expresiones algebraicas

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio: es el producto indicado de un valor conocido y uno o varios valores desconocidos

Ejemplo: –7x2y

Coeficiente: es el factor conocido → –7.

Parte literal: son los factores desconocidos → x2y.

Variables: son las diferentes letras que aparecen → x , y.

Número de variables: es el número de letras distintas que aparecen → 2.

Grado: es el número de factores que forman la parte literal → 2 + 1 = 3.

1 Completa la tabla:

Monomios semejantes: son los que tienen la misma parte literal.

Ejemplos: 3xy2 5x2y no son semejantes

2x4 –8x4 sí son semejantes

2 Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los dados:

3x4 −4xy3yx 3

7 2xy52

xyz

Monomios semejantes

3 Encuentra los monomios que sean semejantes:

–5x2 , x , 4xy , –3x , 2 , 6yx , x2

, 7y2 , –8

4 Escribe cinco monomios de grado tres que no sean semejantes.

Monomio −3x2 xyz −x2y3

5xy− x

43

9

Coeficiente

Parte literal

Variables

Nº de variables

Grado

107


Suma o resta de monomios: sólo se pueden sumar o restar los monomios que sean semejantes.

Ejemplos: 3x2 + 4x2 2x3 – 6x3 5x2y + 2xy2 2x3 + 4x

7x2 –4x3 no se pueden sumar tampoco

5 Reduce estas expresiones:5.1 4x2 − 5x2 − x2 5.2 2xy + 6xy − 5xy

5.3 5x4 − 7x4 + x4 5.4 −2a3 + 4a3 − a3

5.5 10x2y + 7x2y − 12x2y 5.6 7z − 6z − 4z + z

5.7 a2 + 4a2 − 2a2 − 3a2 5.8 4x − 7x + 6x − 2x

5.9 2x2 − 5y2 + x2 − 2y2 5.10 11x2 − 6x + 3x − 2x2

5.11 8x2 + 6x − 7x2 + 4x 5.12 3x − 2y + x − 5y

Producto de monomios: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las mismas letras.

Ejemplos: (–2x) · (–4x2) 6x2y3 · 2xy4 3x2 · 5y

+8x3 12x3y7 15x2y

6 Calcula:6.1 3x2 · 5x 6.2 2x · 4x 6.3 6x · (−4x3)

6.4 3a2 · (−5a3) 6.5 (−x2y) · (−6xy3) 6.6 (−5ab2) · 2a2b

6.7 3x2yz2 · xyz 6.8 (−4xy) · (−3y2) 6.9 5x3 · (−4y2)

6.10 2ab · 3bc 6.11 x3 · 2x 6.12 a2 · (−5a)

108


Cociente de monomios: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las mismas letras.

El resultado puede ser: un número, otro monomio o una fracción algebraica.

Ejemplos: 10x2 : 5x2 18x5 : 6x 12x3 : (–4x7)

2

2

10x5x

518x

6x

3

7

12x4x−

2 3x4 4

3x

−

7 Obtén los cocientes:7.1 12x3 : 4x 7.2 9a : 27a2 7.3 15x2 : 3x2

7.4 50x4y3 : 2xy2 7.5 8a2b3 : 4ab4 7.6 4x3y2z4 : x3yz2

7.7 6a4b : 12ab3 7.8 6x2y : 9xy2 7.9 4xy2 : 12y2x

7.10 12x2y4 : 4xy4 7.11 15a2b3 : 5b2 7.12 16xy : 2y2

8 Calcula:8.1 (2x3 : x2) · x 8.2 6a5 : (a · 2a2) 8.3 (6ab · 2bc) : 4ac

8.4 4x2 · [3x · (−2x3)] 8.5 xy3 · [(−9x2y) : (−3xy)] 8.6 [–8a2b3 : 4ab] · (−a3)

8.7 (15x4y3 : 3x3) : y 8.8 [3ab · (−3a2)] · (−2ab3) 8.9 [4x3 · 3x2] : 2x

109


Binomio: es la suma o resta indicada de dos monomios.

Ejemplo: 2x – 5x4

Trinomio: es la suma o resta indicada de tres monomios.

Ejemplo: x3 + 5 + 4x

Polinomio: es la suma o resta indicada de varios monomios.

Ejemplo: 3x2y – 2xy + y2 – 5 – 8x

Grado de un polinomio: es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.

En el ejemplo anterior el grado es 3.

9 Indica el grado de cada polinomio y subraya el monomio que proporciona el grado:

9.1 3x3 − x4 + 2x − 5 9.2 4x2y + y2 − xy2

9.3 2ab3 − a3c + a2b2c2 9.4 2x + 3x2 − 4 − 3x2


Monomio Binomio Trinomio

Grado 0

Grado 1

Grado 2

Grado 3

Grado 4

P(x) representa a un polinomio cuya única variable es x.Polinomio de una variable ordenado: cuando se escriben sus monomios de mayor a menor grado.

