Teorema 0.1 La expansión decimal de un número racional r en una base b es periódica.

Demostración:Consideremos a r un número real, consideremos |r|, pues con los negativos podemos obtener elmismo resultado con un procedimiento análogo al que realizaremos acá. Ahora, si r ≥ 1, aplicandola nota dada anteriormente, basta considerar r1 = r − brc, esto nos lleva a que 0 ≤ r < 1.

Supongamos primero que r1 posee una expansión decimal periódica, es decir, sea:

r1 = 0, a1a2 . . . an−1anc1c2 . . . cr . . .

donde c1c2 . . . cr . . . es el periodo de r1Multiplicando r1 por bs para s ∈ N tal que

r1bs = a1a2 . . . an−1an, c1c2 . . . cr . . . c1c2 . . . cr . . .

Entonces c1c2 . . . cr . . . es la expansión decimal periódica de r1bs y de r1b

s+p, para algún p ∈ N.De aquí obtenemos

r1bs − br1b

sc = r1bs+p − br1b

s+pc

Despejando para r1 nos queda la expresión:

r1 = br1bs+pc − br1b

scbs+p − bs

Donde se observa como el cociente entre dos enteros en la base b.

Ahora probaremos la otra dirección, siendo r un racional, demostrar que posee una expansióndecimal periódica. Sea r un racional, r = p · q−1, donde p, q ∈ Z, q > 0 y (p, q) = 1. Además, alcalcular r, br, b2r, . . . , bnr, . . . obtenemos valores fraccionarios pertenecen al conjunto

D = {0, 1 · k−1, 2 · k−1, . . . , (k − 1) · k−1}

De donde podemos obtener dos miembros bnr y bn+sr, para algún s ∈ N. De manera quepodemos encontrarnos con la expresión

rbs − brbsc = rbs+p − brbs+pc

Y definir el entero h = br1bs+pc − br1b

sc, al hacer unos pequeños ”arreglos” algebraicos obte-nemos

rbn = h · (bs − 1)−1

Luego, definimos h1 =⌊h · (bs − 1)−1

⌋, así reescribimos la igualdad anterior como:

rbn = h · (bs − 1)−1 = h1 + h2 · (bs − 1)−1

1

Donde el entero h2 satisface 0 ≤ h2 < bs − 1. Lo que nos permite decir que:

rbn − h1 = h2b−1 + h3b

−2s + h4b−3s + . . .

Por la desigualdad para h2, esta suma infinita es periódica:

rbn − h1 = 0, h2h3 · · ·hrh2h3 · · ·hr · · ·

⇔ rbn = h1, h2h3 · · ·hrh2h3 · · ·hr · · ·

⇔ rbn =∞∑

i=0hi · b−i

Finalmente, multiplicamos por b−n:

r =∞∑

i=0hi · b−n−i

Por lo tanto, r posee una expansión decimal periódica.

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