Punto 1

Utilice el método de coeficientes indeterminados con operador anulador, para encontrar la solución general de la ecuación diferencial y +3 y' - 10 y=2 cos {3 x. Desarrolle y Sustente la solución

Solución:

Hallemos la ecuación auxiliar de la siguiente manera:

m2+3m−10= (m−2 ) (m+5 )=0→{ m1=2m2=−5

Por lo tanto la solución yc es de la forma:

yc=c1 e2x+c2e

−5 x

Ahora Bien el operador Anulador de 2 cos3 x, es (D2+9 )por lo tanto:

(D2+9 ) (D 2+3D−10 )=0

Las raíces serán de la siguiente forma:

m1=2 ,m2=−5 ,m3=3 i y m4=−3 i

Por lo tanto la solución particular es de la forma:

y p=A cos3x+B sin 3x

Ahora bien la primera y segunda derivada de la solución particular es de la forma:

y ' p=−3 A sin 3 x+3B cos3 x

y } rsub {p} =-9A cos {3x} -9B sin {3x ¿

Reemplazando valores en la ED original, tenemos que:

(−9 A cos3 x−9B sin 3 x )+3 (−3 A sin 3 x+3 B cos3 x )−10 (A cos3 x+B sin 3 x )=2 cos3 x

Reordenando la ecuación nos queda que:

(−9 A+9B−10 A ) cos3x+(−9B−9 A−10 B ) sin3 x=2cos3 x

Igualando Término a término tenemos que:

Para los coeficientes de cos3 x: −9 A+9B−10 A=2→−19 A+9 B=2

Para los coeficientes de sin 3 x: −9 A−9B−10B=2→−19B−9 A=0

Resolviendo las ecuaciones de forma simultánea nos queda de la siguiente manera:

A=−19221

∧B= 9221

Por lo tanto la ecuación general es de la forma:

y= yc+ y p=c1e2x+c2e

−5x− 19221

cos3 x+ 9221

sin3 x

Punto 2

Utilice el método de variación de parámetros, para encontrar la solución general de la ecuación diferencial y -4 y' +4 y= left (x+1 right ) {e} ^ {2 x. Desarrolle y Sustente la solución

Solución:

Hallemos la ecuación auxiliar de la siguiente manera:

m2−4m+4=(m−2 )2=0→m1=2=m2(Racices Iguales)

Por lo tanto la solución característica es de la forma:

yc=c1 e2x+c2 x e

2 x

Ahora bien usando la variación de parámetros tenemos que la solución será de la siguiente forma:

y p=u1 y1+u2 y2

Donde :

u '1=W 1

W,u2=

W 2

W, y1=e

2x , y2=x e2x

Recordando que:

W=| e2x xe2x

2e2 x 2x e2x+e2 x|=2 xe4 x+e4x−2 x e4 x=e4 x

W 1=| 0 x e2x

xe2x+e2 x 2 xe2x+e2x|=−x2 e4 x−xe4 x=−(x2+x )e4 x

W 2=| e2 x 02 e2 x xe2x+e2x|=x e4x+e4 x=( x+1 ) e4 x

Reemplazando valores tenemos que:

u '1=W 1

W=

−(x2+ x)e4 x

e4 x =−(x2+x )→u1=−13x3−1

2x2

u '2=W 2

W=

( x+1 )e4 x

e4x = ( x+1 )→u2=12x2+x

Reemplazando valores en la solución particular tenemos que:

y p=u1 y1+u2 y2=(−13x3−1

2x2)e2x+(1

2x2+x) x e2x=1

6x3e2x+1

2x2 e2x

Ahora bien la ecuación general es de la forma:

y= yc+ y p=c1e2x+c2x e

2x+12x2e2x+ 1

6x3 e2x

Punto 3

Calcule la Transformada Inversa de Laplace L−1 [F (S ) ], de F (S )= 5 s+7s2+s+1

. Sustente su respuesta.

Solución:

Reorganizando la transformada inversa tenemos que:

F (S )= 5 s+7s2+s+1

= 5 s+7

(s2+s+ 14 )+ 3

4

= 5 s+7

(s+ 12 )

2

+(√32 )

2 =5 s+ 5

2+ 9

2

(s+ 12 )

2

+(√32 )

2

F (S )=5(s+ 1

2 )+ 92

(s+ 12 )

2

+( √32 )

2 =5[ (s+12 )

(s+ 12 )

2

+(√32 )

2 ]+3√3[ √32

(s+12 )

2

+(√32 )

2 ]Aplicando la transformada inversa de Laplace tenemos:

L−1 [F (S ) ]=5 L−1[ (s+ 12 )

(s+ 12 )

2

+( √32 )

2 ]+3√3 L−1[ √32

(s+ 12 )

2

+(√32 )

2 ]Usando la Tabla de transformada, tenemos que:

L−1 [F (S ) ]=e−1

2 t(5cos √32t+3√3sin √3

2t)

Punto 4

Calcule la Transformada Inversa de Laplace L−1 [F (S ) ], de F (S )= 2 s2−2 s+1s3−3 s2−s+3

. Sustente su

respuesta.

