evaluaciÓn experimental de elementos prefabricados de
TRANSCRIPT
1
EVALUACIÓN EXPERIMENTAL DE ELEMENTOS PREFABRICADOS DE CONCRETO (BALDOSAS HORIZONTALES Y
COLUMNAS) CON CARGAS UNIFORMES ORTOGONALES AL PLANO DE LA PARED
Víctor Andrey Bogantes Sánchez Ingeniero Civil [email protected]
1. RESUMEN
En esta investigación realizada en el año 2019 y publicada en el 2020, se estudió el sistema prefabricado de
columnas y baldosas con cargas uniformes ortogonales al plano de la pared. Se construyó una pared
prefabricada a escala natural conformada por dos paños de baldosas, viga solera y una cimentación de concreto.
Se aplicó carga al sistema mediante bolsas de aire impulsadas por una plataforma de empuje y pistones, de esta
forma se generó una presión uniforme en la pared.
El principal resultado de este trabajo es la comprobación experimental de que las columnas son el elemento
crítico de diseño del sistema prefabricado de columnas y baldosas. Además, se demostró que los requisitos de
resistencia de la norma INTE C131:2019 son adecuados para que el sistema resista cargas de sismo y viento.
2. INTRODUCCIÓN
En Costa Rica existe gran cantidad de infraestructura tipo Prefa (columnas y baldosas horizontales), la cual se
encuentra en todo el país. Según datos del Instituto Nacional de Estadística y Censos (INEC), para el censo de
población del año 2011 (el más reciente hasta el momento), un 11,7 % de las viviendas del país son construidas
con el sistema Prefa (141 829 viviendas en total). Aunque en las últimas décadas, los productores han
perfeccionado y modernizado la técnica de fabricación de estos elementos, esta no deja de ser un
procedimiento bastante artesanal para la gran mayoría de empresas que se dedican a esta actividad.
Con el objetivo de proveer seguridad y salvaguardar la vida humana, surge la necesidad de estudiar y normar
este sistema constructivo. En Costa Rica se comenzó a estudiar el sistema prefabricado de columnas y baldosas
en la década de 1980. Uno de los primeros trabajos realizados fue el de Jorge Calvo en 1987, cuyo tema de
estudio fue “Revisión experimental del sistema Prefa para paredes”. Calvo demostró que, aunque la restricción
a la rotación de las columnas en la base de estas depende del tipo de suelo, para las cargas que se manejan en
una vivienda, las fundaciones se pueden modelar como un empotramiento; resultado que ha sido ampliamente
utilizado en el diseño de la probeta experimental del presente trabajo. Posteriormente, en el 2018 Alonso
Valverde en su tesis de grado “Determinación experimental de la distribución de fuerzas en baldosas de concreto
en paredes prefabricadas”, explica el comportamiento de este sistema para cargas paralelas al plano, pero al
mismo tiempo hacer surgir la necesidad de estudiar el comportamiento y respuesta estructural del sistema ante
cargas ortogonales al plano.
El Código Sísmico de Costa Rica 2010 (Revisión 2014), dedica un apartado del capítulo 17 (Vivienda unifamiliar)
al detallado de este tipo de estructuras para cuando se utiliza el método simplificado de diseño. Por su parte,
2
INTECO desarrolló la norma INTE C131-2019, en la establece los parámetros de resistencia mínimos para
columnas y baldosas prefabricadas. La resistencia a la flexión mínima de las columnas es de 3000 Nm para
vivienda y 4000 Nm para estructura educativa; para las baldosas se requiere una resistencia mínima a la flexión
de 1000 Nm/m según INTE C131-2019. Estos parámetros han sido establecidos a partir de análisis teóricos y
resultados experimentales de las investigaciones previas a esta, en las cuales se ha estudiado ampliamente la
respuesta del sistema ante cargas paralelas al plano, más no han profundizado en la respuesta estructural del
sistema bajo la aplicación de cargas ortogonales al plano.
La presente investigación viene a ser el complemento de las investigaciones anteriores y pretende comprobar
experimentalmente que los valores de resistencia mínimos de la norma INTE C131:2019 son adecuados para
que el sistema sea seguro ante las cargas de viento y sismo perpendiculares al plano de la pared. Finalmente,
el trabajo realizado sienta un precedente en cuanto a montajes experimentales en probetas a escala natural.
Es la primera investigación registrada en Costa Rica que utiliza bolsas de aire en un modelo en escala real para
generar presiones uniformes ortogonales al plano de una pared. Con esto se abren las puertas para ampliar la
metodología experimental al estudio de muchos otros sistemas estructurales y con los materiales disponibles
en el medio nacional.
3. METODOLOGÍA
3.1. Fase teórica
Consistió en una revisión bibliográfica de trabajos anteriores relacionados con el sistema prefabricado y
montajes experimentales para pruebas de carga. Entre los trabajos de los que se obtuvieron los principales
aportes se encuentras los siguientes:
Jorge Calvo (1987) sienta las bases para el estudio experimental del sistema prefabricado de columnas y
baldosas. Demuestra que es posible simplificar el análisis de la base de la columna y suponerla como empotrada.
El trabajo de Valverde (2018), sentó las bases experimentales para la construcción de probetas experimentales
de paredes prefabricadas de columnas y baldosas a escala natural en el laboratorio. El sistema de fundación de
placa y pedestales de concreto fue adaptado de la investigación de Valverde.
De la investigación de Amrhein, J. & Lee, D. (1984) titulada “Design of Reinforced Mansory, Tall Slender Walls”
se obtuvo gran aporte en cuanto a la forma de aplicar cargas uniformemente distribuidas a una pared mediante
bolsas de aire. Estos investigadores realizaron pruebas con bolsas de aire en muros de mampostería para
estudiar, entre otras cosas, efectos de esbeltez.
La UTP de Panamá, realizó una investigación en el 2018 para estudiar el comportamiento del sistema
prefabricado con cargas puntuales ortogonales al plano de la pared. De este trabajo se obtuvo un gran aporte
para determinar las rigideces flexionantes experimentales (EI) en el rango elástico de una columna prefabricada.
