evaluación del aprendizaje de la matemÁtica mediado … · grupo de investigación geeco y...

evaluación del aprendizaje de la matemÁtica mediado con

herramientas tecnológicas y su incidencia en el desarrollo de

procesos cognitivos

santa marta 2015

grupo de investigación geeco y departamento de matemáticasescuela internacional de administración y marketing

proyecto de investigación “evaluación del aprendizaje mediado con las herramientas tecnológicas scilab y winplot. caso: aplicación a los estudiantes de primer semestre escuela internacional de administración y marketing universidad

sergio arboleda santa marta”

santa marta 2015

grupo de investigación geeco y departamento de matemáticasescuela internacional de administración y marketing

equipo técnico

rodolFo rodrÍguez cadenainvestigador principal

aleXander parejo rodrÍguez

carlos alberto rocha tovar

omar Francisco rodrÍguez Álvarez

elvis augusto orozco castillo

josÉ barros troncosocoinvestigadores

evaluación del aprendizaje de la matemÁtica mediado con

herramientas tecnológicas y su incidencia en el desarrollo de

procesos cognitivos

directivas

rodrigo noguera calderónrector

alFredo mÉndez alzamorarector sede santa marta

camilo noguera abellosecretario general sede santa marta

herman andrÉs palaciosdecano escuela eiam sede santa marta

dorys yaneth rodrÍguez castrodirectora dirección de investigación e innovación

edimer leonardo latorre iglesiasdirector de investigación e innovación sede santa marta

carlos rocha tovardirector departamento de matemáticas sede santa marta

santa marta 2015

evaluación del aprendizaje de la matemática mediado con herramientas tecnológicas y su incidencia en el desarrollo de procesos cognitivos

isBn: 978-958-8866-48-2 (rústica)

isBn: 978-958-8866-49-9 (.pdf)

investigador principal© rodolFo rodrÍguez cadena. coinvestigadores© aleXander parejo rodrÍguez© carlos alBerto rocha tovar© omar Francisco rodrÍguez álvarez© elvis augusto orozco castillo© josÉ Barros troncoso

universidad sergio arboledagrupo de investigación geeco y departamento de matemáticasescuela internacional de administración y marketingsanta marta

edición: agosto de 2015

Queda prohibida toda reproducción por cualquier medio sin previa autorización escrita del editor.

el contenido del libro no representa la opinión de la universidad sergio arboleda y es responsabilidad del autor.

calle 74 no. 14-14teléfono: (571) 325 7500 ext. 2131/2260www.usergioarboleda.edu.coBogotá, d.c.

director del Fondo de publicaciones:jaime arturo Barahona [email protected]ño y diagramación: maruja esther Flórez jiménezcorrector de estilo: ludwing cepeda aparicioimpresión: digiprintsanta marta

Evaluación del aprendizaje de la matemática mediado con herramientas tecnológicas y su incidencia en el desarrollo de procesos cognitivos / investigador principal Rodolfo Rodríguez Cadena, coinvestigadores Alexander Parejo Rodríguez … [et al.] – Santa Marta: Universidad Sergio Arboleda. Grupo de investigación Geeco y Departamento de Matemáticas ; Escuela Internacional de Administración y Marketing, 2015.

162 p.

ISBN: 978-958-8866-48-2

1. MEDICIONES Y PRUEBAS EDUCATIVAS - INNOVACIONES TECNOLÓGICAS 2. TECNOLOGIA EDUCATIVA 3.ENSEÑANZA PROGRAMADA 4. MATEMATICAS – ENSEÑANZA CON AYUDA DE COMPUTADORES 5. APRENDIZAJE - INNOVACIONES TECNOLÓGICAS I. RODRÍGUEZ CADENA, RODOLFO II. ROCHA TOVAR, CARLOS ALBERTO III. RODRÍGUEZ ÁLVAREZ, OMAR FRANCISCO IV. OROZCO CASTILLO, ELVIS AUGUSTO V. BARROS TRONCOSO, JOSÉ VI. Título

371.26 ed. 21

A todos los docentes investigadores, que con esfuerzo, paciencia y fe, sacrifican sus horas de descanso, limpiando las piedras del camino,

y no sienten miedo a equivocarse.

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Contenido

PReFACio................................................................................................ 17

PRÓLoGo ............................................................................................... 19

intRodUCCiÓn .................................................................................... 27

ReSUMen ................................................................................................ 29

PLAnteAMiento deL PRoBLeMA .................................................. 31

JUStiFiCACiÓn ...................................................................................... 35

eStAdo deL ARte ................................................................................ 39Las competencias y el proyecto Tuning .................................................................39Caso países suramericanos: Chile, Argentina y México .......................................41Las competencias digitales de SKILLS (Education Testing Service) ..........................44Elementos para el Análisis de las TIC ..................................................................45Aplicaciones de las TIC en área de matemáticas ..................................................45

HiPÓteSiS .............................................................................................. 47

oBJetiVoS de LA inVeStiGACiÓn .................................................. 49Objetivo general ..................................................................................................... 49Objetivos específicos .............................................................................................. 49

MARCo teÓRiCo ................................................................................. 51Teoría del aprendizaje de Gagné ............................................................................51Fases del aprendizaje de Gagné ..............................................................................52Teoría del aprendizaje de Jerome Seymour Bruner ..............................................53Teoría de Giant Piaget ........................................................................................... 54Propuesta Reconciliadora Carmen Suárez Mantilla ........................................... 54Etapas en el proceso cíclico de aprendizaje .......................................................... 56Enfoque por competencias .................................................................................... 56Entrenamiento conductual cognitivo de Meichembaum ..................................... 58Cuadro comparativo del conductismo, cognitivismo y el constructivismo .............58El neuroaprendizaje y el aprendizaje .................................................................... 60

Los hemisferios cerebrales y la importancia en la neuroeducación. ..............61El aprendizaje cognitivo visto desde la neurociencia. ....................................61El aprendizaje implícito y explícito de Carlos Logatt Grabner. .....................62Fundamentación conceptual de la estrategia metodológica implementada. .62

Los niveles de conocimiento de taxonomía de Bloom ......................................... 64Actividades que debe realizar el profesor. ...................................................... 65

La taxonomía de Shavelson y la relación con la taxonomía de Bloom ............... 66Conocimiento declarativo o conceptual. ...................................................... 66Conocimiento procedimental. ........................................................................ 66Conocimiento esquemático. ........................................................................... 66Conocimiento estratégico. .............................................................................. 66Competencias a desarrollar en módulo instruccional de cálculo diferencial. ....68Los estilos de aprendizaje. .............................................................................. 68

MARCo MetodoLÓGiCo ................................................................... 69Diseño de investigación .......................................................................................... 69

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Evaluación del aprendizaje de la matemática mediado con herramientas tecnológicas y su incidencia en el desarrollo de procesos cognitivos

Población. ...................................................................................................................................................69Procesos. ..................................................................................................................................................... 70Análisis y diseño. ........................................................................................................................................ 70

Construcción de la rejilla de evaluación por competencias ............................................................................ 72Los dominios de aprendizaje propuestos por Bloom. ............................................................................... 72Competencia interpretativa del cálculo diferencial. ................................................................................. 72

Procesos de pensamientos que involucra competencia interpretativa ............................................................ 73Competencia argumentativa. .................................................................................................................... 73

Procesos de pensamiento que involucra la competencia argumentativa ........................................................ 73Competencia propositiva. .......................................................................................................................... 74

Procesos de pensamiento que involucra la competencia propositiva .............................................................. 74Rejilla de evaluación de las competencias específicas de las funciones .......................................................... 74Derivadas ........................................................................................................................................................... 76Rejilla de evaluación por competencias específicas de derivadas ................................................................... 78

PReSentACiÓn de ReSULtAdoS ........................................................................................... 81Descripción de la muestra ................................................................................................................................. 81Prueba realizada en la unidad didáctica de derivada ..................................................................................... 81

Análisis por edad. ....................................................................................................................................... 82Análisis por sexo. ........................................................................................................................................83Análisis por programa académico. ............................................................................................................84Análisis de resultados cuantitativos ...........................................................................................................85Análisis de la conducta de entrada. ...........................................................................................................85Resultados resumen estadísticos. .............................................................................................................. 87Análisis de los resultados de la prueba. ..................................................................................................... 87

Resultado estadísticos de la prueba derivadas .................................................................................................88Desempeño en la prueba ...................................................................................................................................89Escala de desempeño en la prueba ...................................................................................................................89Comparación de los dos métodos .....................................................................................................................90Comparación del desempeño según metodologías aplicadas .......................................................................... 92Contraste de aplicación de medias prueba Anova ........................................................................................... 92Formulación de hipótesis ..................................................................................................................................93

Prueba de homogeneidad de varianzas. ....................................................................................................96ANOVA de un Factor. ...............................................................................................................................96

Prueba aplicada a la unidad de funciones ........................................................................................................96Análisis por edad. ....................................................................................................................................... 97Análisis por sexo. ........................................................................................................................................98Análisis por programa académico. ............................................................................................................99

Análisis de resultados cuantitativos ..................................................................................................................99Análisis de la conducta de entrada. ...........................................................................................................99Análisis de los resultados de la prueba. ................................................................................................... 101Resumen estadístico de la prueba. .......................................................................................................... 103Desempeño en la prueba. ......................................................................................................................... 104Comparación de los dos métodos. ........................................................................................................... 105Comparación del desempeño según metodologías aplicadas. ................................................................ 106Contraste de medias y aplicación de la prueba Anova. .......................................................................... 107

Formulación de hipótesis ................................................................................................................................ 108Prueba de homogeneidad de varianzas. .................................................................................................. 109Anova de un factor. .................................................................................................................................. 110

Análisis por competencias en funciones ......................................................................................................... 110El programa académico y las competencias. .......................................................................................... 110

Análisis por competencias de derivadas ..........................................................................................................111El método aplicado y las competencias. .................................................................................................. 113Análisis de la prueba con resultados en funciones. ................................................................................. 114

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Grupo de Investigación GEECO y Departamento de Matemáticas

Análisis por competencias de derivadas ......................................................................................................... 116Conclusiones .................................................................................................................................................... 119

MÓdULoS inStRUCCionALeS SCiLAB Y WinPLot ......................................................... 121Resumen módulo instruccional a Scilab ........................................................................................................ 121Ejercicios propuestos para el aprendizaje de funciones ................................................................................. 123Resumen módulo instruccional a Winplot ..................................................................................................... 128Introducción a Winplot. .................................................................................................................................. 128

Ejemplo 1 .................................................................................................................................................. 130Taller ......................................................................................................................................................... 134Ejemplo 2 .................................................................................................................................................. 135

CUeStionARioS de eVALUACiÓn de FUnCioneS Y deRiVAdAS ............................... 143Prueba de control de aprendizaje ................................................................................................................... 143

Actividad de aprendizaje I. ...................................................................................................................... 143Actividad de aprendizaje II. .................................................................................................................... 143Actividad de aprendizaje III. ................................................................................................................... 144Actividad de aprendizaje IV. ................................................................................................................... 145Actividad de aprendizaje V. ..................................................................................................................... 145

Evaluación de aprendizaje de derivadas ........................................................................................................ 147Actividad de aprendizaje I. .......................................................................................................................147Actividad de aprendizaje II. .....................................................................................................................154

ReFeRenCiAS ............................................................................................................................ 157

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LiStA de tABLAS

Tabla 1. Cuadro comparativo proyecto Tuning Europa vs. América Latina ......... 40Tabla 2. Actividades con TIC para el aprendizaje y desarrollo de habilidades .......45Tabla 3. Etapas en el proceso cíclico de aprendizaje .............................................56Tabla 4. Enfoques de aprendizaje ...........................................................................58Tabla 5. Actividades de la taxonomía ....................................................................65Tabla 6. Atributo de la competencia ...................................................................... 67Tabla 7. Competencias específicas de cálculo diferencial .....................................68Tabla 8. Rejilla de evaluación de funciones ........................................................... 75Tabla 9. Rejilla de evaluación de derivadas ........................................................... 78Tabla 10. Resumen estadístico por edad ................................................................ 82Tabla 11. Datos por sexo .........................................................................................83Tabla 12. Datos por sexo .........................................................................................83Tabla 13. Datos por programa académico .............................................................84Tabla 14. Datos conducta de entrada .....................................................................85Tabla 15. Puntaje conducta de entrada .................................................................. 87Tabla 16. Puntaje de la prueba derivadas ..............................................................88Tabla 17. Resumen estadístico prueba con derivadas ...........................................89Tabla 18. Desempeño de la prueba ........................................................................89Tabla 19. Puntaje de la prueba ............................................................................... 91Tabla 20. Puntaje de la prueba ...............................................................................96Tabla 21. Puntaje de la prueba ...............................................................................96Tabla 22. Análisis por edad .................................................................................... 97Tabla 23. Puntaje Conducta de entrada ..............................................................100Tabla 24. Resumen estadístico de la prueba ........................................................ 101Tabla 25. Puntaje de la prueba ............................................................................. 103Tabla 26. Puntaje de la prueba ............................................................................. 103Tabla 27. Desempeño en la prueba ...................................................................... 104Tabla 28. Comparación de las medias muéstrales según método empleado ...... 105Tabla 29. Puntaje de la prueba ............................................................................. 109Tabla 30. Puntaje de la prueba ............................................................................. 110Tabla 31. Resultados por competencia ................................................................. 110Tabla 32. Análisis de competencias por programa .............................................. 112Tabla 33. Prueba de funciones .............................................................................. 114Tabla 34. Resumen estadístico por tipo de preguntas ..........................................117Tabla 35. Datos del ejemplo 1 ............................................................................... 123Tabla 36. Datos ejemplo 2 .................................................................................... 124

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LiStA de FiGURAS

Figura 1. Resumen pruebas Saber 11 Icfes 2005 a 2009, calendario A ................37Figura 2. Resultados de las pruebas Saber 11 - 2011 al 2013 ............................... 38Figura 3. Modelo de proceso de la información (Atkinson y Shriffin) ..................52Figura 4. Propuesta de integración y categorización del conocimiento ...............55Figura 5. Surco cerebral el nuevo aprendizaje cognitivo ......................................62Figura 6. Propuesta ACOF .....................................................................................67Figura 7. Procesos de pensamiento que involucra la competencia interpretativa ......73Figura 8. Procesos de pensamiento que involucra la competencia argumentativa ....73Figura 9. Procesos de pensamiento. Competencia propositiva .............................74Figura 10. Representación gráfica por edad ..........................................................82Figura 11. Representación gráfica por sexo .......................................................... 83Figura 12. Resultados por programa..................................................................... 84Figura 13. Histograma conducta de entrada ........................................................ 86Figura 14. Factor TIC en el desempeño de los estudiantes ...................................87Figura 15. Porcentajes de desempeño de la prueba .............................................. 90Figura 16. Comparación de pruebas ......................................................................91Figura 17. Desempeño en la prueba según método aplicado. Derivada ...............92Figura 18. Prueba de homogeneidad ..................................................................... 95Figura 19. Porcentaje por edad .............................................................................. 98Figura 20. Porcentaje por sexo .............................................................................. 98Figura 21. Porcentaje por programa académico ................................................... 99Figura 22. Análisis de la conducta de entrada .................................................... 100Figura 23. Resultados de la prueba .....................................................................102Figura 24. Porcentaje de la prueba .......................................................................105Figura 25. Comparación de medias según método aplicado funciones ..............106Figura 26. Desempeño en la prueba de funciones según método aplicado ........107Figura 27. Análisis de grupos ...............................................................................108Figura 28. Desempeño por competencias. derivadas ..........................................113Figura 29. Desempeño de funciones por competencias .......................................115Figura 30. Comparación Media con TIC y sin TIC ...........................................118Figura 31. Por desempeño de funciones ...............................................................119Figura 32. Interfaz gráfico del ejemplo 1 .............................................................124Figura 33. Gráfica del ejemplo 2 ..........................................................................125Figura 34. Ventana del editor de ejes ...................................................................125Figura 35. Gráfica del ejemplo 2 resaltando la función Data Tip ......................126Figura 36. Gráfica de ejecución función f(x)=-2x+24..........................................128Figura 37. Venta de trabajo de Winplot ...............................................................130Figura 38. Ventana de ejecución de una función explícita .................................131Figura 39. Sombrear una gráfica .........................................................................132

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Figura 40. Ventana de opción gráfica ............................................................................................................133Figura 41. Gráfica de la función f(x) = x^2 .....................................................................................................133Figura 42. Protección de la información .........................................................................................................134Figura 43. Gráfica de la función (x) = 2x3 –3x2 –12x + 45 ..............................................................................136Figura 44. Opción ver ......................................................................................................................................137Figura 45. Configurar la opción ver ................................................................................................................137Figura 46. Primer paso obtención de una raíz ...............................................................................................138Figura 47. Segundo paso obtención de una raíz .............................................................................................139Figura 48. Primer paso para obtención de los extremos ................................................................................140Figura 49. Segundo paso para obtención de los extremos .............................................................................140Figura 50. Control de los extremos .................................................................................................................141Figura 51. Opción cuadrícula ..........................................................................................................................142Figura 52. Ventana con cuadrícula .................................................................................................................142Figura 53. Ventana de menú ...........................................................................................................................147Figura 54. Ventana de selección de cuadrícula ..............................................................................................148Figura 55. Opción ECUA ................................................................................................................................148Figura 56. Función f (x) .....................................................................................................................................149Figura 57. Ventana Ver ....................................................................................................................................149Figura 58. Rótulos o etiquetas de los ejes ........................................................................................................150Figura 59. Ventana ceros .................................................................................................................................150Figura 60. Gráfica de la función ......................................................................................................................151

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PReFACio

Este libro es un estudio que responde a una pregunta que nos hacíamos los docentes de la Escuela EIAM

sobre si el uso de las TIC en la enseñanza de las matemáti-cas incidía significativamente en el desarrollo de procesos cognitivos para interpretar, argumentar y proponer. En efecto, una de mis colegas del área de matemáticas afir-maba que los estudiantes que recibían en los cursos de Estadística II y que utilizaban la metodología tradicional, tenían un mayor conocimiento en los contenidos que los que empleaban una metodología mediada por TIC. De lo anterior se puede decir que son muchas las hipótesis que surgen al uso de las TIC, entre otras, la baja formación en el uso de las TIC de los docentes, el uso de las TIC afectan el aprendizaje de las matemáticas, la aplicación de metodologías inadecuadas; o cómo la creencias de muchos docentes que la aplicación de las TIC garantiza el aprendizaje, etc. Desde luego, todas las hipótesis son válidas en esta discusión.

Sin embargo, estructurar el pensamiento en los estu-diantes es una tarea muy compleja, que involucra el desa-rrollo de habilidades cognitivas que le permitan meditar sobre sus propios procesos de pensamiento. Esto se debe a que el desarrollo de procesos cognitivos son los que dan a la persona la capacidad de pensar y razonar. Al respecto, Feuerstein (1986) fundamenta esta idea con su teoría de la “modificabilidad estructural cognitiva”, al considerar al organismo humano como un sistema susceptible al cam-bio y a la modificación. Por lo tanto, los humanos tenemos la capacidad natural de cambiar la estructura de nuestros pensamientos. Cierto es que las nuevas propuestas edu-

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cativas hablan de enseñar habilidades, dirigidas a pensar estratégicamente para el aprendizaje, de aquí que el uso de las TIC como herramienta de enseñanza sea indispensable, pero mediada con una estrategia metodológica que involucre el desarrollo de procesos de pensamiento.

Sin duda, el uso de las TIC genera altos estados emocionales en los es-tudiantes, debido en gran medida por su calidad de ser nativos digitales. Es claro entender que estamos en la llamada era digital y que, por ende, hay otro tipo de estudiantes en nuestras aulas de clase. La tecnología ha cam-biado su estructura mental para bien y para mal, pues estos conviven con muchos más distractores desde que se levantan hasta que se duermen (Inter-net, teléfonos móviles, tablex, portátiles). En mi experiencia como docente del área tecnológica, los nativos digitales nacidos a finales de los noventa son mucho más mediáticos, tienden a ser más visuales, apáticos a la lectura, y propensos a un aprendizaje superficial, etc.

Sin embargo, las nuevas investigaciones del área cognitiva están enfoca-das en los procesos inconscientes, como la percepción, la memoria, la aten-ción, las emociones, el pensamiento, el aprendizaje implícito. Cabe señalar que el cerebro procesa toda la información que percibe por los sentidos. Por lo tanto, un nuevo aprendizaje puede darse de manera explícita mediante un estado consciente, o de manera implícita mediante un estado emocio-nal inconsciente. Aunque el almacenamiento del nuevo aprendizaje en la memoria de largo plazo se alcanzará dependiendo de la predisposición del pensamiento del estudiante. Para finalizar, la combinación de los nuevos pensamientos con los preexistentes y almacenados en la memoria son los que permiten el desarrollo de procesos cognitivos para generar ideas originales, que lo facultan para el desarrollo de competencias interpretativas, argumen-tativas y propositivas.

Rodolfo RodRíguez Cadena

Docente Investigador Universidad Sergio Arboleda

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PRÓLoGo

La enseñanza de las matemáticas como ciencia consti-tuida se caracteriza por su precisión, por su carácter

formal y abstracto, por su naturaleza deductiva y por su organización a menudo axiomática. Dichas característi-cas han gestado paradigmas en los docentes sobre cómo se enseñan las clases de matemáticas, presentándolas en muchas ocasiones como una sucesión de algoritmos abstractos, en donde el docente emplea una terminología técnica, que no se adecúa a los estudiantes o a la realidad.

Esta realidad de la presentación de las clases en forma tradicional, lleva a una pobre creatividad dentro de las aulas de clases, a un escaso desarrollo del pensamiento matemático en los estudiantes y a una poca solución de problemas del entorno con el saber de las matemáticas; por el contrario, se crea un ambiente tedioso, donde una gran parte del alumnado está prevenido ante la disciplina, por lo tanto, el estudiante no quiere aprender. Esta situa-ción conduce a una formación deficiente en el área de las matemáticas.

Es por lo anterior que la enseñanza de las matemá-ticas depende de la concepción que tiene arraigada el docente en cuanto a la forma en que se debe presentar dicha disciplina, de los conocimientos que maneje el pro-fesor, de las habilidades que se tenga en cuanto a la forma de relacionar variables para solucionar problemas, de las destrezas para incorporar lo novedoso o tecnológico a la enseñanza y la disposición del mentor en cuanto a hacer trascender a sus estudiantes con los contenidos que él les está trasmitiendo.

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En cuanto a la concepción que tiene el docente de la forma de impartir la cátedra, así como respecto a la relación que se da entre las aplicaciones y la forma en que esta asignatura debe permear el currículo se identifican dos concepciones extremas. En primer lugar, se encuentra la platónica, la cual considera que el estudiante debe adquirir los fundamentos en forma axiomá-tica y luego será fácil para él resolver problemas que se le presenten haciendo aplicaciones. Por otro lado, está la concepción constructivista, la cual esboza que a lo largo de todo el currículo se deben dar los fundamentos matemáti-cos y enseguida realizar la aplicación, para que los estudiantes sean capaces de comprender la aplicabilidad de cada concepto que se les ha presentado (Godino et al., 2003, pp. 20, 21).

La enseñanza tradicional de las matemáticas se caracteriza por los si-guientes aspectos:

1. Transmisión y reproducción de conocimientos, en donde el estudian-te recibe el conocimiento por explicaciones y ejercicios del profesor, para luego demostrar lo aprendido por trabajos individuales y correc-ciones en el pizarrón.

2. Actividades centradas en el maestro, en la cual no se propicia la re-flexión en los estudiantes.

3. Evaluaciones basadas en la reproducción de la enseñanza y no en la creatividad o la reflexión, no se tiene en cuenta el proceso del apren-dizaje, sino la respuesta a los problemas (Féliz y otros 2005, p. 11).

Complementando lo anterior, un estudio realizado por Valverde, Gilbert & otros (2004) y citado en Feliz & otros (2005) expresan que las clases de matemáticas se imparten en forma tradicional, que el énfasis estaba basado en la memorización, que hay una repetición de los contenidos más que una exploración en profundidad de ellos, que no se enfocan en la capacidad del estudiante para la solución de problemas, que el buen estudiante es el que recuerda algoritmos o definiciones para solucionar ejercicios parecidos a los que ya se había enfrentado, no se explica cómo plantear problemáticas y no se diseñan estrategias para solucionarlas (pp. 15,16).

En este mismo sentido, Cruz y Puentes (2012) explican que en el modelo tradicional para la enseñanza de las matemáticas el docente es un agen-te activo que tiene predominio sobre la trasmisión de los contenidos de la

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asignatura; por otro lado, también se encuentra al estudiante, que ejerce un papel pasivo al escuchar los conocimientos y luego los reproduce cuando se le exigen (p. 133).

