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FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
GUIA DE APRENDIZAJE
NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURACION: CONCEPTOS PREVIOS: CRITERIOS DE EVALUACION: BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:
CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO 4 1 CAMPOS VECTORIALES, ROTACIONAL Y DIVERGENCIA 4 HORAS Vectores e integrales múltiples La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. CALCULO, JAMES STEWART CALCULO, THOMAS FINNEY
TEMA: CAMPOS VECTORIALES, CAMPOS CONSERVATIVOS, ROTACIONAL Y DIVERGENCIA
OBJETIVO
- Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de los campos vectoriales, el rotacional y la divergencia.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: 2 HORAS
TEMATICA
CAMPOS VECTORIALES, CAMPOS CONSERVATIVOS, ROTACIONAL Y DIVERGENCIA
Un campo vectorial en tres dimensiones es una función F cuyo dominio D es
un subconjunto de 3R , y cuyo contradominio es un subconjunto de 3V . Si
Dzyx ),,( , entonces kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( , donde M,
N y P son funciones escalares de tres variables y cuyo contradominio
constituye un subconjunto de 3V .
Un campo vectorial en dos dimensiones es una función F cuyo dominio D es
un subconjunto de 2R , y cuyo contradominio es un subconjunto de 2V . Si
Dyx ),( , entonces jyxNiyxMyxF ),(),(),( , donde M y N son funciones
escalares de dos variables y cuyo contradominio constituye un subconjunto de
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2V . Por ejemplo, podemos representar la velocidad ),,( zyxV de un fluido
mediante un vector dibujado en cada punto ),,( zyx del dominio del fluido, y la
colección de vectores que resulta es un campo de velocidades. Para hacerse una idea visual de un campo vectorial, se dibujan vectores
),,( zyxV en forma de flechas, en puntos seleccionados de D. Un diagrama de
este tipo es la gráfica del campo. EJEMPLO. Vamos a dibujar la gráfica del campo xjyiyxF ),( , para esto
hallamos el valor de F en varios puntos:
jiF 34)4,3( ; jiF 2)2,1( ; jiF 10)0,1( ; jiF 0)1,0(
Podemos calcular tantos valores de F como queramos. La siguiente figura muestra varios de ellos y fue obtenida con MATHEMATICA: Se utilizo los comandos <<Graphics`PlotField` y PlotVectorField[{y,-x},{x,-1,1},{y,-1,1}, Axes->True, AspectRatio->Automatic, PlotPoints->15, Frame->True, ScaleFunction->(.5#&)]
Gráfica del campo vectorial xjyiyxF ),(
Parece que cada vector es tangente a un circulo con centro en el origen. Para confirmar esto, tomamos el producto punto del vector de posición yjxi con el
vector xjyiyxF ),( el cual da cero. Observe que el radio del circulo es
igual a la magnitud del vector xjyiyxF ),( .
La gráfica de un campo vectorial suministra información interesante sobre las propiedades del campo. Por ejemplo supongamos que F representa la velocidad de un fluido compresible, por ejemplo un gas, en un punto (x , y) del plano. Entonces F asigna un vector velocidad a cada punto (x , y) del plano, y la gráfica de F es una imagen del flujo del gas. Para un flujo constante como jiyxF 35),( ,
Y un flujo circular como xjyiyxF 35),( tenemos las siguientes gráficas:
3
jiyxF 35),( xjyiyxF 35),(
EJEMPLO. La siguiente gráfica representa el campo vectorial de flujo del aire.
Campo vectorial de flujo del aire
EJEMPLO. Vamos a dibujar la gráfica del campo zkjizyxF 00),,( , para
esto hallamos el valor de F en varios puntos: kjiF 00)1,4,3( ; kjiF 300)3,2,1( ; kjiF 000)0,0,1( ;
kjiF 500)5,1,0( . Podemos calcular tantos valores de F como queramos.
La siguiente figura muestra varios de ellos y fue obtenida con MATHEMATICA: Se utilizo los comandos <<Graphics`PlotField3D` y PlotVectorField3D[{0,0,z}, {x,-2,2},{y,-2,2},{z,-2,2}, Axes->True, AspectRatio->Automatic, PlotPoints->8, Frame->True, VectorHeads->True, AxesLabel->{x,y,z}];
zkjizyxF 00),,(
El campo vectorial anterior se puede graficar a mano gracias a la sencillez de su formula, pero resulta prácticamente imposible trazar a mano la mayor parte
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de los campos vectoriales tridimensionales y es necesario emplear un sistema algebraico de computo. EJEMPLOS
xkzjyizyxF ),,( xkjyizyxF 2),,( kz
jz
xi
z
yzyxF
4),,(
Nótese que las formulas de los dos primeros campos vectoriales tienen formulas semejantes, pero los vectores de la segunda figura, en general, apuntan en la dirección negativa del eje Y, porque su segunda componente es siempre –2. Si el campo vectorial de la tercera figura representara un campo de velocidades, entonces el movimiento de una partícula seria hacia arriba, en forma de espiral alrededor del eje Z, y, visto desde arriba, en el sentido de las manecillas del reloj. EJERCICIOS
1. Dibuje algunos vectores representantes del campo vectorial dado
(A) yjxiyxF ),( ; (B) yjixyxF 2),( ;
(C) xjyiyxF ),( ;
(D) kjizyxF 32),,( ; (E) zkjizyxF 2),,( ;
(F) kyjxizyxF 3),,( ; (G) zkyjxizyxF ),,( .
CAMPO DE VARIACION INVERSA AL CUADRADO DE LA DISTANCIA
Sea zkyjxir el vector de posición de un punto ),,( zyxk . Se dice que un
campo vectorial F es un campo de variación inversa al cuadrado de la
distancia sí ur
czyxF
2),,( donde c es un escalar y u es un vector unitario
que tiene la misma dirección que r y esta dada por r
ru .
EJEMPLO
Describamos el campo ur
czyxF
2),,( con c < 0.
5
Como r
ru y zkyjxir entonces u
r
czyxF
2),,( =
3r
cr=
2
3
222 )(
)(
zyx
zkyjxic
Observamos que ),,( zyxF es un múltiplo escalar negativo de r, la dirección de
),,( zyxF es hacia el origen. Además 2
),,(r
czyxF la magnitud de F es
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia del punto ),,( zyxk al
origen. Esto significa que cuando el punto ),,( zyxk se aleja del origen, la
longitud del vector asociado ),,( zyxF disminuye. En la figura siguiente se
indican algunos vectores típicos de este campo.
