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Facultad de ciencias.

Grado en Físicas

Métodos Matemáticos I (Primera parte)

Curso 2016-2017

Juan Carlos Cabello Píñar

Departamento de Análisis Matemático

Índice general

1. Números complejos y topología en el campo complejo. 51.1. Los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1. El conjunto C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Representaciones de los números complejos. . . . . . . . . . . . 71.1.3. Fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4. Potencias y raices n-ésimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5. Relación de Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2. Topología en el campo complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1. Conceptos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2. Curvas y dominios en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3. Sucesiones de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.4. Plano complejo extendido. Sucesiones divergentes . . . . . . . . 171.2.5. Series de números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.6. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Funciones de variable compleja 212.1. Límites y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1. Funciones complejas de variable compleja . . . . . . . . . . . . 212.1.2. Límites y Funciones divergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.3. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.4. Propiedades de las funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . 242.1.5. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Funciones derivables. Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . 272.2.1. Concepto de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3. Funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.4. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Funciones elementales. Funciones multiformes . . . . . . . . . . . . . . 332.3.1. Función exponencial y Funciones trigonométricas . . . . . . . . 332.3.2. Funciones multiformes: Logaritmo y función potencial . . . . . . 352.3.3. Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.4. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4. Sucesiones de funciones. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.1. Tipos de convergencia. Condición de Cauchy. . . . . . . . . . . . 412.4.2. Convergencia y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

4 ÍNDICE GENERAL

2.4.3. Series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.5. Funciones definidas por series de potencias . . . . . . . . . . . . 462.4.6. Desarrollos en serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.7. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Teorema de Cauchy y aplicaciones 513.1. Integral a lo largo de una curva. Existencia de primitivas . . . . . . . . 51

3.1.1. Integral de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1.2. Integral a lo largo de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.3. Existencia de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.4. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.5. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. Fórmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.1. Fórmula de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2.2. Primeras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.3. Ceros de una función holomorfa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.4. Indice de una curva cerrada respecto de un punto. . . . . . . . 683.2.5. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Capítulo 1

Números complejos y topología en elcampo complejo.

1.1. Los números complejos

Sumario

Es sabido que el cuadrado de todo número real no nulo es positivo, por tanto no existennúmeros reales que satisfagan una ecuación tan sencilla como la ecuación x2 + 1 = 0. Se hacenecesario pues realizar una ampliación del conjunto de número reales, con objeto de encontrarlas soluciones de dicha ecuación. En este nuevo conjunto deberían encontrarse también lassoluciones de cualquier ecuación polinómica. Este tal conjunto, que introduciremos en estalección, recibe el nombre de Conjunto de los números complejos. El contenido completo deesta lección se articula de la siguiente manera:

1.1.1 El conjunto C.

1.1.2 Representaciones de los números complejos.

1.1.3 Fórmula de Euler.

1.1.4 Potencias y raices n-ésimas.

1.1.5 Relación de ejercicios.

1.1.1. El conjunto C

Consideremos el conjunto R2 = R× R dotado con las siguientes operaciones:

5

6 §1.1. Los números complejos

1. Suma:(x, y) + (t, s) = (x+ t, y + s),

Es claro que esta operación hereda las propiedades de la suma de números reales,a saber:

1.1 [(x, y)+(t, s)]+(u, v) = (x, y)+[(t, s)+(u, v)] ∀x, y, s, t, u, v ∈ R. (Propiedadasociativa)

1.2 (x, y) + (t, s) = (t, s) + (x, y) ∀x, y, s, t ∈ R. (Propiedad conmutativa)

1.3 (x, y) + (0, 0) = (x, y) ∀x, y ∈ R. (Elemento neutro)

1.4 (x, y) + (−x,−y) = (0, 0), ∀x, y ∈ R. (Elemento opuesto),

2. Producto

También en este conjunto se puede definir un producto mediante la siguienteexpresión:

(x, y) (t, s) = (xt− ys, xs+ yt).

Esta nueva operación verifica las siguientes propiedades:

2.1 [(x, y) (t, s)] (u, v) = (x, y) [(t, s) (u, v)] ∀x, y, s, t, u, v ∈ R. (Propiedadasociativa)

2.2 (x, y) (t, s) = (t, s) (x, y) ∀x, y, s, t ∈ R. (Propiedad conmutativa)

2.3 (1, 0) (x, y) = (x, y) ∀x, y ∈ R (Elemento unidad)

2.4 Para cada (x, y) 6= (0, 0), (t, s) = ( xx2+y2

, −yx2+y2

) es tal que (x, y)(t, s) = (1, 0).

Hay buena avenencia entre el producto y la suma:

(x, y)[(t, s))+(u, v)] = (x, y)(t, s)+(x, y)(u, v)) ∀x, y, s, t, u, v ∈ R (Propiedaddistributiva)

El hecho de que R2 cumpla las anteriores propiedades se expresa diciendo queel conjunto R2, dotado con las operaciones suma y producto arriba definidas, tieneestructura de cuerpo conmutativo. Al conjunto (R2,+, ) lo notaremos por C y lollamaremos plano complejo.

Contriaremente a lo que ocurre con el conjunto de los números reales (véase [1,Capítulo 1]), no se puede definir un orden en C que sea compatible con el productodefinido en él.

La identificación a 7−→ (a, 0) permite ver al conjunto R como un subconjunto delconjunto de los números complejos. En particular, 1 puede identificarse con la unidaddel producto los números complejos, (1,0). Nótese además que si r ∈ R y z = (x, y) ∈ C,entonces las anteriores identificaciones nos permiten ver que

r z = (r, 0) (x, y) = (rx, ry).

Análisis Matemático 7

Este caso particular del producto, nos permite definir el producto de un escalar( nú-mero real) por un número complejo que, como consecuencia de las propiedades vistasanteriormente, tiene las siguientes:

1. 1(x, y) = (x, y) ∀x, y ∈ R.

2. t[s(x, y)] = ts(x, y) ∀x, y, s, t ∈ R.

3. (s+ t)(x, y) = s(x, y) + t(x, y) ∀x, y, s, t ∈ R.

4. r[(x, y) + (t, s)] = r(x, y) + r(t, s) ∀x, y, s, t, r ∈ R.

El hecho de que el conjunto C esté dotado además con un producto por un escalarque verifica las propiedades señaladas, se subraya diciendo que C tiene estructura deálgebra conmutativa.

1.1.2. Representaciones de los números complejos.

Las anteriores observaciones junto con la representación del número complejo (0,1),denominado unidad imaginaria, por i ó por j, nos permiten reescribir cualquier nú-mero complejo z = (x, y) en forma binómica, esto es,

(x,y) = x(1,0) + y(0,1) = x + iy.

Sea z = x+ iy. El valor x recibe el nombre de parte real de z, x = Re(z). El valory recibe el nombre de parte imaginaria de z, y = Im(z).

Claramente dos números complejos z,w son iguales si, y sólo si, los son su parte realy su parte imaginaria.

Obsérvese que la expresión del producto antes definido, puede ser reconstruido siconsideramos una cierta propiedad distributiva en el producto de los dos binomios. Enefecto, sean z = x+ iy, w = s+ it,

(x, y) (s, t) = z w = (x+ iy)(s+ it) = xs− yt+ i(xt+ sy) = (xs− yt, xt+ sy).

Teniendo en cuenta esta observación a partir de ahora, cuando los números se ex-presen en forma polar, notaremos el producto por yuxtaposición

Sea z ∈ C. Llamamos conjugado de z, z, a un nuevo número complejo definido por

z = Re(z)− i Im(z).

Las siguientes propiedades son inmediatas:

Proposición 1.1.1. Sean z y w dos números complejos. Entonces


1. z + w = z + w.

2. zw = zw.

3. z = z.

4. Re(z) = z+z2, Im(z) = z−z

2i.

5. z = z si, y sólo si z ∈ R.

Conviene llamar la atención de que estas propiedades nos aseguran que las raícescomplejas, no reales, de un polinomio P (z) con coeficientes reales vienen apareadas,esto es, si z es tal que del polinomio P (z) = 0, también P (z) = 0.

Sea z ∈ C. Llamamos módulo de z, |z|, a un número real no negativo, definido por

|z| =√zz =

√(Re(z))2 + (Im(z))2.

En particular, si a ∈ R, entonces su módulo y su valor absoluto coinciden. Resumamosalgunas de las propiedades del módulo de un número complejo.

Proposición 1.1.2.Sean z, w ∈ C.

1. |z| = 0 si, y sólo si z = 0.

2. |z| = | − z| = |z|.

3. |zw| = |z||w|.

4. |z ± w|2 = |z|2 + |w|2 ± 2Re(zw).

5. |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2) (identidad del paralelogramo).

6. ||z| − |w|| ≤ |z + w| ≤ |z|+ |w|. (desigualdad triangular)

Notaremos porC∗ = z ∈ C; z 6= 0.

Sea z ∈ C∗. Se dice que un número real θ es un argumento de z, si se verifica que

z = |z|(cosθ + isenθ).

Conviene advertir que para cada z ∈ C∗ existen infinitos argumentos, concretamente,si notamos por Arg z a dicho conjunto y θ es un argumento de z, se tiene que

Arg z = θ + 2kπ; k ∈ Z.


Al único argumento, (véase [1, Teorema 5.47.(ix)]) θ ∈] − π, π], se le denominaargumento principal de z, se representa por arg z, y su expresión viene dada por

argz =

2arctg Imz

Rez+|z| siz /∈ R−0π si z ∈ R−

En efecto, si z = x+ iy con z /∈ R−0 entonces, puesto que ( x|z|)

2 +( y|z|)

2 = 1. En virtudde las propiedades del seno y del coseno (véase [1, Teorema 5.47.(ix)]), existe un únicoθ0 ∈]− π, π] tal que x

|z| = cos(θ0) y y|z| = sen(θ0). En particular, teniendo en cuenta las

propiedades de la tangente del ángulo mitad

tg(θ0

2) =

sen(θ0)

1 + cos(θ0)=

y|z|

1 + x|z|

=y

|z|+ x.

La expresión z = |z|(cos(θ) + i sen(θ)) suele conocerse como forma polar delnúmero complejo z y a la pareja (|z|, argz)| se le suele llamar coordenadas polaresde z.

1.1.3. Fórmula de Euler

Para cada z = x+ iy, definimos su exponencial compleja, ez, mediante la expresión

ez = ex(cos(y) + isen(y)). (1.1.1)

.La expresión (1.1.1), atribuida a Leonhard Euler, recibe el nombre de Fórmula de

Euler. Obsérvese que si tomamos z = iπ, obtenemos

eiπ = −1,

fórmula en la que aparecen todos los números relevantes del Cálculo.Veamos algunas de las propiedades que se derivan de la Fórmula de Euler.

Proposición 1.1.3. Para cada z, w ∈ C, se tiene que

1. ez = ez+2pπi, ∀p ∈ Z.

2. z = |z|eit con t ∈ Arg(z).

3. |ez| = eRez, Imz ∈ Arg(ez).

4. ez+w = ezew. En particular, (ez) = enz, ∀n ∈ N.

5. Para cada w ∈ C∗, se tiene que

w = ez ⇔ z = ln|w|+ iθ; θ ∈ Arg(w).


6. Dado R > 0, entoncesC∗ = ew; |w| > R.

Nótese que si z ∈ C∗ , entonces|z| = 1 si y sólo si existe t ∈ R tal que z = cos(t) + isen(t).

Además, como consecuencia de las propiedades (2) y (4), obtenemos otra importanteigualdad,

Corolario 1.1.4. (Fórmula de De Moivre)Para cada t ∈ R y para cada n ∈ N, se tiene que

(cos(t) + isen(t))n = cos(nt) + isen(nt). (1.1.2)

1.1.4. Potencias y raices n-ésimas.

Como primera consecuencia de la fórmula de De Moivre (1.1.2), obtenemos un mé-todo fácil para obtener la potencia n-ésima de un número complejo. De hecho, si z ∈ C,escribamoslo en forma polar, z = ρ(cos(θ) + isen(θ)) y apliquemos la fórmual anterior,para obtener

zn = ρn(cos(nθ) + isen(nθ)).

Nótese que en particular, para cada n ∈ N,

nArg(z) ⊆ Arg(zn). (1.1.3)

Sean ahora w ∈ C∗ y n ∈ N. Se dice que z ∈ C es una raíz n-ésima de w sizn = w. Representaremos por [w]

1n , al conjunto de de todas las raíces n-ésimas de w,

esto es,

[w]1n = z ∈ C; zn = w.

Proposición 1.1.5.Para cada w ∈ C∗, el conjunto [w]

1n tiene exactamente n elementos diferentes,

concretamente

[w]1n = zk; zk = |w|

1n

(cos(

arg(w) + 2kπ

n) + isen(

arg(w) + 2kπ

n)

), k = 0, 1, ..., n−1.

En particular, si w ∈ C∗, entonces

[w]12 = |w|

12 (cos(

arg(w)

2)+isen(

arg(w)

2)), |w|

12 (cos(

arg(w)

2+π)+isen(

arg(w)

2+π)) = z,−z,

con |z| = |w| 12 y arg(z) = arg(w)2

.Así,


[−1]12 = cosπ

2+ isen

π

2, cos

3π

2+ isen

3π

2 = i,−i.

Conviene pues decir que la búsqueda de soluciones para la ecuación

x2 + 1 = 0

puede darse por terminada, ya que como acabamos de ver, i y −i son las solucionesdicha ecuación.

