1 INGENIERA EN TECNOLOGAS INDUSTRIALESCONTROL LGEBRA LINEAL14/10/2010 APELLIDOS:NOMBRE:GRUPO 35 NORMAS: 1.El examen dura 45 minutos. 2.Este examen es tipo test. La puntuacin total es de 10 puntos. 3.Las preguntas mal contestadas restarn la mitad de su puntuacin. 4.En todo momento el alumno tendr sobre la mesa un carn acreditativo de su identidad. 5.No se pueden utilizar libros, ni apuntes, ni calculadoras (de ningn tipo), ni ningn aparato electrnico (ordenadores, pdas, telfonos mviles, . . . ) . 6.Todas las hojas que se encuentren sobre la mesa debern tener el nombre del alumno, en caso contrario el profesor las retirar. 7.Las soluciones del examen estarn disponibles en Aula Global. COMO RESPONDER Y ENTREGAR EL EXAMEN: 1.Elconjuntograpadodeenunciados,conlasrespuestasmarcadasenlascasillascorrespondien-tesylosrazonamientosseguidosescritosenlosrecuadrosalefecto,serentregadoparasu evaluacin. No se entregar nada ms. Un examen en el que no figure el nombre no se corregir. 2.No se pueden separar las hojas de enunciados, hay que mantenerlas grapadas. 3.Las respuestas se contestarn en la misma hoja de enunciados. 4.Enlosrecuadroslibresdelashojasdeenunciadoselalumnodebermostrarelrazonamiento completooenparte,quelehallevadoalarespuestaobtenida.Unarespuestacorrectaconun razonamientoerrneo,oinexistente,puedesercalificadacomocero.Elalumnopuedeusar hojasadicionalesparahacerclculosqueenningncasoseentregarn.2 CUESTIONES Responda si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas marcando V o F en las casillas que se encuentran al final del problema. 1.(0.5 pts) Un sistema linealde dos ecuaciones y cuatroincgnitas puede ser incompatible. 2.(0.5 pts) Sibest generado por 1ay 2a , entonces el sistema lineal con matriz ampliada [ ] b a a2 1tiene solucin nica. 3.(0.5 pts) Si[ ]3 2 1a a a A =es reducible por filas a la matriz ((((

0 0 01 0 00 1 1, entonces 3a es combinacin lineal de 1ay 2a . 4.(0.5 pts) La matriz estndarA de una transformacin lineal suprayectivam nT :esn x m yn m . 5.(0.5 pts) SiA es una matriz cuadrada, la matriz tA A B 3 + =es simtrica. C1C2C3C4C5 VFFVF 3 Escribaenelrecuadrodeformaclarayconcisa(resumindolossiesnecesario)losrazona- mientosu operaciones que ha usado para llegar a sus respuestas. Se recuerda que sin ellos la calificacin de sus respuestas correctas puede ser 0. 1.VLa ltima columna de la matriz ampliada puede ser pivote y por tanto el sistema podra ser incompatible. 2.F Sibest generado por 1ay 2aes equivalente a que el sistema con matriz ampliada [ ] b a a2 1 tenga solucin, pero no necesariamente nica. 3.FLaformaescalonadareducidadeAindicaquelascolumnaslinealmente independientesson 1a y 3a ,portantoes 2a lacolumnaquepuedeexpresarsecomo combinacin lineal de 1ay 3a . 4.V La matrizA esn x m y para que sea suprayectiva las columnas de A deben generar m , por tanto la matriz debe tener ms columnas que filas ( n m ). 5.Ft t tA A B ) 3 ( + =t t tA A ) ( 3 + = = A At3 + B . 4 PROBLEMA 1 (2.5 pts) Hallala forma escalonada reducida de la matrizA y marca con una X la opcin correcta ||||

