examenes de admision uni.pdf

PRE/ENTACIN

Esta obra est orientada a todos los estudiantes Pre-universitarios de ciencias e ingeniera, inclusive para todos aquellos de centros de estudios secundarios que aspiren a mantenerse en un buen nivel acadmico.

La presente publicacin contiene los Exmenes de Admisin tomados en la UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA; pero considerando slo los ltimos, en los cuales se ha modificado la estructura de los mismos. Estos cambios obedecen a que ltimamente este centro de estudios, ha puesto inters en que sus ingresantes tengan una preparacin ms integral, razn por la cual ha introducido: el razonamiento verbal, el razonamiento lgico matemtico, y adems le ha dado mayor importancia a la cultura en general.

Esta obra considera los exmenes de admisin a partir del ao 2001, fecha en la cual las tres pruebas que se toman, en tres difrentes das, se presentan como se indica acontinuacin:

1.- Aptitud Acadmica y cultura general.

2.- Matemtica: Aritmtica, Algebra, Geometra y Trigonometra.

3.- Fsica y Qumica.

En la elaboracin de esta obra se ha tenido en cuenta el niv/el acadmico en que se encuentran la mayora de los estudiantes, especialmente los que egresan de los centros educativos secundarios; razn por la cual los "problemas" o preguntas se desarrollan en forma simple, cuidando de emplear conocimientos bsicos o de fcil acceso para un alumno preuniversitario en general. Con este aporte, esperamos complementar la buena formacin acadmica que necesita el estudiante para adquirir esa destreza y eficiencia necesaria que le permitir ingresar a la universidad

I I

Tambin debemos recordar al estudiante que una buena formacin acadmica radica en tener una "teora slida" antes de empeazar a resolver un "problema", pus sto les ahorrar tiempo y energas, elementos valiosos que un estudiante competitivo debe saber explotarlos.

Por ltimo, tenemos que hacer resaltar el aporte del equipo intelectual y tcnico de e;ta empresa Editora, que permiti que se hiciera realidad la presente publicacin, con 1? cual estamos seguros estar aportando con la comunidad estudiosa.

I I

INDICE GENERAL

1. Aptitud Acadmica y cultura general............................................................. 1 - 332

2. Matemtica: Aritmtica, lgebra, Geometra y Trigonometra................. 1 - 301

2. Fsica y Qum ica............................................................................................... 1 - 3 1 2

2MATEMTICA

EXMENES DE ADMISIN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

LIMA - PER

CONTENIDO 2

Examen de Admisin 2001 - 1...................................................................................... 1Solucionarlo......................................................................... : ....... 6

Examen de Admisin 2001 - I I ................................................................................... 16Solucionarlo 20

Examen de Admisin 2002 - 1.................................................................................... 32Solucionado.................................................................................................................. 36

Examen de Admisin 2002 - I I ..................................................................................... 47Solucionarlo................................................................................................................ 52

Examen de Admisin 2003 - 1........................................................................ 65Solucionarlo................................................................................................................ 70

Examen de Admisin 2003 - I I ..................................................................................... 85Solucionarlo ................................................................................................................. 90

Examen de Admisin 2004 - 1................................................................................. 105Solucionarlo............................................................................................................... 110

Examen de Admisin 2004 - I I ............. .................................................................. 127Solucionarlo................................................... 132

Examen de Admisin 2005 - 1................................................................................. 149Solucionarlo....................................................................................... 154

Examen de Admisin 2005 - I I .............................. 171Solucionarlo.............................................................................................................. 176

Examen de Admisin 2006 - 1................................................................................. 192Solucionarlo............................................................................................................. 197

Examen de Admisin 2006 - I I ................................................................................... 213Solucionarlo.............................................................................................................. 218

Examen de Admisin 2007 - 1................................................................................. 236Solucionarlo.............................................................................................................. 241

Examen de Admisin 2007 - I I ................................................................................ 258Solucionarlo 262

Examen de Admisin 2008 - 1................................................................................. 280Solucionarlo .............................................................................................................. 285

MATEMAT'CA

I I

/OlllUv/c.miieZN

MWBBtaea f d*' T )**

l JNf PftOl4 ATFMT1CA

A ) Iml = 16

D) Iml = 8

B, Iml = 10

E) Iml = 20

C ) Iml =14

1 0 . Un agricultor quiere levantar i>n? cerca alrededor de un terreno rectangular que est uoicado en la ribera de un ro, usando 1000 m de material, cul es el rea ms grande que puede cercar, considerando que no va a poner una cerca a lo largo del ro?

Ro

A ) 50 OOu m

D) 100 000 n?

1 1 . Dado el sistema:

B) 62 5 0 0 ' C )67 500 m

E) 125 000 m

jr~+4y =25x + 2 y = l

Si 2 v> x , entonces el valor de es:y

A ) 1 B) 3/2 C ) 2

1 2 . Da las las matrices

D ) 8/3 E) 3

Entonces se puede afirmar que C D es:

A )

D)

n

i11 8 73J

B)

Ej

[;,*] o[; ]I 9 l

8 71J

1 3 . El valor de la expresin :

1 2 1 2 1 2 .2 3 + 4 9 + 8 n

A ) -1 B) C) 0 > 6 E)

1 4 . En la suma combinatoria S

donde n eN . n>3

al simplificar se obtiene siempre:

A ) Un numero pnmo.

B) Un cuadrado perfecto.

C ) Un nmero irapir.

D; Un nmero par.

E) Un mlliplo de 4.

1 5 . Dada la funcin polinomial:

P (x )= x 3 I0000v2 -I000;> . h9999-Calcule el valor

d e P < 100M>

A ) -3 B>-2 O - l D )() E) I

1 6 . Hay 12 punios A, l i . ... en un plano ti. ilo no en- contr Jlose tres de stos sobre !;i mtsmri iu;t;t. en nin gitn caso.

Ejuoiil f s el ninqr ) de rectas que son determinadas por los puntos, y et nmero de recite que pasan por el punto A, son fcSpectivaniente:

A ) l l ; 6(i B) 66 ; II C ) l l : 5 5

D) 55 ; 11 E) ; 55

1 7 . Sea n>2 un nmero natural y ; [ostrminos de tina prugicsin geomtrica de razn I/.

Cul es el mnimo -alor de u para que:

(al+a2+-.+a) sea un nmero nati'ral?

A ) I B) n C ) (#7- 1)!

D ) (h - I ) ' E ) n ~ X

1 8 . 1 . ierta base b un nmero N tiene I. fum a

! I ? I l(j en la ha_,e b - 1 dicho nirero le .. la tor-

ma donde las 3 letras son c*ftus.

Entonces el valor de b es:

A ) 6 B) 8 C ) l ( )

D ) 11 E) mayor que 11

a m UNI 2001-1 MATEMATICA

1 9 . Sean x, v, z nmeros naturales, donde

x y z. + ^ r + -rr = 1.4375 .; Cuntas ternas solucin2 4 16 b( jt, v. z) se obtienen, en las cuales z. = 3?

A ) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E)

20- Sea A.B = 53 361 el producto de dos nmeros enteros positivos donde A tiene dos cifras, B tiene tres cifras y es divisible entre 3, entonces el valor de B, es:

A ) 231

D) 693

B) 539

E) 837

C)639

2 1 . Dada la siguiente identidad trigonomtrica

eos

eos x sen x

El valor de AB es:

A ) -2 B) -1 C )0

Ac,,sl[] + B

D) I E) 2

2 2 . En un triangulo issceles, las medianas trazadas de sus vrtices de ngulos Iguales se intersecan perpendicularmente. Entonces el coseno de uno de los ngulos iguales es:

A ) y C)

D)JiO

E)2 j3

f Y772 3 . El valor de la expresin I eos + isen j

A ) 1 B ) 1 C) i D) 1 E) I +1

1 ( c 2 - h 2 ] B , i [' c 2 + h 2 )

2 { 0 J J

1 ' c2 - b 2 'E| 2{ 2 J U - r J

l e- + I r O 9

25. Sea ABCD un cuadriltero, donde B C I/ A l):

sea P e B C , AP es bisectriz del ngulo BAD; suponga

tambin que D C es bisectriz exterior del ngulo />

del tringulo ABD. Si BD - AIS = 3, determine la Ion

gitud de PC

A)3 B) 6 C )9 D) 12 E) n

26. En un tringulo obtusngulo ABC (obtuso en C),

AB = m y AC = n La circunferencia ex-inscrita

relativa al lado BC determina sobre este lado el punto de tangencia P y la circunferencia inscrita es tangente a dicho lado en el punto Q Calcular PQ.

A ) 111 + 11 B)

D) 2m 3/12

E)/ji 11

C)111 + 211

2 4 . En la figura se tiene un ngulo central de medn'a

o UNI 2001-1 MATEMATICAA) 15 B) 16 C) J7 D ) 18 E) 19"

28. En el tringulo ABC, D e AB tal que AD = 9 y

DB = 6 . Se trazan los segmentos D F paralelo a BC

(Fen A C ) y DE que intercepta a BC en G ( en la

prolongacin de A C ), de modo que 4A F =3F E . Si

DC = 8. calculai CE

A) 10 B) 6 C) 8 D )7 E)16

29. En el triangulo rectngulo la mediana relativa a un cateto de longitud b se interseca perpendiculannen te con la mediana relativa a la hipotenusa Entonces la longitud del otro cateto es:

A ) 4 B)

30. En la figura mostrada: - t f - = - i , CG / IO F G FM 6

es el punto medio de MQ y el rea de la regin triangularn

PQM es 100 m Hallar el rea de la regin sombreada

(en m2 )

A ) 15

D)230

B)

E)

1157

300

C)1507

31 . En la figura los radios de las dos circunferencias

concntricas miden R y r (R > i ) . La diferencia de

longitudes de los arcos BB y AA es y el ngulo

AOB' mide 120". Calcular la suma de las longitudes de

los arcos AA' y BB

/ GoiuczN

r 2 + '-2 } Tt ( K + Kr + r1

i R + ' \B> 3 [ R + r

71C) 3

' R + 2 Rr + r 2R + i D) T ( + Y

2 n E) T

3 RrR + i

32. En la grfica, si AC 5, la suina de las coordenadas de C es

A ) 4 B) 10 C) 8 D) 6 E) 9

33. El rea total de una pirmide regular pentagonal 2 -

es de 45 u y su area lateral 25 u . El coseno del ngu

lo diedro que forma una cara lateral con la base de la

pirmidi, es:

D , |

B ) -

e >4

C)1

J2

UN 2001-1 MATEMATICA

34. Se tiene un paraleleppedo rectangular, donde las dimensiones de las bases son 5 cm y 8 cm y su altura 12 cm. Un agujero que va desde la base superior hasta la base inferior tiene la forma de un prisma triangular recto. cuyas bases son tringulos equilteros con aristas de longitud 3 cm. Calcular el rea de la superficie total del slido determinado.

A )5 0 0 -| ^ 3 B )50 0 -|^3 C)500-|,/3

D )5 0 0 -|^3 E )500 -|^3

35. Al girar un rectngulo de lados a y b alrededor del

lado b se obtiene un cilindro de 288 jt u} de volumen y

al girar el rectngulo alrededor del lado a, se obtiene un

cilindro de 384 Jt u'1 de volumen.

Determine el rea del rectngulo.

A ; 38 u~

U ; 68 u2

B )48 i f

E) 78,/

C) 58 1/2

36. Se tiene una pirmide regular E - ABCD, con base cuadrangular. Sea M NQP la seccin determinada por

un plano secante a la superficie lateral. Si E M = 3,

EQ = 5 = 5 y EP - 6 ; entonces EN es igual a:

A ) 2,72

D) 3,55

B) 2,55

E) 4,11

C) 3,11

37. Un molinete de riego tiene un alcance de 12 m y->

un ngulo de giro de 135. Calcular el rea (en m~ ) del sector circular mo)jdo por el molinete

Usar Jt-3.14 .

A ) 161,56

D) 167.56

B) 163.56

E) 169.56

C) 165.56

38. En la figura adjunta, la longitud del segmento Af es:

D) 5,/3 E) 6

39. El mayor valor que toma la funcin

f (x )= cox 2 x+ hsen2x+2 es:

A )2+ y r o b>6 c n + y r o

DM + yiO E) 5

40. En la identidad trigonomtrica

M't'ri x+3 cttsx= k cv).v( x a )

determinar tai i a .

