1 Halla una raíz entera del polinomio P(x) = x

3 + 3x

2 + 2x + 6, y dividiendo por el método de Ruffini halla un

segundo factor del polinomio. ¿Tiene más raíces reales el polinomio P(x)? Solución:

Las raíces enteras están entre: 1; 2; 3; 6x x x x

Se comprueba que x = 3 es la raíz entera buscada:

P(3) = 27 + 27 6 + 6 = 0. El polinomio es divisible por: (x + 3). El cociente de la división por x + 3 será un nuevo factor de P(x).

1 3 2 6

3 3 0 6

1 0 2 0

El factor buscado, por lo tanto, es: x2 + 2. La factorización del polinomio dado es:

2( 3)( 2).x x

El binomio x2 + 2 no se anula nunca, es siempre positivo, luego el polinomio dado no tiene otras raíces reales.

2 Utilizando el valor numérico del polinomio, comprueba si los siguientes polinomios tienen el factor x 3:

4 3 2

16 16

a) 2 4 5 4 3

b) 3

x x x x

x

Solución: a) El valor numérico del polinomio para x = 3 debe ser 0:

4 3 22 3 4 3 5 3 4 3 3 162 108 45 12 3 0 162 - 108 - 45 - 12 + 3 = 0

b) Sustituimos x por 3:

16 163 3 0

Los dos polinomios tienen como factor x 3.

3 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P(x) = x3 + 3x

2 + 3x + 1 es divisible por x + 1, y

calcula con una división otro factor del polinomio. Solución:

Calculamos el valor numérico para x = 1: 3 2( 1) ( 1) 3( 1) 3( 1) 1 1 3 3 1 0P

Luego, el polinomio es divisible por x + 1.

1 3 3 1

1 1 2 1

1 2 1 0

El cociente de la división es otro factor del polinomio: x2 + 2x + 1.

4 Halla un polinomio cuyas raíces sean x = 2, x = 2, x = 3 y x = 5.

Solución:

El polinomio buscado debe tener como factores (x + 2), (x 2), (x 3) y (x + 5). Luego podemos considerar que es el producto de dichos binomios:

2 2 4 3 2 2 4 3 2( 2)( 2)( 3)( 5) ( 4)( 2 15) 2 15 4 8 60 2 19 8 60.x x x x x x x x x x x x x x x x

5 Halla las raíces enteras del siguiente polinomio:

4 3 27 6x x x x

Solución: Los divisores de 6 son:

6x;3x;2x;1x

Los valores numéricos para dichos números son:

P (1) = 1 1 7 + 1 + 6 = 0

P(1) = 1 + 1 7 1 + 6 = 0

P(2) = 16 8 28 + 2 + 6 = - 12

P(2) = 16 + 8 28 2 + 6 = 0

P(3) = 81 27 63 + 3 + 6 = 0

Por tanto las raíces son 1, 1, 2 y 3.

6 El polinomio P(x) = 2x3 + 3x

2 8x + 3 es el producto de tres factores, siendo dos de ellos los

correspondientes a las raíces x = 1 y x = 3. Halla mediante dos divisiones consecutivas por el método de Ruffini el tercer factor. Solución:

El enunciado nos da las raíces enteras 1 y 3, luego el polinomio es divisible por (x 1) y por (x + 3). Dividimos por el primer factor, y el cociente resultante por (x + 3), como se indica en la siguiente disposición de los coeficientes:

2 3 8 3

1 2 5 3

2 5 3 0

3 6 3

2 1 0

El último de los cocientes, 2x - 1, es el tercer factor del polinomio dado, es decir: P(x) = (x 1) (x + 3) (2x 1).

7 Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio:

3 22 5 6x x x

Solución:

Los divisores de 6 son: 1; 2; 3; 6x x x x

Los valores numéricos para dichos números son:

P(1) = 1 + 2 5 6 = 8

P(1) = 1 + 2 + 5 6 = 0

P(2) = 8 + 8 10 6 = 0

P(2) = 8 + 8 +10 6 = 4

P(3) = 27 + 18 15 6 = 24

P(3) = 27 + 18 + 15 6 = 0

Las tres raíces del polinomio son: x = 1, x = 2 y x = 3.

