estudio del comportamiento resistente de los puentes arco espaciales
TRANSCRIPT
DEPARTAMENTO DE MECÁNICA DE MEDIOS
CONTINUOS Y TEORÍA DE ESTRUCTURAS
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA
DE MADRID. ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS
DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS.
ESTUDIO DEL COMPORTAMIENTO RESISTENTE DE LOS PUENTES
ARCO ESPACIALES.
TESIS DOCTORAL.
JUAN JOSÉ JORQUERA LUCERGA. INGENIERO DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS.
DIRECTOR: JAVIER MANTEROLA ARMISÉN. DR. INGENIERO DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS.
MADRID. 2007.
VERSIÓN DEFINITIVA.
ARCHIVO: D:\td\textos\tesis\definitivo\TESIS DOCTORAL JJJL.doc
AUTOR: JJJL.
FECHA: 07/02/2007.
D. 15
Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politécnica de
Madrid, el día ___ de ________________________ de 2007.
Presidente D. _______________________________________________
Vocal D. _______________________________________________
Vocal D. _______________________________________________
Vocal D. _______________________________________________
Secretario D. _______________________________________________
Suplente D. _______________________________________________
Suplente D. _______________________________________________
Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día ___ de _____________ de
200__ en la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la U.P.M.
Calificación: ______________________________________________
EL PRESIDENTE LOS VOCALES
EL SECRETARIO
I
RESUMEN.
Un puente arco consta generalmente de un tablero y un arco vertical. En un puente arco plano, el tablero es siempre recto y su carga se transmite, mediante péndolas ancladas en el eje, al único arco. Además, aparecen deformaciones fuera del plano, producido por cargas como el viento transversal.
El puente arco espacial puede definirse como aquél cuyo comportamiento no es equiparable al del puente arco plano. Puentes simétricos respecto del plano longitudinal (por ejemplo, con dos arcos verticales) normalmente presentan un comportamiento espacial (no plano) sólo para algunas distribuciones asimétricas de sobrecargas. Por el contrario, los puentes asimétricos (por ejemplo, como en los puentes donde los arcos se han girado o inclinado, o con un único tablero curvo) muestran comportamiento espacial también para cargas permanentes.
Esta tesis se centra en el caso de arco y tablero únicos, de conclusiones fácilmente extensibles a otras configuraciones resistentes más complejas. Además, constituyen el desarrollo más reciente de los puentes arco clásicos. Desde el punto de vista estético, surgen como consecuencia de las nuevas demandas arquitectónicas exigidas a los puentes en entornos urbanos. Además, aparecen para satisfacer las necesidades funcionales cuando estructuras en arco resultan las más adecuadas para sostener tableros curvos. En estos, y en otros, casos su comportamiento resistente se extiende del plano vertical original a una configuración espacial tridimensional.
El objetivo principal de esta tesis es comprender la respuesta estática del puente arco espacial bajo cargas de servicio. Así, se presentan los aspectos relevantes del comportamiento de sus diferentes elementos estructurales, que se estudian teórica y numéricamente.
Todos los cálculos estructurales se han realizado utilizando el método de los elementos finitos. Además, se ha escrito por el autor un conjunto de programas, expresamente para esta tesis, en lenguaje MATLAB. Este conjunto de programas, denominado SABRINA (Spatial Arch BRidges Iterative Non-linear Analysis) se encarga del pre y postproceso, del control de los cálculos y de la implementación de los algoritmos desarrollados en esta tesis.
Entre otros, se han llevado a cabo los siguientes estudios:
• Se ha desarrollado un nuevo método iterativo de obtención de directrices antifuniculares tridimensionales, que incluye el caso general de arcos biempotrados espaciales con consideración de la no linealidad y de fases de construcción.
• Se ha estudiado en los arcos planos verticales parámetros geométricos tales como el giro del arco, o la curvatura y el ripado transversal de los tableros, que están presentes en las realizaciones existentes y son además, por sí solos, causa de espacialidad.
• Se han estudiado las características especiales de los cables y su influencia en este tipo de puentes.
• Se ha estudiado la relación existente entre el carácter espacial de los puentes arco y la sensibilidad a la no linealidad geométrica.
• Se ha estudiado teórica y paramétricamente la influencia del desplazamiento lateral y radial de los apoyos en los tableros rectos y curvos. La rigidez torsional del tablero se ha mostrado un factor de gran importancia. Especialmente interesante es el tablero suspendido de un borde, muy adecuado para el puente arco espacial.
• Se han generalizado las conclusiones obtenidas de los puentes arco espaciales con arcos planos a los de arcos con directrices espaciales antifuniculares, incluyendo los de tablero superior. Además, se han estudiado los arcos de planta curva, como el puente tipo “Galindo”, con atirantamiento de contrarresto en el borde interior del tablero.
III
ABSTRACT.
A Study on Structural Behaviour of Spatial Arch Bridges.
An arch bridge usually consists of a deck and a vertical arch. In a so-called plane arch bridge, the deck is always straight in plan, and its load is transferred to the only arch by stays attached along the deck axis. In addition, out-of-plane displacements will exist, for instance, due to wind loads.
Therefore, we could define a spatial arch bridge as that one whose behaviour cannot be compared to the plane’s one so defined. Longitudinally symmetric bridges (for instance, with twin vertical arches) usually show spatial (not plane) behaviour only for asymmetrical live load distributions. On the other hand, unsymmetrical bridges (for instance, in those bridges where the arches have been rotated or leant, or with a single curved deck) show spatial behaviour for dead loads as well.
This thesis focuses on bridges with a single deck and only an arch, since conclusions obtained can be easily generalized to more complex configurations. Besides, these are the latest developments of classical arch bridges. From an aesthetical point of view, they are a consequence of new architectural demands for bridges in urban environments. They also arise in to meet functional requirements when arch structures are the most suitable for supporting horizontally curved decks. In these and more cases, their structural behaviour extends from the original vertical plane to a three-dimensional configuration in space.
The main goal of this thesis is to understand the response of the spatial arch bridge under static service loads. So, its subsystems are theoretically and numerically studied, and their relevant behaviour will be presented.
All the structural analyses have been performed using the finite element method. In addition, a set of computer programs written by the author, specially for this thesis, have been coded in the MATLAB language. The so-called SABRINA (that stands for Spatial Arch BRidges Iterative Non-linear Analysis) program performs pre and post-processing, flow control, and developed algorithm implementation.
Among others, the following studies have been carried out:
• A new method for finding antifunicular three-dimensional shapes has been developed and implemented, including the most general case of spatial arches with clamped ends. Non-linear behaviour and construction stages can be considered.
• In spatial arch bridges with plane arches, parametric studies have been conducted to investigate the effect of, among others, leaning of arch, curvature of the deck, and relative position between arch and deck. These factors appear in actual bridges, and are, by themselves, cause of spatial behaviour.
• Special features of cables and their influence have been studied for this type of bridges.
• Relationship between spatial configuration and the sensitivity to geometrical non-linearity has been analyzed.
• Parametric and theoretical studies have been performed in order to study the effect of the lateral and radial displacement of bearings in straight and curved decks. Deck torsional stiffness is a factor of major importance. Especially interesting is the deck suspended only on one side, very suitable for the spatial arch bridge.
• Conclusions obtained from spatial arch bridges with plane arches have been generalized to arches with spatial antifunicular shapes, including upper deck bridges. Arches curved in plan have also been studied, like “Galindo” type, with backstays attached to the inner edge of the deck.
V
ÍNDICE.
1 INTRODUCCIÓN. 1 1.1. RAZÓN DE SER DE LA TESIS DOCTORAL............................................................................................................ 1
1.1.1. Razones formales. ............................................................................................................................. 1 1.1.2. Razones funcionales. ........................................................................................................................ 1 1.1.3. Desarrollo del tipo. ........................................................................................................................... 2 1.1.4. Estudios teóricos. .............................................................................................................................. 3 1.1.5. Oportunidad del estudio.................................................................................................................... 4
1.2. OBJETIVOS DEL ESTUDIO. ................................................................................................................................ 4 1.3. CONTENIDO DE LA TESIS. ................................................................................................................................. 5
2 CONCEPTO, CLASIFICACIÓN Y REALIZACIONES. 9 2.1. CONCEPTO DE PUENTE ARCO ESPACIAL. .......................................................................................................... 9 2.2. CLASIFICACIÓN.............................................................................................................................................. 10 2.3. EJEMPLOS DE REALIZACIONES ASIMÉTRICAS. ................................................................................................ 11
2.3.1. Causas más frecuentes de asimetría. ............................................................................................... 12 2.3.2. Arco vertical excéntrico.................................................................................................................. 13 2.3.3. Arco inclinado excéntrico con tablero recto. .................................................................................. 14 2.3.4. Arco plano con tablero curvo.......................................................................................................... 19 2.3.5. Arcos girados respecto de un eje vertical........................................................................................ 24 2.3.6. Arcos de directriz espacial. ............................................................................................................. 27
2.4. REALIZACIONES CON SIMETRÍA LONGITUDINAL............................................................................................. 29 2.4.1. Arcos girados perpendicularmente al eje del tablero. ..................................................................... 29 2.4.2. Parejas de arcos exentos laterales inclinados con tablero recto. ..................................................... 30 2.4.3. Arco único de ancho o cordones variables...................................................................................... 31 2.4.4. Arco único con dos tableros............................................................................................................ 34 2.4.5. Dos arcos convergentes................................................................................................................... 34 2.4.6. Dos arcos divergentes. .................................................................................................................... 35
3 MODELOS DE CÁLCULO. 37 3.1. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................................. 37 3.2. LA SERIE SABRINA DE PROGRAMAS DE CÁLCULO. ......................................................................................... 37 3.3. MODELOS DE CÁLCULO. ................................................................................................................................ 39
3.3.1. Parámetros geométricos más utilizados. ......................................................................................... 40 3.3.2. Materiales y secciones. ................................................................................................................... 42
3.4. VALORES DE LAS ACCIONES........................................................................................................................... 43 3.4.1. Cargas permanentes. ....................................................................................................................... 43 3.4.2. Sobrecargas verticales de uso. ........................................................................................................ 43 3.4.3. Acción del viento. ........................................................................................................................... 44 3.4.4. Acción térmica................................................................................................................................ 44
3.5. HIPÓTESIS SIMPLES DE CARGA Y COMBINACIONES......................................................................................... 44 3.5.1. Hipótesis simples. ........................................................................................................................... 44 3.5.2. Combinaciones de hipótesis simples............................................................................................... 45 3.5.3. Criterio de signos de los esfuerzos.................................................................................................. 46
3.6. PRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS RESULTADOS. ............................................................................................. 47
4 ARCO PLANO VERTICAL: EFECTO DE LA VARIACIÓN DE CURVATURA DEL TABLERO. 49 4.1. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................................. 49 4.2. RESULTADOS PARA CARGAS PERMANENTES. ................................................................................................. 51 4.3. RESULTADOS PARA SOBRECARGAS. ............................................................................................................... 57 4.4. MOVIMIENTOS. .............................................................................................................................................. 66 4.5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS MÁS RELEVANTES. ........................................................................................ 72
4.5.1. Cargas permanentes. ....................................................................................................................... 72 4.5.2. Sobrecargas..................................................................................................................................... 81
4.6. CONCLUSIONES PROVISIONALES DEL ESTUDIO............................................................................................... 86
VI
5 REVISIÓN DE RESULTADOS: NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA Y CONDICIONANTES TENSODEFORMACIONALES. 89 5.1. INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................................. 89 5.2. EFECTO DE LA NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA PARA CARGAS PERMANENTES: COMPARACIÓN DE
RESULTADOS. ................................................................................................................................................. 89 5.2.1. Comparación de resultados. ............................................................................................................ 89 5.2.2. Análisis de los resultados. ............................................................................................................... 93
5.3. ESTUDIO TENSO-DEFORMACIONAL................................................................................................................. 95 5.3.1. Cálculo automatizado de envolventes. ............................................................................................ 95 5.3.2. Predimensionamiento de secciones a partir de la envolvente tensional. ......................................... 96 5.3.3. Limitaciones de flechas en tablero. ............................................................................................... 101
5.4. PREDIMENSIONAMIENTO DE LAS SECCIONES DE ARCOS EN FUNCIÓN DE LA CURVATURA DEL TABLERO. ..................................................................................................................................................... 101 5.4.1. Predimensionamiento. Caso gT=-10. ............................................................................................. 102 5.4.2. Predimensionamiento. Caso gT=-8. ............................................................................................... 105 5.4.3. Predimensionamiento. Caso gT=-6. ............................................................................................... 106 5.4.4. Predimensionamiento. Caso gT=-4. ............................................................................................... 108 5.4.5. Predimensionamiento. Caso gT=-2. ............................................................................................... 109 5.4.6. Comprobación. Caso gT=-0. .......................................................................................................... 111 5.4.7. Resumen de resultados.................................................................................................................. 112 5.4.8. Similitudes con la pasarela de Gateshead...................................................................................... 113
5.5. CONCLUSIONES............................................................................................................................................ 113
6 ARCO PLANO VERTICAL: EFECTO DE LA CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN. 115 6.1. INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................................... 115 6.2. MÉTODO ITERATIVO DE DETERMINACIÓN DE LA CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN. ........................................ 116 6.3. EFECTO DE LA CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN............................................................................................. 117
6.3.1. Determinación de la contraflecha de ejecución para los casos gT=-6 y gT=-10............................. 117 6.3.2. Comparación de resultados. .......................................................................................................... 118
7 ARCO PLANO VERTICAL: ESTUDIO DE LA POSICIÓN RELATIVA TRANSVERSAL ENTRE ARCO Y TABLERO. 123 7.1. INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................................... 123 7.2. RESULTADOS PARA CARGAS PERMANENTES................................................................................................. 125 7.3. RESULTADOS PARA SOBRECARGAS. ............................................................................................................. 131 7.4. MOVIMIENTOS. ............................................................................................................................................ 140 7.5. TENSIONES................................................................................................................................................... 146 7.6. ANÁLISIS DE RESULTADOS MÁS RELEVANTES. ............................................................................................. 147
7.6.1. Cargas permanentes. ..................................................................................................................... 147 7.6.2. Sobrecargas. .................................................................................................................................. 149
7.7. PUNTOS FIJOS TRANSVERSALMENTE. ........................................................................................................... 150 7.7.1. Punto de clave fija......................................................................................................................... 150 7.7.2. Minimización de la flexión transversal. ........................................................................................ 152 7.7.3. Efecto de la contraflecha de ejecución y la no linealidad geométrica. .......................................... 157
8 ARCO PLANO INCLINADO: EFECTO DEL ÁNGULO DE GIRO. 161 8.1. INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................................... 161 8.2. ANÁLISIS DE CARGAS PERMANENTES. .......................................................................................................... 162
8.2.1. Acciones sobre arco y tablero. ...................................................................................................... 162 8.2.2. Evolución de los esfuerzos............................................................................................................ 165
8.3. SENSIBILIDAD A LAS SOBRECARGAS. ........................................................................................................... 168
9 TABLEROS SUSPENDIDOS DE UN BORDE. 171 9.1. EL TABLERO SUSPENDIDO DEL BORDE.......................................................................................................... 171
9.1.1. Necesidad de la suspensión al borde. ............................................................................................ 171 9.1.2. Estabilidad del tablero circular apoyado en un borde. .................................................................. 171 9.1.3. Método de determinación de sobreanchos. ................................................................................... 172 9.1.4. Clasificación de secciones transversales y de las tipologías de suspensión al borde. ................... 173
9.2. REALIZACIONES Y ESQUEMAS RESISTENTES................................................................................................. 175 9.2.1. Secciones de alta rigidez a torsión. ............................................................................................... 175
VII
9.2.2. Secciones pretensadas macizas. .................................................................................................... 176 9.2.3. Secciones pretensadas aligeradas suspendidas del borde interior. ................................................ 178 9.2.4. Secciones pretensadas aligeradas suspendidas del borde exterior. ............................................... 180
9.3. LA SECCIÓN DEL PUENTE ARCO ESPACIAL SUSPENDIDA AL BORDE............................................................... 180 9.3.1. Borde de anclaje............................................................................................................................ 180 9.3.2. Rigidez de la sección transversal. ................................................................................................. 182
10 ESTUDIO TEÓRICO DEL DESPLAZAMIENTO TRANSVERSAL DE LOS APOYOS DEL TABLERO. 183 10.1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................ 183
10.1.1. Necesidad del desplazamiento transversal de los apoyos. ............................................................ 183 10.1.2. El método de los nudos desplazados............................................................................................. 183
10.2. MÉTODO DE LOS NUDOS DESPLAZADOS: ANÁLISIS TEÓRICO. ....................................................................... 184 10.2.1. El vano aislado con un apoyo central............................................................................................ 184 10.2.2. Comprobación numérica............................................................................................................... 186 10.2.3. El vano aislado con un apoyo central elástico. ............................................................................. 188 10.2.4. El tablero recto con varios apoyos desplazados lateralmente. ...................................................... 189 10.2.5. Metodología de cálculo y solución general para el caso de tablero recto con varios apoyos
desplazados. .................................................................................................................................. 191 10.2.6. Comprobación numérica............................................................................................................... 193 10.2.7. Caso general: Tablero de planta arbitraria con apoyos desplazados radialmente.
Metodología de cálculo y solución general................................................................................... 196 10.2.8. Análisis crítico del método de los nudos desplazados. ................................................................. 197
11 ESTUDIO DEL TABLERO DE BAJA RIGIDEZ TORSIONAL CON APOYOS DESPLAZADOS TRANSVERSALMENTE. 199 11.1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................ 199 11.2. EL TABLERO RECTO CON APOYOS FIJOS DESPLAZADOS LATERALMENTE...................................................... 200
11.2.1. Influencia del desplazamiento lateral de apoyos........................................................................... 200 11.2.2. Influencia de la rigidez a torsión................................................................................................... 205 11.2.3. Influencia de la rigidez a flexión................................................................................................... 208 11.2.4. Resumen del comportamiento del puente recto de baja rigidez torsional. .................................... 211
11.3. EL TABLERO CURVO CON APOYOS FIJOS DESPLAZADOS RADIALMENTE........................................................ 212 11.3.1. Influencia de la curvatura en el puente con apoyos desplazados radialmente............................... 212 11.3.2. Influencia del desplazamiento radial de apoyos en el puente curvo. ............................................ 225 11.3.3. Resumen para el tablero curvo de baja rigidez torsional. ............................................................. 229
11.4. CONCLUSIONES PROVISIONALES.................................................................................................................. 230
12 ESTUDIO DEL TABLERO DE ALTA RIGIDEZ TORSIONAL CON APOYOS DESPLAZADOS TRANSVERSALMENTE. 231 12.1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................ 231 12.2. EL TABLERO RECTO CON APOYOS FIJOS DESPLAZADOS LATERALMENTE...................................................... 231
12.2.1. Influencia del desplazamiento lateral de apoyos........................................................................... 231 12.2.2. Influencia de la rigidez a torsión................................................................................................... 234 12.2.3. Influencia de la rigidez a flexión................................................................................................... 238 12.2.4. Conclusiones para el puente recto de elevada rigidez a torsión. ................................................... 241
12.3. EL TABLERO CURVO CON APOYOS FIJOS DESPLAZADOS RADIALMENTE........................................................ 241 12.3.1. Influencia de la curvatura en el puente con apoyos desplazados radialmente............................... 241 12.3.2. Influencia del desplazamiento radial de apoyos en el puente curvo. ............................................ 253
12.4. SOBRECARGAS ALTERNADAS Y EFECTO DE LA POSICIÓN RELATIVA DE ANCLAJE Y CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SECCIÓN. ......................................................................................................................... 258 12.4.1. Efecto de las sobrecargas alternadas. ............................................................................................ 259 12.4.2. Posición relativa de anclaje y centro de gravedad de la sección. .................................................. 263
13 ESTUDIO DE LAS PÉNDOLAS. 275 13.1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................ 275 13.2. EJEMPLOS. ................................................................................................................................................... 275
13.2.1. Péndolas articuladas...................................................................................................................... 275 13.2.2. Péndolas rígidas. ........................................................................................................................... 277
13.3. EFECTO ESTRUCTURAL DE LA PÉNDOLA RÍGIDA........................................................................................... 277 13.4. CONSIDERACIÓN DE LA NO LINEALIDAD DE LAS PÉNDOLAS ARTICULADAS.................................................. 278
VIII
13.5. DISTRIBUCIÓN DEL ÁREA DE LAS PÉNDOLAS. ............................................................................................... 281 13.6. PUESTA EN CARGA DE LAS PÉNDOLAS. ......................................................................................................... 284
13.6.1. Métodos de puesta en carga. ......................................................................................................... 284 13.6.2. Contraflecha de tableros atirantados al borde. .............................................................................. 284
14 EL ARCO ESPACIAL SUPERIOR DE PLANTA CURVA IMPUESTA. 287 14.1. INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................................... 287 14.2. DEFINICIÓN DE LA DIRECTRIZ DEL ARCO...................................................................................................... 287
14.2.1. Intersección de cilindros. .............................................................................................................. 287 14.2.2. Consideración del parámetro arco................................................................................................. 287
14.3. PROBLEMAS ESPECÍFICOS DEL PUENTE DE PLANTA IMPUESTA...................................................................... 288 14.3.1. Falta de antifunicularidad.............................................................................................................. 288 14.3.2. Acoplamiento de esfuerzos. .......................................................................................................... 288
14.4. RIGIDEZ TRANSVERSAL DEL ARCO DE PLANTA CURVA IMPUESTA. ............................................................... 289 14.4.1. Péndolas rígidas. ........................................................................................................................... 289 14.4.2. Atirantamiento de contrarresto en borde interior (Solución tipo Galindo).................................... 290 14.4.3. Solución con doble arco con celosía intermedia. .......................................................................... 291 14.4.4. Solución con arco espacial pretensado.......................................................................................... 292
14.5. CONSIDERACIONES SOBRE LAS SOLUCIONES AL ARCO DE PLANTA CURVA IMPUESTA. ................................. 292 14.5.1. Eficacia de la péndola rígida. ........................................................................................................ 292 14.5.2. Solución tipo Galindo. .................................................................................................................. 297 14.5.3. Solución con arco espacial pretensado.......................................................................................... 306 14.5.4. El tablero curvo como tirante del arco: Pasarela de Campo Volantín. .......................................... 307
14.6. CONCLUSIONES............................................................................................................................................ 308
15 METODOLOGÍA DE DETERMINACIÓN DE LA DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR DEL ARCO ESPACIAL. 309 15.1. INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................................... 309 15.2. DETERMINACIÓN DEL AXIL DE PRETENSADO, ÁREA DE LAS PÉNDOLAS Y CARGAS DE GATOS EN
ESTRIBOS...................................................................................................................................................... 310 15.2.1. Caso elástico lineal........................................................................................................................ 310 15.2.2. Determinación del área de las péndolas. ....................................................................................... 311 15.2.3. Implementación del caso elástico lineal. ....................................................................................... 312 15.2.4. Determinación del axil de pretensado y sección de las péndolas considerando la no
linealidad geométrica. ................................................................................................................... 313 15.2.5. Generalización del concepto de acción térmica a las cargas en estribos. Anulación de
flexiones en secciones de la directriz. ........................................................................................... 314 15.2.6. Planteamiento general del sistema auxiliar de ecuaciones. ........................................................... 316
15.3. FORMULACIÓN ACOPLADA DEL MÉTODO DE LAS REACCIONES GLOBALES. .................................................. 318 15.3.1. Planteamiento general. .................................................................................................................. 318 15.3.2. Procedimiento de cálculo. ............................................................................................................. 318 15.3.3. Formulación. ................................................................................................................................. 319 15.3.4. Consecuencias. .............................................................................................................................. 320
15.4. FORMULACIÓN DESACOPLADA DEL MÉTODO DE LAS REACCIONES GLOBALES. ............................................ 323 15.4.1. Formulación. ................................................................................................................................. 323 15.4.2. Caso particular: Arco plano vertical.............................................................................................. 323
15.5. FORMULACIÓN DESACOPLADA DEL MÉTODO DE LAS EXCENTRICIDADES LOCALES. ..................................... 324 15.5.1. Planteamiento general. .................................................................................................................. 324 15.5.2. Formulación. ................................................................................................................................. 324
15.6. EJEMPLO DE APLICACIÓN. ............................................................................................................................ 326 15.6.1. Leyes de esfuerzos obtenidas durante el proceso de antifunicularización..................................... 327 15.6.2. Esfuerzos en el arco por efecto de las acciones en los estribos. .................................................... 331
15.7. CONSIDERACIONES SOBRE LOS MÉTODOS ITERATIVOS PROPUESTOS. ........................................................... 334 15.7.1. Axiles y área de las péndolas. ....................................................................................................... 334 15.7.2. Formas alternativas de modelizar las acciones sobre los estribos. ................................................ 334 15.7.3. Métodos de obtención de directrices antifuniculares. ................................................................... 335 15.7.4. Dos estrategias sencillas para mejorar la convergencia................................................................. 339
16 ARCO ESPACIAL ANTIFUNICULAR: EFECTO DE LA VARIACIÓN DE CURVATURA DEL TABLERO. 341 16.1. INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................................... 341
IX
16.2. ANÁLISIS ELÁSTICO LINEAL......................................................................................................................... 341 16.2.1. Formas antifuniculares.................................................................................................................. 341 16.2.2. Antifunicularidad en dirección transversal. .................................................................................. 346
16.3. ANÁLISIS CONSIDERANDO LA NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA. ...................................................................... 346 16.3.1. Convergencia. ............................................................................................................................... 346 16.3.2. Efecto de la no linealidad geométrica. .......................................................................................... 347
16.4. CONCLUSIONES............................................................................................................................................ 348
17 ARCO ESPACIAL ANTIFUNICULAR: INFLUENCIA DE LA POSICIÓN TRANSVERSAL DEL TABLERO. 349 17.1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................ 349 17.2. DIRECTRICES ANTIFUNICULARES. ................................................................................................................ 351 17.3. RESULTADOS PARA CARGAS PERMANENTES. ............................................................................................... 353 17.4. RESULTADOS PARA SOBRECARGAS. ............................................................................................................. 359 17.5. MOVIMIENTOS. ............................................................................................................................................ 368 17.6. RESULTADOS TENSIONALES......................................................................................................................... 374 17.7. ANÁLISIS DE RESULTADOS MÁS RELEVANTES.............................................................................................. 375
17.7.1. Estudio de resultados. ................................................................................................................... 375 17.8. FLEXIÓN EN EL ARCO EN FUNCIÓN DE YT...................................................................................................... 377
17.8.1. Valor de YT que fija horizontalmente la clave en directrices antifuniculares. ............................... 377 17.8.2. Minimización de la amplitud de la flexión en el arco. .................................................................. 380 17.8.3. Valor de YT que fija horizontalmente los riñones.......................................................................... 382 17.8.4. Evolución de flexiones en el arco para sobrecargas asimétricas................................................... 383
17.9. EFECTO DEL ÁREA DE LA SECCIÓN. .............................................................................................................. 384 17.10. COMPARACIÓN DE ARCO ANTIFUNICULAR Y ARCO PLANO VERTICAL........................................................... 386
18 CARACTERÍSTICAS ESPECÍFICAS DEL PUENTE ARCO ESPACIAL DE TABLERO SUPERIOR. 391 18.1. INTRODUCCIÓN............................................................................................................................................ 391 18.2. ARCO PLANO VERTICAL INFERIOR ANTIFUNICULAR. .................................................................................... 391
18.2.1. Método de las excentricidades locales: Efecto del empotramiento de montantes......................... 391 18.2.2. Método de las excentricidades locales: Aplicación a la flexión promediada. ............................... 392 18.2.3. Método de las excentricidades locales: Articulación de montantes. ............................................. 393 18.2.4. Empotramiento de montantes posterior a la antifunicularización. ................................................ 393 18.2.5. Otros métodos de obtención de la geometría antifunicular........................................................... 394
18.3. ARCO ESPACIAL INFERIOR ANTIFUNICULAR. ................................................................................................ 394 18.3.1. Necesidad de la separación vertical en clave. ............................................................................... 394 18.3.2. Modelos de cálculo ....................................................................................................................... 395
19 RESUMEN, CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS DE ESTUDIO. 399 19.1. ADECUACIÓN A LOS OBJETIVOS PREVISTOS. ................................................................................................ 399 19.2. RESUMEN Y CONCLUSIONES GENERALES. .................................................................................................... 399
19.2.1. Concepto de puente arco espacial. ................................................................................................ 400 19.2.2. El puente arco espacial formado por un arco plano y un tablero curvo inferior. .......................... 400 19.2.3. Tipología de secciones transversales atirantadas o suspendidas desde un borde. ......................... 406 19.2.4. El método de los nudos desplazados............................................................................................. 407 19.2.5. Tablero recto con apoyos desplazados lateralmente. .................................................................... 408 19.2.6. Tablero curvo con apoyos desplazados radialmente. .................................................................... 410 19.2.7. Las péndolas de los puentes arco espaciales. ................................................................................ 411 19.2.8. Puente arco espacial de planta curva impuesta. ............................................................................ 412 19.2.9. Metodología de obtención de la directriz antifunicular. ............................................................... 413 19.2.10. Puente arco espacial formado por un arco espacial antifunicular y un tablero curvo. .................. 415 19.2.11. Resumen del comportamiento transversal en servicio del puente arco espacial. .......................... 419
19.3. LÍNEAS FUTURAS DE ESTUDIO...................................................................................................................... 420 19.3.1. Acciones. ...................................................................................................................................... 420 19.3.2. Modelización de secciones transversales. ..................................................................................... 420 19.3.3. Antifunicularización en planta del tablero. ................................................................................... 421 19.3.4. Estudios dinámicos, vibraciones y fatiga. ..................................................................................... 421 19.3.5. Arcos de hormigón ó mixtos......................................................................................................... 421 19.3.6. Estados avanzados de carga. ......................................................................................................... 421
X
19.3.7. Inestabilidad del arco espacial....................................................................................................... 421 19.3.8. Optimización de la sección transversal y de las distribuciones de rigidez. ................................... 425 19.3.9. Otras configuraciones de atirantamiento. ...................................................................................... 425
19.4. CONCLUSIONES FINALES. ............................................................................................................................. 427
20 BIBLIOGRAFÍA. 429
APÉNDICES:
A VARIABLES RESERVADAS EN EL CÓDIGO DE SABRINA. 437
B EJEMPLO DE ARCHIVO DE DATOS DE SABRINA. 447
C CÓDIGO DE FUNCIONES DE POSTPROCESO DE SAP2000 (V. 7.40). 455
D CÓDIGO DE FUNCIONES DE ESCRITURA DE ARCHIVOS *.S2K DE DATOS DE SAP2000. 471
E CÓDIGO DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. 489
F CÓDIGO DE DIMENSIONAMIENTO AUTOMÁTICO DE PÉNDOLAS. 495
G CÓDIGO DE DETERMINACIÓN DE CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN. 499
H CÓDIGO DE DETERMINACIÓN DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR. 503
XI
NOTACIÓN.
En general, se ha procurado que la notación empleada quede aclarada en el texto adyacente, o referenciada adecuadamente. A continuación se relaciona, sin ánimo exhaustivo, la utilizada con más frecuencia:
MAYÚSCULAS LATINAS
E Módulo de deformación.
FH Fuerza horizontal de desvío (véase 14.3).
G Módulo de deformación transversal.
Geometría completa de una estructura (véase 6.2).
Carga permanente (véase 9.1.4)
I,I3 Inercia a flexión longitudinal.
I,I2 Inercia a flexión transversal.
J Inercia a torsión.
Kv Rigidez al desplazamiento vertical.
Kθ Rigidez al giro.
KP Rigidez de un apoyo elástico ó péndola vertical.
L Longitud, luz.
LA Luz recta del arco.
LP Longitud de la péndola (véase 4.5.2).
M2 Flexión longitudinal (véase 3.5.3).
M3 Flexión transversal (véase 3.5.3).
N Esfuerzo axil.
NP Esfuerzo axil en péndolas.
YT Coordenada en eje Y de estribo de tablero.
P Acción del pretensado.
Resultante de cargas verticales (véase 12.4).
Pext Conjunto de acciones exteriores (véase 10.2).
R Reacción.
Radio de cuvatura.
S Desarrollo.
Solicitación.
T Esfuerzo torsor.
Incremento de temperatura en una barra (véase 15.2).
Axil en péndolas de contrarresto (véase 14.4).
V Matriz de coeficientes (véase 10.2.5).
ZT Coordenada en eje Z de plano de tablero.
XII
MINÚSCULAS LATINAS
e0 Excentricidad accidental (véase 19.3.7).
e2 Excentricidad según el eje local 2 (véase 15.5).
e3 Excentricidad según el eje local 3 (véase 15.5).
b Ancho de plataforma de tablero.
bA Ancho de sección transversal de arco.
bL Distancia de ripado (desplazamiento) transversal/radial de un apoyo.
bS Ancho total de plataforma sobre la que puede actuar la sobrecarga uniforme (véase 3.5.2).
bT Ancho de sección transversal de tablero.
fA Flecha vertical del arco (Véase 3.3.1).
gT Flecha horizontal del tablero de planta curva (Véase 3.3.1).
hA Canto de la sección transversal del arco.
hG Altura de la caja de gálibos del tablero (véase 9.1).
hT Canto de la sección transversal del tablero.
nA número de tramos del arco.
nint Número de nudos en modelo entre dos péndolas.
nP Número de péndolas.
n1 Versor del eje local 1 de barra.
n2 Íd. de eje local 2
n3 Íd. de eje local 3
s Sobreancho de tablero.
t Espesor.
tf Espesores de alas.
tw Espesores de almas.
vY Desplazamientos transversales
vZ Desplazamientos verticales
z Cota de la directriz del arco.
MAYÚSCULAS GRIEGAS
Ω Área.
MINÚSCULAS GRIEGAS
α Ángulo de péndola con plano horizontal (véase 5.2.2 )
Solución de un sistema de ecuaciones (véase 10.2.5 ó 15.2).
φ Diámetro.
γI Coeficiente de ponderación de la inercia a flexión del tablero.
γJ Coeficiente de ponderación de la inercia a torsión del tablero.
ρ Peso específico de material.
θ Ángulo de giro longitudinal en barra (véase 10.2.5)
XIII
σ Tensión normal.
σi Tensión normal en un punto.
σu Tensión última.
ω Giro del arco respecto de la cuerda que une sus estribos (véase 8.2).
SUBÍNDICES
i,j Genérico, como en Ni
i,e Interior y exterior, como en Pi, Pe, Ti ó Te (véase 12.4)
A Relativo al arco (Como en fA ó LA)
En el arco, relativo a los arranques, como en NA (véase 4.5.1).
C En el arco, relativo a la clave, como en NC (véase 4.5.1).
H Componente o proyección horizontal.
T Relativo al tablero (Como en gT ó YT).
P Relativo a las péndolas (Cómo en NP).
X Relativo al eje global X
Y íd. Y.
Z íd. Z.
Componente o proyección vertical.
I,II Ordinal, como en NPII y NP
I (véase 4.5.1).
1,2,3 Ordinal, como en α1 o α2 (véase 5.2.2 ).
Ejes locales de barras, como en n1, n2 ó n3 (véanse 3.5.3 y 15.2).
Ejes de flexión, como en M2 ó M3 (véase 3.5.3).
ABREVIATURAS DE HIPÓTESIS DE CARGA Y COMBINACIONES (Véanse 3.4 y 3.5)
PP Peso propio
CP Carga permanente
PRETP Pretensado de péndolas y, en su caso, cargas de gatos en estribos (véase 15.2).
SCUA Sobrecarga de 4 KN/m2 en semitablero dorsal.
SCUB íd. semitablero frontal.
SCUC íd. semitablero izquierdo.
SCUD íd. semitablero derecho.
SCUE íd. todo el tablero.
HIP0 PP + CP +PRETP
HIPA HIP0 + SCUA
HIPB HIP0 + SCUB
HIPC HIP0 + SCUC
HIPD HIP0 + SCUD
HIPE HIP0 + SCUE
HIPAF HIP0 + 0.5 · SCUE
XV
AGRADECIMIENTOS.
Un trabajo de esta índole no puede ser nunca fruto exclusivo del trabajo de una sola persona, y es de justicia que el autor reconozca las aportaciones de los que, de un modo u otro, le han ayudado antes y durante la redacción del mismo.
Aunque suponga remontarme a mis años de estudiante (si es que he dejado de serlo), me gustaría en primer lugar dirigir mi gratitud a Manuel Elices y a todo el Departamento de Ciencia de Materiales, muy en especial a Andrés Valiente, Gustavo Guinea y Gonzalo Ruiz, por lo agradable que hicieron mi estancia como becario de colaboración. Sin duda, su ejemplo diario me estimuló decisivamente a continuar, posteriormente, con los estudios de doctorado.
Nunca agradeceré tampoco lo bastante a José Antonio Fernández Ordóñez ( ) que me permitiera dedicar, también por los mismos años, su asignatura al estudio de la estética de los puentes contemporáneos. De él partió la idea de que aquel trabajo fuera el germen de un libro que ya nunca podremos escribir. Me consuela pensar, sin embargo, que otros, sin duda más indicados, lo hacen cada día mejor que yo. No temo exagerar al afirmar que, con su orientación, la redacción de aquel trabajo de curso, durante el que además conocería personalmente a Javier Manterola, confirmó definitivamente mi vocación inicial por las estructuras.
En el mismo periodo de tiempo tuve la oportunidad también de conocer por primera vez la exquisita amabilidad y modélica dedicación del personal del servicio de documentación del Colegio de Ingenieros de Caminos de Madrid. Desde entonces, les he frecuentado con agrado. A ellos, y en particular al interés personal de Marisa Marco, debo gran parte de la bibliografía empleada.
Que simultanear los estudios de doctorado con el trabajo no se convierta en algo insostenible es algo que queda, en última instancia, sujeto a la voluntad de la empresa. Por eso es justo que reconozca a Juan Batanero y a la empresa Tecnología e Investigación Ferroviaria (TIFSA), en particular a Luis Salas, entonces mi superior directo, las facilidades de toda índole que me dieron para poder retomar mis estudios de doctorado, una vez interrumpidos, y simultanearlos con el trabajo durante parte del tiempo que permanecí allí. Debo asimismo a Justo Carretero, de la misma empresa, muchos consejos bienintencionados y mis primeros contactos con MATLAB, sin el cual esta tesis sería sin duda muy diferente.
A la hora de agradecer las contribuciones de mis amigos me gusta pensar que, si aceptamos la validez del efecto mariposa, no existe aportación nimia, ni comentario o fotocopia que no pueda alcanzar, con el tiempo, una dimensión crucial. A todos (Enrique, Manu, Juan, Gonzalo) debo su interés y el afán sincero de ayudar en los momentos justos. De la insistencia de algunos (Iñigo, Luis, Natalia, María) obtuve parte de las fuerzas que necesitaba para decidirme a dedicarme en exclusiva a terminar esta tesis. No me gustaría dejarme a nadie (acabo de hacerlo con esta frase), pero quisiera agradecer muy especialmente los pacientes apoyos, durante años, de Joaquín Borrajo, Mikel de Ortúzar y Ulises Wensell.
Quisiera también reconocer las sugerencias, siempre atentas y desinteresadas, de los miembros del Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras, que han ayudado a mejorar el texto final y su enfoque. Quisiera recordar, especialmente, las de Celso Iglesias, Juan Moreno Torres y Carlos Siegrist.
A mi familia quisiera darle las gracias por estar siempre ahí donde se la necesitó: en Cartagena y en Madrid, en todos los momentos buenos y sobre todo en los no tan buenos. Algunos de ellos no han podido leer estas líneas, pero esta tesis es también, de alguna manera, obra suya.
Por último, last but not least, quisiera agradecer muy especialmente a Javier Manterola que me haya regalado el privilegio de contar con su tutela y dirección para la redacción de esta tesis, aunque, en realidad, sólo constituya una minúscula fracción de la impagable deuda que he contraído con él no sólo en el ámbito académico o profesional sino también en el personal. Sean pues estas líneas una muestra de mi más sincero y cordial agradecimiento.
Muchas gracias a todos.
Juan José Jorquera Lucerga.
Madrid. 2007.
XVII
A la memoria de mi abuela
Ramira Fuentes ( 2003),
a quien tanto debo...
Y a mis padres.
A.M.D.G.
XIX
“...yo diría que es barroca la etapa final de todo arte, cuando éste exhibe y dilapida sus medios.”
Jorge Luis Borges.
1
CAPÍTULO 1
1 INTRODUCCIÓN.
1.1. RAZÓN DE SER DE LA TESIS DOCTORAL.
1.1.1. RAZONES FORMALES.
Es sabido que, en el ámbito de la ingeniería moderna, la estética de las obras está cobrando cada vez más importancia. Este fenómeno se acentúa en el caso de estructuras en entornos urbanos donde, además de las necesidades obligadas de funcionalidad o seguridad (véase Menn [60]), se pretende en ocasiones establecer hitos arquitectónicos.
Como tales, el aspecto económico de estas obras suele pasar a segundo plano. Además, desgraciadamente y con demasiada frecuencia, su rigor estructural suele quedar relegado en favor de un afán de novedad formal.
Tal libertad en las propuestas no puede aparecer si los condicionantes existentes impiden un abanico de soluciones lo suficientemente variado. Esto sólo es posible, pues, en un entorno de sobreabundancia. Es en este entorno donde las sociedades desarrolladas modernas han colocado de lleno a los puentes de luces medias, en una clara desproporción de los medios respecto de los fines.
Dicha sobreabundancia se muestra, entre otros, en tres factores principales:
• El desarrollo de herramientas más potentes de análisis estructural, producto de la revolución que supone el empleo cotidiano de la informática en todos los ámbitos productivos (véase, por ejemplo, Suárez et al. [84]).
• La introducción de nuevos materiales de construcción, junto con el mayor conocimiento y experiencia de uso de los ya conocidos.
• El desarrollo reciente de métodos incomparablemente más potentes de ejecución de estructuras.
Una de las tipologías que más éxito está teniendo recientemente, sobre todo en Europa, son los puentes y pasarelas en arco. Además, no parece casualidad que, en una época que sobrevalora lo visual, sean sobre todo estructuras de arco superior, que quedan a la vista.
Esta situación ha propiciado disposiciones tipológicas novedosas tanto para los arcos como para su vinculación con los tableros, como son las siguientes, que posteriormente se estudian con más detalle:
• Ripado transversal de los arcos desde el eje hacia posiciones excéntricas o al borde lateral de la sección transversal del tablero.
• Inclinación o alabeo del plano que contiene la directriz del arco.
• Vinculación de arco ripado y tablero con péndolas rígidas.
• Curvatura o bifurcaciones de los tableros.
• Atirantamiento en un solo borde de los tableros.
• Dislocación de la posición relativa arco-tablero.
1.1.2. RAZONES FUNCIONALES.
Existe una relación funcional que genera demandas tipológicas convergentes con las que acabamos de mencionar, motivadas por razones exclusivamente formales.
Este problema funcional es también relativamente reciente y se resume en que, cada vez con más frecuencia, el trazado y la estructura son fases sucesivas de proyecto y no simultáneas. La sobreabundancia a la que nos referíamos antes permite que el responsable del trazado se acostumbre a pensar que es posible sostener sin problemas cualquier plataforma sobre casi cualquier obstáculo. José Antonio Fernández Ordóñez acuñó la feliz expresión “perder el respeto al río” para expresar esta despreocupación por lo resistente, por otra parte, tan deseada históricamente. La estructura ya no es un
2
condicionante del trazado, sino que queda condicionada por éste.
En ocasiones la plataforma es curva, y para sostener ésta, a veces, la estructura más indicada es un puente arco. La solución más utilizada es eludir el problema sosteniendo el tablero con un arco recto. Pero si afrontamos el problema funcional que surge en este caso, se plantea un nuevo problema resistente de mucho interés, en el que el esquema estructural del arco pierde su planeidad, y que resulta de una complejidad suficiente como para justificar por sí solo esta tesis doctoral.
1.1.3. DESARROLLO DEL TIPO.
El estudio del puente arco espacial1, que es como hemos denominado a este tipo estructural, tiene ahora incluso más interés que cuando nos planteamos iniciar su análisis2: el número de realizaciones que podemos incluir dentro del ámbito de estudio de esta tesis se sucede en los últimos años de un modo que sólo podemos calificar de vertiginoso. No en vano, prácticamente todas las realizaciones de interés son de los dos últimos decenios3.
En España no sólo, pero espoleado decisivamente por el éxito e influencia de proyectistas como Santiago Calatrava4, se están construyendo y proyectando numerosas estructuras con arcos inclinados en posición excéntrica o al borde del tablero5. Como afirma Miguel Aguiló [1], que ha estudiado con particular penetración esta situación, “las actuales exigencias simbólicas o de ostentación se encaminan hacia formas estructurales más expresivas porque existe suficiente técnica para saber que se pueden diseñar y construir otras muchas soluciones estructurales válidas.”
El mismo Aguiló establece que, paradójicamente, el tradicional retraso de España en el desarrollo de sus redes de transporte ha propiciado que la disponibilidad de tales posibilidades técnicas haya coincidido en el tiempo con los grandes programas estatales de infraestructuras, lo que ha tenido como consecuencia que el nivel de diseño de puentes en España sea muy alto6. Por el contrario, otros países más avanzados no se han podido beneficiar con la misma intensidad.
El fenómeno no es, por supuesto, exclusivo de España. Otro caso ejemplar es el del Reino Unido. Así, dentro de los hitos estructurales de los Millennium Bridges,7 con los que muchas ciudades británicas festejaron el año 2000, se construyeron muchas pasarelas singulares. Dentro de la tipología de arco espacial podemos citar las de Gateshead y York (véanse 2.3.4.1 y 2.3.3.5 respectivamente).
Francia es otro país donde se ha notado la creciente influencia de los arquitectos en las obras públicas, fundamentalmente en obras urbanas y periurbanas, dentro de equipos multidisciplinares. Aunque en algunos casos particulares (véanse, por ejemplo, los recogidos por Manterola en [43]) se hayan construido estructuras disparatadas, como el puente sobre la autopista A-71 (véase Virlogeux [97]), en
1 Sobre el concepto de puente arco espacial se profundiza en el capitulo 2, en el que además se establece el
estado actual de su desarrollo. 2 Los primeros puentes espaciales de arco único de los que tenemos noticia son los cuatro proyectados por
Robert Maillart, y han sido recogidos, entre otros, por Laffranchi y Marti [40]. Son los puentes de Ziggenbach (1924), Landquart (1930) y Bohlbach (1932), que culminan en el formidable arco laminar inferior con tablero curvo de Schwandbach (1933). Sobre éste último véase 2.3.4.7 y el trabajo de Billington [11].
3 Nos referimos fundamentalmente a estructuras de arco único, con asimetría longitudinal deliberada, que constituyen una gran parte de nuestro estudio. Otros puentes arco espaciales, principalmente simétricos, han tenido un desarrollo bastante anterior, pero más lento.
4 Posiblemente, algunos de ellos hayan cultivado más su destreza estructural que su talento formal. 5 El desarrollo de estas estructuras es realmente reciente: por ejemplo, la propuesta de Calatrava de Pont
Gentil sobre el Sena, con arco inclinado (véase 2.3.3.1), es de una fecha tan cercana como 1987-1988. 6 En el mismo articulo señala que “el precio a pagar han sido algunos puentes formalistas equivocados y
alguna aberración sin paliativos, tan evidentes que no merecen ser reseñados aquí.” Tampoco nosotros nos referiremos a dichas aberraciones, sin duda en la mente de todos.
7 Véase una descripción del proceso de creación de la pasarela de Gateshead (descrita en 2.3.4.1), una de estas estructuras, en Johnson y Curran [37]. La promoción pública en el Reino Unido de estructuras singulares asociadas a una fecha determinada se ha repetido posteriormente, por ejemplo en la ciudad de Cork, designada Capital Europea de la Cultura en 2005, con la construcción de la Mardyke Walk Footbridge, pasarela con arco superior, inclinado 26º, al borde del tablero de 60 m de luz, proyecto de Fehily Timoney Gifford.
3
general, se puede afirmar que el aumento de la importancia concedida a la estética de las estructuras ha resultado beneficioso.
En Alemania, parece que la creatividad formal de sus excelentes ingenieros estructurales, tradicionalmente encorsetada por normativas muy rígidas, ha encontrado más acomodo en las pasarelas peatonales, y en las obras realizadas en el extranjero.
El crecimiento de estas estructuras no es, sin embargo, uniforme ni universal: En Estados Unidos, por ejemplo, el desarrollo del tipo presenta cierto retraso8, aunque los arcos con formas más libres están siendo progresivamente incorporados por los equipos multidisciplinares a sus propuestas de concursos de arquitectura urbana9, y todo parece indicar que se tiende hacia una situación similar a la de Europa Occidental.
El tipo, pues, se encuentra actualmente en una fase inicial de desarrollo, pujante y sin visos aparentes de truncarse. Sí resulta, a nuestro juicio, evidente, como se señala posteriormente en esta tesis, que no ha alcanzado un estado de madurez tipológica como otras soluciones más asentadas, y que acepta todavía muchas aportaciones.
1.1.4. ESTUDIOS TEÓRICOS.
El interés demostrado en este tipo por los proyectistas no ha suscitado el mismo interés en los teóricos. Es evidente que la informática ha cambiado el modo de aproximarse, en la literatura técnica, al problema resistente: el cálculo tradicional ya no es un problema. Las aportaciones de carácter teórico han cedido terreno significativamente frente a las que describen obras particulares o las que realizan complejos estudios paramétricos, sustentados en la potencia de los ordenadores modernos.
Aquí también pudiera radicar la causa de que en la bibliografía técnica reciente abunden las descripciones de estructuras y escaseen los estudios teóricos de su comportamiento, si bien se puede afirmar en su descargo que el tratamiento analítico de muchos problemas actuales resultaría, por su complejidad, quizá demasiado farragoso.
Otra de las características que sólo se hacen dolorosamente evidentes cuando se pretende sistematizar el estudio de este tipo de estructuras es que no existe un corpus de conocimientos ordenado, que aborde de un modo más o menos sistemático sus características propias.
Además, la evolución tipológica de las realizaciones de puentes arco espaciales sufre de falta de homogeneidad, con obras bastante más aisladas e inconexas entre sí que en otros tipos.
Esto parece ser también una consecuencia de la incardinación del concepto de originalidad en propuestas que hasta muy recientemente sólo tenían un carácter técnico y ahora además ponderan el aspecto formal. Parece como si en lugar de pulir una técnica imperfecta hasta depurarla, el esfuerzo se centrara, como en un conjunto de artistas, en no repetir al anterior10.
Por citar un ejemplo, es muy escasa la bibliografía sobre estudios teóricos específicos de los puentes curvos atirantados al borde11. Por lo tanto, literatura técnica que abarca los objetivos de nuestra tesis de un modo tangencial ha resultado ser en este caso de mayor utilidad que la inicialmente prevista. Como muestra, han sido muy provechosos los estudios sobre puentes atirantados y estructuras de fábrica, y no sólo para el lógico estudio de estos últimos. De la bibliografía de puentes atirantados se han extraído análisis válidos para el estudio de los tableros suspendidos y de la de estructuras de fábrica conceptos útiles para la directriz del arco espacial.
8 Según Dick Corporation, el primer puente con arco inclinado de Estados Unidos será terminado en 2006,
en el vano central de 500 pies de luz del Main Street Bridge sobre el río Scioto en Ohio (véase 2.3.3.4). 9 Como, por ejemplo, las soluciones en arco inclinado al borde exterior de tableros curvos, sobre las calles
41 y 43 de Chicago, propuestos por Cordogan Clark & Associates y Earth Tech. (Véase el nº 39, correspondiente al 2º trimestre de 2005, de la revista Bridge Design & Engineering, una publicación que suele prestar mucha atención a las realizaciones de puentes con interés formal.)
10 Como afirmara Cocteau, en el arte cualquier valor probado es vulgar. 11 La escasez de bibliografía específica, lejos de desanimarnos, ha servido para confirmar el carácter
pionero, en muchos sentidos, de nuestros estudios.
4
1.1.5. OPORTUNIDAD DEL ESTUDIO.
Ayudar, por lo tanto, a clarificar el comportamiento de estas estructuras en este momento, puede ser de especial interés, ahora que este tipo de estructuras es cada vez más frecuente.
El problema es además abordable en la práctica gracias a la potencia conjunta que supone el uso intensivo de la programación informática sobre programas de análisis estructural por elementos finitos.
El interés personal del autor por este tema viene de largo: por ejemplo, cuando en el proyecto de fin de carrera, y tutelado por Javier Manterola, director de esta tesis, plantea un doble juego de arcos concurrentes en clave, que sustentan dos tableros curvos de sus bordes interiores. El puente, sobre el río Segura, nace con una clara vocación formal y espacial. Posteriormente, Santiago Calatrava construiría dos puentes, con sus clásicos arcos inclinados, en el mismo emplazamiento (véase 2.3.3.8).
Fig. 1.1-1.- Puente del proyecto de fin de carrera del autor (1996), tutelado por Javier Manterola.
1.2. OBJETIVOS DEL ESTUDIO. El objetivo fundamental de la presente tesis es pues, profundizar en el conocimiento del
comportamiento resistente de los puentes arco espaciales.
El estudio se limita a los puentes arco espaciales de arco y tablero únicos, pues sus conclusiones son muy fácilmente generalizables a configuraciones más complejas, como los de arcos dobles o de mayor número de tableros.
Para ello se estudian, con ayuda del empleo de herramientas informáticas desarrolladas específicamente, los principales parámetros que determinan la respuesta del puente arco espacial y su influencia relativa, con el objeto de caracterizar conceptualmente la tipología.
Con dicho objetivo principal en mente, y a la luz de las consideraciones realizadas anteriormente, podemos concretar una serie de objetivos parciales:
• Desarrollar un software lo bastante potente como para poder abordar problemas de la complejidad de los planteados y lo suficientemente flexible como para poder adaptarse con rapidez a problemas de nueva aparición durante el desarrollo de los trabajos.
• Desarrollar e implementar un método iterativo sistemático de obtención de las directrices antifuniculares de los puentes arco espaciales, que incluya el caso más general de arcos biempotrados y considere la influencia de la no linealidad, o la construcción por fases.
• Estudiar en los arcos planos verticales parámetros geométricos tales como el giro del arco o como la curvatura o el ripado transversal de los tableros. Estos parámetros están presentes en las realizaciones y son, por sí solos, causa de espacialidad.
• Determinar si el carácter espacial de los puentes arco puede ser un factor de sensibilización ante la no linealidad geométrica.
• Estudiar la influencia de los distintos parámetros geométricos y resistentes en los tableros rectos y curvos en los que los apoyos se desplazan transversal o radialmente.
5
• Determinar las posibles particularidades del comportamiento de las péndolas en este tipo de puentes.
• Generalizar a los puentes arco espaciales de directrices antifuniculares la influencia de los parámetros geométricos y resistentes anteriores.
• Determinar las características distintivas y de especial interés de los puentes arco de planta curva impuesta y de los antifuniculares de tablero superior.
Características comunes a todo el trabajo son:
• El estudio que realizaremos del puente arco espacial será para los estados correspondientes a cargas de carácter estático.
• Las hipótesis de carga actúan tanto con sus valores característicos como combinados en estados límites de servicio.
• En todos los cálculos se ha considerado un comportamiento elástico lineal del material, si bien se ha considerado el efecto de la no linealidad geométrica cuando se ha juzgado necesario.
• El enfoque que hemos realizado es de carácter teórico.
• Por último, dada la complejidad geométrica y algorítmica de las estructuras analizadas y de los métodos desarrollados, se ha empleado de forma sistemática la programación informática para la gestión de los modelos introducidos en los programas de cálculo de estructuras empleados.
Las razones de adoptar tales criterios son que las cargas estáticas, en oposición a las dinámicas, caracterizan muy bien el comportamiento de las estructuras y requieren menos complejidad de análisis.
Otro tanto ocurre al considerar material elástico y sólo los estados límites de servicio. Hemos considerado preferible no complicar en exceso el análisis en estos aspectos en un intento de no perder la visión global del problema, lo que podría ocurrir con modelizaciones muy complejas. Entendemos que éstas sí son, sin embargo, imprescindibles, en estudios de ámbito más local.