3
3.2. Fase experimental
Esta etapa se desarrolló en paralelo con algunas actividades de la fase de análisis. Los resultados de los modelos
analíticos (fase de análisis) son utilizados para el diseño y construcción de la probeta experimental.
En esta etapa, primeramente, se caracterizaron los materiales prefabricados con los que se trabajó. Para esto
se utilizó el procedimiento de ensayo INTE C133:2017. Posteriormente, se diseñó y construyó una pared
prefabricada a escala natural. Finalmente, se realizó el ensayo con cargas perpendiculares al plano de la pared.
3.3. Fase de análisis
En esta etapa se elaboró el modelo analítico-teórico de la probeta experimental. Este modelo trata de predecir,
y explicar de manera teórica los resultados experimentales. Finalmente, se analizaron los resultados
experimentales y se compararon con el modelo analítico-teórico. Se redactaron las conclusiones y
recomendaciones de la investigación.
4. PROBETA EXPERIMENTAL
La probeta experimental está compuesta por una cimentación rígida de concreto anclada con pernos al piso
fuerte del laboratorio, una pared prefabricada de dos paños de baldosas, una viga solera de acero laminado en
frío, dos tubos de acero en voladizo que aportan rigidez lateral a la pared.
4.1. Caracterización de materiales
La viga solera consiste en un perfil C de 150 x 50 x 2,37 mm. Este perfil de acero cumple con lo establecido en
la tabla 17.6 del CSCR-10 (Rev-14) para una longitud máxima entre soportes laterales de 6,0 m.
Las baldosas se ensayaron a flexión de acuerdo con el procedimiento de ensayo de la norma INTE C133:2017.
Se determinó la resistencia máxima promedio a la flexión de una muestra de tres baldosas y se trabajó con este
como valor teórico de resistencia a la flexión. La resistencia a flexión promedio es de 1140 Nm/m, valor por
encima del mínimo establecido en INTE C131:2019 que es de 1000 Nm/m.
Las columnas utilizadas tienen una longitud de 3,0 m, son pretensadas con una fuerza de 70,6 kN aplicada en
un torón de 7 hilos; el concreto tiene resistencia nominal de 55 MPa. Se ensayaron tres columnas en flexión
según el procedimiento de INTE C133:2017. Adicionalmente se instalaron galgas extensiométricas en la base de
las columnas para medir la deformación unitaria en compresión del concreto (ver Figura 1). Las galgas utilizadas
fueron HBM 1-LY41-100/120 con resistencia nominal de 120 Ohmios y longitud nominal de medición de 100
mm. Con esto se obtuvo una curva promedio del comportamiento de las columnas que se presenta en la Figura
2.
4
Figura 1. Esquema de montaje experimental de ensayo de flexión de columnas Fuente: INTECO C133:2017 Editado por Bogantes, 2019
Al ser sometidas a flexión, las columnas presentan un comportamiento bilineal. Antes de que el concreto se
agriete poseen una rigidez K0 y después del agrietamiento, esta rigidez se reduce hasta Kcr. Estas rigideces
representan las pendientes de las rectas del gráfico de carga vs desplazamiento.
Figura 2. Curva de Carga vs desplazamiento vs momento flector vs deformación unitaria para columna nominal
Los ejes de carga y desplazamiento del gráfico de la Figura 2 corresponden a una columna en voladizo con una
carga puntual. Sin embargo, la relación de momento flector y deformación unitaria se puede aplicar a cualquier
condición de apoyos de la columna, siempre y cuando no haya carga axial en esta. Las ecuaciones que describen
la relación entre el momento flector que toma la columna (M) y la deformación unitaria del concreto en ese
punto (), están dada por:
Galga extensiométrica
A
P
0
400
800
1200
1600
2000
2400
2800
3200
3600
4000
4400
0 0,00104 0,00208 0,00312 0,00416 0,0052
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
2400
2600
2800
3000
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Mo
me
nto
(m
-N)
Deformación unitaria (mm/mm)
Ca
rga
(N
)
Desplazamiento (mm)
5
𝑀 =
{
8,40𝑥106 (
𝑚𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚
)휀 + 0 𝑚 ∙ 𝑁 , 0,00 𝑚𝑚
𝑚𝑚≤ 휀 ≤ 0,00025
𝑚𝑚
𝑚𝑚
7,95𝑥105(𝑚𝑁𝑚𝑚𝑚𝑚
)휀 + 1901 𝑚 ∙ 𝑁 , 0,00025𝑚𝑚
𝑚𝑚< 휀 ≤ 0,0024
𝑚𝑚
𝑚𝑚
3810 𝑚 ∙ 𝑁, 0,0024𝑚𝑚
𝑚𝑚< 휀
Ecuación (1)
En la Tabla 1 se resumen los principales parámetros mecánicos de la columna nominal, lo cuales se derivan del
gráfico de la Figura 2.
Tabla 1. Propiedades mecánicas para la columna prefabricada nominal
Momento de agrietamiento, Mcr
(kNm)
Momento máximo, MR
(kNm)
Rigidez no agrietada, k0
(kN/mm)*
Rigidez agrietada, kcr
(kN/mm)*
EI0 (kNmm2)
EIcr (kNmm2)
2,10 3,81 0,145 0,0117 1,98x108 1,59x107
*Corresponde a la rigidez lateral de un voladizo
4.2. Diseño geométrico y estructural
Se desea analizar una pared de 6 m de largo porque es la máxima distancia entre soportes laterales que se
acepta en el CSCR-10 (Rev-14) para utilizar el método de diseño simplificado de estructuras habitacionales
construidas con prefabricados, pero por razones de espacio y economía solo se puede construir una pared de
3 m. El primer paso y reto del diseño consiste en encontrar la forma de que una pared de dos paños de baldosas
(3 m), presente una respuesta estructural igual o similar a la de una pared de cuatro paños (6 m). El problema
radica en que, al construir solamente los dos paños centrales de la pared, se pierde el aporte de la viga solera
a la resistencia del sistema, ya que esta quedaría sin apoyos rígidos a tierra en los extremos. En la Figura 3 y
Figura 4 se presenta el esquema y condiciones de análisis de esta situación.
