examen matemáticas - 1º bachillerato - 16/03/2012

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Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected] Examen de Matemáticas 1º Bachillerato 16/03/2012 Abrigamos una multitud de prejuicios si no nos decidimos a dudar, alguna vez, de todas las cosas en que encontremos la menor sospecha de incertidumbre. René Descartes. Filósofo y científico francés. 1. Representa gráficamente la función: (3 puntos) = ! 2 Estudiando: dominio, asíntotas, puntos de corte con los ejes, monotonía, extremos relativos, curvatura. Primero estudiamos los puntos de corte con los ejes: Corte con el eje OX: = 0 ! = 0 0, 0 Corte con el eje OY: = 0 = 0 0, 0 El único punto de corte con los ejes será el origen de coordenadas. Calculamos las asíntotas. Calculamos las asíntotas verticales igualando a cero el denominador de la función: 2 = 0 = 2 Por lo tanto existe asíntota vertical en = 2. Calculamos entonces la tendencia de la función cuando se acerca a dicha asíntota: lim !! ! = lim !! ! ! 2 = 4 0 ! = +lim !! ! = lim !! ! ! 2 = 4 0 ! = Calculamos si existe asíntota horizontal u oblicua. Para ello comprobamos la tendencia de la función en ±: lim !!! = lim !!! ! 2 = lim !!! ! ! 2 ! ! = lim !! = lim !! ! 2 = lim !!! ! ! 2 ! ! = Por lo tanto concluimos que no existe asíntota horizontal, pero dado que la diferencia entre el grado del numerador y del denominador es uno, tendrá asíntota oblicua = + : = lim !! = lim !! ! 2 ! = = lim !! ! ! 2 ! ! ! = 1 1 = 1 = lim !! = lim !! ! 2 + = lim !! ! + 2 2 = lim !! ! + 2 ! 2 = lim !! 2 2 = = lim !! 2 2 = 2 1 = 2 Por lo tanto, la asíntota oblicua será: = 2.

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Examen matemáticas - 1º Bachillerato - 16/03/2012

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Page 1: Examen matemáticas - 1º Bachillerato - 16/03/2012

Colegio Ntra. Sra. de la Fuencisla · Segovia

Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]

 

Examen  de  Matemáticas  1º  Bachillerato  -­‐  16/03/2012    

Abrigamos  una  multitud  de  prejuicios  si  no  nos  decidimos  a  dudar,  alguna  vez,  de  todas  las  cosas  en  que  encontremos  la  menor  sospecha  de  incertidumbre.  René  Descartes.  Filósofo  y  científico  francés.  

 

1. Representa  gráficamente  la  función:  (3  puntos)  

𝑦 =𝑥!

2 − 𝑥  

Estudiando:  dominio,  asíntotas,  puntos  de  corte  con  los  ejes,  monotonía,  extremos  relativos,  curvatura.      

Primero  estudiamos  los  puntos  de  corte  con  los  ejes:  

• Corte  con  el  eje  OX:  𝑦 = 0    ⟹    𝑥! = 0    ⟶     0, 0  • Corte  con  el  eje  OY:  𝑥 = 0    ⟹    𝑦 = 0        ⟶     0, 0  

El  único  punto  de  corte  con  los  ejes  será  el  origen  de  coordenadas.    

Calculamos  las  asíntotas.  Calculamos  las  asíntotas  verticales  igualando  a  cero  el  denominador  de  la  función:  2 − 𝑥 = 0      ⟹      𝑥 = 2  

Por  lo  tanto  existe  asíntota  vertical  en  𝑥 = 2.  Calculamos  entonces  la  tendencia  de  la  función  cuando  se  acerca  a  dicha  asíntota:  

lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑥!

2 − 𝑥=

40!

= +∞                                                               lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑥!

2 − 𝑥=

40!

= −∞  

 

Calculamos   si   existe   asíntota   horizontal   u   oblicua.   Para   ello   comprobamos   la   tendencia   de   la   función   en  𝑥 → ±∞:  

lim!→!!

