estudio del sistema mediante análisis...

Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico

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Capitulo 4

Estudio del sistema

mediante análisis numérico

Hasta el momento hemos realizado un estudio analítico del sistema linealizado

para valores pequeños de los desplazamientos respecto de la posición vertical,

obteniendo a partir de aquí la función que describe la curva que delimita las primeras

regiones de estabilidad e inestabilidad para el comportamiento de nuestro sistema.

En este capítulo, nuestro objetivo será obtener la forma real de dicha curva para

cualquier valor de los parámetros que gobiernan la ecuación de movimiento

adimensionalizada, determinando nuevamente las primeras zonas de estabilidad y

analizando el comportamiento del sistema conforme variamos sus parámetros.

Para ello, realizaremos un estudio del sistema mediante análisis numérico, que es

la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de

números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos

aplicados a procesos del mundo real, y del cual hablaremos más detenidamente en

apartados posteriores.

Tal y como hemos mencionado en otra ocasión, para llevar a cabo esta tarea,

haremos uso del programa Matlab, el cual nos facilitará el proceso de análisis numérico,

proporcionándonos así una gran precisión y una buena presentación en los resultados

obtenidos, y acerca del cual, también nos extenderemos mas profundamente sobre su

funcionamiento y bases matemáticas, procedimientos, formulaciones,… a continuación.

Por último, una vez hayamos determinado los resultados del estudio del sistema

mediante el análisis numérico, procederemos a una discusión de los mismos, analizando

los cambios en el comportamiento del sistema conforme realizamos variaciones en los

parámetros que gobiernan la ecuación de movimiento, así como una comparación de

estos resultados con los obtenidos mediante el calculo analítico.


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4.1 Introducción al análisis numérico

El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del

todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de

describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas

matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión

determinada.

En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos

puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de

pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de

métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los

ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente

complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones

matemáticas simples.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje

necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de

expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o

cálculo en procesos más sencillos empleando números.

4.1.1 Aplicaciones

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como

solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos"

(manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración,

etc...) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso

frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la

necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe

recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino

intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que

no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente

iguales.

Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el

desarrollo de los ordenadores. El aumento brutal de la potencia de cálculo ha convertido

en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.

4.1.2 Tipos de problemas que abarca

Podemos clasificar los problemas que abarca según dos disciplinas: atendiendo a

su dimensión y atendiendo a su naturaleza o motivación.

Clasificación atendiendo a su dimensión

Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:


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Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito

de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas

de valores propios, etc...

Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento

intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como

integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales,

interpolación, etc...

Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación

Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres

categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del

cálculo numérico:

1) Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.

2) Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por

complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la

práctica.

3) Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos

que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva;

mayor que la necesaria para un método numérico.

4.1.3 Integración numérica

En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de

algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el

término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones

diferenciales.

El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución

aproximada a la integral definida:

Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una

ecuación diferencial ordinaria, como sigue:

Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para

ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser

aplicados al problema reformulado.


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Razones para la integración numérica

Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica.

El integrando f puede ser conocido sólo en ciertos puntos, como se obtiene al

hacer un muestreo. Algunos sistemas empotrados y otras aplicaciones

informáticas pueden necesitar de la integración numérica por esta razón.

Puede que se conozca una fórmula para el integrando, pero ser difícil o

imposible encontrar su primitiva. Un ejemplo de un tal integrando es .

Puede ser posible encontrar una primitiva analíticamente, pero puede ser más

sencillo calcular una aproximación numérica que hallar su primitiva. Este puede

ser el caso si la primitiva es dada como una serie infinita o un producto infinito,

o si su evaluación requiere de alguna función especial que no está disponible.

Existen numerosos métodos para la integración numérica como son regla del

punto medio o del rectángulo, la regla del trapecio, método de Euler, método de Runge-

Kutta,…pero no es el objeto de este proyecto profundizar en ellos y estudiarlos a todos,

tan solo haremos una breve explicación, en el siguiente apartado del método que

usaremos para la resolución de nuestra ecuación diferencial del sistema mediante el

programa Matlab.


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4.2 Bases matemáticas del análisis numérico en Matlab

Como venimos diciendo, para el estudio del sistema mediante análisis numérico

haremos uso de una aplicación informática, en nuestro caso hemos optado por el uso de

Matlab puesto que se adapta a todas nuestras exigencias de cálculo, nos proporcionará

resultados de precisión y buena representación de los mismos.