A )

D)3

B)J C)

E)^13

UNI 2001-1 MATEMATICA ] m/Gomez\

SOLUGIONARIO

1 . Datos:

MATEMATICA

20 < p + q < 30

> ?P~ v1~ _ 2 (2)

p , q y r : nmeros primos (3)

De (1) y (3):

p, q y i pueden tomar los valores de

1:3; 5; 7: II; 13; 17; 23; 29

si: p = 17 a q = 7

En, ( I7 )2 + 7 1

(2;: r 2 = - ------= 169

= r = 13 ( es nmero pumo)

Cumpliendo los valores de p, q y r con las tres condiciones.

p + q + r = 17 + 7 + 13

= 37

Clave: A

2 . Por condicin: aacc es cuadrado perfecto

Descomponiendo polinmicamcnte:

aacc= I00aa + ce

= 100(1 l ) + l l t

= Il(l00a + f )

D t don.' 1 100a+c) tiene que ser i l para que aacc sea

cuadrado perfecto

I OOll + f = II

o +1 = 11

Pero, a,c u + tc lS

=> a + c = 11

Se pide: ^ cifras = 2 ( + r )

= 2 ( 11)

= 22

Clave: 1)

3 . Dalos:

Inters: 5% semestral

capital: C = S/ 1000 ^Capitalizacin Semestral)

Primer dcp..ito

6 meses 6 meses 6 meses 6 meses

C 1,05C (1,05)2C (1,05)3C (1,05)4C

Segundo depsito

| I ao

Tercer depsito

6 meses 6 meses

mssi G%meZ\

Cuando agregamos x g de oro la nueva ley es L / = 0.925

L _ w + x ^ L ' WT + x

UNI 2001-1 MATEMATICA

Reemplazando: 0.925 =

T

1350 + x1500+jc

=> jc = 500

Se aadir al lingote 500 g de oro

Clave: B

5. Del enunciado construimos la siguiente tabla de datos:

Intervalos x f i Xifi

[05; 08> 6,5 6 39

[08; 1 1 > 9,5 14 133

[1 I;14> 12,5 16 200

[14; 17> 15,5 10 155

[17; 20] 8 5 4 74

Total k=50 601

Por definicin:

Promedio = x = Y.XJ

De datos:601

' 50 ': 12,02

Clave: C

6 . A = { x e l R / J x - l e ^ }

Por teora de races: J x \ >0

jc-I>0.v>l

=> J x - l = 0 , 1 , 2,..., 49 (numeroentero)\ M \

Posicin: 1 2 3 50

Finalmente, el elemento de A que corresponde a la posicin 50 ser:

/^=49

x= (49 ) + 1=2402

Clave: D

7. Operando:

2x2 + 2x 3-J x 2 + x + 3 = 3

2(x2 + x + 3 ) - i j x 2 + x+7, - 9 = 0

Si: J x 2 + x + 3 = a =>

Luego en ( 1 ):

2a2 -3 a -9 = 0

(2n + 3)(n-.3)=0

-3

a > 0

De (2): a > 0

Luego en ( I ):

a = 3

J x 1 + x + 3 = 3

jc2 + jc - 6 = 0

(.t + 3) (jc - 2) - 0

.c=-3 (=2

C.S'.= /\={-3,-2}

finalmente la suma de los elementos de A es:

-3 + 2 = - I

8 ./U)=|jc 2| + |jc-4|

Para x < 2 :

f ( x ) = - ( x - 2)- ( r 4 )=62 r

Para 2 4

-.(1)

... ( 2 )

Clave: 1$

Grfica:


2 4

9 . Datos: 1x +wr+30=0

_L= 3

x 2 5De la ecuacin ( I ) por propiedad de races:

Clave: C

- ( 1 )

. .. ( 2)

ml i + x 2

30X \ v2 _ 2

De (2) y (4 ). -r,=3 a a, = -3

js =5 a V-. = -5

Reemplazando en (3):

3+5=--^ a -3 -5 = - .Z J

m = -1 6 a h i= 1 6

(3)

(4)

Clave: A

IO .Rio

X Terreno X

-(2)

Perinfcfio: 2.v + v = 1000

rea: S = xy

De (1) y (2):

5=jr(lOOO2.r)

= 100 - 2a2

Para que S sea mximo la derivada del i ea S respecto a x debe ser igual a cero:

En (1):

4 ^ = l ( ) 0 ( ) - 4 i = 0 cIx

=> x 250

2(250) + v = 1000

=> v = 500

Luego: = 125000 m~

1 1 . Dalos- A2+ 4 y 2=25

Jt+2 y = 7

De (2 ): y =

Reemplazando el valor de v en ( I ):

25* M ) -r " 7 .r+ l2 = 0

( jc3)( r4 )= 0

=> ,V| =3 ; in 4

reemplazando los valores de x en (2):

Para = 3 :

(3 )+2 ;,=7 = y, =2

Para xn=A

(4)+2.V2=7 =* * 4

Por condicin: x < 2 \

Para : x =3 ; y ( =2

3 < 2 (2) (cumple)

3Para 4 ; V2 : ~

4

UNI 2001-1 MATEMTICA 12.

c-[! ?]

H :][: :]-[i :

UNI 2001-1 MATEMATICAEl numero ile teclas que pasan por el pumo IA). es el

nmero de diagonales trazadas desde un vrtice { N j )

mas dos lado'..

N r = N j + 2

=(/i - 3) + 2

= ( l2 - 3 ) + 2

= 11

17. Progresin geomtrica: ai M2,....cin

Razn: .donde: n e lN n > n

S=at+a2+...+an e V

Por teora:

Clave: B

v ,_I -

f-

(' !ii["" ']

Si 5 e W minimo: a ,= n

Clave: E

18. Date. /V = l l l ((i) = l:M / ir ^

Llevando /V = 1111, , > hase 10:(^ *)

/V = l x ;4 + l x ;1 + l x j - + l x f c + l x l

= >4 + >3 + b2 + b + I

Luego N debemos llevarlo a la bae (b - I ) por divisiones sucesivas:

>4 +/r+/> />+l ) - (/ > - ! )

luego: N = 15( 10)(10)5(/,_|}

De la base: (/> -l)> IO => />>ll

b es mayor que 11

1 9. Datos:

De (2) en ( 1

De (3):

- + + = 1.4375 2 4 16

Z = 3

t .V . E fV

4 +t? - 14375

2 v + v = 5 1 i

' 5I 3

2 I

Clave: IC

. ( I )

(2 )

... (3)

Obtenindose 3 ternas: (0: 5; 3) ; ( 1. 3: 1) ; (2: 1. 3)

C line: C

20. Datos:

De (I ) :

A.B = 53361

A = J>

B = jry = 3

A./? = 9 x l I2 x7~

f I )

( 2 )

(3)

De (2) y (3): K = 3 = 9 x l l x 7 693

A = 11 x 7 = 77

Clave: D

I

UNI 2001-1 MATEMATICA ] O2 1 . Recordjiulo

cos2 x sen 'x = c iu f2 x )

cos* x sen 2y = u>s(x + \ )c iu (x - y)

c i > s 2 x = 2 i f .s x I

2 2 cos x seti x= w (f)

cos(2x)cos X

cos( 2 x )

= cosx

= 2^ 2( f ] -

Poi comparacin de ( I ) y (2 ):

4 = 2 y B = - 1

=> A.B = (2 )(1) = -2

22. Graficando de acuerdo al enunt .adi

I ...(2 )

Clave: A

G: Baricentro

Medianas: BH

J

CM

Propiedad: El baricentro C se ubica iH del punto B

En el tringulo rectngulo BHC

Por pitgoras:

BC = J (3 i)2 + 2

= a J 0

=> tYJvP =a j TO JTO

Clave: D

23. H

= i

= i

2 4 . Por teora:

En el grfico:

! \77 r I 11 11 1= 1 CIU + I .sen I

Clave: I)

t t

. _ L _ _ L i 2 2 4>

4 ( ^ 1Clave: A

25. Graficando de acucido al enunciado:

Del grfico: AABP v ADbC son issceles,luego:

=> ni + /? = + x

Dato: ni + n - n = 3

De (a ): (a + x ) a = i

=> jt = 3

. ( )

Clave: A


Del grfico:

m = n a + x + b

=> ih = n+ x + b - a

in + b = ii + a + x

=> b - a = n + x in

Reemplazando (2 )c n (l ) :

in = n + x + (ri + x - in) => x = in n

27

..(I)

... ( 2 )

Clave: E

Del grfico: 11 v + 5v + 2x = 180"a = 10

Luego: 3 -12= 3(10)-12

= 18Clave: D

28. Graficando de acuerdo al enunciado

B Dalos: AD = l)

DF//BC D C = 8

Del grafico:

ADF ~ AAHC

c i+ F C 3a 915

FC = 2 a

A AEDF ~ EGC

De (a ):

29.

8 + x _ \4 ~~ FC

8 + = j4 2 ci

=> x = 8

2 2

Por razones mtricas en el IAF.

AC = h = Jm (2ni) = -Jln

En el t ^ A G F : = h i 2 + 2 / h

En el AGB:

De ( 1 ):

De (2):

? m =-

4/T = 'G2 +1G

x~ = (/2ii| + (2i,

=> x = ^61/1

- f e

= 7 ^

Clave: ( '

... ( I )

( 2 )

Chut: h

UN! 2001-1 MATEMATICA

30. D alos: . CC II QF

Del grfico: SPqM(7 ) (2 b)

= [00 m2

De (*):

, 100 2 ab = tn

(3 ) ( )FGC

= | (^ )3 f l0 0 2

i l " J150 2

2n3

r R - rR + r

Lo _ 2 n ( I r l i \ - 3 l H + r I

. ( * )

Clave: C

Finalmente calculamos:

2n I 3i li r JLj + L, 2R + r

Clave: E

32

Del grfico: jc = 4

AC = 5 = J l 2 + ( y - 2 ) 2

25= 32 + ( y 2)2

=> y =6

Luego, la suma de las coordenadas del punto C:

x + y = 4 + 6=10

Clave: B

S LATERAL ~ 25 H " - . ( 2 )

A ' =BB' =

Dato: io L\

^ Lo 7^TDel grfico: H -^ -=

De ( I ) y (2) obtenemos:

& UNI 2001-1 MATEMTICAD e ( l )y (2 ) : S b a s e ~ ^t o t a l s l a t e r a l

= 2 0 u -

Del grafico: $ basf,

=* h = -

, .s r= 5 ff- }= 2 5

h (8//) 4De (3) y (4) : < r a a = i= - -----' (10//)

... (3)

(4)

Clave: B

De graneo, el rea total del sol.do es:

ST = 2(8 a x 12 t/3 2= 5 0 0 c m cm2

Clave: B

3 5 .

Dato: Vh=2Xnu

Del grfico: Vh = m r .b=2KXn u 1

Del grfico:

De (*):

( I )

nh a = Va

nb2a = 3847t h1 j

.. . ( 2)

/ ; " = 3 8 4 ii

Multiplicando ( I ) y (3 ) :

a i = (2 S 8 ) (3 S 4 )u (

=> />=4 8 / i-

Finalmente se tiene:

S = al> = 48 t i2

36-Graficando de acuerdo al enunciado:

E

(3)

Clave: 1$

C

Superponiendo los tringulos ENP y MFQ:

I

NI 2001-1 MATEMTICA UNI

=> h sen a (3 -x )=3 km w n t

Ch 5/? (5m)(6A)i , = jn a = xena + - -

2 2 2 2

=> hxena = 30 kn i xenB

Dividiendo ( I ) entre (2):

.t

- d )

xenQ

3- ' = i x = 2.1212

... ( 2 )

C lave:A

37.