1.1.5. Relación de Ejercicios

1. Pruébense las siguientes identidades entre números complejos:

a) |1− zw|2 − |z − w|2 = (1− |z|2)(1− |w|2)

b) |1 + zw|2 + |z − w|2 = (1 + |z|2)(1 + |w|2)

2. Estúdiese la validez de cada una de las desigualdades:

a) ||z| − |w|| ≤ |z − w|b) |z − w| ≤ |1− zw|

donde z, w son números complejos. Estúdiese también cuándo se da la igualdaden cada una de dichas desigualdades.

3. Resuélvanse las siguientes ecuaciones entre números complejos:

a) |z| − z = 1 + 2i ; b) |z|+ z = 2 + i.

4. Calcúlense los números complejos z, tales que 1+z1−z , es:

(i) Un número real; (ii) Un número imaginario puro.

5. Resuélvase la ecuación (1− z)n = zn, para todo n ∈ N.

6. Estúdiese para cada una de las igualdades siguientes si hay algún número complejoz ∈ C con |z| = 1 que la verifica:

(a) |z3 + z2 + 1| = 3 ; (b) |z4 − 2z − i| = 4 ; (c) |z6 + z3 + 2| = 4 + |4 + 4z2|.

7. Sea z = x+ iy ∈ C∗, demuéstrese que

arg(z) =

arctg( yx) si x > 0,

π2

si x = 0, y > 0

−π2

si x = 0, y < 0

arctg( yx) + π si x < 0, y ≥ 0

arctg( yx)− π si x < 0, y < 0.


8. Encuéntrese los vértices de un polígono regular de n lados si su centro se encuentraen el punto z = 0 y uno de sus vértices z1 es conocido.

9. Calcúlese las partes real e imaginaria de los números:

2

1− 3i; (1 + i

√3)6;

(1 + i

1− i

)5

; .

10. Si notamos por√z a la única raíz cuadrada, w, de z tal que Rew > 0 o bien

Rew = 0 e Im(w) > 0, estúdiense las igualdades

a)√αβ =

√α√β; b)

√α2 = α,

donde α y β son números complejos.

11. Resuélvase la ecuación cuadrática az2 + bz + c = 0, donde a, b, c, son númeroscomplejos conocidos y a 6= 0.

12. Resuélvase la ecuación (z − 1)n = (z + 1)n, donde z ∈ C y n ∈ N, n ≥ 2.

13. Calcúlese arg(zw) y arg(zw

)supuestos conocidos arg(z) y arg(w).

14. Simplifiquénse las expresiones:

a) 1 + cosϕ+ cos 2ϕ+ · · ·+ cosnϕ;

b) senϕ+ sen 2ϕ+ · · ·+ sennϕ

donde ϕ ∈ R y n ∈ N.Sugerencia: Si llamamos A a la primera suma y B a la segunda, calcúlese A+ iBhaciendo uso de la fórmula de De Moivre.

15. Dados dos números complejos α y β, calcúlese el mínimo valor para z ∈ C de lacantidad |z − α|2 + |z − β|2.Sugerencia: La igualdad del paralelogramo puede ser útil.

1.2. TOPOLOGÍA EN EL CAMPO COMPLEJO. 13

1.2. Topología en el campo complejo.

Sumario

En esta lección nos centramos en las consecuencias topológicas que se desprenden de laexistencia del módulo de un número complejo. Dichas consecuencias son indispensables parapoder hablar de convergencia, cercanía o lejanía de dos puntos, y por por ende para extenderlos conceptos de continuidad, derivación e integración, ya conocidos para funciones reales devariable real. El contenido completo de esta lección se articula de la siguiente manera:

1.2.1 Conceptos topológicos.

1.2.2 Curvas y dominios en el plano.

1.2.2 Convergencia de sucesiones de números complejos.

1.2.3 Plano complejo extendido. Sucesiones divergentes

1.2.4 Relación de Ejercicios.

1.2.1. Conceptos topológicos

Veamos que la existencia del módulo nos capacita para definir una ” distancia ”entre dos puntos del plano. Concretamente, para z, w ∈ C, definimos la distancia entreellos, por

dist(z, w) = |z − w| =√

(Re(z)−Re(w))2 + (Im(z)− Im(w))2.

A su vez ésto, nos permite considerar :

1. Conjuntos de C que hacen el mismo papel que los intervalos de R:

a) Disco abierto de centro a ∈ C y radio r ∈ R+

D(a, r) = z ∈ C; |z − a| < r.

b) Disco cerrado de centro a ∈ C y radio r ∈ R+

D(a, r) = z ∈ C; |z − a| ≤ r.

2. Conjuntos que juegan el papel de los extremos del intervalo:

Circunferencia de centro a ∈ C y radio r ∈ R+

C(a, r) = z ∈ C; |z − a| = r.

14 §1.2 Topología en el campo complejo.

3. Conjunto acotado

Dado un un subconjunto no vacío A de C, se dice que A es un conjuntoacotado si existe r ∈ R+ tal que

A ⊆ D(0, r).

Ejemplo:

Es claro que el conjunto B := z ∈ C; Rez ∈]0, 1[, Imz ∈ [0, 2]. está acotado,mientras que el eje real no lo está.

4. Punto de acumulación

Se dice que z0 ∈ C es un punto de acumulación de A, z0 ∈ A′, si tododisco ” punteado ” centrado en z0 intersecta al conjunto A, esto es

(D(z0, ε)\z0)⋂

A 6= 0, ∀ε > 0.

Notaremos por A′ al conjunto de puntos de acumulación de A. Escribiremos A =A ∪ A′.

Ejemplo: Nótese que i es un punto de acumulación del conjunto B antes consi-derado.

5. Punto interior

Se dice que z0 ∈ A es un punto interior de A, si existe r > 0 tal queD(z0, r) ⊆ A. Notaremos por A ó Aint al conjunto de puntos interiores de A.

Ejemplo: Es claro que (1/2, 1) ∈ B, de hecho, D((1/2, 1), 1/4) ⊆ B.

6. Conjunto abierto, entorno de un punto

Diremos que un conjunto A es abierto si A = A. Dado un punto z, se diceV es un entorno de z si V contiene un conjunto abierto A tal que z ∈ A ⊆ V.

Ejemplo: El conjunto C = z ∈ C; Rez ∈]0, 1[, Imz ∈]0, 2[ es abierto, mientrasque el conjunto B definido anteiormente no lo es.

Métodos Matemáticos I 15

7. Conjunto cerrado

Diremos que un conjunto A es cerrado si A′ ⊆ A.

Ejemplo: El conjunto D = z ∈ C; Rez ∈ [0, 1], Imz ∈ [0, 2] y el eje real sonconjuntos cerrados mientras que los conjuntos B y C anteriormente citados no loson.

8. Dado un conjunto A de C, llamaremos frontera de A, ∂(A), al conjunto (A ∪A′)\Aint.Ejemplo: El conjunto

∂(B) = ∂(C) = ∂(D) = z ∈ [0, 1]×[0, 2] : Re(z) = 0∪z ∈ [0, 1]×[0, 2] : Re(z) = 1

∪z ∈ [0, 1]× [0, 2] : Im(z) = 0 ∪ z ∈ [0, 1]× [0, 2] : Im(z) = 2.

9. Conjunto compacto

Diremos que un conjunto A es compacto si A es cerrado y acotado.

Ejemplo: El conjunto D anterior es un conjunto compacto, mientras que el ejereal no lo es.

1.2.2. Curvas y dominios en el plano

Una curva en C no es más que una función γ : [a, b] −→ C en la que Re γ yIm γ son dos funciones continuas en [a, b]. Escribiremos γ∗ = γ([a, b]). A menudo seidentifican γ con γ∗.

Dados dos puntos z, w del plano C es fácil encontrar una curva que los una, estoes, una curva γ tales que z, w ∈ γ∗ ⊆ D. En efecto la curva γ : [0, 1] → C definidapor γ(t) = (1 − t)z + tw. Tal curva es llamada segmento de extremos z y w y serepresenta por [z, w].

Sean γ : [a, b] −→ C y σ : [c, d] −→ C dos curvas tales que γ(b) = σ(c). Definimosla curva suma de ambas, γ + σ, por

γ + σ(t) =

γ(t) si t ∈ [a, b],

σ(t− b+ c) sit ∈ [b, b+ d− c].

Claramente (γ + σ)∗ = γ∗⋃σ∗.

Dados z1, z2, · · · , zn n puntos del plano C, se define la poligonal de verticesz1, z2, · · · , zn y la representaremos por [z1, z2, · · · , zn] a la curva [z1, z2] + [z2, z3] + · · ·+[zn−1, zn].

Un conjunto abierto no vacío D se dice que es un dominio si para cualesquiera dospuntos z y w del mismo existe una poligonal que los une sin salir de D, esto es, existe[z1, z2, · · · , zn] tal que z = z1, w = zn y [z1, z2, · · · , zn]∗ ⊆ D.

Los dominios tiene una interesante propiedad:


Proposición 1.2.1. (Lema de conexión)Sea D un dominio de C y sea A un subconjunto no vacío de D teniendo la siguiente

propiedad:[a ∈ A,D(a, r) ⊆ D]⇒ [D(a, r) ⊆ A]. (1.2.1)

Entonces D = A

1.2.3. Sucesiones de números complejos

Una sucesión de elementos de un cierto conjunto A no es más que una "listaordenada" de elementos de A o dicho de forma más rigurosa: una sucesión de elemen-tos de A es una aplicación f : N −→ A. Así, una sucesión de números complejosno es más que una aplicación f : N −→ C.

En lugar de escribir f(n) se suele escribir zn, mientras que la sucesión f suelenotarse por znn∈N ó simplemente zn. A zn se le denominará término n-ésimo dela sucesión znn∈N. Se dice que wn es una sucesión parcial de zn si existe unaaplicación σ : N→ N estrictamente creciente tal que, para cada n ∈ N, wn = zσ(n).

Diremos que una sucesión zn está acotada si existe un número existe un númeroreal positivo M tal que |zn| ≤M , para todo n ∈ N.

Diremos que una sucesión zn es convergente si existe un número complejo zverificando que:

"para cada disco centrado en z, existe un término de la sucesión, a partir del cual,todos los restantes términos están incluidos en dicho disco",

o escrito en lenguaje formal

∀ε > 0,∃N ∈ N, tal que para todo n ≥ N se verifica que |zn − z| < ε.

En tal caso z es único y se dice que el límite de la sucesión znn∈N ó que la sucesiónznn∈N converge a z, y suele notarse por

z = limnzn ó zn −→ z.Es fácil ver que toda sucesión convergente está acotada, sin embargo, sí existen

sucesiones acotadas, tal es el caso de la sucesión (1, 0, 1, 0, · · · ), que no son convergentes.

Usando la relación entre el módulo de un número complejo y sus partes real eimaginaria, es fácil probar que una sucesión de números complejos es convergente(resp. acotada) si, y sólo si las sucesiones de números reales asociadas Rezny Imzn son cnvergentes (resp. acotada), y en tal caso, es claro que

zn −→ x+ iy ⇔ Rezn −→ x e Imzn −→ y.

Este hecho, unido a las propiedades conocidas para las sucesiones reales convergentes(véase [1, Capítulo II]), nos proporciona el siguiente resultado


Proposición 1.2.2.

1.- Sean zn una sucesión de números complejos, z ∈ C y p ∈ N. Entonces lasucesión zn es convergente a z si, y sólo si, la sucesión zn+p converge tambiéna z

2.- La sucesión zn converge a cero, si y sólo si la sucesión |zn|converge a cero.

3.- Si zn y wn son dos sucesiones convergentes respectivamente a z y w, entoncesla sucesión

a) suma, esto es, la sucesión zn + wn converge a z + w.

b) producto, esto es, la sucesión znwn converge a zw.

c) cociente, esto es, la sucesión znwn, converge a z

wsiempre que w 6= 0 y

wn 6= 0, para todo n ∈ N.

4.- Toda sucesión parcial de una sucesión convergente zn converge al mismo límiteque la propia sucesión zn.

Usano también el hecho de toda sucesión de números reales acotada admite unaparcial convergente ((véase [1, Teorema 2.26])) podmos probar que

Teorema 1.2.3. (de Bolzano-Weierstrass)Toda sucesión acotada de números complejos admite una sucesión parcial conver-

gente.

Sean A un subconjunto no vacío de números complejos y z0 un punto de acumulaciónde A. Obsérvese que z0 es un punto de acumulación de un conjunto A,

"si existe una sucesión znn∈N de elementos de A, distintos de z0, y convergente alpropio z0,”

1.2.4. Plano complejo extendido. Sucesiones divergentes

En muchas ocasiones consideraremos el conjunto

C = C ∪ ∞,

dotado con una cierta topología Γ , que contiene a la topología usual de C y tal quela familia Uρ : ρ ∈ R+, donde Uρ = z ∈ C; |z| > ρ ∪ ∞ es una base entornosde ∞ (véase Anexo III). Al espacio topológico (C,Γ) se le denomina plano complejoextendido . Considerando esta topología en C es claro (véase Anexo II) que unasucesión de números complejos znn∈N converge a ∞ si

∀ρ > 0,∃N ∈ N, tal que para todo n ≥ N se verifica que |zn| > ρ.


