f3.1 pau movimientooscilatorio soluc

Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid 2000-2016. Soluciones Movimiento [email protected] Revisado 8 octubre 2015

2016-ModeloB. Pregunta 2.-

a) La velocidad de oscilación máxima es A·ω, luego A=vmáxω

=5π2

=10π cm

La fase inicial del movimiento está asociada a la ecuación x(t), que integrando / buscando la función que derivando nos de la velocidad es

x (t)=−10π cos(π2 t+

3π2 )[x encm ,t ens ]

Se podría responder que φ0=3π/2 rad si en t=0 s la elongación es -A, lo que podría ser válido ya que no se indican condiciones iniciales en el enunciado.Si asumimos que se pide la fase inicial asociada a la expresión habitual de x(t) con amplitud positiva, transformamos la expresión para que la amplitud sea positiva. Por trigonometría

-cos(α)=cos(α -π), luego x (t)=10π cos(π2 t+

3π2

−π)=10π cos(π2 t+ π2 )[x encm ,t ens ] y la fase

inicial para que en t=0 se tenga elongación +A es φ0=π/2 rad.

b) Ec (t=1 s)=12mv2=

120,002·(0,05 sen( π

2·1+

3π2

))2

=0 J

Como la energía cinética en ese instante es nula, la energía potencial será máxima, y será igual a la energía cinética máxima, ya que la energía mecánica es constante e igual a la cinétia y potencial máximas.

Ep(t=1s )=Epmáx=E cmáx=Em=12mvmáx

2=120,002·(0,05)

2=2,5 ·10

−6J

2015-SeptiembreB. Pregunta 2.- a) Utilizamos las expresiones de la aceleración y la velocidad en función de la posicióna=−ω

2 x ; v=±ω√A2−x2

Sustituimos para x=+0,06 m, calculando la frecuencia angular: ω=√km=√ 80,5=√16=4 rad /s

a=−42 ·0,06=0,96m/ s2

v=±4√0,12−0,062=±0,32m / sb) Según el enunciado, x(t=0)=0 m y en sentido positivo, en ese instante la elongación aumenta.Obtenemos la ecuación de la elongación utilizando seno, con lo que la fase inicial será 0

x (t)=A⋅sen (ω t+ϕ0)⇒ x (t)=0,1· sen(4 · t+ϕ0)[ x en m , t ens ](El que la fase sea 0 se ve cualitativamente, aunque se puede razonar matemáticamente)

x (t)=A⋅sen (ω t+ϕ0)⇒ x (t=0)=0=0,1 · sen(4·0+ϕ0)⇒0=sen(ϕ0)⇒ϕ0=0 óπ radComo en t=0 la velocidad es positiva y utilizando seno para la posición

v (t )=Aω sen(ω t+ϕ0)⇒v ( t=0)=0,1 ·4 · sen (4· 0+ϕ0)⇒tomamos ϕ0=0 rad para v (t=0)>0 )Igualamos la elongación a 0,08 m y calculamos el tiempo:

0,08=0,1· sen(4 t )⇒4 t=arcsen(0,08/0,1)≈0,927 rad ⇒ t=0,927/ 4=0,232 s2015-Junio-CoincidentesB. Pregunta 2.- a) Utilizando la ley de Hooke y teniendo en cuenta que la fuerza que lo estira es el peso de la masa asociado a la gravedad

|F|=K Δ x⇒mg=K Δ x

0,5 ·9,81=k·0,02⇒k=0,5 ·9,810,02

=245,25N /m

ω=√km=√245,250,5≈22,15 rad /s

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b) La masa realiza un movimiento armónico simple, cuya elongación máxima es A=0,03 m (se dice que se estira hasta una longitud total de 20 cm, y en el equilibrio ya medía 17 cm, 15 de longitud delmuelle y 2 que se estira al colocar la masa).Tomamos como t=0 el instante en el que es liberado, y eje x positivo hacia abajo, por lo que en t=0 s la elongación será positiva e igual a la amplitud, por lo que utilizamos como función trigonométrica el coseno y así tendremos fase inicial cero.

x (t)=A⋅cos (ω t +ϕ0)⇒ x (t)=0,03·cos (22,15 t)[ x enm ,t en s]La mínima longitud del muelle en el movimiento estará asociada a la máxima compresión del muelle, que es igual a la amplitud, por lo que será la longitud asociada al equilibrio menos la amplitud. La longitud asociada al equilibrio incluye el estiramiento asociado a colocar la masa, por lo que longitu mínimca= l0+0,02-A=0,15+0,02-0,03=0,14 m2015-JunioA. Pregunta 2.- a) Utilizando la ley de Hooke y teniendo en cuenta que la fuerza que lo estira es el peso de la masa asociado a la gravedad en ese planeta

|F|=K Δ x⇒mg=K Δ x

0,050 · g=350 ·(0,0525−0,05)⇒g=350·0,00250,050

=17,5m / s2

b) El muelle describirá un movimiento armónico simple, cuya amplitud serán 0,5 cm (5·10-3 m). Tomamos como t=0 el instante en el que es liberado, y eje x positivo hacia abajo, por lo que en t=0 s la elongación será positiva e igual a la amplitud, por lo que utilizamos como función trigonométrica el coseno y así tendremos fase inicial cero.