Ejemplo P(x) = 2x3 – x4 + 4 – 5x

P(x) = – x4 + 2x3 – 5x + 4

Coeficiente principal de un polinomio de una variable: es el coeficiente del monomio que proporcionael grado.

En el ejemplo anterior el coeficiente principal es –1.

Término independiente de un polinomio: es el monomio que no tiene parte literal.En el ejemplo anterior el término independiente es +4.


P(x) Polinomio ordenado Grado Coeficiente principal

Término independiente

2x3 – x4 + 6 + 4x6x2 – 2 + 5x3x – 2x2 + x3

110


Valor numérico de un polinomio: es el valor que se obtiene al cambiar las letras de un polinomio por números dados.

Ejemplo: P(x) = –x2 – 2x + 3 x = –5 P(–5) = –(–5)2 – 2(–5) + 3 P(–5) = – 25 – 2(–5) + 3 P(–5) = – 25 + 10 + 3 P(–5) = –12

12 Obtén el valor numérico del polinomio P(x) = x3 − 3x2 − x + 112.1 Cuando x = 0. Sol: 1 12.2 Cuando x = 1. Sol: –2

P(0) = P(1) =

12.3 Cuando x = –3. Sol: –50 12.4 Cuando x = –4. Sol: –107P(–3) = P(–4) =

12.5 Cuando x = −2. Sol: –17 12.6 Cuando x = 2. Sol: –5P(–2) = P(2) =

12.7 Cuando x = −1. Sol: –2 12.8 Cuando x = 3. Sol: –2P(–1) = P(3) =

111


13 Calcula el valor numérico del polinomio P(a,b) = 3a2b − ab − 2ab2 para los valores de a y b que se indican:13.1 a = –2, b = –1. Sol: –10 13.2 a = –1, b = 3. Sol: 30P(–2,–1) = P(–1,3) =

13.3 a = −1, b = 0. Sol: 0 13.4 a = −2, b = –2. Sol: –12P(–1,0) = P(–2,–2) =

13.5 a = 3, b = 2. Sol: 24 13.6 a = −2, b = 1. Sol: 18

P(3,2) = P(–2,1) =

13.7 a = 1, b = 3. Sol: –12 13.8 a = 2, b = −1. Sol: –14

P(1,3) = P(2,–1) =

112


Suma de polinomios: se suman los monomios que sean semejantes.

Ejemplo: P(x) = 2x2 – 5x – 7 P(x) + Q(x) = (2x2 – 5x – 7) + (–5x2 + 9)

Q(x) = –5x2 + 9 2x2 – 5x – 7 – 5x2 + 9

–3x2 – 5x + 2

Resta de polinomios: la resta se convierte en suma cambiando todos los signos al polinomio que va restando.Ejemplo: P(x) = 2x2 – 5x – 7 P(x) – Q(x) = (2x2 – 5x – 7) – (–5x2 + 9)

Q(x) = –5x2 + 9 2x2 – 5x – 7 + 5x2 – 9

7x2 – 5x + 16

Producto de un número por un polinomio: se multiplica el número por cada monomio del polinomio.

Ejemplo: P(x) = 2x2 – 5x – 7 –3P(x) = –3(2x2 – 5x – 7)