En este apartado trataremos de aclarar las bases matemáticas en las que se apoya

el programa para realizar las funciones de análisis numérico que le solicitaremos para el

estudio mencionado, en concreto para la resolución de ecuaciones diferenciales, como

viene a ser el caso de la ecuación de movimiento del sistema.

Como dedujimos en el capítulo 2 mediante las ecuaciones de Lagrange, la

ecuación de movimiento del sistema era

0))·(3

2)((

2

3 2 gtsenAsenL

y una vez procedíamos a su adimensionalización obteníamos

0)()·)(·( sensena

siendo una ecuación diferencial no lineal de segundo orden. Para trabajar con ella en

Matlab y con los comandos que utilizaremos y que a continuación mencionaremos con

mas detalle, ya vimos también en el capítulo 2 que era necesario reescribir la ecuación

de segundo orden como un sistema de primer orden que quedaba de la forma:

)()(),(

1

2

2

1

ysentsena

y

y

yytYY

donde habíamos hecho el cambio de variable

2

1

y

yY

Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales Matlab nos proporciona

diversos comandos, pero el más recomendado para este caso puede ser ode45 o bien

ode23 que a continuación pasaremos a detallar su base matemática para su

funcionamiento.

En líneas generales, la base de estos comandos reside en la aproximación

mediante diferentes métodos que también señalaremos, a una solución considerando una

partición del intervalo total en el que se representa la función mediante una recurrencia,

de manera que tomando cada vez particiones mas finas del intervalo nos aproximaremos

cada vez mas a la gráfica de la solución.

Por ejemplo, para el problema de Cauchy dado


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ftttyty

tytfty,,

)(

)),(,()(0

00

consideramos una partición del intervalo [t0,tf] tal que t0< t1<…< tN=tf y se obtiene las

aproximaciones

),( nn tyy Nn ,...,2,1

mediante la recurrencia

),(1 nnnnn ytfhyy 1,...,2,1,0 Nn

donde

nnn tth 1 1,...,2,1,0 Nn

que en concreto este método es conocido como el método de Euler.

Métodos basados en estas características pueden ser el método de Euler, método

de Euler mejorado, Runge-Kutta clásico, Heun, la regla de los 3/8, …, o en general

métodos de Runge-Kutta explícitos de s etapas que concretamente son los “cimientos”

de los comandos ode45 y ode23.

Los métodos de Runge-Kutta explícitos de s etapas vienen expresados de manera

genérica por la recurrencia:

)),...(,(

:

:

)),(,(

),,(

),,(

)...(

11,11

23213133

12122

1

111

ssssnnnsns

nnnn

nnnn

nn

ssnnn

kakahyhctfk

kakahyhctfk

kahyhctfk

ytfk

kbkbhyy

Se puede demostrar, que al tomar particiones cada vez mas finas del intervalo

[t0,tf], las aproximaciones yn distan cada vez menos de los verdaderos valores y(tn) que

queremos aproximar. De esta forma podemos observar, que cuando mayor sea el

número de etapas del método de Runge-Kutta para s etapas mayor será el orden de

convergencia del método y por tanto más se aproximarán las soluciones a la solución

exacta.

Es claro y demostrable, que es poco práctico tomar todos los incrementos hn

iguales, hn=(tf - to)/N, puesto que el error local es mucho mayor en unos intervalos que

en otros, y podría optimizarse el método equilibrando con valor de hn mas pequeño para

aquellos intervalos mas desfavorables. El procedimiento que se ha probado como más

eficaz es el de los pares encajados de Runge-Kutta.

El comando ode45 integra un problema de valor inicial utilizando el par

encajado DOPRI(4) de Dorman y Price, esto es, obtiene las aproximaciones yn con un


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método de orden 5, mientras que el comando ode23 lo hace con un método de segundo

orden debido a Bogacki y Shampine.

Conclusiones

Mediante el comando ode45 , debido a tener un orden de convergencia mayor

que ode23 podremos obtener mejores aproximaciones a la solución real o exacta. Pero

no todo son ventajas. Al tener un numero de etapas s mayor, también conlleva a tener

un mayor coste computacional, por ello en este aspecto ode23 es mas económico

computacionalmente hablando.

