Método Elemento de Contorno

Youssef Rassed Departamento de Ingeniería de Estructuras, Universidad del Cairo, Giza Egipto. Doctorado

Traducción y adaptación por Pedro González Cordero, Universidad Central de Venezuela. Maestría

Resumen y Objetivos En el presente trabajo demuestra la resolución de ecuaciones en derivadas parciales lineales que han sido formuladas como ecuaciones integrales (en forma de integral sobre el Contorno). Veremos la regla de integración por partes y luego demostraremos la forma generalizada para la segunda identidad de las funciones de Green’s. Por lo tanto los principales objetivos de esta explicación son:

1. Para revisar la filosofía que hay detrás de la regla de integración por partes.

2. Para generalizar la formulación de la integración por partes y llegar a la forma de segunda identidad Green’s para sistema multidimensionales.

3. Para revisar la reglas de la notación indicial.

4. Para derivar la formulación de la ecuación integral para la ecuación de Laplace.

5. Para extender la formulación por encima de la ecuación de Poisson’s.

6. Para dar una visión general de las diferentes áreas de investigación posibles en el Método de Elementos de Contorno.

Introducción

En esta explicación se describe la dificultad de los elementos de contorno. También destacamos las diferentes fuentes de errores que aparecen en los códigos de los elementos de contorno.

Vamos a demostrar que la idea básica detrás de los elementos de contornos es la misma integración por partes, que es muy bien conocido por la mayoría de las personas con cierto conocimientos de cálculo.

Integración por partes

Considere u y v como dos funciones de la variable independiente x en el un espacio unidimensional. Ver figura 1.

La siguiente formula de integración por partes es muy conocida en el ámbito de la matemáticas.

𝑢 𝑥 𝑑𝑣 𝑥

𝑥=𝑥2

𝑥=𝑥1

= 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥𝑥 = 𝑥2𝑥 = 𝑥1

− 𝑣 𝑥 𝑑𝑢 𝑥

𝑥=𝑥2

𝑥=𝑥1

la ecuación (1) puede re-escribirse de una manera más conveniente

𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑑𝑥

𝑥=𝑥2

𝑥=𝑥1

= 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥𝑥 = 𝑥2𝑥 = 𝑥1

− 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 𝑑𝑥

𝑥=𝑥2

𝑥=𝑥1

Donde (●)′ denota la derivada de (●) con respecto a x

Contorno

Dominio

Fig. 1

ec(1)

ec(2)

Ahora examinaremos las antiguas formulas con mayor profundidad. Consideramos el primer termino:

𝑢 𝑥 𝑣 𝑥𝑥 = 𝑥2𝑥 = 𝑥1

= 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑎𝑡 𝑥=𝑥2 − 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑎𝑡 𝑥=𝑥1

Esto parece extraño como el término es el resultado de un proceso de integración, que siempre implica suma. Ahora la pregunta es: ¿de donde vino el signo menos en la ultima ecuación?

La respuesta es simple ya que este termino originalmente es la suma de (u,v,n) en los puntos x1 y x2 en los extremos (teniendo en cuenta que n es la normal en el contorno del problema, véase figura 2)

Contorno

Dominio

Cuerpo

ec(3)

Fig. 2

Por lo tanto este termino se puede volver a re-escribir de la siguiente manera:

𝑢 𝑥 𝑣 𝑥𝑥 = 𝑥2𝑥 = 𝑥1

= 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑎𝑡 𝑥=𝑥2 + 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑎𝑡 𝑥=𝑥1

→ 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑛 𝑥

𝑥=𝑥1,𝑥2

→ 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑛 𝑥 𝑑Γ

Γ

El siguiente termino en el miembro izquierdo de la ecuación (2) es una integración sobre el dominio, que puede ser escrita en la forma más generalizada como sigue:

𝑣 𝑥 𝑢, 𝑥 𝑑𝑥

𝑥=𝑥2

𝑥=𝑥1

= 𝑣 𝑥 𝑢, 𝑥 𝑑Ω

Ω

De los resultados de las ecuaciones (4) y (5), la ecuación (2) puede ser re-escrito en una forma más generalizada, así:

𝑢 𝑥 𝑣 , 𝑥 𝑑Ω

Ω

= 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑛 𝑥 𝑑Γ − 𝑣 𝑥 𝑢, 𝑥 𝑑Ω

ΩΓ

ec(4)

ec(5)

ec(6)