La frecuencia angular de oscilación será k=m·ω2⇒ω=√km=√ 3500,050

=83,7 rad / s

La ecuación que describe el movimiento será x=5 ·10−3 ·cos(83,7 t)[ xenm , t en s]2015-ModeloA. Pregunta 2.-

a) k=m·ω2

⇒ω=√ km=3,16 rad / s

ω=2πT

⇒T=2π3,16

≈2 s

Si el muelle está sin deformar, está en la posición de equilibrio, y en esa posición la velocidad es máxima y de módulo igual a A·ω, luego utilizando unidades de Sistema Internacional

vmáx=A·ω⇒0,158=A ·3,16⇒ A=0,1583,16

≈5 ·10−2m

No se pide la expresión de la elongación en función del tiempo, pero si se pidiese, dado que en t=0 la elongación es 0, podríamos tomar como función seno (la elección es arbitraria), con lo que el desfase sería 0 ó π rad. Tomamos desfase π rad ya que la función seno es creciente para fase 0, pero se dice que el muelle se comprime inicialmente, luego la elongación está disminuyendo en t=0.x=5 ·10−2 · sen (3,16 t+π)[x enm ,t ens ]

b) Según la ley de Hooke F=-kx, la fuerza será máxima en módulo cuando la elongación sea igual a la amplitud, luego |Fmáx|=k · A=2 ·5·10−2

=0,1NLa energía potencial máxima está asociada a la posición donde el muelle tiene la máxima

compresión o alargamiento Epmáx=12k · A2=

12·2 ·(5 ·10−2)2=2,5 ·10−3 J

2014-SeptiembreB. Pregunta 2.- a) En la figura podemos ver que la elongación varía entre +8 m y -8 m, luego la amplitud es A=8 m.El movimiento oscilatorio se repite cada 60 s (podemos ver un máximo en 10 s y en 70 s, y un

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mínimo en 40 s y en 100 s. El periodo es T = 60 sb) Para la expresión general de la elongación

x (t)=A⋅cos (ω t +φ0) necesitamos conocer el valor de la fase inicial, ya que sí conocemos

ω=2π

T= π

30rad /s y podemos llegar a la expresión

x (t )=8⋅cos ( π30

t +φ0)[ x en m , t en s ]

Vemos que x(t=0 s) = 4 m, luego sustituyendo 4=8⋅cos (φ0)⇒φ0=arccos (1/2)=π

3rad ó−π

3rad

Para elegir entre los dos valores, comprobamos la velocidad v (t )=−π

308⋅sen ( π

30t +φ0) [ven m /s ,t en s]

Vemos que v(t=0 s) es positiva (la pendiente de la gráfica), y sustituyendo v (t=0s )=−π

308 sen(φ0)⇒φ0=

−π3

rad , para que v (t=0 s)>0

La expresión final x (t )=8⋅cos ( π

30t−π

3)[ xen m , t en s ]

2014-Junio-CoincidentesB. Pregunta 2.- a) La energía mecánica se conserva en un oscilador ideal, y coincide con la energía cinética máxima, que es precisamente la energía que tiene en la posición de equilibrio en la que x=0 y la

velocidad es máxima Em=Ecmáx=12mvmáx

2=0,5 ·0,100 ·42=0,8J

omo se nos proporciona otra velocidad asociada a una posición, utilizamos la expresión de la velocidad en función de la elongación v=±ω√A2−x2 Como queremos averiguar A, la relacionamos con ω: la velocidad máxima es ωA, luego podemos plantear que 4=ωA → ω=4/ASi x=+0,40 m, v=2 m/s :

2=±4A

√A2−0,42⇒ 12=A2−0,42

A2=1−

0,42

A2⇒2=

A2

0,42⇒ A=0,4 ·√2≈0,57m

b) a=-ω2·x=-(4/0,57)2·0,4=-28 m/s2

T=2 πω =

2π4 /A

=π ·0,572

≈0,90 s

2014-JunioA. Pregunta 2.- a) La energía mecánica máxima en un muelle ideal oscilando es igual a la energía cinética máxima, por lo que podemos plantear

Em=Ecmáx=12mvmáx

2⇒0,3=

120,3 · vmáx

2⇒ vmáx=√2m / s≈1,41m / s

La velocidad máxima se alcanza en los puntos en los que la energía potencial es mínima, que es en la posición de equilibrio; se puede ver con la expresión v=±ω√A2−x2 Como se pide posición medida respecto al extremo fijo del muelle, y el muelle en equilibrio tiene 25 cm, se alcanza cuandola masa está a 25 cm del extremo del muelle.b) La máxima aceleración ocurrirá en los extremos de la oscilación, es decir cuando la elongación sea igual a la amplitud, ya que en un movimiento oscilatorio se cumple a=-ω2x.

