exercicis d’estadÍstica i probabilitat - rua.ua.es · 1 exercicis d’estadística descriptiva...

EXERCICIS D’ESTADÍSTICA I PROBABILITAT

Òscar Forner Gumbau

Materials de suport a la docència en valencià

DEPARTAMENT D’ESTADÍSTICA I INVESTIGACIÓ OPERATIVA

UNIVERSITAT D'ALACANT

158

Òscar Forner Gumbau Aquest material docent ha rebut una beca del Servei de Política Lingüística de la Universitat d'Alacant L’edició d’aquest material s’ha fet dins el marc del conveni per a la promoció de l’ús social del valencià signat per la Universitat d’Alacant amb la Conselleria d’Educació. ISBN: 978-84-9717-319-3 Dipòsit legal: A 566-2014 Alacant, febrer de 2014 (1a edició) Edició: Universitat d'Alacant. Servei de Política Lingüística Apartat de Correus 99 - 03080 Alacant

A/e: [email protected] tel. 96 590 34 85

Impressió: Limencop Universitat d’Alacant. Edifici de Ciències Socials – Planta baixa

http://www.limencop.com tel. 96 590 34 00 Ext. 2784

Índex

Presentació............................................................................................................ VII

Introducció............................................................................................................. IX

1. Exercicis d’estadística descriptiva ................................................................... 11

1.1 Conceptes i fórmules bàsiques ................................................................... 11

1.1.1 Definicions ...................................................................................... 11

1.1.2 Tipus de gràfics ............................................................................... 12

1.1.3 Mesures de centralització ................................................................. 15

1.1.4 Mesures de posició no central .......................................................... 16

1.1.5 Mesures de dispersió ........................................................................ 18

1.1.6 Gràfic de caixa i bigots ..................................................................... 20

1.1.7 Mesures de concentració .................................................................. 21

1.2 Exercicis resolts ........................................................................................ 23

Exercici 1 ................................................................................................... 23

Exercici 2 ................................................................................................... 28

Exercici 3 ................................................................................................... 30

Exercici 4 ................................................................................................... 31

Exercici 5 ................................................................................................... 35

Exercici 6 ................................................................................................... 44

Exercici 7 ................................................................................................... 48

1.3 Exercicis proposats .................................................................................... 53

Exercici 1 ................................................................................................... 53

Exercici 2 ................................................................................................... 54

Exercici 3 ................................................................................................... 54

Exercici 4 ................................................................................................... 55

Exercici 5 ................................................................................................... 55

Exercici 6 ................................................................................................... 56

Exercici 7 ................................................................................................... 56

2. Exercicis de probabilitat .................................................................................. 59

2.1 Conceptes i fórmules bàsiques ................................................................... 59

2.1.1 Definicions ...................................................................................... 59

2.1.2 Concepte de probabilitat ................................................................... 61

2.1.3 Probabilitat condicionada ................................................................. 62

2.1.4 Dependència i independència de successos ...................................... 63

2.1.5 Probabilitat composta ....................................................................... 63

2.1.6 Probabilitat total ............................................................................... 64

2.1.7 Teorema de Bayes ............................................................................ 64

2.1.8 Diagrama en arbre ............................................................................ 64

2.2 Distribucions de probabilitat discretes i contínues. Definicions. ............... 65

2.3 Distribució binomial .................................................................................. 67

2.3.1 Funció de probabilitat, funció de distribució, esperança i variància

d’una distribució binomial......................................................................... 68

2.3.2 Taula de la distribució binomial ....................................................... 69

2.4 Distribució normal ..................................................................................... 71

2.4.1 Representació i característiques ....................................................... 71

2.4.2 Distribució normal estàndard ........................................................... 72

2.4.3 Tipificació de la variable .................................................................. 72

2.4.4 Taula de la corba N(0, 1) .................................................................. 73

2.5 Aproximació de la distribució binomial mitjançant la distribució normal

......................................................................................................................... 74

2.6 Exercicis resolts ........................................................................................ 75

Exercici 1 ................................................................................................... 75

Exercici 2 ................................................................................................... 77

Exercici 3 ................................................................................................... 78

Exercici 4 ................................................................................................... 79

Exercici 5 ................................................................................................... 80

Exercici 6 ................................................................................................... 81

Exercici 7 ................................................................................................... 82

Exercici 8 ................................................................................................... 83

Exercici 9 ................................................................................................... 84

Exercici 10 ................................................................................................. 85

Exercici 11 ................................................................................................. 87

Exercici 12 ................................................................................................. 88

Exercici 13 ................................................................................................. 89

Exercici 14 ................................................................................................. 90

Exercici 15 ................................................................................................. 91

2.7 Exercicis proposats..................................................................................... 93

Exercici 1 ................................................................................................... 93

Exercici 2 ................................................................................................... 94

Exercici 3 ................................................................................................... 94

Exercici 4 ................................................................................................... 95

Exercici 5 ................................................................................................... 96

Exercici 6 ................................................................................................... 96

Exercici 7 ................................................................................................... 97

Exercici 8 ................................................................................................... 97

Exercici 9 ................................................................................................... 97

Exercici 10 ................................................................................................. 98

Exercici 11 ................................................................................................. 98

Exercici 12 ................................................................................................. 99

Exercici 13 ................................................................................................. 99

Exercici 14 ................................................................................................. 99

Exercici 15 ............................................................................................... 100

Bibliografia ......................................................................................................... 101

VII

Presentació del rector

La Universitat d’Alacant vol ser una universitat multilingüe amb personal i estudiants plurilingües actius, i això només és possible amb una bona formació en llengües, un component clau per a una universitat competitiva. Tot i que l’entorn més eficaç per a l’aprenentatge de les llengües és la immersió social o l’aprenentatge natural al si de la família, en l’àmbit escolar i universitari, aquests entorns es poden generar amb el tractament integrat de llengües i continguts. Des de l’equip de govern de la Universitat d’Alacant valorem la docència en valencià (i en altres llengües) com un component molt positiu en la formació universitària dels futurs professionals que estudien en aquesta Universitat. És una obligació de la Universitat formar bons professionals que en un futur pròxim puguen exercir en valencià, en castellà i en anglès, o en qualsevol altra llengua. Aquest material docent que ara presentem és un resultat més d’aquest compromís de l’actual equip de direcció de la Universitat de preparar bons professionals. Per a fer possible que els alumnes actuals i futurs de la Universitat puguen exercir de manera competent la seua professió en valencià hem de preparar bons professors que puguen impartir la docència en valencià i proporcionar materials de suport amb la millor qualitat possible. Un altre objectiu de la Universitat és promoure el coneixement en obert i facilitar i compartir recursos entre les universitats i els seus usuaris. Per això, aquests materials estan disponibles en edició digital i en el Repositori de la Universitat d’Alacant (RUA). L’edició de materials docents en valencià, l’autoarxivament en el RUA i l’impuls del coneixement en obert, són accions que formen part del desplegament d’una de les línies estratègiques de política lingüística: “Millorar i augmentar l’oferta de la docència en valencià i garantir-ne una bona qualitat lingüística” del Pla de Política Lingüística de la Universitat d’Alacant (BOUA de 5 de juliol de 2011). Aquestes iniciatives de suport a l’ús del valencià com a llengua d’ensenyament i aprenentatge han comptat amb el suport de la Generalitat Valenciana a través del conveni per a la promoció de l’ús del valencià.

Manuel Palomar Sanz Rector

IX

Introducció

Aquest material és un complement al quadern Introducció a l’Estadística de la

col·lecció Joan Fuster de materials docents en valencià, on es desenvolupaven

els continguts de l’assignatura Introducció a l’Estadística del primer curs del

grau de Gestió i Administració Pública de la Universitat d’Alacant.

L’objectiu d’aquest quadern és tindre un material que reforce els coneixements

adquirits de l’assignatura a classe i que els alumnes els puguen posar en

pràctica de forma autònoma resolent exercicis.

El quadern està dividit en dos temes, el primer dedicat a exercicis d’estadística

i el segon a exercicis de probabilitat. Al principi de cada tema es fa un repàs de

la teoria necessària per a la resolució dels exercicis, la qual cosa fa que es puga

utilitzar aquest quadern sense la necessitat de consultar l’altre i, a més, puga

ser utilitzat com a material de suport per a qualsevol assignatura d’estadística

bàsica d’altres titulacions.

El quadern té una col·lecció de 44 exercicis, 22 dels quals resolts pas a pas i

els altres 22 amb les solucions (excepte en els exercicis on donar la solució

seria fer completament la resolució de l’apartat o de l’exercici). Amb aquests

44 exercicis he volgut abastar tot tipus d’exercicis necessaris per al correcte

aprenentatge dels continguts de l’assignatura. Els exercicis resolts estan fets

amb els càlculs molt detallats perquè l’alumne entenga clarament com es fan,

però es recomana que tota aquella operació o càlcul de paràmetres que es puga

fer amb la calculadora científica es faça, ja que així es guanya molt de temps a

l’hora de resoldre els exercicis.

Amb aquest material també he volgut potenciar l’ús del valencià en la

docència, ja que crec que és una millora en la formació dels estudiants. Això

no hauria sigut possible sense l’ajuda de Xavier Casero, responsable de l’Àrea

d’Assessorament Lingüístic del Servei de Política Lingüística, al qual agraïsc

la seua ajuda i les seues correccions.

Per últim, vull donar les gràcies a la meua família pel suport que m’ha donat

sempre en tot el que he fet, i sobretot, a la meua parella, Mónica, que sempre

està al meu costat ajudant-me en tot el que pot, i als meus fills, Aitana i Manel,

per la felicitat i afecte que em donen.

Òscar Forner Gumbau

Professor del Departament d’Estadística i Investigació Operativa

Universitat d’Alacant, gener de 2014

11

1 Exercicis d’estadística descriptiva

Abans de començar la resolució d’exercicis recordarem les definicions

bàsiques i les fórmules que utilitzarem per a resoldre els exercicis.

1.1 Conceptes i fórmules bàsiques

1.1.1 Definicions

- Individu o element: persones o objectes que contenen certa informació que

es vol estudiar.

- Població: conjunt d'individus o elements que compleixen certes propietats

comunes.

- Mostra: subconjunt representatiu d’una població, l’estudi de la qual serveix

per a inferir característiques de tota la població.

- Grandària de la població: nombre d'individus que formen la població. En

relació amb la grandària de la població, aquesta pot ser finita o infinita.

- Variable o caràcter: propietat, tret o qualitat dels elements de la població, i

que pretenem estudiar.

- Variable qualitativa: els valors que pren no són quantificables. Una variable

qualitativa pot ser, a més, nominal, si no és possible establir un ordre en les

seues modalitats; o ordinal, si per contra sí que s’hi pot establir un ordre.

- Variable quantitativa: és aquella els valors de la qual són quantitats

numèriques amb les quals podem fer operacions aritmètiques. Dins d’aquest

tipus de variables podem distingir-ne dos grups:

Discretes: quan no admeten un valor intermedi entre dos qualssevol

dels seus valors i cada valor de la variable és un nombre natural.

Contínues: quan admeten un valor intermedi entre dos qualssevol dels

seus valors. En aquests casos, els valors de la variable són nombres

reals.

12 Exercicis d’estadística i probabilitat

- Freqüència absoluta: és el nombre de vegades que apareix cada valor de la

variable. La denotarem per . La suma de les freqüències absolutes, , és el nombre total d’observacions de

la variable. La denotarem per .

- Freqüència relativa: és el quocient entre la freqüència absoluta d’un valor

de la variable i el nombre total d’observacions de la variable. La denotarem

per .

La suma de les freqüències relatives, , és la unitat.

La freqüència relativa és el tant per u d’observacions que pertanyen a cada

valor de la variable. Si multipliquem la freqüència relativa per 100%,

representarà el percentatge de la mostra o població que té aquest valor:

- Freqüència absoluta acumulada: és la suma de les freqüències absolutes

fins un valor determinat de la variable. La denotarem per .

- Freqüència relativa acumulada: és la suma de les freqüències relatives fins

un valor determinat de la variable. La denotarem per .

També podríem definir la freqüència relativa acumulada com el quocient entre

cada una de les freqüències absolutes acumulades i el nombre total

d’observacions de la variable.

La freqüència relativa acumulada és el tant per u d’observacions fins a un

valor determinat de la variable. Si multipliquem la freqüència relativa

acumulada per 100%, representarà el percentatge acumulat de la mostra o

població fins un valor determinat de la variable:

1.1.2 Tipus de gràfics

Diagrama de barres

Cada valor diferent de la variable està representat per un rectangle. Com a base

de cada rectangle es prenen segments d’igual amplitud sobre l’eix d’abscisses i

l’altura de cadascun d’ells és proporcional a la freqüència absoluta del valor

que representa.

Exercicis d’estadística descriptiva 13

Diagrama de sectors

Per a fer el diagrama de sectors es divideix l’àrea total del cercle en tantes

porcions com valors diferents de la variable hi haja. Cada valor ve representat

per un sector circular, l’àrea del qual ha de ser proporcional a la seua

freqüència absoluta. Una manera ràpida de calcular l’angle corresponent a

cada sector és multiplicar la freqüència relativa de cada valor diferent per 360º.