1.3. CONTENIDO DE LA TESIS. En el capítulo 2 se profundiza en el concepto de puente arco espacial. Además se establece una
clasificación de los mismos en función de la forma, número y disposición relativa de sus elementos resistentes. Por último se presentan una serie de ejemplos de realizaciones y proyectos, que permiten establecer, con suficiente representatividad, el estado actual de su desarrollo tipológico.
En el capítulo 3 se presentan, en primer lugar, las características de los códigos de pre y postproceso sobre el programa de elementos finitos SAP2000 para la generación automática de todos los modelos necesarios. Toda la programación ha sido realizada en lenguaje MATLAB expresamente para este trabajo por el autor del mismo. Los criterios de generalidad y de flexibilidad han sido primordiales en su desarrollo, ya a que, a priori, se desconocían las características de las estructuras que se habían de analizar.
Los archivos de datos de entrada del programa principal son en sí mismos archivos programables que permiten definir tipologías estructurales muy variadas. El programa permite definir procesos iterativos de estructuras definibles por el usuario con total control de varios centenares de variables a los que se accede con notación matricial muy compacta. El programa es un código abierto que permite sin modificaciones la incorporación de funciones y módulos adicionales.
Además se definen varios aspectos particulares de los cálculos de la presente tesis, como las magnitudes geométricas principales, características resistentes y las acciones consideradas en función de las instrucciones vigentes.
En los capítulos 4 a 8 se realiza un estudio de los arcos planos, principalmente verticales, vinculados mediante péndolas a un tablero inferior de curvatura variable atirantado al eje.
• En el capítulo 4 se estudia, en un puente arco plano vertical, el efecto de aumentar la curvatura del tablero, manteniendo coincidentes los arranques del arco y los estribos del tablero.
6
• En el capítulo 5 se revisan los resultados del capítulo 4, incorporando el efecto de la no linealidad geométrica. Se estudia la verificación de los condicionantes tensodeformacionales, para los que se definen envolventes simplificadas y se predimensionan los arcos del capítulo 4.
• En el capítulo 6 se estudia y acota el efecto de la contraflecha de ejecución sobre los puentes anteriores.
• En el capítulo 7 se estudia la influencia del ripado transversal del tablero de curvatura constante con respecto al arco. Se estudia en particular la influencia de la posición relativa transversal sobre el control de los esfuerzos y de las deformaciones.
• En el capítulo 8 se estudia, en el puente arco plano vertical con tablero recto, el efecto de girar el arco respecto de la cuerda que une sus arranques.
En los capítulos 9 a 12 se estudian los tableros atirantados/suspendidos en uno de sus bordes, que son de particular interés en los puentes arco espaciales.
• En el capítulo 9, al margen del estudio de los sobreanchos, se estudian las tipologías empleadas en las realizaciones conocidas, tanto en lo relativo a sus características resistentes como a sus tipologías de suspensión.
• En el capítulo 10 se desarrolla y formula un método, que hemos denominado de los nudos desplazados, que permite determinar, de modo directo, la distribución de reacciones en un tablero de planta arbitraria en el que se ripan los apoyos perpendicularmente a la directriz. El método muestra claramente todos los mecanismos resistentes que se movilizan al desplazar los apoyos así como su importancia relativa, en una compacta notación matricial de fácil implementación en un ordenador personal.
• En los capítulos 11 y 12 se realizan dos estudios paralelos, con tableros de muy distinta rigidez a torsión. En cada uno de ellos se estudia el tablero recto y curvo con los apoyos ripados lateral y radialmente generalizando el caso conocido del puente curvo sobre apoyos puntuales. El estudio paramétrico realizado analiza el efecto de diversos factores como la curvatura en planta, la distancia lateral de desplazamiento, las rigideces a flexión y torsión, y las vinculaciones en los apoyos del tablero, para posteriormente aplicarlo al tablero curvo suspendido del arco.
El capítulo 13 está dedicado al estudio de las péndolas. Tras un estudio tipológico de las obras ejecutadas, se discuten aspectos propios del arco espacial como la necesidad de la consideración de la no linealidad, o la conveniencia de igualar sus áreas a efectos de la eficacia resistente.
Los capítulos 14 a 18 abordan los puentes arco cuya directriz es espacial, bien porque los condicionantes funcionales imponen una de sus proyecciones, bien porque se hayan obtenido imponiendo alguna condición, como las directrices antifuniculares.
• En el capítulo 14 se estudian los que hemos denominado puentes arco de planta curva impuesta, que surgen cuando un tablero recto, atirantado en su eje mediante péndolas verticales, se curva, forzando la planta del arco por razones de mantenimiento del gálibo. Se estudian, entre otras, disposiciones tipológicas como el efecto de las péndolas rígidas o las soluciones tipo Galindo, con tirantes de contrarresto adicionales en el borde interior del tablero.
• En el capítulo 15 se establece la metodología que se ha seguido para definir un método iterativo de obtención de directrices espaciales antifuniculares. Para ello se ha desarrollado un algoritmo de gran potencia que se ha incorporado en un programa propio. Se han desarrollado dos métodos iterativos, que hemos denominados de las excentricidades locales y de las reacciones globales, de resultados idénticos y formulaciones muy sencillas, y que generalizan para los arcos espaciales empotrados los métodos usuales para arcos planos biarticulados.
• En los capítulos 16 y 17 se estudian los arcos antifuniculares espaciales. El arco plano vertical de directriz parabólica vinculado a un tablero curvo inferior (de los capítulos 4 a 8) es ahora la geometría inicial del proceso iterativo de determinación de la directriz antifunicular definido en el capítulo 15. En el capítulo 16 se estudia la influencia de la curvatura del tablero inferior, considerando el efecto de la no linealidad geométrica, mientras que el capítulo 17 se estudia el efecto de variar la posición transversal relativa arco-tablero.
7
• En el capítulo 18 se estudian, para completar nuestro estudio, las particularidades que presentan los puentes formados por un arco inferior de directriz antifunicular y un tablero curvo superior.
En el capítulo 19 se establecen las conclusiones generales del trabajo, así como las previsibles líneas futuras de estudio.
El trabajo se completa con la relación de las referencias bibliográficas consideradas.
9
CAPÍTULO 2
2 CONCEPTO, CLASIFICACIÓN Y REALIZACIONES.
2.1. CONCEPTO DE PUENTE ARCO ESPACIAL. Está claro que, en un sentido estrictamente físico, todas las estructuras, incluidos los arcos, son
espaciales, porque se ubican en su posición en las tres dimensiones del espacio, ocupando un volumen.
Sin embargo, cuando afirmamos que una estructura es plana, entendemos perfectamente a qué nos estamos refiriendo: este adjetivo no deja de ser un convenio que nos ayuda a clarificar el comportamiento de la estructura o a definir su forma.
En concreto, en ingeniería estructural, se suele entender que una estructura es plana cuando tanto las directrices de las piezas que la constituyen como las acciones que actúan sobre ella son coplanarias.
Así, al hablar de puente arco plano se puede hacer referencia a una estructura que esté formada por un arco vertical y un tablero recto, de directrices coplanarias. En el arco plano los apoyos del tablero son axiales: está suspendido del arco, superior, mediante una familia de péndolas o apoyado, mediante montantes centrados, sobre un arco inferior.
Sin embargo, el concepto de puente arco plano que habitualmente empleamos es más amplio, ya que incluye acciones como las sobrecargas uniformes en semitableros longitudinales, que provocan torsiones en el tablero (y en el arco, si las péndolas/montantes están empotradas a torsión), o como el viento o el gradiente térmico transversales, que hacen trabajar al arco fuera del plano.
Podríamos, pues, entender el puente arco espacial como aquél cuyo comportamiento no es asimilable al de un puente arco plano clásico, vertical, con tablero recto de directriz coplanaria a la del arco y atirantamiento centrado al eje.
Según esta idea, por ejemplo, un puente arco con dos arcos verticales, uno en cada borde lateral del tablero, no es plano en el sentido anterior. Es cierto que ante las cargas permanentes la simetría del conjunto permite descomponer fácilmente su comportamiento en el de una serie de elementos planos. Sin embargo, la sobrecarga excéntrica vertical provoca una distribución de esfuerzos, función de las rigideces de todos los elementos estructurales, cuya determinación, en general, dista de ser inmediata, máxime si ambos arcos están vinculados entre sí, por ejemplo, por algún tipo de arriostramiento transversal.
Otro tanto ocurriría para un arco único centrado pero con dos familias de péndolas que atirantaran simultáneamente ambos bordes del tablero.
El carácter no plano de este tipo de estructuras se acrecienta si, por ejemplo, los arcos se giran respecto de la cuerda que une sus arranques, pues entonces aparecen acciones fuera del plano de los arcos ya para su peso propio1.
Por lo tanto, el concepto de puente arco espacial está muy vinculado a la excitación de los mecanismos resistentes transversales para cargas permanentes o sobrecargas exclusivamente verticales.
Es de destacar que el carácter espacial del puente arco aparece, forzosamente, en una estructura asimétrica2 respecto del plano longitudinal.
Además, los puentes asimétricos, por lo general, dejan de poder equipararse a arcos planos ya para cargas permanentes, mientras que los simétricos puede que sólo se aparten del comportamiento
1 Como en casi todas las clasificaciones tipológicas, las fronteras resultan algo difusas: El puente de la
Barqueta (véase 2.4.3.1) nace con clara vocación espacial, pero salvo el detalle de la apertura del arco en arranques, es un arco plano clásico atirantado al eje. Quizá sería más correcto definirlo como puente de ancho variable. Sin embargo, el atirantamiento espacial de la pasarela de Montigny-lès-Cormeilles (véase 2.4.3.3) la vuelve plenamente espacial, para un esquema resistente en el arco idéntico al del puente de la Barqueta.
2 El concepto de estructura deliberadamente asimétrica es más reciente de lo que parece: El primer ejemplo de entidad (recogido por Manterola en [43]) lo constituye el puente atirantado de Severin (1962) proyectado por F. Leonhardt y G. Lohmer, de 301 m de luz, en el que el pilono se desplaza para no interferir en la perspectiva visual de la catedral de Colonia.
10
plano para determinadas sobrecargas.
2.2. CLASIFICACIÓN. Dentro de las realizaciones existentes de puentes arco espaciales, podemos establecer una
clasificación en función de la forma, número y disposición relativa de sus elementos resistentes.
2.2.1.1. Con respecto al arco:
a) En función del número de arcos.
• De arco único.
• De arco doble.
b) En función del número de cordones de cada arco3.
• De cordón único.
• De más de un cordón.
• De número variable según la directriz.
c) En función de la posición relativa de los cordones en el arco4.
• De posición relativa constante según la directriz del arco.
• De posición relativa variable.
d) En función del giro longitudinal del arco.
• Arco vertical.
• Arco girado respecto a la cuerda que une sus arranques.
e) En función del giro vertical del arco.
• Arranques alineados con el eje longitudinal del puente.
• Arco girado respecto a un eje vertical.
f) En función de la posición del arco con respecto a la sección transversal del tablero.
• Arco centrado en la sección.
• Arco excéntrico, situado entre el centro y el borde.
• Arco excéntrico en borde de sección transversal.
g) En función de la planeidad de la directriz del arco.
• Arco de directriz plana.
• Arco de directriz alabeada.
2.2.1.2. Con respecto al tablero:
a) En función del número de tableros:
• Puente de tablero único.
3 Un puente de arco único con dos cordones de separación variable sería, por ejemplo, el cuarto puente de
Logroño (véase 2.4.3.4), y un caso de arco doble sería la pasarela de Plentzia (véase 2.4.5.2). 4 Un arco con cordones de separación constante sería por ejemplo, el puente Lusitania de S. Calatrava
sobre el Guadiana en Mérida (véanse las pp.150-155 de Tzonis [93]), y de separación variable sería el cuarto puente de Logroño (véase 2.4.3.4).
11
• Puente de más de un tablero.
b) En función de la planta del tablero.
• Planta recta.
• Planta curva.
• Plantas rectas y curvas en el mismo puente.
2.2.1.3. Vinculación arco(s)-tablero(s):
a) En función de la posición relativa arco-tablero.
• Arranques de arco coincidentes con estribos de tablero.
• Arranques y estribos no coincidentes.
b) En función del número de familias de péndolas o montantes5 en cada arco:
• Una familia.
• Dos familias.
• Más de dos familias.
c) En función de la posición de los anclajes en la sección transversal del tablero:
• Axial.
• En bordes6.
o En ambos bordes simultáneamente.
o En un borde del tablero recto.
o En borde interior del tablero curvo.
o En borde exterior del tablero curvo.
• En posición intermedia entre el eje y los bordes.
Otros casos más complejos pueden obtenerse, en general, como combinación de los recién mostrados. El caso frecuente de dos arcos convergentes en clave (véase 2.4.5) puede entenderse, en función de la clasificación anterior, como el de dos arcos laterales girados hacia el interior respecto de la cuerda que une sus arranques, y el de dos arcos divergentes en clave (véase 2.4.6) como un caso análogo, con los arcos girados en sentido contrario.
En general, el carácter espacial del puente arco viene dado por una o varias de las características definidas, si bien la combinación de varias no produce, lógicamente, un puente arco espacial de modo automático.
2.3. EJEMPLOS DE REALIZACIONES ASIMÉTRICAS. A continuación se presenta una serie de ejemplos, suficientemente representativos, de
realizaciones de puentes arco espaciales, así como algunas estructuras no construidas, pero que incluimos por su evidente interés. En conjunto, estos ejemplos permiten establecer, de modo bastante aproximado, el estado actual del desarrollo tipológico.
El objeto de este trabajo no ha sido, en ningún momento, realizar una recopilación exhaustiva de este tipo de estructuras. Para ello habría que considerar además, las dificultades añadidas que supondría
5 En este trabajo hemos empleado la denominación, habitual, de péndolas a los elementos, generalmente
traccionados, que vinculan un arco superior a un tablero inferior y de montantes a los que vinculan un arco inferior y un tablero superior.
6 Las secciones apoyadas en un borde se estudian con más detalle en los capítulos 9 a 12.
12
tanto su elevado número, en rápido crecimiento, como la pequeña envergadura de muchas de ellas, gestionadas por autoridades locales, lo que dificultaría mucho su localización.
Los ejemplos se han agrupado según su rasgo tipológico más distintivo. Sin embargo, en casi todas concurre más de una sola causa de espacialidad si se consideraran aisladamente.
2.3.1. CAUSAS MÁS FRECUENTES DE ASIMETRÍA.
Entre las causas más frecuentes de asimetría, en los puentes de arco único, podemos citar las siguientes:
a) Falta de coincidencia en planta entre los arranques del arco y los estribos del tablero.
En caso de no coincidir en planta los arranques del arco y del tablero se fuerza la asimetría del conjunto, independientemente de las formas del arco o del tablero.
Es el caso, por ejemplo, del puente Juscelino Kubitschek en Brasilia (véase 2.3.5.1) o el Hulme Arch en Manchester (véase 2.3.5.3), donde el arco es plano y vertical, pero los arranques del arco no están en la vertical de los estribos.
b) Tablero de planta curva o arco de proyección horizontal curva.
Análogamente, independientemente de la forma del arco, y aunque los estribos y los arranques estén en la misma vertical, el puente arco adquiere carácter espacial si el tablero es curvo. Otro tanto ocurre si la directriz del arco es de proyección horizontal curva.
Es el caso, por ejemplo, de la pasarela basculante de Gateshead (véase 2.3.4.1). El arco es parabólico y los arranques coinciden con los extremos del tablero, aunque con una cierta excentricidad necesaria por cuestiones de gálibo horizontal.
c) Arco descentrado del eje del tablero.
El arco se dispone en un lateral, o, según tendencias más recientes, separando transversalmente circulaciones de vehículos y peatones. En estas disposiciones el tablero suele ser recto o con curvatura muy leve. Muy a menudo las péndolas se convierten en elementos rígidos. Esta configuración ha sido muy repetida por Santiago Calatrava como, por ejemplo, en la Pasarela de la Devesa, en Ripoll (véase 2.3.3.2) o en el puente de la Alameda en Valencia (véase 2.3.3.3).
Un ejemplo de arco desplazado totalmente a un lateral y con las péndolas, según sus autores, dispuestas imitando la posición de los radios de una bicicleta, lo constituye la Pasarela del Milenio en York (véase 2.3.3.5).
d) Arco inclinado (girado respecto de la cuerda que une sus arranques).
Suele inclinarse el arco al mismo tiempo que se ripa transversalmente para ocupar una posición excéntrica o totalmente al borde del tablero, por no interferir con los gálibos. Es el caso, por ejemplo, de la propuesta para el Pont Gentil sobre el Sena de Santiago Calatrava (véase 2.3.3.1).
e) Arco girado respecto de un eje vertical.
Es un caso particular del caso en el que estribos y arranques no coinciden, como ocurre en el Tiergartenbrücke en Dessau (véase 2.3.5.5) o la Pasarela sobre la Mülheimer Strasse en Oberhausen (véase 2.3.5.4).
f) Disposición relativa arbitraria entre arco y tablero.
Un ejemplo muy audaz sería la pasarela sobre el río Yarra en Melbourne (véase 2.3.5.6), en la que un arco plano vertical cruza diagonalmente un tablero quebrado en planta y alzado, suspendido de la clave mediante una célula triangular.
13
g) Arco de directriz alabeada.
Por supuesto, disponer directrices alabeadas implica que el puente adquiera carácter espacial de modo automático. Son los casos de la pasarela de Ripshorst (véase 2.3.6.2) o del puente sobre el río Galindo (véase 2.3.6.1).
2.3.2. ARCO VERTICAL EXCÉNTRICO.
2.3.2.1. Puente del puerto de Ondarroa.
Fig. 2.3-1.- Puente del puerto de Ondarroa.
El puente del puerto de Ondarroa7, en la costa vizcaína, es un proyecto de Santiago Calatrava (véase Jodidio [36]). Se sitúa en la desembocadura del río Artibai. El proyecto y la construcción de la obra abarcaron desde 1989 a 19958. El elemento portante principal es un arco de 71.6 m de luz y 14.9 m de flecha. El tablero tiene una anchura variable de 20.9 m en estribos y 23.7 m en el centro, pues mientras que la calzada para la circulación rodada es recta y de ancho constante de 11 m, la peatonal es curva, de manera que queda, entre ambas, un espacio vacío creciente hacia el centro del vano.
Los perfiles inclinados que sustentan la calzada peatonal se encuentran reforzados cada 2.86 m por puntales de acero radiales y por fuertes parejas de cables verticales anclados a la calzada principal. Jodidio9 justifica esta disposición, repetida posteriormente en los puentes de Valencia (véase 2.3.3.3) y Orleáns (véase 2.3.3.8), afirmando que una estructura portante horizontal tiene un efecto retesador y minimiza los esfuerzos por torsión. Además, afirma que con este sistema es posible situar el arco asimétricamente10.
7 A pesar de alguna referencia al arco del puente del puerto de Ondarroa como inclinado, según nuestras
informaciones, el arco es vertical y las inclinadas son las péndolas rígidas al borde interior de la calzada peatonal curva.
8 Íbid, p.180. Tzonis [93] lo sitúa en 1989-91. 9 Op Cit., pp.124-125. 10 No acabamos de entender a qué “efecto retesador” se refiere Jodidio, salvo que, evidentemente, se
refiera a que disponer el arco más centrado en el tablero reduzca la torsión con respecto a colocar el arco en el borde (Por otra parte, no nos extrañaría que fuera una mala traducción del texto). A este respecto, Tzonis recoge que, mientras el arco recibe cargas verticales a través de los tensores, está reforzado contra el pandeo por los brazos traccionados inclinados cargados por el peso ortogonal del paseo que da al mar.
14
2.3.3. ARCO INCLINADO EXCÉNTRICO CON TABLERO RECTO.
2.3.3.1. Propuesta para el Pont Gentil sobre el Sena. Paris.
Fig. 2.3-2.- Pont Gentil sobre el Sena.
El Pont Gentil ([36] y [95]) es la solución propuesta, no construida, en 1987-1988 por Santiago Calatrava para cruzar el Sena. La longitud del puente es de 185.9 m, y la luz del arco de 136.9. La altura del arco metálico, inclinado, es de 29.9 m.
A la derecha se muestra un esbozo de la sección transversal, donde el conjunto arco-tablero-péndola se asimila a un ave en vuelo.
2.3.3.2. Pasarela de la Devesa. Ripoll.
. Fig. 2.3-3.- Pasarela de la Devesa.
El proyecto (1989-1991) es de Santiago Calatrava (véanse Greenwold [34], Tzonis [93] y Jodidio [36]). La pasarela cruza el río Ter en Ripoll, en la provincia de Gerona. La longitud de la pasarela es de 64.9 m. El vano principal es de 43.9 m y está suspendido de un arco inclinado, excéntrico, que forma 65º con la horizontal y que se vincula al tablero mediante péndolas rígidas.
15
2.3.3.3. Puente de la Alameda. Valencia.
Fig. 2.3-4.- Puente de la Alameda.
El puente de la Alameda (véanse Jodidio [36], Tzonis [93] ó [96]), proyecto de Santiago Calatrava, atraviesa el lecho seco del Turia, en Valencia. El arco, situado en una posición transversal intermedia en la sección, está inclinado un ángulo de 30º y mide 14 m de altura. La calzada del puente mide 26 m de ancho y 130 m de largo. El proyecto y obra son del período 1991-1995.
2.3.3.4. Main Street Bridge sobre el río Scioto en Columbus, Ohio.
Fig. 2.3-5.- Main Street Bridge en Columbus. Ohio.
El proyecto es de Spiro N. Pollalis11, profesor de diseño de puentes en la Harvard Design School desde 1988. El puente [68] se plantea deliberadamente como elemento clave de la revitalización de una zona, en este caso del centro urbano de Columbus, Ohio, en EE.UU.
El puente, de una longitud aproximada de 700 pies (215 m) cruza sobre el río Scioto. El arco principal tiene una luz de 500 pies (152 m). Su terminación está prevista para 2006.
11 La sombra de Calatrava es alargada: el Prof. Pollalis ha trabajado con él, entre otros proyectos, en los
diseños del Puente del Alamillo (véase [68]), el concurso del Pont Gentil en Paris (véase 2.3.3.1) y el puente del puerto de Ondarroa (véase 2.3.2.1), con el que las similitudes formales del Main Street Bridge son más que obvias.
16
2.3.3.5. York Milennium Footbridge.
Fig. 2.3-6.- York Milennium Footbridge.
La Pasarela del Milenio de York (York Milennium Footbridge) cruza el río Ouse, con una longitud total de unos 150 m. El proyecto es de Whitby Bird & Partners12. En su zona central, la pasarela asciende para no interferir el gálibo de la navegación. La luz principal es de 80 m, y en ella se dispone un arco metálico inclinado 50º. El ancho del tablero es de 4.00 m, y está formada por una sección trapezoidal.
Las péndolas son cables de 19 mm de diámetro de acero inoxidable, separados aproximadamente 1.00 m, y se anclan alternativamente en el borde superior e inferior, lo que crea la apariencia, deliberadamente buscada, de los radios de la rueda de una bicicleta.
12 Esta oficina de ingeniería, con sede principal en Londres, es responsable de puentes y estructuras en los
que se ha cuidado especialmente el aspecto formal. En este capítulo incluimos algún ejemplo más de su notable trabajo, que puede consultarse en su página web http://www.whitbybird.com.
17
2.3.3.6. Proyecto de pasarela sobre la A-3. Madrid.
Fig. 2.3-7.- Proyecto de pasarela sobre la A-3. Madrid.
Es un proyecto de Arenas y Asociados de 2005, en el barrio de Santa Eugenia de Madrid [7]. Del proyecto, nominado por sus autores como la Pasarela de los Niños, transcribimos literalmente este texto que resume el origen del mismo:
“Es una estructura festiva, que llamamos de los niños porque sirve para comunicar al barrio con los colegios y polideportivo que están al otro lado de la autopista de Valencia. Las rampas en helicoide tienen algo de tiovivo infantil y de ellas nace un tablero de acero suspendido de un arco inclinado transversalmente. El arco se empotra en troncos de cono de hormigón que sustentan las rampas. Todo el conjunto trasmite movimiento y ritmo.”
2.3.3.7. Puente sobre el río Vltava. Ceske Budejovice.
Fig. 2.3-8.- Puente sobre el río Vltava.
Es un proyecto de Jiri Strasky [81]. Se encuentra en Ceske Budejovice, en la República Checa. El arco metálico, inclinado, tiene una luz de 53.20 m. El tablero, mixto, está formado por dos nervios tubulares metálicos laterales, vinculados entre sí por una serie de triangulaciones metálicas inferiores. Junto con la losa superior de hormigón, se crea una sección rígida a torsión que puede resistir una carga excéntrica.
Para eliminar los desplazamientos horizontales, el tablero es integral con los cimientos.
18
2.3.3.8. Otros ejemplos de Santiago Calatrava.
Santiago Calatrava ha convertido esta disposición de arco inclinado excéntrico, sólo o duplicado, en un tablero recto o poco curvado, en algo parecido a una especie de marca personal, y la ha repetido en más puentes, no todos construidos, así como en emplazamientos muy diferentes.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Fig. 2.3-9.- Ejemplos de Santiago Calatrava: (a) James Joyce Bridge; (b) Puente de Europa; (c) y (d) Puente del Observatorio; (e) Puentes del Hospital General.
Además de los ejemplos que hemos citado, y sin afán de ser exhaustivos, podemos citar:
• James Joyce Bridge, en Dublín. Fig. 2.3-9 (a).
• Puente de Europa en Orleáns. Fig. 2.3-9 (b).
• Puente del Observatorio en Lieja (Bélgica), Fig. 2.3-9 (c) y (d). En este puente se repite el esquema resistente de la pasarela de Campo Volantín (véase 2.3.4.2).
• Puentes del Hospital General, en Murcia, 1993-1999. Fig. 2.3-9 (e).
19
2.3.4. ARCO PLANO CON TABLERO CURVO.
2.3.4.1. Gateshead Millennium Bridge.
Fig. 2.3-10.- Gateshead Millennium Bridge.
El origen de esta pasarela (véanse Clark et al. [16], González Meijide et al. [32] ó Torres [89], y en especial Wells [99] y Johnson y Curran [37]) está en que la margen sur del río Tyne, correspondiente a Gateshead, constituía un cuadro decadente, producto de la falta de inversiones y del retroceso industrial, que contrastaba vivamente con la pujante Newcastle, en la margen opuesta.
La revitalización de Gateshead planeada por sus autoridades locales se basaba en satisfacer las necesidades culturales y de ocio de Newcastle, pero para ello era fundamental una conexión física permanente que diera acceso al centro de los nuevos desarrollos urbanos. La oportunidad de financiación vino en 1996, de la UK Millennium Commission. De los casi cincuenta proyectos presentados al concurso convocado, resultó adjudicatario, en 1997, el presentado por Wilkinson Eyre Arquitects en colaboración con la ingeniería Gifford and Partners.
La pasarela consta de un arco y de un tablero curvo. Los arranques del arco y los estribos del tablero son casi coincidentes y están vinculados por células de torsión.
Para permitir el gálibo de navegación, toda la pasarela bascula alrededor de un eje longitudinal, mediante articulaciones en los apoyos, hasta que las péndolas quedan horizontales.
El arco es parabólico, de 105 m de luz, y de sección trapezoidal variable13. El tablero, curvo en planta, permite la circulación peatonal y ciclista14. La primera, sobre una sección cajón trapezoidal de 1.00 m de canto en el interior de la curva y la segunda, en una plataforma de 2.5 m de ancho sobre una serie de costillas radiales empotradas en el cajón anterior cada 3 m.
El arco y el borde interior del tablero están vinculados cada 6 m por una familia de 18 cables.
13 La sección del arco se estudia y muestra en el apartado 5.4.8. 14 Véase la sección transversal de tablero en la Fig. 9.2-3.
20
2.3.4.2. Pasarela de Campo Volantín. Bilbao.
Fig. 2.3-11.- Pasarela de Campo Volantín.
La pasarela de Campo Volantín, proyecto de Santiago Calatrava, está situada sobre la ría del Nervión, en Bilbao (véanse Jodidio [36], Torres [89], Tzonis [93] ó [95] y Wells [99]). Está formada por un tablero curvo atirantado en ambos bordes y por un arco parabólico inclinado y de arranques no coincidentes con los estribos del tablero. Es interesante señalar que la disposición relativa de arco y tablero de esta pasarela provoca una insuficiencia horizontal del gálibo y obliga a disponer una estructura lateral suplementaria para anclar las péndolas a ambos bordes del tablero simultáneamente.
El arco único, con una proyección horizontal de curvatura contraria a la del tablero, salva una luz de 75 m, con una altura máxima de tablero de 8.5 m sobre el nivel de pleamar de la ría.
El tablero presenta doble curvatura tanto en planta como en alzado y tiene un ancho estructural entre 7.5 y 6.5 m. La pasarela, toda ella de estructura metálica, se entrega a las orillas encima de plataformas de hormigón situadas a la cota +9.90 y +7.00 m por encima del nivel de pleamar (2.90), desde las cuales se accede a cada orilla, por medio de una escalera y una rampa con un 7% de pendiente y una anchura de paso de 2.00 m.
El elemento principal es el arco formado por un tubo de 457 mm de diámetro y 50 mm de espesor. El arco está empotrado en un tubo de 610 mm de diámetro y 30/50 mm de espesor unida a 1/2 HEB 500, horizontal (con el mismo peralte longitudinal del tablero) de directriz recta y perpendicular a los pretiles y que forma parte del tablero. Las fuerzas horizontales del arco son absorbidas por el tubo horizontal que a su vez descansa en una estructura de hormigón blanco en voladizo que forma parte de las rampas de acceso que absorbe las componentes verticales de la pasarela. El arco se estabiliza por tirantes de acero de 30 mm de diámetro cada 1.80 m. Estos tirantes soportan las cargas del tablero, que entregan al arco.
21
2.3.4.3. Merchants Bridge. Manchester.
Fig. 2.3-12.- Merchants Bridge. Manchester.
El proyecto es de Whitby Bird Limited, y consta de un arco inclinado que sostiene, mediante péndolas rígidas, el tablero curvo desde uno de sus bordes. La pasarela está en una zona de pasado industrial, y se planteó como un símbolo de la regeneración del área. Según Whitby Bird, su propuesta “combinó la tecnología contemporánea para el análisis de puentes con la maquinaria de fabricación para crear una forma única. El puente representa la nueva confianza en la ingeniería, resultante de las tecnologías de rápido desarrollo.”
La estructura ha recibido numerosos premios y fue terminada en 1995.
22
2.3.4.4. Puente Peatonal sobre Av. 9 de Octubre-Malecón del Estero Salado. Guayaquil.
Fig. 2.3-13.- Puente Peatonal sobre Av. 9 de Octubre-Malecón del Estero Salado. Guayaquil.
La pasarela cruza el Malecón del Salado en Guayaquil (Ecuador). El proyecto y construcción es de la empresa austriaca Waagner-Biro Brückenbau, que diseño y prefabricó los elementos metálicos en Austria, para después ensamblarlos in situ. La obra se finalizó en junio de 2003.
La luz del arco es de 38 m. El arco portante es un tubo de 508 mm, del que se suspende el cordón principal del tablero, de 1200 mm de diámetro. El puente se apoya en dos trípodes. El tablero, de planta curva, está formado por una serie de elementos transversales y longitudinales cruzados. La superficie pisable del tablero está compuesta de elementos de madera dispuestos transversalmente.
2.3.4.5. Puente sobre el Becva. Prerov.
Fig. 2.3-14.- Puente sobre el Becva.
El puente sobre el río Becva es un proyecto reciente de Jiri Strasky [81]. Está situado en la ciudad de Prerov, en la República Checa. El arco, inclinado, es de acero relleno de hormigón. En él se anclan las péndolas que suspenden, desde un solo borde, un tablero mixto curvo de 77.27 m de luz.
Para compensar los momentos transversales, en el tablero se dispone pretensado, formado por tendones, curvados en planta, dentro de la sección del tablero.
23
2.3.4.6. Pasarela sobre el Nervión. Etxebarri.
(b)
(a)
(c)
Fig. 2.3-15.- Pasarela de Etxebarri: (a) Izado durante la ejecución; (b) Estructura metálica premontada en la orilla; (c) La pasarela en servicio.
La pasarela de Etxebarri (Véanse González et al. [32] y Corbal et al. [20]), población cercana a Bilbao, cruza sobre el río Nervión, y permite el acceso a la nueva estación de cercanías situada en una de sus márgenes. El proyecto es de TEMHA (Tipologías Estructurales en Madera, Hormigón y Acero).
Es una de esas estructuras que, como hemos visto, plantean una solución formal posiblemente inspirada en la planteada por Calatrava para el puerto de Ondarroa, haciendo que el arco separe las circulaciones en una posición intermedia transversal.
Salva un único vano de 65.50 m de luz de cálculo, disponiendo de un ancho útil de 6.0 m repartidos en 3.0 m de carril ciclista y 3.0 m de acera peatonal.
La estructura consta de un arco inclinado de tablero inferior y dos pasarelas laterales. El arco es de directriz circular de 7.5 m de flecha y se inclina 20º hacia el vial ciclista. La sección transversal del arco es un triángulo rectángulo escaleno de lados 1.50, 1.30 y 0.70 m. Las péndolas de unión entre arco y tablero son 19 pares de tubos de diámetro 141.3 mm.
El tablero está formado por una cajón central, que actúa como tirante del arco, y que soporta las flexiones y torsiones que le transmiten unos elementos perpendiculares a modo de costillas que soportan las pasarelas. La sección transversal de este cajón central es cuadrangular de lados no paralelos, con canto variable desde 0.70 m en los arranques de la pasarela hasta 1.85 m en el centro de la luz.
Los elementos transversales o costillas se disponen con una equidistancia de 3.25 m entre sí. Su sección transversal es en doble T, con canto y anchura variables.
El pavimento peatonal está formado por listones de madera de Iroko, apoyados sobre dos correas longitudinales. Entre dichas correas se dispone un sistema de diagonales de rigidización que permite un comportamiento de tipo celosía en sentido transversal.
El pavimento ciclista se apoya sobre un forjado mixto constituido por chapa de acero y perfiles longitudinales tipo T50.6 y una losa de hormigón de 10 cm de canto. Sobre dicho forjado se dispone un slurry de color rojo que conforma la capa de rodadura para ciclistas.
Las barandillas están formadas por montantes de sección en T, de canto variable y empotradas en los extremos de las costillas, dispuestos con el mismo plano de inclinación del arco. Entre montantes se disponen cables de acero inoxidable separados 120 mm entre sí.
La estructura metálica completa se montó en una de las márgenes y se izó con grúas para colocarla en su posición definitiva.
La pasarela de Etxebarri constituye un ejemplo interesante que reúne muchas de las
24
características de los puentes ligeros recientes:
• Primacía de la libertad de formas.
• Configuración resistente deliberadamente asimétrica.
• Secciones transversales de formas que se apartan de las clásicas.
• Uso simultáneo de las modernas posibilidades de la prefabricación con la potencia de los medios auxiliares de construcción.
2.3.4.7. Puente de Schwandbach.
Fig. 2.3-16.- Puente de Schwandbach.
Este puente, proyecto de Robert Maillart (véase Billington [11]), construido en 1933, está situado cerca de Hinterfultige. Es más conocido como pionero de los puentes arco laminares (o de arco delgado con tablero de rigidez). Sin embargo, como hemos visto, podría considerarse plenamente como precursor de la tipología de arco espacial, por su tablero curvo en planta15.
El arco es vertical y de 0.20 m de espesor. Es poligonal, como es propio de los arcos laminares, y está vinculado al tablero, formado por una losa de hormigón armado, por una serie de tabiques trapeciales cuyas bases son del mismo ancho que el arco. La luz del arco es de 37.4 m.
Este puente nace exclusivamente por un condicionante funcional. Hoy en día, como hemos visto, es más frecuente que la asimetría se presente de modo deliberado, como corresponde a establecerla como respuesta a una demanda de índole formal.
2.3.5. ARCOS GIRADOS RESPECTO DE UN EJE VERTICAL.
2.3.5.1. Puente Juscelino Kubitschek. Brasilia.
Fig. 2.3-17.- Puente Juscelino Kubitschek, en Brasilia.
15 De hecho, las posibilidades actuales de sus conceptos resistentes han sido estudiadas en las propuestas
tipológicas de Laffranchi y Marti [40] para puentes de arco inferior.
25
El proyecto de este puente (Tarquis y Hue [86]), en Brasilia, es un proyecto multidisciplinar, formado por los ingenieros Mario Vila Verde, Filemon Botto de Barros y Piotr Slawinski, y el arquitecto Alexandre Chan, todos de Projconsult.
El puente, de 1200 m de largo, presenta en su parte central tres vanos de 240 m cada uno, cada de ellos formado por un arco vertical, que cruza diagonalmente sobre el tablero sin tocarlo. Los arcos son de hormigón armado en sus arranques, aproximadamente hasta la altura del tablero, y de sección metálica por encima de éste. Las dimensiones de la sección varían entre los 6.50 a 5.00 de canto, y de 5.00 m a 3.00 m de ancho, de arranques a clave respectivamente.
El tablero, de 24 m de ancho total, es mixto en los vanos de acceso y metálico de losa ortótropa en los centrales.
Cada arco suspende al tablero por dos familias de péndolas, anclada cada una en un borde del tablero.
2.3.5.2. Pasarela de Charvaux. Andrèsy.
Fig. 2.3-18.- Pasarela de Charvaux, en Andrèsy.
Como hemos visto, Francia es un país donde los criterios arquitectónicos sobre los aspectos formales de la obra pública han prevalecido en muchos casos por encima de los criterios puramente técnicos. Un ejemplo de este tipo de estructuras es la pasarela de Charvaux, en Andrèsy (Francia). Es un arco de 32 m de luz, metálico, cruzado diagonalmente sobre el tablero.
El proyecto es una colaboración de Michel Roy (arquitectura) y de Marc Malinowsky (ingeniería). La pasarela fue terminada en 2000.
2.3.5.3. Hulme Arch. Manchester.
Fig. 2.3-19.- Hulme Arch. Manchester.
26
El Hulme Arch (véase Wells [99]) es un ejemplo muy interesante de cómo un puente se plantea como un elemento de regeneración urbana: El distrito de Hulme fue el primero de Manchester en plantear la demolición sistemática de sus insalubres barriadas decimonónicas. Éstas fueron sustituidas a partir de 1960 por altos edificios de hormigón, hasta el punto de merecer el apodo de “Fort Hulme”. Surgieron todo tipo de problemas sociales y económicos, y en el distrito, venido a menos, aumentó enormemente la delincuencia.
Las viejas estructuras, de 30 años de antigüedad, fueron sustituidas a principios de los años 90, en una segunda fase de regeneración. Con el nuevo puente se intenta crear una entrada elegante y optimista a Hulme, y representa la aspiración del gobierno local por eliminar la mala reputación que ha perseguido a la zona en las últimas décadas.
El puente fue diseñado por Chris Wilkinson Architects. El análisis estructural corrió a cargo de Ove Arup & Partners. El puente está formado por un arco cruzado en diagonal sobre el tablero, al que atiranta en sus dos bordes. El arco se eleva algo menos de 30 m y tiene cerca de 50 m de luz. Se completó en 1990.
2.3.5.4. Pasarela sobre la Mülheimer Strasse. Oberhausen.
Fig. 2.3-20.- Pasarela sobre la Mülheimer Strasse. Oberhausen.
La pasarela, de cerca de 88 m de luz, da acceso a las instalaciones de la empresa TZU, sobre la Mülheimer Strasse de Oberhausen. El arco se sitúa cruzado en diagonal sobre el tablero. De él parten las péndolas que atirantan ambos bordes de un tablero ligeramente curvo. El proyecto es de Stefan Polónyi, y se terminó de construir en 1997.
2.3.5.5. Tiergartenbrücke sobre el río Mulde. Dessau.
Fig. 2.3-21.- Tiergartenbrücke sobre el río Mulde. Dessau.
Otro ejemplo es el puente arco, girado e inclinado, desde el que se atirantan ambos bordes del
27
tablero curvo de la pasarela sobre el sobre el río Mulde, en Dessau, ciudad que acogiera la escuela de la Bauhaus durante la república de Weimar. El puente se terminó en 2000, y va un paso más allá que los ejemplos anteriores, al inclinar el arco (ya girado respecto de un eje vertical) alrededor de la cuerda que une sus arranques.
La luz del tablero es de 107.65 m. El proyecto es una colaboración de Kister Scheithauer Gross (KSG Arquitekten), con sedes en Dessau y Colonia, con Stefan Polónyi, que se encargó de la parte de ingeniería.
2.3.5.6. Pasarela sobre el río Yarra. Melbourne.
Fig. 2.3-22.- Pasarela sobre el río Yarra, Melbourne.
Otro ejemplo, también muy audaz en la disposición de tablero y arco, sería la pasarela sobre el río Yarra en Melbourne, en la que un arco plano vertical cruza diagonalmente un tablero quebrado en planta y alzado, suspendido del arco en su centro mediante una célula triangular.
2.3.6. ARCOS DE DIRECTRIZ ESPACIAL.
2.3.6.1. Puente sobre el río Galindo. Bilbao.
Fig. 2.3-23.- Puente sobre el río Galindo.
El puente (Aguiló [2], Manterola [50]) es un proyecto de Carlos Fernández Casado, S.L. y cruza sobre el río Galindo, en Bilbao. Tiene 110 m de luz y 27 de ancho, en la desembocadura de la ría del Nervión.
Nace como respuesta a una de las condiciones más duras con que nos hemos encontrado en la vida, en palabras de J. Manterola. La solución debía situarse a muy poca altura sobre el agua y existía la obligación de no poner pilas intermedias en un trazado extraordinariamente curvo. Por lo tanto, la solución debía ser de estructura superior.
Las soluciones que se barajaron estuvieron divididas en dos grupos: Por un lado, disponer dos vigas laterales de borde por prolongación del dintel, incluso cubriendo la gran acera. Por otro, disponer un arco curvo en planta.
El funcionamiento resistente de este puente se estudia con más detalle en los apartados 14.4.2 y
28
14.5.2. Baste decir al respecto que el principal problema que genera en el arco de planta curva es controlar la fuerza horizontal de desvío en el arco, hacia el exterior de la curva. Soluciones válidas pueden ser aumentar la rigidez transversal del arco, o emplear péndolas rígidas. La solución empleada finalmente fue disponer una serie de tirantes de contrarresto en el borde interior del tablero, que movilizan la rigidez a torsión del tablero y, en menor medida, su rigidez a flexión transversal.
En el momento de la redacción el puente se encuentra en construcción.
2.3.6.2. Pasarela de Ripshorst. Oberhausen.
Fig. 2.3-24.- Pasarela de Ripshorst, de J. Schlaich.
Aunque como se ha citado, la disposición de arco superior es la más frecuente, como en todos los ejemplos anteriores, también existen realizaciones con arco inferior, plenamente espacial, como la formidable pasarela de Ripshorst para peatones y ciclistas sobre el canal Rin-Herne de Jörg Schlaich (Bögle et al. [13], Schlaich [75] y [77]). La longitud de la pasarela es de 130 m y la luz del arco de 78 m.
Esta estructura surge al descartar la posibilidad de una pasarela suspendida, similar a las de Kelheim o Munich16, por razones de adecuación visual y urbanística. Sin embargo, la idea sigue siendo válida y el arco inferior tridimensional proyectado y construido es la imagen especular del cable de suspensión. El arco trabaja aproximadamente en compresión centrada para las cargas permanentes.
Es de destacar que en este tipo de estructuras existe mucha mayor libertad en la vinculación entre el arco y el tablero al no estar condicionado por ningún tipo de gálibo de circulación como en la pasarela anterior. De hecho, en el ejemplo anterior, coexisten los montantes centrados en la cara inferior del tablero y las células triangulares referidas a los laterales del mismo.
16 Véanse 9.2.2.1 y 9.2.3.1, respectivamente.
29
2.3.6.3. Propuesta para los accesos al aeropuerto de Barajas.
Fig. 2.3-25.- Propuesta de concurso (2002) para los accesos al Aeropuerto de Barajas de Arenas y Asociados.
Por último, como ejemplo de puente de planta curva, no incluiremos un puente construido, sino la propuesta de Arenas y Asociados para el concurso organizado por AENA para el enlace con el aeropuerto de Barajas en Madrid.
Según los propios proyectistas17, se trata de un puente de geometría difícil, ya que presenta un ángulo de esviaje muy agudo, con curvatura en planta y ancho variable de la calzada superior, y curvatura del tronco inferior. Tras tantear diversas soluciones, se optó por desarrollar la solución de bow-string, con dos arcos laterales exentos.
Los arcos son de planta curva y simultáneamente girados hacia el exterior, para evitar “agobio visual del tráfico”. Los arcos nacen de sendos nervios de borde de tablero que se vinculan al arco mediante péndolas rígidas.
2.4. REALIZACIONES CON SIMETRÍA LONGITUDINAL. Como hemos visto anteriormente, el carácter espacial de los puentes con simetría longitudinal
puede relajarse para las cargas permanentes, y aparecer solamente para las sobrecargas.
A continuación se presenta una serie de realizaciones que consideramos suficientemente representativas del desarrollo actual del tipo.
2.4.1. ARCOS GIRADOS PERPENDICULARMENTE AL EJE DEL TABLERO.
2.4.1.1. Propuesta para el Woodall Rogers Bridge. Dallas.
Fig. 2.4-1.- Propuesta para el Woodall Rogers Bridge. Dallas.
La propuesta de Santiago Calatrava para cruzar el Trinity River en Dallas18 suspende el eje de su dintel desde un arco vertical muy peraltado dispuesto perpendicularmente al eje longitudinal. El arco, metálico, mide 122 m de altura para una luz de 390 m, y se aprovecha la posición relativa para obtener deliberadamente una interesante configuración espacial de atirantamiento.
17 La información de este proyecto estaba disponible, en el momento de la redacción, en la página web
www.arenasing.com, de la empresa Arenas y Asociados, Ingeniería de Diseño. 18 Bridge Design & Engineering, nº 38, pág.10.
30
2.4.1.2. Puente de acceso al Museo Miho.
Fig. 2.4-2.- Puente de acceso al Museo Miho.
Abierto en noviembre de 1997, este puente (véanse Robertson [69] y Wells [99]) proporciona, una entrada intencionadamente monumental al Museo Miho, construido en las zonas montañosas de Shiga-raki, cerca de Kyoto, en Japón. El consultor estructural para este proyecto fue Leslie Robertson.
El aspecto más llamativo de este puente es su doble sistema de atirantamiento superior e inferior, que reduce su canto a 2.00 m para una luz de 120 m. El sistema superior nos resulta de particular interés, pues en él se plantea un arco no sólo dispuesto perpendicularmente al eje del tablero, sino también inclinado.
En este arco se anclan dos familias de péndolas: Una primera familia atiranta los laterales del tablero. La segunda, de contrarresto, se ancla en la boquilla de hormigón del túnel.
2.4.2. PAREJAS DE ARCOS EXENTOS LATERALES INCLINADOS CON TABLERO RECTO.
2.4.2.1. Puentes de cruce de los ríos Aguanaz y Pontones.
Fig. 2.4-3.- Puentes de cruce de los ríos Aguanaz y Pontones.
Los ríos Aguanaz y Pontones, en Cantabria, se cruzan con puentes de 60 m de luz en tipología de arco bow-string, donde cada arco es atirantado por un nervio dispuesto en el lateral del tablero.
La losa del tablero, de hormigón armado, se apoya en diafragmas metálicos transversales cada cuatro metros que acometen contra los nervios laterales, suspendidos de los arcos mediante péndolas. Estas péndolas son simples chapas de acero, elegidas por condiciones de resistencia y de movimientos impuestos.
Los arcos se han dispuesto en planos inclinados abiertos hacia el exterior, por razones de desahogo visual para los usuarios. El proyecto, de Arenas y Asociados [7], es de 2003 y la construcción de 2005.
31
2.4.2.2. Desdoblamiento del puente de la Peraleda. Toledo.
Fig. 2.4-4.- Desdoblamiento del puente de la Peraleda.
El diseño del desdoblamiento del puente de la Peraleda se realiza con la idea de transformar rotundamente la imagen del puente actual, en la zona moderna de la ciudad. En su proyecto se pretende que esta transformación no la perciba sólo el peatón o el conductor cuando cruzan la estructura, sino desde diversos puntos de la ciudad como hito del Recinto Ferial, al que da acceso. El proyecto es de AIA (Arquitectos e Ingenieros Asociados) [74].
El puente actual es un puente existente de vigas existente en Toledo, en el distrito de Peraleda, que sólo tiene dos carriles y dos aceras laterales de 1.00 m de ancho. El desdoblamiento duplica a cuatro el número de carriles y aumenta el ancho de ambas aceras a 4.00 m.
El desdoblamiento se realiza en dos fases: Por un lado, se realiza una ampliación de 9.00 m de tablero de vigas prefabricadas con los mismos criterios de diseño que el puente actual y para tráfico peatonal se adosan en los laterales unas pasarelas metálicas de 124 m de luz con arcos inclinados, con la rasante elevada sobre el tráfico.
Están pasarelas son arcos bow-string de arco inclinado. La anchura total es de 6.50 m, de los cuales 4.00 son útiles. Son de canto 3.00 m y se separan 1.00 del puente para el tráfico rodado, por lo que camuflan el puente de vigas prefabricadas19.
En el momento de la redacción las pasarelas se encuentran en fase de ejecución.
2.4.3. ARCO ÚNICO DE ANCHO O CORDONES VARIABLES.
2.4.3.1. Puente de la Barqueta. Sevilla.
Fig. 2.4-5.- Puente de la Barqueta. Sevilla.
Como hemos citado antes, el puente de la Barqueta (Véase Arenas, [4] y [6], ó [96]) nace con
19 Nos permitimos llamar la atención sobre el empleo de elementos propios del arco espacial, no solamente
por motivos formales para crear una referencia arquitectónica, sino como medio de camuflar y “dignificar” no ya una zona, sino un puente existente.
32
clara vocación espacial y con afán de búsqueda formal. Sin embargo, si exceptuamos el detalle de la bifurcación del arco en dos pies inclinados en la cercanía de los arranques, es un arco plano clásico atirantado por el tablero, tipo bow-string. Dado que atiranta el tablero en su eje, quizá sería más correcto definirlo como puente arco plano de ancho variable.
Este puente, construido para la Exposición Universal de Sevilla de 1992, y proyecto de APIA XXI, es muy conocido. Baste decir que su luz es de 170 m y su flecha de 29.84 m .
2.4.3.2. Proyecto del Puente del tercer Milenio. Zaragoza.
Fig. 2.4-6.- Proyecto del Puente del tercer Milenio. Zaragoza.
El proyecto (véase Búrdalo [15]) es de Juan J. Arenas, autor también del puente de la Barqueta, y el esquema estructural es muy similar, salvo por la inclinación longitudinal de las péndolas. Además, a nuestros efectos, su comportamiento va un paso más allá, al incorporar la complejidad que le da la doble familia de péndolas que atirantan ambos bordes del tablero. La luz de este arco es de 216 m.
2.4.3.3. Pasarela de Montigny-lès-Cormeilles (Francia).
Fig. 2.4-7.- Pasarela de Montigny-lès-Cormeilles (Francia)
33
La pasarela de Montigny-lès-Cormeilles, sobre la Autoroute A15, se terminó en 1999, y es un arco tipo bow-string de 55 m de luz. El arco está formado por un tubo metálico que se bifurca cerca de los arranques. La directriz es marcadamente poligonal y de cada quiebro surgen cuatro péndolas.
Como hemos citado, su atirantamiento es lo que la vuelve plenamente espacial, para un esquema resistente idéntico en el arco al del puente de la Barqueta.
El proyecto es de Madeleine Noeuvéglise (arquitectura) y de Michel Virlogeux (ingeniería).
2.4.3.4. Cuarto puente de Logroño, sobre el Ebro.
Fig. 2.4-8.- Cuarto puente de Logroño. Se observa perfectamente el ancho variable del arco, formado por dos cordones tubulares arriostrados entre sí por triangulaciones, y la configuración espacial de la estructura. Abajo a la izquierda, se muestra la sección de las pasarelas laterales.
Proyecto de Carlos Fernández Casado, S.L., el cuarto puente de Logroño, sobre el río Ebro, es un puente arco superior de 140 m de luz (Manterola et al [48] y [51]). La plataforma de paso está formada por un tablero de 18 m de ancho con dos carriles en cada sentido y una mediana central de dos metros. A cada lado se disponen dos aceras exentas de cuatro metros de anchura.
El tablero central recto es mixto de dos metros de canto constante. Las aceras exteriores tienen planta curva de 260 m de radio rodeando el tablero central, hasta una separación máxima de 25 m en el centro del puente. Las aceras están formadas por un cajón trapecial de 1.30 m de canto constante.
El arco superior está situado en la mediana y lo forman dos tubos de acero de 1200 mm de
34
diámetro y espesor variable entre 25 y 80 mm.
El tablero se suspende mediante dos familias de péndolas centradas y cada pasarela lateral se suspende mediante una familia anclada en su borde interior.
En este puente las péndolas extremas de estas familias se anclan en los estribos, mientras sus extremos opuestos se anclan aproximadamente a cuartos de la luz del arco, lo que mejora el trabajo transversal del arco, así como su estabilidad horizontal.
Es de destacar, no obstante, el diferente grado de complejidad del comportamiento de la Barqueta y el puente de Logroño, ya que la sobrecarga en una sola de las pasarelas de éste último moviliza la rigidez transversal del conjunto, excitada por la componente horizontal de los esfuerzos de axiles de sus péndolas. Esto no ocurre con el puente de la Barqueta, debido a su atirantamiento central.
2.4.4. ARCO ÚNICO CON DOS TABLEROS.
2.4.4.1. Pasarela sobre el Guadalentín. Lorca.
Fig. 2.4-9.- Pasarela sobre el Guadalentín. Lorca.
Esta pasarela es un proyecto de Carlos Fernández Casado, S.L. (Manterola et al. [49]). Vincula el final del paseo elevado junto a la casa Mata con la Avda. de Santa Clara en la margen derecha, zona objeto de reordenación urbana y nuevas edificaciones.
Para evitar apoyar en el cauce, torrencial, se ha proyectado un arco superior parabólico del que cuelga la plataforma peatonal. Toda la estructura es metálica.
El arco está formado por dos tubos tangentes de 0.7 m de diámetro. La plataforma peatonal está compuesta por dos tableros circulares, convergentes en estribos y separados en el centro de la luz. Son de sección trapecial de 1 m de canto. Las péndolas son dos familias de 33 barras de alta resistencia que atirantan los tableros por su borde interior.
2.4.5. DOS ARCOS CONVERGENTES.
2.4.5.1. Fehmarnsund Brücke.
El Puente sobre el Fehmarnsund (Wittfoht [101]), terminado en 1963, es la primera realización de importancia en la que, a pesar de las mayores dificultades de montaje, se inclinan los arcos en sentido convergente hasta que hacen contacto por su parte superior y se apoyan mutuamente.
El puente da servicio a cuatro carriles de circulación y dos vías de ferrocarril, con una luz de 250 m en su vano principal, bajo el que discurre la navegación.
35
Fig. 2.4-10.- Fehmarnsund Brücke.
El arco es un tipo network (Tveit [91]), en el que el sistema de atirantamiento está formado por un conjunto de péndolas oblicuas en dos direcciones en el que cada una se intersecta con otra al menos dos veces.
2.4.5.2. Pasarela de Plentzia.
Fig. 2.4-11.- Pasarela de Plentzia.
En la pasarela de Plentzia (1991-1992), proyecto de Carlos Fernández Casado, S.L. (Manterola [48]) se plantean dos arcos en los bordes del tablero inclinados hasta converger en clave. Toda la estructura es metálica, excepto el tablero que es mixto.
La luz de la pasarela es de 117.6 m y los arcos están formados por vigas cajón de 1.2 x 0.8 m. Las vigas de rigidez laterales del tablero que bordean el tablero tienen 50 cm de canto y se completa con una estructura mixta transversal para soportar los 10 m de ancho total del tablero.
2.4.6. DOS ARCOS DIVERGENTES.
2.4.6.1. Embakment Rennaisance Bridge. Bedford.
En 1995 se convoca un concurso para una pasarela sobre el río Great Ouse, en Bedford. Las bases se referían al puente colgante de Webster de 1888, situado sólo unos centenares de metros aguas abajo, como un hito paisajístico memorable representativo de Bedford al final del siglo XIX. Así, se invitó a los concursantes a construir un puente que remarcara, de manera similar, el fin del siglo XX y el comienzo del siglo XXI.