La fuerza de la gravedad determina un campo de tipo de variación inversa al cuadrado. Según la ley de gravitación universal de Newton, si una partícula de masa M se coloca en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces la fuerza que ejerce sobre una partícula de masa m
localizada en ),,( zyxk es ur
MmGzyxF
2),,( donde G es la constante de
gravitación universal, r es el vector de posición del punto ),,( zyxk y r
ru .
También en la teoría de la electricidad aparecen los campos de tipo de variación inversa al cuadrado. La ley de coulomb afirma que si una carga eléctrica puntual Q (en coulombs) se encuentra en el origen, entonces la fuerza
),,( zyxF que ejerce sobre otra carga q (en coulombs) localizada en ),,( zyxk
es ur
QqczyxF
2),,( donde c es una constante,
r
ru y zkyjxir .
Observe que la ley de coulomb tiene la misma forma que la ley de gravitación universal de Newton.
CAMPO VECTORIAL CONSERVATIVO (independencia del camino)
Si ),,( zyxfw , entonces el gradiente de la función ),,( zyxfw ,
kzyxfjzyxfizyxfw zyx ),,(),,(),,( es un campo vectorial. Por un
teorema anterior la dirección del vector w en cualquier punto ),,( zyxk es
normal a la superficie de nivel S de f que pasa por ),,( zyxk , además la
magnitud de w es igual a la razón máxima de cambio de f en el punto
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),,( zyxk . Se dice que un campo vectorial ),,( zyxF es un campo vectorial
conservativo si es el gradiente de una función escalar, es decir, si
),,(),,( zyxfzyxF para una función f. Si ),,( zyxF es conservativo, entonces
la función f es una función de potencial para ),,( zyxF , y ),,( zyxfw se
llama potencial en el punto ),,( zyxk .
EJEMPLO
Comprobemos que el campo vectorial jxxyiyxF 22),( es conservativo y
tiene potencial escalar yxyxf 2),( . En efecto jxxyif 22 el cual coincide
con F.
Una región D se llama conexa si se pueden unir cualesquiera dos de sus puntos por un arco enteramente contenido en D y si además toda curva cerrada encierra solo puntos de D, se dice que D es simplemente conexa.
Sea jyxNiyxMyxF ),(),(),( donde M y N tienen primeras derivadas
parciales continuas en una región D abierta y simplemente conexa, entonces
jyxNiyxMyxF ),(),(),( es conservativo en D, si y solo si x
N
y
M
EJEMPLO
Dado el campo vectorial jxyeiyyeyxF xx )2cos()sen(),(
Sea )sen( yyeM x y )2cos( xyeN x , entonces x
N
y
M
luego F es
conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que Ff ,
observemos que debe ser ),(),( yxfyxM x y ),(),( yxfyxN y hacemos una
integración parcial, es decir, integramos con respecto a x y tomamos a y como
constante: )(sen)sen(),(),( ycyxyedxyyedxyxMyxf xx , como
también debe ser ),( yxNf y calculamos la derivada parcial con respecto a y,
así obtenemos: dy
dcxyeycyxye
yyxf xx
y
cos))(sen(),( igualando a
2cos),( xyeyxN x y despejando dy
dc tenemos
2coscos xyedy
dcxye xx así 2
dy
dc integrando hallamos que
cyyc 2)( , luego cyxyyeyxf x 2sen),( . Cualquier función de esta
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familia es un potencial escalar de F, luego podemos tomar
yxyyeyxf x 2sen),(
EJERCICIO
2. Demuestre que todo campo vectorial del tipo de variación inversa al cuadrado (o de tipo gravitacional) es conservativo.
3. Demuestre que el campo vectorial F es conservativo y halle un potencial escalar f.
(A) jxxyiyxF 22),( (B) jxyiyxyxF )()2(),( 2
(C) jSenxyxeiySenxyCosxyexCosyxF xx )())(22(),(
Definimos el operador diferencial vectorial z
ky
jx
i
. Si actúa
sobre una función escalar f, da como resultado el gradiente de f.
kz
fkj
y
fi
x
fffgrd
ROTACIONAL DE F
Sea F una función vectorial en tres dimensiones dada por kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( donde M, N y P tienen derivadas
parciales en alguna región. El Rotacional de F esta dado por
ky
M
x
Nj
x
P
z
Mi
z
N
y
PXFrotF )()()(
Se usará el símbolo XFrotF para denotar el vector ),,( zyxrotF o
),,( zyxXF , asociado a (x, y, z).
La formula para ),,( zyxrotF se puede considerar como el desarrollo de un
determinante con respecto al primer renglón.
PNM
zyx
kji
XFFrot
EJEMPLO
Encontremos el rotacional de kzyjzyxizxyzyxF 23242 )2(),,(
kxyzxyjzxyizy
zyzyxzxy
zyx
kji
XFFrot )24(4)13(
2
43222
23242
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Si F es el campo de velocidades en un fluido (liquido o gas) que se mueve a través de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces XFrotF da
información acerca del aspecto giratorio o rotativo del movimiento. Si se considera un punto ),,( zyxk alrededor del cual el fluido gira, entonces
XFrotF coincide con el eje de rotación y se puede emplear para describir
las propiedades rotacionales del campo.
INTERPRETACION FISICA DEL ROTACIONAL
Si un fluido se mueve en una región del plano xy, se puede imaginar el rotacional como la circulación del fluido. Una buena manera de medir el efecto de la circulación (módulo, dirección y sentido) es colocar una pequeña rueda con aspas en el fluido el rotacional mide la tasa de rotación del fluido en el punto ),,( zyxk en el que se coloca la rueda con aspas en la dirección de su eje.
El rotacional es positivo para la rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo en el sentido de las manecillas del reloj. Sea
kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( la velocidad de un fluido
incompresible y supongamos que introducimos una rueda con aspas en el fluido, de tal manera que su eje es el eje z. Despreciamos el peso de las aspas. El fluido tiende a arremolinarse alrededor del eje z haciendo que giren las aspas. Podemos estudiar el movimiento del fluido mediante el de las aspas. Se puede ver que la velocidad angular del liquido:
Alrededor del eje x es proporcional a )(z
N
y
P
Alrededor del eje y es proporcional a )(x
P
z
M
Alrededor del eje z es proporcional a )(y
M
x
N
Así la tendencia del fluido a formar un remolino viene medida por XFrotF .
Si XFrotF =0 el fluido no tiene movimiento rotacional y se dice que es
irrotacional.
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DIVERGENCIA DE F
Sea kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( donde M, N y P tienen
derivadas parciales en alguna región. La Divergencia de F esta dado por
z
p
y
N
x
MFDivF
Se usa el símbolo F para la divergencia por que la formula puede
establecerse tomando lo que parece ser el producto escalar de Fy .