El rea sombreada representa el rea mojada poi el molinete

5 = = 169,56

Clave: E

Por teora: tan(A + B ) = tan A + tan II I tan Altm [i

Del grfico: ian(n + t + n ) =H1 1 1 0 . + tan(t + n )

I tan a tan(0 + a )

X X

X 2 6I x .r x

X = 6yl 2

Clave: A

39. /(.r) = cos2x + 3sen 2x + 2

Por propiedad se sabe que:

J A 2 + B~ < A senn + B c o x a < J A ~ + B~

En (* ): f ( x ) = l


H

s s o t u j % > m mMATEMTICA

MATEMATICA

1 . Un contratista dice que puede terminar, un tramo de una autopista en a" das si le proporcionan un cieno tipo de mquinas; pero con c mquinas adicionales de dicho tipo, puede hacer el trabajo en b das (a - b - 1). Si el rendimiento de las mquinas es el mismo, entonces el nmero de das que empicar una mquina para hacer el trabajo es:

A ) a^bc

D) abe

B) ab^c

E) (a + b)c

O abe

2 . Si al nmero 1573 dado en base n , lo pasamos a la base (n + I), entonces la suma de sus cifras en la base n +1 ts

A ) 2n + 1

D) n + 3

B) 3

E )n r 1

C) 2

3 . Una persona trata de formar un cubo de ladrillos cuyas dimensiones (del ladrillo) son 20 cm, 15 cm y 8 cm. Entonces, el nmero de ladrillos que necesita para formar el cubo ms pequeo (de manera que las aristas de igual longitud sean paralelas) son:

A ) 129 B) 143 ( ') 680 D) 2400 E) 77.0

4 . Si la suma de A nuevos soles se divide en dos partes, de tal modo que al ser impuesto una de las partes al a% (1 < a < 10 ) y la otra al (a i- 2)% anual, ambas al mismo tiempo, producen igual inters. Entonces una de dichas partes es:

A(a + \)

A ) 2 (a + 2)

A(a+2)

D) 2 ( - 0

Aa AaD) 2 (a + 2 ) C> 2 ( + l )

Aa E> 2 - I)

. Si el conjunto y4=|jce R / 'iv2 -l-^| .r-l| > 0

Entonces el conjunto R A est dado por:

A ) 0 B) [ -2 , 2 ] C )(-2 ;2 >

D ) ( - 2 ; I ) E) [ -2 , 1 ]

6 . Sea / (.r)= r" + -^-+ l una funcin definida puraX~

losx que cumplen la siguiente relacin: y.\2 < J T

Hallar el intervalo donde vara /(c)

A ) ( - 2 ; - l ] B )[l;2 .2 5 ) C) [2 ;5]

D) [2 ; 5,25) E) [3; 5.25)

7 . Dos recipientes contienen vino. El primero tiene vino hasta la mitad y el segundo un tercio de su volumen. Se completan estos recipientes con agua, vertindose las mezclas a un tercer recipiente. Sabiendo aue la capacidad del segundo recipiente es el triple que el primero, entonces el % de vino que contiene el tercer recipiente es:

A ) 37,0 B) 37,5 C) 38,0 D) 38,5 E) 3"

'JNI 2001-11 MATEMATICA Odel total de nmeros impares. Si el total de impares excede en 8 unidades del total de pares, entonces el nmero de dalos de la muestra es:

A ) 26 B) 20 C) 25 D )I8 E) 2S

I O . La suma de la sene -L+X+_L + +- - L l 3 8 15 - * 2 _ ,

nende a

A ) c B) 1/4 C) 3/4 D) 1/2 E) 1

1 1 . Sabiendo que Y adems:

(A+a)(.B+b)(h-d) = M i , calcular D +ii i j ah

A ) M B) C) ^ D) A/3 E) A/ 2

1 2 . Sean j g: [l .*>)> R funciones definidas por:

/ (jf )= x 2 -|jf| y g{x)=-Jx

Entonces la grfica de la funcin composicion g j es

aproximadamente:

a ) y B ) * y

E)

1 3 . Una pareja, das antes de celebrar sus Bodas de Plata, decide comprar un boleto de lotei a de la forma

tilaa , el cual es mltiplo de los aos que llevan casados. Hallar la suma de cifras del mayor nmero que cumpla esta condicion.

A ) 27 B) 30 C ) 33 D) 36 E) 39

1 4 . Dada la matriz M =2eos t sen2t

sen26 Is a 't

Entonces la matriz M ' es igual a :

A ) M B) 2M C ) 3 A/ D) 4M E) m

1 5. Sea A =I 0 0

1 I 0

1 I I

una matriz, entonces la ma

triz A4'' est representada por:

A )

C)

E)

1 0 o 1 0 o"

49 1 0B)

49 1 0

989 49 1 1080 49 1

1 0 0 1 * 0 o'

49 .

1225

1

49

0

1D)

49

1127

1

49

0

1

I 0 0

49 1 0

1274 49 1

1 6 . En un anillo definido por 2 circunferencias concntricas C y C de rados R y r, (R > r ) se colocan 6

circunferencias do radios de manera que cadas

una de ellas es tangente a las 2 contiguas as como tam-D

bin a C y C Entonces el valor de es-

A ) 3 B) 5 C) 2 D) 4 E) 5/2

1 2 x

UN'2001-11 MATEMATICA ]17. Se tiene dos aleaciones de plata y cobre de distinta ley; mezclando pesos iguales de ambas aleaciones se obtiene una aleacin de ley 0,865; y mezclando cantidades de ambas aleaciones que tengan el mismo peso de cobre se obtiene otra de ley 0,880. ^Cul es la ley primitiva de cada una de las aleaciones?

A ) 0,98 : 0,89 B)0,91 0,82

C)0,92 : 0,91 D) 0,98 0,82

E) 0,93 : C,91

1 8 . Los valores enteros x e y son los lados de un

rectngulo. Si se cumple que a2x + v < ,

-J-x+ v< 1 Ih -r para a > 0, hallar el rectngulo de 2 "+'

mayor rea.

A ) 2u2 B) 3 u2 C) 4 u2 D) 5 u2 E) 6 u2

1 9 . Sea//un nmero cuadrado perfecto impar Si

N + 23 es divisor de 136xR , siendo R primo, hallar el menor nmero N que cumple lo anterior.

A ) 9 B) 25 C) 49 D) 81 E) 121

20. Sean x, z, N enteros no negativos. La cantidad de nmeros N tales que 10 ' N < 35, aue no se pueden expresar en la forma N = 5x + 8z es i^ual a:

A ) 1 B) 3 O 7 D) 5 E) 9

21 . EL valor mximo que toma la funcin

f(x)=3sen~.\ \-4ct>s2x . re R , es:

A ) 3 B) 4 O 5 D )f, E) 7

22. Si 0

UNI 2001-11 MATEMATICA I 19

A ) 1 2 B) 2^2 C )3^2 0 )4 ^ 2 E),*,

29. Si oh p=90 , entonces el valor de la longitud del

segmento BC es:

A ) a

B) Jb2a2

C) ba

D) S+t

E)L

30. Se tiene dos circunferencias de radios R y r, R > r, tangentes exteriormente. Si las tangentes comunes for

man un ngulo de 60, entonces el valor-ir es:A

A)l/4 B)l/2 C)l/3 D)2/5 E)l/5

31. Una pirmide tiene una base que es un cuadrado de lado I y su vrtice se encuentra sobre una perpendicular al plano que contiene al cuadrado y pasa por un vrtice del cuadrado. Si la altura de la pirmide es igual a 1, el valor de su rea lateral es igual a:

A ) J l

D )2 ^ 2 - l

B) 2 J 2

E) I+ V 2

C) 1 + ^ 2

32. Sea un tringulo equiltero de lado a , donde uno de sus lados esta sobre el ej ' X y un vrtice se encuentra en el origen. Entonces el volumen generado por dicho tringulo al girar alrededor del eje Y es.

A ) ^ " 3 B) f ^ 3 O ^ J a 3

33. Se tiene dos poleas de igual dimetro, conectadas por una faia de longitud igual a m" veces ( me W) la longitud de la circunferencia de una de las poleas. Hallar el dimetro de las poleas, si se sabe que la longitud de la faja que no hace contacto con las poleas es 2 /.

Ai 1+2 n(m-l)

B) \k C ). 21

D)- / E) 212jt(in-l) 71 m

34. Con centro en los vrtices de un cubo de lado a se

trazan esferas de radio . Si la esfera de radio R con-2

tiene a estas 8 esferas y es tangente a cada una de ellas,

entonces el valor de es:

A)V3 B)S-\ C)-j= D)j2- E )M2 v2 v 3

35. En la figura, el cubo tiene lado I y el punto P se escoge de manera que el tringulo BPH tenga rea mnima. El valor de esta rea mnima es:

A>l/1

D

B )^r

C )>/2-l

D)7T

E ) f t

36. Hallar el valor de verdad de los siguientes enunciados:

I) La suma de las longitudes de dos lados opuestos de un cuadriltero convexo es menor que la suma de las longitudes de sus diagonales.

II) Todo cuadriltero convexo, puede ser inscrito en una circunferencia (de tal forma que todos sus veitices pertenecen a la circunferencia).

III) Dadas dos rectas paralelas L\ y L2 distintas, dos

puntos A, B en L t , dos puntos C, D en L2 y un

punto E en el segmento /IC'(A E ( 7 - E ) .

Si M = M , y |C| = M . entonces el

ngulo BED es recto o es llano.

A ) V V V B) VVF C) VFF D) VFV E) FFF

UNI 2001-11 MATEMh TICA37. Dos circunferencias tangentes en el punto A de radios 1 y 2 respectivamente, son tambin tangentes a una recta en los puntos B y C. Hallar el radio de la circunferencia inscrita en el tringulo ABC.

A ) 3 B)

D)2 / 3 + V 6 -3 V 2

2/3

E)

C)

3 S . Sea ABCD un cuadrado de lado L sobre los lados

AB y AD se construyen tringulos equilteros:

A EAD y A FAB respectivamente Calcular el rea

del triangulo A EFA.

} I 2 L1 c-a >T b> 1 T C ) T D)-4

39 . Tres puntos A. B y C forman 1111 tringulo equiltero. Considerando P un punto interior al A ABC

tal que las alturas PD (del A CPB), PE (del A APB)

y P F (del A A PC ) miden I, 2 y 3 respectivamente.

Calcular el rea del tringulo equiltero.

A ) 12/3

D) 36

B) 363

E) l5>/3

C) 27

40 . Sea ABCD un cuadrado y 4EF un tringulo equiltero inscrito en ABCD. 1 Iallar el rea del cuadrado

ABCD, sabiendo que el rea del tringulo AEF es

A>2 B) 2 + -/ C )3 D) 3+i/J E )4

SOLUCION ARIOMATEMATICA

1 . Asumiendo que inicialmente se le proporciona "y " mquinas, tenemos:

DAS MAQUINAS

a y

b y fX 1

Adems: = 1 (n )

Como a mayor nmero de mquinas se demora menos das, la relacin es inversa, entonces:

av = h( v + 1 )

v ( a h ) = be

V = htDe (a ) :

De (IV

y = ay

= abe

Por lo tanto, una mquin emplear abe dia-.

- ( I )

...(2 )

Cla\e: D

2. Se tiene: 1573

Por descomposicin polinmica pasamos a base die7

1573,, =//' +S111 +111 +3

Por divisiones sucesivas pa .amos a base (// + 1)

17 +5/i +7/I+3 /z+l

4/i'+7/i

4/j~ +4/i

n~ +4/I+3

n~+ n

// + !

/i+l

3/1+33/1+3

3/1+3 n +1 13/1-r 3 T

- O

Por lo tanto: 1573,, = 1200^;J t)

La suma de las cifras es: 1+2+0 HJ 3Cla\c: 15

3. Tenemos ladrillos de las siguientes dimen-i mes.

[ 8 m

20 c m

15 cm

/ J S ,f GmeZN


Formemos el cubo ms pequeo de manera que las aristas de igual longitud sean paralelas:

Del grfico observamos que / debe ser el mnimo comn mltiplo de 20 ; 15 y 8 .

/= m.c.m. (20 cm\ 15 era, 8 cm)= 120 cm

De donde el nmero de ladrillos n " se obtiene as:

Volumen del cubo1 olumen de un ladrillo

\3(120 era)(20 cm){ 15 cm)(8 cm)

= 720Cla\t E

4 . Se tiene un capital de: A nuevos soles.Se divide en dos partes:

A-x impuesto al a% anual., .y impuesto al (a + 2 ) % anual.Pr condicin del problema estas partes producen igual nteres, es decir:

a % (A -.x )= (a + 2 )% x

=> , 21+0

Luego: A - x - A - i

" 2(u + l)

j a A A (a + 2).* Las partes son: ------ y i------L2 ( a + l ) 2 (o + l)

Clave: C

5 . Dado: ,1=j.re / J x 2- l -J|.v-l| > o|

Valores que pueJe tomar la variable x.

De: / r 2-l-^| .v-l|>0

Tenemos:

x^ 1> 0 => l ] ^ [ l ) ...(ex)

2- i> ^ h

jt2 1 >U-i|

1-JC2 < V - 1 < .Y2 - 1

l - A 2 < . Y - I A JC-1 < V2 - l

(jc + 2 ) ( t - 1 ) > 0 a x ( * - 1 ) > 0

> x e ^ o.2] u l

Intersectando (a) y (P) tenemos:

(a jn ([i) =!=(o; 2] vj [l o)

finalmente: R - ^ = ( - 2 ;l)

Clave: l>

6 . Hallemos el Doni( / ) de I? relacin:

y y2 -1

x~ 1 > 0 => \ e^ - l] u J l. o)

jt2 I j e (-1 ; 2]

De donde el Doni[ /') esta dado por la interseccin de

los conjuntos encontrados.

a s ( - 2 ; - | ] u [| ,2 )

UNI 2001-11 MATEMTICA> / \

/III.': y^jSmez\

? 1Adems: f ( x ) = x + z -+ ] es una funcin parx

{ n - W i - 4 , por lo tanto el Ran f (x ) lo podemos

encontrar analizando solamente el intervalo [ l ; 2 ^.

Como la funcin es, creciente y positiva.