Wilkinson Eyre Architects ganó el concurso al que concurrieron 79 propuestas. La ingeniería corrió a cargo de Jan Bobrowski & Partners.
36
Fig. 2.4-12.- Embakment Rennaisance Bridge. Bedford.
El puente ganador fue apodado butterfly bridge (puente mariposa) por los habitantes de Bedford, y se abrió al tráfico en 1997. Está formado por dos arcos inclinados divergentes que suspenden un tablero desde sus bordes laterales.
2.4.6.2. Pasarela sobre la Ronda de la Hispanidad. Zaragoza.
Fig. 2.4-13.- Pasarela sobre la Ronda de la Hispanidad. Zaragoza.
La pasarela es proyecto de Carlos Fernández Casado, S.L. (Manterola et al. [44]). Su longitud es de 86 m y tiene tres vanos de 15.6+54.8+15.6. El dintel de 3.00 m de anchura está formado por un tubo central de 560 mm y dos laterales de 300 mm, unidos por un diafragma cada 2.00 m. La plataforma es una chapa de 10 mm rigidizada.
Los dos arcos, que convergen en arranques, se inclinan hacia fuera hasta separarse 10.00 m en clave. La componente horizontal del empuje de los arcos es recogida por células triangulares que sólo solicitan verticalmente al suelo.
Al inclinar los arcos, su peso propio produce flexiones fuera del plano. Con el objeto de compensar parcialmente esta flexión, los anclajes están ligeramente descentrados del eje del arco.
37
CAPÍTULO 3
3 MODELOS DE CÁLCULO.
3.1. INTRODUCCIÓN. En el presente trabajo se ha empleado para todos los cálculos estructurales el programa de
elementos finitos SAP2000 (véanse [18], [10] y [100]). Todos los cálculos, salvo donde expresamente se indique, se han realizado con estructuras espaciales de barras de seis grados de libertad por nudo.
Asimismo, para toda la generación automática de modelos, cálculos adicionales, generación de gráficos y postproceso de los resultados se ha empleado el programa MATLAB ([57] y [58]).
Todos los programas que se citan a continuación han sido expresamente realizados para esta tesis por el autor de la misma.
Se describen seguidamente detalles de la programación informática, de las modelizaciones, de la caracterización mecánica de las barras, geometría de la estructura y acciones.
3.2. LA SERIE SABRINA DE PROGRAMAS DE CÁLCULO. La serie SABRINA1 de programas es un software de generación y gestión iterativa de modelos de
SAP2000, y es la herramienta informática con la que se han realizado la inmensa mayoría de los cálculos estructurales de este trabajo. Ha sido desarrollada, expresamente para esta tesis, por su autor.
Esencialmente, su elaboración ha consistido en las siguientes tareas:
• Establecimiento de unos criterios de notación compactos, que aprovechen al máximo las posibilidades de la capacidad de análisis matricial de MATLAB y establezcan el patrón a seguir para desarrollos adicionales.
• Programación del software específico para el pre y postproceso de SAP2000.
• Programación de los módulos, entre otros, que implementan los algoritmos desarrollados en esta tesis.
Los criterios de generalidad y de flexibilidad han sido primordiales en su desarrollo, ya a que, a priori, se desconocían las características de las estructuras que se habían de analizar, al venir éstas definidas por la evolución de los trabajos.
Como consecuencia no buscada pero de agradecer, esta flexibilidad se ha mostrado potentísima en el estudio de otros tipos de estructuras igualmente complejas.
La programación se ha realizado en lenguaje MATLAB sobre el programa SAP2000 NON-LINEAR, v. 7.40. Este programa de cálculo de estructuras de uso general, además de por su disponibilidad, se ha empleado por las siguientes razones:
• Tanto los archivo de entrada (*.S2K) como de salida (*.EKO, *.OUT, *.LOG) de SAP2000 son de texto en formato ASCII, por lo que pueden escribirse o leerse desde MATLAB.
• Es un programa de gran difusión y cuyos algoritmos fundamentales son de gran fiabilidad, dado que han sido verificados intensivamente a lo largo de los muchos años que lleva en el mercado.
• Puede calcularse un modelo concreto desde la línea de comandos (programas sapre.exe y sapgo.exe), ya que resulta accesible desde los comandos de shell de MATLAB. Esto evita la necesidad de entrar en el modo interactivo de SAP20002.
1 SABRINA corresponde a Spatial Arch BRidges Iterative Non-linear Analysis. Dejemos al lector que
juzgue, como algún amigo ha sugerido, quizá acertadamente, si las estructuras que se obtienen con él comparten la esbeltez y elegancia de Audrey Hepburn en la película del mismo nombre.
2 Este factor es absolutamente imprescindible. En algunos procesos iterativos de esta tesis se han llegado a
38
MATLAB, además de su disponibilidad, se ha empleado por las siguientes razones:
• La no obligatoriedad de compilar los programas escritos en él.
• La gran cantidad de funciones matemáticas y de herramientas incorporadas.
• La posibilidad de definir bibliotecas de funciones y de programas propios.
• Contar con el Workspace, que en MATLAB da acceso directo a todos los programas y datos, lo que permite realizar cálculos muy complicados en su propio entorno de trabajo.
• La capacidad de gestionar grandes cantidades de datos en formato vectorial y matricial por defecto, con lo que la sintaxis es muy potente.
• La capacidad de generar gráficos muy complejos.
• La capacidad de intercambiar información con otras aplicaciones.
Los archivos de datos de SABRINA tienen las siguientes características destacables:
• La entrada del programa es un archivo script (archivo *.m de MATLAB), que se corresponde con una secuencia de comandos totalmente editable, lo que no sólo permite generar los modelos automáticamente, sino que permite generar estructuras en las que no se había pensado a la hora de escribir el programa. Un ejemplo de archivo de datos se lista en el apéndice B.
• La referencia a los datos es vectorial o matricial. Se pueden controlar varios centenares de variables3 diferentes con criterios de denominación muy sencilla (pero dentro de la sintaxis habitual de MATLAB), y notación muy compacta, lo que otorga gran potencia a las instrucciones.
• La escritura no presenta particularidades respecto de la de MATLAB, con lo que cualquier usuario de éste puede adaptar los modelos a su interés.
• Es un código abierto que permite sin modificación la programación de funciones y macros auxiliares que personalicen el análisis.
• Es utilizable por usuarios desconocedores de MATLAB: basta generar un archivo de datos sencillo inicial editable que llame a un segundo donde esté programado el tipo estructural concreto en función de esos datos4.
• El programa permite la ejecución iterativa de modelos y la gestión de modelos auxiliares. Resulta particularmente sencillo programar la modelización y estudios paramétricos de estructuras, ya que tiene a su disposición todas las instrucciones de control de flujo de MATLAB.
• El programa se basa en una potente serie de funciones y de pre y postprocesadores de SAP2000, que pueden ser usados con cualquier otro propósito, como cualquier otra serie de funciones de MATLAB (véase apéndice C).
• Permite la reprogramación para adaptarla a cualquier tipo de estructura, y una adaptación muy rápida del código para estudiar nuevos problemas.
En la Fig. 3.2-1 se muestra la relación existente entre el archivo de datos de SABRINA y los diferentes módulos programados y los resultados que genera. Estos módulos pueden ser propios de SABRINA, generales de MATLAB, o módulos que generen, calculen y postprocesen resultados de modelos auxiliares de SAP2000.
En el archivo de datos de SABRINA solo es necesario editar la sección de datos para cambiar el
generar alrededor de 400 modelos auxiliares.
3 En la última versión de SABRINA (véase apéndice A) podían definirse alrededor de 300 variables diferentes, muchas de ellas vectores o matrices, con lo que el número real de parámetros que se puede controlar puede llegar a ser de varios miles. Estos parámetros además pueden relacionarse entre sí, exactamente igual que cualquier variable en cualquier script o función de MATLAB.
4 No hay que descartar tampoco la posibilidad de ejecutar y gestionar el programa SABRINA desde otras aplicaciones como Microsoft Excel®, con software específico como el Matlab Excel Link, que ejecuta el MATLAB en un segundo plano, mientras que el usuario, que puede desconocer el uso de MATLAB, trabaja sin salir de Excel.
39
modelo. La sección de tipo estructural y algorítmica define cómo se procesan esos datos para generar un modelo correspondiente a un tipo estructural concreto.
SECCIÓN DE DATOS
SECCIÓN DE TIPO ESTRUCTURAL Y ALGORÍTMICA
ARCHIVO DE DATOS DE SABRINA
MÓDULOS DE MATLAB.
MÓDULOS DE SABRINA.
MODELOS AUXILIARES DE SAP2000
POST
PRO
CES
O
PREP
RO
CES
O
SAP2000 N.L.
ARCHIVO DE DATOS *.S2K
CÁLCULO ARCHIVOS DE RESULTADOS *.OUT, *.EKO
GRÁFICAS DE RESULTADOS
POSTPROCESO GRÁFICO
SAP2000 INTERACTIVO
CÁ
LCU
LO
OTROS RESULTADOS POSTPROCESO GRÁFICO
CÁLCULO ARCHIVOS DE RESULTADOS *.OUT, *.EKO
Fig. 3.2-1.- Esquema general del funcionamiento de SABRINA.
Es importante señalar que son posibles tanto la ejecución directa (como comandos del sistema operativo) de SAP2000 desde MATLAB, así como la lectura de todos los archivos de salida (por ejemplo *.EKO, *.LOG, *.OUT) generados por el mismo, con lo que en las posibilidades de programación entra no sólo la generación o la lectura de un modelo desde MATLAB, sino la generación y cálculo de cuantos modelos auxiliares se necesiten (por ejemplo, un modelo sólo con el tablero o con diferentes acciones) para llegar a un modelo final, del cual se presentan los resultados.
Dentro de los módulos propios de SABRINA podemos encontrar, por ejemplo, señalando sólo aquellos mencionados explícitamente en el texto de este trabajo:
• Módulo de determinación del área de las péndolas (véanse el apartado 15.2.2 y el apéndice F).
• Módulo de determinación de axiles de pretensado de las péndolas y cargas de gatos (véanse el apartado 15.2.6 y el apéndice E).
• Módulo de determinación de directrices antifuniculares (véanse 15.3 a 15.5 y el apéndice H).
• Módulo de determinación de contraflecha de ejecución (véase 6.2 y apéndice G).
• Módulo de obtención de envolventes de esfuerzos y de postproceso tensional (véase 5.3).
Una vez generado el archivo *.S2K de datos de SAP2000, el archivo se puede emplear como un archivo de datos clásico de SAP2000, o bien se puede calcular y postprocesar para obtener las gráficas de resultados, si se desea junto con otros resultados o archivos de información legible. Dicho cálculo y postproceso se puede también gestionar desde SABRINA.
3.3. MODELOS DE CÁLCULO. Todos los modelos del presente trabajo, excepto aquellos necesarios para estudiar algún caso
especial5, constan de un tablero y un arco vinculados por una única serie de péndolas o montantes. Las estructuras calculadas quedan definidas por una serie de parámetros mecánicos y geométricos.
Con el fin de acelerar la introducción de los modelos y garantizar su fiabilidad, la generación de éstos se ha realizado de modo automático mediante los programas descritos. A continuación se detallan los parámetros más comunes, utilizados con carácter general en esta tesis.
5 Como los estudios de tableros de los capítulos 11 y 12 y algunos arcos superiores de planta impuesta del
capítulo 14.
40
3.3.1. PARÁMETROS GEOMÉTRICOS MÁS UTILIZADOS.
3.3.1.1. Arco.
Como ejemplo se representa en las Fig. 3.3-1 a la Fig. 3.3-4 un puente arco de tablero inferior, donde el arco es plano, vertical y de directriz parabólica de 2º grado. El tablero es curvo y atirantado en su borde interior.
LA: Luz del arco [m]. Distancia entre nudos de arranques de arco.
En general, se ha considerado una luz LA=100 m, que está en el rango de luces de las principales realizaciones.
fA: Flecha del arco en plano vertical [m]. Se impone como proyección vertical de la directriz del arco la parábola de 2º grado que tiene como vértice la clave del arco [0, 0, fA] y que pasa por los arranques del mismo [-LA/2, 0, 0] y [LA/2, 0, 0].
Asimismo, en general, se ha considerado en general fA=20 m, que es un valor habitual del rebajamiento de 0.2 y que no suele dar problemas por no linealidad geométrica en los puentes arco planos.
LA
fA
Fig. 3.3-1.- Definición geométrica de la proyección vertical de la directriz del arco en parábola de 2º grado.
LA
YT
bL gT
Fig. 3.3-2.- Definición geométrica del modelo: planta.
gT
bL
YT
fA
(interior)
Fig. 3.3-3.- Definición geométrica del modelo: alzado lateral.
41
nA
YT
gT YT
fA nint
bL
Fig. 3.3-4.- Definición geométrica del modelo: perspectiva.
nA: Número de tramos en que se divide el arco. Define asimismo el número de vanos del tablero.
Es importante señalar que, en el presente trabajo, en el arco se divide siempre la luz LA (medida según el eje X global) en nA tramos iguales6 y que en el tablero (que puede ser un arco de circunferencia) se divide en nA tramos de igual desarrollo, por lo que las péndolas sólo serán perfectamente verticales en el caso de tablero recto y si además coinciden los arranques del arco con los estribos del tablero (YT=ZT=0).
nint: Número de nudos intermedios entre cada dos péndolas o entre péndolas extremas y extremos de arco o tablero.
3.3.1.2. Péndolas.
Existe la posibilidad de articular las barras a flexión en los extremos deseados. En las péndolas se articulan o no las barras que modelizan las péndolas a flexión en ambos nudos extremos o no. En general, las péndolas se han dispuesto articuladas en todas las modelizaciones realizadas, excepto en las péndolas y montantes rígidos de los capítulos 14 y 18.
nP: Número de péndolas. nP=nA-1.
3.3.1.3. Tablero.
YT: Coordenada Y de estribo de tablero. Es la ordenada en ejes globales de los estribos de tablero.
Si YT=0, la posición de los estribos del tablero coincide en la vertical de los arranques del arco. Si ambos coinciden (YT=0, ZT=0), no se establece en principio ningún tipo de vinculación en dicho punto entre la barra del arco y la del tablero.
ZT: Coordenada Z de plano de tablero. Es la cota en ejes globales de los estribos de tablero. Los estribos del tablero están situados pues en los puntos (-LA/2, YT, ZT) y (LA/2, YT, ZT).
Las posibilidades son las siguientes:
• Si ZT =0, el arco es de tablero inferior.
• Si fA ≥ ZT > 0, el arco es de tablero intermedio.
• Si ZT ≥ fA, el arco es de tablero superior (véase el capítulo 18).
6 La única excepción es la definición de las directrices alabeadas de los puentes de planta curva impuesta
del capítulo 14.
42
bLv, bL: Distancia vertical y lateral de atirantamiento [m].
Estos valores definen las distancias en alzado y planta entre los nudos que modelizan las barras de tablero y los nudos que modelizan los puntos de anclaje de las péndolas.
Si es nulo, por lo tanto, el tablero se atiranta al centro de gravedad, que se ha supuesto en este trabajo coincidente con el centro de esfuerzos cortantes.
Entre los nudos de tablero y de anclaje se introduce una barra infinitamente rígida de peso nulo.
gT: Flecha horizontal en planta de tablero curvo. La directriz del tablero queda definida por un arco de circunferencia horizontal que pasa por los estribos del tablero y cuya flecha (distancia entre la cuerda que une los estribos y el punto central del tablero) es gT. Si gT es negativa, el tablero se curva hacia el eje –Y.
Las vinculaciones del tablero en los estribos se definen mediante tres opciones:
• Articular apoyos a flexión longitudinal.
• Articular apoyos a flexión transversal.
• Articular apoyos a torsión.
Las flexiones que se coaccionan son las de los ejes locales de las barras extremas de las barras del tablero, y no afecta a los grados de libertad del apoyo en ejes globales. En todos los casos, excepto donde se especifica, se han impedido los desplazamientos de los nudos extremos del tablero.
3.3.2. MATERIALES Y SECCIONES.
El programa SABRINA permite definir tantos materiales y secciones diferentes como se desee. Sin embargo, en los modelos de este estudio se han empleado los siguientes:
3.3.2.1. Materiales.
Para arco y tablero en todos los casos se ha considerado un valor del módulo de deformación longitudinal, E, de 2.1·105 N/mm2, considerando un acero estructural comercial, de 77 KN/m3.
Para las péndolas, se ha considerado un valor de E=1.9·105 N/mm2, considerándolo formado por aceros tipo de pretensado. Los montantes, en el caso de arcos inferiores, se han supuesto de acero estructural.
Para el peso propio del material, ρ, de la péndola se ha considerado un valor promedio para la sección formada por el acero y el conjunto inyección-protección. Se ha supuesto dicho valor independiente del área real de acero del cable porque su valor en la realidad se mantiene prácticamente constante (véase Arenas, [3]) en torno al valor adoptado de 100 KN/m3 y simplifica notablemente el proceso de determinación de su área y axil de pretensado.
3.3.2.2. Secciones.
En el arco se han empleado dos tipos de secciones: anulares y secciones cajón. En algunos estudios se han empleado secciones de dimensiones variables, con secciones cajón de variación parabólica de 2º grado del ancho de la sección, decreciente de arranques a clave.
En el tablero, en todos los casos se han empleado secciones cajón cerrado rectangular.
En cada estudio en particular se definen los valores concretos de las dimensiones de las secciones adoptadas.
En las péndolas7 se han empleado en todo el trabajo secciones circulares macizas, excepto cuando se han empleado péndolas rígidas (véase el capítulo 14), que se han modelizado con secciones cajón rectangulares.
7 Es de destacar que en las péndolas se ha seguido el criterio de que, cuando se dimensionan las péndolas,
se disponen todas las áreas de las péndolas iguales (véase el apartado 13.5).
43
La notación para las variables anteriores está inspirada en la de SAP2000 [18]:
sA,hA,bA: Tipo de sección (R ó B / P) / (Canto/Diámetro) / (Ancho/Espesor) [m]
tfA,twA: Espesor de alas y de almas para sección tipo B [m]
sA define pues el tipo de sección y hA y bA las dimensiones:
• Si es tipo R, la sección es rectangular de canto hA y ancho bA.
• Si es tipo P, la sección es anular (Pipe) de diámetro exterior hA y espesor bA. Si bA es nula, la sección es circular maciza de diámetro hA.
• Si es tipo B, la sección es cajón (Box) simétrica de canto exterior hA y ancho exterior bA. Además, es necesario definir tfT y twT que determinan respectivamente los espesores de las alas y las almas.
Para péndolas y tablero cambia el subíndice “A” por “P” y “T”, respectivamente.
3.3.2.3. Rigidez de las secciones.
γI, γJ : Coeficientes de ponderación medios de las inercias a flexión longitudinal y a torsión, respectivamente, de sección de tablero.
Dada la trascendencia que la relación entre las inercias a flexión y a torsión tiene en el comportamiento de los tableros curvos (véase Manterola [26]), se han utilizado los coeficiente γI y γJ, que multiplican las rigideces teóricas, para definir la rigidez del tablero8.
Es asimismo una forma simplificada de evaluar el efecto de las pérdidas de rigidez por fisuración en secciones mixtas o de hormigón armado, si el tablero fuera de estas tipologías.
3.4. VALORES DE LAS ACCIONES.
3.4.1. CARGAS PERMANENTES.
PP : Hipótesis de Peso Propio.
CP: carga permanente sobre tablero (KN/m). Este valor es la carga permanente total sobre el tablero, excluyendo peso propio, que incluye aceras, barandillas o pavimentos.
En todos los cálculos realizados se ha empleado un valor de CP=12 KN/m que surge al considerar para un tablero de 4.00 m de ancho total las siguientes cargas muertas:
• Pavimento de 25 KN/m3 de 0.05 m de espesor.
• Enlosado de 1.25 KN/m2 de 4.00 m de ancho.
• Dos barandillas de 1 KN/m cada una.
En el cálculo no se ha considerado, simplificadamente, la posibilidad de sobreespesor del pavimento en la evaluación de CP definido en el apartado 3.2.1.2. de la Instrucción de Acciones a considerar en el Proyecto de Puentes de Carretera [23] (en adelante, IAP).
3.4.2. SOBRECARGAS VERTICALES DE USO.
bS: Este valor define el ancho de la plataforma de tablero (en el sentido definido por la IAP) que va a ser cargado por la sobrecarga SCU. La Fig. 3.5-2 aclara la definición de este valor.
SCU: Sobrecarga uniforme de uso [KN/m2].
Se ha empleado, en todos los casos, la sobrecarga de uso correspondiente a puentes de carretera y pasarelas peatonales descrita en el art. 3.2.3.1.1 de la IAP de 4 KN/m2.
8 De estos coeficientes γJ y γI se hace un uso intensivo en los capítulos 11 y 12.
44
3.4.3. ACCIÓN DEL VIENTO.
Para la acción del viento se ha considerado, simplificadamente, a falta de datos más precisos, un valor de 2 KN/m2.
De acuerdo con el art. 3.2.3.2.c) de la IAP, para evaluar en el tablero la acción del viento concomitante con las sobrecargas se ha considerado un área expuesta de 1.25 m adicionales al canto.
3.4.4. ACCIÓN TÉRMICA.
Para la evaluación del incremento uniforme de temperatura se ha seguido la formulación de la IAP.
cba shzkT ⋅⋅⋅=∆ [3.1]
Para los cálculos se ha considerado un cajón metálico cuyo canto, h, es de 1.00 m. Este valor es menor que el mínimo de los mostrados en dicha norma, que es de 1.50 m, pero en la formulación posterior esta diferencia es de poca importancia (1-0.069 = 1, mientras que 1.50-0.069=0.9724).
Se consideran los siguientes valores de la tabla 3.2.3.2.3. de la IAP:
k = 39.77
a = 0.234
b = -0.069
c =0
Considerando z=V, que es la zona más extensa de España (Fig.7 de IAP):
º95.571577.93 -0.069-0.234 =⋅⋅=∆T [3.2]
con lo que se puede considerar, redondeando, un incremento térmico de ±30º.
En la IAP (3.2.3.2.3.c) se especifica que en el caso de puentes atirantados o que contengan péndolas metálicas, se puede producir una diferencia de temperatura entre los tirantes o péndolas y el resto de elementos. La IAP permite tenerla en cuenta considerando una diferencia de temperatura entre las péndolas y el resto de elementos de:
Ttirantes - Tresto puente = +33º C
Ttirantes - Tresto puente = -10º C
Dado que la IAP permite también reducir la diferencia positiva hasta un mínimo de +18º C en función de la capacidad de absorción de la luz solar de los tirantes, los valores que adoptaremos serán los siguientes:
∆T
Hipótesis Arco y tablero Péndolas
Incremento térmico +30º C +60º C
Decremento térmico -30º C -40º C
3.5. HIPÓTESIS SIMPLES DE CARGA Y COMBINACIONES. En todos los modelos del presente trabajo, salvo donde expresamente así se indique, se han
realizado los cálculos de las siguientes hipótesis simples y combinaciones de las mismas:
3.5.1. HIPÓTESIS SIMPLES.
PP : Peso propio del arco, tablero y péndolas.
CP : Carga permanente sobre todo el tablero.
PRETP : Pretensado de las péndolas.
En todos los casos, excepto donde se especifique en contra, PRETP es un conjunto de
45
variaciones térmicas uniformes (en general decrementos) de las barras de las péndolas, determinadas con la condición de anular las flechas de los nudos del eje de tablero correspondientes a la posición de los anclajes. La hipótesis para la que se anulan es la HIP0, descrita seguidamente.
En los casos de determinación de directrices antifuniculares, PRETP incluye además las cargas de gatos actuantes en estribos.
El método, iterativo y no lineal, de determinación de PRETP se define con detalle en 15.2.
SCUA : Sobrecarga de uso A (en semitablero dorsal).
SCUB : Sobrecarga de uso B (en semitablero frontal).
SCUC : Sobrecarga de uso C (en semitablero izquierdo).
SCUD : Sobrecarga de uso D (en semitablero derecho).
SCUE : Sobrecarga de uso E (en todo el tablero).
Las cargas en las hipótesis SCUA y SCUB son cargas verticales descendentes de valor SCU·bS, introducidas como uniformemente repartidas.
Las cargas en las hipótesis SCUC y SCUD son cargas verticales descendentes de valor SCU·bS/2 y torsores concomitantes de valor ± SCU·bS
2/4, introducidas ambas como uniformemente repartidas.
La disposición de las sobrecargas A a E se detalla en la Fig. 3.5-1 y Fig. 3.5-2.
INCT : Incremento térmico.
DECT : Decremento térmico.
VTOA : Viento transversal sobre el arco.
VTOT : Viento transversal sobre el tablero.
3.5.2. COMBINACIONES DE HIPÓTESIS SIMPLES.
Se han definido las siguientes combinaciones de hipótesis simples de cálculo en todos los modelos.
HIP0 : PP + CP +PRETP
HIPA : HIP0 + SCUA
HIPB : HIP0 + SCUB
HIPC : HIP0 + SCUC
HIPD : HIP0 + SCUD
HIPE : HIP0 + SCUE
La combinación de hipótesis para la que se han obtenido, si procede, las directrices antifuniculares es:
HIPAF : HIP0 + 0.5 · SCUE
46
SCU C
SCU D
SCU A SCU B
SCU E
X
Y
(a)
(b)
(c)
bS
bS
bS/2 bS/2
Fig. 3.5-1.- Zonas cargadas por hipótesis de carga en el tablero curvo: (a) sobrecargas SCUA y SCUB en semitableros dorsal y frontal, respectivamente; (b) SCUC y SCUD en semitableros izquierdo y derecho; (c) SCUE en todo el tablero simultáneamente. Dorsal y frontal, derecha e izquierda según el sentido de avance del tablero y abscisas globales crecientes.
b/2 SCUA SCUB SCUE
=
P=4·bS
b
b/2
bS/2bS/2
=
2
2T Sb
=
bS/2bS/2
=
SCUC
SCUD
bS/2bS/2
(a)
(b)
(c)
4 KN/m2
4 KN/m2
4 KN/m2
P=2·bS
2
2T Sb
=P=2·bS
Fig. 3.5-2.- Zonas cargadas y resultantes (P y T) para una sobrecarga de 4KN/m2 en la sección transversal por hipótesis de carga: (a) sobrecargas SCUA, SCUB y SCUE; (b) SCUC; (c) SCUD.
3.5.3. CRITERIO DE SIGNOS DE LOS ESFUERZOS.
Se ha denominado flexión longitudinal a la que tiene como eje el eje local horizontal de cada barra (M3 en SAP2000), es decir, que actúa según el canto de la sección y flexión transversal (M2 en SAP2000) a la que tiene como eje el tercer eje local, es decir, que tiene como canto el ancho de la sección.
En la Fig. 3.5-3 se representa el criterio de signos de los esfuerzos empleados en el presente trabajo.
47
3n
2n
1n
T
N
N
T
3n
2n1n
M3
M3
V2
Cara comprimida
Cara traccionada
3n
2n 1n
V3
V3
M2
Cara traccionada
Cara comprimida
M2
Axil N y torsor T positivos Flexión longitudinal M3 y esfuerzo cortante V2 positivos
Flexión transversal M2 y esfuerzo cortante V3 positivos
V2
Fig. 3.5-3.- Criterio de signos en SAP2000. (Redibujado a partir de [18], con notación adaptada a la del texto).
3.6. PRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS RESULTADOS. Para la presentación gráfica se ha realizado un programa en MATLAB que permite extraer los
resultados deseados de diferentes archivos y representarlos gráficamente. El programa, además, también permite representar en la misma gráfica archivos de texto escritos en formato de columnas de datos, lo que permite dibujar con los mismos formatos los resultados de cálculos de diferentes orígenes.
Además de la definición del título y las leyendas generales o la inversión del eje de ordenadas, el programa permite definir las siguientes opciones para cada una de las curvas dibujadas:
• Archivo origen de resultados.
• Selección de nudos o barras de donde se desean los resultados.
• Coeficiente de ponderación de los resultados para cambiar las unidades de salida.
• Leyenda de cada curva.
• Opción de dibujar esfuerzos, movimientos, reacciones o tensiones. Para este último caso se ha desarrollado también un postprocesador tensional (véase 5.3).
• Tipo de línea, color de la línea, tipo de marcador, color de marcador y frecuencia de éste.
• Marcado de máximos, mínimos o ambos con rótulo de datos con el valor de éstos.
El programa se ha usado exhaustivamente en este trabajo y la mayor parte de las gráficas han sido generadas con él. En ellas se ha adoptado en general el convenio de representar en el eje de abscisas del gráfico las proyectadas sobre el eje X global, de manera que, por ejemplo, en el arco, las leyes se obtienen proyectadas sobre la horizontal. Este convenio permite mucho más cómodamente la comparación entre distintos casos que el dibujo sobre la geometría real que se había programado en un principio.
Un convenio de representación muy importante es que, con carácter general, no se han suavizado las posibles discontinuidades o quiebros en los resultados obtenidos de los modelos de barras, lo que permite el análisis de los datos realmente obtenidos de los cálculos9.
9 Por lo tanto, en general, los resultados entre marcadores no son interpolados, sino datos realmente
obtenidos del postproceso, y los marcadores, cada determinado número de puntos, tienen la función de ayudar a distinguir las curvas entre sí.
49
CAPÍTULO 4
4 ARCO PLANO VERTICAL: EFECTO DE LA VARIACIÓN DE CURVATURA DEL TABLERO.
4.1. INTRODUCCIÓN. Para analizar la influencia de la curvatura en planta del tablero, que según se define en 3.3.1.3,
queda definida por la flecha en planta del tablero, gT, se ha realizado el estudio de una serie de modelos de puentes arco de las siguientes características, en el cual se ha variado gT entre 0.00 m (arco y tablero contenidos en un plano vertical) y –10.00 m con incrementos de –2.00 m.1 Los axiles de pretensado de las péndolas se han determinado con la condición de anular las flechas verticales del tablero para la HIP0 (véase 3.5.1).
Variable Descripción Valores
LA Luz del arco. 100 m
fA Flecha del arco en plano vertical. 20 m
Directriz del arco. Vertical, parabólica de 2º grado
nA nº de divisiones del arco. 16
nint nº de nudos entre péndolas (arco y tablero). 3
Péndolas articuladas a flexión en extremos. Sí
Homogeneización de áreas de péndolas. Sí
YT Coordenada Y de estribo de tablero. 0 m
bL Distancia lateral de atirantamiento. 0 m
gT Flecha en planta de tablero curvo. Variable de 0 a -10 m
∆gT=-2,00 m
Vinculaciones de estribos de tablero.
Movimientos impedidos.
Libre a flexiones.
Empotrado a torsión.
sA,hA,bA Sección transversal del arco. Tubular metálica.
φ=1000 mm, t= 25 mm.
sT,hT,bT Sección transversal del tablero. Rectangular metálica.
bT=2500 mm, hT=1000 mm.
tfT,twT Espesores de alas y almas de sección de tablero. tfT= twT =15 mm
γI γJ Cftes. de ponderación de inercias a flexión longitudinal y a torsión del tablero. 1.00 /1.00
bS Ancho total de la plataforma cargada de tablero. 3.80 m
CP Carga permanente sobre tablero. 12 KN/m
SCU Sobrecarga uniforme de uso. 4 KN/m2
Tabla 4.1-1.- Resumen de las características de la serie inicial de puentes estudiados.
1 En realidad, en el estudio realizado en este capítulo, el signo de gT es indiferente, ya que el arco se ha
situado en un plano perfectamente vertical. Sin embargo, se mantiene el signo por coherencia con los análisis posteriores.
50
Tablero
LA=100 m
gTO
Arco plano
Arranques de arco empotrados
Estribos de tablero fijos, libres a flexión, empotrados a torsión
Péndolas
Fig. 4.1-1.- Planta de puente tipo de la serie estudiada con gT variable.
Fig. 4.1-2.- Primer puente de la serie estudiada: gT=0.
Fig. 4.1-3.- Último puente de la serie estudiada: gT=-10.
51
4.2. RESULTADOS PARA CARGAS PERMANENTES. Se realiza un primer análisis para la evolución de los esfuerzos debidos a cargas permanentes en
función de la flecha horizontal del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-200
-150
-100
-50
0
50
100
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion longitudinal en arco (gT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
96
-94
82
-115
79
-133
83
-145
86
-151
88
-155
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.2-1.- Flexión longitudinal en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion longitudinal en tablero (gT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
57
-77
56
-76
55
-75
54
-74
54
-73
54
-73
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.2-2.- Flexión longitudinal en el tablero.
52
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion transversal en arco (gT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
10867
-4499
8602
-3558
6396
-2644
4240
-1752
2114
-8730
-0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.2-3.- Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
0
100
200
300
400
500
600
700
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion transversal en tablero (gT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
250
-23
273
-11
328
-0
447
-0
693
00
-0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.2-4.- Flexión transversal en tablero.
53
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2200
-2100
-2000
-1900
-1800
-1700
-1600
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Axil en arco (gT)
x [m]
N [K
N]-1671
-2153
-1659
-2126
-1648
-2104
-1641
-2090
-1639
-2084
-1636
-2078
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.2-5.- Axil en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Axil en tablero (gT)
x [m]
N [K
N]
-1270-1333
-1247 -1288-1215 -1239
-1150-1162
-911-915
00
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.2-6.- Axil en tablero.
54
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. T orsion en arco (gT)
x [m]
T [K
N·m
]1292
-1292
1022
-1022
760
-760
504
-504
251
-251
0-0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.2-7.- Torsión en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0.5
1
1.5
2
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. T orsion en tablero (gT)
x [m]
T [K
N·m
]
2
-2
2
-2
1
-1
1
-1
0
-0
00
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.2-8.- Torsión en tablero.
55
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
Arco plano vertical. Analisis E.L. Esfuerzos en arco (Caso gT=-6. Cargas permanentes.)
x [m]
M 2, M3 [K
N·m
]
223
-626
313
-817
79 -133
2475
-922
3676
-1358
6396
-2644PP M3CP M3PRETP M3PP M2CP M2
PRETP M2
Fig. 4.2-9.- Caso gT=-6. Esfuerzos en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
Arco plano vertical. Analisis E.L. Esfuerzos en tablero (Caso gT=-6. Cargas permanentes.)
x [m]
M 2, M3 [K
N·m
]
768
-444
1144
-662
55
-75
191
-0
286
-0
328
-0
PP M3CP M3PRETP M3PP M2CP M2
PRETP M2
Fig. 4.2-10.- Caso gT=-6. Esfuerzos en tablero.
56
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
20
40
60
80
100
120
140
160
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Axiles en pendolas (gT)
x [m]
N [K
N]154
131
147
125
141
120
137
117
135
115
134
114
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.2-11.- Axiles en péndolas.
57
4.3. RESULTADOS PARA SOBRECARGAS.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion longitudinal en arco (gT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
604
-2684
602
-2347
945
-1979
1212
-1693
1401
-1542
1412
-1416
813
-2446
611
-1745
396
-1035
205
-481
80-142
62 -59
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.3-1.- SCU A y E. Flexión longitudinal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion longitudinal en arco (gT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
401
-1207
302
-863
197
-513
102
-239
40-71
31 -29
412
-1239
309
-882
200
-522
103
-242
40-71
31 -29
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.3-2.- SCU C y D. Flexión longitudinal en arco.
58
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion longitudinal en tablero (gT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
2427
-1375
2090
-938
1776
-884
1511
-976
1319
-1103
1283
-1152
2956
-2363
2197
-1567
1449
-838
795
-351
327
-92188 -0
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.3-3.- SCU A y E. Flexión longitudinal en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion longitudinal en tablero (gT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
1528
-1148
1143
-761
762
-406
425
-168
178
-4394 -0
1428
-1216
1054
-807
687
-434
371
-184
149-50
94 -0
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.3-4.- SCU C y D. Flexión longitudinal en tablero.
59
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion transversal en arco (gT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
4777
-1249
3827
-1094
2875
-895
1926
-639
972
-3340-0
7689
-2385
6168
-2097
4656
-1720
3133
-1232
1581
-6450
-0
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.3-5.- SCU A y E. Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion transversal en arco (gT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
3792
-1176
3049
-1036
2308
-853
1557
-612
788
-3220
-0
3897
-1209
3119
-1060
2348
-868
1576
-620
793
-3240
-0
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.3-6.- SCU C y D. Flexión transversal en arco.
60
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion transversal en tablero (gT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
1284
-539
880
-403
585
-275
390
-158
327
-390-0
1368
-298
772
-86
362
-0
292
-0
513
00
-0
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.3-7.- SCU A y E. Flexión transversal en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion transversal en tablero (gT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
675
-147
382
-42
179
-0
145
-0
256
00
-0
693
-151
390
-43
182
-0
147
-0
257
00
-0
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.3-8.- SCU C y D. Flexión transversal en tablero.
61
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. T orsion en arco (gT)
x [m]
T [K
N·m
]
369
-327
323
-289
264
-238
188
-170
98
-890
-0
688
-688
605
-605
497
-497
355
-355
186
-186
0-0
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.3-9.- SCU A y E. Torsión en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. T orsion en arco (gT)
x [m]
T [K
N·m
]
339
-339
299
-299
246
-246
176
-176
93
-93
0-0
349
-349
306
-306
250
-250
179
-179
93
-93
0-0
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.3-10.- SCU C y D. Torsión en arco.
62
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-600
-400
-200
0
200
400
600
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. T orsion en tablero (gT)
x [m]
T [K
N·m
]
367
-247
241
-166
143
-108
75
-66
29-310
0
521
-521
312
-312
156
-156
58
-58
13 -130
0
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.3-11.- SCU A y E. Torsión en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-600
-400
-200
0
200
400
600
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. T orsion en tablero (gT)
x [m]
T [K
N·m
]
177
-177
244
-244
297
-297
334
-334
354
-354
361
-361
532
-532
469
-469
419
-419
385
-385
367
-367
361
-361
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.3-12.- SCU C y D. Torsión en tablero.
63
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1300
-1200
-1100
-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
-300
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Axil en arco (gT)
x [m]
N [K
N]
-352
-805
-384
-768
-417
-737
-444
-720
-462
-719
-468
-706-710
-1297
-773
-1242
-838
-1202
-892
-1186
-928
-1183
-940
-1179
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.3-13.- SCU A y E. Axil en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-700
-650
-600
-550
-500
-450
-400
-350
-300
SCU C y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Axil en arco (gT)
x [m]
N [K
N]
-350
-640
-382
-614
-415
-596
-443
-589
-462
-590
-470
-590
-360
-657
-391
-628
-423
-606
-448
-596
-465
-593
-470
-590
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.3-14.- SCU C y D. Axil en arco.
64
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Axil en tablero (gT)
x [m]
N [K
N]
-430
-508
-434-478
-435-456 -422-431
-340-343
00
-864
-964
-870-923
-871 -895-844
-854
-680-683
00
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.3-15.- SCU A y E. Axil en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-500
-450
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Axil en tablero (gT)
x [m]
N [K
N]
-426
-475
-430-456
-432 -444-420
-424
-339-341
00
-438
-489
-440-467
-439 -452-425
-430
-341-343
00
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.3-16.- SCU A y E. Axil en tablero.
65
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Axiles en pendolas (gT)
x [m]
N [K
N]
561
14
422
20
295
6
215
-37
183
-68
149
-59
729
47
497
59
300
73
178
82115 8790
89
gT=-10. SCU A
gT=-8. SCU A
gT=-6. SCU A
gT=-4. SCU A
gT=-2. SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8. SCU E
gT=-6. SCU E
gT=-4. SCU E
gT=-2. SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.3-17.- SCU A y E. Axiles en péndolas.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
50
100
150
200
250
300
350
400
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Axiles en pendolas (gT)
x [m]
N [K
N]
359
23
246
29
149
36
89
4157 4345
44
369
24
251
30
151
37
90
4158 4445
44
gT=-10. SCU C
gT=-8. SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.3-18.- SCU A y E. Axiles en péndolas.
66
4.4. MOVIMIENTOS.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas verticales en arco (gT)
x [m]
V Z [mm
]
-0
-16
-0
-15
-0
-14
-0
-13
-0
-13
-0
-13
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.4-1.- HIP0: Flechas verticales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.04
-0.035
-0.03
-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas verticales en tablero (gT)
x [m]
V Z [mm
]
0
-0
0
-0
0
-0
0
-0
0
-0
0
-0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.4-2.- HIP0: Flechas verticales en tablero.
67
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas transversales en arco (gT)
x [m]
V Y [mm
]
-0
-2350
-0
-1860
-0
-1382
-0
-916
-0
-457
-0-0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.4-3.- HIP0: Flechas transversales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
5
10
15
20
25
30
35
40
45
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas transversales en tablero (gT)
x [m]
V Y [mm
]
12
0
15
0
19
0
26
0
41
00
0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 4.4-4.- HIP0: Flechas transversales en tablero.
68
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas verticales en arco (gT)
x [m]
V Z [mm
]54
-60
55
-62
56
-63
58
-64
59
-65
60
-66
21
-28
14
-22
7
-15
-0
-9
-0-6
-0
-9
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.4-5.- SCU A y E: Flechas verticales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-15
-10
-5
0
5
10
15
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas verticales en arco (gT)
x [m]
V Z [mm
]
10
-14
7
-11
3
-7
-0
-4
-0
-3
-0
-4
11
-14
7
-11
3
-8
-0
-4
-0
-3
-0
-4
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.4-6.- SCU C y D: Flechas verticales en arco.
69
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas verticales en tablero (gT)
x [m]
V Z [mm
]0
-350
0
-260
1
-185
20
-128
43
-90
51
-83
0
-639
0
-452
0
-289
0
-157
0
-66
0-42
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.4-7.- SCU A y E: Flechas verticales en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas verticales en tablero (gT)
x [m]
V Z [mm
]
0
-315
0
-223
0
-143
0
-78
0
-33
0
-21
0
-324
0
-228
0
-146
0
-79
0
-33
0
-21gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.4-8.- SCU C y D: Flechas verticales en tablero.
70
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas transversales en arco (gT)
x [m]
V Y [mm
]
-0
-654
-0
-568
-0
-460
-0
-326
-0
-170
0-0
-0
-1300
-0
-1130
-0
-917
-0
-650
-0
-338
-0-0
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.4-9.- SCU A y E: Flechas transversales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas transversales en arco (gT)
x [m]
V Y [mm
]
-0
-641
-0
-558
-0
-454
-0
-323
-0
-169
-0-0
-0
-659
-0
-571
-0
-463
-0
-327
-0
-170
-0-0
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.4-10.- SCU C y D: Flechas transversales en arco.
71
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas transversales en tablero (gT)
x [m]
V Y [mm
]
14
-7
12
-4
11
-2
11
0
16
00
-0
8
0
8
0
12
0
19
0
30
00
0
gT=-10. SCU A
gT=-8 .SCU A
gT=-6 . SCU A
gT=-4 . SCU A
gT=-2 . SCU A
gT=0. SCU A
gT=-10. SCU E
gT=-8 . SCU E
gT=-6 . SCU E
gT=-4 . SCU E
gT=-2 . SCU E
gT=0. SCU E
Fig. 4.4-11.- SCU A y E: Flechas transversales en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
12
14
16
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flechas transversales en tablero (gT)
x [m]
V Y [mm
]
4
0
4
0
6
0
9
0
15
00
0
4
0
4
0
6
0
9
0
15
00
0
gT=-10. SCU C
gT=-8.SCU C
gT=-6. SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-2. SCU C
gT=0. SCU C
gT=-10. SCU D
gT=-8. SCU D
gT=-6. SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-2. SCU D
gT=0. SCU D
Fig. 4.4-12.- SCU C y D: Flechas transversales en tablero.
72
4.5. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS MÁS RELEVANTES.
4.5.1. CARGAS PERMANENTES.
4.5.1.1. La parábola de 2º grado como antifunicular de las cargas permanentes.
El primer análisis que debemos realizar es comprobar si la directriz adoptada para el arco se ajusta razonablemente al antifunicular de las cargas permanentes, aunque ello solamente en lo que a flexión longitudinal (M3, de eje horizontal) en el arco se refiere, ya que con las geometrías modelizadas la flexión transversal es de carácter claramente asimétrico, y se tratará de ella posteriormente.
En la figura siguiente se representan las excentricidades en cada punto del arco para los casos extremos de la serie, gT=0 y gT=-10, con respecto a las dos líneas horizontales que representan la posición relativa de las fibras extremas superior e inferior de la sección.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
HIP0:Excentricidad (M3/N) de flexión longitudinal en el arco
x [m]
e 3 (M
3/N) [
m]
Fibra inferior de la sección del arco (hA=1.00 m).
gT=-10
Fibra superior de la sección del arco (hA=1.00 m).
gT=0
Fig. 4.5-1.- Casos gT=0 y gT=-10: Excentricidad de la flexión longitudinal en el arco (M3/N) para cargas permanentes (HIP0). Las dos líneas horizontales representan la excentricidad correspondiente a las fibras extremas de la sección.
Se observa una pequeña variación general de acuerdo con la ley de momentos flectores típica de un arco biempotrado. Los picos descendentes corresponden a las posiciones de los anclajes de las péndolas, entre los nudos intermedios que modelizan la directriz entre anclajes. Dichos picos aparecen porque la directriz se ha definido como una curva continua, sin puntos de quiebro en los anclajes, como correspondería, desde un punto de vista teórico, a la presencia de cargas puntuales localizadas en las péndolas.
En cualquier caso, las excentricidades (M3/N) debidas a las flexiones longitudinales son mínimas, y no sobrepasan en ningún caso los 0.08 m para un canto de 1.00 m. Este pequeño valor de la excentricidad confirma que, a pesar de no haber realizado estudios para encajar la geometría de los arcos, la parábola de 2º grado adoptada como directriz se adapta bastante bien a las solicitaciones actuantes, por lo que la mantendremos en el resto de los análisis en los que no se obtenga o se precise usar la directriz antifunicular.
Esto también es debido, y de destacar, a que como las péndolas se han dispuesto según desarrollos iguales del tablero y según abscisas iguales en el arco, la distribución de las acciones es bastante regular, al corresponderle a cada péndola anclada en el arco un área tributaria de tablero igual. Las cargas verticales se asemejan relativamente a una distribución uniforme de cargas por unidad de longitud, sobre todo en la zona central, como corresponde a la cercanía del antifunicular a la parábola de 2º grado.
73
Por lo tanto, para acciones permanentes, esta área tributaria determina con bastante aproximación la componente vertical de las péndolas, al margen de alteraciones por curvatura. La componente horizontal de las mismas depende, por supuesto, de la relación entre las posiciones en planta del arco y del tablero.
4.5.1.2. Evolución de la flexión longitudinal en el arco y de esfuerzos axiles en las péndolas.
La evolución de la flexión longitudinal en el arco (Fig. 4.2-1) se caracteriza en general por sus bajos valores (menores de 200 KN·m en todos los casos para una luz de cálculo de 100 m). En su evolución, a medida que aumentamos la curvatura, se genera un decremento de la misma cerca de arranques y un crecimiento en el centro de vano. Los puntos de anulación de la misma se mantienen en todos los casos muy cerca unos de otros, en la zona de riñones.
Esta forma del crecimiento de la flexión tiene, como es lógico, su justificación en la distribución de las componentes verticales de los axiles en las péndolas a medida que aumentamos la curvatura del tablero, ya que el arco no cambia.
En la figura siguiente se comparan las componentes verticales de los axiles de pretensado de las péndolas con las reacciones verticales que se obtendrían si el tablero del puente descansara sobre apoyos puntuales fijos y articulados.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5040
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
HIP0: Axiles de pendolas y reacciones. Arco plano vertical. Analisis E.L. (gT)
x [m]
N,R
[KN]
137
48
136
47
135
47
134
47
134
46
134
46
137
117
136
115
135
115
134
114
134
114
134
114
gT=-10. RZgT=-8. RZgT=-6. RZgT=-4. RZgT=-2. RZ
gT=0. RZgT=-10. NPZgT=-8. NPZ
gT=-6. NPZgT=-4. NPZgT=-2. NPZgT=0. NPZ
Fig. 4.5-2.- HIP0: Componentes verticales de axiles de pretensado de péndolas (NPZ) y reacciones verticales (RZ) en tablero con apoyos fijos articulados.
Como se puede ver, la coincidencia es prácticamente perfecta, como era de esperar, ya que precisamente se ha determinado el axil de pretensado para anular las flechas verticales de los nudos de anclaje de las péndolas en el tablero. Las flechas realmente obtenidas en los nudos de anclaje, bastante por debajo de 5·10-3 mm, menores en cualquier caso que el error admisible del método, se pueden ver en la Fig. 4.4-2. La forma quebrada de dicha curva es debida a que no se obtienen flechas en posiciones intermedias de las barras.
También puede apreciarse cómo la carga vertical crece con la curvatura, lo que explica el aumento de flexión longitudinal, en la zona central.
Existe una relación de proporcionalidad entre los valores de los axiles de pretensado y de sus componentes verticales para distintos valores de la curvatura. Como se aprecia en la Tabla 4.5-1, la
74
relación entre los axiles de las péndolas para el caso gT=0 y gT=-10 es prácticamente constante para todas ellas (valor medio de 1.149), y el ángulo que forman las péndolas con el plano horizontal es prácticamente el mismo (63.464º de media).
HIP0 gT=0 gT=-10
Péndolas NP I [KN] NP II [KN] α [º] NPII/ NP
I
1 y 16 133.51 153.18 63.512 1.1473 2 y 15 113.51 130.32 63.492 1.1481
3 y 14 118.87 136.52 63.477 1.1484
4 y 13 117.44 134.95 63.463 1.1491
5 y 12 117.82 135.41 63.452 1.1493
6 y 11 117.72 135.33 63.443 1.1497
7 y 10 117.74 135.40 63.437 1.1499
8 y 9 117.74 135.39 63.435 1.1499
Media: 63.464 1.149
Tabla 4.5-1.- Casos gT=0 y gT=-10. HIP0. Axiles de pretensado de péndolas para ambos casos y relación entre ambos. También se muestran los ángulos α que forman las péndolas en el caso gT=-10 con el plano XY.
Asimismo existe proporcionalidad entre las componentes verticales de las péndolas. En la Tabla 4.5-2 se puede apreciar cómo se mantiene casi constante la relación en dichas componentes para los axiles de todas las péndolas para los casos gT=0 y gT=-10. Esta relación tiene 1.0279 como valor medio.
HIP0 gT=0 gT=-10
Péndolas NPZ I [KN] NPZ II [KN] NPZII/ NPZ
I 1 y 16 133.51 137.10 1.0268
2 y 15 113.51 116.62 1.0274
3 y 14 118.87 122.15 1.0276
4 y 13 117.44 120.73 1.0281
5 y 12 117.82 121.13 1.0281
6 y 11 117.72 121.05 1.0283
7 y 10 117.74 121.11 1.0286
8 y 9 117.74 121.10 1.0285
Media: 1.0279
Tabla 4.5-2.- Casos gT=0 y gT=-10. HIP0. Componentes verticales de axiles de pretensado de péndolas para ambos casos y relación entre ambos.
La relación entre las componentes verticales es sencillamente la relación entre los desarrollos del tablero. En efecto, para un valor absoluto de la flecha horizontal en planta, gT, de 10 m para una cuerda LA (que coincide con la luz del puente), de 100 m, el radio del tablero resulta, tomando potencias en la circunferencia que define la directriz curva respecto del punto medio de dicha cuerda (Fig. 4.5-3):
)-(22
2
TTA gRgL
⋅⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ [4.1]
de donde
75
T
TA
g
gL
R⋅
+=
24
22
[4.2]
que para los valores anteriores resulta R = 130 m.
b/2
b/2
R
Eje de tablero
Arranques de arco y estribos de tablero
α0
LA
gT
Fig. 4.5-3.- Planta del tablero.
El desarrollo del tablero ahora resulta 2·R·α0, donde α0 es el semiángulo total girado por el
tablero en planta, que vale ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅=
RLα A
0 2arcsen =0.3948 rad.
El desarrollo del tablero, S, es pues de 130·2·0.3948=102.6480 m.
Con lo que se demuestra que el coeficiente que expresa la relación entre la proyección vertical de los axiles de las péndolas (que, según la Tabla 4.5-2 es de 1.0279) es prácticamente igual al que expresa la relación recién calculada entre los desarrollos de los tableros (1.0265).
Asimismo, y con bastante aproximación, la relación para los axiles totales de las péndolas viene dada porque, corregidas por la relación entre desarrollos, las componentes verticales de las péndolas son iguales.
Así, igualando las componentes verticales, resulta
I
IIP
II
IIIIP
SsenN
SsenN )()( α⋅
=α⋅ [4.3]
Aplicando esta expresión para reconstruir los valores de la tabla Tabla 4.5-1, despejando los valores de NP
I a partir de los de NP II, resulta para las péndolas 1 y 16 un valor de 133.56 KN (en lugar de 133.51) y para las péndolas 8 y 9 de 117.97 (en lugar de 177.74).
Además existe una causa de menor efecto de alteración de la flexión relativa a la orientación de las péndolas en el plano vertical, en el que se van inclinando paulatinamente a medida que aumenta la curvatura, desplazándose del plano vertical perpendicular a la línea entre arranques (véase las Fig. 4.1-1 a Fig. 4.1-3, sobre todo las péndolas más cercanas a los arranques, donde este efecto es mayor). Este efecto, de todas maneras, es de escasa importancia (véase el bajo valor relativo de dichas acciones en la Fig. 4.5-4).
76
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
HIP0: Axiles de pretensado de pendolas: Componentes horizontales. Arco plano vertical. Analisis E.L. (gT)
x [m]
N X [KN]
8
-8
5
-5
3
-3
1
-1
0-00
0
gT=-10. NPX
gT=-8. NPXgT=-6. NPX
gT=-4. NPXgT=-2. NPX
gT=0. NPX
Fig. 4.5-4.- HIP0: Componentes horizontales (longitudinales) de axiles de pretensado de péndolas (NPX). En todos los casos estudiados son de poca importancia. Compárense con los valores de la Tabla 4.5-2 o los de la Fig. 4.2-11.
4.5.1.3. Axil en el arco.
El crecimiento del axil es pequeño para el incremento de curvatura, y su ley es bastante parecida para todos los caso estudiados (Fig. 4.2-5).
La única razón que puede hacer incrementar el axil del arco es nuevamente el axil de las péndolas, que evoluciona como se ha descrito anteriormente. El axil total en el arco para las cargas permanentes tiene en el estudio realizado dos orígenes: uno, constante, producido por el peso propio del arco, y otro, variable con la curvatura, producto del peso propio y de las cargas permanentes del tablero, que se transmiten al arco a través de las péndolas.
La pendiente m en los arranques para un arco de directriz parabólico de 2ª grado de flecha fA es
A
A
Lfm 4−= [4.4]
por lo que la proyección horizontal del axil en arranques, NAX, resulta:
AAX Nm
N ⋅+
=21
1 [4.5]
Dado que m resulta –0.80 para fA=20 y LA=100, se obtiene NAX=0.7809·NA.
En la Tabla 4.5-3 se compara el axil en clave (NC) con la componente horizontal (NAX) del axil en arranques para los diferentes casos de curvatura estudiada. En la columna derecha se aprecia que, para los casos estudiados, prácticamente coinciden, y la relación NC/NAX es prácticamente la unidad.
77
HIP0 Clave Arranques
gT NC [KN] NA [KN] NAX [KN] NC/NAX 0 -1635.74 -2078.37 -1622.93 1.008
-2 -1639.65 -2083.56 -1626.99 1.008
-4 -1641.98 -2090.18 -1632.16 1.006
-6 -1648.46 -2104.32 -1643.20 1.003
-8 -1659.30 -2126.23 -1660.31 0.999
-10 -1671.93 -2153.03 -1681.30 0.994
Tabla 4.5-3.- Comparación de axil en clave (NC) con la componente horizontal (NAX) del axil en arranques para los diferentes casos de curvatura estudiada. En la columna se aprecia que, para los casos estudiados, prácticamente coinciden, lo que establece la constancia de la componente horizontal del axil en el arco.
4.5.1.4. Flexión transversal en el arco.
Sin duda, para el arco, la consecuencia más importante de la curvatura del tablero es la inclinación del axil de las péndolas. Este efecto se manifiesta en la aparición de la flexión transversal del arco, que comienza a trabajar en el plano horizontal como una viga balcón sometida a la componente horizontal de los axiles de las péndolas. La aparición de momentos flectores transversales es evidente con la inclinación del arco a medida que aumenta la curvatura (Fig. 4.2-3).