El polinomio dado es igual al producto: (x + 1)(x 2)(x + 3).

8 Halla las raíces enteras de los siguientes polinomios:

2

3 2

a) 2 15

b) 3 3

x x

x x x

Solución: a) Los divisores de 15 son:

1; 3; 5; 15x x x x

Se comprueba mentalmente que ni x =1 ni x = son raíces.

Para x = 3 se tiene: P(3) = 9 + 6 15 = 0, luego x = 3 es una raíz.

Si x = 3 se tiene: P(3) = 9 6 15= 12, no es raíz.

Para el valor 5: P(5) = 25 + 10 15 = 20, tampoco es raíz.

Si x = 5 se tiene: P(5) = 25 10 15 = 0, luego, x = 5 es la segunda de las raíces. b) Los divisores de 3, el término independiente, son:

1; 3x x

Mentalmente se comprueba que ningún número positivo puede ser raíz.

Si x = 1 el valor numérico es: P(1) = 1 + 3 1 + 3 = 4, luego no es raíz.

Cuando x = 3 se tiene: P(3) = 27 + 27 3 + 3 = 0, por lo tanto, x = 3 es una raíz.

El polinomio no tiene más raíces enteras que x = 3.

9 Halla las raíces enteras y factoriza el siguiente polinomio:

4 3 29 9x x x x

Solución: El polinomio tiene x como factor común en sus términos, luego una de las raíces es x = 0:

3 2( 9 9)x x x x

Los divisores de 9, término independiente del paréntesis, son:

1; 3; 9x x x

Los valores numéricos para dichos números son:

P(1) = 13 1

2 9·1 + 9 = 0

P(1) = 1 1 + 9 + 9 = 16

P(3) = 27 9 27 + 9 = 0

P(3) = 27 9 + 27 + 9 = 0 Las otras tres raíces del polinomio son:

x = 1, x = 3 y x = 3.

El polinomio dado es el producto: x (x 1) (x 3) (x + 3).

10 Escribe como potencias y productos notables las siguientes expresiones:

4 2

2 2

2 2

a) 16 24 9

b) 6 9

c) 25

x x

x y xy

x y

Solución: a) Se trata del cuadrado de una diferencia:

22 2 2 2 24 2 3 4 3 (4 3) .x x x

b) Buscamos el cuadrado de una suma:

2 2 2( ) 2 3 3 ( 3)xy xy xy

c) Nos dan la diferencia de cuadrados:

2 2( ) 5 ( 5)( 5)xy xy xy

11 Escribe en forma de productos y potencias, utilizando los productos notables, las siguientes expresiones:

2 2 2

4

a) 4 ( 4) 16( 4)

16b)

4 81

x x x

x

Solución:

a) El número 4 y (x2 4) son factores comunes:

2 2 2 24( 4)( 4) 4( 4)x x x

Obtenemos una diferencia de cuadrados al cuadrado, luego:

2 2 24 ( 2)( 2) 4( 2) ( 2) .x x x x

b) Buscamos una diferencia de cuadrados:

2 22 2 24 4 4

2 9 2 9 2 9

x x x

El último paréntesis es de nuevo una diferencia de cuadrados:

2 24 2 216 4 2 4 2 2

4 81 2 9 3 2 9 3 32 2 2

x x x x x x

12 1 1Escribe un polinomio cuyas raíces sean x = 2, x = 2, x = y x = , y que tenga el

2 3coeficiente de mayor grado igual a 6.

Solución:

1 1El polinomio pedido debe tener como factores (x + 2), (x 2), (x ) y (x + ).

2 3

El producto de los cuatro factores da un polinomio con dichas raíces cuyo coeficiente de mayor grado es uno. Multiplicando por 6 obtenemos el polinomio pedido:

2 2 4 3 21 1 1 16( 2)( 2) 6( 4) 6 25 4 4

2 3 6 6x x x x x x x x x x x

13 El siguiente esquema corresponde a la aplicación dos veces del método de Ruffini para la división de polinomios:

1 2 1 4 0 1 1 3 2 6 1 3 2 6 6

3 3 0 6 1 0 2 0 Prueba con la relación fundamental de la división que los resultados de las dos divisiones son correctos, y escribe

x4xx2x)x(P 234 como un producto de tres binomios más un número.

