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CATEDRA 04

METODOS NUMERICOS

Ingeniería CivilING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Departamento académico de ingeniería de minas y civil

Solución�de�Ecuaciones�No�Lineales

Capitulo IV

Ecuaciones Algebraicas No Lineales

ING.�CRISTIAN�CASTRO�P.

MÉTODOS NUMÉRICOS

RAÍCES DE ECUACIONES

DEFINICIÓN

ECUACIONES ALGEBRAICAS• Solución de una ecuación algebraica de primer grado

es solución de:

• Solución de una ecuación algebraica de segundo grado

es solución de:

• Solución de una ecuación trascendente

es solución de:

BÚSQUEDA DE UNA RAÍZ

BÚSQUEDA DE VARIAS RAÍCES

RAÍCES DE POLINOMIOS

EJEMPLOS DE APLICACIÓN EN INGENIERÍA

RAÍCES DE ECUACIONES

SUMILLA:ECUACIONES ALGEBRAICAS NO LINEALES - Consideraciones generales - Solución de ecuaciones no lineales - Separación de raíces - Métodos para ecuaciones con una sola variable: - Método de búsqueda incremental, - Iteración de punto fijo, - Método de bisección, - Método del Regula-Falsi, - Método de Newton-Raphson, - Método de la secante, - Criterios de convergencia - Condicionamiento - Raíces de polinomios - Deflación - Algoritmos.

Ecuaciones Algebraicas

Lineales No lineales

IntervalHalving(o bisection)

SuccesiveSubstitution(o fixed-point)

FalsePosition(o regula falsi)

NewtonRaphson

Wegstein

Broyden

MetodosAnaliticos

MetodosNumericos

Secant

Ridder

Brent

Muller

Dogleg stepHook step

Para problemas multidimensionales

Homotopy

Métodos Numéricos para Ecuaciones con una sola Variable

MÉTODOS PARA ECUACIONES CON UNA SOLA VARIABLE Los métodos descritos en esta sección están orientados a la solución deecuaciones que contienen una sola variable. Se supondrá que la ecuación por resolver está escrita en la forma: 0xf

La raíz de la ecuación es un valor de “x” que satisface la ecuación; por lotanto, los métodos para resolver la ecuación se denominan métodos para encontrar raíces. CONTENIDO• Antecedentes• Método para ecuaciones con una sola variable• Métodos de búsqueda incremental• Método de iteración de punto fijo• Método de bisección• Método de Newton-Raphson• Método de secante• Método de Muller

Antecedentes• La finalidad principal de las matemáticas aplicadas es determinar los

valores de x que cumplan con f(x) = 0. A estos valores se denominaraíces o ceros de la ecuación

• Para polinomios de 1er. a 3er. orden existen fórmulas que permitenlograr el objetivo antes dicho, sin embargo para grados superiores lasituación se complica

• Para la resolución de las expresiones no lineales (ENL) no es posibleresolverlas salvo por aproximaciones sucesivas.

• Se presentarán a continuación procedimientos para encontrar raíces, algunos válidos para cualquier ecuación y otros sólo para polinomios

• Una de las razones para mostrar alternativas es poder responder a lapregunta principal del análisis numérico: cuál de los procedimientosdisponibles puede alcanzar un nivel de deseado de exactitud lo másrápido posible, mayor certeza y con menos problemas para empezar

• Sistemas algebraicos no lineales por computadora son de especialayuda par obtener raíces de ecuaciones por simple inspección

ObjetivoSea f(x) una función no lineal en x. Hallar el valor de x, x*, tal que se cumple f(x*)=0.x* se suele denominar el cero o raíz de f(x)

x* se puede determinar por medios analíticos (solución exacta) o por medios numéricos (solución aproximada)

La elección del método numérico depende del problema a resolver (estructura del problema, tipo de ecuaciones, precisión requerida, rápidez del cálculo,....).

Por tanto no existe un mejor método universalmente aplicable.

Ecuaciones algebraicas no lineales

Métodos acotados (bracketing methods) Métodos abiertos (open methods)

Tipos de métodos


Métodos acotados

� La raíz está situada en un intervalo (necesita dospuntos). Acaba convergiendo dentro de unatolerancia.

Métodos abiertos

� Sólo emplean un punto inicial (o dos puntos que notienen por qué contener a la raíz) y una fórmula paraencontrar la raíz. No siempre convergen, perocuando lo hacen son mucho más rápidos que losmétodos acotados.

Métodos acotados vs. Métodos abiertos


Métodos abiertos•Emplean una aproximación funcional para obtener el nuevo valor estimado de la raíz (línea recta, cuadrática, polinomio)

•Métodos:

•Punto-fijo (sustitución sucesiva o directa)

•Newton-Raphson (línea recta empleando información del gradiente)

•Secante (línea recta empleando dos puntos)

•Muller (aprox. cuadrática empleando tres puntos)

Convergence Rate

Number of iterationsR

elat

ive

Erro

rs

False-position method

Bisection method

10

1


Similaridades:•Ambos métodos necesitan DOS valores iniciales

•Requieren un procedimiento para determinar el cambio de signo.

•Acaban convergiendo a la raíz con cierta tolerancia

Diferencias:•El cálculo del nuevo punto estimado se hace con diferentes estrategias

•En general el método de la posición falsa converge más rápido que el de la bisección.

Comparación entre ambos métodos.

PRECAUCIONES EN EL USODE MÉTODOS CERRADOS

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0)x(f).x(f si

3 raíces (o 5, o 7 o …)

hay una raíz

hay un número impar de raíces


xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0)x(f).x(f si

3 raíces (1 simple y 1 doble)

hay una raíz

hay un número impar de raíces


xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0)x(f).x(f si

2 raíces (o 4, o 6 o …)

no hay raíz

hay un número par de raíces


xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

0)x(f).x(f si

1 raíz doble

no hay raíz

hay un número par de raíces


• Los métodos cerrados siempre convergen,aunque lentamente.

• En la mayoría de los problemas el método dela regla falsa converge más rápido que el debisección.

• Conviene utilizar la calculadora graficadorao una computadora para graficar la funcióny realizar acercamientos necesarios hastatener claridad sobre su comportamiento.

Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería

Análisis Numérico de Ecuaciones No

Lineales

TemarioMétodos cerrados:

Métodos gráficos

Método de bisección

Método de la posición falsa

Métodos abiertos:

Iteración simple de punto fijo

Método de Newton-Raphson

Método de la secante

Raíces de polinomios:

Método de Müller

Método de Bairstow

MÉTODO GRÁFICOf(x)

x

Visual

xr

MÉTODO GRÁFICOx f(x)0 1

0.05 0.901229420.1 0.804837420.15 0.710707980.2 0.618730750.25 0.528800780.3 0.440818220.35 0.354688090.4 0.270320050.45 0.187628150.5 0.106530660.55 0.026949810.6 -0.051188360.65 -0.127954220.7 -0.20341470.75 -0.277633450.8 -0.350671040.85 -0.422585070.9 -0.493430340.95 -0.56325898

1 -0.63212056-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

0.57

xe)x(f x

FUNDAMENTOS CONCEPTUALES:

• Manejar adecuadamente las DEFINICIONES de:

• LÍMITE, CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES.