Esta es la segunda identidad de Green`s para problemas unidimensionales. Para derivadas superiores, la ecuación (6) la podemos generalizar aun más, como sigue:

𝑢 𝑥 𝑣 ,, 𝑥 𝑑Ω

Ω

= 𝑢 𝑥 𝑣 , 𝑥 𝑛 𝑥 𝑑Γ − 𝑣 , 𝑥 𝑢, 𝑥 𝑑Ω

ΩΓ

Aplicando la integración por partes de la segunda integral en el miembro derecho de la ecuación (7), como se muestra:

𝑣 , 𝑥 𝑢, 𝑥 𝑑Ω

Ω

= 𝑢, 𝑥 𝑣 𝑥 𝑛 𝑥 𝑑Γ − 𝑣 𝑥 𝑢,, 𝑥 𝑑Ω

ΩΓ

Así mismo la formulación final puede escribirse de esta forma:

𝑢 𝑥 𝑣 ,, 𝑥 𝑑Ω

Ω

= 𝑢 𝑥 𝑣 , 𝑥 𝑛 𝑥 − 𝑢, 𝑥 𝑣 𝑥 𝑛 𝑥 𝑑Γ − 𝑣 𝑥 𝑢,, 𝑥 𝑑Ω

ΩΓ

ec(7)

ec(8)

ec(9)

Cuando Γ=(x1, x2) es el contorno del dominio Ω=(x1 x2) Antes de seguir adelante, es importante tener en cuenta lo siguiente:

1- La principal idea de la integración por partes, ya sea en la ecuación (6) o (9), es la de intercambiar el operador diferencial de la función v para la función u.

2- Al hacer tal intercambio aparecen algunos términos del contorno (recordar el primer termino en el lado derecho de la ecuación (6) o (9)).

3- En la ecuación (6) la integración por partes se realiza una sola vez. Por lo tanto el ultimo dominio de la integral en el lado derecho tiene signo negativo; mientras que cuando la integración por partes se lleva a cabo dos veces aparece esta integral con un signo positivo como en la ecuación (9). Generalmente el signo de la integral es igual a (-1)m donde m es el numero de veces que la integración por partes se lleva a cabo.

Comúnmente, en el BEM la integración por partes se lleva a cabo dos veces, sin embargo, en algunos casos se lleva a cabo solo una vez o hasta cuatro veces.

Si las ecuaciones (6) y (9) se generalizan a un sistema dimensional superior (por ejemplo 2D o 3D) se obtiene la siguiente forma (considérese la Figura 2) [1]:

𝑢𝐿𝑣𝑑Ω

Ω

= 𝑢𝐿∗𝑣𝑑Ω

Γ

+ 𝑣

Ω

𝐿𝑎𝑑𝑗𝑢𝑑Ω ec(10)

Donde L es un operador diferencial, Ladj es la adjunta del operador diferencial, y L* es un operador diferencial definido por ni

L*=L,i. Aquí se utiliza la notación, sin embargo, se aclaró cuando ilustramos utilizando el ejemplo de la ecuación de Laplace (véase más adelante).

Vale la pena señalar que originalmente la formulación de la integración por partes se deriva de segunda identidad de Green’s. Sin embargo, en las antiguas explicaciones nos acercábamos a la segunda identidad de Green’s a través de la integración por partes en aras de la claridad.

Notación Indicial (tensorial)

En mucha literatura sobre BEM la notación tensorial es usada. Esta notación fue introducida por Einstein. Aquí vamos a revisar algunos principios básicos, los cuales se utilizaran a partir de ahora y en lo sucesivo. En lo que sigue vamos a considerar solo el caso de la formulación en 2D; por lo tanto los índices pueden variar desde 1 hasta 2. El caso tridimensional puede ser tratada de una manera similar pero con índices que varían desde 1 hasta 3.

Vectores y tensores

Notación indicial

Diversas denominaciones

Ejes Vectores unitarios Abreviación

Ox1 ē1 (1,0,0) Eje: Oxi

Ox2 ē2 (0,1,0) Vector unitario ēi

Ox3 ē3 (0,0,1) con i = 1, 2, 3

En la Figura 1.1 las coordenadas

del punto P son: x1 , x2 , x3 o xi

El radio vector de P es

OP= x1 ē1 + x2 ē2 + x3 ē3 = Σ xi · ēi i = 1,2,3

x3

x1

x2 1

P(x1,x2,x3)

2

3

ē1 ē2

ē3

Fig 3

O

Convención de suma de Einstein:

La expresión OP= x1 ē1 + x2 ē2 + x3 ē3 = Σ xi · ēi para todo i = 1,2,3

para OP puede simplificarse o condensarse aún más de la siguiente

manera:

OP = xi · ei

“ Siempre que un mismo índice ocurra dos veces en un término se

debe sumar automáticamente, dando al índice repetido valores de 1,

2, 3.”