Las consecuencias que se dan cuando el proceso de enseñanza y apren-dizaje de las matemáticas está basado en métodos tradicionales es que un gran número de los estudiantes aprenden para aprobar un examen, pero luego olvidan los algoritmos, definiciones y fórmulas al momento de resolver un problema de la vida cotidiana. Esta falta de comprensión real de los con-ceptos lleva a no tener estrategias apropiadas al enfrentarse a entornos que tienen relacionados otro tipo de variables, lo cual evidencia que aún persis-ten elementos negativos de la enseñanza tradicional (Féliz et al. 2005, p. 11).

Estas consecuencias han llevado a que en la mayoría de los casos no se encuentran satisfechas las expectativas del proceso de enseñanza-aprendiza-je, en los directivos, maestros, padres y estudiantes, debido a que el aprendi-zaje se basa en memorizar conceptos y algoritmos para la aprobación de un examen; pero después de surtir este evento olvidan lo aprendido1, y no son capaces de generar estrategias para resolver problemas que no tengan un carácter algorítmico (Féliz et al., 2005, pp. 10, 11).

Por lo anterior, esta forma de instrucción tradicional ha traído deficien-cias en el aprendizaje de las matemáticas, debido a que el docente no se ha capacitado para presentar su clase en forma aplicada al contexto de los es-tudiantes. El maestro arrastra paradigmas en los que se tiene estructurado que las clases son magistrales, lo cual no le permite conocer la forma en que el estudiante aprende o las cosas en que se interesa por aprender. Debido a esta situación, las clases siguen siendo un esbozo de la aritmética, la trigo-nometría o el cálculo, donde se evalúa el aprendizaje del muchacho por la solución de ejercicios, sea en el pizarrón o por medio de un quiz, dándole importancia simplemente al resultado y no al proceso.

Una alternativa podría ser desarrollar competencias2 para dirigir la enseñanza, desde el punto de vista del estudiante como protagonista de su

1 Cuando el estudiante olvida lo que ha aprendido, no se estructura su pensamiento en relación con las competencias que debería aprender para desenvolverse en su vida laboral.

2 Para Álvarez, Brunel, Díaz y Hernández (2012, p. 4), en las competencias matemáticas se evidencia la capacidad para aplicar los conocimientos y el razonamiento para solucionar problemas del entorno social.

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aprendizaje y responsable de los resultados (Féliz et al., 2005, p. 20), debido a que se necesita desarrollar estudiantes competentes en las matemáticas, que comprendan cómo utilizarlas en sus entornos y les permitan presentar reflexiones de la solución de problemas, basados en la manipulación que han realizado a la matemática (Cruz & Puentes, 2012, p.132).

De manera que el conocimiento de las matemáticas es algo que se ha generalizado y ha formado parte del dominio público, hecho por el cual la forma en que se imparte esta asignatura no debiera ser un obstáculo para el aprendizaje y la formación en la disciplina para la población (Díez Fran-cisco, 2002, p. 10). Esta limitación se generaliza cada vez más en las po-blaciones estudiantiles, por falta de una adecuada metodología y didáctica acordes al contexto, capaz de presentar en una forma sencilla y agradable estas enseñanzas.

Los alumnos aprenden matemáticas dependiendo del medio que los cir-cunda, del tipo de trabajos que realizan y de la enseñanza que reciben. Por tanto, se debe cuidar mucho el currículo3, la metodología y los contenidos con la cual se imparte el conocimiento, para que realmente se desarrollen capacidades matemáticas en los alumnos, debido a que el aprendizaje de las matemáticas se da cuando se comprenden los conceptos y cuando se cons truye el conocimiento partiendo de la forma como se impartió el conoci-

3 Para la elaboración de propuestas curriculares en matemáticas se tienen los siguientes supuestos:

1) El docente debe ayudar al estudiante a que aprenda a razonar matemáticamente, a que aprenda a plantear y dar solución a los problemas, a comunicar sus ideas en forma matemática y a realizar relaciones entre esta disciplina y otras (Godino y otros 2003, p. 91).

2) El docente debe tener una organización especial de los contenidos y la didáctica con la que van a ser impartidos, sean tareas, ejercicios, talleres conceptos; debido a que si estas actividades le llaman la atención él podrá inquirir su importancia y realizar afirmaciones, hipótesis o conjeturas de lo encontrado (Godino y otros 2003, p. 91).

3). La enseñanza-aprendizaje debe hacerse en forma progresiva teniendo en cuenta los objetivos o las competencias; entonces, el maestro debe implementar actividades para que el estudiante adquiera el conocimiento en forma escalonada (Godino y otros 2003, p. 92).

4). El currículo debe tener la flexibilidad para adaptarse a los diferentes estudiantes. El docente debe tener la capacidad en las actividades de generar ejercicios complejos para los más aventajados y ejercicios más sencillos para los menos adelantados (Godino y otros 2003, p. 92).

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miento, la experiencia adquirida y lo aprendido con anterioridad (Godino et al., 2003, pp. 78, 98).

Para Campos (2001), el aprendizaje debe comenzar de una situación di-dáctica que tenga su origen en la realidad, en la cual se pretende intervenir para darle solución a los problemas inherentes a dicha realidad, con los con-ceptos, modelos y fórmulas aprendidas en dicha clase. Luego de esto, propo-ner nuevos ejercicios para que se le dé solución y de esta manera afianzar el conocimiento (p. 9). Es por esto que el conocimiento y el saber matemáticos no se refieren solamente a la repetición de conceptos, a la identificación de las propiedades de los polinomios, a entender las magnitudes, figuras geomé-tricas u otros objetos matemáticos; el individuo que sabe matemáticas utiliza el lenguaje y los conceptos matemáticos para la solución de problemas (Go-dino et al., 2003, p. 66).

Pensar matemáticamente es lo que debe primar en las clases de matemá-tica para la solución de problemas; para ello, se debe incluir dentro de estas clases actividades que busquen desarrollar la forma de relacionar diferentes tipos de variables. A esto se le ha prestado poca atención, por lo tanto, los estudiantes se forman sin tener la suficiente competencia para la solución de problemas que enmarcan temas más complejos, en donde deberían tener profundidad, razonamiento y pensamiento matemático (Martin, 2009; en Cruz & Puentes, 2012, p. 135).

Enseñar matemáticas tiene como finalidad desarrollar la capacidad de entender los conceptos y procedimientos propios de esta asignatura; para que los alumnos comprendan que es utilizable y que la pueden aplicar en un contexto real para la solución de problemas (Zemelman, 1998, en Farias y Pérez 2010, p. 38). Es decir, que la enseñanza de las matemáticas no sea solo para resolver ejercicios cuya respuesta ha sido hallada por el maestro o el autor del libro, sino más bien para prepararlos en la solución de problemas aún existentes; es por esto que el estudiante debe utilizar los conocimien-tos previos que tenga de las matemáticas, para darle solución a problemas y situaciones del entorno, convirtiéndose la resolución de problemas en un medio para adquirir el aprendizaje (Godino et al., 2003, pp. 39, 68).

Partiendo de lo anterior, Alsina (2002) le apuesta a que las matemáticas no sean lineales, sino una enseñanza provocativa, que lleve a los estudian-tes a cuestionar su medio circundante, para dar soluciones al entorno y no

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simplemente a resolver problemas con la aplicación de fórmulas. El uso de las matemáticas debe estar encaminado a ser una herramienta de modelación de las realidades y con la cual se mire al mundo en una forma crítica y reflexiva. Por lo anterior, se deben repensar los cursos de enseñanza de matemáticas y generar nuevos paradigmas en los docentes, para que las matemáticas sean más tangibles por su aplicación (Díez Francisco, 2002, pp. 13,14).

Las tiC en la enseñanza de las matemáticas

Las TIC han tenido una influencia muy grande en las aulas de matemá-tica, de tal forma que han servido de apoyo para presentar las clases en una forma interactiva y dinámica (Cruz & Puentes, 2012, p. 132). En cuanto a esto, Martínez y Cálao (2012) dicen que las TIC representadas en software de simulación u otros objetos de aprendizaje, le brindan al estudiante una herramienta robusta para aprender; debido a que se utilizan, gráficos, simu-lación de movimientos en funciones, se observan espacios o áreas que le van a permitir dimensionar con claridad su importancia y aplicación (p. 8). En este mismo sentido, Cruz & Puentes (2012) argumentan que esta manipula-ción de objetos matemáticos lleva a los estudiantes a tener otra óptica de las situaciones o problemas que deben resolver.

Por otro lado, la NCTM (2000:25) en Cruz y Puentes, (2012) expresa que las TIC muestran diferentes maneras de representar escenarios problémicos que le ayudan al estudiante a crear estrategias de solución de problemas y con ello mejorar la comprensión de las matemáticas. Tener a disposición el uso de las TIC lleva a los estudiantes a la reflexión, al razonamiento y a con-centrarse en las decisiones acerca de la solución del problema (p. 132). Por esto, Gregorio (2002) argumenta que se deben tomar los buenos programas de construcción y aplicación de matemáticas, para que el estudiante reflexio-ne, cuestione, argumente y genere ideas para la solución de problemas; y no simplemente para la solución de operaciones ( p. 129).

Por lo anterior, Cruz y Puentes (2012) y Godino y otros (2003) expresan que las TIC pueden ayudar al aprendizaje de las matemáticas; sin embargo, Cruz y Puentes (2012) hacen una claridad afirmando que complementar las clases de matemáticas con las TIC es más que contar con una herramien-ta, debido a que el docente debe tener claro la forma en que se enseña y se aprende matemáticas al utilizarlas; además de esto, debe tener claro que las

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herramientas o los recursos que se utilicen sean los adecuados para lograr las competencias planeadas según el tema que se está enseñando (p. 133).

Godino y otros (2003) expresan que los estudiantes tienen el potencial de aprender más matemáticas y de forma más profunda cuando se usa la tecnología correcta; sin embargo, la tecnología no remplaza la comprensión y el entendimiento, solo arroja unos datos a los que se le debe dar la inter-pretación adecuada (p. 142). En este mismo sentido, Cruz y puentes (2012) señalan que las TIC permiten mejorar la comprensión de los estudiantes, al descubrir por ellos mismos los conceptos, logrando así un aprendizaje significativo y las competencias4 requeridas (p. 147). Es por ello que las TIC desempeñan un papel importante, porque mediante la simulación de situa-ciones convierten a los estudiantes en agentes activos de su aprendizaje, ya que han tomado conceptos que consideraban abstractos y los han hecho parte de su cotidianidad (Cruz & Puentes, 2012, p.132).

En contraposición a todo lo anteriormente expuesto, se pensó que con la llegada de los computadores llegaría la modernización de la enseñanza de las matemáticas, por la incorporación que se ha hecho de juegos y progra-mas; pero lo que se ha derivado en algunos casos es una clase magistral de matemáticas, en la cual se ha cambiado el pizarrón por el computador, resul-tando en el mismo estilo de la clase tradicional, donde la enseñanza-aprendi-zaje es simplemente una trasmisión de conocimientos, siendo esto un modelo ya agotado (Gregorio, 2002, p. 129).

Cuando el software, los sitios web, las simulaciones matemáticas y las me-todologías de aprendizaje de las matemáticas se utilizan de manera ade-cuada, hacen posible que el estudiante tenga una nueva perspectiva, lo cual lo enfoca y le guía a la solución de problemas del entorno, debido a que ha pasado de percibir las matemáticas en forma abstracta a verle el sentido de 4 Las competencias se refieren al saber hacer específico, a poseer un conocimiento

práctico de algo, son las destrezas de manipulación y los procedimientos que ha aprendido en cuanto a cómo hacer algo; en definitiva, la competencia es una tendencia y característica cognitiva del sujeto. Con respecto a lo anterior, en el sujeto se pueden distinguir dos partes en el aprendizaje de una temática; la primera se refiere al componente teórico que se da cuando el estudiante comprende las clases; la segunda obedece al componente práctico, el cual se da cuando el estudiante adquiere la competencia. Para la competencia se necesitan los conocimientos procedimentales y para la comprensión se necesitan conocimientos conceptuales (Godino et al. 2003, pp. 61, 62).

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utilidad a lo que está estudiando. Si el estudiante entiende la utilidad de cada concepto matemático, estará más atento a la explicación del docente, debido a que querrá aprender matemáticas.

elvis augusto oRozCo Castillo

Director del Grupo de Investigación GEECO

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intRodUCCiÓn

La Universidad Sergio Arboleda, a través del grupo de investigación GEECO, y los docentes del Depar-

tamento de matemáticas de la Escuela Internacional de Administración y Marketing - Santa Marta, dan cum-plimiento a las políticas institucionales en relación con el diseño y la creación de material pedagógico. En esta oportunidad, el material desarrollado se orientará a la enseñanza del cálculo diferencial, mediante el uso de las herramientas tecnológicas Winplot1 y Scilab2.

En los últimos años se habla mucho del uso de las he-rramientas tecnológicas o TIC 3, las cuales brindan a los discentes la posibilidad de interactuar con objetos e imá-genes virtuales. Esto debido a que, como en el caso de las matemáticas, ofrecen la oportunidad de calcular, mode-lar, simular e ilustrar relaciones matemáticas. Aunque no es muy claro demostrar si a los discentes se le facilita la capacidad de desarrollar dominios cognitivos que le per-mitan interpretar, argumentar y proponer. Esto debido a que muchos docentes utilizan las TIC en el aula, sin el diseño de materiales pedagógico adecuado, que garantice abordar con profundidad los contenidos temáticos.

En ese orden de ideas, el presente estudio tiene como propósito fundamental medir la incidencia de las TIC en el aprendizaje de las matemáticas, diseñando una estra-tegia metodológica de evaluación. Fundamentada en el

1 Winplot: herramienta tecnológica para graficar funciones matemáticas.

2 Scilab: herramienta tecnológica con un lenguaje de programación de alto nivel, para cálculo científico.

3 TIC: tecnologías de la información y comunicación.

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documento de ACOFI4 y en el ICFES, para la revisión y consolidación de la fundamentación conceptual y especificaciones de prueba correspondiente a la prueba Saber Pro de ingeniería 2011-2013 de nombre “Marco Teórico y Conceptual, Objeto de Estudio y Constructo para la Prueba Saber Pro de Ingeniería”. Mediante una estrategia metodológica con la fundamentación de las taxonomías de Shavelson5 y Bloom6, aplicadas de manera específica en las unidades didácticas de funciones y derivadas del cálculo diferencial mediante el uso de las herramientas tecnológicas Scilab y Winplot.

En concordancia con lo anterior, se evaluarán la incidencia de las TIC en el desarrollo de procesos cognitivos en las competencias interpretativas, argumentativas y propositivas. Para el proceso de evaluación se tendrán en cuenta los tres pilares de la evaluación. Primero, la relación central del mo-delo: un modelo de cognición y aprendizaje. Segundo, la interpretación del modelo, alineado con el modelo de cognición y aprendizaje. Tercero, diseñar actividades en los discentes con las cuales se provoque en los estudiantes des-empeños que permitan recoger evidencias para el modelo de interpretación (Duque M., 2010).

4 ACOFI: Asociación Colombiana de Facultades de Ingeniería.5 Richard J. Shavelson: psicólogo de la evaluación educativa, psicología cognitiva y la

educación científica. Profesor en la Escuela de Educación de Stanford y presidente de la American Educational Research Asociation.

6 Benjamín Bloom: psicólogo, doctor en Educación en la Universidad de Chicago. Hizo grandes contribuciones significativas a la taxonomía de objetivos de la educación.

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ReSUMen

El propósito de este estudio es una medición de impacto en el aprendizaje, mediante el uso de las herramientas

tecnológicas Scilab y Winplot, aplicado en las unidades de funciones y derivadas del cálculo diferencial. Por lo tanto, se hizo necesario diseñar una estrategia metodológica de enseñanza y evaluación que permita a través del análisis de dos grupos, uno experimental y uno de control evaluar el desarrollo de competencias interpretativas, argumenta-tivas y propositivas de los dominios cognitivos. Así pues, se pudo medir el aprendizaje generado con un estilo de aprendizaje con TIC y uno obtenido de la manera tradi-cional. Este estudio fue aplicado a los estudiantes de los programas de Administración de Empresas, Marketing y Negocios Internacionales de la Universidad Sergio Arbo-leda, seccional Santa Marta.

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PLAnteAMiento deL PRoBLeMA

El hombre está siendo transformado por la llamada era digital, los nuevos avances tecnológicos que se han

desarrollado en los últimos años han logrado modificar los hábitos y costumbres de la gente. Actualmente vivimos en la sociedad del saber, o sociedad del conocimiento, como también es llamada. Esta expresión se le escuchó decir por primera vez a Abdul Waheed (2003), subdirec-tor de comunicaciones de la Unesco, quien afirmó en una entrevista: “La sociedad de la información es la piedra angular de las sociedad del conocimiento. Mientras que el concepto de sociedad de la información se ve vinculado a la idea de innovación tecnológica, el concepto de sociedad del conocimiento incluye la dimensión de la transforma-ción social, cultural, económico, político e institucional, y una perspectiva más pluralista y de desarrollo” (Portal Unesco, 2003).

Es por esto que son grandes los desafíos de la era digital, se percibe la necesidad de la sociedad del saber. Molano O (2011) escribe en el portal Colombia aprende, refe-rente al tema de las TIC, que “somos confrontados por la extraña sensación de no saber, y peor aún, de saber que no sabemos. Ese es el principio de incertidumbre que agobia a los habitantes del mundo contemporáneo”.

En concordancia con estos desafíos de la sociedad del saber, las instituciones educativas de educación superior se han concientizado de esta necesidad, y se han involucrado con el concepto de las TIC de diferentes maneras; ya sea con grandes infraestructuras tecnológicas con servicios en línea, como bases de datos electrónicas, aulas virtuales, websites, herramientas on-line, chats, foros wikis, simulado-

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res en línea o con la compra de paquetes de software especializado y científico en diferentes disciplinas incorporándolas a los contenidos curriculares.

Asimismo, las instituciones de educación superior realizan grandes in-versiones en la cualificación de sus docentes en el manejo de las TIC, para incorporarlas a la labor docente. Pero una de las grandes debilidades es que no se ha invertido en la construcción de material pedagógico, contextualiza-do en cada una de las disciplinas, específicamente en el área de matemáti-cas, que es el objeto de este estudio.

En consecuencia, ha surgido una gran variedad de críticas relacionadas con los problemas asociados al uso de las TIC. Para Monteagudo (2006) los problemas en la enseñanza no están relacionados con el uso de la tecnología en sí, sino con el diseño del material didáctico que se utiliza en las meto-dologías de enseñanza, debido a la poca o nula consideración de los estilos de aprendizaje acorde con las necesidades de cada asignatura. Es decir, las instituciones se preocupan más por el aprendizaje de sus docentes en el ma-nejo de las herramientas TIC, que en la construcción de material didáctico adecuado o en la planificación de estrategias que le permitan el desarrollo de habilidades y destrezas, mediados con TIC.

Por otra parte, críticos como Quiñones (2013) consideran que la escuela se limita al entrenamiento de docentes y estudiantes en cómo se usan las TIC en el aula, partiendo de la relación directa entre nuevas tecnologías y educación como algo natural e incuestionable, por lo que su estudio en la educación formal se reduce al aprendizaje del funcionamiento de herra-mientas tecnológicas. En concordancia, el autor considera que el uso de las herramientas tecnológicas sin el diseño de material pedagógico adecuado hace que se genere un aprendizaje sin profundidad en los contenidos temá-ticos.

Con todo lo anterior, para los docentes se vuelve un reto adaptar el uso de las herramientas TIC a su labor diaria, ya que esto implica por su cuenta y riesgo diseñar y construir material pedagógico e implementar estrategias didácticas, lo cual compromete el desarrollo de habilidades y destrezas me-todológicas en los estudiantes, acordes con los requerimientos de cada asig-natura.

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También implica para el docente hacer una selección de estilos de apren-dizaje más adecuados y necesarios para el desarrollo de las habilidades y destrezas con el uso de las herramientas TIC como mediadoras. Por todo lo anterior, se genera el siguiente cuestionamiento: ¿de qué manera la aplica-ción de las herramientas tecnológicas Scilab y Winplot ayudará a mejorar las habilidades cognitivas y las destrezas metodológicas de las matemáticas en los estudiantes de la Escuela Internacional de Administración de USA, Santa Marta?

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JUStiFiCACiÓn

En los últimos años hemos sido testigos de las grandes transformaciones que ha tenido la sociedad, gracias

los grandes avances tecnológicos de las TIC. Estamos actualmente en la llamada era digital, que empezó en los años ochenta con la creación del computador personal (PC) y la creación de la gran infraestructura de redes de telecomunicaciones en el mundo (Internet), generando el acceso masivo a la información. Los nuevos habitantes del planeta que nacieron bajo esta era serán llamados ahora nativos digitales. Estos hechos lograron abrir las fronteras de los países en el mundo, permeando las naciones y con ellas su economía, cultura, ciencia, edu-cación, los hábitos de leer, escribir y pensar, en mayor o menor medida, dando origen a una nueva sociedad de la información.

Por esta razón, los cambios que se dieron en la edu-cación con el apoyo de las TIC fueron muy grandes. Esto debido a que solo era necesario un computador personal y el manejo de un lenguaje de programación para diseñar y crear todo tipo de herramientas tecnoló-gicas aplicadas en todas las áreas de la ciencia. Según la Unesco, estas debían contribuir a transformar la sociedad de la información en una sociedad del cono-cimiento.

¿Qué pretende lograr este estudio?

El presente estudio busca, específicamente, im-plementar una estrategia metodológica, para medir la incidencia en el aprendizaje, con la mediación de las he-

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rramientas tecnológicas Scilab y Winplot aplicadas a las unidades didácti-cas del cálculo diferencial, comparado con una metodología de enseñanza tradicional. El fin es medir el impacto en el desarrollo de habilidades y destrezas cognitivas de las competencias interpretativas, argumentativas y propositivas de los estudiantes de primer semestre en el área de matemáti-cas de la Escuela Internacional de Administración y Marketing.

Ahora bien, cabe preguntarse quiénes serán los beneficiados

Es importante mencionar que este estudio beneficiará a docentes, es-tudiantes, directivos y la sociedad en general, interesados en incorporar las TIC en su enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Ya que el uso de estas herramientas tecnológicas, con el apoyo de una estrategia metodológica y con el diseño de material adecuado, contribuirán al desa-rrollo de habilidades y destrezas cognitivas para el análisis de variables, modelar problemas, simular comportamientos y hacer proyecciones en matemáticas.

Beneficios pedagógicos y prácticos

Este estudio será un aporte a la comunidad académica, especialmente a docentes y estudiantes de cálculo diferencial. Mediante el diseño y construc-ción de material didáctico y con la mediación de las TIC, se contribuirá a fortalecer el desarrollo procesos de cognitivos en pensamiento matemático para la interpretación, argumentación y proposición.

En ese orden de ideas, se pretende mejorar los bajos resultados en cono-cimientos matemáticos, evidenciados en el informe de las pruebas de Estado Saber 11, del 2011 al 2013, en el área de matemáticas. En estos informes se reflejan los pésimos resultados de colegios del Distrito de la Ciudad de Santa Marta, en donde presentan tres puntos por debajo de la media nacional entre los años 2005 al 2009.

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Figura 1. Resumen pruebas Saber 11 Icfes 2005 a 2009, calendario A

Fuente: portal: http://www.icfes.gov.co (2014).

Aunque las evaluación de las pruebas cambiaron en los últimos tres años, los resultados fueron los siguientes: en el 2011 y 2013, estos estu-vieron dos puntos por debajo de la media nacional, la cual arrojó 44,79, mientras que los resultados del distrito de Santa Marta fueron del 42,7; un año después (2012), la media nacional fue de 44,92, siendo los resultados del distrito de 43,07; en el 2013, la media nacional fue 44,14, mientras que los resultados de los colegios del distrito fueron de 42,63, siendo una constante a lo largo de estos últimos tres años estar por debajo de la media nacional.

En la siguiente figura se documenta el resumen estadístico de los resulta-dos de los colegios del distrito en los últimos tres años y la gráfica del cuadro comparativo de los resultados de la media nacional y los del distrito en la prueba de matemáticas.

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Figura 2. Resultados de las pruebas Saber 11 - 2011 al 2013

Fuente: portal: http://www.icfes.gov.co (2014).