En el enunciado K=0,2Ncm·100 cm1m

=20N /m y m=0,3 kg, con los que podemos calcular

directamente la frecuencia angular ω=√Km=√200,3≈8,16 rad /s , pero necesitamos calcular la x

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máxima.La podemos calcular a partir de la energía

Em=Epmáx=12K xmáx

2 ⇒0,3=120,2 ·100 · xmáx

2 ⇒ xmáx=√0,310 m≈0,17m

O bien con la velocidad máxima obtenida en el apartado anterior sabiendo que

vmáx=ω xmáx⇒ xmáx=vmáxω ≈

1,418,16

≈0,17m

Operando

|amáx|=ω2xmáx=

Kmxmáx≈

200,3·0,17=11,3m / s

2

2013-SeptiembreB. Pregunta 2.- a) Si el periodo de oscilación es de 2,5 s, tenemos que la frecuencia angular será ω=2π/T= 2π/2,5=0,8π rad/s.La velocidad máxima en módulo es vmáx=Aω, luego la amplitud del movimiento será A=vmáx/ω=40/0,8π=15,9 cmb) Como tenemos que relacionar velocidad y posición, utilizamos la expresión v=±ω√( A2

− x2)

Sustituyendo el valor 10 cm/s en la expresión tenemos 100/(0,8π)²=15,9²-x²; x=15,39 cm. La velocidad tendría ese módulo a esa distancia del punto de equilibrio, tanto con x positiva como negativa, a ambos lados del punto de equilibrio a lo largo de su movimiento oscilatorio.2013-Junio-CoincidentesA. Pregunta 2.- a) f1= 1 Hz, ω1=2π rad/s, ω1

2=k/mAl añadir 0,3 kg al mismo muelle (misma k), tenemos f2= 0,5 Hz, ω2=π rad/s, ω2

2=k/(m+0,3)Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, k y m.

(2π )2=km; π2=

km+0,3

Dividiendo la primera por la segunda

4=m+0,3m

=1+0,3m

⇒3=0,3m

⇒m=0,1kg

Sustituyendo en la primera k = 0,4π2 N/mb) Si el periodo de oscilación se triplica, la frecuencia es la tercera parte.Al añadir M al mismo muelle (misma k), tenemos f3= 1/3 Hz, ω3=2π/3 rad/s, ω3

2=k/(m+M)

(2π3

)2

=0,4 ·π2

0,1+M⇒M=0,4 ·π2 ·(

32π

)2

−0,1=0,8kg

2013-JunioB. Pregunta 2.- a) Utilizando la ley de Hooke F=Kx, siendo la fuerza el peso P=mg=0,05·9,8=0,49 N y la elongación 0,45-0,4=0,05 m. Despejamos K=0,49/0,05=9,8 N/mDescribirá un movimiento armónico simple, con amplitud 0,1 m, y frecuencia angular

ω=√Km

=√ 9,80,05

=14 rad / s (la expresión la podemos obtener igualando F=-kx=ma y a=-ω2x

Para describir el movimiento tomamos x=0 en la posición de equilibrio, y tomamos x=0,06 m en el instante inicial (valor positivo, el eje x está dirigido hacia abajo), con lo que la expresión general

x (t)=A⋅cos (ω t +φ0) en este caso es x (t)=0,06⋅cos(14 t )[ xen m , t en s ](Si se toma eje x dirigido hacia arriba, x=-0,06 m en instante inicial, y tendríamos fase inicial. También tendríamos fase inicial si hubiéramos elegido seno en lugar de coseno)b) Cuando pasa por el punto de equilibrio ascendiendo la velocidad es máxima y según el eje x elegido la velocidad será negativa, v=-Aω=-0,06·14 =-0,84 m/s

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En el punto de equilibrio la aceleración es nula, ya que al ser un movimiento armónico a=-ω2x y en el equilibrio x=0.2013-ModeloA. Pregunta 2.-

a) F=-Kx=ma; a=-ω2x; K =ω2 m⇒m=

K

ω2 =

2· 104

(2 ·π · 50)2=0,203 kg

T=1f=

2πω =2π√K

mEl periodo no depende de lo grande que sea la elongación inicial, pero no

se pregunta por elongación sino por la energía inicial con la que se estire el muelle. La energía

inicial con la que se estira es energía potencial elástica E p=12

K A2, por lo que se podría

plantear T=2π√2 E p

m A2. A medida que varía Ep, aumenta en la misma proporción A2, por lo que

realmente no hay dependencia.b) La fuerza elástica es F=-Kx, luego será máxima para x=A=0,05 m. ∣F∣=2 ·104·0,05=1000 N2012-SeptiembreA. Pregunta 1.- a) El periodo está relacionado con la frecuencia y con la constante elástica, ya que ω=2π/T, y ω2=K/m, luego sustituyendoK=ω2m=(2π/T)²·m=(2π/0,25)2·0,1=63,1 N/mPara escribir la función matemática x (t)=A⋅cos(ω t +φ0) calculamosFrecuencia angular ω= 2π/T= 2π/0,25= 8π rad/sAmplitud A: como la energía potencial elástica inicial es el valor máximo, podemos plantear

E pmáx=12

K A2 ⇒ A=√2E pmáx

K=√2 ·

263,1

=0,25 m

Respecto a la fase inicial, si tomamos t=0 en el momento que comienza a oscilar, será nula ya que hemos elegido como función trigonométrica el coseno.La función es x (t)=0,25⋅cos(8π t)(x en m ,t en s )

b) Si derivamos v (t )=d x ( t)

dt=−2π sen(8π t )(v enm / s , t en s)

