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7/17/2019 Examen Parcial

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EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA IV (MA-143)UNI, 07 de Mayo del 2015

1. La rapidez con que cierto medicamento se disemina en el flujo sanguíneo se rige por la ecuación

diferencial: = − ; (0) = 0

donde y son constantes positivas. La función () describe la concentración del

medicamento en el flujo sanguíneo en un instante cualquiera .

a) Encuentre el valor límite de cuando → ∞ ; explique su significado.

b) ¿Cuánto tarda la concentración en alcanzar la mitad de este valor límite?

Resolución

Hallamos la función que representa la concentración del medicamento en el flujo sanguíneo en

un instante cualquiera resolviendo el problema del valor inicial.

Una opción es usar la transformada de Laplace:

L { ′()}= L {1}− L {()} L { ()}− 0 = − L {()}

L { ()}( + ) = /

L {

(

)}=

(

) =

−

(

)

Aplicando la transformada inversa:

() = −

a) Valor límite de cuando → ∞

lim→ − =

La concentración del medicamento en el flujo sanguíneo en un tiempo largo tiende al valor:

/

í

.

b) Tiempo que tarda, aproximadamente, en alcanzar una concentración que sea la mitad del

valor límite;

() = −

1

2

= −

→1

2=

→ ≅ 0,693



2

2. Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea sigue la Ley de Newton. Una pequeña

barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20, se deja caer en un recipiente con agua

hirviendo.

a) Calcule el tiempo que dicha barra tardará en alcanzar los 90, si se sabe que su temperatura

aumentó 2

en un segundo

b) ¿Cuánto tardará la barra en alcanzar los 98

?

Resolución

Ley de Newton para la temperatura: ′() = ( − ()) (): representa la temperatura de la barra en el instante : Temperatura del medio. A nivel del mar el agua hierve a 100

C.I:(0) = 20 ; (1) = 22

Resolviendo la EDO:

=

(

− (

))

() = 100 −

Determinamos la constante de integración usando la condición (0) = 20 = 80

Con lo que se obtiene: () = 100 − 80

Determinamos la constante de proporcionalidad usando la condición (1) = 22

=

−ln

39

40

Modelo de la temperatura de la barra

() = 100 − 80 39

40

a) Cuándo () = 90

90 = 100 − 80 39

40 → =

ln18

ln39

40 ≅ 82,13

El tiempo en que dicha barra alcanza los 90

es aproximadamente 82 s

b) Cuándo () = 98

98 = 100 − 80 39

40 → =

ln 140

ln39

40 ≅ 145,7

El tiempo en que dicha barra alcanza los 98 es aproximadamente 146 s

3. Los comerciales para un fabricante de cinta grabadora muestran una copa de cristal en el

momento en que esta se rompe por el sonido de una grabación de la voz de un cantante de ópera.

¿Es esto una buena prueba de la calidad de la cinta? Explique detalladamente el fenómenoocurrido.



3

“Este fenómeno es un ejemplo de resonancia, aquí la frecuencia natural de oscilación de las

moléculas de la copa ha sido igualada a la frecuencia de las ondas sonoras de la grabación de

la voz del cantante de ópera. Al ocurrir esta igualación de frecuencia natural y forzada, la

amplitud en la ecuación de oscilación de moléculas de la copa ha aumentado significativamente

haciendo colapsar su arreglo tridimensional. Por lo tanto, el fabricante de la cinta grabadora

no está fabricando cinta de buena calidad”

4. La ecuación ′′ + (1 − ) ′ + = 0, denominada ecuación de Laguerre, tiene soluciones

polinomiales que se designan por () para = 0,1,2,3,… Determine los cuatro primeros

polinomios. 5 pts.

Resolución

Se prueba que = 0 es un punto singular regular y ⟨−1,1⟩ es el intervalo de convergencia.

Resolvemos la ecuación por el método de Frobenius, cuya solución tien la forma:

() =

Con primera y segunda derivada de la forma:

() = ( + ) ; ′() = ( + )( + − 1)

Sustituyendo la función y sus derivadas en la ecuación dada

(

+

)(

+

−1)

+

(

+

)

− (

+

)

+

= 0

Para expresar la variable con un mismo exponente y los mismos límites, evaluamos el término de las

dos primeras sumatorias en = 0, luego bajamos el límite en una unidad y aumentamos el exponente

en una unidad para obtener:

+ ( + + 1)( + ) + ( + + 1) − ( + ) − = 0

La ecuación indicial

= 0 nos indica que

= 0. Podemos considerar que

≠ 0

Con la fórmula de recurrencia se satisface la ecuación: = + − ( + + 1) = 0,1,2,…

Considerando que = 0 se tendrá:

= − ( + 1) = 0,1,2,…

Hallamos los coeficientes asignando valores a partir de 0

= 0

→ =

−(1)

= 1 → = 1 − (2) = −(1) .1 − (2)



4

= 2 → =2 − (3) =

−(1) .

1 − (2) .

2 − (3)

= 3

→ =

3

− (

4)

=

−(

1)

.1

− (

2)

.

2

− (

3)

.

3

− (

4)

= 4 → =4 − (5) =

−(1) .

1 − (2) .

2 − (3) .

3 − (4) .

4 − (5)

La función solución sobre el intervalo ⟨−1,1⟩ estará dada por:

() = 1 − − 1 − 2 − 1 −

2 2 − 3

− 1

− 2 2

− 3 3

− 4 − 1

− 2 2

− 3 3

− 4 4

− 5 + ⋯

Determinamos los cuatro primeros polinomios de Laguerre () para = 0,1,2,3 = 0 → () = = 1 → () = (1 − )

= 2 → () = 1 − 2 +1

2

= 3 → () = 1 − 3 +

3

2 −1

6

5. Halle la corriente en el circuito representado en la figura.

Si la corriente inicialmente es cero y () = ; 0 ≤ < 50 ; ≥ 5

Resolución

Modelo matemático del circuito

(

) +

(

) =

(

)

(

) =

(

)

Usamos la función de Heaviside para expresar: () = − ()

Ecuación diferencial que modela la corriente en el circuito ′() + () = − () ; (0) = 0

Resolvemos la EDO usando la Transformada de Laplace:

L { ′()}+ L {()}= L {1}− L {()}

(

L {

(

)}

−0) +

L {

(

)}=

−



5

L { ()}= ( ) ()

Aplicando fracciones parciales:1

(

+

)

=1

1

−

1

+

=

1

1

− 1

+

/

Luego:

L { ()}= − / (1 − )

L { ()}= − / − − /

Aplicando la transformada inversa se obtiene la corriente ():

() = 1 − − () + (

)

()

() = 1 − ; 0 ≤ < 5 − 1 ; ≥ 5

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