Factorización de polinomios

Polinomios

Un polinomio p en la variable x es una expresión de la forma:p�x� � a0 � a1x � a2x2 � � � an�1xn�1 � anxn

donde a0, a1, a2,�, an�1, an son unos números, llamados coeficientes del polinomio. Sitodos esos coeficientes son números enteros ( 0,�1,�2, ... ) entonces diremos que elpolinomio es un polinomio entero, si son números racionales diremos que es unpolinomio racional, etc. Mientras no se diga lo contrario, en estas notas los coeficientesdel polinomio serán números reales.

El grado del polinomio es el número n : el mayor exponente de la variable x queaparezca en el polinomio con coeficiente no nulo. Se escribe a menudo �p�x� parareferirse al grado de p�x�. Cada uno de los sumandos de la forma aix i que forman elpolinomio se llama monomio o término (de grado i). Un polinomio es mónico si elcoeficiente del monomio de grado más alto es 1.Usaremos letras como p, q o también subíndices como en p1, p2, ..., pk para referirnos adiferentes polinomios. Suponemos conocidas del lector las operaciones de suma yproducto de polinomios.

Raíces de un polinomio

Un número r es una raíz de un polinomio si al sustituir x por r en el polinomio seobtiene cero.

p�a� � a0 � a1r � a2r2 � � � an�1rn�1 � anrn � 0

Ejemplo:Si p�x� � x2 � 3x � 2, los números 1 y 2 son raíces de p, ya que se tiene:

p�1� � 12 � 3 � 1 � 2 � 0

p�2� � 22 � 3 � 2 � 2 � 0

División de polinomios

Dados dos polinomios, p�x� y q�x�, a los que llamaremos respectivamentedividendo y divisor, existen dos polinomios únicos r�x� (llamado resto) y s�x� (llamadocociente) tales que:

p�x� � q�x�s�x� � r�x� con grado(r�x�)�grado(q�x�) (1)

Método o algoritmo de la división de polinomiosEs muy parecido al método aritmético de división de números enteros que se aprendeen la escuela; al tiempo que lo describimos iremos desarrollando un ejemplo:

1. Se ordenan los términos (monomios) que forman el dividendo y el divisor en ordendescendente según el grado.

1

Sea p�x� � x6 � x5 � 7x4 � 8x3 � 9x2 � 6x � 3 el dividendo y q�x� � �x2 � x � 1� eldivisor. Imitando lo que se hace en la división de enteros los escribimos así:

x6 � x5 � 7x4 � 8x3 � 9x2 � 6x � 3 x2 � x � 1

2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, yobtenemos así el primer término del cociente.Hemos indicado cuales son los términos que se dividen (x6 entre x4) y colocamosbajo el divisor el primer término del cociente:

x6 �x5 � 7x4 � 8x3 � 9x2 � 6x � 3 x2 �x � 1

x4

3. Ese término del cociente se multiplica por todo el divisor y el resultado se resta deldividendo. Para ello es conveniente escribir el resultado debajo del dividendo con elsigno cambiado y ordenado para que coincidan los términos del mismo grado. Elresultado es el primer resto de la división.En nuestro ejemplo, x4 multiplicado por x2 � x � 1 es x6 � x5 � x4. Colocamos esteresultado, cambiado de signo bajo el dividendo y sumamos:

x6 � x5 � 7x4 � 8x3 � 9x2 � 6x � 3 x2 � x � 1

�x6 � x5 � x4 x4

6x4 � 8x3 � 9x2 � 6x � 3

4. Se repite ahora el proceso, empleando el resto obtenido en lugar del dividendo,hasta obtener un resto de grado menor que el divisor. Los términos del cociente sevan sumando a continuación del obtenido en el primer paso.

