada de Fourier. Aplicaciones. C 10
30 Ejercicios sobre C 10. CP 14 15
31 Tema: Aplicaciones de la transformada
Fourier.
Lb 4
32 Tema: Aplicaciones de la función transferencial
desde la transformada de Laplace, Z y Fourier.
Lb 5
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 49
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones
Las asignaturas Matemática III y Matemática IV de la disciplina Matemática se
imparten en el segundo año de la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y
Electrónica. La Matemática III se imparte en el primer semestre, se divide en tres
temas: Series, Ecuaciones Diferenciales y Matemática Numérica y cuenta con 80
horas y la Matemática IV se imparte en el segundo semestre, se divide en dos
temas: Variable Compleja y Cálculo Operacional y cuenta con 64 horas.
Se diseñaron ocho guías de laboratorio, tres de ellas con ejercicios sobre
Matemática III con los temas: Serie de Fourier, Ecuaciones diferenciales lineales
ordinarias y Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias; y cinco
guías con ejercicios sobre Matemática IV con temas: Cálculo con números
complejos, Transformada de Laplace, Transformada Z, Transformada de Fourier y
Función Transferencial.
Los ejercicios contenidos en las guías de prácticas de laboratorio diseñadas
contienen aplicaciones de asignaturas de las disciplinas: Circuitos Eléctricos,
Teoría de las Comunicaciones, Sistemas de Radiocomunicaciones y Electrónica,
que son estudiadas en semestres posteriores en la carrera de Ingeniería en
Telecomunicaciones y Electrónica, pero que con los conocimientos matemáticos
que poseen los estudiantes hasta este momento pueden resolver. Estas guías de
laboratorio fueron anexadas a los Programas analíticos de Matemática III y
Matemática IV.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 50
La herramienta empleada para la solución de los ejercicios de las guías de
laboratorio diseñadas fue el asistente matemático MATLAB, software con el cual
los estudiantes de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica trabajan
durante toda la carrera y es un potente programa de simulación de cálculo
simbólico, numérico y gráfico.
Recomendaciones
En la presente investigación se recomiendan los siguientes aspectos:
Los ejercicios propuestos en las guías de laboratorio complementen los
contenidos abordados en clases prácticas de las asignaturas Matemática III
y Matemática IV, como ejemplos de aplicación de estas asignaturas a la
Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica.
Incluir las guías de laboratorio diseñadas en los Programas analíticos de las
asignaturas Matemática III y Matemática IV como actividad siguiente a las
clases prácticas correspondientes al tema de cada guía, como se ha
descrito en el capítulo 3.
Proponer un sistema de guías de prácticas de laboratorio para el resto de
las asignaturas de la disciplina Matemática, con aplicaciones de la carrera
de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica utilizando el asistente
matemático MATLAB.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Balanis, A. C. (2009). Antenna theory, analysis and design. La Habana,
Editorial Félix Varela.
2. Carbó, A. C. S. R. R. G. C. F. D. B. (2004). Series. La Habana, Editorial
Félix Varela.
3. Carlson, A. B. (2002). Communication systems: an introduction to signals
and noise in electrical communication. C. F. Shultz. Baltimore, Elizabeth A. Jones. 1.
4. Hernández, J. D. (2006) Análisis espectral discreto con MATLAB. 2
5. James, G. (1993). Matemáticas avanzadas para ingeniería. La Habana, Editorial Félix Varela.
6. Mariani, A. M. (2002) MATLAB como software integrador. Importancia de un
laboratorio basado en MATLAB, para la enseñanza de grado en Ingeniería.
7. Millman, J. (1979). Microelectronics digital and analog circuits and systems. La Habana, Editorial Félix Varela.
8. Montalvo, A. T. (2002 ). Detección de las necesidades de aprendizaje para
el desarrollo de la habilidad de modelación matemática en la carrera de
Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica. Departamento de Ciencias de la Educación. Oviedo, Universidad de Oviedo. Doctorado: 203.
9. Morales, R. O. (2009). Análisis de sistemas de tiempo discreto mediante la
transformada Z. Análisis de sistemas de tiempo discreto mediante la transformada Z, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas: 45.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
10. Morales, R. O. (2011). Análisis de sistemas de tiempo discreto mediante la
Transformada Z. Análisis de sistemas de tiempo discreto mediante la Transformada Z, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas: 23.
11. Morales, R. O. (2011). Secuencias y sistemas de tiempo discreto en el dominio de la frecuencia. Secuencias y sistemas de tiempo discreto en el dominio de la frecuencia, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas:
19.
12. Morales, R. O. (2011) Transformada Discreta de Fourier y respuesta de
frecuencias. 5
13. Moreno, I. (2010). Capacitancia e inductancia. Respuesta de los circuitos de primer orden en estado transitorio. Capacitancia e inductancia. Respuesta
de los circuitos de primer orden en estado transitorio, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas: 16.
14. Moreno, I. (2010). Circuitos de segundo orden en estado transitorio.
Circuitos de segundo orden en estado transitorio, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas: 12.
15. Moreno, I. (2010). Frecuencia compleja. Función de red. Frecuencia
compleja. Función de red, . Universidad Central Marta Abreu de Las Villas:
11.
16. Moreno, I. (2010) Relación entre funciones en el tiempo y diagramas de polos y ceros. 3
17. Moreno, I. (2010). Respuesta de Frecuencia. Respuesta de Frecuencia,
Universidad Central Marta Abreu de Las Villas: 16.
18. Moreno, I. (2011). Función excitatriz sinusoidal. Características V/A de los
elementos del circuito. Función excitatriz sinusoidal. Características V/A de los elementos del circuito, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas:
24.
19. Moreno, I. (2011). Transformada de Laplace. Transformada de Laplace,
Universidad Central Marta Abreu de Las Villas: 7.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
20. Rodríguez, M. M. F. (2013). Serie Trigonométrica de Fourier. Series
trigonométrica. Series de Fourier. Cambio de período. Prolongación, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas: 10.
21. Rodríguez, M. M. F. ( 2013). Transformada de Laplace. Transformada de Laplace, Universidad Central Marta Abreu de Las Villas: 15.
22. Scheifer, A. V. O. R. W. (2009). Discrete-time signal processing. La
Habana, Editorial Félix Varela.
23. Superior, M. d. E. Programa director de Matemática en la UCLV. Cuba: 8.
24. Superior, M. d. E. Propuesta de Programa para la disciplina Matemática en
la carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica. Plan D. La Habana, Cuba: 35.
25. Vidal, J. G. d. J. J. I. R. J. (2005). Aprenda Matlab 7.0 como si estuviera en
primero. Madrid, Universidad Politécnica de Madrid.
26. William H. Hayt, J. E. K. (1993). Engineering Circuit Analysis. La Habana, Editorial Félix Varela.
ANEXOS
Anexo I GUÍAS DE LABORATORIO
Título: Serie de Fourier.
Objetivo general: Resolver ejercicios de análisis de circuitos eléctricos
empleando Serie de Fourier.
Tarea preliminar:
Calcule analítica y gráficamente la serie trigonométrica de Fourier hacia la cual
converge f (x)= x, para 0 < x < 1, con período T= 2.
a) En senos solamente.
b) En cosenos solamente.
c) En senos y cosenos.
Introducción:
Sea f (t) una función periódica de período T, esta se puede representar por una Serie
Trigonométrica de Fourier si cumple las condiciones de Dirichlet (Carbó, 2004):
Tiene un número finito de discontinuidades en el período T, en caso de ser
discontinua, o sea que es seccionalmente continua.
Tiene primera derivada seccionalmente continua.