EJEMPLO
Encontremos la divergencia kzyjzyxizxyzyxF 23242 )2(),,(
zyxzyz
zy
y
zyx
x
zxyFDivF 3242
43242
22)()2()(
Si F es el campo de velocidades en un fluido, entonces FDivF da
información acerca del flujo o desplazamiento de la masa. Si 0DivF en un
punto ),,( zyxk entonces la masa fluye hacia el punto y se dice que hay un
sumidero en ),,( zyxk . Si 0DivF , entonces la masa fluye desde el punto y se
dice que hay una fuente en ),,( zyxk . La condición 0DivF es característica
de los fluidos incompresibles.
EJERCICIOS
Sea f una función escalar y F una función vectorial. Probar que
4. FfFffF
5. GFGF
6. GFGF
7. FfFffF
8. FGGFGF
En un campo vectorial, kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( , donde M,
N y P son funciones escalares de tres variables pueden definirse limites, continuidad, derivadas parciales e integrales múltiples usando las componentes de kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( tal como se hizo para las
funciones vectoriales de una variable. EJERCICIOS Halle la divergencia y el rotacional de: 09. CosyjSenxiyxF ),(
10. kzjyixyxF 222),(
11. kxzjzyiyxzyxF )()()(),,(
12. kejeiezyxF yzxzxy ),,( en )0,2,3(
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FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
GUIA DE APRENDIZAJE
NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURACION: CONCEPTOS PREVIOS: CRITERIOS DE EVALUACION: BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:
CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO 4 2 INTEGRALES DE LINEA 4 HORAS Integrales múltiples, Campos vectoriales, campos conservativos, rotacional y divergencia. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. CALCULO, JAMES STEWART CALCULO, THOMAS FINNEY
TEMA: INTEGRALES DE LINEA
OBJETIVO
- Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear y aplicar modelos matemáticos con el uso de las integrales de linea.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: 2 HORAS
TEMATICA
INTEGRALES DE LINEA O INTEGRALES CURVILINEAS Definición de Integral curvilínea. Para construir modelos matemáticos de ciertas nociones físicas, como trabajo o potencial, hay que generalizar el concepto original de integral considerando límites de sumas cuyos sumandos dependen de una cierta forma de una curva, llamada camino de integración. Esto nos lleva al concepto de integral curvilínea, que es realmente la integración a lo largo de una curva en el espacio. Comenzamos definiendo la integral curvilínea de una función f sobre una curva C con respecto a x. Las integrales correspondientes respecto de y o de z se definen de manera análoga. Una curva C de ecuaciones paramétricas ktzjtyitxtR )()()()( se llama
lisa en el intervalo 21 ttt si las tres derivadas )(' tx , )(' ty y )(' tz son
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continuas y no se anulan simultáneamente en ningún punto t del intervalo. Más generalmente, C es lisa a trozos si se puede descomponer en un numero finito de partes lisas. Se dice que C es orientable si es posible definir una dirección
sobre C cuando t crece. Supongamos que C es una porción de una curva lisa a trozos, orientable, que
comienza en 0pp y termina en npq . Supongamos que se hace una
partición de C en n trozos mediante los puntos 0P , 1P , 2P ,..., 1kP , kP , ..., 1nP ,
nP y sean ),,( kkk zyx las coordenadas del punto kP , finalmente para k=1, 2, 3,
...,n elijamos arbitrariamente un punto kP ( kx
,ky
, kz
) en el arco que va de 1nP
hasta kP , y sean 1 kkk xxx , 1 kkk yyy , y, 1 kkk zzz . Al mayor kx
lo llamaremos la x - norma de la partición y la designaremos por x . Se
pueden definir de manera análoga, la y – norma y la z – norma. Para una
función escalar dada f formamos la suma
n
k
kPfS1
)( kx y se define la
integral curvilínea
C
n
k
kkx
xPfLimfdx1
0)( siempre y cuando exista este limite.
De manera análoga se define:
C
n
k
kky
yPfLimfdy1
0)( , y,
C
n
k
kkz
zPfLimfdz1
0)(
Propiedades de las integrales curvilíneas Sea f una función escalar dada, definida con respecto a x en una curva lisa a trozos y orientada C. Entonces se verifican las siguientes propiedades:
Regla del múltiplo constante: C C
fdxkkfdx , donde k es una constante.
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Regla de la suma: CC C
dxfdxfdxff 2121 )( , donde 1f y 2f son funciones
escalares definidas respecto de x en C.
Regla de la dirección opuesta:
C Cfdxfdx , donde –C designa a la
misma curva C recorrida en sentido opuesto.
Regla de subdivisión: C C C
fdxfdxfdx1 2
, donde C esta subdividida en
subarcos 1C y 2C con 21 CCC y 21 CC . Esta propiedad se generaliza
a un número finito de subdivisiones.
Las integrales de la forma C gdy ,o, Chdz gozan de las mismas propiedades.
Demostración: La demostración se sigue directamente de la definición de integral curvilínea y de las propiedades de los limites. Calculo de integrales curvilíneas en paramétricas: En la practica casi
nunca se calcula la integral C fdx mediante la definición. En lugar de eso
observamos que, si la función integrando ),,( zyxf es continua en C y si C se
puede representar en paramétricas por la función vectorial ktzjtyiyxtR )()()()( en la que existe la derivada y es distinta de cero para
todo bta , entonces dtdt
dxtztytxffdx
C
b
a ))(),(),(( . De manera análoga, si
g y h son continuas en C,
dtdt
dytztytxggdy
C
b
a ))(),(),(( , y, dtdt
dztztytxhhdz
C
b
a ))(),(),((
Estas formulas nos permiten convertir las integrales curvilíneas en integrales de riemann ordinarias, que pueden ser calculadas por los métodos conocidos. Se tiene el mismo resultado independientemente de la parametrización de C elegida. EJEMPLO
Sea C el trozo de la parábola 2xy desde (0,0) a (2,4). Hallemos dxyxC )( 2
y dyyxC )( 2
Sol:
Hacemos, tx luego 2ty , en el intervalo 20 t . Como 1dt
dx se tiene
que dxyxC )( 2 =
3
162)(
2
0
2
2
0
22 dttdt
dt
dxtt
Ahora tdt
dy2 , así 162.2)(
2
0
22
0
222 ttdtdt
dyttyx
C
EJERCICIO
1. Calcule Cyz dzxe donde C es la curva de ecuaciones paramétricas
tztytx ,, para 21 t .