x6 � x5 � 7x4 � 8x3 � 9x2 � 6x � 3 x2 �x � 1

�x6 � x5 � x4 x4 � 6x2 � 2x � 1

6x4 �8x3 � 9x2 � 6x � 3

�6x4 � 6x3 � 6x2

2x3 �3x2 � 6x � 3

�2x3 � 2x2 � 2x

x2 �4x � 3

�x2 � x � 1

3x � 2

El resto se ha señalado recuadrándolo doblemente en este ejemplo. Se haobtenido entonces la expresión:

x6 � x5 � 7x4 � 8x3 � 9x2 � 6x � 3 � �x2 � x � 1��x4 � 6x2 � 2x � 1� � �3x � 2�como muestra del esquema general:

dividendo��divisor��cociente��resto

que también puede escribirse así:dividendo

divisor �cociente � restodivisor

2

Es decir,p�x�q�x�

� s�x� � r�x�q�x�

con grado(r�x�)�grado(q�x�)

Polinomios de grado 2

Un polinomio de grado dos es de la forma:p�x� � ax2 � bx � c

Sus raíces r se obtienen mediante la conocida fórmula:

r � �b � b2 � 4ac2a

Se pueden presentar tres casos:1. b2 � 4ac � 0

En este caso, el polinomio tiene dos raíces reales distintas, a las que llamaremos r1y r2.Además se tiene en este caso:

ax2 � bx � c � a�x � r1��x � r2�

2. b2 � 4ac � 0En este caso, el polinomio una única raíz real r � �b

2a , de la que diremos que es unaraíz doble.Además se tiene en este caso:

ax2 � bx � c � a x � b2a

2

(que es la misma expresión del caso anterior si r1 � r2 � �b2a )

3. b2 � 4ac � 0.En este caso existen dos raíces complejas, a las que llamaremosr1 � � � �i y r2 � � � �i.Sería:

� � �i � �b2a � b2 � 4ac

2a i

Además se cumple que:ax2 � bx � c � a �x � ��2 � �2

Obsérvese que si conocemos � y � junto con el coeficiente a, entonces con la últimaexpresión podemos reconstruir ax2 � bx � c. En particular, si conocemos � � �i,existe un único polinomio (mónico, con a � 1) de la forma x2 � bx � c cuyas raícesson esos números complejos � � �i.

Factorización de polinomios. Polinomios irreducibles.Al igual que los números naturales se descomponen de forma esencialmente única

en un producto de factores primos, los polinomios también se descomponen de formaúnica en un producto de factores irreducibles (que vienen a ser como los ”polinomiosprimos”.)

Los polinomios irreducibles (reales) son de dos clases:1. polinomios de grado uno, de la forma

ax � b

2. polinomios de grado dos, con ambas raíces complejas. Es decirax2 � bx � c con b2 � 4ac � 0

3

Los siguientes resultados son los que se emplean para tratar de descomponer unpolinomio en un producto de factores irreducibles.

Raíces reales:

Teorema: Si r es una raíz real del polinomio p�x�, entonces se tiene:

p�x� � �x � r�kq�x� (2)siendo q�x� un polinomio de grado menor en k unidades al de p�x�, y que cumpleq�r� � 0. En este caso se dice que r es una raíz de multiplicidad k del polinomio p�x�.

Notas: (1) Este resultado es cierto para raíces reales y complejas, pero nosotros lousaremos sobre todo cuando r sea una raíz real. (2) Una raíz de multiplicidad uno esuna raíz simple, una de multiplicidad dos es una raíz doble, etc.Raíces complejas:

Teorema: Si el número complejo � � �ies una raíz de p�x�, entonces su conjugado� � �i también es raíz de p�x�. Además en ese caso se tiene:

p�x� � �x2 � bx � c�kq�x� (3)siendo:

1. �x2 � bx � c� el único polinomio de orden dos cuyas raíces son � � �i2. q�x� un polinomio de grado�grado(p�x�)�2k con q�� � �i� � 0.

Se dice entonces que � � �i son raíces (complejas) de multiplicidad k del polinomio p�x�.

Descomposición en el caso general:El resultado que se presenta a continuación describe la forma en la que se descomponecualquier polinomio:

Teorema fundamental del álgebra Un polinomio de grado n tiene siempre n raíces,repartidas entre raíces reales y raíces complejas (que en este caso vienen siempre enparejas como hemos visto.) En esta cuenta, cada raíz se cuenta un número de vecesigual a su multiplicidad (una raíz doble cuenta como dos raíces, una raíz triple comotres raíces, etc.)