De esta manera la primera expresión para OP puede simplificarse

omitiendo el signo Σ y omitiendo expresiones idénticas que difieren

solamente en el valor de i. La notación provee brevedad y elegancia

en desarrollos.

Ejemplos:

Ā = Ai· ēi = A1ē1 + A2ē2 + A3ē3

lĀl2 = Ai·Ai = A12 + A2

2 + A32

Ā·Ū = Ai·Ui = A1·U1 + A2 ·U2 + A3 ·U3

𝑝2 = 𝑥1 𝑥 − 𝑥1 𝜉

2 + 𝑥2 𝑥 − 𝑥2 𝜉2 = 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉 . 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉 ec(11)

Convención de Einstein

-Un índice repetido se llama “dummy” y puede ser reemplazado

por cualquier otra letra no utilizada en otro lugar de la expresión:

ui·ui = uk·uk = uj·uj en cada caso i, j, k toman valores de 1, 2, 3.

-Un mismo índice no puede ocurrir más de dos veces en el

mismo término:

eiii no es permisible

-Un índice no repetido se llama índice “libre”, éste debe tomar

valores de 1, 2 y 3; pero no se aplica la convención de suma.

Delta de Kronecker

Se define como:

δij = 1 si i=j

δij = 0 si i j

δ11 = δ22 = δ33 = 1

δ12 = δ21 = δ23 = δ32 = δ31 = δ13 = o

Sean los vectores ortogonales ēi:

ē1· ē1 = ē2· ē2 = ē3 · ē3 = 1

ē1· ē2 = ē2· ē3 = ē3 · ē1 = 0

Estas relaciones pueden reducirse a:

ēi· ēj = δij

ec(12)

El delta de Kronecker puede ser utilizado como operador de

sustitución:

δij·aj = δi1·a1 + δi2·a2 + δi3·a3

Si i = 1 se tiene: δi1 = 1 δi2 = δi3 = 0 ; luego: δij·aj = a1 ,

e igualmente si i = 2: δ2j·aj = a2 y si i = 3 δ3j·aj = a3

Luego : δij·aj = ai

Así, δij operando sobre aj sustituye el índice j por i

Otro ejemplo:

si i = j, es = 0 si i j;

Luego

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗= 1

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗= 𝛿𝑖𝑗

Derivadas en r

El vector r esta definido por los extremos, el punto ξ (el punto origen) y el punto x (el punto de campo). En notación indicial, la coma es usada para denotar derivadas con respecto a las coordenadas del campo, como sigue:

𝜕𝑟

𝜕𝑥𝑖 𝑥= 𝑟,𝑖 = −

𝜕𝑟

𝜕𝑥𝑖 𝜉

Usando la definición de la ecuación (11) y mediante la diferenciación de ambos miembros con respecto a las coordenadas del punto de campo, como sigue:

2𝑟𝜕𝑟

𝜕𝑥𝑗 𝑥

= 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉𝜕 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉

𝜕𝑥𝑗 𝑥

+ 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉𝜕 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉

𝜕𝑥𝑗 𝑥

O

𝑟𝜕𝑟

𝜕𝑥𝑗 𝑥= 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉

𝜕 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉

𝜕𝑥𝑗 𝑥

ec(13)

ec(14)

ec(15)

Sabiendo que 𝜕 𝑥𝑖 𝑥

𝜕𝑥𝑗 𝑥= 𝛿𝑖𝑗 y

𝜕 𝑥𝑖 𝜉

𝜕𝑥𝑗 𝑥= 0

Donde 𝜕𝑟

𝜕𝑥𝑗 𝑥=𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉

𝑟𝛿𝑖𝑗 =

𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉

𝑟=𝑟𝑗

𝑟

= 𝑟,𝑗

Tiene que ser que solo un signo menos es la diferencia entre la derivación con respecto al campo y aquellos con respecto al punto de origen (vea ecuación 13). En la mayoría de los libros del método de elemento de contorno BEM la coma denota las derivadas con respecto a la coordenada del punto de campo; de lo contrario, se hará constar de forma explicita.

ec(17)

ec(16)

Derivadas de Orden Superior de r.