Solución: Para la primera división:

x4xx2x)x(D 234 , d(x) = x - 1,

6x2x3x)x(C 23 y R(x) = 6.

Se debe verificar: D(x) = C(x)d(x) + R(x) Operamos:

)x(Dx4xx2x66x2x3xx6x2x3x6)1x)(6x2x3x( 2342323423

Luego, es correcta. Para la segunda división debe verificarse:

C(x) = C1(x)(x + 3) + R(x), con 2x)x(C 2

1 y R(x) = 0.

Operamos:

)x(C6x2x3x0)3x)(2x( 232 .

También son correctos los resultados.

Sustituyendo la expresión C(x) = )2x( 2 (x + 3) de esta última división en la primera, obtenemos el resultado

pedido:

D(x) = )2x( 2 (x + 3)(x -1) + 6.

14 Utilizando el valor numérico del polinomio, comprobar si los polinomios: 2 3 2( ) 3 8 5 y ( ) 2 5 5 6P x x x Q x x x x

tienen como factor x + 2, y, en caso afirmativo, calcular con una división otro factor del polinomio. Solución:

Calculamos los valores numéricos para x = 2: 2( 2) 3( 2) 8( 2) 5 12 16 5 9P

3 2( 2) 2( 2) 5( 2) 5( 2) 6 16 20 10 6 0Q

Luego x + 2 no es un factor de P(x), y sí lo es de Q(x).

2 5 5 6

2 4 2 6

2 1 3 0

El cociente de la división anterior, 2x2 + x + 3, es otro factor del polinomio Q(x).

15 Dados los polinomios:

4 2 3 2( ) 4 y ( ) 1P x x x Q x x x x

justifica que no tienen ningún factor común. Solución: Factorizamos los polinomios dados. El polinomio P(x) tiene x

2 como factor común, y, después, resulta una diferencia de cuadrados:

2 2 2( ) ( 4) ( 2)( 2).P x x x x x x

Las raíces enteras de Q(x) están entre:

1x Se comprueba que x = 1 es una raíz: Q(1) = 1 1 + 1 1 = 0. Dividimos para hallar el segundo factor:

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 0

Entonces, C(x) = x2 + 1 y Q(x) = (x 1) (x

2 + 1). El último factor carece de raíces reales.

Las expresiones halladas para P(x) y Q(x) muestran que no tienen ningún factor común a ambos.

16 2 2

Escribe el resultado de 2 como uno de los productos notables.2 2

x xy y xy

Solución: Desarrollamos los cuadrados:

2 2 22 2 22 2 2 2

4 4 4

x x xxy y xy y xy y xy

Ponemos 2 como factor común y buscamos el cuadrado de un binomio:

2 222 22 2 2 2

4 2 2 2

x x x xxy y y y y

17 Saca factores comunes en las siguientes expresiones:

3 2 2

2

a) 4 6 8

b) 2 2

c) ( 2) 2

x x y x z

ax ay bx by

x x x

Solución:

a) Factores comunes: 2yx2. Por tanto, 4x

3 6x

2y + 8x

2z = 2x

2 (2x 3y + 4z)

b) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos: a (x y) + 2b (x y)

Como el paréntesis es común, resulta: (a + 2b) (x y)

c) El factor (x 2) es común: (x 2) (x2 + 1).

18 Factoriza el polinomio P(x) = 2x

5 2x

4 34x

3 30x

2, hallando sus raíces enteras.

Solución: El polinomio tiene 2 y x

2 como factores comunes, entonces:

2 3 2( ) 2 ( 17 15).P x x x x x

Una de las raíces enteras es x = 0, y las otras posibles están entre:

1; 3; 5; 15x x x x

Los valores numéricos del paréntesis, Q(x), para dichos valores son:

Q(1) = 1 1 17 15 = 32

Q(1) = 1 1 + 17 15 = 0

Q(3) = 27 9 51 15 = 48

Q(3) = 27 9 + 51 15 = 0

Q(5) = 125 25 - 85 15 = 0 Luego las tres raíces de Q(x) son:

x = 1, x = 3 y x = 5. El polinomio se escribe como producto de factores de la forma:

2( ) 2 ( 1)( 3)( 5)P x x x x x

19 Comprobar utilizando el valor numérico, que el polinomio P(x) = x

4 2x

3 + x

2 2x es divisible por x 2, y

calcula con una división otro factor del polinomio. Solución: Calculamos el valor numérico para x = 2:

4 3 2(2) 2 2 2 2 2 2 16 16 4 4 0P

Luego, el polinomio es divisible por x 2.