• SUCESIONES CONVERGENTES Y DIVERGENTES.• INTEGRAL DE RIEMANN.• SERIES DE TAYLOR Y DE MaCLAURIN.• TEORÍA DE ERRORES Y TÉCNICAS DE REDONDEO.

• Ejemplificar los siguientes TEOREMAS:

• EL QUE RELACIONA LA DIFERENCIABILIDAD Y LA CONTINUIDAD

• DE ROLLE• DEL VALOR MEDIO • DEL VALOR INTERMEDIO

Teorema de ROLLE

Teorema de ROLLE Generalizado

Teorema del Valor Medio

Teorema del VALOR INTERMEDIO


Método de la Búsqueda Incremental

MÉTODO DE BÚSQUEDA INCREMENTAL Este método es el análogo numérico de la determinación de una raíz de una ecuación al graficar f(x) contra “x” con el propósito de observar el punto en que f(x) cruza el eje “x”.

ALGORITMO: Método de Búsqueda Incremental 1) Un contador i se iguala a cero, se elige un valor inicial x0, se elige un

incremento h y se calcula un valor de referencia f0 igula a f(x0). 2) i se incrementa en 1, xi se iguala a (x0+ih) y se calcula f(xi).

3) Si 00 ixff , se regresa al paso 2; en caso contrario, se continúa con el paso 4.

4) Se calcula la raíz “x” a partir de hxfxfxfhxx iiii

Método de Búsqueda Incremental

Ejercicio de Aplicación Desviación de una viga en voladizo Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La vigase extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). Ladesviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ en el punto (x=αL) está relacionada con δmax mediante:

0/364 max234 f

Aplicar el método de búsqueda incremental para resolver la ecuación para elvalor de al que max es igual a 0.75.

Solución: A partir del problema físico, se espera que para α entre 0 y 1 exista una solución y que esté más proxima a 1 que a 0. Por consiguiente, se elige unvalor inicial α0 igual a 1 y se usa un incremeno negativo h = -0.05.

Búsqueda con 10 , 75.00 f y 05.0h



Método de Aproximaciones

Sucesivas

MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO También denominado método de aproximaciones sucesivas, requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x). El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurra convergencia, la derivada (dg/dx) debe ser menor que 1 en magnitud. La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad ε. ALGORITMO: Método de Iteración de Punto Fijo 1) Se conjetura un valor inicial x0 y se elige un parámetro de convergencia

. 2) Se calcula un valor mejorado mejoradox a partir de 0xgxmejorado

3) Si 0xxmejorado , x0 se iguala a mejoradox y se vuelve al paso 2; en

caso contrario, mejoradox es la raíz aproximada.

Método de Aproximaciones Sucesivas

Un punto fijo de una función g(x) es un número p tal que g(x) = p.

Dado un problema f(x) = 0, se puede definir una función g(x) con un punto fijo en p de diferentes maneras.

Por ejemplo g(x) = x – f(x).


Si g C[a, b] y g(x) C[a, b] para toda x C[a, b], entonces g tiene un punto fijo en [a, b].

Si además g’(x) existe en (a, b) y una constante positiva k<1 existe con

|g’(x)| <= k, pata toda x (a, b),

Entonces el punto fijo en [a, b] es único.

Teorema

y = g(x)

y

a b

a

b

p

p=g(p)

x

y = x

Si g C[a, b] y g(x) C[a, b] para toda x C[a, b], además supongamos que existe g’(x) en (a, b) y una constante positiva k<1 cuando

|g’(x)| <= k, pata toda x (a, b),

Entonces, para cualquier punto p0 en [a, b] la sucesión definida por

pn = g(pn–1), n >=1

Converge en el único punto fijo p en [a, b].

Gráfica del algoritmo de punto fijo

y = g(x)

y

x

y = x

p0

p1= g(p0)

p3 p2p1

p2= g(p1)p3= g(p2)

y = g(x)

y

x

y = x

p0

p1= g(p0)

p2p1

p2= g(p1)

p3= g(p2)


Casos de no convergencia

y = g(x)

y

x

y = x

y = g(x)

y

x

y = x



Ejercicio de Aplicación Desviación de una viga en voladizo Una viga voladiza horizontal se somete a una carga vertical uniforme. La vigase extiende desde su extremo fijo (x=0) hasta su extremo libre (x=L). Ladesviación máxima δmax se produce en (X=L). La desviación δ en el punto (x=αL) está relacionada con δmax mediante:

0/364 max234 f

Aplicar el método de aproximaciones sucesivas para resolver la ecuación para el valor de al que max es igual a 0.75. Empezar con 75.00 y usar el

criterio 50 10 xxmejorado para indicar la convergencia.

Solución:

La ecuación se reescribe como 6/4/3 43max g

Luego, 0 gmejorado

La sucesión de valores mejorado se tabula para números de iteraciones

denotadas por i.

i 0 mejorado i 0 mejorado

1 0.750000 0.776863 9 0.811333 0.811682 2 0.776863 0.791745 10 0.811682 0.811889 3 0.791745 0.800240 11 0.811889 0.812011 4 0.800240 0.805166 12 0.812011 0.812084 5 0.805166 0.808048 13 0.812084 0.812127 6 0.808048 0.809743 14 0.812127 0.812152 7 0.809743 0.810742 15 0.812152 0.812167 8 0.810742 0.811333 16 0.812168 0.812176

El último valor calculado de mejorado es la raíz estimada: 812176.0



Método de Punto Fijo


Raiz

xxx x

y

y= g(x)

y= x

02 1

xx xx x

y

y= g(x)

y= x

0 23 1

Sustitución sucesiva Problema f(x)=0

1. Transformar a x=g(x)

2. Seleccionar un punto inicial x0

3. Calcular nuevo valor xi+1=g(xi)

4. Repetir hasta llegar a la tolerancia requerida

Si:

|g’(x)|<1 El algoritmo converge linealmente

|g’(x)|>=1 El algoritmo diverge

MÉTODO DEL PUNTO FIJO

1. Considera la descomposición de la función f(x) enuna diferencia de dos funciones: una primera g(x)y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.

2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, esdecir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.

3. El punto de intersección de las dos funciones, daentonces el valor exacto de la raíz.

4. El método consiste en considerar un valor inicialx0, como aproximación a la raíz, evaluar el valorde esta función g(x0), considerando éste comosegunda aproximación de la raíz.