En definitiva, a la hora de usar estos comandos, deberemos elegir y dar prioriad

a la exactitud de la solución, o bien, a la facilidad y rapidez de cálculo en el proceso.

Por ello para nuestro proyecto, utilizaremos ambos comandos, cada uno de ellos , en el

caso más conveniente, dependiendo de nuestros intereses en las circunstancias del

momento.


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4.3 Determinación de las regiones de estabilidad mediante

análisis numérico

En este aparatado vamos a determinar las regiones de estabilidad e inestabilidad

mediante un análisis numérico del sistema. Para ello trabajaremos con Matlab y

haremos uso de los comandos ode45 y/o ode 23 anteriormente mencionados y explicada

su funcionamiento y su base matemática. También será necesario para llevar a cabo

nuestro objetivo, crear ciertos archivos .m que nos facilitaran el trabajo a la hora de usar

ciertas funciones, bien de la librería del programa, o bien creadas por nosotros mismos.

Para este apartado, es decir, para la determinación de las regiones de estabilidad,

nuestra prioridad no va a ser la velocidad de cálculo y la facilidad de ejecución de los

comandos, sino la precisión y obtención de la solución con el error mínimo posible, por

tanto, para esta función utilizaremos el comando ode45 que es el que mas se adapta a

nuestras prioridades en este caso.

La sintaxis básica para la utilización del comando ode45 en Matlab es la

siguiente:

ode45 ( function, [t0 , tf], y0 )

en donde podemos observar que para llevar a cabo la integración numérica nos hará

falta tener definida la función o ecuaciones a integrar, un intervalo de integración, y la

condición o condiciones iniciales.

Como ya explicamos en su momento, para utilizar este comando en Matlab,

debíamos reescribir las ecuaciones diferenciales de segundo orden como sistemas de

ecuaciones de primer orden, es decir, en nuestro caso, la ecuación de movimiento

adimensionalizada

0)()·)(·( sensena

a un sistema de ecuaciones tal como este:

)()(),(

1

2

2

1

ysentsena

y

y

yytYY

donde se hizo el cambio de variable pertinente ya anteriormente explicado.

Para introducir este sistema en Matlab y poder utilizarlo cada vez que nos sea

necesario, crearemos con el Editor/Debugger un fichero al que llamaremos

ecmovimiento.m y que vendrá definido por las siguientes líneas que podemos ver en el

gráfico de la pantalla , figura 4.3.1.


50

Fig. 4.3.1

Una vez tenemos definida la ecuación de movimiento en Matlab, ya podríamos

integrarla mediante ode45 para un intervalo de integración determinado y unas

condiciones iniciales en posición y velocidad dadas siempre y cuando le especifiquemos

unos valores concretos para los parámetros que gobiernan la ecuación, λ y a.

Para el intervalo de integración, [t0, tf] , podemos elegir cualquiera, siempre y

cuando sea suficiente para poder concluir, si para esas condiciones dadas el

comportamiento del sistema es estable o no lo es.

En cuanto a las condiciones iniciales en posición y velocidad, )0(t y

)0(t , o ya expresadas en el sistema de ecuaciones de primer orden, )0(1 ty y

)0(2 ty , tomaremos unos valores en las que la posición inicial será un valor muy

pequeño, próximo a la solución vertical, pero no nulo, tomando por ejemplo 0.01 rad.

Mientras que para la condición inicial en velocidad, se tomará como velocidad inicial

nula. En resumen:

sradty

radty

/0)0(

01.0)0(

2

1

Así por ejemplo, podríamos integrar nuestra ecuación, para un intervalo de integración

de [t0, tf] = [0,1000] segundos, un valor de los parámetros concreto, y representando

gráficamente el resultado. Para ello procedemos escribiendo en la Command Window

las siguientes instrucciones, figura 4.3.2.

lambda=0.001

a=0.001

[t,y]=ode45(@ecmovimiento,[0,1000],[0.01,0],[],lambda,a)

plot(t,y)


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Fig 4.3.2

De aquí obtendremos tres columnas de valores que representan lo siguiente:

- el tiempo, que representa el intervalo de integración;

- la posición y1(t) en cada instante dado por el intervalo [t0, tf] = [0,1000]

- la velocidad y2(t) en cada instante dado por el intervalo [t0, tf] = [0,1000]

y una grafica (Fig. 4.3.3) en la que representamos dichos valores y que presentamos a

continuación.