1 2 1 2 0

2 2 0 2 0

1 0 1 0 0

El cociente de la división es otro factor del polinomio: x3 + x.

20 Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios

4 3 2 4 2( ) 3 4 y ( ) 3 2P x x x x Q x x x x

y calcula un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo de los mismos. Solución:

2 2 2 3 9 16 4P(x) tiene x como factor común: ( ) ( 3 4) y las raíces del paréntesis son

12P x x x x x

2Es decir, ( ) ( 4)( 1).P x x x x

Q(x) tiene x como factor común o x = 0 como raíz entera: Q(x) = x (x

3 3x 2)

Las otras raíces enteras de Q(x) están entre los números: 1, 2

Comprobamos que x = 1 y x = 2 lo son: Q(1) = 1 (1 + 3 2) = 0, Q(2) = 2 (8 6 2) = 0.

Dividimos el polinomio del paréntesis por (x + 1) y (x 2) por el método de Ruffini sucesivamente, y el cociente resultante nos dará el tercer factor:

1 0 3 2

1 1 1 2

1 1 2 0

2 2 2

1 1 0

Entonces, el último cociente, (x + 1), es el tercer factor de x3 3x 2.

2Es decir, ( ) ( 1) ( 2).Q x x x x

Las reglas de la divisibilidad nos dan:

2 2. . . ( ), ( ) ( 4)( 1), . . . ( ), ( ) ( 4)( 1) ( 2).mc d P x Q x x x x mc m P x Q x x x x x

21 Halla una raíz entera del polinomio P(x) = 2x2 x 6, y dividiendo por el método de Ruffini halla un segundo

factor del polinomio. Aplica lo anterior para factorizar el polinomio Q(x) = 6x3 3x

2 18x.

Solución: Las raíces enteras están entre:

1; 2; 3; 6x x x x

Se comprueba que x = 2 es la raíz entera buscada: P(2) = 8 2 6 = 0.

El polinomio es divisible por: (x 2). El cociente de la división por x 2 será un nuevo factor de P(x).

2 1 6

2 4 6

2 3 0

El factor buscado, por lo tanto, es: 2x + 3. El polinomio Q(x) tiene como factores comunes el número 3 y x:

2( ) 3 (2 6)Q x x x x

El paréntesis es el polinomio anterior, del que ya conocemos sus factores, luego:

( ) 3 ( 2)(2 3)Q x x x x

22 Saca factores comunes, y usa los productos notables para escribir las siguientes expresiones en forma de productos y potencias:

2 2

6 2

a) 3 ( ) (3 3 )

b) 4 9

x x y y x y

x x

Solución: a) El paréntesis (x + y) y el número 3 son factores comunes:

(

2 23( )x y x y

) Obtenemos una diferencia de cuadrados, luego:

23(x + y)(x + y)(x - y) 3( ) ( )x y x y

b) Ponemos x

2 como factor común:

2 4(4 9)x x

Buscamos una diferencia de cuadrados en el paréntesis:

2 2 2 2 2 2 2(2 ) 3 2 3 2 3x x x x x

23 Saca factores comunes en las siguientes expresiones:

2 2 3 3

4 2 2

a) 2 ( 2)

b) 2 2

c)

a bc b ab c

a b a b ab

x x abx ab

Solución:

a) Factor común: b a [bc + 2b + ab (c + 2)] = ab [c + 2 + a (c + 2)] = ab (c + 2) (a + 1) b) No hay ningún factor común en los cuatro sumandos, pero, sí los hay dos a dos:

2a

(1 2ab) + 2b

(1 2ab)

Como el paréntesis es común, resulta: (a2 + b

2) (1 2ab)

c) Sacamos x2 en los dos primeros sumandos, y ab en los dos últimos:

2 2 2 2 2( 1) ( 1) ( )( 1)x x ab x x ab x

24 Escribe las siguientes expresiones como productos notables:

6 3

4 2

6 4 4 6

a) 12 36

1b) 8 64

4

c)

x x

x x

x y x y

Solución: a) Buscamos el cuadrado de una suma:

3 2 3 2 3 2( ) 2 6 6 ( 6)x x x

b) Ajustamos, ahora, el cuadrado de una diferencia:

2 22 2 222 8 8 8

2 2 2

x x x

. c) Se trata de una diferencia de potencias con exponentes pares:

3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3( ) ( ) ( )( )x y x y x y x y x y x y

25 Utilizando los productos notables, factoriza los polinomios:

4 3 2 5( ) 4 4 y ( ) 16P x x x x Q x x x

y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los mismos. Solución: El polinomio P(x) tiene x

2 como factor común:

2 2( ) ( 4 4).P x x x x

Observamos en el paréntesis el desarrollo del cuadrado de una diferencia: 2 2( ) ( 2)P x x x

Ponemos x como factor común en el segundo polinomio:

4( ) ( 16).Q x x x

Observamos en el paréntesis una diferencia de cuadrados: 2 2 2( ) ( 4)( 4) ( 4)( 2)( 2)Q x x x x x x x x

donde de nuevo hemos aplicado que la diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia. Aplicamos a los polinomios las reglas de la divisibilidad, y obtenemos:

2 2 2 2. . . ( ), ( ) ( 2) 2 , . . . ( ), ( ) ( 2) ( 2)( 4)mc d P x Q x x x x x mc m P x Q x x x x x

26 Hallando sus raíces enteras, factoriza los polinomios P(x) = x3 2x

2 + 2x 4 y

Q(x) = x3 + 3x

2 + 2x + 6, y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los mismos.

Solución:

Las raíces enteras de P(x) están entre los números: 1, 2, 4 .

Comprobamos que solamente x = 2 lo es: P(2) = 8 8 + 4 4 = 0.

Dividimos por (x 2) para hallar el segundo factor:

1 2 2 4

2 2 0 4

1 0 2 0

Entonces, C(x) = x2 + 2 y P(x) = (x 2) (x

2 + 2). El cociente no tiene raíces reales.

Las raíces enteras de Q(x) están entre los números: 1, 2, 3, 6.

Comprobamos que x = 3 lo es: P(3) = 27 + 27 6 + 6 = 0. Dividimos por (x + 3) para hallar un segundo factor:

1 3 2 6

3 3 0 6

1 0 2 0

Entonces, C(x) = x2 + 2 y Q(x) = (x + 3) (x

2 + 2). El cociente no tiene raíces reales.

Aplicamos a los polinomios las reglas de la divisibilidad entre números, y obtenemos:

2 2. . ( ), ( ) ( 2), . . ( ), ( ) ( 2)( 3)( 2)mc d P x Q x x mc m P x Q x x x x

27 Transforma la expresión algebraica x3 5x

2 x + 5 en otra con x y 5 como factores comunes de parte de

sus términos. ¿Puede escribirse como producto de dos factores? ¿Y de tres? Solución:

Sacamos x como factor común en los términos 1º y 3º, y (5) en los términos 2º y 4º: 3 2 2 25 5 ( 1) 5( 1)x x x x x x

Como producto de dos factores:

3 2 25 5 ( 5)( 1)x x x x x

Poniendo el paréntesis como factor común.

Y de tres: (x 5) (x + 1) (x 1). Descomponiendo la diferencia de cuadrados en el producto de una suma por una diferencia.

28 Saca factores comunes y usa los productos notables para escribir las siguientes expresiones en forma de productos y potencias:

2

3 2 2

a) 4 12 9

b) 2 8 8

x y xy y

x y x y x

Solución: a) Los tres sumandos tienen y como factor común: y (4x

2 + 12x + 9)

Buscamos el cuadrado de un binomio en el paréntesis: 2 2 2(2 ) 2 3 2 3 (2 3)y x x y x

.

b) Los factores comunes, ahora, son 2 y x: 2x (x2y

2 4xy + 4)

El paréntesis es el cuadrado de una diferencia: 2 2 22 ( ) 2 2 2 2 ( 2)x xy xy x xy