En tal caso, suele decirse también que znn∈N diverge y suele representarse este hechopor

limnzn =∞

ózn −→ ∞.

Obsérvese que una sucesión zn diverge si, y sólo si la sucesión en valor absoluto|zn| diverge positivamente. Esta identificación y las propiedades de las sucesionesdivergentes de números reales (véase [Sección IV, Capítulo IV]AP), nos proporcionanlas siguientes propiedades:

Proposición 1.2.4.

1.- Sean zn una sucesión de números complejos y p ∈ N. La sucesión zn divergesi, y sólo si, la sucesión zn+p diverge.

2.- Sean zn, wn dos sucesiones de números complejos tales que, para cada n ∈ N,|zn| ≤ |wn|. Si la sucesión zn diverge entonces la sucesión wn también diverge.

3.- Si la sucesión zn diverge entonces existe p ∈ N tal que la sucesión 1zn+p con-

verge a cero. Recíporcamente si el conjunto n ∈ N; zn 6= 0 es finito y la sucesiónzn converge a cero, entonces existe p ∈ N tal que la sucesión 1

zn+p diverge.

4.- Si zn es una sucesión que diverge y wn es una sucesión acotada entonces lasucesión zn + wn diverge.

5.- Toda sucesión parcial de una sucesión divergente zn es divergente.

1.2.5. Series de números complejos

Se llama serie de números complejos a todo par ordenado de sucesionesde números complejos (zn, Sn), donde (zn es una sucesión arbitraria y, para cadanatural n, la segunda sucesión es tal que: Sn =

∑ni=1 zn.

La sucesión Sn recibe el nombre de sucesión de sumas parciales de laserie. Dicha serie suele representarse por

∑n≥1

zn.

Se dice que la serie∑n≥1

zn es convergente si lo es la sucesión Sn de sus sumas

parciales. Al límite de ésta última sucesión se le denomina suma de la serie∑n≥1

zn y

se representa por∞∑n=1

zn. Es fácil deducir la siguiente


Regla de oro:

La serie∑n≥1

zn es convergente si, y sólo si, lo son las series de números∑n≥1

Rezn y∑n≥1

Imzn. En caso afirmativo,

∞∑n=1

zn =∞∑n=1

Rezn +∞∑n=1

Imzn.

.Se dice que una serie

∑n≥1

zn es absolutamente convergente si la serie de

valores absolutos∑n≥1

|zn| es convergente.

Como consecuencia de esta regla de oro y teniendo en cuenta las propiedadesde las series convergentes de números reales (véase [Capítulo IX]AP), deducimos losiguiente:

Proposición 1.2.5. Sean∑n≥1

zn y∑n≥1

wn dos series de números complejos.

1. Si la serie∑n≥1

zn es convergente entonces la sucesión zn converge a cero.

2. Si ambas series son convergentes y r, s son dos números complejos, entonces laserie∑

n≥1 rzn + swn es convergente y se verifica que:∞∑n=1

(rzn + swn) = r∞∑n=1

zn + s∞∑n=1

wn.

3. Sea k ∈ N. Entonces la serie∑n≥1

zn es convergente si, y sólo si, la serie∑n≥1

zn+k

también lo es. Además en caso de que converjan tenemos que:∞∑n=1

zn = z1 + z2 + ...+ zk +∞∑n=1

zn+k.

4. Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Estas propiedades nos proporcionan la siguiente estrategia para estudiar la conver-gencia de una determinada serie: En primer lugar se ha de ver si la sucesión del términogeneral converge ó no a cero. Si su límite no es cero, la serie no es convergente. Si porel contrario, es cero ó no se puede calcular, debemos ver si la serie es absolutamenteconvergente ó no. Para este estudio haremos uso de todos los criterios para series denúmeros reales no negativos ((véase [Capítulo IX. Sección III.]AP)). Si la resouesta essí, la serie es convergente, si la respuesta es no habremos de transitar por caminos adescubrir.


1.2.6. Relación de ejercicios

1. Descríbanse el interior, los puntos de acumulación y la frontera de los siguientesConjuntos:

a) (x, y) ∈ C; x2

a2+ y2

b2≤ 1 (0 < a < b ∈ R.

b) (x, y) ∈ C; x2

a2+ y2

b2< 1 (0 < a < b ∈ R.

c) (x, y) ∈ C; y = rx. (r ∈ R)

d) A = (xn, yn); xn = 20n, yn = 0, ∀n ∈ N.

2. Díganse cuáles de los conjuntos del ejercicio anterior son compactos.

3. Pruébese que si |z| < 1, entonces la sucesión zn converge a cero.

4. Sea zn una sucesión de números complejos no nulos y para cada n ∈ N seaθninArg(zn). Supongamos que θn converge a un número θ y |zn| converge aun número ρ. Justifíquese que zn converge a z = ρ(cos(θ) + i sen(θ)).

5. Dado z = x+ iy, pruébese que

lımn→∞

(1 +

z

n

)n= ex(cos y + i sen y).

Sugerencia: Hagase uso del ejercicio anterior y la fórmula de De Moivre.

6. Sea z ∈ C, con |z| = 1, z 6= 1. Pruébese que la sucesión zn no converge.Dedúzcase que si θ es un número real que no es un múltiplo entero de π, lassucesiones cos(nθ) y sen(nθ) no convergen.

Capítulo 2

Funciones de variable compleja

2.1. Límites y continuidad.

Sumario

En esta lección introducimos el concepto de límite y de continuidad estudiaremosuna caracterización las propiedades de las funciones continuas. Esta lección se articula de lasiguiente manera:

2.1.1 Funciones complejas de varaible compleja.

2.1.2 Límites y Funciones divergentes.

2.1.3 Funciones continuas.

2.1.4 Propiedades de las funciones continuas.


2.1.1. Funciones complejas de variable compleja

Llamaremos función compleja de variable compleja ó simplemente función atoda aplicación definida en un subconjunto de números complejos A y con valores enC, esto es, a toda función f : A −→ C con A ⊆ C.

Veamos algunos ejemplos:

1. Toda función real de variable real puede verse com una tal funcion.

2. Las funciones de C en C, definidas por:

21

22 §2.1 Límites y continuidad.

a) z 7→ z (función conjugación.)

b) z 7→ |z| (función módulo.)

c) z 7→ Rez (función parte real. )

d) z 7→ Imz (función parte imaginaria. )

e) z 7→ arg(z) (función argumento principal.)

f ) z 7→ ez (función exponencial.)

2.1.2. Límites y Funciones divergentes.

Sea A ⊆ C y sea z0 un punto de acumulación de A. Sea f : A −→ C una función.Se dice que f tiene límite en el punto z0 si existe un número complejo L con lasiguiente propiedad:

"Para cada sucesión zn de elementos de A, distintos de z0, convergente a z0, lasucesión imagen f(zn) converge a L".

o en lenguaje más geométrico

∀ε > 0,∃δ > 0, tal que si z ∈ A 0 < |z − z0| < δ, entonces |f(z)− L| < ε.

El tal valor L, si existe, es único y recibe el nombre de límite de f en el punto z0

y escribiremos:L = limz→z0f(z).

Observación 2.1.1. Es importante hacer notar que la igualdad anterior encierra dosafirmaciones: que f tiene límite en el punto z0 y que dicho límite vale L.

Si A un un subconjunto no vacío de números complejos no acotado entoncesse dice que f tiene límite en ∞ si existe un número complejo L con la siguientepropiedad:

"Para cada sucesión zn de elementos de A divergente, la sucesión f(zn) convergea L",

ó dicho en lenguaje más geométrico:

∀ε > 0,∃M, tal que si z ∈ A, |z| > M entonces |f(z)− L| < ε.

Metodos Matemáticos I 23

El tal límite L, caso de existir, es único. Diremos que L es el límite en ∞ de f yescribiremos:

L = limz→∞f(z).

Sea A un subconjunto no vacío de números complejos y sea z0 ∈ A′. Se diceque la función f : A −→ C diverge en el punto z0 si verifica la siguiente propiedad:

” Para cada sucesión zn de elementos de A, distintos de z0, convergente a z0, lasucesión f(zn) diverge ,”

dicho en lenguaje más geométrico:

∀M,∃δ > 0, tal que si z ∈ Ay0 < |z − z0| < δ, entonces |f(z)| > M.

Y escribiremos:limz→z0f(z) =∞.

Si A es un subconjunto no vacío de números complejos no acotado. Diremos quela función f : A −→ C diverge en ∞ si

” Para cada sucesión zn de elementos de A que diverge, la sucesión f(zn)diverge.”

dicho en lenguaje más geométrico:

∀M, ∃N, tal que si z ∈ A y N < |z| entonces |f(z)| > M.

Y escribiremos:limz→∞f(z) =∞.

2.1.3. Funciones continuas

Sea A un subconjunto no vacío de C y sea a ∈ A. Se dice que una funciónf : A −→ C es continua en a si verifica la siguiente propiedad:

"Para cada sucesión zn de elementos de A, convergente al punto a, la sucesiónf(zn) converge a f(a)".

o bien, en lenguaje más geométrico

∀ε > 0,∃δ > 0, tal que si x ∈ A, |x− a| ≤ δ entonces |f(x)− f(a)| < ε.

Se dice que f es continua en B ⊆ A, si f es continua en todos los puntos de B.

24 §2.1 Límites y continuidad.

Observación 2.1.2. Sea a ∈ A. Es fácil probar que si a no es un punto de acumulación,entonces f siempre es continua en a. Mientras que si a ∈ A′, entonces f es continua ena si, y sólo si, f tiene límite en a y éste coincide con f(a).

Dada una función f : A −→ C y dado un subconjunto B de A, llamaremos restric-ción de f al conjunto B, f/B, a una nueva función definida en B, que toma valoresen B y cuya ley de correspondencia viene dada por

f/B(z) = f(z) ( z ∈ B).

La continuidad es una propiedad local.

Proposición 2.1.3. Sean A un subconjunto de C, B un subconjunto de A, a ∈ B yf : A −→ C una función. Entonces

1. Si f es continua en a, entonces f/B es una función continua en a.

2. Si f/B es continua en a y existe un Disco centrado en a, D, tal que D⋂A ⊆ B,

entonces f es una función continua en a.

Es de fácil comprobación que la función identidad, todas las funciones constantes ylas funciones conjugación, módulo, parte real y parte imaginaria son funciones continuasen todo C. Las cosas son un poco diferentes para la función argumento principal comoveremos enseguida.

Proposición 2.1.4. La función argumento principal es continua en C\R−0 y es discon-tinua en R−

2.1.4. Propiedades de las funciones continuas.

En orden a construir nuevas funciones continuas, veamos que las operacionesusuales están bien avenidas con la continuidad. Su demostración es evidente si usamosel lenguaje de sucesiones.

Proposición 2.1.5. Sean A un subconjunto de C, a ∈ A y f, g : A −→ C dos funcionescontinuas en a. Entonces f + g y f.g son dos nuevas funciones continuas en en a.

La composición también se comporta de forma adecuada,

Proposición 2.1.6. (Regla de la cadena)Sean A un subconjunto de C, a ∈ A y f : A −→ C una función continua en a. Sean

ahora B ⊇ f(A) y g : B −→ C una función continua en f(a). Entonces g f es unafunción continua en a.

Como consecuencia podemos probar,

Proposición 2.1.7. Sean A un subconjunto no vacío de vectores de C, a un punto deA y f : A −→ C una función. Entonces f es continua en a si, y solo si Ref e Imf soncontinuas en a.


Dada una función f : A → C, podemos considerar nueva función |f | : A → Cdefinida por |f |(z) = |f(z)|. Diremos que f es una función acotada en A si la función|f | es una función acotada en A, esto es, existe M > 0 tal que |f(z)| < M para todoz ∈ A. Es claro que si f es continua en a ∈ A, entonces, en virtud de la Regla de lacadena |f | es continua en a ∈ A. E igualmente,

Proposición 2.1.8. Sean A un subconjunto no vacío de vectores de C, z0 un punto deA′ y f : A −→ C una función. Entonces f tiene límite en z0 si, y solo si Ref e Imftienen límite en z0 y, en caso afirmativo,

limz→z0f(z) = limz→z0Re(f(z)) + i limz→z0Im(f(z)).

Terminamos con un importante resultado.

Teorema 2.1.9. ( de conservación de la compacidad o de Weierstrass)Sea A un subconjunto de C y f : A −→ C una función continua. Si A es un conjunto

compacto entonces f(A) es también un subconjunto compacto. En particular, la función|f | alcanza sus valores máximo y mínimo en sendos valores de A.


1. Sea Ω un dominio y f ∈ H(Ω). Supongamos que hay tres números reales a, b, ccon a2 + b2 > 0, tales que aRef(z) + b Imf(z) = c ∀z ∈ Ω. Pruébese que f esconstante en Ω.

2. Sea Ω un abierto y f ∈ H(Ω). Sean Ω∗ = z : z ∈ Ω y f ∗ : Ω∗ → C la funcióndefinida por: f ∗(z) = f(z), ∀z ∈ Ω∗. Pruébese que f ∗ es holomorfa en Ω∗.

3. Hállese una función f ∈ H(C) tal que Ref(x+ iy) = x4−6x2y2 +y4, ∀x, y ∈ R.Si se exige que sea f(0) = 0, entonces dicha función es única.