Fig. 4.3.3 Comportamiento estable

En ella, podemos observar, que para estos valores de los parámetros λ y a, la

posición y1(t) permanece aproximadamente constante rondando valores muy próximos a

cero, es decir, a la posición inicial, y por lo tanto podemos afirmar que el sistema para

esas condiciones permanece estable.

Si repetimos el procedimiento para valores diferentes de los parámetros, por

ejemplo,


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lambda=0.3

a=0.5

vemos que obtenemos una grafica (Fig. 4.3.4) que representa un comportamiento muy

distinto.

Fig. 4.3.4 Comportamiento Inestable

En esta gráfica, podemos observar claramente un comportamiento inestable del

sistema. En ella vemos como la posición va tomando valores muy dispares y cada vez

mas alejados de la posición inicial, a lo largo del intervalo de integración.

Concluimos entonces, que dada unas condiciones iniciales en posición y

velocidad para nuestro sistema en estudio, el sistema tomará un comportamiento estable

o inestable dependiendo de los valores que tomen los parámetros que gobiernan su

ecuación de movimiento, es decir, λ y a.

Una vez hemos analizado como se modifica el comportamiento del sistema en

función de la variación de sus parámetros, en el siguiente subapartado, vamos a

determinar las regiones de estabilidad del sistema en función de sus parámetros y para

unas condiciones iniciales dadas.


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4.3.1 Determinación de las regiones de estabilidad

Para determinar las regiones en las cuales el comportamiento del sistema se

predice estable, o inestable según sea el caso, procederemos de manera similar a los

ejemplos anteriores de sistema estable o inestable.

Tomaremos un intervalo de integración [t0, tf] acorde a las explicaciones dadas

anteriormente al igual que con las condiciones iniciales en posición y velocidad, es

decir, tomaremos para este estudio unos valores de

[t0, tf] = [0,1000]

sradty

radty

/0)0(

01.0)0(

2

1

Con estos datos, y con la ayuda del comando ode45, trataremos de ir

encontrando una serie de puntos, a los que llamaremos puntos críticos, los cuales sean

aquellos que se encuentren en el límite entre la estabilidad y donde el sistema comienza

a ser inestable.

Para ello, para facilitar y agilizar el trabajo, crearemos un fichero.m al que

llamaremos punto.m, que también llama al fichero ecmovimiento.m, y al cual, tan solo

introduciéndole el par de valores de λ y a que queramos, nos dará como salida una

grafica en la que se nos representará la evolución de la posición del sistema a lo largo

del intervalo de integración, para esos valores de λ y a introducidos, y para las

condiciones iniciales anteriormente mencionadas. De esta forma, podremos analizar en

cada caso, si el sistema se comporta de forma estable o si por el contrario, se

desestabiliza.

El fichero punto.m viene dado por las sentencias que podemos ver en el

Editor/Debugger de la figura siguiente:

Fig. 4.3.1.1

Procederemos por tanto, haciendo uso de punto.m, introduciendo un parámetro y

manteniéndolo constante, mientras que iremos variando el otro hasta que observemos

un cambio de comportamiento en el sistema, de estable a inestable, o viceversa, según

sea la dirección de variación del parámetro.


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Una vez observemos ese cambio de comportamiento, sabremos que ese punto

será un punto crítico que pertenecerá a la curva que delimita dos regiones de estabilidad

e inestabilidad respectivamente.

Repitiendo este proceso repetidas veces (cuantos mas puntos críticos

obtengamos mejor), para valores diferentes del parámetro que permanece constante,

obtendremos numerosos puntos críticos. Todos ellos, mediante una curva que los una,

definirán la frontera entre las dos regiones mencionadas.

A continuación, realizaremos la obtención de algunos puntos críticos a modo de

ejemplo para describir con más claridad el proceso.