Figura 3. Esquema de análisis de la viga solera para una pared de cuatro paños de baldosas
6
Figura 4. Esquema de análisis de rigidez de la solera
Como se puede observar, para considerar el aporte de la solera a la resistencia del sistema, debe suministrarse
una rigidez lateral en los extremos para que la viga tome el cortante que tomaría en ese punto si se mantuviese
su continuidad. Este efecto se logra mediante un tubo de acero actuando en voladizo, cuya rigidez lateral sea
la rigidez que tendría la solera en esos puntos si fuera continua y con apoyos rígidos en los extremos.
También debería considerarse una rigidez rotacional en estos puntos para modelar la continuidad de momento
flector en la solera. Los cálculos teóricos, indican que esta rigidez solo genera una variación cercana al 4 % en
la carga que toman las columnas; este efecto aunado a la complejidad de suministrar una rigidez rotacional en
el laboratorio con la precisión que se requiere hace que se decida no considerar su aporte.
Para determinar el valor de la rigidez kr de la solera, se utiliza el método de rigidez semiautomático, el cual es
un método de análisis matricial de estructuras. En este caso particular, se utiliza este método con cargas
aplicadas en los grados de libertad. El método permite encontrar un vector de desplazamientos de la forma
rE=KE-1 RE, donde:
rE= vector de desplazamientos en los grados de libertad externos de la estructura.
KE-1= inverso de la matriz de rigidez de la estructura.
RE= vector de fuerzas externas aplicadas en los grados de libertad globales independientes de la estructura.
A continuación, se resume de manera muy breve, ya que no es el objetivo principal de la investigación, la
definición de los grados de libertad a considerar, así como el planteamiento y solución del sistema matricial.
7
Figura 5. Definición de grados de libertad y deformadas independientes correspondientes para el análisis de la solera con el método de rigidez semiautomático con cargas en los grados de libertad
Seguidamente se muestra la matriz de compatibilidad de deformaciones a, y el resultado final para el vector
de desplazamientos externos de en los grados de libertad rE.
. . .
Las unidades de los factores numéricos de las entradas impares del vector rE son [m3] y las de las entradas pares
son [m2]. En este caso interesa la rigidez de la solera en los grados de libertad identificados como r1 y r5 que por
simetría deben ser iguales.
Una vez realizado el análisis se determinó que la rigidez lateral de la solera kr en los puntos indicados de la
Figura 4, está dada por k𝑟 =EI𝑠𝑜𝑙
7,59 m3 , donde EI𝑠𝑜𝑙 es el producto del módulo de elasticidad de la solera y la
inercia en el eje fuerte de esta. Para proveer la rigidez lateral a la solera mediante tubos de acero en voladizo,
se necesita un perfil de acero con una inercia de Ireq=137 cm4. Se utilizó un tubo de acero de 100 x 100 x 2,37
8
mm, con una inercia de Ireal=142 cm4. Con esto se tiene un 3,6 % de diferencia entre la inercia requerida y la
inercia real.
Posteriormente se procedió a realizar el diseño estructural de la cimentación de concreto. Con los resultados
de resistencia de las baldosas y columnas se hizo una proyección teórica de la máxima presión que la pared
podría soportar antes de la falla. Con el objetivo de que la cimentación no falle durante el ensayo, se diseñó
para el doble de la presión teórica estimada de falla de la pared. El diseño ante los efectos de flexión y cortante
de la cimentación se realizó con base en lo establecido en el ACI 318S-14 y capítulo 8 del CSCR-10 (Rev-14).
Figura 6. Vista en planta de la placa de fundación (ubicación del refuerzo), cotas en cm
Figura 7. Vista lateral de la placa de fundación y pedestales (ubicación del refuerzo), cotas en cm
4.3. Construcción de la probeta experimental
Una vez terminado el diseño de la probeta, se procede con la construcción de esta. En la Figura 8 se presenta
un resumen cronológico del proceso constructivo, desde el armado del acero hasta el izaje y transporte de la
probeta al sitio del ensayo.
9
1: Armadura de acero y formaleteo 2: Colada de concreto 3: Desformaleteo
4: Colocación de baldosas 5: Pared finalizada 6: Transporte para montaje experimental
Figura 8. Resumen fotográfico del proceso de construcción de la probeta experimental
5. SISTEMA DE CARGA Y MONTAJE EXPERIMENTAL
La probeta experimental se ancla al piso fuerte mediante pernos. El diseño geométrico de la fundación permite
que los pernos de anclaje eviten el vuelco de la pared. Se colocan dos pedestales de reacción que, junto con los
pernos de anclaje de la fundación, restringen el movimiento lateral.
El sistema de carga lateral que se utiliza en la ejecución del ensayo se conforma por dos pistones hidráulicos
con servo-control colocados en paralelo, una plataforma de empuje y tres bolsas de aire. Los dos pistones se
controlan ambos con un mismo desplazamiento, estos mueven horizontalmente la plataforma de empuje que
a su vez presiona las bolsas de aire contra la pared y genera una presión uniforme en esta. En la Figura 9 se
ilustra el sistema de carga descrito.
La plataforma de empuje está compuesta por dos cerchas a las cuales se sueldan, en sentido perpendicular,
tubos de hierro negro de 50 x 50 x 1,80 mm. En estos tubos se apoya una lámina de hierro negro de 2,38 mm
de espesor para generar una superficie plana. En la Figura 9 se muestra el diseño de esta plataforma.
10
Vista en planta Vista lateral
Figura 9. Esquema de montaje experimental
Figura 10. Esquema de plataforma de empuje, cotas en cm
Finalmente, se culmina el proceso de montaje experimental con la colocación del sistema de adquisición de
datos. El sistema está conformado por galgas extensiométricas y transductores de desplazamiento de variación
lineal de voltaje (LVDT’s por sus siglas en inglés). Estos instrumentos permiten obtener un registro simultáneo
del desplazamiento lateral en puntos específicos y deformación unitaria del concreto en la base de las
columnas; al mismo tiempo se registra la carga aplicada por cada uno de los pistones. En la Figura 11 y Figura
12 se presenta con más detalle la ubicación de los dispositivos de adquisición de datos en la probeta
experimental.