𝑓 𝑥 = lim!→!!

𝑥!

2 − 𝑥=∞∞    ⟶     lim

!→!!

𝑥!𝑥!

2𝑥! −

𝑥𝑥!

= ∞  

lim!→!

𝑓 𝑥 = lim!→!

𝑥!

2 − 𝑥=∞∞    ⟶     lim

!→!!

𝑥!𝑥!

2𝑥! −

𝑥𝑥!

= −∞  

Por   lo   tanto   concluimos   que   no   existe   asíntota   horizontal,   pero   dado   que   la   diferencia   entre   el   grado   del  numerador  y  del  denominador  es  uno,  tendrá  asíntota  oblicua  𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑛:  

𝑚 = lim!→!

𝑓 𝑥𝑥

= lim!→!

𝑥!

2𝑥 − 𝑥!=∞∞    ⟶    𝑚 = lim

!→!

𝑥!𝑥!

2𝑥𝑥! −

𝑥!𝑥!

=1−1

= −1  

𝑛 = lim!→!

𝑓 𝑥 −𝑚𝑥 = lim!→!

𝑥!

2 − 𝑥+ 𝑥 = lim

!→!

𝑥! + 𝑥 2 − 𝑥2 − 𝑥

= lim!→!

𝑥! + 2𝑥 − 𝑥!

2 − 𝑥= lim

!→!

2𝑥2 − 𝑥

=∞∞  

𝑛 = lim!→!

2𝑥𝑥

2𝑥−

𝑥𝑥= 2−1 = −2        Por  lo  tanto,  la  asíntota  oblicua  será:  𝑦 𝑥 = −𝑥 − 2.  

 

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Camino de la Piedad, 8 - C.P. 40002 - Segovia - Tlfns. 921 43 67 61 - Fax: 921 44 34 47 www.maristassegovia.org | [email protected]

 

Vamos  a  estudiar  la  monotonía  de  la  función,  para  ello  calculamos  su  derivada:  

𝑓! 𝑥 =2𝑥 · 2 − 𝑥 − 𝑥! · −1

2 − 𝑥 ! =4𝑥 − 2𝑥! + 𝑥!

2 − 𝑥 ! =4𝑥 − 𝑥!

2 − 𝑥 !  

Para  identificar  los  extremos  relativos  (puntos  donde  la  función  ni  crece  ni  decrece  y,  por  lo  tanto,  su  pendiente  es  cero)  igualamos  a  cero  la  función  derivada:    

𝑓! 𝑥 = 0    ⟹    4𝑥 − 𝑥!

2 − 𝑥 ! = 0      ⟹      4𝑥 − 𝑥! = 0    ⟶    𝑥 = 0

𝑥 = 4  

 

En  𝑥 = 0  𝑦  4  (también  en  𝑥 = 2,  dado  que  en  dicho  punto  existe  una  discontinuidad)  la  función  puede  cambiar  su  comportamiento:    

INTERVALOS   −∞, 0   0, 2   2, 4   4,∞  

SIGNO  𝑓! 𝑥   −   +   +   −  

COMPORTAMIENTO  𝑓 𝑥   DECRECIENTE   CRECIENTE   CRECIENTE   DECRECIENTE  

 Para   comprobar   si   cada   extremo   relativo   corresponde   a   un   máximo   o   un   mínimo   calculamos   la   derivada  segunda  de  la  función:    

𝑓!! 𝑥 =4 − 2𝑥 · 2 − 𝑥 ! − 4𝑥 − 𝑥! · 2 · 2 − 𝑥 −1

2 − 𝑥 ! =4 − 2𝑥 · 2 − 𝑥 + 4𝑥 − 𝑥! · 2

2 − 𝑥 !  

𝑓!! 𝑥 =8 − 4𝑥 − 4𝑥 + 2𝑥! + 8𝑥 − 2𝑥!

2 − 𝑥 ! =8

2 − 𝑥 !  

