Exploración matemática Optimización de los beneficios de una empresa con la venta de un producto determinado Víctor Cañero Maestre Matemáticas: nivel medio

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Contenido Introducción ............................................................................................................................ 3

Búsqueda de la relación clientes-precio .............................................................................. 4

Búsqueda de un método de optimización ............................................................................ 5

Generalización del patrón...................................................................................................... 5

Aplicación del patrón en el problema ................................................................................... 8

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Introducción

El objetivo de todas las empresas es ganar el máximo valor de dinero, y para

eso hay muchas estrategias de marketing. Además, los consumidores o

compradores de un producto buscarán los mejores precios, y es por esto que si

un producto es más barato, habrá más compradores, mientras que si un

producto es más caro, habrá menos compradores ya que los consumidores

mirarán otras marcas del producto. Por lo tanto lo importante para ganar un

máximo beneficio es encontrar un equilibrio entre el precio de un producto y el

número de compradores que habrá con dicho precio.

Un taller de mecánica de Barcelona (Neumáticos DAKAR) me proporcionó los

datos de dos meses seguidos, en el que el jefe de la empresa subió el precio

de los neumáticos de cara al público, y como es lógico el número de

compradores disminuyó. A partir de esto, el objetivo de este trabajo es buscar

el beneficio máximo viendo la tabla de datos de la empresa mediante una

función que tenga en cuenta como baja y sube el número de compradores en

función del precio de los neumáticos. También hay muchos otros factores que

influyen a que un producto se venda más o menos a parte del precio, pero en

este trabajo estudiaremos solo la relación precio-compradores.

Neumáticos Michelin Nº de clientes Precio medio del

neumático

Abril 47 122

Mayo 39 131

Viendo esto, se pueden establecer relaciones para crear funciones que nos

ayuden a determinar cuál es el precio que se le debe poner a los neumáticos

para obtener más clientes. Este trabajo me crea una responsabilidad muy

grande, ya que si yo puedo ayudar a esta pequeña empresa que quizás no

tiene tantos conocimientos de matemáticas como para optimizar los beneficios

y fuese yo quien los ayudase a ganar más dinero, me sentiría muy importante y

satisfecho conmigo mismo por el hecho de ayudar a otra persona. De esta

manera me comprometo a mi mismo totalmente a optimizar los beneficios de

esta empresa, lo que significa cumplir mi objetivo fijado.

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Búsqueda de la relación clientes-precio

Para encontrar el beneficio máximo que se puede sacar equilibrando el número

de compradores con el precio por neumático, tengo que encontrar una función

que relacione estas dos variables y además la función tenga en cuenta la

relación del incremento de precio y el decremento de compradores. Así que

con la tabla que nos han proporcionado puedo averiguar una relación:

Neumáticos Michelin Nº de clientes Precio medio del

neumático

Abril 47 122€

Mayo 39 131€

Partiendo de unas condiciones iniciales de que hay 47 clientes si los

neumáticos tienen un precio de 122€, por cada 9€ que se aumenta el precio,

caen 8 compradores.

Se podría realizar una función que tuviese en cuenta que por cada 9€ que

subamos perdemos 8 compradores, pero he pensado que quizás sería mejor

mirar cual es el número exacto de compradores que se pierden por cada euro

que le sumamos al precio de los neumáticos a partir del precio y del número de

clientes iniciales. Sin embargo de esta manera sería posible que obtuviese un

número decimal de compradores, así que mejor lo haré a la inversa ya que es

mejor obtener un número decimal de dinero. Así que buscaré cuanto se sube el

precio según los datos que tengo por cada comprador que se pierde:

Para averiguar esto simplemente hago una regla de 3:

Si subimos 9€ bajan 8 compradores

Si subimos 1 € bajan n compradores

Ahora la resuelvo sabiendo que es una regla de 3 directamente proporcional:

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Entonces averiguamos que por cada euro que se aumenta el precio de los

neumáticos, se pierden 8/9 compradores Sabiendo esto puedo crear una

función para obtener el beneficio máximo pero mejor ir paso a paso.

Hasta ahora tengo una relación de datos que es la siguiente:

Partiendo de un precio de 122€ por neumático y 47 clientes, por cada euro que

se le suma, se pierden 8/9 compradores. Y esta expresión de aquí determina el

beneficio que obtendremos con nuestra oferta.

Búsqueda de un método de optimización

Por lo tanto, ahora que ya tenemos una expresión que determine los beneficios

que obtendrá la empresa subiendo o bajando el precio de los neumáticos,

tengo que encontrar un método para optimizar el beneficio, ya que para una

empresa lo más importante es ganar el máximo dinero posible.

Lo que he pensado es convertir la expresión que he creado arriba en una

función algebraica. A partir de una función, puedo utilizar la derivación para

obtener el valor del beneficio máximo, pero sin embargo, si utilizo la iteración

numérica con una hoja de cálculo también puedo obtenerlo. Me decantaré

finalmente por el uso de la derivación ya que es un tema que hemos tratado

este año el 1º de bachillerato BI y además es un método mucho más eficiente,

rápido y exacto.

Generalización del patrón

Lo que tengo que hacer ahora es encontrar la fórmula a partir de la expresión

hallada antes:

Partiendo de un precio de 122€ por neumático y 47 clientes, por cada euro que

se le suma, se pierden 8/9 compradores.