Como hemos visto en el apartado 4.5.1.2, a medida que aumenta la curvatura del tablero lo hacen los axiles de pretensado de las péndolas, manteniendo constante la proyección vertical de éstos, ponderada por la relación entre desarrollos del tablero para diferentes curvaturas.
Además, cuando el tablero se curva en planta, el arco comienza a trabajar en el plano vertical como una viga balcón, y, como en toda viga curva cargada perpendicularmente a su plano, aparece un fenómeno de acoplamiento flexión- torsión, que altera la ley de flectores del arco. Esta torsión no aparece cuando el tablero es recto. Véase al respecto la Fig. 4.2-7 para el caso gT=0.
La forma de las curvas de flexión transversal del tablero y, sobre todo, el hecho de que el momento flector se anule en el mismo punto para todos los casos, hace pensar que la flexión transversal, producto exclusivo de la inclinación de las péndolas, es también proporcional al axil de éstas.
Comprobemos esta hipótesis para dos puentes de la serie: para gT=-4 y para gT=-10.
HIP0 gT=-4 gT=-10
Péndolas NPY I [KN] NPY II [KN] NPYII/ NPY
I 1 y 16 -26.763 -67.852 2.535
2 y 15 -22.774 -57.867 2.541
3 y 14 -23.855 -60.739 2.546
4 y 13 23.573 -60.144 2.551
5 y 12 -23.661 -60.431 2.554
6 y 11 -23.641 -60.461 2.557
7 y 10 -23.649 -60.532 2.560
8 y 9 -23.651 -60.546 2.560
Media: 2.551
Tabla 4.5-4.- Casos gT=-4 y gT=-10: Componentes horizontales (transversal, según el eje Y) de axiles de pretensado de péndolas para ambos casos y relación entre ambos.
78
De tal manera que la razón de proporcionalidad entre ambos será (NPII ·cos(αΙΙ)) / (NP
I·cos(αI)), que expresa la relación entre las proyecciones horizontales de los axiles de pretensado de las péndolas para los casos gT=-10 y gT=-4, respectivamente.
Para el caso que nos ocupa el valor de esta constante (Tabla 4.5-4 ) de proporcionalidad con los datos anteriores resulta de 2.551 (valor medio).
Como verificación de lo anterior se representan en la Fig. 4.5-5 las leyes de flexión transversal para el caso gT=-4, el mismo caso ponderado por 2.551 y el caso gT=-10 como contraste.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion transversal en arco (gT=-4 y -10)
x [m]
M 2 [KN·
m]
10867
-4499
4240
-1752
10815
-4469
gT=-10 (·1.00)
gT=-4 (·1.00)
gT=-4 (·2.551)
Fig. 4.5-5.- Hipótesis de proporcionalidad entre las leyes de flexiones transversales en el arco debidas al pretensado de péndolas para diferentes curvaturas del tablero.
Como se aprecia en la figura, la coincidencia es casi exacta, por lo que podemos extraer de estos cálculos como conclusión que la flexión transversal en el arco tiene como causa exclusiva la inclinación del axil de las péndolas.
Por otra parte, la flexión transversal del arco es la única que se acopla con la torsión que aparece como viga balcón. No hay alteraciones de la flexión longitudinal en el arco por efecto de la torsión. Esto tiene su justificación en que el arco del estudio, vertical, no presenta curvatura en el plano horizontal, por lo que, independientemente del valor del torsor, no puede acoplarse con el flector longitudinal (de eje horizontal), porque su proyección según la directriz siempre es nula, al contrario del lo que ocurre en el plano vertical.
Otra consecuencia muy importante desde el punto de vista práctico es la siguiente: Los resultados que hemos obtenido coinciden con las premisas de trabajos como los de Tufecki y Dogruer [92], en los que se establece que el comportamiento en el plano del arco y en el plano perpendicular están desacoplados para secciones doblemente simétricas, como es nuestro caso.
En el plano del arco el comportamiento es similar al de un arco plano. En el perpendicular es el de una viga balcón sometida a las acciones no contenidas en el plano del arco.
4.5.1.5. Flexión longitudinal y torsión en el tablero para cargas permanentes.
El tablero, suspendido de anclajes centrados en su eje, se comporta, a efectos de cargas permanentes, como un tablero sobre apoyos fijos puntuales (Fernández Casado et al., [26]), ya que el método empleado para determinar los axiles de pretensado anula las flechas en los puntos de anclaje.
79
De acuerdo con la misma referencia, la carga centrada provoca esfuerzos de flexión y torsión similares a los del puente recto. Este comportamiento concuerda con lo mostrado en la Fig. 4.2-2, donde la flexión longitudinal en el tablero es en todos los casos muy similar a la de la viga continua sobre apoyos fijos.
Con bastante aproximación la flexión crece en la misma proporción que el cuadrado de las luces entre apoyos, que son a su vez proporcionales a los desarrollos del tablero.
En la Fig. 4.5-5, se representan dos puentes, uno recto (gT=0) y otro curvo (gT=-10) formados por los tableros de los puentes extremos de la serie, con apoyos fijos separando cuatro vanos. La relación entre los flectores sobre apoyos es muy cercana al valor de 1.0537, que es el cuadrado de 1.02465, o relación
entre desarrollos,I
II
SS ,obtenida en 4.5.1.2. Para la sección del tablero, la relación EI/GJ=1.03.
Apoyo 1 Apoyo 2
a IM -532.92 -361.23
b 2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
I
III S
SM -561.54 -380.63
c IIM -563.53 -380.17
d b/c 0.997 1.001
-361.23
-532.92
-563.53
-380.17 gT = -10. SII = 102.65m
gT = 0 SI =100 m
Apoyo 1
Apoyo 2
Fig. 4.5-6.- Modelos de puentes sobre apoyos fijos: La flexión crece, a pesar de la curvatura, proporcionalmente al cuadrado de los desarrollos. (EI/GJ=1.03)
Si en el mismo puente ponderamos la rigidez a torsión por un coeficiente γJ, de tal manera que la relación EI/GJ=1.03/γJ, según se aprecia en la Fig. 4.5-7, a medida que crece γJ, la flexión tiende asintóticamente a la obtenida para el tablero recto ponderada por el cuadrado de la relación entre desarrollos. En los resultados obtenidos, la flexión sobre el apoyo 1 disminuye un 4.71% al pasar γJ de 0.01 a 10, mientras que sobre el apoyo 2 crece un 7.4%.
80
10-2
10-1
100
10 1 0
-100
-200
-300
-400
-500
600
M- [K
N·m]
Apoyo 2
Apoyo 1
Evolución de M - en función de γ J
γJ
-561.54
-380.63
Fig. 4.5-7.- Evolución de la flexión sobre los apoyos 1 y 2 en función del coeficiente γJ de ponderación de la rigidez a torsión, con lo que EI/GJ=1.03/γJ. A medida que crece γJ, la flexión tiende de forma asintótica a la obtenida para el tablero recto ponderada por el cuadrado de la relación entre desarrollos, representadas por sendas rectas horizontales a trazos.
Con lo cual, a partir de determinados valores de la rigidez a torsión (por ejemplo, en sección cajón o similares) se puede aceptar esta forma de caracterizar la evolución de la flexión en el tablero.
Por otro lado, para cargas permanentes centradas, el torsor, como ya se ha citado, es más bien pequeño y creciente con la curvatura (Fig. 4.2-8).
La forma de las leyes de torsión, discontinuas, tiene su razón de ser en que los tableros curvos se han aproximado por una poligonal formada por elementos rectos, con lo que las variaciones de torsión se concentran en los quiebros de la directriz, en lugar de variar de un modo gradual, y como se cita en el apartado 3.6, se ha adoptado el criterio de no suavizar las salidas de resultados.
gT = -10.
1 2
3
4
Fig. 4.5-8.- Puntos de salida de la torsión.
Además, la torsión evoluciona poco con γJ, y se estabiliza a partir de determinado punto. En la Fig. 4.5-8 se define la posición de los puntos de salida de la torsión para los resultados de la Tabla 4.5-5, que se corresponden con los valores extremos para el estribo, y los extremos en el primer y el segundo vano.
81
PP Torsor [KN·m] en punto:
γJ 1 2 3 4
0.01 22.09 -18.67 7.82 -5.81
0.1 23.93 -18.09 6.75 -6.65
1 24.63 -17.67 6.78 -6.77
10 24.74 -17.60 6.80 -6.77
Tabla 4.5-5.- Evolución de la torsión en función de γJ.
4.5.1.6. El tablero como arco en planta.
Hemos visto que el aumento de curvatura del tablero provoca que las acciones de las péndolas se inclinen y actúen sobre el arco movilizando mecanismos resistentes transversales que permanecen inactivos para el caso de tablero recto.
Análogamente, los axiles inclinados de las péndolas provocan la aparición de componentes horizontales que actúan sobre el tablero curvo. Sin embargo, la curvatura en planta de éste le hace trabajar como un arco en su plano horizontal y de hecho aparecen esfuerzos axiles crecientes con la curvatura del tablero y flexiones transversales decrecientes con ésta (Fig. 4.2-6 y Fig. 4.2-4, respectivamente), lo que indica a grandes rasgos, que el comportamiento en el plano horizontal del tablero evoluciona desde el de una viga apoyada en sus estribos, en el que la flexión pura es el único mecanismo resistente, al de un arco (de directriz circular en este caso) en el que la flexión pura se transforma en compuesta.
Análogamente al caso del arco, el comportamiento del tablero es también desacoplado en su plano y en el plano perpendicular, donde, respectivamente, se comporta como un arco plano trabajando en planta y una viga balcón sobre apoyos fijos.
4.5.2. SOBRECARGAS.
4.5.2.1. Influencia de la espacialidad en la eficacia del atirantamiento del tablero.
La sensibilidad del puente arco espacial a las sobrecargas se comprende mucho mejor si analizamos el efecto de la vinculación del arco y tablero mediante un sencillo ejemplo con una única péndola biarticulada trabajando a tracción.
En la Fig. 4.5-9(a) se muestra la geometría del arco plano vertical vinculado al tablero curvo por una única péndola. Si el tablero (b) se carga, por ejemplo por una sobrecarga uniforme q, se genera una reacción ascendente R que actúa sobre el nudo de anclaje de la péndola en el tablero, lo que provoca que la péndola se traccione con un axil NP, de componente horizontal H. Supondremos que dicho axil es constante, lo que supone a su vez despreciar el peso propio de la péndola.
Si sólo hay una péndola, se verifica, por compatibilidad de movimientos en el nudo de anclaje:
( ) ( )P
ZTZT KRRvqv =− [4.6]
donde KP sería un factor que definiría la rigidez al desplazamiento vertical de la base de la péndola, anclada superiormente en el arco, ante una carga vertical R, si la relación entre ellos fuera lineal. Dicha rigidez K definiría la eficacia del sistema de atirantamiento del tablero.
En general, la rigidez del atirantamiento que expresa la relación entre R y vzt no será lineal. En (c) se da una sección por el plano rZ de la péndola. En general, este plano no es paralelo al plano XZ, ya que las péndolas tienen componente longitudinal (véase Fig. 4.5-4), por lo que la magnitud r es la longitud de la proyección horizontal de la péndola. En la figura se señala la posición de la arista intersección del plano del arco con el plano de la péndola.
82
r
α'
Arista intersección del plano XZ del arco con el rZ de la péndola
Arco sin deformar
Arco deformado
vZT
vrT
vZA
vrA
α Tablero sin deformar
Tablero deformado
Péndola sin deformar
Péndola deformada z
RR
NP
R
(a)
(b)
(c)
z
r
NP
R
H
NP
α'
q
Fig. 4.5-9.- Estudio del arco (a) vinculado por una única péndola a un tablero. En (b) el tablero se carga, lo que genera una reacción R de la péndola, cuyo axil es NP. En (c) se da una sección por el plano de la péndola antes y después de la deformación.
Para determinar la posición deformada del conjunto ante la acción de una carga vertical R, se parte de una posición inicial definida por el ángulo α. El objetivo es obtener la flecha del tablero ZTv .
En la geometría inicial, la longitud inicial LP de la péndola es
( )222PLrz =+ [4.7]
En la geometría deformada, la longitud de la péndola se incrementa en la elongación de la péndola debida al axil NP.
( ) ( ) ( )222 ∆ PPrTrAZAZT LL-vr-vvvz +=+−+ [4.8]
Proceso iterativo:
Para la obtención de vZT y de α′ se procede según los siguientes pasos, comenzando con un valor inicial de αα =′ :
Paso 1:
Dado α′ y R, queda definido NP y su componente horizontal H:
)α(RNP ′
=sen
[4.9]
)αtg(RH
′= [4.10]
y, por lo tanto, se pueden obtener:
( )PrArA Nvv =
( )PZAZA Nvv =
( )PrTrT Nvv =
( )PYTYT Nvv =
[4.11]
donde las deformadas corresponden a las de los nudos de la estructura sin péndola.
83
Paso 2:
La elongación de la péndola PL∆ se puede expresar en función de su rigidez a axil, a partir de su longitud sin deformar,
PP
PP ΩE
Lα
RL′
=sen
∆ [4.12]
Y la ecuación [4.8] queda:
( ) ( ) ( )2
222 1sen
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′
+=+−+PP
PrTrAZAZT ΩEαRL-vr-vvvz [4.13]
α′ queda redefinida por la ecuación [4.14] para cada nuevo valor de ZTv
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+=′
rTrA
ZAZT
-vr-vvvzarctgα [4.14]
Así, ZTv y α′ pueden ser obtenidos iterativamente resolviendo el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas definido en [4.13]-[4.14], ya que el resto de variables se ha definido en el paso 1.
Convergencia:
En el proceso se repiten los pasos 1 y 2, retomando el cálculo del paso 1 con el valor de α′ que se ha obtenido como solución del paso 2.
La convergencia del proceso se alcanza cuando la diferencia los ángulos α′ que se utilizan en el paso 1 para definir las cargas y el que se obtiene del paso 2 como solución para la deformada final es menor que una tolerancia especificada.
Consecuencias:
En la resolución del sistema anterior se pone de manifiesto la influencia de la espacialidad del arco sobre la eficacia del sistema de atirantamiento:
1.- En general, las ecuaciones [4.11] tendrán carácter no lineal. El proceso iterativo propuesto contempla esta no linealidad, dado que establece el equilibrio en la estructura deformada, en la que αα ≠′ .
2.- La deformabilidad horizontal del arco y del tablero, expresados por rAv y rTv , reducen la eficacia del atirantamiento del tablero.
Lógicamente, aumentar la rigidez horizontal del arco es conveniente, pues reduce rAv .
Por otra parte, el hecho de que tablero trabaje como arco en planta aumenta la rigidez a los desplazamientos transversales, reduce rTv y mejora dicha eficacia. Además, el tablero trabaja según su canto, lo que lo hace muy rígido.
3.- Si r=0, se obtiene la formulación para arco plano.
4.- Si ∞→PEΩ , 0∆ =PL , la péndola es indeformable y mantiene su longitud, lo que corresponde a la vinculación tipo cortina, que se encuentra en los textos clásicos (por ejemplo, Siegrist [78] o Menn [59]), que vinculan arco y tablero igualando sus movimientos.
De lo anterior se deduce, como ya se esperaba, que la variación en la eficacia del sistema de atirantamiento del tablero curvo vinculado a un arco plano vertical con respecto a la del tablero recto vinculado al mismo arco queda controlada por la deformabilidad transversal del arco, y en menor medida, por la del tablero.
84
4.5.2.2. Concentraciones de flexiones en el tablero con estribos apoyados.
En las figuras que representan flexiones puede apreciarse que van apareciendo unos picos de flexión en el tablero, mayores a medida que aumenta la curvatura, situados en las péndolas adyacentes a los estribos y que se transmiten al arco.
Este efecto se produce sencillamente porque las vinculaciones son diferentes en apoyos de arco y de tablero. Cuando el tablero está articulado en estribos y el arco no, como en nuestro caso, tiende a colgarse de las péndolas adyacentes a los estribos, creando los picos que se aprecian, por ejemplo, en la Fig. 4.3-3 y en la Fig. 4.3-4.
En la Fig. 4.5-10 se muestra el efecto que tiene en la flexión transversal de arco y tablero el hecho de liberar o coaccionar determinados grados de libertad en los estribos, y en la Fig. 4.5-11 se muestra el mismo efecto en la flexión longitudinal.
Tanto para la flexión longitudinal del arco como para la del tablero es prácticamente indiferente apoyar el tablero que liberar en sus estribos la flexión longitudinal M3. Los picos bajo las péndolas extremas aparecen cuando los estribos están apoyados.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
SCUE: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion transversal. gT=-10.
x [m]
M 2 [KN·
m]
7689
-2385
4158
-1857
7699
-2371
4154
-1857
1368
-298216 -180270
-1701
192 -116
Arco. Estribos apoyados.Arco. Estribos empotrados.Arco. Estribos con M3 liberado.
Arco. Estribos con M2 liberado.
Tablero. Estribos apoyados.Tablero. Estribos empotrados.Tablero. Estribos con M3 liberado.
Tablero. Estribos con M2 liberado.
Fig. 4.5-10.- Caso gT=-10. SCUE: Flexión transversal en arco y tablero en función de los grados de libertad coaccionados en los estribos del tablero.
A efectos de la flexión transversal, en el arco también los resultados prácticamente coinciden cuando el tablero está apoyado y cuando se libera la flexión longitudinal en los estribos. Es en el tablero donde se produce una pequeña alteración en las cercanías de los estribos en función de si se empotra o no la flexión.
Así, estamos en condiciones de afirmar que el efecto de concentraciones de flexiones en el tablero en las péndolas adyacentes a estribos se produce por la liberación o empotramiento de la flexión longitudinal en los estribos del tablero. El efecto de empotrar o no la flexión transversal es mucho menor.
Este efecto aparece también para cargas permanentes, aunque queda corregido por los axiles de pretensado.
85
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
SCUE: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion longitudinal. gT=-10.
x [m]
M 3 [KN·
m]
813
-2446
299-147
826
-2497
306-148
2956
-2363
2945
-6753
2967
-2420
2945
-6760Arco. Estribos apoyados.Arco. Estribos empotrados.Arco. Estribos con M3 liberado.
Arco. Estribos con M2 liberado.
Tablero. Estribos apoyados.Tablero. Estribos empotrados.Tablero. Estribos con M3 liberado.
Tablero. Estribos con M2 liberado.
Fig. 4.5-11.- Caso gT=-10. SCUE: Flexión longitudinal en arco y tablero en función de los grados de libertad coaccionados en los estribos del tablero.
4.5.2.3. Flexión longitudinal en el arco. Sensibilidad a las sobrecargas simétricas y asimétricas.
De acuerdo con la Fig. 4.3-1 y la Fig. 4.3-2, se aprecia que las leyes de flexiones longitudinales en el arco quedan bastante controladas en general para sobrecargas de carácter simétrico, presentando picos a partir del punto de anclaje de las péndolas extremas, que como se acaba de comprobar, vienen dados porque el arco está empotrado y el tablero articulado a flexión longitudinal.
En el plano vertical, el arco se comporta como un arco clásico, mostrando la bien conocida sensibilidad de éstos a las sobrecargas en riñones, y de hecho, las mayores flexiones aparecen, en todos los casos para las sobrecargas en semitableros (SCUA), para todas las curvaturas del tablero analizadas, excepto para los arranques, en los que las máximas flexiones longitudinales se producen para la SCUE.
4.5.2.4. Flexión longitudinal en el tablero.
Evidentemente (Fig. 4.3-4) para el caso gT=0 (tablero recto), las sobrecargas C y D provocan la misma ley de flexiones. Como es lógico, esa igualdad entre leyes ya no se verifica a medida que aumentamos la curvatura del tablero.
El efecto que se produce, de acuerdo con la bibliografía (véase, por ejemplo, Bögle et al. [13] y Fernández Casado et al. [26] o los resultados de los capítulos 11 y 12), cuando se carga el semitablero exterior con una sobrecarga uniforme se obtiene una ley de flexión que está formada por la ley de flectores generada por la carga vertical oscilando alrededor de la ley de flectores generada por la componente torsional (véase la Fig. 11.3-16).
Esto ocurre de igual manera si la sobrecarga uniforme actúa en el semitablero interior. Tal oscilación provoca que la ley de flectores cambie su signo según si el semitablero cargado es el exterior o el interior.
Sin embargo, en los resultados obtenidos (Fig. 4.3-4), esta oscilación de signo no se produce. Esto no es sino una consecuencia de la falta de eficacia del sistema de atirantamiento, que como hemos visto en 4.5.2.1, controlada por la rigidez transversal del arco, permite que se presenten flechas métricas (y totalmente inadmisibles) para valores altos de la curvatura.
86
En efecto, en la Fig. 4.5-12 se puede ver cómo sí que se invierte el signo de la flexión para las sobrecargas C y D cuando se pondera la rigidez transversal del arco por un factor de 10. Se recuerda que en este análisis D actúa en el análisis realizado en el semitablero exterior de la curva y la C en el interior.
Disponer apoyos elásticos muy flexibles pueden llegar a no permitir la alternancia de signo de la flexión, y aumentar la rigidez transversal del arco es una forma indirecta de controlar la deformabilidad vertical del tablero.
Llama la atención, lógicamente, cómo, a la luz de los resultados, el arco plano vertical demanda más rigidez transversal a medida que crecen las cargas horizontales.
Asimismo, con el aumento de rigidez del arco, a medida que aumentan las rigideces de los apoyos del tablero, el comportamiento de éste se parece cada vez más al de un tablero sobre apoyos puntuales fijos.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
SCU C y D: Arco plano vertical. Analisis E.L. Flexion longitudinal en tablero. gT=-10.
x [m]
M 3 [KN·
m]
1528
-1148
1045
-0
1428
-1216
0
-865
SCUC. γ I2=1
SCUC. γ I2=10
SCUD. γ I2=1
SCUD. γ I2=10
Fig. 4.5-12.- Caso gT=-10. SCUC y D: Alternancia del signo de la flexión al cargar por semitableros cuando se aumenta la rigidez transversal del arco por un factor de 10. A medida que aumenta la rigidez conjunta del sistema arco-péndolas el tablero tiende a comportarse como un puente sobre apoyos puntuales. El caso extremo sería un atirantamiento infinitamente rígido.
4.5.2.5. Coacción de la basculación del tablero atirantado.
Merece la pena destacar que el mecanismo de resistencia a la basculación del tablero en torno a la cuerda que une sus arranques es doble:
• En primer lugar, por el comportamiento clásico de viga balcón en voladizo, debido a la propia rigidez torsional y a flexión del tablero, acoplados por curvatura.
• Por otra parte, la rigidez del sistema de atirantamiento arco-péndolas, cuya capacidad de contrarrestar dicha basculación aumenta a medida que se alejan de la alineación recta al ser capaces de generar momento de contrarresto con brazos diferentes.
4.6. CONCLUSIONES PROVISIONALES DEL ESTUDIO. 1.- La parábola de 2º grado adoptada en los análisis como directriz del arco se ajusta bastante
bien al antifunicular de las flexiones longitudinales para las cargas permanentes, incluso con los pequeños
87
picos producidos por la introducción de las cargas localizadas en los anclajes de las péndolas, por lo que se mantendrá esta directriz en general en los análisis posteriores, excepto cuando se utilicen directrices netamente espaciales o antifuniculares.
La distribución de péndolas a igualdad de abscisas para igualdad de desarrollo en el tablero define una carga relativamente uniforme por unidad de longitud, al igualar el área tributaria de tablero asignada a cada péndola.
2.- Para cargas permanentes, (prescindiendo del peso de las péndolas, de poca importancia) las componentes verticales de los axiles de pretensado de las péndolas, articuladas, coinciden con las reacciones verticales que se obtendrían si el tablero del puente descansara sobre apoyos fijos y puntuales, ya que tales axiles se han obtenido con la condición de anular las flechas verticales de los anclajes en el tablero para cargas permanentes.
A efectos prácticos, dichas componentes verticales de los axiles de pretensado de las péndolas están en la misma relación que los desarrollos de los tableros que sustentan, es decir, proporcionales al área tributaria de tablero asignable a cada péndola.
Así, los axiles totales de las péndolas para diferentes curvaturas vienen dados porque, una vez corregidas por la relación entre desarrollos, sus componentes verticales son iguales.
3.- El tablero, suspendido de apoyos centrados en su eje, se comporta, a efectos de cargas permanentes, como un tablero sobre apoyos puntuales fijos, debido al método de determinación de los axiles de pretensado que impone la anulación de flechas en los anclajes del tablero.
El tablero curvo tiende a comportarse a flexión como un tablero recto del mismo desarrollo a partir de una cierta rigidez a torsión. Es decir, la flexión crece en la misma proporción que el cuadrado de las luces, que son a su vez proporcionales a los desarrollos del tablero. A medida que crece la rigidez a torsión, las diferencias con el tablero recto son cada vez menores.
Análogamente, la torsión se mantiene en valores pequeños como corresponde al caso de carga centrada, y evoluciona muy poco a partir de un valor dado de la rigidez a torsión.
4.- Nuestros resultados confirman que el comportamiento del arco en su plano y en el perpendicular están desacoplados.
En el plano del arco, el comportamiento es de arco plano clásico sometido a su propio peso y a las proyecciones de los axiles sobre dicho plano. A este comportamiento se debe el axil y la flexión longitudinal.
En el perpendicular, el arco se comporta como una viga balcón sometido a las componentes transversales de las péndolas. Los esfuerzos en este caso son de flexión transversal y de torsión, ambas acoplados por curvatura.
Análogamente, el comportamiento del tablero está también desacoplado. En el plano perpendicular, el tablero trabaja como una viga balcón sobre apoyos fijos. Sus esfuerzos son de flexión longitudinal y de torsión, ambos acoplados por curvatura.
En el plano del tablero, éste trabaja como un arco en planta, solicitado a flexocompresión.
5.- Consecuencias de la curvatura del tablero son, pues, el trabajo como viga balcón del arco y el trabajo como arco en planta del tablero, al aparecer componentes transversales en los axiles de las péndolas. Lo es también la torsión en el tablero, inexistente en el tablero recto.
6.- El comportamiento del tablero evoluciona desde el de una viga apoyada en sus estribos, en el que la flexión pura es el único mecanismo resistente, al de un arco en el que, por forma, la flexión pura se acompaña progresivamente de esfuerzo axil. En los casos analizados aparecen esfuerzos axiles crecientes con la curvatura del tablero y flexiones transversales decrecientes con ésta.
7.- Además, para las cargas permanentes, las flexiones transversales en el arco son
88
proporcionales para diferentes valores de la curvatura al valor de la proyección horizontal del axil de pretensado, al depender exclusivamente de éstas.
8.- A efectos de sobrecargas, la variación en la eficacia del sistema de atirantamiento del tablero curvo vinculado a un arco plano vertical con respecto a la del tablero recto vinculado al mismo arco queda controlada por la deformabilidad transversal horizontal del arco, y en menor medida, por la del tablero, que suele ser más rígido horizontalmente al trabajar según su canto y como arco en planta.
9.- La excesiva deformabilidad del arco puede provocar que al cargar los semitableros exterior e interior según la curvatura del tablero no se presente la alternancia del signo de las flexiones longitudinales que ocurre en los puentes curvos sobre apoyos puntuales. También es cierto que arcos tan flexibles provocan a su vez flechas inadmisibles en los cálculos realizados.
Para dicho comportamiento es necesaria una eficacia del sistema de atirantamiento, que es tanto como decir una rigidez transversal del arco. A medida que aumenta la rigidez del sistema arco-péndolas el tablero tiende a comportarse como un tablero sobre apoyos puntuales.
8.- El arco, que puede analizarse en sentido longitudinal y transversal de modo desacoplado, presenta los mismos máximos en riñones y la misma sensibilidad a sobrecargas asimétricas que presentan el arco plano vertical clásico.
9.- En los cálculos realizados, según crece la curvatura, las sobrecargas en el tablero producen un enorme incremento de flexión localizado en las péndolas extremas. Esta concentración de flexiones tiene su origen en que el tablero, apoyado, se suspende de un arco empotrado, que además, en la serie estudiada, está falto de rigidez transversal y atiranta con poca eficacia.
Dichos picos se mitigan al empotrar en el tablero principalmente la flexión longitudinal, y también al aumentar la rigidez transversal del arco.
10.- Al no estar situadas en una alineación recta, y aunque en general depende de las rigideces relativas de arco y tablero, las péndolas en general poseen una enorme capacidad para:
• Generar un mecanismo resistente de torsión adicional a la propia rigidez torsional del tablero.
• Contrarrestar la basculación del tablero alrededor de la cuerda que une sus arranques.
11.- De lo anterior parece deducirse que, para el caso exclusivo de atirantamiento al centro de los tableros curvos, las secciones del tablero pueden mantenerse en las dimensiones de sus equivalentes rectos, pero resulta necesario aumentar la rigidez del arco frente a acciones horizontales, debido a la aparición de la flexión transversal. En el caso del tablero no hay que olvidar que las flexiones transversales solicitan a la sección según su ancho, cuya rigidez suele ser bastante mayor que según su canto (y más en tableros atirantados, habitualmente esbeltos) en el plano vertical, lo que resta importancia a la aparición de dichas flexiones.
12.- Es posible recurrir a secciones de tablero relativamente poco rígidas a torsión en este tipo de puentes atirantados al centro por la capacidad de contrarresto de la torsión del sistema de péndolas. Sin embargo, la demanda de rigidez torsional necesaria para moderar la flexión longitudinal debe procurarse aumentando la curvatura del tablero.
La eficacia de la curvatura en planta estriba en que produce un mayor acoplamiento flexión-torsión así como la colaboración mucho más eficaz de las péndolas, que ganan brazo al alejarse más de la alineación recta.
89
CAPÍTULO 5
5 REVISIÓN DE RESULTADOS: NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA Y CONDICIONANTES TENSODEFORMACIONALES.
5.1. INTRODUCCIÓN. Acabamos de ver en el capítulo anterior cómo, en un puente arco espacial plano y vertical, al
curvar el tablero, y estar consecuentemente el arco sometido a acciones horizontales debido a la inclinación de las péndolas, se movilizan las rigideces transversal y torsional del arco, provocando para cargas permanentes un trabajo como viga balcón.
Así, podemos encontrarnos que arcos de dimensiones correctas para acciones exclusivamente verticales resultan infradimensionados para estas nuevas acciones transversales, como se puede apreciar perfectamente en las flechas horizontales, métricas e inadmisibles, que aparecen en los casos de mayor curvatura del capítulo anterior.
Es cierto que, con toda seguridad, este efecto se acentúa por el hecho de que todas las péndolas se sitúan en planta al mismo lado del arco, pero nos hace plantearnos cuál sería la evolución del comportamiento de la estructura si en una pieza como el arco, sometida fundamentalmente a flexocompresión, se estudiase, mediante un análisis no lineal (o que considerase al menos la no linealidad geométrica), el nivel de solicitaciones de la estructura en función de sus deformaciones.
Por otra parte, la aparición de nuevos esfuerzos y movimientos y la variación de los ya conocidos que provocan las nuevas posiciones relativas de arco y tablero hace que surja también el interrogante de en qué niveles tenso-deformacionales se encuentra la estructura con respecto a los que podrían considerarse aceptables.
5.2. EFECTO DE LA NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA PARA CARGAS PERMANENTES: COMPARACIÓN DE RESULTADOS.
5.2.1. COMPARACIÓN DE RESULTADOS.
Para evaluar el efecto de la no linealidad se ha realizado un análisis P-δ. Dado que el objeto de este trabajo no es modelizar exhaustivamente el fenómeno de inestabilidad, sino caracterizar desde un punto de vista conceptual el comportamiento de determinadas tipologías de puentes arco y diferentes modos de vinculación con el tablero, estimamos que el análisis P-δ que se ha realizado cumple estos objetivos. Un análisis no lineal detallado además habría de considerar, por ejemplo, ecuaciones constitutivas no lineales del material y su influencia en el comportamiento seccional, que si bien no pueden obviarse para el proyecto de un puente concreto, excede (con mucho) el ámbito de este trabajo, aunque constituya una línea interesante de investigación.
En las siguientes figuras se representan los resultados para los tres casos que se han estudiado, que se diferencian no sólo en la consideración de la no linealidad geométrica en los cálculos, sino en el modo de determinar los axiles de pretensado y secciones necesarias de las péndolas1.
Caso Dim. péndolas y axil de pretensado Cálculo modelo
E.L. - E.L. E.L. E.L.
E.L. - P-δ E.L. P-δ
P-δ - P-δ P-δ P-δ
1 El proceso iterativo no lineal de determinación de los axiles de pretensado y las secciones de las
péndolas se detalla en el apartado 15.2.
90
• En el caso E.L. - E.L. el dimensionamiento de péndolas y la determinación de su axil de pretensado se realiza considerando cálculo elástico lineal. Éste se mantiene para el cálculo de la estructura completa.
• En el caso E.L. - P-δ, una vez que las péndolas y sus axiles de pretensado han sido dimensionados en régimen elástico lineal como en el caso anterior, se considera la no linealidad geométrica para obtener los resultados.
• En el tercer caso, P-δ - P-δ, tanto los axiles de pretensado de las péndolas como sus secciones son determinadas considerando la no linealidad geométrica. El cálculo posterior también la considera.
En los resultados que siguen se ha estudiado el caso gT=-6 de las estructuras del capítulo 4, que corresponde a un valor intermedio de la serie estudiada.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
HIP0: Arco plano vertical. Flexion transversal en arco. gT=-6.
x [m]
M 2 [KN·
m]
6396
-2644
6799
-3182
6844
-3276
E.L.- E.L.E.L.- P-δP-δ - P-δ
Fig. 5.2-1.- Flexión transversal en el arco.
91
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-400
-300
-200
-100
0
100
200
HIP0: Arco plano vertical. Flexion longitudinal en arco. gT=-6.
x [m]
M 3 [KN·
m]
79
-133
155
-377
79
-131
HIP0. E.L.- E.L.HIP0. E.L.- P-δHIP0. P-δ - P-δ
Fig. 5.2-2.- Flexión longitudinal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
HIP0: Arco plano vertical. Flexion longitudinal en tablero. gT=-6.
x [m]
M 3 [KN·
m]
55
-75
337
-280
55
-75
E.L.- E.L.E.L.- P-δP-δ - P-δ
Fig. 5.2-3.- Flexión longitudinal en tablero.
92
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50110
120
130
140
150
160
170
180
190
HIP0: Arco plano vertical. Axiles en pendolas. gT=-6.
x [m]
N [K
N]
141
120
182
118
140
118
E.L.- E.L.E.L.- P-δP-δ - P-δ
Fig. 5.2-4.- Esfuerzos axiles en las péndolas.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50110
120
130
140
150
160
170
180
HIP0: Arco plano vertical. Componentes verticales de axiles en pendolas. gT=-6.
x [m]
N [K
N]
135
115
175
113
134
113
E.L.- E.L.E.L.- P-δP-δ - P-δ
Fig. 5.2-5.- Componentes verticales de los esfuerzos axiles en las péndolas.
93
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1800
-1600
-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
HIP0: Arco plano vertical. Flechas horizontales de arco. gT=-6.
x [m]
V Y [mm
]
-0
-1382
-0
-1587
-0
-1625
E.L.- E.L.E.L.- P-δP-δ - P-δ
Fig. 5.2-6.- Desplazamientos en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
HIP0: Arco plano vertical. Flechas verticales en tablero. gT=-6.
x [m]
V Z [mm
]
0-0
0
-53
0-0
E.L.- E.L.E.L.- P-δP-δ - P-δ
Fig. 5.2-7.- Desplazamientos en el tablero.
5.2.2. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS.
La justificación de los resultados obtenidos y mostrados en las figuras del apartado 5.2.1 se encuentra analizando la Fig. 5.2-8.
94
Al considerar la no linealidad geométrica, el equilibrio se establece para la estructura deformada, lo que tiene las siguientes consecuencias:
• Las componentes verticales de las péndolas se mantienen sensiblemente iguales que en el caso elástico (véase la distribución de la Fig. 5.2-5), debido a que se corresponden con los valores de las reacciones para el tablero sobre apoyos fijos puntuales (Fig. 4.5-2).
• La componente transversal del axil de la péndola sí que cambia debido a la deformabilidad transversal del arco. En el caso estudiado, en el que todo el tablero queda del mismo lado del arco, la deformación transversal del arco hace que la péndola adopte una posición más vertical. Por lo tanto, las componentes horizontales de las péndolas disminuyen (véase la Fig. 5.2-9).
y
α2
Arista intersección del plano del arco con el de la péndola
Arco sin deformar
Arco deformado
vZT (nula para HIP0)
vYT
vZA
vYA
α1 Tablero sin deformar
Tablero deformado
Alteración de la inclinación de la péndola de α1 a α2, por efecto P-δ, haciendo variar su axil de N1 a N2
z
N2N1
Fig. 5.2-8.- Efecto de la consideración de la no linealidad geométrica en el valor del axil de pretensado de la péndola: Proyección sobre plano YZ.
Ante cargas exclusivamente verticales, los arcos planos son sensibles a la no linealidad geométrica en función de su rebajamiento. En arcos suficientemente peraltados, como es nuestro caso, la no linealidad geométrica es poco importante. Hemos visto en el apartado 4.6 que el comportamiento longitudinal y transversal en estos arcos puede considerarse desacoplado, y podemos analizarlos por separado.
Por lo tanto, en nuestro caso, los resultados producidos por las componentes verticales de las péndolas se mantienen prácticamente sin cambios al considerar la no linealidad geométrica.
Así, la flexión longitudinal del tablero (Fig. 5.2-3) es prácticamente indistinguible en ambos casos, como ocurre con la misma flexión en el arco (Fig. 5.2-2).
Sin embargo, como hemos visto, si el arco es muy deformable transversalmente, la alteración de la componente horizontal de la péndola es muy significativa, y la flexión transversal del arco (Fig. 5.2-1) es claramente menor, como corresponde a los menores valores de las cargas que la originan (véase la distribución de componentes horizontales de la Fig. 5.2-9).
Además, la coincidencia para los resultados mostrados se produce para los casos E.L. - E.L. y P-δ − P-δ, como era de esperar. Esto indica que, en estructuras muy deformables lateralmente, como es nuestro caso, el axil de pretensado de las péndolas debe determinarse considerando la influencia que sobre éste tiene la no linealidad geométrica.
95
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5030
35
40
45
50
55
HIP0: Arco plano vertical. Componentes horizontales de axiles en pendolas. gT=-6.
x [m]
N [K
N]
40
34
52
34
40
34
E.L.- E.L.E.L.- P-δP-δ - P-δ
Fig. 5.2-9.- Componentes horizontales de los axiles de pretensado de las péndolas.
5.3. ESTUDIO TENSO-DEFORMACIONAL.
5.3.1. CÁLCULO AUTOMATIZADO DE ENVOLVENTES.
Para acotar el nivel tensional de las estructuras, fundamentalmente del arco, se ha desarrollado expresamente un programa de obtención de envolventes de esfuerzos en barras y de movimientos en nudos, dado que el SAP2000 no obtiene, al maximizar, esfuerzos concomitantes.
El programa también permite la obtención de envolventes tensionales mediante un segundo escalón de postproceso en el que, una vez generado por el programa un archivo editable con las características mecánicas de las secciones del modelo, se calculan las tensiones producidas por cada hipótesis simple, para después obtener sus envolventes con un algoritmo similar al de la obtención de las envolventes de esfuerzos.
Los puntos concretos de cada sección donde se desean obtener las tensiones se pueden definir mediante sus coordenadas respecto a los ejes locales de cada sección transversal.
A
D
B
C
A
D
B
C
AB
CD
AD BC
AB
AD
CD
BC 3nO O y
z
y
z
2n 2n
3n
Fig. 5.3-1.- Puntos de salida de tensiones definibles en secciones anulares y rectangulares/cajón en el cálculo de envolventes tensionales. En la sección transversal se han representado los ejes locales n2 y n3 de la barra y los ejes y-z de definición de coordenadas de puntos de salida.
96
Además el programa puede obtener tensiones en barras de sección variable mediante interpolación de las dimensiones de las secciones y las coordenadas de los puntos de salida correspondientes.
En SAP2000, el criterio de signos está establecido de tal manera que momentos positivos producen compresiones en las partes positivas de los ejes locales de la sección transversal (Fig. 3.5-3)
El programa obtiene también las tensiones máximas o mínimas en la sección. El algoritmo considera el tipo de sección para proporcionar resultados diferentes, por ejemplo, en secciones cajón o anulares.
La tensión máxima en cada barra se obtiene en función de la sección y de los puntos de salida solicitados. Para ello se supone que la distribución de tensiones es plana:
• Si la sección es rectangular y se calculan las tensiones en las cuatro esquinas, la tensión máxima es sencillamente la máxima de las tensiones calculadas.
• Si la sección es anular, y se calculan las tensiones en los puntos A, B y D, (σA, σB y σD respectivamente), resulta, suponiendo que se cumple la hipótesis de Navier:
( ) ( )22
22
minmaxDABADB
,σσσσσσσ
−+−±
+= [5.1]
y si se calculan las tensiones en AB, BC y CD:
( ) ( )2
22
22
minmaxCDABBCCDABCDAB
,σσσσσσσσ
−−⋅+−±
+= [5.2]
El programa no sólo obtiene los esfuerzos máximos o mínimos en cada sección, sino que además obtiene los valores concomitantes para el resto de esfuerzos o tensiones asociados a cada grado de libertad.
5.3.2. PREDIMENSIONAMIENTO DE SECCIONES A PARTIR DE LA ENVOLVENTE TENSIONAL.
El predimensionamiento de las secciones transversales se ha realizado por el procedimiento simplificado de limitar el máximo valor absoluto de la tensión normal para una combinación de servicio dada.
Para las comprobaciones tensionales se emplean diez hipótesis, que corresponden a los valores máximo y mínimo de las tensiones en cada uno de los cinco puntos de salida de tensiones especificados para cada sección, con sus respectivas tensiones concomitantes. Los puntos de salida son los puntos O, A, B C y D de la Fig. 5.3-1.
Para cada una de las hipótesis anteriores se calculan las tensiones máximas y mínimas. Así, por ejemplo, la primera de dichas hipótesis hallaría el valor máximo de σ0, y los valores concomitantes de σA, σB, σC y σD. La segunda, para los mismos concomitantes, el mínimo de σ0, y así hasta completar las diez.
Cuando las secciones son anulares se emplean las expresiones [5.1] y [5.2].
Todos los cálculos tensionales han sido realizados sobre secciones brutas, sin considerar ningún tipo de reducción de ancho eficaz por arrastre de cortante, ni fenómenos como alabeo o distorsión, lo cual, aunque inexacto, permite simplificar sensiblemente los cálculos, y realizar comparaciones sencillas entre diferentes secciones, de acuerdo con lo expuesto en el apartado 1.2.
5.3.2.1. Combinación de predimensionamiento.
La combinación de predimensionamiento es la definida como envolvente característica en el apartado 4.2 de la IAP [23]:
ik,i0,1i
iQ,k,1Q,1jk,*
1jj,Gik,
1iiG, QQGG * ⋅ψ⋅γ+⋅γ+⋅γ+⋅γ ∑∑∑
≥≥≥
[5.3]
En todos los casos comparados ha resultado más desfavorable considerar como dominantes el conjunto de las sobrecargas uniformes (SCUA a SCUE) y el viento y la temperatura como concomitantes.
97
Ponderando las acciones de la combinación definida en [5.3] por los coeficientes γF de la tabla 16 de la IAP, y los de concomitancia de la tabla 14, se obtiene la combinación de predimensionamiento:
PP + CP + PRETP + [0/1]· SCUi + 0.6 · 0.5· [W/-W] + 0.6 ·[∆T/-∆T] [5.4]
donde se ha empleado la siguiente notación:
• Los valores de las cargas PP, CP y PRETP se definen en el capítulo 3. SCUi se corresponde con la envolvente de sobrecargas uniformemente repartidas. W/-W hace referencia al viento transversal sobre el arco y el tablero actuando en uno u otro sentido (W=VTOA+VTOT con la notación del cap. 3) y ∆T/-∆T se refiere al incremento/decremento de temperatura en la estructura (Hipótesis INCT/DECT).
• Los números entre corchetes indican los posibles coeficientes que pueden ponderar cada hipótesis, y de los que se escoge el más desfavorable en cada caso para pesimizar la envolvente de esfuerzos o tensiones.
• Las hipótesis entre corchetes representan las cargas o combinaciones de éstas excluyentes entre sí y de las que se escoge la más desfavorable.
5.3.2.2. Limitación de la tensión normal.
Como modo simplificado de estimar el nivel de solicitaciones de las secciones de la estructura, adoptaremos como límite de comprobación el que la máxima tensión normal obtenida por el método simplificado anterior no supere los 150 MPa, dado que las acciones se han introducido sin mayorar y el límite elástico del acero de la estructura se puede situar para espesores como los utilizados (menores de 40 mm) en 355 MPa.
Este límite es prudente sólo en apariencia, habida cuenta de que la tensión se calcula sobre la sección bruta, no se considera la influencia de las tensiones tangenciales, y que la combinación es con los coeficientes de ponderación en servicio, que son menores que los empleados en estados límites últimos.
5.3.2.3. Validez de la envolvente simplificada de sobrecargas.
Con el objeto de simplificar los cálculos, se han planteado dos envolventes de sobrecargas uniformemente repartidas:
• La envolvente por semitableros, simplificada, y que sólo considera las cinco sobrecargas SCUA, B, C, D y E definidas en el apartado 3.5.1.
• La envolvente por barras, más rigurosa en el sentido de la norma, que introduce dos sobrecargas en cada barra del tablero, donde cada una de las cuales actúa a cada lado del eje del tablero, con su torsor asociado. En el caso que nos ocupa, con 16 péndolas y tres barras entre ellas, da un total de 136 sobrecargas diferentes.
El objeto de plantear la envolvente simplificada de sobrecargas es ver si el error cometido al utilizarla es admisible frente al ahorro de tiempo de cálculo, capacidad de almacenamiento e interpretación de los resultados que supone frente al uso de la envolvente que hemos denominado por barras.
98
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
Comparacion envolventes SCU. Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de flexion longitudinal en arco.
x [m]
M 3 [KN·
m]
807
00
-2639
807
139
0
-2724
Semitable ros M3-
Semitable ros M3+
Por barras M3-
Por barras M3+
Fig. 5.3-2.- Validez de la envolvente simplificada de sobrecargas uniformes: Flexión longitudinal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
Comparacion envolventes SCU. Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de flexion transversal en arco.
x [m]
M 2 [KN·
m]
7676
00
-2393
7676
00
-2393
Semitable ros M2-
Semitable ros M2+
Por barras M2-
Por barras M2+
Fig. 5.3-3.- Validez de la envolvente simplificada de sobrecargas uniformes: Flexión transversal en arco.
99
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
Comparacion envolventes SCU. Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de torsion en arco.
x [m]
T [K
N·m
]
691
00
-691
691
00
-691
Semitableros T-Semitableros T+Por barras T-Por barras T+
Fig. 5.3-4.- Validez de la envolvente simplificada de sobrecargas uniformes: Torsión en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Comparacion envolventes SCU. Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de flexion transversal en tablero.
x [m]
M 2 [KN·
m]
1316
00
-535
1374
00
-538
Semitable ros M2-
Semitable ros M2+
Por barras M2-
Por barras M2+
Fig. 5.3-5.- Validez de la envolvente simplificada de sobrecargas uniformes: Flexión transversal en tablero.
100
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
Comparacion envolventes SCU. Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de flexion longitudinal en tablero.
x [m]
M 3 [KN·
m]
2962
00
-2252
2963
00
-2448
Semitable ros M3-
Semitable ros M3+
Por barras M3-
Por barras M3+
Fig. 5.3-6.- Validez de la envolvente simplificada de sobrecargas uniformes: Flexión longitudinal en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-600
-400
-200
0
200
400
600
Comparacion envolventes SCU. Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de torsion en tablero.
x [m]
T [K
N·m
]
536
00
-536
551
16
-16
-551
Semitableros T-Semitableros T+Por barras T-Por barras T+
Fig. 5.3-7.- Validez de la envolvente simplificada de sobrecargas uniformes: Torsión en tablero.
101
De los resultados (Fig. 5.3-2 a Fig. 5.3-7) se pueden obtener las siguientes conclusiones:
• En el arco, la envolvente simplificada es perfectamente válida. Sólo existe un pequeño desajuste en el centro del vano2 para la flexión longitudinal que pierde toda importancia para dimensionamiento de un arco de canto constante3 .
• En el tablero, los valores máximos quedan perfectamente determinados. El hecho de que las sobrecargas actúen directamente sobre el tablero introduce algún desajuste como en la torsión o en la flexión longitudinal. Sin embargo, el tablero se ha planteado siempre de sección constante y además, como se verá, está generalmente claramente sobredimensionado.
5.3.3. LIMITACIONES DE FLECHAS EN TABLERO.
Según las RPX-95 y RPM-95 ([21] y [22]) la flecha correspondiente a las sobrecargas para la combinación frecuente no debe superar el valor de L/1200 para pasarelas peatonales (y de L/1000 para puentes de carretera), a falta de estudios dinámicos más detallados.
Dado que la vigente IAP establece un coeficiente Ψ1,1 de valor 0.5 para la combinación frecuente en E.L.S., la flecha límite con este criterio, para una luz de 100 m será de 100·103/1200 = 83.3 mm para la sobrecarga SCUE4 (todo el tablero cargado simultáneamente) ponderada por un coeficiente de 0.5.
Esta limitación de flechas debe verificarse a la vez que la limitación tensional descrita en 5.3.2.2.
5.4. PREDIMENSIONAMIENTO DE LAS SECCIONES DE ARCOS EN FUNCIÓN DE LA CURVATURA DEL TABLERO. Tal y como hemos visto en los estudios realizados hasta ahora, la tipología estudiada, con arco
anular constante, presenta el siguiente problema:
• El tablero muestra una sensibilidad elevada a los efectos de la no linealidad geométrica, presentando importantes perturbaciones de las leyes elásticas lineales de flexión longitudinal y desplazamientos. Se adelanta que el nivel tensional, sin embargo, se mantiene en valores muy bajos respecto de lo que sería limitativo. Las flechas superan con mucho los valores límite.
• El arco presenta sin embargo una sensibilidad ligeramente menor a los efectos de la no linealidad geométrica, pero por el contrario alcanza valores tensionales elevadísimos respecto de los de referencia. Las flechas en el arco son muy elevadas en el sentido horizontal.
• Los axiles en las péndolas también sufren perturbaciones fuertes por efecto de la no linealidad geométrica.
De lo anterior se puede concluir que en la serie de estructuras estudiadas la causa conjunta de todos los problemas anteriores es la falta de rigidez horizontal del arco por las siguientes razones:
• Por lo que respecta a los niveles tensionales, el arco está claramente infradimensionado. El tablero por el contrario, está sobredimensionado.
• El arco, por la razón anterior, es demasiado flexible en sentido horizontal lo que provoca su deformabilidad, arrastrando consigo al tablero.
• Los axiles de las péndolas sufren fuertes perturbaciones debido a que en su cabeza están vinculadas a un elemento muy flexible, provocando movimientos relativos elevados entre sus
2 Menn, en Prestressed Concrete Bridges, p. 392, sugiere, además de las cargas en semitableros, una carga
centrada en clave, de LA/3 de longitud total, para obtener de modo preliminar los máximos flectores en arranques, riñones y clave en el arco vertical plano, con flexión longitudinal M3 predominante (véase [59]).
3 Como se ve más adelante, la flexión longitudinal en el arco, salvo para tableros rectos o de poca curvatura, no es casi nunca el esfuerzo determinante del dimensionamiento.
4 Las holguras que presentan las estructuras bien condicionadas en tensiones, a la hora de verificar la limitación de flechas en tablero, ha hecho que, simplificadamente, no se considere el viento concomitante en la hipótesis de comprobación descrita.
102
extremos.
Para ello se va a proceder a encajar para todos los casos anteriores (desde gT=0 hasta gT=-10) una nueva sección transversal en el arco con rigidez aumentada en el sentido transversal que permita verificar las restricciones anteriores. Posteriormente se comprobará el efecto de la no linealidad geométrica.
La sección en el arco será una sección rectangular de 1.00 m de canto. El ancho y el espesor se determinarán con los criterios de limitación tensional y de flechas descritos anteriormente.
5.4.1. PREDIMENSIONAMIENTO. CASO gT=-10.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-56
-1109
1019
-2
-40
-274
220
2
-32-177
1370
-31-177
1391
-28-146
112 0
φ 1 .00 . t=25 σ-φ 1 .00 . t=25 σ+1x 2.50 t=20 σ-1x 2.50 t=20 σ+1x 3.50 t=20 σ-1x 3.50 t=20 σ+1x 3.00 t=25 σ-1x 3.00 t=25 σ+1x 3.50 t=25 σ-1x 3.50 t=25 σ+
Fig. 5.4-1.- Caso gT=-10. Envolvente de tensiones normales: tanteos en sección constante.
103
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-31
-177
139
1
-28
-146
112
0
-45
-165
136
3
-45
-169
138
4
-42
-162
133
4
-43
-164
135
5
-35
-154
124
2
1x 3.00 t=25 σ-1x 3 .00 t=25 σ+1x 3.50 t=25 σ-1x 3 .50 t=25 σ+1x 3.50-1x 1 t=25 σ-1x 3 .50-1x 1 t=25 σ+1x 3.50-1x 1 (*) t=25 σ-1x 3 .50-1x 1 (*) t=25 σ+1x 3.50-1x 1.20 t=25 σ-1x 3 .50-1x 1.20 t=25 σ+1x 3.50-1x 1.20 P-δ. t=25 σ-1x 3 .50-1x 1.20 P-δ. t=25 σ+1x 3.50-1x 2 t=25 σ-1x 3 .50-1x 2 t=25 σ+
Fig. 5.4-2.- Caso gT=-10. Envolvente de tensiones normales: tanteos en sección constante y variable. También se incluyen, para contraste, un caso con la envolvente de sobrecargas repartidas por barras (*) y otro en el que se considera la no linealidad geométrica (P-δ).
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
0.5·SCUE y 0.5·SCUA: Arco plano vertical.gT=-10. Flechas verticales en tablero.
x [m]
v Z [mm
]
0
-39
0
-33
0
-56
0
-52
0
-53
0
-42
8
-36
8
-32
8
-45
8
-43
9
-44
8
-37
1x 3.00 t=25 SCU E1x 3.50 t=25 SCU E1x 3.50-1x 1.00 t=25 SCU E1x 3.50-1x 1.20 t=25 SCU E1x 3.50-1x 1.20 P-δ. t=25 SCU E1x 3.50-1x 2.00 t=25 SCU E1x 3.00 t=25 SCU A1x 3.50 t=25 SCU A1x 3.50-1x 1.00 t=25 SCU A1x 3.50-1x 1.20 t=25 SCU A1x 3.50-1x 1.20 P-δ. t=25 SCU A1x 3.50-1x 2.00 t=25 SCU A
Fig. 5.4-3.- Caso gT=-10. 0.5·SCUE y 0.5·SCUA: Cálculo de flechas.
104
b h t σ Arranques σ Clave vZ centro
vano [m] [m] [mm] [MPa] [MPa]
Observ. [mm]
2.50 220 -274 61 -103
3.50 20
137 -177 30 -65
3.00 139 -177 33 -66 -39
3.50 112 -146 24 -54 -33
1.00 136 -166 90 -147 3.50 a 1.00 (*)
138 -168 90 -147 (**) -56
133 -162 79 -132 -52 3.50 a 1.20 (*)
25
135 -164 83 -136 (***) -53
3.50 a 2.00 (*) 124 -154 50 -92 42
* Variación parabólica de 2º grado del ancho, decreciente de arranques a clave
** Cálculos con envolvente de sobrecargas por barras.
*** Considerando no linealidad geométrica.
Tabla 5.4-1.- Arco plano vertical. Caso gT=-10. Resumen de resultados para el predimensionamiento tensional del arco y comprobación de limitación de flechas en tablero. Es de destacar la poca relevancia de utilizar la envolvente de sobrecargas por barras en lugar de por semitableros. Asimismo es muy poco importante considerar o no la no linealidad geométrica, una vez que la solución ya está encajada en tensiones.