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eStAdo deL ARte

En el tema relacionado con las competencias, la Unes-co, en el informe elaborado por la Comisión Interna-

cional sobre la Educación Delors & Otros (1996), plantea la idea de una educación como concepción “universal” de la cultura y propone una definición en los términos si-guientes: la educación se debe estructurar de acuerdo con cuatro aprendizajes, que serán los pilares del conocimiento a lo largo de la vida de las personas: aprender a conocer, es decir, adquirir las claves de la comprensión; aprender a hacer, para poder actuar sobre el entorno; aprender a vivir juntos, para participar y cooperar junto a los otros; y finalmente, aprender a ser, progresión esencial que par-ticipa de los tres aprendizajes anteriores. Es evidente que estas vías del saber se relacionan entre sí y se intercambian entre ellas (Unesco, 1996, p. 75).

Las competencias y el proyecto Tuning

Una de las razones fundamentales para la creación del proyecto Tuning fue la necesidad de crear estándares en las instituciones a nivel universitarias. Dio inicio con la declaración de Bolonia de 1999, basadas en las expe-riencias acumuladas en los programas Erasmus y Sócrates desde 1987. Con el Sistema Europeo de Transferencia y Acumulación de Créditos (ECTS). El proyecto se orienta hacia competencias genéricas y específicas a cada área temática. Igualmente, el proyecto tiene un impacto di-recto en el reconocimiento académico, garantía y control de calidad, compatibilidad de los programas de estudio a nivel europeo.

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Ramírez, Medina (2007) afirma que el objetivo es que los compañeros del proyecto colectivo, al tener en cuenta las fortalezas y debilidades de los sistemas de evaluación y acreditación, cuenten con elementos básicos para tener una visión panorámica de dicha propuesta. Así mismo, documentos como estos se les propondrán para el caso de organismos internacionales como el Banco Mundial, la OCDE y la Unesco.

De acuerdo con Bravo Salinas (2007), “el proyecto Tuning no se centra en los sistemas educativos, sino en las estructuras y el contenido de los estu-dios. Mientras que los sistemas educativos, son antes que todo responsabili-dad de los gobiernos, las estructuras educativas y el contenido lo son de las instituciones de educación superior”.

Con todo y lo anterior, dentro del marco del proyecto Tuning se ha di-señado una metodología para la comprensión del currículo y para hacerlo comparable. Como parte de la metodología se introdujo el concepto de resul-tados del aprendizaje y competencias. Para cada una de las áreas temáticas mencionadas, estas han sido descritas en términos de puntos de referencia que deben ser satisfechos. Ver tabla 1 de las áreas temáticas tanto Europa como en América latina.

Tabla 1. Cuadro comparativo proyecto Tuning Europa vs. América Latina

EUROPA AMÉRICA LATINA

A Competencias Instrumentales1 Capacidad de análisis y síntesis Capacidad de abstracción, análisis y síntesis

2 Capacidad para organizar y planificarCapacidad para organizar y planificar el tiempo

3 Conocimientos generales básicos No se observa correspondencia

4 Conocimientos básicos de la profesión Conocimientos sobre el área de estudio y su profesión

5Conocimientos oral y escrito en la propia lengua

Capacidad de comunicación oral y escrita

6 Conocimientos en una segunda lenguaCapacidad de comunicación en un segundo idioma

7Habilidades básicas de manejo de un computador

Habilidad en el uso de las tecnologías de la información y comunicación

8 Habilidades de gestión de la información Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas

9 Resolución de problemasCapacidad para Identificar, planear y resolver problemas

10 Toma de decisiones Capacidad para tomar decisiones

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B Competencias interpersonales

11 Capacidad crítica y autocrítica Capacidad crítica y autocrítica

12 Trabajo en equipo Capacidad de trabajo en equipo

13 Habilidad des interpersonales Habilidades interpersonales

14Capacidad de trabajo en equipo interdisciplinario

No se observa correspondencia

15Capacidad de comunicarse con expertos de otras áreas

No se observa correspondencia

16Apreciación de la diversidad y multiculturalidad

Valoración y respecto a la diversidad y multiculturalidad

17Habilidad de trabajar en el contexto internacional

Habilidad para trabajar en contextos internacionales

18 Compromiso ético Compromiso ético

C Competencias Sistémicas

19Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

20 Habilidad de investigación Capacidad de investigación

21 Capacidad de aprender Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente

22Capacidad para actuar en nuevas situaciones

Capacidad para actuar en nuevas situaciones

23Capacidad para generar nuevas ideas (creatividad)

Capacidad creativa

24 LiderazgoCapacidad de motivar y conducir hacia metas comunes

25Habilidad para trabajar en forma autónoma

Habilidad para trabajar en forma autónoma

26 Diseño y gestión de proyectosCapacidad para formular y gestionar proyectos

27 Preocupación por la calidad Compromiso con la calidad

Fuente: proyecto Tuning para América (2007).

Caso países suramericanos: Chile, Argentina y México

Según Argüelles (2009), Chile es uno de los países abanderados en América del Sur, en donde el gobierno ha planteado unas estrategias que buscan internacionalizar el sistema de educación superior para lo cual viene implementando desde hace algunos años transformaciones de índole aca-

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démica, administrativa y de gestión, para dar cumplimiento a los acuerdos internacionales firmados por las instituciones de educación superior. Estas transformaciones vienen respaldando las políticas de calidad y equidad, así como aquellas relacionadas con la renovación curricular, internacionali-zación y acreditación. Por esto, el proceso de Bolonia en cierto sentido ha favorecido y acelerado este proceso, pues dentro de sus estrategias de trabajo existe bastante similitud con las aspiraciones que respecto a la educación superior tiene el gobierno y las universidades.

Es importante señalar que Chile y Costa Rica son dos de los países aban-derados de Latinoamérica con el uso de TIC, según el Programa Sociedad de la Información y el Conocimiento (Prosic) en su informe del año 2007, el modelo de uso ideal de la tecnología en el sistema educativo consiste en la utilización de la, “tecnología en el aula y laboratorios de cómputo para el trabajo extra clase de docentes y estudiantes”; así, materias fundamentales como Matemáticas, podrán contar con el apoyo de tecnologías digitales en el aula, permitiendo al estudiante comprender mejor los conceptos, aprender a su propio ritmo, desarrollar su creatividad e iniciativa y tener otro tipo de experiencia de aprendizaje más cerca al juego ( Jiménez, Salas, Ogan, Bake, p. 6, 2011) cita Prosic (2008, p. 226 ).

Friedman (2007) analiza la explosión tecnológica en esta época en su Historia del mundo en el siglo XXI, y distingue tres fases de globalización como resultado del tipo de tecnologías predominantes: la globalización 1.0, pro-tagonizada por las naciones, que se iniciaba ya con el descubrimiento de América; la globalización 2.0, más propia de las grandes corporaciones, y la globalización 3.0, a la que llegamos ahora, donde, gracias a las tecnologías de la información y la comunicación, la globalización pasa a manos de los individuos y pequeñas empresas.

En la Universidad de Granada, María Pinto (2009) en su proyecto de nombre Alfintra “desarrollo y evaluación de las competencias informacio-nales en el grado de traducción e interpretación” han desarrollado platafor-mas web llamadas Infolitrans, las cuales concebidas para analizar, explorar y mejorar las competencias en información de los estudiantes de traducción y de todos aquellos profesionales relacionados con esta área. Desde una pers-pectiva eminentemente práctica, se ofrece una herramienta que permitirá no solo medir las distintas capacidades y aptitudes de carácter informativo

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del alumno, sino hacer un diagnóstico de las mismas y resolver los problemas que se detecten en el desarrollo del programa. De esta manera se ofrece un instrumento de análisis, de evaluación, pero también de resolución de problemas relacionados con la información.

Mitchell, T. R. & Larson, J. R. (1999) señalaban que “se ha extendido el discurso que afirma que los profundos cambios en las TIC experimentados en la última década han modificado también radicalmente el aprendizaje de nuestros estudiantes universitarios, considerados todos ellos nativos digitales. En este artículo se sostiene, sin embargo, que dichos cambios no son tan inme-diatos, automáticos o beneficiosos como el discurso dominante sobre la bondad que las TIC pretende hacernos creer, y que dan lugar a múltiples y variadas situaciones intermedias que caracterizan la actual enseñanza universitaria”.

Utilizando las valoraciones de tres cuestionarios tipo escala de Likert sobre los procesos de información y comunicación en tres entornos diferen-ciados (una plataforma virtual de enseñanza aprendizaje, Moodle, Tuenti, como ejemplo de red social, y las aulas presenciales) y mediante técnicas multivalentes (análisis factorial y de conglomerados) se encuentran cuatro segmentos de estudiantes: alumnado optimista o pro-TIC, alumnado pesi-mista o anti-TIC, alumnado apático y alumnado neutral.

De modo que la presencia de los mencionados segmentos de estudian-tes nos permite concluir que, aunque la presencia del computador en las aulas universitarias forma ya parte del imaginario colectivo, tal vez se está sobrevalorando tanto el impacto de las TIC en la educación superior como las competencias digitales de los alumnos, y que esta falsa percepción de la realidad puede beneficiar a los vendedores de tecnología, pero no a la innovación metodológica, que solo se podrá conseguir mediante la necesaria reflexión desde postulados educativos.

Por esta razón, los nuevos desarrollos tecnológicos han generado nuevas necesidades en el campo de la educación, la cual debe responder a las de-mandas de la sociedad. Con la incorporación de las TIC en todas las áreas de la ciencia y la educación, han aumentado las diferencias ya existentes entre países y grupos sociales, creando una nueva una división o la llamada brecha digital. El no acceso a las TIC ampliaría las diferencias de entre países y personas que carecen de los conocimientos y de las tecnologías re-queridas para el desarrollo de una sociedad de la información.

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Las competencias digitales de SKiLLS (education testing Service)

Para SKILLS (2008), existen unas habilidades para usar tecnología digital, herramientas de comunicación y/o redes para acceder a gestionar, integrar, evaluar, crear y comunicar la información ética y legalmente a fin de funcionar en una sociedad del conocimiento. Estas habilidades deben ser desarrolladas en atención a las siguientes carencias:

¾ El no contar con un computador y conexión a red con acceso a In-ternet.

¾ La falta de educación en conocimientos informáticos o el uso inade-cuada en la educación o apoyo social.

¾ La falta de oportunidades de uso significativo (“el acceso de uso”).

¾ Falta clara de políticas públicas por parte del estado que solo se pre-ocupan por el acceso a Internet.

¾ Muchas personas piensan que el problema de la desigualdad en el ac-ceso a la información tecnológica con respectos digitales se resuelve tan pronto como todo el mundo tiene un computador y una conexión a Internet.

¾ El primer tipo de problema de acceso es la barrera mental o visto como un fenómeno temporal por solo tocar a las personas de edad o a algunas categorías de amas de casa, los analfabetos y los desem-pleados.

¾ El problema de las inadecuadas habilidades digitales se reduce a las competencias de la operación, la gestión de hardware y el software. A veces, esto también es visto como un fenómeno temporal, que se resolvió poco después de la compra de una computadora y de adqui-rir una conexión en red.

¾ El uso diferencial de los computadores y las conexiones de acceso a la red es también un fenómeno descuidado. Generalmente, no se consideran de menor importancia al desarrollo social y las políticas educativas, como el uso de diferenciales, se presume que es la libre elección de los ciudadanos y consumidores en una diferenciación de la sociedad posmoderna. Por lo tanto, hay una acceso a acercarse a la “orientación de hardware” fuerte material o digitales tecnología.

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elementos para el Análisis de las tiC

Tabla 2. Actividades con TIC para el aprendizaje y desarrollo de habilidades

PRoCeSo deSCRiPtoR

Interpretación Comprender el significado de un recurso digital.

OrganizaciónOrganizar los recursos digitales (producto o artefacto) de forma que contribuyan a la solución del problema o la realización de las tareas.

Integración Integrarlos recursos digitales en una combinación relevantes al problema o la tarea.

Análisis Analizar los recursos digitales usando conceptos y modelos que facilitan la resolución del problema o la tarea.

SíntesisRecombinación de elementos o de los recursos digitales en nuevas formas que facilitaran resolución del problema o la realización de la tarea.

Creación Crear nuevos artefactos, medios, crear un proceso.

ComunicaciónInteractuar con otras personas relevantes durante la resolución del problema o tarea.

Diseminación Presentar soluciones o resultados a otras personas relevantes

Aplicaciones de las tiC en área de matemáticas

Un manipulable para matemáticas puede entrar en dos categorías:

Físicos: Se definen como cualquier material u objeto físico del mundo real que los estudiantes pueden “palpar” para ver y experimentar conceptos matemáticos. Los instrumentos de este tipo se utilizan principalmente con los estudiantes de los primeros grados escolares y ejemplos de ellos son: For-mas Geométricas, para el reconocimiento de las distintas figuras; Bloques de Patrones, para estimar, medir, registrar, comparar; Bloques y Cubos, para sumar, restar o resolver problemas que incluyen peso.

Virtuales: Se definen como representaciones digitales de la realidad posi-bilitadas por los computadores, y que el estudiante puede también manipular con el mismo objetivo de los primeros. Estos últimos se utilizan en los grados superiores. La experta Judy Spicer ha dicho al respecto que “los manipula-

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bles virtuales tienen además la capacidad de hacer visible lo que es difícil de ver e imposible de imaginar”. Ejemplos de estos son: simulaciones, software de visualización, fractales, robótica, juegos de computador, representaciones tridimensionales, etc.

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HiPÓteSiS

La aplicación de las herramientas Scilab y Winplot contribuye al desarrollo de las habilidades cogniti-

vas y destrezas metodológicas del área de matemática, fortaleciendo el aprendizaje de los estudiantes de primer semestre de la Escuela EIAM de la Universidad Sergio Arboleda, en la ciudad de Santa Marta.

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oBJetiVoS de LA inVeStiGACiÓn

objetivo general

Determinar si a través del uso de la herramienta tec-nológica Scilab y Winplot inciden en el desarrollo

habilidad cognitivas y destrezas metodológicas del área de matemática de los estudiantes de la Escuela EIAM de la Universidad Sergio Arboleda, seccional Santa Marta.

Objetivos específicos

¾ Analizar el impacto que genera la formación de los estudiantes con herramientas Scilab y Winplot comparativamente con una metodología de ense-ñanza tradicional.

¾ Aplicar una prueba de análisis de variación Anova de evaluación de las competencias interpretativa, argumentativa, propositiva.

¾ Diseñar y construir módulos instruccionales de Winplot y Scilab para la enseñanza de funciones y derivadas de cálculo diferencial.

¾ Diseñar una estrategia metodología de enseñanza que se adecue al uso de las TIC aplicada en las matemáticas.

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MARCo teÓRiCo

teoría del aprendizaje de Gagné

De acuerdo con Gagné, hay cinco clases de capacidades que pueden ser aprendidas y que difieren unas de otras:

a. Las destrezas motoras. Es la enseñanza que se da a través de prácticas reforzadas a las respuestas motoras.

b. La información verbal. La enseñanza debe darse a través de un amplio contexto significativo.

c. Destrezas o habilidades intelectuales. En los proce-sos educativos se aprende gran cantidad de destrezas intelectuales, la habilidad básica con discriminacio-nes, conceptos, reglas matemáticas, lenguaje, etc.

d. Las actitudes. Se deben fomentar actitudes de honestidad, ayuda mutua, las que deben ser ad-quiridas y reforzadas, fomentar actitudes como promover agrado por las matemáticas, literatura, música, deportes, etc.

e. Estrategias cognoscitivas. Constituyen formas con las que el estudiante cuenta para controlar los pro-cesos de aprendizaje. Son muy importantes para gobernar el propio proceso de atender, aprender y pensar. Esta idea plantea no solamente el aprendi-zaje de contenidos, sino también de procesos.

Del mismo modo, Gagné fundamenta su teoría a tra-vés de las fases del aprendizaje basado en el proceso de información (Atkinson y Shriffin):

La teoría de las etapas se enfoca en cómo la informa-ción está almacenada en la memoria.

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El modelo está basado en el trabajo de Atkinson y Shriffin (1968) y pro-pone que la información se procesa y almacena en tres etapas: memoria sensorial, memoria a corto plazo, memoria a largo plazo. Ver figura 3 del modelo Atkinson y Shriffin:

Figura 3. Modelo de proceso de la información (Atkinson y Shriffin)

Fuente: Atkinson y Shriffin (1968).

Fases del aprendizaje de Gagné

a. Dirigir la atención. Responde a la fase de comprensión. Cuando el alumno está motivado es fácil captar su atención y dirigirla hacia aquellos contenidos más relevantes.

b. Informar al alumno del objetivo a conseguir. Responde a la fase de motivación. Una forma de motivar es explicar qué pueden hacer una vez adquirido el aprendizaje.

c. Estimular el recuerdo. Responde a la fase de adquisición. Debe facilitarse el recuerdo mediante indicaciones útiles de los requisitos previos necesarios, ejercicios.

d. Presentar el estímulo. Responde a la fase de recuerdo. Si cada perso-na adquiere y codifica la información de un modo diferente, no todas las técnicas propuestas por el profesor son igual de eficaces para todos los alumnos, por ello debe motivarse a los alumnos a elaborar sus propios esquemas que les faciliten la retención.

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e. Guiar el aprendizaje. Responde a la fase de generalización. El pro-ceso de adquisición es reforzado mediante la transferencia y genera-lización del aprendizaje. Se trata de aplicar lo aprendido a todo un abanico de contextos y situaciones, proporcionar tareas de resolución de problemas y discusiones en clase.

f. Producir la actuación. Responde a la fase de ejecución. La respuesta de los alumnos puede obtenerse planteando a cada uno de ellos pre-guntas diferentes, pruebas escritas, etc.

g. Valorar la actuación. En este evento se evalúa el desempeño.

h. Proporcionar feed-back. Responde a la fase de retroalimentación. Es importante que el alumno conozca con rapidez el resultado de su aprendizaje, feedback inmediato.

i. Promover la retención y fomentar la transferencia. Se refiere a la aplicación de lo aprendido en un diferente contexto y a la solución de problemas.

Teoría del aprendizaje de Jerome Seymour Bruner

El aprendizaje consiste esencialmente en la categorización (que ocurre para simplificar la interacción con la realidad y facilitar la acción). La cate-gorización está estrechamente relacionada con procesos como la selección de información, generación de proposiciones, simplificación, toma de decisiones y construcción y verificación de hipótesis. El aprendiz interactúa con la rea-lidad organizando las entradas según sus propias categorías, posiblemente creando nuevas, o modificando las preexistentes. Las categorías determinan distintos conceptos. Es por todo esto que el aprendizaje es un proceso activo, de asociación y construcción.

Otra consecuencia es que la estructura cognitiva previa del aprendiz (sus modelos mentales y esquemas es un factor esencial en el aprendizaje. Esta da significación y organización a sus experiencias y le permite ir más allá de la información dada, ya que para integrarla a su estructura debe contextualizarla y profundizar.

Para formar una categoría se pueden seguir las siguientes reglas: a) de-finir los atributos esenciales de sus miembros, incluyendo sus componentes esenciales; b) describir cómo deben estar integradas sus componentes esen-

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ciales; c) definir los límites de tolerancia de los distintos atributos para que un miembro pertenezca a la categoría.

Bruner distingue dos procesos relacionados con la categorización: prime-ro, aprender de los distintos conceptos; segundo, identificar las propiedades que determinan una categoría. Bruner sostiene que el concepto de informa-ción es un proceso que ocurre más que el concept attainmente en personas de 0 a 14 años, mientras que el concept attainment ocurre más que el concept formation a partir de los 15 años. Igualmente, afirma que todo conocimiento resulta de una pequeña construcción que depende en sí misma de un mecanismo psicobiológico de regulación que comprende la creación continua de nuevas estructuras Brunner (1964), Brunner (1966).

teoría de Giant Piaget

Es exponente más importante del “desarrollo cognitivo”. Su estudio se dedica a los cambios cualitativos que tienen lugar en la formación mental de la persona, desde el nacimiento hasta la madurez. Defiende primero, que el organismo humano, al igual que los otros entes biológicos, tiene una orga-nización interna característica; en segundo término, que esta organización interna es responsable del modo único de funcionamiento del organismo, el cual es “invariante”; en tercer lugar, sostiene que por medio de las funciones invariantes el organismo adapta sus estructuras cognitivas (Vargas, 2006).

Para Piaget, existen las “funciones invariables” y las “estructuras cogni-tivas variantes”, estas últimas son las que marcan la diferencia entre el niño y el adulto, entre las cuales está la función invariante llamada “adaptación”. Esta puede subdividirse en “asimilación” y “acomodación”. La inteligencia es asimilación en la medida en que incorpora en su sistema todos los datos dados por la experiencia. Al mismo tiempo el organismo “se acomoda” a lo que ha “asimilado”. Las adaptaciones intelectuales, consisten en poner en progresivo equilibrio un mecanismo asimilativo y una acomodación complementaria.

Para Piaget existen tres clases de conocimiento: físico, lógico-matemáti-co, social.

Propuesta Reconciliadora Carmen Suárez Mantilla

Suarez M. (2005) “propone la reconciliación posiciones teóricas y resul-tados experimentales integración y resultados experimentales aparentemen-

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te contradictorios, está de acuerdo con la definición de Gagné de estrategias cognoscitivas como procesos de control internamente organizados, con la concesión de estructuras de Piaget, y con las referencias de Bruner a una multitud de estrategias”.

Figura 4. Propuesta de integración y categorización del conocimiento

Fuente: cuadernos de investigación Suarez M. (2005). Resultados investigación evaluación del aprendizaje mediado con TIC Scilab y Winplot, (2015)

Una de las interesantes definiciones de estilos de aprendizaje es la de Keefe (1988): “Los estilos de aprendizaje son los rasgos cognitivos, afectivos y fisiológicos que sirven como indicadores de como los alumnos perciben interacciones y responde a sus ambientes de aprendizaje”.

Otros autores, como Kagan (1963), le han dedicados muchos años de investigación al factor de conceptualización y categorización. Los sujetos de-muestran consistencia en cómo forman y utilizan los conceptos, interpretan la información, resuelven problemas. Hay quienes prefiere un enfoque rela-cional-contextual y otros un enfoque analítico-descriptivo. Generalmente, el relacional se asocia con los niños y el analítico con los adultos.

AnálisisComparaciónSíntesis

LADO DMultiplicidadSegún Estilos

Soluciones de problemasabstracciónIntuición

FantasíaIntuiciónDescubrimiento

DiscriminaciónConcepto concretoConcepto definido

Reglas superioresReglas

Formulación de hipótesis

Organización

Hechos

Memoría

Fase deMotivación

Fase deAprehensión

Fase deAdquisición

Fase deRetención yRecordación

Fase deGenera-lización

Fase deActuación

Fase deRetro-

alimentación

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etapas en el proceso cíclico de aprendizaje

Tabla 3. Etapas en el proceso cíclico de aprendizaje

Año Autor etapa 1 etapa 2 etapa 3 etapa 4

1966 H. Turnerretroalimentación, evaluación

integrar, mapaposibilidades, decisión

Inversión autónoma

1969 Charlesworth atencióndesarrollo cognoscitivo

expectativas sorpresa

1970Inst. Pedagógico de Holanda

formación de imagen

ordenaciónformas, conceptos

hacer

1971 KolbObservación reflexiva

Conceptos abstractos

experimentos activos

experiencias

1973 Euweacepta como verdadero

ordenar realizar planes ejecutar

1975 Ramsden prestar atención pretender compromiso implementar

1976 H. Augstein revisar propósito estrategia resultados1976 Rowan comunicación pensar proyectar encuentro1977 Argyris generalizar descubrir inventar producir1977 Torbert efectos propósitos estrategias acciones1977 Raming biológico psíquico sociológico psíquico

1978 Mangham observar interpretar ensayar actuar

1978 Pedler evaluación diagnósticoestablecer objetivos

acción

1978 Boydell información teoría consejo actividades1978 Hague conciencia conceptos herramientas práctica

1980 Morris revisar el proceso interpretarplanearproyectos

logros activos

1980 Juch precibir (observar) pensardirigirse a (planear)

hacer

1982Honey y Mumford

Activo reflexivo teórico pragmático

Fuente: Juch (1987) en Alonso y otros (1994, p. 51).

enfoque por competencias

El enfoque por competencias, según la Comisión Europea (2002), es una construcción teórica de naturaleza mixta en la búsqueda del desarrollo del talento compuesto por una combinación de conocimientos, habilidades y actitudes. Según el Informe de Delors, mediante las competencias se expresa

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el saber, saber hacer o saber estar de una persona en un contexto (Unesco, 1966). Hay que destacar que desde la psicopedagogía las competencias son vistas desde un enfoque cognitivo conductual, es decir, lo que piensa un indi-viduo lo usa en un desempeño. Aunque algunos educadores consideran que son un enfoque constructivista.