Polígon de freqüències

S’obté unint, mitjançant segments de recta, els extrems superiors de les barres

d’un diagrama de barres.

Histograma

Es construeix a partir de la taula de freqüències. Sobre l’eix d’abscisses

s’escriuen els intervals, alçant sobre cadascun d’aquests un rectangle que té

aquest segment com a base. El criteri per a calcular l’altura de cada rectangle

és el de mantenir la proporcionalitat entre les freqüències absolutes (o

relatives) de cada interval i l’àrea dels rectangles.

Les condicions bàsiques per a un traçat correcte de l’histograma són:

Els rectangles han d’aparèixer juxtaposats, per a respectar la

continuïtat de la variable.

La mesura de la base de cada rectangle ha de ser l’amplitud de la

classe corresponent.

Si l’amplitud és constant, l’alçada de cada rectangle es pren com la

freqüència absoluta, , de l’interval sobre el qual està situat.

En el cas que els intervals no siguen tots de la mateixa amplitud,

l’alçada de cada rectangle serà la densitat de freqüència de l’interval

corresponent, és a dir, el quocient entre la freqüència absoluta de

l’interval i la seua amplitud.

També podem representar un histograma de freqüències acumulades. Els

passos a seguir són els mateixos que abans però tenint en compte les

freqüències absolutes acumulades en lloc de les freqüències absolutes.

Polígon de freqüències

S’obté unint, mitjançant segments de recta, els punts mitjans de les bases

superiors dels rectangles de l’histograma. Es prolonga la línia poligonal fins a

tallar l’eix d’abscisses en els punts mitjans dels intervals anterior al primer i

següent a l’últim, assignant-los d’aquesta manera freqüència nul·la.


És important assenyalar que l’àrea que hi ha per davall del polígon de

freqüències és igual a la suma de les àrees dels rectangles de l’histograma.

També podem representar un polígon de freqüències acumulades. Per a

realitzar aquest polígon el que hem de fer és unir els vèrtexs superiors drets

dels rectangles de l’histograma de freqüències acumulades mitjançant una línia

poligonal.

Gràfic de tija i fulles

El gràfic de tija i fulles es construeix a partir de les dades originals de les

variables quantitatives, tant discretes com contínues.

Les indicacions per a la seua construcció són les següents:

- Per al nombre de dades que nosaltres manegem, els gràfics han de

tenir sempre de 4 a 12 files.

- Les dades han de tenir el mateix nombre de dígits tant enters com

decimals. Si no és així, afegirem zeros a dreta o esquerra (segons ens

convinga).

- Una vegada aconseguit el mateix nombre de dígits, les dades es

divideixen en dos parts: la de l'esquerra serà la tija i la de la dreta les

fulles.

- Es dibuixa una línia vertical i a la seua esquerra s’anoten en columna

les tiges ordenades de menor a major. Les tiges han de ser

consecutives i abastar tot el recorregut de la variable.

- A la dreta de la línia vertical s’anoten les fulles corresponents a cada

tija. Les fulles s’ordenen de menor a major i han d’ocupar el mateix

espai. Han d’haver-hi tantes fulles com nombre d’observacions.

- Hem d’indicar les xifres decimals que presenten les nostres dades. Si

les nostres dades presenten xifres decimals, farem el gràfic com si no

en tingueren i al final, indicarem per quina quantitat cal multiplicar les

dades del gràfic per a obtenir les nostres dades originals. Així, si tenim

dos xifres decimals, al final del gràfic escriurem × 0,01.

- Si volem aconseguir més files en el nostre gràfic podrem dividir cada

tija en dos files, reservant el símbol * per a la primera meitat de les

fulles possibles i el símbol º per a la resta, o en 5 files, on els símbols

utilitzats són:

* per al 20% inicial de fulles

t per al 20% següent

f per al 20% següent

s per al 20% següent

º per a l'últim 20%


El gràfic de tija i fulles és molt útil per les raons següents:

- Ens presenta les dades ordenades, cosa que serà útil per al càlcul

d'algunes mesures que veurem posteriorment.

- És una tècnica d’organització de les dades que permet obtindre

simultàniament la distribució de freqüències i la seua representació

gràfica, ja que, si ho girem, ens presenta la forma que té l’histograma

(la forma de l’histograma és la mateixa que la del gràfic de tija i fulla

si aquest últim el girem 90º cap a l'esquerra).

1.1.3 Mesures de centralització

Mitjana aritmètica

La mitjana aritmètica és defineix com la suma de totes les dades dividit pel

nombre de dades. La denotarem per .

Mediana

Si ordenem les dades de menor a major, la mediana és el valor que hi ha al mig

de les dades, és a dir, té tantes dades per davall com per damunt. Si el nombre

de dades és parell, assignarem a la mediana la mitjana aritmètica dels dos

termes centrals. La denotarem per .

* Si les dades vénen agrupades amb intervals, com no coneixem el valor real

de totes les dades, no serà possible calcular de forma exacta la mediana, per la

qual cosa, aproximarem el càlcul de la mediana de la manera següent:

on,

és el límit inferior de la classe mediana

és el nombre de dades

és la freqüència absoluta acumulada de la classe anterior

a la mediana

és la freqüència absoluta de la classe mediana

és l’amplitud de la classe mediana

Moda

La moda és el valor o valors de la variable que més vegades es repeteixen, és a

dir, és el valor o valors de la variable que tenen més freqüència absoluta. La

denotarem per .



de totes les dades, no serà possible calcular de forma exacta la moda, per la

qual cosa, aproximarem el càlcul de la moda de la següent manera:

on,

és el límit inferior de la classe modal

és la freqüència absoluta de la classe anterior a la modal

és la freqüència absoluta de la classe posterior a la modal

és l’amplitud de la classe modal

Utilitzarem aquesta fórmula si els intervals no tenen tots la mateixa amplitud:

on,

és el límit inferior de la classe modal

és la densitat de la classe anterior a la modal

és la densitat de la classe posterior a la modal

és l’amplitud de la classe modal

1.1.4 Mesures de posició no central

Quartils

Ja hem vist que la mitjana, en les dades ordenades de menor a major, deixa a la

seua esquerra el 50% de les dades. Podem considerar també valors que

divideixen el conjunt de les dades en quatre parts iguals, és a dir, deixen a la

seua esquerra el 25%, el 50% i el 75% de les observacions. Aquests valors es

denominen quartils i es denoten com a , i respectivament. És clar que

= per definició.

Vegem com es calcula el .

Per a trobar el primer quartil, s’ordenen els valors de menor a major i a

continuació se cerca en aquesta sèrie ordenada el primer valor que supera el

lloc .

Pot ocórrer que l’ordre de l’observació coincidisca exactament amb

(succeeix quan és múltiple de 4). En tal cas, el primer quartil s'obté prenent

aquesta observació i la següent, i calculant-ne la mitjana aritmètica.

Per a trobar , el procediment és anàleg però considerant en compte

de .



de totes les dades, no serà possible calcular de forma exacta el , per la qual

cosa, aproximarem el càlcul del de la manera següent:

on,

és el límit inferior de la classe on està el


és la freqüència absoluta acumulada de la classe anterior

on està el

és la freqüència absoluta de la classe on està el

és l’amplitud de la classe on està el

Per a trobar , el procediment és anàleg però considerant en compte

de .

Aleshores la fórmula serà:

Percentils

Fins ara ens hem interessat per obtenir aquells valors la posició dels quals

representava un percentatge molt concret de la mostra: 25, 50 i 75 per cent.

Però, generalitzant, podrem estar interessats a obtenir qualsevol posició dins

de les dades. Per a això establirem una fórmula general de càlcul per a obtenir

qualsevol posició relativa:

on,

és el percentatge a calcular

és el valor entre 1 i 100, equivalent al percentatge cercat

és el límit inferior de la classe on està el


és la freqüència absoluta acumulada de la classe anterior on està el

és la freqüència absoluta de la classe on està el

és l’amplitud de la classe on està el


1.1.5 Mesures de dispersió

Les mesures de dispersió permeten calcular la representativitat d’una mesura

de tendència central. La seua finalitat és estudiar fins a quin punt, per a una

sèrie de valors, les mesures de centralització són representatives de tota la

informació de les dades. Mesurar la representativitat d’una mesura de posició

central equival a quantificar la separació de les dades respecte a aquesta

mesura.

Anomenem dispersió o variabilitat, la major o menor separació dels valors

d’una distribució respecte d’un altra que pretén ser la seua síntesi. Aleshores,

per exemple, serà més representativa la mitjana aritmètica d’una variable com

més agrupats estiguen els valors d’aquesta al voltant de la mitjana i al contrari,

serà menys representativa quan els valors estiguen més dispersos respecte a la

mitjana.

Vegem a continuació quatre mesures de dispersió absolutes.

Rang o recorregut

És la diferència entre el màxim i el mínim valor que presenta una distribució.

Aleshores, un valor elevat del recorregut indicaria que la diferència entre el

major i el menor valor de la variable és alta, fet que podria portar a pensar que

també ho és la dispersió.

Recorregut interquartílic

És la diferència entre el tercer quartil i el primer quartil d’una distribució.

Aquesta mesura ens ofereix l'amplitud de l’interval en el qual es troba el 50%

dels valors centrals de la distribució. Aleshores, un valor elevat indicaria que

el 50% dels valors centrals es troben en un interval ampli, cosa que podria

portar a pensar en una dispersió alta.

Variància

És la mitjana de la suma de les desviacions de les dades respecte a la mitjana

aritmètica al quadrat.

Com més concentrats estiguen els valors al voltant de la mitjana aritmètica,

més pròximes a zero estaran les desviacions i aleshores menor serà la

variància. Si, per contra, els valors estan molt dispersos respecte a la mitjana


aritmètica, els quadrats de les desviacions seran grans i, aleshores, la variància

també.

Nota: Hi ha una altra mesura de dispersió, similar a la variància, coneguda

com a quasi variància, la qual es calcula de la següent manera:

Desviació típica

És l’arrel quadrada positiva de la variància. La seua interpretació és similar a

la de la variància, amb la diferència que la desviació típica ve mesurada amb la

mateixa unitat que la variable.

Vegem a continuació tres mesures de dispersió relatives.

Coeficient d’obertura

És el quocient entre els valors extrems de la variable.

Representa el nombre de vegades que el valor màxim és major que el valor

mínim. Com més gran siga aquest valor més dispersió relativa tenen les dades.

Rang o recorregut relatiu

És el quocient entre el rang i la mitjana aritmètica.

Representa el nombre de vegades que el recorregut conté la mitjana aritmètica.

Com més gran siga aquest valor, més dispersió relativa tenen les dades.

Coeficient de variació de Pearson

És el quocient entre la desviació típica i la mitjana aritmètica.


Quan comparem dos distribucions, les seues dispersions es poden comparar

mitjançant la desviació típica si les mitjanes aritmètiques són iguals. Si no és

així, utilitzarem el coeficient de variació de Pearson.

El coeficient de variació de Pearson representa el nombre de vegades que la

desviació típica conté la mitjana aritmètica; aleshores, com més gran siga el

coeficient de variació de Pearson més vegades la desviació típica contindrà la

mitjana aritmètica, és a dir, menys representativitat tindrà la mitjana aritmètica

i més dispersió relativa tindran les dades.

Aquest coeficient també es pot expressar en percentatges:

1.1.6 Gràfic de caixa i bigots

Un gràfic o diagrama de caixa i bigots és una representació gràfica, basada en

els quartils, que ajuda a avaluar la forma de les distribucions. Aquest gràfic és

molt sensible per a detectar casos extrems, per tant, aquest gràfic indicarà quan

la distribució té valors extremadament grans o xicotets.

Una aproximació a la forma d’aquests gràfics és la següent:

○ ● ● x x ● ● ○

La caixa està formada entre el i el . Dins de la caixa es troben el 50% de

les dades de forma centralitzada.

Per a la construcció d’aquest gràfic necessitarem calcular una sèrie de valors

que descrivim a continuació:

Mediana (es troba sempre a l’interior de la caixa)

Primer quartil (marca la paret inferior de la caixa)

Tercer quartil (marca la paret superior de la caixa)

Recorregut interquartílic:

Factor d’escala:

Frontera interior inferior:

Frontera interior superior:

Frontera exterior inferior:


Frontera exterior superior:

x Valors adjacents:

- Valor adjacent inferior: valor de les dades més pròxim a (frontera

interior inferior), sent major o igual que aquest.

- Valor adjacent superior: valor de les dades més pròxim a (frontera

interior superior), sent menor o igual que aquest.

○ ● Valors atípics: són aquells valors que cauen fora dels rangs de la

distribució.

- Valors atípics menors (●): són els valors de les dades que estan entre

(frontera interior inferior) i (frontera exterior inferior) o entre

(frontera interior superior) i (frontera exterior superior).

- Valors atípics majors (○): són els valors de les dades que estan per

davall de (frontera exterior inferior) o per damunt de (frontera

exterior superior).

1.1.7 Mesures de concentració

Les mesures de concentració d’una distribució de freqüències tracten de posar

en relleu el major o menor grau d’igualtat en el repartiment del total dels

valors de la variable. Són, per tant, indicadors del grau d’equidistribució de la

variable.