5. El proceso se repite n veces hasta que g(x)coincideprácticamente con x.

MÉTODO DEL PUNTO FIJOf(x)

x


x

x)x(g)x(f

MÉTODO DEL PUNTO FIJO• La fórmula de recurrencia para el método del punto

fijo se obtiene de considerar una función que elresultado de sumar la función f con la funciónidentidad:

g(x) f(x) xf(x) g(x) xf(x) 0 g(x) x 0

g(x) x

g(x) f(x) xf(x) g(x) xf(x) 0 g(x) x 0

g(x) x


xxr

x

g(x)

f(x)


xxr

Las funciones x y g(x) se cortanexactamente en la raíz xr

x

g(x)

f(x)


xx0 x1

g(x0)

10 x)x(g


xx0 x3 x2 x1

Requisito para convergencia

1)x('g


• Sólo hay convergencia si la magnitud de la pendiente de g(x) es menor que la pendiente de la recta f(x) = x.• La ecuación de recurrencia es:

• Si x* es el verdadero valor de la raíz:

• Y por el teorema del valor medio:

• Si , los errores disminuyen en cada iteración• Si , los errores crecen en cada iteración

i 1 ix g(x )

* *x g(x )* *

i 1 ix x g(x ) g(x ) * *

i ig(x ) g(x ) (x x )g'( ) *

i 1 i 1*

i i

x x Eg'( )x x E

g'(x) 1

g'(x) 1


solución monótonasolución oscilante

Convergencia

Divergencia

g'(x)

g'(x)


Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143

xe)x(f x

iteración Xi f(Xi) g(Xi) e(%) e*(%)1 0 1 1 100.00

2 1 -0.63212056 0.36787944 76.32 100.00

3 0.36787944 0.32432119 0.69220063 35.13 171.83

4 0.69220063 -0.19172713 0.5004735 22.05 46.85

5 0.5004735 0.10577003 0.60624354 11.76 38.31

6 0.60624354 -0.06084775 0.54539579 6.89 17.45

7 0.54539579 0.03421655 0.57961234 3.83 11.16

8 0.57961234 -0.01949687 0.56011546 2.20 5.90

9 0.56011546 0.01102765 0.57114312 1.24 3.48

10 0.57114312 -0.00626377 0.56487935 0.71 1.93

11 0.56487935 0.00354938 0.56842873 0.40 1.11

12 0.56842873 -0.00201399 0.56641473 0.23 0.62

13 0.56641473 0.0011419 0.56755664 0.13 0.36

14 0.56755664 -0.00064773 0.56690891 0.07 0.20

15 0.56690891 0.00036732 0.56727623 0.04 0.11

16 0.56727623 -0.00020833 0.5670679 0.02 0.06

17 0.5670679 0.00011815 0.56718605 0.01 0.04


Método de Bisección

Métodos acotadosBase: Una función cambia de signo en la proximidad de una raíz

•Una raíz está acotada en el intervalo [a,b] si el signo de f(a) es diferente al signo de f(b)

a b

f(x)

xMid-point

Next estimate of Bisection

Bisection Method

f(a)

f(b)

[a,b]

[nuevo punto]

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero

2. Calcula el punto medio como nuevo punto

3. Comprueba si hay cambio de signo en [a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a)*f(p).

4. Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.

Algoritmo

Método de la bisección (o intervalo medio)


MÉTODO DE BISECCIÓN El método de bisección también se denomina método de bipartición del intervalo porque la estrategia es bisectar o separar a la mitad el intervalo dexa y xb y luego retener el semiintervalo cuyos extremos siguen acotando laraíz. Este se clasifica como un método de acotamiento. Es aplicable a ecuaciones dela forma f(x) = 0 cuando es posible encontrar dos valores limitantes xa y xbtales que la función f(x) cambia de signo una vez para valores x en el intervalo ba xxx . Por consiguiente, los valores limitantes acotan la raíz.

El requisito de que la función cambie de signo sólo una vez constituye una manera de detrminar cuál semiintervalo retener. • Este método se basa en encontrar una raíz de (x)=0 empezando con dos

valores que encierran o ponen entre corchetes a la raíz • Nos damos cuenta que una función está entre corchetes cuando cambia

de signo en sus puntos extremos. La función tiene que ser continua • Se concibe como un método de búsqueda binaria en donde se va buscando

la raíz en subintervalos de intervalos



(xa)0

(x)

Intervalo original (0)

raíz

x

(xb)0,1

(xa)1,2

(xb)2

(xm)0

(xm)1

Después de la bisección (1)

Se trata de encontrar los ceros de

f(x) = 0

Donde f es una función continua en [a,b] con f(a) y f(b) con signos diferentes.

y = f(x)

x

y

a

b

f(b)

f(a)


De acuerdo con el teorema del valor medio, existe p [a,b] tal que f(p) = 0.

El método consiste en dividir a la mitad el intervalo y localizar la mitad que contiene a p.

El procesos se repite hasta la lograr la precisión deseada.

y = f(x)

x

y

a

b

f(b)

f(a)

p1=(a+b)/2

f(p1)

p

Mitad del intervalo que contiene a p

Primera iteración del algoritmo


MÉTODO DE BISECCIÓNf(x)

x

• Consiste en considerar un intervalo (xi,xs) en el que se garantice que la funcióntiene raíz.

MÉTODO DE BISECCIÓN

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tieneraíz.

• El segmento se bisecta, tomando el puntode bisección xr como aproximación de laraíz buscada.


xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

•Consiste en considerar un intervalo (xi, xs)en el que se garantice que la función tieneraíz.

•El segmento se bisecta, tomando el puntode bisección xr como aproximación de laraíz buscada.

•Se identifica luego en cuál de los dosintervalos está la raíz.


xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

rxx =i


• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en elque se garantice que la función tiene raíz.

• El segmento se bisecta, tomando como el punto debisección xr como aproximación de la raíz buscada

• Se identifica luego en cuál de los dos intervalosestá la raíz.

• El proceso se repite n veces, hasta que el punto debisección xr coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.


xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)

f(xr)

ALGORITMO: Método de Bisección 1) Se eligen los valores limitantes ax y bx (con )ab xx

2) Se calcula aa xff o bb xff

3) Se calcula el punto medio del intervalo 2/bam xxx y se calcula mm xff

4) Se usa (i) o (ii), dependiendo de si fa o fb está disponible a partir del paso (2); i) Si 0ma ff , recolocar ax en mx ;

En caso contrario, recolocar bx en mx

ii) Si 0mb ff , recolocar bx en mx ;

En caso contrario, recolocar ax en mx

5) Si ab xx es suficientemente pequeño; es decir, menor o igual que alguna pequeña cantidad prescrita , continuar con el paso (6); en caso contrario, volver al paso (3).