4. Encontrar una condición necesaria y suficiente que deben cumplir los númerosreales a, b, c para que exista una función entera, f ∈ H(C), verificando queRef(x + iy) = ax2 + bxy + cy2, ∀x, y ∈ R. Determinar, cuando dicha con-dición se cumpla, todas las funciones enteras f cuya parte real es de la formaindicada.

5. Sea A un subconjunto compacto de C y f : A −→ C una función continua.Pruébese que existen z y w en A tales que |f | alcanza su valor máximo en z y suvalor mínimo en w.

2.2. FUNCIONES DERIVABLES. ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN 27

2.2. Funciones derivables. Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Sumario

En esta lección introducimos el concepto de derivada y damos una caracterizaciónde la derivabilidad de una función: las ecuaciones de Cauchy-Riemann, las cuales determinanimportantes propiedades sobre las parte real e imaginaria de cualquier función holomorfa. Elcontenido completo de esta lección se articula de la siguiente manera:

2.2.1 Concepto de derivada.

2.2.2 Ecuaciones de Cauchy-Riemann.

2.2.3 Funciones holomorfas.


2.2.1. Concepto de derivada

Sea A un subconjunto de C y f : A −→ C una función. Sea a ∈ A⋂A′. Se dice que

f es derivable en a, si existe

lımz→a

f(z)− f(a)

z − a.

Caso de que dicho límite exista se suele notar por f ′(a).

Si B ⊆ A⋂A′, diremos que la función f es derivable en B si lo es en todo punto de

B.Sea C el conjunto de puntos en los que f es derivable. La función f ′ : a 7−→ f ′(a),

definida en C recibe el nombre de función derivada de f , y se suele notar por f ′.Es claro que si f es derivable, entonces f es continua (escríbase f(z) = f(z)−f(a)

z−a (z−a) + f(a) siempre z 6= a).

Si A ⊆ R y f(A) ⊆ R, obtenemos exactamente la definición de derivada parafunciones reales de variable real. De hecho, si A ⊆ R, se tiene que

Proposición 2.2.1. Sean A ⊆ R, a ∈ A⋂A′ y f : A −→ C una función. Equivalen:

i) f es derivable en a.

ii) Ref e Imf es derivable en a.

28 §2.1 Funciones derivables. Ecuaciones de Cauchy-Riemann

En caso de que se cumplan i) y ii), se tiene que

f ′(a) = (Ref)′(a) + i(Imf)′(a).

También la derivación es una propiedad local, y la demsotración de este hecho puedeseguirse igual que en la demostración de la Proposición 2.1.3.

Proposición 2.2.2. Sean A un subconjunto de C, B un subconjunto de A, a ∈ B′ ∩By f : A −→ C una función. Entonces

1. Si f es derivable en a, entonces f/B es una función derivable en a y, en tal caso,(f/B)′(z) = f ′(z) para todo z ∈ B.

2. Si f/B es derivable en a y existe un Disco centrado en a, D, tal que D⋂A ⊆ B,

entonces f es una función derivable en a.

Veamos ahora como se comporta la derivación con respecto a las operaciones alge-braicas. La demostración sigue la misma estrategia que se usa para las funciones realesde variale real.

Proposición 2.2.3. Sean A ⊆ C, a ∈ A⋂A y f, g : A −→ C dos funciones derivables

en a. Entonces

i) f + g es derivable en a, y

(f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).

ii) fg es derivable en a, y

(fg)′(a) = f(a)g′(a) + f ′(a)g(a).

iii) Si además g(z) 6= 0, ∀z ∈ A, fges derivable en a y

(f

g)′(a) =

f ′(a)g(a)− f(a)g′(a)

g2(a).

Con respecto a la composición, las cosas siguen yendo bien

Proposición 2.2.4. (Regla de la Cadena)Sean A,B ⊆ C, a ∈ A

⋂A y f : A −→ C, con f(A) ⊆ B y g : B −→ C dos

funciones derivables en a y f(a) respectivamente, y f(a) ∈ B′. Entonces la funcióng f es derivable en a y

(g f)′(a) = g′(f(a))f ′(a).


NotaObservemos que no cabe esperar un resultado tipo "teorema valor medio"para fun-

ciones complejas, tal como se desprende del siguiente ejemplo:

Sea f : [0, 2π] −→ C definida por f(t) = cos(t) + isen(t).Nótese que f(0) = f(2π), y que f es derivable en todo el intervalo con

f(t) = −sen(t) + icos(t) 6= 0 ∀t ∈ [0, 2π].

Sin embargo, sí se tiene que las únicas funciones cuyas derivadas son nulas son lasfunciones constantes.

Proposición 2.2.5. Sean D un dominio de C, y f : D −→ C una función derivable,con f ′(z) = 0 ∀z ∈ D. Entonces f es constante.

2.2.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Sea f una función y consideremos las siguientes identificaciones:

1. C ≡ R2,

y

2. u(x, y) ≡ Ref(x+ iy), v(x, y) ≡ Imf(x+ iy).

Veamos cómo se relacionan la derivabilidad de f con la diferenciabilidad de lasfunciones u y v asociadas a f vistas como funciones del espacio normado R2.

Teorema 2.2.6. Sean A ⊆ C, a = α+ iβ ∈ Aint y f : A −→ C una función. Equivalen:

i) f es derivable en a.

ii) u y v son dos funciones diferenciables en (α, β), verificando:

∂u

∂x(α, β) =

∂v

∂y(α, β)

y∂u

∂y(α, β) = −∂v

∂x(α, β).

Además, en caso de cumplirse i) y ii), se tiene que:

f ′(a) =∂u

∂x(α, β) + i

∂v

∂x(α, β).

A las ecuaciones adicionales a la diferenciabilidad de u y v, léase (ii)), se les denominaecuaciones de Cauchy-Riemann.

Como consecuencia de las condicones de Cauchy-Riemann, obtenemos que

30 §2.1 Funciones derivables. Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Corolario 2.2.7. Sea Ω un abierto de C, f una función derivable en Ω y sean u y v laspartes reales e imaginarias de f . Si u y v son de clase C2 en Ω, entonces las funcionesu y v verifican la ecuación de Laplace:

∂2u

∂x2+∂2v

∂y2=∂2v

∂x2+∂2v

∂y2= 0.

Las propiedades anteriores motivan la definición de función armónica.

Sea Ω un abierto de R2 y sea φ : Ω −→ R una función. Diremos que φ es una funciónarmónica en Ω, cuando se verifique:

1. φ es de clase C2 en Ω.

2. ∂2φ∂x2

+ ∂2φ∂y2

= 0 (Ecuación de Laplace).

2.2.3. Funciones holomorfas

Sean A ⊆ C, a ∈ A y f : A −→ C una función. Se dice que f es holomorfa en a,si f está definida y es derivable en un cierto disco D(a, r) ⊆ A.

Se dice que f es holomorfa en un conjunto si lo es en todos sus puntos. Se diceque f es una función entera, si es holomorfa en C.

Nótese que

Corolario 2.2.8. Si Ω es un conjunto abierto, y f : Ω → C, entonces f es holomorfaen Ω si, y sólo si, f es derivable en Ω.

Dado un conjunto Ω abierto de C, notaremos por H(Ω) al conjunto de las funcionesholomorfas definidas en Ω.

Es claro que el conjuntoH(Ω) dotado con las operaciones puntuales es un álgebra quecontiene al álgebra de las funciones racionales en Ω, R(Ω) ⊆ H(Ω). Sorprendentementelas funciones parte real, parte imaginaria, módulo y conjugación no son holomorfas enningún punto.

Finalmente, veamos otras condiciones que fuerzan que la función f es constantecunado el conjunto de definición es un dominio.

Proposición 2.2.9. Sea D un dominio de C y sea f ∈ H(D). Equivalen:

f es constante.

Re f .

IM f es constante.

|f | es constante.



1. Estúdiese la derivabilidad de la función f : C→ C, en cada uno de los siguientescasos:

a) f(z) = z, ∀z ∈ C.b) f(z) = |z|, ∀z ∈ C.c) f(z) = z(Rez)2, ∀z ∈ C.d) f(x+ iy) = x3 − y + i(y3 + x2

2), ∀x+ iy ∈ C.

2. Sea Ω un dominio y f ∈ H(Ω). Supongamos que hay tres números reales a, b, ccon a2 + b2 > 0, tales que aRef(z) + b Imf(z) = c ∀z ∈ Ω. Pruébese que f esconstante en Ω.

3. Sea Ω un abierto y f ∈ H(Ω). Sean Ω∗ = z : z ∈ Ω y f ∗ : Ω∗ → C la funcióndefinida por: f ∗(z) = f(z), ∀z ∈ Ω∗. Pruébese que f ∗ es holomorfa en Ω∗.

4. Hállese una función f ∈ H(C) tal que Ref(x+ iy) = x4−6x2y2 +y4, ∀x, y ∈ R.Si se exige que sea f(0) = 0, entonces dicha función es única.

5. Encontrar una condición necesaria y suficiente que deben cumplir los númerosreales a, b, c para que exista una función entera, f ∈ H(C), verificando queRef(x + iy) = ax2 + bxy + cy2, ∀x, y ∈ R. Determínese, cuando dicha con-dición se cumpla, todas las funciones enteras f cuya parte real es de la formaindicada.

6. Sea A un subconjunto compacto de C y f : A −→ C una función continua.Pruébese que existen z y w en A tales que |f | alcanza su valor máximo en z y suvalor mínimo en w.

7. Sea u(x, y) = x3 − 3xy − y. Decir si es armónica, y en su caso, hallar la funciónarmónica conjugada v y escribir en función de la variable z = (x+ iy) la funciónf(z) = u(x, y) + iv(x, y)

8. a) Determínense todos los polinomios armónicos de la forma u(x, y) = ax3 +bx2y + c2 + dy3. donde a, b, c, d son números reales.

b) Calcúlese una función v(x, y) para que la función f(z) = u(x, y) + iv(x, y)sea entera.

9. Discútase cuáles de las siguientes funciones de dos variables reales pueden ser laparte imaginaria de una función entera, y en caso de que lo sean, clacúlese lafunción compleja correspondiente.

a) y(x+ 1).

b) y(cos(x) + 1).

c) y(5x4 − 10x2y2 + y4).

2.3. FUNCIONES ELEMENTALES. FUNCIONES MULTIFORMES 33

2.3. Funciones elementales. Funciones multiformes

Sumario

En esta lección estudiamos la extensión natural de las funciones exponencial, senoy coseno reales. Introducimos las funciones multiformes, y estudiamos sus ramas principales.El tratamiento funcional de estas funciones multiformes nos obiga a introducir el conceptode superficie de Riemann. El contenido completo de esta lección se articula de la siguientemanera:

2.2.1 Función exponencial y Funciones trigonométricas.

2.2.2 Funciones multiformes: El logarritmo y la función potencial.

2.2.3 Superficies de Riemann

2.2.4 Relación de ejercicios

2.3.1. Función exponencial y Funciones trigonométricas

.Llamemos función exponencial compleja a la función de C en C definida por

z 7→ ez. Observemos ahora que,

Proposición 2.3.1. La función exponencial compleja es la única función entera fverificando que f ′(z) = f(z) para todo z ∈ C y f(0) = 1 .

Demostración. Supongamos que existe una tal función f y escribamos f = u + iv. Envirtud de la igualdad f = f ′ y del hecho de que f ′ = ∂u

∂x+ i ∂v

∂x, obtenemos ∂u

∂x= u, y

por tanto u(x, y) = exg(y) para una cierta función g de clase C1 en R, y la igualdad∂v∂x

= v, y por tanto v(x, y) = eh(y) para una cierta función h de clase C1 en R. Envirtud del Teorema 2.2.6.(ii), deducimos que exg′(y) = ∂u

∂y= −v = −exg(y) y por

tanto, g′(y) = −h(y). Análogamente de la otra condición, obtenemos que h′(y) = g(y).Aplicando ahora que f(0) = 1, deducimos que g(0) = 1 y h(0) = 0. Sabemos que elsistema dé ecuaciones diferenciales con valores iniciales,

g′ = −hh′ = g

g(0) = 1, h(0 = 0

tiene una única solución, a saber, g(y) = cos(y) y h(y) = sen(y), de donde podemosdeducir que f(x+ iy) = ex(cos(y) + isen(y para todo z = x+ iy ∈ C. Recípocamente,tomando u(x, y) = excos(y) y v = exsen(y) para todo (x, y) ∈ R2, sabemos, en virtuddel Teorema 2.2.6, que la función f(x + iy) = e(x + iy) = ex(cos(y) + isen(y)) =u(x, y) + iv(x, y) es una función entera con f(0) = 1 y que verifica,

f ′(x+ iy) =∂u

∂x(x, y) + i

∂v

∂x(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = f(x+ iy).

34 §2.2 Funciones elementales. Funciones multiformes

En particular, acabamos de probar que la función exponencial compleja es la únicafunción f entera que extiende a la función real y que verifica que f ′(z) = f(z) paratodo z ∈ C.

Sea f : A→ C una función compleja de variable compleja y sea w ∈ C . Diremos quew es un periodo de f cuando se verifiquen, para cada z ∈ A, las siguientes propiedades:

1. z + w ∈ A,

2. z − w ∈ A,

3. f(z ± w) = f(z).

En tal caso, si w 6= 0, entonces se dice que f es una función periódica de período w.Como consecuencia, aplicando el principio de inducción, se tiene que si f es una funciónperiódica de período w, entonces, para cada p ∈ Z,

f(z + pw) = f(z).