Sin embargo, el primer modelo formativo basado en competencias se inició en Estados Unidos en los años sesenta, con el trabajo de McClelland (1978), profesor de psicología de la Universidad de Harvard, quien empezó desarrollando técnicas con el fin de predecir el desempeño de las personas en el trabajo, mediante la identificación de variables e indicadores relevantes. En sus estudios buscó determinar si existía una relación entre el desempeño académico y el laboral: su conclusión fue que los métodos tradicionales de enseñanza no preparaban adecuadamente a los futuros profesionales para su desempeño en el trabajo.

De acuerdo con Frade (2009), el enfoque por competencias establece hoy nuevas metas curriculares, debido a que estas son muy diferente a los currículos antecesores. El primer enfoque fue diseñado por objetivos surgido en la educación de los años setenta, en el cual los docentes debían realizar actividades de aprendizaje tipo estímulos-respuesta. Este era un enfoque conductista centrado en la evaluación de la conducta. No obstante fue dura-mente criticado.

Posteriormente, en los años noventa surgió un nuevo enfoque “cogniti-vo” centrado en el pensamiento, en la construcción del saber a través de un proceso de pensamiento, el cual estaba diseñado por propósitos y temas. Este era un enfoque constructivista, en el cual el estudiante construye su propio aprendizaje con la mediación del docente. Las actividades realizadas bajo este modelo estaban orientadas a generar una intensión a través de una serie de estrategias y aprendizajes mediante los cuales los estudiantes se apropian del conocimiento.

En consecuencia, Frade (2009) consideraba que lo que articula el pen-samiento y la conducta es el lenguaje. Debido a que existe un proceso que es de pensamiento, de emoción y de conducta. No hay separación entre la conducta y el pensamiento, cuando actuamos de una manera o de otra, ya sea bien o mal, hay un pensamiento, hay una emoción que generó, y por consiguiente hay una conducta. Las competencias se trabajan desde este

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enfoque, el docente busca qué proceso cognitivo de pensamiento se debe llevar a cabo para que los estudiantes adquieran conocimientos y los usen en diferentes contextos (Frade, 2009).

entrenamiento conductual cognitivo de Meichembaum

De acuerdo con Meichembaum (1977), es transcendental el lenguaje interior como control del pensamiento y de la conducta. Su trabajo lo logra desarrollar reconciliando las teorías conductistas norteamericanos con las teorías cognitivistas provenientes de Rusas de Luria y Vigotski. Para Mei-chembaum, existe un lenguaje interior como controlador de la conducta. El lenguaje interior comprendería tanto el lenguaje verbal como las imágenes mentales constituyendo el vehículo que conforma las estructuras cognitivas (Martín Izard , 2001).

Cuadro comparativo del conductismo, cognitivismo y el constructivismo

Desde la perspectiva teórica de Schunk (1991), las diferencias fundamen-tales de las teorías del aprendizaje descansan más en su interpretación que en la definición que las separa. Para diferenciarlas se elaboran cinco preguntas para ser respondidas por las tres teorías.

Tabla 4. Enfoques de aprendizaje

enfoques del Aprendizaje

¿Cómo o curre el

aprendizaje?

¿Cuáles son los

factores que influyen en el aprendizaje?

¿Cómo ocurre la

Transferencia?

¿Cuáles tipos de aprendizaje

se explican mejor por esta

posición?

ConductismoAutores: E. L. Thorndike, John B. Watson, B. F. Skinner.Cuando se genera un estímulo produce una respuesta voluntaria, la

Se logra cuando se demuestra o se presenta una respuesta apropiada a un estímulo ambiental específico.Los elementos

Las condiciones ambientales. Evaluación o Conducta de entrada para así determinar cuáles refuerzos

Aplicando el conocimiento aprendido a nuevas situaciones. Ocurre como resultado de la generalización. Las situaciones que presentan

Discriminaciones, generalizaciones, asociaciones y encadenamiento. Pero generalmente no pueden explicar las adquisiciones de alto nivel.

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¿Cómo o curre el

aprendizaje?

¿Cuáles son los


¿Cómo ocurre la

Transferencia?



posición?

cual puede ser reforzada de manera positiva o negativa, provocando que la conducta operante se fortalezca o debilite. Para el conductismo, la conducta humana se encuentra determinada por las circunstancias de su contexto.(modelo mental)

claves son: estímulo, respuesta y la asociación de ambos. Otra característica es porque los estudiantes reaccionan a las condiciones del ambiente.

específicos se deben aplicar a cada estudiante en particular.

características idénticas o similares permiten que las conductas se transfieran a través de los elementos comunes.

CognitivismoAutoes: Jean Piaget, Newell y Simon, Atkinson y Shiffrin, Frederick Bartlett, George Kelly.El énfasis se localiza en promover el procesamiento mental, acentuando procesos cognitivos más complejos como el pensamiento, la solución de problemas, el lenguaje, la formación de conceptos. Los conocimientos previos condicionan las nuevas experiencias y conocimientos.

La adquisición de conocimiento se describe como una actividad mental que implica una codificación interna y una estructuración por parte del estudiante, quien es un participante muy activo del proceso de aprendizaje. Los cognitivistas se ocupan de cómo la información es recibida y los datos organizados, almacenados y localizados.

La manera como los estudiantes atienden, codifican, transforman, ensayan, almacenan y localizan la información, además de pos-pensamientos, creencias, actitudes y valores.

La transferencia es una función de cómo se almacena la información en la memoria. Cuando un estudiante entiende cómo aplicar en conocimiento en diferentes contextos, entonces ha ocurrido la transferencia.

Debido al énfasis en las estructuras mentales, se le considera apropiada para explicar las formas más complejas de aprendizaje, a saber, razonamiento, solución de problemas, procesamiento de información.

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Fuente: Tomado de Ertmer y Newby (1993).

El neuroaprendizaje y el aprendizaje

El neuroaprendizaje es una nueva disciplina de la neurociencia que nace gracias a muchas investigaciones sobre el cerebro realizadas en los años no-venta, y con el aporte de otras disciplinas como la psicología, pedagogía, la neurobiología y la programación neurolingüística. El aprendizaje para neu-rociencia consiste en procesos cognitivos que posibilitan a la gente adquirir, codificar, almacenar, recordar y manipular la información sobre la naturaleza de su entorno, dependiendo de cómo asimila los procedimientos de selección, codificación y evaluación de la información, lo cual determinara su conducta.


¿Cómo o curre el

aprendizaje?

¿Cuáles son los


¿Cómo ocurre la

Transferencia?



posición?

ConstructivismoAutores: Jean Piaget, Lev Vigotsky, Jerome Bruner, Howard Gardner. Los individuos crean significados a partir de sus propias experiencias; enfatizan en la interacción entre la mente y el mundo real; el aprendizaje se produce a partir de la experiencia física, a partir de la cual construye los conceptos individuales; la experiencia afectiva, que ante la realidad previa impulsa el aprendizaje.

La interacción específica entre los factores ambientales y el estudiante. Es esencial que el conocimiento esté incorporado en la situación en la cual se usa.

Esta teoría equipara al aprendizaje con la creación de significados a partir de experiencias. Por lo tanto, el conocimiento emerge en contextos que le son significativos al estudiante.

Puede facilitarse envolviendo a la persona en tareas auténticas ancladas en contextos. Si el aprendizaje se descontextualiza, hay poca esperanza de que la transferencia ocurra.

Es imposible aislar unidades de información o dividir los dominios de conocimiento de acuerdo a un análisis jerárquico de relaciones. Por lo tanto, no aceptan el supuesto de que los tipos de aprendizaje pueden identificarse

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Para el campo de la pedagogía, el aprendizaje se relaciona con los cam-bios del comportamiento de las personas, que se producen con el conoci-miento, la práctica o las experiencias de la vida. Pero para la neurociencia el aprendizaje del cerebro es permanente, esto se debe a que cada información que procesa el cerebro tiene como finalidad la supervivencia.

Los hemisferios cerebrales y la importancia en la neuroeducación.

El cerebro corresponde a la porción más desarrollada del encéfalo y está dividido en dos mitades llamadas hemisferios cerebrales uno izquierdo y uno derecho. El hemisferio derecho funciona como el procesador de un compu-tador que ejecuta los procesos en paralelo y el hemisferio izquierdo funciona como un procesador de un computador que ejecuta los procesos en serie; son dos mentes diferentes.

Entre las características principales del hemisferio izquierdo se puede señalar lo siguiente: es cognitivo y encargado de controlar el lado derecho del cuerpo, es analítico, funciona de modo secuencial y temporal, es lineal, lógico, va de las partes al todo. Al hemisferio izquierdo le corresponde la inteligencia racional. Este hemisferio emplea un estilo de pensamiento aná-logo, obteniendo nueva información al usar datos ya disponibles, formando nuevas ideas o datos convencionalmente aceptables.

Las características principales del hemisferio derecho son los siguientes: funciona de manera simultánea, es atemporal, espacial, asociativo, va del todo a las partes. Al hemisferio derecho le corresponde la inteligencia asocia-tiva, es el encargado de la creatividad, la música, la fantasía, la genialidad, las percepciones, las expresiones emocionales.

el aprendizaje cognitivo visto desde la neurociencia.

Para Logatt (2011), cuando se adquiere un nuevo aprendizaje cognitivo, la información se ubica en la parte inferior del surco cerebral, a medida que se profundiza o se repite el aprendizaje empieza a subir como un escalador, de manera que se ubica en la parte superior de la cima. Cuando esto se consigue, existen muchísimas posibilidades de ser usado continuamente. Si el aprendizaje se encuentra consolidado pero se deja de utilizar, entra en desuso y habrá muchas posibilidades de ser olvidado. Ver figura 5 del surco cerebral.

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Figura 5. Surco cerebral el nuevo aprendizaje cognitivo

Fuente: Carlos Logatt Grabner, conferencia sobre neuroeducación.

El aprendizaje implícito y explícito de Carlos Logatt Grabner.

Según el doctor Logatt (2011), hay dos tipos de aprendizaje: uno implícito y otro explícito. El aprendizaje implícito es inconsciente y automático, no requiere de un atención selectiva, la persona puede estar aprendiendo cosas sin saber que las está aprendiendo, esto es debido a que cuando se generan fuertes estados emocionales se dispara un neurotransmisor llamado dopami-na, que hace que el aprendizaje se almacene en la memoria de largo plazo, y que sea fácil de recordar. Podría decirse que este aprendizaje es indeleble y, por tanto, resulta muy difícil que se borre con el tiempo.

Es por esto que el aprendizaje temprano emocional puede condicionar el futuro de la vida de las personas, para bien o para mal. Cuando se generan estados perturbadores en los individuos se les denomina anclas mentales. Este término proviene de la psicología para indicar un estímulo (externo o interno) que permita acceder al estado emocional de las personas.

Fundamentación conceptual de la estrategia metodológica implementada.

La implementación de las metodologías de “enseñar a pensar” no re-quieren unas formas de actuación complejas por parte del profesorado, sino más bien un cambio de actitud hacia metodología de enseñanza y

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aprendizaje hacia los discentes, de manera que se dé el desarrollo de pro-cesos propios de pensamiento, fomentando el control metacognitivo y el pensamiento reflexivo de los discentes; este no debe limitarse solo a los resultados, sino al proceso total de formación que ha venido aprendiendo, tanto en los aciertos como en los errores. De manera que el docente debe dar a sus educandos la oportunidad de pensar en cada situación de ense-ñanza y aprendizaje, Izard (2001).

En este orden de ideas, se requiere la búsqueda de construcción de una estructura mental. Según Duque (2010), en Colombia se le da mucha impor-tancia al concepto de competencia, como articuladora de desempeños de un individuo en un contexto particular de conocimiento (saber), habilidades (saber hacer) y actitudes (saber ser). Él considera que como estructura está bien, pero cree que hay que ir más allá de actitudes, habilidades y destrezas. Sugiere que la aplicación de la taxonomía Bloom es de mayor al alcance y al ponerlo en práctica resulta más funcional, pues desarrolla diversos tipos de conocimientos y plantea una división para cada actividad que diseñe el docente, inciden en el desarrollo de procesos pensamiento.

De manera que la taxonomía de Bloom clasifica los niveles de conoci-miento que adquieren las personas en el proceso de aprendizaje. Esta escala de niveles fue realizada en 1956 por un grupo de investigadores pedagogos liderado por Benjamin Bloom, en un trabajo denominado Taxonomy of Edu-cational Objectives. La cual utiliza una escala de varios niveles para expresar el nivel de conocimientos adquiridos y que son necesarios para lograr cada uno de los resultados esperados en los discentes. Además, los niveles de co-nocimiento facilitan organizar, seleccionar y aplicar técnicas de evaluación apropiadas del curso.

La taxonomía está compuesta por tres dimensiones: cognitiva, afectiva, psicomotora. ¿Cuál de las tres se deba usar?, para un resultado medible en el estudiante, depende de la meta que se quieran obtener. Hay metas basa-das en los conocimientos, metas basadas en habilidades y metas basadas en actitudes (Dimensión afectiva). Por consiguiente, existe una taxonomía para cada dimensión que se quiera alcanzar. En cada una de ellas existen niveles de experiencia que se enumeran en orden creciente de complejidad. Lo que se pretende es que se pueda medir en el aula los resultados alcanzados por los estudiantes en los niveles más altos de complejidad.

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Los niveles de conocimiento de taxonomía de Bloom

Nivel 1 de conocimiento: Implica la capacidad de recordar información es-pecífica, métodos, esquemas y estructuras. Sin ser necesaria ninguna clase de elaboración, entendimiento o razonamiento sobre su contenido. Afirma-ciones que implica esta tarea: define, cita autor, selecciona, lista, identifica, reconoce.

Nivel 2 de comprensión: Entiende y explica el significado de la información recibida. Diferentes aspectos que implica esta tarea: traducción, interpreta-ción, extrapolación. Arma mapas conceptuales, conecta conceptos, explica conexiones, resume, parafrasea.

Nivel 3 o nivel de aplicación: Utiliza los niveles precedentes para poner en práctica el aprendizaje adquirido en una situación particular y concreta datos y métodos para resolver un problema dado en diferentes contextos. Afirmaciones de actividades que implica esta tarea: calcula, resuelve, veri-fica, aplica técnica de análisis, realiza una medición y evalúa siguiendo un procedimiento.

Nivel 4 o nivel de análisis: Es un proceso encargado de desarmar un pro-blema en cada una de sus partes con el fin de encontrar las relaciones entre los elementos que lo conforman de tal modo que pueda argumentar con evidencias. Las actividades que implica esta tarea: distinguir, clasificar, re-laciona hipótesis y evidencias de la información dada, así como argumentar con evidencias.

Nivel 5 o nivel de síntesis: Es el proceso que permite trabajar con partes, elementos, para organizarlos y ajustarlos para formar un todo, un esquema o estructura que antes no estaba presente de manera clara. Actividades que implica esta tarea: define una estrategia, selecciona un procedimiento a apli-car, propone nuevas alternativas de solución, enfrenta problemas novedosos, transfiere conocimientos, desarrolla metacognición, crea ideas innovadoras con información dada, soluciona un problema complejo de manera novedo-sa, diseña un modelo, construye artefactos innovadores.

Nivel seis o de evaluación: Es la capacidad que tiene para comparar, criticar y evaluar métodos o procedimientos para solucionar un problema o para elegir el mejor. Se mide a través de los procesos de análisis y síntesis. Activi-dades que implica esta tarea: formula juicios sobre el valor de materiales y

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métodos, de acuerdo con determinados propósitos, realiza juicios cuantitati-vos y cualitativos de acuerdo con los criterios asignados.

Actividades que debe realizar el profesor.

Tabla 5. Actividades de la taxonomía

tipos de conocimiento

Taxonomía de Bloom Actividades propuestas

Conocimiento declarativo conceptual saber

Conocimiento Nivel 1

Conducta de entrada diagnostica y activa los conocimientos previos, en donde el discente reconozca y traiga a la mente la información relevante de la memoria. Plantear preguntas: ¿qué?, ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿dónde?

ComprensiónNivel 2

Habilidad para construir significados a partir del material educativo. Requiere un proceso de transferencia y generalización, en donde demanda mayor capacidad de conocimiento abstracto.

Conocimiento procedimentalsaber hacer

Aplicación

Lograr que el discente utilice el aprendizaje asimilado y lo aplique en diferentes contextos. Conseguir que el discente relacione el conocimiento aprendido con nuevas habilidades y destrezas.

Conocimiento esquemático saber porque

AnálisisDesarticular el conocimiento en sus partes y pensar en cómo estas se relacionan con su estructura global.

Síntesis

Involucrar a los discentes en reunir objetos y hacer actividades propositivas, novedosas y creativas, para lograr que estos construyan, generen, planifiquen y produzcan.

Conocimiento estratégicometacognición

Evaluar

Acompañar en forma continua la marcha del proceso en cada una de las actividades planificadas.Valorar el resultado para comprobar si los educandos acreditan los aprendizajes propuestos, retroalimentando.

Fuente: adaptación documento ACOFI Duque M. (2010).

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La taxonomía de Shavelson y la relación con la taxonomía de Bloom

Conocimiento declarativo o conceptual.

Este se relaciona con la información que expresa un individuo, como teo-rías, definiciones, leyes, o con traer a la mente la información almacenada en la memoria. Conecta conceptos y responde a la pregunta ¿qué? En relación con la taxonomía de Bloom, pertenece a la primera y segunda categoría. Desde el enfoque curricular por competencias, corresponde a la dimensión del conocimiento (saber).

Conocimiento procedimental.

Cuando se implementa un procedimiento para resolver un problema, se puede conocer un procedimiento, pero solo cuando se realiza efectivamente corresponde al conocimiento procedimental. Representa el tercer nivel de aplicación de la taxonomía de Bloom. Desarrolla procesos de pensamiento que le permiten resolver problemas relacionados con la interpretación.

Conocimiento esquemático.

Implica el dominio holística o integración total de las partes. Asimismo, como saber el porqué de algo. El estudiante que domina este conocimiento puede explicar, justificar sus argumentos. Es capaz de producir explicacio-nes basadas en evidencia y sacar conclusiones a partir de un conjunto de información. Permite desarrollar actividades que impliquen predecir, esti-mar, explicar e interpretar. Esta categoría se relaciona de forma bastante directa con la categoría de síntesis de Bloom, pero también incluye, aunque en menor medida, la de análisis y la de evaluación. Este nivel lo faculta al discente para desarrollar competencias interpretativas, argumentativas y propositivas.

Conocimiento estratégico.

El desarrollo de procesos cognitivos de metacognición implica compo-nentes preconcebidos como ser competente para plantearse una estrategia para abordar una situación novedosa, estar en capacidad de saber responder las siguientes preguntas: ¿qué?, ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿dónde?

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Figura 6. Relación de las taxonomías de Bloom y Shavelson. Propuesta ACOFI

Fuente: Documento ACOFI. Duque M. (2010).

Tabla 6. Atributo de la competencia

ASPeCtoS Descripción

InteligenciaEstructura general mediante la cual los seres vivos procesan la información con el fin de relacionarse con los entornos en los cuales se hallan inmersos con base en procesos de percepción, atención, memoria e inferencia.

Conocimientos Conjunto organizado de datos e información destinados a resolver un problema determinado.

Funciones Actividades que una persona debe desarrollar en el campo de desempeño.

AptitudesHacen referencia a la facilidad, ocurrencia, autonomía, imaginación, confianza para un determinado tipo de tareas o actividades. Son una disposición innata del individuo y actúan como materia prima para el desarrollo de habilidades.

Habilidades Se refieren a conocimientos del individuo puestos en acción para realizar tareas y actividades de forma eficaz y eficiente.

ActitudesSe concibe como la predisposición antes de ejecutar un comportamiento o conducta que puede estar influenciado por algún tipo de componente de carácter personal. Están relacionadas con lo cognitivo, conductual y afectivo.

Destrezas Hacen referencia a las habilidades motoras requeridas para realizar ciertas actividades con precisión.

Capacidades Son condiciones cognitivas, afectivas y psicomotrices fundamentales para aprender y denotan la dedicación a una tarea.

Fuente: Acofi–Icfes: Marco teórico y conceptual, Objeto de estudio y constructo.

Tipo de conocimiento

Justifica lo que está haciendo oproponiendo

Siguiendoprocedimientosconocidos yestablecidos

La situación esnovedosa y malestructura

Conocimientodeclarativo oconceptual

Conocer qué saber

Define, nombre, selecciona, lista,identifica, reconoce, recuerda

ComprensiónComprende el

significado de lainformación

Conocimientorecuerda

Aplicaciónaplica

conocimiento

AnálisisDivide en partecomponentes ybusca como se

relaciona yorganizan

Evaluaciónemite juiciosbasados encriterios yevidencias

Síntesisune componentesen una nueva idea

Arma mapas conceptuales, conectaconceptos, explica conexiones,resume, parafrasea, argumenta

Calcula, resuelve, verifica, modela,aplica una técnica de análisis,

realiza una mediación, realiza undiseño o evalúa siguiendo un

procedimiento establecido

Define una estrategia, selecciona unprocedimiento a aplicar, proponenuevas alternativas de solución,enfrenta problemas novedosos,tranfiere conocimientos, meta

cognición

Predice, anticipa, construyeexplicaciones y justificacionesbasadas en evidencias, justifica

procedimientos, sintetiza nuevasideas, evalúa información,

identifica información incompletao irrelevante, plantea un modelo

ConocimientoprocedimentalConocer cómo

saber hacer

ConocimientoesquemáticoConocer cómosaber porqué

Conocimientoestratégico

Uso de herramienta técnicas y psicológicas (Vygostsky, 1989)

Nivel 1

Nivel 2

Tipo de actividad propuesta Taxonomía Bloom

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Competencias a desarrollar en módulo instruccional de cálculo diferencial.

Tabla 7. Competencias específicas de cálculo diferencial

Competencias específicas de matemáticasAnaliza los conceptos básicos del cálculo diferencial, los interpreta y aplica par a la solución de problemas relacionados con las ciencias naturales, ciencias económicas y administrativas.Interpreta el concepto de derivada de una función y aplica en la modelación de problemas.Identifica los teoremas básicos relacionados con la función derivada y los interpreta.Aplica el concepto de la primera y segunda derivada de una función para el trazado de curvas.Interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.Argumenta la solución obtenida de un problema mediante métodos numéricos, análisis de gráficos, o un lenguaje verbal. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.Analiza e interpreta las gráficas geométricas de una derivada, mapas, diagramas, textos con símbolos matemáticos.

Fuente: área de cálculo diferencial universidad Sergio Arboleda

Los estilos de aprendizaje.

Un estilo de aprendizaje es la manera como la persona percibe, procesa, integra y recuerda la información. Es decir, cada persona tiene una manera diferente de aprender y esta se modifica de acuerdo al contexto e intereses, o según la tarea. De igual manera, se puede decir que se refiere al hecho de que cuando una persona quiere aprender algo utiliza su propio método o conjunto de estrategias. Aunque las estrategias concretas que utiliza varían según lo que se quiere aprender, cada uno tiende a desarrollar sus preferen-cias globales. Esas preferencias o tendencias a utilizar unas determinadas maneras de aprender constituyen nuestro estilo de aprendizaje.

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MARCo MetodoLÓGiCo

Diseño de investigación

Para el desarrollo de este estudio se seleccionó un diseño cuasi-experimental. En el cual se aplicaron dos pruebas de evaluación, una prueba al inicio del curso como conducta de entrada y otra prueba fue aplicada al finalizar el curso. Cada prueba se aplicó por separado, una correspondió a la unidad de funciones y otra a la uni-dad de derivadas. Igualmente, fueron seleccionados dos grupos, de los cuales uno estaba conformado por el grupo experimental y el otro por el grupo de control. Sin em-bargo, los estudiantes que participaran en el experimento fueron seleccionados de manera aleatoria.

Esquema del diseño:Grupo experimental X = H1 Grupo control Y = H2

X = variable independiente (Actitudes, habilidades, contenidos) aplicadas con TIC)

H1 = medición de la dependiente (nivel variación nivel de aprendizaje)

H2 = medición de la variación en el desarrollo de ha-bilidades cognitivas y destrezas metodológicas del grupo control (este grupo no recibe capacitación en herramien-tas Scilab y Winplot)

Población.

La muestra estaba conformada por dos grupos de 19 estudiantes de primer semestre, en la unidad de funciones y dos grupos en la unidad didáctica de derivadas para un

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total de 48 estudiantes en la asignatura de Cálculo Diferencial, de los pro-gramas de Marketing y Administración de Empresas. Los dos grupos fueron comparados para ver si el grupo que fue expuesto a la variable independien-te difiere del grupo que no fue expuesto. Al primer grupo se le conoce como “grupo experimental” y al segundo se le denomina “grupo de control”.

Procesos.