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INTEGRALES CURVILINEAS DE CAMPOS VECTORIALES
Vamos a estudiar ahora que se entiende por calcular una integral curvilínea de un campo vectorial. Sea kzyxhjzyxgizyxfzyxF ),,(),,(),,(),,( un campo vectorial, y sea C la
curva definida por las paramétricas ktzjtyitxtR )()()()( , designamos a la
integral de F sobre C por C
dRF y la definimos, así:
C
dRF =
dtdt
dztztytxh
dt
dytztytxg
dt
dxtztytxfhdzgdyfdx
C
b
a
)(),(),()(),(),()(),(),(
EJEMPLO
Calculemos C
dRF , donde kxjyzizyF 222 )2()( y C es la curva de
ecuaciones paramétricas tztytx ,2,2 para 10 t .
dttttdRF 423 86 , luego 30
119)86(
1
0
423 dttttdRFC
EJEMPLO
Sea, yjxixyF 22 , calculemos la integral C
dRF entre los puntos 4,2,0,0
sobre los caminos: (a) el segmento que une esos puntos y (b) el arco de la
parábola 2xy que une esos puntos.
(a). La recta que pasa por los dos puntos tiene como ecuación xy 2 , luego
una parametrización es tytx 2, para 20 t , así tjtitR 2)( y
dtjdtidR 2 , luego jtitF 33 24 y dttdttdRF 33 44 y
2
0
3 328 dttdRFC
(b). La parábola xy 2 se parametriza por 2, tytx para 20 t , así
jttitR 2)( , luego jtityjxixyF 4522 y dttdttdttdRF 555 32 y
2
0
5 323 dttdRFC
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En este ejemplo hemos visto que el valor de la integral es el mismo para los
dos caminos. Además se puede demostrar que, para yjxixyF 22 la integral
curvilínea C
dRF es la misma para cualquier camino que una 4,2,,0,0 con .
OJO, que esto no es cierto para cualquier F, pero cuando es cierto decimos que la integral curvilínea es independiente del camino. EJEMPLO
Calculemos C
xdyydx )( donde C es el camino cerrado de la siguiente figura
El camino cerrado se describe mejor usando tres ecuaciones distintas,
321 ,, CCC . Sea xjyiF de tal manera que xdyydxdRF , luego
C
dRF = 1C
dRF + 2C
dRF + 3C
dRF .
Sobre 1C , la parametrización es SentyCostx , para 2
0
t , luego
jSentiCosttR )()()( y jCostdtiSentddR )()( , luego
jCostiSentxjyiF )()( y así 1C
dRF =2
)( 2
0
2
0
22
dttdtCostdtSen
Sobre 2C , la parametrización es tyx 1,0 para 10 t , luego
jttR )1()( y dtjdR y así 2C
dRF = 1
000
Sobre 3C , la parametrización es, 0, ytx para 10 t y 3C
dRF =0 de
donde C
dRF = 1C
dRF + 2C
dRF + 3C
dRF .= 002
2
EJERCICIO
2. Calcule C
dRF donde xjyiF y C es la semicircunferencia superior
122 yx recorrida en el sentido contrario a las agujas del reloj desde
0,1,0,1 hasta
15
3. Sea, xjiyxF )5( , calculemos la integral C
dRF entre los puntos
1,2,0,0 sobre los caminos: (a) el segmento que une esos puntos y (b) el
segmento rectilíneo desde 1,00,0 hasta seguido del segmento rectilíneo
desde 1,21,0 hasta .
Calculo del trabajo mediante integrales curvilíneas
Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales curvilíneas es el cálculo del trabajo. Recordemos que si un objeto se mueve sobre una línea recta un desplazamiento R en presencia de un campo de fuerzas constante F, el trabajo efectuado es, RF . El caso en que la fuerza F no es constante y el objeto se mueve sobre una curva lisa C requiere atención adicional. Supongamos que C esta parametrizada )(tR y orientada en el
sentido del movimiento. Se hace una partición de C por puntos 0P , 1P ,..., nP ,
como se muestra en la siguiente figura:
Para nk ,...,2,1 sea kQ un punto elegido arbitrariamente en el k – esimo
subarco kC (Con extremos 1kP y kp ) y sea kF el valor del campo de fuerzas
F en kQ . Si la longitud del subarco kC es muy pequeña, F será,
aproximadamente constante, con valor kF sobre kC y el desplazamiento del
objeto a lo largo de kC estará aproximado por el vector secante kR que va
desde 1kP hasta kp entonces el trabajo realizado por la fuerza cuando el
objeto recorre kC se puede aproximar por kW = )(t
RF k
k
t sumando los
trabajos a lo largo de todos los subarcos tenemos una estimación del trabajo total realizado por F cuando el objeto se mueve sobre C. Cuando 0t , el
valor limite de esta suma es la integral de dtdRF / , es decir:
tn
k
kk
t
W
t
RFLim
t
100
= C
dtdt
dRF =
CdRF
Aquí F es un campo continuo de fuerza en un dominio D.
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EJEMPLO
un objeto se mueve en el campo de fuerzas yjxiyF )1(22 , en sentido
contrario a las agujas del reloj, desde el punto )0,2( , sobre el camino elíptico
44 22 yx hasta )0,2( y luego vuelve al punto )0,2( moviéndose sobre el
eje x. Vamos a calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas sobre el objeto:
Sea C el camino total descrito por el objeto. El Trabajo total W que realiza F
sobre el objeto al desplazarse este sobre C esta dado por la integral C
dRF .
Dividimos C en dos partes 1C (elipse) y 2C (segmento del eje x). Se parametriza
la curva 1C así: SentyCostx ,2 t0 . Así jSentiCosttR )()2()( y
jCostdtiSentdttdR )()2()( .
Sustituyendo tenemos, jSentCostSentitSenF )24()( 2 ,
Así 1
1C
dRFW =
0
23 )242( dtSentCosttSentCostSen 0
La curva 2C tiene como ecuación 0y luego, sobre ella, 0F , y por tanto,
02
2 C dRFW , por consiguiente, 00021 WWW
EJERCICIO
4. Se da un campo de fuerzas plano por la expresión xyjiyxF 2)( 22 .
Halle el trabajo total realizado por esta fuerza al mover un punto material en sentido contrario a las manecillas del reloj por el perímetro del cuadrado de
vértices )2,0(),2,2(),0,2(),0,0(
Calculo de integrales curvilíneas respecto de la longitud de arco
Las integrales curvilíneas de la forma C
dRF se pueden expresar a menudo de
otras formas. Por ejemplo recordemos que ds
dRT es un vector tangente
unitario a la curva C en el punto ),,( zyxP donde S es el parámetro longitud de
arco. Tenemos que C
dRF = C C
TdsFdsds
dRF .
