Examen de cinemática resuelto

1. Se deja caer una pelota desde 100 metros de altura. En ese mismo instante una

segunda pelota se lanza desde el suelo verticalmente hacia arriba con una velocidad

inicial de 25 m/s. a) Determinar el instante en el que se encuentran la dos pelotas b)

Que velocidad tendrá cada una en ese momento? c) a que altura medida desde el suelo

se encuentran?

a) Pelota 1 (caída libre)

ℎ! =12

𝑔 ∙ 𝑡!

Pelota 2 (lanzamiento vertical hacia arriba)

ℎ! = 𝑣! ∙ 𝑡 −12

𝑔 ∙ 𝑡!

Observando el esquema, h = h1 + h2 = 100 m, sustituimos h1 y h2.

!!

𝑔 ∙ 𝑡! + 𝑣! ∙ 𝑡 −!!

𝑔 ∙ 𝑡! = ℎ

𝑣! ∙ 𝑡 = ℎ 25 ∙ 𝑡 = 100 𝑡 = 10025

= 4 𝑠

b) Velocidad de cada pelota.

Pelota 1 (caída libre)

𝑣! = 𝑔 ∙ 𝑡 = 9,8 ∙ 4 = 39,2 𝑚/𝑠

Pelota 2 (lanzamiento vertical hacia arriba)

𝑣! = 𝑣! − 𝑔 ∙ 𝑡 = 25 − 9,8 ∙ 4 = −14,2 𝑚/𝑠

cuando se cruzan la pelota 2 está bajando.

v0 = 25 m/s

v0 = 0 m/s

h = 100 m

A

h2

h1

c) Altura desde el suelo a la que se encuentran (h2)

ℎ! = 𝑣! ∙ 𝑡 −12

𝑔 ∙ 𝑡! = 25 . 4 −12∙ 9,8 ∙ 16 = 21,6 𝑚

2. Un motorista detenido en una calle arranca con una aceleración de 0,1 m/s². En el

mismo momento un automóvil lo pasa y sigue con una velocidad constante de 70 km/h,

calcular: a) ¿Cuánto tarda el motorista en alcanzar al automóvil? b) ¿A qué distancia de

la calle ocurre esto?

a) El punto de partida y el instante inicial son los mismos para ambos móviles. Cuando

el motorista alcanza al automóvil los dos han recorrido el mismo espacio en el mismo

tiempo.

Motorista (MRUA) velocidad inicial v0 = 0 m/s

𝑒 = 12∙ 𝑎 ∙ 𝑡!

Automóvil (MRU)

𝑣 =70 𝑘𝑚1 ℎ

∙1000 𝑚1 𝑘𝑚

∙1 ℎ

3600 𝑠= 19,44 𝑚/𝑠

𝑒 = 𝑣 . 𝑡

Igualamos los dos espacios,

12∙ 0,1 ∙ 𝑡! = 19,44 . 𝑡

dividimos toda la ecuación por t,

0,05 ∙ 𝑡 = 19,44 𝑡 = 19,440,05

= 388,89 𝑠

b) Distancia a la que ocurre el encuentro,

𝑒 = 𝑣 . 𝑡 = 19,44 . 388,89 = 7560,02 𝑚 = 7,56 𝑘𝑚

3. Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 100 m/s,

después de 4 s de efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60 m/s. a) ¿Cuál es la

altura máxima alcanzada? b) ¿En qué tiempo recorre el móvil esa distancia?. c)

¿Cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lanzó? d) ¿Cuánto tarda en

alcanzar una altura de 300 m?

a) Cuando alcanza la altura máxima su v = 0 m/s

Ecuaciones del lanzamiento vertical hacia arriba,

ℎ = 𝑣! 𝑡 − 12

𝑔 𝑡!

𝑣 = 𝑣! − 𝑔 𝑡

para la altura máxima,

0 = 100 − 9,8 𝑡 𝑡 = 1009,8

= 10,20 𝑠

ℎ = 100 ∙ 10,20 − 12

9,8 ∙ 10,20 ! = 1020 − 509,79 = 510,21 𝑚

b) Alcanza la altura máxima a los 10,20 s de haber sido lanzado.

c) Tarda lo mismo en subir que en bajar, luego vuelve al punto desde el que se lanzó a

las 20,4 s.

d) Tiempo que tarda en alcanzar 300 m

300 = 100 ∙ 𝑡 − 12

9,8 ∙ 𝑡! 4,9 𝑡! − 100 𝑡 + 300 = 0

resolvemos la ecuación de segundo grado,

𝑡 = 100 ± 100 ! − 4 ∙ 4,9 ∙ 300

9,8=100 ± 10000 − 5880

9,8=100 ± 64,19

9,8

las soluciones de esta ecuación son:

𝑡! = 3,65 𝑠 (𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑢𝑏𝑒)

𝑡! = 16,75 𝑠 (𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑏𝑎𝑗𝑎)

4. Un avión despega de la pista de un aeropuerto, con una velocidad de 144 Km/h

después de recorrer 1000 m de la misma, si partió del reposo. Calcular a) la aceleración

durante ese trayecto. b) El tiempo que ha tardado en despegar c) La distancia recorrida

en tierra en el último segundo.

a) Durante el tiempo que recorre la pista, el avión lleva un MRUA con velocidad inicial 0

m/s.

𝑣 = 144 𝑘𝑚1 ℎ

∙1 ℎ

3600 𝑠∙1000 𝑚1 𝑘𝑚

= 40 𝑚/𝑠

Ecuaciones del movimiento del avión,

𝑒 =12

∙ 𝑎 ∙ 𝑡!

𝑣 = 𝑎 ∙ 𝑡 40 = 𝑎 ∙ 𝑡 𝑎 = 40𝑡

sustituimos a en la ecuación del espacio recorrido,

1000 =12

∙40𝑡∙ 𝑡! =

12∙ 40 ∙ 𝑡

1000 = 20 𝑡 𝑡 = 100020

= 50 𝑠

𝑎 = 40𝑡= 4050

= 0,8 𝑚/𝑠!

b) Tiempo que ha tardado en despegar t = 50 s

c) Calculamos lo que recorre en 49 s,

𝑒 =12

∙ 0,8 ∙ 49 ! = 960,4 𝑚

En el último segundo recorre,

𝑒 = 1000 − 960,4 = 39,6𝑚

5. La rueda de una bicicleta tiene 30 cm de radio y gira uniformemente a razón de 25

vueltas por minuto. Calcula: a) La velocidad angular, en rad/s. b) La velocidad lineal de

un punto de la periferia de la rueda. c) Angulo girado por la rueda en 30 segundos d)

número de vueltas en ese tiempo.

a) Velocidad angular 25 r.p.m

𝜔 =25 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠1𝑚𝑖𝑛

∙2 𝜋 𝑟𝑎𝑑1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎

∙1 𝑚𝑖𝑛60 𝑠

= 2,61 𝑟𝑎𝑑/𝑠

b) Velocidad lineal

𝑣 = 𝜔 ∙ 𝑅 = 1,31 ∙ 0,3 = 0,79 𝑚/𝑠

c) En 30 s

𝜔 = 𝜑𝑡

𝜑 = 2,61 ∙ 30 = 78,3 𝑟𝑎𝑑

d) Número de vueltas en 30 s

𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 78,3 𝑟𝑎𝑑 ∙1 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎2 𝜋 𝑟𝑎𝑑

= 12,5 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