 

Comprobamos  el  signo  de  la  derivada  segundo  en  los  extremos  relativos:  

𝑓!! 0 =8

2 − 0 ! > 0    ⟹ Mínimo  

𝑓!! 4 =8

2 − 4 ! < 0    ⟹ Máximo  

 

Calculamos  el  valor  que  toma  la  función  es  cada  extremo  relativo:  

𝑓 0 =0!

2 − 0= 0          𝑦          𝑓 4 =

4!

2 − 4= −8  

 

Por  lo  tanto,  los  extremos  relativos  de  la  función  serán:  

𝑀í𝑛𝑖𝑚𝑜:   0, 0                                  𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜:   4,−8    

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Para  calcular  la  curvatura  estudiamos  el  signo  de  la  función  derivad  segunda:  

𝑓!! 𝑥 =8

2 − 𝑥 ! = 0      ⟹      ∄  𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 𝑥 /𝑓!! 𝑥 = 0    

Como   no   existe   ningún   valor   que   anule   la   segunda   derivada   de   la   función   podemos   concluir   que   no   habrá  ningún  punto  de   inflexión.  Sin  embargo,   cabe   la  posibilidad  de  que   la   función  cambie   su  curvatura  en  𝑥 = 2,  dado  que  en  dicho  punto  𝑓 𝑥  es  discontinua.    

INTERVALOS   −∞, 2   2,∞  

SIGNO  𝑓!! 𝑥   +   −  

CURVATURA  𝑓 𝑥   CÓNCAVA   CONVEXA    

Y  por  último,  el  dominio  de  la  función:  𝐷 𝑓 𝑥 = ℝ − 2    

 

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2. Deriva  las  siguientes  funciones:  (3  puntos)  

a) 𝑦 = sin 2𝑥 + 1 !" !!!  

b) 𝑦 = 2𝑥 + 7 ! · arctg 𝑥!  

c) 𝑦 = 𝑒!"#!! + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 5!!!! − cos! 𝑥! + 3𝑥  

a)    𝑦! = ln 𝑥 + 3 · sin 2𝑥 + 1 !" !!! !! · 2 cos 2𝑥 + 1 + sin 2𝑥 + 1 !" !!! ·ln sin 2𝑥 + 1

𝑥 + 3  

 

𝑏)    𝑦! = 3 2𝑥 + 7 ! · 2 · arctg 𝑥! + 2𝑥 + 7 ! ·1

1 + 𝑥!·3𝑥!

2 𝑥!  

 

𝑐)    𝑦! = −2 sin 2𝑥 · 𝑒!"#!! +5!!!! · 3 ln 51 − 5!!!!

+ 2 cos 𝑥! + 3𝑥 · sin 𝑥! + 3𝑥 · 2𝑥 + 3  

 

3. Determina  la  monotonía,  concavidad  y  convexidad  de  la  función:  (1  punto)  

𝑦 = 𝑒! 𝑥! − 3  

Para  estudiar  la  monotonía  calculamos  la  derivada  de  la  función:  

𝑓! 𝑥 = 𝑒! 𝑥! − 3 + 𝑒! · 2𝑥 = 𝑥! + 2𝑥 − 3 · 𝑒!  

Igualamos   a   cero   para   localizar   los   puntos   donde   cambie   el   signo   de   la   derivada   y,   por   consiguiente,   el  comportamiento  creciente  o  decreciente  de  la  función:  

𝑥! + 2𝑥 − 3 · 𝑒! = 0      ⟹      𝑥! + 2𝑥 − 3 = 0    ⟶    𝑥 = −3

𝑥 = 1  

Valoramos  el  comportamiento  de  la  función  a  través  del  signo  de  la  función  derivada:  

INTERVALOS   −∞,−3   −3, 1   1,∞  

SIGNO  𝑓! 𝑥   +   −   +  

COMPORTAMIENTO  𝑓 𝑥   CRECIENTE   DECRECIENTE   CRECIENTE    

Para  estudiar  la  concavidad  y  convexidad  igualamos  a  cero  la  derivada  segunda:  