Este estudio buscó determinar si a través de la implementación de las herramientas tecnológicas Scilab y Winplot aplicada al área de matemáticas incide en el desarrollo de las habilidades cognitivas, de las competencias interpretativas argumentativas y propositivas, de los estudiantes de primer semestre de los programas de Marketing y Administración de Empresas de la Escuela EIAM de la Universidad Sergio Arboleda Santa Marta.

De acuerdo con lo anterior, para el desarrollo de este estudio se contará con el apoyo de los docentes del departamento de Matemáticas de la escuela EIAM. Se pretende inicialmente diseñar y construir los módulos instruccio-nales mediados con las herramientas tecnológicas Scilab y Winplot en las unidades de funciones y derivadas del cálculo diferencial. Posteriormente se procederá a capacitar a los docentes del departamento de Matemáticas en el manejo de las herramientas Scilab y Winplot.

La implementación de estas herramientas tecnológicas aplicadas al área de matemáticas busca mejorar las deficiencias académicas, con las que in-gresan los estudiantes de primer semestre del área de matemáticas, según las pruebas diagnósticas realizadas por el departamento de Matemáticas, como política institucional para el seguimiento de los estudiantes, con el fin de mejorar las debilidades del proceso de aprendizaje de los estudiantes de la escuela de Administración.

Análisis y diseño.

Para el desarrollo de la investigación se tuvieron en cuenta las siguientes etapas o fases del estudio:

Fase del diagnóstico de la situación: Se aplicó a los estudiantes una prueba de conocimiento escrita con el fin de diagnosticar las debilidades y fortalezas que muestran los resultados.

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Fase del diseño del modelo para responder a la situación: Se capacitó a los estu-diantes en el manejo de las herramientas Scilab y Winplot. Necesario para el desarrollo de habilidades en el uso de una herramienta que le permita la resolución de problemas matemáticos.

Fase de aplicación del modelo: Se utilizó el material diseñado y elaborado con la mediación de Winplot y Scilab, se explicó la metodología a seguir y se presentaron las diferentes estrategias que se desarrollarán en cada una de las sesiones.

Fase de evaluación: Se realizará un seguimiento en cada uno de los inte-grantes de los grupos de estudio, verificando el desarrollo del proceso de aprendizaje y su actitud frente al uso de herramientas tecnológicas, así como a los que utilizaron la metodología de manera tradicional.

Se diseñaron dos instrumentos de evaluación que contaban con 20 re-activos cada uno, de los cuales unos eran abiertos y los otros de respuesta construida. Diseñados por competencia interpretativa, argumentativa, pro-positiva para las unidades didácticas de funciones y derivadas del cálculo diferencial.

El instrumento de evaluación de la unidad de funciones estaba confor-mada de la siguiente manera: competencia interpretativa, 60% de reactivos del nivel de conocimiento, comprensión y aplicación; competencia argumen-tativa, 20% de reactivos de nivel de análisis; competencia propositiva 20% reactivos de nivel de síntesis.

Para la prueba de la unidad de derivadas se contó con 20 reactivos abier-tos y de respuesta construida para la unidad de derivadas.

La prueba de la unidad de derivadas estará conformada de la siguiente manera: competencia interpretativa, 60% de reactivos del nivel de cono-cimiento, comprensión y aplicación; competencia argumentativa, 25% de reactivos de nivel de análisis; competencia propositiva, 15% reactivos de nivel de síntesis.

El resultado global de la prueba se podrá ubicar en una de cuatro catego-rías de la rejilla: superior, de 100 a 90 puntos; alto, de 89 a 80; básico, de 79 a 60 puntos; bajo, menor de 59 puntos. Las puntuaciones de las escalas van en un intervalo entre 700 y 1.300 puntos.

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Construcción de la rejilla de evaluación por competencias

Para la construcción de la rejilla de evaluación, el equipo de estudio se fundamentó en las propuestas metodológicas de las categorías de Shavelson et al (2003), y la de dominios cognitivos de la taxonomías de Bloom et al (1956). La primera fue propuesta por Acofi, y la segunda por la Unesco, llamada Objetivos del Aprendizaje.

Los dominios de aprendizaje propuestos por Bloom.

La taxonomía propuesta Bloom está compuesta por los dominios cogni-tivo, afectivo y psicomotor.

dominio cognitivo.

El objetivo está relacionado con el desarrollo de los procesos o habilida-des del pensamiento que involucran: conocimiento, comprensión, aplicación, análisis, síntesis, evaluación.

dominio afectivo.

EL objetivo es el componente emocional y está relacionado con senti-mientos y actitudes. Este dominio define cinco niveles: recibir, responder, valorar, organizar y caracterizar.

dominio psicomotriz.

Son aquellos movimientos en múltiples tareas que deben ejecutarse de manera automática e integrada con procesos cognitivos. Se incluyen las ha-bilidades físicas relacionadas con el control de movimientos.

Competencia interpretativa del cálculo diferencial.

La competencia interpretativa desarrolla la habilidad de identificar y comprender las ideas fundamentales de un problema matemático del mundo real, planteado en diferentes escenarios, tales como un modelo, una gráfi-ca, una tabla de datos; de tal manera que pueda comprender las relaciones existentes entre ellos. Involucra tres procesos de pensamiento: recuerda, comprende, aplica: trae a la mente teorías, conceptos, leyes y lo usa para resolver un problema en contexto. Ver figura 7

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Procesos de pensamientos que involucra competencia interpretativa

Figura 7. Procesos de pensamiento que involucra la competencia interpretativa

Fuente: adaptación de evaluación del aprendizaje mediado con TIC Scilab y Winplot, (2015).

Competencia argumentativa.

La competencia argumentativa comprende la habilidad que desarrolla una persona que le permite razonar y preguntarse el porqué de las cosas, ordenando las ideas y las relaciona, las justifica, las sustenta, genera sus pro-pios criterios e interactúa con el conocimiento adquirido. Para el desarrollo del nivel de la competencia argumentativa, se requiere haber adquirido los procesos de pensamiento que involucra la competencia interpretativa; lo que faculta al individuo para analizar la información, dividiéndola en partes, ordenándola y relacionándola. Ver figura 8 con los procesos de pensamiento que involucra.

Procesos de pensamiento que involucra la competencia argumentativa

Figura 8. Procesos de pensamiento que involucra la competencia argumentativa


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Competencia propositiva.

La competencia propositiva comprende las acciones que realiza un in-dividuo con la intensión de plantear alternativas de decisión o de acción, es decir, se requiere de una síntesis que lo faculte para establecer nuevas relaciones o vínculos entre eventos o perspectivas teóricas. Creando un en-granaje con la suma de las partes para formar un sentido nuevo; es decir, se transforman las ideas bajo un nuevo patrón de comportamiento. Para el desarrollo de la competencia propositiva, es necesario desarrollar las compe-tencias interpretativas y argumentativas.

Procesos de pensamiento que involucra la competencia propositiva

Figura 9. Procesos de pensamiento. Competencia propositiva


Rejilla de evaluación de las competencias específicas de las funciones

Los objetivos son conocer y adquirir habilidades en el manejo de las diferentes funciones (lineales, polinomiales, trigonométricas, exponenciales trigonométricas), sus características y representación, incluyendo el cálculo diferencial permitiéndole identificar, modelar y resolver aplicaciones corres-pondientes (cálculo de la tasa de interés, costo promedio, la elasticidad de la demanda, valor presente y valor futuro, excedente del consumidor y del productor, entre otras), analizando la información presentada, para la ade-cuada toma de decisiones.

Funciones.

Comprende el concepto de función, su clasificación y sus características.

Actividades a desarrollar para el logro de la competencia:

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¾ Explicar cuándo una relación es una función entre dos conjuntos.

¾ Investigar el dominio, el codominio y el recorrido de una función.

¾ Representar una función de variable real en el plano cartesiano (grá-fica de una función).

¾ Construir funciones polinomiales y encontrar su aplicación dentro de la economía.

¾ Reconocer el cambio gráfico de una función cuando esta se suma con una constante.

¾ Reconocer las gráficas de las funciones.

¾ Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones.

Rejilla de evaluación por competencias específicas de funciones

Tabla 8. Rejilla de evaluación de funciones

Competencias Superior 90-100 Alto 80-89 Básico 60-79 Bajo 0-59

InterpretativasProcesos de pensamiento (recuerda, comprende. aplica).

Define y explica el concepto de una función, y lo aplica en la solución de problemas.

Define o explica el concepto de una función y lo aplica en la solución de problemas.

Define o explica el concepto de una función

Tiene dificultades para definir, explicar y modelación de problemas.


Define, Explica y resuelve, cuándo una relación es una función entre dos conjuntos.

Define, resuelve, cuándo una relación es una función entre dos conjuntos.

Resuelve cuándo una relación es una función entre dos conjuntos.

Tiene dificultades para el desarrollo de competencias interpretativas.


Representa, explica y predice una función de variable real en el plano cartesiano.

Representa y explica una función de variable real en el plano cartesiano.

Representa una función de variable real en el plano cartesiano.

Tiene dificultades para el desarrollo de competencias interpretativas.

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Competencias Superior 90-100 Alto 80-89 Básico 60-79 Bajo 0-59

Argumentativa Procesos de pensamiento (Recuerda, comprende, aplica, divide en partes)

Calcula, Analiza y relaciona, el dominio, el codominio y el recorrido de una función.

Calcula y Analiza el dominio, el codominio y el recorrido de una función.

Calcula, el dominio, el codominio y el recorrido de una función.

Se le dificulta el desarrollo de competencias argumentativas.

Argumentativa Procesos de pensamiento (recuerda, comprende, aplica, divide en partes).

Compara, analiza y justifica la relación entre dos variables, para determinar o evaluar su comportamiento en un contexto.

Compara y analiza la relación entre dos variables, para determinar o evaluar su comportamiento en un contexto.

Compara la relación entre dos variables, para determinar o evaluar su comportamiento en un contexto.

Se le dificulta analizar, demostrar y relacionar variables.

PropositivasProcesos de pensamiento (recuerda, comprende, aplica, analizar, divide en partes y elabora)

Evalúa una situación, diseña un modelo y lo aplica, para dar solución a un problema aplicado a la Economía.

Evalúa una situación y diseña un modelo, para dar solución a un problema aplicado a la Economía.

Evalúa una situación, para dar solución a un problema aplicado a la Economía.

Tiene dificultades para desarrollar competencias propositivas

PropositivasProcesos de pensamiento (recuerda, comprende, aplica, divide en partes y elabora).

Formula, explica y relaciona problemas matemáticos, aplicando en diferentes enfoques.

Formula y explica problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Formula problemas matemáticos, aplicando un enfoque.

Tiene dificultades para formular explicar y relacionar problemas matemáticos.


Propone, predice y resuelve problemas de aplicación.

Propone y predice problemas de aplicación.

Propone problemas de aplicación.

Tiene dificultades para el desarrollo de competencias propositivas

Fuente: evaluación de funciones propuesta de investigación evaluación del aprendizaje mediado con TIC Scilab y Winplot, (2015).

derivadas

Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramien-ta que estudia y analiza la variación de una variable con respecto a otra.

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¾ Mostrar con una situación real el concepto de incremento de una variable.

¾ Reconocer el cociente de incrementos de dos variables como una razón de cambio.

¾ Mostrar gráficamente las diferencias entre Δx y dx así como entre Δy y dy.

¾ Definir la diferencial de la variable dependiente en términos de la derivada de una función.

¾ Calcular derivadas de funciones mediante el uso de fórmulas básicas ¾ Reconocer las propiedades de la derivada y aplicarlas para el cálculo

de funciones. ¾ Plantear una expresión en la que se tenga una función de función y

calcular la derivada mediante el uso de la regla de la cadena. ¾ Reconocer la fórmula que debe usarse para calcular la derivada de

una función y obtener la función derivada. ¾ Calcular la diferencial haciendo uso de fórmulas de derivación. ¾ Graficar la función derivada.

Aplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de op-timización y de variación de funciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones.

¾ Determinar, a través de la derivada, cuándo una función es creciente y cuándo decreciente en un intervalo.

¾ Obtener los puntos críticos de una función. ¾ Explicar los conceptos de punto máximo, punto mínimo y punto de

inflexión de una función y su relación con la contaduría. ¾ Determinar cuándo un punto crítico es un máximo o un mínimo o

un punto de inflexión (criterio de la primera derivada). ¾ Explicar la diferencia entre máximos y mínimos relativos y máximos

y mínimos absolutos de una función en un intervalo. ¾ Mostrar, a través de la derivada, cuándo una función es cóncava

hacia arriba y cóncava hacia abajo. ¾ Determinar, mediante el criterio de la segunda derivada, los máxi-

mos y los mínimos de una función.

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¾ Analizar en un determinado intervalo las variaciones de una función dada: creciente, decreciente, concavidades, puntos máximos, puntos mínimos, puntos de inflexión y asíntotas.

¾ Resolver problemas de tasas relacionadas.

¾ Resolver problemas de optimización planteando el modelo corres-pondiente y aplicando los métodos del cálculo diferencial.

Rejilla de evaluación por competencias específicas de derivadas

Tabla 9. Rejilla de evaluación de derivadas

Competencias Superior 90-100 Alto 80-89 Básico

60-79 Bajo 0-59

InterpretativasProcesos de pensamiento (recuerda, comprende. aplica)

Define, explica y aplica el concepto de derivada de una función en diferentes enfoques.

Define y explica el concepto de derivada de una función.

Define el concepto de derivada de una función.

Tiene dificultades para aplicar el concepto de función.


Determina, explica y soluciona problemas a través de la derivada, cuándo una función es creciente odecreciente en un intervalo.

Determina y explica cuándo una función es creciente o decreciente en un intervalo a través de la derivada.

Determina cuándo una función es creciente o decreciente en un intervalo a través de la derivada.

Se le dificulta desarrollar competencias interpretativas


Calcula, determina y explica cuándo un punto crítico es un máximo o un mínimo o un punto de inflexión.

Calcula y determinar cuándo un punto crítico es un máximo o un mínimo o un punto de inflexión.

Determina cuándo un punto crítico es un máximo o un mínimo.

Se le dificulta interpretar un punto crítico para hallar un máximo o un mínimo.

79



60-79 Bajo 0-59


Analiza, compara y establece relación de los conceptos de punto máximo, punto mínimo y punto de inflexión de una función y los relaciona con el área de economía.

Analiza y compara los conceptos de punto máximo, punto mínimo y punto de inflexión de una función y los relaciona con el área de economía.

Analiza los conceptos de punto máximo, punto mínimo y punto de inflexión de una función y los relaciona con el área de economía.

Se le dificulta desarrollar competencias argumentativas.


Analiza, describe y explica las variaciones de una función dada: creciente, decreciente, concavidades, puntos máximos, mínimos, de inflexión y asíntotas.

Analiza y describe las variaciones de una función dada: creciente, decreciente, concavidades, puntos máximos, mínimos, de inflexión y asíntotas.

Analiza las variaciones de una función dada: creciente, decreciente, concavidades, puntos máximos, mínimos, de inflexión y asíntotas.

Se le dificulta desarrollar competencias argumentativas.


Enuncia, comprende y aplica procedimientos. Obtiene los puntos críticos de una función.

Enuncia y aplica procedimientos. Obtiene los puntos críticos de una función.

Obtiene los puntos críticos de una función.

Tiene dificultades para el desarrollo de competencias propositivas


Evalúa una situación, selecciona y justifica la solución. Sustenta los resultados de un problema de razón de cambio aplicados a la economía.

Evalúa una situación, selecciona la solución de un problema de razón de cambio aplicado a la economía.

Evalúa una situación de un problema de razón de cambio aplicado a la economía.

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60-79 Bajo 0-59


Evalúa, selecciona la solución adecuada y explica los resultados de problemas que relacionan los conceptos de función: creciente, decreciente, concavidades, puntos máximos, mínimos, de inflexión y asíntotas.

Evalúa y selecciona la solución adecuada de problemas que relacionan los conceptos de función: creciente, decreciente, concavidades, puntos máximos, mínimos, de inflexión y asíntotas.

Evalúa los problemas que relacionan los conceptos de función: creciente, decreciente, concavidades, puntos máximos, mínimos, de inflexión y asíntotas.

Fuente: propuesta de evaluación de derivadas de investigación evaluación del aprendizaje mediado con TIC Scilab y Winplot, (2015).

8181

PReSentACiÓn de ReSULtAdoS

Descripción de la muestra

La muestra está constituida por 76 estudiantes de primer semestre de Administración de Empresas y Mar-keting entre masculinos y femeninos, dividida en dos grupos de 38 para las dos categorías, una de funciones y otra de derivada. Fue tomada de manera equitativa para las dos pruebas en dos momentos: un primer mo-mento, cuando se aplicaron las conductas de entrada; el otro momento, al aplicar la prueba de conocimientos. Además, se aplicó un instrumento tecnológico, conocido como Winplot y Scilab, con el fin de determinar cómo influye el uso de las TIC en el desempeño académico de los estudiantes. Igualmente, se clasificaron las preguntas del instrumento en categorías interpretativas, argumen-tativas y propositivas.

Prueba realizada en la unidad didáctica de derivada

Para el análisis se estudiará la muestra de manera independiente y se categorizará por aspecto matemático a evaluar, es decir, se empieza con el análisis descriptivo de la prueba de derivadas con todos sus aspectos, luego se realizarán cruces de variables con tablas de contin-gencia, se analizarán las preguntas según competencia desarrollada y, por último, se aplicará un análisis de varianza para comprobar si hay diferencia significativa estadística, originada por el factor uso de las herramien-tas de las tecnologías de la información y de la comuni-cación.

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Análisis por edad.

Este es un aspecto realmente importante, porque al primer semestre in-gresan estudiantes con características de edad diferente. Según la muestra, la edad mínima es 16 años y la máxima 22, rango en el que entran los estudiantes a la escuela de Administración y Marketing. Como se puede ver, hay diferentes grados de maduración y experiencias que lógicamente pueden influir de alguna manera en los resultados finales. El promedio de la muestra es 18 años y nos presenta una distribución simétrica normalizada con respecto a la edad, donde la media, la mediana y la moda se encuentran en el centro de la distribución.

Tabla 10. Resumen estadístico por edad

edad

N Válidos 38Perdidos 0

Media 18,08Mediana 18,00Moda 18Desv. típ. 1,302Asimetría ,776Error típ. de asimetría ,383Curtosis ,913Error típ. de curtosis ,750Mínimo 16Máximo 22

Fuente: resultados investigación evaluación del aprendizaje mediado con TIC Scilab y Winplot, (2015).

Figura 10. Representación gráfica por edad


161718192022

Edad

13,16%

13,16%

26,32%

36,84%

2,63%7,89%

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Análisis por sexo.

El sexo es una variable significativa, aunque en el análisis de varianza no tanto; sin embargo, el género puede marcar una tendencia a la hora de mirar los resultados, puesto que la mayoría es de sexo masculino con un 63,2% y el femenino representa un 36,8%.

Tabla 11. Datos por sexo

Frecuencia Porcentaje Porcentaje válido

Porcentaje acumulado

VálidosMasculino 24 63,2 63,2 63,2Femenino 14 36,8 36,8 100,0Total 38 100,0 100,0


Figura 11. Representación gráfica por sexo


Tabla 12. Datos por sexo



Válidos

16 3 7,9 7,9 7,917 10 26,3 26,3 34,218 14 36,8 36,8 71,119 5 13,2 13,2 84,220 5 13,2 13,2 97,422 1 2,6 2,6 100,0Total 38 100,0 100,0


MasculinoFemenino

Sexo

36,84%

63,16%

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El programa académico mayoritariamente es Administración de Em-presas, que aporta un 71,1%. Evidentemente, el programa seleccionado debería influir en el desarrollo de la prueba, esto se tratará de comprobar en el análisis contingente de programa vs. desempeño en la prueba y competen-cias desarrolladas. El estudiante presenta un perfil de acuerdo al programa seleccionado, sin embargo, en primer semestre, no se encuentra muy diferen-ciado, debido a que muchos de los muchachos llegan desorientados acerca de su verdadera vocación profesional.

Análisis por programa académico.

Tabla 13. Datos por programa académico



Válidos

ADSA 27 71,1 71,1 71,1

MKS 11 28,9 28,9 100,0

Total 38 100,0 100,0


Figura 12. Resultados por programa


ADSAMKS

Programa Académico

71,05%

28,95%

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Análisis de resultados cuantitativos.

Análisis de la conducta de entrada.

Preocupa los bajos resultados de la conducta de entrada. Sin embargo, los niveles precedentes de la historia de la Escuela no han sido óptimos; es más, se reciben estudiantes con muy bajo nivel en el aspecto cuantitativo. Los resultados de las pruebas de estado (Icfes) en el área de matemáticas de los últimos años arrojan 2 puntos por debajo de la media nacional.

En la tabla de frecuencia, se puede observar que el 92% no pasa la conducta de entrada, lo que indica que en el curso regular se deben tomar correctivos, uno de ellos es insertar al estudiante en un plan de acompa-ñamiento tutorial, el cual en la escuela lo lidera la Usap y el departamento de Matemáticas. Llama la atención, también, que solo dos estudiantes pre-sentan puntajes cercanos al 75%, y ninguno se ubica en nivel alto, lo que concuerda con lo expresado anteriormente acerca del bajo rendimiento y la poca cultura cuantitativa en los niveles precedentes.

Tabla 14. Datos conducta de entrada



Válidos

17,5 2 5,3 5,3 5,320,0 3 7,9 7,9 13,222,5 5 13,2 13,2 26,325,0 4 10,5 10,5 36,827,5 7 18,4 18,4 55,330,0 1 2,6 2,6 57,932,5 2 5,3 5,3 63,235,0 3 7,9 7,9 71,137,5 5 13,2 13,2 84,240,0 1 2,6 2,6 86,842,5 1 2,6 2,6 89,550,0 1 2,6 2,6 92,165,0 1 2,6 2,6 94,770,0 1 2,6 2,6 97,475,0 1 2,6 2,6 100,0Total 38 100,0 100,0


86


La distribución sigue una curva aproximadamente normal, se ve cómo el histograma se concentra en los datos inferiores a la media, aspecto que se confirma con los valores de los estadísticos descriptivos obtenidos.

Figura 13. Histograma conducta de entrada


Analizando los estadísticos descriptivos más frecuentes, se observa un mínimo demasiado bajo 17, de 100 y un máximo de 75, con un rango de 58. Del mismo modo, se encuentra una asimetría hacia la izquierda, lo que significa que tanto la mediana como la moda están por debajo del prome-dio, es decir, el promedio es menos representativo y es preferible tomar la mediana y la moda, en este caso, un 27,5 y un 27,5. El promedio es alar-mantemente bajo, pero lo que más llama la atención es el guarismo de la desviación típica, de 13,45, lo que da un coeficiente de variabilidad relativa del 41% considerablemente alta y tendiendo más hacia puntajes de la prueba más bajos que altos; dicho de otro modo, la variabilidad tiende más hacia resultados bajos que altos.

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Resultados resumen estadísticos.

Tabla 15. Puntaje conducta de entrada

NVálidos 38Perdidos 0

Media 32,368Mediana 27,500Moda 27,5Desv. típ. 13,4560Asimetría 1,800Error típ. de asimetría ,383Curtosis 3,322Error típ. de curtosis ,750Mínimo 17,5Máximo 75,0


Análisis de los resultados de la prueba.

Como se ve claramente en la figura 14, la muestra sigue una distribu-ción normal, relativamente simétrica, lo que facilita el análisis de datos y da fuerza a los supuestos de normalidad que se requieren para la prueba de contraste de hipótesis en cuanto a la incidencia del factor TIC en el desem-peño de los estudiantes.

Figura 14. Factor TIC en el desempeño de los estudiantes


88


En el comportamiento de los resultados, se evidencia que el desempeño, luego de haber desarrollado las temáticas del curso, difiere en alto grado de la conducta de entrada; lógicamente los estudiantes han recibido una orientación por parte de los docentes y han acumulado experiencias que les permiten responder mejor las pruebas. Como es natural, una conducta de entrada es solo un diagnóstico de cómo vienen los estudiantes del nivel pre-cedente, en cambio, en la prueba de conocimientos vienen implícitos otros elementos que se desarrollan durante el periodo lectivo.

En este orden de ideas, podríamos decir que el 82% de los estudiantes obtuvieron puntajes positivos (por encima de 60) y que los estudiantes con menor puntaje en la prueba de Derivada solo fueron cinco y el mínimo fue 45 puntos de 100 posibles.