La serie de Fourier de una función f(x) periódica de período T se define como:
(1) (Rodríguez, 2013)
Donde w= (2)
ANEXOS
, (3) (Rodríguez, 2013)
, (4) (Rodríguez, 2013)
, (5) (Rodríguez, 2013)
con c un número real y n=1, 2, 3,…
Con a0/2, an y bn coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier. El desarrollo
de Fourier hallado es un desarrollo en senos y cosenos.
Si la función f (x) es par, es decir f (x)= f (-x) para todo valor de x perteneciente a
su dominio, su desarrollo en serie de Fourier es un desarrollo en cosenos
solamente y se halla del siguiente modo:
, (6) (Carbó, 2004)
Donde w= (7)
, (8) (Carbó, 2004)
y , (9) (Carbó, 2004)
Si la función f (x) es impar, es decir f (x)= - f (-x) para todo valor de x
perteneciente a su dominio, su desarrollo en serie de Fourier es un desarrollo en
senos solamente y se halla del siguiente modo:
, (10) (Carbó, 2004)
Donde w= (11)
, (12) (Carbó, 2004)
ANEXOS
Los comandos de programación para resolver los ejercicios de la guía se
muestran en la siguiente tabla:
Tabla 1. Comandos de programación de la guía de laboratorio de Serie de
Fourier.
Comando Significado
sym (x) Declara x como variable.
int (f, x, a, b) Calcula la integral de f(x) con respecto
a x desde a hasta b.
fplot (f,[a, b]) Grafica una función f entre a y b.
ezplot Similar a fplot.
cos (x) Calcula el coseno de x.
sin (x) Calcula el seno de x.
hold on Retiene el gráfico obtenido para
agregar otro encima.
Técnica operatoria:
1) Sea una función en el dominio del tiempo F (x)= x, para 0 < x < 2 s con período
T=4.
a) Obtenga sus coeficientes de Fourier para los armónicos n=1, 2 y 3, en senos
solamente.
b) Si la función F (x) dada representa la expresión de un estímulo periódico que se
le aplica a una resistencia de valor R= 10 Ω, calcule su corriente i (t) para cada
armónico aplicando Ley de Ohm y utilizando la serie de Fourier obtenida en el inciso
anterior.
ANEXOS
c) Calcule la potencia P de la carga para cada armónico del inciso a conociendo
que P= (Vm * Im)/ 2, donde Vm e Im son las amplitudes del voltaje y la corriente
aplicadas a la carga.
2) Sea una señal de voltaje descrito por la siguiente ecuación:
F (x)= x- 1; 0 < x < 4 con período T=4.
a) Exprese F(x) como un desarrollo trigonométrico de Fourier.
b) Si F(x) es el valor que tiene una fuente de corriente que alimenta a dos cargas
resistivas en paralelo de valores R=5 Ω y R= 2 Ω, calcule la corriente que circula por
cada carga para los armónicos desde n=0 hasta n=5, empleando Divisor de corriente.
c) Calcule el voltaje de cada carga del circuito descrito en el inciso anterior.
Trabajo independiente:
Repita el ejercicio 2 sustituyendo los valores de resistencias por R= 3 Ω y R=1 Ω,
ambas colocadas en serie con una fuente de voltaje de valor igual a la fuente de voltaje
del ejercicio 1. Utilice Divisor de Voltaje.
Título: Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.
Objetivo general: Resolver ecuaciones diferenciales lineales ordinarias a partir del
análisis de circuitos eléctricos.
Tarea preliminar:
Calcule la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) 2y’+ 104y= 5*104, y (0)=0. (13)
b) 5y’+ 6y= 12 (14)
c) 0.1*10-6dy+ (sen (3t) + et cos (2t))/ 104dt=0. (15)
d) y”’ – y= 0 (16)
e) y” + 2y’= ex (17)
ANEXOS
Introducción:
El cálculo de corrientes y voltajes de elementos reactivos involucra derivadas e
integrales, por lo que dependen de cuan rápidamente varíe el estímulo en función del
tiempo, por lo que este tipo de red se clasifica como circuito dinámico. Ellos dependen
de las condiciones iniciales en los elementos almacenadores de energía.
La relación corriente–voltaje en un capacitor se describe por: ic = Cdvc/dt, donde C es la
capacitancia expresada en faradios (F). La corriente en el capacitor (ic) es proporcional
a la rapidez de cambio de su voltaje (vc). Despejando el voltaje del capacitor en la
ecuación anterior: vc = v (t0) + (Moreno, 2010), siendo su modelo matemático el
que aparece en la figura siguiente:
Figura 1. Modelo matemático del capacitor (Moreno, 2010).
El primer término de la derecha de la ecuación anterior es el voltaje inicial que presenta
el capacitor para un tiempo t0, o sea, considera todo proceso antes de t0, donde v (t0)=
q (t0)/C. El segundo término tiene en cuenta la ley de cambio de la corriente para un
tiempo t > 0. La potencia instantánea en el capacitor se calcula como: p= vcC (dvc/dt)
(W) (Moreno, 2010).
La relación corriente-voltaje en el inductor L es: vL= L diL/dt. vL, es proporcional a la
rapidez de cambio de la corriente. Integrando la expresión de voltaje, se obtiene iL:
iL= iL (to) + , (Moreno, 2010).
El primer término iL (to) es el valor de la corriente inicial en el inductor para el instante to.
El segundo término tiene en cuenta la ley de cambio del voltaje para t > to. Su modelo
matemático es el que se muestra en la figura 2:
ANEXOS
Figura 2. Modelo matemático del inductor (Moreno, 2010).
La potencia instantánea en el inductor es: p = L (diL/dt) (iL), (Moreno, 2010).
La ecuación que se obtiene del análisis de un circuito RL ó RC sin fuentes es una
ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, cuya solución representa una
respuesta del circuito y se le conoce como respuesta natural o libre. Cuando se
consideran fuentes independientes en un circuito, parte de la respuesta dependerá de
la naturaleza de la fuente particular utilizada y se denomina respuesta estimulada; esta
parte de la respuesta será completada con la respuesta complementaria producida por
el circuito sin fuentes y su suma será la respuesta completa. A la respuesta sin fuentes
se le puede llamar respuesta natural o respuesta transitoria. A la respuesta que
depende del estímulo o fuente se le llama respuesta forzada. Matemáticamente:
Solución general= Solución homogénea + Solución particular.
Desde el punto de vista circuital:
Respuesta completa = Respuesta transitoria + Respuesta forzada =
= Respuesta natural o libre + Respuesta estimulada (Moreno,
2010).
El análisis de circuitos RLC involucra resolver ecuaciones diferenciales lineales
ordinarias de orden superior. Una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden superior
puede ser homogénea, si el término independiente es 0 y corresponde a un circuito que
no posea fuentes; o no homogénea, cuando un circuito pasivo posee fuentes.
Los comandos a usar en la solución de la guía se muestran en la tabla siguiente:
Tabla 2. Comandos de programación a usar en la guía de laboratorio de Ecuaciones
diferenciales lineales ordinarias.
ANEXOS
Comando Significado
dsolve (eq, var) Calcula la solución de ecuaciones
diferenciales.
diff (f, x, n) Calcula la derivada n-ésima de una
función f con respecto x.
limit (f, x, b) Calcula el límite de la función f(x) cuando
x tiende a b.
fplot (f,[a b]) Grafica la función f en el intervalo [a, b].
dsolve (eq, var) Calcula la solución de ecuaciones
diferenciales eq con variable dependiente
var.
int (f, x, a, b) Calcula la integral de la función f con
respecto a x en el intervalo [a, b].