= n * ) mw= m = i

/ ( ' ) _ =/(2)=5-25

Av)e [3 ;5 .25 )

Clave. E

7 . Del enunciado:

SegundoPrimer -, Recipiente

Recipiente

V Agua 4 V Agua

y \ j 2 V Vino

2V

SV Agua

3 V Vino

6V

TercerRecipiente

8KPor tanto el % de vino que contiene el tcrccr recipiente es:

% vmn =31

31 +51' l( '.,=37,5%

Clave: B

8 . Sea la funcin P (x ) = a m - h + a

Condicicn: (\) P{\\=a+b-b+a < 4

=> a < 2 Por condicin: a e z ' ; => = I

Obter .lose: /'( \ J /?+l

Factorizando:

1 b 0 1-6

jt= -l - 1 1 - 6 6 -11 b- 1 1 - 6 0

/ (.v)= (*+l) [x 2+(/)-l).+l-/)j' * ' N-------- v---------'

Rafz Por condicin este debe Negativa generar dos races

positiva: guales (-4)

=> A = (6 - 1) 4(1 b) = o

/) = ] j Genera: V| = 2 =0

b = - 3 _____> Genera a, = = 2

Finalmente: a - b = 1 (-3 ) = 4

Clave: B

9 . Del enunciado:Nmeros impares y+8

Nmeros pare;. : ,y

Nmero total de datos: 2x + 8

Frecuencia absoluta del nmero mayor: 4

2Frecuencia relativa del nmero mayor:

Por definicin de frecuencia relativa:

4 r i H2 jc + 8 2 2 1=> .v=9 ;~2I => jc = 9

Luego el nmero total dr datos:

2jc+8 =2 (9 )+8=2 6

(-21 descartado)

C fin

1 0 . De la serie dada tenemos:

I, . 1 1 1 13 + 8 + 15 + 24 + + k2

I 1 1 J__ I x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + + (/ t- l)(< . + l ) H

UNI 2001-11 MATEMATICAElevando al cuadrado:

,VT2co s7 0 7i20 T 2cj.v 0 .ve/? 20sen20 2ve/i20 j[ .'/i 20 2.v7z0

4e0 + ie fl20

2se/i26

2.ve//20

4ac7J- 0 + ./7 B

= 2 M

Elevando al cubo:

JW3 =

= 2

= 2

=4

4cvs20

2ve20

2.ve/i 20

4se/i20

2ew~0

ie/j20

,ve/i20

2.ve/ 0

2cos~0

ie/i20

ve/? 20

2 ve// 0

2ros20

,cn20 2AC7|6

4 tv20 2.ve//20

2.w'/?20 4 y e //"0

Icos20 ve// 21 )

.ve/?20 2eo.v2 0

4M

1 5. Por dato del problema:

1 0 0

I 1 0

I 1 1

Elevando al cuadrado, al cubo, ... , a la n-csima

Clave: D

1 0 ) O O o o

^ 2 = 1 1 0 1 1 0 = 2 1 0

1 1 1 1 1 1 1 + 2 2 1

o o 'l n o 1 0 0

J = 2 1 0 1 1 0 = 3 1 0

!

1 J IO

1-------

-

i i 1 1+2+3 3 1

1 o o I 0 oAn = nl 1 0 1 1 0

l+ 2+...+(nl) n - l l 1 1 1

Si n = 49

,49

1 6 . Graficando:

0 o"

1 0

ri n 1

1 0 0

49 1 0

1225 49 1

Del grfico, tringulo equil itero

UN' 2001-11 MATEMATICA

1 7 . Tenemos:

Aleacin de ley L | Aleacin de ley L j

Plata Cobre

w y

Caso I 2 ws '

Ley = 0,865

2 * _ /PlaLa Cobre

Aleacin IIPala Cobre

u

Caso II

^ 2a ^

W1+ W2

Ley = 0,880

Del caso I:

Del caso II:

Lt + L-)= 0,865

==> L.| + Ln 1,73

a = ( \ - L x)W i = { \ - L 2 )lV1

WXLX + W2 L0 _ t

...(a )

Wx + W2

(1-Z.2 )Z .,+ (1 - ()L|

\-L-> + \

,. 2 = 0 7462

Resolviendo (a ) y (P ) :

1 =0,91

2 =0,82

0,880

= 0.880

(P)

Clave: B

1 8 . Por condicin

u~ x + y < - + 1

| + _ ! _ 2 fl + 1

Sumando: 2+4r 1+2 v

wmmmmmmm De donde: 10 z = 2, 3,4 ( 3 valores)

x= 1 => z = 1 , 2,3 ( 3 valores)x=2 => z = 1,2,3 ( 3 valores)

x= 3 => z = 0, 1 ,2 ( 3 valores)

jc= 4 => z = 0, 1 ( 2 valores)jt= 5 => z = 0, 1 ( 2 valores)x = 6 => z = 0 ( 1 valor)

Existen 17 valores que se pueden expresar de la forma N = 5x + 8z, por lo tanto son 7 los nmeros N que no se pueden expresar de esta forma.

Clave: C

2 1 . f\x) = scn2x + 4cos2 x \e R

= l{sen2x + eos2 jr j +cos2 x

Si x e R

22.

= 3+ cas' x

- l < c o x x < \

0 < eos' x < 1

3

M/GoieZX

Del grfico:En el tringulo rectngulo AHO

UNI 2001-11 MATEMATICAKaMQHMH

iena = 2 1

~ 1 REn el tringulo rectngulo AEB

- + x- 4 l 2 -J l _ 3 x

(I)

2 4^2 R--(2)

De (1) y (2):

1 3x

Js 4^2 R

4V1 r15

Clave: C

26. Del enunciado.

Del grfico: tan 30= -4= = .J 3 l h n + x /2

=> x = ( J i - l ) k m

x - 2,73 An

Clave: C

27..P ide,:

5n n n , . . ,^ + 2 = y (Angulos complementarios)

Luego, podemos construir el siguiente tringulo rectngulo:

V6+V2

Reemplazando: E = ( J E + J 2 ) [ & - )& - J 2

h H4

= 1,06Clave: A

28.

En el ANM\

2ianPiden: (?)

( j

2 2

-.2^2Clave: B

Por cuadriltero Inscrito

Del grfico: s ^ nOF. s ^\O M D

= a + x = b

x = b -aClave: C

30.

teorema de las tres perpendiculares

Piden: rea lateral ( S ^ r )

Del grfico: S^Aj = 2 (i'j + S i)

= 1 + J lC'la\c: K

UNI 2001-11 MATEMATICACom eZ

3 1 . Graficando de acuerdo al enunciado

En el tringulo rectngulo O 'Q N

, ,3 0 = = i-

En el tringulo rectngulo OM N

R.se 30= -

Igualando ( I ) y (2):R + i r

R

. ( 1 )

(2)

1 ._______2 R + lr

= i = iR 3

Clave: C

Del grfico: x ^ ~ ; SAnMN = . ( * )

El volumen generado por el A OM N al girar alrededor

del eje y: (Vr ) .

Por el Icorema de Pappus:

K = 2nT (s .< !t)

De (*):

C lav : O

/ GSTmeZXUNI 2001-11 MATEMATICA 29

3 3 .

Sea la longitud total de la faja: L

L = m (2it R ) (Dato)

Del grfico:

L = 2 l+ 2 n R

Igualando (a ) y ( P ) :

m (2nR )=2 l+2nR

l

.(a)

~(P)

R = n ( m - l)

Luego; Dimetro = 2 /?

it(m-I)

Clave : C

3 4 . Del enunciado:

y \0

~/ a

a!2

a!2

Del grfico: AB es dimetro de la esfera de radio P

A B = 2 R = ^ + a J + ^

R = f ( ! + ^ ) ...(a )

Finalmente:

a a

R

Clave: B

3 5 .

Aplicando Pitgoras:

57 = V3 - ( I )El rea del tringulo ser mnima cuando la altura PO

sea mnima ( hmin ), que suceder cuando AE y BU se

crucen perpend.cularmente

hm-m ser la proyeccin perpendicular de PO sobre la

base del cubo.

1A in = - ADmin 2

2

- (2)

El rea mnima del tringulo BPH est dado por:

B U y. hm.nBPH{ min) 2

V3IDE ( I ) y (2):

Clave: A

ser inscrito en

2001

AABO: n)

AB + CD < BD + AC

El enunciado es verdadero (V )

UNI

36. Analizando Io l enunciados:

I.

Segundo caso:

MATEMTICA | _ IIP f Goint* Z\

Del grfico:

a = 0

ZB E D = 180 (Llano)

El enunciado es verdadero (V).Clave: I)

II.

No todo cuadriltero convexo, puede una circunferencia".

. El enunciado es falso (F)

III.Primer caso:

Del grfico (por propiedad):

ZB E D =a +6

Tambin: 180= 2 a + 20

=> a + e = 90='

ZBED =')0 (Recto)

Por propiedad:

ZBaC'=9 y W '=2 ^ (2 ){l)=2 y 2

Del grafico: ^ 3 BAC - *3 OHB

h

'H O M I UNI 2001-11 MATEMATICA < 3 >

Clculo del .nradio (r ) en el triangulo ABC. aplcando el Teorema de Poncelet:

2 r + 2V2 = b + c

. b + c -J2

De (*):

38.

-3V2

2V3 +V6 - 3V2

Clave: D

rea del tringulo EAF. ( i A )

A x F H 2

L (L / 2 )

= V /4Clave: D

De la figura: Aiic = S + S 2 +S-^

l.h L x 1 L x 2 1 x32 2 + 2 + 2

W ]Luego:

= 3 L

S A A B C - 3 / .

= 4^ 3

= 3(4^3)

= 12^ 3Clave: A

40.

Dato: 4/?/.' = i/3

2 i/3 = 2

Del grfico: AC = a yfl = +

( i+ V5)^ Vi-

Clculo de la superficie del cuadrado:

S=a~

+ f i ) 2{ J 2

= 2 + f iClave: B

UNI 2002-1 M A TE M TIC A | 7 M Jf G oincZ\

m m m m m * nMATEMTICA

MATEMATICA PARTE 11 . Sean los conjuntos

A = j.r = ^ / r.x e 7, . con l< r < 3 v 0 < .v < j

S = { i e IR/ I < x < 2} Calcular a u li

A ) ( l ; 2 ) B ) ( l :2 ] C )[ l;2 ) D )[l;2 ] E )[2:3)

2. Determinar el valor de verdad de las siguientes jjro- posiciones:

I ) Si lodos los elementos de una fila (o columna) de una mati i/ cuadrada es cero, emonces, su determi nante es cero.

II) Si dos filas (o columnas) no nulas de una matriz cuadrada son iguales, entonces su determinante es diferente de cero.

TljSi en una matriz cuadrada se intercambian dos filas (o columnas), entonces el detei minante de la mal i7 resultante es igual al determinante de la matriz original salvo el signo

A ) VVV B) VFV C) VVF D )F V V E) FFF

3. Sean (, : 2 '"

UNI 2002 1 MATEMATICA 9. Sean los 4 nmeros

~745X11 = 2 ;

l IISJI 9DDP-1 MATFM TIPA 1 :

MATEMATICA PARTE 2

2 1 . En la siguiente figura: M C _ CB _ AB

M C = M D . Calcular: tanx

2 2 . El valor e C = < tan 24ctan57octan24rtim 33 es:

A ) 2 B) ,/J C )-2 D )- l E) 1

2 3 . Si /? es el rango de la funcin / y

t (a') = aus(r\ + tfitnAx + cas2x .y n ^' entonces pode- 2.V7 l

mos afirmar:

A ) /? c (O : l) B ) / c ( - l ; 0 ) C ) i c [ 0 ; l / 2 ]

D ) ( - I : l ) c z / ? E) {(); l) c /?

24-. En la sieuicntc ricura calcular el valor tic .

. . n D . T _ 71 _ 71 _ 571A) j2 ^ 6 4 3 12

2 5 . Si xeim. = 2.v7|1 y .

A ) VVF B) VFV O VFF D) VVV E) FVV

l i \ 4 429. S /(tan .v + ctan vi = sec .i+csc

Hallar / (2 ) + / (3 ).

A ) 20 B) 21 C) 22 D)2 3 E) 24

30. Se tiene un tringulo acutngulo,-\/K'cn el que se trazan las alturas AH y CJ. Se unen 11 y .1 con M punto medio de AC\ si el menor ngulo que forman l.i bisectrices del /.ABC y del ZH M I mide O y el Z.ILA mide a . hallar la medida del _H .

A ) 2a - t i B )3H -a C ) i - (e - a )

D)0 + 2a E) 20 + a

UNI 2002-1 MATEMATICA ] 3 1 . En la figura O es el ceir de la circunferencia.