6) Usar interpolacion lineal para estimar la raíz x a partir de una de las dos expresiones:

abaaba xfxfxfxxxx

O bien abbabb xfxfxfxxxx


Ejercicio de Aplicación Determinación del Número de Mach Crítico El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre lavelocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aireacelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es elNúmero de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza lavelocidad del sonido. El coeficiente de presión mínimo Cp sobre una superficie aerodinámica sedefine de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, laexpresión para Cp es:

2

5.32

7.014.24.02

MMC p

Para una superficie aerodinámica se pueden efectuar pruebas preliminares abajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes.Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo Cpi se obtiene para flujo incompresible y se relacionará con Cp mediante la relación de Karman-Tsien:

1222 112/1

MCMMCC pipip

Para determinar M, la expresión para Cp se sustituye en la relación de Karman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolveres:

0112/17.014.24.02122225.32

MCMMCMMMf pipi

Aplicando el método de bisección, resolver la ecuación cuando Cpi = -0.383. Usar los valores límite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y detener las bisecciones cuando (Mb-Ma) se vuelve menor o igual que 0.01

Bisección aM bM mM i mMf

1 0.18000 0.98000 0.58000 2.44757 2 0.58000 0.98000 0.78000 -0.15476 3 0.58000 0.78000 0.68000 0.79287 4 0.68000 0.78000 0.73000 0.12313 5 0.73000 0.78000 0.75500 -0.19607 6 0.73000 0.75500 0.74250 -0.03705 7 0.73000 0.74250 0.73625 0.04284

Después de la bisección, 73625.0aM y 74250.0bM ; así 01.0 MaMbInterpolando se produce la solución estimada:

73960.0M , en donde 5103062.4 xMf



Iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xr f(Xr) e(%) e*(%)1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84

2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33

3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00

4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11

5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26

6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70

7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37

8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69

9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34

10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17

11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09

12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04

13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02

14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01


xe)x(f x

MÉTODO DE BISECCIÓN 0.5

0.75

0.625

0.5625

0.59375

0.578125

0.56640625

0.5703125

0.567143…

0 1

xe)x(f x


Método de la Falsa Posición

a b

f(x)

xIntersection point

Next estimate of False-position

False-Position Method

f(a)

f(b)

[nuevo punto]

[a,b]

1. Selecciona un intervalo [a,b] donde halla un cero

2. Calcula un punto intersección como nuevo punto

3. Comprueba si hay cambio de signo en [a,p] o en [p,b]. Comprobación: f(a)*f(p).

4. Si el producto es cero, entonces p es una raíz. Si no es cero volver al punto 2.

Algoritmo

( ) ( ) ( )[ ])( ) ( )

f a f b f b a bm bm a m b f a f b

-= Þ = -- - -

MÉTODO DE LA FALSA POSICIÓN El método de la falsa posición se puede entender como un intento por mejorar las características de convergencia del método de bisección. Se comienza con valores limitantes xa y xb tales que f(x) cambia de signo sólo una vez en el intervalo de xa a xb. Por interpolación lineal se encuentra una raíz aproximada entre xa a xb que sirve como valor intermedio xintermedio. El nuevo intervalo que contiene la raíz comprende ahora de xa a xintermedio o de xintermedio a xb. El razonamiento para determinar que intervalo se retiene es le mismo que para el método de bisección.

Método de la Falsa Posición (Regula Falsi)

(xa)0

(x)

Intervalo original (0)

raíz

x

(xb)0,1,2

(xa)1

(xa)2

(xint)0

(xint)1

Después de la iteración (1)


MÉTODO DE LA REGLA FALSAf(x)

x

• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la función tiene raíz.

MÉTODO DE LA REGLA FALSA

xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)


• Se traza una recta que une los puntos(xi, f(xi)), (xs, f(xs))


xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)


• Se traza una recta que une los puntos(xi, f(xi)), (xs, f(xs))

• Se obtiene el punto de intersección de estarecta con el eje de las abscisas: (xr, 0); setoma xr como aprox. de la raíz buscada.


xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)f(xr)

• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el quese garantice que la función tiene raíz.

• Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)),(xs, f(xs)) y se obtiene el punto de intersección deesta recta con el eje de las abscisas: (xr, 0); se tomaxr como aproximación de la raíz buscada.

• Se identifica luego en cuál de los dos intervalos estála raíz.


xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)f(xr)

rxx =s


• Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en elque se garantice que la función tiene raíz.

• Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)),(xs, f(xs))

• Se obtiene el punto de intersección de esta rectacon el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr comoaproximación de la raíz buscada.

• Se identifica luego en cuál de los dos intervalosestá la raíz.

• El proceso se repite n veces, hasta que el punto deintersección xr coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.


xi xsxr

f(x)

x

f(xi)

f(xs)f(xr)

)x(f)x(f

)xx)(x(fxx

si

sissr -

--=


xi xs

f(x)

x

f(xi)

f(xs)


f(x)

x

Caso de convergencia lenta

MÉTODO DE LA REGLA FALSA• La fórmula de recurrencia para el método de la regla

falsa se obtiene de comparar dos triángulos semejantes:

si

r i r s

r s i r i s

r i s i r s i s

r i r s s i i s

r i s s i i s

s i i sr

i s

f(x )f(x )x x x x(x x )f(x ) (x x )f(x )x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )x [f(x ) f(x )] x f(x ) x f(x )

x f(x ) x f(x )xf(x ) f(x )

ALGORITMO: Método de la Falsa Posición 1) Se eligen los valores limitantes ax y bx (con )ab xx

2) Se calcula aa xff o bb xff y un contador i se coloca en cero

3) EL contador i se incrementa en 1 y se calcula el punto ermedioxint a partir de una de las dos expresiones:

abaabaermedio xfxfxfxxxx int

O bien abbabbermedio xfxfxfxxxx int

4) Se calcula ermedioermedio xff intint

5) Dependiendo de si fa o fb está disponible a partir del paso (2), se usa i o iii) Si 0int ermedioa ff , ax se recoloca en ermedioxint ;

En caso contrario, bx se recoloca en ermedioxint

ii) Si 0int ermediob ff , bx se recoloca en ermedioxint ;

En caso contrario, ax se recoloca en ermedioxint

6) Si ermedioxf int es suficientemente pequeño; es decir, menor o igual quealguna pequeña cantidad prescrita , o si f alcanza un límite de iteración N, ermedioxint se considera como la raíz aproximada; en caso contrario,volver al paso (3).

Ejercicio de Aplicación Determinación del Número de Mach Crítico El Número de Mach se refiere al cociente de la velocidad de un avión entre lavelocidad del sonido. Los aviones subsónicos experimentan flujo de aireacelerado sobre la superficie de las alas. El Número de Mach crítico es elNúmero de Mach de vuelo al que el flujo en algún punto del ala alcanza lavelocidad del sonido. El coeficiente de presión mínimo Cp sobre una superficie aerodinámica sedefine de modo que sea negativo y corresponda a la máxima velocidad del flujo sobre la superficie aerodinámica. Al número de Mach crítico M, laexpresión para Cp es:

2

5.32

7.014.24.02

MMC p

Para una superficie aerodinámica se pueden efectuar pruebas preliminares abajas velocidades, cuando los efectos de la compresibilidad son insignificantes.Se supondrá que el coeficiente de presión mínimo Cpi se obtiene para flujo incompresible y se relacionará con Cp mediante la relación de Karman-Tsien:

1222 112/1

MCMMCC pipip

Para determinar M, la expresión para Cp se sustituye en la relación de Karman-Tsien y con la ecuación resultante se evalúa M. La ecuación a resolveres:

0112/17.014.24.02122225.32

MCMMCMMMf pipi

Aplicando el método de falsa posición, resolver la ecuación cuando Cpi=-0.383. Usar los valores límite (Ma=0.18) y (Mb=0.98), y terminar las iteraciones cuando ermedioMf int se vuelve menor o igual que 10-2.