Supongamos entonces quep�x� � a0 � a1x � a2x2 � � � an�1xn�1 � anxn

tiene:1. raíces reales r1 de multiplicidad m1, r2 de multiplicidad m2, ..., rk de multiplicidad

mk.2. Y raíces complejas �1 � �1i de multiplicidad p1,�2 � �2i de multiplicidad p2, ...,

�q � �qi de multiplicidad pq.Supongamos que �x2 � bjx � c j�p j es el polinomio de

orden dos cuyas raíces son �j � �jipara cada j � 1, ..., q.Entonces

p�x� � an�x � r1�m1�x � r2�m2��x � rk�mk�x2 � b1x � c1�p1��x2 � bqx � cq�

pq

Ecuaciones de orden superior: cálculo de raíces

A pesar de que el teorema anterior dice que cualquier polinomio se descompone en

4

producto de factores irreducibles, en la práctica esa descomposición tropieza con unadificultad formidable: para descomponer el polinomio tenemos que conocer todas susraíces. En el caso de polinomios de grado dos la situación es sencilla, como hemosvisto. Las fórmulas para la resolución de ecuaciones de grado dos eran bien conocidasen el siglo noveno de nuestra era. Para polinomios de grado 3 y 4 existen tambiénfórmulas, que fueron obtenidas por los matemáticos italianos Tartaglia, del Ferro,Cardano y Ferrari en el siglo XVI. Son similares a las que hemos visto para le ecuaciónde orden dos, aunque más complicadas. Nadie consiguió encontrar una fórmulasemejante para las ecuaciones de orden cinco, hasta que en 1826 Abel demostró queno podía existir ninguna fórmula semejante para resolver todas las ecuaciones de ordencinco (y lo mismo ocurre con todos los grados superiores). Así pues, en general nopodremos descomponer polinomios de grado superior a cuatro.

A continuación vamos a ver métodos que nos permiten descomponer algunospolinomios. Lo habitual de estos métodos es que funcionen cuando las raíces de lospolinomios son especialmente sencillas (es el caso del método de Ruffini), o cuando lospolinomios son de alguna forma especial.

Raíz ceroCuando el número cero es una raíz del polinomio, como hemos visto el polinomio se

factoriza en la forma:p�x� � xkq�x� � xk�b1 � b2x2 � b3x3 � � � bmxm�

y el número k es la multiplicidad del cero como raíz. Obsérvese que en este caso eltérmino independiente a0 del polinomio original ha de ser cero. Así pues, antes deempezar a factorizar el polinomio debemos sacar factor común la potencia de x másalta posible. Si es posible, el cero es una raíz del polinomio (y esa potencia nos indica lamultiplicidad), mientras que si no es posible, el cero no es raíz del polinomio.

Método de RuffiniEl método de Ruffini sirve para buscar raíces enteras ��1,�2, ....� de un polinomio.

Para ello, se buscan todos los divisores del término independiente a0 del polinomio. Unavez hecho esto se realiza la división del polinomio entre x � a. Se puede llevar a cabopor el método visto antes, pero es más rápido emplear el método abreviado, conocidocomo método de Ruffini. En este método se escriben los coeficientes del polinomio, enorden decreciente de grado:

an an�1 an�2 � a2 a1 a0

a

A continuación se escribe en la siguiente línea a a la izquierda y se traza una líneahorizontal. Bajo esta línea se escribe el primer coeficiente an, para a continuaciónmultiplicarlo por a y colocar el resultado bajo el segundo coeficiente an�1 y sumar ambosnúmeros. El resultado b1 se coloca bajo la línea horizontal. Y se repite el proceso comoindica este esquema. En cada paso el resultado obtenido se multiplica por a y se colocabajo el siguiente ai, sumando ambos números para obtener el siguiente b.