Obsérvese que, la Proposición 1.1.3.(1) demuestra que la función exponencial esperiódica con período 2πi. Por otra parte,

Es claro que si z = x ∈ R, entonces

sen(x) =eix − e−ix

2i=cos(x)− cos(−x) + i(sen(x)− sen(−x))

2i=

i(sen(x)− sen(−x))

2i= sen(x),

y

cos(x) =eix + e−ix

2i=cos(x) + cos(−x) + i(sen(x) + sen(−x))

2=

2cos(x)

2= cos(x).

Este hecho, nos permite aventurar una definición de las funciones seno y coseno deC en C mediante las siguientes fórmulas:

sen(z) =eiz − e−iz

2icos(z) =

eiz + e−iz

2.

El hecho de que podamos considerar las funciones seno y coseno como la extensióna C de las funciones seno y coseno reales, nos permite conservar las notaciones del senoy del coseno reales. Veamos algunas propiedades inmediatas de las nuevas funciones.

Proposición 2.3.2.

1. Las funciones seno y coseno son enteras y se tiene que

sen′(z) = cos(z) cos′(z) = −sen(z) ∀z ∈ C.

2. Para cada z ∈ C,

sen(−z) = −sen(z), cos(−z) = cos(z), sen2(z) + cos2(z) = 1.


3. Las funciones seno y coseno son funciones periódicas de período 2π.

4. cos(z + w) = cos(z) cos(w) − sen(z) sen(w). ∀z, w ∈ C.

5. sen(z + w) = sen(z) cos(w) + cos(z) sen(w). ∀z, w ∈ C.

6. z ∈ C; cosz = 0 = π2

+ kπ; k ∈ Z. z ∈ C; senz = 0 = kπ; k ∈ Z.

Demostración. Sólo indicaremos que las propiedades (4) y (5) se deucen fácilmente dela igualdad (??).

Obsérvese sin embargo que las funciones seno y coseno no están acotadas.

2.3.2. Funciones multiformes: Logaritmo y función potencial

Sea z ∈ C∗. Un número complejo w ∈ C se dice que w es un logaritmo de z si

ew = z.

Notemos por Log(z) al conjunto de logaritmos de z, esto es,

Log(z) = w ∈ C; ew = z,

o si se quiere, después de la Proposición 1.1.3.(5),

Log(z) = ln(|z|) + iArg(z).

Obsérvese que la ley z 7→ Log(z) no determina una función compleja de variablecompleja. Este hecho, se suele subrayar diciendo que Log(z) es una función multifor-me. Ya hemos conocido un ejemplo de una primera función multiforme: z 7→ Arg(z).De hecho, esta última función está en el germen de toda función multiforme. Si mo-dificamos el conjunto de llegada, se puede pues considerar una verdadera función: lafunción

Log : C∗ −→ C\2πiZ,

definida porz 7−→ Log(z).

Dicha función verifica naturalmente que para cada z, w ∈ C∗:

Log(zw) = Log(z) + Log(w).

Para cada z ∈ C∗, se define el logaritmo principal de z, log z, por

logz = ln|z|+ iarg(z),

y la funciónz 7−→ logz,


recibe el nombre de rama principal del logaritmo.En virtud de la fórmula de Euler y de la Proposición 1.1.3, es claro que, para cada

z ∈ C∗,z = elogz y log(ez) = z.

Compo consecuencia de la Proposición 2.1.4, la función rama principal del logaritmoes continua en C∗\R−. De hecho, probaremos que es holomorfa.

Proposición 2.3.3. Sean Ω un conjunto abierto de C, φ una función continua en Ωtal que para cada z ∈ Ω, eφ(z) = z. Entonces φ ∈ H(Ω) y φ′(z) = 1

z, para todo z ∈ Ω.

Corolario 2.3.4. La rama principal del logaritmo es una función holomorfa en C∗\R−y log′(z) = 1

z, para todo z ∈ C∗\R−.

Potencias de base y exponente complejos

Recordemos que para cada b ∈ R y para cada a ∈ R+,

ab = eblna,

esto nos permite intuir la definición de potencia de base y exponente complejo comosigue:

Dados z ∈ C∗ y w ∈ C, definimos el conjunto de las potencias de exponentew de z, [z]w, por:

[z]w = ewLog(z).

Claramente[zu]w = [z]w[z]w, ∀z, u ∈ C∗, ∀w ∈ C.

Debemos afrontar pues, como ya ocurrió con el logaritmo, el carácter multiforme dela función potencia de exponente w:

z 7−→ [z]w.

Llamaremos rama principal de la función potencia a la función:

z 7−→ zw = ewlogz.

Esta notación para la rama principal se justifica por el hecho de que extiende el casoreal.

La existencia de selecciones continuas u holomorfas de la función logaritmo propor-ciona selecciones continuas u holomorfas de la función raíz e-nésima.


Proposición 2.3.5. Sean Ω un conjunto abierto de C y f una función holomorfa enΩ que no se anula en ningún punto. Supongamos que existe una función holomorfa enC, φ tal que para cada z ∈ Ω,

eφ(z) = f(z).

Entonces para cada n ∈ N existe una función holomorfa en Ω, φn tal que

(φn(z))n = f(z), para todo z ∈ Ω.

Demostración. Tómese φn(z) = eφ(z)n para todo z ∈ Ω.

2.3.3. Superficies de Riemann

Una superficie de Riemann es una extensión del plano complejo que permite veruna determinada función multiforme como una función, asignando a cada punto de lasuperfice un único valor de la función multiforme, lo que nos permite usar la teoríausual de funciones con esa determina función multiforme. Esta superficie suele estarformada por varios planos unidos entre sí por una determinada semirrecta, dispuestasa la manera de barreras que controlan el paso de un plano a otro. Esta semirrectase denomina corte de rama, mientras que a su orige se le suele llamar punto deramificación. Las complicaciones que surgen por ser la función multiforme son portanto evitadas mediante este artificio geométrico.

1.- Superficie de Riemann para la función multiforme [z]12

Para describir la superficie S necesitamos considerar por un lado el plano z como unahoja delgada (plano) R0 = z = ew ∈ C∗; w = ln|z| + iarg(z) cortada por el semiejeR−0 y sobre este una nueva hoja (plano) R1 = z = ew ∈ C∗; w = ln|z|+ iarg(z)+2iπcortada igualmente por el mismo semieje. La superficie de Riemann S resulta de unir elborde superior del corte de R0 con el borde inferior del corte de R1, y el borde superiorde éste con el borde inferior de R0.

El origen es un punto común a todas las hojas y claramente

[z]12 (R0) = z ∈ C; Rez ≥ 0

y[z]

12 (R1) = z ∈ C; Rez < 0.

Los distintos elementos de S se pueden describir mediante sus dos coordenadas(ρ, θ), donde ρ señala el módulo de la proyección del punto sobre el plano original y lasegunda coordenada indica la hoja en que está situado y su posición en ella.

Así pues, si z = ρ(ρcos(θ) + isen(θ))(se entiende que estamos en una primera ramade la superficie tomada como dominio de la función multiforme, 0 ≤ θ < 2π) entoncessu primera (k=0) raíz cuadrada es w =

√ρ(cos(θ/2) + isen(θ/2)) . Después de una


vuelta completa , z pasa a ser (se entiende que está en la otra rama, 2π ≤ θ < 4π))z′ = ρ(ρcos(θ + 2π) + isen(θ + 2π))) y, su primera raíz, llegará a ser w′ =

√ρ(cos(π +

θ/2) + isen(π + θ/2)) = −w. Al dar una segunda vuelta, volvemos a la rama primera,y la correspondiente raíz. w′′ = −w′ = w. En este ejemplo el origen de es un punto deramificación y la semirrecta R0 es un corte de rama.

2.- Superficie de Riemann para la función multiforme Log(z)

Para esta superficie S necesitamos considerar infinitas hojas Rp = z = ew ∈C∗; w = ln|z| + iarg(z) + 2piπ (p ∈ Z) cortadas por el semieje R−0 . La superficie Sresulta de unir sucesivamente el borde superior del corte Rp a la .altura"de R−0 con elborde inferior del corte de Rp+1.

Por supuesto, el origen es un punto común a las infinitas hojas de S, esto es, elorigen el punto de ramificación de esta superficie de Riemann.

La transformación w = Log(z) transforma la superficie de Riemann, excepto parael punto de ramificación z = 0, biunívocamente en el plano w complejo de forma que

Log(Rp) = w ∈ C; (2p− 1)π ≤ Imw ≤ (2p+ 1)π.

Los distintos elementos de S se pueden describir igualmente mediante sus dos coor-denadas (ρ, θ) con el mismo significado del primer ejemplo.


1. Sea f : C→ C una función verificando

f(z + w) = f(z)f(w), ∀z, w ∈ C.

Pruébese que si f es derivable en un punto entonces f es entera. Encontrar todaslas funciones enteras que verifiquen la condición anterior. Dar un ejemplo de unafunción que verifique dicha propiedad y no sea entera.

2. Estúdiese, para qué valores z ∈ C∗ y n ∈ N, se verifican las igualdades:

a) log

(1

z

)= − log(z) ; b) log( n

√z) =

log(z)

n; c) log(zn) = n log(z).

3. Justíquese que la función “logaritmo principal.es inyectiva.

4. Justifíquese que la función exponencial establece una biyeccción entre los conjun-tos Ω = z ∈ C∗ : −π < Im(z) < π y C∗\R−

5. Obténgase la imagen por la función exponencial de:

i) Una recta paralela a uno de los ejes coordenados.

ii) Un rectángulo de lados paralelos a los ejes coordenados.

6. Sean a ∈ C y zn una sucesión divergente de números complejos. Demuéstrseque


a) La sucesión (1 + azn

)zn converge a ez.

b) La sucesión zn(a1zn − 1) converge a log(a) siempre que a 6= 0.

7. Hallar todas las soluciones de la ecuación sen(z) = 20.

2.4. SUCESIONES DE FUNCIONES. SERIES DE POTENCIAS 41

2.4. Sucesiones de funciones. Series de potencias

Sumario

En las aplicaciones del Análisis Matemático es frecuente que la solución a un ciertoproblema sea una función desconocida o no expresable en términos de funciones elementalesque conocemos. Sí, en cambio, es frecuente que se conozcan funciones que se “aproximan” ala función solución; a menudo se puede disponer de una sucesión de funciones fn obtenidasen sucesivas aproximaciones al problema y que se “aproxime” en cierto sentido a la solución.En esta lección queremos dar sentido al concepto de “aproximación”. Dedicamos un esfuerzoespecila al estudio de un tipo muy particular de series funcionales: las series de potencias.Éstas nos proporcionan un método expeditivo para construir nuevas funciones de clase C∞no racionales. En particular, reaparecerán la mayoría de las funciones elementales, lo que nospermitirá un mejor conocimiento de éstas. La técnica usada consiste en dar sentido al conceptode polinomio de Taylor de “grado infinito” El contenido completo de esta lección se articulade la siguiente manera:

2.4.1 Tipos de convergencia. Criterio de Cauchy.

1.1.2 Convergencia y continuidad.

2.4.2 Series de funciones.

2.4.3 Series de potencias

2.4.5 Funciones definidas por series de potencias.

2.4.6 Desarrollo en serie de potencias.

2.4.7 Aplicaciones: Suma de series de números reales

2. 4.8 Relación de ejercicios.

2.4.1. Tipos de convergencia. Condición de Cauchy.

En esta sección precisaremos el concepto de aproximación. Sea A un subconjuntono vacío de números complejos y sea fn una sucesión de funciones complejas devariable compleja definidas en A. Hay diversas formas de aproximarse a una función.Para motivar este concepto vamos a considerar el siguiente ejemplo:

Ejemplo :

42 §2.4 Sucesiones de funciones. Series de potencias

Para cada n ∈ N, considérese la función fn : D(0, 1)→ R definida por fn(z) = |z|n(z ∈ D(0, 1)). Nótese que las funciones fn son continuas en D(0, 1)] y que, para cadaz ∈ D(0, 1), la sucesión fn(z) es convergente.

Definamos la función f : D → C mediante f(z) = limnfn(z). Es claro quef(z) = 0,∀z ∈ D(0, 1) y que f(z) = 1 para todo z ∈ C(0, 1).

1. Convergencia puntual.

Se dice que la sucesión de funciones fn converge puntualmente en B ⊆ A,si para cada z ∈ B, la sucesión de números complejos fn(z) es convergente.

Al conjunto C := z ∈ A; fn(z) es convergente se le denomina campo deconvergencia y a la función f : C → C definida por f(z) = limnfn(z), se ledenomina función límite.

Obsérvese que la sucesión de funciones del primer ejemplo converge puntualmen-te en [0, 1] a la función f allí definida y que la sucesión del segundo convergepuntualmente en R a la función valor absoluto.

2. Convergencia uniforme.

Dada una sucesión de funciones fn que converge puntualmente en C a unafunción f , se dice que la sucesión de funciones fn converge uniformementeen B ⊆ C, si

∀ε > 0 ∃n0 tal que n ≥ n0 implica que |fn(z)− f(z)| < ε,∀z ∈ B.

Obsérvese que la sucesión dada en el ejemplo converge uniformemente en discosde la forma D(0, r) con r < 1, pero veremos enseguida que no converge uniforme-mente en todo el disco D(0, 1). No existe el concepto de campo de convergenciauniforme tal como se desprende del ejemplo considerado.

