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Evaluación de Proyectos de Capital deRiesgo

Portafolios Eficientes y Tangentes con N activos

Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra

Departamento de Ingenierı́a FinancieraITESO

Marzo de 2013

Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo

Portafolios Eficientes con Activos Riesgosos

I Problema 1: Encontrar el portafolio x que tiene el máximorendimiento esperado para un nivel de riesgo dado medido porla varianza del portafolio

I maxxA,xB ,xCµp,x = x′µ sujeto a

I σ2p,x = x ′∑

x = riesgo establecidoI x ′1 = 1I Problema 2: Encontrar el portafolio x que tenga el riesgo más

pequeño y medido por la varianza para un nivel establecido derendimiento esperado.

I minxA,xB ,xCσ2p,x = x ′

∑x sujeto a

I µp,x = x ′µ = rendimiento establecidoI x ′1 = 1I En la práctica el problema 2 usualmente se resuelve variando el

rendimiento establecido entre un rango dado.


Solución analı́tica usando algebra matricial

I La función de Lagrange asociada al problema 2 es la siguiente:I L(x , λ1, λ2) = x ′

∑x + λ1(x ′µ− µp,0) + λ2(x ′1− 1)

I Las derivadas parciales de primer orden quedan como:I 0 = ∂L(x , λ1, λ2)/∂x = 2

∑x + λ1µ+ λ21

I 0 = ∂L(x , λ1, λ2)/∂λ1 = x ′µ− µp,0I 0 = ∂L(x , λ1, λ2)/∂λ2 = x ′1− 1I Este sistema de ecuaciones tiene 5 variables desconocidas :

xA, xB, xC , λ1, λ2


Continuación

I

2∑ µ 1µ′ 0 01′ 0 0

xλ1λ2

= 0µp,0

1

I Esto puede ser reescrito como:I Ax ∗ zx = boI La solución para zx es entoncesI zx = A−1x ∗ b0I Los primeros 3 elementos de zx son los pesos del portafolio x

con una tasa esperada de µp,x = µp,0


Representación GráficaI Gráficamente se tiene los siguiente:


Ejemplo

I Encontrar el pportafolio eficiente con el mismo rendimientoesperado de Microsof y Starbucks.

I Para Microsof, debemos resolver:I minxA,xB ,xCσ

2p,x = x ′

∑x sujeto a

I µp,x = x ′µ = 0.0427I x ′1 = 1I Para Starbucks, debemos resolver:I minxA,xB ,xCσ

2p,x = x ′

∑x sujeto a

I µp,x = x ′µ = 0.0.0285I x ′1 = 1


Solución

I Usando algebra matricial, obtenemos:

I x =

xmxnxs

= 0.8275−0.0908

0.2633

I y =

ymynys

= 0.51940.2732

0.2075

I Además:I µp,x = x ′µ = 0.0427 y µp,y = y ′µ = 0.0285I σp,x = (x ′

∑x)1/2 = 0.09166

I σp,y = (y ′∑

y)1/2 = 0.07355I σx,y = 0.005914, ρx,y = 0.8772


Cálculo de la frontera del portafolio

I Resultado: la frontera de un portafolio puede ser representadacomo una combinación convexa de dos cualquiera protafoliosfrontera.Si x es un portafolio frontera que resuelve:

I minxσ2p,x = x ′∑

x sujeto aI µp,x = x ′µ = µp.0I x ′1 = 1I Sea y 6= x otro portafolio frontera que resuleve:I minyσ2p,x = y ′

∑y sujeto a

I µp,y = y ′µ = µp.1I y ′1 = 1


Continuación de Cálculo de la frontera del portafolio

I Sea α cualquier constante. Entonces el portafolio:I z = α ∗ x + (1− α) ∗ yI es un portafolio frontera con las siguientes caracterı́sticas:I µp,z = z ′µ = α ∗ µp,x + (1− α) ∗ µp,yI σ2p,z = z ′

∑z = α2σ2p,x + (1− α)2σ2p,y + 2α(1− α)σx,y

I σx,y = cov(Rp,x ,Rp,y ) = x ′∑

y


Ejemplo 1I Calcula el portafolio eficiente como una combinación convexa de

un portafolio eficiente con la misma media de Microsof y otroportafolio eficiente con la misma media de Starbucks.