𝑟,𝑖𝑗 =𝜕𝑟, 𝑖

𝜕𝑥𝑗 𝑥=𝜕

𝜕𝑥𝑗 𝑥

𝑟𝑖𝑟=𝜕

𝜕𝑥𝑗 𝑥

𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉

𝑟

=𝑟 𝛿𝑖𝑗 − 0 − 𝑥𝑖 𝑥 − 𝑥𝑖 𝜉 𝑟,𝑗

𝑟2

=𝛿𝑖𝑗

𝑟−𝑟𝑖𝑟,𝑗

𝑟2

=𝛿𝑖𝑗 − 𝑟,𝑖𝑟,𝑗

𝑟

Por defecto, las antiguas derivadas se toman con respecto a la coordenada del punto de campo. Si estos derivadas fueron tomadas con respecto a la coordenada del punto origen, conduce a:

𝑟,𝑖𝑗 =𝜕𝑟,𝑖𝜕𝑥𝑗 𝜉

=𝑟,𝑖𝑟,𝑗 − 𝛿𝑖𝑗

𝑟

Que conducen a los mismos resultados que en la ecuación 18, pero con signo menos, mencionados anteriormente. Otra derivada de orden superior de r puede obtenerse en forma similar.

ec(18)

ec(19)

Ecuación de Laplace

Aquí veremos la formulación de la ecuación

Integral para la ecuación de Laplace y de

donde deriva paso a paso. La ecuación de

Laplace gobierna tanto problemas de

ingeniería como de la física, como la torsión

de sólidos y flujo de potencial. La forma

diferencial para esta ecuación se da como

sigue:

𝛻2𝑢 = 0 ec.(20)

Esta ecuación gobernante se define para un cierto problema, por ejemplo el problema se muestra en la Figura 2. La densidad u(x) es el potencial en cualquier punto x en el interior del dominio o en el límite. La notación u(x) denota que u es función de la coordenada del punto x; por lo tanto es una abreviatura para la notación 𝑢 𝑥1 𝑥 , 𝑥2 𝑥 . Con el fin de establecer la forma integral directa para la ecuación diferencial (20), la siguiente identidad integral se considera:

𝛻2𝑢 𝑈∗Ω𝑑Ω = 0 ec(21)

Donde U * es una función de peso o funcional. Se ha de señalar que, si esta función de ponderación se elige para que sea una función aproximada para minimizar el error en la solución de u, se dice que la declaración anterior a ser una declaración residual ponderada como en el caso del método de elementos finitos. En el caso del BEM, como veremos más adelante, no necesitamos un estado residual ponderado será elegido el U * como Kernels (núcleos) analíticos y exactos. En los próximos pasos de derivación vamos a seguir los mismos pasos que a partir de la ecuación (6) por la sustitución de v'' por el 𝛻2𝑢 y u (x) por U * para obtener una ecuación similar a la ecuación (8). Para ello, aplicamos Identidad de Green (o la integración por partes) a la ecuación (21). Da:

𝑢,𝑎 𝑥 𝑛𝛼 𝑥 𝑈,𝛼∗ 𝑑Γ − 𝑢,𝛼 𝑥 𝑈,𝛼

∗ 𝑑Ω = 0ΩΓ

ec.(22)

Una vez más, la aplicación de la identidad de Green′s a la segunda integral en la ecuación (22), da la ec. (23):

𝑢,𝛼 𝑥 𝑈,𝛼∗ 𝑑Ω = 𝑢,𝑎 𝑥 𝑛𝛼 𝑥 𝑈,𝛼

∗ 𝑑ΓΓ

− 𝑢 𝑥 𝑈,𝛼𝛼∗ 𝑑Ω

ΩΩ

Dado que:

𝑞 =𝜕𝑢

𝜕𝑛= 𝑢,𝛼𝑛𝛼 y 𝑞 = 𝑈,𝛼

∗ 𝑛𝛼 ec.(24)

Donde q es el flujo, se puede reescribir la ec. 23 de la siguiente forma:

𝑞 𝑥 𝑈∗𝑑ΓΓ− 𝑢 𝑥 𝑞∗𝑑ΓΓ

+ 𝑢 𝑥 𝛻2𝑈∗𝑑ΩΩ= 0 ec. (25)

Se puede observar a partir de la última ecuación que los dos primeros términos de frontera son integrales (un resultado similar a la de la ecuación (9)) y la última integral es un término integral de dominio que contiene el adjuntooperador (que es el Laplaciano).