Damos ahora una caracterización de gran utilidad de la convergencia uniforme, yaque tiene la ventaja de no tener que conocer la función límite.

Teorema 2.4.1. (Criterio de Cauchy)Sea A un subconjunto no vacío de números complejos y sea fn una sucesión de

funciones de A en C . Equivalen

1. Existe f : A→ C una función tal que fn converge uniformemente en A a f .

2. ∀ε > 0 ∃m tal que p, q ≥ n0 implica que |fp(x)− fq(x)| < ε,∀z ∈ A.

Análisis Matemático II 43

2.4.2. Convergencia y continuidad.

En esta sección enunciaremos los resultados que relacionan la convergencia uniformecon los conceptos clave del análisis: continuidad, derivación e integración. Haremos sóloalgunas demostraciones, dejando las más laboriosas para un posterior estudio.

Tal como vimos en el primer ejemplo la convergencia puntual no garantiza la conti-nuidad de la función límite aún siendo continuas las funciones de la sucesión.

Proposición 2.4.2. (Continuidad y convergencia uniforme)Sea A un subconjunto no vacío de números complejos y sea fn una sucesión de

funciones de A en C. Si la sucesión fn converge uniformemente en B ⊆ A y existea ∈ B tal que las funciones fn son continuas en a entonces la función límite f : B → Ces continua en a.

El teorema sobre la continuidad se utiliza con frecuencia para probar que no hayconvergencia uniforme comprobando que la función límite no es continua (véase primerejemplo).

Conviene notar, por otra parte, que la continuidad de la función límite puntual deuna sucesión de funciones continuas no exige que la convergencia sea uniforme.

2.4.3. Series de funciones

El paso de la noción de sucesión de funciones al concepto de serie funcional siguelos mismos derroteros que el ya conocido para pasar de sucesiones de números reales aseries de números reales.

Se llama serie de funciones a todo par ordenado de sucesiones de funcionesreales (fn, Fn), donde (fn es una sucesión arbitraria de funciones y, para cadanatural n, la segunda sucesión es tal que: Fn :=

∑ni=1 fn. La sucesión Fn recibe el

nombre de sucesión de sumas parciales de la serie. Dicha serie suele representarsepor

∑n≥1

fn.

Las nociones de convergencia puntual y de convergencia uniforme se trasladan demanera natural a las series de funciones, basta para ello referirlas a la correspondienteconvergencia para las sumas parciales:

Se dice que la serie∑n≥1

fn converge puntualmente (resp. uniformemente)

si la sucesión Fn de sus sumas parciales converge puntualmente (resp. uniforme-mente). Se llama campo de convergencia de la serie al campo de convergenciade la sucesión de sumas parciales. Si C es el campo de convergencia de la serie

∑n≥1

fn,

podremos construir una función F : C → R definida por F (x) =∑∞

n=1 fn(x), y que esdenominada como suma de la serie.

En este contexto también podemos hablar de convergencia absoluta en un con-junto A de la serie

∑n≥1

fn si la serie∑n≥1

|fn| converge puntualmente en A. Como regla

práctica para estudiar la convergencia puntual de una serie se recomienda empezar porel estudio de la convergencia absoluta de dicha serie.


Como consecuencia del resultado ya establecido (véase Proposición 2.4.2) obtenemosel siguiente resultado de fácil demostración.

Corolario 2.4.3. Sea A un conjunto no vacío de números complejos y sea∑n≥1

fn una

serie de funciones en A. Si las funciones fn son continuas en un punto a ∈ A y laserie

∑n≥1

fn converge uniformemente en A entonces la función suma de la serie, F , es

continua en a.

El criterio de Cauchy ya comentado proporciona una poderosa herramienta para elestudio de la convergencia uniforme de una serie de funciones, a saber

Teorema 2.4.4. (Test de Weierstrass)Sea A un subconjunto no vacío de números complejos y sea

∑n≥1

fn una serie de

funciones definidas en A y sea B un subconjunto de A. Supongamos que existe unasucesión an de números reales tal que |fn(z)| ≤ an,∀z ∈ B. Si la serie

∑n≥1 an es

convergente, entonces la serie∑

n≥1 fn converge absoluta y uniformemente en B.

2.4.4. Series de potencias

.

Sean a ∈ C y an una sucesión de números complejos. La serie funcional(fn(z) = an(z − a)n) ∑

n≥0

an(z − a)n

recibe el nombre de serie de potencias centrada en a . A los términos de la sucesiónan, se les denomina coeficientes de la serie de la serie de potencias.

Dado B ⊆ C, se dice que la serie de potencias converge

1. puntualmente en B, si la serie∑

n≥0 an(z − a)n converge en B.

Para cada z ∈ B, se suele notar a la suma de dicha serie, por

∞∑n=0

an(z − a)n

2. absolutamente en B si la serie∑

n≥0 |an(z − a)n| converge en B.

3. uniformemente en B si converge puntualmente en B y si

para cada ε > 0, existe un natural n0, de forma que si n ≥ n0, entonces, paratodo z ∈ B,

|∞∑k=0

ak(z − a)k −n∑k=0

ak(z − a)k| < ε.


Como primer resultado, establecemos el siguiente importante resultado

Corolario 2.4.5. (Criterio de Weierstrass)Sea B un subconjunto no vacío de números complejos, a ∈ C y an una sucesión

de números complejos. Supongamos que existe una sucesión de números reales αn talque

|an(z − a)n| ≤ αn, ∀x ∈ B, ∀n

y tal que la correspondiente serie∑

n≥0 αn es convergente. Entonces la serie de potenciascentrada en a converge absolutamente y uniformemente en B

Este resultado nos proporciona un método general para estudiar la convergenciapuntual y uniforme de cualquier serie de potencias.

Lema 2.4.6. (Lema de Abel)Sean a ∈ R y an una sucesión de números complejos. Supongamos que existe r > 0

tal que la sucesión anrn está acotada. Entonces la serie funcional∑

n≥0 an(z − a)n

converge absoluta y uniformemente en el disco D(a, ρ), siempre que o < ρ < r.

La búsqueda del número positivo r "más grande posible"que cumpla la hipótesisdel Lema de Abel motiva el concepto de radio de convergencia. Concretamente:

Sean A := r ∈ R+; anrn está acotada y∑

n≥0 an(x− a)n la serie de potenciasasociada.

1. Si A = ∅, diremos que el radio de convergencia de la serie∑

n≥0 an(z − a)n esigual a cero, R = 0.

2. Si A 6= ∅ y A no está mayorado, diremos que el radio de convergencia de dichaserie es infinito , R =∞.

3. Si A 6= ∅ y A está mayorado diremos que el correspondiente radio de conver-gencia es el supremo del conjunto A, esto es R = Sup(A).

En lo que sigue, cuando hagamos referencia al conjunto A no será otro que el intro-ducido aquí.

Observemos que el radio de convergencia es independiente del centro a de laserie. Además, como veremos en el siguiente resultado, el conocimiento del radio deconvergencia proporciona çasi"toda la información sobre la convergencia de la serie.

Teorema 2.4.7. Sea∑

n≥0 an(z−a)n una serie de potencias cuyo radio de convergenciaes R.

1. Si R es cero, entonces la serie sólo converge en a.


2. Si R es infinito, entonces la serie converge absoluta y uniformemente en cadadisco cerrado y acotado de D.

3. Si R ∈ R+, entonces la serie converge absoluta y uniformemente en cada inter-valo cerrado y acotado contenido en D(a,R) y no converge en ningún punto deC\D(a,R).

Sea∑

n≥0 an(z − a)n una serie de potencias, cuyo radio de convergencia R esno nulo (serie de potencias no trivial). Si R ∈ R+, llamemos D al disco D(a,R) yD = C si R es infinito. En adelante, nos referiremos al disco D como el dominio deconvergencia de la serie de potencias

∑n≥0 an(z − a)n.

NotaAntes de proseguir, conviene resaltar, que si el radio es un número real positivo

R, el cresultado nada afirma sobre la convergencia en C(a,R).

Busquemos ahora un procedimiento expeditivo para determinar el radio deconvergencia.

Proposición 2.4.8.Sea

∑n≥0 an(z− a)n una serie de potencias cuyos coeficientes son no nulos y sea R

su radio de convergencia.

1. Si la sucesión |an+1

an| converge a un número real positivo L, entonces R = 1

L.


an| converge a cero, R =∞.


an| diverge positivamente, entonces R = 0.

Si existen términos nulos en la serie, usaremos el siguiente resultado.

Proposición 2.4.9.Sea

∑n≥0 an(x− a)n una serie de potencias y supongamos que la sucesión n

√|an|

converge a L ∈ [0,+∞[. Entonces si L = 0 el radio de convergencia de la serie esR = +∞, si L = +∞ el radio de convergencia de la serie es R = 0 y si L ∈ R+ elradio de convergencia de la serie es R = 1/L.

2.4.5. Funciones definidas por series de potencias

Sea∑

n≥0 an(z − a)n una serie de potencias, cuyo radio de convergencia R es nonulo (serie de potencias no trivial). Si R ∈ R+, pongamos Ω = D(a,R) y Ω = C si R esinfinito. En adelante, nos referiremos al dominio Ω como el dominio de convergenciade la serie de potencias

∑n≥0 an(z − a)n.


Podemos definir:f : Ω −→ C,

mediante la fórmula

f(z) =∞∑n=0

an(z − a)n.

Pues bien, veamos que dichas funciones son muy ricas desde el punto de vista analíti-co. Veamos que dichas funciones son también holomorfas en D. Antes necesitamos elsiguiente

Lema 2.4.10.Las series

∑n≥0 an(z−a)n y

∑n≥1 nan(z−a)n−1 tienen igual radio de convergencia.

Teorema 2.4.11.Sea

∑n≥0 an(z−a)n una serie de potencias no trivial, D su dominio de convergecia

y sea f la función suma, entonces f es de clase C∞(D) y para cada z ∈ D y k ∈ N, setiene que

fk)(x) =∞∑n=k

n!

(n− k)!an(x− a)n−k =

∞∑n=0

(n+ k)!

n!an+k(x− a)n.

En particular,fk)(a) = k!ak.

Veamos ahora algunas consecuencias de este último resultado.

Observación 2.4.12. 1. La suma de una serie de potencias puede derivarse como sise tratase de una suma finita.

Nótese que la fórmula del teorema anterior de las derivadas sucesivas dela función definida por una serie de potencias, significa simplemente que dichasderivadas pueden obtenerse derivando cada uno de los términos de la serie departida.

2. La serie de potencias está totalmente determinada.

La misma fórmula del teorema anterior nos dice que en caso de que unafunción f pueda escribirse como suma de una serie de potencias, dicha serie estácompletamente determinada, de hecho, en cada punto a ∈ I,

an = fn)(a)/n!,

de ahí que la correspondiente serie reciba el nombre de serie de Taylor.

Ejemplo 2.4.13. La función f(z) =∑+∞

n=0zn

nnes un ejemplo de una función entera que

no es un polinomio. Si fuese un polinomio, existiría k ∈ N tal que si n 6= k, fk)(z) = 0,cosa que no ocurre en este caso.


Sea A un conjunto abierto de C y sea f : A → C una función. Diremos que fes analítica en A cuando, para cada a ∈ A, existe ra > 0 y existe una serie depotencias

∑n≥0 an(z − a)n de manera que D(a, ra) ⊆ A y, para cada z ∈ D(a, ra),

f(z) =∑+∞

n=0 an(z − a)n.Como acabamos de ver toda función análítica es holomorfa, de hecho veremos más

adelante que todas las funciones holomorfas pueden reconstruirse de este modo.

2.4.6. Desarrollos en serie de Taylor

Como consecuencia de todo lo anterior, podemos obtener desarrollos de otras fun-ciones elementales.

Proposición 2.4.14.Para cada z ∈ C, se tiene:

a) ez =∑∞

n=01n!zn.

b) sen(z) =∑∞

n=0(−1)n

(2n+1)!z2n+1.

c) cos(z) =∑∞

n=0(−1)n

(2n)!z2n.

Proposición 2.4.15. Para cada z ∈ D(0, 1), se tiene que

1

1− z=

+∞∑n=0

zn.

Corolario 2.4.16. Sea Ω un conjunto abierto y sea a ∈ Ω tal que D(a,R) ⊆ Ω y sea funa función continua en C(a,R)∗ . Entonces la serie

∑n≥0

f(w)(w−a)n+1 (z − a)n converge

unifomemente en C(a,R)∗ y

ff(w)

z − w=∞∑n=0

f(w)

(w − a)n+1(z − a)n, ∀z ∈ D(a,R).

Para a ∈ C∗\R−, definimos

ra =

|a| si Rea ≥ 0

|Ima| si Rea < 0.

Es claro que ra > 0 y que D(a, ra) ⊆ C∗\R−

Teorema 2.4.17.Sea a ∈ C∗\R−. Entonces para z ∈ D(a, ra)

log(z) = log(a) +∞∑n=1

(−1)n+ 1

nan(z − a)n.



1. Estúdiese la convergencia uniforme en un disco de la formaD(0, r) y en el conjuntoC\D(0, r) donde r > 0, de la sucesión de funciones fn definidas para todo z ∈ Cpor:

fn(z) =2nz2

1 + n2z4.

