Evidencia de aprendizaje de la Unidad 4. Espacios vectoriales.

1. De los siguientes conjuntos de vectores, determine en cada caso si el conjunto dado es linealmente independiente o no. En los casos en los cuales el conjunto es linealmente dependiente, exprese uno de los vectores como una combinación lineal de los otros.

i) ( 1−10 ), (010), (100) con las operaciones usuales de la adición y de la

multiplicación por un escalar. En este caso el vector cero es (000).

ii) Las funciones

f: x → x (x ε R)

g: x → x2 (x ε R)

con las operaciones de la adición de funciones y de la multiplicación de una

función por un número real. En este caso el vector 0 es 0 : x → 0 (x ε R)

iii) (200), (030), (005) con las operaciones usuales de la adición y de la

multiplicación por un escalar. En este caso el vector cero es (000).2. Si el conjunto de vectores v1, v2, v3 …, vn es linealmente independiente,

demostrar que, si α 1 v1 + α 2 v2 + … + α n vn = β1 v1 + β2 v2 + … + βn vn

entonces α 1 = β1, α 2 = β2, …, α n = βn .

Observe que este resultado implica que un vector v no se puede expresar de dos

maneras diferentes como combinación lineal de un mismo conjunto de vectores

linealmente independientes.

3. Si {v1, v2, v3 …, vn} es un conjunto de vectores linealmente independientes, demostrar que cualquier subconjunto de este conjunto es linealmente independiente.

4. Si {v1, v2, v3 …, vn} es un subconjunto linealmente dependiente de un espacio vectorial V, demostrar que {v1, v2, v3 …, vn ,w} también es linealmente dependiente, donde w es cualquier elemento de V.

5. Demostrar que el conjunto { (100), (111), (

001) } es una base del conjunto de todas las

ternas de números reales.