De acuerdo con el resumen de los cálculos para el caso gT=-10 de la Tabla 5.4-1, puede afirmarse lo siguiente con respecto a la solución predimensionada:
• Parece que las soluciones que aprovechan más el material son las que presentan fuerte variación de canto, como corresponde a la fuerte variación de momento transversal. Las soluciones de ancho constante están sobredimensionadas en las zonas de clave.
• La solución podría ser la variable de 1.00 m de canto, y ancho variable de 3.50 a 1.20 m, de 25 mm de espesor, absorbiendo el pequeño exceso de –14 MPa sobre la tensión de compresión en arranques con un pequeño refuerzo local, ya que en los primeros 4.00 m ya ha bajado dicha tensión por debajo de los –150 MPa.
• Es de destacar la poca relevancia de utilizar la envolvente de sobrecargas por barras en lugar de por semitableros.
• Es también destacable la poca importancia de la no linealidad geométrica. En teoría, en esta estructura, la de más curvatura del tablero y sometida a las mayores cargas horizontales de todo este estudio, debería ponerse más de manifiesto. Sin embargo, casi no influye. La razón estriba en que la limitación tensional en el arco controla la influencia de la no linealidad geométrica al limitar las deformaciones transversales.
• En todos los casos estudiados en los que la tensión está en el entorno de la limitación anterior, el predimensionamiento es por esfuerzos y no por flechas.
105
5.4.2. PREDIMENSIONAMIENTO. CASO gT=-8.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-8. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-57
-898
809
-1
-35
-184
142
-0
-30
-152
116
-0
-45
-170
139
4
φ 1 .00 t=25 σ-φ 1 .00. t=25 σ+1x 3.00 t=20 σ-1x 3 .00 t=20 σ+1x 3.00 t=25 σ-1x 300 t=25 σ+1x 3.00-1x 1 t=25 σ-1x 300-1x 1 t=25 σ+
Fig. 5.4-4.- Caso gT=-8. Envolventes de tensiones normales en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-250
-200
-150
-100
-50
0
50
0.5·SCU E y 0.5·SCU A: Arco plano vertical.gT=-8. Flechas verticales en tablero.
x [m]
v Z [mm
]
0
-226
0
-34
0
-30
0
-48
0
-130
9
-33
8
-30
8
-41
φ 1 .00 . t=25 SCU E1x 3.00 t=20 SCU E1x 3.00 t=25 SCU E1x 3.00-1x 1 t=25 SCU Eφ 1 .00 . t=25 SCU A1x 3.00 t=20 SCU A1x 3.00 t=25 SCU A1x 3.00-1x 1 t=25 SCU A
Fig. 5.4-5.- Caso gT=-8. 0.5·SCUE: Cálculo de flechas.
106
b h t σ Arranques σ Clave vZ centro
vano [m] [m] [mm] [MPa] [MPa]
Observ. [mm]
3.00 20 142 -184 30 -69 -30
3.00 1.00 116 -152 24 -57 -34
3.00 a 1.00 25
139 -170 78 -135 (*) -48
* Variación parabólica de 2º grado del ancho, decreciente de arranques a clave.
Tabla 5.4-2.- Arco plano vertical. Caso gT=-8. Resumen de resultados para el predimensionamiento tensional del arco y comprobación de limitación de flechas en tablero.
Análogamente a la solución para el caso gT=-10, y según los resultados de la Tabla 5.4-2, la solución predimensionada parece que podría estar en el entorno de la sección variable de 1.00 m de canto y ancho variable de 3.00 a 1.20m, de 25 mm de espesor, absorbiendo el pequeño exceso de –20 MPa sobre la tensión de compresión en arranques con un refuerzo local, ya que en los primeros 4.00 m ya ha bajado dicha tensión por debajo de los –150 MPa.
La limitación de flechas no es determinante.
5.4.3. PREDIMENSIONAMIENTO. CASO gT=-6.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-6. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-58
-690
603
-1
-38
-190
144
-1
-33
-158
118
-0
-46
-174
138
2
φ 1.00. t=25 σ-φ 1.00. t=25 σ+1x 2.50 t=20 σ-1x 2.50 t=20 σ+1x 2.50 t=25 σ-1x 2.50 t=25 σ+1x 2.50-1x 1 t=25 σ-1x 2.50-1x 1 t=25 σ+
Fig. 5.4-6.- Caso gT=-6. Envolventes de tensiones normales en el arco.
107
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0.5·SCUE y 0.5·SCU A: Arco plano vertical.gT=-6. Flechas verticales en tablero.
x [m]
v Z [mm
]0
-144
0
-30
0
-28
0
-40
1
-93
10
-32
9
-29
10
-37
φ1.00 t=25 SCU E1x 2.50 t=20 SCU E1x 2.50 t=25 SCU E1x 2.50-1x 1 t=25 SCU Eφ1.00 t=25 SCU A1x 2.50 t=20 SCU A1x 2.50 t=25 SCU A1x 2.50-1x 1 t=25 SCU A
Fig. 5.4-7.- Caso gT=-6. 0.5·SCUE y 0.5·SCUA: Cálculo de flechas.
b h t σ Arranques σ Clave vZ centro
vano [m] [m] [mm] [MPa] [MPa]
Observ. [mm]
2.50 20 144 -190 30 -72 -28
2.50 1.00 118 -157 24 -60 -30
2.50 a 1.00 25
138 -174 64 -121 (*) -40
* Variación parabólica de 2º grado del ancho, decreciente de arranques a clave
Tabla 5.4-3.- Arco plano vertical. Caso gT=-6. Resumen de resultados para el predimensionamiento tensional del arco y comprobación de limitación de flechas en tablero.
Análogamente a los casos anteriores y según los resultados de la Tabla 5.4-3, la solución predimensionada parece que podría estar en el entorno de la sección variable de 1.00 m de canto y de ancho variable de 2.50 a 1.00 m, de 25 mm de espesor. Es necesario disponer un refuerzo local en arranques, ya que a los 3.00 m de éstos la tensión baja por debajo de los 150 MPa.
Una vez más, la limitación de flechas no es determinante.
108
5.4.4. PREDIMENSIONAMIENTO. CASO gT=-4.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-4. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-59
-486
400
-1
-42
-193
141
-1
-36
-160
116
-1
-45
-173
132
2
φ 1 .00 t=25 σ-φ 1 .00 t=25 σ+1x 2.00 t=20 σ-1x 2.00 t=20 σ+1x 2.00 t=25 σ-1x 2.00 t=25 σ+1x 2.00-1x 1 t=25 σ-1x 2.00-1x 1 t=25 σ+
Fig. 5.4-8.- Caso gT=-4. Envolventes de tensiones normales en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
0.5·SCUE y 0.5·SCU A: Arco plano vertical.gT=-4. Flechas verticales en tablero.
x [m]
v Z [mm
]
0
-78
0
-26
0
-24
0
-31
10
-64
13
-32
11
-29
12
-34
φ1.00 t=25 SCU E1x 2.00 t=20 SCU E1x 2.00 t=25 SCU E1x 2.00-1x 1 t=25 SCU Eφ1.00 t=25 SCU A1x 2.00 t=20 SCU A1x 2.00 t=25 SCU A1x 2.00-1x 1 t=25 SCU A
Fig. 5.4-9.- Caso gT=-4. 0.5·SCUE: Cálculo de flechas.
109
b h t σ Arranques σ Clave vZ centro
vano vZ riñones
(**) [m] [m] [mm] [MPa] [MPa]
Observ. [mm] [mm]
2.00 20 141 -193 27 -74 -26 -32
2.00 1.00 116 -120 21 -63 -24 -29
2.00 a 1.00 25
132 -173 46 -103 (*) -31 -34
* Variación parabólica de 2º grado del ancho, decreciente de arranques a clave
** Flecha máxima para 0.5·SCUA (sobre semitablero dorsal)
Tabla 5.4-4.- Arco plano vertical. Caso gT=-4. Resumen de resultados para el predimensionamiento tensional del arco y comprobación de limitación de flechas en tablero.
Según los resultados de la Tabla 5.4-4, la solución predimensionada parece que podría estar en el entorno de la sección variable de 1.00 m de canto y de ancho variable de 2.00 a 1.00m, de 25 mm de espesor. Es necesario disponer un refuerzo local en arranques, ya que en los 2.50 m iniciales la tensión baja por debajo de los 150 MPa.
Una vez más, la limitación de flechas no es determinante, pero es el primer caso en que la limitación de flechas la impone la sobrecarga SCUA en el semitablero dorsal, en lugar de la SCUE sobre todo el tablero.
5.4.5. PREDIMENSIONAMIENTO. CASO gT=-2.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-300
-200
-100
0
100
200
300
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-2. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-58
-283
197
-3
-57
-272
201
-3
-47
-183
124
-2
φ 1 .00 . t=25 σ-φ 1 .00 . t=25 σ+1x 1.00 t=20 σ-1x 1.00 t=20 σ+1x 1.50 t=20 σ-1x 1.50 t=20 σ+
Fig. 5.4-10.- Caso gT=-2. Envolventes de tensiones normales en el arco.
110
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
0.5·SCUE y 0.5·SCUA: Arco plano vertical.gT=-2. Flechas verticales en tablero.
x [m]
v Z [mm
]
0
-33
0
-29
0
-27
21
-45
18
-39
16
-36
φ1.00 t=25 SCU E1x 1 t=20 SCU E1x 1.50 t=25 SCU Eφ1.00 t=25 SCU A1x 1 t=20 SCU A1x 1.50 t=25 SCU A
Fig. 5.4-11.- Caso gT=-2. 0.5·SCUE y 0.5·SCUA: Cálculo de flechas.
b h t σ Arranques σ Clave vZ centro
vano vZ riñones
(*) [m] [m] [mm] [MPa] [MPa] [mm] [mm]
1.00 201 -272 41 -107 -29 -36
1.50 1.00 20
124 -183 15 -70 -27 -39
* Flecha máxima para 0.5·SCUA (sobre semitablero dorsal)
Tabla 5.4-5.- Arco plano vertical. Caso gT=-2. Resumen de resultados para el predimensionamiento tensional del arco y comprobación de limitación de flechas en tablero.
Según los resultados de la Tabla 5.4-5, la solución predimensionada parece ser la sección constante de 1.50 x 1.00 m de ancho y canto de 20 mm de espesor. Es necesario disponer un refuerzo local en arranques, ya que en los 2.50 m iniciales la tensión baja por debajo de los 150 MPa.
Una vez más, la limitación de flechas no es determinante.
111
5.4.6. COMPROBACIÓN. CASO gT=-0.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-150
-100
-50
0
50
100
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-8. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-49
-140
68
-13
φ 1 .00. t=25 σ-φ 1 .00. t=25 σ+
Fig. 5.4-12.- Caso gT=0. Envolventes de tensiones normales en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
0.5·SCUE y 0.5·SCUA: Arco plano vertical.gT=-0. Flechas verticales en tablero.
x [m]
v Z [mm
]
0
-21
26
-41
φ 1 .00 . t=25 SCU Eφ 1 .00 . t=25 SCU A
Fig. 5.4-13.- Caso gT=0. 0.5·SCUE y 0.5·SCUA: Cálculo de flechas.
Según los resultados de la Fig. 5.4-12, la sección constante anular inicial cumple sobradamente la limitación tensional. Asimismo (Fig. 5.4-13) se verifican las limitaciones de flechas.
112
5.4.7. RESUMEN DE RESULTADOS.
gT b h t σ Arranques σ Clave vZ centro
vano [m] [m] [m] [mm] [MPa] [MPa]
Observ.[mm]
0 φ 1.00 25 68 -140 -6 -50 -21
-2 1.50 20 124 -183 15 -70 -27
-4 2.00 a 1.00 132 -173 46 -103 (*) -31
-6 2.50 a 1.00 138 -174 64 -121 (*) -40
-8 3.00 a 1.00 139 -170 78 -135 (*) -48
-10 3.50 a 1.20
1.00 25
133 -164 83 -136 (*) (**) -53
* Variación parabólica de 2º grado del ancho, decreciente de arranques a clave
** Considerando no linealidad geométrica.
Tabla 5.4-6.- Arco plano vertical. Casos gT=0 a gT=–10. Resumen de resultados para el predimensionamiento tensional del arco y comprobación de limitación de flechas en tablero.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.05 0.1
0.15 0.2
0.25 0.3
0.35 0.4
gT [m]
I 2 [m
4 ]
Fig. 5.4-14.- Inercias transversales de las secciones de arranques de los arcos predimensionados en función de la curvatura del tablero, gT.
Fig. 5.4-15.- Caso gT=-10. Arco plano y vertical. Solución propuesta para el predimensionamiento con variación parabólica del ancho de la sección del arco y canto constante. Perspectiva axonométrica.
113
5.4.8. SIMILITUDES CON LA PASARELA DE GATESHEAD.
De todas las realizaciones analizadas, la de tipología más similar a los puentes recién estudiados es la pasarela de Gateshead (ya descrita en 2.3.4.1), si bien el arco presenta una cierta inclinación que lo aparta ligeramente de la vertical.
(a) (b)
Fig. 5.4-16.- Pasarela de Gateshead según Johnson y Curran [37]: (a) Sección transversal del arco metálico parabólico decreciente de arranques a clave; (b) Flexión fuera del plano por efecto de los cables de atirantamiento.
El comportamiento resistente de esta pasarela (en su posición de servicio, no durante la basculación) es muy similar al de los puentes que hemos visto, por lo que la solución proyectada debería, al menos parcialmente, converger con las soluciones que acabamos de plantear en los puentes del presente capítulo.
En concreto, la sección transversal del arco (Fig. 5.4-16 y Fig. 5.4-17) presenta las siguientes similitudes con las recién predimensionadas:
• Está orientada horizontalmente, como corresponde a considerar la flexión transversal como acción determinante.
• Son secciones de gran rigidez: La sección de Gateshead tiene un canto en arranques de 4.00 m.
• El ancho de la sección no es constante, sino decreciente de clave a arranques, para adecuarse a la fuerte variación de la flexión transversal a lo largo de la luz.
Fig. 5.4-17.- Pasarela de Gateshead [89]: Vistas laterales del arco parabólico de sección variable.
5.5. CONCLUSIONES. En una puente de arco plano y vertical, el hecho de aumentar la curvatura del tablero
manteniendo coincidentes los arranques del arco y los estribos del tablero introduce (por la inclinación de las péndolas) una serie de acciones horizontales en el arco, que le fuerzan a trabajar como viga balcón, lo que moviliza sus rigideces a flexión transversal y a torsión.
Por lo tanto, ante esta nueva demanda de rigidez, puede ocurrir que puentes que verifican las
114
limitaciones tenso-deformacionales si el tablero es recto, dejan de hacerlo al curvarse éste, y además presentan sensibilidad a los efectos de 2º orden cuando antes no la presentaban. Estos fenómenos crecen con la curvatura.
Los puentes demandan pues, de modo general, secciones de mayor rigidez transversal a medida que aumenta la curvatura del tablero. Parece además que, para las cargas introducidas, lo determinante es la limitación tensional en las secciones y no la condición de limitación de las flechas verticales. Además, para puentes con mucha curvatura, la limitación de flechas no se establece para semitableros alternos sino para todo el tablero cargado, por la deformabilidad horizontal del arco.
En nuestros cálculos se ha establecido simplificadamente la doble limitación de acotar el máximo valor absoluto de la tensión normal a 150 MPa para la envolvente característica y el criterio de la RPM-95 de acotación de la flecha a L/1200 para el 50% de la sobrecarga de 4 KN/m2 en medio o en todo el tablero.
La sensibilidad a la no linealidad geométrica se modera a medida que crece la rigidez transversal de la sección, hasta ser muy poco relevante en los casos estudiados encajados simultáneamente por condiciones de flechas y tensiones.
115
CAPÍTULO 6
6 ARCO PLANO VERTICAL: EFECTO DE LA CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN.
6.1. INTRODUCCIÓN. En los capítulos 4 y 5 se ha supuesto que el arco es plano y vertical, pero esto no es del todo
cierto, ya que lo que es plana y vertical es la geometría sin deformar de la directriz del arco: en efecto, cuando el arco recibe las componentes horizontales del pretensado de las péndolas, sufre un desplazamiento transversal, que provoca, ya para cargas permanentes, que la directriz tenga un cierto desplome hacia el lado del tablero, nada despreciable en algunos casos, como lo muestra la Fig. 6.1-1.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-250
-200
-150
-100
-50
0HIP0: Arco plano vertical. Flechas horizontales en arco.
x [m]
v Y [mm
]
-0
-134
-0
-210
-0
-227
-0
-231
-0
-202
gT=-2. 1x 1.50 t=25
gT=-4. 1x 2.00-1x 1 t=25
gT=-6. 1x 2.50-1x 1 t=25
gT=-8. 1x 3.00-1x 1 t=25
gT=-10. 1x 3 .50-1x 1.20 P-δ. t=25
Fig. 6.1-1.- Flechas horizontales en los arcos de las soluciones predimensionadas en el capítulo 5 para cargas permanentes, que apartan la directriz del plano vertical Y=0 previsto.
La geometría del arco no se puede mantener constantemente en un plano vertical, ya que las diferentes sobrecargas provocan diferentes movimientos horizontales, pero sí podemos imponer una predeformación al arco que haga que, por lo menos para una carga dada, todo el arco quede contenido en un plano vertical. Dicha predeformación se denomina contraflecha de ejecución y las cargas para las que se calcula suelen ser las cargas permanentes, para que el puente descargado quede vertical.
La contraflecha se puede aplicar también al tablero, de tal manera que mantenga la geometría original para el mismo u otro conjunto de cargas.
Dado que la contraflecha de ejecución impone que la geometría inicial de la estructura, sobre todo la del arco, sea diferente de la que hemos supuesto en un principio, en este capítulo intentaremos evaluar cuales son las consecuencias de dicho cambio. En este tipo de arcos además el proceso no carece de interés porque la contraflecha de ejecución impone una excentricidad contraria a la que producen las acciones horizontales sobre el arco, máxime al considerar la influencia de la no linealidad geométrica.
116
6.2. MÉTODO ITERATIVO DE DETERMINACIÓN DE LA CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN. El objetivo del método es obtener una geometría con contraflecha, G1, cuya deformada, G2,
coincida, para una hipótesis dada, con la geometría teórica, G0.
Así definido, el método permite, con total generalidad, definir arbitrariamente tanto G0 como la hipótesis de carga, e incluso definir diferentes hipótesis de carga1 para diferentes subconjuntos de G0.
Para mayor claridad, centraremos la exposición en el caso habitual de este trabajo, de obtención de la contraflecha de las tres coordenadas de cada nudo del arco para las cargas permanentes (HIP0). El método, iterativo, se representa gráficamente para el arco en la Fig. 6.2-1 y puede condensarse en los siguientes pasos:
1.- Previamente se define la geometría teórica G0. En este caso, G0 será la directriz parabólica vertical de 2º grado.
2.- En la primera iteración, G1 coincide con G0.
3.- Para obtener G2, previamente deben obtenerse los axiles de pretensado de las péndolas (para anular las flechas de los nudos de anclaje) por el método iterativo del apartado 15.2. Asimismo pueden obtenerse las áreas de las péndolas y los cálculos pueden considerar la no linealidad geométrica.
Se calcula G2, o deformada para la hipótesis deseada (en este caso también es HIP0) de G1. En la primera iteración G2 es, pues, la deformada de G0 para la HIP0.
4.- Se compara G2 con G0.
5.- Si la diferencia entre G2 y G0 es menor que una tolerancia previamente especificada previamente, el proceso termina aquí.
De lo contrario, se modifica la geometría G1 con una contraflecha igual y contraria a la variación entre G2 y G0 y se vuelve al paso 2. Así, en la primera iteración G1 se modificará con la flecha cambiada de signo obtenida en la G0 al actuar la HIP0.
Movimientos de la directriz G1
G2: Geometría deformada de G1.
G0: Geometría teórica. G1: Geometría con contraflecha.
Variación de la directriz G1 para la siguiente iteración
Fig. 6.2-1.- Método iterativo de determinación de la contraflecha de ejecución para el análisis no lineal.
El control de la convergencia puede establecerse comparando cada coordenada de los nudos de G2 y G0. Esto permite, en la práctica, obtener contraflechas de ejecución para grados de libertad arbitrarios de cada nudo de la directriz, lo que resulta muy versátil. Para la implementación del proceso, de triple iteración, se ha programado un módulo específico (véase el apéndice G). Esto añade complicación al cálculo y la interpretación de los resultados, pero permite obtener la geometría de contraflecha con la precisión deseada.
En el tablero el proceso es exactamente igual, con la diferencia de que al ajustar áreas de péndolas y axiles de pretensado se anula (por el propio proceso de ajuste del pretensado) la flecha vertical del mismo.
1 De hecho, esto nos permite, por ejemplo, obtener la contraflecha de ejecución de las tres coordenadas de
los nudos del tablero, excepto las coordenadas Z de los nudos de anclaje, que se contrarrestan mediante el pretensado de las péndolas.
117
6.3. EFECTO DE LA CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN.
6.3.1. DETERMINACIÓN DE LA CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN PARA LOS CASOS gT=-6 Y gT=-10.
Para verificar la influencia de la contraflecha de ejecución se ha seguido el siguiente proceso:
• Se han recalculado las soluciones predimensionadas de los casos gT=-6 (apartado 5.4.3) y gT=-10 (apartado 5.4.1) del capítulo anterior, considerando, en ambas, la no linealidad geométrica. El objeto de introducirla es poner más de manifiesto el efecto de la predeformación del arco. En estos dos modelos no se calcula la contraflecha de ejecución.
• Se han generado otros dos modelos, basados en los anteriores, con la diferencia de que en ellos sí se ha obtenido la contraflecha de ejecución del arco para las cargas permanentes, es decir, con la condición de que al cargar simultáneamente con el peso propio, la carga permanente y el pretensado de las péndolas (HIP0), la directriz quede en un plano vertical con directriz parabólica. Es importante señalar que la contraflecha se obtiene para las tres coordenadas espaciales de los nudos del arco.
En la Fig. 6.3-1 se muestra la comprobación, para los ejemplos anteriores, de la validez del método de obtención de la contraflecha de ejecución en los casos gT=-6 y gT=-10.
Las ordenadas del arco (contraflechas horizontales) se corresponden, de modo aproximado, con las simétricas respecto del plano del arco de las deformadas la Fig. 6.1-1. (La aproximación se debe a que la contraflecha no es la flecha cambiada de signo, sino una predeformación de la estructura, que, en general, no coincidirá con la opuesta a la flecha).
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
0
50
100
150
200
250HIP0: Arco plano vertical. Comprobacion de contraflecha de ejecucion.
x [m]
Y [m
m]
227
00
-0
197
00
-0
gT=-6. C.F. Ejecucion
gT=-6. HIP0: Deformada
gT=-10. C.F. Ejecucion
gT=-10. HIP0: Deformada
Fig. 6.3-1.- Comprobación de la validez del método de obtención de la contraflecha de ejecución en los casos gT=-6 y gT=-10: Ordenadas del arco para geometrías sin deformar y deformadas (que son nulas como corresponde al arco plano y vertical, que se sitúa, en los modelos estudiados, en el plano Y=0).
Por otra parte, las geometrías deformadas se sitúan, como se pretendía, en un mismo plano vertical (En este caso el arco plano y vertical, que se sitúa, en los modelos estudiados, en el plano Y=0).
118
6.3.2. COMPARACIÓN DE RESULTADOS.
El efecto de la contraflecha de ejecución se explica perfectamente si se estudian las componentes de los axiles de pretensado de las péndolas. Las componentes verticales (Fig. 6.3-2) coinciden en todos los casos, porque son iguales a las reacciones verticales que obtendríamos al sustituir los puntos de anclaje de las bases de las péndolas por apoyos fijos. Las reacciones horizontales (Fig. 6.3-3) son sin embargo mayores en las estructuras con contraflecha, porque al deformarse las péndolas quedan más tendidas (por expresarlo gráficamente, los puntos del arco de la estructura con contraflecha terminan por definición su recorrido al deformarse allí donde lo empiezan los puntos de la estructura sin contraflecha: en la directriz teórica).
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50110
115
120
125
130
135
140
HIPO: Arco plano vertical. gT=-6 y -10. Componentes verticales de axiles en pendolas. Efecto de la C.F.
x [m]
N [K
N]
135
114
135
114
137
116
137
116
gT=-6. P-δ. Sin CF
gT=-6. P-δ. Con CF
gT=-10. P-δ. Sin CF
gT=-10. P-δ. Con CF
Fig. 6.3-2.- Efecto de la contraflecha de ejecución: Componentes verticales de los axiles de las péndolas.
119
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5030
35
40
45
50
55
60
65
70
HIPO: Arco plano vertical. gT=-6 y -10. Componentes horizontales de axiles en pendolas. Efecto de la C.F.
x [m]
N [K
N]
40
34
40
35
68
58
68
58
gT=-6. P-δ. Sin CF
gT=-6. P-δ. Con CF
gT=-10. P-δ. Sin CF
gT=-10. P-δ. Con CF
Fig. 6.3-3.- Efecto de la contraflecha de ejecución: Componentes horizontales de los axiles de las péndolas.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2600
-2500
-2400
-2300
-2200
-2100
-2000
-1900
-1800
HIPO: Arco plano vertical.gT=-6 y -10. Axil en arco. Efecto de la C.F.
x [m]
T [K
N·m
]
-1800
-2348
-1802
-2349
-1889
-2507
-1891
-2508
gT=-6. P-δ. Sin CF
gT=-6. P-δ. Con CF
gT=-10. P-δ. Sin CF
gT=-10. P-δ. Con CF
Fig. 6.3-4.- Efecto de la contraflecha de ejecución: Axil en el arco.
120
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
HIPO: Arco plano vertical.gT=-6 y -10. Flexion transversal en arco. Efecto de la C.F.
x [m]
M 2 [KN·
m]
7464
-1486
7348
-1392
12784
-2174
12669
-2090
gT=-6. P-δ. Sin CF
gT=-6. P-δ. Con CF
gT=-10. P-δ. Sin CF
gT=-10. P-δ. Con CF
Fig. 6.3-5.- Efecto de la contraflecha de ejecución: Flexión transversal en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-800
-600
-400
-200
0
200
400
HIPO: Arco plano vertical.gT=-6 y -10. Flexion longitudinal en arco. Efecto de la C.F.
x [m]
M 3 [KN·
m]
199
-572
206
-536
245
-760
254
-725
gT=-6. P-δ. Sin CF
gT=-6. P-δ. Con CF
gT=-10. P-δ. Sin CF
gT=-10. P-δ. Con CF
Fig. 6.3-6.- Efecto de la contraflecha de ejecución: Flexión longitudinal en el arco.
121
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
HIPO: Arco plano vertical.gT=-6 y -10. T orsion en arco. Efecto de la C.F.
x [m]
T [K
N·m
]
676
-676
649
-649
1300
-1300
1269
-1269
gT=-6. P-δ. Sin CF
gT=-6. P-δ. Con CF
gT=-10. P-δ. Sin CF
gT=-10. P-δ. Con CF
Fig. 6.3-7.- Efecto de la contraflecha de ejecución: Torsión en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-8. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-47
-176
140
4
-47
-174
138
3
-43
-164
135
5
-43
-163
134
5
gT=-10. P-δ. Sin CF. σ-
gT=-10. P-δ. Sin CF.σ+
gT=-10. P-δ. Con CF σ-
gT=-10. P-δ. Con CF σ-
gT=-10. P-δ. Sin CF. σ-
gT=-10. P-δ. Sin CF.σ+
gT=-10. P-δ. Con CF σ-
gT=-10. P-δ. Con CF σ-
Fig. 6.3-8.- Efecto de la contraflecha de ejecución: Envolvente de tensiones máximas.
Sin embargo, el hecho de que tanto la flexión transversal (Fig. 6.3-5) como la tensión máxima (Fig. 6.3-8) disminuyan en la estructura con contraflecha hay que atribuirlo a que el axil de compresión (Fig. 6.3-4) en el arco, que prácticamente no cambia, tiene menos excentricidad respecto de la geometría
122
deformada, al quedar toda ella contenida en el plano vertical para cargas permanentes.
Esto basta, en las estructuras estudiadas, para compensar el efecto de la mayor flexión transversal que originan las péndolas más tendidas en las estructuras con contraflecha.
Por el contrario, la deformada horizontal del arco sin contraflecha le da una excentricidad adicional a su axil que aumenta la flexión transversal, aunque la flexión horizontal debida a la componente horizontal de las péndolas sea menor.
Es de destacar el escaso efecto que la contraflecha de ejecución tiene en los casos estudiados. El motivo parece estar en que, como en el caso de la no linealidad geométrica, la limitación tensional en el arco controla su influencia al limitar las deformaciones transversales.
123
CAPÍTULO 7
7 ARCO PLANO VERTICAL: ESTUDIO DE LA POSICIÓN RELATIVA TRANSVERSAL ENTRE ARCO Y TABLERO.
7.1. INTRODUCCIÓN. Para analizar la influencia de la posición relativa arco-tablero, se ha realizado el estudio de una
serie de modelos. En ellos se mantiene fijo el arco plano y vertical, contenido en el plano Y=0. En todos los casos se mantiene constante la curvatura del tablero, gT=-10. La variación de la posición del tablero queda definido por la coordenada de su estribo, YT, que varía de 0 a 10, con incrementos de 2.00 m.
Variable Descripción Valores
LA Luz del arco. 100 m
fA Flecha del arco en plano vertical. 20 m Directriz del arco. Vertical, parabólica de 2º grado
nA nº de divisiones del arco. 16
nint nº de nudos entre péndolas (arco y tablero). 3 Péndolas articuladas a flexión en extremos. Sí
Homogeneización de áreas de péndolas. Sí
YT Coordenada Y de estribo de tablero. Variable de 0 a 10 m∆(YT)=2.00 m
bL Distancia lateral de atirantamiento. 0 m
gT Flecha en planta de tablero curvo. -10 m
Vinculaciones de apoyos de tablero.
Movimientos impedidos.
Libre a flexiones.
Empotrado a torsión.
sA,hA,bA Sección transversal del arco. Cajón metálico de ancho
variable de bA= 3000 – 1000 mm. hA=1000 mm.
sT,hT,bT Sección transversal del tablero.
Rectangular metálica.
bT=2500 mm
hT=1000 mm.
tfT,twT Espesores de alas y almas de sección de tablero. tfT= twT =15 mm
γI γJ Cftes. de ponderación de inercias a flexión longitudinal y a torsión del tablero. 1.00 /1.00
bS Ancho total de la plataforma cargada de tablero. 3.80 m
CP Carga permanente sobre tablero. 12 KN/m
SCU Sobrecarga uniforme de uso. 4 KN/m2
Tabla 7.1-1.- Resumen de las características de la serie de puentes estudiados.
124
Arco
Tablero
LA=100 m
gT=-10m YT+
OX
Y
Péndolas Arranques empotrados
Estribos fijos, libres a flexión, empotrados a torsión
Fig. 7.1-1.- Planta de puente tipo de la serie estudiada, con YT variable.
Fig. 7.1-2.- Primer puente de la serie estudiada: YT=0. Perspectivas axonométrica del modelo. A la derecha, con espesores reales de las secciones empleadas.
Fig. 7.1-3.- Último puente de la serie estudiada: YT=10. Perspectivas axonométrica del modelo. A la derecha, con espesores reales de las secciones empleadas
125
7.2. RESULTADOS PARA CARGAS PERMANENTES. A continuación se muestran los resultados para cargas permanentes.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion longitudinal en arco (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
213
-661
212
-660
212
-659
212
-659
212
-658
212
-658
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.2-1.- Flexión longitudinal en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion longitudinal en tablero (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
57
-77
57
-77
57
-77
57
-77
57
-77
57
-77 YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.2-2.- Flexión longitudinal en el tablero.
126
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion transversal en arco (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
216
-5127
533
-1562
2406
-697
5568
-1154
9134
-1610
12701
-2067
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.2-3.- Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1500
-1000
-500
0
500
1000
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion transversal en tablero (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
658
-1235
567
-974
483
-719
404
-475
326
-231
247
-23
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.2-4.- Flexión transversal en tablero.
127
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2500
-2400
-2300
-2200
-2100
-2000
-1900
-1800
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Axil en arco (YT)
x [m]
N [K
N]
-1828
-2418
-1828
-2418
-1828
-2418
-1828
-2418
-1828
-2419
-1829
-2419
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.2-5.- Axil en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1500
-1000
-500
0
500
1000
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Axil en tablero (YT)
x [m]
N [K
N]
625
474
235125
-156 -225
-546-580
-916-943
-1263 -1326
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.2-6.- Axil en tablero.
128
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. T orsion en arco (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
257
-257
83-83
361
-361
670
-670
979
-979
1288
-1288
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.2-7.- Torsión en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. T orsion en tablero (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
2
-2
2
-2
2
-2
2
-2
2
-2
2
-2
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.2-8.- Torsión en tablero.
129
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Esfuerzos en arco (Caso YT=6. Cargas permanentes.)
x [m]
M 2, M3 [K
N·m
]
212
-583
95
-123
212
-659
958
-284
1369
-400
2406
-697
PP M3
CP M3PRETP M3
PP M2CP M2
PRETP M2
Fig. 7.2-9.- Caso YT=-6. Esfuerzos en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Esfuerzos en tablero (Caso YT=6. Cargas permanentes.)
x [m]
M 2, M3 [K
N·m
]
101
-0
193
-64
57
-77
173
-235
240
-339
483
-719
PP M3
CP M3PRETP M3
PP M2CP M2
PRETP M2
Fig. 7.2-10.- Caso YT=-6. Esfuerzos en tablero.
130
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Axiles en pendolas. (YT)
x [m]
N [K
N]278
121
226
121
181
120
148
117
137
120
153
130
YT=10.
YT=8.
YT=6.
YT=4.
YT=2.
YT=0.
Fig. 7.2-11.- Axiles en péndolas.
131
7.3. RESULTADOS PARA SOBRECARGAS.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion longitudinal en arco (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
2169
-1766
2156
-1952
2111
-2142
2028
-2320
1899
-2406
1739
-2307
403
-197
203
-167
121-155
151
-292
185
-507
228
-568
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.3-1.- SCU A y E. Flexión longitudinal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-300
-200
-100
0
100
200
300
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion longitudinal en arco (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
198
-97
100
-82
60
-77
74
-145
91
-251
113
-281
205
-100
103
-85
61
-79
76
-148
94
-256
116
-287 YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.3-2.- SCU C y D. Flexión longitudinal en arco.
132
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion longitudinal en tablero (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
788
-745
794
-730
831
-716
896
-714
992
-722
1110
-745
466
-26
312
-15
244
-81
403
-215
584
-336
776
-326
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.3-3.- SCU A y E. Flexión longitudinal en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion longitudinal en tablero (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
254
-0
176
-0
191
-0
269
-78
359
-145
453
-134
215
-82
140
-66
56
-84
134
-140
226
-201
323
-197
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.3-4.- SCU C y D. Flexión longitudinal en tablero.
133
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion transversal en arco (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
186
-2400
471
-975
1186
-266
2214
-436
4201
-598
6278
-756
159
-2681
383
-505
1734
-507
4059
-816
6652
-1111
9425
-1398
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.3-5.- SCU A y E. Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion transversal en arco (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
78
-1323
189
-249
855
-250
2001
-402
3280
-548
4648
-690
80
-1358
194
-255
879
-257
2058
-414
3372
-563
4777
-709
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.3-6.- SCU C y D. Flexión transversal en arco.
134
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1000
-500
0
500
1000
1500
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion transversal en tablero (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m] 423
-835
242
-674
154
-469
246
-245
561
-510
1036
-786
285
-433
305
-461
304
-429
262
-327
157
-101
270
-21
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.3-7.- SCU A y E. Flexión transversal en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flexion transversal en tablero (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
141
-214
150
-227
150
-212
129
-161
77
-50
134
-11
144
-219
155
-233
154
-217
133
-166
80
-51
137
-11
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.3-8.- SCU C y D. Flexión transversal en tablero.
135
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. T orsion en arco (YT)
x [m]
T [K
N·m
] 117
-6335
-42
130
-136
224
-259
315
-379
408
-502
180
-180
56-56
267
-267
482
-482
694
-694
910
-910
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.3-9.- SCU A y E. Torsión en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. T orsion en arco (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
89
-89
27-27
132
-132
238
-238
342
-342
449
-449
91
-91
28-28
135
-135
244
-244
352
-352
461
-461
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.3-10.- SCU C y D. Torsión en arco.
136
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-150
-100
-50
0
50
100
150
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. T orsion en tablero (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
120
-104
98
-100
81
-99
78
-100
93
-107
116
-120
61
-61
44
-44
34
-34
48
-48
74
-74
101
-101
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.3-11.- SCU A y E. Torsión en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. T orsion en tablero (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
322
-322
330
-330
335
-335
337
-337
332
-332
317
-317
383
-383
374
-374
369
-369
367
-367
372
-372
388
-388
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.3-12.- SCU C y D. Torsión en tablero.
137
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1300
-1200
-1100
-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Axil en arco (YT)
x [m]
N [K
N]-486
-707
-479
-722
-466
-742
-453
-766
-450
-777
-448
-755
-980
-1199
-968
-1203
-951
-1209
-932
-1220
-914
-1227
-903
-1217
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.3-13.- SCU A y E. Axil en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-640
-620
-600
-580
-560
-540
-520
-500
-480
-460
-440
SCU C y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Axil en arco (YT)
x [m]
N [K
N]
-483
-591
-477
-593
-469
-596
-459
-601
-450
-605
-445
-600
-497
-608
-490
-610
-482
-613
-472
-618
-463
-622
-458
-617
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.3-14.- SCU C y D. Axil en arco.
138
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Axil en tablero (YT)
x [m]
N [K
N]
182119
708
-48-104
-180 -219
-332-348
-466-519
302248
78 33
-152 -189
-398 -424
-668 -688
-938-992
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.3-15.- SCU A y E. Axil en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Axil en tablero (YT)
x [m]
N [K
N]
149 122
39 16
-75 -93
-196 -209
-330-339
-463-489
153 126
39 16
-77 -96
-202 -215
-339-349
-476-503
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.3-16.- SCU C y D. Axil en tablero.
139
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
0
50
100
150
200
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Axiles en pendolas. (YT)
x [m]
N [K
N]
111
-17
118
-20
126
-31
151
-43
185
-41
176
-22
107
27
107
41
108
68
113
87
144
86
154
86
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.3-17.- SCU A y E. Axiles en péndolas.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5010
20
30
40
50
60
70
80
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Axiles en pendolas. (YT)
x [m]
N [K
N]
53
13
53
20
53
33
56
43
71
42
76
42
54
13
54
21
55
34
57
44
73
44
78
43
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.3-18.- SCU C y D. Axiles en péndolas.
140
7.4. MOVIMIENTOS.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas verticales en arco (YT)
x [m]
V Z [mm
]
-0
-8
-0
-8
-0
-8
-0
-8
-0
-8
-0
-8
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.4-1.- HIP0: Flechas verticales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.04
-0 .035
-0.03
-0 .025
-0.02
-0 .015
-0.01
-0 .005
0
0.005
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas verticales en tablero (YT)
x [m]
V Z [mm
]
0
-0
0
-0
0
-0
0
-0
0
-0
0
-0
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.4-2.- HIP0: Flechas verticales en tablero.
141
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]51
01
-17-0
-86
-0
-154
-0
-223
-0
-291
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.4-3.- HIP0: Flechas transversales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-10
-5
0
5
10
15
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas transversales en tablero (YT)
x [m]
V Y [mm
]
3
-7
5
-5
7
-3
9
-1
10
0
12
0
YT=10
YT=8
YT=6
YT=4
YT=2
YT=0
Fig. 7.4-4.- HIP0: Flechas transversales en tablero.
142
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas verticales en arco (YT)
x [m]
V Z [mm
]37
-41
36
-40
35
-39
33
-37
31
-36
30
-35
0
-7
0
-5
-0-4
-0-5
-0-5
1
-6
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.4-5.- SCU A y E: Flechas verticales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas verticales en arco (YT)
x [m]
V Z [mm
]
0
-3
0
-3
-0
-2
-0
-2
-0
-2
0
-3
0
-3
0
-3
-0
-2
-0
-2
-0
-3
0
-3
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.4-6.- SCU C y D: Flechas verticales en arco.
143
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas verticales en tablero (YT)
x [m]
V Z [mm
]
33
-60
32
-55
28
-56
23
-63
17
-77
13
-99
0
-30
0
-30
0
-40
0
-61
0
-91
0
-132
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.4-7.- SCU A y E: Flechas verticales en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas verticales en tablero (YT)
x [m]
V Z [mm
]
0
-15
0
-15
0
-20
0
-30
0
-45
0
-65
0
-15
0
-15
0
-20
0
-31
0
-46
0
-67
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.4-8.- SCU C y D: Flechas verticales en tablero.
144
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-250
-200
-150
-100
-50
0
50
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
20
02 -7-0
-32
-0
-56
-0
-79
-0
-103
36
00
-14-0
-63
-0
-111
-0
-157
-0
-204
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.4-9.- SCU A y E: Flechas transversales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
18
00
-7-0
-31
-0
-55
-0
-77
-0
-100
18
00
-7-0
-32
-0
-56
-0
-80
-0
-103
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.4-10.- SCU C y D: Flechas transversales en arco.
145
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-10
-5
0
5
10
15
20
SCU A y SCU E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas transversales en tablero (YT)
x [m]
V Y [mm
]
7
-10
5
-6
3
-3
4
-1
10
-6
17
-10
1
-3
3
-2
5
-1
6
-0
7
0
7
0
YT=10. SCU A
YT=8.SCU A
YT=6. SCU A
YT=4. SCU A
YT=2. SCU A
YT=0. SCU A
YT=10. SCU E
YT=8. SCU E
YT=6. SCU E
YT=4. SCU E
YT=2. SCU E
YT=0. SCU E
Fig. 7.4-11.- SCU A y E: Flechas transversales en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2
-1
0
1
2
3
4
SCU C y SCU D: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas transversales en tablero (YT)
x [m]
V Y [mm
]
0
-2
1
-1
2
-1
3
-0
3
0
4
0
0
-2
1
-1
2
-1
3
-0
3
0
4
0
YT=10. SCU C
YT=8.SCU C
YT=6. SCU C
YT=4. SCU C
YT=2. SCU C
YT=0. SCU C
YT=10. SCU D
YT=8. SCU D
YT=6. SCU D
YT=4. SCU D
YT=2. SCU D
YT=0. SCU D
Fig. 7.4-12.- SCU C y D: Flechas transversales en tablero.
146
7.5. TENSIONES.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-38
-118
86
-3
-36
-85
54
-2
-44
-83
49
2
-44
-120
88
3
-44
-160
128
3
-46
-199
165
4
YT=10 σ-
YT=10 σ+
YT=8 σ-
YT=8 σ+
YT=6 σ-
YT=6 σ+
YT=4 σ-
YT=4 σ+
YT=2 σ-
YT=2 σ+
YT=0 σ-
YT=0 σ+
Fig. 7.5-1.- Envolventes de tensiones normales máximas en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco plano vertical.gT=-10. Envolvente de tensiones normales en tablero.
x [m]
σ [M
Pa]
3
-50
59
12
-1
-44
44
6
-6
-44
40
1
-12
-52
39
-2
-18
-60
38
-6
-25
-70
39
-10
YT=10 σ-
YT=10 σ+
YT=8 σ-
YT=8 σ+
YT=6 σ-
YT=6 σ+
YT=4 σ-
YT=4 σ+
YT=2 σ-
YT=2 σ+
YT=0 σ-
YT=0 σ+
Fig. 7.5-2.- Envolventes de tensiones normales máximas en tablero.
147
7.6. ANÁLISIS DE RESULTADOS MÁS RELEVANTES.
7.6.1. CARGAS PERMANENTES.
7.6.1.1. Similitudes con estudios previos.
En realidad, parte de los resultados de este análisis han sido ya descritos: En el capítulo 4 quedó demostrado que se podían considerar desacoplados los trabajos en el plano vertical y horizontal. Además, se vio que las proyecciones verticales de los axiles de pretensado de las péndolas coincidían con las reacciones del tablero supuesto viga continua con apoyos fijos en los anclajes de las péndolas.
Como el tablero es el mismo para todos los puentes de la serie recién estudiada, los valores de dichas reacciones, verticales, se mantienen inalteradas, independientemente de su posición relativa con respecto al arco (Fig. 7.6-1). Análogamente, las proyecciones longitudinales de los axiles de pretensado de las péndolas coinciden para todos los casos, pues, para una componente vertical impuesta, sólo dependen de la diferencia de abscisas entre sus extremos (Fig. 7.6-2).
Por lo tanto, la proyección del axil de las péndolas sobre el plano vertical del arco se mantiene invariante con respecto a la posición transversal arco-tablero.
Así, en el tablero, la flexión longitudinal en el tablero (Fig. 7.2-2) y la torsión (Fig. 7.2-8) coinciden para todos los puentes analizados.
Y en el arco, los esfuerzos axiles (Fig. 7.2-5) y las flexiones longitudinales del arco también coincidirán (Fig. 7.2-1).
Para cargas permanentes, pues, toda la evolución de los esfuerzos está vinculada a la de las componentes transversales (Fig. 7.6-3) de las péndolas que, para toda la serie, mantienen constantes sus proyecciones verticales y longitudinales.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50115
120
125
130
135
140
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Componentes verticales de axiles en pendolas. (YT)
x [m]
N PZ [K
N]
137
117
137
117
137
117
137
117
137
117
137
117
YT=10.
YT=8.
YT=6.
YT=4.
YT=2.
YT=0.
Fig. 7.6-1.- Constancia de las componentes verticales de los axiles de pretensado de las péndolas para toda la serie estudiada. (Acciones de péndolas sobre nudos de anclaje del tablero).
148
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Componentes longitudinales de axiles en pendolas. (YT)
x [m]
N PX [K
N]
8
-8
8
-8
8
-8
8
-8
8
-8
8
-8
YT=10.
YT=8.
YT=6.
YT=4.
YT=2.
YT=0.
Fig. 7.6-2.- Constancia de las componentes longitudinales de los axiles de pretensado de las péndolas para toda la serie estudiada. (Acciones de péndolas sobre nudos de anclaje del tablero).
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
HIP0: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Componentes horizontales de axiles en pendolas. (YT)
x [m]
N [K
N]
-0
-242
12
-180
24
-118
36
-56
48
6
6858
YT=10.
YT=8.
YT=6.
YT=4.
YT=2.
YT=0.
Fig. 7.6-3.- Distribución de las componentes transversales de los axiles de pretensado de las péndolas en función de YT (Acciones de péndolas sobre nudos de anclaje del tablero).
149
7.6.1.2. Flexión transversal y torsión en el arco.
A la vista de la distribución de las proyecciones horizontales de los axiles de las péndolas, el comportamiento transversal tanto del arco como del tablero adquiere mucha más claridad: A medida que crece YT las componentes horizontales de las péndolas aumentan en la zona de arranques y decrecen hasta llegar a anularse en zona de clave.
Dicha variación en la distribución de los axiles provoca la variación de las leyes de flexión transversal en el arco de la Fig. 7.2-3.
Para YT=0, la flexión transversal es la más alta tanto en clave como en arranques, ya que todos los axiles horizontales cargan el arco en la misma dirección. Sin embargo, para YT=10, a pesar de que las cargas en las péndolas extremas son muchísimo mayores, éstas se sitúan muy cerca de los empotramientos de los apoyos, y las cargas en zona de clave son muy bajas, incluso nulas, debido a que las péndolas en esa zona se inclinan hasta la vertical.
La torsión en el arco (Fig. 7.2-7) no es más que el acoplamiento con la flexión transversal anterior como corresponde al comportamiento como viga balcón descrito en capítulos anteriores.
7.6.1.3. Flexión transversal y axil en el tablero.
Otro tanto puede decirse de la flexión transversal en el tablero (Fig. 7.2-4), de la que ya se vio que sería la correspondiente a la flexión en un arco de directriz circular trabajando en planta (véase 4.5.1.6). Debido a su forma, las acciones de las péndolas están claramente concentradas en las zonas de estribos para valores altos de YT, y provocan, por falta de antifunicularidad de la directriz curva, concentraciones de flexiones.
Con respecto al axil del arco que iría aparejado a la flexión transversal del tablero para completar su comportamiento como arco (Fig. 7.2-6), cabe destacar que el axil va disminuyendo según crece YT hasta invertir su signo. Y así, para los casos YT=8 e YT=10 el tablero está traccionado.
Este comportamiento se explica al ver que todos los axiles que recibe el tablero en estos casos, están traccionándolo hacia el exterior de su curva. En todos los demás casos, excepto en el caso YT=0, parte de los axiles también traccionan el tablero hacia el exterior, pero no basta para provocar un estado general de tracción en el tablero. El axil en el tablero es prácticamente uniforme para todos los casos analizados. Y, de los casos estudiados, cambia de signo entre YT=2 e YT=4.
Es de destacar, que, el estado de compresiones o tracciones del tablero se produce de forma continua con YT. Por eso, para cada punto del tablero habrá una posición de YT en que dicho punto tenga axil nulo. Lo que es más improbable que ocurra es que ese estado de axil nulo se produzca simultáneamente para todos los puntos del tablero.
7.6.2. SOBRECARGAS.
7.6.2.1. Eficacia del sistema de atirantamiento.
La mejora de la eficacia del sistema de atirantamiento del tablero con respecto a los arcos del capítulo 4, en los que se aumentaba la curvatura del tablero manteniendo coincidentes arranques y estribos, es doble:
1.- En primer lugar, el hecho de disponer un arco mucho más rígido mejora muchísimo la eficacia del sistema de atirantamiento, que como se vio en 4.5.2.1, queda controlada por la deformabilidad transversal del arco.
2.- En segundo lugar, el hecho de que no todas las péndolas estén situadas del mismo lado del arco reduce, en general, los movimientos de la estructura, ya que las cargas a ambos lados se compensan entre sí.
Compárense a este respecto las flechas de las Fig. 7.4-5 a la Fig. 7.4-12 con la serie de las Fig. 4.4-5 a la Fig. 4.4-12.
En la primera serie, las deformaciones son sistemáticamente mayores para el caso YT=0 (Donde, como decíamos, todo el tablero del mismo lado del arco).
150
En este caso coincide con la disposición del caso gT=-10 de la serie del capítulo 4, donde las flechas son mucho mayores (pues el arco es mucho menos rígido).
7.6.2.2. Picos y alternancia del signo de la flexión.
Sin embargo, la rigidez del arco1 no basta para producir la alternancia del signo de la flexión de la que hablábamos en el apartado 4.5.2.3, y que aparece en los puentes curvos sobre apoyos puntuales fijos. Como puede verse en la Fig. 7.3-4, las leyes de esfuerzos no presentan el aspecto límite de la Fig. 4.5-12 o de la Fig. 11.3-16. Es una consecuencia clara de la flexibilidad transversal.
Sin embargo, sí que se moderan los picos de flexión a los que nos referíamos en el apartado 4.5.2.2. Basta comparar los resultados recién obtenidos con los de la Fig. 4.3-4.
Una razón podría estar en que ahora las rigideces verticales de los nudos de anclaje de las péndolas están más equilibradas: En el arco, la zona de arranques, más rígida, sostiene al tablero con una péndola más tendida, y en la zona de clave, más flexible, las péndolas están más verticales. Además, con respecto al primer estudio realizado en el capítulo 4, el conjunto arco-péndolas es ahora más rígido por condicionantes tenso-deformacionales, y no se transfiere tanta carga a las péndolas extremas.
7.7. PUNTOS FIJOS TRANSVERSALMENTE.
7.7.1. PUNTO DE CLAVE FIJA.
En función de los resultados anteriores, como por ejemplo, los resultados mostrados en la Fig. 7.4-3, se llega a una conclusión que tiene consecuencias decisivas respecto a la capacidad de controlar la deformabilidad transversal del arco, así como su flexión transversal:
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-500
-400
-300
-200
-100
0
100
HIP 0 Y E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
51
017 01 -17-0
-86
-0
-154
-0
-223
-0
-291
87
028
02
-31-0
-149
-0
-265
-0
-380
-0
-495
YT=10. HIP 0
YT=9. HIP 0
YT=8.HIP 0
YT=6. HIP 0
YT=4. HIP 0
YT=2. HIP 0
YT=0. HIP 0
YT=10. HIP E
YT=9. HIP E
YT=8. HIP E
YT=6. HIP E
YT=4. HIP E
YT=2. HIP E
YT=0. HIP E
Fig. 7.7-1.- Flechas transversales del arco para las HIP0 e HIPE en función de YT.
Estudiemos los resultados mostrados en la Fig. 7.7-1, en la que se muestran los movimientos
1 La inercia transversal de la sección de arranques de esta serie en estudio es sólo de 4.3 veces mayor que
la de la seccion anular empleada en el capítulo 4 y la de clave es sólo 1.7 veces mayor, lejos del factor de 10 por el que se mayora la inercia transversal de todo el arco anular en los resultados de la Fig. 4.5-12.
151
horizontales del arco para las hipótesis HIP0 y para la HIPE, (que se recuerda es la actuación simultánea de HIP0 y de la SCUE). En la gráfica se ha añadido un valor adicional a la serie anterior, YT=9.
Si de dicha figura representamos ahora, y sólo para la clave del arco, las flechas anteriores en función de YT, obtenemos la gráfica de la Fig. 7.7-2, sobre la que merece la pena realizar las siguientes observaciones:
• La variación de la flecha horizontal en clave es sensiblemente lineal, tanto para la HIP0 como para la HIPE, aunque esto ocurre porque las estructuras no son muy sensibles a la no linealidad geométrica.
• Para el mismo valor de YT, la diferencia de ordenadas entre las dos curvas indica la amplitud del movimiento de la clave del arco al cargar y descargar todo el tablero con la SCUE.
Las rectas correspondientes a la HIP0 y a la HIPE se cortan en un punto. En nuestro caso corresponde al punto YT=8.5734 m. En este punto la citada amplitud de movimiento horizontal es nula.
Por lo tanto, podemos afirmar que, si la amplitud del movimiento de la clave es nula, existe una posición relativa transversal (definida por YT) del tablero en la que el movimiento horizontal de la clave del arco es nulo para una carga uniformemente repartida en todo el tablero.
Además, si el cálculo es elástico lineal o tiene poca trascendencia la no linealidad, lo anterior es cierto, para cualquier carga proporcional a la anterior, y el punto de corte se mantendrá.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
YT [m]
v Y (HIP
E),
v Y (HIP
0) [m
m]
Evolución de flecha transversal en clave arco en función de YT. Análisis E.L.
HIP 0
HIP E
YT=8.5734
Fig. 7.7-2.- Flechas transversales en clave del arco para las HIP0 e HIPE en función de YT.
En la figura Fig. 7.7-3 se representan los resultados para los valores de YT=8, YT=8.5734 e YT=9 m. Para el valor YT=8.5734 m y para la hipótesis HIP0 la flecha es de 2.46 mm y para la HIPE de 2.49 mm: la amplitud de la flecha horizontal debido a la SCUE es pues sólo de 0.03 mm, con lo que queda, como pretendíamos, prácticamente fija2.
2 El error es perfectamente asumible. En realidad siempre se producirá un desajuste porque la ley no es
perfectamente lineal, ni la precisión en los cálculos absoluta, eso contando con la precisión de la modelización, que representa la directriz por una poligonal.
152
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
HIP 0 Y E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
17
0
7
01
-17
28
0
10
02
-31
YT=9. HIP 0
YT=8.5734. HIP 0
YT=8.HIP 0
YT=9. HIP E
YT=8.5734. HIP E
YT=8. HIP E
Fig. 7.7-3.- Flechas transversales del arco para las HIP0 e HIPE en función de YT: Resultados para el punto de clave fija (YT=8.5734), en los que la amplitud del movimiento debido a la SCUE es de 0.03 mm.
La existencia de posiciones transversales relativas arco-tablero que anulan las flechas transversales de un punto determinado del arco depende de que al construir para ese punto una gráfica similar a la de la Fig. 7.7-2 exista intersección entre las dos curvas. Esta propiedad de la clave es pues en principio extensible para cualquier otro punto (por simetría, una pareja de puntos) de la directriz. Así, por ejemplo, se puede obtener el valor de YT que fija horizontalmente los riñones del arco.
Es interesante señalar que esta posición del tablero con respecto al arco está situada en un entorno en que las flexiones transversales del arco son de las más bajas obtenidas al variar YT, como veremos a continuación.