2. Calcúlese el radio de convergencia de cada una de las series de potencias∑

n anzn

an =n−√n

n2 + n+ 1, an = (n+ 1)log(n+1), an = e− (1 + 1/n)n.

an = 1 + 1/2 + ...+ 1/n, an = a√n (a > 0).

an =1

log(n+ 2), an =

1

2n(n+ 1).

3. Calcúlese el radio de convergencia y la suma de las series:∑n≥1

n zn ;∑n≥1

n2 zn ;∑n≥1

(n− 1)3

(n− 1)!zn−1.

4. Calcula el desarrollo en serie de potencias centrada en un punto a de la función:

f(z) =2z3 − z2 + 2z − 7

z4 − z3 − 3z2 + +2.

5. Demuéstrese que la serie∑

n≥11nz

es absolutamente convergentepara Re(z) > 1,y uniformemente convergente para Re(z) ≥ a > 1.

6. Determínese el desarrollo en serie de Taylor centrado en el punto z0 de la funciónf en los siguientes casos:

a) f(z) = 1(1−z)3 y z0 = 0.

b) f(z)=log(z) y z0 = −1.

7. Decídase si existe una función analítica f(z) cuando |z| < 1 verificando alguna delas siguientes condiciones:

a) f( 12π

) = 0 y f( 12π+1

) = 1.

b) f( 12n

) = 2n

2n+1, para todo n ∈ N.

Si para alguna condición la respuesta es afirmativa, determínese dicha función.

Capítulo 3

Teorema de Cauchy y aplicaciones

3.1. Integral a lo largo de una curva. Existencia deprimitivas

Sumario

Esta lección está dedicada al estudio de la integral curvilínea, la cual es una herramientafundamental en todo lo que sigue. Previamente tenemos que definir el concepto de integralcompleja, que usaremos normalmente para funciones continuas definidas en un intervalo cerra-do y acotado de números reales. También intentaremos resolver cunado una función f continuadefinida en dicho intervalo admite primitiva. El contenido completo de esta lección se articulade la siguiente manera:

3.1.1 Integral de funciones complejas.

3.1.2 Integral a lo largo de una curva.

3.1.3 Existencia de primitivas.

3.1.4 Teorema de Cauchy.


3.1.1. Integral de funciones complejas

Sean a, b ∈ R y f : [a, b] −→ C una función acotada. Diremos que f es integrablesi lo son las funciones Ref = Re f y Imf = Im f . En tal caso se define∫ b

a

f(t) dt =

∫ b

a

Re(f(t)) dt+ i

∫ b

a

Im(f(t)) dt. (3.1.1)

Rpresentaremos por R([a, b]) al conjunto de todas las funciones integrables definidasen el intervalo [a, b].

51

52 §3.1 Integral a lo largo de una curva

Como consecuencia de las propiedades de las funciones reales de variable real inte-grables (Véase [1, Capítulo VII, Sección 2] y de la definición dada para la integral deuna función compleja (3.1.1), obtenemos que:

Proposición 3.1.1. spc Sean a < b ∈ R y sean f y g dos funciones de [a, b] en C.

1. Si f, g ∈ R([a, b]) y α ∈ C, entonces f + g, f.g, αf ∈ R([a, b]) y∫ b

a

(f + g)(t) dt =

∫ b

a

f(t)dt+

∫ b

a

g(t) dt, ∀f, g ∈ R([a, b])

y ∫ b

a

αf(t) dt = α

∫ b

a

f(t) dt ∀f ∈ R([a, b]), ∀α ∈ C.

2. Si c ∈ [a, b], entonces f ∈ R([a, b]) si, y sólo si, la restricción de f a los intervalos [a, c]y [c, b] es integrable en cada intervalo y, en caso afirmativo, se tiene que∫ b

a

f(t) dt =

∫ c

a

f(t) dt+

∫ b

c

f(t) dt = 0.

3. Si f ∈ C([a, b]) entonces f ∈ R([a, b])

Toda función continua esComo consecuencia tambien probamos que

Corolario 3.1.2. Si f : [a, b] −→ C es una función integrable, entonces |f | es integrabley

|∫ b

a

f(t) dt| ≤∫ b

a

|f |(t) dt.

Hemos visto que toda función continua es integrable, el recíproco no es cierto, ellopuede deducirse de la siguiente propiedad, que es consecuencia de la Proposición 2.1.7,de la correspondiente propiedad para funciones reales (véase [1, Proposición 7.15]) y,de nuevo, de (3.1.1)

Corolario 3.1.3. Si f : [a, b]→ C es una función acotada y el conjunto de discontini-dades de f es finito, entonces f es integrable.

Final como consecuencia de la definición (3.1.1) y de la Regla de Barrow para lasfunciones reales (véase [1, Teorema 7.33], también se obtiene la correspondiente

Proposición 3.1.4. ( Regla de Barrow): Si f : [a, b] → C es una función integrableque admite una primitiva F , entonces∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a).


3.1.2. Integral a lo largo de una curva

Diremos que γ : [a, b] −→ C es una curva regular si γ es una función de clase C1

en el intervalo [a, b].Se dice que γ es una curva regular a trozos si existe una partición P del intervalo

[a, b], P = x0, x1, ..., xn, tal que la curva γ/[xk−1,xk] es regular para k = 1, 2, ..., n.

Sea γ : [a, b] −→ C una curva regular a trozos y sea f ∈ C(γ∗), definimos∫γ

f(z) dz :=n∑k=1

∫ xk

xk−1

f γ(t)γ′(t)dt.

Caundo no hyaa lugar a error escribiremos∫γf en lugar de

∫γf(z) dz.

Se puede comprobar que dicha definición es independiente de la partición P =x0, x1, ..., xn del intervalo [a, b] verificando que γ/[xk−1,xk] es una curva regular parak = 1, 2, ..., n). Es sabido, véase [1, Proposición 7.71], que la longitud de dicha curva,l(γ), es igual a

∑nk=1

∫ xkxk−1|γ′(t)| dt.

Obsérvese que si γ es una curva regular entonces∫γ

f =

∫ b

a

f γ(t)γ′(t)dt.

Así por ejemplo, para cada f ∈ R([a, b]), se tiene que∫

[a,b]f =

∫ baf(t)dt.

Como ya hemos comentado, por abuso del lenguaje, suelen confundirse la curvacon su imagen. De hecho, solemos escribir γ = C(a, r), debiendo entender que γ :[−π, π] −→ C es la curva definida por γ(t) = a+ reit. En particular,∫

C(a,r)

1

z − adz = 2πi.

Veamos ahora algunas propiedades.

Proposición 3.1.5. Sea γ una curva regular a trozos. Si f, g ∈ C(γ∗) y α ∈ C entonces

1.∫γf + g =

∫γf +

∫γg.

2.∫γαf = α

∫γf.

3.|∫γ

f | ≤ l(γ)Max|f(z)|; z ∈ γ∗.

Como consecuencia de nuestro resultado anterior, encontramos una condición sufi-ciente para que el signo integral permute con el límite.

Corolario 3.1.6. Sea fn una sucesión de funciones continuas de A en C que convergeuniformemente a una función f : A → C. Sea γ una curva regular a trozos tal queγ∗ ⊆ A. Entonces f es continua en γ∗ y

lim

∫γ

fn =

∫γ

f.


Observación 3.1.7. Recordemos que dadas dos curvas γ : [a, b] → C y σ : [c, d] → Ctales que γ(b) = σ(c), entonces la curva suma de ambas, γ + σ, viene dada por

γ + σ(t) =

γ(t) si t ∈ [a, b],

σ(t− b+ c) sit ∈ [b, b+ d− c].

Claramente la suma de dos curvas regulares a trozos es una nueva curva regular atrozos. En efecto, Sean P = x0, x1, ..., xn y Q = y0, x1, ..., ym sendas particionesde los intervalos [a, b] y [c, d] tales que la curva γ/[xk−1,xk] para k = 1, 2, ..., n y lacurva σ/[yk−1,yk] para k = 1, 2, ...,m son curvas regulares. Obsérvese que el conjuntoP := x0, x1, ..., xn, b + d− y0, b + d− y1, ..., b + d− ym es una partición del intervalo[a, b + d− c] tal que la restricción de la curva suma a cada uno de los subíntervalos esregular.

Proposición 3.1.8. Sean γ : [a, b] −→ C y σ : [c, d] −→ C dos curvas regularesregulares a trozos tales que γ(b) = σ(c). Si f ∈ C(γ∗

⋃σ∗), entonces∫

γ+σ

f =

∫γ

f +

∫σ

f.

Sea γ : [a, b] −→ C una curva. Al valor γ(a) se le denomina origen de la curva γ. Alvalor γ(b) se le denomina extremo de la curva γ. Diremos que una curva γ : [a, b] −→ Ces una curva cerrada si coinciden su origen y su extremo., esto es, si γ(a) = γ(b).

Como consecuencia de la proposición anterior, obtenemos que la integral no dependedel punto de partida en las curvas cerradas.

Teorema 3.1.9. (Independencia del punto de partida en una curva cerrada)Sean γ : [a, b] −→ C una curva cerrada regular a trozos, f ∈ C(γ∗), c ∈]a, b[ y

σ : [c, b+ c− a] −→ C la curva definida por

σ(t) =

γ(t) si t ∈ [c, b],

γ(t+ b− a) si t ∈ [b, b+ c− a].

Entonces ∫σ

f =

∫γ

f.

Veamo ahora que si la función f admite primitiva, entonces la integral, sobre cual-quier curva regular a trozos, sólo dependen del origen y del extremo de la misma.

Proposición 3.1.10. (Regla de Barrow para integrales curvilíneas)Sean Ω un abierto de C, f una función continua en Ω que admite una primitiva, F ,

y γ : [a, b] −→ C una curva regular a trozos cuya imagen γ∗ ⊆ Ω. Entonces∫γ

f = F (γ(b))− F (γ(a)).


De hecho, la Regla de Barrow nos proporciona una condición necesaria para queexista la primitiva de una cierta función f , a saber, que su integral, sobre cualquiercurva cerrada cuya imagen esté contenida en el dominio de f , sea nula. Veremos en lasiguiente sección que este hecho caracteriza la existencia de primitivas. Vamos ahoracon la condición necesaria anunciada.

Corolario 3.1.11. Sean Ω un abierto de C, f una función continua en Ω que admiteuna primitiva, F , y γ : [a, b] −→ C una curva cerrada regular a trozos cuya imagenγ∗ ⊆ Ω. Entonces ∫

γ

f = 0.

3.1.3. Existencia de primitivas

Abordemos ahora el problema de la existencia de primitivas. El antecedente deeste problema en el caso real es resuelto con el teorema fundamental del Cálculo: Sif ∈ C([a, b]) y a es un punto de I, entonces

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt

es una función primitiva de f en I. En el caso complejo las cosas no parecen tan fáciles.Dado que

∫C(0,1)

1zdz = 2πi, a partir del Corolario 3.1.11, podemos deducir que la

función z 7−→ 1zno admite primitiva en ningún abierto que contenga a la circunferencia

C(0, 1).Busquemos pues una condición suficiente. Nuestro primer resultado será clave en

todo lo que sigue, llegándonos a a permitir, como ya veremos, construir primitivas deciertas funciones.

Lema 3.1.12. (de construcción de primitivas)Sean Ω un abierto de C y f ∈ C(Ω). Supongamos además que F : Ω −→ C es una

función tal que para cada b ∈ Ω, existe ρ > 0 satisfaciendo que

F (z) = F (b) +

∫[b,z]

f, ∀z ∈ D(b, ρ) ⊆ Ω.

Entonces F ∈ H(Ω) y F ′ = f.

Sea γ : [a, b] −→ C una curva, definimos la curva −γ, como la curva definida en elintervalo [−b,−a], por

−γ(t) = γ(−t), ∀t ∈ [−b,−a].

Es claro que si γ es regular a trozos también lo será −γ, además (−γ)∗ = γ∗ y∫−γf = −

∫γ

f, ∀f ∈ C(γ∗).

Confirmemos la caracterización de la existencia de primitivas comentada anterior-mente.


Teorema 3.1.13. (de caracterización de existencia de primitivas)Sean Ω un abierto de C y f una función continua en Ω. Entonces equivalen:

1. Existe F ∈ H(Ω) con F ′ = f .

2. Para cada curva γ cerrada regular a trozos tal que γ∗ ⊆ Ω, se tiene que∫γ

f = 0.

3.1.4. Teorema de Cauchy

Pese a todo, debemos reconocer que nuestro teorema no es práctico. Nuestro objetivoes pues el de obtener otros resultados de más fácil comprobación que nos aseguren laexistencia de dicha primitiva. En orden a encontrar un tal resultado, comenzamos conun resultado que supuso un hito histórico en la ruptura del problema:

Teorema 3.1.14. (de Cauchy para el triángulo) (Cauchy-Goursat 1905)Sean Ω un abierto de C, f una función holomorfa en Ω y 4(a, b, c) un triángulo

contenido en Ω. Entonces ∫[a,b,c,a]

f = 0.

Veremos que la condición de holomorfía no puede suavizarse

Teorema 3.1.15. ( Teorema de Morera)Sea Ω un conjunto abierto y sea f una función continua en Ω. Entonces f es holo-

morfa en Ω si, y sólo si,∫

[a,b,c,a]f = 0, ∀ 4 (a, b, c) ⊆ Ω.