Es denomina concentració la major o menor equitat en el repartiment de la

suma total de la variable considerada.

Per a mesurar el nivell de concentració en la distribució d’una variable

utilitzarem dos eines: una de gràfica (corba de Lorenz) i una altra d’analítica

(índex de Gini).

Índex de Gini

Per a calcular aquest índex, ens ajudarem d’una taula en la qual construirem

els valors que ens fan falta per a aplicar la fórmula de l'índex de Gini.

Columna amb els valors de la variable

Freqüència absoluta

Freqüència absoluta acumulada

Freqüència relativa acumulada

Producte que ens indicarà el total que correspon a cada interval

Columna que acumula els valors de la columna anterior

Columna anterior de forma percentual (o de tant per u)

Calcula la diferència entre les columnes i


Amb els resultats obtinguts en la taula, aplicarem la fórmula de l’índex de

Gini, que és la següent:

L’índex de Gini va de 0 a 1. Quan és 0 significa que hi ha igualtat de

repartiment i quan és 1 significa que està tot concentrat en un únic individu.

Aleshores, això significa que quan ens done un valor pròxim a 0 direm que la

concentració és baixa i si ens dóna un valor pròxim a 1 direm que la

concentració és alta.

Corba de Lorenz

Per a dibuixar la corba de Lorenz gastarem la distribució utilitzada per a la

determinació de l'índex de Gini .

Els passos a seguir per a representar aquesta corba són:

- Representem els eixos cartesians

- Fem un quadrat els costats del qual estan dividits en una escala de l’1

al 100, de manera que en el vèrtex inferior esquerre està l’origen de

coordenades

- En l’eix d’abscisses representem i en el d'ordenades

- Tracem una diagonal dins del quadrat

- Representem els punts ( ), els quals unirem mitjançant una línia

poligonal anomenada corba de Lorenz

La corba necessàriament haurà de situar-se per davall de la diagonal, ja que els

valors de la variable analitzada sempre han d’estar ordenats de menor a major.

Per la mateixa raó la corba haurà de ser sempre creixent.

La corba que indica l'existència de concentració mínima o equidistribució

( ) coincideix amb la diagonal, ja que en cadascun dels punts d'aquesta

diagonal es verifica que = .

Com més gran siga la concentració de la variable major serà la separació que

presenta la corba respecte de la diagonal.


1.2 Exercicis resolts

1. En un test realitzat a un grup d’alumnes universitaris s’han recollit les

següents puntuacions:

101 102 112 113 92 91 106 104 100 95

104 98 96 117 89 99 114 100 98 104

93 92 99 90 108 116 93 109 105 91

a. Construeix la taula de freqüències apropiada amb intervals solapats i

d’igual amplitud aplicant-hi la fórmula de Sturges.

b. A partir de la taula anterior, digues el percentatge d’alumnes que tenen

una puntuació entre 103 i 110.

c. A partir de la taula anterior, digues el percentatge d’alumnes que tenen

una puntuació inferior a 100.

d. A partir de la taula anterior, digues el percentatge d’alumnes que tenen

una puntuació superior a 112.

e. Fes amb les dades de la taula anterior un histograma i un polígon de

freqüències absolutes.

f. Fes amb les dades de la taula anterior un histograma i un polígon de

freqüències acumulades.

g. Construeix un gràfic de tija i fulles apropiat i construeix a partir d’ell

la taula de freqüències.

Solució

a.

- Nombre de dades:

- Unitat de precisió:

-

-

- Formula de Sturges

-

- Calculem el rang final perquè hem hagut d’arredonir l’amplitud


- Calculem :

- Calculem :

aleshores el primer interval és:

La resta d’intervals són:

- Fem la taula de freqüències:

b.

Mirant la taula que hem fet, podem observar que hi ha puntuacions

inferiors a , és a dir, el

Per a calcular quantes puntuacions són inferiors a interpolararem en

l’interval on es troba el valor , és a dir, en l’interval

26 x

23

108 110 113

Intervals Marca

classe


Aleshores, és el percentatge d’alumnes que tenen

una puntuació entre i .

c.

Per a calcular quantes puntuacions són inferiors a interpolarem en


18 x

10

98 100 103

Aleshores, és el percentatge d’alumnes que tenen menys de punts.

d.

Per a calcular quantes puntuacions són superiors a interpolarem en


26 x

23

108 112 113

El és el percentatge d’alumnes que hi ha per davall dels punts,

aleshores per a saber el percentatge d’alumnes que tenen una puntuació

superior als punts el que fem és restar aquest percentatge al


El percentatge d’alumnes amb una puntuació superior a és del

e.

f.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

[88,93[ [93,98[ [98,103[ [103,108[ [108,113[ [113,118[

Histograma i polígon de freqüències absolutes

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

[89,93[ [93,98[ [98,103[ [103,108[ [108,113[ [113,118[

Polígon de freqüències absolutes


g.

A partir d’aquest gràfic obtenim les següents classes:

Intervals

0

5

10

15

20

25

30

35

[89,93[ [93,98[ [98,103[ [103,108[ [108,113[ [113,118[

Histograma i polígon de freqüències acumulades

0

5

10

15

20

25

30

35

[89,93[ [93,98[ [98,103[ [103,108[ [108,113[ [113,118[

Polígon de freqüències acumulades

8 9 9 0 1 1 2 2 3 3 5 6 8 8 9 9

10 0 0 1 2 4 4 4 5 6 8 9 11 2 3 4 6 7


Com la unitat de precisió d’aquestes dades és 1, sumarem i restarem a

cadascun dels intervals 0,5 i la taula de freqüències quedarà així:

Intervals

2. En la següent taula apareixen el nombre d’intervencions per dia dels

bombers d’Alacant en el mes de març de 2013:

Nombre d’intervencions Nombre de dies

10 8 9 4

a. Completa la taula de freqüències donada.

b. Fes amb les dades de la taula anterior un histograma de freqüències

absolutes.

c. Quants dies han fet 7 intervencions o més?

d. Quin percentatge de dies han fet menys de 3 intervencions?

Solució

a.

b.

Com els intervals no tenen la mateixa amplitud l’alçada de cada rectangle serà

la densitat de freqüència de l’interval corresponent, és a dir, el quocient entre

la freqüència absoluta de l’interval i la seua amplitud.

Intervals Marca

classe

10

6 8

9

4


c.

Mirant la taula que hem fet, podem observar que hi ha dies que han fet

menys de 7 intervencions, aleshores 13 dies han fet 7

intervencions o més.

d.

Per a calcular quants dies han fet menys de 3 intervencions interpolarem en


10 x

0

0 3 5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

[0,5[ [5,7[ [7,10[ [10,12[

Histograma amb intervals de diferent amplitud

Intervals

10 5

8

9

4


Aleshores, és el percentatge de dies que fan menys de 3

intervencions.

3. En una empresa que es dedica a la fabricació de bolígrafs. Es fan paquets de

500 bolígrafs per a la seua distribució, però abans es passa un control de

qualitat consistent a comprovar si escriuen correctament una mostra de 20

bolígrafs. Si en la mostra que hem agafat trobem un bolígraf o cap que escriga

malament donem el paquet per bo; si en trobem 2 o 3 de defectuosos tornem a

revisar el paquet, i si n’hi trobem 4 o més de defectuosos rebutgem el paquet.

Hem revisat 15 paquets i ens donen els següent nombre de bolígrafs

defectuosos:

0 0 2 1 0 5 0 1 3 4 0 1 0 2 2

a) Construeix la taula de freqüències apropiada amb els resultats de la

revisió (bo, revisar i rebutjar)

b) Fes amb les dades de la taula de freqüències un diagrama de barres i

un diagrama de sectors.

Solució

a.

b.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Bo Revisar Rebutjar

Diagrama de barres

Resultats

Bo 9

Revisar 4

Rebutjar 2

15 1


Calculem els graus que els correspon a cada resultat:

4. El nombre d’habitants de 50 municipis d’una província espanyola es

distribueix de la manera següent:

a. Calcula el nombre mitjà d’habitants per municipi. Es representatiu?

b. Quin nombre d’habitants deixa per damunt seu el 50% de municipis?

c. Quin és nombre més comú d’habitants?

d. Quin és el percentatge de municipis comprès entre 3.000 i 9.000

habitants?

e. Quin és el nombre d’habitants que deixa per davall seu el 25% dels

municipis?

Diagrama de sectors

Bo

Revisar

Rebutjar

Nre. d’habitants Nre. de

municipis


Solució

a.

Calculem la mitjana aritmètica:

El nombre mitjà d’habitants per municipi és de 3.230

Per a veure si la mitjana és representativa calculem el coeficient de variació de

Pearson.

Primer calculem la desviació típica:

Com que el valor del coeficient de variació de Pearson està molt allunyat de 0,

diem que el nombre mitjà d’habitants per municipi que ens ha eixit no és

representatiu.

b.

Per a contestar aquesta pregunta el que fem és calcular la mediana.

Posició aleshores la classe mediana és

Com l’interval té la freqüència absoluta acumulada igual a , aleshores la

mediana és el límit superior d’aquest interval, és a dir,

Nombre d’habitants Marca

classe

Nombre de

municipis

500

1.500

3.000

6.000

10.000


classe

Nombre de

municipis

500 10 1.500 25 3.000 37 6.000 45 10.000 50


c.

Per a contestar aquesta pregunta el que fem és calcular la moda.

Com els intervals no tenen tots la mateixa amplitud el que fem és calcular la

densitat.

La classe modal és

El nombre més comú d’habitants és 1.375 persones.

d.

Per a calcular quants municipis tenen menys de habitants interpolarem

en l’interval on es troba el valor , és a dir, en l’interval

37 x

25

2.000 3.000 4.000


classe

Nombre de

municipis

500 0.01 1.500 0.015 3.000 0.006 6.000 0.002 10.000 0.00125


classe

Nombre de

municipis

500 10 1.500 25 3.000 37 6.000 45 10.000 50


El dels municipis té menys de habitants

Per a calcular quants municipis tenen menys de habitants interpolarem

en l’interval on es troba el valor , és a dir, en l’interval

50 x

45

8.000 9.000 12.000

El 9 dels municipis té menys de habitants

Aleshores, és el percentatge de municipis que tenen

entre i habitants.

e. Per a respondre a aquesta pregunta el que fem és calcular el quartil 1.

Posició , aleshores la classe on està el és

El nombre d’habitants que deixa per davall seu el 25% dels municipis és de

habitants.


classe

Nombre de

municipis

500 10 1.500 25 3.000 37 6.000 45 10.000 50


5. Les edats d’un grup de 40 alumnes de 1r de GAP són les següents:

18 20 19 19 25 19 20 18 35 40

21 23 19 18 22 26 19 20 18 18

58 23 35 36 28 25 18 19 20 21

40 22 18 42 45 19 19 20 19 22

a. Calcula els següents paràmetres: la mitjana aritmètica, la moda, el

rang, la variància, la desviació típica, el coeficient d’obertura, el rang

relatiu i el coeficient de variació de Pearson.

b. Fes el gràfic de caixa i bigots.

c. Construeix un gràfic de tija i fulles apropiat.

d. Construeix la taula de freqüències apropiada amb intervals solapats i

d’igual amplitud aplicant-hi la fórmula de Sturges.

A partir de la taula anterior calcula:

e. El percentatge d’alumnes que tenen una edat entre 23 i 27.

f. El percentatge d’alumnes que tenen una edat inferior a 24.

g. El percentatge d’alumnes que tenen una edat superior a 50.

h. A partir de quina edat està el 25% d’alumnes de major edat.

i. Fes un histograma i un polígon de freqüències absolutes.

j. Fes un histograma i un polígon de freqüències acumulades.

k. L’edat mitjana dels alumnes i digues si és representativa.

l. L’edat que divideix els alumnes en dos grups amb el mateix nombre

d’alumnes.

m. L’edat més habitual entre aquest grup d’alumnes.

Solució

a.

Primer per a facilitar els càlculs ordenarem les dades de menor a major:

18 18 18 18 18 18 18 19 19 19

19 19 19 19 19 19 20 20 20 20

20 21 21 22 22 22 23 23 25 25

26 28 35 35 36 40 40 42 45 58


Calculem ara els paràmetres demanats:

b.

Calculem primer els valors que ens fan falta:

Valor adjacent inferior: 18

Valor adjacent superior: 35

Valors atípics: 36, 40, 40, 42, 45 i 58


A continuació fem el gràfic:

(2)

x x ●● ● ○

0 10 20 30 40 50 60 70

c.

Podem fer aquest:

1 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 2 0 0 0 0 0 1 1 2 2 2 3 3 5 5 6 8 3 5 5 6 4 0 0 2 5 5 8

o aquest altre:

1° 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 2* 0 0 0 0 0 1 1 2 2 2 3 3 ° 5 5 6 8 3* ° 5 5 6 4* 0 0 2 ° 5 5* ° 5

d.

- Nombre de dades:

- Unitat de precisió:

-

-

- Formula de Sturges

-

- Calculem el rang final perquè hem hagut d’arredonir l’amplitud


- Calculem :

- Calculem :

Aleshores el primer interval és:

La resta d’intervals són:

- Fem la taula de freqüències:

e.

Per a calcular quants alumnes tenen menys de anys interpolarem en


28 x

0

17 23 24

El dels alumnes té menys de anys.