En particular, el trabajo realizado por un campo de fuerzas F sobre un objeto que se mueve sobre una curva C se puede expresar en la forma
C C
TdsFdRFW . Esta integral se llama integral curvilínea de la
componente tangencial de F y se puede escribir también en la forma
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C dszyxf ),,( . Existirá la integral si f es continua en C y si C es lisa a trozos,
con longitud finita. Se puede obtener una formula para calcular esta integral curvilínea observando que, si ktzjtyitxtR )()()()( , entonces
dt
ds
dt
dz
dt
dy
dt
dxk
dt
dzj
dt
dyi
dt
dx
dt
dR 222 )()()( de tal forma que
C Cdt
dt
dszyxfdszyxf ),,(),,( . Así si f es continua sobre la curva lisa C y C
esta definida por ktzjtyitxtR )()()()( donde bta , entonces
dttztytxtztytxfdszyxfC
b
a 2'2'2' ))(())(())(())(),(),((),,(
EJEMPLO
Hallemos C
dszyx )( 2 donde C es la curva en paramétricas dada por
10,1,2, tparatztytx .
Como 1dt
dx , 2
dt
dy, 1
dt
dz,
tenemos que C
dszyx )( 26
3
1)1()2()1())1()2((
1
0
2222 dtttt .
EJERCICIO
5. Calcular C
dsyx )( donde C viene dado por jtSenitCostR )()()( 22 con
04
t
6. Calcular C dsxy )( 2 donde C viene dado por jtSenitCostR )()()( con
20
t
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES CURVILINEAS
Recuérdese que, en virtud del teorema fundamental del calculo si la derivada 'f
es continua en bxa , entonces b
a
b
aafbfdxxfxfd )()()()]([ '
El siguiente teorema es una generalización para las integrales curvilíneas: Sea F un campo vectorial conservativo en la región D y sea f una función
potencial escalar de F , es decir, tal que Ff . Entonces, si C es una curva
lisa a trozos contenida completamente en D, con punto inicial P y final Q, se tiene
C
PfQfdRF )()(
Por tanto, la integral C
dRF es independiente del camino.
Demostración
18
Probaremos este teorema en el caso en que la curva C sea lisa en D, dejando el caso mas general, en que C es lisa a trozos, como ejercicio.
Supongamos que C esta definida por la función vectorial jtyitxtR )()()(
para bta , )(aRP , )(bRQ . Como jyxfiyxfyxfyxF yx ),(),(),(),(
tenemos que: dtdt
dyyxf
dt
dxyxfdt
dt
dRFdRF
b
ayx
b
aC]),(),([
= dttytxfdt
db
a])(),(([ regla de la cadena al revés
= ))(),(())(),(( ayaxfbybxf teorema fundamental del calculo.
)()())(())(( PfQfaRfbRf
EJEMPLO
Hallemos C
dRF donde jxCosyeiySenyeF xx )2()( y C es el camino
dado por jt
Cosit
SenttR ))22
(2
()2
()( 3 . para 10 t .
El calculo de esta integral por métodos parametricos es difícil y tedioso. Primero veamos que el campo vectorial
jxyeiyyeyxF xx )2cos()sen(),( es conservativo y hallemos una función potencial:
Sea )sen( yyeM x y )2cos( xyeN x , entonces x
N
y
M
luego F es
conservativo. Ahora hallemos una función potencial f tal que Ff ,
observemos que debe ser ),(),( yxfyxM x y ),(),( yxfyxN y hacemos una
integración parcial, es decir, integramos con respecto a x y tomamos a y como
constante: )(sen)sen(),(),( ycyxyedxyyedxyxMyxf xx , como
también debe ser ),( yxNf y calculamos la derivada parcial con respecto a y,
así obtenemos: dy
dcxyeycyxye
yyxf xx
y
cos))(sen(),( igualando a
2cos),( xyeyxN x y despejando dy
dc
tenemos 2coscos xyedy
dcxye xx
así 2dy
dc integrando hallamos que
cyyc 2)( , luego cyxyyeyxf x 2sen),( . Cualquier función de esta
familia es un potencial escalar de F, luego podemos tomar
yxyyeyxf x 2sen),( . En virtud del teorema fundamental de las integrales
curvilíneas, el valor de esta integral solo depende de los valores de f en los extremos del camino C. Naturalmente hay que comprobar que se satisfacen las hipótesis del teorema para F y C.
19
En el extremo para 0t se tiene que jijCosiR 00)]2
()2
[(0)0(
,
0000)0,0( 0 Senef
En el extremo correspondiente a 1t se tiene que
jijCosiSenR2
])2
[(]2
[)1(
2
3
22
22)
2,1( 1
eSenef
Aplicamos ahora el teorema fundamental de las integrales curvilíneas:
)()( PfQfdRFC
)2
,1(
f - )0,0(f =2
3e -0=
2
3e
EJERCICIO
7. Demuéstrese que no se realiza trabajo cuando, en un campo conservativo de fuerzas, se hace recorrer a un objeto un circuito cerrado, partiendo de un punto y finalizando en el mismo.
TEOREMA DE LA CURVA CERRADA PARA UN CAMPO CONSERVATIVO
El campo vectorial continuo F es conservativo en una región D abierta y conexa
si y solo si 0C dRF para toda curva cerrada C, lisa a trozos, contenida en
D.
Demostración
Si una integral curvilínea C
dRF es independiente del camino en la región D
abierta y conexa, entonces 0C dRF para toda curva cerrada C, lisa a trozos,
contenida en D. En efecto, si P y Q son dos puntos del camino y TC es el
camino de P a Q por la parte de arriba y BC es el camino de Q a P por la parte
de abajo, se debe tener BC
dRF TC
dRF y C dRF TC
dRF + BC
dRF = TC
dRF
- TC
dRF =0 Recíprocamente, si 0C dRF para toda curva cerrada C en D,
(termine la demostración). Resumiendo:
20
Supongamos que ),,( zyxF tiene derivadas parciales primeras continuas en una
región abierta y conexa D y sea C una curva lisa a trozos en D. Las condiciones siguientes son equivalentes:
I. C
dRF es independiente del camino en D
II. F es conservativo, es decir, fF , para una cierta función f definida en D
III. 0C dRF para todo camino cerrado C que encierra solo puntos de D.
EJEMPLO
Demuestre que jyxixyF )()( 22 es conservativo y calcule ydyxdxxyC
22
para la curva:
21 xy , xy ; )2
2,
2
2(P , )0,1(Q
Hallemos las derivadas cruzadas xyxyy
2)( 2
, xyyx
x2)( 2
por lo tanto F
es conservativo y ydyxdxxyC
22 =0.
EJERCICIO
8. Demuestre que jyxixyF )()( 22 es conservativo y calcule ydyxdxxyC
22
para la curva:
21
(a). 21 xy , )2
2,
2
2(P , )0,1(Q (b). )
2
2,
2
2(P , )0,1(Q
El ejemplo y el ejercicio anteriores sirve para mostrar que la integral curvilínea es cero si el campo F es conservativo y el camino es cerrado. Además, si la curva no es cerrada, entonces el valor de la integral es independiente de los caminos indicados.
