Factoriales

Un factorial se designa con un número natural positivo seguido por un signo de exclamación (es decir 8!). El valor de un factorial es el producto de todos los números desde 1 hasta el número del factorial. 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40,320. Los factoriales se utilizan para determinar las cantidades de combinaciones y permutaciones y para averiguar probabilidades.

Factorial !

La función factorial (símbolo: !) sólo quiere decir que se multiplican una serie de números que descienden. Ejemplos:

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 1! = 1

"4!" normalmente se pronuncia "4 factorial". También se puede decir "factorial de 4"

Calculando desde el valor anterior

Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:

n n!    1 1 1 12 2 × 1 = 2 × 1! = 23 3 × 2 × 1 = 3 × 2! = 64 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 245 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 1206 etc etc  

Ejemplo: ¿Cuánto es 10! si ya sabes que 9!=362.880 ?

10! = 10 × 9!

10! = 10 × 362.880 = 3.628.800

Así que la regla es:

n! = n × (n-1)!

lo que significa "el factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número", por tanto 10! = 10 × 9!, o incluso 125! = 125 × 124!

Qué pasa con "0!"

El factorial de cero es interesante... se suele estar de acuerdo en que 0! = 1.

Parece raro que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas cuestiones.

¿Dónde se usa el factorial?

Los factoriales se usan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones

Una pequeña lista

n n!0 11 12 23 64 245 1206 7207 5.0408 40.3209 362.88010 3.628.80011 39.916.80012 479.001.60013 6.227.020.80014 87.178.291.20015 1.307.674.368.00016 20.922.789.888.00017 355.687.428.096.00018 6.402.373.705.728.00019 121.645.100.408.832.00020 2.432.902.008.176.640.00021 51.090.942.171.709.400.00022 1.124.000.727.777.610.000.00023 25.852.016.738.885.000.000.00024 620.448.401.733.239.000.000.00025 15.511.210.043.331.000.000.000.000

¡Como ves, crecen muy rápido!

Algunas valores muy grandes

70! es aproximadamente 1,1978571669969891796072783721 x 10100, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).

100! es aproximadamente 9,3326215443944152681699238856 x 10157

200! es aproximadamente 7,8865786736479050355236321393 x 10374

¿Y los decimales?

¿Puedes calcular factoriales de 0,5 o -3,217?

¡Sí que puedes! Pero tienes que usar algo que se llama "función Gamma", y que es mucho más complicado que lo que tratamos aquí.

Factorial de un medio

Lo que sí te puedo decir es que el factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semienteros" son:

n n!(-½)! √π(½)! (½)√π

(3/2)! (3/4)√π(5/2)! (15/8)√π

Y todavía cumplen la regla de que "el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)", por ejemplo

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!(5/2)! = (5/2) × (3/2)!

¿Puedes averiguar cuánto es (7/2)!?