Intervals Marca

classe

28 28


Per a calcular quants alumnes tenen menys de anys interpolarem en


32 x

28

24 27 31

El dels alumnes té menys de anys.

Aleshores, és el percentatge d’alumnes que tenen

entre i anys.

f.

Mirant la taula que hem fet, podem observar que el 70% dels alumnes té

menys de 24 anys.

g.

Per a calcular quants alumnes tenen més de 50 anys interpolarem en l’interval

on es troba el valor 50, és a dir, en l’interval

39 x

38

45 50 52


El dels alumnes té menys de 50 anys, aleshores és el percentatge d’alumnes majors de 50 anys.

h.

Per a contestar aquesta pregunta el que fem és calcular el quartil 3.


A partir de 27,5 anys es troben el 25% d’alumnes de més edat.

i.

0

5

10

15

20

25

30

[17,24[ [24,31[ [31,38[ [38,45[ [45,52[ [52,59[

Histograma i polígon de freqüències absolutes

Intervals Marca

classe

28 28


j.

0

5

10

15

20

25

30

[17,24[ [24,31[ [31,38[ [38,45[ [45,52[ [52,59[

Polígon de freqüències absolutes

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

[17,24[ [24,31[ [31,38[ [38,45[ [45,52[ [52,59[


Intervals Marca

classe

28 28


k.


L’edat mitjana dels alumnes és de 25,4 anys


Pearson.


Després calculem el coeficient de variació de Pearson.

Com el valor del coeficient de variació de Pearson està relativament prop de 0,

diem que l’edat mitjana dels alumnes que ens ha eixit és mitjanament

representativa.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

[17,24[ [24,31[ [31,38[ [38,45[ [45,52[ [52,59[



l.



L’edat que divideix els alumnes en dos grups amb el mateix nombre

d’alumnes és 22 anys.

m.

Per a contestar aquesta pregunta el que fem és calcular la moda.

Com que tots els intervals tenen la mateixa amplitud, farem el següent:

La classe modal és

L’edat més habitual entre aquest grup d’alumnes és 24 anys.

Intervals Marca

classe

28 28


6. En dos pobles de la província de Castelló la superfície de les parcel·les que

es dedica al cultiu de la taronja i el nombre de propietaris d’aquestes ve

distribuïda segons les taules següents:

Poble A Poble B

a. Compara la concentració de les parcel·les dels dos pobles i indica en

quin poble la terra està més repartida.

b. Calcula la mitjana de fanecades que té cada propietari en aquests

pobles. En quin dels dos pobles hi ha menys variabilitat?

c. Representa la corba de Lorenz de les dades de les dos taules.

Solució

a.

Anem a calcular l’índex de Gini dels dos pobles.

Poble A

Fanecades Nombre de propietaris

14 24 32 18 12 6 4

Fanecades Nombre de propietaris

20 26 30 14 22 5 3

Fanecades

5 14 14 0,1273 70 70 0,0136 0,1137 15 24 38 0,3455 360 430 0,0835 0,262 25 32 70 0,6363 800 1.230 0,2388 0,3975 40 18 88 0,8 720 1.950 0,3786 0,4214 75 12 100 0,909 900 2.850 0,5534 0,3556 150 6 106 0,9336 900 3.750 0,7282 0,2054 350 4 110 1 1.400 5.150 1 -

110 5.150


Poble B

Comparant els índexs de Gini dels dos pobles podem dir que la terra està més

repartida en el poble B, perquè

b.

Calculem la mitjana aritmètica del poble A:

Poble A

La mitjana de fanecades que té cada propietari és de

Fanecades 5 20 20 0,1667 100 100 0,0176 0,1491 15 26 46 0,3833 390 490 0,0863 0,2971 30 30 76 0,6333 900 1.390 0,2447 0,3885 55 14 90 0,75 770 2.160 0,3803 0,3697 85 22 112 0,9333 1.870 4.030 0,7095 0,2238 150 5 117 0,975 750 4.780 0,8415 0,1335 300 3 120 1 900 5.680 1 -

120 5.680

Fanecades 5 14 15 24 25 32 40 18 75 12 150 6 350 4

110


Calculem la mitjana aritmètica del poble B:

Poble B

La mitjana de fanecades que té cada propietari és de

Per a veure en quin dels dos pobles hi ha menys variabilitat en el nombre de

fanecades per propietari calculem el coeficient de variació de Pearson.

Primer calculem la desviació típica del poble A:

Ara calculem la desviació típica del poble B:

Com el valor del coeficient de variació de Pearson és menor en el poble B,

direm que hi ha menys variabilitat en aquest poble, encara que com el

coeficient de variació de Pearson és tan gran en els dos pobles, les mitjanes no

són representatives.

Fanecades 5 20 15 26 30 30 55 14 85 22 150 5 300 3

120


c.

Calculem primer la corba de Lorenz del poble A.

Poble A

Calculem ara la corba de Lorenz del poble B.

Poble B

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5

pi

Fanecades

5 14 14 0,1273 70 70 0,0136 0,1137 15 24 38 0,3455 360 430 0,0835 0,262 25 32 70 0,6363 800 1.230 0,2388 0,3975 40 18 88 0,8 720 1.950 0,3786 0,4214 75 12 100 0,909 900 2.850 0,5534 0,3556 150 6 106 0,9336 900 3.750 0,7282 0,2054 350 4 110 1 1.400 5.150 1 -

110 5.150

Fanecades 5 20 20 0,1667 100 100 0,0176 0,1491 15 26 46 0,3833 390 490 0,0863 0,2971 30 30 76 0,6333 900 1.390 0,2447 0,3885 55 14 90 0,75 770 2.160 0,3803 0,3697 85 22 112 0,9333 1.870 4.030 0,7095 0,2238 150 5 117 0,975 750 4.780 0,8415 0,1335 300 3 120 1 900 5.680 1 -

120 5.680


7. La distribució d’habitants (en milions) per comunitat autònoma en Espanya

l’any 2012 ve donada segons la taula següent:

Nombre d’habitants Nombre de comunitats

5 5 5 1 3

a. Calcula la mitjana d’habitants per comunitat. És representativa aquesta

mitjana?

b. Quin és el nombre d’habitants per comunitat autònoma més habitual?

c. Entre quins valors, de forma centralitzada, es troba el 50% de les

comunitats autònomes?

d. Quin nombre d’habitants divideix en dos grups iguals les comunitats

autònomes?

e. Quin percentatge de comunitats autònomes té més de 4 milions

d’habitants?

f. Estudia la concentració d’habitants a Espanya per comunitats

autònomes.

g. Si augmentara a Espanya la població en 50.000 habitants en totes les

comunitats autònomes, com es veuria afectada la seua mitjana?

Continuaria tenint la mateixa representativitat?

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5

pi


h. Si augmentara en Espanya la població un 2% en totes les comunitats

autònomes, com es veuria afectada la seua mitjana? Continuaria tenint

la mateixa representativitat?

Solució

a.


Nombre d’habitants 0,5 5 1,5 5 2,5 5 4,5 1 7,5 3

19

La mitjana d’habitants per comunitat és de milions d’habitants.


Pearson.


Com que el valor del coeficient de variació de Pearson està molt allunyat de 0,

diem que el nombre mitjà d’habitants per comunitat que ens ha eixit no és

representatiu.

b.

Per a respondre a aquesta pregunta el que fem és calcular la moda.

Com que els intervals no tenen tots la mateixa amplitud el que fem és calcular

la densitat.

Nombre d’habitants 0,5 5 5 1,5 5 5 2,5 5 5 4,5 1 0,33 7,5 3 1

19


Com que hi ha tres intervals amb la mateixa densitat tindrem tres modes, on

les seues classes modals són: i

Calculem ara les tres modes:

Els nombres més comuns d’habitants per comunitat autònoma són 1, 1,5 i s ’h b t ts.

c.

Per a calcular entre quins valors, de forma centralitzada, es troba el 50% de les

comunitats autònomes, el que fem és calcular el primer i tercer quartil.



El 50% de les comunitats autònomes, de forma centralitzada, es troba entre

0,95 i 2,85 milions d’habitants.

Nombre d’habitants

0,5 5 5 1,5 5 10 2,5 5 15 4,5 1 16 7,5 3 19

19


d.



El nombre d’habitants que divideix en dos grups iguals les comunitats

autònomes és 17,9 milions d’habitants.

e.

Per a calcular quantes comunitats autònomes tenen més de 4 milions

d’habitants interpolarem en l’interval on es troba el valor 4, és a dir, en

l’interval

16 x

15

3 4 6

El de les comunitats autònomes tenen menys de 4 milions d’habitants,

aleshores és el percentatge de comunitats

autònomes que tenen més de 4 milions d’habitants.

Nombre d’habitants

0,5 5 5 1,5 5 10 2,5 5 15 4,5 1 16 7,5 3 19

19


f.

Per a estudiar la concentració d’habitants en Espanya per comunitats

autònomes calcularem l’índex de Gini.

Com l’índex de Gini no dóna un valor pròxim a 1, ni un valor pròxim a 0, no

podem dir ni que està concentrat ni que està repartit el nombre d’habitants per

comunitat autònoma a Espanya.

g.

Si és la variable nombre d’habitants, si augmentem en totes les comunitats

50.000 habitants (0,05 milions d’habitants), definim la variable com:

Aplicant-hi les propietats de la mitjana aritmètica tenim que:

Aplicant-hi les propietats de la desviació típica tenim que:

Aleshores:

h.

Si és la variable nombre d’habitants, si augmentem en totes les comunitats

un 2% el nombre d’habitants, definim la variable Z com:

Nombre

d’habitants

0,5 5 5 0,2632 2,5 2,5 0,0505 0,2127 1,5 5 10 0,5263 7,5 10 0,202 0,3243 2,5 5 15 0,7895 12,5 22,5 0,4545 0,335 4,5 1 16 0,8421 4,5 27 0,5454 0,2966 7,5 3 19 1 22,5 49,5 1 -

19 49,5


Aplicant-hi les propietats de la mitjana aritmètica tenim que:

Aplicant-hi les propietats de la desviació típica tenim que:

Aleshores:

1.3 Exercicis proposats

1. En un estudi en un hospital d’Alacant sobre les mesures, en centímetres,

del perímetre cranial dels xiquets en el moment de nàixer, es van recollir en un

mes les dades següents:

35,2 34,3 34,2 34,5 35,8 35,5 33,1 34,6

34,2 36,1 34,2 35,6 33,7 36 34,7 35,6

34,3 34,2 33,4 35,9 33,8 33,6 35,2 34,6

a. Construeix un diagrama de tija i fulles.

b. A partir del diagrama de tija i fulles construeix la taula de freqüències.

c. Fes amb les dades de la taula anterior un histograma i un polígon de


d. Fes amb les dades de la taula anterior un histograma i un polígon de


e. Quina és la mesura del perímetre cranial superat només pel 20% dels

xiquets?

f. Ara, construeix la taula de freqüències apropiada amb intervals

solapats i d’igual amplitud aplicant-hi la fórmula de Sturges

d’aquestes dades i fes amb aquesta taula els apartats c i d d’aquest

exercici de nou.

Solució

e. El perímetre cranial és de 35,89 centímetres

f. El perímetre cranial és de 35,704 centímetres


2. L’edat de les persones que viuen en un bloc de pisos d’una ciutat són les

següents:

a. Calcula l’edat mitjana de les persones que viuen en aquest bloc de

pisos i digues si és representativa.

b. Quina és l’edat més comuna entre els habitants d’aquest edifici?

c. A partir de quina edat un veí d’aquest edifici es pot considerar que està

entre els 26 veïns més vells?

d. Fes amb les dades de la taula anterior un histograma i un polígon de


e. Fes amb les dades de la taula anterior un histograma i un polígon de


Solució

a. L’edat mitjana és de 29 anys i la representativitat 0,3569

b. L’edat més comuna és 30,9091 anys

c. A partir de 37 anys d’edat

3. La taula següent expressa el salari anual dels treballadors d’una empresa en

milers d’euros:

Salari

(en milers d’euros)

Nombre de

treballadors

5 7 4 2

a. Calcula el valor mitjà dels salaris i digues si aquest valor és

representatiu.

b. Quin salari deixa per damunt seu el 50% dels salaris?

c. A partir de quin salari es troben els 5 treballadors que més cobren?

Edat Nombre de

persones

90


d. Quin percentatge de treballadors guanya més de 28.000 euros?

Solució

a. El salari mitjà és de 21.786 euros i la representativitat 0,2671

b. El salari que deixa per damunt seu el 50% dels salaris és de 21.786

euros

c. A partir de 26.250 euros

d. Un percentatge del 17,14%

4. A un grup de 20 estudiants de la Universitat d’Alacant se’ls passa un test

sobre el nivell d’anglès que tenen. El test puntua de 0 a 36 punts i aquests són

els resultats que es van obtindre:

23 23 32 15 30 31 24 24 20 30

20 32 25 22 33 30 10 29 31 32

Fes un diagrama de caixa i bigots amb aquestes dades.

Solució

Valor adjacent inferior: 10

Valor adjacent superior: 33

Valors atípics: no hi ha cap.

