1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

T r a b a j a r e n á l g e b r a c o n s i s t e e n m a n e j a r r e l a c i o n e s n

u m é r i c a s en l a s q u e u n a o m á s c a n t i d a d e s s o n d e s c o n o c i d

a s . E s t a s c a n t i d a d e s s e

l l a m a n V A R I A B L E S , I N C Ó G N I T A S o I N D E T E R M I N A D A S y s e r e p r e s

e n t a n p o r l e t r a s .

U n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a e s u n a c o m b i n a c i ó n d e l e t r a

s y n ú m e r o s l i g a d a s p o r l o s s i g n o s d e l a s o p e r a c i o n e s :

a d i c i ó n , s u s t r a c c i ó n , m u l t i p l i c a c i ó n , d i v i s i ó n y p o t e n c i

a c i ó n .

L a s e x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s n o s p e r m i t e n , p o r e j e m p l o ,

h a l l a r á r e a s y v o l ú m e n e s .

E j e m p l o s d e e x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s s o n :

L o n g i t u d d e l a c i r c u n f e r e n c i a : L = 2 r , d o n d e r e s e l r

a d i o d e l a c i r c u n f e r e n c i a .

Á r e a d e l c u a d r a d o : S = l 2 , d o n d e l e s e l l a d o d e l c

u a d r a d o . V o l u m e n d e l c u b o : V = a 3 , d o n d e a e s l a

a r i s t a d e l c u b o .

V a l o r n u m é r i c o d e u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a

E l v a l o r n u m é r i c o d e u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a ,

p a r a u n d e t e r m i n a d o v a l o r , e s e l n ú m e r o q u e s e o b t i e n e a

l s u s t i t u i r e n é s t a e l v a l o r n u m é r i c o d a d o y r e a l i z a r l a s o p

e r a c i o n e s i n d i c a d a s .

L ( r ) = 2 r

r = 5 c m . L ( 5 ) = 2 · · 5 = 1 0 cm

S ( l ) = l 2

2

l = 5 c m A ( 5 ) = 5 2 = 2 5 c m 2

V ( a ) = a 3

V ( 5 ) = = 1 2 5 c m 3

5 3a = 5 c m

3

C l a s i f i c a c i ó n d e l a s e x p r e s i o n e s a l g e b r a i c a s

M o n o m i o

U n m o n o m i o e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a e n l a q u e l

a s ú n i c a s o p e r a c i o n e s q u e a p a r e c e n e n t r e l a s v a r i a b l e s

s o n e l p r o d u c t o y l a p o t e n c i a d e e x p o n e n t e n a t u r a l .

B i n o m i o

U n b i n o m i o e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a f o r m a d a p o r dos m o n o m i o s .

T r i n o m i o

U n t r i n o m i o e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a f o r m a d a

p o r t r e s m o n o m i o s .

P o l i n o m i o

U n p o l i n o m i o e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a f o r m a d a p o r

m á s d e u n m o n o m i o .

M o n o m i o s

U n M O N O M I O e s u n a e x p r e s i ó n a l g e b r a i c a e n l a q u e l

a s ú n i c a s o p e r a c i o n e s q u e a p a r e c e n e n t r e l a s v a r i a b l e s

s o n e l p r o d u c t o y l a p o t e n c i a d e e x p o n e n t e n a t u r a l .

2x 2 y 3 z

P a r t e s d e u n m o n o m i o

C o e f i c i e n t e

V ( 5 ) = = 1 2 5 c m 3

5 3a = 5 c m

4

El c o e f i c i e n t e d e l m o n o m i o e s e l n ú m e r o q u e a p a r e c e m u l

t i p l i c a n d o a l a s v a r i a b l e s .

P a r t e l i t e r a l

5

La p a r t e l i t e r a l e s t á c o n s t i t u i d a p o r l a s l e t r a s y s u s e x p o n e n t e s .