Solución:

Reorganizando la transformada inversa tenemos que:

F (S )= 2 s2−2 s+1s3−3 s2−s+3

= 2 s2−2 s+1s2 (s−3 )− (s−3 )

= 2 s2−2 s+1( s2−1 ) ( s−3 )

= 2 s2−2 s+1(s+1 ) ( s−1 ) ( s−3 )

Como se puede observar, tenemos una ecuación de fracciones parciales por lo cual se resolverá usando éste método, de la siguiente forma:

2 s2−2 s+1(s+1 ) ( s−1 ) (s−3 )

= A(s+1 )

+ B( s−1 )

+ C(s−3 )

Multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador del lado izquierdo tenemos que:

2 s2−2 s+1=A ( s−1 ) ( s−3 )+B ( s+1 ) ( s−3 )+C (s+1 ) (s−1 )

2 s2−2 s+1=A ( s2−4 s+3 )+B ( s2−2 s−3 )+C ( s2−1 )

Igualando término a término, tenemos:

Para s2→2=A+B+C

Para s→−2=−4 A−2B

Para N→1=3 A−3 B−C

Resolviendo las Ecuaciones simultáneas tenemos que:

A=58,B=−1

4,C=13

8

Por lo que reemplazando en la ecuación nos queda:

F (S )=58 ( 1s+1 )−1

4 ( 1s−1 )+ 13

8 ( 1s−3 )

Aplicando la transformada inversa, tenemos:

L−1 [F (S ) ]=58L−1( 1

s+1 )−14L−1( 1

s−1 )+ 138L−1( 1

s−3 )=58e−x−1

4ex+ 13

8e3x

Por lo tanto la solución que nos piden es de la forma:

L−1 [F (S ) ]=18e−t ( 5−2e2t+13e4 t )

Punto 5

Aplique la Transformada de Laplace L [F ( t ) ], para resolver la EDO y +4y'+6y=1+ {e} ^ {t; con

y (0 )=0 , y ' (0 )=0. Sustente su respuesta.

Solución:

Aplicando la Transformada de Laplace en la EDO de la siguiente manera y tenemos que:

L [F ( t ) ]=L¿

Donde:

L ¿

L { y ´ }=sY ( s )− y ' (0 )=sY (s )−0=sY ( s )

L { y }=Y (s )

L {1+e t }=1s+ 1s−1

= 2 s−1s ( s−1 )

Reemplazando valores en la EDO, tenemos que:

L [F (t ) ]=s2Y ( s)+4 sY ( s)+6Y ( s )= (s2+4 s+6 )Y ( s )= 2 s−1s ( s−1 )

= 2 s−1s ( s−1 ) ( s2+4 s+6 )

Ahora aplicando fracciones parciales para poder desarrollar la ecuación, tenemos:

2 s−1s ( s−1 ) ( s2+4 s+6 )

= As+ Bs−1

+ C s+Ds2+4 s+6

Multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador del lado izquierdo tenemos que:

s=A (s−1 ) (s2+4 s+6 )+Bs ( s2+4 s+6 )+Cs2 ( s−1 )+Ds (s−1 )

Igualando término a término, tenemos:

Para s3→0=A+B+C

Para s2→0=−3 A+4B−C+D

Para s→2=2 A+6B−D

Para N→−1=−6 A

Resolviendo las Ecuaciones simultáneas tenemos que:

A=16,B= 1

11,C=−17

66, D=−37

33

Por lo que reemplazando en la ecuación nos queda:

F (S )= 16 ( 1s )+ 1

11 ( 1s−1 )− 1

66 ( 17 s+74s2+4 s+6 )=( 17 s+74

s2+4 s+4+2 )F (S )=1

6 ( 1s )+ 1

11 ( 1s−1 )− 1

66 ( 17 s−74( s+2 )2+2 )=1

6 ( 1s )+ 1

11 ( 1s−1 )− 1

66 ( 17 ( s+2 )+40( s+2 )2+2 )

F (S )=16 ( 1s )+ 1

11 ( 1s−1 )−1 7

66 ( (s+2 )(s+2 )2+2 )−20√2

33 ( √2(s+2 )2+2 )

Aplicando la transformada inversa, tenemos:

L [F (S ) ]=16 L( 1

s )+ 111 L( 1

s−1 )−1766 L( ( s+2 )

( s+2 )2+2 )−20√233 L( √2

(s+2 )2+2 )Por lo tanto la solución será:

f (t)=16+ 1

11e t−17

66e−2 t cos√2 t+ 20√2

33e−2 t sin√2 t