𝑓!! 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥 − 3 · 𝑒! + 2𝑥 + 2 · 𝑒! = 𝑥! + 4𝑥 − 1 · 𝑒! = 0  

𝑥! + 4𝑥 − 1 = 0    ⟶    𝑥 = − 5 − 2

𝑥 = 5 − 2  

Valoramos  la  concavidad  o  convexidad  de  la  función  a  través  del  signo  de  la  función  derivada  segunda:  

INTERVALOS   −∞,− 5 − 2   − 5 − 2, 5 − 2   5 − 2,∞  

SIGNO  𝑓!! 𝑥   +   −   +  

CURVATURA  𝑓 𝑥   CÓNCAVA   CONVEXA   CÓNCAVA  

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4. Estudia  la  continuidad  y  derivabilidad  de:  (1  punto)  𝑔 𝑥 = 𝑥! − 4𝑥 − 5  

 

Lo  primero  que  debemos  hacer  es  reescribir  la  función  valor  absoluto  𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥  como  una  función  a  trozos.  Parra  ello  debemos  calcular  los  puntos  donde  𝑓 𝑥  cambia  de  signo:  

𝑓 𝑥 = 0    ⟹  𝑥! − 4𝑥 − 5 = 0    ⟶    𝑥 = −1

𝑥 = 5  

Analizamos  el  signo  de  la  función  𝑓 𝑥 :  

INTERVALOS   −∞,−1   −1, 5   5,∞  SIGNO  𝑓 𝑥   +   −   +  

 

Por  lo  tanto,  la  función  𝑔 𝑥  será:    

𝑔 𝑥 =                𝑥! − 4𝑥 − 5                    𝑠𝑖                   −∞ < 𝑥 ≤ −1−𝑥! + 4𝑥 + 5            𝑠𝑖                             − 1 < 𝑥 < 5𝑥! − 4𝑥 − 5                    𝑠𝑖                                      5 ≤ 𝑥 < ∞

 

 Calculamos  la  continuidad  de  la  función,  los  puntos  donde  podría  existir  discontinuidad  son  𝑥 = −1    𝑦    𝑥 = 5:    

lim!→!!!

𝑔 𝑥 = lim!→!!!

𝑥2 − 4𝑥− 5 = 0  

𝑔 −1 = 0                                                                                                                               lim!→!!!

𝑔 𝑥 = 𝑔 −1 = lim!→!!!

𝑔 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥  𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎  𝑒𝑛  𝑥 = −1  

lim!→!!!

𝑔 𝑥 = lim!→!!!

−𝑥2 + 4𝑥+ 5 = 0  

 

lim!→!!

𝑔 𝑥 = lim!→!!

−𝑥2 + 4𝑥+ 5 = 0  

𝑔 5 = 0                                                                                                                                           lim!→!!

𝑔 𝑥 = 𝑔 5 = lim!→!!

𝑔 𝑥 ⇒ 𝑔 𝑥  𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎  𝑒𝑛  𝑥 = 5  

lim!→!!

𝑔 𝑥 = lim!→!!

𝑥2 − 4𝑥− 5 = 0  

 

Calculamos  la  derivabilidad  de  la  función  en  dichos  puntos:    

𝑔′ −1! =𝑑 𝑥2 − 4𝑥− 5

𝑑𝑥−1 = 2𝑥 − 4 −1 = −6                                            𝑔′ −1! = 𝑔 −1 ≠ 𝑔′ −1!  ⟹          

𝑔! !!! =𝑑 −𝑥2 + 4𝑥+ 5

𝑑𝑥−1 = −2𝑥 + 4 −1 = 6                                ⟹ 𝑔 𝑥  𝑛𝑜  𝑒𝑠  𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒  𝑒𝑛  𝑥 = −1  

 