11
Figura 11. Fotografía del sistema de adquisición de datos instalado
Figura 12. Esquema de ubicación de los LVDT’s y galgas extensiométricas
Previamente se determinó una curva que relaciona el momento flector con la deformación unitaria del concreto
para una columna nominal (Figura 2). De esta manera, al contar con galgas extensiométricas en la base de las
columnas, se logra conocer el momento flector que está tomando cada columna según la presión aplicada en
la pared.
12
La ubicación de LVDT’s en la cúspide y en la base de las columnas, permite conocer el desplazamiento relativo
de la parte superior con respecto a la base. Los LVDT’s colocados a media altura de las columnas y en el punto
medio de las baldosas centrales, permite conocer la deflexión relativa del centro de estas baldosas con respecto
a sus extremos.
La presión aplicada a la pared se determina dividiendo la fuerza total en los pistones entre el área de contacto
de las bolsas de aire con la pared que corresponde a 6 m2.
6. ENSAYO
El protocolo de carga utilizado en el ensayo se basa en la norma ASTM E72-15: “Métodos de prueba estándar
para realizar pruebas de resistencia de paneles para la construcción de edificios”. Esta norma presenta el
procedimiento para realizar ensayos de carga perpendicular al plano de una pared utilizando bolsas de aire.
Para esto, establece que la carga se debe aplicar en incrementos elegidos de manera que se obtenga una
cantidad de lecturas suficiente para determinar adecuadamente la curva de carga vs desplazamiento.
La norma sugiere que la carga se aplique con un sistema que consiste en una plataforma de reacción que se
coloca paralela al espécimen de prueba y se sujeta mediante pernos a vigas ubicadas en la cara exterior de la
pared. Entre la pared a ensayar y la plataforma de reacción se ubica la bolsa de aire, la cual debe tener un
manómetro para registrar las lecturas de presión. Los ciclos de carga se aplican mediante el inflado y desinflado
de las bolsas. Este es el método que utilizó Amrhein, J. & Lee, D.
Sin embargo, debido al tipo de bolsas de aire disponibles en el país, no es posible utilizar bolsas de los tamaños
requeridos que posean manómetros. Debido a esta limitación es que, alternativamente, se aplica la carga
mediante una plataforma impulsada con dos pistones con servo-control como se explicó anteriormente. En
total se aplicaron 10 incrementos de carga hasta aplicar una presión máxima de 3600 Pa en el sistema.
A continuación, en la Figura 13 se presenta un registro fotográfico de la ejecución del ensayo.
13
Figura 13. Fotografías de la ejecución del ensayo
7. RESULTADOS
7.1. Evaluación del daño cualitativa del daño
La columna central es el primer elemento en presentar daño, esta se agrietó al alcanzar una presión de 0,833
kPa. Posteriormente se agrietaron las dos columnas de los extremos. Las columnas de los extremos presentaron
agrietamiento visible al alcanzar una presión de 1,133 kPa.
No fue sino hasta alcanzar 2,40 kPa que se registró agrietamiento visible en las baldosas. El daño en las baldosas
se presentó solamente en la parte frontal de la pared, sección donde se encuentra la tensión en estos
elementos; en parte trasera no hubo agrietamiento ni aplastamiento del concreto.
La viga solera presenta deflexión en el centro del tramo con respecto a sus extremos. Al final del ensayo, esta
viga presenta también pandeo flexo-torsional debido a que la longitud sin arriostrar del ala en compresión es
grande y supera el límite Lb para este tipo de secciones. No se detectó pandeo local en este elemento.
En la Tabla 2, se puede consultar el registro de daños en los elementos prefabricados durante la ejecución del
ensayo.
14
Tabla 2. Registro de daño en la pared según presión aplicada
(*) Se retiran los LVDT’s porque estos llegan a su máxima capacidad de extensión
Figura 14. Registro de agrietamiento en el paso de carga No. 10
Paso Presión
(Pa) Columnas Baldosas
1 617 No hay daño visible en las columnas No hay daño visible
2 833 Agrietamiento en la base de la columna central C2 No hay daño visible
3 1133 Agrietamiento en la base de la columna derecha C3 No hay daño visible
4 1250 Agrietamiento en la base de la columna izquierda C1 No hay daño visible
5 1803Aumenta la profundidad de grietas en la base de las
columnasNo hay daño visible
6 1990Aumenta la profundidad de grietas en la base de las
columnasNo hay daño visible
7 2467Aumenta la profundidad de grietas en la base de las
columnasAgrietamiento en las baldosas
8 2860Aumenta la profundidad de grietas en la base de las
columnasAgrietamietno en las baldosas
9 (*) 3333 Grieta en el centro de la columna central C2 Agrietamietno en las baldosas
10 3600 Aplastamiento del concreto en la base de las columnas No se presentan más daños
Observaciones
15
7.2. Gráficos experimentales
7.2.1. Columnas
En las columnas se midió el desplazamiento en la cúspide y en el centro, ambos relativos a la base. En ambos
casos, las columnas de los extremos de la probeta experimental (C1 y C3) presentan menor desplazamiento que
la columna central, así se evidencia en la Figura 15. La columna central es la que tiene mayor área tributaria, el
doble que las columnas de los extremos (C1 y C3). Por lo tanto, también tendrá el doble de carga distribuida y
mayor desplazamiento en la cúspide, por lo que es la columna más crítica de las tres.
Figura 15. Gráfico de presión vs desplazamiento en la cúspide de las columnas
Uno de los puntos más importantes de esta investigación es determinar a qué demanda de momento flector
está sometida la base de las columnas y cuánta de esta flexión toman realmente según la presión aplicada.
A continuación, en la Figura 16 se presentan los datos experimentales para la deformación unitaria del concreto
en la base de la columna central. Posteriormente, se aplica la Ecuación 1 para traducir la deformación unitaria
del concreto a momento flector que toma la columna, y así se genera una relación entre la flexión en la base
de la columna y la carga distribuida en esta, que resulta de multiplicar la presión aplicada por el ancho tributario
de la columna (1,50 m) se muestra en la Figura 17.