7.7.2. MINIMIZACIÓN DE LA FLEXIÓN TRANSVERSAL.
Podemos establecer una serie de criterios de medida conjunta de la flexión transversal a lo largo de la directriz del arco, Γ , de acuerdo con las siguientes expresiones:
Criterio: Formulación:
I ( )∫=Γ
ds M(s) M 2 ( )2i
ii M·bM ∑= [7.1]
II ∫=Γ
dsM(s)M ii
i M·bM ∑= [7.2]
III ∫=Γ
M(s) dsM ii
i M·bM ∑= [7.3]
donde Mi es cada uno de los flectores en cada punto de salida y bi es la longitud de su segmento tributario de barra. Las formulaciones continuas se transforman en sumatorios dado que la salida que estamos obteniendo no es continua sino discreta, en una serie dada de puntos en cada barra. En la Fig. 7.7-4 se pueden ver las longitudes bi asignadas a cada punto de salida en las barras.
153
0.125·L 0.125·L0.250·L 0.250·L 0.250·L
L
Mi
bi
Σbi Fig. 7.7-4.- Longitudes bi de los segmentos de barra asignadas a cada punto de salida de esfuerzos en las expresiones [7.1] a [7.3]. Se ha representado una barra con 5 puntos de salida de esfuerzos. En la figura, L representa la longitud de la barra.
El criterio I, además de obviar el signo de la flexión, penaliza, debido al exponente, la existencia de valores extremos.
El criterio II no prima tanto como el anterior la inexistencia de picos en la ley de flexiones, ya que desaparece el exponente, aunque se mantiene el valor absoluto. Su interpretación geométrica sería la del área encerrada por la ley de flectores.
El criterio III prima aquellas leyes de flectores que compensan sus signos. Como la anterior, es la medida del área, pero afectada por el signo, encerrada por la ley de flectores.
154
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x 10 9
HIP0
M
HIPE
YT
( )2i
ii M·b∑
6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 -2
0
2
4
6
8
10 x 108
YT [m]
Ajustes de 2º y 3º grado
Ajustes de 2º y 3º grado
( )2i
ii M·b∑
Fig. 7.7-5.- Evolución de la flexión transversal, medida con la ecuación [7.1] (criterio I) en función de YT. En la gráfica inferior se detallan las interpolaciones polinómicas de 2º y 3º grado por mínimos cuadrados de los valores calculados entre YT=6 e YT=10.
155
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
8 x 10 5
HIPE
HIP0
M
YT [m]
ii
i M·b∑
6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 0
0.5
1
1.5
2
x 10 5
YT [m]
Ajustes de 4º y 5º grado
Ajustes de 4º y 5º grado
ii
i M·b∑
Fig. 7.7-6.- Evolución de la flexión transversal, medida con la ecuación [7.2] (criterio II) en función de YT. En la gráfica inferior se detallan las interpolaciones polinómicas de 4º y 5º grado por mínimos cuadrados de los valores calculados entre YT=6 e YT=10.
156
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2
-1
0
1
2
3
4
5
6 x 10 5
M
ii
i M·b∑
Fig. 7.7-7.- Evolución de la flexión transversal, medida con la ecuación [7.3] (criterio III) en función de YT.
Criterio Grado de interpolación HIP0 HIPE HIPE-HIP0
2 7.898 7.983 8.028 ( )2i
ii M·b∑
3 7.898 7.984 8.030
4 8.275 8.294 8.315 i
ii M·b∑
5 8.279 8.276 8.272
ii
i Mb∑ ⋅ 8.158 (Anulación)
8.209 (Anulación)
8.281 (Intersección)
Tabla 7.7-1.- Resumen de resultados: valores de YT que minimizan la flexión transversal para los tres criterios estudiados de acuerdo con las Fig. 7.7-5 a Fig. 7.7-7. En el tercer criterio los valores de YT son aquellos que anulan la flexión, así como el valor que la iguala para HIP0 e HIPE.
Como se puede apreciar en la tabla anterior de resumen de resultados, los valores de YT que minimizan la flexión transversal para los criterios II y III prácticamente coinciden, y en general para los tres criterios las soluciones están en una zona menor de 30 cm, que es una zona muy pequeña si la comparamos con los 10 m posibles de variación de YT, e incluso con el ancho de la sección en arranques.
Resulta interesante estudiar qué puntos se mantienen fijos para las cargas HIP0 e HIPE: Para el caso YT=8.272, los puntos fijos están a menos del 0.5% de la luz de los riñones del arco, como se aprecia en la Fig. 7.7-8.
157
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
HIP 0 Y E: Arco plano vertical. Analisis E.L. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
7
0
3
-8
1
-17
10
0
4
-15
2
-31
YT=8.5734. HIP 0
YT=8.272. HIP 0
YT=8.HIP 0
YT=8.5734. HIP E
YT=8.272. HIP E
YT=8. HIP E
Fig. 7.7-8.- Flechas transversales en arco para las HIP0 y la HIPE: Los riñones del arco permanecen fijos horizontalmente para el valor de YT (8.272) que minimiza la flexión transversal del arco.
7.7.3. EFECTO DE LA CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN Y LA NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA.
Dado que en este capítulo hasta ahora los resultados se han realizado sin considerar ni la no linealidad geométrica ni la contraflecha de ejecución, en este apartado sí se consideran para comprobar su relevancia.
El proceso ha sido el siguiente:
• Se han rehecho los cálculos de la serie de puentes del capítulo considerando simultáneamente la no linealidad geométrica y la contraflecha de ejecución. Los valores de YT son 0, 2, 4, 6, 8 y 10.
• Para completar la precisión de los resultados en la zona de las soluciones previsibles, se han añadido los valores de YT=7 e YT=9.
Las gráficas obtenidas, similares a las obtenidas en el apartado 7.7.1, se representan en las Fig. 7.7-9 a Fig. 7.7-11.
158
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 x 10 9
M
YT [m]
( )2i
ii M·b∑
Fig. 7.7-9.- Evolución de la flexión transversal, medida con la ecuación [7.1] (criterio I) en función de YT, considerando no linealidad geométrica y contraflecha de ejecución.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
1
2
3
4
5
6
7
8 x 10 5
M
YT [m]
ii
i M·b∑
Fig. 7.7-10.- Evolución de la flexión transversal, medida con la ecuación [7.2] (criterio II) en función de YT, considerando no linealidad geométrica y contraflecha de ejecución.
159
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 x 10 5
M
YT [m]
ii
i M·b∑
Fig. 7.7-11.- Evolución de la flexión transversal, medida con la ecuación [7.3] (criterio III) en función de YT, considerando no linealidad geométrica y contraflecha de ejecución.
Criterio Grado de interpolación HIP0 HIPE HIPE-HIP0
2 7.987 7.987 8.034 ( )2i
ii M·b∑
3 7.897 7.988 8.035
3 8.343 8.408 8.487 i
ii M·b∑
4 8.275 8.298 8.322
ii
i M·b∑ 8.158 (Anulación)
8.211 (Anulación)
8.285 (Intersección)
Tabla 7.7-2.- Resumen de resultados: valores de YT que minimizan la flexión transversal para los tres criterios estudiados de acuerdo con las Fig. 7.7-9 a Fig. 7.7-11. En el tercer criterio los valores de YT son aquellos que anulan la flexión, así como el valor que la iguala para HIP0 e HIPE.
En el resumen de los resultados de la Tabla 7.7-2 los resultados son prácticamente coincidentes con los de la Tabla 7.7-1. El caso más divergente (criterio II, grado 3) es también el de peor ajuste de los resultados Por lo menos para el caso estudiado, no parece demasiado influyente la consideración simultánea de la no linealidad geométrica y la contraflecha de ejecución.
Las deformadas para HIP0, la HIPE y los puntos fijos para el caso YT=8.322 se representan en la Fig. 7.7-12.
160
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
HIP 0 y E: Arco plano vertical. Analisis P-δ gT=-10. Directriz deformada de arco (YT=8.322)
x [m]
Y+V Y [m
m]
-3
-0
-6
Directriz de arco con C.F.Deformada HIP 0Deformada HIP E
Fig. 7.7-12.- Caso YT=8.322. Flechas transversales en el arco para las HIP0 y la HIPE. Se representa también la planta de la contraflecha de la directriz. Al cargar con las acciones permanentes (HIP0) la ordenada de toda la directriz del arco se anula (como corresponde a su contraflecha) y queda toda contenida en el plano vertical Y=0. Al cargar además con SCUE, los riñones del arco (aproximadamente a cuartos de la luz), permanecen fijos horizontalmente para el valor de YT (8.322) que minimiza la flexión transversal del arco, cuando se considera simultáneamente la contraflecha de ejecución y la no linealidad geométrica.
161
CAPÍTULO 8
8 ARCO PLANO INCLINADO: EFECTO DEL ÁNGULO DE GIRO.
8.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se pretende estudiar el efecto de girar el arco plano vertical y exento respecto de
la cuerda que une sus arranques. Esta configuración espacial, netamente asimétrica, ha experimentado en los últimos años, particularmente en España, un desarrollo que sólo puede calificarse de vertiginoso. A este respecto pueden citarse los estudios de Greenwold [34] ó Wells [99] y las realizaciones, prácticamente simultáneas en el tiempo, de Arenas [7], Corbal et al. [20], o Sánchez de León [74], al margen de las de Calatrava, ya citadas en el capitulo 2.
Con una metodología similar a la de los capítulos anteriores, Para analizar su influencia se ha realizado el estudio de una serie de modelos. En ellos, partiendo del arco plano vertical, se gira el arco un ángulo ω respecto de la cuerda citada. Dicho ángulo ω se varía entre 0º (correspondiente al arco vertical) y 30º, en incrementos de 6º.
Los ejes locales de las secciones del arco se giran de tal manera que el eje local n2 (Fig. 3.5-3) queda contenido en el plano del arco, y el n3 perpendicular a éste, lo que orienta la sección según el giro.
Como hasta ahora, en todo este capítulo se han supuesto las péndolas articuladas en ambos extremos. El efecto estructural de la péndola rígida, frecuente en este tipo de puentes, se estudia en los capítulos 13 y 14.
Con el objeto de poder comparar, si se desea, resultados con capítulos anteriores, el tablero es en todos los casos recto, con la misma sección en cajón constante que en los capítulos 4 a 7. La sección del arco se ha dispuesto en cajón rectangular variable similar a la del capítulo 7: de canto constante 1.00 m, espesor 25 mm en toda la sección, y de ancho variable entre 2.00 y 1.00 m decreciente de arranques a clave.
Fig. 8.1-1.- Primer puente de la serie estudiada: ω=0º.
162
ω
Fig. 8.1-2.- Último puente de la serie estudiada: ω=30º. A la derecha, perspectiva axonométrica del mismo puente, donde se muestra claramente la orientación de la directriz alineando las dimensiones de las secciones (y sus ejes locales) según el plano girado del arco.
8.2. ANÁLISIS DE CARGAS PERMANENTES.
8.2.1. ACCIONES SOBRE ARCO Y TABLERO.
El análisis teórico del arco inclinado se va a realizar comparando los resultados del arco girado con los del arco vertical sin girar. Para ello estudiaremos la variación de las acciones que solicitan al arco y tablero en función del ángulo de giro.
Péndola en plano de directriz de arco
Arco
Tablero
ω
Z
Y
2n
3n
Fig. 8.2-1.- Sección transversal tipo (vista desde el estribo frontal) de puente con arco plano inclinado. Se representan en el centro del tablero los ejes globales Y y Z. Se representan también los ejes locales de la sección girados según ω.
8.2.1.1. Peso propio del arco.
PPA·cosω
PPA·senω
PPA
Según la figura, puede verse cómo la inclinación del arco produce que el peso propio del arco, PPA, vertical, se proyecte sobre el plano perpendicular a la vez que disminuye la proyección sobre el plano del arco.
163
8.2.1.2. Peso propio y carga permanente del tablero.
Péndola ω
NP
NP R
Análogamente, la componente vertical de la péndola (NPZ) ha de compensar la reacción vertical
R en los nudos de anclaje de la base de péndola, supuesto el tablero sobre apoyos fijos. La reacción R compensada por el axil de la péndolas compensa la acción simultánea del peso propio del tablero, PPT, la carga permanente, CP, y la mitad del peso propio de la péndola (véase 8.2.1.3 ó Manterola et al [46]). El giro ω, por lo tanto, provoca incremento en la magnitud de los axiles de las péndolas, NP.
8.2.1.3. Peso propio de las péndolas.
LP 2
PLρ ⋅
2PLρ ⋅
El peso total de la péndola actuando sobre el arco (y sobre el tablero) es2
PLρ ⋅ , donde la
longitud LP de la péndola se mantiene invariante con ω (Al modelizar la péndolas como barra, y no como cable, no da reacciones horizontales).
8.2.1.4. Resumen de acciones permanentes.
En la Fig. 8.2-2 y en la Tabla 8.2-1 se resumen los esfuerzos actuantes para cargas permanentes en función del giro ω del plano del arco.
Arco
Tablero
Péndola
R
NP
R
NP+ PPA·cos(ω)
R NP
H
= ω
PPA ω
PPA·sen(ω)
ω NP =R/cos(ω) H=R ·tg(ω)
NP
NPZ=R NPY=H NPX=0
Fig. 8.2-2.- Esfuerzos para cargas permanentes en función del giro ω del plano del arco (No se ha representado la acción del peso propio de las péndolas sobre el arco).
164
Comportamiento: Arco Tablero
En su plano
Arco clásico
)cos()cos(
2APPω
RωPLρ
+⋅⋅
+ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
flexión + axil
Viga horizontal (según su canto) )(tg ωR ⋅
flexión transversal
En el plano perpendicular
Viga balcón
)(sen2APP ωPLρ
⋅⋅
+ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
flexión transversal + torsión acoplada
Viga continua sobre apoyos fijos R+PPT+CP
flexión
Tabla 8.2-1.- Cargas permanentes: Esquema resistente, acciones actuantes y esfuerzos en el arco y tablero del puente arco espacial de arco plano vertical al variar el giro del plano del arco.
Como puede verse en las Fig. 8.2-3 y Fig. 8.2-4, las componentes verticales de los axiles de pretensado de las péndolas se mantienen constantes para toda la serie, mientras que las transversales son directamente proporcionales a tg(ω).
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-135
-130
-125
-120
-115
-110HIP0: Arco plano inclinado. Analisis E.L. Comp. verticales de axiles en pendolas. (ω )
x [m]
N Z [KN]
-114
-134
-114
-134
-114
-134
-114
-134
-114
-134
-114
-134
ω=30ω=24ω=18ω=12ω=6ω=0
Fig. 8.2-3.- HIP0: Componentes verticales de axiles de pretensado de péndolas.
165
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
10
20
30
40
50
60
70
80HIP0: Arco plano inclinado. Analisis E.L. Comp. transversales de axiles en pendolas. (ω )
x [m]
N Y [KN]
77
66
60
51
43
37
2824
1412
00
ω=30ω=24ω=18ω=12ω=6ω=0
Fig. 8.2-4.- HIP0: Componentes verticales de axiles de pretensado de péndolas.
8.2.2. EVOLUCIÓN DE LOS ESFUERZOS.
A la luz de las acciones estudiadas, la evolución de los esfuerzos resulta más clara. Recordaremos, tal y como hemos considerado en el análisis de los esfuerzos, que, tanto el comportamiento del arco, como el del tablero, están desacoplados en su plano y en el perpendicular.
8.2.2.1. Flexión transversal y torsión en el arco.
Con el giro ω aparece la flexión transversal en el arco (Fig. 8.2-5), al aparecer componentes perpendiculares a su plano debido su peso propio. Por otra parte, también actúan las componentes del peso propio de las péndolas, si bien son, en nuestros cálculos, de muy poca importancia.
Las acciones que se ejercen sobre el arco a través de las péndolas no provocan flexiones transversales, al quedar las péndolas contenidas en el plano del arco.
Asimismo, aparece la torsión (Fig. 8.2-6) por acoplamiento con dicha flexión transversal, ya que el trabajo en el plano perpendicular es el de viga balcón.
166
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000HIP0: Arco plano inclinado. Analisis E.L. Flexion transversal en arco (ω )
x [m]
M 2 [KN·
m]
5170
-1100
4203
-895
3184
-678
2142
-456
1077
-2290-0
ω=30ω=24ω=18ω=12ω=6ω=0
Fig. 8.2-5.- HIP0: Flexión transversal en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400HIP0: Arco plano inclinado. Analisis E.L. T orsion en arco (ω )
x [m]
T [K
N·m
]
346
-346
281
-281
213
-213
144
-144
72
-72
0-0
ω=30ω=24ω=18ω=12ω=6ω=0
Fig. 8.2-6.- HIP0: Momento torsor en el arco.
167
8.2.2.2. Flexión longitudinal y axil en el arco.
De las tres acciones permanentes que originan flexión longitudinal, al girar el arco un ángulo ω, la flexión debida a dos de ellas disminuyen (las del peso propio del arco y de las péndolas) y la debida a la tercera (la reacción transmitida a través de las péndolas) aumenta.
Análogamente, como el axil sólo depende de las cargas contenidas en el plano del arco, la evolución del axil es similar a la de la flexión longitudinal.
8.2.2.3. Flexión transversal y torsión en el tablero.
La flexión transversal en el tablero (Fig. 8.2-7) se produce exclusivamente por las componentes horizontales de las péndolas, y es, por lo tanto creciente con ω (véase Fig. 8.2-7). Concretamente, si NPZ es el valor de la componente vertical del axil de pretensado de la péndola, la flexión transversal en el tablero es la provocada por una serie de cargas horizontales de valor NPZ·tg(ω).
Por otra parte, dado que el tablero se ha suspendido del centro y el tablero es recto, las cargas permanentes no producen torsión.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-16000
-14000
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000HIP0: Arco plano inclinado. Analisis E.L. Flexion transversal en tablero (ω )
x [m]
M 2 [KN·
m]
0
-14471
0
-11160
0
-8136
0
-5322
0
-2632
0-0
ω=30ω=24ω=18ω=12ω=6ω=0
Fig. 8.2-7.- HIP0: Flexión transversal en tablero.
8.2.2.4. Flexión longitudinal y axil en el tablero.
La flexión longitudinal en el tablero (Fig. 8.2-8) se mantiene constante con el ángulo de giro, ya que sólo depende del valor de las componentes verticales de los axiles de pretensado de las péndolas.
En el tablero no hay axil, ya que todas las péndolas están contenidas en planos perpendiculares al tablero, y los arranques del arco se han empotrado, con lo que no se moviliza (en estos modelos) la rigidez a axil del tablero para contener los movimientos horizontales del arco.
168
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
HIP0: Arco plano inclinado. Analisis E.L. Flexion longitudinal en tablero (ω )
x [m]
M 3 [KN·
m]
54
-73
54
-73
54
-73
54
-73
54
-73
54
-73
ω=30ω=24ω=18ω=12ω=6ω=0
Fig. 8.2-8.- HIP0: Flexión longitudinal en tablero.
8.3. SENSIBILIDAD A LAS SOBRECARGAS. Como hemos visto, cualquier carga que provoque en el tablero una reacción R en el nudo de
anclaje del tablero, produce una carga )cos(ω
R en el plano del arco, que coincide con el axil de tracción en
la péndola.
Así, la inclinación del arco un ángulo ω produce una pérdida de eficacia del sistema de atirantamiento arco-péndolas por un doble motivo:
1.- Por un lado, las cargas actuantes en el plano del arco crecen de manera inversamente proporcional a )cos(ω .
2.- Por otro, a igualdad de área, las péndolas son menos eficaces.
En efecto, supongamos que el axil de dimensionamiento de la péndola es inversamente proporcional a cos(ω). El área de cualquier péndola será
)cos(ωΩΩ P
P,ω = [8.1]
donde P,ωΩ es el área de la péndola necesaria cuando giramos el arco un ángulo ω, y PΩ es el área de la péndola correspondiente al arco vertical.
La elongación de la péndola será:
PP
P
P,ω
PP,ωP,ω L
(ωΩE
L(ω
RΩELNL ∆
)cos)cos
∆ =⋅
⋅=⋅
⋅= [8.2]
donde se ha hecho uso de )cos(ω
RNP,ω = y donde PL∆ es el alargamiento de la péndola de área
PΩ en un arco plano vertical sometida a un axil de valor R.
169
vZT Tablero sin deformar
Tablero deformado
NP,ω LP
∆LP,ω
ω
R
Arco
Fig. 8.3-1.- Estudio de la deformabilidad vertical de la péndola articulada del arco inclinado, suponiendo que el tablero es indeformable horizontalmente.
Resultado de esperar, dado que si el axil y el área crecen en la misma proporción, la elongación de la péndola es la misma para ambos casos.
Si aceptamos que el movimiento del tablero es sólo vertical, dado que en sentido horizontal trabaja según su canto1, podemos expresar el movimiento vertical del nudo de anclaje de la péndola, ZTv , en función de su alargamiento:
PP,ωZT L(ω
L(ω
v ∆)cos
1∆)cos
1== [8.3]
Expresión que define la relación entre las flechas verticales de los anclajes de las péndolas en función del ángulo ω cuando se someten éstas a una carga vertical igual2, suponiendo que el área de las mismas es inversamente proporcional a cos(ω).
Por lo tanto, para igualar el descenso del tablero ante la misma reacción, el área de la péndola inclinada, P,ωΩ , no sólo debe compensar el efecto del aumento del axil ([8.2]) sino el de su inclinación ([8.3]) y resultaría:
)(cos2 ωΩΩ P
P,ω = [8.4]
para mantener la eficacia del sistema de atirantamiento. Eso suponiendo además despreciable el movimiento del arco en su plano ante el aumento de carga transmitido por la péndola.
Una consecuencia muy importante desde el punto de vista práctico es que, con suficiente aproximación, la rigidez vertical de una péndola inclinada es inversamente proporcional al cuadrado del seno del ángulo que forma con la horizontal con respecto a la de la péndola vertical de igual área.
Un giro de 30º (habitual en este tipo de puentes) exige sobredimensionar la péndola un 33%.
Por lo tanto, a efectos de sobrecargas, las acciones actuantes en el plano del arco crecen con el ángulo de giro, y resulta necesario sobredimensionar tanto su sección como el área de las péndolas si se desea mantener su aportación a la rigidez del sistema de atirantamiento.
1 Lo que no impide que aparezcan flexiones transversales en el tablero ante sobrecargas verticales. 2 Se adelanta que, en el capítulo 13, en el que se estudian con detalle las péndolas, se concluye que con las
longitudes y tensiones de trabajo de las péndolas de este tipo de puentes no es necesario considerar variaciones de rigidez por forma del cable, con lo que E puede considerarse constante para cualquier ángulo de giro ω.
171
CAPÍTULO 9
9 TABLEROS SUSPENDIDOS DE UN BORDE.
9.1. EL TABLERO SUSPENDIDO DEL BORDE.
9.1.1. NECESIDAD DE LA SUSPENSIÓN AL BORDE.
En los puentes de tablero inferior, ha de verificarse una condición que se ha obviado hasta ahora: salvo en casos muy concretos1, no se puede suspender el tablero de su eje porque las péndolas interfieren con los gálibos del tablero, como se muestra en la Fig. 9.1-1 (a).
(a) Gálibos de tablero
hG
bL
Péndola al borde
Arco
Tablero
Anclaje al centro
Péndola al centro
bLv
Gálibos de tablero
s
A
C D
(b)
hG
Fig. 9.1-1.- Imposibilidad del atirantamiento al eje por interferencia con el contorno de los gálibos del tablero (a trazos).
En la Fig. 9.1-1 (b) se representa un atirantamiento desde el nudo A del arco, con péndolas al centro del tablero (nudo C) que interfieren con los gálibos. La altura de dicha caja de gálibos es hG. Asimismo se representa un atirantamiento al borde (a un nudo D, desplazado una distancia bL del eje del tablero), que necesitará en general de un sobreancho s, y que tendrá una diferencia de cota bLv con respecto al punto C.
Por lo tanto, las conclusiones obtenidas hasta ahora, aún siendo válidas, han de tener en cuenta dicha restricción de gálibo para aproximarse más a las propias de los puentes reales.
9.1.2. ESTABILIDAD DEL TABLERO CIRCULAR APOYADO EN UN BORDE.
Para ser estable, un tablero circular sólo necesita apoyos articulados en una línea. Por el contrario, los tableros rectos requieren dos líneas de soportes, o bien apoyos empotrados [13], ya que si no, la estructura resultante es inestable (Fig. 9.1-2).
Es pionera en este tipo de suspensión la pasarela de Kelheim, proyectada por Schlaich, Bergermann & Partner, a la que nos referiremos con más detalle en 9.2.2.
Si el tablero circular descansa sobre su borde interior, una carga q vertical descendente repartida provoca tracciones en la cara superior y compresiones en la inferior (es decir, momentos negativos) en todo el tablero.
En este caso (el más frecuente en las realizaciones conocidas, fundamentalmente atirantadas) de suspensión del borde interior, se materializan dos anillos superpuestos: un anillo superior traccionado y un anillo inferior comprimido. Así, es suficiente con disponer refuerzos a tracción solamente en el borde superior.
1 Como los arcos clásicos (planos y verticales con tableros rectos) y los arcos superiores de planta curva
impuesta, estudiados en el capítulo 14.
172
q
q
Fig. 9.1-2.- Tableros con una fila de apoyos: recto, a la izquierda (inestable) y circular, a la derecha (estable), según Schlaich [13].
Si el tablero se apoya en su borde exterior, se producen tensiones y esfuerzos de signo contrario.
9.1.3. MÉTODO DE DETERMINACIÓN DE SOBREANCHOS.
Dado un punto A desde el que se atiranta un tablero, el lugar geométrico de los puntos que no son aptos para ser base de dichos tirantes es la sombra de la caja de gálibos del tablero sobre la superficie prevista de anclaje, supuesto un foco puntual de luz en A.
En los puentes atirantados con configuración en abanico, donde todos los anclajes convergen teóricamente en un mismo punto de la pila, el punto A es el mismo para todo el puente, y el contorno de sombra no cambiará.
En los puentes donde hay más de un anclaje, como en los puentes arco o en los puentes atirantados con configuración en arpa, dicho lugar geométrico es distinto para cada posición de cada cabeza de anclaje de las péndolas.
C
G2≡D2
G1 H1
H2
A
D1
Casos de necesidad de sobreancho. Planta.
Borde de comprobación de gálibo Γ2
Bordes de atirantamiento
Péndolas
D1≡G1
A
H2
Anclaje en un borde sin necesidad de sobreancho
(a)
Borde de comprobación de gálibo Γ1
H1
A
H2 Anclaje en dos bordes con necesidad de sobreancho en uno solo borde.
D1
H1
A
H2
Anclaje en dos bordes con necesidad de sobreancho en ambos
(a)
D2 D1
(b)
(c)
C
A
G2 D2
H1 H2
G1 D1
s1 s2
s1 G1≡D1
C
A
H2
(b)
(c)
hG
hG
hG
Fig. 9.1-3.- Determinación de nudos de atirantamiento y sobreanchos: Casos posibles de necesidad de sobreancho al referir el nudo C del eje del tablero al nudo A del arco.
Lo más frecuente, como en el caso de la Fig. 9.1-3 y Fig. 9.1-4, es que la superficie prevista de anclaje sea un plano horizontal paralelo a la cara superior de la plataforma, pero su forma puede ser
173
cualquiera2. Los tirantes más ajustados estarán contenidos en la superficie que delimita las zonas de luz y sombra, y se anclarán en su intersección con la superficie de anclaje.
Es de destacar, en la Fig. 9.1-3, que en el caso (b) la sección es toda coplanaria. Sin embargo, en el caso (c) es una sección quebrada, ya que el plano definidos por los puntos A, D1 y H1 no coincide con el definido por los puntos A, D2 y H2.
A
C G1
D1
hG
H1 . Γ1
H1 Γ1
D1 C.
A
G1
Fig. 9.1-4.- Obtención del punto D1 de base de la péndola estricta que refiere el nudo C del eje a un punto A de anclaje: Casos de tablero recto y curvo.
Dichas figuras muestran la construcción geométrica necesaria para obtener los puntos D1 y D2 (a cada lado de los bordes Γ1 y Γ2 de la caja de gálibos respectivamente) de las bases de las péndolas estrictas que refieren perpendicularmente el punto C del eje del tablero al punto A de anclaje3.
En el caso de la Fig. 9.1-4, en el que el tablero y la superficie de anclaje son horizontales, y la sección de la caja de gálibos es rectangular de altura hG, el proceso puede seguir las siguientes fases:
1.- Se obtiene el conjunto de semirrectas que pasa por el punto A y se apoya en la curva paralela a Γ1 a una distancia vertical hG. Si el tablero es recto, este conjunto es un haz de rectas y define un plano.
2.- El contorno de la sombra se obtiene como intersección de dicho conjunto de semirrectas con la superficie de anclaje. Como decíamos, éste contorno es único si todas las péndolas convergen en A.
3.- El punto D1 de anclaje estará en la intersección de la recta 1CG con el contorno de la sombra. La recta 1CG es prolongación de la normal a la directriz. La distancia 11DG es el sobreancho estricto necesario para anclar la péndola. Además se garantiza que en el punto H1 la péndola verifica la limitación de gálibos.
Si, en el mismo caso, se desea anclar en el lado del borde Γ2, como éste queda iluminado, no se necesita sobreancho ( 0DG 22 = ), y la distancia 2CG coincide con el semiancho del tablero.
9.1.4. CLASIFICACIÓN DE SECCIONES TRANSVERSALES Y DE LAS TIPOLOGÍAS DE SUSPENSIÓN AL BORDE.
Para la clasificación de las secciones suspendidas (o atirantadas) se pueden establecer diferentes criterios. Una primera clasificación, de índole general, distinguiría las secciones suspendidas en función del número de anclajes y su posición dentro de la sección transversal. Para el caso particular de las secciones suspendidas de un borde, no sólo es importante la rigidez o no de las péndolas, sino sobre todo la forma que tiene la sección de contrarrestar los esfuerzos de carácter permanente.
9.1.4.1. Clasificación general.
a) En función del número de anclajes:
2 Véase la Fig. 2.3-23 del puente sobre el río Galindo, para ver un ejemplo en el que la superficie donde se
anclan las bases de las péndolas es de gran complejidad geométrica. 3 Evidentemente, desde un punto A más bajo que la cota superior de la caja de gálibos sólo se puede
atirantar el borde más cercano sin interferir el gálibo.
174
• 3 anclajes4.
• 2 anclajes.
• 1 anclaje.
b) En función de la posición de los anclajes en la sección transversal:
• Axial.
• En bordes.
o En ambos bordes simultáneamente.
o En un borde del tablero recto.
o En borde interior del tablero curvo.
o En borde exterior del tablero curvo.
• En posición intermedia entre el eje y los bordes.
(a) (b) (c)
Fig. 9.1-5.- Ejemplos de tipologías de suspensión: (a) en ambos bordes simultáneamente; (b) con un anclaje en el eje; (c) con un anclaje en el borde interior de un tablero curvo [82].
Estudios de las tipologías de las secciones con uno y dos planos de atirantamiento pueden encontrarse, por ejemplo, en los trabajos de Manterola et al. [46] o Walther [98] para puentes atirantados y en los de Strasky [82] para pasarelas colgadas y atirantadas, incluyendo anclajes al borde.
9.1.4.2. Secciones suspendidas de un borde.
a) En función de la rigidez de los elementos de suspensión:
• Péndolas articuladas.
• Péndolas rígidas.
Las péndolas se estudian en el capítulo 13, y la influencia de su rigidez en el 14.
b) En función de la forma de resistir las acciones permanentes en tableros curvos:
• Con pretensado horizontal interior.
• Suspensión desde elementos rígidos añadidos a la sección.
• Con secciones clásicas.
c) En función de la rigidez torsional de la sección:
• Alta rigidez torsional: secciones cajón5.
4 Si bien el autor sólo tiene constancia de tres casos en los que se hayan dispuesto tres planos de anclajes,
dos propuestos y uno construido. Una propuesta, con fuerte esviaje, es el puente atirantado de Riddes, en Suiza, proyecto de R. Walter (Cable Stayed Bridges [98] pp. 23 y 32) también recogido por Manterola et al. [46]. La otra es uno de los proyectos presentados al concurso del puente del Gran Belt, recogido por Podolny et al. [67]. La estructura construida es el puente Save de Ljubljana, en Eslovenia (Walter, Ibíd.). En estos dos últimos, se aduce que la solicitación más importante del tablero es la flexión transversal y para reducirla se proponen tres líneas de apoyos. Posiblemente existan más casos.
5 A efectos de esta clasificación consideramos el criterio [55] de Martinez Calzón y Ortiz Herrera (Construcción Mixta..., pp. 722 y ss) de considerar como vigas cajón a las cerradas unicelulares (de paredes llenas), semiabiertas (con alguna cara en celosía) y pluricelulares (cuando se combinan tanto células cerradas como semiabiertas)
175
• Baja rigidez torsional: otras disposiciones.
d) En función de la presencia de aligeramientos:
• Sección maciza.
• Sección aligerada, formadas por cables y bielas comprimidas.
(a) (b) (c)
NPZ
NPH
NP α
G
PH NPPH NP
Fig. 9.1-6.- Ejemplos de tipologías de suspensión: (a) con pretensado y alta rigidez torsional; (b) con pretensado y baja rigidez torsional; (c) con suspensión desde elementos añadidos a la sección [82].
Evidentemente, estos criterios de clasificación no son excluyentes entre sí, y así podemos ver pasarelas como la del Deutsche Museum (véase 9.2.3.1) donde se combina el atirantamiento de péndolas articuladas al borde interior con el pretensado horizontal interior en una sección aligerada de baja rigidez torsional
9.2. REALIZACIONES Y ESQUEMAS RESISTENTES.
9.2.1. SECCIONES DE ALTA RIGIDEZ A TORSIÓN.
9.2.1.1. Pasarela de San Juan de la Cruz.
La pasarela de San Juan de la Cruz sobre el río Carrión (Fig. 9.2-1) es de desarrollo circular, con un tablero atirantado al borde exterior desde un mástil con cables de contrarresto. La resistencia a los esfuerzos tanto permanentes como variables se encomienda a su sección metálica cerrada triangular.
Su planta curva está motivada por la necesidad de desarrollo para ganar cota (véase Romo [70]), a fin de poder salvar el desnivel existente entre las márgenes del río Carrión.
Fig. 9.2-1.- Pasarela de San Juan de la Cruz sobre el río Carrrión, en Palencia, proyecto de FHECOR [71]: Vista general y sección transversal, suspendida de su borde exterior.
9.2.1.2. Pasarela del Malecón.
La pasarela del Malecón, en Murcia, consiste en un tablero circular de radio 45 m, de sección cerrada tricelular en cajón metálico de 0.7 m de canto, 5.3 m de ancho y 59 m de luz. Este tablero está atirantado, por su borde interior, desde una torre situada en una isla intermedia en el cauce del río Segura. Es de destacar que los tirantes que refieren los puntos más cercanos a los estribos se anclan más arriba en la pila y viceversa, creando dos superficies regladas de tirantes, de gran interés formal.
176
Fig. 9.2-2.- Pasarela del Malecón sobre el río Segura [44] en Murcia, proyecto de Carlos Fernández Casado, S.L. (1996).
9.2.1.3. Pasarela de Gateshead.
De la pasarela de Gateshead, descrita en 2.3.4.1, mostramos ahora su sección transversal (Fig. 9.2-3): la zona peatonal está formada por una sección en cajón trapecial, de gran rigidez torsional, mientras que la zona de circulación de ciclistas, en el exterior de la curva, está sostenida por una serie de costillas radiales.
Fig. 9.2-3.- Sección transversal de la pasarela de Gateshead. (según G. Clark [16])
9.2.2. SECCIONES PRETENSADAS MACIZAS.
9.2.2.1. Pasarela de Kelheim6.
La pasarela de Kelheim, de 1987, cruza el canal Main-Danubio (Fig. 9.2-5). Su tablero, de hormigón pretensado, está suspendido únicamente de su borde interior, con un radio variable de 18.89 a 37.79 m. Dos pilonos inclinados situados en ambas orillas soportan los cables a los que se conectan las péndolas. Cada pilono se estabiliza por dos cables de contrarresto.
Esta pasarela es una obra pionera, y magistral no sólo desde el punto de vista formal sino sobre todo del resistente. Su propuesta de atirantamiento a un borde ha sido imitada por numerosas obras posteriores, pero su aportación más novedosa, como se muestra a continuación, es su disposición de pretensado horizontal con excentricidad vertical.
Detalles de esta pasarela, aportados por los propios proyectistas, pueden encontrarse en Bögle et al. [13] y Schlaich [77]. Además de los trabajos de Holgate [35], posiblemente el autor que se haya acercado con más profundidad desde el punto de vista conceptual a esta y otras pasarelas atirantadas al borde sea Jiri Strasky, que completa [82], en 2005, su análisis esbozado en [80].
6 Las imágenes de las pasarelas del Deutsches Museum, Kelheim, Sassnitz y Greenville se han tomado de
www.sbp.de (página web de la empresa Schlaich, Bergermann und Partner).
177
PH
H=PH+NPH
bL
bLv
G=PP+CP
eP
NPZ NPH
eH H·eH
G·bLNP
H·eH = G·bL
NPZ=G
Fig. 9.2-4.- Análisis de los esfuerzos permanentes en la sección de la pasarela de Kelheim [13] (Dibujado a partir de Strasky [80], con notación adaptada a la empleada en el texto).
Fig. 9.2-5.- Pasarela de Kelheim. Planta, alzado, sección transversal y perspectiva.
Strasky [80] señala que tanto la geometría como las tensiones iniciales de los cables se proyectaron de tal manera que las componentes verticales de las péndolas NPZ compensaran las cargas permanentes, G (véase la Fig. 9.2-4). Las componentes horizontales de las péndolas NPH junto a las fuerzas radiales de los cables excéntricos de pretensado PH situados cerca de la fibra superior de la sección crean un momento H·eH que equilibra el momento torsor G·bL generado por las cargas verticales.
Por su parte, el propio Schlaich [13], al referirse a esta pasarela, afirma, sin embargo, que la solución en hormigón armado solamente aprovecha totalmente las fibras superiores y que obliga a sostener una gran cantidad de peso muerto. La sección, de hecho, presenta una considerable resistencia a flexión y torsión.
Una evolución natural de esta solución es, como se muestra a continuación, reducir la sección hasta sus elementos básicos, bielas y cables, respectivamente comprimidos y traccionados.
178
9.2.3. SECCIONES PRETENSADAS ALIGERADAS SUSPENDIDAS DEL BORDE INTERIOR.
9.2.3.1. Pasarela del Deutsche Museum.
La pasarela en el interior del Deustche Museum (Fig. 9.2-7), construida en 1998, suspendida del borde interior, reduce y simplifica la sección maciza de Kelheim a dos anillos: uno superior de cables traccionados y uno inferior tubular comprimido. El proyecto es también de Schlaich, Bergermann und Partner.
El esquema resistente se pone de manifiesto en la Fig. 9.2-8, al estudiar el modelo de cálculo de la Fig. 9.2-6.
Fig. 9.2-6.- Pasarela en el interior del Deustche Museum de Munich: modelo de cálculo.
Fig. 9.2-7.- Pasarela en el interior del Deustche Museum de Munich: Alzado lateral, planta, sección transversal y perspectiva.
179
ANILLO DE TRACCIÓN
ANILLO DE TRACCIÓN
ANILLO DE COMPRESIÓN
ANILLO DE COMPRESIÓN
BORDE INTERIOR
BORDE INTERIOR
Fig. 9.2-8.- Pasarela en el interior del Deustche Museum de Munich: se indican las posiciones de los anillos comprimido y traccionado de compensación del torsor.
Fig. 9.2-9.- Tablero circular suspendido con anillo inferior comprimido y pretensado horizontal excéntrico, según Strasky [82].
9.2.3.2. Pasarela de Sassnitz.
Los 119 m centrales de la pasarela de Sassnitz (Fig. 9.2-10), también proyecto de J. Schlaich, están formados por un puente curvado suspendido de su borde interior. Su longitud total es de 243 m, se eleva 18 m y conecta la bahía con el centro de la ciudad.
Fig. 9.2-10.- Pasarela en Sassnitz. (Fecha prevista de terminación en 2007)
Fig. 9.2-11.- Tablero circular suspendido con elementos rígidos adosados al borde, según Strasky [82].
180
A nuestros efectos, lo más interesante de este proyecto es el atirantamiento del tablero mediante elementos rígidos adosados al borde del tablero, ya visto en la Fig. 9.1-6 (c), y cuyo esquema resistente se muestra en la Fig. 9.2-11, extraída de los trabajos de Strasky.
9.2.4. SECCIONES PRETENSADAS ALIGERADAS SUSPENDIDAS DEL BORDE EXTERIOR.
9.2.4.1. Pasarela sobre el río Reedy en Greenville.
ANILLO DE TRACCIÓN
LOSA DE COMPRESIÓN
CELOSÍA DE RIGIDEZ
ANILLO DE TRACCIÓN
Fig. 9.2-12.- Pasarela sobre el río Reedy en Greenville (Carolina del Sur, EE. UU.) Terminada en 2004. Sobre la figura se identifican los principales elementos resistentes.
Proyecto también de Schlaich, la pasarela mide 130 m de largo y 3.70 m de ancho. Está suspendida en su borde exterior mediante una serie de péndolas ancladas a su vez en un único cable de suspensión. Éste está sostenido por dos pilonos inclinados metálicos de sección variable, estabilizados mediante cables inclinados de contrarresto.
Una celosía perimetral bajo el borde exterior proporciona la rigidez necesaria. La losa mide 7 pulgadas de canto. La torsión producida en el tablero por la suspensión de un borde se equilibra por un anillo inferior de cables pretensados. La fuerza de desvío hacia el interior del axil de tracción de estos cables se combina con la fuerza de desvío hacia el exterior de compresión en la losa superior para equilibrar la torsión en el tablero.
9.3. LA SECCIÓN DEL PUENTE ARCO ESPACIAL SUSPENDIDA AL BORDE.
9.3.1. BORDE DE ANCLAJE.
9.3.1.1. Atirantados y colgantes curvos.
Strasky [82] desaconseja, en puentes atirantados y colgantes, atirantar al lado exterior del tablero curvo (a pesar de que reconoce la sensación de seguridad que produce) por dos razones fundamentales:
1.- En primer lugar, porque se producen flexiones transversales en el tablero muy altas. Según dicho autor7, aunque las componentes verticales de los cables anclados en el exterior pueden reducir los torsores, las horizontales provocan, sin embargo, momentos significativos en el tablero.
Al estudiar el puente del club de golf de Rosewood (Fig. 9.3-1) en Japón8, de 1993, afirma que el anclaje en el borde exterior ayuda a reducir el torsor, pero que, sin embargo, los momentos transversales causados por la excentricidad de los anclajes de los cables alcanzan valores considerables. Dicha excentricidad de los anclajes se reduce por la inclinación del pilono.
7 Op. Cit, pp. 156 y ss. 8 Op. Cit, pp.217-218
181
2.- En segundo lugar, porque resulta más complicado encontrar una disposición de pretensado que ayude a compensar, o por lo menos atenuar, los efectos de las cargas permanentes, algo que no ocurre, como hemos visto, en los atirantados al borde interior.
Strasky parece sólo considerar como adecuado este tipo de atirantamiento en rampas curvas que se fundan en un solo tablero, como es el caso de las rampas de acceso de la pasarela de las Glorias Catalanas9, en Barcelona, proyecto de 1974 de Carlos Fernández Casado, S.L.
(a)
(c)
(b)
(d)
(e)
(f)
Fig. 9.3-1.- Puente del club de golf de Rosewood: (a) alzado, (b) planta, (c) sección transversal, (d) alzado de la torre, (e) y (f) secciones transversales de coronación y base de la torre, respectivamente, según Strasky [82].
9.3.1.2. Arcos espaciales.
Sin embargo, esto no es del todo cierto en el caso de tableros de puentes arco espaciales, por las siguientes razones:
1.- En primer lugar, existen pasarelas, como la pasarela sobre el río Reedy (véase el apartado 9.2.4.1), que se atirantan al borde exterior, y que presentan una sección aligerada, con una disposición de pretensado tan sencilla como las atirantadas al interior.
Además, presenta la ventaja de comprimir la cara superior, con lo que la alternativa mixta con losa superior de hormigón cobra interés.
2.- En el arco espacial, los axiles en el tablero en general son fuertes, como se ha visto: si la curvatura del tablero es baja, éste recibe axil trabajando como tirante de un arco bow-string; si es alta, el axil del tablero viene de su trabajo a flexocompresión como arco en planta, por lo que la influencia de la flexión transversal es menor.
3.- Las cargas horizontales que actúan sobre el tablero no son concurrentes en un punto (la cabeza del mástil de anclaje) como en el caso de los puentes atirantados, sino que se anclan en el arco, con lo que tales cargas son bastante más paralelas entre sí.
4.- Pero sobre todo, en general, la posición que ocupa el arco con respecto al tablero debe ser en general intermedia, con lo que las cargas horizontales cambian de signo10 y la flexión transversal se puede controlar bastante bien. Ya hemos visto (capítulo 4) que la flexión transversal crece excesivamente en el arco si todas las péndolas quedan del mismo lado del arco.
9 Op. Cit, pp.216-217. Además, nos permitimos llamar la atención sobre lo temprano de esta obra singular
en España. 10 Esto no es estrictamente indispensable, pero sí muy recomendable para controlar tanto las flexiones
como la deformabilidad transversal de los arcos espaciales.
182
En principio, por lo tanto, no parece que el arco espacial tenga un borde de atirantamiento del tablero claramente más perjudicial que el otro11.
9.3.2. RIGIDEZ DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL.
Con respecto a la sección transversal del tablero del puente arco, entra en juego un factor que no se ha considerado hasta ahora en las secciones descritas en el presente capítulo, correspondientes fundamentalmente a puentes atirantados y suspendidos, como es su rigidez con respecto a la sección del arco.
El funcionamiento conjunto arco-tablero se estudia por ejemplo en los trabajos de Menn [59], Siegrist [78] o Manterola et al. [46], y expresan cómo el comportamiento del arco no es independiente de las características del tablero.
De modo simplificado, los esfuerzos en el arco ante las sobrecargas suelen responder a la expresión12:
TA
AA II
IMM+
⋅= [9.1]
TA
TT II
IMM+
⋅= [9.2]
Donde MA y MT son los momentos en el arco y tablero, respectivamente, M es la solicitación general, IA e IT son las inercias de arco y de tablero.
Esta formulación presenta dos casos límite, que son el tablero articulado en las uniones con los montantes del arco, donde la rigidez la aporta el arco y el arco laminar con tablero de rigidez, donde la rigidez a flexión la aporta el tablero (véase por ejemplo, Siegrist [78] ó Billington [11], y sobre todo Laffranchi y Marti [40]).
Por otra parte, otra idea que se pone de manifiesto en las secciones transversales es que, en realidad, secciones que están muy depuradas y reducidas al mínimo número de elementos resistentes (como las mostradas en el apartado 9.2) es muy probable que puedan serlo porque están vinculadas a elementos muy rígidos, como son las coronaciones de las pilas de atirantamiento, a su vez convenientemente rigidizadas por sus cables de contrarresto, y donde las sobrecargas no son excesivas.
Así, al margen de la validez de las expresiones anteriores, forzosamente simplificadas, y válidas en principio sólo en arcos planos, si se desea utilizar la sección transversal del tablero como un modo de controlar el comportamiento conjunto arco-tablero, salvo que el arco sea un elemento lo suficientemente rígido, parece inevitable dotar de cierta rigidez a la sección del tablero.
Parece además, razonable, debido al hecho de la interferencia del atirantamiento con los gálibos del tablero, que dicha sección, de cierta rigidez, esté además atirantada en uno sólo de sus bordes. Por supuesto, en cualquier caso, siempre nos queda la posibilidad de recurrir al pretensado de la misma.
Son estas consideraciones las que nos hacen estudiar a continuación los tableros formados por secciones apoyadas en un borde, sin pretensado, primero desde un punto de vista teórico, para realizar después un estudio en función de los parámetros, tanto geométricos como resistentes, que definen su comportamiento.
11 Las consecuencias de atirantar un tablero curvo en uno u otro borde se estudian en los capítulos 11 y 12. 12 Menn, op.cit. pp.389 y ss.
183
CAPÍTULO 10
10 ESTUDIO TEÓRICO DEL DESPLAZAMIENTO TRANSVERSAL DE LOS APOYOS DEL TABLERO.
10.1. INTRODUCCIÓN.
10.1.1. NECESIDAD DEL DESPLAZAMIENTO TRANSVERSAL DE LOS APOYOS.
Hemos visto en el capítulo anterior cómo, en general, no se puede suspender o atirantar un tablero curvo inferior en su eje debido a la interferencia con los gálibos.
En esencia el problema se reduce a obtener las perturbaciones que en las distribuciones de esfuerzos ya obtenidas producen en el tablero (y si mantenemos las posiciones relativas de tablero y arco, también en éste) las acciones de las péndolas actuando con excentricidad de valor bL, que corresponde a la distancia horizontal entre el centro de gravedad del tablero y el nudo de anclaje de la péndola. La distancia bL se mide perpendicularmente a la directriz. El centro de gravedad de tablero se ha supuesto coincidente con el centro de esfuerzos cortantes.
La incógnita es pues determinar cómo evolucionan los axiles de las péndolas: si se consigue establecer un modelo de su distribución, el que se acote la influencia de los parámetros que influyen en ella, se puede conocer el estado de solicitaciones del dintel a partir del conocido de una viga de planta arbitraria apoyada en su eje.
10.1.2. EL MÉTODO DE LOS NUDOS DESPLAZADOS.
Para el análisis teórico del tablero con los apoyos desplazados lateralmente se propone un método que hemos denominado método de los nudos desplazados, que permite determinar, de modo directo, la distribución de reacciones en un tablero de planta arbitraria en el que se ripan los apoyos perpendicularmente a la directriz.
El método parte de los resultados de un modelo auxiliar del tablero en que no se modelizan los apoyos desplazados y las barras que los refieren a la directriz, sino que se sustituyen por dos acciones puntuales cada uno. El método construye un sistema de ecuaciones aplicando el principio de superposición, en las que las incógnitas son los valores de las reacciones.
La formulación propuesta considera la deformabilidad equivalente de los diafragmas de apoyos y la posibilidad de disponer apoyos elásticos. En los cálculos realizados el método ha presentado la suficiente precisión como para tomar decisiones tipológicas basadas en él.
El método no supone ninguna ventaja a la hora de analizar una sola geometría, porque este caso se resuelve con un sencillo emparrillado. La ventaja estriba en que una vez realizado el modelo auxiliar de tablero, el método propuesto permite realizar estudios paramétricos de modo muy cómodo, ya que el algoritmo es fácilmente programable.
Asimismo, y sobre todo, el método pone de manifiesto muy claramente todos los mecanismos resistentes que se movilizan al desplazar los apoyos, así como su importancia relativa, en una compacta notación matricial, de fácil implementación en un ordenador personal.
Una de las posibilidades posiblemente más fecundas del método de los nudos desplazados es también la posibilidad de establecer iterativamente distribuciones de distancias de desplazamiento de apoyos con el objeto de alterar deliberadamente las leyes de esfuerzos de la estructura.
En este caso, para aplicar el método es necesario modelizar al menos una directriz. Pero ésta se mantiene constante, porque viene dada por el trazado y es dato. Por lo tanto, la incógnita es la distribución de desplazamientos en los apoyos, que son precisamente los datos del algoritmo y muy rápidos de iterar.
184
10.2. MÉTODO DE LOS NUDOS DESPLAZADOS: ANÁLISIS TEÓRICO.
10.2.1. EL VANO AISLADO CON UN APOYO CENTRAL.
En el esquema resistente de la Fig. 10.2-1 se plantea el caso más sencillo de apoyo desplazado lateralmente, que es la barra recta de luz L con un apoyo en el centro desplazado lateralmente una distancia bL. En el ejemplo que mostramos los apoyos extremos están liberados a flexión y empotrados a torsión. El apoyo en D es un apoyo simple, que sólo coacciona el desplazamiento vertical del nudo. Las barras CD y ACB son perpendiculares entre sí.
El desplazamiento lateral de los apoyos se realiza siempre según la normal a la directriz. Una vez fijado el sentido de avance de la directriz, el lado al cual se desplaza el apoyo queda definido por el signo de bL.
En general, el valor de la reacción vertical en el nudo D, RD, cambiará con respecto al de la viga de dos vanos con apoyo en C. Podemos obtener el valor de RD con la condición de que la flecha vertical en este punto sea nula.
Si liberamos el apoyo en D e introducimos en la barra AB una serie de cargas exteriores Pext, el nudo C desciende y gira frente a las acciones externas, y con él arrastra al nudo D. Dado que la barra CD no está cargada se puede expresar el desplazamiento vertical del nudo D, )(Pv extD , exclusivamente en función del desplazamiento vertical y del giro del nudo C, )(Pv extC y )(Pθ extC , respectivamente:
)(Pθb) (Pv)(Pv extCLextCextD ⋅+= 1 [10.1]
bL
L/2
L/2
Pext
A
C
D
B
Fig. 10.2-1. Barra recta de luz L con apoyo en el centro desplazado lateralmente una distancia bL. En la figura se representa una distribución arbitraria Pext de cargas exteriores sobre la directriz AB .
Al introducir una reacción ascendente RD en el nudo D, sobre el nudo C se introduce una carga vertical ascendente y un momento torsor, de valor DRb ⋅L , con lo que se moviliza la rigidez a torsión de la barra AB y la de flexión, EICD, de la barra de apoyo CD , según la figura Fig. 10.2-2.
Tablero
Barra diafragma
Tablero
bL
Pext
RD
vC D C
RD·bL
Pext
vC C
(a) (b)
θD θC
RD
=
Fig. 10.2-2.- Sección y deformada por el centro de la barra CD .
1 En todo el proceso se supone que sen(θ) ≈ θ, y, que, por lo tanto, los giros son lo suficientemente
pequeños, con lo que el movimiento del nudo D es exclusivamente vertical.
185
Al introducir la carga RD se provoca en el nudo C una flecha )(Rv DC y un giro )(Rθ DC de valores:
,rv
DDC
CKR)(Rv = [10.2]
,mθ
DLDC
CK
Rb)(Rθ ⋅= [10.3]
donde ,rvCK expresa la rigidez al desplazamiento vertical en el nudo C ante una carga vertical
unitaria, r, y ,mθCK expresa la rigidez al giro en el nudo C ante un torsor unitario localizado, m.
Si no consideramos la deformabilidad de la barra CD , el giro del nudo C provoca en el extremo de la barra, de longitud bL, una flecha en el nudo D de valor
,mθ
DLcLCD
CK
Rbθb)(θv ⋅=⋅=∆
2
[10.4]
Además, debido a la propia deformabilidad a flexión de la barra2 CD , se produce una flecha v∆ y un giro relativo Cθ∆ entre sus extremos ([10.5] y [10.6]).
D C
RD
bL·RD
bL
CD
DL
·EIRbθ
2
2 ⋅=∆ [10.5]
CD
DL
·EIRbv
3
3 ⋅=∆ [10.6]
por lo tanto, la deformada total en el nudo D debido a la reacción RD es, a partir de las ecuaciones anteriores:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅=
CD
L
,mθ
L
,rvDDD ·EI
bKb
KR)(Rv
CC3
1 32
[10.7]
Si ahora imponemos que la deformada total en el nudo D ha de ser nula, es decir,
0=+= )(Rv)(Pvv DDextDD [10.8]
se puede despejar el valor de RD de las ecuaciones anteriores, resultando:
CD
L
,mθ
L
,rv
extCLextCD
·EIb
Kb
K
)(Pθb) (PvR
CC3
1 32
++
⋅+−=
[10.9]
De la ecuación [10.9] se desprenden una serie de consecuencias que merece ya la pena resaltar, siempre refiriéndonos a la viga recta con un solo apoyo:
2 Realmente, la rigidez EICD es una medida ficiticia de la deformabilidad del diafragma de apoyos. El valor
al que se refiere el texto es un valor que representa dicha deformabilidad ante una carga en un extremo supuesta la barra CD de inercia constante y sin deformación por cortante.
186
• La reacción en el apoyo es siempre menor que en el caso de apoyo centrado y disminuye, en general, según aumenta la distancia de desplazamiento, bL.
• Se produce pues transferencia de reacciones de los apoyos centrales a los estribos.
• Esta reacción es directamente nula si la viga no tiene rigidez a torsión o si el giro torsional está liberado en los extremos. En este caso, la viga flecta directamente con la luz L.