G r a d o

El g r a d o d e u n m o n o m i o e s l a s u m a d e t o d o s l o s e x p o n e n

t e s d e l a s l e t r a s o v a r i a b l e s .

E l g r a d o d e 2 x 2 y 3 z e s : 2 + 3 + 1 = 6

M o n o m i o s s e m e j a n t e s

D o s m o n o m i o s s o n s e m e j a n t e s c u a n d o t i e n e n l a m i

s m a p a r t e l i t e r a l .

2x 2 y 3 z e s s e m e j a n t e a 5 x 2 y 3 z

O p e r a c i o n e s c o n m o n o m i o s

S u m a d e M o n o m i o s

S ó l o p o d e m o s s u m a r m o n o m i o s s e m e j a n t e s .

L a s u m a d e l o s m o n o m i o s e s o t r o m o n o m i o q u e t i e n e

l a m i s m a p a r t e l i t e r a l y c u y o c o e f i c i e n t e e s l a s u m a d e l o s

c o e f i c i e n t e s .

ax n + b x n = ( a + b ) b x n

2x 2 y 3 z + 3 x 2 y 3 z = 5 x 2 y 3 z

S i l o s m o n o m i o s n o s o n s e m e j a n t e s s e o b t i e n e u n p o l i n o m i o .

2x 2 y 3 + 3 x 2 y 3 z

6

P r o d u c t o d e u n n ú m e r o p o r u n m o n o m i o

E l p r o d u c t o d e u n n ú m e r o p o r u n m o n o m i o e s o t r o

m o n o m i o s e m e j a n t e c u y o c o e f i c i e n t e e s e l p r o d u c t o d e l c

o e f i c i e n t e d e m o n o m i o p o r e l n ú m e r o .

5 · 2 x 2 y 3 z = 1 0 x 2 y 3 z

P r o d u c t o d e m o n o m i o s

E l p r o d u c t o d e m o n o m i o s e s o t r o m o n o m i o q u e t i e n e p o r

c o e f i c i e n t e e l p r o d u c t o d e l o s c o e f i c i e n t e s y c u y a p a

r t e l i t e r a l s e o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o e n t r e s í l a s p a r t e s

l i t e r a l e s t e n i e n d o e n c u e n t a l a s p r o p i e d a d e s d e l a s p o t e

n c i a s .

ax n · b x m = ( a · b ) b x n + m

5x 2 y 3 z · 2 y 2 z 2 = 1 0 x 2 y 5 z 3

C o c i e n t e d e m o n o m i o s

.

E l c o c i e n t e d e m o n o m i o s e s o t r o m o n o m i o q u e t i e n e p o r

c o e f i c i e n t e e l c o c i e n t e d e l o s c o e f i c i e n t e s y c u y a p a

r t e l i t e r a l s e o b t i e n e d i v i d i e n d o e n t r e s í l a s p a r t e s l

i t e r a l e s t e n i e n d o e n c u e n t a l a s p r o p i e d a d e s d e l a s p o t

e n c i a s

ax n : b x m = ( a : b ) b x n − m

P o t e n c i a d e u n m o n o m i o

7

P a r a r e a l i z a r l a p o t e n c i a d e u n m o n o m i o s e e l e v a , c a d a

e l e m e n t o d e é s t e , a l e x p o n e n t e d e l a p o t e n c i a .

( a x n ) m

=a m · b x

n

· m

8

( 2 x 3 ) 3 = 2 3 (x 3 ) 3 = 8 x 8

( - 3x 2 ) 3 = ( - 3) 3 (x 3 ) 2 = − 2 7 x 6

C o n c e p t o d e p o l i n o m i o d e u n a s o l a v a r i a b l e

U n p o l i n o m i o d e u n a s o l a v a r i a b l e e s u n a e x p r e s i ó n a l g e

b r a i c a d e l a f o r m a :

P ( x ) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + a n - 2 x n - 2 + . . . + a 1 x 1 + a 0

S i e n d o a n , a n - 1 . . . a 1 , a o n ú m e r o s , l l a m a d o s c o e f i c i e n t e s .

n u n n ú m e r o n a t u r a l .

x l a v a r i a b l e o i n d e t e r m i

n a d a . a n e s e l c o e f i c i e n t

e p r i n c i p a l .

a o e s e l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e .