El beneficio total es: número de neumáticos vendidos multiplicado por precio de

cada neumático, que es lo que vemos en la función del beneficio, donde el

precio de un neumático es y el número de neumáticos vendidos es

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siendo x el número de euros que se le suman al precio inicial de

122€.

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Voy a hacer una gráfica de esta función para ver donde tendrá el máximo y

para ver si será necesaria la utilización de derivadas para encontrar su máximo

o ya se verá directamente en la gráfica:

Siendo el eje de las Y el beneficio y el eje X el número de euros que sumamos,

vemos que aproximadamente se tendrán que sumar de -40 a -20 €. Si como es

el caso, el resultado final es un número negativo, significa que en vez de sumar

dinero se le tiene que restar al precio inicial.

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

beneficio total (€)

Euros sumados al precio inicial (€)

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Aplicación del patrón en el problema

Ahora que ya tenemos la función, tengo que simplificarla y luego derivar:

Ahora que ya tengo la función simplificada de los beneficios, la derivaré:

Ahora para encontrar el beneficio máximo igualo la función derivada a 0 y hallo

el valor de x:

Puedo eliminar los denominadores de toda la ecuación multiplicándola toda por

9:

9

Ahora que sé cuál es la cantidad exacta de euros que se necesitan, voy a ver

si aproximadamente concuerda con la grafica que he hecho anteriormente:

Vemos que el valor máximo de las x aproximado está sobre el

, que es

aproximadamente , así que puedo afirmar que es correcta mi derivación.

Ahora que tengo el valor de euros que tengo, en este caso, que restar al precio

inicial, voy a ver cuál es el beneficio que obtengo y cuantos compradores

ganaré.

Sustituyo la x por

:

-20000

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000

-180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

beneficio total (€)

Euros sumados al precio inicial (€)

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Solo he sacado dos decimales al beneficio final ya que solo puedo tener dos

decimales con la unidad de euros. Ahora miraré que pasará con los

compradores con ese precio:

Esta es la fórmula para saber el número de compradores. Sustituyo la x por el

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Para obtener un beneficio máximo tendré 77,72 compradores. Ahora

podríamos decir que ya tengo resuelta la optimización y que ya sé qué precio

poner para que la empresa gane el máximo dinero en el mes siguiente con la

venta de neumáticos Michelin. Sin embargo, si reflexiono un poco esto no tiene

sentido ya que en cuanto a personas no se pueden tener números decimales,

así que redondearé el número de compradores y después calcularé qué precio

tengo que subir o bajar y cuál es el beneficio que le corresponde.

Se tendría que restar al precio inicial de los neumáticos para tener 78

compradores en un mes, y el beneficio total sería de:

Este beneficio total no es más alto que el otro, pero nuestro objetivo es

conseguir el máximo beneficio en el mes siguiente y para eso tenemos que

tener un número de compradores sin decimales y por lo tanto este el máximo

beneficio real posible en el mes siguiente. Además solo perdemos algunos

céntimos así que la diferencia es casi nula. Si se tuviese que hacer esta

operación a largo plazo pues podríamos contar con el beneficio máximo, ya

que a la larga nos proporcionará más dinero que el máximo real que hemos

contado nosotros, ya que se han obtenido números redondos en cuanto a

compradores para obtener el máximo beneficio en un mes.

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Conclusión

Tras resolver el problema, y tras aproximar la solución exacta a la realidad,

obtengo estos resultados con los cuales he completado la tabla del principio:

Neumáticos

Michelin

Nº de clientes Precio medio del

neumático

Beneficio

Abril 47 122€ 5734€

Mayo 39 131€ 5109€

Junio 78 122-34,87=87,13€

Sin duda vemos que los beneficios son muchos mayores disminuyendo el

precio ya que los compradores aumentarán drásticamente. Sin embargo para

realizar esta optimización sólo hemos tenido en cuenta cómo han evolucionado

los clientes en función de los precios de los neumáticos en dos meses. Si

realmente quisiésemos optimizar el beneficio de una empresa, deberíamos

tener en cuenta todas las marcas de neumáticos y todos los compradores

durante unos años para así realizar una optimización lo más exacta posible.

Por otro lado, con un objetivo como el mío, optimizar al máximo el número de

beneficios de un mes para el otro, mi optimización ha sido totalmente correcta y

coherente.

Tras haber realizado este trabajo, he podido comprobar que las derivadas

tienen muchísimas aplicaciones en el mundo real tanto de la economía, como

mi trabajo, como en otros ámbitos. En clase y en exámenes he encontrado

muchos problemas de buscar máximos y mínimos de funciones, pero muy

pocos con aplicaciones reales. Así que mediante este trabajo le he encontrado

aplicaciones reales a una parte de las matemáticas y tan solo habiendo hecho

esta optimización, ahora mismo ya podría imaginar muchísimas otras

aplicaciones en las que necesitaría utilizar las derivadas para resolver: obtener

el tamaño óptimo de una habitación, calcular el dinero óptimo para invertir en

un plan de un banco, optimizar la composición de un producto para obtener el

mayor número de beneficios contando los compradores y el precio… Hay

muchísimas aplicaciones y desde luego, este proyecto me ha “abierto” la mente

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para que me dé cuenta de la importancia de esta parte de las matemáticas en

la vida cotidiana.