E c (t)=12

m v (t )2⇒ E c( t=0,1 s )=

12

0,1(−2π sen(8π 0,1))2=0,68 J

2012-ModeloA. Pregunta 2.-

a)

T =9

30=

310

=0,3 s⇒ω=2π

T=

2π

0,3=

20π

3rad /s

x (t )=A⋅cos(ω t +φ0)=0,2 cos (20π

3t+φ0)[ x en m ,t en s]

Como queremosque en t=0, x=0,1 m

0,1=0,2 cos (φ0) ;φ0=arccos(0,10,2

)=π3

ó−π3

v (t )=−Aω⋅sen (ω t+φ0)=−0,2⋅20π

3⋅sen(

20π

3t +φ0)[v en m / s , t en s]

Como parat=0, la velocidad es positiva

v (t=1,2 s)=−4 π3⋅sen(

20 π

31,2+φ0)=−4 π

3⋅sen(8π+φ0)=−4 π

3⋅sen(φ0)⇒φ0=

−π3

v (t=1,2 s)=−4 π3⋅sen(−π

3)=3,63 m /s

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b) E cmáx=

12

m vmáx2

=12

m( Aω)2=0,5⋅2⋅(0,2⋅20 π

3)

2

=17,55 J

2011-SeptiembreB. Cuestión 1.-

a) En un oscilador armónico la energía mecánica es Em=Ecmáx=E p máx

=12

k A2=

12

mω2 A2

Para duplicar la energía mecánica asumimos que no se ha variado la m: se ha modificado frecuenciay/o amplitud. Manteniendo constante la frecuencia, habrá aumentado la amplitud en un factor √2: cualitativamente se puede ver que la masa tiene más energía potencial elástica máxima.Manteniendo constante la amplitud, habrá aumentado la frecuencia en un factor √2, y habrá disminuido el periodo: cualitativamente se puede ver que la masa tiene más energía cinética máxima, ya que debe recorrer la misma distancia en menos tiempo.Si varían tanto amplitud como frecuencia, debe cumplirse que su producto aumente en un factor √2;podría incluso disminuir una de ellas si la otra aumentase lo suficiente.b) Como el módulo de la velocidad máxima es Aω, aumentará en un factor √2El periodo de oscilación es la inversa de la frecuencia de oscilación: su variación es la inversa de la comentada en el apartado a.2011-JunioA. Problema 1.- a) Fmáx=m·amáx ; amáx= 6/1 = 6 m/s²

amáx=ω2⋅xmáx ;ω=√amáx

xmáx

=√ 60,03

=√200=14,14 rad /s

ω=2 πT

;T =2 πω=0,44 s

b) W =−Δ E p=−(E p Final−E p inicial )=−(0−(12

K xmáx2

))

Calculamos la constante elástica del muelle: Fmáx=K·xmáx ; K=6/0,03=200 N/mW =0,5⋅200⋅(0,03)

2=0,09 J

Positivo porque es realizado por el muellec) |v|=ω√(A2− x2)=14,14⋅√(0,032−0,012)≈0,4 m / sd) Utilizamos el mismo muelle, con la K conocida. La frecuencia de oscilación sería la misma que en caso a: aumentaría la fuerza inicial, pero en la misma proporción la amplitud. Podríamos plantear

directamente ω=√Km

que daría el mismo resultado. Haciendo el desarrollo:

Fmáx=K·x = 200·0,05=10 Namáx= 10/1 = 10 m/s²

ω=√amáx

xmáx

=√ 100,05

=√200=14,14 rad / s ; f = ω2π

=2,25 Hz

2011-ModeloA. Cuestión 1.-

a) ω=2π f =2π5=10π rad /s

ω2=

Km

⇒ K=mω2=0,25 ·(10 π)

2=25π

2=246,74 N /m

b) E=12

K A2⇒ A=√2EK

=√ 2 ·10246,74

=0,285m

2010-Septiembre-Fase GeneralA. Cuestión 1.- Solución 100% idéntica a 2009-Septiembre-Cuestión 2 y 2008-Septiembre-Cuestión 2.

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2010-Septiembre-Fase EspecíficaA.Problema 2.- a) Planteamos dos maneras de resolverlo, que son realmente idénticas, la segunda algo más simpleEn la primera no se introduce explícitamente K, que no se menciona en enunciado

Fmáx=m⋅amáx ; amáx=Aω2 ; E=

12

mω2 A2

A2=2 Emω

2 =2 E

F máxamáx

⋅ω2=

2 E Aω2

F máxω2 =

2 E AF máx

⇒ A=2 EF máx

=2⋅0,020,05

=0,8m

En la segunda introducimos K, ya que todo MAS hay una constante recuperadora

∣F∣=K x ⇒F máx=K A; E=12

K A2

Despejamos K enunaexpresión y sustituimos en la segunda ,despejando A

A2=

2 EK

=2 E AF máx

⇒ A=2 EF máx

=2⋅0,020,05

=0,8m

b) m=

F máx

amáx

=F máx

Aω2=

F máx

A(2 πT

)2 =

0,05

0,8⋅(2 π2)

