ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍAASIGNATURA: CÁLCULO IIPERIODO ACADÉMICO: 2014-2FECHA : 26 /11/14TIEMPO: 100 minutos

EXAMEN FINALCÓDIGO APELLIDOS Y NOMBRES SECCIÓN

INSTRUCCIONES GENERALES:

- La prueba consta de seis preguntas, cuyo puntaje está indicado en cada una de ellas.- El procedimiento, el orden, la claridad de las respuestas y el uso apropiado del lenguaje

(notaciones, símbolos y unidades), serán considerados como criterios de calificación.- Escriba con lapicero de tinta azul o negra. La prueba desarrollada con lápiz no será calificada.- No se permite el uso de ningún tipo de calculadora.- Devolver todo el material entregado.- Leer detenidamente las situaciones que ocasionarán la anulación de la prueba, que se

encuentran a continuación.

SITUACIONES QUE OCASIONARÁN LA ANULACIÓN DE LA PRUEBA:- Mantener prendidos teléfonos celulares, así como cualquier otro medio o dispositivo

electrónico de comunicación.- No seguir la instrucción referida al uso de calculadora.- Utilizar material de consulta no autorizado (apuntes de clase, fotocopias o materiales

similares).- Compartir o intercambiar hojas, tablas o cualquier material impreso.- Conversar durante el desarrollo de la prueba.

1. (3 ptos) Dada la función

z=f (x ; y )=3 xy e2x− y−3 x+5 y

a) (2 ptos) Calcule la derivada direccional de f en el punto A ¿) en la dirección del vector v⃗=(1 ;−3 ) .

b) (1 pto) ¿Cuál es el menor valor de la derivada direccional de f en el punto A ¿)?

2. (3 ptos) La función de producción de una fábrica está dada por

P (K; L )=120K 1/3L2 /3

donde L es el tamaño de la fuerza laboral medido en horas-trabajador y K es el monto de capital invertido en miles de dólares. Cuando la empresa tiene L=27 y K=8, mantiene un ritmo de crecimiento en el tamaño de la fuerza laboral de 1,5 horas-trabajador/semana y de 1,5 miles de dólares/semana en su tasa de inversión.

Calcule el ritmo de crecimiento de la producción de la empresa para los niveles de producción establecidos.

3. (3 ptos) Una empresa que promociona su producto Drive Soda (DS) en la ciudad de Trujillo, divide la ciudad en dos zonas: A y B.Si se invierten x dólares en promoción en la zona A, se venderán 6√ x cajas de DS en este territorio; si se invierten y dólares en promoción en la zona B, se venderán 4 √ y cajas de DS en este territorio. El precio de venta de una caja de DS es de8 dólares en la zona A y de 9 dólares en la zona B. La empresa ha dispuesto 10000dólares en total para la promoción.

Determine cuánto debe invertir la empresa en cada zona para maximizar su ingreso.

4. (4 ptos) Utilice coordenadas polares para calcular el volumen del sólido S limitado superiormente por la superficie z=x √x2+ y2 e inferiormente por la región D del plano XY dada por

D= {(x ; y) /x ≤ y , x≥0 , x2+ y2≤16}5. (3 ptos) Calcule la longitud de la curva dada por

∁ :r ( t )=(2t+1t;2t−1

t;2√2 ln ( t )), t>0

desde t=1 hasta t=2.

6. Responda cada una de las siguientes preguntas. Justifique su respuesta.

a) (1 pto) Seanf ( x ; y )=√ x2+ y2 y (x0 ; y0 )∈Dom (f ) , (x0 ; y0 )≠ (0 ;0).

Determine el valor máximo de Du⃗ f (x0 ; y0 ) .

b) (1 pto) Seaf una función con Dom( f )⊂R2, cuyas derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en cada ( x ; y )∈Dom ( f ) . Si (x0 ; y0 )∈Dom( f ) es un

punto crítico de f y la matriz Hessiana de f en (x0 ; y0 ) es

H ( f ( x0 ; y0 ))=[a bb 1/a ]

¿qué condiciones deben verificar a y b para que (x0 ; y0 ) corresponda a un mínimo local de f ?

c) (2 ptos) Dada la función

f ( x ; y )=x2∫−x2

y2

t et2

4+ t2dt

Halle f x (−1;−1 ) .

Los profesores de la asignatura.

UNA SOLUCIÓN DEL EXAMEN FINAL 2014-2

1. a) ∇ f ( x ; y )=(3 y e2x− y+6 xy e2x− y−3;3 x e2 x− y−3 xy e2x− y+5)

∇ f (−1 ;−2 )=(3 ;−4 ) , u⃗v⃗=( 1

√10;− 3

√10)

Du⃗v⃗f (−1 ;−2 )=∇ f (−1;−2 ) ∙u⃗ v⃗=

3√102

b) Menor valor derivada direccional=−‖∇ f (−1 ;−2 )‖=−√9+16=−5.

2. Datos :dLdt

=1,5 horas-trabajador/semana ,dKdt

=1,5 miles de dólares /semana

dPdt

= ∂P∂ K

dKdt

+ ∂ P∂ L

dLdt

=40K−2/3L2 /3 dKdt

+80 K1 /3 L−1 /3 dLdt

¿40L2 /3

K2 /3dKdt

+80K1 /3

L1/3

dLdt

dP(8 ;27)dt

=40( 94 ) (1,5 )+80( 2

3 ) (1,5 )=215

Por consiguiente, la producción aumenta a una razón de 215 unidades/semana.

3. I ( x ; y )=48√x+36√ y, restricción: x+ y=10 000.

L ( x ; y ; λ )=48√ x+36 √ y+λ (x+ y−10 000)

Lx ( x ; y ; λ )=24

√x+ λ=0 ,. . . (1 )Lx ( x ; y ; λ )=24

√x+ λ=0…(2)

Lλ ( x ; y ; λ )=x+ y−10 000=0. . .(3)

De (1 ) y (2 ) , se tiene λ=−24

√x=−18

√ y⟹ y= 9

16x

Al reemplazar esta expresión en (3), se obtiene x=6400∧ y=3600.

Por lo tanto, la empresa debe invertir $ 6400 en la zona A y $ 3600 en la zona B para maximizar su ingreso.

4.V (S )=∬D

❑

x√ x2+ y2dA

¿∫π /4

π /2

∫0

4

r cosθ√r2rdrdθ

¿∫π /4

π /2

cosθ [ r4

4 ]dθ=64∫π /4

π /2

cosθdθ=32(2−√2)u3

5. r ' (t )=(2− 1t 2 ;2+

1t 2 ;

2√2t )

‖r ' ( t )‖=√(2−1

t2 )2

+(2+1

t2 )2

+8

t2 =√2(2+1

t2 )2

=√2(2+1

t 2 )L (C )=∫

1

2

‖r ' ( t )‖dt=∫1

2

√2(2+ 1t 2 )dt=√2 [2 t−1

t ]12

=5√22

u

6.a¿∇ f ( x ; y )=( x

√x2+ y2;

y

√x2+ y2 )Valor máximo derivada direccional¿‖∇ f ( x ; y )‖=1

b) a>0 y−1<b<1

c ¿ f x ( x ; y )=2 x∫− x2

y2

t e t2

4+t 2dt+x2[−(−x2 )ex4

4+x4 ] (−2x )

f x (−1;−1 )=0+2e5

=2e5

.