I Sea x que denota el portafolio eficiente con media de Microsoft yy el portafolio eficiente con media de Starbucks. Sea α = 0.5Tenemos entonces:


Continuación del Ejemplo 1I La media de este portafolio está dado por:

I La varianza es


Ejemplo 2

I Encontrar el portafolio eficiente con rendimiento esperado de0.05 y que provenga de los portafolios anteriores.

I 0.05 = µp,z = α ∗ µp,x + (1− α) ∗ µp,yI α = (0.05− µp,y )/(µp,x − µp,y ) =

(0.05− 0.0285)/(0.0427− 0.0285) = 1.514

I z = 1.5114

0.8275−0.09080.2633

− 0.514 0.51940.2732

0.2075

= 0.9858−0.27780.2920


Estrategia para delimitar la Frontera

I Define el portafolio global de minima varianza = primer portafoliofrontera

I minmσ2p,m = m′∑

m sujeto a m′1 = 1I Calcula µp,m = m′µI Encuentra el conjunto i que tiene el rendimiento esperado más

alto. Define a µp,0 = maxµ y resuelve:I minmσ2p,m = m′

∑m sujeto a:

I µp,x = x ′µ = µp,oI x ′1 = 1


Continuación de la Estrategia

I Considera un intervalo de valores α y calculaI z = α ∗m + (1− α) ∗ xI µp,z = α ∗ µp,m + (1− α)µp,xI σ2p,z = α

2σ2p,m + (1− α)2σ2p,x + 2α(1− α)σm,xI σm,x = m′

∑x

I Grafica µp,z contra σp,z


Encontrando el Portafolio Tangente

I El portafolio tangente t es el portafolio de activos con riesgo quemaximiza la razón Sharpe:

I maxtRazón Sharpe =µp,t−rfσp,t

I En notación matricial se tiene:I maxtRazón Sharpe = t

′µ−rf(t′Σt)1/2

I Sujeto a t ′1 = 1


Solución Analı́tica usando algebra matricial

I La ecuación de Lagrange para este problema es:I L(t , λ) = (t ′µ− rf )(t ′

∑t)−1/2 + λ ∗ (t ′1− 1)

I Las condiciones de primer orden quedan como:I 0 = ∂L(t , λ)/∂t = µ(t ′

∑t)−1/2 − (t ′µ− rf )(t ′

∑t)−3/2

∑t + λ ∗ 1

I 0 = ∂L(t , λ)/∂λ = t ′1− 1I Llegando a la siguiente solución para t:

I t =∑−1(µ−rf∗1)

1′∑−1(µ−rf∗1)


Resultados Importantes

I Si la tasa libre de riesgo rf es menor que la tasa de rendimientoesperada sobre el portafolio global de mı́nima varianza µminentonces el portafolio tangente tiene una razón Sharpe positiva.

I Si la tasa libre de riesgo rf es igual que la tasa de rendimientoesperada sobre el portafolio global de mı́nima varianza µminentonces el portafolio tangente no está definido.

I Si la tasa libre de riesgo rf es mayor que la tasa de rendimientoesperada sobre el portafolio global de mı́nima varianza µminentonces el portafolio tangente tiene una razón Sharpe negativa.