G r a d o d e u n p o l i n o m i o

El g r a d o d e u n p o l i n o m i o P ( x ) e s e l m a y o r e x p o n e n t e

a l q u e s e e n c u e n t r a e l e v a d a l a v a r i a b l e x.

T i p o s d e p o l i n o m i o s

P o l i n o m i o n u l o

El p o l i n o m i o n u l o t i e n e t o d o s s u s c o e f i c i e n t e s n u l o s .

P o l i n o m i o c o m p l e t o

U n p o l i n o m i o c o m p l e t o t i e n e t o d o s l o s t é r m i n o s d e s d

( a x n ) m

=a m · b x

n

· m

9

e e l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e h a s t a e l t é r m i n o d e m a y o r g r a d o .

P ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 + 5 x - 3

10

P o l i n o m i o o r d e n a d o

U n p o l i n o m i o e s t á o r d e n a d o s i l o s m o n o m i o s q u e l o f o

r m a n e s t á n e s c r i t o s d e m a y o r a m e n o r g r a d o .

P ( x ) = 2 x 3 + 5 x - 3

T i p o s d e p o l i n o m i o s s e g ú n s u g r a d o

P o l i n o m i o d e g r a d o c e r o

P ( x ) = 2

P o l i n o m i o d e p r i m e r g r a d o

P ( x ) = 3 x + 2

P o l i n o m i o d e s e g u n d o g r a d o

P ( x ) = 2 x 2 + 3 x + 2

P o l i n o m i o d e t e r c e r g r a d o

P ( x ) = x 3 - 2x 2 + 3 x + 2

P o l i n o m i o d e c u a r t o g r a d o

P ( x ) = x 4 + x 3 - 2x 2 + 3 x + 2

V a l o r n u m é r i c o d e u n p o l i n o m i o

El v a l o r n u m é r i c o d e u n p o l i n o m i o e s e l r e s u l t a d o q u e o

b t e n e m o s a l s u s t i t u i r l a v a r i a b l e x p o r u n n ú m e r o c u a l q u i e r a .

P ( x ) = 2 x 3 + 5 x - 3 ; x = 1

1 3P ( 1 ) = 2 · + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

11

S u m a d e p o l i n o m i o s

P a r a s u m a r d o s p o l i n o m i o s s e s u m a n l o s c o e f i c i e n

t e s d e l o s t é r m i n o s d e l m i s m o g r a d o .

P ( x ) = 2 x 3 + 5 x - 3 Q ( x ) = 4 x - 3x 2 + 2 x 3

1 O r d e n a m o s l o s p o l i n o m i o s , s i n o l

o e s t á n . Q ( x ) = 2 x 3 - 3x 2 + 4 x

P ( x ) + Q ( x ) = ( 2 x 3 + 5 x - 3 ) + ( 2 x 3 - 3x 2 + 4 x )

2 A g r u p a m o s l o s m o n o m i o s d e l m i s m

o g r a d o . P ( x ) + Q ( x ) = 2 x 3 + 2 x 3 - 3 x 2

+ 5 x + 4 x - 3

3 S u m a m o s l o s m o n o m i o s s e m e j a n t e s .

P ( x ) + Q ( x ) = 4 x 3 - 3x 2 + 9 x - 3

R e s t a d e p o l i n o m i o s

L a r e s t a d e p o l i n o m i o s c o n s i s t e e n s u m a r e l o p u

e s t o d e l s u s t r a e n d o .