Para la elección del rango de valores para los parámetros λ y a, debemos pensar

en un rango acorde para los resultados que estamos buscando. Para ello nada haremos

uso del sentido común, que nos dice, que para que este sistema en estudio se mantenga

en posición vertical mientras se somete a un movimiento vibratorio tal como

)·(· tsenAZ

el movimiento debe ser tal que tenga una amplitud pequeña, y una frecuencia

suficientemente alta. Llevándonos estos argumentos a la definición de los parámetros

adimensionales λ y a

LAa / 2··2

·3

L

g

sabemos que tanto λ como a deberán tener valores bastante pequeños.

Tomemos por ejemplo como parámetro constante a al que le daremos un valor

pequeño por los razonamiento expuestos, de a=0.1. Para los valores de lambda iremos

variándolos desde valores muy pequeños que sabemos que darán un comportamiento

estable, hasta que veamos que exista un cambio. Una vez llegado a ese punto

intentaremos afinar al máximo hasta conseguir nuestro punto crítico. Veámoslo.

Ejecutamos punto.m para a=0.1 y lambda=0.0001 en la Command Window

Fig. 4.3.1.2

y obtenemos como salida, una representación de la posición del sistema tal como

podemos ver en la figura. En ella, según vemos, podemos comprobar que para estos

valores de los parámetros el comportamiento del sistema es estable. Por tanto

repetiremos el procedimiento con un valor de λ mayor. Lo haremos para λ=0.001,

λ=0.003 y λ=0.005, y en las figuras siguientes vemos como se comporta el sistema para

estos valores.


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Fig.4.3.1.3 Sistema estable para a=0.1 y λ=0.0001

Fig. 4.3.1.4 Sistema estable para a=0.1 y λ=0.001


56

Fig.4.3.1.5 Sistema estable para a=0.1 y λ=0.003

Fig. 4.3.1.6 Sistema estable para a=0.1 y λ=0.005


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Podemos observar que para tanto λ=0.001 como para λ=0.003 el

comportamiento sigue siendo estable. Pero sin embargo, para λ=0.005 vemos que ha

habido un cambio importante y el sistema ya no es estable, por tanto sabemos que el

punto crítico que delimitará la frontera entre las regiones estables e inestables para

a=0.1 se encuentra entre λ=0.003 y λ=0.005. Así que, mediante este procedimiento,

seguimos interpolando entre estos dos valores, hasta encontrar el punto crítico. Para este

caso en concreto, el punto vendrá dado por el valor de los parámetros

a=0.1 λ=0.004925

Si repetimos todo este procedimiento, para diferentes valores de a hasta obtener

un número de puntos críticos suficiente como para obtener una curva que nos determina

la frontera entre las regiones de estabilidad e inestabilidad obtenemos una tabla como la

siguiente en la que se resumen todos estos valores de los parámetros.

Tabla 4.3.1.1 Relación de puntos críticos obtenidos

Puntos a 1 0.0010 0.00000010000000

2 0.0050 0.00001200000000

3 0.0100 0.00004500000000

4 0.0250 0.00030500000000

5 0.0500 0.00122500000000

6 0.0750 0.00275000000000

7 0.1000 0.00492500000000

8 0.1250 0.00762500000000

9 0.1500 0.01098500000000

10 0.1750 0.01495000000000

11 0.2000 0.01937500000000

12 0.2250 0.02445000000000

13 0.2350 0.02660500000000

14 0.2500 0.03002500000000

15 0.2750 0.03615000000000

16 0.3000 0.04287500000000

17 0.3250 0.04985000000000

18 0.3500 0.05750000000000

19 0.3750 0.06555000000000

20 0.4000 0.07375000000000

21 0.4500 0.09225000000000

22 0.5000 0.11130000000000

23 0.5500 0.13350000000000

24 0.6000 0.15500000000000

25 0.6500 0.17950000000000

26 0.7000 0.20250000000000

27 0.7500 0.23070000000000

28 0.8000 0.25660000000000


58

Si tomamos todos estos puntos y mediante Matlab los representamos en una

gráfica donde la abcisas es λ y a es ordenadas, obtenemos una representación tal y como

la de la figura 4.3.1.7.

Fig.4.3.1.7 Representación en λ-a de los puntos críticos obtenidos

Podríamos plantearnos el seguir determinando puntos críticos, pero a partir de

los hallados, es decir, si seguimos aumentando a, la forma que va tomándola curva que

van siguiendo ya no se asemeja a una parábola que es lo que vamos buscando y por

tanto queda fuera del objeto de nuestro proyecto.