Técnica operatoria:
1) Un circuito RL serie está alimentado por una v (t)= 5e-t V con resistencia R= 5 Ω
e inductor L= 0.5 H.
a) Calcule la corriente i (t) que entrega la fuente para t > 0, conociendo que esta se
puede hallar al resolver la siguiente ecuación diferencial:
L*(di/dt) + R*i (t) = v (t), (18)
Considere que i (0- ) = 0 A.
b) Grafique la corriente obtenida en el inciso anterior en el intervalo de 0 < t < 5 s.
Analice qué valor toma cuando t tiende a infinito, es decir, calcule el valor de su
repuesta forzada.
c) Si se reemplaza el inductor por un capacitor de (1/8) F, calcule la corriente que
circula por el circuito para t > 0 s, conociendo que se puede obtener al resolver la
ecuación diferencial:
ANEXOS
(q/C)+ R*(dq/dt) = v (t), (19)
con i (t) = (dq/dt), (20)
Considere i (0- ) = 0 A.
2) Un amplificador integrador es un amplificador operacional cuyo voltaje de salida
v0 (t) es proporcional a la integral su voltaje de entrada vi (t). Si la relación entre estos
voltajes está descrito por la siguiente ecuación diferencial:
Cdv0 (t) + (vi (t)/Ri) dt= 0, (21)
con capacitor C= 0.1*10-6 F, Ri= 10*103 Ω (resistencia en serie con la fuente de voltaje)
y vi (t)= sen (3t)+ et cos (2t) V como se muestra en el circuito siguiente:
Figura 3. Amplificador integrador con entrada vi (t) y salida vo (t) (Millman, 1979).
a) Calcule su voltaje de salida. Suponga que las condiciones iniciales del circuito
son nulas.
b) Represente gráficamente el voltaje de salida hallado.
3) En el siguiente circuito en el instante t = 0 se conecta el interruptor S1. Determine
la corriente del inductor (iL (t)) y el voltaje del capacitor (vC (t)) para t 0 s, conociendo
que se puede obtener aplicando una Ley de Kirchhoff de Voltajes dando como
resultado la ecuación:
v (t) = L (d2q/dt2) + R (dq/dt) + q/C, (22)
con iL (t)= i(t)= dq/dt, (23)
y vc (t)= v (t0) + , (24)
Suponga condiciones iniciales nulas.
ANEXOS
a) Calcule el valor de la respuesta forzada de las señales obtenidas en el inciso
anterior, es decir, su valor cuando el tiempo tiende a infinito. Realice un análisis gráfico
de estas señales en el dominio del tiempo y compruebe los resultados analíticos
obtenidos.
Figura 4. Circuito RLC serie alimentado por una fuente de voltaje de 160 V (Moreno,
2010).
4) Suponga que para el circuito siguiente R= (1/12) Ω, L= (1/50) H y C= 2 F, con
condiciones iniciales iL (0)= 1 A and vC (0)= -0.14 V. Halle la corriente del inductor iL (t) y
el voltaje del capacitor vC (t) para t > 0 s si al aplicar el Método de Voltajes de Nodos se
obtuvo la ecuación diferencial siguiente:
, (25) (William H. Hayt, 1993).
Figura 5. Circuito RLC paralelo (Moreno, 2010).
Trabajo independiente:
En el siguiente circuito RLC serie considere que iL (0) = 1 A y vC (0) = 2 V. Determine
las expresiones de iL (t) y vC (t) para t 0 s y dibuje sus gráficos aproximados.
ANEXOS
Figura 6. Circuito RLC serie (Moreno, 2010).
Título: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.
Objetivo general: Resolver ejercicios de circuitos RLC ramificados mediante sistemas
de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.
Tarea preliminar:
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
(26)
Introducción:
El análisis de circuitos eléctricos RLC ramificados de múltiples mallas alimentados con
corriente alterna conduce a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales. En
la siguiente tabla se muestran los comandos de programación empleados para la
solución de la presente guía.
Tabla 3. Comandos de programación de la guía de laboratorio de Sistemas de
ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.
Comando Significado
dsolve (eq, var) Calcula la solución de ecuaciones
diferenciales eq con variable dependiente
var.
diff (f, x, n) Calcula la derivada n-ésima de una
función f con respecto a x.
ANEXOS
int (f, x, a, b) Calcula la integral de una función f con
respecto a x en el intervalo [a, b].
Técnica operatoria:
1) Como resultado de aplicar el Método de Corrientes de Mallas (MCM) se obtuvo
el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales a partir del circuito de la figura, con
R1= R2= 50 Ω, L1= 2 nH y C2= 0.5 uF. Si v(t)= 400*cos (wt) V es la fuente de
alimentación del circuito:
Figura 7. Circuito RLC ramificado alimentado con una fuente de voltaje sinusoidal de
amplitud 400 V (Moreno, 2011).
(27)
Donde q1 (t) y q2 (t) son las cargas almacenadas por los elementos reactivos.
Considere w=1 rad/s.
a) Calcule las corrientes i1 (t) e i2 (t).
b) Calcule el voltaje de cada elemento.
2) Dos cargas conectadas en paralelo son alimentadas con un voltaje de línea de
70.7*cos (t) V en serie con R= 10 Ω. Cada carga contiene un inductor en serie con una
resistencia como se ilustra en la siguiente tabla:
ANEXOS
Tabla 4. Datos de las cargas del circuito del ejercicio 2.
Carga 1 5 Ω 2 H
Carga 2 50 Ω 1 H
a) Calcule la corriente que circula por cada carga si se puede obtener al resolver el
siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
(28)
Donde:
I carga 1= i1 (t) - i2 (t) (29)
I carga 2= i2 (t) (30)
Considere que i1 (0) = i2 (0) = 0 A.
b) Calcule el voltaje de cada elemento del circuito y de cada carga.
3) Dos cargas en paralelo son conectadas a una fuente de voltaje v(t)= 5*cos t V.
Calcule la carga que almacena cada capacitor si aplicando el Método de Corrientes de
Mallas (MCM) se obtuvo el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
(31)
Considere condiciones iniciales nulas.
Datos:
ANEXOS
Tabla 5. Datos de las cargas del ejercicio 3.
Cargas R L C
1 1 Ω 0.2 H 0.1 F
2 2 Ω 1 H 0.2 F
a) Calcula la corriente i (t) de cada capacitor.
Trabajo independiente:
Repita el ejercicio 2 para v (t)= 50 e-t V.
Título: Cálculo con números complejos.
Objetivo general: Resolver problemas de circuitos eléctricos aplicando cálculo con
números complejos.
Tarea preliminar:
Calcule:
a) 3jx + - (2∟45º +3ej45º)*x si x= 1- j (32)
b) / (5ej30º) (33)
Introducción:
Cuando se trabaja con señales de corriente alterna, el cálculo de corrientes y voltajes
de los elementos de un circuito eléctrico implica trabajar con números complejos. Sea
una señal sinusoidal x (t)= xm*sen (wt +θ), donde xm es su valor máximo, w la
frecuencia en rad/s y θ la fase expresada en rad, esta se puede escribir de la siguiente
forma: X= xm∟θ, denominada fasor complejo. El trabajo con números complejos en la
resolución de ejercicios de circuitos eléctricos permite expresar la impedancia de los
elementos pasivos (resistor, capacitor e inductor) en forma de números complejos y la
relación entre la corriente y el voltaje entre estos elementos pasan de ser ecuaciones
ANEXOS
integrales o diferenciales a ecuaciones algebraicas según la Ley de Ohm: V = I*Z
donde V es el voltaje aplicado entre los terminales de un elemento, I su corriente y Z su
impedancia (Moreno, 2011).