5. Dos empreses de sectors productius diferents tenen 100 treballadors

cadascuna. En la taula següent veiem les distribucions dels salaris mensuals

dels treballadors en euros:

Empresa A Empresa B

Salari Nombre de

treballadors

Salari Nombre de

treballadors

20 10 10 30

10 35 10 24 50 1


a. Digues quina de les dos empreses té una major concentració en els

salaris.

b. Representa la corba de Lorenz de les dos empreses.

Solució

Empresa A: 0,778

Empresa B: 0,125

6. El nivell de triglicèrids, mesurat en mg/dL, en 20 pacients d’un ambulatori

és el següent:

88,4 93,1 88,6 139,5 142,6 89,8 136,2 114,4

93,1 142,4 93 92,2 86,4 151,8 136 91,3

140 154,3 138,2 78,5

a. Construeix un diagrama de tija i fulles.

b. A partir del diagrama de tija i fulles construeix la taula de freqüències.

c. Construeix la taula de freqüències apropiada amb intervals solapats i

d’igual amplitud aplicant-hi la fórmula de Sturges d’aquestes dades.

7. En dos barris diferents d’una ciutat es prenen les mesures, en metres

quadrats, de 72 vivendes i recollim les dades següents:

Barri A Barri B

m2

Nombre de vivendes m2 Nombre de vivendes

10 5 15 20 20 20 15 27 12

a. En quin dels dos barris la mitjana de la mesura de les vivendes és més

representativa? Per què?

b. Quina mesura de les vivendes, en m2, marca el 40% de les vivendes

més grans del barri A?

c. Quina és la mesura de la vivenda dels barri A que deixa per damunt

seu el 50% del total de les vivendes?

d. Quin percentatge de vivendes del barri A tenen més de 140 m2?


Solució

a. Barri A: la mitjana de les vivendes és de 131,1 m2, i la seua

representativitat és 0,2.

Barri B: la mitjana de les vivendes és de 94,6 m2, i la seua

representativitat és 0,1.

b. La mesura de la vivenda és de 138,2 m2.

c. La mesura de la vivenda és de 131 m2.

d. El percentatge és del 62,5%

59

2 Exercicis de probabilitat

Abans de començar la resolució d’exercicis recordarem les definicions

bàsiques i les fórmules que utilitzarem per a resoldre els exercicis.

2.1 Conceptes i fórmules bàsiques

2.1.1 Definicions

- Un experiment aleatori serà qualsevol experiment realitzat sobre un

fenomen estocàstic. Tots els experiments aleatoris tenen les característiques

següents:

Si els repetim de manera indefinida i en igualtat de condicions, poden

presentar resultats diferents en cada experiment en particular.

No puc fer la predicció del resultat de l’experiment abans de fer-lo.

Es coneixen sense ambigüitats els possibles resultats de l’experiment.

- Anomenem espai mostral el conjunt de tots els possibles resultats d’un

experiment aleatori. El denotarem per .

- Anomenem succés qualsevol subconjunt de l’espai mostral, és a dir,

qualsevol esdeveniment que puga ocórrer en fer l’experiment.

- Definim parts de l’espai mostral ( ) com el conjunt format pels possibles subconjunts que es poden formar amb els elements de l’espai

mostral.

- Succés elemental: és el format per un únic element de l’espai mostral.

- Succés compost: és el format per més d’un element de l’espai mostral.

- Succés impossible ( ): és el succés que no té cap element de l’espai mostral.

- Succés segur: és el format per tots els elements de l’espai mostral, és a dir, el

succés segur és .

- Direm que un succés ocorre quan el resultat de l’experiment és un dels

elements que formen , és a dir, conté el resultat.


- Dos successos i són diferents ( ) si es possible trobar un resultat

de l’experiment per al qual un dels successos ocorre i l’altre no.

- Dos successos i són iguals ( ) si sempre que ocorre un d’ells,

l’altre també ocorre.

- Succés contrari o complementari ( ): és el succés format per tots els

elements de l’espai mostral que no estan en .

Es compleixen les relacions següents:

El succés contrari del succés cert és el succés impossible

El succés contrari del succés impossible és el succés cert

El contrari del contrari d’un succés és

- Direm que dos successos i són incompatibles, mútuament excloents o

disjunts si no poden ocórrer els dos alhora, és a dir, no tenen cap element en

comú.

Si dos successos són complementaris són també incompatibles, però si dos

successos són incompatibles no tenen per què ser complementaris.

- Direm que un succés està inclòs en un succés B ( ) si sempre que

ocorre també ocorre .

Donats els successos , i d’un espai mostral , es compleixen les

relacions següents:

, per a qualsevol succés

Si i , aleshores

Si aleshores

Si i aleshores

- Unió ( ): és el succés format pels elements d’ o de o dels dos.

- Intersecció ( ): és el succés format pels elements que pertanyen a i

a la vegada.

- Diferència ( ): és el succés format pels elements d’ que no estan en .

Exercicis de probabilitat 61

Propietats:

Donats tres successos , i d’un espai mostral es compleix que:

1)

2)

3)

4)

5) Si , Si ,

6) Commutativa:

7) Associativa:

8) Distributiva:

9) Lleis de De Morgan:

- Sistema complet de successos

Diem que els successos formen un sistema complet de

successos per un determinat experiment aleatori, si es compleix que:

a)

b) són incompatibles dos a dos, és a dir,

2.1.2 Concepte de probabilitat

S’anomena probabilitat una funció que associa a cada succés , de l’espai de

successos, un nombre real que anomenem probabilitat de i denotem per

, que compleix els axiomes següents:

1) La probabilitat d’un succés qualsevol de l’espai de successos és

positiva o nul·la, és a dir,

2) La probabilitat del succés segur és igual a la unitat, és a dir,

3) La probabilitat de la unió d’infinits successos incompatibles és igual a

la suma de les probabilitats de cadascun d’ells, és a dir,


Vegem algunes de les conseqüències més importants d’aquesta definició:

1. Si és una col·lecció finita de successos i ,

, aleshores:

Nota: en el cas de dos successos i incompatibles, serà:

2. Si i són dos successos compatibles es compleix que la unió de i

és igual a la suma de les probabilitats de cadascun d’ells, menys la

probabilitat de la intersecció de i , és a dir,

3. La probabilitat del succés contrari, , és igual a la unitat menys la

probabilitat del succés , és a dir,

Nota: com i són incompatibles:

4. La probabilitat d’un succés és menor o igual que la unitat, és a dir,

5. La probabilitat del succés impossible és igual a zero, és a dir,

6. Si és un succés que està contingut en un succés , aleshores la

probabilitat de serà menor o igual que la probabilitat de , és a dir,

7. Com

per tant:

2.1.3 Probabilitat condicionada

Si i són dos successos associats a un mateix experiment aleatori, es

defineix la probabilitat condicionada del succés al succés (ho denotarem


per ) a la probabilitat que ocórrega el succés sabent que ha ocorregut

el succés i ho calcularem de la manera següent:

Per a qualsevol succés tal que , és una probabilitat que

compleix els axiomes de Kolmogorov, aleshores podem aplicar a la

probabilitat condicionada totes les propietats derivades d’aquesta definició

axiomàtica.

A partir de la fórmula anterior deduïm que:

o també,

2.1.4 Dependència i independència de successos

Dos successos i són independents quan l’ocurrència de qualsevol d’ells no

influeix en l’ocurrència de l’altre, és a dir, dos successos són independents

quan es compleix qualsevol d’aquestes relacions:

A partir de la definició de probabilitat condicionada i de la definició de

successos independents podem dir que es compleix que:

Dos successos i són independents

2.1.5 Probabilitat composta

Siguen n successos qualssevol d’un mateix experiment aleatori i

que compleixen que la probabilitat de la realització simultània dels n successos

no és nul·la ( ), aleshores es compleix que:

si són dependents.

Nota: Si són independents aleshores serà:


2.1.6 Probabilitat total

Si els successos formen un sistema complet de successos per

un determinat experiment aleatori ( i ) i

, aleshores qualsevol que siga el succés tenim que:

2.1.7 Teorema de Bayes

Si els successos formen un sistema complet de successos per

un determinat experiment aleatori ( i ) i

, aleshores qualsevol que siga el succés tenim que:

2.1.8 Diagrama en arbre

Un diagrama d’arbre és una representació gràfica dels possibles resultats d’un

experiment aleatori, el qual consta d’una sèrie de passos, on cadascun dels

passos té un nombre finit de resultats possibles.

Per a la construcció d’un diagrama en arbre es partirà posant una branca per a

cadascuna de les possibilitats, acompanyada de la seua probabilitat. Cadascuna

d’aquestes branques es coneix com branca de primera generació. En el final de

cada branca de primera generació es constitueix, al seu torn, un nuc del qual

parteixen noves branques conegudes com branques de segona generació,

segons les possibilitats del següent pas, excepte si el nuc representa un

possible final de l’experiment (nuc final). Cal tenir en compte que la suma de

probabilitats de les branques de cada nuc ha de donar 1.

Hi ha un senzill principi dels diagrames d’arbre que fa que aquests siguen molt

més útils per als càlculs ràpids de probabilitat: multipliquem les probabilitats si

es tracta de branques adjacents (contigües) o bé les anem sumant si es tracta de

branques separades que emergeixen d’un mateix punt.


2.2 Distribucions de probabilitat discretes i continues. Definicions.

- Anomenem variable aleatòria tota funció que associa a cada element de

l'espai mostral, , un nombre real.

- Anomenem rang de la variable aleatòria el conjunt de valors que pot prendre

la variable.

- Una variable aleatòria discreta és aquella que només pot prendre valors

enters.

- Una variable aleatòria contínua és aquella que pot prendre tots els valors

possibles dins d’un cert interval de la recta real.

- S’anomena funció de probabilitat d’una variable aleatòria discreta la

funció que associa a cada valor de la variable la seua probabilitat .

Propietats:

1.

2.

- Anomenem funció de distribució de la variable aleatòria discreta , que

escriurem , la funció que associa a cada valor de la variable aleatòria la

probabilitat acumulada fins a aquell valor:

Propietats:

1.

2.

3. és monòtona i no decreixent, és a dir, si

4.

- L’esperança matemàtica o mitjana d’una variable aleatòria discreta és el

valor mitjà teòric, on la probabilitat de cada valor del rang pot ser interpretada

com la freqüència relativa del valor. Aleshores, l’esperança es defineix com la

suma dels productes entre els valors de la variable i les seues respectives

probabilitats.

Denotem l’esperança matemàtica pels símbols i .


Propietats:

1. L’esperança de la suma és igual a la suma de les esperances.

2. L’esperança d’una constant és igual a aquesta mateixa constant.

3. L’esperança d’una constant per una variable és igual a aquesta

constant per l'esperança d’aquesta variable.

- La variància d’una variable aleatòria discreta , o , es defineix

com l’esperança del quadrat de la variable menys la seua esperança, és a dir:

Desenvolupant aquest quadrat, tenim:

Igual que fèiem en l’estadística descriptiva, podem definir la desviació típica

d’una variable aleatòria discreta com l’arrel quadrada positiva de la

variància:

Propietats:

1. La variància d’una constant és igual a zero.

2. La variància d’una variable més una constant és igual a la variància

d’aquesta variable.

3. La variància d’una constant per una variable és igual a aquesta

constant al quadrat per la variància d’aquesta variable.


- La funció de densitat d’una variable aleatòria contínua es defineix com

una funció integrable, que verifica les dues propietats següents:

1.

2.

i que a més verifica que:

donat , tenim que

, és a dir, que la

probabilitat d’un interval és l’àrea que existeix entre la funció i l’eix

d’abscisses.

- Podem calcular també, de forma anàloga, la funció de distribució,

l’esperança i la variància d’una variable aleatòria contínua, però aquests

càlculs excedeixen el contingut d’aquesta assignatura.

2.3 Distribució binomial

Suposem un experiment aleatori que té les característiques següents:

1. L’experiment consta de proves idèntiques.

2. Cada prova de l’experiment solament té dos possibles resultats: el

succés E (èxit) i el succés contrari F (fracàs).

3. La probabilitat de tenir èxit en una prova és igual a , que és constant

de prova en prova. La probabilitat de fracàs és igual a .

4. El resultat que obtenim en cada prova és independent dels resultats de

les proves fetes anteriorment.

Definim la variable aleatòria com el nombre d’èxits observats en les

proves. Aleshores, direm que segueix una distribució binomial de

paràmetres (nombre de proves que té l’experiment) i (probabilitat d’èxit).

Ho representarem de la manera següent:

La variable binomial és una variable aleatòria discreta, només pot prendre

valors enters (0, 1, 2, 3 ...).


2.3.1 Funció de probabilitat, funció de distribució, esperança i variància d’una distribució binomial

- La funció de probabilitat de la distribució binomial és:

on és el nombre de proves, és el nombre d'èxits, és la probabilitat d'èxit,

és la probabilitat de fracàs, i el nombre combinatori es calcula així:

Nota: Càlcul del nombre combinatori.

on

- La funció de distribució de la distribució binomial és:

- L’esperança de la distribució binomial és:

- La variància de la distribució binomial és:

- La desviació típica de la distribució binomial és:


2.3.2 Taula de la distribució binomial

Per a certs valors, la distribució binomial es troba tabulada, per la qual cosa,

podem calcular de forma ràpida les probabilitats d’aquests.