0
750
1500
2250
3000
3750
4500
5250
6000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
Ca
rga
dis
trib
uid
ad
(N
/m)
Pre
sió
n (
Pa
)
Desplazamiento (mm)
Promedio C1 y C3
Columna Central
16
Figura 16. Gráfico de presión vs deformación unitaria en el concreto en la base de la columna central
Figura 17. Gráfico de momento flector que toma la columna central en la base vs la carga distribuida en la columna
7.2.2. Baldosas
En las baldosas se determina el momento flector en el centro de estas. El momento flector que se presenta en
la Figura 18, es una estimación utilizando la ecuación de una viga simplemente apoyada 𝑀 = 𝜔𝑙2/(8𝑏), donde
b es el ancho de la baldosa. La división entre b, se realiza porque según la norma INTE C131:2019 el momento
flector en la baldosas de cuantifica para un ancho unitario.
Después de 9,5 mm de desplazamiento los datos dejan de ser representativos. Esto se debe a que se alcanza la
máxima capacidad de los LVTD’s que realizan las mediciones de desplazamientos. Sin embargo, se determina
Presión = 4E+06x
0
750
1500
2250
3000
3750
4500
5250
6000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0,0000 0,0002 0,0004 0,0006 0,0008 0,0010 0,0012
Ca
rga
dis
trib
uid
a (
N/m
)
Pre
sió
n (
Pa
)
Deformación unitaria (mm/mm)
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 750 1500 2250 3000 3750 4500 5250 6000
Mo
me
nto
(m
N)
Carga distribuida (N/m)
17
una clara tendencia de los datos, por lo que se puede estimar la presión necesaria para alcanzar el momento
mínimo de resistencia establecido en la norma INTE C131:2019 para las baldosas.
Figura 18. Gráfico de carga vs desplazamiento relativo del centro de las baldosas
8. MODELOS ANALÍTICOS Y DISCUSIÓN
8.1. Análisis de la solera
Al cargar el sistema con una presión uniforme en las baldosas, estas transmiten la carga a las columnas. La
cúspide de las columnas de los extremos (C1 y C3) se apoya en el resorte de rigidez kr y produce un
desplazamiento 𝛿1 como se muestra en la Figura 19. La carga P es la reacción en la parte superior de la columna
central. En los extremos de la solera se generan las reacciones P/2 para equilibrar el sistema.
Figura 19. Comportamiento estructural de la solera
El desplazamiento de la cúspide de la columna central con respecto al de las columnas laterales, 𝛿2, está dado
por la siguiente ecuación.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Mo
me
nto
(m
N/m
)
Ca
rga
dis
trib
uid
a (
N/m
)
Desplazamiento en el centro de las baldosas (mm)
Experimental
Tendencia
18
𝛿2 =𝑃𝑙3
48 (𝐸𝐼)𝑠
Ecuación (2)
Donde,
𝑙: longitud de la solera
(𝐸𝐼)𝑠: producto del módulo de elasticidad de la solera y la inercia en el eje fuerte de esta.
8.2. Análisis de las columnas de los extremos
Si se toma 𝜔 como la carga distribuida que se aplica a lo largo de la columna central, las columnas de los
extremos tendrán una carga distribuida de 𝜔/2 en la cúspide de estas columnas se aplica una fuerza puntual
P/2 que es la reacción en los extremos de la solera. En ese mismo punto, pero en sentido contrario, aparece la
fuerza del resorte R. En la Figura 20 se ilustran los conceptos mencionados.
Figura 20. Comportamiento de las columnas de los extremos
La carga 𝜔/2 genera un desplazamiento 𝛿𝑎 en la punta superior de las columnas de los extremos. Este
desplazamiento está dado por la siguiente expresión:
𝛿𝑎 =(𝜔2)𝐿
4
8 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙
Ecuación (3)
La carga P/2 genera un desplazamiento 𝛿𝑏 en la cúspide de estas columnas.
𝛿𝑏 =𝑃𝐿3
2 ∙ 3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙
Ecuación (4)
Por otra parte, la fuerza del resorte produce un desplazamiento en el sentido contrario de magnitud 𝛿𝑐.
𝛿𝑐 =𝑅𝐿3
3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙=
𝐾𝑟𝛿1𝐿3
3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙
Ecuación (5)
Para las tres ecuaciones anteriores,
𝐿: longitud de las columnas
(𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙: producto del módulo de elasticidad de la columna y la inercia de esta
𝑅: fuerza en el resorte
19
𝐾𝑟: rigidez del resorte
El desplazamiento neto de la cúspide de las columnas de los extremos 𝛿1 que se ilustró en la Figura 19, está
dado por la suma vectorial de 𝛿𝑎 , 𝛿𝑏 𝑦 𝛿𝑐:
𝛿1 =𝜔𝐿4
2 ∙ 8 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙+
𝑃𝐿3
2 ∙ 3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙−
𝐾𝑟𝛿1𝐿3
2 ∙ 3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙
Ecuación (6)
La Ecuación (6) se puede simplificar de la siguiente manera:
𝛿1 =𝜔𝐿4
2 ∙ 8𝐴 +
𝑃𝐿3
2 ∙ 3𝐴
Ecuación (7)
Donde el parámetro A se calcula con la Ecuación (8):
𝐴 = (3
3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙 +𝐾𝑟𝐿
3
3
) Ecuación (8)
El desplazamiento total de la cúspide de la columna central 𝛿3 se calcula sumando los desplazamientos 𝛿1. y 𝛿2.
𝛿3 =𝜔𝐿4
2 ∙ 8𝐴 +
𝑃𝐿3
2 ∙ 3𝐴 +
𝑃𝑙3
48 (𝐸𝐼)𝑠𝑜𝑙
Ecuación (9)
8.3. Análisis de la columna central
El desplazamiento 𝛿3 también se puede determinar analizando la columna central. En esta columna actúa la
carga distribuida 𝜔 que genera un desplazamiento 𝛿𝑑 en la cúspide; también la fuerza P que produce un
desplazamiento 𝛿𝑒 en dirección contraria. En la Figura 21 se presentan gráficamente las cargas y
desplazamientos mencionados.
Figura 21. Cargas y desplazamientos en la columna central
𝛿𝑑 =𝜔𝐿4
8 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙
Ecuación (10)
20
𝛿𝑒 =𝑃𝐿3
3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙
Ecuación (11)
Finalmente, el desplazamiento total en la cúspide de la columna central se puede escribir también como se
presenta en la Ecuación (12).