5

an an�1 an�2 � a2 a1 a0

� �� �� � �� �� ��

a � a � an a � b1 � a � bn�3 a � bn�2 a � bn�1

� � � � � �

an b1 � an�1 � a � an b2 � an�2 � a � b1 � bn�2 bn�1 q

La clave es el número q. Si ese número es cero, entonces a es una raíz del polinomio ypodemos además afirmar que:

p�x� � �x � a��anxn�1 � b1xn�2 � b2xn�3 � � � bn�2x � bn�1�

Obsérvese que los números bi obtenidos debajo de la línea horizontal sirven paraescribir el cociente de esta división.Eso permite, en caso de que el método funcione, reiterarlo, aplicándolo ahora alpolinomio

anxn�1 � b1xn�2 � b2xn�3 � � � bn�2x � bn�1

para continuar con la factorización del polinomio p�x�. La repetición del método se vefacilitada por la colocación de los coeficientes, ya que basta con dibujar una nueva rayahorizontal bajo los términos recién obtenidos y repetir el esquema, como veremos enlos ejemplos.

En esas repeticiones del método se deben considerar de nuevo como posiblesraíces todos los divisores de a0, salvo aquellos que ya se han ensayado y no hanfuncionado; es decir, que si ya hemos encontrado una raíz a del polinomio, debemosvolver a comprobar si a es una raíz del nuevo polinomio.

Ejemplos:1. Factorizar el polinomio

p�x� � x2 � 5x � 6Formamos para ello el esquema:

1 �5 6

a

en el que como número a debemos tomar uno de los divisores de 6, que son, pororden: �1,�2,�3,�6. Probando con a � 1se obtiene:

1 �5 6

1 1 �4

1 �4 2

El valor 2 que hemos obtenido al final indica que

a � 1 no es una raíz del polinomio p�x�. Probamos a continuación con a � �1.

1 �5 6

�1 �1 6

1 �6 12

El valor 12 indica que a � �1 no es raíz del

polinomio. Probamos con a � 2.

1 �5 6

2 2 �6

1 �3 0

Ese cero significa que a � 2 es una raíz de p�x�. Es

6

decir, quep�x� � �x � 2�q�x�para un polinomio q�x� de grado uno

Además los resultados parciales 1 y �3permiten obtener q�x�:p�x� � �x � 2��x � 3�

2. Factorizar el polinomiop�x� � 6x3 � 22x2 � 4x � 48

Formamos para ello el esquema:

6 �22 �4 48

a

en el que, como número a debemos tomar uno de los divisores de 48, que son:a � �1,�2,�3,�6,�8,�12,�16,�24,�48

Probando con a � 1se obtiene:

6 �22 �4 48

1 6 �16 �20

6 �16 �20 28

En conclusión,a � 1 no es raíz.

Probando con a � �1se obtiene:

6 �22 �4 48

�1 �6 28 �26

6 �28 26 22

En conclusión,a � �1 no es raíz.

Probando con a � 2 se obtiene:

6 �22 �4 48

2 12 �20 �48

6 �10 �24 0

Luego a � 2es raíz.

Los coeficientes que han quedado por debajo de la raya horizontal nos permitenasegurar que:

6x3 � 22x2 � 4x � 48 � �x � 2��6x2 � 10x � 24�Obsérvese que esos coeficientes corresponden a un polinomio de grado dos,menor en una unidad al grado de p�x�.Para continuar con la factorización,probamos de nuevo el valor a � 2 con esos coeficientes:

6 �10 �24

2 12 4

6 2 �20

Así que, como no ha funcionado, seguimos probando con a � �2. (Ya no esnecesario probar con los valores a � 1,�1 que se comprobó previamente que noeran raíces.)

6 �10 �24

�2 �12 44

6 �22 20

No funciona. a � �2 no es raíz.

Probamos con a � 3 :

7

6 �10 �24

3 18 24

6 8 0

Luego a � 3 es raíz.

Además tenemos la descomposición:�6x2 � 10x � 24� � �x � 3��6x � 8�

que combinada con la anterior produce

6x3 � 22x2 � 4x � 48 � �x � 2��x � 3��6x � 8� � 2�x � 2��x � 3��3x � 4�que es la descomposición final de p�x�. Las raíces son por tanto �2, 3 y �4

3 .3. Descomponer en factores el polinomio

p�x� � 2x5 � 18x4 � 60x3 � 92x2 � 66x � 18Los divisores del término independiente �18 son �1,�2,�3,�6,�9,�18. Escribiremosconsecutivamente los cálculos realizados, omitiendo las pruebas con valores queno son raíces:

2 �18 60 �92 66 �18

1 2 �16 44 �48 18

2 �16 44 �48 18 0

El valor a � 1 es una raíz.