Resultado estadísticos de la prueba derivadas

Tabla 16. Puntaje de la prueba derivadas



Válidos

45 1 2,6 2,6 2,650 4 10,5 10,5 13,255 2 5,3 5,3 18,460 9 23,7 23,7 42,165 3 7,9 7,9 50,070 2 5,3 5,3 55,375 2 5,3 5,3 60,580 8 21,1 21,1 81,685 4 10,5 10,5 92,190 3 7,9 7,9 100,0

Total 38 100,0 100,0


Los indicadores estadísticos muestran una distribución aproximadamen-te simétrica, con una media de 69,2 y moda y mediana muy cercas de 60 y 67,5, respectivamente, que hace representativo dicho promedio con una desviación estándar de 13,3 puntos, arrojando una dispersión relativa del 19%, que se interpreta como baja, teniendo en cuenta una prueba tan am-plia donde la escala iba de uno a cien puntos y donde los estudiantes son de diferentes edades y programas académicos.

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Tabla 17. Resumen estadístico prueba con derivadas

NVálidos 38Perdidos 0

Media 69,21Mediana 67,50Moda 60Desv. típ. 13,332Asimetría -,029Error típ. de asimetría ,383Curtosis -1,292Error típ. de curtosis ,750Mínimo 45Máximo 90


desempeño en la prueba

Analizando el desarrollo cualitativo del estudiante, se observa que solo tres estudiantes (el 7,9%) alcanzaron el nivel superior y 12 (el 31%) el alto, es decir, menos del 50% de los estudiantes se ubican con resultados que po-drían catalogarse como óptimos para el desarrollo del curso. Por otro lado, esta muestra ubica a los estudiantes en un 42% en nivel básico, indicando que se deben revisar los procesos de enseñanza, con TIC y sin ellas, de las matemáticas, con el fin de obtener mejores resultados en el desarrollo de las competencias de los estudiantes.

escala de desempeño en la prueba

Tabla 18. Desempeño de la prueba



Válidos

Alto 12 31,6 31,6 31,6Bajo 7 18,4 18,4 50,0Básico 16 42,1 42,1 92,1Superior 3 7,9 7,9 100,0Total 38 100,0 100,0


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Figura 15. Porcentajes de desempeño de la prueba

Fuente resultados investigación evaluación del aprendizaje mediado con TIC Scilab y Winplot, (2015).

Comparación de los dos métodos

La comparación de los métodos se realiza mediante el contraste de me-dias y estadísticas de los resultados entre el método tradicional y el de las TIC. Se advierte que estas pruebas son independientes.

Se observa una diferencia en los datos estadísticos, que supone que la aplicación de las TIC influyen en los puntajes de las pruebas. Más adelante se realizará una prueba de medias, para comprobar si esta diferencia es es-tadísticamente significativa.

A pesar de tener el mismo rango, 20 puntos, se advierte una gran dis-crepancia entre los mínimos y los máximos. Con el método tradicional, el mínimo es mucho más bajo: 45 contra 70 del método TIC; y la máxima puntuación en el tradicional es de 65, mientras que en las TIC alcanza un nivel superior de 90 puntos. Se puede colegir, según estos datos, que el menor puntaje del método de las TIC supera al mayor obtenido con el método tradicional, lo que haría pensar que sí debe haber una influencia, pero esto se someterá a pruebas estadísticas en el siguiente segmento.

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Tabla 19. Puntaje de la prueba

Método de Evaluación Media n desv.

típ.

error típ. de la

mediaMínimo Máximo Rango

TIC 81,05 19 5,911 1,356 70 90 20Sin TIC 57,37 19 5,861 1,345 45 65 20Total 69,21 38 13,332 2,163 45 90 45


Las medias son elocuentemente distintas, de 81,05 para métodos con tecnologías y 57,37 para el enfoque tradicional, lo que hace pensar que sí existe una influencia y diferencia en los resultados según la metodología de enseñanza aplicada, aunque las pruebas presentan dispersiones muy pareci-das, al juzgar por la desviación típica o estándar son casi iguales: 5,91 y 5,89 para ambos métodos.

Sin embargo, en la dispersión relativa que se obtiene de dividir la des-viación estándar sobre la media aritmética y que arroja el peso porcentual de las desviaciones sobre la población, es de 7,2% para el método TIC y de 10,2% para el tradicional, es decir, es más estable el comportamiento de los resultados cuando se utilizan TIC, y la diferencia entre cada estudiante es mucho más pequeña que cuando se utiliza el método tradicional, lo que haría pensar igualmente que cuando se utilizan ayudas multimedias, la brecha entre los ritmos de aprendizaje podrían disminuirse; máxime si se considera que los estudiantes actuales son llamados nativos digitales.

Figura 16. Comparación de pruebas


81,05

5,911 1,356

70 90

20 57,37

5,861 1,345 45 65

20

Media Desv. tıp. Error tıp. de la media Mınimo Maximo Rango

Comparación de Medias Según Método Aplicado Derivadas

TIC Sin TIC

92


Comparación del desempeño según metodologías aplicadas

Lógicamente, el desempeño según categorías obedecerá al de los pun-tajes. Se observa claramente que de 19 estudiantes de los que se aplicó el método con mediaciones informáticas, 15 (79%) se ubican en nivel alto o superior, pero ninguno en nivel bajo, mientras que, por el contrario, para quienes utilizaron el método tradicional, ninguno se ubicó en nivel superior y el 37% se ubicó en nivel bajo.

Figura 17. Desempeño en la prueba según método aplicado. Derivada

12

0

4 3

0

7

12

0

Alto Bajo Basico Superior

TIC Sin TIC


Contraste de aplicación de medias prueba Anova

En el ítem anterior se observó una diferencia bastante grande en la prue-ba. Sin embargo, se recurrirá al estadístico Anova de un factor, con el fin de determinar si realmente existe una diferencia en las medias muestrales, según el factor aplicado.

Entre los instrumentos estadísticos de aplicación, para observar o de-terminar si existe diferencia en las medias de los puntajes obtenidos por los estudiantes en las pruebas se encuentran las pruebas paramétricas de Nor-malidad, T de Estudent y Anova, de las cuales se aplicará esta última por considerarla más robusta y completa.

Como objetivo esta prueba busca establecer qué tanto influye el factor de las TIC en el desempeño de los estudiantes de primer semestre en las asigna-

93


turas de cálculo. Como en la mayoría de los experimentos, se pretende de-terminar el efecto de una variable independiente ejercido sobre otra llamada dependiente; este efecto debe tener una significación de carácter estadístico.

Según se indica en el portal de la Universitat Oberta de Catalunya (http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/ANOVA.pdf):

Esencialmente, el diseño para el análisis simple de la varianza consistirá en obtener muestras aleatorias e independientes del valor de Y asociado a cada uno de los distintos niveles del factor X1, X2,..., Xn. Entonces, podremos determinar si los diferentes niveles del factor tienen un efecto significativo sobre el valor de la variable dependiente. El funcionamiento de la técnica Anova […] es, a grandes rasgos, el siguiente: a fin de comparar las medias de Y asociadas a los distintos niveles del factor (X1, X2,..., Xn), compararemos una medida de la variación entre diferentes niveles (MS-factor) con una medida de la variación dentro de cada nivel (MS-error). Si el MS-factor es significativamente mayor que el MS-error, conclui-remos que las medias asociadas a diferentes niveles del factor son distintas. Esto significa que el factor influye significativamente sobre la variable depen-diente Y. Si, por el contrario, el MS-factor no es significativamente mayor que el MS-error, no rechazaremos la hipótesis nula de que todas las medias, asociadas a diferentes niveles del factor.

La variable independiente o factor, para el caso de estudio el factor será el uso de una técnica basada en las TIC, específicamente las herramientas informáticas del Winplot y el Scilab, y cómo estas pueden influir en la varia-ble dependiente, que en el estudio es el desempeño de los estudiantes en las pruebas. Estas herramientas se aplicaron para dos conceptos matemáticos fundamentales, el desarrollo de las funciones y el de derivadas, y se contras-tarán con el método de enseñanza tradicional, donde no median las TIC.

Se trabajará con un nivel de confianza del 95% y se aplicarán pruebas independientes para el grupo de promedios de calificaciones obtenidas en las pruebas de conocimiento de funciones y derivadas. Si aplicada la prueba el P valor de la misma es inferior al 0,05, se concluirá que las medias son significativamente diferentes, de lo contrario no.


El análisis de la varianza permite contrastar la hipótesis nula de que las medias de (n) poblaciones son iguales, frente a la hipótesis alternativa

94


de que por lo menos una de las poblaciones difiere de las demás en cuanto a su valor.

Las hipótesis planteadas son las siguientes: a) hipótesis nula, que plantea que hay igualdad de medias muestrales; es decir, el factor TIC no influye en el desempeño promedio de los estudiantes en la prueba; y b) la hipótesis alterna, que plantea que existe diferencia de medias; dicho de otro modo, determinar si las TIC influyen en el desempeño de los mismos en las pruebas aplicadas:

H0 = hipótesis nula

H1 = hipótesis alternativa

H0; H0: μx = μy Hipótesis nula, que supone igualdad de medias po-blaciones, es decir, factor TIC, en otras palabras, la utilización del software Winplot no influye en los resultados promedios de la prueba.

μx = promedio del puntaje de la prueba con TIC (grupo experimental)

μy = promedio del puntaje de la prueba sin TIC (grupo control)

H1; μx ≠ μy Hipótesis alterna, que supone la diferencia de medias po-blaciones; el factor TIC sí influye, es decir, la utilización del software Winplot influye en los resultados promedios de la prueba.

El Anova requiere el cumplimiento los siguientes supuestos:

¾ Las poblaciones (distribuciones de probabilidad de la variable depen-diente correspondiente a cada factor) son normales.

¾ Las K muestras sobre las que se aplican los tratamientos son inde-pendientes.

¾ Las poblaciones tienen todas igual varianza (homoscedasticidad).

El Anova se basa en la descomposición de la variación total de los datos con respecto a la media global (SCT), que bajo el supuesto de que H0 es cierta es una estimación de la varianza poblacional obtenida a partir de toda la información muestral, en dos partes:

Variación dentro de las muestras (SCD) o intra-grupos: cuantifica la dis-persión de los valores de cada muestra con respecto a sus correspondientes medias.

95


Variación entre muestras (SCE) o inter-grupos: cuantifica la dispersión de las medias de las muestras con respecto a la media global.

Los supuestos fundamentales son:

1. Independencia: los grupos son independientes y se desarrollaron las pruebas bajo las mismas condiciones.

2. La distribución es aproximadamente normal: como se pudo ver en las figuras anteriores, los datos reflejan aproximadamente una distri-bución normal relativamente simétrica.

3. Homogeneidad de varianza: para este caso se aplica una gráfica de barras de error. Según se observa en la figura, las varianzas medida como las distancias de las barras a su centro son comparativamente semejantes, lo que indicaría homogeneidad. Ver figura 18.

Figura 18. Prueba de homogeneidad


Con el fin de comprobar dicha homogeneidad se procede a realizar la prueba o test de Levine, que consiste en un estadístico que mide con un nivel de confianza si las varianzas tienen diferencias significativas; según la tabla 20, el nivel de significación es del 0,706, mayor al nivel establecido por la prueba de Levine que es del 0.05, lo que hace concluir que no existe diferencia entre las varianzas, es decir, no hay diferencias significativas entre las varianzas, cumpliéndose el tercer supuesto.

96


Prueba de homogeneidad de varianzas.


estadístico de Levene gl1 gl2 Sig.

,145 1 36 ,706

Fuente: resultados investigación evaluación del aprendizaje mediado con TIC Scilab y Winplot, (2015)

Comprobados los supuestos, se aplica en SPSS un análisis de varianza de una vía o un factor, cuyos resultados arrojan que sí existe diferencia estadís-tica significativa. Al obtener un P valúe por debajo del P valúe de la prueba, el valor de significación de la prueba es de 0,05 y el valor de los datos del estudio es de 0,00, lo que indica que existe diferencia significativa entre los dos métodos.

En conclusión, la aplicación de la herramienta tecnológica Winplot se ubica por debajo del nivel de la prueba Anova.

AnoVA de un Factor.


Suma de cuadrados gl Media cuadrática F Sig.

Inter-grupos 5328,947 1 5328,947 153,797 ,000Intra-grupos 1247,368 36 34,649Total 6576,316 37


Prueba aplicada a la unidad de funciones

La muestra está constituida por 38 estudiantes de primer semestre de Administración y Marketing. En este caso, se aplica y evalúa el concepto de funciones bajo la óptica de dos métodos, como se había comentado en párrafos anteriores, uno tradicional y otro utilizando las ayudas tecnológicas. En el caso que nos ocupa, el de las funciones, se utilizó el de Scilab, que midió como instrumento de aprensión del conocimiento y desarrollo de competencias.

97


Para el análisis, se seguirá la metodología descrita en líneas anteriores y se procederá a calcular y analizar los índices estadísticos. De la misma manera, se empieza con el análisis descriptivo de la prueba Funciones con todos sus aspectos, luego se realizarán cruces de variables con tablas de con-tingencia, se analizarán las preguntas según competencia desarrollada y, por último, se aplicará un análisis de varianza para comprobar si hay diferencia significativa estadística, originada por el factor de uso de las herramientas de las tecnologías de la información y de la comunicación.

Análisis por edad.

En este sentido, la muestra es relativamente homogénea: 16 años, y la máxima 22, rango en el que entran los estudiantes a la escuela de Adminis-tración y Marketing, esta diferencia devela diferentes personalidades que podrían igualmente influir en el resultado de la prueba, donde el 83% se encuentran entre 16 y 18 años, es decir, son menores de edad, en su mayoría sin experiencia académica en educación superior previa, lo que en determi-nado grado hace el estudio un poco más independiente.

El promedio de edad de la muestra es de 18 años, igual a la mediana y la moda que están muy cerca de los 17 años, lo que hace una población bastante joven y simétrica. La desviación típica es de 1,5, lo que da una va-riabilidad relativa del 8,3% (promedio que indica muy poca dispersión entre las edades); dicha homogeneidad ayuda a aislar el factor edad que podría influir en determinado momento en el desempeño de la prueba.

Tabla 22. Análisis por edad



Válidos

16 4 10,5 10,5 10,517 12 31,6 31,6 42,118 8 21,1 21,1 63,219 8 21,1 21,1 84,220 3 7,9 7,9 92,121 1 2,6 2,6 94,722 2 5,3 5,3 100,0

Total 38 100,0 100,0


98


Figura 19. Porcentaje por edad


Análisis por sexo.

El sexo es una variable significativa, aunque en el análisis de varianza no lo es tanto. Sin embargo, el género puede marcar una tendencia a la hora de los resultados. Como veremos más adelante, para el caso de la prueba de funciones, la mayoría son hombres, al igual que en la derivada, con un 65,79%; por su parte, el índice de mujeres es del 34,21%. Tal diferencia no significa que esta sea la tendencia de admisión de los programas, es solo que para efectos de este estudio que se tomó esta muestra de esta manera.

Figura 20. Porcentaje por sexo


99


Análisis por programa académico.

El programa académico mayoritariamente en contraposición al de derivadas, es Marketing y Negocios Internacionales, Administración de Empresas, que aporta un 68,42%. Evidentemente el programa seleccionado debería influir en el desarrollo de la prueba, esto se tratará de comprobar en el análisis contingente de programa vs. desempeño en la prueba y compe-tencias desarrolladas.

Figura 21. Porcentaje por programa académico

Fuente: resultados investigación evaluación del aprendizaje mediado

con TIC Scilab y Winplot, (2015)

Análisis de resultados cuantitativos

Análisis de la conducta de entrada.

Son inquietantes los puntajes, sobre todo el rango que va desde el puntaje 7,5 de 100 hasta el más alto, que es 70; el rango de 62,5 es bastante alto y muestra una gran diferencia entre el nivel más bajo de ingreso del estudian-te hasta el más alto, que, verbigracia, no es tan alto (solo un estudiante lo alcanza). Como en el caso de derivada, es muy bajo el nivel cuantitativo con el que ingresan los estudiantes.

En la tabla de frecuencia, se puede observar que el 97,4%% no pasa la conducta de entrada, lo que indica que en el curso regular se deben tomar correctivos, expresados ya en el análisis de la prueba de derivada.

100


Tabla 23. Puntaje Conducta de entrada



Válidos

7,5 3 7,9 7,9 7,912,5 1 2,6 2,6 10,517,5 2 5,3 5,3 15,820,0 6 15,8 15,8 31,622,5 5 13,2 13,2 44,725,0 5 13,2 13,2 57,927,5 4 10,5 10,5 68,430,0 5 13,2 13,2 81,632,5 2 5,3 5,3 86,835,0 1 2,6 2,6 89,547,5 1 2,6 2,6 92,150,0 1 2,6 2,6 94,757,5 1 2,6 2,6 97,470,0 1 2,6 2,6 100,0

Total 38 100,0 100,0


Como se puede observar, la distribución sigue una curva aproximada-mente normal, vemos cómo el histograma se concentra en los datos centrales y la mayoría se ubica entre el rango de 20 a 40 puntos. Por su parte, los valores extremos son poco frecuentes, especialmente los altos, porque en el más bajo se ubican tres estudiantes.

Figura 22. Análisis de la conducta de entrada


101


Las medidas descriptivas refuerzan la percepción del puntaje demasiado bajo; solo alcanza una media de 26,6, con mediana de 26 y una moda de 20, que indica una tendencia a resultados muy bajos, es decir, el valor más frecuente de los puntajes tendió a 20 (la quinta parte de la prueba). Igual-mente, la desviación típica de 12,6 refleja una gran diferencia en el nivel de los estudiantes, con una dispersión relativa determinada por el coeficiente de variabilidad de casi la mitad 47. Con los resultados de esta evaluación se logra demostrar una mayor divergencia de estudiante a estudiante en el desempeño de la prueba.

Tabla 24. Resumen estadístico de la prueba

Conducta de entrada

Puntaje de la prueba

NVálidos 38 38Perdidos 0 0

Media 26,645 70,52

Mediana 25,000 71,40

Moda 20,0 80

Desv. típ. 12,5644 10,923

Mínimo 7,5 43Máximo 70,0 85


Análisis de los resultados de la prueba.

La prueba marca ya un proceso expos de los estudiantes y cierto grado; podría mostrar qué tanto han avanzado, o por lo menos qué tanto aprove-chamiento han obtenido del desarrollo de sus programas en el aspecto del cálculo diferencial, especialmente en el tema de funciones. En sus cursos de cálculo, como se ve claramente en la figura 23, los puntajes de la muestra en las pruebas siguen una distribución normal, relativamente simétrica, con inclinación a la derecha, lo que indica que los datos se encuentran por en-cima de la media. Lo anterior refuerza los supuestos de normalidad que se requieren para la prueba de contraste de hipótesis en cuanto a la incidencia del factor TIC en el desempeño de los estudiantes.

102


Figura 23. Resultados de la prueba


La distribución de frecuencias evidencia lo anteriormente dicho, al ubi-car al 47,4% con un puntaje de por lo menos 70 puntos de 100 posibles, y el 86,8% obteniendo resultados iguales o superiores a 62 puntos. Estos va-lores son mucho mejores que en la prueba de Derivadas. Sin embrago, más allá de los resultados cuantitativos, se debe también observar el desarrollo de los discentes, dado que ya estos prácticamente han tenido casi cuatro meses de convivencia, donde los docentes han compartido experiencias y han construido conocimiento al desarrollar sus temáticas. Los resultados muestran, por lo menos cuantitativamente, que la mayoría de los estudiantes desarrollaron el concepto de funciones y que este es manejado de manera clara por ellos.

Vale la pena recordar que también el mismo análisis que se hizo para la derivada, al expresar que las condiciones académicas de una conducta de entrada es distinta a una prueba realizada luego de haber desarrollado un curso.

103





Válidos

43 1 2,6 2,6 2,6

48 2 5,3 5,3 7,955 1 2,6 2,6 10,557 1 2,6 2,6 13,262 6 15,8 15,8 28,967 3 7,9 7,9 36,871 6 15,8 15,8 52,675 6 15,8 15,8 68,480 8 21,1 21,1 89,585 4 10,5 10,5 100,0

Total 38 100,0 100,0


Los índices estadísticos comprueban la aproximada simetría de la dis-tribución, con una media de 70,5 puntos, la mediana muy próxima de 71,4 y la moda que ratifica la inclinación a la derecha de los datos de 80, lo que ratifica que la mayoría de los estudiantes tienen promedio superior a la media y, por ende, la curva aparece inclinada hacia la derecha.

En cuanto a lo representativo del promedio aritmético, se tiene una dis-persión absoluta de 10,9, que arroja una dispersión relativa del 15,4%, que refleja estabilidad en el mismo y que los puntajes entre los estudiantes no están tan lejanos, a pesar de la diferencia de programa y de edades.

Resumen estadístico de la prueba.


N Válidos 38Perdidos 0

Media 70,52Mediana 71,40Moda 80Desv. típ. 10,923Rango 42Mínimo 43

Máximo 85


104


desempeño en la prueba.

Observando el desarrollo cualitativo del estudiante, se observa que a pesar de lo homogéneo de la prueba y del buen promedio, ningún estudiante alcanzó el nivel superior y apenas el 31% se ubica en alto, mientras que el 55,3% se ubica en básico. Se podría decir, entonces, que a pesar del buen desempeño de algunos estudiantes, en el tema de funciones, la mayoría se encuentran en una comprensión básica, según los resultados de la prueba. En nivel bajo, se ubica el 13,2%, estudiantes que no presentan un rendimien-to adecuado para el nivel de la prueba.

Se ratifica lo afirmado en el desarrollo del tema de Derivadas, en el cual se deben revisar los procesos de enseñanza, con TIC y sin ella, de las matemáticas, con el fin de obtener mejores resultados en el desarrollo de las competencias de los estudiantes, al igual que observando las conducta de entrada, se debería observar el grado de los niveles precedentes y de los co-legios de procedencia que ingresan a la universidad, con el fin de armonizar temas y fortalecer la preparación de los estudiantes.

Tabla 27. Desempeño en la prueba



Válidos

Alto 12 31,6 31,6 31,6

Bajo 5 13,2 13,2 44,7

Básico 21 55,3 55,3 100,0

Total 38 100,0 100,0


105


Figura 24. Porcentaje de la prueba

uente: resultados investigación evaluación del aprendizaje mediado con TIC Scilab y Winplot, (2015).

Comparación de los dos métodos.

La comparación de los métodos se realiza mediante el contraste de me-dias y estadísticos de los resultados con el método tradicional y el de las TIC, que para este caso es el Scilab. Se advierte, al igual que en la prueba de Derivadas, que estas pruebas son independientes y que se está midiendo el resultado de las pruebas.

A simple vista, se observa una diferencia entre las dos medias, 62,8 pun-tos promedio con el método tradicional de enseñanza y 78,16 puntos para el uso del recurso informático, que para este caso es el Scilab. Esta discrepancia tendría que ser valorada si es estadísticamente significativa. En el ejercicio con el tema de Derivada la diferencia era mucho más amplia e inducida por el simple sentido común de que existía diferencia.

Tabla 28. Comparación de las medias muéstrales según método empleado

Método de Evaluación Media n desv. típ. Rango Mínimo Máximo Mediana

TIC 78,16 19 6,710 30 55 85 80,00

Sin TIC 62,88 19 8,776 29 43 71 61,90

Total 70,52 38 10,923 42 43 85 71,40


Desempeño en la prueba

AltoBajoBásico

31,58%

55,26%

13,16%

106


Sin embargo, en el caso del tema de funciones, la Anova determinará si realmente existe diferencia estadística. Se ratifica el resultado en el tema de derivadas en cuanto a que los mínimos son más bajos sin mediación de tecnologías y la simetría de las dos distribuciones es semejante, al igual que la dispersión es relativamente baja, una desviación típica o estándar del 8,7 y 6,7 para el método tradicional y mediado por Scilab, respectivamente.

Figura 25. Comparación de medias según método aplicado funciones


No obstante, al observar la dispersión relativa difiere significativamente; 8,5% y 13,8%, que expresa una mayor dispersión de los datos en el método tradicional. Esto se puede interpretar como un alejamiento de cada uno de los datos al promedio. Expresado de otra manera: el nivel de los estudiantes en la prueba desarrollada es más desigual o disparejo cuando no se aplican mediaciones tecnológicas, por lo menos para el caso que nos ocupa en el tema de funciones.

Comparación del desempeño según metodologías aplicadas.

En concordancia con los resultados de la comparación de medias, se hace evidente que el mejor desempeño lo tienen en este caso los que reali-zaron la prueba con Scilab, donde el 63%, equivalente a 12 estudiantes, se encuentran en nivel alto; solo uno en el nivel bajo y los demás en el nivel bá-sico, mientras que de los que realizaron la prueba con el método tradicional ninguno alcanzó el nivel alto ni superior y el 79% se ubicó en nivel básico, los demás en nivel bajo. Esto haría pensar con cierto grado de razonamiento

78,2

6,7

30,0

55,0

85,0 80,0 62,9

8,8

28,6 42,8

71,4 61,9

Media Desv. tıp. Rango Mınimo Maximo Mediana

TIC Sin TIC

107


que efectivamente el software Scilab tiene influencia en los resultados del pro-ceso de aprendizaje de los estudiantes.