En la entrada de datos de MATLAB se pueden utilizar indistintamente la i y la j para
representar el número imaginario unidad. Cuando i y j son variables uti lizadas para
otras finalidades, como unidad imaginaria puede utilizarse también la función sqrt ( -1),
o una variable a la que se haya asignado el resultado de esta función. MATLAB
dispone también de la función complex, que crea un número complejo a partir de dos
argumentos que representan la parte real e imaginaria (Vidal, 2005).
La siguiente tabla muestra los comandos de programación a usar en la guía de
laboratorio.
Tabla 6. Comandos de programación de la guía de laboratorio de Cálculo con números
complejos.
Comando Significado
complex (x, y) Equivale a escribir un número complejo
en forma binómica: x+ jy.
abs (x) Calcula el valor absoluto o módulo de x.
angle (x) Calcula el argumento de un número
complejo x.
real (x) Obtiene la parte real de un número
complejo x.
linsolve (A, b) Resuelve un sistema de ecuaciones de
forma matricial Ax= b.
fprintf Imprime un cartel por pantalla.
length (x) Calcula la longitud de un vector x.
ANEXOS
Técnica operatoria:
1) Una antena dipolo de media lambda (λ/2) posee resistencia de pérdidas de 0,85
[Ω] y se encuentra conectada a un generador de 50+j25 [Ω]. Con una amplitud del
voltaje del generador V= 1.418 [V] y la impedancia terminal de la antena es de 73+j45
[Ω], como se muestra en el circuito de la figura siguiente:
Figura 8. Circuito equivalente de una antena (Balanis, 2009).
a) Calcule el voltaje de cada impedancia aplicando Ley de Ohm. Exprese la
corriente que entrega la fuente de voltaje en forma polar y diga el carácter del circuito
de acuerdo a la diferencia de fase entre el valor de la fuente y su corriente.
b) Calcule la potencia:
b.1) suministrada por el generador.
b.2) radiada por la antena, conociendo que su resistencia radiada es
Rrad= Re Zt – Rp, (34)
con Zt: impedancia terminal y Rp: resistencia de pérdidas.
b.3) disipada por la antena, es decir, la consumida por la resistencia de pérdidas
(Balanis, 2009).
2) Un circuito RLC serie es alimentado por una fuente de voltaje sinusoidal, dada
fasorialmente por: V=2∟45º [V]. Conociendo que R= 10 Ω, L= 0.5 H, C=0.5*10 -3
F y la frecuencia de la señal es w= 377 rad/s, calcule:
ANEXOS
a) La impedancia Z de cada elemento del circuito, conociendo que ZR= R, ZL=
i*w*L y ZC= -i / (w*C).
b) La corriente I que circula por el circuito si se sabe que se obtiene al resolver
la ecuación luego de aplicar la Ley de Kirchhoff de Voltajes:
V=I(R+ ZL-ZC). (35)
c) El voltaje de cada elemento pasivo del circuito en forma polar. Calcule la
diferencia de fase entre el voltaje y la corriente de cada elemento.
d) Diga el carácter del circuito a partir del cálculo de la diferencia de fase
entre el voltaje de la fuente y la corriente que entrega.
3) El siguiente sistema de ecuaciones algebraicas se obtuvo al aplicar el Método
de Corrientes de Mallas (MCM) a un circuito alimentado con una fuente V= 2 V:
(36)
donde I1, I2 son corrientes de malla del circuito.
Figura 9. Circuito RLC ramificado alimentado por una fuente de voltaje sinusoidal
V2.
a) Calcule las corrientes I1 e I2 en forma binómica y polar.
b) Calcule la corriente en cada rama, conociendo que la corriente que pasa por
R1 es i1= I1, la que pasa por R2 es i 2= I2 y por el capacitor C2 es i3= I1-I2y el
voltaje de cada elemento aplicando Ley de Ohm, en forma binómica y polar.
ANEXOS
c) Diga el carácter del circuito.
Trabajo independiente:
Un circuito RLC de varias mallas fue reducido a un circuito serie compuesto por
una fuente de voltaje V=2e jπ /2 [V] y una impedancia
Z= (R+jX)/ (R-jX), (37)
con R=5 Ω y X= 6 Ω, aplicando el Teorema de Thevenin.
a) Calcule Z.
b) Si se desea que la fuente V suministre máxima transferencia de potencia,
se coloca en serie una impedancia Zd de modo que:
Z + Zd= (1/2)*Re Z. (38)
Calcule el valor de Zd y la máxima potencia que se le entrega si se sabe que se
obtiene empleando la siguiente fórmula:
Pmáx= IVI2/ (4*Re Z). (39)
Título: Análisis de circuitos eléctricos mediante la transformada de Laplace.
Objetivo general: Resolver problemas de análisis de circuitos eléctricos aplicando
la transformada de Laplace.
Tarea preliminar:
Calcule:
a) L-1F(s) si F(s)= (s2 + 9s + 12)/ (s3 + 6s2 + 11s + 6) (40)
b) L f(t) si f(t)= t*u(t - 2) (41)
c) L f(t) si f(t)= 5t*δ(t - 1) (42)
Introducción:
Sea f (t) una función definida para t ≥ 0 entonces la integral (Rodríguez, 2013):
ANEXOS
(Rodríguez, 2013) (43)
recibe el nombre de Transformada de Laplace, siempre que el límite exista.
La Transformada de Laplace de f (t) se denota por L f (t) y como el resultado depende
de s se escribe: L f (t)= F(s). Las condiciones suficientes que garantizan la existencia
de la transformada de Laplace son: que f sea continua parte por parte para t ≥ 0; y que
sea de orden exponencial para t > T. Se dice que una función f (t) es de orden
exponencial si existen números c, M > 0 y T > 0 tales que (Rodríguez, 2013):
I f (t)I ≤ Mect, para t > T. (44)
La expresión anterior indica que si f (t) es una función creciente entonces la gráfica de f
en el intervalo [ T, ∞) no crece más rápido que la gráfica de Mect, donde c es una
constante positiva.
La función f (t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe como:
L-1 F (s)= f(t), (45) (Rodríguez, 2013).
La transformada de Laplace se usa para resolver ecuaciones diferenciales, integrales,
integro-diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones son
empleadas para el análisis de circuitos eléctricos.
Las ventajas de la utilización de la transformada de Laplace en la solución de circuitos
en estado transitorio (en el dominio del tiempo) son las siguientes (Moreno, 2011):
Las ecuaciones integro-diferenciales necesarias para calcular el voltaje y la
corriente en los elementos pasivos: inductor y capacitor, se transforman en
algebraicas, permitiendo la utilización de los métodos generales de cálculo.
Los valores de las condiciones iniciales (voltaje en el capacitor y corriente en el
inductor) se introducen desde un inicio en las ecuaciones en forma de fuente de
voltaje con un valor VC (0) /s para el capacitor y en forma de fuente de corriente
con un valor IL (0) para el inductor.
No es necesario calcular las constantes.
ANEXOS
Los comandos de programación a usar en la guía son:
Tabla 7. Comandos de programación a usar en la guía de laboratorio de Análisis de
circuitos eléctricos aplicando transformada de Laplace.
Comando Significado
laplace (y) Calcula la transformada de Laplace de y=f (t).
ilaplace (F) Calcula la transformada de Laplace inversa de F(s).
zplane (b, a) Obtiene el diagrama de polos y ceros de una función transferencial
caracterizada por los vectores b, a, que contienen los coeficientes de
los términos de su numerador y denominador, respectivamente.
solve (eq, var) Calcula la solución de una ecuación eq con variable dependiente var.
limit (f, x ,b) Calcula el límite de la función f(x) cuando x tiende a b.
