FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Grupo N° 5

Sección 31

FUNCIONES EXPONENCIALES

)]([)(/: xgaxff

}1{ a

1);0( aaxxff 2)(/:

xexff )(/:

23)(/: xxff

xx

exff12

)(/:

Caso I : a > 1

)]([)]([ xgDomxfDom

Klinsmann Vivas

FUNCIONES EXPONENCIALES

)]([)(/: xgaxff

}1{ a

1);0( aaxxff )()(/: 2

1

xexff )()(/: 1

23

1 )()(/: xxff

xx

exff12

)()(/: 1

Caso II : 0 < a < 1

)]([)]([ xgDomxfDom

Klinsmann Vivas

Cómo graficar la función exponencial f(x) = ax, con a > 1.

x y

-3 ⅛

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2 4

3 8

Por ejemplo: y = 2x

y = 2x

xxff 2)(/:

Eduardo Mijares

CARACTERÍSTICAS GENERALES

i. DDom[f(x)] = x ∊ 𝕽. El dominio de la función son todos los números reales.

ii. RRgo[f(x)] = x ∊ 𝕽+. Su rango son los números reales positivos.

iii. PPx = ∄.

Es asintótica al eje X.

iv. PPy = (0,1).

v. LLa función es Creciente para todo valor x a lo largo de su dominio.

vi. ff(x) > 0 | ⦡ x ∊ 𝕽. La función es positiva a lo largo de su domino.

xxff 2)(/:

y = 2x

Otras funciones con > 1𝑎 (crecientes):

y = 2x

y = 3xy = 5x

Cómo graficar la función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1.

Por ejemplo: y = (½)x

x y

-3 8

-2 4

-1 2

0 1

1 ½

2 ¼

3 ⅛

y = (½)x

xxff )()(/: 21

María Valeria Aguilera

CARACTERÍSTICAS GENERALES

i. DDom[f(x)] = x ∊ 𝕽. El dominio de la función son todos los números reales.

ii. RRgo[f(x)] = x ∊ 𝕽+. Su rango son los números reales positivos.

iii. PPx = ∄.

Es asintótica al eje X.

iv. PPy = (0,1).

v. LLa función es Decreciente para todo valor x a lo largo de su dominio.

vi. ff(x) > 0 | ⦡ x ∊ 𝕽. La función es positiva a lo largo de su domino.

xxff )()(/: 21

y = (½)x

Otras funciones con 0 < < 1 𝑎(decrecientes):

y = (½)x

y = (⅓)x

y = (⅕)x

La función real de variable real que no necesariamente es una función exponencial:

y = k . ax+b + c

y = -3. (½)x+2 +3

Klinsmann Vivas

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL:CRECIMIENTO POBLACIONAL

Una compañía nueva con 5 empleados espera que el número de empleados crezca a una tasa de 20% cada año. Determine el número de empleados dentro de 4 años.

Tenemos:

tiPtP )1.()( 0

Elementos de la fórmula:• Cantidad de empleados en función del tiempo ⇒ P(t)• Cantidad conocida de empleados ⇒ Po = 5• Porcentaje de crecimiento ⇒ i = 20% anual• Tiempo ⇒ t = 4 años Evaristo Solano

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL:CRECIMIENTO POBLACIONAL

Tenemos:

tiPtP )1.()( 0

Datos:Po = 5i = 20% = 20/100 = 0,20t = 4 añosReemplazando: P(t) = 5.(1+0.20)4

P(t) = 5.(1,20)4

P(t) = 10,368

P(t)

t

11

9

7

5

ttP )20,1.(5)(

Evaristo Solano

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

)]([log)(/: xgxff a

}1{ a

1);0( aa xxff 2log)(/:

xxxff e lnlog)(/:

)2(log)(/: 3 xxff

)ln()(/: 12xxxff

Caso I : a > 1

}0)(/{:)]([ xgxxfDom

Klinsmann Vivas

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

}1{ a

1);0( aaxxff

21log)(/:

xxffe

1log)(/:

)2(log)(/:3

1 xxff

)(log)(/: 121 x

xe

xff

Caso II : 0 < a < 1

)]([log)(/: xgxff a}0)(/{:)]([ xgxxfDom

Klinsmann Vivas

Cómo graficar la función logarítmica f(x) = loga(x), con a > 1.

x y

⅛ -3

¼ -2

½ -1

1 0

2 1

4 2

8 3

Por ejemplo:

y = log2

(x)

y = log 2 x 2 y = x

y = log2 x 2 y

= x

xxff 2log)(/:

Orguimar Barrios

CARACTERÍSTICAS GENERALES

i. DDom[f(x)] = x ∊ 𝕽+. El dominio de la función son todos los números reales positivos.

ii. RRgo[f(x)] = x ∊ 𝕽. Su rango son los números reales.

iii. PPx = (1,0).

iv. PPy = ∄.

Es asintótica al eje Y.

v. LLa función es Creciente para todo valor x a lo largo de su dominio.

vi. ff(x) < 0 | ⦡ x ∊ (0 ; 1).

vii. ff(x) > 0 | ⦡ x ∊ (1 ; +∞).

xxff2

1log)(/:

y = log2

(x)

Otras funciones con a > 1 (crecientes):

y = log2

xy = log

3

x

y = log5 x

Cómo graficar la función logarítmica f(x) = loga(x), con 0 < a < 1.

x y

8 -3

4 -2

2 -1

1 0

½ 1

¼ 2

⅛ 3

Por ejemplo:

y = log (½ ) x (½ ) y = x

y = log(½)

x (½) y = x

y = log (½ )

x

y = log(½)

x

xxff2

1log)(/:

Carlos Escobar

CARACTERÍSTICAS GENERALES

i. DDom[f(x)] = x ∊ 𝕽+. El dominio de la función son todos los números reales positivos.

ii. RRgo[f(x)] = x ∊ 𝕽. Su rango son los números reales.

iii. PPx = (1,0).

iv. PPy = ∄.

Es asintótica al eje Y.

v. LLa función es Decreciente para todo valor x a lo largo de su dominio.

vi. f(x) > 0 | ⦡ x ∊ (0 ; 1).

vii. f(x) < 0 | ⦡ x ∊ (1 ; +∞).

xxff2

1log)(/:

Otras funciones con 0 < a < 1 (decrecientes):

y = log½

x

y = log⅓ x

y = log⅕ x

La función real de variable real que no necesariamente es una función logarítmica:

y = k . loga (x – b) + c

y = - 3/2 . log3 (x + 2) + 1

Klinsmann Vivas

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA:CRECIMIENTO POBLACIONAL

Si una comunidad que inicialmente tiene 200 habitantes mayores de edad y tienen una tasa de crecimiento de 50% anual. Determinar en cuanto tiempo alcanzara completar los 300 habitantes.

Tenemos:

tif kPP )1.(

Elementos de la fórmula:• Cantidad final de habitantes ⇒ Pf = 300• Cantidad conocida de habitantes ⇒ Pi = 200• P = Pf / Pi

• Porcentaje de crecimiento ⇒ k = 50% anual• Tiempo ⇒ t

i

fk P

Pt )1(log Pt k )1(log

Pedro Ramírez

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA:CRECIMIENTO POBLACIONAL

Datos:Pf = 300

Po = 200i = 50% = 50/100 = 0,50Reemplazando: t = log(1+0,50)(300/200)

t = log(1,50)(3/2)

t = log(3/2)(3/2) = 1

Pt )( 23log

P

t

1.751.5 1.25

1

Tenemos:

tif kPP )1.(

i

fk P

Pt )1(log Pt k )1(log

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA:RELACIÓN ENTRE GRÁFICAS.

Las funciones logarítmicas y exponenciales de la misma base son mutuamente inversas. Esta relación afecta a sus respectivas gráficas y produce una especial disposición de las mismas en el plano cartesiano.

Para finalizar esta presentación veremos el por qué de tal disposición de las gráficas de estas dos funciones trascendentes.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN.

"Mil cosas avanzan. Novecientas noventa y nueve retroceden. Esto es el

progreso".

Henri Frederick Amiel (1821-1881); escritor y profesor suizo.