1 2 �14 30 �18

2 �14 30 �18 0El valor a � 1 funciona otra vez.

1 2 �12 18

2 �12 18 0El valor a � 1 funciona otra vez

3 6 �18

2 �6 0El valor a � 3 funciona una vez ( 2 y �2no)

3 6

2 0El valor a � 3 funciona otra vez

Así pues, hemos obtenido la descomposición:2x5 � 18x4 � 60x3 � 92x2 � 66x � 18 � 2�x � 3�2�x � 1�3

que nos dice que 3 es una raíz doble, y 1 una raíz simple del polinomio.4. Descomponer en factores el polinomio

p�x� � x4 � 5x2 � 6Se obtiene:

1 0 5 0 �6

1 1 1 6 6

1 1 6 6 0

¡Atención a los coeficientes nulos!

�1 �1 0 �6

1 0 6 0El valor a � 1 funciona otra vez.

A continuación, al probar con los divisores de �6, se comprueba que ninguno deellos funciona. Por lo tanto, del método de Ruffini obtenemos:

p�x� � x4 � 5x2 � 6 � �x � 1��x � 1��x2 � 6�

8

El último factor es un polinomio de grado dos irreducible, con raíces complejas� 6 i. Así que la anterior expresión es la descomposición de p�x� usandocoeficientes reales. Si se desea su descomposición usando coeficientes complejos,sería

p�x� � x4 � 5x2 � 6 � �x � 1��x � 1��x � 6 i��x � 6 i�

Ecuaciones bicuadradasUna ecuación de la forma

ax4 � bx2 � c � 0se conoce como ecuación bicuadrada. Estas ecuaciones se pueden resolverintroduciendo un cambio de variable z � x2, que las reduce a ecuaciones de segundogrado:

az4 � bz2 � c � 0de las que sabemos encontrar las raíces. Una vez localizadas sus raíces z1 y z2,podemos encontrar las (cuatro) raíces de la ecuación original usando que ha de serz1 � x2 (de aquí se obtienen dos raíces) y también z2 � x2 (que produce las dosrestantes raíces.)

Esta observación permite descomponer un polinomio de la formap�x� � ax4 � bx2 � c en factores, ya que sabemos calcular sus raíces.

Ejemplo:Descomponer en factores el polinomio

p�x� � x4 � 8x2 � 9Haciendo el cambio z � x2 se obtiene x4 � 8x2 � 9 � z2 � 8z � 9. Las raíces de laecuación

z2 � 8z � 9 � 0se obtienen de

z ����8� � ��8�2 � 4 � ��9�

2 � 8 � 102 Luego

z1 � 9

z2 � �1

De donde se deduce que x2 � 9 y x2 � �1 producen las cuatro raíces del polinomio p�x�.Esas raíces son x1 � 3, x2 � �3, x3 � i, x4 � �i. Por tanto:

p�x� � x4 � 8x2 � 9 � �x � 1��x � 1��x � i��x � i� � �x � 1��x � 1��x2 � 1�Hemos indicado también en este caso las descomposiciones real y compleja.

Fracciones racionales

Una fracción racional es un cociente:

f�x� � p�x�q�x�

en el que p�x� y q�x� son polinomios. Supondremos además en lo que sigue que p�x� esde grado menor al de q�x�. Si no fuera así se puede emplear el algoritmo de la divisiónque hemos visto para obtener una descomposición.

9

p�x�q�x�

� s�x� � r�x�q�x�

con grado(r�x�)�grado(q�x�)

Así que supondremos que el polinomio del numerador es de grado menor que eldenominador.