𝛿3 = 𝛿𝑑 − 𝛿𝑒 =𝜔𝐿4
8 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙−
𝑃𝐿3
3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙
Ecuación (12)
Como se puede ver, la Ecuación (9) se puede igualar con la Ecuación (12) para finalmente, obtener la fuerza P
que actúa en la parte superior de la columna central en función de las rigideces flexionantes EI de las columnas
y kr.
𝜔𝐿4
2 ∙ 8𝐴 +
𝑃𝐿3
2 ∙ 3𝐴 +
𝑃𝑙3
48 (𝐸𝐼)𝑠𝑜𝑙=
𝜔𝐿4
8 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙−
𝑃𝐿3
3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙
Ecuación (13)
Realizando operaciones algebraicas se llega al siguiente resultado:
𝑃 = 𝜔𝐶
𝐵
Ecuación (14)
Donde los parámetros C y B dependen de A. El parámetro A depende también de kr. Por lo tanto, C/B es función
de kr, C/B=f(kr).
𝐶 =𝐿4
8 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙−𝐿4
16𝐴
Ecuación (15)
𝐵 =𝐿3
6𝐴 +
𝑙3
48 (𝐸𝐼)𝑠𝑜𝑙+
𝐿3
3 ∙ (𝐸𝐼)𝑐𝑜𝑙
Ecuación (16)
Finalmente, la columna central de la probeta experimental tiene un diagrama de momentos como del que se
muestra a continuación en la Figura 22. El momento máximo M, se encuentra en la base del empotramiento y
es función de P que a la vez es función de kr, por lo tanto, M=f(kr).
Figura 22. Diagrama de momentos para la columna central
21
𝑀 =𝜔𝐿2
2− 𝑃𝐿 = 𝜔(
𝐿2
2−𝐶
𝐵𝐿)
Ecuación (17)
Antes de que ocurra el agrietamiento se utiliza el EI0 de la columna. Una vez que se alcance el agrietamiento de
la columna se utiliza la inercia agrietada de esta EIcr (ver Tabla 1). En la
Tabla 3 y Figura 23 se presentan los resultados numéricos y gráficos para el modelo analítico de la columna
central.
Tabla 3. Resultados teóricos del modelo analítico
Figura 23. Comparación de resultado experimental vs modelo analítico para columna central
El modelo analítico se ajusta al modelo experimental hasta que se alcanza el agrietamiento de la columna
central. Después de esto, la columna toma menos flexión de lo que el modelo analítico predice. La columna
central se agrieta primero que las columnas de los extremos, por lo que se hace más flexible y la solera comienza
a redistribuir la carga en proporción a la rigidez relativa de estas.
EIcol A B C w P M d1 d2 d3
(Nm2) (1/(Nm2)) (m/N) (m) (N/m) (N) (m-N) (cm) (cm) (cm)
198000 3,39E-06 3,65E-05 1,64E-05 1049 471 2100 1,28 0,064 1,35 Ver *
15900 8,84E-06 3,52E-04 2,86E-04 1558 1264 1709 6,27 0,173 6,44 Ver **
Total 2607 1735 3809 7,55 0,24 7,79
Presión (Pa) 1738
* Cálculos realizados hasta que la columna alcanza el momento de agrietamiento M cr
** Cálculos realizados después de que la columna se agrieta hasta que alcanza el momento máximo M máx
Obsevación
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 750 1500 2250 3000 3750 4500 5250 6000
Mo
men
to (
m N
)
Carga distribuida (N/m)
Experimental
Modelo analítico
22
Por otra parte, se genera una trabazón entre las columnas y baldosas producto del aumento de la curvatura de
las primeras. Cuando las columnas se curvan, estas tienen que flexionar también a las baldosas, las cuales
también poseen una rigidez a la flexión que no se contempla en el modelo analítico.
8.4. Análisis de las baldosas
Las baldosas se estudiaron como losas en una dirección o vigas simplemente apoyadas en las columnas. Al
realizar los cálculos con el valor de momento resistente máximo de las baldosas (1140 Nm/m), se obtiene que
la presión máxima que estas pueden resistir antes de la falla es de 4053 Pa.
Esta presión es mucho mayor que la que resisten las columnas, esto indica que el elemento que rige el diseño
es la columna.
8.5. Carga de sismo
El coeficiente sísmico depende de parámetros como la aceleración efectiva, el factor de importancia de la
estructura, factor espectral dinámico y la sobre resistencia de esta. Para el análisis se utilizaron los parámetros
que dan como resultado el coeficiente sísmico más alto posible para este tipo de estructuras según el CSCR-10
(Rev 14). En la Tabla 4 se presenta la determinación del coeficiente sísmico.
Tabla 4. Parámetros sísmicos utilizados
Parámetro Valor
Zona sísmica IV
Tipo de suelo S3
Aceleración efectiva (aef) 0,44
Sobreresistencia (SR) 1,20*
Factor de importancia (I) 1,00
Ductilidad global () 1,50
FED 1,77
Coeficiente sísmico (Cs) 0,65
*Aunque el sistema no se comporta como 100 % un voladizo, como criterio conservador, se utiliza la sobreresistencia de un
voladizo, ya que así se obtiene un coeficiente sísmico mayor.
La pared cuenta con un peso de 8500 N (tres columnas y diez baldosas) y un área de 7,50 m2. Con lo cual,
utilizando un coeficiente sísmico de 0,65 se estima una presión debida a sismo de 737 Pa, esto da una carga
uniforme en la columna central de 1106 N/m. Esta carga es menor que la carga de agrietamiento de la columna
que es de 1049 N/m según se indicó en la Tabla 3.
8.6. Cargas de viento
Para la determinación de cargas de viento se trabajó con un documento en calidad de borrador del Código de
Viento de Costa Rica que aún no ha sido publicado, y fue facilitado solamente para efectos de índole académico,
23
por lo que los resultados aquí presentados podrían estar sometidos a modificaciones una vez que se publique
el documento oficial del Código de Viento de Costa Rica.