–6x2 + 15x + 21

14 Dados los polinomios P(x) = 3x3 − 2x2 − 6x + 1 y Q(x) = 2x2 – x − 3, calcula:14.1 P(x) + Q(x)

14.2 P(x) − Q(x)

14.3 2P(x) + 3Q(x) Sol: 6x3 + 2x2 – 15x – 7

14.4 4P(x) − 2Q(x) Sol: 12x3 – 12x2 – 22x + 10

113


15 Dados los polinomios P(x) = x3 − 3x2 − x + 2 y Q(x) = 2x3 – 4x2 − 1, calcula:15.1 P(x) + Q(x)

15.2 P(x) − Q(x)

15.3 –P(x) + 2Q(x) Sol: 3x3 – 5x2 + x – 4

15.4 2P(x) − 5Q(x) Sol: –8x3 + 14x2 – 2x + 9

16 Dados los polinomios M(x) = x3 − 2x2 + 2x − 1 y N(x) = 3x3 + 2x2 − 3x + 4, calcula:16.1 M(x) + N(x)

16.2 M(x) − N(x)

16.3 −2M(x) + 3N(x) Sol: 7x3 + 10x2 – 13x + 14

114


17 Dados los polinomios P(x) = 2x2 − 3x − 6 y Q(x) = x3 + 5x2 + 4x − 2, calcula:17.1 P(x) + Q(x)

17.2 P(x) − Q(x)

17.3 3P(x) + 2Q(x) Sol: 2x3 + 16x2 – x – 22

17.4 2P(x) − 3Q(x) Sol: –3x3 – 11x2 – 18x – 6

18 Dados los polinomios P(x) = x2 – 2x + 4 y Q(x) = 2x2 + 3x – 1 calcula:18.1 P(x) + Q(x)

18.2 P(x) – Q(x)

18.3 4P(x) – 5Q(x) Sol: –6x2 – 23x + 21

18.4 –2P(x) + 3Q(x) Sol: 4x2 + 13x – 11

115


Producto de un monomio por un polinomio: se multiplica el monomio por cada uno de los monomios que forman el polinomio.Ejemplo: 3x2 · (5x3 – 2x2 + x + 4)

15x5 – 6x4 + 3x3 + 12x2

19 Calcula estos productos y escribe el polinomio resultante ordenado:19.1 x · (2x3 + 2 − 5x) 19.2 x2 · (2x3 − 3 + 3x4)

19.3 5x(6 − x + 3x2) 19.4 2a · (3a − a2 + 4)

19.5 x3 · (5x + 7 − x2) 19.6 3x2 · (x4 + x − 2x3)

19.7 4a3 · (2 − a + 3a2) 19.8 2x4(2 + 3x3 − x2)

19.9 −2x2(5x3 + 1 − 6x) 19.10 −a · (−5 + 2a + 3a2)

19.11 −3x4 · (5 + 2x − x2) 19.12 −4a3(a2 − 6 – 2a)

19.13 –2x3 · (6x − 1 + x2) 19.14 –2x2 · (x + 3x2 – 2)

19.15 –a(3 − 2a – 3a2) 19.16 –2x(4x − 2x2 + 1)

116


20 Calcula y escribe el polinomio resultante ordenado:20.1 3x3(x – 2) – 2x2(x + 3x2 – x) Sol: –3x4 – 6x3

20.2 x(2 + 3x2 – x) – 4x2(2x – 3) Sol: –5x3 + 11x2 + 2x

20.3 2x(4x2 – 5x3 + 2x) + x2(3x – 1 + x2) Sol: –9x4 + 11x3 + 3x2

20.4 3a2(a + 5) – 2a(2 – 3a + 3a2) Sol: –3a3 + 21a2 – 4a

Producto de dos polinomios: se multiplica cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo polinomio.

Ejemplo: (4x – 5x2) · (2x – 3)

8x2 – 12x – 10x3 – 12x

– 10x3 + 8x2 – 24x

21 Multiplica y escribe el polinomio resultante ordenado:21.1 (3 + 2x) · (5 + x) 21.2 (4 + 2a) · (a + 3)

21.3 (3x + 4)(x2 − 3x) 21.4 (2x + x2) · (5x − 3)

21.5 (a + 3) · (3a2 − 2a3) 21.6 (6x2 + 2x)(1 + 2x)

117


21.7 (x3 + 3x2) · (4 − x) 21.8 (a + 2a2) · (a − 5)

21.9 (3 − 2a)(5a + 4) 21.10 (4a − 6)(2a + a2)

21.11 (x3 − 2x)(x2 − 3x4) 21.12 (3a − a2) · (2a − 1)

21.13 (2a2 − a) · (a3 − 5a) 21.14 (x2 − 2)(4 − 3x)

22 Calcula y escribe el polinomio resultante ordenado:22.1 (2a – a2)(a + 2) + (1 – a)(3 + a2) Sol: –2a3 + a2 + a + 3

22.2 (x – 3x2)(x + 4) + (2 – x)(x2 – 5x) Sol: –4x3 – 4x2 – 6x

22.3 (2x + x2)(6 – x) + (2 – x2)(3x – 2) Sol: –4x3 + 6x2 + 18x – 4

22.4 (3 – 2x)(x2 + 3x) + (4x2 – 5x)(2 – 6x) Sol: –26x3 + 35x2 – x

118


Sacar factor común: consiste en seleccionar los factores que se repiten, con menor exponente, para que al multiplicarlos por otro polinomio se obtenga el polinomio del principio.Ejemplos: 3a – 6a2 2xy + 5x2 2ab − 8bc + 6b2

3a(1 – 2a) x(2y + 5x) 2b(a – 4c + 3b)

