Departamento de Ciencias

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

Sistema masa-resorte, péndulo simple, péndulo físico y péndulo de torsión.

ALGUNAS PREGUNTAS

• ¿Cómo define el movimiento armónico simple (MAS)?

• ¿Qué elementos tiene un movimiento armónico simple?

• ¿A parte de las situaciones presentadas, que otros sistemas conoce que efectúen un movimiento armónico simple?

• ¿Qué origina que algunos sistemas tengan un movimiento armónico simple?

LOGROS

Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios sobre la frecuencia natural de oscilación de un sistema, considerando las fuerzas que actúan sobre el sistema que originan un MAS, de forma precisa.

SISTEMA MASA-RESORTE

En la figura mostrada suponga que la superficie no tiene fricción. Aplicando la segunda ley Newton.

si la proporción

la ecuación diferencial se vuelve

En la figura mostrada suponga que la superficie no tiene fricción. Aplicando la segunda ley Newton.

ma F

2

2

d x kx

mdt

2k

m

22

2

d xx

dt

SISTEMA MASA - RESORTE

cuya solución es:

donde es la frecuencia angular del sistema bloque-resorte esta dada por:

Cuyo periodo es:

y su frecuencia:

( ) ( )x t Asen t

k

m

mT 2

k

1 kf

2 m

PÉNDULO SIMPLE

Objeto cuya masa se considera concentrada en un punto a una distancia L (longitud del péndulo inextensible y masa despreciable) del punto de suspensión o centro de rotación

La fuerza sobre la masa pendular

– mg.sen = ma

Pero,

2

2

da R L

dt

• Se concluye que la ecuación finalmente tiene la siguiente forma:

• Donde la frecuencia natural y el periodo de oscilación están dadas

• Ecuación diferencial del movimiento del péndulo simple es

• Pero, se sabe que para ángulos pequeños (≈15°)

2

2

d gsen 0

dt L

sen

2

2

d g0

dt L

0

g L ; T=2

L g

PÉNDULO SIMPLE

EJEMPLO

Calcule la longitud de un péndulo simple, si el periodo del péndulo es 5 s en un lugar en que la aceleración de la gravedad es 9,81 m/s2

PÉNDULO DE TORSIÓN

La rueda de balance de un reloj mecánico tiene un momento de inercia I alrededor de su eje.

El resorte ejerce un momento de torsión proporcional al desplazamiento angular respecto a la posición de equilibrio.

La segunda ley de Newton para el cuerpo rígido es:

z k

k I

2

2

d k0

dt I

• En el MAS angular la frecuencia angular y la frecuencia están dadas por las siguientes ecuaciones:

• Donde hace las veces de amplitud angular.

kω =

I

1 kf =

2π l

θ = Θcos ωt +

PÉNDULO DE TORSIÓN

Un disco metálico delgado con masa de 2,00 x 10-3 kg y de radio 2,20 cm se une en su centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, oscila con un periodo de 1,00 s, ¿Cuál es la constante de la fibra?

-5κ =1,91×10 N×m / rad

EJEMPLO

TABLA 1: MOMENTOS DE INERCIA

EJEMPLO

• Un péndulo de torsión consiste de un bloque de madera de forma rectangular de dimensiones 8,0 cm x 12,0 cm x 3,0 cm y con una masa de 0,50 kg suspendido por medio de un alambre que pasa por su centro, de tal modo que el lado más corto es vertical.

• El periodo de las oscilaciones torsionales es 24,0 s ¿Cual es la constante de torsión del alambre?

2

2

4 IT

2 20

2 2

4 20

1I I m(a b )

121

(0,5) (0,12) (0,08)12I 8,67 10 kgm

35,94 10 Nm

Un péndulo físico es cualquier péndulo real, que usa un cuerpo de tamaño finito en contraste con el modelo idealizado del péndulo simple.

De acuerdo con la figura, se observa que existe un torque restaurador, cuya expresión está dada por:

Por otro lado, la ecuación del torque es:

Un péndulo físico es cualquier péndulo real, que usa un cuerpo de tamaño finito en contraste con el modelo idealizado del péndulo simple.

PÉNDULO FÍSICO

I

De acuerdo con la figura, se observa que existe un torque restaurador, cuya expresión está dada por:

Por otro lado, la ecuación del torque es:

Z (mg)(dsen )

Z (mgd)

PÉNDULO FÍSICO

• Escribiendo la expresión del torque en la ecuación del torque y la aceleración angular.

• Definiendo la frecuencia angular.

• De donde se obtiene el periodo de oscilación del péndulo físico.

2

2

d θ-(mgd)θ = I

dt

2

2

d θ mgd= - θ

dt I

mgdω =

I

IT = 2π

mgd

EJEMPLO

Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilación completa con ángulo pequeño una vez cada 2,0 s . ¿Qué radio debe tener el aro?

Solución

Del teorema de ejes paralelos, el momento de inercia del aro alrededor del clavo es:

2 2 2I = mR + mR = 2mR

IT = 2π

mgd

22mRT = 2π

mgR

2

2

gTR = = 0,496 m

8π

¿QUÉ HAS APRENDIDO EN LA SESIÓN DE CLASE?

¿Qué son las frecuencias naturales de oscilación? ¿Qué pasos se siguen para determinar la frecuencia natural de

oscilación de un sistema cualesquiera? ¿El periodo de oscilación de los sistemas mostrados depende de la

amplitud?

http://prezi.com/ft21kwasp6zb/ingenieria-sismica/

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. R. Serway, J. Jewett. Física para Ciencias e Ingeniería. 7° edición. Ed.Cengage Learning. Pág. 395-421.

2. J. Wilson, A. Buffa. Física. 6° edición. Ed. Pearson Educación.

3. Sears Zemansky. Física Universitaria. 12° edición. Ed. Pearson Educación. Pág. 432-439.