2 =0,0063kg=6,3 g

c) x (t)=A cos (ω t+ϕ0)=0,8cos(π t+ϕ0)

x (t=0)=+ A=A cos (ϕ0)⇒ϕ0=0x (t)=0,8cos(π t)[ x enm ,t en s]

d) ∣v (x )∣=ω√A2−x2=π√0,82−0,22=2,43 m /s2010-Junio-CoincidentesA. Cuestión 1.- a) k=mω2

En la gráfica podemos ver que T=0,4 s, luego f=1/T=1/0,4 Hz, y ω=2πf=2π/0,4 =5π rad/sk=0,5·(5π)²=123,37 N/mb) En la gráfica podemos ver que A= 5 cm = 0,05 mObtenemos la expresión de la elongación en función del tiempox(t)=Acos(ωt+φ) = 0,05cos(5πt ); φ =0 ya que para t=0, x=+AA partir de ella obtenemos Ep, Ec, y luego validamos que su suma es al Em máxima

E p=12

k x2=

12

k A2cos

2(ω t +ϕ0)=0,5⋅123,37⋅0,05

2cos

2(5π0,25)=0,077 J

E c=12

k (A2−x2

)=12

k A2 sen2(ω t+ϕ0); Ec(t=0,25s)=0,5⋅123,37⋅0,052 sen2

(5π0,25)=0,077 J

Em=Ec+ E p=Ec máx=E p máx=12

k A2 ;0,5⋅123,37⋅0,052=0,154 J =0,077 J +0,077 J

2010-Junio-Fase GeneralA. Problema 1.-

a) T=

6010

=6 s ;ω=2π

T=2 π

6=π

3rad /s

K=mω2=0,75⋅( π

3)

2

=0,82 N /m

b)

x ( t)=Acos(ω t +ϕ0)=0,2cos ( π3

t+ϕ0)

Tomamos x positivas en la direción en la que se separa el bloque inicialmentex (t=0)=+ A=A cos (ϕ0)⇒ϕ0=0x ( t)=0,2cos ( π

3t )[ x enm , t en s ]

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c)

x (t=30 s)=0,2cos( π3

30)=0,2cos (10π)=0,2 m

v ( t)=−Aω sen(ω t+ φ 0)=−0,2 π3

sen( π3

t)[v enm / s , t en s ]

v ( t=30 s )=−0,2 π3

sen( π3

30)=−0,2 π3

sen (10π)=0 m/ s

d) E pmáx=E cmáx

=12

K A2=0,5⋅0,82⋅0,22

=0,0164 J

2010-Junio-Fase EspecíficaB. Cuestión 1.-

a) f 2=

f 1

2⇒

1T 2

=

1T 1

2⇒T 2=2T 1

Como f = 1/T, si la frecuencia se reduce a la mitad, el periodo se duplica

b) v 2máx=Aω2máx=A12ω1máx=

12

v1máx Se reduce a la mitad

c) a2máx=Aω2 máx2

=A1

22ω1máx

2=

14

a1máx Se reduce a la cuarta parte

d) E2máx=12

m A2ω2máx

2=

12

m A2 1

22ω1máx

2=

14

E1máx Se reduce a la cuarta parte

2010-ModeloA. Cuestión 1.-

a) K=m ω2=m(2 π

T)

2

=0,2⋅(2 π0,25

)2

=12,8π2=126,33 N /m

b) E=12

K A2⇒ A=√2 EK

=√ 2⋅8126,33

=0,36 m

2009-SeptiembreCuestión 2.- Solución 100% idéntica a 2008-Septiembre-Cuestión 2.2009-JunioA. Problema 1.-

a)

A=0,1 m ya que tiene velocidad 0 en los puntos de elongaciónmáxima

K=mω2=m(2 πT

)2

=0,1⋅(2 π1,5

)2

=1,75 N /m

F=−K x , y en t=0 x es máxima y la fuerza también luegoF=−K A=−1,75⋅0,1=−0,175 N (dirigida hacia x negativas ya que esrecuperadora)

b) Em=12

K A2=0,5⋅1,75⋅(0,1)

2=8,75⋅10−3 J

c) ∣vmáx∣=Aω=0,1⋅2 π1,5

=0,42 m / s

d)

x (t )=A cos (ω t+ φ 0)=0,1cos (2 π1,5

t+ φ 0)

x (t=0)=A⇒φ 0

x (t)=0,1cos (43

π t)[ x enm ,t en s]

2009-ModeloProblema 1.- a) Según la figura, Ep máx = 0,1 J y A = 0,05 m

E pmáx=12

K A2⇒ K=

2 E pmáx

A2 =2⋅0,10,052 =80 N / m

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b) ∣amáx∣=Aω2=A

Km

=0,05⋅80

0,2=20m / s2

c) Podemos utilizar la expresión de v en función de x, o utilizar la conservación de energía para restar a la energía total la potencial y obtener la cinética, llegando en ambos casos a

E c=12

m v2=

12

mω2( A2

−x2)=

12

K ( A2− x2

)=0,5⋅80⋅(0,052−0,0232

)=0,079 J

d)

v (x )=±ω√A2− x2

v=14

vmáx=14

Aω⇒14

Aω=±ω√A2−x 2

⇒A2

42 =A2−x 2 ; x2

=A2(1−

116

)

x=±A√1516

=±0,05√1516

=±0,048=±4,8 cm

2008-SeptiembreCuestión 2.-

a)