Técnica operatoria:
1) Si en el circuito siguiente la fuente de voltaje E entrega una corriente
I(s)= -1.2/ (s (s2+7s+12)), (46)
calcula la expresión de i (t).
a) Analice i (t) cuando t → ∞.
Figura 10. Circuito RLC alimentado por una fuente de voltaje E (Moreno, 2010).
ANEXOS
2) Si en el siguiente circuito se conoce que para vi (t)= e-2t u (t) V vo (t)= -3t u (t) V,
calcule la ganancia de voltaje H(s)= Vo(s)/ Vi(s) y su respuesta impulsiva h (t)= L-
1H(s).
a) Repita el ejercicio para vi (t)= cos (2t) u (t) V y Vo (s)= -4/s + (s+2)/ (s2+4).
Figura 11. Amplificador operacional con voltaje de entrada Vi y voltaje de salida Vo
(Moreno, 2010).
3) En el circuito de la figura v1 (t) =10*sen (t) u (t) V y vc (0- )= 5 V.
a) Determine la respuesta impulsiva h (t) para t ≥ 0 s si R2= 1 kΩ y C= 1 µF, si vo (t)=
(15 e-1000t - 10) u (t) V y conociendo que L h (t)= L vo (t)/ L v1 (t).
Nota: Considere ideal el amplificador operacional.
a) Analice la estabilidad del circuito a partir de su diagrama de polos y ceros. (Un
sistema es estable si sus polos están dentro de la circunferencia IzI= 1).
Figura 12. Amplificador operacional inversor con fuente de entrada V i (Moreno, 2010).
Trabajo independiente:
Si en el circuito representado en el ejercicio 2 la señal de entrada es vi (t)= cos (2t) V y
su respuesta impulsiva es h (t)= 5t, calcule su voltaje de salida, vo (t).
ANEXOS
a) Calcule la ganancia de voltaje del circuito Av (s)= Vo (s)/ Vi (s).
Título: Aplicaciones de la transformada Z en el análisis de procesamiento digital de
señales.
Objetivo general: Resolver ejercicios de aplicación de transformada Z para el análisis
de circuitos de procesamiento digital de señales.
Tarea preliminar:
Calcule:
a) Z (k-2) u (k) (47)
b) Z k2 δ(kT) (48)
c) Z-1 z/(z-2)2 (49)
d) Z-1 (z-1)(z-2)/ (z2+1) (50)
Introducción:
La transformada Z (TZ) se aplica solo en funciones discretas y se define
por: , (51) (Morales, 2009)
Donde x[n] es la secuencia discreta en el dominio del tiempo y X (z) su transformada.
La transformada X (z) es una función compleja, definida por la siguiente relación:
X (z) = Re X (z) + j*Im X (z). (52)
La TZ de una secuencia queda definida por: la expresión analítica de X (z) y su región
de convergencia (ROC):
Si z=IzIejw , entonces:
X(z)= (53) (Morales, 2009).
Esta serie converge si la secuencia Ix (n) IIzI-n es absolutamente sumable; es decir,
< , (54) (Morales 2009).
Los comandos de programación a utilizar son:
Tabla 8. Comandos de programación a usar en la guía de laboratorio Aplicaciones de la
transformada Z en el análisis de procesamiento digital de señales.
Comando Significado
[z, p]= tf2zpk(b, a) Obtiene los polos y ceros agrupados en
vectores z y p de una función
transferencial, caracterizada por sus
ANEXOS
coeficientes b y a.
ztrans (h) Calcula la transformada Z de la función h
(k).
iztrans (H, k) Calcula la transformada Z inversa de la
función H(z) en función de k.
Técnica operatoria:
1) Un sistema de procesamiento digital que trabaja a una frecuencia de muestreo
fs= 200 Hz, al cual se le aplica una señal discreta en el tiempo x (k), está caracterizado
por una función racional H (z), de modo que su señal de salida y (k) se puede obtener a
partir de la siguiente relación:
Y (z)= X (z)*H (z), (55)
con Y (z)= Z y (k). (56)
Si: H (z)= 3(z+1)/ ((z+0.9j)(z-0.9j)), (57)
válida para una región de convergencia (ROC): IzI > 0.9.
a) Calcule los ceros y polos de H (z).
b) Calcule h (k)=Z-1H (z).
c) Si en el instante k=0 se aplica a la entrada del sistema la señal x (k)= cos (kπ/2)
u (k), calcule la expresión de la salida y (k).
2) Un sistema de procesamiento digital de señales está descrito por la siguiente
función:
H (z)= (z-1)/ (z2- 0.25z- 0.125) (58)
a) Calcule h (n)= Z-1 H (z).
b) Si se conoce que Y (z)=X (z)*H (z), determine la secuencia de salida, y (n), si a la
entrada del sistema se aplica en n=0 la secuencia x (n) cuya transformada Z es:
X (z)= (1-0.5z-1)/ (1-z-1). (59)
Trabajo independiente:
Si un filtro digital está descrito por la siguiente función en el dominio del tiempo:
h (k)=0.2*cos (k) u (k), calcule su H (z).
ANEXOS
Título: Aplicaciones de la transformada de Fourier.
Objetivo general: Resolver ejercicios de análisis sobre filtros de procesamiento digital
de señales y análisis espectral de señales en circuitos eléctricos y en sistemas de
comunicaciones aplicando la transformada de Fourier.
Tarea preliminar:
Calcule:
a) F 6e-20t u (t) (60)
b) F-1 18/ ((20+jw)(6+jw)) (61)
c) H (ejw )= DTFT h(n) (56) si h (n)=5*δ (n-5) + cos (j (π/2)n) u (n) (62)
Introducción:
La Transformada de Fourier se emplea en el análisis espectral de señales en las
comunicaciones, para el cálculo de la respuesta de frecuencia en circuitos eléctricos y
para el procesamiento digital de señales.
Transformada de Fourier continua
Para el análisis de circuitos eléctricos se emplea la transformada de Fourier continua
definida por:
F (jw) = , (63) (James, 1993).
Donde F (jw) es la transformada de Fourier de f (t) y su transformada inversa es:
f(t)= , (64) (James, 1993).
Una condición suficiente para le existencia de F (jw) es que la integral de f (t) sea finita,
es decir:
, (65) (James, 1993).
ANEXOS
La relación parejas-transformada es única: para una f (t) existe una única F (jw) y para
una F (jw) una sola f (t).
Para determinar la respuesta de frecuencia de un circuito analógico se emplea la
transformada de Fourier continua. La respuesta de frecuencia de un circuito es la
variación de su comportamiento al cambiar la frecuencia de la señal. La respuesta de
frecuencia de circuitos en estado estable sinusoidal es de importancia en muchas
aplicaciones, en especial en los sistemas de comunicaciones y de control. Una
aplicación específica se encuentra en los filtros eléctricos que bloquea n o eliminan
señales con frecuencias indeseables y dejan pasar señales con las frecuencias
deseadas. Los filtros se utilizan en sistemas de radio, televisión y telefónicos para
separar una frecuencia de transmisión de otra. La transformada de Fourier conti nua de
un sistema, por ejemplo H (jw), es una función compleja:
H (jw) = Re [H] + jIm [H] = IHIejφ, (66) (Moreno, 2010).
Donde Re [H] e Im [H] son las partes real e imaginaria respectivas de H (jw), IHI y φ
son su módulo(o magnitud) y su argumento (fase), respectivamente. Re [H], Im [H], IHI
y φ son en general, funciones de la frecuencia w. Sus relaciones son (Moreno, 2010):
IHI2= IH(jw)I2= Re2[ H] + Im2[ H] (67)
Φ= tan-1 (68)
Los comandos de programación a usar son:
Tabla 9. Comandos de programación de la guía de laboratorio de Aplicaciones de la
transformada de Fourier.