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
GUIA DE APRENDIZAJE
NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MODULO DE TRABAJO No. : GUIA DE APRENDIZAJE No. : TITULO: DURACION: CONCEPTOS PREVIOS: CRITERIOS DE EVALUACION: BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:
CALCULO VECTORIAL Y MULTIVARIADO 4 3 TEOREMA DE GREEN, TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y TEOREMA DE STOKES 4 HORAS Integrales múltiples, Campos vectoriales, campos conservativos, divergencia, e integrales curvilíneas. La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. CALCULO, JAMES STEWART CALCULO, THOMAS FINNEY
TEMA: TEOREMA DE GREEN, TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y TEOREMA DE STOKES
OBJETIVO
- Lograr la comprensión conceptual y desarrollar la habilidad para plantear
y aplicar los teoremas de green, divergencia y stokes.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN La guía debe ser resuelta de manera grupal o individual y tendrá un valor según lo pactado. TIEMPO: 4 HORAS
TEMATICA
TEOREMA DE GREEN Sea D una región simplemente conexa con un borde C liso a trozos y orientado positivamente. Sí el campo vectorial jyxNiyxMyxF ),(),(),( Es
continuamente diferenciable en D tenemos que
dAy
M
x
NNdyMdx
C D
)()(
22
Demostración
Una región estándar es una región en que ninguna recta vertical ni horizontal corta a la frontera en mas de dos puntos. Vamos a demostrar primero el teorema de Green para regiones estándar y luego indicaremos como tratar el caso general.
Supongamos que D es una región estándar con borde C. Comenzamos
demostrando que
D CMdxdxdy
y
M.
Como D es una región estándar, la frontera C se compone de una porción
inferior LC y una porción superior UC que son las gráficas de dos funciones
)(),( 21 xfxf respectivamente, en un cierto intervalo bxa . En esta situación
podemos calcular la integral doble por integración iterada:
Ddxdy
y
M
Ddydx
y
Mdxdy
y
Mb
a
xf
xf)(
)(
)(
2
1
=
b
a
b
adxxfxMdxxfxM )(,())(,( 12 =
U LC CMdxMdx =
CC CMdxMdxMdx
U L
)( ; Análogamente tenemos que
CDNdydxdy
x
N, por lo tanto dxdy
y
Mdxdy
x
NdA
y
M
x
N
D DD
)( =
C C C
NdyMdxdxMNdy )()( . Esto concluye la demostración en el caso de
una región estándar.
Si D es una región no estándar, se puede descomponer en un numero finito de subregiones estándar mediante cortes horizontales y verticales, se aplica entonces a cada una de estas la demostración para regiones estándar y se suman los resultados. Las integrales curvilíneas sobre los cortes cancelan a pares, y después de las cancelaciones la única integral curvilínea que eventualmente permanece es la extendida a la frontera exterior C. Por tanto
dAy
M
x
NNdyMdx
C D
)()(
23
EJEMPLO Comprobemos que se verifica el teorema de Green para la integral curvilínea,
C
xdyydx , donde C es la curva cerrada de la figura. Primero calculamos la
integral directamente. La curva C consta del segmento 1C del eje x desde (-1,0)
hasta (1,0) seguido de la semicircunferencia 2C desde (1,0) hasta retornar a (-
1,0). Parametrizamos esas dos curvas:
1C 0, ytx ; 11 t
2C SensyCossx , ; s0
Así: C C C
xdyydxxdyydxxdyydx1 2
)()()( =
1
1 0))()(()00(
dsCossCossSensdsSenstdt =
0
22 )( dssCossSen
Ahora calculemos esa misma integral utilizando el teorema de Green. Observese que la curva frontera es simple y yM , xN , luego
xjyiyxF ),( es continuamente diferenciable. El dominio D esta definido
por las relaciones, 210 xy , 11 x . Aplicamos ahora el teorema de
Green:
1
1
1
0
2
2))(
()(x
C DdydxdA
y
y
x
xxdyydx
2 AREA DEL SEMICIRCULO= 2)1()2
1(2
EJERCICIO
1. Halle el trabajo realizado por la fuerza jSenyyyxixyxyxF )(2)(),( 222
sobre un objeto que recorre el camino cerrado en el plano una vez , dibujado en la siguiente figura:
24
AREA COMO UNA INTEGRAL CURVILINEA
Sea D una región plana simplemente conexa con borde C liso a trozos. El área
A de la región D es igual a la integral C
xdyydxA )(2
1
Demostración Sea xjiyyxF )),( . Como F es continuamente diferenciable en D, se
puede aplicar el teorema de Green.
D DcdAdAy
yx
xxdyydx 2))()(()( luego
CxdyydxA )(
2
1
EJEMPLO
Demostremos que la elipse 12
2
2
2
b
y
a
x tiene área igual a ab
Las ecuaciones paramétricas de la elipse son bSentyaCostx , , 20 t
C
xdyydxA )(2
1=
2
0)))(())(((
2
1bCostdtaCostaSentdtbSent = ab
EJERCICIO
2. Calcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental
correspondiente: él circulo 422 yx
3. Calcule el área y compruebe el resultado usando la formula elemental correspondiente: el trapecio de vértices, )3,1(),3,0(),0,4(),0,0( .
Forma alternativa del teorema de Green
El teorema de Green se puede expresar de una forma que se generaliza
facilmente a 3 . Para ello debe observarse que, si jyxNiyxMyxF ),(),(),(
, entonces
25
0NM
zyx
kji
XFFrot
= k
y
M
x
Nj
z
Mi
z
N)()()(
Así podemos escribir el enunciado del teorema de Green en la forma
dAkrotFdRFC D )( . Cuando generalicemos este resultado lo llamaremos
el teorema de Stokes. FORMULA INTEGRAL
Sea jyxNiyxMyxF ),(),(),( sobre una región D con borde C liso a trozos.
Entonces C D
divFdANdsF , donde N es el vector normal unitario a C hacia
afuera. En efecto, sea C definida por jsyisxsR )()()( ; el vector tangente unitario T
a C es: jsyisxT )()( '' , así el unitario normal hacia fuera es
jsxisyN )()( '' . Aplicando el teorema de Green
C
b
adsjsxisyNjMiNdsF ))()(()( ''
b
a CMdyNdxds
ds
dxN
ds
dyM )()(
DDdivFdAdxdy
y
N
x
M)( . Cuando generalicemos este resultado lo
llamaremos el teorema de la divergencia. EJERCICIO
4. Un Astronauta esta atrapado en una habitación alienígena sujeto a un
campo del lado oscuro de la fuerza, de ecuación
jCosyyxxeixyyeyxF xyxy )3()2(),( 223 . Suponiendo que el
astronauta esta en (0,0) y la puerta de salida esta en el (5,4). Halle el camino de mínimo esfuerzo para escapar.