Se tomaron los parámetros que generan la condición más crítica que podría presentarse. A continuación, en la
Tabla 5 se muestran los valores mencionados.
Al igual que en el sismo, la presión debida a la acción del viento no es suficiente para alcanzar el agrietamiento
de las columnas. Esta presión por viento de 647 Pa genera una carga distribuida en la columna de 971 N/m, que
está por debajo de los 1049 N/m.
Tabla 5. Determinación de la presión de viento
Parámetro Presión
externa
Presión
interna
Zona de eólica V V
Velocidad básica de viento Vb (km/h) 140 140
Presión básica de viento
qb
(kgf/m2) 98 98
Coeficiente de exposición Ce 0,90 1
Coeficiente de recurrencia Cr 1,00 1,00
Coeficiente topográfico Ct 1,00 1,00
Coeficiente de
direcciionalidad Cd 0,85 0,85
Presión de viento
q
(kgf/m2) 74,9 83,2
q (Pa) 735 816
Coeficiente de presión
externa Cf 0,68 N/A
Coeficiente de presión
interna Cfi N/A -0,18
Presión neta de diseño
p
(kgf/m2) 65,9
p (Pa) 647
8.7. Influencia de la rigidez kr
Si se realizan los mismos cálculos de la
Tabla 3, pero variando la rigidez Kr (análisis de sensibilidad), se obtiene la solución gráfica de las ecuaciones
derivadas. A continuación, en la Figura 24 se analiza cómo influye esta rigidez en el desplazamiento de la
columna central.
24
Si Kr=0, el sistema se comporta como un voladizo y tiene un desplazamiento muy grande en la cúspide de la
columna central. Pero cuando Kr tiende a infinito, el desplazamiento tiende a un valor constante y muy
pequeño, que es el desplazamiento 𝛿2 que se define en la Figura 19. En este caso el sistema se comporta como
si tuviera un apoyo simple en la parte superior de las columnas.
El triángulo de color amarillo representa la probeta experimental con la rigidez kr=56009 N/m que se suministra
por medio de los tubos de acero. El desplazamiento máximo esperado para esta condición es de 7,8 cm
aproximadamente.
Cuando se calculó la rigidez Kr requerida por medio del método de rigidez, se despreció la rigidez rotacional. Si
se tomara en cuenta esta rigidez rotacional, el desplazamiento en la columna central se vería limitado en 0,7
cm debido a la acción del momento flector. Con esto se tendría un 𝛿3=7,1 cm en vez de 7,8 cm. En la Figura 24
se representa este punto con un cuadrado de color rojo. Una forma de delimitar este desplazamiento sería
aumentar la rigidez suministrada por los tubos en lugar se proveer una rigidez rotacional a la solera, pero para
esto se es necesario un valor de Kr=68000 N/m, es decir, aumentar la rigidez en un 21 %.
Figura 24. Variación del desplazamiento 𝜹𝟑 con la rigidez kr de la solera
En la Figura 25 se presenta cómo influye la rigidez Kr en la capacidad de la pared para resistir presión
perpendicular a su plano.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
De
spla
za
mie
nto
δ3
(cm
)
Rigidez kr (kN/m)
Tendencia
kr suministrada
kr requerida
25
Figura 25. Variación de la presión que resiste la pared con la rigidez kr de la solera
Nuevamente nótese que, si la rigidez es 0, el sistema posee una capacidad baja (actúa como voladizo); pero
cuando la rigidez tiende a infinito, la capacidad aumenta hasta un valor constante.
El triángulo amarillo representa la probeta experimental. El cuadrado rojo representa el comportamiento que
se tendría si se provee una rigidez Kr que limite el desplazamiento 𝛿3 a 7,1 cm, para tomar en cuenta la rigidez
rotacional en la solera. Con esto, la pared podría resistir 1800 Pa (según el modelo analítico), es decir, un
aumento de 3,3 % en la capacidad versus un 21 % que habría que aumentar la rigidez de los tubos en voladizo.
Para suministrar la rigidez Kr se usan tubos de acero actuando como voladizos. Por lo tanto, se debe trabajar
con las secciones que hay disponibles en el mercado. El siguiente tubo con mayor inercia en el mercado
nacional, posee I=181 cm4, con lo que se obtendría Kr=71500 N/m la cual excede a la rigidez lateral requerida
para delimitar el desplazamiento debido a la flexión. Si sobrepasa la rigidez requerida, la probeta tendrá más
capacidad de la que debería tener. Pero si se suministra una rigidez ligeramente menor, como se hizo en este
caso, la pared tendrá una capacidad 3,3 % más baja de la que debería tener, lo cual representa una condición
conservadora. Esta es la razón por la que se desprecia la rigidez rotacional en la solera.
9. CONCLUSIONES
• Los requisitos de resistencia mínimos de la norma INTE C131:2019, son adecuados para que el sistema
prefabricado de columnas y baldosas resista cargas uniformemente distribuidas perpendiculares al
plano de la pared debidas a la acción de sismo o viento.
• El elemento crítico de diseño para cargas perpendiculares al plano de la pared, son las columnas. Estas
son las primeras en presentar daños considerables, mientras que las baldosas mantienen su integridad
estructural.
0
250
500
750
1000
1250
1500
1750
2000
2250
2500
2750
3000
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400
Pre
sió
n
(Pa
)
Rigidez kr (kN/m)
Tendencia
kr suministrada
kr requerida
26
• Las cargas de sismo y viento actuando fuera del plano a las que puede estar expuesta una vivienda tipo
Prefa, no son suficientes para producir el agrietamiento de las columnas ni daño en las baldosas.
• Para cargas uniformemente distribuidas fuera del plano, antes de que las columnas se agrieten, el
sistema tipo Prefa presenta un comportamiento que se alinea muy bien con los modelos teóricos.
Después del agrietamiento de las columnas, el sistema ofrece una sobre resistencia producto de la
redistribución de carga que realiza la solera, del entrabamiento entre baldosas y columnas y de la
sobreresistencia de los materiales.
• Tomando en cuenta los resultados obtenidos por Valverde (2018) y los presentados en este trabajo, se
puede concluir que no es necesario tener ductilidad en las baldosas siempre que se garantice una
resistencia a la flexión mayor o igual que 1000 Nm/m según INTE C131:2019. Esto se debe a que la falla
por resistencia se presentará primero en la columna, por lo tanto, este debe ser el elemento dúctil del
sistema.