AB es dimetro, m fib = 30 . mBE = \lkf. si CD = 2m

y EC = 10/i, entonces AC es igual a:

A ) 2>/37+ 6^3 B) 2^37 + 4^3 C) 2^37 + 2 ^

D) 2i/.37 -6/3 E) 2^37-4^3

32. En un tringulo rectngulo se inscribe una circunferencia cuyo radio a es 1/6 de la longitud de la hipotenusa. Luego, la longi.ud del segmento que une el incentro con el baricentro del tringulo dado es:

A ) | r B ) ^ - r C ) ~ r D) ^ - r E) | r

33. Se tiene el tetraedro V ABC tringulo rectngulo

en V tal que VA = VB=VC. Calcular el coseno del ngulo diedro que forman las caras ABC y ABV.

A ) J I B ) ^ C ) ^ j - D)| O. Se hace un agujero que tiene la forma de un prisma hexagonal recto regular Je lado 2a que va desde la base superior hasta la base inferior, entonces el rea total de la superficie del slido que queda es:

A ) 12(36+ J1,)i2 D) 12(48 /)2

B) 12(40 - J y 1 E) 12(48 + S )a 2

C ) 12(40 + 1/3 ) i 2

3 5 . En el tringulo rectngulo issceles ABC (111ZB = 90), los catetos miden a un. Del vrtice B le

vantamos una perpendicular BD al plano del tringulo,

con BD = 2iicm Determine la distancia del punto > a

la hipotenusa AC.

A ) -a B ) ^ (, C )^ - a D ) J l E , ^ - a

36. Hallar el volumen de una esfera inscrita en un oc

tavo de esfera cuyo volumen es (f.'

A ) ( f i - IJu* B) 240n(/3 - 2 )1?

C) ^|^(3/3 - 5 D) 216n(3/3 - 1)//'

E) 5l2n(/2-l)i3

37. Sobre las recta:; _ r+ v -4 = 0 y a - v = 0 se encuentran las diagonales de un rombo. Si uno de sus vrtices es el origen de coordenadas y la medida de una de sus diagonales es igual a la medida del lado del rombo, entonces el rea del rombo es:

A)5^3 B C)6 J D )|^3

38. Dos caras de un triedro miden 45 cada uno y forman un diedro de 90. Hallar el valor de la tercera cara

A ) 60 B) 45 C )I3 5 D) I20r E) 30"

33. Dos autos pai ten simultneamente desd un punto P en direcciones que forman un ngulo 0 uno a

ikm/h y el otro a 12 km/h Calcular el ( .ve" sabien

do que al cabo de I hora la distancia desde el punto P" al punto medio del segmento que separa ambos autos es

de Ikm

A)5/8 B)7/16 C)3/80 D)9/40 EU3/25

40. Para que valores de x e (0: rt) se cumple:

C(,V2(f )-< Y ,^ )< 0

A )(0 :it> D) ( '~ r )

o (o : f )

' W

UNI 2002-1 M A TE M TIC A aiixf ConieZ\

SOLUCIONAR IOMATEMATICA PARTE 1

1 . Datos:

A = |x ~ / r,. e Z , con I < r < 3 a 0 < .s< j ... ( I )

B = { x e K / 1 < v < 2} ...(2)D e (1): Si r e Z A l < r < 3 = > r = 2 ...(3)

Si i e Z a 0 T = ij + 2j = , + 4

Sucesin Geomtrica (Dato: r = I / 2 ):

Sc = b x r " ii = 0:1.2; 3;...

..(I)

. (Ha)

. (Ilb)

(IX)

' * - 4

= 'De (a ) y (0) en (I ) tenemos

/(, + 2 y = 0,4

De (a ) y (0) en (Ha) tenemos: h,

l + 4 - = 0 .4

Resolviendo (1) y (2). n, = -5.6

De (( ' [)) en (Ilb) tenemos:

, + 2 - J- = -0.4

, + 4 f =-0.4 1 4

Resolviendo (3) y (4):

Por lo tanto:

h. = 8

, = -7.2 y b, = - 11.2

...(1)

..(2)

(3)

u

11.2

Chive: C

y i i T/firirjrv

4 . De: A = |ve ? / < 4 y 2 - v > V 0 a 2 i . > ( ) a (2

UNI 2002-1 MATEMATICA61 x 62 x 63 x 64 x ... x 70 }

64x65 x70 = 291200

71 x 72 x73 x 74 x ... x K0 }

74x75 x80 =444 000

81 x 82x83 x 84 x . x90 }

84 x 85 x 90 = 642 600

91 x 92 x 93 x 94 x . . xlOO }

94 x95 x 100 = 893 000

TOTAL:

2 ceros.

3 oli os.

2 ceros.

: 3 ceros.

24 ceros Clave: E

8 . Condiciones del problema

a.b.i.cl son pumos

(i+h + c + il =70a +/> + 2r= 3(7 (|,,ellsua^l = 3 meses

Por teora:

Reemplazando valores:

f D y n * m :* R I +//

$ 2 - 'Kjjg-3)1('?)

V N = S 5100

Clave: 15

1 1 . Dos recipientes:

7% .Vino del tercer recipiente = x 100%

= % 18

12. Graficando:

t\

/cmezX

VP

Reemplazando datos:

203ni/s

UNI 2002 I m a t e m t i c a

l,+f2+l}+t4

8 0 0 m

2CK)m 200m 2U/II 200ra + ^ + - ^ + -------20m/v 2lm/.t 23m/x

=> v = 17,874 m/.t

Clave: E

1 3 . Dado: Jt-a - * b ,, ,< con 0 < h < ax + a x+h

x a x - bx + a x+ b

2x (b ) (jc+a) (jc+fc)

Por la condicin: b - u < 0

< 0

0(,v + i) {x+b )

_ l X Z K Z L _ h _ I Z F l- a - b 0

= i e (-a . - h ) >_> (0; =)

Se pide un intervalo: je e (-a \ -h }

1 4 . Propiedades: (B -C )=(BriC7)

Clave: D

Si B c [B - (C - ,4 ) ] => [ f i - ( C - i4 ) ] = B"

Simplificando el ejercicio:

x = n [ ( f i - r " )u ( - o j | - {/ tn [8 - ( C - n B1}

' -------------v------------ ' ' -------------v------------ 'I II

l = { n [ (B n C )u (B r 1C, ) ] ' j

m

= {A n [ (B u l )n ( iu O ]n [ (C u f l )n (c u C J) ] ] j

= |i4 n [B n [C u B j1}

= { n B 'j

Simplificando x:x = l + II

Clave: C

1 5 . Datos:

X 5 6 7 8f ( x ) 8 7 6 5g(x) 7 8 6 5

Determinemos: M = ^ + ^ fI (fi)L K"K J[ + ./ ](/ (6 ))-2

SU'(6))

De la tabla: /(6) = 7 a x ( 6 ) = 8

= M = k m h i W )

_ g (7 )+ / (7 )-2Jf(8)

6 + 6 - 2

1 6 . Tenemos:

a * - * x a 5\

Simplificando:

(p 2- ) '

Clave: C

con 0 < a < I

2x-2+S-jr-St . 2x"-.t-4.-2 a < n

Dado que: 0 < < l

- 4 x > 2 jT - 5 x - 2

2 a2 jt 5 < W

)

Puntos crticos:

7( = + y|i z2= - a - i P

Reemplazando en (r, + r,)1 ?

= ((* + j P - a - j f r '= 0

41

C lave:C

..-(2)

1 8 . Dado: .V

3* + 2V+I :

D e a ): 2r = 3'+ l- l l

Reemplazando en (2) : V + 2(V *1 - I ij = 41

3' + 2 x (3)3r -2x11 = 41

3r(l + 2 x 3) = 41 + 22

= y = r=> v = 2

Reemplazando en (1) 21 = 3 v = 4

Finalmente: Hv 1 = 1(,Xa 2 = TClave: A

1 9 . CASO 1. Cuando la cifra de la parte entera seadiferente: ____________

300 < b c . 111 11 J" i -l- J- i 3 1 1 6 67 2 2 9 3 3

7

3 x 4 x 3 * 2 x l

Nmero de maneras A/I = 3 x 4 x 3x2x1 = 72

CASO II. Cuando se repite la cifra de la paite entera:

300 < 11 b + 3+5 = 36

( l;ne: I!


MATEMATICA PARTE 2

2 1 . Datos: ~M = 5k : 7T = 4k ,~B = flk

V C = M D = 3k

Del grfico: x = a +

. x tan a + tan =* tan (jc) tan (a + ) = --------------r

w H I - lau (X x la ii [i

4 k 4Del grfico: tana = -^ = y

, r 4* 2'" " P = 6F= T

i + lC TRemplazando en (*): tanx = J

' - 5 X 3

... (*)

227

Clave: C

2 2 . De: q = t ^ 2 4 c#57 - erg 24 cfg33

= ctg 24 (c/g57 - c#33)

= erg 24 (# 3 3 - ctg i r )

= ctg 24 ( -2 c # 66c)

= #6 6 (-2 ctg 66r)

= -2

Clave: C

2 3 . En la funcin:

f ix ) = eos 0x + cosAx + eos 2x senlx2sen x

Donde: 2senx 0 =* x * n n ; n e Z, m

. . 2 c o s j c c /i j + 2 t*os 4jr c iij?+ 2 cos2xsenx senlx1 U)=------------------ -----------------------senx

Transformando un producto a una diferencia

2 sen ex sen (3 = eos (a + [)) sen (a (3)

=> 2 eos 6 x sen x = sen 1 x sen 5 v

=> 2 eos 4 x sen x = sen 5 x sen 3 x

=> 2 coy 2 xsenx = jkvi 3 x sen x Reemplazando:

/M=(,v?i7 vse>i5x j+(.si5.v.vai3.v)+(.v0i3.v senx)sen! v

2v j v

Zsaix

Clave: B

Se tiene: eos4a.2 a

4 = 60

2 5 . Datos: sen a = 2sen

cos = 3 cos ci

Cla c : A

- ( I )

...(2 )

Se pide:

De (I) y (2):

Tambin:

De 0 ):

De (2):

Simando.

cos (a I = cos a cos + sen tt seti

mv- + 2sen~

l+5.v/- 3

sen a = 4 se "

2 cos" cos = - 0 ^

...(3)

= 4 sen~ +cus'

UNI 2002-1 M A TE M A TIC A | /4'A/ G n n ieZX9 = 36 sen~ P + 1 sen P

8=> sen |3 - 35

Reemplazando cn (3):

26.

I) VERDADERO: Tringulo aculngulo. es aquel que tiene sus ngulos internos menores que 90". '

Del grfico:

>/i .S , + ,S j 45 n r

..(1)

-(2 )

... (3)

. (4)

. (5)

Finalmente: SHfl

28.

a) VERDADERO

S + SA = 45 r

Clave A

determinan P ft./V

Q{ ---------------------a x -------------- - 1

En el grfico: h > > u

I II ) FALSO

II) FALSO:Lj altura 110 depende de la longitud de los lados.

Del grJico: < (por ser cateto)

f GomeZ\

b) VERDADERO

UNI 2002-1 M A TE M TIC A |

c) VERDADERO

Clave: D

2 9 . Propiedades sec2 x - 1 + tan x .- (1 )

csec2 x = I + clan2 x (2 )

Reemplazando (1) y (2) en la funcin:

2 2 = (l+fan2xj +(l+cun2xj

= 2+fa/4 x+2 l^an2 x +can2 x j+clan4 x

= (/an2x+ctofl2x) + 2 (ton2x+c a 2x)

/ (ton2 x + c tan2 x) = sec4 x + c ser* x

Si hacemos: o = tan2 x + ctan2 x

Tenemos: f {a ) = a2 + 2a

Calculando la expresin:

(2 )+ / (3 )= [(2 )2 + 2 (2 )]+ [(3 )2 + 2(3)]

= 23

Clave: A

3 0 . Graficando de acuerdo al enunciado:

B

0 180-[(p + x) + (p + )1 = 9f f _ p _ _ a

s = l80p-t2x + 23=9(f_j _a

En el cuadriltero ABNM. la suma de ngulos internos igual a 360u:

(P + x) + + (I SO+O) + (8 + 2a) = 360

(P+x)+( 9

>x=20+aClave: E

3 1 .

Aplicando ley de cosenos en el A ADC :

x = (12)2 + (2)2-2(12)(2) (w M T

= 148- 241/?

k = 2j] 37 - 6f i

Clave: D

44

3 2 . Graficano segn el enunciado A

3 UNI 2002-1 MATEMTICA I

3 3 . Graficando: C

/ComezN

r\

/?

\ >. \ Propiedad:\ V,V\ BG = 2r ; CM =

ro / \ 1! II w

/ /w / \ N .

r \ N .

e/- : inradio (radio de la circunferencia inser a)/ : Incentro (intersec:ion de bisectrices).C : Baricentro (interseccin de medianas).