P ( x ) − Q ( x ) = ( 2 x 3 + 5 x - 3 ) − ( 2 x 3 - 3x 2

+ 4 x ) P ( x ) − Q ( x ) = 2 x 3 + 5 x - 3 − 2 x 3 +

3 x 2 − 4 x P ( x ) − Q ( x ) = 2 x 3 − 2 x 3 + 3 x 2 +

5 x − 4 x - 3

P ( x ) − Q ( x ) = 3 x 2 + x - 3

P r o d u c t o

12

P r o d u c t o d e u n n ú m e r o p o r u n p o l i n o m i o

E s o t r o p o l i n o m i o q u e t i e n e d e g r a d o e l m i s m o d e l p o l i n o

m i o y c o m o c o e f i c i e n t e s e l p r o d u c t o d e l o s c o e f i c i e n t e s

d e l p o l i n o m i o p o r e l n ú m e r o .

3 · ( 2 x 3 - 3 x 2 + 4 x - 2 ) = 6 x 3 - 9x 2 + 1 2 x - 6

P r o d u c t o d e u n m o n o m i o p o r u n p o l i n o m i o

S e m u l t i p l i c a e l m o n o m i o p o r t o d o s y c a d a u n o d e l o s

m o n o m i o s que f o r m a n e l p o l i n o m i o .

3 x 2 · ( 2 x 3 - 3x 2 + 4 x - 2 ) = 6 x 5 - 9x 4 + 1 2 x 3 - 6x 2

P r o d u c t o d e p o l i n o m i o s

P ( x ) = 2 x 2 - 3 Q ( x ) = 2 x 3 - 3x 2 + 4 x

S e m u l t i p l i c a c a d a m o n o m i o d e l p r i m e r p o l i n o m i o p o

r t o d o s l o s e l e m e n t o s s e g u n d o p o l i n o m i o .

P ( x ) · Q ( x ) = ( 2 x 2 - 3 ) · ( 2 x 3 - 3x 2 + 4 x ) =

= 4 x 5 − 6 x 4 + 8 x 3 − 6 x 3 + 9 x 2 − 1 2 x =

S e s u m a n l o s m o n o m i o s d e l m i s m o g r a d o .

= 4 x 5 − 6 x 4 + 2 x 3 + 9 x 2 − 1 2 x

S e o b t i e n e o t r o p o l i n o m i o c u y o g r a d o e s l a s u m a d e l o s

g r a d o s d e l o s p o l i n o m i o s q u e s e m u l t i p l i c a n .

13

C o c i e n t e d e p o l i n o m i o s

R e s o l v e r e l c o c i e n t e :

P ( x ) = 2 x 5 + 2 x 3 − x - 8 Q ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1

P ( x ) : Q ( x )

A l a i z q u i e r d a s i t u a m o s e l d i v i d e n d o . S i e l p o l i n o

m i o n o e s c o m p l e t o d e j a m o s huecos e n l o s l u g a r e s q u e c o r r e

s p o n d a n .

A l a d e r e c h a s i t u a m o s e l d i v i s o r d e n t r o d e u n a c a j a .

R e a l i z a m o s e l c o c i e n t e e n t r e e l p r i m e r m o n o m i o d e l

d i v i d e n d o y e l p r i m e r m o n o m i o d e l d i v i s o r .

x 5 : x 2 = x 3

M u l t i p l i c a m o s c a d a t é r m i n o d e l p o l i n o m i o d i v i s o r p o r

e l r e s u l t a d o a n t e r i o r y l o r e s t a m o s d e l p o l i n o m i o d i v i d e n d

o :

V o l v e m o s a d i v i d i r e l p r i m e r m o n o m i o d e l d i v i d e n d o e n t

r e e l p r i m e r m o n o m i o d e l d i v i s o r . Y e l r e s u l t a d o l o m u l t i p l i

c a m o s p o r e l d i v i s o r y l o r e s t a m o s a l d i v i d e n d o .

2x 4 : x 2 = 2 x 2

14

10

P r o c e d e m o s i g u a l q u e a n t e s .