T =2 s⇒ω=2π

T=

2π

2=π rad /s

x (t)=A cos(ω t+ϕ0)=0,1cos(π t+ϕ0)[ x enm ,t en s]v (t )=−Aω sen(ω t +ϕ0)=−0,1π sen(π t+ϕ0) [ven m /s ,t en s]

Comoqueremos que en t=0,v=0 , entoncesϕ0=0ó π radPara que laelongación sea positiva en t=0, tomamosϕ0=0

La expresión matemática que representa la elongaciónen función del tiempo quedax (t)=0,1cos(π t )[ x enm ,t en s]

b)

v (t )=−Aω sen (ω t+ϕ0)=−0,1 π sen(π t )[v enm /s ,t en s]v (t=0,25 s)=−0,1π sen(π0,25)=−0,22m / s

a (t)=−ω2 Acos (ω t +ϕ0)=−π

2⋅0,1 sen(π t)[aen m/ s2, t en s ]

a( t=0,25 s )=−π2⋅0,1cos(0,25t )=−0,7m /s2

2008-JunioCuestión 1.-

a) vmáx 1

vmáx 2

=A1ω1

A2ω2

=

X √km

2X√km

=12

(ω sólo depende de k y m, no depende de la amplitud)

b) Em1

Em2

=

12

k A12

12

k A22=

X 2

(2X)2 =

14


a) T =

1f=

13,3

=0,3 s

K =m ω2=m(2π f )2=2,5(2⋅π⋅3,3)2=1075 N /m

b) vmáx=Aω=A 2π f =0,05⋅2π3,3=1,04 m/ s

amáx=Aω2=A(2π f )

2=0,05⋅(2π3,3)2

=21,5 m / s2

2006-SeptiembreCuestión 2.- a) Si la distancia que recorre en cada ciclo son 16 cm, la amplitud es la cuarta parte, 4 cm.

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amáx=Aω2⇒ω=√amáx

A=√ 48

0,04=34,64 rad /s

ω=2π f ⇒ f = ω2 π

=34,64

2π=5,51 Hz ;T =

1f=

15,51

=0,18 s

b) vmáx=Aω=0,04⋅34,64=1,39 m/ s2006-JunioB. Problema 2.-

a)ω=√k

m=√ 65

0,15=20,81 rad / s

v=±ω√A2−x2

=±20,81√0,0025− x2[v enm / s , x enm ]

b) Cuando la velocidad de oscilación es nula, la elongación es máxima

E p (x=A)=12

k A2=0,5⋅65⋅0,052

=0,081 J

c) Cuando la velocidad de oscilación es máxima, la elongación es nula. Podemos calcular la energíacinética, pero como en un oscilador la energía se conserva, el resultado será el mismo que en el apartado b, ya que antes toda la energía era potencial, y ahora toda la energía es cinética.

E c (x=0)=12

mv máx2

=0,5⋅0,15⋅(0,05⋅20,81)2=0,081 J

d) Como la energía mecánica se conserva y conocemos la energía mecánica total de apartados a y b,nos basta con calcular la Ep asociada a esa aceleración y luego podemos calcular la Ec restando.

a=−ω2 x⇒ x=

−a

ω2

E p=12

k x 2=0,5⋅65⋅(

−13(20,81)2 )

2

=0,029 J

E c=E mtotal−E p=0,081−0,029=0,052 J2006-ModeloB. Problema 1.-

a) ∣F∣=k x⇒ k=Fx=

0,750,025

=30 N /m

b)

A=0,3 m ;ω=√km

=√301,5

=4,47 rad / s

x (t )=A cos (ω t+ φ 0)=0,3cos (4,47t+ φ 0)

x (t=0 s)=A=0,3cos (φ 0)⇒φ 0=0x( t)=0,3cos (4,47t )[ x enm , t en s ]

c) vmáx=Aω=0,3⋅4,47=1,34m / s

amáx=Aω2=0,3⋅(4,47)

2=5,99m / s2

d) E p=

12

k x 2=0,5⋅30⋅0,152

=0,34 J

E c=E mmáx−E p=12

k A2−

12

k x2=0,5⋅30⋅0,32

−0,34=1,01 J

2005-SeptiembreCuestión 1.- a) Como F = -k x, representando F frente a x tendremos unas líneas rectas en las que a mayor valor absoluto de k tendrán mayor pendiente, por lo que viendo la gráfica deducimos que k1 > k2. Por lo tanto es el muelle 1 el que tiene mayor constante elástica.