Figura 26. Desempeño en la prueba de funciones según método aplicado


Esta influencia se medirá en la parte siguiente cuando se aplique la prueba estadística paramétrica de Análisis de Varianza o Anova, que deter-minará si las diferencias entre las medias son consecuencia del azar u otros factores, o si efectivamente el método de enseñanza, bien sea tradicional o con mediación tecnológica en este caso el Scilab, influyen para resolver problemas de aplicación que involucran el tema de funciones.

Contraste de medias y aplicación de la prueba Anova.

En el ítem anterior se observó una diferencia en las medias, que, al ojo del lector desprevenido, marcarían definitivamente que el Scilab como software contribuye al buen desempeño de las pruebas y que este mediador académico mejora el puntaje obtenido. Con el fin de determinar la validez de tal aseveración, se recurrirá al estadístico Anova de un factor, con el fin de determinar si realmente existe una diferencia en las medias muestrales, según el factor aplicado (en el análisis de la prueba de derivada se expuso la metodología de la aplicación y los supuestos a cumplir).

Los supuestos fundamentales son:

a. Independencia de los grupos: son independientes y se desarrollaron las pruebas bajo las mismas condiciones.

12

0

4 3

0

7

12

0

Alto Bajo Basico Superior

TIC Sin TIC

108


b. La distribución es aproximadamente normal: como se pudo ver en los cuadros anteriores, los datos reflejan aproximadamente una dis-tribución normal relativamente simétrica.

c. Homogeneidad de varianza: para este caso se aplica un gráfico de barras de error. Según esta figura, las varianzas medidas como las distancias de las barras a su centro son comparativamente semejan-tes, lo que indicaría homogeneidad.

Figura 27. Análisis de grupos


El análisis de la varianza permite contrastar la hipótesis nula de que las medias de (n) poblaciones son iguales, frente a las hipótesis alternativas de que por lo menos una de las poblaciones difiere de las demás en cuanto a su valor.


Las hipótesis planteadas son la hipótesis nula, que plantea que hay igual-dad de medias muestrales; es decir, el factor TIC no influye en el desempeño promedio de los estudiantes en la prueba; y la hipótesis alterna, que plantea que existe diferencia de medias, dicho de otro modo, determinar si las TIC influyen en el desempeño de los mismos en las pruebas aplicadas:

109


Ho; Ho: μx = μy Hipótesis nula, que supone igualdad de medias pobla-ciones, es decir, el factor TIC, en otras palabras, la utilización del software Scilab no influye en los resultados promedios de la prueba.

H1:: μx ≠ μy Hipótesis alterna, que supone la diferencia de medias po-blaciones, el factor TIC sí influye, es decir, la utilización del software Scilab influye en los resultados promedios de la prueba.

Con el fin de ratificar bajo parámetros más estrictos la homogeneidad de las varianzas, procede a realizar la prueba o test de Levine, que consiste en un estadístico que mide con un nivel de confianza si las varianzas tienen diferencias significativas. Según la tabla, el nivel de significación es del 0,224 mayor al nivel establecido por la prueba de Levine, que es del 0,05, lo que hace concluir que no existe diferencia entre las varianzas, es decir, no hay di-ferencias significativas entre las varianzas, cumpliéndose el tercer supuesto.

Prueba de homogeneidad de varianzas.



Comprobados los supuestos, se aplica por intermedio del software en SPSS un análisis de varianza de una vía o un factor, cuyos resultados arrojan que sí existe diferencia estadística significativa. Al obtener un P valúe por debajo del P de la prueba, el valor de significación de la prueba es de 0,05 y el valor de los datos del estudio es de 0,00, lo que indica que existe una diferencia significativa entre los dos métodos.

En conclusión, la aplicación de la herramienta informática Scilab, al ubicarse por debajo del nivel de la prueba Anova, indica que existe una di-ferencia significativa entre los dos métodos de aplicación, es decir, el método de enseñanza mediado por el software Scilab modifica los resultados de la prueba de funciones, para el caso de estudio los mejoraría.

estadístico de Levene gl1 gl2 gl3

1,533 1 36 ,224

110


Anova de un factor.


Suma de cuadrados gl Media cuadrática F Sig.Inter-grupos 2217,739 1 2217,739 36,341 ,000Intra-grupos 2196,918 36 61,025Total 4414,657 37


Análisis por competencias en funciones

El programa académico y las competencias.

La descripción por programa académico sirve de marco para ambientar el análisis de competencias. Se hicieron veinte preguntas por pruebas, con diferentes porcentajes para las competencias, por ejemplo, para la prueba de funciones las interpretativas tenían 12 preguntas, y el resto en partes iguales para la argumentativa y propositiva. Para el caso de la prueba con derivadas, se realizaron igualmente 12 preguntas de carácter interpretativo, cinco argu-mentativas y tres propositivas. A continuación se describen algunos resultados.

El promedio de los estudiantes de Marketing y Negocios Internaciona-les fue mejor en el desarrollo de las tres competencias, y los resultados por estudiante fueron más homogéneos, de acuerdo con la desviación típica que arroja el estudio.

Tabla 31. Resultados por competencia

Programa Puntaje de

las Preguntas Propositivas

Puntaje de las preguntas

Argumentativas


interpretativas

ADSA

Media 10,0000 5,1042 50,4167

N 12 12 12

Desv. típ. 4,26401 3,05528 6,55686

Mínimo 5,00 0,00 40,00

Máximo 20,00 10,25 60,00

111


Programa Puntaje de

las Preguntas Propositivas


Argumentativas


interpretativas

MKS

Media 12,5000 9,2692 51,7308

N 26 26 26

Desv. típ. 5,14782 4,83266 4,88719

Mínimo 0,00 0,00 40,00

Máximo 20,00 15,00 60,00


Al margen de lo anterior, el promedio sigue siendo bajo: el 50% y 60% (10 de 20 y 12 de 20 preguntas) para las propositivas en Administración y Marketing, respectivamente. El 25% y el 50% en las argumentativas y aproximadamente el 83% en las interpretativas para ambos programas. Lo anterior deja tres conclusiones: la primera, que el desarrollo es bajo en los dos programas en las tres competencias, excepto las interpretativas; en segundo lugar, quiere decir que los jóvenes se quedan en la primera etapa del desarrollo de las competencias; y, en tercer lugar, al parecer los estudiantes de Marketing y Negocios Internacionales desarrollaron ma-yormente las competencias al juzgar por los resultados promedios de los puntajes de la prueba.

Análisis por competencias de derivadas

En la descripción por programa académico y de competencias, se aclara que en derivadas hay cinco preguntas de carácter argumentativo y tres pro-positivas, quedando doce para la competencia interpretativa.

En ambos programas los estudiantes desarrollan las competencias inter-pretativas en mayor grado que las demás. Se observan medias que superan los 50 puntos, alrededor de un 85% de la prueba, donde el programa de Administración de Empresas obtiene una ligera superioridad.

112


Tabla 32. Análisis de competencias por programa

Programa Puntaje de

las preguntas interpretativas


argumentativas

Puntaje de las preguntas propositivas

ADSA

Media 52,7778 9,0740741 10,1852

N 27 27 27

Desv. típ. 5,60449 5,19560410 6,57523

Mínimo 40,00 0,00000 0,00

Máximo 60,00 15,00000 15,00

Rango 20,00 15,00000 15,00

MKS

Media 51,3636 5,4545455 5,4545

N 11 11 11

Desv. típ. 4,52267 3,50324525 6,50175

Mínimo 45,00 0,00000 0,00

Máximo 55,00 10,00000 15,00

Rango 10,00 10,00000 15,00


En el desarrollo de las competencias no se ve el mismo avance que para las interpretativas. Si bien es cierto que los estudiantes del programa aventajan en casi el doble a los de Marketing, no es menos cierto que estos números demuestran muy poco dominio por parte de los estudiantes de los programas: solo el 36% para Administración y el 21% para Marke-ting de porcentaje de acierto sobre los cuestionamientos que pretendían medir la capacidad argumentativa de los estudiantes que presentaron la prueba.

113


Figura 28. Desempeño por competencias. derivadas


Finalmente, las competencias propositivas tampoco demuestran gran desarrollo por parte de los estudiantes: el 66% (10 de 15 preguntas acer-tadas, en promedio) y el 33% (5 de 15 preguntas acertadas, en promedio) para Administración y Marketing, respectivamente. El bajo desarrollo de esta competencia se acompasa de una variabilidad de aproximadamente el 70% en el programa de Administración y más el 100% en Marketing, indicando que el ritmo de desarrollo de las competencias es altamente cambiante entre estudiantes por programas y mayormente dentro del mismo programa.

El método aplicado y las competencias.

La prueba consta de veinte preguntas distribuidas en tres competencias, la interpretativa, argumentativa y propositiva, las cuales se encuentran distribuidas a lo largo de toda la prueba, y difieren según el tema aplicar, si se trata del tema funciones o del tema derivada. Partiendo del tema de diferencias de medias y utilizando el software SPSS, a continuación se hace una descripción partiendo del tipo de competencia y del método utilizado, aclarando los puntajes máximos que se pueden alcanzar por competencia. Igualmente, se hace una reflexión de los indicadores estadísticos y finalmen-te una síntesis concluyente para cada prueba. Funciones y Derivada.

52,7778

9,0740741 10,1852

51,3636

5,4545455 5,4545

Puntaje de las preguntas Interpretativas

Puntaje de Las Preguntas Argumentativas

Puntaje de las preguntas Propositivas

ADSA Media MKS Media

114


Análisis de la prueba con resultados en funciones.

La prueba consta de veinte preguntas distribuidas en tres competencias (la interpretativa, argumentativa y propositiva), las cuales se encuentran distribuidas a lo largo de toda la prueba; 12 de ellas son interpretativas, y el resto se distribuye equitativamente entre las demás competencias.

Se observa que el promedio de las interpretativas es el más próximo al ideal de la prueba, en este caso es 80, y para las argumentativas es de 20 para ambas.

Resulta evidente el bajo rendimiento en la utilización de los dos métodos, siendo un poco más alta el de utilización del software Scilab, con media de 53,15 y un rendimiento porcentual de un 88,3%, comparado con un 49,4 de puntaje promedio equivalente al 82% del método tradicional. Con un mínimo de 40 y un máximo de 60 puntos y 40 y 55, respectivamente. Una dispersión relativa homogéneos del 10%, obtenida a partir de la desviación típica.

Se concluye que el grupo que desenvolvió la prueba con software Scilab obtuvo mejores resultados promedios en el desarrollo de las competencias interpretativas y que el desempeño entre estudiante y estudiante fue relati-vamente homogéneo.

Tabla 33. Prueba de funciones

Método de evaluación


interpretativas



argumentativas

TIC

Media 53,1579 14,4737 10,2763

N 19 19 19

Desv. típ. 5,32565 4,68293 4,85118

Mínimo 40,00 5,00 0,00

Máximo 60,00 20,00 15,00

Rango 20,00 15,00 15,00

Sin TIC

Media 49,4737 8,9474 5,6316

N 19 19 19

Desv. típ. 4,97067 3,56641 3,33684

Mínimo 40,00 0,00 0,00

Máximo 55,00 15,00 10,25Rango 15,00 15,00 10,25


115


En cuanto a las competencias propositivas, estas siguen la tendencia de las interpretativas, pero aún más marcadas, de un máximo de 20 puntos. Los estudiantes que tuvieron ayudas tecnológicas obtuvieron 14 (70%), mientras los que utilizaron el método tradicional, solo 8,9 (44,5%). La discrepancia se enfatiza al igual en los mínimos y máximos, por ejemplo, hubo puntajes de cero en el método tradicional, y un máximo de quince, mientras que para los que utilizaron el Scilab ninguno tuvo puntaje cero, con un mínimo de 15 (el máximo de los que aplicaron la prueba sin ayudas multimedia), y algunos alcanzaron la puntuación máxima.

La competencia argumentativa muestra un resultado aún más preocu-pante con puntajes promedios de 10,27 (51%) y 5,6 (28%) para los estudiantes que utilizaron Scilab y los que siguieron el método tradicional. Como se puede ver, es extremadamente bajo el desarrollo de esta competencia con ambos métodos, hubo estudiantes que no contestaron bien algunas pregun-tas al llegar a un mínimo de cero, y ninguno alcanzó el máximo en las puntuaciones, siendo 15 para los que utilizaron software y solo 10,2 para los que emplearon el método tradicional.

Figura 29. Desempeño de funciones por competencias


En síntesis, en desarrollo de competencias, la que más desarrollan los estudiantes son las interpretativas, y presentan serias dificultades para argu-mentar y proponer, independientemente del método utilizado en el proceso.

53,1579

14,4737 10,2763

49,4737

8,9474 5,6316


Puntaje de Las Preguntas Propositivas

Puntaje de las preguntas Argumentativas

TIC Media Sin TIC Media

116


De otra parte, se evidencia que la utilización de recursos multimedia en el desarrollo de las pruebas mejora el rendimiento de los estudiantes y el desarrollo de las competencias; y más contundente resulta el hecho de que la dispersión es mucho menor cuando se utiliza el software Scilab. En otras palabras, el desarrollo de los estudiantes es más parejo, hay mucho menos diferencia en la adquisición y desarrollo de competencias entre estudiantes, cuando media una ayuda tecnológica en el proceso cognitivo, en este caso el Scilab para el tema de funciones.

Análisis por competencias de derivadas

La prueba consta de veinte preguntas distribuidas en tres competencias (la interpretativa, argumentativa y propositiva), las cuales se encuentran dis-tribuidas a lo largo de toda la prueba; 12 (60%) de ellas son interpretativas, 5 (25%) argumentativas y 3 (15%) de carácter propositivo.

El promedio del puntaje obtenido en las competencias interpretativas es mayor con la utilización del software Winplot que con el método tradicional: 54,2 de un máximo de 60 (90% del total) y un 50,5 (84% del total), respecti-vamente, lo que induce a suponer que el uso de las TIC mejora el desarrollo de las competencias.

Los puntajes máximos y mínimos ratifican lo expresado en líneas ante-riores: algunos estudiantes que utilizaron el Scilab alcanzaron el máximo puntaje y un mínimo de 45 puntos; por otra parte, a los que se les aplicó el método tradicional alcanzaron un máximo de 50 y un mínimo de 40. Mucho más bajo en ambos casos. Si se tiene en cuenta el rango, la dispersión es igual; sin embargo, al considerar la desviación típica, podemos calcular el coeficiente de variabilidad relativas, que para el caso de los estudiantes que utilizaron herramientas tecnológicas fue de 8,6% y para los del método tradicional, un 10,3%, lo que indica que el desarrollo de las competencias es mucho más desigual o heterogéneo en los estudiantes que aplicaron el método tradicional.

117


Tabla 34. Resumen estadístico por tipo de preguntas

Método de evaluaciónPuntaje de

las preguntas interpretativas


argumentativas


TIC

Media 54,2105 11,8421053 15,0000

N 19 19 19

Desv. típ. 4,79095 2,98632360 0,00000

Mínimo 45,00 5,00000 15,00

Máximo 60,00 15,00000 15,00

Rango 15,00 10,00000 0,00

Sin TIC

Media 50,5263 4,2105263 2,6316

N 19 19 19

Desv. típ. 5,24265 3,44123601 3,86164

Mínimo 40,00 0,00000 0,00

Máximo 55,00 10,00000 15,00

Rango 15,00 10,00000 15,00


El análisis de las competencias argumentativas muestra una mayor di-ferencia en los resultados de los estudiantes. Según el método de aplicado, la media fue 11,8 (44%) para el método donde medió el software Winplot y 4,21(28%), es decir, un 44% contra un 16,8% de efectiva promedio en el de-sarrollo de las preguntas que median el nivel argumental de los estudiantes en relación al método aplicado. Los mínimos y máximos también ponen en evidencia que el método donde se aplican las TIC presenta mejores resul-tados, incluso hay estudiantes que desarrollaron la prueba por el método tradicional, cuyo mínimo en algunas preguntas fue cero.

La variabilidad da cuenta de lo disímil que arrojan los resultados al apli-car la herramienta tecnológica; en ella, los estudiantes presentan una des-viación típica de 2,98 puntos, para un coeficiente de dispersión del 25,2%, mientras que con el método tradicional esta (la desviación típica) alcanza un valor de 3,44 y un coeficiente de dispersión relativa de 81,7%.

Esta diferencia entre la variabilidad de los resultados, según los métodos a utilizar en las pruebas, documentan lo heterogéneo que es el desarrollo de la

118


competencia argumentativa entre los estudiantes, en las pruebas donde se uti-lizó el método tradicional. Llama la atención que a pesar de ser semejantes en edad y que se encuentran en un mismo semestre, el ritmo con que desarrollan la competencia es tan diferente entre ellos y entre las pruebas, por el hecho de aplicar un instrumento mediador del aprendizaje como lo es el Winplot.

La diferencia de promedios de puntajes obtenidos en las competencias propositivas es evidente: 15 (100%) para el uso de TIC y solo un 2,6 (17,3%) para el método tradicional. En primer lugar, con la aplicación del Winplot se alcanza el 100%, hecho que llama la atención al no encontrar ningún estudiante que se haya equivocado en estas preguntas, y es demasiado bajo en el caso de los que utilizaron el método tradicional: 2,6 de 15, es decir, el 17,3%. Resulta significativa la distancia entre desarrollar la prueba con ayudas tecnológicas que realizarla de manera tradicional, donde tiene lugar un 100% de efectividad en las respuesta contra solo un 10% en el segundo caso. En los resultados se observa a 11 estudiantes de 19 que obtuvieron puntajes de cero en las respuestas.

Los índices estadísticos así lo comprueban, los datos extremos son más frecuentes en la prueba tradicional, que presenta una desviación típica mayor al promedio, lo que arroja una variabilidad relativa del 146,7%, frente a una de cero (0). Como se había dicho, todos los estudiantes que aplicaron la herramienta informática obtuvieron resultados máximos.

Figura 30. Comparación Media con TIC y sin TIC


54,2105

11,8421053 15,0000

50,5263

4,2105263 2,6316


Puntaje de Las Preguntas Argumentativas

Puntaje de las preguntas Propositivas

Desempeno por Compencias Derivadas

TIC Media Sin TIC Media

119


Manera de resumen, el comportamiento del desarrollo promedio de las competencias en el tema de derivadas es bastante similar al de funciones. La competencia más desarrollada es la interpretativa, sin embargo, se encuen-tra una diferencia en cuanto al desarrollo de la argumentativa y propositiva; la particularidad radica en que la competencia propositiva es la que menos desarrollan en conjunto, pero al analizar por método de la prueba, cuando se utilizan las TIC el resultado es óptimo, los estudiantes obtienen 15 de 15 puntos posibles, mientras que con el método tradicional menos del 18%, lo cual resulta curioso.

Figura 31. Por desempeño de funciones


Conclusiones

Luego de haber realizado el estudio y cuantificado sus resultados se po-drían argumentar algunos aspectos a manera de conclusiones.

¾ Los datos siguen una distribución aproximadamente normal, lo que facilita el análisis de los datos.

¾ La conducta de entrada tanto de los que presentaron la prueba en funciones como en la prueba de derivadas muestran resultados extre-madamente bajos, evidenciando la débil preparación cuantitativa de los niveles precedentes.

¾ Los resultados son mayormente positivos al aplicar las TIC, tanto en el tema de funciones como en el de derivadas. Pero es necesario

10,0000 5,1042

50,4167

12,5000 9,2692

51,7308

Puntaje de Las Preguntas Propositivas

Puntaje de las preguntas Argumentativas


Desempeño por Compencias-‐ Funciones

ADSA Media MKS Media

120


aclarar que en la mediación con TIC es fundamental para el docente contar con material pedagógico previamente diseñado.

¾ La aplicación de las herramientas tecnológicas incide en el desem-peño entre estudiante y estudiante. Se podría decir que hace más homogéneo su nivel, por lo menos así lo comprueban los indicadores estadísticos de variabilidad de las muestras.

¾ En la medición cualitativa, los estudiantes en grado muy bajo alcanzan el nivel superior, solo tres en el de derivadas y ninguno en el de funciones.

¾ La clasificación por grado de desempeño muestra igualmente que cuando se usan las TIC los estudiantes alcanzan mayores niveles. Ningún estudiante en el que se aplicó el método tradicional alcanzó la clasificación alta en el desempeño.

¾ Existe diferencias significativas en la aplicación de los dos métodos de enseñanza, así lo confirma el resultado del análisis de varianza Anova, que arroja diferencias estadísticamente significativas en la aplicación de las TIC, como factor independiente y que influyen en la variable dependiente del desempeño en las pruebas aplicadas, tanto para la prueba del tema de derivadas con Winplot y el de funciones con el Scilab.

¾ Los resultados demuestran que las competencias que mayormente desarrollan los estudiantes son las interpretativas, independiente-mente del método de enseñanza.

¾ Las competencias se desarrollan mucho más por parte de los estu-diantes con el método mediado por las TIC. Se evidenció en el estu-dio un mejor desempeño promedio tanto en la prueba de derivadas como en la de funciones.

¾ Al aplicar un método multimedia como el del Scilab o el Winplot, se observa menos heterogeneidad entre estudiante y estudiante. El nivel de dispersión acerca del promedio obtenido por competencia por cada estudiante es más pequeño en las pruebas donde se utilizaron las TIC. El coeficiente de variabilidad es mucho más pequeño en las pruebas que involucraron ayudas tecnológicas, lo que induce a pensar que di-chas herramientas equilibran los niveles de desarrollo de competencias entre los estudiantes, que pueden influir en los ritmos de aprendizaje.

121

MÓdULoS inStRUCCionALeS SCiLAB Y WinPLot

Resumen módulo instruccional a Scilab

Scilab es un software gratuito de código abierto para el cálculo numérico que proporciona un entorno de

computación de gran alcance para aplicaciones de inge-niería y científicas. Tiene un lenguaje de programación de alto nivel que permite el acceso a las estructuras de datos avanzadas, y funciones gráficas en 2-D y en 3-D. Puede usarse como calculadora matricial o como un entorno de programación en el que se pueden escribir scripts propios o nuevas funciones.

Dentro de sus funcionalidades se encuentran:

Matemáticas y Simulación: para aplicaciones de ingeniería y ciencias incluye operaciones matemáticas y análisis de datos.

Visualización 2 - D y 3 - D: funciones de gráficos para visualizar, anotar y exportar datos y muchas maneras de crear y personalizar varios tipos de gráficos y tablas.

Optimización: algoritmos para resolver problemas de optimización continuos y discretos restringidos y no restringidos.

Estadística: herramientas para llevar a cabo el análisis de datos y modelización.

Sistema de Control de Diseño y Análisis: algoritmos y herramientas estándar para el estudio del sistema de control.

122


Procesamiento de Señales: visualizar, analizar y filtrar las señales en los dominios de tiempo y frecuencia, ya sean de tiempo continuo o tiempo discreto.

Desarrollo de aplicaciones: aumentar funcionalidades nativas y gestionar los intercambios de datos con herramientas externas.

Xcos - sistemas dinámicos híbridos modelador y un simulador: modelado de sistemas mecánicos, circuitos hidráulicos, sistemas de control, entre otros.

Como código abierto se encuentra bajo la licencia CeCILL (compatible GPL ) y está disponible para su descarga gratuita, bajo GNU / Linux, Mac OS X y Windows XP/Vista/7/8. Con esta utilidad se pueden trabajar sis-temas dinámicos con diagramas de bloque, ya sean de tiempo continuo o tiempo discreto en respuesta en el tiempo o respuesta en frecuencia.

Para una mayor información es recomendable ver los requisitos del sis-tema.

Iniciado en los años ochenta con Blaise, un software CACSD (control asistido por ordenador Diseño de Sistemas) creado en el INRIA (Instituto Francés para la Investigación en Informática y Automática) y desarrollado principalmente por François Delebecque y Serge Steer con el fin de sumi-nistrar una herramienta de control automático. Fue inspirado por el software Matlab Fortran desarrollado por Cleve Moler, quien más tarde cofundó con John Little a empresa The MathWorks.

En 1984, Blaise hizo Basile y se distribuyó durante unos años por Simu-log, la primera Inria (Instituto Nacional Francés para la Investigación en Informática y Automática).

El nombre del software se convirtió en Scilab y luego fue desarrollado por Inria dentro del Grupo Scilab compuesto por los seis siguientes investiga-dores: Jean-Philippe Chancelier de la ENPC (École Nationale des Ponts y Caminos), François Delebecque, Claude Gómez, Maurice Goursat, Ramine Nikoukhah y Serge Steer de Inria.