Per a poder utilitzar la taula hem de saber quant val (nombre de vegades que

es fa l’experiment), (probabilitat d’èxit) i (nombre d’èxits).

En la taula següent apareixen el valors de les probabilitats de tipus .

0,10 0,1,5 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

1 0 ,9000 ,8500 ,8000 ,7500 ,7000 ,6500 ,6000 ,5500 ,5000

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 0 ,8100 ,7225 ,6400 ,5625 ,4900 ,4225 ,3600 ,3025 ,2500

1 ,9900 ,9775 ,9600 ,9375 ,9100 ,8775 ,8400 ,7975 ,7500

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 0 ,7290 ,6141 ,5120 ,4219 ,3430 ,2746 ,2160 ,1664 ,1250

1 ,9720 ,9393 ,8960 ,8438 ,7840 ,7183 ,6480 ,5747 ,5000

2 ,9990 ,9966 ,9920 ,9844 ,9730 .9571 ,9360 ,9089 ,8750

3 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 0 ,6561 ,5220 ,4096 ,3164 ,2401 ,1785 ,1296 ,0915 ,0625

1 ,9477 ,8905 ,8192 ,7383 ,6517 ,5630 ,4752 ,3910 ,3125

2 ,9963 ,9880 ,9728 ,9492 ,9163 ,8735 ,8208 ,7585 ,6875

3 ,9999 ,9995 ,9984 ,9961 ,9919 ,9850 ,9744 ,9590 ,9375

4 1 1 1 1 1 1 1 1 1

5 0 ,5905 ,4437 ,3277 ,2373 ,1681 ,1160 ,0778 ,0503 ,0313

1 ,9185 ,8352 ,7373 ,6328 ,5282 ,4284 ,3370 ,2562 ,1875

2 ,9914 ,9734 ,9421 ,8965 ,8369 ,7648 ,6826 ,5931 ,5000

3 ,9995 ,9978 ,9933 ,9844 ,9692 ,9460 ,9130 ,8688 ,8125

4 1 ,9999 ,9997 ,9990 ,9976 ,9947 ,9898 ,9815 ,9688

5 1 1 1 1 1 1 1 1 1

6 0 ,5314 ,3771 ,2621 ,1780 ,1176 ,0754 ,0467 ,0277 ,0156

1 ,8857 ,7765 ,6554 ,5339 ,4202 ,3191 ,2333 ,1636 ,1094

2 ,9842 ,9527 ,9011 ,8306 ,7443 ,6471 ,5443 ,4415 ,3428

3 ,9987 ,9941 ,9830 ,9624 ,9295 ,8826 .8208 ,7447 ,6562

4 ,9999 ,9996 ,9984 ,9954 ,9891 ,9777 ,9590 ,9308 ,8906

5 1 1 ,9999 ,9998 ,9993 ,9982 ,9959 ,9917 ,9844

6 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7 0 ,4783 ,3206 ,2097 ,1335 ,0824 ,0490 ,0280 ,0152 ,0078

1 ,8503 ,7166 ,5767 ,4449 ,3294 ,2338 ,1586 ,1024 ,0625

2 ,9743 ,9262 ,8520 ,7564 ,6471 ,5323 ,4199 ,3164 ,2266

3 ,9973 ,9879 ,9667 ,9294 ,8740 ,8002 ,7102 ,6083 ,5000

4 ,9998 ,9988 ,9953 ,9871 ,9712 ,9444 ,9037 ,8471 ,7734

5 1 ,9999 ,9996 ,9987 ,9962 ,9910 ,9812 ,9643 ,9375

6 1 1 1 ,9999 ,9998 ,9994 ,9984 ,9963 ,9922

7 1 1 1 1 1 1 1 1 1

8 0 ,4305 ,2725 ,1678 ,1001 ,0577 ,0319 ,0168 ,0084 ,0039

1 ,8131 ,6572 ,5033 ,3671 ,2553 ,1691 ,1064 ,0632 ,0352

2 ,9619 ,8948 ,7969 ,6785 ,5518 ,4278 ,3154 ,2201 ,1445

3 ,9950 ,9786 ,9437 ,8862 ,8059 ,7064 ,5941 ,4770 ,3633

4 ,9996 ,9971 ,9896 ,9727 ,9420 ,8939 ,8263 ,7396 ,6367

5 1 ,9998 ,9988 ,9958 ,9887 ,9747 ,9502 ,9115 ,8555

6 1 1 ,9999 ,9996 ,9987 ,9964 ,9915 ,9819 ,9648

7 1 1 1 1 ,9999 ,9998 ,9993 ,9983 .9961

8 1 1 1 1 1 1 1 1 1


0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

9 0 ,3874 ,2361 ,1342 ,0751 ,0404 ,0207 ,0101 ,0046 ,0020

1 ,7748 ,5995 ,4362 ,3003 ,1960 ,1211 ,0705 ,0385 ,0195

2 ,9470 ,8591 ,7382 ,6007 ,4628 ,3373 ,2318 ,1495 ,0898

3 ,9917 ,9661 ,9144 ,8343 ,7297 ,6089 ,4826 ,3614 ,2539

4 ,9991 ,9944 ,9804 ,9511 ,9012 ,8283 ,7334 ,6214 ,5000

5 ,9999 ,9994 ,9969 ,9900 ,9747 ,9464 ,9006 ,8342 ,7461

6 1 1 ,9997 ,9987 ,9957 ,9888 ,9750 ,9502 ,9102

8 1 1 1 ,9999 ,9996 ,9986 ,9962 ,9909 ,9805

9 1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 0 ,3487 ,1969 ,1074 ,0563 ,0283 ,0135 ,0060 ,0025 ,0010

1 ,7361 ,5443 ,3758 ,2440 ,1493 ,0860 ,0464 ,0233 ,0107

2 ,9298 ,8202 ,6778 ,5256 ,3828 ,2616 ,1673 ,0996 ,0547

3 ,9872 ,9500 ,8791 ,7759 ,6496 ,5138 ,3823 ,2660 ,1719

4 ,9984 ,9901 ,9672 ,9219 ,8497 ,7515 ,6331 ,5040 ,3770

5 ,9999 ,9986 ,9936 ,9803 ,9527 ,9051 ,8338 ,7384 ,6230

6 1 ,9999 ,9991 ,9965 ,9894 ,9740 ,9452 ,8980 ,8281

7 1 1 ,9999 ,9996 ,9984 ,9952 ,9877 ,9726 ,9453

8 1 1 1 1 ,9999 ,9995 ,9983 ,9955 ,9893

9 1 1 1 1 1 1 ,9999 .9997 ,9990

10 1 1 1 1 1 1 1 1 1

15 0 ,2059 ,0874 .0352 ,0134 ,0047 ,0016 ,0005 ,0001 ,0000

1 ,5490 ,3186 ,1671 ,0802 ,0353 ,0142 ,0052 ,0017 ,0005

2 ,8159 ,6042 ,3980 ,2361 ,1268 ,0617 ,0271 ,0107 ,0037

3 ,9444 ,8227 ,6482 ,4613 ,2969 ,1727 ,0905 ,0424 ,0176

4 ,9873 ,9383 ,8358 ,6865 ,5155 ,3519 ,2173 ,1204 ,0592

5 ,9978 ,9832 ,9389 ,8516 ,7216 ,5643 ,4032 ,2608 ,1509

6 ,9997 ,9964 ,9819 ,9434 ,8689 ,7548 ,6098 ,4522 ,3036

7 1 ,9994 ,9958 ,9827 ,9500 ,8868 ,7869 ,6535 ,5000

8 1 ,9999 ,9992 ,9958 ,9848 ,9578 ,9050 ,8182 ,6964

9 1 1 ,9999 ,9992 ,9963 ,9876 ,9662 ,9231 ,8491

10 1 1 1 ,9999 ,9993 ,9972 ,9907 ,9745 ,9408

11 1 1 1 1 ,9999 ,9995 ,9981 ,9937 ,9824

12 1 1 1 1 1 ,9999 ,9997 ,9989 ,9963

13 1 1 1 1 1 1 1 ,9999 ,9995

14 1 1 1 1 1 1 1 1 1

15 1 1 1 1 1 1 1 1 1

La distribució binomial no està tabulada per a valors de > 0,5, ja que si passa

això només hem de canviar la probabilitat de l’èxit per la de fracàs i definir la

binomial contraria.


2.4 Distribució normal

Una variable aleatòria contínua segueix una distribució normal de mitjana

i desviació típica , és a dir, si la seua funció de densitat és:

2.4.1 Representació i característiques

La representació de la corba és:

Algunes característiques d’aquesta corba són:

- Camp d’existència: és tota la recta real, és a dir,

- Simetries: és simètrica respecte a la mitjana

- Punts de tall amb els eixos:

Amb l’eix OX no té punts de tall

Amb l’eix OY, per a

- Creixement i decreixement: creix fins la mitjana i decreix a partir

d’aquesta

- Màxims i mínims: té un màxim en i no té mínim

- Punts d’inflexió: té dos punts d’inflexió en i en

- Asímptotes: l’eix OX és una asímptota horitzontal de la corba

- L’àrea del recinte determinat per la funció i l’'eix d’abscisses és igual

a la unitat

- Com és simètrica respecte a l’eix que passa per , deixa un àrea

igual a 0,5 a l’esquerra i una altra igual a 0,5 a la dreta

- La probabilitat equival a l’àrea tancada sota la corba


2.4.2 Distribució normal estàndard

La distribució normal estàndard o tipificada és la que té per mitjana el valor

zero ( ) i per desviació típica la unitat ( ), és a dir, .

La seua funció de densitat és:

La funció de distribució per a la distribució està tabulada per a facilitar

el càlcul i ens proporciona per a cada valor de el valor de la integral des de

a , és a dir, l’àrea sota la corba des de a .

2.4.3 Tipificació de la variable

Per a poder utilitzar la taula de la distribució normal estàndard hem de

transformar la variable que segueix una distribució en una altra

variable que seguisca una distribució i això ho farem amb el següent

canvi de variable

La variable s’anomena variable aleatòria tipificada de la variable . Aquesta

nova variable sempre té mitjana 0 i desviació típica 1. Vegem-ho:


2.4.4 Taula de la corba N(0, 1)

La taula ens dóna les probabilitats de , sent la variable tipificada.

La distribució es troba tabulada per a valors a partir de 0 i fins 3,99.

K 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,0 ,5000 ,5040 ,5080 ,5120 ,5160 ,5199 ,5239 ,5279 ,5319 ,5359

0,1 ,5398 ,5438 ,5478 ,5517 ,5557 ,5596 ,5636 ,5675 ,5714 ,5754

0,2 ,5793 ,5832 ,5871 ,5910 ,5948 ,5987 ,6026 ,6005 ,6103 ,6141

0,3 ,6179 ,6217 ,6255 ,6293 ,6331 ,6368 ,6406 ,6443 ,6480 ,6517

0,4 ,6554 ,6591 ,6628 ,6664 ,6700 ,6736 ,6772 ,6808 ,6844 ,6879

0,5 ,6915 ,6950 ,6985 ,7019 ,7054 ,7088 ,7123 ,7157 ,7190 ,7224

0,6 ,7258 ,7291 ,7324 ,7357 ,7389 ,7422 ,7454 ,7486 ,7518 ,7549

0,7 ,7580 ,7612 ,7642 ,7673 ,7704 ,7734 ,7764 ,7794 ,7823 ,7852

0,8 ,7881 ,7910 ,7939 ,7967 ,7996 ,8023 ,8051 ,8078 ,8106 ,8133

0,9 ,8159 ,8186 ,8212 ,8238 ,8264 ,8289 ,8315 ,8340 ,8365 ,8389

1,0 ,8413 ,8438 ,8461 ,8485 ,8508 ,8531 ,8554 ,8577 ,8599 ,8621

1,1 ,8643 ,8665 ,8686 ,8708 ,8729 ,8749 ,8770 ,8790 ,8810 ,8830

1,2 ,8849 ,8869 ,8888 ,8907 ,8925 ,8944 ,8962 ,8980 ,8097 ,9015

1,3 ,9032 ,9049 ,9066 ,9082 ,9099 ,9115 ,9131 ,9147 ,9162 ,9177

1,4 ,9192 ,9207 ,9222 ,9236 ,9251 ,9265 ,9279 ,9292 ,9306 ,9319

1,5 ,9332 ,9345 ,9357 ,9370 ,9382 ,9394 ,9406 ,9418 ,9429 9441

1,6 ,9452 ,9463 ,9474 ,9484 ,9495 ,9505 ,9515 ,9525 ,9535 ,9545

1,7 ,9554 ,9564 ,9573 ,9582 ,9591 ,9599 ,9608 ,9616 ,9625 ,9633

1,8 ,9641 ,9649 ,9656 ,9664 ,9671 ,9678 ,9686 ,9693 ,9699 ,9706

1,9 ,9713 ,9719 ,9726 ,9732 ,9738 ,9744 ,9750 ,9756 ,9761 9767

2,0 ,9772 ,9778 ,9783 ,9788 ,9793 ,9798 ,9803 ,9808 ,9812 ,9817

2,1 ,9821 ,9826 ,9830 ,9834 ,9838 ,9842 ,9846 ,9850 ,9854 ,9857

2,2 ,9861 ,9864 ,9868 ,9871 ,9875 ,9878 ,9881 ,9884 ,9887 ,9890

2,3 ,9893 ,9896 ,9898 ,9901 ,9904 ,9906 ,9909 ,9911 ,9913 ,9916

2,4 ,9918 ,9920 ,9922 ,9925 ,9927 ,9929 ,9931 ,9932 ,9934 ,9936

2,5 ,9938 ,9940 ,9941 ,9943 ,9945 ,9946 ,9948 ,9949 ,9951 ,9952

2,6 ,9953 ,9955 ,9956 ,9957 ,9959 ,9960 ,9961 ,9962 ,9963 ,9964

2,7 ,9965 ,9966 ,9967 ,9968 ,9969 ,9970 ,9971 ,9972 ,9973 ,9974

2,8 ,9974 ,9975 ,9976 ,9977 ,9977 ,9978 ,9979 ,9979 ,9980 ,9981

2,9 ,9981 ,9982 ,9982 ,9983 ,9984 ,9984 ,9985 ,9985 ,9986 ,9986

3,0 ,9987 ,9987 ,9987 ,9988 ,9988 ,9989 ,9989 ,9989 ,9990 ,9990

3,1 ,9990 ,9991 ,9991 ,9991 ,9992 ,9992 ,9992 ,9992 ,9993 ,9993

3,2 ,9993 ,9993 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9994 ,9995 ,9995 ,9995