INTEGRALES DE SUPERFICIES
Una superficie es lisa si tiene un plano tangente en todo punto y es lisa a trozos si consta de un numero finito de piezas que son superficies lisas. Por ejemplo una esfera es lisa y un cubo es liso a trozos, porque consta de seis caras lisas y dos caras adyacentes se cortan en una arista, donde la superficie no es lisa.
26
Una superficie es orientable si es lisa con un vector normal unitario N que varia continuamente con el punto. Una superficie cerrada es la que limita un sólido. La región encerrada por S se llama el interior y la otra se llama el exterior. La normal N es una normal hacia fuera si apunta hacia el exterior; si apunta hacia el interior es una normal hacia adentro. No nos interesaran superficies lisas a trozos con una sola cara, como la banda de mobius, que se obtiene retorciendo media vuelta una tira de papel y pegando los extremos. De ahora en adelante la palabra superficie significara superficie orientable lisa a trozos.
Sea S un conjunto de puntos de 3 . Un punto frontera de S en un punto P tal
que cualquier esfera de centro P contiene puntos de S y puntos que no están en S. La frontera de S es el conjunto de todos sus puntos frontera. El conjunto S es cerrado si contiene todos sus puntos frontera. Una región sólida es acotada si esta contenida en una esfera. Vamos ahora a definir la integral de superficie de una función escalar g. Supongamos que g esta definida y es continua sobre una superficie S. Se hace
una partición de S en n subregiones y designamos por kS el área de la k-
esima de ellas. Sea *
kP un punto arbitrariamente elegido en la subregion k-
esima, para k=1,2,...,n Se forma la suma k
n
k
k SPg 1
* )( y se toma el limite
cuando la mayor kS tiende a cero. Si este limite existe se llama integral de
superficie de g sobre S, y se designa por S dSzyxg ),,( . Cuando una superficie
se proyecta en el plano xy en una región xyR y S se representa por ),( yxfz
, entonces xyyx dAffdS 122 , donde xydA es dxdy o dydx o rdrd si xydA
esta dada en coordenadas polares, Así Si S es una superficie definida por
),( yxfz y xyR su proyección en el plano. Si ,,, yx fff son continuas en xyR y
g es continua en S, entonces la integral de superficie de g sobre S es:
S dSzyxg ),,( = xyR
yx dAyxfyxfyxfyxgxy
)1)),(()),(())(,(,,( 22
Si tomamos g=1, la integral da el área de la superficie: A. Superficie = SdS
EJEMPLO
Calculemos la S dSzyxg ),,( donde xyxxzzyxg 32),,( 2 y S es la porción
del plano 632 zyx que se proyecta sobre el cuadrado unidad
10;10: yxRxy .
En la ecuación del plano despejamos z: yxz 326 y 2),( yxf x ,
3),( yxf y , luego xyxy dAdAdS 141)3()2( 22 , por tanto
27
S dSzyxg ),,( = S
xydAxyxxz 14)32( 2 =
xyxy RR
xdydxdydxxyxyxx 61414)32)326(( 2 =
1
0
1
0
143146 xdydx
Una aplicación útil de la integrales de superficie es la de hallar el centro de masa de una lamina delgada cuya forma es la de una superficie S, como muestra la figura: Supongamos que ),,( zyx es la densidad (masa por unidad de área) en un
punto ),,( zyx de la lamina, entonces la masa total, m de la lamina viene dada
por una integral doble, que es la siguiente:
S
dSzyxm ),,(
Si designamos por ),,(
zyxC al centro de masa de la lamina, se tiene:
SdSzyxx
mx ),,(
1 ,
SdSzyxy
my ),,(
1 ,
SdSzyxz
mz ),,(
1
EJEMPLO Hallemos la masa de una lamina de densidad zzyx ),,( que tiene la forma
del hemisferio 222 yxaz . Comenzamos calculando dS
)2()(2
12
1
222 xyxaz x
; )2()(2
12
1
222 yyxaz y
; xyyx dAzzdS 122 =
xydAyxaa 2
1
222 )(
. Así la masa del hemisferio S esta dada por
S
dSzyxm ),,( = SzdS =
xyR
xydAyxaayxa 2
1
2222
1
222 )()( = 3a
INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES
Muchas aplicaciones de las integrales de superficie necesitan de la integral de la componente normal, de un campo vectorial F dado, es decir, de una integral
de la forma S
NdSF , donde N es el unitario normal exterior (hacia afuera) de
la superficie S.. Consideremos el ejemplo siguiente:
28
EJEMPLO
Calculemos S
NdSF donde kyxzjxyiF )( y S es la región triangular
del plano x+y+z=1 contenida en el primer octante. Supóngase que N es la normal que apunta en sentido opuesto al origen.
Sea, yxzyxg 1),( . Entonces 1,1 yx gg y el unitario normal buscado
es 1)1()1(
)1()1(22
kjiN = )(
3
1kji . Luego, )(
3
1yxzxyNF , luego
)1(3
1yxyxxyNF = )1(
3
1xy ,y xyyx dAggdS 122 = xydA3
La pieza que necesitamos del rompecabezas antes de calcular la integral es hallar la proyección de S sobre el plano xy. En la figura vemos que es una región triangular, que designamos por T como el conjunto de todos los puntos (x,y) tales que, para todo x, entre 0 y 1, la y varia entre 0 y 1-x, finalmente
tenemos que S
NdSF = xyT
dAxy 3)1(3
1 =
1
0
1
0)1(
x
dydxxy =24
13
SUPEFICIES EN PARAMETRICAS Si una superficie S se define parametricamente por la función vectorial
kvuzjvuyivuxvuR ),(),(),(),( en la región D del plano uv, el área de S
esta dada por dudvRRD
vu , entonces si f es continua en D, la integral de
superficie de f sobre D esta dada por dudvRRRfdSzyxfS D
vu )(),,(
EJEMPLO
Calculemos S
dSzyx )( donde S es la superficie definida en paramétricas
por
kvujvuivuvuR )3()2()2(),( , 20,10 vu
Si zkyjxiR , entonces vuzvuyvux 3,2,2 . Como
zyxzyxf ),,( tenemos que vuvuvuRf 322)( . También
tenemos que kjiRkjiR vu 32,2 , tenemos:
29
kji
kji
RR vu 555
321
112
. Así S
dSzyx )( =
dudvRRRfdSzyxfS D
vu )(),,( = 2
0
1
0)35)(24( dudvvu = 340
EJERCICIOS
5. Calcule la integral dada, donde S es el hemisferio 422 yx con 0z
(a). SzdS , (b). S
dSyx )2( , (c). S
zdSyx )( 22
6. Calcule la integral dSyxS
)( 22
donde S es la superficie limitada por arriba
por el hemisferio 221 yxz y por abajo0 por el plano z=0.