Iteración aM bM intM i intMf

1 0.18000 0.98000 0.74306 -0.04414 2 0.18000 0.74306 0.74258 -0.03804 3 0.18000 0.74258 0.74217 -0.03278 4 0.18000 0.74217 0.74181 -0.02825 5 0.18000 0.74181 0.74151 -0.02435 6 0.18000 0.74151 0.74124 -0.02099 7 0.18000 0.74124 0.74101 -0.01809 8 0.18000 0.74101 0.74082 -0.01560 9 0.18000 0.74082 0.74065 -0.01345

La raíz estimada es:

74065.0M , en donde 01345.0Mf




xe)x(f x

iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xr f(Xr) e(%) e*(%)1 0 1 1 -0.63212056 0.61269984 -0.07081395 8.03

2 0 0.61269984 1 -0.07081395 0.30634992 0.42977907 45.98 100.00

3 0.30634992 0.61269984 0.42977907 -0.07081395 0.45952488 0.17205878 18.98 33.33

4 0.45952488 0.61269984 0.17205878 -0.07081395 0.53611236 0.04890582 5.47 14.29

5 0.53611236 0.61269984 0.04890582 -0.07081395 0.5744061 -0.01136694 1.28 6.67

6 0.53611236 0.5744061 0.04890582 -0.01136694 0.55525923 0.01866424 2.1 3.45

7 0.55525923 0.5744061 0.01866424 -0.01136694 0.56483266 0.0036226 0.41 1.69

8 0.56483266 0.5744061 0.0036226 -0.01136694 0.56961938 -0.00387865 0.44 0.84

9 0.56483266 0.56961938 0.0036226 -0.00387865 0.56722602 -0.00012965 0.01 0.42

10 0.56483266 0.56722602 0.0036226 -0.00012965 0.56602934 0.00174607 0.2 0.21

11 0.56602934 0.56722602 0.00174607 -0.00012965 0.56662768 0.00080811 0.09 0.11

12 0.56662768 0.56722602 0.00080811 -0.00012965 0.56692685 0.0003392 0.04 0.05

13 0.56692685 0.56722602 0.0003392 -0.00012965 0.56707644 0.00010477 0.01 0.03

14 0.56707644 0.56722602 0.00010477 -0.00012965 0.56715123 -1.244E-05 0 0.01

MÉTODO DE LA REGLA FALSA MODIFICADO

• Las funciones con curvatura significativa hacenque el método de la regla falsa converja muylentamente.

• Esto se debe a que con interpolación lineal, unode los valores extremos se queda estancado.

• Para tales casos, se ha encontrado un remedio:el método de la regla falsa modificado, quereduce a la mitad el valor de la función en elpunto extremo que se repita dos veces, con loque la convergencia se acelera significativamente

MÉTODO DE LA REGLA FALSA MODIFICADO

f(x)

x

f(xi)

f(xi)/2

f(xi)/4


Newton Raphson

Problema g(x)=0

1. Seleccionar un punto inicial x0

2. Calcular g(xi) y g’(xi)

3. Aplicar la tangente en ese punto y en el corte con el eje de abcisas tenemos el nuevo punto estimado


xi+1=xi-g(xi)g’(xi)

xx xx 02 1

g(x)y

•Necesita conocer la derivada de la función

•Convergencia cuadrática (rápida)

•Puede no converger (depende de la función y de la estimación inicial)

El Método de Newton-Raphson

0 00 1 0

0 1 0

12 1

1

( ) ( )tan '( ) , '( )

Se continua el calculo al estimar( )'( )

f x f xf x x xx x f x

f xx xf x

x0-x1

x1 x0

(x0)

• Es lejos uno de los métodos más usados para resolver ecuaciones• Se basa en una aproximación lineal de la función, aunqueaplicando una tangente a la curva

• A partir de una estimación inicial x0 se efectúa un desplazamientoa lo largo de la tangente hacia su intersección con el eje x, y setoma ésta como la siguiente aproximación

Algoritmo

• Este algoritmo al menos en la vecindad converge más rápido que cualquiera de los antes vistos

• Al ser un método cuadráticamente convergente el resultado neto es queel número de cifras decimales de exactitud casi se duplica en cadaiteración

• Tiene como inconveniente la necesidad de dos evaluaciones funcionalesen cada paso, (xn) y ’(xn) y encontrar la derivada de la función

• El método de Newton se relaciona con la interpolación por la Secante ya que cociente de las diferencias es una aproximación de la derivada

• El método de Newton funciona con raíces complejas si se proporciona unvalor de este tipo para el valor inicial

0 0

0 0

1 0

0 0 0 0

0 1 0

Se calculan ( ) '( )IF ( ( ) 0) AND ( '( ) 0) RepeatSe Hace Se Hace ( ) / '( )Until ( valor de tolerancia 1) OR ( ( ) valor de tolerancia 2) End IFEND

f x y f xf x f x

x xx x f x f x

x x f x

Para determinar una raíz de (x)=0dado un valor de x0 razonablementepróximo a la raíz


f (xn)Pendiente = f ’ (xn)

xnxn+1

La ecuación de la recta tangente es:

y – f(xn) = f ’ (xn)(x – xn)

Cuando y = 0, x = xn+1 o sea

0 – f(xn) = f ’ (xn)(xn+1– xn)

o

x xf xf xn n

n

n 1

( )'( )

f(x)


EjemploDeterminar la raíz de la siguiente función (x)=3x + sen x – ex=0

Después de 3 iteraciones la raíz es correcta hasta con 7 dígitos significativos

0

01 0

0

12 1

14

23 2

2

( ) 3 ,'( ) 3 cos

0( ) 1.00.0 0.33333;'( ) 3.0( ) 0.0684180.33333 0.36017;'( ) 2.54934

( ) 6.279 *100.36017 0.3604217;'( ) 2.50226

x

x

f x x senx ef x x e

xf xx xf xf xx xf x

f xx xf x


MÉTODO DE NEWTON RAPHSONf(x)

x

• Consiste en elegir un punto inicialcualquiera x1 como aproximación de laraíz.

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

x1

f(x)

x

f(x1)

• Consiste en elegir un punto inicial cualquierax1 como aproximación de la raíz y obtener elvalor de la función por ese punto.

• Trazar una recta tangente a la función porese punto.


x1

f(x)

x

f(x1)

x2

• Consiste en elegir un punto inicial cualquierax1 como aproximación de la raíz.

• Obtener el valor de la función por ese punto ytrazar una recta tangente a la función porese punto.