Como podemos ver, la situación de los puntos va designando una curva que

sigue una trayectoria parabólica. Si trazamos una curva mediante Matlab que una todos

estos puntos críticos, encontraremos la curva que delimita las regiones de

comportamiento estable e inestable para nuestro sistema. Es lo que hacemos a

continuación y lo que podemos observar en la figura 4.3.1.8, que definitivamente

muestra las regiones donde el comportamiento del sistema es estable o donde deja de

serlo.


59

Fig.4.3.1.8 Regiones de estabilidad e inestabilidad del sistema

Una vez hemos determinado esta gráfica, podemos predecir el comportamiento

del sistema según los valores de los parámetros λ y a que tomemos. Realizaremos una

comprobación para los valores correspondientes a los puntos señalados en azul en la

siguiente figura. Una en zona estable y otro en zona inestable.

Fig. 4.3.1.9 Puntos para comprobación


60

Haciendo uso nuevamente del archivo punto.m para los valores de los

parámetros de los puntos señalados en azul en la figura, obtenemos los siguientes

comportamientos:

Fig.4.3.1.10 Comportamiento estable para a=0.4 y λ=0.05

Fig.4.3.1.11 Comportamiento inestable para a=0.2 y λ=0.05


61

Efectivamente, se produce el comportamiento esperado para el sistema según la

región de la gráfica donde tomemos el valor para los parámetros. De la zona estable

hemos tomado a=0.4 y λ=0.05 y tal como podemos observar, el sistema responde de

manera estable Sin embargo, para los valores a=0.2 y λ=0.05 obtenidos de la región

inestable, era de prever que el comportamiento del sistema seria como el de la figura,

inestable.

Nueva región de inestabilidad

Después de todo este procedimiento, hemos conseguido determinar una curva

que separa la región de estabilidad de la de inestabilidad. Pero si seguimos analizando

numéricamente el sistema, nos damos cuenta de que la zona de estabilidad señalada no

es infinita conforme aumentamos el parámetro a. La región estable vuelve a estar

acotada por otra curva que vuelve a delimitar otra región de inestabilidad que en este

caso queda por encima de ella.

Esta nueva curva frontera de la nueva región de inestabilidad, no parte del

origen, sino que parte de valores negativos para el parámetro λ y por tanto su estudio

analítico es mucho mas complicado y queda ya fuera del objeto de nuestro proyecto. Por

ello, siguiendo un procedimiento similar al seguido hasta ahora para determinar la

primera curva de separación de regiones, e incluso, utilizando las misma funciones y

ficheros.m creados para su determinación, obtendremos algunos puntos críticos de la

nueva curva, para posteriormente hacer una representación de la misma, para

simplemente tener un idea de su posición y forma, y de la amplitud de la región de

estabilidad.

A continuación presentamos una nueva tabla con los puntos críticos obtenidos

para esta curva, y una nueva gráfica (figura 4.3.1.12) presentando dichos puntos, y otra

mas (figura 4.3.1.13) en la que se representan las regiones de estabilidad e inestabilidad.

Puntos a 1 0.4750 0

2 0.5000 0.0150

3 0.5500 0.0450

4 0.6000 0.0750

5 0.6500 0.1100

6 0.7000 0.1450

7 0.7500 0.1750

8 0.8000 0.2150

Tabla.4.3.1.2

Puntos críticos para la nueva curva


62

Fig.4.3.1.12

Fig. 4.3.1.13


63

Conclusión

Resumiendo todo el proceso que hemos seguido, hemos realizado un estudio

mediante análisis numérico del comportamiento del sistema, debido a la inexistencia de

solución analítica para la ecuación que define su movimiento.

Este estudio se ha realizado para diferentes valores de los parámetros que

gobiernan la ecuación, llegando a obtener los denominados puntos críticos, que se

encontraban en el umbral entre el comportamiento estable e inestable del sistema, y

mediante la trayectoria o curva dibujada por los mismos en el plano λ-a, hemos

conseguido delimitar las regiones de estabilidad e inestabilidad para el comportamiento

del sistema de nuestro proyecto.

Con estos datos y regiones conocidas, podremos predecir de antemano el

comportamiento que tendrá el sistema para unos valores de los parámetros λ y a dados.

estudio del sistema mediante análisis...

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