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b)

T 1

T 2

=2 π

ω1

2 πω2

=ω2ω1

=√k 2

m2

√k1

m1

=√k 2 m1

k 1 m2

=√k2

k1 √m1

m2

Comok 1> k 2⇒√k 2

k1

< 1

Como m1< m2⇒√m1

m2

< 1

Por lo tantoT 1

T 2

< 1 yT 2> T 1

2005-ModeloA. Problema 1.-

a)

a=−ω2 x⇒ω

2=9π

2 ;ω=3π rad / s

T=2πω =

2π

3π=

23=0,67 s

K=mω2=0,1⋅(3π)

2=0,9π

2=8,88 N /m

b)

x (t)=A cos(ω t+ φ 0)=3cos(3π t+ φ 0)

Podríamos razonar que para t=0 , x=A y queasí la fuerzarecuperadora es máximaconlo que podríamosdeducir queφ 0=0, peroutilizando enunciadocon aceleración

a( t)=d 2

dtx (t )=−Aω2 cos (3π t+ φ 0)=−ω2 x (t)

Si x> 0,a( t=0)=−Aω2⇒φ 0=0

x (t )=3cos(3π t)[ x enm , t en s ]

c) ∣v∣=ω√A2

−x2⇒∣v (x=

32)∣=3 π√32

−(32)

2

=24,5 m / s

∣a∣=ω2 x=

Km

x=8,88⋅30,1· 2

=133m /s2

d) El punto donde la velocidad es máxima es el punto de equilibrio (x=0), punto en el que la energíapotencial será nula y la energía cinética será igual a la energía mecánica máxima

E c (x=0)=Em máx=12

m vmáx2

=12

K A2=0,5⋅8,88⋅32

=40 J


a)

Fuerzaelástica∣F∣=k dFuerza gravitatoria∣F∣=mg

Igualando ambas k d=m g ⇒dg=

mk

: depende de la masa y la consanteelástica del muelle

b)

k=mω2⇒ω=√k

m

T=2πω =

2 π

√km

=2π√mk

=2π√dg=2π√0,05

9,81=0,45 s

2004-ModeloB. Problema 1.-

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a)

x (t)=A cos(ωt+ φ 0)=0,06cos(ω t+ φ 0)

x (t=0)=0,03=0,06 cos(φ 0)⇒φ 0=arccos(0,030,06

)=−π3

ó π3

rad

x( t=1)=0,06=0,06cos(ω±π3)⇒ cos(ω±π

3)=1

Tenemos dos opciones , entre las que hay queelegir una :A :ω=π

3rad / s y φ 0=

−π3

rad

B :ω=5 π3

rad / s y φ 0=π3

rad

Utilizamos datoenunciado :en t=0 el sentidode desplazamiento(velocidad )es positivov( t)=−Aω sen(ω t+ φ 0)=0,06cos (ω t+ φ 0)

v (t=0)=−Aω sen (φ 0)⇒φ 0 debe ser negativo paraque v sea positivaFase inicial=φ 0=

−π3

rad

Frecuencia= ω2π

= π2⋅3π

=16=0,17 Hz

b) x (t )=0,06cos ( π3

t−π3)[ xen m , t en s ]

c) Velocidad máxima en punto de equilibrio, x=0:

v máx=Aω=0,06⋅π

3=0,02π=0,063m /s

Aceleración máxima en puntos de amplitud máxima (x=-A y x=A):

amáx=Aω2=0,06⋅( π

3)

2

=0,02π=0,066 m /s2

d)

F (t)=m a(t)=m(−ω2 x (t ))=−mω

2 Acos(ω t+ φ 0)

F (t=1 s)=−0,005⋅( π3)

2

⋅0,06cos( π3−π

3)=3,3⋅10−4 N

Em=12

k A2=

12

mω2 A2

=0,5⋅0,005⋅( π3)

2

⋅(0,06)2=9,87⋅10−6 J

2003-JunioB. Problema 1.- a) F=−Kx=−35⋅0,01=−0,35 N

b) a=Fm

=−0,350,05

=−7 m /s2

c) Se pide la energía potencial elástica del sistema en esa posición, no la máxima

E p=12

K x2=0,5⋅35⋅(0,01)2

=1,75⋅10−3 J

d) La velocidad en esa posición puede ser tanto positiva como negativa

v=±ω√A2−x2

=±√Km√A2

−x 2=±√ 35

0,05√0,042

−0,012=±1,02 m /s

2003-ModeloCuestión 2.-

a)

x (t )=Acos (ω t+ϕ0)

A=0,5m ;ω=4 rad / s ; f = ω2π

=0,637 Hz ;ϕ0=0,1 rad

x ( t=20 s)=0,5cos (0,4⋅20+0,1)=−0,12 mb) Energía cinética máxima en punto de equilibrio, x=0:

Ec máx=12

mvmáx2

=12

m A2ω

2=0,5⋅0,003⋅0,5

2⋅0,4

2=6⋅10

−5J

Energía cinética mínima en en puntos de amplitud máxima (x=-A y x=A), donde es nula.