La última integral representa el primer tipo de integrales de dominio que aparecen en la BEM. Es importante, ahora, para mostrar cómo deshacerse de este dominio integral.

Antes de considerar el dominio de integridad, podemos mostrar cómo U * Se puede seleccionar:

Donde u(x)=c (constante) cuando q(x)=0 y:

𝛻2𝑈∗𝑑ΩΩ= 𝑞∗𝑑ΓΓ

ec. 26

que, por definición, es una solución trivial (satisfaciendo segunda identidad de Green). Sin embargo, la identidad de la ecuación (26) es muy útil y nos hará un amplio uso de ella en futuras explicaciones en la transformación de las integrales de dominio a la frontera.

Donde 𝑈∗ 𝑥 = 𝑐 cuando 𝑞∗ 𝑥 = 0 y:

𝑞 𝑥 𝑑Γ = 0Γ ec. (27)

Recordando la ecuación (25), Con el fin de deshacerse de la última integrante de dominio el siguiente caso se podría utilizar:

𝛻2𝑈∗ 𝜉, 𝑥 − 𝛿 𝜉, 𝑥 ec.(28)

Donde 𝛿 𝜉, 𝑥 es el delta de Paul Dirac que no es una función, que es una distribución o un funcional. El delta de Dirac se define como cero en todas partes, excepto en 𝜉 = 𝑥 donde esta es infinita. La solución particular singular de la ecuación (28) se llama la solución fundamental. Ahora el 𝑈∗ 𝜉, 𝑥 se llaman núcleos de dos puntos.

Sustituyendo la ecuación (28) en el último dominio integral en la ecuación (25) da:

𝑢 𝑥 𝛻2𝑈∗Ω

𝜉, 𝑥 𝑑Ω = − 𝑢 𝑥 𝛿 𝜉, 𝑥 𝑑ΩΩ

= −𝑢 𝜉 ec.(29)

donde la ecuación (29) es una propiedad bien conocido de la distribución delta de Dirac. Se puede observar que el uso de la distribución delta de Dirac, convertimos la integral de dominio en un término de salto. Vale la pena señalar que el punto ξ se trata como un punto interno. Además, hay que señalar que el signo negativo en el RHS de la ecuación (28) sólo es para la convención y podría ser ignorada, sin afectar a la formulación final.

Sustituyendo la ecuación (29) en la ecuación (25) da la ec. (30):

𝑢 𝜉 + 𝑞∗ 𝜉, 𝑥 𝑢 𝑥 𝑑ΓΓ

= 𝑈∗ 𝜉, 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑ΓΓ

que es la ecuación integral de contorno para la ecuación de Laplace.

Ecuación de Poisson

La ecuación de Poisson esta dada por ec.(31):

𝛻2𝑢 𝑥 + 𝑏 𝑥 = 0 donde el término b es no homogénea, (x) denota fuentes internas o de las fuerzas del cuerpo. Con el fin de obtener la ecuación integral directa de una ecuación tal, vamos a seguir los mismos pasos que antes. La ecuación (31) se ponderará el uso de pesas U*:

𝛻2𝑢 𝑥 + 𝑏 𝑥 𝑈∗𝑑Ω = 0Ω

ec. (32)

que se puede dividir para dar ec. (33):

𝛻2𝑢 𝑥 𝑈∗𝑑ΩΩ

+ 𝑏 𝑥 𝑈∗𝑑Ω = 0Ω

Después de integrar por partes dos veces, la primera integral dará lugar al mismo resultado que el de la ecuación (30), mientras que la segunda integral se mantendrá sin cambios. Por lo tanto la forma integral final puede obtenerse como sigue la ec.(34):

𝑢 𝜉 + 𝑞∗ 𝜉, 𝑥 𝑢 𝑥 𝑑ΓΓ

= 𝑈∗ 𝜉, 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑ΓΓ

+ 𝑈∗ 𝜉, 𝑥 𝑏 𝑥 𝑑ΩΩ

El último integrante en el lado derecho representa el segundo tipo de integrales de dominio que aparecen en la formulación BEM. Esta integral se puede transformar en el límite usando muchas técnicas