Comando Significado
fft (h) Calcula la transformada de Fourier de h
para 0 ≤ w ≤ 2 .
ifft (H) Calcula la transformada inversa de
ANEXOS
Fourier de H.
xlabel Coloca un nombre al eje de las abscisas.
abs (h) Calcula el módulo de h.
angle (h) Calcula el argumento de h.
solve (eq, var) Calcula la solución de una ecuación eq
con variable dependiente var.
eval (f) Evalúa la función f para un valor
previamente determinado.
stem Traza el gráfico de una función en forma
de espiga.
plot Traza el gráfico de una función.
ones (m, n) Obtiene una matriz unidad de m filas y n
columnas.
zeros (m, n) Obtiene una matriz nula de m columnas y
n filas.
real (x) Obtiene la parte real de x.
imag (x) Obtiene la parte imaginaria de x.
max (x) Calcula el valor máximo de los elementos
un vector x.
sum (x) Calcula la suma de los elementos de un
vector x.
length (x) Obtiene la longitud de un vector x.
mean (x) Calcula el promedio de los elementos de
ANEXOS
un vector x.
fourier (x) Calcula la transformada de Fourier
continua de x.
ifourier (x) Calcula la transformada inversa de
Fourier de x.
Técnica operatoria:
1) La respuesta al impulso de cierta red lineal es h (t)= 6*e-20t u (t).
a) Calcule su respuesta de frecuencia H (jw), su magnitud IH (jw) I y fase arg H
(jw).
b) Si se le aplica a la red una señal de voltaje x (t)= 3e-6t u (t) V, calcule su señal de
salida y (t) si y (t)=F Y (jw) con
Y (jw)= X (jw)H (jw). (69)
c) Grafique x (t), y (t) desde 0 ≤ t ≤ 5 s.
2) Aplicando las técnicas de la Transformada de Fourier al circuito siguiente se
determinó que la corriente(iL (t)) que circula por el inductor de 20 mH se puede obtener
al resolver la siguiente ecuación resultado de aplicar el Método de Corrientes de Mallas
(MCM):
(10+20*10-3jw)* IL (jw) – 6*Is (jw) =0, (21), con Is (jw) = 1. (70)
a) Halle iL (t) en t=1.5 ms.
Figura 13. Circuito RL alimentado por una fuente de corriente is (t) (Moreno, 2010).
3) Se necesita realizar un análisis espectral a una señal de audio (Carlson, 2002):
ANEXOS
y = cos ( /10) t + sen (( /20)t+ /8) (71)
a) Obtenga analítica y gráficamente las primeras 80 muestras de la señal dada,
conociendo que la separación entre muestras es de un segundo.
b) Obtenga gráficamente su espectro de magnitud y fase contra frecuencias.
c) Encuentre la transformada inversa de Y (jw) y haga su gráfico. Compárelo con la
señal original.
d) Si se define z= y*cos (πn), obtenga su espectro de magnitud. Compare el espectro
obtenido con el del inciso b. Utilice la propiedad de modulación.
e) Si se define w= y*ejπn, obtenga su espectro de magnitud y fase y realice una
comparación con los espectros obtenidos en el inciso b. Utilice la propiedad de
traslación en frecuencia.
4) A un sistema de comunicación digital se le aplica una secuencia binaria formada
por 50 “unos” y 450 “ceros” (Hernández, 2006).
a) Obtenga la representación gráfica continua y discreta de esa señal.
b) Dibuje los espectros de magnitud y fase contra frecuencias.
Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT) y Transformada Discreta de
Fourier (DFT)
Introducción:
La DTFT de una secuencia discreta x(n), se define por:
X (ejw )= , (72) (Scheifer, 2009).
La DTFT es una función compleja con período 2π/T, siendo T el período de muestreo
de la señal. Calcular la DTFT de una secuencia significa obtener su espectro y
conocido este se puede obtener la señal en el tiempo aplicando la transformada inversa
(IDTFT):
x(n)= ; , (73) (Scheifer, 2009).
ANEXOS
La DFT de una secuencia x (n) se define por:
XN(k)= X( )= , con 0 ≤ k ≤ N-1, (74) (Morales, 2011).
Donde el término: 2π/N= wD (75)
Indica la separación espectral.
Su transformada inversa (IDFT) se define por:
x(n)= , con 0 ≤ n≤ N-1, (76) (Morales, 2011).
La DFT es periódica con período N.
Las propiedades de la DTFT son similares a las de la DFT dado que:
XN(k)= X(ejw )Iw = k, 0 ≤ k ≤ N-1, (77) (Morales, 2011).
La Transformada de Fourier de tiempo discreto es una función continua en su variable
w, por lo que no puede ser almacenada como datos dentro de un procesador digital; no
obstante, puede calculársele una versión muestreando N puntos de su espectro de
frecuencias, dando lugar a la Transformada Discreta de Fourier (DFT). Como resultado,
la secuencia en el dominio del tiempo asociada a la DFT será periódica con período N
(Morales, 2011).
Técnica operatoria:
1) Dada la secuencia real, x[n], de N = 8 muestras, definida por el vector
x = [16 8 4 0 -4 -8 -2 6]; (78)
Calcule su espectro de magnitud y fase contra frecuencias. Obtenga los valores
de los componentes reales e imaginarios del espectro obtenido para cada una de
las muestras.
2) Se tiene una señal electrocardiográfica llamada ecg1, almacenada en un fichero
“signal1.mat” que ha sido digitalizada con una frecuencia de muestreo (fs) de 500 Hz y
ANEXOS
que contiene 2048 muestras sobre un rango de amplitud de 0 a 10 mV, así el valor
1024 corresponde a 5 mV.
a) Si se sabe que su nivel de corriente directa, o valor promedio, es elevado,
elimínelo y calcule analítica y gráficamente el espectro del latido que se halla entre las
muestras 501 y 1012.
b) Determine el ancho de banda (en Hz) en que se concentra la mayor energía
del espectro; es decir, la gama de frecuencias de la señal ECG utilizada, que no
debe alterarse si se elimina el ruido que la acompaña. El ancho de banda
representa el intervalo de frecuencias límites para las cuales la magnitud de su
espectro tiene un valor de 0.707 veces su valor máximo.
c) Obtenga la señal en el tiempo a partir del espectro obtenido en el inciso a y
compárela con la señal original.
d) Calcule la energía de la señal electrocardiográfica a partir de la secue ncia en el
tiempo y a partir de su espectro, utilizando el Teorema de Parseval:
, (79) (Morales, 2011).
Compare los resultados obtenidos.
Trabajo Independiente:
Genere un pulso rectangular con 16 muestras de amplitud 0.5 y duración 128 muestras,
de forma tal que las muestras diferentes de cero queden en la zona central del pulso.
Auxíliese de la función square. Obtenga el espectro de magnitud contra frecuencias del
pulso generado a través de la DFT.
Título: Aplicaciones de la función transferencial desde la transformada de Laplace, Z y
Fourier.
Objetivo general: Resolver ejercicios de análisis de filtros de procesamiento digital de
señales y circuitos eléctricos, empleando las transformadas de Laplace, Z y Fourier.
ANEXOS
Tarea preliminar:
¿Qué es una ecuación en diferencias finitas (EDF)?
¿Cómo obtener la función transferencial de un sistema a partir de su EDF?
¿Cómo obtener la respuesta impulsiva de un sistema a partir de su función
transferencial?
