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Física IV

Ondas Electromagn éticas

Marco A. Merma Jara

http://mjfisica.netVersión 8.2015

Marco A. Merma Jara

Contenido

� Concepto de onda� Elementos de una onda� Ecuaciones de Maxwell� Ondas electromagnéticas� Ecuación de ondas

electromagnéticas senoidales� Ondas electromagnéticas y la

velocidad e la luz� Energía en ondas

electromagnéticas

Marco A. Merma Jara

Onda

� Perturbación sucesiva de un medio� Sólido� Líquido� Gaseoso

� La Onda Electromagnética � Propaga en el vacío

� Ejemplo� La luz

Marco A. Merma Jara

Ondas electromagn éticas

� Onda� Perturbación sucesiva de un medio

pulso

yv v

Marco A. Merma Jara

Tipos de ondas

� Ondas longitudinales

v�yv�

/ / yv v� �

Perturbación

Marco A. Merma Jara

Tipos de ondas

� Ondas transversales

v�

yv�

yvv��

⊥

Marco A. Merma Jara

Ondas Electromagn éticas

� Ecuaciones de Maxwell� Ley de Gauss� Ley de Gauss

para campo magnético

� Ley de Ampere� Ley de

Faraday

encerrada

o

QE dA

ε• =∫��

�

0B dA• =∫��

�

Eo o o

dB dl I

dt

φµ µ ε• = +∫��

�

BdE dldt

φ• = −∫��

�

Marco A. Merma Jara


� Elementos de una onda� Periodo � Frecuencia� Frecuencia angular� Número de onda� Velocidad de

propagación� Velocidad de oscilación

fT

1=

22 f

T

πω π= =

kv

ω=

v c fλ= =

Marco A. Merma Jara


� Número de onda k� Indica la dirección de

propagación de una onda en el espacio

� En 1D )..( zyx kkkk =�

2k

πλ

=k�

Marco A. Merma Jara

Perfiles de ondas electromagn éticas

� Perfiles de Ondas senoidales, para t = cte

Marco A. Merma Jara


� Ecuación de la onda senoidal

� Cuando t = 0� K : número de onda o

número de propagación� La función de onda se

repite después de un periodo espacial o longitud de onda

)( txkAsen ωψ ∓=

Asen kxψ =

OBSERVACIONOBSERVACION : : Cualquier perfil se puede sintetizar como sumas de funciones senoidales por el método de Fourier

( , ) ( , )x t x tψ ψ λ= ∓

2 /k π λ=

Marco A. Merma Jara


� Si la onda se repite después de un periodo temporal

� La función de onda se puede replantear

� Ondas monocromáticas� Una sola longitud de onda� Abstracción matemática

� Aproximaciones� cuasi-monocromáticas

( , ) ( , )x t x tψ ψ τ= ±

/ vτ λ= f vλ =

( , ) ( )x t Asen kx tψ ω= ∓

Marco A. Merma Jara


� Fase y velocidad de fase

� Considerando una fase inicial ε

� Condición de fase constante

� Velocidad de propagación� Llamado también

velocidad de FASE

tkx ωφ ∓=

kx tφ ω ε= +∓

( )( )/

/

x

t

txv

t x kφ

φ ωφ

∂ ∂∂ = − = ± = ± ∂ ∂ ∂

Marco A. Merma Jara


� Velocidad de propagación

λ

T

v→ �

f v cλ = =

Cresta

Valle83 10 /c m s= ×

Marco A. Merma Jara

Ondas electromagn éticas Senoidales

� Ondas senoidalesCampo eléctricoCampo magnético

Marco A. Merma Jara


� Campo E y B linealmente polarizadas� E oscila en un solo plano (x-y)� B oscila en un solo plano (x-z)

Plano x-y

Plano x-z

Marco A. Merma Jara


� Ecuaciones de Ondas electromagnéticassenoidales� Campo eléctrico

E(x,t)� Campo magnético

B(x,t)

( , ) cos( )E x t E kx tω= −

( , ) cos( )B x t B kx tω= −

Marco A. Merma Jara


� Relación entre campo eléctrico y campo magnético

cdt

a

E cB=

Marco A. Merma Jara


� Permeabilidad, permisividad y la velocidad de la luz

1

o o

cµ ε

=

cdt

a

Marco A. Merma Jara

Ondas electromagn éticas senoidales

� Sentido de la propagación

max( , ) cos( )yE x t E kx tω= −

max( , ) cos( )yE x t E kx tω= +

Marco A. Merma Jara

Energ ía de una onda electromagn ética

� Energía magnética + energía eléctrica

2 21 1

2 2o

o

u E Bεµ

= +

21

2E ou Eε= 21

2B

o

u Bµ

=

Marco A. Merma Jara


� Energ ía en OEM� Por unidad de volumen

por unidad de área por unidad de tiempo

� Vector de Poyting S

BES��

×=2 o

EBS

µ< >=

A

cdt

S�

Marco A. Merma Jara


� Intensidad de la radiación

PI S

A=< >=

r 24A rπ=P Potencia=

Marco A. Merma Jara


� Cantidad de movimiento por unidad de volumen

� Potencia

� Presión de radiación� Si la onda se refleja

Up

c=

P S d A= •∫� �

�

rad

SP

c

< >=

22rad

S IP

c c

< >= =

Marco A. Merma Jara

Representación compleja de una onda

� Número complejo

z x iy= +

A

)θ

x iy+

*z x iy= −

Marco A. Merma Jara

Fórmula de Euler o Moivre

� Conjugado de un complejo

cosie isenϕ ϕ ϕ= +

cosie isenϕ ϕ ϕ= + cosie isenϕ ϕ ϕ− = −

* cose isenϕ ϕ= −

(cos )(cos ) 1i ie e isen isenϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− = + − =