Después de varios años de mejoras, se funda en junio de 2010 con el apoyo de Inria, para garantizar el futuro de Scilab. Ahora bien, Scilab Enterprises ha tenido plenamente a cargo la edición y desarrollo de Scilab desde julio de 2012.

123


ejercicios propuestos para el aprendizaje de funciones

Proponemos que antes de que el estudiante aborde con mayor formalismo el concepto de función, el docente plantee los siguientes ejercicios, basado en el hecho de poder relacionar cantidades.

Ejemplo 1. En una toma de datos se pudo establecer la siguiente tabla:

Tabla 35. Datos del ejemplo 1

P Q

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6


Queremos ahora ver cómo se observa esta posible relación entre P y Q. Para ello escribimos los siguientes comandos:

P=[0 1 2 3 4 5 6]; quedan de forma vectorial los valores asignados a P, luego:

Q=[0 1 2 3 4 5 6]; quedan de forma vectorial los valores asignados a Q, luego tecleamos plot(P,Q) y a continuación si queremos ver la cuadricula colocamos; “xgrid” y tecleamos “enter”, es decir, el renglón completo queda:

plot(P,Q); xgrid

Obtenemos el gráfico que se presenta a continuación, en el que obser-vamos que el eje horizontal llega hasta el número 6 definido por P, y el eje vertical tiene el valor que asigna Q. Con plot ( ) la primera letra es la asignación del eje horizontal.

124


Figura 32. Interfaz gráfico del ejemplo 1


Podemos tener varios tipos de relaciones entre cantidades, como pode-mos ver:

Ejemplo 2. Tenemos los siguientes datos:

Tabla 36. Datos ejemplo 2

U V

0 0

1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

125


El resultado Y es:

Figura 33. Gráfica del ejemplo 2


Desde esta ventana podemos editar los ejes para asignarles nombre, damos clic en Editar luego en Propiedades de los ejes y nos abre la siguiente pantalla, en ella marcamos X y en donde aparece Text entre las comillas dobles escribimos lo que queremos mostrar en el gráfico. Lo mismo hacemos para el eje Y.

Figura 34. Ventana del editor de ejes


126


Con estos ejemplos se pretende que el estudiante reflexione sobre las dis-tintas relaciones que se pueden establecer entre cantidades. Ahora bien, el docente explicará lo que es una función y sus características.

y es función de x, si a cada valor de x le corresponde un valor completa-mente determinado de la y; además, no es importante el método con el que ha sido establecida la correspondencia señalada (P. Dirichlet, 1837).

Línea recta: en los ejemplos 1 y 2 construimos los gráficos de líneas rectas. Estas líneas, en general, se pueden escribir mediante la ecuación (1) y = mx + b en donde m es la pendiente y b el punto en donde la línea corta el eje vertical (y). Si queremos representar esto como una función, podemos notarla como:

f (x) = mx + b (1)

Es decir y = f (x)

Ahora miremos la pendiente que está definida como la variación de la varia-ble independiente (y) relacionada con la variación de la variable dependiente (x).

m = Δy / Δx (2)

Para hallar estas variaciones tomamos 2 puntos de referencia y lo hare-mos con el ejemplo 2.

Figura 35. Gráfica del ejemplo 2 resaltando la función Data Tip


1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

127


Remitiéndonos a la figura 35 hacemos clic en donde marcamos el re-cuadro rojo para conmutar al modo Data Tip y nos ubicamos en cualquier punto sobre la línea y damos clic. Aparece sobre la gráfica un recuadro, que para este caso fue x = 2.5; y = 19, ahora hacemos clic en otro punto adelante en el sentido de avance del eje horizontal, o resbalamos el punto anterior en el sentido de avance de la curva en el eje x. En este caso, nos dio x = 3.5; y = 17 para efectos de aplicar la fórmula (2) el primer punto tendrá entonces coordenadas (x1, y1), en este caso x1 = 2.5 y y1 = 19. Para el punto 2 las coordenadas son (x2, y2) para el caso x2 = 3.5 y y2 = 17.

Definimos Δy = y2 – y1 y análogamente Δx = x2 – x1 de tal manera que Δy = 17 – 19 = –2; y Δx = x2 – x1 = 3.5 – 2.5 = 1; por lo que la pendiente nos queda

Hasta este punto tenemos la pendiente de esa recta, ahora vamos a obte-ner la ecuación. Entendemos que la forma matemática que vamos a obtener tiene todos los puntos que hacen parte de la recta, por lo que debe ser una forma general de describirla, sabemos que su pendiente es la misma para todos esos puntos. Por lo que partimos del argumento:

mΔx = Δy (3)

Ahora la diferencia de x la tomamos entre un punto de referencia cono-cido y cualquier otro punto que debe ser del conjunto de puntos de la recta, lo mismo hacemos para la diferencia de y; para este caso tomamos el punto conocido de coordenadas (x1, y1) con x1 = 2.5 y y1 = 19, y referenciamos cualquier otro punto que pertenece a esta recta como (x, y).

La ecuación (3) ahora nos queda:

m(x – x1) = ( y – y1) (4)

Realizando los reemplazos, llegamos a:

y = –2x + 24 (5)

Esta ecuación la podemos graficar en Scilab de la siguiente manera, para que notemos que podemos obtener la misma gráfica de la figura (10): definimos x como un vector fila, desde 0 hasta 12, como está el eje horizontal en dicha figura, con la orden x = 0:0.1:12; esto nos crea una matriz de 121

m = = – 2 – 21

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

128


puntos desde 0 hasta 12 con puntos cada espacio de 0.1, luego asignamos y = –2*x + 24; después graficamos.

En resumen, las órdenes son:

x = 0:0.1:12;

y = –2*x+24;

plot(x,y); xgrid

Figura 36. Gráfica de ejecución función f(x)=-2x+24


Resumen módulo instruccional a Winplot

Introducción a Winplot

Winplot es una herramienta tecnológica de gran utilidad para la en-señanza y el aprendizaje de las matemáticas. Este programa ejecutable de dominio público es distribuido gratuitamente por el profesor Richard Parris de la Philips Exeter Academy en Exeter, New Hampshire. Se encuentra diseñado para graficar puntos, segmentos, funciones explícitas, paramétri-cas, implícitas y cilíndricas, generar curvas simples, representar ecuaciones

129


diferenciales, entre otros aspectos. Además, permite realizar animaciones de estos elementos matemáticos, permitiendo de esta manera una mejor com-prensión de los mismos.

Cabe señalar que Winplot no solamente fue diseñado para facilitar la creación de gráficas, sino que es una gran herramienta pedagógica de apoyo a la labor docente, ya que es muy fácil de usar, además de que permite a los discentes generar procesos de pensamiento mediante los cuales se logra recordar, comprender, analizar resultados y hacer síntesis para la resolución de problemas.

Se puede descargar en la dirección: http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html

En aras de facilitar la comprensión del presente módulo, se describen, a continuación, las convenciones utilizadas:

Flechas roja y azul ( ) :

Indica la acción a ejecutar mediante clic, en una misma pantalla; la roja representa una mayor jerarquía que la azul, en el sentido de que se debe de realizar primero la acción con la flecha roja.

Ovalo rojo :

Espacio que se alimenta con información.

Recuadro rojo :

Información suministrada por la herramienta.

Pasos para realizar una gráfica:

Ejecute el programa Winplot, luego en el menú general vaya a la opción Ventana, seleccione la opción 2 dim o 3 dim, o bien, F2 o F3 (dependiendo de la dimensión en la que se desee trabajar). Este último procedimiento despliega la interfax gráfica que está compuesta por un menú, en donde se selecciona la opción Ecua, la cual presenta una ventana que contiene la opción que Ud. requiere emplear. Cada opción ofrece posibilidad de escoger: el intervalo donde desea realizar el gráfico, su grosor y el color deseado para el mismo, entre otras opciones.

130


Figura 37. Venta de trabajo de Winplot


ejemplo 1.

En documento Word pegar la gráfica de la función explícita f (x) = x2

con

las siguientes características:

Ancho de lápiz: 4. Color: rojo. Fondo: amarillo

Título: Gráfica de la función f (x) = x2 (Características del título: arial, cursiva, tamaño 22)

Protección del documento

PASOS

Primer paso: Ejecute el programa Winplot.

Segundo paso: (Elegir la dimensión en la que se va a trabajar). En el menú general vaya a la opción Ventana, seleccione la opción 2 dim en atención a que se trata de una función de una variable y por consiguiente su gráfica

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

131


compromete una variable adicional, es decir, para nuestro caso trabajare-mos con 2 variables.

Tercer paso: Seleccionar la opción que permite realizar el tipo de gráfica deseada.

Para tal fin, en el menú presente en la interfaz gráfica, seleccione la opción Ecua y haga clic en la Explicita. En la ventana correspondiente a f (x) escriba al lado derecho la función que desea graficar, para nuestro caso x2 (escribirla así: x – alt 94 – 2). En la misma interfaz, seleccione: ancho de lápiz 4 y color rojo.

Figura 38. Ventana de ejecución de una función explícita


Cuarto paso (Sombreado): Seleccione nuevamente la opción Ecua y elija Sombrear. Escoger color (rojo, atendiendo a lo solicitado), luego elegir las opción Encima y realice tantos clic en sombrear como acentuado desee el color. Seguidamente escoja la opción Debajo y proceda de la misma manera.

132


Figura 39. Sombrear una gráfica


Quinto paso: Título. En la Interfaz gráfica seleccionar la opción Btns. Hacer clic en Texto evaluado, luego clic derecho sobre la interfax. En la ven-tana desplegable escoger la opción Nombre. Escriba el texto deseado (Gráfica de la función f (x) = x2). Deshabilitar cualquier otra opción que se encuentre activada. En esta misma ventana escoja la opción Fuente y del menú desple-gado elija:

Fuente: Arial.

Estilo de fuente: Cursiva.

Tamaño: 22.

En fuente, haga clic en Aceptar, y en Editar texto. Clic en Ok. Luego haga clic izquierdo sostenido sobre el texto y arrástrelo hasta el lugar donde desea ubicarlo.

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

133


Figura 40. Ventana de opción gráfica


Sexto Paso (Copiar en documento Word): En la interfax gráfica escoja la opción Archivo: seleccione en el menú desplegable la opción Copiar. Abrir documento Word y pegarlo.

Figura 41. Gráfica de la función f(x) = x^2


134


Séptimo Paso (Proteger el documento): Del menú desplegable de la op-ción Archivo seleccionar Clave y diligenciar la ventana que aparece.

Figura 42. Protección de la información


taller.

1. En documento Word presentar la gráf ica de la función explícita f (x) = |x – 2| con las siguientes características:

Ancho de lápiz: 4. Color: Azul. Fondo: Amarillo

Título: Gráfica de la función f (x) = |x – 2| (Características del título: Arial 22, cursiva. Autor: Nombre del estudiante que realiza la gráfica.

Proteger el documento.

Sugerencia: Inicialmente en la interfax gráfica. Escoja en la opción ECUA, Biblioteca, donde encontrará la notación que reconoce el pro-grama para los diferentes tipos de funciones (utilícela para escribir la función valor absoluto).

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

135


Ejercicios:

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

Graficar las funciones abajo definidas con las características que Ud. considere y copiarlas en un documento Word.

Sugerencia: Acuda a la opción Biblioteca para conocer la notación que reconoce la herramienta para graficar funciones por tramos.

Algunas gráficas de funciones no pueden ser observadas, inicialmente, a plenitud. Esta situación se podría originar como consecuencia de que los rangos que emplea la herramienta se ejecutan por defecto en los ejes x e y entre los valores pertenecientes al intervalo [–5,5]; en tanto que la gráfica de la función es posible que requiera otro intervalo. Una manera de manejar esta dificultad se ilustra en el ejemplo siguiente;

ejemplo 2.

Graficar la función f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 45

Primer paso: Realice los pasos 1, 2 y 3 como se realizó en ejemplo 1.

Para esta función en particular se observa que la gráfica no aparece en su aspecto más general (ver figura 43)

136


Figura 43. Gráfica de la función (x) = 2x3 –3x2 –12x + 45

Figura 43.


Segundo paso: (Ampliación de la variable de la ventana de obser-vación).

Lo anterior obliga a ampliar la ventana de observación, hecho que podría lograrse si se conocen algunos aspectos importantes de la función como lo son sus ceros o raíces (valores de x que hacen cero la variable y) y sus valores extremos relativos (máximos y mínimos relativos), tal como mostraremos seguidamente:

Un buen intento para obtener esta información es utilizar inicialmente la opción Ver, del menú desplegable de Ver o bien utilizar Control V. En la ventana que se despliega escoger un intervalo de observación amplio para x, por ejemplo [izquierda, derecha] = [–100,100].

137


Figura 44. Opción ver


Figura 45. Configurar la opción ver


Luego hacer clic en Esquina, opción ubicada en la parte superior derecha de la ventana, y posteriormente dé clic en Aplicar (no se preocupe si se pierde la gráfica en la pantalla).

138


Para obtener los ceros de la función y los extremos, escoger la opción Una, hacer clic inicialmente en Ceros y registrar los resultados. Seguidamente, se procede en forma similar con la opción Extremos. La idea es que la pantalla de observación que establezcamos contenga estos valores.

Obtención de los ceros

En la opción Ceros se obtienen las raíces de la función, en esa misma ventana hacer clic en Siguiente, tantas veces como se requiera, con el fin de obtener todas las raíces posibles presentes en el intervalo escogido para x, [–100,100].

Para nuestro ejemplo, en particular, se obtuvo únicamente la raíz x = –3.

Figura 46. Primer paso obtención de una raíz


139


1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

Figura 47. Segundo paso obtención de una raíz


Obtención de los extremos

En forma análoga, el hallazgo de los puntos mínimos y máximos relati-vos se obtienen de la opción Extremos y, en esa misma ventana, se hace clic en siguiente para obtener todas los extremos posibles presentes en el intervalo escogido para x.

Para nuestro ejemplo, se obtuvieron únicamente los puntos extremos: (–1,52); (2,25)

140


Figura 48. Primer paso para obtención de los extremos


Figura 49. Segundo paso para obtención de los extremos


Para asegurar la presencia de esta información, ceros y extremos, se usa nuevamente Control v y en la opción Ver escoger los rangos de trabajo de x e y que los contenga.

141


En particular, para nuestro ejemplo, escogemos:

[izquierda, derecha] = [–5,5,5,5] y

[abajo, arriba] = [–10.5,60.5]

Lo anterior obedece a que el conjunto de las abscisas de las raíces y los extremos de la función {–3, –1,2} ∈[–5,5,5,5] y el conjunto de las ordena-das {0,25,52, –1,2} ∈[–10.5, 60.5].

Figura 50. Control de los extremos

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3


Por último, en ocasiones resultan algunos de los ejes muy cargados con datos. Esta situación se puede resolver usando la opción Cuadrícula del menú desplegable de Ver y elija el eje que desea modificar. Explore.

142


Figura 51. Opción cuadrícula


Para el ejemplo en particular, los cambios se realizaron en el eje de las y así:

Intervalo: 2Frecuencia: 5

Figura 52. Ventana con cuadrícula

143

CUeStionARioS de eVALUACiÓn de FUnCioneS Y deRiVAdAS

Prueba de control de aprendizaje

Evaluación de aprendizaje de las funciones.

Actividad de aprendizaje i.

Una maquinaria de construcción cuyo valor inicial es de 36 millones de pesos se deprecia con el tiempo y su valor está dado por la expresión v(t)= 36 –0.15t, donde v es el valor de la maquinaria, en millones de pesos, y t es el tiempo de uso, en meses.

Grafique la expresión que permite obtener el valor de la maquinaria, en función del tiempo, determine:

a. ¿Para qué valores del tiempo la expresión v(t)= 36 –0.15t tiene sentido, si se considera que el valor residual de la máquina es de 0 pesos?

b. ¿Cuál es el valor de la maquinaria a los 60 meses y cuánto a los 10 años de uso?

c. ¿Cuál es el tiempo en años, para que la maquina-ria se deprecie por completo?

d. De acuerdo con la pregunta C, argumente cómo llego la respuesta.

Actividad de aprendizaje ii.

El beneficio alcanzado, en millones de pesos, por pro-ducir y negociar q unidades de cierto producto está dada por la expresión U(q)=60q – q2

144


A partir de la gráfica de la expresión que permite obtener la utilidad, en función de las unidades fabricadas y vendidas, determine:

a. El máximo nivel de producción que no determina pérdida para la empresa.

b. El intervalo de producción en el cual el beneficio aumenta conforme se incrementan las unidades producidas.

c. El intervalo de producción en el cual el beneficio disminuye confor-me se incrementan las unidades producidas.

d. El nivel de producción que el que se logra el máximo beneficio.

e. El beneficio más alto que se puede obtener.

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Actividad de aprendizaje iii.

Considere que las entradas por la venta de cierto producto están dadas por

R(q) = 70q + 0.5q2 – 0.001q3 en el dominio ( –100, 650).

Se pide:

a. Crear gráfica de la función R(x) = 70q + 0.5q2 – 0.001q3

b. Determine ¿Cuál es el ingreso si se venden 100 unidades?

c. Encuentre los intervalos cuando la función es creciente y cuando es decreciente.

d. Calcule ¿Cuál es el máximo ingreso que se puede obtener?

e. Calcula ¿Cuál es la máxima cantidad que se puede vender?

f. De acuerdo con la pregunta anterior, explique cómo llegar a la con-clusión.

145


–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Actividad de aprendizaje iV.

Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares está dado por P = 10 + 50 log(3x + 1) en un intervalo (0,100)

a. Realizar gráfica de la función P = 10 + 50 ln(3x + 1)

b. ¿Cuál es el precio si se ofertan 10 unidades?

c. ¿Cuántas unidades se pueden ofertar a un precio de $260 dólares?

d. ¿Qué explicación tendría en cuenta de la situación presentada?

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Actividad de aprendizaje V.

Ejemplo: Una fábrica vende 250 unidades de computadores semanales. Si los costos de producir y vender son de US$50 y tiene unos costos fijos de US$ 200.000, donde x es el número de unidades vendidas.

Determinar:

a. La función de beneficios.

b. ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener un ingreso de US$ 2.000.000?

146


c. ¿Cuál es el ingreso por vender 200 unidades?

d. Represente y analice la gráfica: de ingreso para el intervalo |1 ≤ x ≤ 250|, de costo para el intervalo |1 ≤ x ≤ 3| y de utilidad para el intervalo |100 ≤ x ≤ 150|.

e. ¿Qué ocurre gráficamente con el beneficio al producir y vender 20 PC?

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

1. ! ! = 2! + 1

2. ! ! = ! + 1

3. ! ! = 2!

−! , !"# ≤ 1

4. ! ! = 2− !!, !"1 < ! ≤ 3

−7, !"# > 3

147


Evaluación de aprendizaje de derivadas

Actividad de aprendizaje i.

El análisis de producción diaria de una empresa muestra que, en pro-medio, el número de unidades producidas por hora después de horas de producción es:

a. Entrar a Winplot: pulse el ícono

b. Abra el menú ventana y seleccione la opción 2-dim.

Figura 53. Ventana de menú

! = 70! + 12 !

! − !!, 0 ≤ ! ≤ 8


c. Del menú Ver seleccione Cuadrícula.

y = 70x+ !!x! − x! .

148


Figura 54. Ventana de selección de cuadrícula


d. Active la opción Rectangular, pulse Aplicar y luego Cerrar.

e. Para digitar la ecuación: Del menú Ecua seleccione Explícita.

Figura 55. Opción ECUA


f. En la ventana f (x) digite la función, ancho de lápiz digite 2, pulse el botón Color, seleccione el color azul y cierre dicha ventana, para finalizar pulse Ok.

149


Figura 56. Función f (x)


Cualquier modificación que se quiera hacer a la gráfica se requiere selec-cionar en el menú Ecua la opción Inventario pulsar Editar.

g. Para ampliar el rango de la cuadrícula del menú ver seleccione la opción Ver, en la ventana ver active el botón de verificación esquinas, en la ventana izquierda digite -5, en derecha 10, abajo -50 y en arriba 250, y pulse Aplicar.

Figura 57. Ventana Ver


150


h. Para modificar los nombres de las etiquetas, en el menú Ver seleccione Ejes y escoja la opción Etiquetas, en la ventana 1st (x) digite Horas de producción, en 2 Unidades producidas y pulse Ok.

Figura 58. Rótulos o etiquetas de los ejes


i. Para marcar las raíces del menú Una seleccione Ceros, en la ventana ceros pulse el botón Graficar punto, pulse Siguiente y nuevamente Graficar punto. Anote los valores de las raíces.

Figura 59. Ventana ceros


151


j. Ver gráfica de la función y = 70x+ !!x! − x! .

y = 70x+ !!x! − x! .

Figura 60. Gráfica de la función


Restricciones del dominio de la función: el análisis de la gráfica contex-tualizado en problemas de economía se efectúa sobre el primer cuadrante del plano cartesiano.

k. Observe la gráfica y responda las siguientes preguntas:

1. ¿Cuántas unidades se producen en la primera hora de producción y cuántas a la octava?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Es posible producir la misma cantidad de unidades en horas distin-tas? Justifique su respuesta.

Horas de Producción

Unidades Producidas

152


_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. ¿A las cuántas horas se obtiene la máxima productividad?

__________________________________________________________________________________________________

4. ¿Cuál es la máxima producción que se puede obtener?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. El administrador de la empresa decide no laborar 9 horas. ¿Por qué?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. ¿Máximo hasta qué hora se debe trabajar?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

l. La derivada de la función es

_________________________________________________

grafíquela en la misma ventana.

m. Los máximos y mínimos locales se encuentran entre los llamados puntos críticos, es decir, puntos del dominio de la función en donde la derivada se anula o no existe.

n. ¿Cuántos valores críticos tiene la función? ¿Cuál tiene mayor sentido en este problema? Justifique su respuesta.

y = 70x+ !!x! − x! .

153


__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

o. La variación de la producción es proporcional a la distancia de la gráfica de la derivada con el eje de la abscisa, es decir, a mayor distancia mayor variabilidad. ¿En qué periodo de tiempo se produ-cen más unidades? ¿En qué periodo de tiempo se producen menos unidades?

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

p. Una función es creciente en el intervalo para el cual la curva de la derivada es positiva (está por encima del eje de la abscisa) y es decre-ciente en el intervalo para el cual la curva de la derivada es negativa (está por debajo del eje de la abscisa). Indicar para qué intervalo de tiempo la producción es creciente y para cuál decreciente.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

154


Actividad de aprendizaje ii.

Las ventas totales de cierta empresa (A) se relacionan con la inversión en publicidad (x) de acuerdo con:

A = –0.01x3 + 1.5x2 + 200

a. Determine la grafique de la función de A digitando los valores dentro de los rangos establecidos siguiendo la siguiente instrucción: en el rango izquierda -10, derecha 200, abajo 500 y arriba 5500 y en la ventana de la cuadrícula, opción intervalo x digite 10.

b. ¿Cuál es la venta si no hay inversión en publicidad? ¿cuál es la venta si la inversión en publicidad es de 20 U.M.?

_________________________________________________

¿Cuánto se debe invertir en publicidad para que la venta llegue a 4 70 U.M.?

_________________________________________________

c. Si usted fuese el administrador de la empresa, ¿máximo cuánto in-vertiría en publicidad? y argumente ¿por qué?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

d. ¿Es posible producir y vender la misma cantidad invirtiendo cantida-des distintas en publicidad? demuéstrelo escribiendo un ejemplo.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

155


e. ¿Cuál es la inversión en publicidad que maximiza las ventas?

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

f. ¿Cuál es la venta máxima que se puede obtener?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

g. La derivada de la función A = –0.01x3 + 1.5x2 + 200 es

_________________________________________________

grafíquela en la misma ventana.

h. Los máximos y mínimos locales se encuentran entre los llamados puntos críticos, es decir, puntos del dominio de la función en donde la derivada se anula o no existe. ¿Cuántos valores críticos tiene la fun-ción? ¿Cuál tiene sentido en este problema? Justifique su respuesta.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

i. La variación de la producción es proporcional a la distancia de la grá-fica de la derivada con el eje de la abscisa, es decir, a mayor distancia mayor variabilidad. ¿Para qué rango de inversión de publicidad se incrementan más las ventas?

_________________________________________________

156


___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

j. ¿Para qué rango de inversión de publicidad disminuyen más las ventas?

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________

k. Una función es creciente en el intervalo para el cual la curva de la de-rivada es positiva (está por encima del eje de la abscisa) y es decreciente en el intervalo para el cual la curva de la derivada es negativa (está por debajo del eje de la abscisa). Indicar para qué intervalo de inversión de publicidad la venta es creciente y para cuál es decreciente.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

157

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