7. Calcular, S
NdSF y suponga que N es la normal hacia fuera.
(a). zkyjxiF 32 y S es la parte del plano 631215 zyx que yace
sobre el cuadrado unidad 10,10 yx
(b). kzjyixF 222 y S es el trozo del plano 1 yz que esta dentro del
cilindro 122 yx
8. Calcule S
dSzyx )( 2 donde S es la superficie definida por
ukvjiuvuR 2),( , 1,0 vu
9. Calcule S
dSzyx )( 2 donde S es la superficie definida por
vkjuuivuR 2),( , 20 u , 10 v
10. Halle la masa de la lamina homogénea que tiene la forma de la superficie S:
(a). S es la superficie z=10-2x-y, con 0,0 yz
(b). S es la superficie z= 221 yx , con 0z
(c). S es el triángulo con vértices )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(
EL TEOREMA DE STOKES
El teorema de Green se puede enunciar así, dAkrotFdRFC A )( . Donde A
es la región plana limitada por la curva cerrada C. El teorema de stokes es una
generalización de este resultado a superficies con borde en 3 .
ORIENTACION COMPATIBLE. La superficie S queda a la izquierda de alguien que camine sobre la curva C en el sentido contrario a las de las agujas del reloj. Es decir la orientación de la curva cerrada C trazada sobre la superficie orientable S es compatible con la orientación de S si la orientación de C es la del sentido contrario a las agujas del reloj respecto de la normal hacia fuera de la superficie. Si se apunta el pulgar derecho hacia la normal hacia fuera, los dedos se curvaran en el sentido de una curva C de orientación compatible.
30
Sea S una superficie orientada con vector normal unitario N y supongamos que S tiene un borde C, que es una curva cerrada, lisa a trozos, cuya orientación es compatible con la de S. Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable en S se verifica que:
dSNrotFdRFC S )(
DEMOSTRACION
(ejercicio para el lector)
Interpretación física del teorema de Stokes
Recordemos que la densidad de fluido es el campo vectorial, VF , donde V
es la velocidad de un fluido con densidad . La densidad del fluido mide el
volumen de fluido que cruza la superficie S por unidad de tiempo y se llama también el flujo de F a través de S. Supongamos que la superficie S esta en la región en la que el fluido fluye. Si N es el unitario normal a S, entonces NF
es la componente del flujo en dirección normal a S.- Entonces la masa del fluido que fluye a través de S en la unidad de tiempo en la dirección normal a la superficie esta dada por una integral de superficie, que se llama una integral de flujo. y esta dada por
S
NdSF
Si V es el campo de velocidades del flujo de un fluido, entonces rot V mide la tendencia del fluido a rotar o formar remolinos. Normalmente si el fluido fluye a través de la superficie S, la tendencia rotacional variara de punto a punto en la
superficie y la integral de superficie dSNrotVS )( medirá la tendencia rotatoria
acumulada sobre toda la superficie S.
El teorema de stokes nos dice que esta tendencia rotatoria acumulada es igual
a la integral curvilínea, C
dRV . Para interpretar esta integral curvilínea
recuérdese que se puede escribir en la forma, C
TdsV , en función del
parámetro longitud de arco s y el vector unitario tangente T a la curva. Así la integral curvilínea suma la componente tangencial del campo de velocidades V
sobre el borde C y es razonable interpretar C
TdsV como una medida de la
circulación del fluido sobre C. Lo que esto quiere decir,
S C
TdsVdSNrotV )( donde el miembro de la izquierda mide la tendencia
acumulada de un fluido a hacer remolinos a través de una superficie S y el de la derecha mide la circulación de un fluido a lo largo de una curva C. En física y otras áreas aplicadas se usa el teorema de stokes como una herramienta para enunciar propiedades generales.
31
Test de campo conservativo
Si F y Rot F son continuos en la región simplemente conexa D, entonces F es conservativo en D si y solo si rot F=0 en D.
En efecto, Si F es conservativo, sea f una función potencial escalar o sea tal que fF , entonces por las propiedades de la rotacional
0 fFrotF . Recíprocamente, si rot F = 0 sea C la curva borde de
la superficie lisa S, el teo de stokes dice 00)( C SSdSdSNrotFdRF
luego la integral es independiente del camino y F debe ser conservativo.5
EL TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
Sea D una región del espacio limitada por una superficie orientable lisa y cerrada S. Si F es un campo vectorial continuo cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en D. Entonces
S D
divFdVNdSF
donde N es el unitario normal hacia afuera a la superficie S.
DEMOSTRACION
(ejercicio para el lector)
Aplicaciones del teorema de la divergencia
Si F(x,y,z) es la tasa de flujo por unidad de área la integral de superficie
S
NdSF representa la tasa neta de flujo hacia fuera por unidad de volumen.
Esta es la razón del nombre de divergencia, porque, S D
divFdVNdSF .
La integral de la izquierda es una integral de flujo y así determina el flujo total de fluido a través de la superficie S por unidad de tiempo. La integral de la derecha mide el mismo flujo de fluido calculando el fluido hacia fuera de pequeños cubos.
EJERCICIOS
11. Sea, yzkxyjiyF 2)2
3( 2 , donde S es el triángulo de vértices (1,0,0),
(0,1,0), y, (0,0,1) que esta contenido en el plano x+y+z=1 recorrido en sentido contrario a las agujas del reloj visto desde arriba. Compruebe que se verifica el teorema de stokes.
12. Calcule C
xdzzdydxy )2
1( 2 donde C es la curva intersección del plano
x+z=1 y el elipsoide, 12 222 zyx , orientada en el sentido de las
manecillas del reloj, tal como se ve desde el origen.
S
NrotV )(
32
13. Demuestre que el campo vectorial xzkxzjyziF es conservativo en 3
14. Calcule S
dSNrotF )( donde kzejyxiF xy 2 y S es la porción de la
superficie 22 21 yxz con 0z
15. Sea zkyjxiF 532 y sea S el hemisferio 229 yxz , junto con el
disco 922 yx en el plano xy. Compruebe que se verifica el teorema de
la divergencia.
16. Calcule S
NdSF donde kyxxyjixF 332 y S es la superficie del
tetraedro formado por el primer octante cortado por el plano x+y+z=1, con unitario normal N hacia afuera.