examen de algebra lineal 18
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
EXAMEN DE ALGEBRA LINEAL
1) Determinar para que valores de 𝛼 y 𝛽
a) Ǝ única solución
b) Ǝ infinitas soluciones
c) No existe solución
Resolucion:
𝛼
(𝛼 ) 𝛽 𝛽 } s.e
a) | 𝛼 𝛼 𝛽
| 𝛼𝛽 𝛼 𝛼 𝛼 𝛽
𝛼𝛽 𝛼 𝛽
𝛼(𝛽 ) ( 𝛽)
(𝛽 )( 𝛼 ) .: 𝛽
.: Ǝ! Sol ( ) * +
Si 𝛼 = -2
( 𝛽
| 𝛽) (
𝛽
| 𝛽
) ( 𝛽
| 𝛽
)
(
| 𝛽
) (
| )
b) Ǝ infinitas soluciones si 𝛼 = -2 y 𝛽 = -2
c) No existe solución si 𝛼 = -2 y 𝛽 ϵ - {-2}
2) Sea A ϵ Mn, tal que .
Sea
a) Hallar
b) Hallar
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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
Resolucion:
( )
( )
B
( )
.: {
3) * 𝛼 𝛽 (𝛼 𝛼) +
a) Para que valores de 𝛼 y 𝛽 S es L.D.
b) Para 𝛼= -2 hallar el s.e.v. Generado por S
Resolucion:
a) ( ) ( ) ( 𝛼 𝛽 ) (
(𝛼 𝛼) )
| | | 𝛼 𝛽 (𝛼 𝛼)
| = 𝛼 𝛼 𝛽 𝛼 𝛽 𝛼 𝛼
.: Ǝ infinitas soluciones para 𝛼 ϵ - {-2,1} 𝛽 ϵ
.: S es L.D.
b) Para 𝛼 = - 2
*( ) ( ) ( ) ( 𝛽 )
( )}
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( 𝛽
| ) (
𝛽
|
) ( 𝛽
|
)
*( ) +
4.- Sea ( ) un e.v con producto interno (/)
* + ( ) ( ) ( )
A partir de S calcule una base ortogonal de conociendo que:
/ = 0 ( / )=0 ( / )
Resolucion:
* +
⁄ ⁄
⁄ ⁄ √ ⁄ √ ⁄
⁄ ⁄ ⁄⁄
⁄ ( / )
( )
( )
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄ ⁄
⁄
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
*( )( )( )+
5) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*( ) ( ) ( )+ * + Bases de y ( )
a) Hallar , - C1 y C2 son bases canónicas
b) Utilizando matrices cambio de base hallar , -
Resolucion:
a) ( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
𝛼 𝛽 𝛾
| | |} s.e
(
|
) ⟹ , - (
)
b) , - , -
, - , -
, - (
)
( ) ( ) 𝛼( ) 𝛽( ) 𝛾( )
( ) ( ) 𝛼( ) 𝛽( ) 𝛾( )
( ) ( ) 𝛼( ) 𝛽( ) 𝛾( )
𝛼 𝛼 𝛽 𝛽 𝛾
} s.e
(
|
) (
|
) (
|
)
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
, - (
)
, - (
) (
)(
)
, - (
)
6) , - (
) C es la Base canónica de
a) Determinar
Resolucion:
Base canónica de *( ) ( ) ( )+
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 𝛼( ) 𝛽( ) ( )
( ) 𝛼 ( ) 𝛽 ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
→
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
( ) ( ) ( )
*( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
*( ) ( ) ( )+
(
| | |)
*( ) +
*( )+ ⟹ Dim. del Nf = 0 ⟹ INYECTIVA
Imgf = Todos los elementos del conjunto de llegada ⟹ Dim. de Imgf = 3
Dim. de Imgf + Dim. de Nf = Dim. de
3 + 0 = 3 ⟹ SOBREYECTIVA
→
( ) ( ) ( )
7) (
) Matriz asociada a ( )
a) Diagonalizar ortogonalmente la matriz A
Resolucion:
| |
|
| |
| |
|=
( ) |
| ( ),( )( ) -
( ),( -
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( ), - ( ),( )( )-
⟹
Para λ = -1
(
| ) (
| )
*( ) +
*( ) +
* ( ) ( ) +
*( ) ( )+
Para λ = 8
(
| ) (
| ) (
| )
(
| ) (
| ) (
| )
*( ) +
*( ) +
*( )+
*( ) ( ) ( )+
( ) ⟹ u1, u2 ORTOGONAL
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( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) (
)
(
)
{( ) ( ) (
)}
, - , -
, - , -
(
)
(
) (
)
(
)