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amáx=Aω2=0,06⋅( π

3)

2

=0,02π=0,066m / s2

2002-JunioB. Problema 1.-

a)

x (t)=A cos(ω t+ϕ0)

A=0,05 m ;ω=√Km

=√102

=√5=2,24 rad /s

x (t=0)=−A=A cos(ϕ0)⇒ϕ0=π radx (t)=0,05cos(√5 t+π)[ x enm , t en s ]

b) ∣v∣=ω√A2

−x2⇒∣v ( x=0,02)∣=√5√0,052

−0,022=0,102 m /s

∣a∣=ω2 x⇒∣a( x=0,02)∣=5⋅0,02=0,1 m /s2

c) F=−K x ; tenemos dos extremosx=A⇒F=−10⋅0,05=−0,5N

x=−A⇒F=−10⋅(−0,05)=0,5 N

d) Em=12

K A2=0,5⋅10⋅0,052

=0,0125 J

2002-ModeloB. Problema 1.-

a)

x (t )=Acos (ω t+φ0)=A cos(8t +φ0)

x (t=0)=0,04=Acos (φ0)

v (t )=−Aω sen(ω t +φ0)=−A 8 sen (8t +φ0)

v (t=0)=−0,2=−A8 sen(φ0)

Dividimos ambas expresiones−0,20,04

=−A8A

sen(φ0)

cos (φ0)⇒0,625=tan(φ0) ;φ0=arctan (0,625)=0,56 rad

A=0,04

cos (0,56)≈0,05 m

b) K=mω

2=0,2⋅82

=12,8 N /m

Em=12

K A2=0,5⋅12,8⋅0,052=1,6⋅10−2 J

2001-SeptiembreCuestión 2.-

a) ω=2π f =2π1T

=2π Hz

En t=0 calculamos la Ep y Ec, y dejamos Ep en función de m ya que K=mω2

E p=12

K x2=

12

mω2 x2

=12

m(2π)2 0,0072

Ec=12

mv 2=

12

m(0,0439)2

Sabemos que la suma de Ep y Ec es constante, es la Epmáx=Ecmáx

E p+ E c=E pmáx=12

K A2

12

m(2π)2(0,007)2+12

m(0,0439)2=12

m(2 π)2 A2

(2π)2(0,007)

2+(0,0439)2

=(2π)2 A2

A=√(2π)2(0,007)

2+(0,0439)2

(2π)2 =0,00989 m=0,989 cm

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Para calcular la fase inicial utilizamos la función coseno, elección arbitrariax (t)=A cos (ω t+φ0)=0,989cos(2π t+φ0)[ x encm ,t en s]

x (t=0)=0,7=0,989cos (φ0)⇒φ0=arccos(0,7

0,989)=0,784 rad

b) La aceleración máxima se puede obtener derivando x(t) respecto al tiempo 2 veces, y comprobar que en valor absoluto es amáx=Aω2 =0,989·(2π)2= 39,04 cm/s2 La aceleración es un vector; la dirección de movimiento es la de oscilación (eje x) y el sentido vienedeterminado por la expresión general de un movimiento armónico simple a=-ω2x, que indica que la aceleración tiene signo opuesto a la posición y está asociada a una fuerza recuperadora.2001-JunioCuestión 2.-

a) Combinando la ley de Hooke y la segunda ley de Newton, F=-kx=ma, luego a=−km

x

expresión que es asociable a un movimiento armónico simple con a=-ω2x, siendo

ω2=

km

⇒ω=√km

. El periodo de oscilación T está relacionado con ω, ya que

ω=2π f =2π1T

⇒T =2πω , y por lo tanto T=2π√m

kb) En un movimiento armónico simple la posición viene definida por una función sinusoidal: elegimos coseno y fase inicial cero. x (t)=A cos (ω t)La velocidad la obtenemos derivando respecto al tiempo, v (t )=−Aω sen(ω t )

E c=12

m v2=

12

m A2ω

2 sen2(ω t)

La energía potencial elástica viene dada por la expresión E p=12

k x2=

12

mω2 A2cos2

(ω t )

Como se nos pide la expresión en función de la elongación x (t)=A cos (ω t) , utilizando propiedades trigonométricas 1=cos2

( y )+sen2( y) podemos escribir

E c=12

m A2ω

2(1− x2

) E p=12

mω2 A2 x2

Si sumamos ambas expresiones

E total=E c+ E p=12

m A2ω

2=

12

K A2=

12

m vmáx2

2000-SeptiembreB. Problema 1.- a) Para un muelle tenemos k=ω

2 mEn el segundo oscilador, al tener un muelle idéntico al primero, tiene la misma constante elástica, luego podemos plantear

k 1=k2 ⇒>ω12 m1=ω2

2 m2

Comoω=2π f , si se duplicaω se duplica igualmente f , y podemos escribirf 1

2 m1= f 22 m2

Como f 2=2 · f 1⇒ f 12 m1=(2 f 1)

2 m2⇒m2=14

m1

En el segundo oscilador la masa debe ser 4 veces menor que en el primerob) Calculamos la constante elástica, que es la misma en ambos muelles:

k 1=k 2=ω12 m1=(

2π

2)

2

·0,04=0,395 N /m

La energía potencial es igual para el primer y segundo oscilador al compartir k y A.

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E pmáx=12

K A2=

12

·0,395·0,12=1,98·10−3 J

La energía cinética es distinta al tener cada oscilador una masa distintaPara el primer oscilador

E cmáx1=E pmáx=12

m1 vmáx2 ;1,98·10−3

=12

·0,04 · v máx2

⇒ vmáx=√2 ·1,98 ·10−3

0,04=0,315m /s

Para el segundo oscilador

E cmáx2=E pmáx=12

m2 vmáx2 ;1,98 ·10−3

=12

·0,04

4· vmáx

2⇒ vmáx=√2·1,98 ·10−3

0,01=0,629 m /s

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f3.1 pau movimientooscilatorio soluc

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