𝑔′ 5! =𝑑 −𝑥2 + 4𝑥+ 5

𝑑𝑥5 = −2𝑥 + 4 5 = −6                                                𝑔! 5! ≠ 𝑔 5 = 𝑔′ 5!  ⟹  

𝑔! 5! =𝑑 𝑥2 − 4𝑥− 5

𝑑𝑥5 = 2𝑥 − 4 5 = 6                                                    ⟹ 𝑔 𝑥  𝑛𝑜  𝑒𝑠  𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒  𝑒𝑛  𝑥 = 5  

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5. Calcula  “𝑎”, “𝑏”  y  “𝑐”  para  que  la  función  𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥 + 𝑐  tenga  una  tangente  en  el  punto  𝑃 2,−1  cuya  pendiente  sea  2  y  cumpla  que  su  segunda  derivada  en  el  punto  𝑥 = 0  valga  4.  (1  punto)    

Primero  vamos  a  calcular  la  primera  y  segunda  derivada  de  la  función:    

𝑓! 𝑥 = 3𝑥! + 2𝑎𝑥 + 𝑏        𝑦        𝑓!! 𝑥 = 6𝑥 + 2𝑎    

Ahora   empezaremos   a   sustituir   las   condiciones   de   contorno   para   calcular   los   valores   de   “𝑎”, “𝑏”   y   “𝑐”.  Empezaremos  por  la  segunda  derivada:    

𝑓!! 0 = 6 · 0 + 2𝑎 = 4      ⟹      𝑎 = 2    

Sustituimos  el  valor  de  "𝑎"  y  aplicamos  la  condición  de  la  primera  derivada:    

𝑓! 𝑥 = 3𝑥! + 4𝑥 + 𝑏      ⟶        𝑓! 2 = 3 · 2! + 4 · 2 + 𝑏 = 2    ⟹    𝑏 = −18    

Sustituimos  el  valor  de  "𝑏"  y   tenemos  en  cuenta  que   la   función  toma  valor  −1  cuando  𝑥 = 2  para  calcular  el  valor  de  "𝑐":    

𝑓 𝑥 = 𝑥! + 2𝑥! − 18𝑥 + 𝑐        ⟶        𝑓 2 = 2! + 2 · 2! − 18 · 2 + 𝑐 = −1      ⟹      𝑐 = 19      

6. Calcula  !!!!!!!!

· !!!!!"

!!!!− !!"#

!!!!"  expresando  el  resultado  en  todas  las  formas  posibles.  (1  punto)  

 2 − 𝑖5 + 4𝑖!

·2 + 4𝑖!"

3 + 2𝑖−

𝑖!"#

4 − 𝑖!"=2 − 𝑖5 − 4

·2 + 4𝑖3 + 2𝑖

−−𝑖4 + 1

=2 − 𝑖1

·2 + 4𝑖3 + 2𝑖

+𝑖5=4 + 8𝑖 − 2𝑖 − 4𝑖!

3 + 2𝑖+𝑖5=  

 

=8 + 6𝑖3 + 2𝑖

+𝑖5=

8 + 6𝑖 · 3 − 2𝑖3 + 2𝑖 · 3 − 2𝑖

+𝑖5=24 − 16𝑖 + 18𝑖 − 12𝑖!

9 + 4+𝑖5=36 + 2𝑖13

+𝑖5=5 36 + 2𝑖 + 13 · 𝑖

13 · 5=  

 

=180 + 10𝑖 + 13𝑖

65=180 + 23𝑖

65=3613

+2365𝑖.  

 

Calculamos  el  radio  y  el  argumento:    

𝑅 =3613

!+

2365

!=

2533325

≈ 2!79                                  𝛼 = arctan23

6536

13= arctan

23180

≈ 7°  16!  54′′  

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎  𝑏𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎:=3613

+2365𝑖                              𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎  𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟: 𝑧 = 2!79!°  !"!  !"##  

 

𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎  𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:    𝑧 = 2!79 · cos 7°  16!  54′′ + 2!79 · sin 7°  16!  54′′