• El punto de intersección de esta recta con eleje de las abscisas (xr, 0), constituye unasegunda aproximación de la raíz.


x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)


• Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1como aproximación de la raíz.

• Obtener el valor de la función por ese punto y trazaruna recta tangente a la función por ese punto.

• El punto de intersección de esta recta con el eje delas abscisas (xr, 0), constituye una segunda aproximación de la raíz.

• El proceso se repite n veces hasta que el punto deintersección xn coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.


x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)

i+1xf'(xi)

xi f(xi)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON• El método de Newton Raphson se puede deducir

a partir de la interpretación geométrica quesupone que el punto donde la tangente cruza aleje x es una interpretación mejorada de la raíz.

i 1 ii

i 1 i

ii

i 1 i

ii 1 i

i

ii 1 i

i

f(x ) f(x )f '(x )x x

0 f(x )f '(x )x x

f(x )x xf '(x )

f(x )x xf '(x )

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON• En realidad, el método de Newton Raphson, que supone la

obtención de la raíz de f(x), se obtiene a partir de su desarrolloen serie de Taylor, la cual se puede escribir:

donde, al despreciar el residuo R2, la serie de Taylor truncadaa dos términos, queda:

Y realizando manipulaciones algebraicas:

i+1 i i i+1 i 2f(x ) = f(x ) + f '(x )(x - x ) + R

i i i+1 i0 = f(x ) + f '(x )(x - x )

ii 1 i

i

f(x )x xf '(x )


x1

f(x)

x

f(x1)

x2

f(x2)

f(x3)

x3

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON• En ocasiones resulta difícil o imposible obtener la primera

derivada de la función. En tal caso, se puede hacer unaaproximación suficientemente buena de su valor en xi, pordiferencias finitas hacia delante:

o por diferencias finitas hacia atrás:

con h = 0.001, por ejemplo.• Si la función no tiene singularidades en la vecindad de la raíz

, ambas aproximaciones por diferencias funcionan bien.

i ii

f(x ) f(x h)f '(x )h

i ii

f(x h) f(x )f '(x )h


• El método de Newton Raphson converge muy rápi-

damente, pues el error es proporcional al cuadrado

del error anterior:

• La velocidad de convergencia cuadrática se explica

teóricamente por la expansión en serie de Taylor,

con la expresión:

• El número de cifras significativas de precisión se

duplica aproximadamente en cada iteración

i 1 2E R


Derivada Función Recurrencia Xr = 0.567143

xe)x(f x

iteración Xi f(Xi) f'(Xi) e(%) e*(%)

1 0 1 -2 100.00

2 0.5 0.10653066 -1.60653066 11.84 100.00

3 0.566311003 0.00130451 -1.567615513 0.15 11.71

4 0.567143165 1.9648E-07 -1.567143362 0.00 0.15

5 0.56714329 4.4409E-15 -1.56714329 0.00 0.00


f(x)

x

La velocidad de convergencia es muy sensible al valor inicial elegido

lento

rápido

Newton-Raphson

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONAunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.

xx3 x1

x2x0

f(x)

MÉTODO DE NEWTON RAPHSONAunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.

xx1x2x0

f(x)

x3x4

Desventajas

x0x1

x2 x

f(x)

x0 x1x2 x

f(x)

x0

x1

x

f(x)

raíz cerca de punto de inflexiónmínimo local

varias raíces

x

f(x)

la iteración en un mínimo

x0 x1

Desventajas


Método de la Secante


xxx xx023 1

g(x)y

Problema g(x)=0

1. Seleccionar dos puntos iniciales x0,x1

2. Calcular la recta que pasa por esos puntos

3. El corte con el eje de abcisas da el nuevo punto estimado. Volver a calcular la recta.


xi+1=xi-xi+1-xi

g (xi+1)-g (xi)g (xi+1)

Secante

•No Necesita conocer la derivada de la función (la aproxima).

•Necesita dos puntos iniciales.

•Puede no converger.

El Método de la secante

(x1)

x2

(x0)

x1 x0

Raíz

0 11 2

1 0 1

0 12 1 1

0 1

( )( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

x xx xf x f x f x

x xx x f xf x f x

• Se supone que (x) eslineal en la vecindad de laraíz

• Se eligen puntos próximosa ésta y se traza una línearecta

• Si bien es cierto (x) no eslineal y x2 no es igual a laraíz debe estar muypróxima. Mejoresestimaciones se lograniterando y reemplazando losvalores xo y x1

AlgoritmoPara determinar una raíz de (x)=0 dados dos valores, x0 y x1 próximos a la solución

0 1

0 1

2 1 1 0 1 1

0 1

1 2

2

( ) ( )Intercambiar .RepeatSea ( )*( )/[ ( ) ( )].Sea .Sea .Until ( ) valor de tolerancia End IFEND

o

IF f x f xx con x

x x f x x x f x f xx xx x

f x

MÉTODO DE LA SECANTE

• Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0,x1 para los cuales se evalúan los valores de la función

f(x0) = f(x1)• Se traza una recta secante a la función por esos dos

puntos.• El punto de intersección de esta recta con el eje de

las abscisas (x2, 0) constituye una segunda aprox.de la raíz.

• El proceso se repite n veces hasta que el punto deintersección xn coincide prácticamente con el valorexacto de la raíz.

Secante

Una de las formas de obtener la fórmula recursiva esencial para el método de la Secante, es reemplazar por una expresión aproximadamente equivalente, en:

Para ello, basta considerar la expresión matemática de la Así:

Si |xi - xi-1| <<< 0, se puede escribir:

Sustituyendo 2 en 1, se obtiene:

1

1)()()('1

ii

ii

xxi xxxfxflímxf

ii

1

1)()()('

ii

iii xx

xfxfxf

)()(

)(1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

N-R modificado o Método de la Secante

MÉTODO DE LA SECANTE1. Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para

los cuales se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)

2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.

3. El punto de intersección de esta recta con el eje de abscisas

(x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.

4. Se reemplazan los subíndices: xi = xi+1, de manera que x1

pasa a ser x0 y x2 pasa a ser x1.

5. Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0, x1,

obteniendo una segunda aproximación con x2.

6. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersec-

ción x2 coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.