• Si bL=0, es decir, si el apoyo está centrado en la sección, la fórmula anterior queda )(PvKR extC,rvD C
⋅= , que es la ecuación clásica, en la que la reacción compensa exactamente la flecha hasta anularla.
• En el denominador se pone de manifiesto que la deformación de la viga depende directamente de su rigidez torsional, algo que no ocurre en vigas rectas con apoyos centrados.
• Asimismo el denominador muestra que es muy importante garantizar la indeformabilidad transversal de los diafragmas de apoyo. En efecto, si ∞→EI , su efecto desaparece, independientemente del valor de bL.
• El nudo C de la directriz, correspondiente al apoyo desplazado D, sufre un momento torsor localizado igual al producto de la reacción RD por la distancia de desplazamiento.
10.2.2. COMPROBACIÓN NUMÉRICA.
El valor de la reacción se ha calculado en dos casos, para la estructura indicada en la Fig. 10.2-3, con las secciones de acero estructural indicadas en la Fig. 10.2-4. No se ha considerado para este ejemplo ninguna reducción por arrastre por cortante de las dimensiones de las secciones.
bL
L/2
L/2A
C
D
B
RD
Sección AB
Pext=-100 KN
Sección CD
Fig. 10.2-3.- Ejemplo numérico de viga recta con un apoyo central.
Fig. 10.2-4.- Secciones de las barras CD y AB empleadas en el cálculo.
187
Las características mecánicas de las secciones de la figura son las siguientes: Sección CD : Sección AB : Material:
Ω = 0.0394 m2
I = 4.459·10-3 m4.
Ω = 0.0908 m2
I = 0.010766 m4.
J = 0.0282 m4.
Acero estructural.
E = 2.1·105 MPa.
ν = 0.3
Para una viga simplemente apoyada con una carga puntual unitaria en el centro, la flecha resulta
EILvC ⋅
=48
3
por lo que la rigidez al desplazamiento vertical es 348
LEIK ,rvC
⋅=
Análogamente para un torsor unitario en el centro de la luz resulta GJLθC ⋅
=4
y la rigidez al giro es LGJK ,mθC
⋅=
4 .
Si hacemos L=8 m y bL=2 m, sustituyendo los valores anteriores en la expresión [10.9] de la reacción RD se obtiene la expresión:
KN6.42108447.2105125.3107180.4
02 4.718·10-103·9.364
8101.1388
42.11956·10
102 4.718·10-
666
4-
565
-4
=⋅+⋅+⋅
⋅+−=
=
⋅+
⋅+
⋅+−=
−−−
DR
que da un valor de la reacción de 42.6 KN, en lugar de los 100 KN, valor que concuerda con el obtenido en el modelo, según la figura Fig. 10.2-5.
Se han desglosado deliberadamente los valores numéricos del denominador donde se aprecia la importancia de la rigidez torsional y de la deformabilidad de los diafragmas de apoyo.
Fig. 10.2-5.- Reacciones en apoyos, para L=8.00 m y bL=2.00 m. RD=42.59 KN
Para bL=3, el valor de la reacción es
22.216113.9109031.7107180.4
02 4.718·10-103·9.364
27101.1388
92.11956·10
102 104.718-
666
4-
565
-4
=+⋅+⋅
⋅+−=
=
⋅+
⋅+
⋅+⋅−=
−−−
DR
valor éste de 21.22 KN, que concuerda asimismo con los resultados del modelo de la Fig. 10.2-6.
188
Fig. 10.2-6.- Reacciones en apoyos, para L=8.00 m y bL=3.00 m. RD=21.22 KN.
10.2.3. EL VANO AISLADO CON UN APOYO CENTRAL ELÁSTICO.
Si en el nudo D ahora se coloca un apoyo elástico de rigidez vertical KP, obtenemos el valor de la reacción de la misma manera que en el apartado anterior con la condición adicional (imponiendo compatibilidad de deformaciones) de que la flecha del nudo de apoyo D debe ser igual a la deformación del extremo del tirante.
En el caso de la figura, en el que el tablero está suspendido en uno de sus laterales de un arco mediante una péndola vertical, la rigidez KP se refiere a la rigidez conjunta del sistema arco-péndolas al movimiento vertical de la base de dicha péndola.
Anclaje
Diafragma
Péndola
Arco
RD
NP=RD
D CbL
Tablero
Fig. 10.2-7.- Sección transversal: Tablero suspendido en un borde lateral de un arco mediante una péndola vertical.
La tracción NP en el extremo de la péndola es igual y contraria a la reacción RD en el nudo de apoyo (de anclaje) en el tablero. Si la deformación vertical del extremo base de la péndola, D, es
P
D
P
PZT K
-RKNv == [10.10]
se debe verificar
ZTDDextDD v)(Rv)(Pvv =+= [10.11]
por lo que se obtiene la nueva expresión de RD, que resulta
PCD
L
,mθ
L
,rv
extCLextCD
K·EIb
Kb
K
)(Pθb) (PvR
CC
13
1 32
+++
⋅+−=
[10.12]
189
y que añade a la expresión de RD de [10.9] la influencia de la rigidez KP del sistema de atirantamiento arco-péndola en el valor de la reacción del apoyo desplazado.
No por conocido deja de ser interesante destacar que a igualdad del resto de variables, la rigidez de un cable es directamente proporcional a su rigidez a axil (E·ΩP) e inversamente proporcional a su longitud, por lo que, para el mismo material, cables cortos y de gran área producen mayores valores de las reacciones que cables largos y de área menor.
10.2.4. EL TABLERO RECTO CON VARIOS APOYOS DESPLAZADOS LATERALMENTE.
En caso de que haya varios apoyos desplazados simultáneamente, el proceso de determinación de la reacción en cada apoyo puede generalizarse de manera análoga al proceso descrito para un apoyo único.
Sean D1 a Dn los n apoyos desplazados transversalmente una serie de distancias bL1 a bLn, correspondientes a los n nudos Ci centrados en la directriz, según la Fig. 10.2-8.
En el caso más general, las distancias bLi pueden ser diferentes entre sí (lo que queda definido por su valor absoluto) y quedar a distintos lados de la directriz (en función de su signo).
En la formulación que sigue se ha seguido el criterio de que bLi es positivo si al producirse un giro positivo en su nudo Ci, se produce flecha positiva en su nudo Di.
Análogamente al caso de un apoyo aislado, el tablero se somete a un conjunto de acciones exteriores Pext. Estas acciones no actúan nunca sobre las barras transversales iiDC , sino solamente sobre la directriz.
RD1
RDi-1
RDi
RDi+1
RDn
bL1
bLi-1
bLi
bLi+1
bLn
D1
Di-1
Di
Di+1
Dn
C1
Ci-1
Ci
Ci+1
Cn
A
B
Fig. 10.2-8.- Tablero recto con varios apoyos desplazados simultáneamente. Los apoyos A y B están libres a flexión y empotrados a torsión.
Si liberamos las coacciones en los apoyos y cargamos la directriz con las acciones Pext, se puede expresar la deformación de un nudo desplazado Di en función exclusivamente de los movimientos de su nudo centrado correspondiente Ci.
)(Pθb) (Pv)(Pv extiCiLextCextiD i⋅+= [10.13]
La flecha del mismo nudo Di debida a la actuación simultánea de las n reacciones Rj es
)R RRR R(Rv)R(njjj-i DDDDDDiD
n
jDiD +++++++=
+∑=
KK1121
1
v [10.14]
y suponiendo comportamiento elástico lineal, y por lo tanto, aplicable el principio de superposición, [10.14] queda:
)(Rv) (Rv)(Rv)(Rv )(Rv)(Rv)R(vnjjj-i DiDDiDDiDDiDDiDDiD
n
jDiD +++++++=
+∑=
KK1121
1[10.15]
190
RD1
bL1·RD
C1
B
A
RDj-1
bLj-1·RDj-1
Cj-1RDj
bLj·RDj
Cj RDj+1
bLj+1·RDj+1
Cj+1RDn
bn·RDn
Cn
Fig. 10.2-9.- Torsores asociados a las reacciones en los nudos desplazados lateralmente de la Fig. 10.2-8. En la figura todos los nudos se han desplazado al mismo lado de la directriz, por lo que los torsores tienen todos el mismo signo.
Cada una de estas reacciones RDj introduce en el nudo Cj un torsor bLj· RDj, (Fig. 10.2-9), con lo que la flecha vertical del nudo Di debido a la reacción Rj, cuando i ≠ j, se puede expresar:
)R(bθb)(Rv)(Rvjj DjiCiLDiCDjiD ⋅⋅+= [10.16]
Introduciendo una reacción arbitraria3 rj tal que jjD rαRj
⋅= podemos expresar la ecuación
anterior como:
][ )(mθbb)(rv)(rv)(Rv jiCjLiLjiCjjiDjDjiD ⋅⋅+⋅α=⋅α= [10.17]
donde )(mθ jiC corresponde al giro en el nudo Ci ante un torsor mj unitario (es decir, el torsor mj es el que produce rj haciendo bLj=+1).
O, introduciendo una notación más general, análoga a la del caso del apoyo aislado:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+⋅⋅=
ji
i
ji ,mθ
LjL
,rvjjDjiD K
bbK
rα)(Rv 1 ; para i ≠ j [10.18]
donde ji ,rvK
1 es el desplazamiento vertical del nudo Ci ante una carga vertical rj en el nudo Cj, y,
análogamente, ji ,mθK
1 es el giro del nudo Ci ante un torsor mj en el nudo Cj.
Para el caso de que i=j, la expresión que vincula la flecha del nudo Di, cuando sobre él actúa la reacción DiR es la que ya hemos visto en el caso del apoyo aislado, y posteriormente ampliado para el caso de apoyo elástico de rigidez al movimiento vertical KPi. La ecuación [10.12] queda así reescrita incorporando la doble indexación en i y j, además de la nueva notación en la que se definen αj y rj:
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+++⋅⋅=
iPCD
iL
,mθ
iL
,rviiDjiD K·EI
bKb
Krα)(Rv
iiiii
13
132
; para i = j [10.19]
Es de destacar que, en el sumando que expresa la deformabilidad de los diafragmas, la expresión de bLi va expresada en valor absoluto, debido a que una carga ri positiva provoca incremento de flecha,
3 El valor de rj puede ser perfectamente una carga vertical unidad. La única razón por la que no se define
así expresamente es por motivos numéricos: si el método se implementa en un ordenador personal, introducir una carga unidad puede dar lugar a valores muy pequeños de flechas o giros y generar sistemas de ecuaciones mal condicionados. Por lo tanto, en la implementación del método resulta más adecuado buscar una serie de valores rj con la condición de garantizar el buen condicionamiento del sistema en el ámbito de los resultados esperables.
191
independientemente del signo de bLi. La formulación en valor absoluto permite, si se desea, emplear valores negativos (descendentes) de ri.
10.2.5. METODOLOGÍA DE CÁLCULO Y SOLUCIÓN GENERAL PARA EL CASO DE TABLERO RECTO CON VARIOS APOYOS DESPLAZADOS.
Seguidamente se describe un método de obtención directo y sistemático de los coeficientes αi.
Para ello, lo más práctico es construir un modelo auxiliar (Fig. 10.2-10) de acuerdo con los pasos descritos a continuación. Es muy importante destacar que es el modelo auxiliar es el mismo para cualquier distribución de distancias de desplazamientos de apoyos, rigideces de apoyos elásticos o deformabilidades equivalentes de diafragmas.
a) Una vez definido el criterio de signos, se parte de los datos que definen tanto las magnitudes y sentidos de desplazamiento,
iLb , la rigidez equivalente a flexión de los diafragmas de apoyo, EICDi, y la rigidez, en su caso, de los apoyos elásticos, KPi. Como se ha citado, el signo del desplazamiento transversal de cada nudo,
iLb , debe ser tal que se produzca incremento de flecha en el extremo del nudo desplazado, Di, cuando el giro en el nudo centrado correspondiente, Ci, es positivo.
b) En el modelo auxiliar se modeliza el tablero con su geometría, acciones Pext y resto de apoyos que no han sido desplazados lateralmente.
Las barras iiDC que vinculan los apoyos desplazados Di con los centrados Ci no se modelizan, ni tampoco los apoyos Di, que quedarían desvinculados del tablero. Sin embargo, como se verá, sí es necesario disponer un nudo del modelo en la posición de los nudos Ci (o por lo menos un punto de salida de resultados).
c) En dicho modelo se introducen dos acciones en cada uno de los nudos Ci:
• Una carga ri vertical arbitraria, que como se ha visto, la única condición que debe verificar es que no provoque un mal condicionamiento de las matrices de coeficientes del sistema que se resolverá después.
• Un momento torsor localizado de valor mi, es decir, el que provocaría la reacción anterior ri si se hace bLi=+1.
d) Para cada nudo i se resuelve la ecuación:
01
=+⋅∑=
)(PvαV extDj
n
jij i
[10.20]
Con lo que se construye y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+
+
+
)(Pv
)(Pv)(Pv)(Pv
)(Pv
α
ααα
α
)(rv)(rv)(rv)(rv)(rv
)(rv)(rv)(rv)(rv)(rv
)(rv)(rv)(rv)(rv)(rv
extD
extD
extD
extD
extD
n
j
j
j-
nDjDjDj-DD
nDjDjDj-DD
nDjDjDj-DD
n
j
j
j-
nnnnn
iiiii
L
L
L
L
LL
K
LL
K
LL
1
1
1
11111
1
1
1
111
111
111
[10.21]
Cada elemento del vector de términos independientes se define en [10.13] en función de los movimientos de los nudos centrados correspondientes:
)(Pθb) (Pv)(Pv extiCiLextCextiD i⋅+= [10.22]
Cada elemento Vij de la matriz V de coeficientes resulta (véanse [10.18] y [10.19]).
192
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+++⋅
≠⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+⋅
==
jiK·EI
bKb
Kr
jiK
bbK
r
)(r vV
iPCD
iL
,mθ
iL
,rvi
,mθ
LjL
,rvj
jDiij
iiiii
ji
i
ji
13
1
1
32
[10.23]
[10.24]
con lo que V se puede desglosar en cuatro matrices, en la que cada una determina la influencia relativa de cada mecanismo resistente, en el orden en que aparecen en [10.24]:
• La flexibilidad vertical del tablero, que depende de la rigidez a flexión. Aparece siempre y es la única que aparece en el caso tradicional de apoyos centrados fijos. Coincide con la matriz de flexibilidad de la estructura (véase por ejemplo, Martí [54]) cuando se aplica el método de las fuerzas, considerando las reacciones verticales RDi como incógnitas hiperestáticas y cuando las cargas ri son unitarias.
• El giro del tablero, que depende de su rigidez torsional. Es nula en el caso particular de los apoyos centrados, en los que 0=iLb .
• La deformabilidad de los diafragmas, que depende de su rigidez equivalente a flexión. Es nula en el caso de que los diafragmas puedan considerarse indeformables o en el caso de apoyos centrados.
• La presencia de apoyos elásticos. La matriz será nula en el caso de apoyos fijos.
La formulación de la matriz V se detalla en la Tabla 10.2-1 para el caso de tableros rectos.
r1
m1
C1
B
A
rj-1
mj-1
Cj-1rj
mj
Cj rj+1
mj+1
Cj+1 rn
mn
Cn
RD1
RDj-1
RDj
RDj+1
RDn
(a) (b)
Pext Pext
C1
Cj-1
Cj
Cj+1
Cn
D1
Dj-1
Dj+1
Dn
Fig. 10.2-10.- (a) Modelo real; (b) Modelo auxiliar con los esfuerzos ri y mi a introducir en los nudos desplazados del modelo auxiliar para la aplicación del método. Este segundo modelo, forzosamente, ha de ser estable, lo que normalmente se verifica, pues los estribos suelen estar empotrados a torsión.
e) Una vez obtenido αj, los valores de las reacciones serán
jjDj r αR ⋅= [10.25]
y los de los torsores que actúan en los nudos serán
bj·RDj [10.26]
El estado buscado de la estructura será el correspondiente a la actuación simultánea de Pext y de las reacciones con sus torsores asociados.
Si la solicitación de la estructura es S, S(Pext) para el conjunto de cargas exteriores y S(RDi) para cada reacción, la solicitación de la estructura será:
∑∑ ⋅++=n
Dii
n
Diext )RS(b)S(R) S(PS11
[10.27]
donde el tercer sumando corresponde al efecto de los torsores generados por las reacciones.
193
Matriz que considera la flexibilidad vertical: los elementos de la columna j son las flechas verticales de los nudos i al actuar en el nudo Cj la carga vertical rj. (Simétrica por teorema de reciprocidad)
V= +
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+
+
+
+
+
+
nnjnjnj-nn
nijijij-ii
njjj-
,rvn
,rvj
,rvj
,rvj-
,rv
,rvn
,rvj
,rvj
,rvj-
,rv
,rvn
,rvj
,rvj
,rvj-
,rv
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
Kr
11111
11111
11111
111
111
11111111
111
111
111
LL
K
LL
K
LL
Matriz que considera la rigidez torsional del tablero: los elementos de la columna j son los giros de los nudos i al actuar en el nudo Cj el torsor mj, ponderados por el producto jLiL bb ⋅ . (Simétrica por teorema de reciprocidad y además por conmutatividad de iLjLjLiL bbbb ⋅=⋅ )
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⋅⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⋅⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⋅⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⋅⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+
−
−
−
nnjnj-nn
nijij-ii
njj-
,mθnLn
,mθjLnLj
,mθjLnLj-
,mθLnL
,mθnLiLn
,mθjLiLj
,mθjLiLj-
,mθLiL
,mθnLLn
,mθjLLj
,mθjLLj-
,mθL
Kbr
Kbbr
K··bbr
Kbbr
Kbbr
Kbbr
K·bbr
Kbbr
Kbbr
Kbbr
Kbbr
K·br
1111
1111
1111
21111
1111
11111211
11
11
111111
LL
K
LL
K
LL
Matrices que consideran la deformabilidad de los diafragmas de apoyo y la presencia de apoyos elásticos (Con elementos no nulos sólo en las diagonales principales).
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅
+
n
j
i
n
i
Pn
Pi
P
CD
nLn
CD
iLi
CD
L
Kr
Kr
Kr
EIb
r
EIb
r
EI
br
10
1
01
30
3
03 1
3
3
3
11
1
O
O
O
O
[10.28]
Tabla 10.2-1.- Formulación detallada de la matriz V de coeficientes del método de los nudos desplazados para tableros rectos.
10.2.6. COMPROBACIÓN NUMÉRICA.
Según se muestra a continuación, los valores de las reacciones que se obtienen aplicando este
194
método resultan lo bastante precisos para su uso práctico en la determinación de las reacciones de los apoyos4.
Se ha calculado el modelo de la figura Fig. 10.2-8 con las mismas secciones que en la Fig. 10.2-4, y los resultados son los que se muestran en la tabla. Se han calculado dos modelos, con y sin diafragmas indeformables (modelos A y B, respectivamente).
Asimismo, se han calculado las reacciones para un tercer y cuarto modelos con variación lineal de la distancia de apoyo, entre +2 y –2m, con apoyos deformables (modelo C) e indeformables (modelo D).
En todos los casos, la hipótesis de comprobación es una sobrecarga uniformemente repartida de –10 KN/m (descendente). En total, la sobrecarga es de 240 KN en los 24 m cargados. Es de destacar que para los cuatro cálculos sólo es necesario introducir un único modelo de la directriz con apoyos empotrados a torsión y con las cargas descritas en la metodología. Los cuatro modelos que se muestran no son necesarios y sólo se han realizado para verificar la bondad de los resultados.
Datos del método: Resultados bLi EICDi KPi rj Método Modelo A Error
Apoyo [m] [KN·m2] [KN/m] [KN] αj RDi [KN] RDi [KN] [%]
1 0.3125 31.25 31.19 -0.19
2 0.4008 40.08 40.16 0.20
3 +2 936 324.54 ∞ + 100 (↑) 0.4121 41.21 41.19 -0.05
4 0.4008 40.08 40.16 0.20
5 0.3125 31.25 31.19 -0.19 Totales: 183.65 183.89 0.13
1
2
3
4
5
Fig. 10.2-11.- Reacciones en modelo A de ejemplo resuelto. (Diafragmas deformables con sección CD)
4 Como se citaba anteriormente, en todo el proceso se supone que sen(θ) ≈ θ, y, que, por lo tanto, los giros
son lo suficientemente pequeños. Esta simplificación no afecta a la precisión del método para los casos mostrados. Se han recalculado los modelos A a D considerando el seno del ángulo en lugar de éste en la formulación de [10.28]. Los resultados obtenidos de αi coinciden en los cuatro decimales mostrados para todos los casos.
195
Datos del método: Resultados bLi EICDi KPi rj Método Modelo B Error
Nudo [m] [KN·m2] [KN/m] [KN] αj RDi [KN] RDi [KN] [%]
1 0.3426 34.26 34.30 0.12
2 0.3947 39.47 39.60 0.33
3 +2 ∞ ∞ + 100 (↑) 0.4021 40.21 39.94 -0.67
4 0.3947 39.47 39.60 0.33
5 0.3426 34.26 34.30 0.12 Totales: 187.67 187.74 0.04
1
2
3
4
5
Fig. 10.2-12.- Reacciones en modelo B de ejemplo resuelto. (Diafragmas indeformables)
Datos del método: Resultados bLi EICDi KPi rj Método Modelo C Error
Nudo [m] [KN·m2] [KN/m] [KN] αj RDi [KN] RDi [KN] [%]
1 +2 0.1618 16.18 16.06 -0.74
2 +1 0.4598 45.98 45.97 -0.02
3 0 936 324.54 ∞ + 100 (↑) 0.5608 56.08 56.21 0.23
4 -1 0.4598 45.98 45.97 -0.02
5 -2 0.1618 16.18 16.06 -0.74 Totales: 180.40 180.27 0.07
1
2
3
4
5
Fig. 10.2-13.- Reacciones en modelo C de ejemplo resuelto. (Diafragmas deformables con sección CD)
196
Datos del método: Resultados bLi EICDi KPi rj Método Modelo D Error
Nudo [m] [KN·m2] [KN/m] [KN] αj RDi [KN] RDi [KN] [%]
1 +2 0.20582 20.58 20.64 0.29
2 +1 0.44537 44.54 44.50 -0.09
3 0 ∞ ∞ + 100 (↑) 0.54302 54.30 54.31 0.02
4 -1 0.44537 44.54 44.50 -0.09
5 -2 0.20582 20.58 20.64 0.29 Totales: 184.54 184.59 0.03
1
2
3
4
5
Fig. 10.2-14.- Reacciones en modelo D de ejemplo resuelto. (Diafragmas indeformables)
10.2.7. CASO GENERAL: TABLERO DE PLANTA ARBITRARIA CON APOYOS DESPLAZADOS RADIALMENTE. METODOLOGÍA DE CÁLCULO Y SOLUCIÓN GENERAL.
En el caso general del tablero de planta arbitraria con apoyos desplazados radialmente, como ocurre con los tableros de planta curva, aparecen dos diferencias fundamentales con los tableros rectos a la hora de calcular la matriz V:
• Las cargas verticales rj introducen giros en los nudos Ci, además de las flechas verticales ya estudiadas.
• Análogamente, los momentos torsores mj introducen flechas verticales en los nudos Ci, además de los giros ya estudiados.
Por tanto, para expresar el movimiento del nudo Di en función de los movimientos de su nudo centrado correspondiente, Ci, queda:
][ ) (mθbb)(mvb)(rθb)(rvα)(rvα)(Rv jiCjijiCjjiCijiCjjiDjDjiD ⋅⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= [10.29]
donde los nuevos términos, )(rθb jiCi ⋅ y )(mvb jiCj ⋅ , expresan respectivamente las flechas verticales debidas al giro producido por la carga vertical y a la flecha producida por el momento torsor.
La expresión general de un elemento de la matriz V, )(rv DjDi , queda, pues, generalizando las expresiones [10.23] y [10.24] :
197
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+++++⋅
≠⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+++⋅
==
jiK·EI
bKb
Kb
Kb
Kr
jiK
·bbKb
Kb
Kr
)(r vV
iPCD
iL
,mθ
iL
,mv
iL
,rθ
iL
,rvi
,mθ
jLiL
,mv
jL
,rθ
iL
,rvj
DjDiij
iiiiiiiii
jijijiji
13
1
1
32
[10.30]
[10.31]
donde se ha utilizado la siguiente notación, de carácter más general:
ji ,rvK1 ,
ji ,rθK1 : Flecha y giro respectivamente producidos en el nudo Ci por una carga vertical
unidad actuando en el nudo Cj.
ji ,mvK1 ,
ji ,mθK1 : Flecha y giro respectivamente producidos en el nudo Ci por un torsor unidad
actuando en el nudo Cj.
La formulación matricial para el tablero curvo de la matriz V consta ahora de seis matrices, donde se incorporan las dos matrices nuevas que acabamos de ver (segundo y tercer sumandos dentro del paréntesis de las ec. [10.30] y [10.31])
La formulación de la seis matrices es análoga a la de las cuatro matrices para tableros rectos, excepto que las dos matrices introducidas no son en general, simétricas. Estas dos matrices nuevas, exclusivas en el caso de tableros curvos, son nulas en el caso de apoyos centrados, al depender ambas de las distancias bLi.
10.2.8. ANÁLISIS CRÍTICO DEL MÉTODO DE LOS NUDOS DESPLAZADOS.
El método planteado para el análisis de los tableros, rectos o curvos, con apoyos desplazados radialmente, presenta las siguientes características fundamentales:
1.- Como se desprende de las tablas anteriores de resultados, el método presenta la suficiente precisión como para tomar decisiones tipológicas de proyecto basadas en él.5
En cualquier caso, el error en la aplicación del mismo queda más que absorbido por las incertidumbres de un proyecto real, como la distribución real de rigideces o los valores de las acciones. De todas maneras (y así nos permitimos recomendarlo), siempre se debe modelizar la solución elegida para la distribución de distancias de desplazamiento de los apoyos.
2.- Se pueden analizar los tableros sin necesidad de modelizar las barras perpendiculares y los apoyos desplazados, sino sólo el tablero, e introducir dos cargas puntuales en cada nudo desplazado. Este modelo auxiliar es único para cualquier distribución de desplazamientos laterales de apoyos, rigideces de apoyos elásticos o deformabilidades equivalentes de diafragmas.
Esto no supone evidentemente ninguna ventaja a la hora de analizar una sola geometría, porque este caso se resuelve con un sencillo emparrillado plano.
La ventaja estriba en que una vez realizado el modelo auxiliar de tablero, el método propuesto permite realizar estudios paramétricos de modo muy cómodo, ya que el algoritmo es muy fácilmente programable.
Este modelo auxiliar necesita ser estable, pero en general, se aplicará a tramos continuos empotrados a torsión en los estribos.
5 Tal y como se cita en otras partes del texto, el hecho de no poder controlar el número de dígitos
significativos de la salida del programa empleado en los cálculos (SAP2000) obliga a tomar la precaución de plantear los sistemas de ecuaciones en N y mm para mejorar la precisión de los mismos.
198
3.- Pero, sobre todo, lo que quizá es la idea motriz del método, es que pone de manifiesto muy claramente todos los mecanismos resistentes y su importancia relativa (como se ha visto en la formulación detallada del sistema, en el apartado 10.2.5 o las ecuaciones [10.30] y [10.31]) en matrices diferentes.
4.- Una de las posibilidades posiblemente más fecundas del método de los nudos desplazados es asimismo la posibilidad de establecer iterativamente distribuciones de distancias de desplazamiento con el objeto de alterar deliberadamente las leyes de esfuerzos de la estructura.
Para aplicar el método es necesario modelizar al menos una directriz. Pero ésta se mantiene constante, porque viene dada por el trazado. Por lo tanto, la incógnita es la distribución de desplazamientos laterales en los apoyos, que son precisamente los datos del algoritmo y muy rápidos de iterar.
Como se ha visto, desplazar los apoyos introduce flectores y torsores que no existían previamente en un tablero recto e igual ocurre en un tablero curvo, donde además se produce el acoplamiento entre ambos. La posibilidad de desplazar los apoyos radialmente debería considerarse, pues, en los puentes curvos con el objeto de variar deliberadamente los esfuerzos en el dintel. Esta variación debería, por supuesto, para un proyecto concreto, considerar factores tales como la compatibilidad con los condicionantes de la subestructura del puente, los efectos diferidos en puentes mixtos y de hormigón, o las redistribuciones flexión-torsión por efecto de factores como la fisuración.
199
CAPÍTULO 11
11 ESTUDIO DEL TABLERO DE BAJA RIGIDEZ TORSIONAL CON APOYOS DESPLAZADOS TRANSVERSALMENTE.
11.1. INTRODUCCIÓN. A raíz de los resultados de los estudios realizados, podemos adelantar que el parámetro que
determina de un modo más radical la respuesta del puente curvo apoyado en un borde es la rigidez a torsión de su sección transversal. Los resultados son tan distintos que justifican la realización de dos estudios paralelos con dos secciones de rigideces muy diferentes. En el capítulo actual se estudia un tablero de baja rigidez torsional (por ejemplo, algunas de las mostradas en el capítulo 91). En el estudio del capítulo 12, por el contrario, la rigidez torsional de la sección del tablero es del orden de su rigidez a flexión.
El tablero tiene sus estribos liberados a flexión y empotrados a torsión. El resto de apoyos intermedios se ha desplazado lateralmente una distancia bL. Se ha dispuesto una barra (de longitud bL) de peso nulo e infinitamente rígida2 de unión entre el apoyo y el nudo situado en el centro de gravedad del dintel. Los apoyos desplazados lateralmente tienen todos sus movimientos impedidos, pero no sus giros, aunque lo relevante es que su movimiento vertical está coaccionado.
Las características mecánicas de la sección del tablero empleada en los cálculos son las que se muestran a continuación. El centro de esfuerzos cortantes se ha supuesto coincidente con el de gravedad. No se ha considerado ninguna reducción en las dimensiones de las mismas por arrastre por cortante3.
Características mecánicas del tablero:
Material: acero estructural.
Ω = 0.1392 m2
I = 0.0303 m4.
J = 1.5658·10-4 m4.
EI/GJ = 464
El tablero está sometido a una carga permanente CP centrada de 12 KN/m, además de su peso propio (PP), que actúa simultáneamente (en total, la carga es de 22.72 KN/m).
En la Fig. 11.1-1 se representan las dos posibilidades de posiciones de los apoyos que se estudiarán: exterior e interior (cuando los apoyos quedan del lado exterior o interior de la curva del tablero, respectivamente), y en la Fig. 11.1-2 se ha representado una planta tipo con las principales magnitudes geométricas. Como hasta ahora, gT=0 indica que el tablero es recto y bL=0 que los apoyos están centrados en la sección.
1 Supuesta aceptable la simplificación de que el comportamiento del tablero puede ser adecuadamente
modelizado por una única barra, situada en el centro de gravedad del tablero. 2 En realidad, con inercias 100 veces mayores que las de las secciones del tablero. Este factor,
recomendado en [18], produce simultáneamente resultados adecuados y buen condicionamiento numérico de la solución.
3 En general, tanto en la bibliografía consultada como en la normativa vigente ([22], [23], [24]), las expresiones que determinan los anchos eficaces de las alas dependen de las dimensiones de la sección transversal y de expresiones que relacionan éstas con las leyes de esfuerzos, en particular, de la distancia entre puntos de anulación del momento. Como se verá, en los estudios realizados tales distancias sufren una gran variación, lo que obligaría a calcular estos puentes en un proceso iterativo hasta que los anchos eficaces supuestos coincidieran con los correspondientes a las leyes de esfuerzos obtenidas. Este proceso, si bien más riguroso, supone una complicación excesiva que dificulta enormemente la comparación entre los resultados, que además es de orden cualitativo. Si se desea, en puridad, los resultados para cada puente de estos estudios corresponderían a una sección cuyas características mecánicas eficaces fueran las de la tabla anterior.
200
Fig. 11.1-1.- Puentes curvos con apoyos fijos desplazados lateralmente. Posiciones exterior (a la izquierda de la figura) e interior (derecha) de apoyos fijos. (En el estudio del tablero aislado la posición de éste con respecto a los ejes representados en la figura es totalmente indiferente).
100 m
gT
Barras rígidas
Tablero
bL Apoyos articulados(exteriores)
Estribos articulados a flexión y empotrados a torsión
Fig. 11.1-2.- Planta tipo de los modelos de tablero estudiados. En la figura se han representado los apoyos situados en el exterior.
bL
b
Borde exterior
= =
4.00
Borde interior
bL
b
Borde exterior
= =
4.00
Borde interior
(a) (b)
Fig. 11.1-3.- Desplazamiento bL de los apoyos en el caso de sección de cajón centrada en el tablero: (a) bL hacia el exterior; (b) bL hacia el interior.
11.2. EL TABLERO RECTO CON APOYOS FIJOS DESPLAZADOS LATERALMENTE.
11.2.1. INFLUENCIA DEL DESPLAZAMIENTO LATERAL DE APOYOS.
Para el análisis del tablero recto se ha modelizado un tablero recto y se ha variado el desplazamiento lateral de los apoyos desde bL=0 (sin desplazamiento) hasta bL=2 (semiancho de plataforma), pasando por bL=1.
201
Fig. 11.2-1.- Puentes rectos (gT=0) con apoyos fijos desplazados lateralmente. Caso bL=2 (a la izquierda de la figura) y bL=0 (que coincide con el caso de puente continuo con apoyos centrados).
El puente se somete a la HIP0 (véase 3.5.2) que, dado que no hay pretensado de péndolas, coincide con la actuación simultánea de PP y CP.
En la Fig. 11.2-2 ya vemos el enorme incremento de flexión que se produce por efecto de desplazar los apoyos.
Dicho incremento de flexión se corresponde con la alteración de las reacciones verticales en los apoyos que se produce asimismo por la flexibilidad del dintel (Fig. 11.2-3).
Es decir, como ya hemos anticipado en el estudio teórico del capítulo 10, cuando en el puente recto se desplazan lateralmente los apoyos, ocurre lo siguiente:
• El puente puede flectar con luz la distancia entre estribos, ya que los puntos fijos son los apoyos laterales y no el centro de gravedad del dintel.
• Se produce una transferencia de reacciones desde los apoyos intermedios hacia los estribos. Las reacciones en los nudos intermedios pueden ser menores ya que no han de anular toda la flecha de los nudos centrados de tablero.
• Para ello se moviliza la flexión longitudinal de las barras transversales entre apoyos y el dintel (barras de diafragma), que se transforma en torsiones localizadas en el tablero.
• Para que se movilice dicho mecanismo resistente es imprescindible el empotramiento a torsión en los estribos del tablero recto.
202
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-5000
0
5000
10000
15000
20000
PP+CP. T ablero recto: Flexion longitudinal (bL)
x [m]
M 3 [KN]
44-61
8592
0
18282
0
gT=0. bL=0
gT=0. bL=1
gT=0. bL=2
Fig. 11.2-2.- Puente recto: Influencia del desplazamiento lateral de apoyos fijos sobre la flexión longitudinal.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
100
200
300
400
500
600
700
800
900
PP+CP. T ablero recto: Reacciones verticales (bL)
x [m]
R Z [KN]
130
45
488
23
813
10
gT=0. bL=0
gT=0. bL=1
gT=0. bL=2
Fig. 11.2-3.- Puente recto: Influencia del desplazamiento lateral de apoyos fijos sobre las reacciones verticales en apoyos.
203
Asimismo, el hecho de que las reacciones actúen con excentricidad respecto del centro de gravedad del dintel (más propiamente, del centro de esfuerzos cortantes, pero cuyas proyecciones verticales coinciden en planta para secciones simétricas respecto a un eje vertical), introduce en el tablero un esfuerzo torsor, mayor a igualdad de reacción, cuanto mayor es bL (Fig. 11.2-4 y Fig. 11.2-5).
Tablero
Barra rígida
Tablero
bL
q
RD
vz D C
RD·bL
q
RD
vz C
(a) (b)
=
Fig. 11.2-4.- Puente recto. Efecto del desplazamiento lateral de apoyos: Ante una sobrecarga q, las flechas del tablero no son nulas y aparece una torsión por efecto de la excentricidad bL de la reacción RD.
El hecho de que el valor de la torsión para los casos bL=1 y bL=2 prácticamente coincida (Fig. 11.2-5) es casual. Las reacciones en el segundo caso son mucho menores al ser las barras laterales más largas y, por lo tanto, más flexibles. El valor de la torsión en estribos se debe exclusivamente a la excentricidad de la reacción vertical como lo demuestra la Tabla 11.2-1.
bL=1 bL=2
RZ RZ·bL RZ RZ·bL Apoyo [KN] [KN·m] [KN] [KN·m]
1 22.865 22.865 10.064 20.128 2 41.263 41.263 18.846 37.692 3 55.675 55.675 26.336 52.671 4 66.882 66.882 32.634 65.268 5 75.496 75.496 37.826 75.652 6 81.982 81.982 41.982 83.963 7 86.695 86.695 45.157 90.314 8 89.889 89.889 47.395 94.790 9 91.739 91.739 48.726 97.452
10 92.344 92.344 49.168 98.335 11 91.739 91.739 48.726 97.452 12 89.889 89.889 47.395 94.790 13 86.695 86.695 45.157 90.314 14 81.982 81.982 41.982 83.963 15 75.496 75.496 37.826 75.652 16 66.882 66.882 32.634 65.268 17 55.675 55.675 26.336 52.671 18 41.263 41.263 18.846 37.692 19 22.865 22.865 10.064 20.128
Total 1317.315 Total 1334.198 Torsor en cada estribo 658.658 667.099
Tabla 11.2-1.- Torsor en tablero recto, debido exclusivamente a la excentricidad de las reacciones verticales en los apoyos intermedios. Los resultados coinciden con los de la Fig. 11.2-5.
204
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
PP+CP. T ablero recto: T orsion (bL)
x [m]
T [K
N]
00
659
-659
667
-667
gT=0. bL=0
gT=0. bL=1
gT=0. bL=2
Fig. 11.2-5.- Puente recto: Influencia del desplazamiento lateral de apoyos fijos sobre la torsión.
Con respecto a las flechas, el hecho de apoyar al borde provoca flechas verticales en el tablero, que ya no está totalmente coaccionado en su movimiento por los apoyos intermedios (Fig. 11.2-6) y puede flectar con luz la distancia entre estribos.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-3500
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
PP+CP. T ablero recto: Flechas verticales (bL)
x [m]
V Z [mm
]
0-0
0
-1541
0
-3185
gT=0. bL=0
gT=0. bL=1
gT=0. bL=2
Fig. 11.2-6.- Puente recto: Influencia del desplazamiento lateral de apoyos fijos sobre las flechas verticales.
205
Las flechas para las cargas permanentes en el tablero recto son de orden métrico en el caso estudiado, bien es cierto que con secciones flexibles a torsión. Aún así, el hecho de apoyar lateralmente flexibiliza enormemente el puente, con lo que parece necesario analizar la influencia de la variación de rigidez de éste.
11.2.2. INFLUENCIA DE LA RIGIDEZ A TORSIÓN.
Al margen de la formulación teórica anteriormente desarrollada, para analizar la influencia de la rigidez a torsión, se pondera ésta por un coeficiente γJ. Se han considerado valores de γJ de 0.1, 1 (el del modelo ya calculado), 10 y 100. El valor de bL es constante e igual a 2 m en todos los casos. El resto de características del modelo se mantienen inalteradas4.
La disminución de la flexión longitudinal debido al aumento de la rigidez a torsión es muy importante (Fig. 11.2-7 y Fig. 11.2-8). La explicación, ya justificada teóricamente, es que la flecha del puente queda contenida al depender de la rigidez a torsión del dintel. Se muestra nuevamente lo imprescindible del empotramiento a torsión en los estribos.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 104 PP+CP. bL=2. gT=0. Flexion longitudinal (γ J)
x [m]
M 3 [KN]
27135
0
18282
0
4064
0 4500 γJ=0.1
γJ=1
γJ=10
γJ=100
Fig. 11.2-7.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a torsión sobre la flexión longitudinal.
4 En realidad, todas menos el lado al que se desplazan los apoyos, porque este mismo modelo es luego
utilizado en otros análisis. En un puente recto el resultado no varía en flechas y flexiones, pero se invierte el signo de la torsión respecto de los resultados ya mostrados.
206
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 10
4 Flexión en centro de tablero (γJ)
γJ
M3 [K
N·m
]
Fig. 11.2-8.- Reducción de la flexión en centro de vano debido al coeficiente de ponderación (γJ) de la rigidez a torsión.
Y como hemos visto, la disminución de la flexión se produce por un incremento de las reacciones en los nudos de apoyo (Fig. 11.2-9), que conlleva la disminución de la transferencia de reacción vertical del vano a los estribos y, por lo tanto, un aumento de la torsión (Fig. 11.2-10).
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
200
400
600
800
1000
1200
PP+CP. T ablero recto: Reacciones verticales (γ J)
x [m]
R Z [KN]
1098
1
813
10
317
34
115 76
γJ=0.1
γJ=1
γJ=10
γJ=100
Fig. 11.2-9.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a torsión sobre las reacciones verticales en apoyos.
207
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
PP+CP. bL=2. gT=0. T orsion (γ J)
x [m]
T [K
N·m
]
97-97
667
-667
1659
-1659
2071
-2071
γJ=0.1
γJ=1
γJ=10
γJ=100
Fig. 11.2-10.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a torsión sobre el torsor en el tablero.
Asimismo, el incremento de rigidez a torsión lleva aparejado una disminución muy importante de las flechas del tablero (Fig. 11.2-11). Si aumentamos la rigidez a torsión 10 veces obtenemos reducimos las flechas a un 24% del valor original (de 3185 a 756 mm).
208
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-5000
-4500
-4000
-3500
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
PP+CP. bL=2. gT=0. Flechas en tablero (γ J)
x [m]
V Z [mm
]0
-4672
0
-3185
0
-756
0 -87γJ=0.1
γJ=1
γJ=10
γJ=100
Fig. 11.2-11.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a torsión sobre las flechas verticales del tablero.
11.2.3. INFLUENCIA DE LA RIGIDEZ A FLEXIÓN.
Análogamente al estudio de la rigidez a torsión, para analizar ahora la influencia de la rigidez a flexión, se pondera ésta por un coeficiente γΙ. Se han considerado valores de γI de 0.1, 1 (el del modelo ya calculado), 10 y 100. El valor de bL es constante e igual a 2 m en todos los casos. Como en el caso de la torsión, el resto de características del modelo se mantienen inalteradas. El modelo de partida es el mismo que en el apartado anterior.
El primer resultado obtenido era de esperar: a medida que crece la rigidez a flexión longitudinal del tablero se transmiten más eficazmente las reacciones a los estribos y disminuyen las reacciones en los apoyos laterales intermedios (Fig. 11.2-12).
Por lo tanto, al disminuir las reacciones verticales de los apoyos intermedios, la acción sobre el tablero q-RD de la Fig. 11.2-4 aumenta, crece la flexión (Fig. 11.2-13) y disminuye la torsión RD·bL (Fig. 11.2-14). La disminución de flechas es también muy significativa (Fig. 11.2-15), reduciendo las flechas al 14.6% del valor original al aumentar 10 veces la rigidez a flexión (de 3185 a 467 mm).
209
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
200
400
600
800
1000
1200
PP+CP. bL=2. gT=0. Reacciones verticales (γ I)
x [m]
R Z [KN]
317
34
813
10
1098
1
1141
0
γ I=0 .1
γ I=1
γ I=10
γ I=100
Fig. 11.2-12.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a flexión sobre las reacciones verticales del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 104 PP+CP. bL=2. gT=0. Flexion longitudinal (γ I)
x [m]
M 3 [KN]
4064
0
18282
0
27135
-0
28499
0
γ I=0 .1
γ I=1
γ I=10
γ I=100
Fig. 11.2-13.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a flexión sobre el flector longitudinal.
210
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
PP+CP. bL=2. gT=0. T ablero recto: T orsion (γ I)
x [m]
T [K
N·m
]1659
-1659
667
-667
97-97 10-10
γ I=0 .1
γ I=1
γ I=10
γ I=100
Fig. 11.2-14.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a flexión sobre la torsión.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-8000
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
PP+CP. bL=2. gT=0. Flechas en tablero (γ I)
x [m]
V Z [mm
]
0
-7559
0
-3185
0
-467
0-49
γ I=0 .1
γ I=1
γ I=10
γ I=100
Fig. 11.2-15.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a flexión sobre las flechas verticales.
211
11.2.4. RESUMEN DEL COMPORTAMIENTO DEL PUENTE RECTO DE BAJA RIGIDEZ TORSIONAL.
1.- En el puente recto, al desplazar lateralmente los apoyos, el puente puede flectar y se produce una transferencia de reacciones verticales de los apoyos intermedios a los estribos. La reacción vertical en los estribos crece enormemente con bL. Las reacciones en los nudos intermedios son menores que con apoyos centrados y no compensan ni la flexión ni la flecha, con lo que en el puente aparecen flechas y flexiones longitudinales, crecientes con bL.
2.- Al mismo tiempo, el hecho de que las reacciones actúen con excentricidad lateral bL introduce en el tablero un esfuerzo torsor en cada sección de apoyos de valor RD·bL, donde RD es la reacción en cada nudo desplazado intermedio, lo que provoca una ley discontinua de torsores creciente hacia los estribos.
3.- Las flechas también crecen enormemente al aumentar bL. En los tableros analizados, las flechas son métricas, si bien el tablero analizado es particularmente flexible a torsión.
4.- Aumentar la inercia a torsión del tablero manteniendo constante el resto de características del puente tiene las siguientes consecuencias:
• Disminuye la flexión longitudinal.
• Aumentan las reacciones en los apoyos intermedios.
• Aumenta la torsión.
• Disminuyen las flechas.
En concreto, para el puente analizado si se aumenta la rigidez a torsión 10 veces disminuye la flexión de 18282 a 4064 KN·m, (se reduce a un 22.3 % de su valor original) y disminuye la flecha de 3185 a 756 mm (se reduce a un 23.7% del valor original). El esfuerzo torsor en estribos crece de 667 a 1659 KN·m (crece a un 248 %)
5.- Aumentar la inercia a flexión del tablero tiene las siguientes consecuencias, contrarias en lo que se refiere a esfuerzos a las de aumentar la rigidez a torsión:
• Aumenta la flexión longitudinal.
• Disminuyen las reacciones en los apoyos intermedios.
• Disminuye la torsión.
• Disminuyen las flechas.
Para el puente analizado si se aumenta la rigidez a flexión 10 veces crece la flexión de 18282 a 27139 KN·m, (crece un 48.4%) y disminuye la flecha de 3185 a 467 mm (se reduce a un 14.6% del valor original). El esfuerzo torsor en estribos baja de 667 a 97 KN·m (se reduce a un 14.6 % del valor original)
6.- Así pues el puente recto apoyado en el borde exige secciones mucho más rígidas para controlar los esfuerzos y las deformaciones. Si se desea disponer apoyos intermedios parece más eficaz dar al puente rigidez a torsión que a flexión, ya que aumentan las reacciones en dichos apoyos. Aumentar en exceso la rigidez a flexión puede volver superfluo el sistema de atirantamiento intermedio.
7.- En todo el proceso de análisis de estos tableros se ha supuesto que el centro de gravedad coincide en planta con el centro de esfuerzos cortantes, y que las secciones de estudio son simétricas. Como las flechas y esfuerzos crecen con la distancia del centro de esfuerzos cortantes al punto de apoyo (o de anclaje), interesa que estas secciones sean asimétricas, con dichos puntos más cerca del apoyo, aunque aumenta el torsor si se mantiene el ancho de la plataforma. Más adelante se estudia este efecto.
8.- Lo anterior conduce a que la disposición mas adecuada de este tipo de tableros sea disponer:
• Secciones grandes (con mucha área encerrada, que da inercia a torsión)
212
• Forzosamente empotrados a torsión en los estribos.
• Asimétricas (que disminuyen el efecto del desplazamiento de los apoyos).
• Con la rigidez a flexión muy controlada para no aumentar en exceso la flexión y no volver ineficaz el sistema de atirantamiento de los apoyos intermedios.
9.- Así las cosas, y en nuestra opinión, no deben proyectarse tableros rectos de baja rigidez torsional con secciones apoyadas en un borde, ya que aumentan los esfuerzos y las flechas, se sobredimensionan las secciones y no se obtiene ninguna ventaja estructural. Además, en un tablero recto no existe el problema de la limitación del gálibo por curvatura en planta, y basta con atirantar al centro, o en ambos bordes simultáneamente.
11.3. EL TABLERO CURVO CON APOYOS FIJOS DESPLAZADOS RADIALMENTE. Para el análisis del tablero curvo con apoyos fijos desplazados en sentido radial, se han realizado
dos estudios paramétricos.
1.- En primer lugar, para evaluar el efecto del incremento de la curvatura, y para un valor fijo de bL=2.00 m, se ha estudiado el efecto de la curvatura del tablero. Se ha partido del puente recto (gT=0, R=∞) y se ha aumentado la curvatura hasta gT=-10 (R=130 m), con incrementos de –2 m.
2.- Análogamente, para un puente curvo de iguales características, y para un valor constante de la flecha horizontal del tablero de gT=-10 m, se estudia la influencia de la variación de bL. El valor de bL crece de 0 (puente apoyado en el centro) a 2.00 m, con incrementos de 0.5 m.
En ambos casos se han estudiado dos series, con apoyos desplazados bien hacia el exterior, bien hacia el interior de la curvatura (Fig. 11.1-1).
11.3.1. INFLUENCIA DE LA CURVATURA EN EL PUENTE CON APOYOS DESPLAZADOS RADIALMENTE.
A continuación se presentan los resultados del primer estudio en el que se estudia el efecto de la curvatura sobre el tablero. Se recuerda que, en esta serie de resultados, los estribos están liberados a flexión y empotrados a torsión.
213
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
100
200
300
400
500
600
700
800
900
PP+CP. bL=2. Reacciones verticales (gT). Apoyos exteriores.
x [m]
R Z [KN]
366
33
401
29
452
26
526
22
644
17
813
10
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 11.3-1.- bL=2 (Apoyos exteriores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las reacciones verticales.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-400
-200
0
200
400
600
800
1000
PP+CP. bL=2. Reacciones verticales (gT). Apoyos interiores.
x [m]
R Z [KN]
217
-7
223
-112
238
-267
249
-390
524
15
813
10
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 11.3-2.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las reacciones verticales.
214
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-5000
0
5000
10000
15000
20000
PP+CP. bL=2. Flexion longitudinal en tablero (gT). Apoyos exteriores.
x [m]
M 3 [KN·
m]
5372
-0
6314
-0
7683
-0
9791
-0
13231
-0
18282
0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 11.3-3.- bL=2 (Apoyos exteriores). Influencia de la curvatura del tablero sobre la flexión longitudinal del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x 104 PP+CP. bL=2. Flexion longitudinal en tablero (gT). Apoyos interiores.
x [m]
M 3 [KN·
m]
0
-11073
0
-13575
0
-17781
0
-21005
8804
0
18282
0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 11.3-4.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre la flexión longitudinal del tablero.
215
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
PP+CP. bL=2. T orsion en tablero (gT). Apoyos exteriores.
x [m]
T [K
N·m
] 95
-95
102
-102
120
-120
165
-165
283
-283
667
-667
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 11.3-5.- bL=2 (Apoyos exteriores). Influencia de la curvatura del tablero sobre la torsión del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
PP+CP. bL=2. T orsion en tablero (gT). Apoyos interiores.
x [m]
T [K
N·m
] 162
-162
227
-227
432
-432
1125
-1125
1765
-1765
667
-667
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 11.3-6.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre la torsión del tablero.
216
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-3500
-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
PP+CP. bL=2. Flechas en tablero (gT). Apoyos exteriores.
VZ [mm]
v Z [mm
]0
-208
0
-282
0
-411
0
-670
0
-1287
0
-3185
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 11.3-7.- bL=2 (Apoyos exteriores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las flechas verticales.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-9000
-8000
-7000
-6000
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
PP+CP. bL=2. Flechas en tablero (gT). Apoyos interiores.
VZ [mm]
v Z [mm
]
0
-506
0
-917
0
-1962
0
-5410
0
-8566
0
-3185
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 11.3-8.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las flechas verticales.
217
11.3.1.1. Apoyos exteriores e interiores.
De acuerdo con la Fig. 11.3-1 y la Fig. 11.3-2, la evolución de las reacciones verticales es diferente según se apoye el puente por el exterior o por el interior. (En la formulación teórica del método de los apoyos desplazados la diferencia entre ambos casos sería el signo de bLi).
Dicha diferencia entre las reacciones obtenidas entre apoyar el tablero por el exterior o por el interior tiene un doble motivo:
• Por un lado el efecto de la torsión sobre la distribución de reacciones está muy en relación con el signo de la flexión. Tal y como se ve en la Fig. 11.3-9, la flexión positiva genera fuerzas de desvío hacia el exterior de la curva en la cara superior de la sección y hacía el interior de la curva en la inferior. Esto genera un torsor cuya dirección incrementa la reacción de los nudos desplazados hacia el exterior del tablero para las flexiones positivas como la de la figura.
Fig. 11.3-9.- Torsor inducido por la flexión en tableros curvos según Menn [59].
• Por otra parte, los apoyos exteriores son más eficaces. Esto se ve muy claramente si tomamos momentos respecto de la cuerda que une los estribos, y éstos están simplemente apoyados. En este caso, el movimiento de basculación del tablero respecto de dicha cuerda está contenido exclusivamente por las reacciones verticales de los apoyos intermedios del tablero, desplazados radialmente o no. Si los apoyos se desplazan hacia el exterior tienen más brazo para compensar dicho momento y las reacciones pueden por lo tanto tener un valor menor que si se desplazan hacia el interior. En la Fig. 11.3-10 y en la Fig. 11.3-11 se aprecia que, a igual número de apoyos, la excentricidad de los apoyos interiores respecto de la línea que une los estribos es sistemáticamente menor que la de los apoyos exteriores.
• A consecuencia de lo anterior, como la suma de las reacciones debe ser igual a la resultante de las cargas verticales, las reacciones en los estribos son mayores en el caso de apoyos exteriores. Por lo tanto, se da la circunstancia, en general, de que los apoyos exteriores, a pesar de recoger mejor la basculación del tablero, transmiten más carga vertical a los estribos.
A B
Fig. 11.3-10.- Planta del tablero del caso gT=-10. Apoyos interiores: los estribos y los apoyos adyacentes a éstos están prácticamente alineados sobre la cuerda AB , con lo que su contribución para contrarrestar el momento torsor de basculación en torno de dicha cuerda es muy escasa. El resto de los apoyos tienen sistemáticamente menos excentricidad respecto de AB que sus correspondientes desplazados hacia el exterior, mostrados en la Fig. 11.3-11.
218
A B
Fig. 11.3-11.- Planta del tablero del caso gT=-10. Apoyos exteriores: la distribución en planta de los apoyos, con más excentricidad respecto de AB , es más adecuada para contrarrestar la basculación del tablero que la de los apoyos de la Fig. 11.3-10.
11.3.1.2. Posición relativa de apoyos intermedios y estribos.
Un fenómeno que puede aparecer al desplazar los apoyos lateralmente es que parte de ellos (sobre todo los adyacentes a los estribos) queden a distinto lado que el resto respecto de la cuerda que une los estribos.
Es de destacar que este fenómeno es exclusivo de los puentes con apoyos desplazados hacia el interior5.
La probabilidad de que haya nudos que queden en esta posición aumenta:
• Cuando crece bL.
• A medida que disminuye la curvatura del tablero.
• Cuando disminuye la luz de los vanos extremos.
De estas tres condiciones geométricas, no siempre se puede actuar deliberadamente sobre todas: La distancia lateral de desplazamiento suele coincidir con el semiancho del tablero, y la curvatura del tablero suele venir impuesta por condicionantes externos de trazado o encaje. La única que queda realmente de libre elección es la luz entre apoyos, concretamente las de los vanos extremos, pero una luz excesiva en los vanos extremos puede penalizar en exceso los esfuerzos en el tablero6.
A B
Fig. 11.3-12.- Planta del tablero del caso gT=-8, bL=2. Al desplazar lateralmente los apoyos, los dos más cercanos a los estribos pasan al otro lado de la cuerda AB (representada a trazos) que une los estribos.
En el caso de la Fig. 11.3-12 vemos un caso en el que ocurre que, al desplazar radialmente los apoyos, parte de ellos pasan al otro lado de la cuerda que une los estribos.
