examen de algebra lineal 20
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
EXAMEN SUPLETORIO
1.- Para que valores de a, b y m el sistema tiene:
a) Única solución
b) Infinitas soluciones
c) No tiene solución
|
|
( )
a) Para que tenga única solución el determinante del sistema tiene que ser
diferente de cero.
∴
No existe valor de m para que el sistema tenga única solución
Reducimos por filas el sistema de ecuaciones.
.
|
/ ≈ .
|
/
b)
c)
20
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
2.- Sean u y v dos vectores ortonormales en el espacio vectorial con el
producto interno usual (/). Probar que
u/v = v/u = 0 vectores ortogonales
∴
√( ) ( )
√.
/ .
/ .
/ (
)
√.
/ .
/ (
)
√.
/ ( ) (
)
√.
/ (
)
√( ) ( )
∴
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
3.- Dada la matriz A =.
/ hallar los valores y vectores propios.
| |
|
| ( )( )
( )( )
∴
Para
.
| / ≈ .
| /
*( ) ⁄ +
Para
.
| / ≈ .
| /
*( ) ⁄ +
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
4.- *( ) ( )( )+ Hallar la capsula de S.
*( ) ( )⁄ ( ) ( ) ( )+
( ) ( )
{
(
| ) ≈ (
| ) ≈
(
|
)
∴ *( ) ⁄ +
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
5.- Si = (
) ¿Para qué valores de “a” existe la matriz A?
( )
|
| |
| |
| |
|
( ) ( )
( )
∴ * +
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
6.- *( ) ( )( )+ ¿Para qué valores de “a” S es L.I?
Combinación lineal nula:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) )
{
( ) ( )
Para que sea L.I el determinante del sistema de ecuaciones tiene que ser diferente
de cero.
|
| |
|
|
| |
|
( )( )
( )( )
∴ * +
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
7.- Sea W=* ( ) / ( )= ( )+ Calcular una base de W.
( )
( )
( )
( )
( )
W=* ( ) / ( ) = ( )+
* ⁄ +
* ⁄ +
*( ) ( ) ⁄ +
* ( ) ( ) ⁄ +
∴ * + S Genera a W
∴
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
8.- Sea , - .
/ Matriz asociada a ( ( )) Hallar f.
*( )( )+
* +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
∴ ( ) ( ) ( ) ( )
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
9.-Sea ( ) Tal que ( ) *( ) ( ) ( )+
Probar si f es biyectiva.
{ * +
* +
*( ) ( )⁄ ( )+
*( ) ( ) ( ) ( )⁄ ( )+
{
Si el determinante del sistema es diferente de cero tiene única solución
Esta solución es la trivial (0,0,0) CERO VECTOR. (f es inyectiva)
|
| |
|
∴ El sistema tiene infinitas soluciones
El Nf no es el CERO VECTOR
La función no es Inyectiva por lo tanto tampoco es Biyectiva
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
10.- Dadas las Bases *( ) ( )( )+
* +
Sea, - = A = (
)
Determinar{, -
, -
, - , -
, - , -
, - (
)
, - (, -
) (
)
(
|
) ≈(
|
)
≈ (
|
)
≈
(
|
)
.
/
.
/
.
/
≈(
|
)
, - (
)
, - (
)(
) [(
) (
)]
∴ , - .
/(
)