23 Extrae todos los factores comunes posibles en cada polinomio:23.1 4x + 8y 23.2 9a – 6b 23.3 6x − 6y

23.4 2a + 2ac 23.5 4xy – 6xz 23.6 3xy + 3yz

23.7 3x + 12 23.8 4abc − 8bc + 4ab 23.9 4x − 4xy

23.10 x3 + 2x2 − x 23.11 3x3 + 12x2 + 9x4 23.12 6x2 + 3x5

24 Simplifica estas fracciones algebraicas sacando factor común:

24.1x6x2x4x2

2

2

++

24.2y4x4y3x3

++

24.323

34

aaaa

++

2x (x 2)2x

+(x 3)+

3( x y+ )4( x y+ )

x 2x 3

++

34

24.4x24x6x12 2

++

24.5abababba

2

2

−−

24.6 2

2

y2xyxy2x

−−

24.7 2

2

y4xy4xy2x2

++

24.82

22

c2bc4ac2abc6ab12ba6

++++

24.94 3

2

2x 6xx 3x

++

119


Productos notables:

Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Se lee cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a + b)2

(a + b) · (a + b)

a2 + ab + ba + b2

a2 + 2ab + b2

Cuadrado de una diferencia: (a − b)2 = a2 – 2ab + b2

Se lee cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

(a – b)2

(a – b) · (a – b)

a2 – ab – ba + b2

a2 – 2ab + b2

Suma por diferencia: (a + b) · (a − b) = a2 – b2

Se lee cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

(a + b) · (a – b)

a2 – ab + ba – b2

a2 – b2

25 Calcula utilizando los productos notables:25.1 (5x + 6)2 25.2 (4x + 6)2 25.3 (x3 + 3x)2

(5x)2 + 2(5x)(6) + (6)2

25x2 + 60x + 36

25.4 (3x + 7)2 25.5 (9x + 5)2 25.6 (x4 + 2x)2

25.7 (5x − 4)2 25.8 (7x − 3)2 25.9 (3x5 − x)2

(5x)2 – 2(5x)(4) + (4)2

25x2 – 40x + 16

25.10 (3x − 2)2 25.11 (4x – 1)2 25.12 (2x2 – x)2

120


25.13 (4x − 5) · (4x + 5) 25.14 (2x + 4) · (2x − 4) 25.15 (3x3 – 4) · (3x3 + 4)

(4x)2 – (5)2

16x2 – 25

25.16 (4x + 6) · (4x − 6) 25.17 (10x – 3) · (10x + 3) 25.18 (x4 + 2) · (x4 – 2)

26 Utiliza los productos notables y escribe el polinomio resultante ordenado:26.1 (1 + x)2 + (1 – x)2 + (1 + x)(1 – x) Sol: x2 + 3

26.2 (3x – 5)2 + (6 + 5x)2 + (4 – 2x)(4 + 2x) Sol: 30x2 + 30x + 77

26.3 (2x3 + 4)(2x3 – 4) + (2 – x3)2 + (3x3 + 1)2 Sol: 14x6 + 2x3 – 11

26.4 (5x – 4)2 + (1 + 4x)(1 – 4x) + (3 + 2x)2 Sol: 13x2 – 28x + 26

121


27 Observa las siguientes tablas, encuentra la relación que hay, complétalas y da una fórmula general:

1 2 3 4 5 6 … x4 8 12 16 …

1 2 3 4 5 6 … x3 4 5 6 …

1 2 3 4 5 6 … x1 4 9 16 …

1 2 3 4 5 6 … x9 12 15 18 …

1 2 3 4 5 6 … x2 4 8 16 …

1 2 3 4 5 6 … x1 0´5 0´333… 0´25

1 2 3 4 5 6 … x99 98 97 96

1 2 3 4 5 6 … x9 18 27 36

1 2 3 4 5 6 … x9 19 29 39

122


¿Qué es un monomio?

¿Qué es el coeficiente de un monomio?

¿Cuál es la parte literal de un monomio?

¿Cuáles son las variables de un monomio?

¿Cómo se obtiene el grado de un monomio?

¿Qué tienen que cumplir dos monomios para ser semejantes?

¿Se pueden sumar o restar todos los monomios?

¿Qué monomios se pueden sumar o restar y de qué manera?

¿Cómo se multiplican los monomios?

¿Cómo se dividen los monomios?

¿Qué posibles resultados se pueden obtener al dividir dos monomios?

¿Qué es un binomio?

¿Qué es un trinomio?

¿Qué es un polinomio?

¿Cómo se obtiene el grado de un polinomio?

123


¿Cómo se ordena un polinomio de una variable?

¿Cuál es el coeficiente principal de un polinomio de una variable?

¿Cuál es el término independiente de un polinomio de una variable?

¿Cómo se obtiene el valor numérico de un polinomio?

¿Cómo se suman dos polinomios?

¿Cómo se restan dos polinomios?

¿Cómo se multiplica un número por un polinomio?

¿Cómo se multiplica un monomio por un polinomio?

¿Cómo se multiplican dos polinomios?

Explica cómo se saca factor común.

Escribe las fórmulas de los productos notables y cómo se leen.

124

EXPRESIONES ALGEBRAICAS 125

EXPRESIONES ALGEBRAICAS126

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