Fracciones simplesCualquier fracción racional se puede descomponer en la suma de unos cuantostérminos, siendo esos términos de una de estas dos clases:

Clase 1 : A�x � ��k

Clase 2 : Bx � C�x2 � �x � ��p

Estas fracciones se conocen como fracciones simples.Es decir que tendremos una descomposición como:

p�x�q�x�

� A1

�x � �1�k1� � � Ar

�x � �r�kr� B1x � C1

�x2 � �1x � �1�p1� � � Bsx � Cs

�x2 � �sx � �s�ps

Estas descomposiciones son esenciales para el cálculo de primitivas de las fraccionesracionales.Ejemplos:Dejamos que el lector compruebe que:

1. 5xx2 � 5x � 6

� �10x � 2 � 15

x � 3Como puede verse, los dos términos obtenidos son de la forma A

�x � ��k . En el

primero A � �10,� � 2, k � 1. En el segundo A � 15,� � 3, k � 1

2. 7x3 � 30x2 � 40x � 3x4 � 5x3 � 5x2 � 3x � 18

� 2x � 3 � 3

�x � 3�2 � 1 � 5xx2 � x � 2

3. x4 � 2x3 � x2 � 4x � 1x6 � 3x4 � 3x2 � 1

� 1x2 � 1

� �3 � 2x�x2 � 1�2 � 3 � 2x

�x2 � 1�3 .

En este ejemplo, todos los términos son de clase 2.

¿Cómo se obtiene esa descomposición?1. En primer lugar, debemos factorizar el polinomio del denominador q�x�.Sea pues:

q�x� � an�x � �1�k1�x � �2�k2��x � �r�kr�x2 � �1x � �1�p1��x2 � �qx � �s�

ps

Esta descomposición se obtiene por los métodos que hemos expuesto en lospárrafos precedentes.

2. Para saber cuales son las fracciones simples que componen la descomposición dep�x�q�x�

debemos considerar la descomposición del primer paso, como se indica a

continuación:a. Cada factor de q�x� de la forma �x � ��k produce k fracciones simples, con

potencias crecientes de �x � �� en el denominador:A1

�x � ��� A2

�x � ��2 � A3

�x � ��3 � � � Ak

�x � ��k

Los coeficientes Ak en este paso se dejan indeterminados, y se calcularán en elpróximo paso.

b. Cada factor de q�x� de la forma �x2 � �x � ��p produce p fracciones simples, conpotencias crecientes de �x2 � �x � �� en el denominador:

10

B1x � C1

�x2 � �x � ��� B2x � C2

�x2 � �x � ��2 � B3x � C3

�x2 � �x � ��3 � � �Bpx � Cp

�x2 � �x � ��p

Como en el caso anterior, los coeficientes Bk, Ck quedan indeterminados, y secalcularán en el próximo paso. Obsérvese que la diferencia fundamental entreeste caso y el anterior es que los polinomios indeterminados del numeradorson de grado uno.

Ejemplo.Vamos a empezar la descomposición en fracciones simples de la fracción racional:

7x3 � 30x2 � 40x � 3x4 � 5x3 � 5x2 � 3x � 18

Empezamos por descomponer el denominador. Dejamos como ejercicio que ellector compruebe (usar Ruffini mientras sea posible) que:

x4 � 5x3 � 5x2 � 3x � 18 � �x � 3�2�x2 � x � 2�El factor �x � 3�2 produce dos fracciones simples:

A1

�x � 3�� A2

�x � 3�2

mientras que el factor �x2 � x � 2� produce una fracción simple:B1x � C1

�x2 � x � 2�Combinando ambos resultados se tiene, como descomposición:

7x3 � 30x2 � 40x � 3x4 � 5x3 � 5x2 � 3x � 18

� A1

�x � 3�� A2

�x � 3�2 � B1x � C1

�x2 � x � 2�Los coeficientes A1, A2, B1 y C1 se determinarán en el siguiente paso.