Por definicin: Semiperimetro p = AC + r .. ( 1 )

Area del tringulo rectngulo ABC. de dos formas:

Desde la vista "II" se observa:

UNI 2002-1 M A T E M TIC A | .

=> R = 8 Desde la vista "I" se observa:

* = j + j t - 4 = 0 [

P = (.r;y) = C;2)

Dalo: = . . . ( * )

Por definicin, volumen de la esfera de radio R:

Porcondicin: i/ = Ii/ , = J. jrR3 | ...(1 )8 813 )

Igualando (* ) y ( I ):

( 4 Dj> 2 % ?J = "

Del grfico: BH = Ju2 =

En el tringulo rectngulo BDH:

3 J T a ~ 2

Clave: E

36. Graficando segn el enunciado

VISTA I

VISTA II

R = r + r J 3

=>r = y(/3-l)

= 4(^3-!) ..(2)

Volumen de la esfera de radio r :

De

UNI 2002-1 M A TE M TIC A

Del grfico: L = i J l =4t2

Del grfico: I = 2 / 2 cscf =

Area del rumbo de lado L:

SL = 2^OA* E P 'j = (Mx~P

= [2 (2 ^ 2 ) ] x [/ . c 3 0 ]

Reemplazando L : = x j^(4V7)^-y-jj

= lfn/3 (no existe clave)

Area del rombo de lado / :

S , = 2 ^ ^ ^ ^ j = CDxO>

= [21 < ), = m

/(V): =(V).v2 y

i r

/ ( a ) , = m v

2 X ^ X rus -y < CJ.V

a s " y ( a s < 0

V 1 e M)Cisne: C

UNI 2002-11 MATEMTICA

t a i i

MATEMTICA

I

m m m i

MATEMTICA PARTE I

1 . Una ecuacin d como solucin una fraccin ordinaria irreductible, de manera que el trmino del denominador excede al numerador en 10 878. Halle l i suma de Jos trminos de la fraccin sabiendo que redunda a decimal d una peridica mixta que tiene 3 cifras en la parte no peridica y seis en la peridica.

A ) 18 872 B)22 872 C)23 872D)24 872 E)25 7S2

2 . Dos recipientes A y B contienen vino. El recipiente A est lleno hasta su mitad, el B en un tt.cio de su volumen. Se completan las capacidades de A y B con agua,arrindose las mezclas a un tercer rec.p.ente C. Sabiendo

que la capacidad de B es el doble de A. Entonces el porcentaje de vino que C ( ntiene la mezcla C es aproximadamente:

A)36 < B)37< C)38 % D)39 < E)4u %

3. Si la diferencia entre el descuento comercial y el descuento racional de un pagan, de $ 900 descontado 60 das antes de su vencimiento es de $ 0,09. Entonces el valor aproximado de la tasa de descuento es:

A )4% B)5% C)6% DV7% E)8 %

4. Dada la expresin:

Determinar el valor de verdad de las afirmaciones.

I. No existen nmeros enteros que satisfagan la expresin.

II. Si he (0 ;I ) , entonces a < 0

III. Si b * 0, entonces a =J b _ _ b 2b 2

5. El mnimo entero m tal que: (xy7 x+9 y 63)m tenga ai menos 1998 trminos es:

A)40 B)41 042 D) 43 E)44

6 . Hallar un numero de 4 cifras ahcd que sea divisible

por 13 y tal que cd = 3(ac + 2 ) . Dar como respuesta

a + b + c + d

A)15 B)16 017 D) 18 E) 19

7. En un partido de ftbol entre los equipos M y IV, la relacin de hinchas al iniciar el encuentro, es como A es a B (A > B) a favor del equipo W. Sin embaigo. luego de un gol del equipo M la relacin inicial se invierte. Sabiendo que el encuentro se inici con h espectadores, resulta que el nmero de espectadores que se cambiaron al equipo M es:

A)

D)

Ah A + B

Bh_ A + B

ABI.

E) A2 + B2

8 . El siguiente producto est expresado en una cierta base

b: (5) x (123456) = 606 ^ 58 donde Y es un dgito, enton

ces para el menor valor de b. la suma b + Y es:

A)9 B)10 O l D) 12 E) 13

3 . Sea la funcin f (x ) = 4 + 3 / (4 3**), definida en

el intervalo (260;360] Entonces los valores mnimo y

mximo de la tuncion son, respectivamente:

A) FVV B) FFV C) FFF D) VVV E) VFV A ) -1 y 5 B ) - l y O O y 5


D) 5 y 7 53 * E) TT y

1_Q. Dadas las siguientes inecuaciones:

jr - y < 0 ; x + 4 < 3v y < x + 2. entonceslos paius iv ; y) que satisfacen estas inecuauiones estn representados por la regicn s imbreada

1 1 . Al resolver en el conjunto de los numros comple-

(l + /) z - w = -1 - /2/z + (l /) iv = ijos, el sistema:

El valor de es:

1 i A) 2 6

d ) - - + 7

B)I " 6

E)6 2

12. Sean u y b nmeros enteros positivos pares: con estos nmeros se fonna la matriz

si del (A + l ) = 12

a i a

0 I 21 1 b

(/ matriz identidad)

Hallar el determinante de la matriz

A )-12 B ) -10 C )l()

1 3 . Sean las inau ices

ii _iiI r b

D)I2 E) 16

1 2 f ' 1 0 -1

u = 2 4 2 V = 0 0 01 2 1 - 1 0 1

Q = a U + [iV donde a. P e K

Los valore.-, de a , [i para los cuales existen los nmeros

p, q tales que, simultneamente se cumple.

Y V i i2 = r 2 Q 0 = i 01 i - i -1

son:

A ) Solamente a = P =0

B) Solamente a = 0 ; p arbitrario

C) Solamente P = 0 ; a arbitrario

D) No existen tales nmeros

E) a y P son arbitrarios

14. Si 2 4- 14 + 26 + 38 + + x = HI6

Entonces el valor de x es:

A )110 B)122 C)I34 [1)146 E)1SX

1 5 . Cumtos ancestros tenia usted hace 10 generaci nes?

A)2046 B)2022 C)I024 D)I022 E) 1020

1 6 . De cuantas maneras 3 argentinos. 4 peruanos. 4 ch leos y 2 bolivianos pueden sentarse, ordenadamente, en una mesa redonda de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?

/ t> vr G o iie Z \

UNI 2002-11 MATEMATICA A) 3456

D )41472

B) 6912

E) 165888

C) 20736

17 -Elrangode F (x ) = -1 )2 + 2\x\J es:

A ) K - [ - l ; l ] B) C) ( 0 ; ~ )

D) { - " > ,0 ) E)

1 8 . Un avin realiza una maniobra a velocidad supers

nica. segn la trayectoria: 2y1 - x2 = 48

Hallar la menor distancia de la trayectoria al punto (6 ; 0)

A ) 9 B) 8 0 7 D) 6 E) 5

1 9 . Determinar el valor de verdad de las afirmaciones:

3I. Si .ve (-1:5)2x + 5

+1 >0

ni. s ^ 4 > x + 3A < -3

A)FVV B)FVF C)FFV D)FFF E)VVV

20. En una tabla de distribucin de frecuencias con 6 intervalos de igual amplitud, el valor mnimo es 500 y el valor mximo es de 1700. Si la caracterstica medida es el ingreso (en soles) de un grupo de trabajadores y se sabe adems que

h = \ h : 5 = 0 .9 5 ; / = !() ; /i, = 0,25

donde:

f = frecuencia absoluta simple

Ir = frecuencia relama simple

H = frecuencia relativa acumulada /Qu porcentaje de trabajadores ganan como mnimo 900 soles y como mximo I tOO soles?

A) 75 % B) 37 5 % C) 35 %

D) 30 % E) 62,5 %

MATEMATICA PARTE 2

2 1 . Sea AIICD un cuadrado de lado L: M es el punto medio del lado AD. E es un punto en el lado AH l es la interseccin de MU con EC. y fe s tal que DI contiene a / .

Sabiendo que | AE| = j f| , calcular el valor de | FBI

^2 L 1A ) L B ) ~ C )-

22. En la siguiente figura:

D)J i

E , - /

OBF = 60. Entonces la medida del ngulo UPF es:

A)7,5 B)I0 C)I5 D)22.5 E)30

23.E11 un trapezoide ABCD.AB = IIC . m = 90,

111D = 45. Se traza el segmento BH perpendicular a Al)

Si AD = f , calcular BH

1

A ) - r 't.

B ) - C ,TU) E)

r j

24. Se tiene un tringulo issceles, cuyos lados de igual longitud miden b cm. Para poder obtener un tringulo con la mayor rea posible, el tercer lado debe tener una longitud de:

J iB) li 1111A ) J 2 l> cm

D) b cm Ei Jn b CHI

C) b cu

25. El mayor ngulo diedro que forman dos caras adyacentes de un octaedro regular de arista f es tal que su coseno vale:

UNI 2002-11 MATEMATICAA ) - -

sd) - t

72B)- -

E)-

C)-

26. El nidio R de la menor esfei- hueca que contiene a cuatro esferas slidas de radio r es igual a

A) J 2 r

D) 2 r

B)r r ~ 'l + \ J r C ) [ f i + l ) r

E ) l

27. La superfcie total de un cubo es T. Entonces la diaconal de dicho cubo es igual a:

FyrA) J2 T B ) j r f C ) D) 2-St E ) f i r

28. Una superficie S se obtiene por la rotacin de un trapecio isost~les alrededor del eje que curtiene a su lado mayor . Si Jicho trapecio tiene un ngulo agudo de 60 y bases de 4 cm y 12 cm de longitud. Cul es la medida del rea en era1 de SI

A)64/r^ 3

D )H 2 k S

B) 128/r

E ) 9 6 n f i

C) yin S

29. La figura muestra un montacaiga con un tambor de

7 n60 cm de dimetro, si el montacorga gira radianesentonces la caiga se eleva aproximadamente a una altura de : (tomar n =3,1416)

A ) 1,68 m

B)l,67 mC)l,66 mD)l,65 mE)l,63 m

/ i M \/GonreZX

30. Cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas (V ) o falsas (F)?:

I) /in^ l283jj = -l

II) sen (n jr)+ sec ( ) = ( - 1 f , V/ie Z

III) Si }.ien6 . JrnO < 0 , entonces 6 pertenece al

tercer cuadrante.

A)FFV B)FVV C)VVV D)VFF E)VVF

3 1 . Si P = (x ; 1 - a) es un pun o que pertenece a la grfica de la funcin seno, hallar:

A = (.\enx) (l - senx) (eos ecx)

1A ) 1 a B) : C )- D) 11 E) I

32. Los extremos de la base de un tringulo son los puntos A = (0;0) y B = (3;0). Determinar la ordenada del

vrtice opLesto Ci r ) *

tal manera que la medida

del ngulo CAB es igual al doble de la medida del ngulo CBA.

A>y5

&D)

B;

E)

C)

33. La diferencia entre el valor mximo y el valor mni

mo de la funcin /(a)=|c/u) es aproximada

mente igual a:

A ) 0,41 B) 0,42 C) 0,44 D) 0,46 E)0,9I

34. Si set2 x + cosec2x = 7 , hallar:

= ( *)('set: x + tan x 11cosec^ x + co t x I

A)13 B)14 C)22 D)I6 E)IS

t iE

eZ \

35. Sea ABCD un cuadriltero y sea O el punto de interseccin de los diagonales AC y BD. Si las reas de las regiones ti lungularesAO, BOC y COD valen 1,2, y i m~ respectivamente, el valor del rea en m- de la regin triangular AOD es:

A)2 B)6 C)8 D)3 E)7

36. Hallar el mdulo del complejo:

w = z + l + z - l

iz 1 IZ + 1

donde: z = cosO + 1 senO y (*)

A)InO

D) 2 cotG

B)c/0

E) itanB

C) 2fcinO

37. En la figura, hallar el area sombreada comprendida entre el tringulo ABC recto en B y la semicircunferencia, sabiendo que el arco BT es de 120

A)

C)

(3 y - 71)6

[ j + n ) i l

B)

D)

38. En la siguiente figura: BM +MA = bC' h-CA .

La longitud de la semicircunferencia generada al tomar como dimetro el segmento MB es:

A ) n {m - h)

2nhm C) 2h+m

3/r/im

B)/r Jh

D)

+ m h

n lint

2 (2 h + m)

E) 2/i+m

39. Un cuadrado M N PQ cuyos lados miden

t 2 - J u> est inscrito en una circunferencia. Calcular

la distancia del punto Q al punto medio del arco MN.