Teorema de Separación de Fondos de inversión

I Portafolios eficientes de activos sin riesgo y activos con riesgoson combinaciones de dos portafolios:

I Activo sin RiesgoI El portafolio TangenteI Entonces el portafolio eficiente de esta combinación

está definido por:I xt = peso correspondiente al portafolio tangente tI xf = peso correspondiente al Activo sin riesgoI xt + xf = 1⇒ xf = 1− xtI µep = rf + xt (µp,t − rf ) ,µp,t = t ′µI σep = xt ∗ σp,t , σp,t = (t ′

∑t)1/2


Resultados Importantes

I Los pesos xt y xf son determinados por las prefencias al riesgodel inversionista.

I Inversionistas adversos al riesgo van a mantener la mayor parteen activos sin riesgo xt ≈ 0

I Inversionistas tolerantes al riesgo mantendrán la mayor parte enel portafolio tangente xt ≈ 1

I Si la razón Sharpe para el portafolio tangente es negativaentonces el portafolio eficiente involucra posiciones cortas en elportafolio tangente.


Ejemplo 1

I Encontrar el portafolio eficiente con riesgo determinado de 0.02y que provenga de los portafolios anteriores.

I 0.02 = σep = xt (0.1116)⇒ xt = 0.1792I xf = 1− xt = 0.8208I µep = rf + xt (µp,t − rf ) = 0.005 + (0.1116)(0.05189− 0.005) =

0.0134I σep = xtσp,t = (0.1792)(0.1116) = 0.02


Ejemplo 2

I Encontrar el portafolio eficiente con un rendimiento esperadodeterminado de 0.07 y que provenga de los portafoliosanteriores.

I 0.07 = µep = rf +xt (µp,t−rf )⇒ xt = 0.07−rfµp,t−rf =0.07−0.005

0.05189−0.005 = 1.386

I σep = xtσp,t = (1.386)(0.1116) = 0.1547


El VaR en Portafolios

I Sea x = (x1, x2, ..., xn) que denota un vector de pesos para unportafolio. El riesgo del Portafolio será medido por lavar(Rp,x = x ′Σx). Alternativamente el riesgo del portafoliopuede ser medido usando el Valor en Riesgo (VaR):

I VaRα = MqRαI M = inversión inicialI qRα = 100 ∗ α% cuantil de los rendimientos esperadosI α = Probabilidad de pérdidaI Si los rendimientos tienen distribución normal, entonces:I qα = µp,x + σp,xqZαI µp,x = x ′µI σp,x = (x ′Σx)1/2I qZα = 100 ∗ α% de la N(0,1)


Ejemplo 1

I Usa el concepto de VaR para evaluar un portafolio eficiente: Seinvierte en 3 activos riesgosos (Microsoft, Starbucks yNordstrom) y un activo sin riesgo. Considera que rf = 0.005

I Determina el portafolio eficiente que tiene el mismo rendimientoesperado que Starbucks.

I Compara el Var0.05 para Starbucks y el portafolio eficiente conuna base de 100,000 de inversión.


Solución Ejemplo pregunta 1

I µst = 0.0285I µep = rf + xt (µp,t − r − f )I rf = 0.005 µp,t = t ′µ = 0.05186 σp,t = 0.111I Resolviendo:I 0.0285 = 0.005 + xt (0.05186− 0.005)I xt = 0.501 xf = 1− 0.501 = 0.499I xf = 1− xt = 0.8208I µep = rf +xt (µp,t)−rf = 0.005+ (0.501)(0.05189−0.005) = 0.0285I σep = xtσp,t = (0.501)(0.111) = 0.057


Solución Ejemplo parte 2

I = µSB + σSB ∗ (−1.645)I = 0.0285 + (0.141)(−1.645) = −0.203I qe.05 = q

S.05Bµ

ep + σ

ep ∗ (−1.645)

I = 0.0285 + (.057)(−1.645) = −0.063I VaRS0.05B = 100,000 ∗ qS.05B = 100,000 ∗ (−0.203) = −20,300I VaRe0.05 = 100,000 ∗ qe.05 = 100,000 ∗ (−0.063) = −6,300


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