3,3 ,9995 ,9995 ,9995 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9996 ,9997

3,4 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9997 ,9998

3,5 ,9998 ,9998 ,9998 ,9998 ,9998 ,9998 ,9998 ,9998 ,9998 ,9998

3,6 ,9998 ,9998 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999

3,7 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999

3,8 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999 ,9999

3,9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


2.5 Aproximació de la distribució binomial mitjançant la distribució normal

El matemàtic francès De Moivre va demostrar que en determinades condicions

la distribució binomial es pot aproximar mitjançant la distribució normal.

Aquestes condicions que s’han de complir són:

Aleshores tenim que si es compleixen les condicions anteriors:

(Recordem que: i en la distribució binomial)

Com més pròxim siga a 0,5 millor serà l’aproximació i gràcies a aquesta

aproximació és fàcil calcular probabilitats amb la distribució binomial per a

valors grans de .

Cal tenir en compte que per a realitzar correctament aquesta transformació

d’una variable discreta (binomial) en una variable contínua (normal) és

necessari fer una correcció de continuïtat.


2.6 Exercicis resolts

1. Considerem el cas de llançar un dau en forma de dodecaedre, el qual té

numerades les cares de l’1 al 12, i anotem el nombre que apareix en la cara

superior del dau desprès de cada tirada. Descriu els successos següents:

a. L’espai mostral

b. Traure un nombre parell que no siga múltiple de 5

c. Traure un nombre imparell

d. Traure un nombre múltiple de 3

e. Traure un nombre múltiple de 5

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l. Els successos i formen un sistema complet de successos?

m. Quins d’aquests quatres successos ( i ) són complementaris?

Solució

a.

b.

c.

d.

e.


f.

g.

h.

i.

j.

k.

(lleis de De Morgan)

l.

No, ja que encara que compleix la primera condició ( ), no

compleix la segona condició perquè els tres successos no són incompatibles

dos a dos, com podem veure a continuació:

m.

Cap d’aquests quatre successos ( i ) són complementaris, ja que cap

unió dos a dos d’aquests successos dona l’espai mostral de resultat.


2. Un grup de 3 aspirants a dos ocupacions diferents, encarregat i peó, està

format per dos homes i , i una dona . El cap de personal ha de

seleccionar dos dels tres aspirants. Siga el conjunt de tots els resultats

possibles de la selecció del cap de personal. Descriu els següents successos,

tenint en compte que, per exemple, el parell significa que la dona és

l’encarregada i l’home 1 és el peó:

a. L’espai mostral.

b. el succés que es verifica quan la selecció correspon a dos homes

c. el succés que es verifica quan en la selecció la dona és

l’encarregada

d. i

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

Solució

a.

b.

c.

d.

e.


f.

g.

h.

i.

j.

k.

3. Considerem i dos successos que compleixen que , i . Calculeu:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

Solució

a.


b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

4. Considerem i dos successos que compleixen que i . Calculeu: , , i en les

situacions següents:

a. Si i són disjunts.

b. Si .

c. Si i són independents.

Solució

a.


aleshores no es pot calcular, ja que no podem dividir per 0

b.

c.

5. En una escola hi ha una epidèmia de grip, cosa que fa que el 40% dels

alumnes tinguen mal de cap, el 30% tinguen diarrea i el 10% els dos

símptomes.

a. Calcula la probabilitat que triat un alumne a l’atzar, estiga malalt amb

almenys un símptoma.


b. Si en l’escola hi ha 500 alumnes, quants estan malats i quants pateixen

els dos símptomes.

Solució

a.

La probabilitat de tindre mal de cap és:

La probabilitat de tindre diarrea és:

La probabilitat de tindre mal de cap i diarrea és:

La probabilitat que un alumne estiga malalt amb almenys un símptoma és:

b.

Si en l’escola hi ha alumnes i la probabilitat de tindre almenys un

símptoma és de , aleshores:

alumnes estan malalts

Si en l’ecola hi ha alumnes i la probabilitat de tindre els dos símptomes és

de , aleshores:

alumnes tenen els dos símptomes

6. Un alumne de GAP vol telefonar a la secretaria de la Facultat de Dret. La

probabilitat que en tocar a la centraleta de la universitat el telèfon comunique

és 0,1 i la probabilitat que la telefonista ens diga que la extensió de la Facultat

de Dret comunica és 0,4.

a. Calcula la probabilitat que parlem amb la centraleta de la Universitat.

b. Calcula la probabilitat que parlem amb la Facultat de Dret.

c. Calcula la probabilitat que parlem amb la centraleta però no amb la

Facultat de Dret.

d. Calcula la probabilitat que sabent que hem parlat amb la centraleta,

parlem amb la Facultat de Dret.

Solució

a.

La probabilitat que la centraleta de la Universitat comunique és:

La probabilitat que la Facultat de Dret comunique és:

Parlar amb la centraleta vol dir que no comunica, aleshores:


b.

Per a poder parlar amb la Facultat de Dret, no ha de comunicar la centraleta ni

la facultat, aleshores:

ja que C i D són independents.

c.

Per a poder parlar amb la centraleta però no amb la Facultat de Dret, no ha de

comunicar la centraleta però si la Facultat, aleshores:

d.

ja que C i D són independents.

7. Un alumne de GAP busca en la biblioteca la definició de probabilitat en tres

llibres. La probabilitat que trobe la definició en el primer llibre és 0,7, que la

trobe en el segon és 0,8 i que la trobe en el tercer és 0,9.

a. Calcula la probabilitat que trobe la definició únicament en el primer

llibre.

b. Calcula la probabilitat que trobe la definició únicament en un llibre.

c. Calcula la probabilitat que trobe la definició només en el primer i

segon llibre.

d. Calcula la probabilitat que trobe la definició només en dos llibres.

e. Calcula la probabilitat que trobe la definició en els tres llibres.

Solució

a.

Anomenem els successos següents:

la definició està en el primer llibre

la definició està en el segon llibre

la definició està en el tercer llibre

Sabem que , i són independents, ja que un llibre tinga la definició o no,

no interfereix en el fet que un altre llibre la tinga o no.


Aleshores:

b.

La pregunta diu que calcule la probabilitat que trobe la definició únicament en

un llibre, és a dir, en el primer, en el segon o en el tercer, aleshores:

c.

La pregunta diu que calcule la probabilitat que trobe la definició en el primer,

en el segon i no en el tercer llibre, aleshores:

d.

La pregunta diu que calcule la probabilitat que trobe la definició en dos llibres,

aleshores hauré de calcular totes les possibles combinacions dels tres llibres on

trobe la definició en dos d’aquests:

e.

La pregunta diu que calcule la probabilitat que trobe la definició en el primer,

en el segon i en el tercer llibre, aleshores:

8. El temari d’una assignatura de Dret consta de 40 temes i l’examen

consisteix a contestar a dos temes trets a l’atzar del temari. Si un alumne ha

estudiat només 25 temes, calcula la probabilitat que:

a. Els dos temes de l’examen els haja estudiat l’alumne.

b. L’alumne haja estudiat només un dels temes.

c. L’alumne no ha estudiat cap dels dos temes.


Solució

a.

Anomenem els successos següents:

l’alumne ha estudiat el primer tema de l’examen

l’alumne ha estudiat el segon tema de l’examen

b.

c.

9. En una universitat espanyola hi ha estudiant alumnes estrangers del

programa Erasmus. En la taula següent apareix la nota mitjana que han

obtingut en un any acadèmic els alumnes de quatre nacionalitats.

Suspès (S)

Aprovat (A)

Notable (N)

Excel·lent (E)

Itàlia (I) 5 20 22 3

França (F) 3 23 17 1

Portugal (P) 1 5 10 4

Regne Unit (R) 8 30 6 2

Calcula la probabilitat que:

a. Un alumne que no haja suspès siga italià.

b. Un alumne tinga de nota mitjana notable i siga francès.

c. Un alumne siga portuguès i haja tret un cinc o més.

d. Si un alumne és portuguès, no haja suspès.

e. Si un alumne té de nota mitjana excel·lent, siga del Regne Unit.

f. Un alumne traga notable i no siga portuguès.


Solució

Suspès (S)

Aprovat (A)

Notable (N)

Excel·lent (E)

Itàlia (I) 5 20 22 3 50

França (F) 3 23 17 1 44

Portugal (P) 1 5 10 4 20

Regne Unit (R) 8 30 6 2 46

17 78 55 10 160

a.

b.

c.

d.

e.

f.

10. En una universitat de la Comunitat Valenciana s’ha ofertat una assignatura

en castellà, en valencià i en anglès. El 70% dels alumnes la vol cursar en

castellà, el 20% en valencià i la resta en anglès. El 60% dels alumnes que la

volen en castellà, el 45% dels alumnes que la volen en valencià i el 50% dels

que la volen en anglès són dones. Calcula la probabilitat que si triem un

alumne a l’atzar:

a. Siga un home que vol cursar l’assignatura en valencià.

b. Siga un home.


c. Siga un alumne que vol cursar l’assignatura en valencià, sabent que és

home.

d. Siga un alumne que no vol cursar l’assignatura en valencià, sabent que

no és un home.

Solució

Representem en un diagrama en arbre les dades de l’enunciat

a.

b.

c.

d.


11. Un magatzem de taronges rep solament de tres productors A, B i C

mandarines de la varietat Marisol. El 25% de la producció ve de part del

productor A, el 40% del productor B i el 35% del productor C. D’altres

campanyes sabem que no tenen el calibre adequat el 10% de les mandarines

Marisol del productor A, el 5% del productor B i el 1% del productor C.

a. Triada una mandarina Marisol a l’atzar, quina és la probabilitat que no

tinga el calibre adequat i siga del productor B?

b. Triada una mandarina Marisol a l’atzar, quina és la probabilitat que no

tinga el calibre adequat?

c. Triada una mandarina Marisol a l’atzar resulta que no té el calibre

adequat, quina és la probabilitat que siga del productor A?

d. Triada una mandarina Marisol a l’atzar resulta que té el calibre

adequat, quina és la probabilitat que no siga del productor A?

e. Si triem una mandarina Marisol a l’atzar i és del productor A o B,

quina és la probabilitat que tinga el calibre adequat?

Solució

Representem en un diagrama en arbre les dades de l’enunciat

a.

b.

c.


d.

e.

12. En l’assignatura Introducció a l’Estadística del primer curs del grau de

GAP els controls es fan amb examen tipus test amb 20 preguntes amb quatre

possibles respostes cadascuna, de les quals nomes una és correcta. Si un

alumne que no ha estudiat gens respon a l’atzar, calcula:

a. Quina és la probabilitat que encerte 8 preguntes?

b. Quina és la probabilitat que encerte menys de 4 preguntes?

Si l’examen en compte de 20 preguntes en tinguera 300, calcula:

c. Quina és la probabilitat que encerte 150 preguntes o més?

d. Quina és la probabilitat que encerte més de 50 i menys de 100

preguntes?

Solució

a.

= nombre de preguntes de l’examen que contesta correctament

Tenim que: , la probabilitat d’èxit (encertar la pregunta) i la

probabilitat de fracàs (no encertar la pregunta) .

Aleshores diem que:


b.

c.

= nombre de preguntes de l’examen que contesta correctament

Tenim que: , la probabilitat d’èxit (encertar la pregunta) i la

probabilitat de fracàs (no encertar la pregunta) .

Aleshores diem que:

Hem de calcular la , però si l’hem de calcular utilitzant la funció

de probabilitat de la distribució binomial serà molt costos.

Aleshores comprovem si es compleixen les condicions i podem aproximar la

binomial mitjançant la normal.

d.