Recuerdese que un subconjunto A de C se dice que es convexo si para cualesquieradados dos puntos de A, el segmento que los une está contenido en el propio A. Comoconsecuencia del resultado anterior, obtenemos un importante resultado práctico:

Teorema 3.1.16. (Teorema de Cauchy para conjuntos convexos)Si Ω es un dominio convexo de C y f ∈ H(Ω), entonces f admite una función

primitiva.

Citemos ahora una consecuencias inmediata

Corolario 3.1.17. Si D es un dominio convexo de C y f ∈ H(D), entonces, paracada curva cerrada regular a trozos γ contenida en D,∫

γ

f = 0.

En particular, si R > 0, a ∈ C y b ∈ C\C(a,R)∗, entonces∫C(a,r)

1

w − bdw = 0. (3.1.2)



1. Calcúlese∫γzdz siendo γ : [0, 2]→ C el camino dado por:

a) γ(t) = t2 + it ; b) γ(t) = 2t+ it ; c) γ(t) =

2it 0 ≤ t ≤ 12i+ 4(t− 1) 1 ≤ t ≤ 2

2. Calcúlese∫γRe(z)dz siendo γ : [0, 1]→ C el camino dado por:

a) γ(t) = t+ it ; b) γ(t) = exp (2πit)

3. Sea γ : [a, b]→ C un camino y γ el camino conjugado de γ. Pruébese que:∫γ

f(z)dz = intγf(z)dz (∀f ∈ C(γ∗))

Dedúzcase que si f es continua en la circunferencia unidad:∫C(0,1)

f(z)dz = −∫C(0,1)

f(z)

z2dz

4. Sea Ω abierto en C f ∈ H(Ω) y γ un camino cerrado en Ω. Pruébese que∫γf(z)f ′(z)dz es un número imaginario puro.

5. Sea f continua en el semiplano superior y tal que lım z→∞Im z≥0

f(z) = 0. Pruébeseque si λ > 0 y ΓR es la semicircunferencia de centro 0 y radio R contenida en elsemiplano superior, entonces

lımR→+∞

∫ΓR

eiλzf(z)dz = 0.

6. Sea a ∈ C y f una función continua en z ∈ C : r ≤ |z−a| ≤ R donde 0 < r < R.Sea rn → R con r < rn < R. Pruébese que

lımn→∞

∫C(a,rn)

f(z)dz =

∫C(a,R)

f(z)dz.

7. Pruébese que para 0 < r < 1 se tiene que∫C(0,r)

log(1+z)z

dz = 0 y dedúzcase que∫ 2π

0log(1 + r2 + 2rcos(θ))dθ = 0.

8. Sea f holomorfa en un abierto Ω ⊆ C y verificando que |f(z)− 1| < 1 ∀z ∈ Ω.Justifíque se que

∫γf ′(z)f(z)

dz = 0 para todo camino cerrado γ en Ω.

9. Integrando la función h : C→ C dada por:

h(z) =eiz − 1

z∀z ∈ C∗, h(0) = i

a lo largo del camino formado por la yuxtaposición del segmento [−r, r] y de lasemicircunferencia γr de centro 0 y radio r contenida en el semiplano superior,deducir que para todo r > 0 se verifica que:∣∣∣∣∫ r

−r

senx

xdx − π

∣∣∣∣ < π

r

3.2. FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY 59

3.2. Fórmula integral de Cauchy

Sumario

Esta lección está dedicada a obtener resultados que nos permiten probar con más sencillezla existencia de primitivas. ...es sacar provecho de la fórmula de Cauchy para la circunferencia.La consecuencia más importante, entre otras muchos todas ellas importantes, es el hecho de queuna función es derivable en un abierto si, y sólo si es infinitamente derivable en dicho abierto,lo que supone un hecho sustancialmente ventajoso respecto de la situación de la variable real.Este resultado tendrá consecuencias trascendentales. El contenido completo de esta lección searticula de la siguiente manera:

3.2.1 Fórmula de Cauchy

3.2.2 Primeras aplicaciones.

3.2.3 Ceros de una función holomorfa.


3.2.1. Fórmula de Cauchy

Vamos a probar ahora uno de los resultados más importantes del curso, del cualobtendremos numerosas e importantísimas consecuencias. Para ello, necesitamos unpoco de esfuerzo en orden a mejorar, al menos formalmente, los resultados anteriores.Concretamente necesitamos

Lema 3.2.1. Sean Ω un abierto de C, f una función continua en Ω y holomorfa almenos en Ω\α, con α ∈ Ω. Si el triángulo 4(a, b, c) ⊆ Ω, entonces∫

[a,b,c,a]

f = 0.

Y ahora repitiendo la desmotración del Teorema 3.1.16, cambiando el uso del Teo-rema 3.1.14 por el lema anterior, podemos probar que

Corolario 3.2.2. Sean Ω un dominio convexo de C, f una función continua en Ω yholomorfa al menos en Ω\α, con α ∈ Ω. Entonces existe una función F holomorfaen Ω tal que F ′ = f . En particular, f ∈ H(Ω).

Ya estamos en condiciones de probar la versión elemental de la fórmula de Cauchy.

60 §3.2 Fórmula integral de Cauchy

Teorema 3.2.3. (Fórmula de Cauchy para la circunferencia)Sean Ω un abierto de C y f una función holomorfa en Ω. Si el disco cerrado D(a, r)

está contenido en Ω, entonces

f(z) =1

2πi

∫C(a,r)

f(w)

w − zdw, ∀z ∈ D(a, r).

Obsérvese que el mero hecho de conocer la función en una circunferencia permiteconocerla en el interior del disco. En particular, si R > 0, a ∈ C y b ∈ D(a,R), entonces,tomando Ω = C y f = 1, se tiene

1

2πi

∫C(a,R)

1

w − b= 1. (3.2.1)

3.2.2. Primeras aplicaciones

La importancia de la fórmula quedará de maifiesto con las importantes consecuenciasdque obtendremos de ella.

Teorema 3.2.4. (Desarrollo en serie de Taylor) Sea Ω un conjunto abierto y sea funa función holomorfa en Ω y supongamos que D(a,R) ⊆ Ω. Entonces

f(z) =∞∑n=0

(1

2πi

∫C(a,R)

f(w)

(w − a)n+1

)(z − a)n, ∀z ∈ D(a,R).

Recordemos que si I es un intervalo abierto de R entonces existen funciones realesderivables en I cuya derivada en dicho intervalo no es continua, funciones dos vecesderivables cuya derivada segunda no es continua, etc. He aquí la sorpresa de la variablecompleja: Toda función holomorfa es desarrollable en serie de potencias, y por tantoinfinitamente derivable. Este hecho, junto con el teorema 2.2.6 nos asegura que lasparte real e imaginaria de una función holomorfa en un abierto son de clase C∞ endicho abierto. Como consecuencia, del Corolario 2.2.7,

Corolario 3.2.5. Sea Ω un abierto de C y sea f una función derivable en Ω. Entonceslas funciones u y v son funciones de clase C∞ en Ω y verifican la ecuación de Laplace:

∂2u

∂x2+∂2v

∂y2=∂2v

∂x2+∂2v

∂y2= 0.

El corolario anterior nos asegura que las parte real e imaginaria de una funciónholomorfa en Ω son dos funciones armónicas en Ω.

Precisemos un poco más la idea de desarrollabilidad en series de potencias.

Corolario 3.2.6. Sea Ω un conjunto abierto y sea f : Ω → C una función. f esholomorfa en Ω si, si y sólo si, f es analítica en Ω.


Observación 3.2.7. Como ya advertimos en la Nota 2.4.12, los coeficientes de la serieestán determinados, así, para cada a ∈ Ω tal que D(a,R) ⊆ Ω,

fn)(a)

n!=

1

2πi

∫C(a,R)

f(w)

(w − a)n+1dw.

Veamos cómo generalizar este resultado para las derivadas.

Teorema 3.2.8. (Fórmula de Cauchy para las derivadas)Si f es holomorfa en Ω, se tiene que

fn)(z) =n!

2πi

∫C(a,R)

f(w)

(w − z)n+1, ∀n ∈ N ∪ 0, ∀z ∈ D(a,R) ⊆ Ω.

Corolario 3.2.9. (Desigualdad de Cauchy) Sean Ω un abierto de C, f ∈ H(Ω) ya ∈ ω. Dado R ∈ R+ tal que D(a,R) ⊆ Ω, seaM(f, a, R) = Max|f(z)|, z ∈ C(a,R)∗.Se tiene entonces

|fn)(a)| ≤ n!

RnM(f, a, R), ∀n ∈ N ∪ 0.

Diremos que una función f : C→ C es bf entera Si f ∈ H(C). Cuando la funciónes entera, todavía podemos concretar más,

Teorema 3.2.10. (Teorema de Liouville)Si f es una función entera y acotada, entonces f es una función constante.

Como consecuenca probamos el siguiente resultado crucila para tantos problemas.

Teorema 3.2.11. Teorema fundamental del álgebra)Si P es un función polinómica con coeficientes complejos no constante, entonces

existe z ∈ C tal que P (z) = 0.

3.2.3. Ceros de una función holomorfa

En realidad la respuesta es mucho más concreta.

Corolario 3.2.12. Si P (z) es un polinomio con coeficientes complejos de grado n,entonces P (z) tiene exactamente n raices (que pueden ser reales ó complejas), contandosu multiplicidad.

Pero qué ocurre con los ceros de otras funciones holomorfas? Desde luego, hay fun-ciones enteras con infinitas ceros, piénsese en las funciones seno y coseno, pero encualquier caso, su comportamiento guarda cierta similitud con el caso de las funcionespolinómicas.


Lema 3.2.13. Sea D un dominio de C y f ∈ H(D). Sea

A := z ∈ Ω : fn)(a) = 0,∀n ∈ N ∪ 0.

Entonces o bien A = ∅ o bien A = D.En particular, Si f no es identicamente cero entonces, para cada a ∈ D tal que

f(a) = 0, existe n ∈ N tal que fn)(a) 6= 0.

Este resultado nos capacita para hacer la siguiente definición: Sea D un dominiode C, sea f ∈ H(Ω) y sea a ∈ D tal que f(a) = 0. Si f no es idénticamente nula,llamaremos orden del cero de f en a, al Mink ∈ N; fk)(a) 6= 0.

Teorema 3.2.14. (Teorema del orden de los ceros)Sea D un dominio de C, k ∈ N a ∈ Ω y f ∈ H(D) no idénticamente nula. Entonces

f tiene un cero de orden k en a si, y sólo si existe g ∈ H(D que no se anula en a y talque

f(z) = (z − a)kg(z), ∀z ∈ D.

Es claro que g ∈ H(Ω\a) y que g(z) = φ(z) para todo z ∈ D(a,R), luego porel Corolario 3.2.2, g ∈ H(D(a,R)) y f(z) = (z − a)kg(z) para todo z ∈ Ω. Dado elcarácter local de la holomorfía, conluimos que g ∈ H(Ω).

Podemos ahora preguntarnos en cuántos puntos deben coincidir dos funciones holo-morfas para asegurar que son idénticas.

Teorema 3.2.15. (Principio de identidad)Sea D un dominio de C, f ∈ H(D) y Z(f) := z ∈ D : f(z) = 0. Entonces

Equivalen

1. Z(f)′ ∩D = ∅2. Existe a ∈ Z(f) tal que fn)(a) = 0 para todo n ∈ N.3. f es idénticamente cero en D.

Corolario 3.2.16. Sean un dominio de C, y f y g dos funciones holomorfas en D. SiB es el conjunto donde coinciden f y g, entonces f = g en D si, y sólo si, B′ ∩D 6= ∅.

Obsérvese que Las funciones ez, sen(z) y cos(z) son las únicas extensiones de susrespectivas funciones reales.

Proposición 3.2.17. (Principio del módulo máximo)Sea D un dominio de C y sea f ∈ H(D). Si |f | alcanza un máximo relativo en D

entonces f es constante.

Corolario 3.2.18. Sea Ω un abierto acotado de C. Si f ∈ H(Ω) ∩ C((Ω), entonces

Max|f(z)| : z ∈ Ω = Max|f(z)| : z ∈ ∂(Ω).

Corolario 3.2.19. Principio del Módulo Mínimo)Sea D un dominio de C y sea f ∈ H(D). Si |f | alcanza un mínimo relativo en un

punto a ∈ D entonces f es constante en D ó f(a) = 0.


3.2.4. Indice de una curva cerrada respecto de un punto.

Sean a ∈ C, y r > 0. Según hemos visto en (3.2.1) y (3.1.2), para cada z ∈C\C(a, r)∗, se tiene

1

2πi

∫C(a,r)

dw

w − z=

1 si |z − a| < r0 si |z − a| > r

.

Podría intepretarse que el valor de la integral vale uno ó cero si la circunferenciaC(a, r) rodea o no al punto z. Ello nos motiva para la siguiente definición:

Sea γ una curva cerrada y regular a trozos definimos el índice de de la curva γrespecto del punto z0, mediante la siguiente expresión

Indγ(z0) =1

2πi

∫γ

dz

z − z0

.


1. Sean Ω = C \ i,−i y f(z) = 11+z2

, ∀z ∈ Ω. Justifíquese que f no admite unaprimitiva en Ω.

Bibliografía

[1] C. Aparicio del Prado y R. Payá Albert, Análisis Matemático I Textosuniversitarios. Universidad de Granada. 5ł Edición (1991).

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