MÉTODO DE LA SECANTEf(x)

x


x0 x1

f(x)

x

f(x0)

f(x1)


x0 x1

f(x)

x

f(x0)

f(x1)

x2

f(x2)

i i 1 i 1 ii 1

i 1 i

x f(x ) x f(x )xf(x ) f(x )


x0 x1

f(x)

x

f(x0)

f(x1)

x2

f(x2)x0 x1

f(x0)f(x1)


x0

f(x)

x

f(x0)

x1

f(x1)x2

MÉTODO DE LAS SECANTES

x0

f(x)

x

f(x0)

x1

f(x1)x2

f(x2)


Derivada Función Recurrencia Xr = 0.567143

xe)x(f x

iteración X0 X1 f(X0) f(X1) X2 f(X2) e(%) e*(%)

1 0 0.4 1 0.27032005 0.54818554 0.02981207 3.34

2 0.4 0.54818554 0.27032005 0.02981207 0.56655382 0.00092388 0.1 3.24

3 0.54818554 0.56655382 0.02981207 0.00092388 0.56714126 3.1783E-06 0 0.10

4 0.56655382 0.56714126 0.00092388 3.1783E-06 0.56714329 3.3904E-10 0 0.00

COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS ESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS

0.01

0.10

1.00

10.00

100.00

1000.00

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

iteraciones

Erro

r rel

ativ

o es

timad

o po

rcen

tual

Bisección Regla falsa Punto fijo Newton-Raphson Secante

xe)x(f x

COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS ESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS

• Los métodos de bisección, de regla falsa y de punto fijo convergenlinealmente al valor verdadero de la raíz.• El error relativo verdadero es proporcional y menor que el error

correspondiente de la iteración anterior.• En bisección y regla falsa, la convergencia está garantizada.• En punto fijo, la convergencia depende de que la pendiente de la

tangente no sobrepase el 1, en positivo o en negativo.

• Los métodos de Newton Raphson y de la secante convergencuadráticamente al valor verdadero de la raíz.• El error relativo verdadero es proporcional al cuadrado del error

correspondiente de la iteración anterior.• Cuando el error relativo en una iteración es menor que 1 (inferior

al 100%), la convergencia está garantizada.• Cuando el error relativo en una iteración es mayor que 1, la

divergencia está garantizada.


Ejercicios Aplicativos en MATLAB

EjemploFunción de ejemplo

Archivo: eqn_w3.m

function y = eqn_w3(x)y = sqrt(x^2 + 1) - tan(x);

)tan(12 xx

>> bisec_n('eqn_w3',0,1.3)f_name = eqn_w3Método de bisección:

It. a b c fa=f(a) fc=f(c) abs(fc-fa) 1 0.000000, 0.650000 1.300000, 1.000000, -1.9619810 2.962e+0002 0.650000, 0.975000 1.300000, 0.432482, -1.9619810 2.394e+0003 0.650000, 0.812500 0.975000, 0.432482, -0.0783150 5.108e-0014 0.812500, 0.893750 0.975000, 0.232743, -0.0783150 3.111e-0015 0.893750, 0.934375 0.975000, 0.097080, -0.0783150 1.754e-0016 0.934375, 0.954688 0.975000, 0.015409, -0.0783150 9.372e-0027 0.934375, 0.944531 0.954688, 0.015409, -0.0297840 4.519e-0028 0.934375, 0.939453 0.944531, 0.015409, -0.0067920 2.220e-0029 0.939453, 0.941992 0.944531, 0.004405, -0.0067920 1.120e-002

10 0.939453, 0.940723 0.941992, 0.004405, -0.0011690 5.574e-00311 0.940723, 0.941357 0.941992, 0.001624, -0.0011690 2.793e-00312 0.941357, 0.941675 0.941992, 0.000229, -0.0011690 1.398e-00313 0.941357, 0.941516 0.941675, 0.000229, -0.0004700 6.987e-00414 0.941357, 0.941437 0.941516, 0.000229, -0.0001200 3.492e-00415 0.941437, 0.941476 0.941516, 0.000054, -0.0001200 1.746e-00416 0.941437, 0.941457 0.941476, 0.000054, -0.0000330 8.731e-00517 0.941457, 0.941467 0.941476, 0.000011, -0.0000330 4.366e-00518 0.941457, 0.941462 0.941467, 0.000011, -0.0000110 2.183e-00519 0.941457, 0.941459 0.941462, 0.000011, -0.0000000 1.091e-00520 0.941459, 0.941460 0.941462, 0.000005, -0.0000000 5.457e-00621 0.941460, 0.941461 0.941462, 0.000003, -0.0000000 2.729e-006

Se satisface la tolerancia. Resultado final: Raíz = 0.941461

EjemploSea la función: x3 + 4x2 –10 = 0 tiene una raíz en [1, 2]

Puede despejarse en:

a. x = g1(x) = x – x3 – 4x2 +10

b. x = g2(x) = ½(10 – x3)½

c. x = g3(x) = (10/(4 + x))½

d. x = g4(x) = x – (x3 + 4x2 – 10)/(3x2 + 8x)

Iteraciones de punto fijo(b)1.51.2869537671.4025408031.3454583741.3751702521.3600941921.3678469671.3638870031.3659167331.3648782171.3654100611.3651378201.3652772081.3652058501.3652423831.3652295781.3652300281.365230012

(c)1.51.3483997241.3673763711.3649570151.3652647481.3652255941.3652305751.3652299411.3652300221.3652300121.3652300131.365230013

(a)1 1.52 -0.8753 6.7324218754 -469.720012005 1.02754555E86 -1.084933870E247 1.277055591E728 -2.082712908E2169 NaN101112131415202530

(d)1.51.3733333331.365262014 1.3652300131.365230013

Funciones graficadas en MatLab

a) b)

c) d)

Programa en MATLAB%Objetivo: Encontrar una raíz de una función%Sintaxis: bisec_n('nombre_f', a, b)%nombre_f: el nombre de la función entre apóstrofos%a y b: extremos del intervalo inicial%Ejemplo: bisec_n ('eqn_w3', 0, 1.3)

function bisec_n(f_name, a, c)f_name% a, c : extremos del intervalo inicial% tolerance : tolerancia% it_limit : límite del número de iteraciones% Y_a, Y_c ; valores y de los extremos actuales% fun_f(x) ; valor funcional en xfprintf('Método de bisección:\n\n');tolerance = 0.000001; it_limit = 30;fprintf(' It. a b c fa=f(a) ');

fprintf(' fc=f(c) abs(fc-fa) \n');it = 0;Y_a = feval(f_name, a); Y_c = feval(f_name, c) ;if (Y_a * Y_c > 0)

fprintf('\n \n Detenido porque f(a)f(c) > O \n') ;elsewhile 1

it = it + 1;b = (a + c)/2; Y_b = feval(f_name, b) ;fprintf('%3.0f %10.6f, %10.6f', it, a, b) ;fprintf('%10.6f, %10.6f, %10.6f0', c, Y_a, Y_c) ;fprintf('%12.3e\n', abs((Y_c - Y_a))) ;if ( abs(c-a)/2<=tolerance )

fprintf('Se satisface la tolerancia. \n' );breakfprintf('\n Cambie a o b y ejecute otra vez.\n' );

endif ( it>it_limit )

fprintf('Se excedió límite de iteraciones.\n');break

endif ( Y_a*Y_b <= 0 ) c = b; Y_c = Y_b;else a = b; Y_a = Y_b;end

endfprintf('Resultado final: Raíz = %12.6f \n', b) ;

end


Problemas Propuestos de IC343

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I La profundidad normal “y” del flujo en un canal de sección parabólica abierto de ancho “T” está relacionada con el caudal “Q”, la pendiente del canal “S” y el coeficiente de fricción de Manning “n” mediante las ecuaciones:

2/13/21 SARn

Q 3/23/52/1

PASQn

Determinar “y” usando cualquier método de solución de ecuaciones no lineales para el conjunto de datos: Caudal (Q) 100.0 m3/s Coeficiente (n) 0.050 Pendiente (S) 0.0045 Espejo de agua (T) 16.00 m Foco (K) 8.00 m

16.00

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I

En el gráfico se muestra una sección típica de tipo “Baúl”, en la cual se desea determinar el tirante normal o calado “Y” que tiene para los datos mostrados en la tabla adjunta. Además es necesario hallar el gráfuco de la variación tirante (Y) vs. Caudal (Q), conocida como curva de descarga. Para determinar “Y” puede utilizar cualquier método para hallar raíces de ecuaciones no lineales.