13. Un jugador de futbol fa gol de falta directa 4 de cada 10 tirs a porteria. Si

en un partit tira 5 faltes, quina és la probabilitat que:

a. Falle les 5 faltes.

b. Faça menys de 3 gols.

c. Faça 3 gols.

d. Com a mínim faça un gol.


Solució

a.

= nombre de gols que fa amb els 5 llançaments

Tenim que: , la probabilitat d’èxit (fer gol) i la probabilitat de

fracàs (no fer gol) .

Aleshores diem que:

Per a aquesta distribució binomial podem utilitzar la taula de valors de les

probabilitats de tipus .

b.

c.

d.

14. Una empresa d’alimentació ha fet una campanya publicitària que

consisteix a premiar amb 100 euros en productes de la mateixa companyia el

client que obtinga el premi. El percentatge de productes premiats és de l’1%.

Calcula la probabilitat que almenys obtinga 4 premis si faig una compra de:

a. 10 productes d’aquesta empresa.

b. 600 productes d’aquesta empresa.

Solució

a.

Anomenem el nombre de productes premiats.

Tenim que: , la probabilitat d’èxit (obtenir premi) i la

probabilitat de fracàs (no obtenir premi) .

Aleshores diem que:


b.

Anomenem al nombre de productes premiats.

Tenim que: , la probabilitat d’èxit (obtenir premi) i la

probabilitat de fracàs (no obtenir premi) .

Aleshores diem que:

Hem de calcular la , però si ho hem de calcular utilitzant la funció de

probabilitat de la distribució binomial serà molt costos.

Aleshores comprovarem si es compleixen les condicions i podem aproximar la

binomial mitjançant la normal.

15. Pels resultats de cursos anteriors sabem que les notes de l’examen final de

l’assignatura Introducció a l’Estadística del primer curs del grau de GAP,

segueixen una distribució normal de mitjana 6 i variància 4.

a. Quina és la probabilitat que un alumne que es presente a l’examen

aprove?

b. Quin és el percentatge d’alumnes amb una nota entre 5 i 6,5 (les dos

incloses)?

c. Si en la classe hi ha 57 alumnes, quants d’ells trauran una nota de

notable (7 o més i menys de 9)?

d. Si prenem una mostra de 10 alumnes, quina és la probabilitat que més

d’1 aprove?

e. Pel nombre d’alumnes el professor només pot posar matricula d’honor

al 5% dels alumnes. Quina nota ha de traure com a mínim un alumne

perquè el professor li pose matricula d’honor?


Solució

a.

= nota dels alumnes que es presenten a l’examen

b.

És a dir, el dels alumnes.

c.

És a dir, 14 alumnes trauran una qualificació de notable.

d.

Anomenem el nombre d’alumnes que aproven entre els 10.

Tenim que: , la probabilitat d’èxit (aprovar) i la

probabilitat de fracàs (no aprovar) .

Aleshores diem que:

e.

Si volem calcular el 5% dels millors alumnes, el que farem serà calcular el

valor de la variable que deixa per baix al 75% dels alumnes.


Si busquem en la taula aquest valor no apareix directament, sinó que es troba

entre els valors (que correspon a ) i (que correspon a

). Aleshores el valor que busquem serà:

Aleshores,

Per a estar entre el 5% dels millors alumnes i tindre matricula d’honor han de

traure punts o més.

2.7 Exercicis proposats

1. Considerem i dos successos que compleixen que:

Calculeu:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Solució

a.

b.

c.

d.

e.

f. 1


2. Considerem i dos successos que compleixen que:

Calculeu:

a. Són independents i ?

b.

c.

d.

e.

f.

Solució

a. No

b.

c.

d.

e.

f.

3. En una universitat espanyola es fa una enquesta a un grup d’alumnes sobre

el seu pensament polític i se’ls pregunta si són progressistes o conservadors.

En la taula següent apareixen els resultats de l’enquesta:

Progressista Conservador

Homes 139 59

Dones 217 85


a. Un alumne siga progressista.

b. Un alumne siga dona i conservadora.

c. Un alumne siga dona sabent que és conservador.

d. Un alumne siga conservador sabent que és dona.


e. Un alumne no siga dona ni conservadora.

f. Un alumne no siga dona sabent que no és conservadora.

Solució

a.

b.

c.

d.

e.

f.

4. En un poble de la comarca de la Plana Baixa, hi ha una cooperativa que

comercialitza quatre tipus de mandarina: Marisol, Clemenules, Hernandina i

Ortanique. En la taula següent apareix reflectit el tipus de mandarina i la

superfície, en fanecades, de les parcel·les on es cultiva aquestes varietats.

< 5 [5, 10) [10, 20) > 20

Marisol 5 7 15 2

Clemenules 40 35 23 7

Hernandina 20 17 13 1

Ortanique 15 12 8 5


a. Una parcel·la produïsca la varietat Clemenules i tinga 10 o més

fanecades.

b. Si la parcel·la és de menys de 10 fanecades, siga de la varietat

Ortanique.

c. Si la varietat és Ortanique, la parcel·la siga de menys de 10 fanecades.

d. Una parcel·la de la cooperativa produïsca Marisol o Clemenules.

e. Una parcel·la de la cooperativa produïsca Marisol o Ortanique, i tinga

menys de 10 fanecades.

Solució

a.

b.

c.


d.

e.

5. En un poble de la Comunitat Valenciana viu una família d’agricultors

formada pel senyor Manel, la senyora Fina i el seu fill. Sabem que la

probabilitat de tindre un fill universitari per a una família d’agricultors és de

0,2 i que de cada mil universitaris un estudia la carrera de Matemàtiques.


a. El fill del senyor Manel i la senyora Fina estudie en la universitat la

carrera de Matemàtiques.

b. Sabent que el fill estudia a la universitat, no estudie Matemàtiques.

c. El fill del senyor Manel i la senyora Fina estudie en la universitat però

no la carrera de Matemàtiques.

Solució

a.

b.

c.

6. En l’exercici anterior hem vist que la probabilitat que el fill del senyor

Manel i la senyora Fina estudie Matemàtiques és de 0,0002. Si la parella al

llarg de la seua vida té dos fills més, que trien de forma independent estudiar o

no la carrera de Matemàtiques, calcula:

a. Quina és la probabilitat que els tres fills estudien Matemàtiques?

b. Quina és la probabilitat que cap fill estudie Matemàtiques?

c. Quina és la probabilitat que almenys un fill estudie Matemàtiques?

d. Quina és la probabilitat que dos fills estudien Matemàtiques?

Solució

a.

b.

c.

d.


7. En un institut de secundaria es fa una enquesta per a saber l’afició dels

alumnes a la lectura i als videojocs. Els resultats que obtenim són: un 25% dels

alumnes són aficionats a la lectura, el 40% són aficionats als videojocs i el 5%

són aficionats a les dos coses.

a. Calcula la probabilitat que un alumne no siga aficionat a la lectura.

b. Si triem un alumne a l’atzar resulta que no és aficionat als videojocs.

Calcula la probabilitat que siga aficionat a la lectura.

Solució

a.

b.

8. En l’assignatura Introducció a l’Estadística de primer curs del grau de GAP,

el primer parcial l’aprova el 20% dels alumnes, el segon parcial l’aprova el

15% dels alumnes i el 5% dels alumnes aprova els dos parcials.

a. Calcula la probabilitat que un alumne aprove únicament el primer

parcial.

b. Calcula la probabilitat que un alumne aprove almenys un parcial.

c. Calcula la probabilitat de no aprovar-ne cap.

Solució

a.

b.

c.

9. En una classe d’un institut el 45% dels alumnes practiquen futbol o

atletisme. D’aquests alumnes el 25% practiquen només el futbol i el 15%

practiquen només l’atletisme. Calcula la probabilitat de:

a. Els que practiquen el futbol.

b. Els que practiquen l’atletisme.

c. Els que practiquen els dos esports.

d. Els que no practiquen cap dels dos esports.

e. Sabent que practica l’atletisme, practique el futbol.

f. Són independents els successos practicar futbol i practicar atletisme.

Raona la resposta.


Solució

a.

b.

c.

d.

e.

f. No són independents.

10. En una ciutat sabem que el 30% dels habitants utilitza habitualment el

telèfon mòbil per a llegir el correu electrònic, un altre 30% utilitza l’ordinador

per a llegir el correu i la resta d’habitants utilitza els dos aparells. De les

persones que utilitzen el telèfon mòbil, el 50% té estudis universitaris, el 20%

dels que utilitzen l’ordinador i el 40% dels que utilitzen els dos aparells també

tenen estudis universitaris. Si agafem a l’atzar a una persona d’aquesta ciutat,

calcula la probabilitat que:

a. Tinga estudis universitaris.

b. Utilitze els dos aparells per allegir el correu si no té estudis

universitaris.

c. Tinga estudis universitaris si només utilitza un dels aparells.

Solució

a.

b.

c.

11. En una carrera a peu, per etapes, feta pel desert sabem que la probabilitat

d’acabar la carrera és de 0,3. Si sabem que a la carrera s’hi han inscrit 7 atletes

espanyols, calcula:

a. La probabilitat que cap espanyol acabe la carrera.

b. La probabilitat que tots els espanyols acaben la carrera.

c. La probabilitat que com a mínim dos espanyols acaben la carrera.

d. La mitjana i la desviació típica del nombre d’espanyols que acabaran

la carrera.


Solució

a.

b.

c.

d.

12. En una empresa l’edat dels treballadors segueix una distribució normal de

mitjana 42 anys i una desviació típica de 9 anys. Calcula:

a. La probabilitat que un treballador de l’empresa tinga menys de 60

anys.

b. Si agafem una mostra de 5 treballadors, calcula la probabilitat que 3

tinguen una edat entre 40 i 50 anys.

c. La probabilitat que de cada 5 treballadors almenys 1 siga major de 30

anys.

Solució

a.

b.

c.

13. Una empresa ha decidit contractar el 10% de les persones que estan en

l’última fase de selecció del personal. Per a això ha fet una prova als aspirants,

els quals han tret una qualificació mitjana de 6,5 punts i una variància de 2,56

punts. Suposant que les qualificacions segueixen una distribució normal, quina

és la nota mínima per a obtindre el treball?

Solució

14. En una fàbrica que és dedica a la fabricació de bolígrafs s’ha detectat una

errada en una màquina que fa que el 10% dels bolígrafs siguen defectuosos. Si

els bolígrafs s’empaqueten en caixes de 100, calcula la probabilitat que:

a. Una caixa tinga més de 5 bolígrafs defectuosos.

b. Una caixa tinga entre 7 i 13 (tots dos inclosos) bolígrafs defectuosos.

Solució

a.

b.


15. En els exàmens de la JQCV sabem, per l’experiència d’altres anys, que el

5% de les persones que passen la primera prova no assisteixen el dia de la

segona prova. Si han passat la primera prova 285 persones i per a la segona

prova hi ha previstes aules per a 270 persones, calcula la probabilitat que:

a. No sobre ni falte cap lloc el dia de la segona prova.

b. No tinguen problemes de capacitat el dia de la segona prova, és a dir,

es presenten com a màxim 270 persones.

c. Tinguen problemes de capacitat el dia de la segona prova.

Solució

a.

b.

c.

101

Bibliografia

FORNER, Òscar, Introducció a l’estadística, Universitat d’Alacant. Servei de

Política Lingüística. Col·lecció Joan Fuster, núm. 150, Alacant, 2013.

FERNÁNDEZ, Santiago – CORDERO, José M. – CÓRDOBA, Alejandro,

Estadística descriptiva, Editorial Esic, Madrid, 1996.

MULLOR, Rubén – FAJARDO, M. Dolores, Manual práctico de estadística

aplicada a las ciencias sociales, Editorial Ariel Practicum, Barcelona,

2000.

De GROOT, Morris, Probabilidad y estadística, Editorial Addison-Wesley

Iberoamericana, Pittsburgh, Pennsylvania, USA, 1988.

CUADRAS, Carles M. – ECHEVERRÍA, Benito – MATEO, Juan – SÁNCHEZ,

Pedro, Fundamentos de estadística, Editorial PPU, Barcelona, 1984.

SERRET, Jaime, Manual de estadística universitaria, Editorial Esic, Madrid,

1995.

NORTES, Andrés, Estadística teórica y aplicada, Editorial PPU, Barcelona,

1993.

SÁNCHEZ, Joaquín – MANTECA, Isidoro, Cuestiones y problemas resueltos de

estadística, Editorial Gamma, Alacant, 1995.

FERNÁNDEZ, Carlos – FUENTES, Felipe, Curso de estadística descriptiva,

Editorial Ariel, Barcelona, 1995.

SARRIÓN, M. Dolores, Estadística descriptiva, Editorial Mc Graw Hill,

Madrid, 2012.

MARTÍN - PLIEGO, Francisco J., Introducción a la estadística económica y

empresarial, Editorial AC, Madrid, 2005.

BRETÓ, Josep – NOGUERA, Joan Josep – VIDAL, Miquel, Estadística.

Introducció a la teoria de la decisió, Conselleria de Cultura, Educació

i Ciència, València, 1986.

TOLEDO, Maria I., Estadística, Editorial Alhambra Longman, Madrid, 1992.

exercicis d’estadÍstica i probabilitat - rua.ua.es · 1 exercicis d’estadística descriptiva...

Documents