Sea un sistema de procesamiento digital de señales descrito por la función
transferencial: H (z)= (z-0.5)/ (z2-1) (80).
a) Obtenga su respuesta impulsiva.
b) Calcule su respuesta de frecuencia H (e jw ) y su función transferencial analógica
H(s). Grafique aproximadamente sus respuestas de magnitud y fase contra
frecuencias.
c) Calcule la ecuación en diferencias finitas del sistema.
Introducción:
Sea un sistema definido por el siguiente esquema:
x(t)→sistema h(t)→ y(t) (James, 1993).
al cual cuando se le aplica una señal en el dominio del tiempo x (t)(señal de entrada del
sistema) se obtiene una señal en el dominio del tiempo y (t)(señal de salida del
sistema), se define como función transferencial del sistema a la razón entre la
Transformada (Laplace, Z, Fourier) de y (t) y la Transformada (Laplace, Z, Fourier) de x
(t), es decir:T [y (t)]/ T [x (t)]=T [h (t)], donde T representa la transformada, h (t)
representa la respuesta al impulso del sistema y T [h (t)], su función transferencial
(James, 1993).
La respuesta al impulso h (t) representa la respuesta de salida de un sistema cuando
su señal de entrada es un impulso unitario, δ (t), es decir si x (t)= δ (t) entonces
y (t)=h (t).
ANEXOS
Los comandos de programación que se emplean para la solución de los siguientes
ejercicios son:
Tabla 10. Comandos de programación de la guía de laboratorio de Aplicaciones de la
función transferencial desde la transformada de Laplace, Z y Fourier.
Comando Significado
[H, w]= freqz (b, a, n,
'whole');
Obtiene H (ejw ) a partir de H (z). Devuelve n valores de
en la variable H, siendo w valores discretos; b y a son
vectores que contienen los coeficientes de los términos
de H(z), ordenados en potencias negativas de z de
manera decreciente, para los polinomios del numerador
y denominador respectivamente.
abs (h); Valor absoluto de h.
angle (h) Calcula la fase de h en radianes, en el intervalo - .
grpdelay (b, a, n) Obtiene n valores del retardo de grupo de un filtro
digital a partir del conocimiento de los vectores a y b de
la función transferencial.
stem (x) Traza la secuencia discreta x en forma de espiga.
semilogx (y) Grafica la función y=f(x) con el eje de abscisas en
escala logarítmica.
grid Adiciona rejilla al gráfico.
fftshift Desplaza el espectro de la respuesta de frecuencia a w
+π.
[z, p, k]= tf2zp (b, a) Descompone la función de transferencia en
subsistemas de menor orden calculando para cada uno
sus ceros, polos y factor de escala agrupados en los
ANEXOS
vectores z, p y k, respectivamente.
zplane Obtiene el diagrama de polos y ceros en el plano z.
y= filter (x, h) Implementa un filtro digital unidimensional. Obtiene una
función y (t) a partir de la convolución en el tiempo de
una función x (t) y la respuesta impulsiva de un sistema,
h (t).
impz (b, a) Obtiene la respuesta al impulso de un filtro digital a
partir de los coeficientes contenidos en a y b de una
función transferencial.
H= freqs ( bk, aj, w) Obtiene la función transferencial H(s) a partir del
conocimiento de los coeficientes contenidos en bk y aj
de un filtro caracterizado por su H(z ), con respecto a la
frecuencia angular w en rad/s.
ilaplace (H) Calcula la transformada de Laplace inversa de H.
impulse (b, a) Calcula la respuesta impulsiva de un sistema lineal, a
partir de los coeficientes contenidos en b y a de su
función transferencial.
loglog (y) Plotea la función y=f(x) con respecto a x con escala
logarítmica.
conv (x, h) Calcula la convolución entre x y h.
impinvar (b, a, fs) Calcula los coeficientes de la función de sistema H (z) a
partir de los coeficientes b, a de H(s) para la frecuencia
de muestreo fs.
Técnica operatoria:
Función de sistema
Se define la función de sistema a H (z)= Y (z)/ X (z) donde H (z)= Z h (t).
Una función racional H (z) se define por:
ANEXOS
H (z)= , (81) (Scheifer, 2009).
Donde:
K: factor de escala y representa la ganancia del circuito.
aj y bk: coeficientes de la forma polinomial de H (z).
zk: k-ésima raíz del numerador.
zj: j-ésima raíz del denominador.
M y N: orden del numerador y denominador, respectivamente (Morales, 2009).
Los filtros digitales se caracterizan por su función de sistema H (z). Se denomina un
filtro digital a todo sistema de procesamiento digital de señales que modifique el
espectro de la señal que por él se transmite. Diseñar un fi ltro digital consiste en obtener
los coeficientes de los términos de H (z). De acuerdo a las características de su
respuesta de frecuencia, los filtros digitales pueden ser paso bajo, paso alto,
pasabanda y supresor de banda y según la duración de su respuesta impulsiva se
clasifican en (Morales, 2011):
Sistemas IIR, si h (n) es de duración infinita, donde su H (z) tiene polos.
Sistemas FIR, si h (n) es de duración finita, donde su H (z) no tiene polos.
Conocida la función transferencial de un filtro o red circuital se puede determinar si el
sistema es estable o no. Una red es estable si habiendo sido desviada de su estado de
equilibrio por una perturbación que posteriormente desaparece, dicha red tiende, con el
transcurso del tiempo, a retornar a su estado de equilibrio original. Si inicialmente la
respuesta de una red es f0, como se muestra en la figura siguiente, pero debido a una
cierta perturbación la misma es desviada un valor f0-∆f0. Si la red es estable tiene que
ocurrir que, una vez desaparecida la perturbación, la respuesta tienda a formar, con el
transcurso del tiempo nuevamente su valor original. Lo anterior implica que:
(82)
ANEXOS
Figura 14. Respuesta f (t) de una red estable en el tiempo (Moreno, 2010).
Por lo tanto, un sistema es estable cuando a todo estímulo acotado corresponde una
respuesta también acotada (Moreno, 2010).
1) Dada la función de sistema de un filtro paso bajo:
(83)
Con región de convergencia, ROC: z > 0.8883 y frecuencia de muestreo, fs = 500
Hz.
a) Determine su respuesta impulsiva de manera analítica y gráficamente y analice
a partir de ella la estabilidad del sistema, tiempo de establecimiento o tiempo para el
cual la amplitud de la respuesta impulsiva es inferior al 1% de su valor máximo y tipo de
amortiguamiento. Realice el análisis para las primeras 60 muestras.
b) Determine analítica y gráficamente la respuesta al escalón del sistema.
c) Obtenga su diagrama de polos y ceros y de acuerdo a su posición analice si el
sistema es real y estable. Exprese los ceros y polos en forma binómica y polar.
d) Obtenga la respuesta de salida del sistema cuando se le aplica la señal
electrocardiográfica e1010954, almacenada en el fichero “signal1.m”.
Respuesta de frecuencias
La respuesta de frecuencia H (ejw ) se obtiene en el dominio de la frecuencia, aplicando
Transformada de Fourier y se expresa como el cociente entre la Transformada de
Fourier de la señal de salida con respecto a la Transformada de Fourier de la señal de
entrada aplicada al sistema: H (ejw )= Y (e jw )/ X (ejw ), con H (ejw )=TF [h (t)]. Para el
análisis espectral o frecuencial de filtros digitales se emplea la Transformada de Fourier
ANEXOS
de Tiempo Discreto (DTFT). El análisis frecuencial de un sistema consiste en
determinar su respuesta de frecuencias, la cual indica cómo se afecta cada
componente espectral de cualquier secuencia que sea procesada por el sistema. La
conforman usualmente tres respuestas (Morales, 2011):
Respuesta de magnitud contra frecuencias, I H (e jw ) I, que indica cómo se
modifica la amplitud de cada componente espectral y representa la ganancia del
sistema, cuán mayor es la amplitud de la señal de salida con respecto a la señal de
entrada.