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2003-I Imagine una pared de tabique con un espesor de 0.05 m. La temperatura en el lado interior dela pared T0 = 625 ºK, pero se desconoce la temperatura del lado exterior. La pérdida de calor de la superficie exterior se efectúa por convección y por radiación. La temperatura T1 está determinada por la ecuación:

0144

1011

fTThTTTTx

kTf

Donde: k : Conductividad térmica de la pared, 1.2 W/mºK : Emisividad, 0.8

0T : Temperatura del lado interior de la pared, 625ºK

1T : Temperatura del lado esterior de la pared, desconocida en ºK

T : Temperatura del entorno, 298 ºK

T : Temperatura del aire, 298 ºK h : Coeficiente de transferencia de calor, 20 W/m2ºK : Constante de Stefan-Boltzmann, 5.67x10-8 W/m2ºK4

x : Espesor de la pared, 0.05 m Determine 1T por cualquier método para hallar raíces de ecuaciones no lineales.

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2006-I El factor de fricción f para los flujos turbulentos en una tubería esta dado por:

fDe

f Re35.9log214.11

10

Llamada correlación de Colebrook. Donde: Re = Número de Reynolds e = aspereza de la superficie de la tubería D = diámetro de la tubería Aplicación.- Con base en los resultados de la expresión mostrada, se construye elDiagrama de Moody y que sirve para determinar f cuando se conoce el caudal. También sepuede construir el diagrama de Jonson-Rouse que sirve para determinar f cuando el caudal es desconocido. a) Escribir un procedimiento (pseudocódigo y/o diagrama de flujo) que resuelva la

ecuación para f, utilizando un método numérico apropiado. b) Evalúe f ejecutando el procedimiento previo para los siguientes casos:

D = 0.1 m e = 0.0025 m Re = 3 x 104 D = 0.1 m e = 0.0001 m Re = 5 x 106

A B

EXAMEN DE MÉTODOS NUMÉRICOS 2009-I ECUACIONES NO LINEALES – APLICACIONES A LA INGENIERÍA Consideremos el cable AB de la figura adjunta que muestra un cable de transmisión suspendido por acción de su peso; con una carga vertical distribuida con intensidad constante “γL” a lo largo del cable. La intensidad de carga “γL” se mide en unidades de fuerza por unidad de longitud. Un cable que cuelga bajo la acción de su propio peso soporta una carga de este tipo, y la curva que adopta corresponde a un coseno hiperbólico o catenaria. La solución de la catenaria para “c” es un resultado intermedio para calcular la tensión máxima ymínima en el cable y la longitud “s” del mismo.

1cosh

cxcy

Con un método numérico abierto y uno cerrado, calcular el valor de la constante “c” de tal forma que pueda determinar la longitud “s” del cable usando la expresión:

cxsenhcs

100 m

20 m

Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.1:

Una artesa de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio r (ver figuras). Cuando se llena con agua hasta una distancia h desde la parte superior, el volumen V de agua es:

V=L[0.5πr2 - r2 arcsen(h/r) – h(r2 –h2 )1/2]Suponga que L=10 pies, r=1 pie y que V=12.4 pies3. Encuentre la profundidad ( D ) del agua en la artesa dentro de 0.01 pie.

Tarea

D

TareaUn abrevadero de longitud L tiene una seccióntransversal en forma de semicírculo con radio r(véase la figura) Cuando se llena de agua hasta unadistancia h de la parte superior, el volumen V deagua es

V = L [ 0.5Πr2 – r2 arcsen(h/r) – h(r2 – h2)1/2 ]

Escriba un programa en MatLab amigable para elusuario que lea los datos de este problema yencuentre la profundidad h del abrevadero. Utiliceel método de bisección para encontrar la solución.

h

r

L

Volumen del abrevadero

rhsen

h

r

L

rh

2sectorarea r

rhsen 1

22

rhsenrr /

2sectorarea 122

2212 /2

triangularareasectorareaA hrhrhsenr

22

2alturabase2triangulararea hrh

2212 /

2hrhrhsenrLLAV

Texto: Análisis Numérico; Autor: R. Burden; Ejercicios 2.3:

Los problemas relacionados con la cantidad de dinerorequerida para pagar una hipoteca en un periodo fijo(n), involucran la fórmula:A = [1 – (1 + i )-n]*(p/i)

Donde:A = monto de hipoteca; p = cuota; i = tasa de interésSuponga que se necesita una hipoteca a 30 años parauna casa, por $75000 y que el deudor puede pagar a losumo $625 al mes. ¿Cuál es la tasa de interés máximaque el deudor puede pagar?

Tarea

TareaEl valor acumulado de una cuenta de ahorros puede calcularsecon la ecuación de anualidad vencidaA = P[(1 + i )n - 1 ] / i

En esta ecuación A es el monto de la cuenta, P es la cantidadque se deposita periódicamente e i es la tasa de interés porperiodo para los n periodos de depósito. A un ingeniero legustaría tener una cuenta de ahorros con un monto de$ 750,000 dólares al momento de retirarse dentro de 20 años,y puede depositar $ 1,500 dólares mensuales para lograr dichoobjetivo. ¿Cuál es la mínima tasa de interés a que puedeinvertirse ese dinero, suponiendo que es un interés compuestomensual?Escriba un programa en MatLab para este problema, elprograma deberá pedir todos los datos necesarios y utilizar elmétodo de Newton para calcular el interés a que debeinvertirse el dinero.

Sugerencia:

Para estimar el valor inicial de i podemosdesarrollar el binomio (1 + i)n para aproximarlo ala segunda potencia. El resultado es

Pnn

nPAi1

20

Se sugiere validar los datos de entrada. El capitala obtener debe ser mayor que el depósito por elnúmero de abonos, es decir

A > nP

TareaLa carga en un circuito RLC serie esta dada por

t

LR

LCeqtq LRt

2)2/(

0 21cos

Suponga

q0/q = 0.01, t = 0.05 s, L = 5H y C = 10-6 F.

Encuentre el valor de la Resistencia R usando elmétodo de Newton. Haga un programa en C paraeste problema.

Muchas Gracias

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