A) 0,5 B) 1 u C) 1.5

J iV )j2 u E)

40. El punto de tangencia de la circunferencia inscrita en un trapecio rectngulo, divide al mayor de los lados no paralelo en dos segmentos que miden I m y 9 m respectivamente. Luego la base mayor mide:

A) 12 m

D) 14 m

B) 10 m

E) 16 m

C) 13 m

' UNI 2002-11 MATEMTICA | / i i : \f G&meZ\

SOLUGIONARIOn w H M n

MATEMATICA PARTEI

1 . Del enunciado:

D \ - N = 0

N=> x =D

Condiciones:

Fraccin o diara: p ^ 'q

Fraccin .rredujlible: Dy N son PESI

u.abi de f yhi = itbi de fK l i i ubi _ A:999999000 D

N - D = 10878 = 2x3x7 x37

a n nDe (2) y (4): D * 2 ; 3 ; 7 ; 37

De (3) y (5): 999999000 = 0

...d)

. ( 2)

= 5' x 11 x 13 = 17875

N = 17875 10878

= 6997

N + D = 17875+6997

= 24872

2 . Graficandn de acuerdo al cnuni.ado

Clave:D

2V

I V

i de vino en la mezcla = ~. x 100%31/

= 39%

Por definicin: D =

Por definicin: O, =

36000

900x60xi-36000

3= r

2

VN x t x r

16000 + 1 r

900x60xr

36000+60 r

900 r

600+ 1

KeempIazando (or) y (/}) en ( I )

3 900 r= 0,09

2 600+r

r2-0,06 r - 36 = 0

Clave: I)

3 . Datos: vN = 900dlares

I = 60 das

Dt.- Dr = 0,09 . ( I )

VNx i x r

_ 0.06 J (0.06)2 + 4(l)(36) ^ r ~ 2=> r = 6.03

El valor aproximado de la taza de descuento:6%

()

(P )

Ca*:: C

r

UNI 2002-11 MATEMTICA a . Resolviendo: a1+ J b = u + b

{J ci2 + JT> ^ = (a + b f

i ? + J b = r + 2 < ih + lr

2b- ( a )

Analizando'

I) FALSO : b = I 0 Si 3 u be Z

III) FALSO: Si = - => - > 0

4 8III) VERDADERO

= " f para h 0

Clave: B

5- Fac erizando la expresin:

M = (xy 7jc + 9 y - 63)'

= [(y -7 )U + 9 )]m

= o - ? r

El lolal de trminos diferentes de M ser: (w + 1)2

Por dato (m +1 )->1998

=> m > 43.69899 Por lo tanto el valor mnimo entero: m = 44

6 . Por condicin: ubctl = 13

~ l = 3( 10 b = 2Nos piden

+ h + c + ct 1 + 2 + 4 + 8 = 15

Para c = 5 en (II): h = 0

u + b + c + d = 2 +0 + 9 + 3 |4

(4)

(4)Para a = 3 en (II):

Despucs del gol:

mammummuau

n - i _m + x A


De (II):

De (*):

( niA 'l D

Bx + x

A

^ B= AT + JC

A

(A -B )

- f h B

h (A -B ) '' (A + B)

8.AnalianJo las cifrai de primer orden:

1 2 3 4 5 6 (b)x

5 (b)

6 0 6 K 58,(b)

30 = n i8

Clave: B

(cy

>)= mb+S

=> mb = 22 = 2x11 = 1x22

De donde: =11 b = 22

El menur valor de b e s 11

Lue^o:

1 2 3 4 .S 6 ,j - 1 9 4 8 7 l(l())

5

UNI 2002-11 MATEMATICA De (3) en (2):

. + 4 = 3 (*+2)

= je I ; y = 1

Reemplazando (je = 1) en (1) :

( - l f - y = 0

=> y = 1 a h i I 0 0'

Intersecando graficamente : A + l = 0 1 2 + 0 1 0

1 1 h 0 0 1

1 1 . En el sistema:

(I + r ) z w = - l - i

2 iz + (1 /) w = /

D e(l): w = (I + 1) (z +1)

De (3) en (2): 2 iz+(l-/ )[(l+/)U+l)] = i

2iz + 2z + 2=i

-2 + 1=> z = 2 + 2i

- M

Finalmente: =

3 , - _ lz _ 4___ 4

31

2

Clave: A

- O )

... (2)

- ( 3 )

Operandi

Reemplazando v4) en (3):

= ( '+ ' - > [ ( - r - i ) + ' ]

_ 3 i

2

... (4)

1 2 . ay b son enteros pares positivos

A =

Sumando las matrices:

'a -b a I 0 0"0 1 2 ; / = 0 1 01 1 b 0 0 1

Por condicin:

a + I -b -a

0 2 2

1 1 h + \

rlet(A + /)= 12

u + 1 b L

0 2 2I I />+!

= 12

(o + 1) (2)(/> + I ) - 2h - [-2u + 2 ( + I)] = 12

(/> + l)(U) = 6 Donde a y h son enteros positivos:

= 2 : fc = 2Luego:

=> det(B) = (2)(2) - (4)(4)

= - 1 2

Clave: A

1 3 . Del enunjiadc

e = a t ;+ p v ' a ;(3 e l?

1 2 r ' 1 0 - 1'Q = a 2 4 2 + P 0 0 0

1 2 1 - I 0 1

Tambin: = P . ( 1 )

C lave:C

UNI 200J-II MATEMATICA IReemplazando Q en ( I):

i 2 r ' i o - r \ r va 2 4 2 + P 0 0 0 2 = 2

! 6 1 - 1 0 1 i 1

1 2 1

2 4 2

I 6 I+ P

I 0 - I

0 0 0

- I 0 I

6 f

=> a 12 = P 26 1

, - J L

De igual forma:

' 1 ' ' 1 '

0 = P II_ 2

= 1

- f 1 ' 1 '

0 0 = . = 2

Num..o de liTminr n

Clave: I

/ P i\^GomcZ\

U' mo trmino: = 2 + (n - 1) 12

jr + 10

12 ( )

La suma de trminos est dada poi

Por dalo

De (a ) :

- [ %

816 = je + KO

12

(jr + l 46) ( r - l 34) = 0

x = 134 ; i = 146 (descalado)

=> x- = 134

( lave l

1 5 .

)A 1ra generacin = 21 ancestrosgeneracin = 22 ancestros

10m" generacin 210 ancestros

= 1024 am .tros

Clave C

1 6 . PermuMicion circular de 4 prunos.

A = (4 -0 / = 6Adems cada grupo pueden permutarse asi:

UNI 2002-11 MATEMTICA

- 3 argentinos

- 4 peruanos

- 4 chilenos

- 2 bolivianos

Total de maneras:

l\ = 3! = 6

Pi = 4! = 24

^ = 4! = 24

P2 = 2! = 2

17.

De domJt.

PT = P4 x/>x/>x/Jx/?

= 6 x 6 x 24 x 24 x 2

= 41472

F ( * ) = R 0 - ' ) 2 + 2|-v|]

Clave:D

| a | ^ 0 = > * > 0 J t < 0

Para x > 0: |jr| = x

f ( r ) = v 2 + l = F (x) > I

Para x < (): | a| = x

F (x ) = 3 - ( x - 2 f => F ( x ) < - 1Finalmente:

F (x )e !? - [ - ! . IjC lave:A

1 8 . De la ecuacin:

2 y2- * 2 = 48

.v2 + 48y - = . ... (a )

Grafitando :

La distancia de un pumo de la curva al pumo (6; 0) est dada por:

De (a ):

] < 3 >

il = V r - f i f + 0 - or

= J (v -6 )? + y-

_ J 3 (a - 4f + 72

Para que rf sea mnimo: (a - 4) = 0

- H )+ y 2

72

= 6

19. Analizando las afirmaciones

/ m 2I Si a { - I ; 5)

Veamos:

Clave: l>

2a + 5(.!>

-1

UN 2002-11 MATEMATICA nte

* ( j c ) = J x - I = > X > 0

=> A G [o,00)

Considerando la condicin inicial:

x g [0; 4) => Dom f (x) = [0; 4)

Dom g ( t ) = [0 ,4

Si min f (x) > max (a) ser suficiente para considerar

que la expresin er verdadera

min f (je 4) : : P = J 2VC' -(4)+2

m i i x f * ( j c >4) = J a \ = 1

Como min f (a) > max j (a)

=> la expresin es VERDADERA!

III. Si i > ,x+3

jr-1V e a m o s : ----------* > 0

(a + I)~* + 3

< 0

T T ] O .[(-)! o-3 -1 -1

x < -3 (VERDADERO)

20. Construyen .ma de distribucin:

;i 500Ancho de clase: I = 20()

Clave: E

I INTERVALOS A H,

1

2

[500 ;700>

[700 ;900>

3 [900; 1100> 0,25

4 [1100;1300>

5 [1300;1500> 0,95

6 [1500;1700> 10

f u . \L

Por teora'

/(, = Ht - = 1.0 - 0.95 =

Por definicin: n = 10/i,, 0,05

/, = ( ) = 0.25 (200) = 50

D U B ./CoiuzX

0.05

200

Por dato:

/4 = - /, = * / . = - ( 5 0 ) = 2 54 2 3 - 4 2

Trabajadores que ganan entre:

T [900 ; 1300] = 50 + 25

= 75

Total de trabajadores: 200

75i pedido = x 100%

200

= 37,5 %Clave: 15

MATEMATICA PARTE 22 1 . G rali cando segn el enunciado:

Lx

A P E F A P I

m . n

L xi ... (ex)

UNI 2002-11 MATEMTICA [ .

Teorema de Menelao en el A A F D

r ^ 111 x = L X n

L - xDe (a ): x = L x -

LX=T

Clave:C

2 2 . Grafcando segn el enuncudo:

Del grfico: f ( J C = D O E = 120 ; (O'DIIOF)

Por dato: D E tt AC

= O D = a = 30

Clave:E

2 3 . Grafcando de acuerdo al enunciado

A A B H = A B C P

Si AH = n => HP = n

Si B H = m + n => P C = m+n

tn el triangulo issceles CED

E D = C E = m

Finalmente:

AD = W + HE + ED

t = n + (m + n ) + m

=> 4 = m + n2

f i = n+m =

2 4 . Grafcando

El rea de un tringulo issceles

b x bS = ------- sena

2

= sena 2

Por propiedad: - I < sena < I

Para que S sea mximo:

sena =1 => a 90

Luego: x = J h 2+l>2

= b J l

< 3 >

Clave: B

Clave: A

Nf4tteK^ . A g | UNI 2002-11 MATEMTICA | /C&piez\2 5 . Grafitando el octaedro regular que se caracteriza porque sus ocho caras son tringulos equilteros.

cas ia = 2eos a I

Del grfico: Fn el tringulo rectngulo E O M

(*>

eos (x =I

L 2

Reemplazando cosa, en (*):

eos 2 aa > ' - 4

Clave: E

Los vrtices del tetraedro regular ABCD son lo:, centros de las 4 circunferencias slidas de radio i: inscritas en la circunferencia de radio R y centro "O".

Propiedad: CO = \OH

En el tringulo rectngulo CHC

( I )

C O + O H = ,= {2r)2- { ^ k )

De (l): { lOH)+OH =2r2J ^

=> OH =-! =JE

Del grfico, por proptedud:

R = C + r

(2)

D e (l):

De (2):

= (}O w ) +

- [ < * ] ]

Clave: H

2 7 . Graficando.

Diagonal AB

De (*):

"

d ~ a J?>

(* )

L V r ,

j i f

Clave: C

. y O l S/ G&imeZ

28.

MMMSHM

tisaH6etifcH B M i UNI 2002-11 MATEMTICA

4 cm

Superficie lateral: Sr

La superficie total del slido est dado por:

S 2 5 L -co m i + ^ L cilndrii

= 2(/r r /;) + 2 n r h

= 2 n (4 cm) (8 cm)+ 2 tt (4 cm )(4 cm)

= 96 n cm2

Clave: E

29.

Dato: r = 30 cm = 0,3 m

La longitud de arco girado es igual a la altura elevada de la carga.

L = a X r

= x (0,3 m)4

7 x 3.1416

4

= 1.64934 m

- I.65i

x 0,3 1

Clave:D

30. Analizando las afirmaciones:

fcm^l283-|j=-l

-iJ^320jt+^j = - I

3>itan = - 1 4 (VERDADERO)

II. sen (nn)+ste (11 n) = (-1 )"

sen (n Jt) = 0 V 11 e Z

. ( h n) = (!)" V e Z

=> seti(nn) + ser (71n) = ( 1)" V n e Z

(VERDADERO)

III. Si 6e 111 Cuadrante

sen 6 0

6 x Jume < 0 ^VERDADERO)

Clave: C

31. Por definicin si:

P = (x: l - o ) e J (x )= sen r

=> vvi a 1 i

En la ecuacin dada:

A = sen x (1 - sen .v) (esc x)

= sen x (l-.ve/i x ) ^ sen x J

De (*):

= I - sen x ; sen x * 0

= 1 - 0 - )

Clave: 1)


3 2 . Graficando de acuerdo al enunciado:

Del grfico:

2v

3-^

tanla. = - y = 2 y

T

. , 2tin nxPor trigonometra: tan 2 a = -------- I-itiu a

.. ( I )

- (2)

De ( I ) y (2):

Clave: B

3 3 . Analizando grficamente.