• Finalmente, con el gráfico de la Figura 25 se prueba que para el diseño fuera del plano de estructuras
habitacionales, las columnas del sistema Prefa no se comportan como simplemente apoyadas en la
parte superior, pero tampoco es preciso suponerlas como un voladizo. Se demuestra además que la
solera, modelada como un resorte con rigidez kr, puede aumentar la capacidad en un 50 %
aproximadamente, con respecto a un sistema en voladizo (sin viga solera), según se evidencia en el
gráfico de la Figura 25. Lo cual corrobora lo planteado ya por Calvo en su trabajo quien textualmente
concluyó: “…la solera efectivamente contribuye estructuralmente a resistir las cargas laterales. Además,
se observó que la influencia de la solera es directamente proporcional a la carga externa aplicada”
(Calvo, 1987).
10. RECOMENDACIONES
10.1. Recomendaciones para el análisis del sistema prefabricado de columnas y baldosas
• Para paredes de 6 m o menos de luz entre apoyos, se puede analizar las columnas como un
empotramiento en la base con un resorte con rigidez kr en la cúspide para considerar el aporte de la
solera fuera del plano. Esta rigidez se puede determinar aplicando el procedimiento del método de
rigidez semiautomático, con modelos computacionales, o bien se puede modelar todo el sistema en un
software de análisis estructural. El valor de k0 se puede tomar como 92,6 N/mm (rigidez elástica mínima
establecida en la norma INTE C131:2019). Este análisis se hace sin considerar lo que sucede después
del agrietamiento de las columnas porque las demandas por sismo y viento no son suficientes para
llegar a esta condición.
27
• En el caso de tapias, las columnas se deben modelar como voladizos. La rigidez kr de la solera que se
modela como un resorte en la cúspide de la columna, solo aplica cuando existen paredes
perpendiculares a la que se está analizando, o contrafuertes o algún elemento cuya rigidez sea muy alta
y pueda modelarse como un apoyo lateral rígido para la solera. Además, la rigiez kr disminuye con la luz
libre de la solera por lo que, para las tapias, no es conveniente contemplar este aporte, a menos que se
demuestre que posee apoyos laterales rígidos con separaciones menores o iguales a 6 m.
10.2. Recomendaciones normativas
• Incluir un inciso en el Código Sísmico de Costa Rica donde se sugiera, para la aplicación del método de
diseño simplificado de viviendas tipo Prefa (baldosas horizontales y columnas), que estos elementos
cumplan con los requisitos de resistencia mínimos establecidos en la norma INTE C131:2019. Se ha
demostrado experimentalmente que estos requisitos de resistencia son adecuados para que el sistema
resista las cargas de sismo y viento tanto en sentido paralelo al plano como perpendicular al plano.
10.3. Recomendaciones para futuras investigaciones
• Realizar un análisis teórico, utilizando el modelo analítico aquí presentado, en el que se incluya el efecto
de cargas de sismo y viento que actúan en el techo de una vivienda.
• Analizar experimentalmente el comportamiento en el plano y fuera del plano de un sistema con solera
de madera. Prestar especial atención a la unión entre la columna y la solera.
• Expandir el montaje y metodología experimental desarrollada en esta investigación para estudiar
paredes de otros materiales, como concreto y mampostería, con cargas uniformes fuera del plano.
11. FUENTES DE CONSULTA
Amrhein, J. & Lee, D. (1984). Design or Reinforced Masonry, Tall Slender Walls. Wertern States Clay Products
Association. San Francisco, California.
ASTM International. (2015). ASTM E72-15: Standard Test Methods of Conducting Strength Tests of Panels for
Building. American Society for Testing and Materials, West Conshohocken, PA.
Calvo, J. (1987). Revisión experimental del sistema Prefa para paredes. Proyecto de graduación para optar por
el grado de Licenciatura en Ingeniería Civil, Escuela de Ingeniería Civil, Universidad de Costa Rica, San
José, Costa Rica.
Comisión Permanente de Estudio y Revisión del Código Sísmico de Costa Rica. (s.f.). Lineamientos para cargas
de diseño por viento. Documento en calidad de borrador.
28
Colegio Federado de Ingenieros y Arquitectos de Costa Rica. (2014). Código Sísmico de Costa Rica 2010 (Revisión
2014). Cartago: Editorial Tecnológica de Costa Rica.
INTECO. (2019). Elementos prefabricados de concreto para la construcción de viviendas unifamiliares e
infraestructura educativa de un nivel mediante el sistema de baldosas horizontales y columnas.
Requisitos. INTE C131:2019. San José: INTECO.
Instituto Nacional de Estadística y Censos (INEC). (2011). Censo 2011. Viviendas individuales ocupadas por
material predominante en las paredes exteriores, según provincia y tipo de vivienda individual ocupada
[Versión electrónica]. Extraído el 31/07/2018 de http://www.inec.go.cr/vivienda
Mayorga, B. (2017, agosto). Introducción al nuevo Capítulo de Viento del CSCR. IV Seminario de Ingeniería
Estructural y Sísmica. San José, Costa Rica.
Universidad Tecnológica de Panamá (UTP). (2018). Estudio experimental al sistema alternativo de construcción
“Sistema modular de baldosas y columnas IDS”. Informe de Laboratorio, Laboratorio de Estructuras,
Centro Experimental de Ingeniería, Panamá.
Valverde, A. (2018). Determinación Experimental de la distribución de fuerzas en baldosas de concreto en
paredes prefabricadas. Proyecto de graduación para optar por el grado de Licenciatura en Ingeniería Civil,
Escuela de Ingeniería Civil, Universidad de Costa Rica, San José, Costa Rica.
VillalobosF., & Bogantes Sánchez V. (2021). Evaluación experimental del comportamiento de elementos
prefabricados de concreto (baldosas horizontales y columnas), bajo la aplicación de cargas
perpendiculares al plano de la pared. Métodos Y Materiales, 11, 1-9.
https://doi.org/10.15517/mym.v11i0.40373