5x 3 : x 2 = 5 x

V o l v e m o s a h a c e r l a s m i s m a s o p e r a c i o n e s .

8x 2 : x 2 = 8

1 0 x − 6 e s e l r e s t o , p o r q u e s u g r a d o e s m e n o r q u e e l d e l

d i v i s o r y p o r t a n t o n o s e p u e d e c o n t i n u a r d i v i d i e n d o .

x 3 + 2 x 2 + 5 x + 8 e s e l c o c i e n t e .

11

I d e n t i d a d e s n o t a b l e s

B i n o m i o a l c u a d r a d o

( a - b) 2 = a 2 - 2 · a · b + b 2

( x + 3 ) 2 = x 2 + 2 · x · 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

( 2 x − 3 ) 2 = ( 2 x ) 2 − 2 · 2 x · 3 + 3 2 = 4 x 2 − 1 2 x + 9

U n b i n o m i o a l c u a d r a d o e s i g u a l e s i g u a l a l c u a d r a d o

d e l p r i m e r t é r m i n o m á s , o m e n o s , e l d o b l e p r o d u c t o d e l p

r i m e r o p o r e l s e g u n d o m á s e l c u a d r a d o s e g u n d o

S u m a p o r d i f e r e n c i a

S u m a p o r d i f e r e n c i a e s i g u a l a d i f e r e n c i a d e c u a d r a d o s .

( a + b ) · ( a − b ) = a 2 − b 2

S u m a p o r d i f e r e n c i a e s i g u a l a d i f e r e n c i a d e c u a d r a d o s .

12

( 2 x + 5 ) · ( 2 x - 5 ) = ( 2 x ) 2 − 5 2 = 4 x 2 − 2 5

F r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s

U n a f r a c c i ó n a l g e b r a i c a e s e l c o c i e n t e d e d o s p o l i n

o m i o s y s e r e p r e s e n t a p o r :

P ( x ) e s e l n u m e r a d o r y Q ( x ) e l d e n o m i n a d o r .

F r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s e q u i v a l e n t e s

D o s f r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s

s o n e q u i v a l e n t e s , y l o r e p r e s e n t a m o s p o r :

s i s e v e r i f i c a q u e P ( x ) · S ( x ) = Q ( x ) · R ( x ) .

s o n e q u i v a l e n t e s p o

r q u e : ( x + 2 ) · ( x + 2 ) = x

2 − 4

D a d a u n a f r a c c i ó n a l g e b r a i c a , s i m u l t i p l i c a m o s e l n u m e r a d o r y e l

d e n o m i n a d o r d e d i c h a f r a c c i ó n p o r u n m i s m o p o l i n o m i o

d i s t i n t o d e c e r o , l a f r a c c i ó n a l g e b r a i c a r e s u l t a n t e e s e q u i

v a l e n t e a l a d a d a .

13

S i m p l i f i c a c i ó n d e f r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s

P a r a s i m p l i f i c a r u n a f r a c c i ó n a l g e b r a i c a s e d i v i d e e l

n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r d e l a f r a c c i ó n p o r u n p o l i n o m

i o q u e s e a f a c t o r c o m ú n d e a m b o s .

13

S i m p l i f i c a c i ó n d e f r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s

P a r a s i m p l i f i c a r u n a f r a c c i ó n a l g e b r a i c a s e d i v i d e e l

n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r d e l a f r a c c i ó n p o r u n p o l i n o m

i o q u e s e a f a c t o r c o m ú n d e a m b o s .

13

S i m p l i f i c a c i ó n d e f r a c c i o n e s a l g e b r a i c a s

P a r a s i m p l i f i c a r u n a f r a c c i ó n a l g e b r a i c a s e d i v i d e e l

n u m e r a d o r y e l d e n o m i n a d o r d e l a f r a c c i ó n p o r u n p o l i n o m

i o q u e s e a f a c t o r c o m ú n d e a m b o s .