Del 2

eos ~ x sen x

1 + ( I )+ eos x * v'// .v _ - i

y w " jr sen x

- r ^ ^eos x sen v + 1De (*): = 2 (7 ) + I

= 15

3 5 . Grati cando de acuerdo al enunciado:

B

Clave: E

Por propiedad:

A \OD ^ &BOC ~ M B ( f X ^ AC(U)

(t ) ( in 2) = (lr ) (-1 r )

5 i = 7in

Chut V

36. Dato:

=>

En la ecuacin:

De (*):

37.

Del grfico:

UNI 2002-11 MATEMATICA < 6 3 >

= ti ix 6 + iscn G

z cos 20 + / sen 2 0

iz + 1 i z - l' = + ------

1Z - 1 IZ + I

( i z + i ) ' . ( i z - i r7 "* T

. (* )

- z ' - l - z - I

_ (z z +2i>+l)+ ( - z 22.>+l)

- ( z 2+ l )

. 2 (^ -1 )

z2 + l

_ 2 [cos 20 + i sen2d I] cos 20 + / sen20 + I

_ 2 [(cos20-1) + / sen 20] (ros 2 0 + 1 ) + i .ve 2 0

_ 2 [ 2 V \W\ = 2tanti

Clave:C

r = / tan 30 =

CB = f 603 = f * /

Del grfico por geometria-

A a _ A m h rc jd i l ri in cu lo sem ic rcu lo

ABxBC I t y n ,

IxHJ I 2 2 2 Kr

P j 5

- H * !t 2/ r r i 2

2 6

6

Clave: A

38.M

Por condicin:

BM + MA=~BC + C

2 r+ J (2 r + h)~ +m~ =h+m

hmr ~ 2(2/i + hi)

Poi ivometrfa se sabe la longiud del arco L.

L = nr

. (*)

Dei*):( hm \

n / i ni = 2 (2 / 1 + h i)

Clave. D

UNI 2003-1 MATEMATICA ] -

m m m m m f l

MATEMTICA

MATEMATICA PARTE 1

Hl valor de

E)

13

0 0

0 i 12 2

0 0 12.

A )I 0

0 ~2 0 0

( i f12

B)'er

o)

0

1000

$

0

12I00

C) 1000 1000

D)

10003 0 0

0 /n",im looo12/ 01000

0 0( i

y 000

1000 0 0

0 1000 10002 2

0 0 1000 2 .

2 . Sea /,(,) = { ' ' - n lo : f 2

t < 1I < / < 2

t > 2

l < 1l < f 2

/ < 2 2 < t < 2

t > 2

t < - 2 2 < t < 2

t > 2

3 . Hallar el nmero de races que tienen la ecuacin

|/og?N|+ i

A ) 1 B) 2 C) i D) 4 E) 5

4 . La poblacin de venados de una regin est dada

por la funcin V (t ) = - t 4 + 21/ + 100 . donde / es el tiempo en aos. Entonces, el intervalo ele tiempo, donde ocurre la poblacin mxima de venador es:

A ) [0 ; 1 ] B ) [ I ; 2 ] C) [ 2 : 3 ]

D) [ 3 ; 4 ] E) [ 4 ; 5 ]

5. Calcular cl'.aloi de K = , r l + c- : si ladivisirV O -L

UNI 2003-1 M A f EM TICA

21a a x + c

A * - J C + 1

A) 10 B) 8

es. exacta.

C ) 2 D) 6 E) 4

6 . Para cumplir con el pedido de un lote de artculos de exportacin se trabaj durante 16 das de la siguiente manera: El primer da trabajaron 9 obreros, cl segundo 13 obreros, el tercero 17 obreros y as sucesivamente. Si todos los das se hubiese trabajado con 15 obreros, 109? menos eficientes; entonces el nmero de das en la que se habra acabado el pedido, es:

A) 69 B) 63 C) 56 D) 52 E) 48

7. La grfica de la siguiente desigualdad: x~ + v 2 < 2 es:

B ) y

d ^ *

-2\ ,2

8 Sean los nmeros ti v I) tales que

0 * ( 3 )+ 0 ; 2 ) = (2; 0 (4)) ( ' *[!))

Cuntos pares ordenados ( a ; h ) son soluciones?

A ) 1 B) 2 0 3 D) 4 E) 5

9 . La cantidad de cifiur u n* nmeros A . B y C son

nmeros consecutivos S. el piodu lo A A l> C 2 ticn

por lo menos 125 cifra . entonces la cantidad mffximu

de cifras que puede tener dicho producto

A ) 130 B) M I C) 132 D) 133 E) 134

1 0 . Sean /> ; q el menor y el mayor iaclor primo del

nmero N = KnV400600400i. Si t/ p = t>. enton

ces la sLina q + p vale:

A ) 16 B) 20 C )32 D) 40 E) 52

1 1 . Juan invierte S/. 50 000 a una tasa dci 12% de inters simple anual. Al cabo de 3 aos, invierte la utilidad a una tasa del 3% de intere:, simple mensual. Si luego de transcurrido un tiempo "t" la utilidad de la segunda inversin es el 75% de la utilidad de la primera (en los 3 aos), y si no ha retirado la ii rsin inicial, entonces el monto total asciende a (en S/.)

A ) 98 000 B) 94 000 C) 93 000

D) 81 500 E) 80 500

1 2 . Si cl promedio de 10 nmeros de filtre los 50(cincuenta) primeros enteros positivos es 27,5 el promedio de los 40 enteros positivos restantes es:

A ) 20 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25

13. Carlos debe alinor/ai pollo o pescado (o ambos) en su almuerzo de cadu d.a del mes de marzo Si en su almuerzo durante 20 das hubo pollo y durante 25 das hubo pescado, entonces , el nmero de das que almorz pollo y pescado es:

A ) 18 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13

1 4 . Dos amigas compran v I> papayas (>/>) respectivamente en el camino se encuentran con un amigo y deciden compartir entre los tres las papayas, en partes iguales. Si el amigo pago "P " nuevos soles por su parte, entonces la reparticin del dinero entre l is dos amigas es:

A )

B)

( a - h ) P 2 bP a + b a +b

2aP .a + b ' a + b

[b - 2 a )P (a - 2 h )P^ a + b a + b

UNI 2003-1 M ATEM TICA \ D)

E)

(2 < t -b )P (2 b - a ) P a + b ' a + h

uP . bP a + b ' a + b

1 5 . Sea la succsin S0 ;5 | ; S2 dondel

S0 = 49 5, = 7 S2 = ... 5* = 7*(*-l)

para k > 2 - Entonces la suma de las cifras del pro

ducto de todos los trminos de la sucesin ser igual a:

A ) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

1 6 . En la sucesin de nmeros reales

20.25 + x2k .A+l 2x,

para k - 0,1.2...

Se sabe que jt, = 4,5 ; entonces x los ser igual a:

A ) 4.5 B) 4,55 C) 4.555

D) 4.5555 E) 4.555555

1 7 . Si | z | = 4. U (i+< ) ] = y , entonces el nmero

complejo Z en su forma polar es:

B) 2V wf + , ," | )

DI +

1 8 . Sea N el nmero de pares de nmeros reales

(x , v)que son soluciones de la ecuacin:

\Jv -x + yfx y = x 2 + v 3

Entonces N es igual a:

A ) 0 B) I C ) 2 D) 3 E)

1 9 . El nmero de races de la ecuacin:

^ = 2x\ - 9 v2 es 'eual a:

A ) 0 B) I C )2 D ) 3 E) 4

2 0 . En un exmen, un estudiante debe resolver 10 preguntas de las 13 dadas. Si tiene que contestar necesariamente por lo menos 3 de entre las 5 primeras, entonces el nmero de maneras en que puede elegir las 10 preguntas es:

A ) 80 B 220 0 276 D) 286 E) 316

2 1 . El nmero de elementos del conjunto

F = { j:6 |0.2tc]/cr>s2x secx + xecx + l = () }e s :

A ) I B) 2 C )3 D) 4 E) 5

MATEMATICA PARTE 2

2 2 . Si tg x+ctg x = 2. y

i-----------(i. " .+i m " i)V "j

E = yjtg' x + ctg".

Siendo n potencia de 2, entonces el valor de E2 es:

A ) 2 B) 4 C )8 D) 16 E) 32

2 3 . Resolver la siguiente ecuacin trigonomtrica:

ctj ^ = sen x+ctg x

A ) -2{k + \)n B) |(2 - f t ? '

C,

B) cos ( 3 v + jt )

Dl (t ? )

E) cos|> r )

UNI 2003-1 M ATEM TICA |

25. Lo> lados de un tringulo miden en millos ,

Jo y 'Jh Hallar la longitud de la menor altura.

A ) C) J i m

D) -jbin E) Js m

26. Una circunferencia es tangente a tres lados de un paralelogramo. Si las alturas del paralelogramo miden 16 y 20 unidades. Calcular la longitud de la cuerda encerrad.; por la circunferencia en el lado no tans tnte.

A ) 12 u B) 14 u C) 16 u D) 18 n E) 20 ii

27. En el inlci 101 de un cuadrante de una circunferen

cia C| de radio R. se construye una semicircunferencia

C i , cuyo dimetro es uno de lo . radios del cuadrante

deC, Hallar el radio de ola ciicunferenci.1 C\ tan

gente a C|.a ( \ y a un radio dv I cuadrante.

A > !

D) E) j

C ) - J

28. La sinrm de dos ngulos exteriores de un triangulo miden 270 : el Mido mayor linde 48 m. Hallar la distancia del baricentro al /luuiicentro.

A ) 6 m B) 8 ni O 12 m D) 16 m E) 20 m

29. Tres recias m iiiuisecan dos a dos. Cuntos puntos del plano, determinado por dichas recias, equidistan Jo las tres rectas?

A ) Uno

D) Cuatro

B) Dos

E) Cinco

C) Tres

30. En la figura se muestra una circunferencia de radio R. y dos dimetros pe pendiculares. Con centro en los extremos de estos dimetros se trazan arcos de circunferencia de radio R Hallar el permetro de la regin sombreada.

D ) y kR e > ^ tnR

3 1 . En la figura mostrada. ABCL) es un paralelogramo

M y N son puntos medios de AH y A I ) respectiva

mente. Hallar el rea de la regin sombreada, si la

medida del rea del paralelogramo es | 20//2 .

32. Hallar la medida del rea de la legin comprendida

entre la curva de ecuacin: * 2 + y 2+ 4 a - 6 t + 4 = 0

y la circunferencia que pasa poi el punto / (2 . 6), que

es concntrica con la curva anterior.

A) 5m i2 B) IO7 1 2 C) ln2

D) 2071 u 2 E) 2571 u 2

A ) 3 0 ,0 2 B) 27.5u 2 C) 2 5 .0 2

D) 22.5 2 E) 20.5 2

UNI 2003-1 M ATEM TICA |33. Si S es la suma de las medidas de los ngulos diedros de un tetraedro, entonces se puede afirmar que:

A ) S e ( 2 ji , 3n)

B) S e ( n : 4n)

C) S e (2 n : 4n)

D) 5 6 (4n 8ji)

E) 5 e ( 2n ; (m )

34. Se tiene un tetraedro regular ABCD cuya alista

miden a" unidades, en la arista A I ) se ubica el punto

O. En la pirmide ARCO, la longitud de la altura traba

da desde el vrtice O es igual a la longitud de O D

Calcular OI).

A ) if-v/3-V2) D ) a(yfb + y2)

B) a{y6 -2 ) E) 6 + 2)

C) + 2)

35. Sea la pirmide S-ABC cuya altura cae en el cen

tro O de la circunlerencia inscrita en su bale. Si

AB = 120/u ; A C = I I Im ; BC = M)m y

SA = 4-Jl 217 ni El volumen del slido en ni3 es:A ) 72 000 B) 72 400 C) 72 480

L)) 72 640 E) 72 810

36. En la figura siguiente AB = BC = CD = r , don

de r es la radio de la semicircunferencia de dimetro

A D . Determinar en funcin de "/" el volumen del

slido generado al rotar la regin sombreada alrededor

del segtnenl A D .

A )

D) E) 12

37. a Si es la medida de un ngulo agudo tal que

cns 1996 = sena Calcular el valor de:

E = csi 15a - sen 15a

A ) 1 B) 1.5 C) 2 D) 2.5 E) 3

38. En la figura ABCD es un cuadrado cuyo lado mide

8 t Si ig 8 es aproximadamente y . determine el

valor de

A ) lem. B) 2o/i C

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