\|=5 2 6 1 21 1 2 0 12 4 6 0 3A 1. ||||

\| 1 1 0 0 00 1 2 1 00 2 2 0 1 2. ||||

\|1 1 0 0 01 0 2 1 02 0 2 0 1 3. ||||

\|1 1 0 0 01 0 2 1 02 0 0 0 1 4. ||||

\|1 1 0 0 00 0 2 1 00 0 0 0 1 1234 X 5 Escribaenelrecuadrodeformaclarayconcisa(resumindolossiesnecesario)losrazona- mientosu operaciones que ha usado para llegar a sus respuestas. Se recuerda que sin ellos la calificacin de sus respuestas correctas puede ser 0. ||||

\|=5 2 6 1 21 1 2 0 12 4 6 0 3A ||||

\|5 2 6 1 22 4 6 0 31 1 2 0 1||||

\| 3 4 2 1 01 1 0 0 01 1 2 0 1||||

\| 1 1 0 0 03 4 2 1 01 1 2 0 1 ||||

\| 1 1 0 0 01 0 2 1 02 0 2 0 1||||

\|1 1 0 0 01 0 2 1 02 0 2 0 1 6 PROBLEMA 2 (2.5 pts) Sean ||||||

\|=mnA1 13 1 22 12 1 1 ||||

\|=zyxX ||||||

\|=4644by la transformacin lineal AX X T : Hallarm ynpara queb X T = ) ( , es decir, el vector bsea la imagen bajoT para un ciertoX . Marca con una X la respuesta correcta 1.2 = my 3 = n 2.2 = my 3 n 3.2 my 3 = n 4.2 my 3 n 1234 X 7 Escribaenelrecuadrodeformaclarayconcisa(resumindolossiesnecesario)losrazona- mientosu operaciones que ha usado para llegar a sus respuestas. Se recuerda que sin ellos la calificacin de sus respuestas correctas puede ser 0. Escribimos la condicinb X T = ) ( ||||||

\|=||||

\|||||||

\|46441 13 1 22 12 1 1zyxmn y ahora debemos hallarmynpara que el sistema tenga solucin. Reduciendo por filas la matriz ampliada: ||||||

\|46441 13 1 22 12 1 1mn||||||

\| 02042 0 01 1 02 1 02 1 1mn||||||

\|02042 0 03 0 02 1 02 1 1mnn Para que el sistema no sea incompatible es necesario que 0 3 ny por tanto 32=nz . Se observa que0 z y para que la ltima ecuacin tenga solucin es necesario que2 = m . La solucin es:2 = m y3 n8 PROBLEMA 3 (2.5 pts) Supongamos las matricescuadradas A y B y la ecuacin de matrices partidas con incgnitas:6 5 4 3 2 1, , , , X y X X X X X . ((

((

6 4 25 3 110 X X XX X XAB A=((

A II00 0 Marca con una X la opcin correcta: 1.BA X B X A X = = =5 311

2.BA X ABA X A X = = =513 1 3.AB X ABA X A X = = =513 1 4.BA X B X A X = = =5 3 1 1234 X 9 Escribaenelrecuadrodeformaclarayconcisa(resumindolossiesnecesario)losrazona- mientosu operaciones que ha usado para llegar a sus respuestas. Se recuerda que sin ellos la calificacin de sus respuestas correctas puede ser 0. Obsrvese que todas las matrices son cuadradas con la misma dimensin. Desarrollando la ecuacin: ((

=((

+ + + A IIAX BX X AAX AXBX X A BX X A00 066 514 24 312 11 Igualando se obtienen tres sistemas de ecuaciones matriciales: == +022 11AXI BX X A, ComoAtiene inversa 02 = X . Sustituyendo en la primera ecuacin se obtiene I X A =11 y por tantoA X =1 == +I AXBX X A44 310, ComoAtiene inversa14= A X . Sustituyendo en la primera ecuacin se obtiene 0131= + BA X Aluego131 = BA X Ay teniendo en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo13 = ABA X == +A AXBX X A66 510, De la segunda ecuacinI X =6. Sustituyendo en la primera se obtiene 051= +B X Aluego B X A =51 y AB X =5 La respuesta pedida es:AB X ABA X A X = = =513 1