3. Ahora se deben buscar los valores de los coeficientes que han quedadoindeterminados en el paso anterior. Para ello se agrupan los fracciones simples delmiembro derecho, escribiéndolas con un denominador común que, por supuesto,será el mismo que le del miembro izquierdo. Entonces se comparan losnumeradores de las dos fracciones y se identifican los coeficientes de las potenciasde x. Se obtiene así un sistema de ecuaciones, que permite calcular los valores deesos coeficientes.Ejemplo.Retomamos el ejemplo anterior. Teníamos:

7x3 � 30x2 � 40x � 3x4 � 5x3 � 5x2 � 3x � 18

� A1

�x � 3�� A2

�x � 3�2 � B1x � C1

�x2 � x � 2�Agrupando los términos del miembro izquierdo:

7x3 � 30x2 � 40x � 3x4 � 5x3 � 5x2 � 3x � 18

� A1

�x � 3�� A2

�x � 3�2 � B1x � C1

�x2 � x � 2��

A1�x � 3��x2 � x � 2� � A2�x2 � x � 2� � �B1x � C1��x � 3�2

�x � 3�2�x2 � x � 2��

�B1 � A1�x3 � �A2 � 6B1 � 2A1 � C1�x2 � �A2 � 9B1 � A1 � 6C1�x � 9C1 � 2A2 � 6A1

�x � 3�2�x2 � x � 2�Como se ve, hemos agrupado los términos del numerador según las potencias dex. De aquí, comparando los numeradores del principio y final se deduce que:

7x3 � 30x2 � 40x � 3 �

�B1 � A1�x3 � �A2 � 6B1 � 2A1 � C1�x2 � �A2 � 9B1 � A1 � 6C1�x � 9C1 � 2A2 � 6A1

Y por lo tanto se tiene el sistema:

11

7 � B1 � A1 (términos en x3)

�30 � A2 � 6B1 � 2A1 � C1 (términos en x2)

40 � A2 � 9B1 � A1 � 6C1 (términos en x)

3 � 9C1 � 2A2 � 6A1 (términos independientes)

Que una vez resuelto produce A1 � 2, A2 � 3, B1 � 5, C1 � 1. Esto permite escribirfinalmente

7x3 � 30x2 � 40x � 3x4 � 5x3 � 5x2 � 3x � 18

� 2�x � 3�

� 3�x � 3�2 � 5x � 1

�x2 � x � 2�que es la descomposición en fracciones simples deseada.

Completando cuadrados

Un trinomio cuadrático de la formaax2 � bx � c

puede escribirse siempre en la forma:��x � ��2 � �

si a es positivo o en la forma� � ��x � ��2

si a es negativo.A esta operación, que es necesaria muchas veces, se la describe diciendo que se ha”completado el cuadrado”. Para llevarla a cabo empezamos por suponer que aespositivo, de manera que podemos escribir a � �2 para algún número �. Entonces:

ax2 � bx � c � �2x2 � bx � c � �2x2 � 2� b2� x � c �

�2x2 � 2� b2� x � b2 � b2 � c � �x � b

2�

2

� �c � b2�

que haciendo � � b2� y � � c � b2, conduce al resultado deseado. En el caso en que a

es negativo se escribe a � ��2 y se repite el esquema anterior. Dejamos los detallespara el lector.Ejemplos.

1. x2 � 6x � 1 � x2 � 2 � 3 � x � 1 � x2 � 2 � 3 � x � 32 � 32 � 1 � �x � 3�2 � 9 � 1� �x � 3�2 � 8 que es el cuadrado completado.

2. x2 � x � 1 � x2 � 2 � 12 � x � 1 � x2 � 2 � 1

2 � x � 12

2� 1

22� 1 �

x � 12

2� 1

4 � 1 � x � 12

2� 1

22� 3

43. x2 � 3x � 2 � x2 � 2 � 3

2 � x � 2 � x2 � 2 � 32 � x � 3

22� 3

22� 2 �

x � 32

2� 9

4 � 2 � x � 32

2� 1

44. 4x2 � 6x � 5 � 22x2 � 6x � 5 � 22x2 � 2 � 2x � 3

2 � 5 � 22x2 � 2 � 2x � 32 � 9

4 � 94 � 5 �

12

� 2x � 32

2� 5 � 9

4 � 2x � 32

2� 11

4

5. 2 � 5x � 2x2 � 2 � 5x � 2 x2� 2 � 2 � �5

2 2� 2 x � 2 x

2�

� 2 � �52 2

2

� �52 2

2

� 2 � �52 2

� 2 x � 2 x2�

� 2 � �52 2

2

� �52 2

� 2 x2

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