Marco A. Merma Jara


� Ondas electromagnéticas estacionarias� Onda incidente y onda reflejada

max( , ) [cos( ) cos( )]yE x t E kx t kx tω ω= − − +

max( , ) [ cos( ) cos( )]zB x t B kx t kx tω ω= − − − +

cos( ) cos cosA B A B senAsenB=∓ ∓

Marco A. Merma Jara

Ondas electromagn éticas estacionarias

� Ondas estacionarias

max( , ) 2yE x t E senkxsen tω= −

max( , ) 2 cos coszB x t B kx tω= −

Marco A. Merma Jara


� Espectro electromagnético

Marco A. Merma Jara

Ejercicios

� 1-1. La potencia de una fuente de radiación es 1000 W, determinar la intensidad del campo eléctrico y campo magnético máximos.

� 1-2. Mostrar la relación entre E y B, E= c B� 1-3. Mostrar que la velocidad de la luz se determina por

ooc εµ/1=

Marco A. Merma Jara

Referencias

� Física Universitaria, Vol 2, 12va Edición, Sears, Zemansky, Young, Fredmann, Addison Longman, México, 1999

� Óptica y Física Moderna, Marco A. Merma Jara, Universidad Nacional Mayor de San Marcos, 2013

Física IV

Ondas Electromagn éticas en 3 dimensiones

Marco A. Merma Jarahttp://mjfisica.net

Marco A. Merma Jara

Contenido

� Función de onda� Ecuación diferencial de

la onda� Ecuación matemática

de la función de onda dimensiones

� Ondas planas� Ondas cilíndricas � Ondas esféricas� Ejercicios� Referencias

Marco A. Merma Jara

Forma general de una función de onda

� Función de onda 1D

( )f x vt− ( )f x vt+

Marco A. Merma Jara

Deducción de la ecuación de onda

� Función de onda f(x,y,z,t)

( , , , )f f x y z t= ( , )f f r t=

( , , , )x y z tψ ψ= ( , )r tψ ψ=

Marco A. Merma Jara

Ondas en 3 dimensiones

� Ecuación general de onda

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

x y z v t

ψ ψ ψ ψ∂ ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ∂

ˆˆ ˆi j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

Operador nabla

2 2 22

2 2 2x y z

∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂

Marco A. Merma Jara

Ondas en 3D

� Ecuación del plano

( ) 0or r k− • =��

or r−� �

or�

r�

x y

z

Marco A. Merma Jara

Ondas electromagn éticas en 3D

� Frentes de onda

� Si la fase de una onda es constante� Se denomina

FRENTE de ONDA

Marco A. Merma Jara

Ondas planas

� Frente de ondas planas

)(),,,( tzyxikAetzyx ωγβαψ ∓++=

( , , , ) ( )x y z t f x y z vtψ α β γ= + + −

Marco A. Merma Jara

Ondas cilíndricas

� Ecuación

2

2 2

1 1r

r r r v t

ψ ψ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂

( , , )r zψ ψ θ=

cosx r θ=y rsenθ=z z=

Marco A. Merma Jara

Ondas esféricas

� Se propagan en todas las direcciones

� Posse un frente de ondas esféricas

� El centro coincide con al fuente de perturbación

Marco A. Merma Jara

Ondas esféricas

� El operador nabla

2 22 2

2 2 2 2 20

1 1 1r sen

r r r r sen r senθ

θ θ θ θ φ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

cosx rsenθ φ=y rsen senθ φ=

( ) ( , , )r rψ ψ θ φ=

22 2

2

1( )r r

r r r

ψψ ∂ ∂ ∇ = ∂ ∂ cosz r θ=

Marco A. Merma Jara

Ondas periódicas y series de Fourier

� Sean una ondas de diferentes frecuencias

Marco A. Merma Jara

Teorema de Fourier

� Una función de onda f(x) de periodo espacial λ, puede sintetizarse como una suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de λ

...)2/

2cos()

2cos()( 22110 +++++= ε

λπε

λπ

xCxCCxf

Marco A. Merma Jara

Teorema de Fourier

� Un equivalente a las series

0

1 1

( ) cos2

m m

m m

Af x A mkx B senmkx

∞ ∞

= =

= + +∑ ∑

0

2( ) cosmA f x mkx dx

λ

λ= ∫

0

2( )mB f x senmkx dx

λ

λ= ∫

0,1, 2,...m =

1,2,3,...m =

Marco A. Merma Jara

Referencias

� Física Universitaria, Vol II, 12va edición, Sears, Zemansky, Young, Fredmann, Addisson Longman, México, 1999

� Física, Vol II, Serway,Jewet, 7ma Edición, McGraw-Hill, 2009

� Compendios Schaum, Teoría y problemas de Óptica, Eugen Hetch, McGraw-Hill, España, 1975

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