Respuesta de fase contra frecuencias, que indica el retardo de fase que recibe
cada componente espectral.
Respuesta de demora de grupo contra frecuencias, que indica el retardo en el
tiempo que recibe cada componente espectral.
2) Un filtro digital paso bajo está descrito por la siguiente función de sistema:
(84)
Con ROC: z > 0.8883 y frecuencia de muestreo fs = 500 Hz.
a) Obtenga analíticamente la respuesta de frecuencia.
b) Grafique su respuesta de magnitud y respuesta de fase con respecto a la
frecuencia. Analice el carácter dispersivo del sistema de acuerdo a la información
obtenida de su respuesta de fase contra frecuencias.
c) Obtenga analítica y gráficamente la demora de grupo del filtro.
d) Obtenga su respuesta al impulso a partir de la respuesta de frecuencia obtenida.
¿A qué se debe que su h (t) tenga un tiempo de establecimiento tan prolongado?
e) Obtenga la respuesta al escalón del sistema y la respuesta de salida del sistema
cuando se le aplica la señal electrocardiográfica e1010954. Esta señal ha sido
ANEXOS
digitalizada con una frecuencia de muestreo (fs) de 500 Hz y contiene 2048 muestras
sobre un rango de amplitud de 0 a 10 mV, así el valor 1024 corresponde a 5 mV.
Función transferencial analógica
Si se necesita hacer un análisis en el tiempo continuo es necesario trabajar con la
función transferencial analógica H(s)= L [h (t)]. A partir de la función de sistema de un
filtro digital se puede obtener la versión analógica del mismo sistema si se necesita
trabajar con señales analógicas.
La función transferencial analógica o función de red describe la relación matemática
entre un parámetro de salida y uno de entrada en una red circuital, donde s= σ + jw,
representa la frecuencia compleja, que describe una función sinusoidal que varía
exponencialmente. La parte real de s está asociada con la variación exponencial: si es
positiva, la función aumenta conforme el tiempo t aumenta; si es negativa, la función
decrece; y si es igual a cero, la amplitud de la sinusoide es constante. Mientras mayor
sea la magnitud de la parte real de s, mayor será la rapidez del aumento o disminución
exponencial. La parte imaginaria de s describe la variación sinusoidal; específicamente
representa la frecuencia angular. Una magnitud grande de la parte imaginaria de s
indica una variación más rápida respecto al tiempo (Moreno, 2010).
En una red, sin condiciones iniciales, si se aplica un único estímulo f1 (t) se obtiene una
respuesta f2 (t) tal como se muestra en la figura 14 a) siguiente. Si se construye la red
operacional equivalente, como aparece en la figura 14 b), las expresiones del estímulo
y la respuesta son F1(s) y F2(s).
Figura 15. Función de red con función de entrada f1 (t) y función de salida f2 (t) en a y
en el dominio de la frecuencia compleja s en b (Moreno, 2010).
ANEXOS
Se define función de red a la relación respuesta-estímulo, es decir:
H (s)= F2 (s)/ F1 (s), (85) (Moreno, 2010)
de donde F2 (s)= H (s)*F1 (s) , (86) (Moreno, 2010).
Dado que la entrada y la salida pueden ser un voltaje o una corriente en cualquier parte
del circuito, existen diferentes posibles funciones de transferencia, por ejemplo
(Moreno, 2010):
H (s)= V2 (s)/ V1 (s), ganancia de voltaje. (87)
H (s)= I2 (s)/ I1 (s), ganancia de corriente. (88)
H (s)= V1(s)/ I1 (s), impedancia de entrada. (89)
H (s) = I2 (s)/ I2 (s), impedancia de salida. (90)
Existe una relación entre las funciones en el tiempo y los diagramas de polos y ceros.
En la tabla siguiente se muestran varias funciones y su diagrama de polos y ceros.
Analizando esta tabla se sacan las siguientes conclusiones (Moreno, 2010):
Los polos en el semiplano izquierdo (SPI) corresponden a funciones que
decrecen con el tiempo.
Los polos en el semiplano derecho (SPD) corresponden a funciones que crecen
con el tiempo.
Los polos en el eje real están asociados con funciones exponenciales, que son
decrecientes, si el polo está en el SPI o crecientes, si el polo está en el SPD.
Los polos complejos conjugados están asociados con sinusoides cuya amplitud
varía de forma exponencial, la sinusoide es creciente si los polos están en el
SPD y decreciente si los polos están en el SPI.
Un polo simple en el origen corresponde con una función constante en el tiempo.
Polos imaginarios conjugados corresponden a ondas sinusoidales de amplitud
constante.
ANEXOS
Tabla 11. Relación entre la función y su diagrama de polos y ceros (Moreno,
2010).
En un sistema estable la función H(s) puede tener polos únicamente en el SPI según se
muestra en la figura siguiente.
ANEXOS
Figura 16. Ubicación de los polos de H(s) para que la red sea estable (Moreno, 2010).
Como la función de red H(s) no depende del estímulo particular aplicado, la estabilidad
es una propiedad del circuito en dependencia de los parámetros y la topología de la red
en cuestión (Moreno, 2010).
3) Sea una red circuital caracterizada por su función transferencial H (s),
descrita por los coeficientes de la función de sistema del ejercicio anterior, grafique sus
respuestas de magnitud y fase contra frecuencias.
4) En el siguiente circuito, la relación entre los voltajes v1 (t) y v2 (t) está
dada por la siguiente función transferencial en el dominio de la frecuencia compleja s:
H (s)= V2 (s)/ V1 (s)= s2/(s+1)(s+2). (91)
a) Analice la estabilidad del circuito a partir del diagrama de polos y ceros. Diga si
el sistema es estable.
b) Si v1 (t)= 10 u (t) V, calcule v2 (t). Represente v2 (t) y la respuesta impulsiva h
(t).
c) Si V2 (s)= 20/ (s+2), calcule v2 (t).
d) Obtenga la versión digital de la función transferencial analógica, H (z). Analice su
estabilidad de acuerdo a su diagrama de polos y ceros. Utilice una frecuencia de
muestreo fs= 500 Hz.
ANEXOS
Figura 17. Circuito RLC serie con señal de entrada v1(t) (Moreno, 2010).
Trabajo independiente:
Sea un filtro digital con fs= 8 kHz (frecuencia de muestreo) dado por la siguiente
función de sistema:
H (z)= -0.1302-0.599z-1-1.0415z-2-0.7812z-3-0.1302z-4+0.1302z-5+0.052z-6 (92)
a) Trace su respuesta de magnitud contra frecuencia.
b) Estime la frecuencia de corte del filtro, fc, en unidades de Hz.
c) Una convención para determinar la desviación de la banda de paso, P, es tomar
como P el 90% de la ganancia nominal en la banda de paso (-0.915 dB). Determine el
valor de P y de fp en la respuesta de magnitud de H (z).
d) Para definir la frecuencia de esquina de la banda de rechazo, fr, se usa aquella
en la cual la ganancia cae al 10% de su valor nominal en la banda de paso (-20 dB).
Determine el valor de R y de fr.
e) Construya el filtro de potencia complementaria al anteriormente diseñado, es decir, si
la Transformada de Fourier de H (z) es H (e jw ), encuentre el filtro de potencia
complementaria H1 (z), cuya Transformada de Fourier es H1 (e jw ), y que satisface que
H (ejw ) 2+IH1 (e jw ) 2=1.Compruebe trazando simultáneamente en la misma gráfica las
dos respuestas de magnitud cuadrática.