Esta posición de los apoyos condiciona el mecanismo que contrarresta la basculación del tablero.
Si se articulan los apoyos de los estribos a torsión, el giro del tablero ha de ser contrarrestado sólo por acciones verticales y la reacción en los nudos intermedios más cercanos a los estribos (del otro lado de la cuerda que los une) es ascendente. Este efecto de apalancamiento entre el estribo y el apoyo adyacente no desaparece por disponer apoyos elásticos (véase la Tabla 11.3-1 para los criterios de determinación de las rigideces), y las reacciones casi coinciden con los de apoyos fijos. Por el contrario, si los estribos se empotran a torsión, es este momento el que recoge el giro del tablero y alivia a dichos apoyos, que puede tener una reacción incluso positiva, como en la figura. La distribución de reacciones en los tres casos puede verse en la Fig. 11.3-13:
5 Salvo en el caso, improbable, de que el tablero con apoyos exteriores abarque un ángulo mayor de 180º. 6 Otra posibilidad sería disponer los apoyos de los estribos en la misma línea que el resto de apoyos
intermedios, como los de la Fig. 9.1-2.
219
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
CP: bL=2. gT=-8. Apoyos interiores. Reacciones verticales.
x [m]
R Z [KN]
116
-59
120
-52
120
-53
Estribos empotrados. Apoyos fijos.Estribos articu lados. Apoyos fijos.Estribos articu lados. Apoyos e lasticos.
Fig. 11.3-13.- Distribución de reacciones verticales (RZ) para el caso gT=-8, bL=2. Carga uniforme CP de 12 KN/m centrada en el tablero. Comparación de distribución de reacciones para estribos articulados o empotrados a torsión, así como para apoyos elásticos con rigideces definidas en la Tabla 11.3-1.
Rigidez de péndolas verticales
Apoyo E ΩP Abscisa x Ordenada z KP=E· ΩP/z nº [MPa] [mm2] [m] [m] [KN/m]
1 (arranques) 0.00 0.00 ∞ 2 5.00 3.80 35000 3 10.00 7.20 18472 4 15.00 10.20 13039 5 1.9·105 700 20.00 12.80 10391 6 25.00 15.00 8867 7 30.00 16.80 7917 8 35.00 18.20 7308 9 40.00 19.20 6927
10 45.00 19.80 6717 11 (clave) 50.00 20.00 6650
Tabla 11.3-1.- Rigideces verticales en los apoyos elásticos introducidos en el modelo de la Fig. 11.3-13. Dado que el estudio es cualitativo, no se ha introducido en la rigidez la deformabilidad vertical del arco (que acentuaría aún más la diferencia de rigideces entre arranques y clave), y se han supuesto las abscisas x de los apoyos las del tablero recto, despreciando la variación debida a la curvatura. Para las longitudes de las péndolas se ha supuesto el arco plano, vertical, de directriz z parabólica de 2º grado y de flecha 20 m en clave.
En el caso de la Fig. 11.3-14, en el que se muestra el tablero para gT=-2 con apoyos interiores, la comparación de reacciones pone de manifiesto que el efecto del empotramiento del estribo tiene que ser suministrado, si éste se articula, por el par de fuerzas entre los apoyos del estribo y su adyacente. En efecto, si articulamos el estribo, la reacción en el nudo adyacente es de –1100.46 KN (descendentes) que multiplicados por su excentricidad respecto de la cuerda que une los arranques (1.615m) dan una
220
componente de momento según la cuerda que une los estribos de 1777 KN·m que prácticamente coincide con la misma componente del momento de empotramiento de 1760 KN·m que aparece en el estribo cuando lo empotramos a torsión.
Fig. 11.3-14.- Planta del tablero del caso gT=-2. Apoyos interiores. El momento de empotramiento en los estribos cuando se coacciona su giro de torsión ha de ser suministrado, cuando los estribos se articulan, por el par producido por las reacciones entre los apoyos de estribos y los adyacentes.
A medida que la curvatura aumenta, como ya hemos citado anteriormente, la excentricidad de los apoyos adyacentes a los estribos respecto de la cuerda que los une disminuye y la posición del resto de los apoyos mejora para absorber las cargas7, ya que van ganando excentricidad.
En la figura siguiente se representa la componente MX del momento de empotramiento en los estribos según la cuerda que une los estribos (paralela al eje X global) en función de la curvatura, definida por la flecha horizontal del tablero, gT.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 00
2 0 0
4 0 0
6 0 0
8 0 0
1 0 0 0
1 2 0 0
1 4 0 0
1 6 0 0
1 8 0 0
g T [m ]
MX [K
N·m]
A p o y o s in te r io r e s : E v o lu c ió n d e M X e n fu n c ió n d e g T
gT
MX
Fig. 11.3-15.- Evolución de la componente del momento de empotramiento en estribos según la cuerda que los une en función de la flecha horizontal del tablero, para el caso bL=2.
11.3.1.3. Alternancia de los signos de la flexión.
La alternancia de los signos de la flexión está relacionada con la posición de las cargas respecto a los apoyos. En un puente curvo sobre apoyos centrados, si las cargas se sitúan más hacia el lado exterior de la curva que los apoyos, la flexión es negativa, y si las cargas están en el lado interior de la curva con respecto a los apoyos, la flexión es positiva. En la Fig. 11.3-16 se representan las leyes de flectores en un tablero curvo sobre apoyos puntuales centrados, cuando se cargan los dos semitableros. Como se ve, para cada semitablero cargado, la ley total está formada por una primera ley producida por las cargas verticales oscilando en torno de la de flexión producida por la solicitación torsora asociada a la sobrecarga vertical excéntrica, que tiene diferente signo según sea exterior o interior.
7 Se podría argumentar que la posición de los apoyos es siempre la misma respecto de la resultante de
esfuerzos a medida que aumenta la curvatura, pero no olvidemos que bL permanece constante para todos los casos estudiados, lo que rompe la proporcionalidad entre la posición de las cargas y la de los apoyos.
221
Fig. 11.3-16.- Leyes de flectores en un tablero curvo oscilando en torno a las leyes de flectores producidas por la solicitación torsora al cargar un semitablero, según Fernández Casado et al. [26]. Al desplazar los apoyos radialmente, y a partir de una cierta curvatura, los signos de la flexión se mantienen si se mantienen a su vez las posiciones relativas (exterior/ interior) de los apoyos con respecto a las cargas.
En un puente curvo sobre apoyos puntuales centrados [26], la única manera de dar excentricidad a la carga respecto de los apoyos es cargar excéntricamente el tablero, generalmente por semitableros completos, bien en el exterior, bien en el interior.
Sin embargo, cuando los apoyos están desplazados radialmente, la excentricidad de la carga se consigue también para cargas centradas en el tablero, puesto que los excéntricos ahora son los apoyos. Sin embargo, se necesita cierto nivel de curvatura en planta, porque debido al desplazamiento de los apoyos, el puente tiende para valores bajos de la curvatura a comportarse más como un puente que flecta entre los estribos, en lugar de bascular en torno de la cuerda que los une. Este es el caso para el tablero de gT=-2 (Fig. 11.3-4), en el que el puente tiende a flectar más que a bascular y el efecto de la curvatura no basta para invertir el signo de la flexión.
A partir de dicho valor de la curvatura, siempre para la misma carga centrada CP en el tablero, en los casos de apoyos interiores (Fig. 11.3-4) la flexión es negativa. Para el caso de los apoyos desplazados hacia el exterior (Fig. 11.3-3) siempre se mantiene el signo positivo de la flexión. Estos resultados concuerdan con los que se mostraban en el apartado 9.1.2.
Como ejemplo de esto, puede verse (Fig. 11.3-17 y Fig. 11.3-18) ver el signo de la flexión que en el resto del tablero provoca desplazar la reacción en un apoyo, según esté desplazado hacia el exterior o el interior, provocada por el torsor. Este torsor es el correspondiente a la reacción (ascendente) actuando en el apoyo de un nudo desplazado. Se puede ver sobre todo el efecto de flexión negativa en el centro del tablero que provoca un torsor localizado cuando la reacción es ascendente en un apoyo desplazado hacia el interior.
222
T=-200 KN·m
-85.2
81.8 96.5
-98.8
440.7 517.6
(a)
-17.8
22.8
-696.0
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
P=100 KN
-475.5
-402.5
Fig. 11.3-17.- Efecto desglosado de una reacción ascendente de 100 KN, en un apoyo sobre un tablero curvo con los apoyos desplazados radialmente hacia el exterior (bL=2m). Torsión: (a) torsor de 200 KN·m sobre el nudo del eje; (b) ley de torsores; (c) ley de flectores. Carga puntual ascendente: (d) carga puntual de 100 KN sobre el nudo del eje; (e) ley de torsores; (f) ley de flectores.
223
T=200 KN·m
229.6
208.2
-645.9
136.3
(a)
-43.0
-65.8
60.4
631.8
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
P=100 KN
55.6
-73.0
-520.8
-144.7
Fig. 11.3-18.- Efecto desglosado de una reacción ascendente de 100 KN en un apoyo sobre un tablero curvo con los apoyos desplazados radialmente hacia el interior (bL=2 m). Torsión: (a) torsor de 200 KN·m sobre el nudo del eje; (b) ley de torsores; (c) ley de flectores. Carga puntual ascendente: (d) carga puntual de 100 KN sobre el nudo del eje; (e) ley de torsores; (f) ley de flectores.
Vemos claramente cómo los apoyos desplazados se comportan, pese a estar articulados, como empotramientos parciales a torsión debido a la excentricidad respecto de la directriz.
La alternancia del signo de la flexión se mantiene (como era de esperar por los resultados del capitulo 9) aún cuando se libere el empotramiento a torsión en los estribos. En Fig. 11.3-19 y Fig. 11.3-20 se puede ver el signo de la flexión cuando, para apoyos interiores, se liberan las coacciones en algunos puentes de la serie.
224
-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0
-2 .5
-2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
x 1 04 HIP 0: bL = 2. Estribos articulados. F lexion longitudinal (gT )
x [m ]
M 3 [KN]
87
-11414
0
-14103
93
-24796 g T= -1 0 ( In te r io r)
g T= -8 ( In te r io r)
g T= -4 ( In te r io r)
Fig. 11.3-19.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre la flexión longitudinal del tablero al articular los estribos a torsión. (Compárese con la Fig. 11.3-4).
-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0-7 0 0
-6 0 0
-5 0 0
-4 0 0
-3 0 0
-2 0 0
-1 0 0
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
HIP 0: bL = 2. Estribos articulados. Reacciones v erticales (gT )
x [m ]
R Z [KN]
222
-71
230
-100
288
-619
g T= -1 0 ( In te r io r)
g T= -8 ( In te r io r)
g T= -4 ( In te r io r)
Fig. 11.3-20.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las reacciones al articular los estribos a torsión. (Compárese con la Fig. 11.3-2).
11.3.1.4. Torsión y flechas.
Con respecto a la torsión (Fig. 11.3-5 y Fig. 11.3-6), la curvatura la hace disminuir para ambas
225
posiciones de los apoyos. La única excepción es, como antes, el del caso gT=-2 con apoyos interiores, que moviliza más su rigidez a torsión, al no poder contar con un par eficaz de empotramiento en los estribos por poca curvatura. En general, los esfuerzos de torsión son menores para los apoyos situados en el exterior.
En general, la reducción de flechas que consiguen los apoyos exteriores no la consiguen los interiores. Así, para gT=-10, la flecha en el centro del tablero se reduce unas 15.3 veces con respecto a la del tablero recto (de 3185 a 208 mm), mientras que para el caso de apoyos interiores, la flecha se reduce 6.3 veces. Además, para curvaturas no muy grandes en el caso de apoyos interiores (casos gT=-2 y gT=-4) la flecha incluso aumenta con respecto a la del tablero recto.
11.3.2. INFLUENCIA DEL DESPLAZAMIENTO RADIAL DE APOYOS EN EL PUENTE CURVO.
Como se ha citado, el estudio se realiza desplazando los apoyos una distancia bL variable en un tablero de flecha horizontal en planta gT=-10 m, e idéntico al del resto del estudio.
La variación de reacciones verticales para apoyos exteriores (Fig. 11.3-21) responde cuando aumentamos bL de manera similar a cuando disminuimos la curvatura gT para una distancia bL dada (Fig. 11.3-1), en el sentido de que en cuanto descentramos los apoyos, la reacción de los estribos crece a costa de disminuir la reacción en el primer apoyo. Esto lo que ocurría al rectificar el tablero. Es decir, se genera un momento de empotramiento creciente con bL, al crecer la reacción en estribos y disminuir la del primer apoyo. En los apoyos intermedios, las reacciones tienden a disminuir ligeramente a medida que crece bL. Esto tiene su explicación en que los apoyos recogen más eficazmente la torsión del tablero al tener más brazo.
Para apoyos interiores, el comportamiento de las reacciones es mucho más errático (Fig. 11.3-22). Los valores de la reacción en apoyos no siguen una ley monótona con bL, y los máximos de reacciones en apoyos intermedios van desplazándose del primer apoyo hacia el centro a medida que crece bL. El motivo es el contrario que para apoyos exteriores, al tener que descargarse los apoyos para compensar la torsión del tablero.
La flexión longitudinal en el tablero es positiva y creciente con bL para apoyos exteriores (Fig. 11.3-23), lo que tiene su explicación en la ley de reacciones en los apoyos. Por el contrario (Fig. 11.3-24), para valores bajos de bL, los apoyos interiores no provocan el máximo en el centro de la luz, sino a cuartos. Además, la flexión es negativa en el resto de casos analizados y siempre mayor en valor absoluto que para la misma bL exterior.
Para ambas posiciones de los apoyos (Fig. 11.3-25 y Fig. 11.3-26), la torsión cambia su signo y crece en valor absoluto con bL, y es siempre mayor para los apoyos interiores. La forma discontinua de la ley de torsiones tiene su origen en que las torsiones por excentricidad de las reacciones se concentran en las secciones de los nudos de apoyos
Con respecto a las flechas (Fig. 11.3-27), para apoyos interiores son sistemáticamente mayores que para apoyos exteriores, pero no en los mismos puntos, salvo para el último caso de la serie, que se producen en el centro del tablero. Para apoyos interiores, las flechas máximas se van desplazando de los estribos al centro a medida que crece bL.
226
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
50
100
150
200
250
300
350
400
PP+CP. gT=-10: Reacciones verticales (bL). Apoyos exteriores.
x [m]
R Z [KN]
134
47
182
60
258
45
317
37
366
33
bL=0
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
Fig. 11.3-21.- Caso gT=-10. Apoyos exteriores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre las reacciones verticales.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
0
50
100
150
200
250
PP+CP. gT=-10: Reacciones verticales (bL). Apoyos interiores.
x [m]
R Z [KN]
134
47
165
4
152
32
200
11
217
-7
bL=0
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
Fig. 11.3-22.- Caso gT=-10. Apoyos interiores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre las reacciones verticales.
227
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
PP+CP. gT=-10: Flexion longitudinal en tablero (bL). Apoyos exteriores.
x [m]
M 3 [KN·
m]
47 -63
1493
0
2881
0
4175
0
5372
0
bL=0
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
Fig. 11.3-23.- Caso gT=-10. Apoyos exteriores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre la flexión longitudinal del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-12000
-10000
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
PP+CP. gT=-10: Flexion longitudinal en tablero (bL). Apoyos interiores.
x [m]
M 3 [KN·
m]
47-63
0
-1986
42
-4392
134
-8159
0
-11073
bL=0
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
Fig. 11.3-24.- Caso gT=-10. Apoyos interiores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre la flexión longitudinal del tablero.
228
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
PP+CP. gT=-10: T orsion en tablero (bL). Apoyos exteriores.
x [m]
T [K
N·m
]
1-1
33
-33
55
-55
76
-76
95
-95
bL=0
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
Fig. 11.3-25.- Caso gT=-10. Apoyos exteriores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre la torsión del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
PP+CP. gT=-10: T orsion en tablero (bL). Apoyos interiores.
x [m]
T [K
N·m
]
1-1
69
-69
151
-151
144
-144
162
-162
bL=0
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
Fig. 11.3-26.- Caso gT=-10. Apoyos interiores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre la torsión del tablero.
229
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
PP+CP: gT=-10. Flechas verticales (bL). Apoyos exteriores e interiores.
x [m]
V Z [mm
]
0
-208
0
-127
0
-61
0 -160-0
0-27
0
-146
0
-254
0
-506
bL=2.00 (Ex t.)
bL=1.50 (Ex t.)
bL=1.00 (Ex t.)
bL=0.50 (Ex t.)
bL=0
bL=0.5 (Int.)
bL=1.00 (In t.)
bL=1.50 (In t.)
bL=2.00 (In t.)
Fig. 11.3-27.- Caso gT=-10. Apoyos interiores y exteriores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre las flechas del tablero.
11.3.3. RESUMEN PARA EL TABLERO CURVO DE BAJA RIGIDEZ TORSIONAL.
1.- Si se desplazan radialmente los apoyos de un tablero y aumentamos su curvatura, las reacciones habrán de recoger la torsión del tablero. Si los apoyos se disponen exteriormente, las reacciones crecen en los apoyos intermedios y disminuyen en los estribos. Si los apoyos se disponen interiormente, las reacciones crecen en apoyos intermedios y cambian de signo en estribos.
Los valores de las reacciones para apoyos exteriores son además menores sistemáticamente que en apoyos interiores y mayores en los estribos.
2.- A igualdad de bL, a medida que aumenta la curvatura, la flexión en el tablero cambia de signo según la posición de los apoyos (se mantiene positiva para los apoyos exteriores y se vuelve negativa para los apoyos interiores).
3.- Para iguales valores de bL, los esfuerzos de torsión disminuyen con la curvatura. Debido a la pérdida de la alineación recta, los apoyos recogen dicha torsión. La torsión en el tablero es mayor para apoyos interiores que exteriores, al ser en éstos menores sus reacciones que en los interiores.
4.- Si mantenemos bL, a medida que crece la curvatura, las flechas descienden. Los apoyos exteriores provocan una reducción de flechas mucho mayor que los apoyos interiores.
5.- Si mantenemos la curvatura y aumentamos el desplazamiento radial de los apoyos, se produce una transferencia de reacciones de los apoyos intermedios cuando son exteriores (sobre todo los más alejados del centro del tablero) a los estribos. Para el caso de apoyos interiores, los máximos de las reacciones verticales van desplazándose de los extremos al centro del tablero.
6.- Para el mismo caso, la flexión con apoyos exteriores es siempre positiva y crece con el desplazamiento de apoyos. A medida que crece bL, a igualdad de curvatura, los apoyos interiores
230
desplazan las flexiones máximas de cuartos a centro de la luz. La flexión para apoyos interiores es negativa y creciente con bL. Su valor absoluto es mayor que para el caso correspondiente de apoyos interiores.
7.- A igualdad de curvatura, la torsión cambia su signo según si los apoyos son exteriores o interiores, crece en valor absoluto con bL, y es siempre mayor para los apoyos interiores.
8.- Si mantenemos la curvatura y aumentamos bL, las flechas del tablero crecen. Los máximos para los apoyos interiores se producen para el centro del tablero, y los máximos para los apoyos interiores se producen a cuartos de la luz y van desplazándose hacia el centro, conforme crece bL. Las flechas son siempre menores para apoyos exteriores que interiores.
11.4. CONCLUSIONES PROVISIONALES. De lo anterior podemos extraer las siguientes conclusiones:
1.- Aumentar la curvatura del tablero mejora sensiblemente su comportamiento, tanto en esfuerzos como en deformaciones.
2.- Aumentar el desplazamiento lateral de los apoyos provoca en general incrementos de esfuerzos y de flechas.
3.- Los apoyos desplazados se comportan, pese a estar articulados, como empotramientos parciales a torsión debido a la excentricidad respecto de la directriz.
4.- De modo general, disponer los apoyos en el lado exterior de la curva es más eficaz que disponerlos en el lado interior. Disminuyen los esfuerzos y las flechas, y además su comportamiento es menos sensible al desplazamiento lateral de los apoyos, lo que permite absorber posibles incertidumbres de cálculo o errores de ejecución con más facilidad.
Además, los apoyos exteriores siempre producen flexión positiva, lo que posibilita el empleo de secciones mixtas al trabajar la losa superior de hormigón en compresión, pero por el contrario aumenta el peso propio. La determinación de la rigidez a torsión a considerar de esta sección mixta requeriría mayor estudio.
5.- Del mismo modo que en el tablero recto, interesa disminuir al mínimo el desplazamiento lateral de apoyos, lo que favorece en principio el empleo de secciones asimétricas con el centro cerca del punto de apoyo.
6.- Una posibilidad que merece la pena estudiar más detenidamente es la posibilidad de plantear puentes de tableros curvos con los apoyos descentrados para introducir modificaciones en las leyes de esfuerzos.
7.- La curvatura del tablero y la adecuada posición de los apoyos funcionan como un mecanismo muy eficaz de control de los esfuerzos que se producen por el desplazamiento de los apoyos. El tablero curvo, pues, demanda muchísima menos rigidez que el tablero recto.
La conclusión general, pues, es que si se ha de atirantar al borde un tablero de baja rigidez torsional, la configuración estructural más adecuada es proyectar el tablero con mucha curvatura y atirantado en el borde exterior.
231
CAPÍTULO 12
12 ESTUDIO DEL TABLERO DE ALTA RIGIDEZ TORSIONAL CON APOYOS DESPLAZADOS TRANSVERSALMENTE.
12.1. INTRODUCCIÓN. Tal y como se afirma en el capítulo 11, a luz de los resultados analizados, el parámetro que
determina de un modo más radical la respuesta del puente curvo es la rigidez a torsión.
El estudio del presente capítulo es por lo tanto un estudio paralelo al de capítulo anterior. Los estudios realizados son los mismos tanto para el puente recto como para el puente curvo. La diferencia estriba en la sección utilizada, de mayor rigidez torsional, y en el posterior análisis de los resultados obtenidos.
Se recuerda entonces que para el estudio del tablero con apoyos fijos desplazados lateralmente se utiliza un tablero con las flexiones liberadas en los extremos y las torsiones empotradas, excepto donde se especifique en sentido contrario. Sus apoyos se han desplazado lateralmente una distancia bL. Se han dispuesto barras laterales, infinitamente rígidas, de unión entre el apoyo desplazado lateralmente y el nudo correspondiente centrado en el dintel. Los apoyos desplazados lateralmente tienen todos sus movimientos impedidos, pero no sus giros.
Las características mecánicas de la sección del tablero empleada en los cálculos son las que se muestran a continuación. Por las razones descritas en el capítulo anterior, no se ha considerado ninguna reducción en las dimensiones de las mismas por arrastre por cortante.
Sección de dintel: Características mecánicas: Material:
Sección cajón
b = 3.00 m
h=1.00 m
tf = 15 mm
tw = 15 mm
Ω = 0.1191 m2
I = 0.0241 m4.
J = 0.0653 m4
EI/GJ = 0.96
Acero estructural.
E = 2.1·105 MPa.
ν = 0.3
ρ = 77 KN/m3.
El tablero está sometido a una carga permanente (CP) centrada de 12 KN/m, además de su peso propio (PP), que actúa simultáneamente. Las barras laterales son de peso nulo. (La carga total PP+CP equivale pues a una carga de 21.17 KN/m)
En la figura Fig. 11.1-1 se representan las dos posibilidades de posiciones de los apoyos que se estudiarán: exterior e interior (cuando los apoyos quedan del lado exterior o interior de la curva respecto de la directriz del tablero, respectivamente), y en la Fig. 11.1-2 se ha representado una planta tipo con las principales magnitudes geométricas.
12.2. EL TABLERO RECTO CON APOYOS FIJOS DESPLAZADOS LATERALMENTE.
12.2.1. INFLUENCIA DEL DESPLAZAMIENTO LATERAL DE APOYOS.
Para el análisis del tablero recto se ha modelizado un tablero recto y se ha variado el desplazamiento lateral de los apoyos desde bL=0 (sin desplazamiento) hasta bL=2 (semiancho de plataforma), pasando por bL=1.
232
Fig. 12.2-1.- Puentes rectos (gT=0) con apoyos fijos desplazados lateralmente. Caso bL=2 (a la izquierda de la figura) y bL=0 (que coincide con el caso de puente continuo con apoyos centrados).
El puente se somete a la HIP0 (véase 3.5.2) que, dado que no hay pretensado de péndolas, coincide con la actuación simultánea de PP y CP.
Ya en la Fig. 12.2-2 vemos que el enorme incremento de flexión que se producía en el tablero con baja rigidez a torsión por efecto de desplazar los apoyos (Fig. 11.2-2) queda muy mitigado por la mayor rigidez a torsión del dintel, lo que era de esperar.
La alteración de la flexión queda concentrada en las zonas de apoyos, mientras que en el centro del vano la amplitud de la ley de momentos es prácticamente igual que con los apoyos centrados, lo que se explica porque las reacciones en el centro de la luz son en la práctica coincidentes con las de tablero con apoyos centrados (Fig. 12.2-3).
Es decir, como ya hemos anticipado en el estudio teórico, cuando en el puente recto de gran rigidez torsional se desplazan lateralmente los apoyos, ocurre lo siguiente:
• El puente flecta con luz la distancia entre estribos pero los apoyos intermedios desplazados movilizan la mayor rigidez torsional del tablero y coaccionan el desplazamiento vertical del tablero con mucha mayor eficacia que el tablero de baja rigidez torsional.
• La transferencia de reacciones desde los apoyos intermedios hacia los estribos es mucho menor que en el caso de baja rigidez torsional, y en la zona central del tablero las reacciones prácticamente coinciden con los de apoyos centrados.
• Igual que en el caso anterior, para ello se moviliza la flexión longitudinal de las barras que refieren los apoyos y el dintel (barras de diafragma), que se transforma en torsiones localizadas en el tablero. Para que se movilice dicho mecanismo resistente es imprescindible el empotramiento a torsión en los estribos del tablero recto.
Asimismo, la torsión (Fig. 12.2-4) queda definida exclusivamente por la excentricidad de las reacciones en los apoyos desplazados con respecto al tablero. La ley de torsores es discontinua porque los esfuerzos son localizados en puntos determinados.
El hecho de que las reacciones actúen con excentricidad respecto del centro de gravedad del dintel (más propiamente, del centro de esfuerzos cortantes, pero que cuyas proyecciones verticales coinciden en planta para secciones simétricas respecto a un eje vertical), introduce en el tablero un esfuerzo torsor, mayor, a igualdad de reacción, cuanto mayor es bL.
Con respecto a las flechas (Fig. 12.2-5), el hecho de aumentar la rigidez del dintel las disminuye espectacularmente (compárese con la Fig. 11.2-6) porque la coacción de los apoyos intermedios resulta ahora muy eficaz.
233
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
PP+CP. T ablero recto: Flexion longitudinal (bL)
x [m]
M 3 [KN]
41
-56
53
-28
104
0
gT=0. bL=0
gT=0. bL=1
gT=0. bL=2
Fig. 12.2-2.- Puente recto: Influencia del desplazamiento lateral de apoyos fijos sobre la flexión longitudinal.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5040
50
60
70
80
90
100
110
120
130
PP+CP. T ablero recto: Reacciones verticales (bL)
x [m]
R Z [KN]
120
42
112
47
106
60
gT=0. bL=0
gT=0. bL=1
gT=0. bL=2
Fig. 12.2-3.- Puente recto: Influencia del desplazamiento lateral de apoyos fijos sobre las reacciones verticales en apoyos.
234
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
PP+CP. T ablero recto: T orsion (bL)
x [m]
T [K
N·m
]
00
1011
-1011
1996
-1996 gT=0. bL=0
gT=0. bL=1
gT=0. bL=2
Fig. 12.2-4.- Puente recto: Influencia del desplazamiento lateral de apoyos fijos sobre la torsión.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-25
-20
-15
-10
-5
0
PP+CP. T ablero recto: Flechas verticales (bL)
x [m]
V Z [mm
]
0-0
0
-5
0
-20
gT=0. bL=0
gT=0. bL=1
gT=0. bL=2
Fig. 12.2-5.- Puente recto: Influencia del desplazamiento lateral de apoyos fijos sobre las flechas verticales.
12.2.2. INFLUENCIA DE LA RIGIDEZ A TORSIÓN.
Análogamente al estudio del capítulo 11, para analizar la influencia de la rigidez a torsión se
235
pondera ésta por un coeficiente γJ. Se han considerado valores de γJ de 0.1, 1 (el del modelo ya calculado), y 10. Posteriormente, y para confirmar la bondad de las conclusiones obtenidas, se han calculado y representado dos valores intermedios (γJ=0.5 y γJ=5) adicionales.
El valor de bL es constante e igual a 2 m en todos los casos. El resto de características del modelo se mantienen inalteradas.
Como era de esperar (Fig. 12.2-6 y Fig. 12.2-7), la disminución (γJ=0.1) de la rigidez a torsión produce un incremento muy grande de la flexión. Por el contrario, su aumento (γJ=10) acerca la ley de flectores a la del puente con apoyos centrados, hasta el punto de dar flectores negativos sobre los apoyos. (Por ejemplo, en los apoyos adyacentes a los estribos se alcanza el valor de –44 KN·m, mientras que para apoyos centrados (Fig. 12.2-2) se llega a los –56 KN·m, es decir, la rigidez de los apoyos desplazados llega a compensar alrededor del 80% de la flexión).
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
PP+CP: bL=2. gT=0. Flexion en tablero (γ J)
x [m]
M 3 [KN·
m]
834
0
185
0
104
050
-33
46
-44
γJ=0.1
γJ=0.5
γJ=1
γJ=5
γJ=10
Fig. 12.2-6.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a torsión sobre la flexión longitudinal.
A partir de los resultados de la Fig. 12.2-6, se representa en la Fig. 12.2-7 la flexión en el centro de la luz (sobre el apoyo central) y en el vano adyacente en función del coeficiente γJ de ponderación de la rigidez a torsión del tablero. En la gráfica derecha se aprecia la relación prácticamente lineal existente entre dicha flexión y el inverso de dicho coeficiente.
Esta relación lineal desaparece conforme nos acercamos a los apoyos, como se ve cuando se comparan los resultados con los de la Fig. 12.2-8, en los que se representan los flectores sobre el segundo apoyo intermedio y en el centro del tercer vano.
236
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
γJ
M3 [
KN·m
]
Flexion en centro de vano (γJ)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1/γJ
M3 [
KN·m
]
Flexion en centro de vano (1/γJ)
Fig. 12.2-7.- Evolución de la flexión sobre el apoyo central y el centro del vano adyacente debido al coeficiente de ponderación (γJ ) de la rigidez a torsión (a la izquierda) y de su inverso (a la derecha).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
γJ
M3 [
KN·m
]
Flexion en 2º apoyo intermedio y en centro de vano 3 (γJ)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1/γJ
M3 [
KN·m
]
Flexion en 2º apoyo intermedio y en centro de vano 3 (1/γJ)
Fig. 12.2-8.- Evolución de la flexión sobre el segundo apoyo intermedio y en el centro del tercer vano en función de γJ y de su inverso. Como se puede ver en la gráfica derecha, comparando con la de Fig. 12.2-7, a medida que son más importantes las perturbaciones cercanas a los estribos, desaparece la relación prácticamente lineal entre la flexión y el inverso de γJ.
Y como hemos visto, la disminución de la flexión se produce por un incremento de las reacciones en los nudos de apoyo (Fig. 12.2-9), sobre todo en los extremos del tablero, que conlleva la disminución de la transferencia de reacción vertical del vano a los estribos y, por lo tanto, un aumento de la torsión en las zonas extremas.
237
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5040
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
PP+CP: bL=2. gT=0. Reacciones verticales (γ J)
x [m]
R Z [KN]
140
57
106
74
106
60
114
46
117
44
γJ=0.1
γJ=0.5
γJ=1
γJ=5
γJ=10
Fig. 12.2-9.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a torsión sobre las reacciones verticales en apoyos.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
PP+CP: bL=2. gT=0. T orsion en tablero (γ J)
x [m]
T [K
N·m
]
1838
-1838
1969
-1969
1996
-1996
2025
-2025
2029
-2029
γJ=0.1
γJ=0.5
γJ=1
γJ=5
γJ=10
Fig. 12.2-10.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a torsión sobre el torsor en el tablero.
Asimismo, el incremento de rigidez a torsión lleva aparejado una disminución muy importante de las flechas del tablero (Fig. 12.2-11). Si aumentamos la rigidez a torsión 10 veces reducimos las flechas a un 5% del valor original (de 40 a 2 mm).
238
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
PP+CP: bL=2. gT=0. Flechas verticales (γ J)
x [m]
V Z [mm
]
0
-195
0
-40
0
-20
0 -40-2
γJ=0.1
γJ=0.5
γJ=1
γJ=5
γJ=10
Fig. 12.2-11.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a torsión sobre las flechas verticales del tablero.
12.2.3. INFLUENCIA DE LA RIGIDEZ A FLEXIÓN.
Para analizar la influencia de la rigidez a flexión se pondera ésta por un coeficiente γΙ. Se han considerado valores de γI de 0.1, 1 (el del modelo ya calculado) y 10. El valor de bL es constante e igual a 2 m en todos los casos. Como en el caso de la torsión, el resto de características del modelo se mantienen inalteradas. El modelo de partida es el mismo que el del apartado 12.2.2.
El primer resultado obtenido era de esperar: a medida que crece la rigidez a flexión longitudinal del tablero se transmiten más eficazmente las reacciones a los estribos y disminuyen las reacciones en los apoyos laterales intermedios (Fig. 12.2-12).
Por lo tanto, al disminuir las reacciones verticales de los apoyos intermedios, crece la flexión (Fig. 12.2-13) y disminuye la torsión fruto de la excentricidad de las reacciones (Fig. 12.2-14). La disminución de flechas (Fig. 12.2-15) con el aumento de la rigidez a flexión es poco significativa, ya que queda fundamentalmente controlada por la rigidez torsional.
239
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5040
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
PP+CP: bL=2. gT=0. Reacciones verticales (γ I)
x [m]
R Z [KN]
120
42
117
44
106
60
140
57
γ I=0.01
γ I=0.1
γ I=1
γ I=10
Fig. 12.2-12.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a flexión sobre las reacciones verticales del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
PP+CP: bL=2. gT=0. Flexion en tablero (γ I)
x [m]
M 3 [KN·
m]
46
-44
104
0
834
0
γ I=0.1
γ I=1
γ I=10
Fig. 12.2-13.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a flexión sobre el flector longitudinal.
240
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
PP+CP: bL=2. gT=0. T orsion en tablero (γ I)
x [m]
T [K
N·m
]
2029
-2029
1996
-1996
1838
-1838
γ I=0.1
γ I=1
γ I=10
Fig. 12.2-14.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a flexión sobre la torsión.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-25
-20
-15
-10
-5
0
PP+CP: bL=2. gT=0. Flechas verticales (γ I)
x [m]
V Z [mm
]
0
-21
0
-20
0
-20
0
-19
γ I=0.01
γ I=0.1
γ I=1
γ I=10
Fig. 12.2-15.- Puente recto: bL=2. Influencia de la rigidez a flexión sobre las flechas verticales.
241
12.2.4. CONCLUSIONES PARA EL PUENTE RECTO DE ELEVADA RIGIDEZ A TORSIÓN.
1.- En el puente recto, al desplazar lateralmente los apoyos, la rigidez torsional del tablero coacciona muy eficazmente su desplazamiento vertical, y, aunque el puente tiende a flectar con la luz entre estribos, la eficacia de los apoyos desplazados se acerca a la de los apoyos fijos centrados, al menos en la zona central de la luz.
2.- La rigidez a torsión del tablero es pues el mecanismo resistente más importante para compensar el desplazamiento vertical del tablero. La caída de la rigidez a torsión, produce, como en el capítulo 11, un incremento de los esfuerzos de flexión. En los casos analizados, la flexión es inversamente proporcional a la rigidez a torsión.
3.- A medida que crece la rigidez a flexión, se transmiten más eficazmente las reacciones a los estribos y disminuyen las reacciones en los apoyos intermedios. Baja por tanto la torsión. Sin embargo, la variación en las flechas es menos importante, ya que quedan controladas por la rigidez torsional.
4.- Parece pues que la rigidez a torsión en los puentes rectos atirantados al borde es imprescindible para garantizar su correcto comportamiento estructural. A la luz de los resultados y de los del capítulo 11, parece que las secciones más adecuadas serán:
• Secciones grandes (con mucha área encerrada, que da inercia a torsión).
• Forzosamente empotrados a torsión en los estribos.
• Asimétricas (que disminuyen el efecto del desplazamiento lateral de los apoyos).
• Con la rigidez a flexión muy controlada para no aumentar en exceso la flexión y no volver ineficaz el sistema de atirantamiento de los apoyos intermedios.
Que tienen los siguientes efectos:
• Las flechas quedan muy controladas por la coacción de los apoyos desplazados.
• Vuelve muy eficaz el sistema de atirantamiento, al aumentar el valor de las reacciones en los apoyos intermedios que no se transfieren por flexión a los estribos.
• Disminuye la flexión general del tablero.
12.3. EL TABLERO CURVO CON APOYOS FIJOS DESPLAZADOS RADIALMENTE. Para el análisis del tablero curvo de alta rigidez torsional con apoyos fijos desplazados en sentido
radial, se han realizado dos estudios paramétricos, paralelos a los del aparatado 11.3.
1.- En primer lugar, para evaluar el efecto del incremento de la curvatura, y para un valor fijo de bL=2.00 m, se ha estudiado el efecto de la curvatura del tablero. Se ha partido del puente recto (gT=0, R=∞) y se ha aumentado la curvatura hasta gT=-10 (R=130 m), con incrementos de –2 m. Se han estudiado dos series, con apoyos desplazados hacia el exterior y hacia el interior (Fig. 11.1-1).
2.- Análogamente, para un puente curvo de iguales características, y para un valor constante de la flecha horizontal del tablero de gT=-10 m, se estudia la influencia de la variación de bL. El valor de bL crece de 0 (puente apoyado en el centro) a 2.00 m, con incrementos de 0.5 m. Se han estudiado dos series, con apoyos desplazados hacia el exterior y hacia el interior de la curva de la directriz.
12.3.1. INFLUENCIA DE LA CURVATURA EN EL PUENTE CON APOYOS DESPLAZADOS RADIALMENTE.
A continuación se presentan los resultados del primer estudio en el que se estudia el efecto de la curvatura sobre el tablero. Se recuerda que, en esta serie de resultados, los estribos están liberados a flexión y empotrados a torsión.
242
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5060
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
PP+CP: bL=2. Reacciones verticales en tablero (gT). Apoyos exteriores.
x [m]
R Z [KN]
106
87
106
82
105
77
105
72
105
66
106
60
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 12.3-1.- bL=2 (Apoyos exteriores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las reacciones verticales.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5030
40
50
60
70
80
90
100
110
120
PP+CP: bL=2. Reacciones verticales en tablero (gT). Apoyos interiores.
x [m]
R Z [KN]
112
33
110
38
109
43
108
49
107
55
106
60
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 12.3-2.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las reacciones verticales.
243
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-100
0
100
200
300
400
500
PP+CP: bL=2. Flexion longitudinal en tablero (gT). Apoyos exteriores.
x [m]
M 3 [KN·
m]
460
-0
397
-0
329
0
257
0
182
-0
104
0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 12.3-3.- bL=2 (Apoyos exteriores). Influencia de la curvatura del tablero sobre la flexión longitudinal del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-400
-300
-200
-100
0
100
200
PP+CP: bL=2. Flexion longitudinal en tablero (gT). Apoyos interiores.
x [m]
M 3 [KN·
m]
54
-377
60
-295
66
-211
73
-127
84
-44
104
0
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 12.3-4.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre la flexión longitudinal del tablero.
244
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
PP+CP: bL=2. T orsion en tablero (gT). Apoyos exteriores.
x [m]
T [K
N·m
]1879
-1879
1905
-1905
1931
-1931
1955
-1955
1977
-1977
1996
-1996
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 12.3-5.- bL=2 (Apoyos exteriores). Influencia de la curvatura del tablero sobre la torsión del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
PP+CP: bL=2. T orsion en tablero (gT). Apoyos interiores.
x [m]
T [K
N·m
]
2030
-2030
2032
-2032
2030
-2030
2023
-2023
2012
-2012
1996
-1996
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 12.3-6.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre la torsión del tablero.
245
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-25
-20
-15
-10
-5
0
PP+CP: bL=2. Flechas en tablero (gT). Apoyos exteriores.
x [m]
v Z [mm
]
0
-19
0
-19
0
-19
0
-20
0
-20
0
-20
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 12.3-7.- bL=2 (Apoyos exteriores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las flechas verticales.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-25
-20
-15
-10
-5
0
PP+CP: bL=2. Flechas en tablero (gT). Apoyos interiores.
x [m]
v Z [mm
]
0
-21
0
-21
0
-21
0
-20
0
-20
0
-20
gT=-10
gT=-8
gT=-6
gT=-4
gT=-2
gT=0
Fig. 12.3-8.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las flechas verticales.
246
12.3.1.1. Apoyos exteriores e interiores.
De acuerdo con la Fig. 12.3-1 y la Fig. 12.3-2, la evolución de las reacciones verticales es diferente según se apoye el puente por el exterior o por el interior. El doble origen de esta distribución (el efecto del signo de la flexión sobre su torsión acoplada y el efecto de basculación en torno de la cuerda que une los estribos) ha sido explicado en el apartado 11.3.1.1. Es de destacar la eficacia de los apoyos exteriores, en el que prácticamente coinciden las reacciones en todos los casos.
12.3.1.2. Posición relativa de apoyos intermedios y estribos, e influencia de los empotramientos a torsión y presencia de apoyos elásticos.
Un fenómeno que puede aparecer al desplazar los apoyos lateralmente es que parte de ellos (sobre todo los adyacentes a los estribos) queden a distinto lado que el resto respecto de la cuerda que une los estribos. Análogamente a los resultados obtenidos en el capítulo anterior, la posición de los apoyos condiciona el mecanismo que contrarresta la basculación del tablero.
El fenómeno y los factores que lo favorecen se han descrito en el apartado 11.3.1.2. Si se articulan los apoyos de los estribos a torsión, el giro del tablero ha de ser contrarrestado sólo por acciones verticales y la reacción en los nudos intermedios más cercanos a los estribos (del otro lado de la cuerda que los une) es ascendente. Este efecto de apalancamiento entre el estribo y el apoyo adyacente no desaparece por disponer apoyos elásticos (véase la Tabla 11.3-1 para los criterios de determinación de las rigideces) y las reacciones casi coinciden con los de apoyos fijos. Por el contrario, si los estribos se empotran a torsión, es este momento el que recoge el giro del tablero y alivia a dichos apoyos. La distribución de reacciones en los tres casos puede verse en la Fig. 12.3-9. El fenómeno no cambia por aumentar la rigidez a torsión del tablero, sólo que, como se ha visto, la eficacia de los apoyos es mucho mayor.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
PP+CP: bL=2. gT=-8. Apoyos interiores. Reacciones verticales.
x [m]
R Z [KN]
110 38
1266
-2079
110 42
1025
-1278
Estribos empotrados. Apoyos fijos.Estribos articu lados. Apoyos fijos.Estribos empotrados. Apoyos e lasticos.Estribos articu lados. Apoyos e lasticos.
Fig. 12.3-9.- Distribución de reacciones verticales (RZ) para el caso gT=-8, bL=2. Carga uniforme PP+CP centrada en el tablero. Comparación de distribución de reacciones para estribos articulados o empotrados a torsión, así como para apoyos elásticos con rigideces definidas en la Tabla 11.3-1.
247
Tal distribución de reacciones tiene influencia en la flexión del tablero, de acuerdo con la Fig. 12.3-10, en la que se aprecia perfectamente la perturbación que producen los momentos de “apalancamiento” entre los estribos y los nudos adyacentes a éstos.
Este efecto es perceptible asimismo en la distribución de torsión de la Fig. 12.3-11.
Por otra parte, es de destacar la disminución de las flechas del tablero que supone el empotramiento a torsión de los estribos, ya suficientemente conocido y que se puede ver en la Fig. 12.3-12.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
PP+CP: bL=2. gT=-8. Apoyos interiores. Flexion en tablero.
x [m]
M 3 [KN·
m]
60-295
5217
-727
71 -234
4945
-2168
Estribos empotrados. Apoyos fijos.Estribos articu lados. Apoyos fijosEstribos empotrados. Apoyos e lasticos.Estribos articu lados. Apoyos e lasticos.
Fig. 12.3-10.- Flexiones longitudinales en tablero para el caso gT=-8, bL=2. Carga uniforme PP+CP centrada en el tablero. Flexiones para estribos articulados o empotrados a torsión, así como para apoyos elásticos con rigideces definidas en la Tabla 11.3-1.
248
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
PP+CP: bL
=2. gT
=-8. Apoyos interiores. T orsion en tablero.
x [m]
T [K
N·m
]
2032
-2032
4054
-4054
2041
-2041
2457
-2457
Estribos empotrados. Apoyos fijos.Estribos articu lados. Apoyos fijosEstribos empotrados. Apoyos e lasticos.Estribos articu lados. Apoyos e lasticos.
Fig. 12.3-11.- Torsiones en tablero para el caso de la figura anterior.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-150
-100
-50
0
PP+CP: bL=2. gT=-8. Apoyos interiores. Flechas en tablero.
x [m]
v Z [mm
]
0
-21
0
-48
0
-38
0
-148
Estribos empotrados. Apoyos fijos.Estribos articu lados. Apoyos fijosEstribos empotrados. Apoyos e lasticos.Estribos articu lados. Apoyos e lasticos.
Fig. 12.3-12.- Flechas verticales en el tablero para el caso de la Fig. 12.3-10.
A medida que la curvatura aumenta, como ya hemos citado anteriormente, la excentricidad de
249
los apoyos adyacentes a los estribos respecto de la cuerda que los une disminuye y la posición del resto de los apoyos mejora para absorber las cargas, ya que van ganando excentricidad.
En la figura siguiente se representa la componente del momento de empotramiento en los estribos según la cuerda que los une (paralela al eje X global) en función de gT.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
20 0
40 0
60 0
80 0
100 0
120 0
140 0
160 0
180 0
200 0
gT [m]
MX [K
N·m]
Evolución de M X en función de gTEvolución de M X en función de gT
Apoyos Exteriores
Apoyos Interiores
gT
MX
Fig. 12.3-13.- Evolución de la componente del momento de empotramiento en estribos según la cuerda que los une en función de la flecha horizontal del tablero, para el caso bL=2.
12.3.1.3. Alternancia de los signos de la flexión.
El estudio de la alternancia de los signos de la flexión está relacionada con la posición de las cargas respecto de los apoyos y se estudia en el apartado 11.3.1.3.
Se veía que, cuando los apoyos están desplazados radialmente, la excentricidad de la carga se consigue también para cargas centradas en el tablero, puesto que los excéntricos ahora son los apoyos. El efecto que veíamos en el estudio del tablero con baja rigidez torsional (para que aparezca la alternancia de la flexión se necesita cierta curvatura en planta, porque el puente tiende para valores bajos de la curvatura a comportarse más como un puente que flecta entre los estribos, en lugar de bascular en torno de la cuerda que los une) se atempera bastante por efecto de la eficacia del empotramiento en estribos gracias a la rigidez a torsión.
De hecho, el signo de la flexión no cambia para valores bajos de la curvatura, ni para apoyos exteriores (Fig. 12.3-3) ni interiores (Fig. 12.3-4), excepto en una pequeña zona, decreciente con la curvatura, cerca de los estribos, para este último caso. Compárese con la variación de signo de la flexión que se obtiene para el tablero de baja rigidez torsional de la Fig. 11.3-4, en la que para bajos valores de la curvatura se producían momentos positivos para apoyos interiores.
Sin embargo, es común para los dos valores extremos de la rigidez torsional analizados en los dos capítulos, que a partir de ciertos valores de la curvatura, en los casos de apoyos interiores (Fig. 12.3-4) la flexión es negativa y para el caso de apoyos exteriores (Fig. 12.3-3) la flexión es positiva, siempre para la misma carga centrada en el tablero.
250
T=-200 KN·m
-159.3
20.7 35.6
-163.6
37.1 42.5
(a)
158.2
183.0
-208.6
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
P=100 KN
45.6
51.1
67.4 60.6
-55.0 -29.7
-149.2
29.9
Fig. 12.3-14.- Efecto desglosado de una reacción ascendente de 100 KN en un apoyo sobre un tablero curvo con los apoyos desplazados radialmente hacia el exterior (bL=2m). Torsión: (a) torsor de 200 KN·m sobre el nudo del eje; (b) ley de torsores; (c) ley de flectores. Carga puntual ascendente: (d) carga puntual de 100 KN sobre el nudo del eje; (e) ley de torsores; (f) ley de flectores.
251
T=200 KN·m
-11.8
24.1
(a)
-179.6
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
P=100 KN
30.2
-173.1
73.7 79.8 8.0
-5.6
18.1
-163.5 -170.1
33.7
33.2
-172.6
59.4
-197.6
-72.1 -67.3
Fig. 12.3-15.- Efecto desglosado de una reacción ascendente de 100 KN en un apoyo sobre un tablero curvo con los apoyos desplazados radialmente hacia el interior (bL=2m). Torsión: (a) torsor de 200 KN·m sobre el nudo del eje; (b) ley de torsores; (c) ley de flectores. Carga puntual ascendente: (d) carga puntual de 100 KN sobre el nudo del eje; (e) ley de torsores; (f) ley de flectores.
Como se puede apreciar en las Fig. 12.3-14 y Fig. 12.3-15, el efecto de la mayor rigidez torsional del tablero es, a costa de un ligero aumento de las torsiones, limitar drásticamente los esfuerzos flectores con relación a los tablero de baja rigidez (Fig. 11.3-17 y Fig. 11.3-18), y además provocar que la influencia de las acciones puntuales se absorba rápidamente y no tengan tanta influencia tan lejos del punto de aplicación de las cargas.
Excepción hecha de las zonas de empotramiento, el signo de la flexión se mantiene aún cuando se libere el empotramiento a torsión en los estribos. En la Fig. 12.3-16 se muestra la distribución de reacciones y en la Fig. 12.3-17 se puede ver el signo de la flexión cuando, para apoyos interiores, se liberan las coacciones en algunos puentes de la serie.
252
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
PP+CP: bL=2. Estribos articulados. Flexion en tablero (gT).
x [m]
M 3 [KN·
m]
5166
-912
5217
-727
5200
-338
gt=-10. (Interio r)
g t=-8. (Interior)
g t=-4. (Interior)
Fig. 12.3-16.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre su flexión longitudinal al articular los estribos a torsión (Compárese con Fig. 12.3-4).
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
PP+CP: bL=2. Estribos articulados. Reacciones verticales (gT).
x [m]
R Z [KN]
1279
-2072
1266
-2079
1213
-2032
gt=-10. (Inte rior)
g t=-8 . (In terior)
g t=-4 . (In terior)
Fig. 12.3-17.- bL=2 (Apoyos interiores). Influencia de la curvatura del tablero sobre las reacciones al articular los estribos a torsión (Compárese con la Fig. 12.3-2).
253
12.3.1.4. Torsión y flechas.
Con respecto a la torsión (Fig. 12.3-5 y Fig. 12.3-6), la curvatura la hace disminuir para ambas posiciones de los apoyos. Sin embargo, debido a la eficacia del tablero con alta rigidez torsional para movilizar las reacciones y la poca variación de éstas, los valores de la torsión no cambian demasiado. En general, los esfuerzos de torsión son menores para los apoyos en el exterior.
Como en el caso del tablero de baja rigidez torsional, la reducción de flechas que consiguen los apoyos exteriores (Fig. 12.3-7) no la consiguen los interiores (Fig. 12.3-8). Sin embargo, para cualquier valor de la curvatura se puede apreciar, comparando los resultados con los del capítulo anterior, lo crucial de la rigidez a torsión en la coacción de las flechas.
12.3.2. INFLUENCIA DEL DESPLAZAMIENTO RADIAL DE APOYOS EN EL PUENTE CURVO.
Como se ha citado, el estudio se realiza desplazando los apoyos en un tablero de flecha horizontal en planta gT=-10 m. El tablero es idéntico al del resto del estudio.
En la Fig. 12.3-19 se puede apreciar como evolucionan las reacciones en los apoyos en función de la distancia de desplazamiento de apoyos. A medida que aumenta bL, disminuye el par generado por el apalancamiento entre la reacción de los estribos y el nudo adyacente, mientras que aumenta el momento de empotramiento a torsión (Fig. 12.3-18). Esto ocurre también para el caso de apoyos interiores (Fig. 12.3-20). El par de empotramiento es muy similar para ambas posiciones de apoyos, ligeramente mayor para apoyos interiores y de signo contrario.
La variación de reacciones verticales para apoyos exteriores responde cuando aumentamos bL de la misma manera que cuando disminuimos la curvatura gT para una distancia bL dada. Cuando crece bL, el comportamiento de las reacciones es como si de alguna forma redujéramos la curvatura del tablero. En cuanto dejamos de apoyar en el centro, la reacción de los estribos crece a costa de disminuir la reacción en el primer apoyo. Es decir, se genera un momento de empotramiento creciente con bL, al crecer la reacción en estribos y disminuir la del primer apoyo. En los apoyos intermedios, las reacciones tienden a disminuir ligeramente a medida que crece bL. Esto tiene su explicación en que los apoyos recogen más eficazmente la torsión del tablero al tener más brazo.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
gT [m]
MX [K
N·m]
Apoyos interiores: Evolución de MX en función de gT Apoyos Exteriores Apoyos Interiores
Evolución de MX en función de bL
bL [m]
bL+
MX
Fig. 12.3-18 .- Evolución de la componente del momento de empotramiento en estribos según la cuerda que los une en función de la distancia lateral de atirantamiento, bL, flecha horizontal del tablero, para el caso gT=-10.
La eficacia de los apoyos desplazados por la elevada rigidez a torsión produce las leyes de flexiones siguientes: para apoyos exteriores es positiva y creciente con bL (Fig. 12.3-21). Por el contrario (Fig. 12.3-22), para valores bajos de bL, se vuelve negativa y siempre mayor en valor absoluto que para la misma bL exterior.
Para ambas posiciones de los apoyos (Fig. 12.3-23 y Fig. 12.3-24), la torsión cambia su signo, crece en valor absoluto con bL, y es siempre menor para los apoyos interiores. La forma discontinua de la ley de torsiones tiene su origen en que las torsiones por excentricidad de las reacciones se concentran en las secciones de los nudos de apoyos.
254
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5040
50
60
70
80
90
100
110
120
130
PP+CP: bL=2. Reacciones verticales en tablero (gT). Apoyos exteriores.
x [m]
R Z [KN]
106
87
108
74
115
62
121
51
123
43
bL=2.0
bL=1.5
bL=1.0
bL=0.5
bL=0
Fig. 12.3-19.- Caso gT=-10. Apoyos exteriores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre las reacciones verticales.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 5030
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
PP+CP: bL=2. Reacciones verticales en tablero (gT). Apoyos interiores.
x [m]
R Z [KN]
112
33
111
33
116
34
121
37
123
43
bL=2.0
bL=1.5
bL=1.0
bL=0.5
bL=0
Fig. 12.3-20.- Caso gT=-10. Apoyos interiores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre las reacciones verticales
255
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-100
0
100
200
300
400
500
PP+CP: gT=-10. Flexion en tablero (bL). Apoyos exteriores.
x [m]
M 3 [KN·
m]
460
0
342
0
230
-0
123
-36
43
-59
bL=2.0
bL=1.5
bL=1.0
bL=0.5
bL=0
Fig. 12.3-21.- Caso gT=-10. Apoyos exteriores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre la flexión longitudinal del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
PP+CP: gT=-10. Flexion en tablero (bL). Apoyos interiores.
x [m]
M 3 [KN·
m]
55
-377
45
-306
38
-227
38
-140
43
-59
bL=2.0
bL=1.5
bL=1.0
bL=0.5
bL=0
Fig. 12.3-22.- Caso gT=-10. Apoyos interiores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre la flexión longitudinal del tablero.
256
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
PP+CP: gT=-10. T orsion en tablero (bL). Apoyos exteriores.
x [m]
T [K
N·m
]1879
-1879
1433
-1433
970
-970
492
-492
1-1
bL=2.0
bL=1.5
bL=1.0
bL=0.5
bL=0
Fig. 12.3-23.- Caso gT=-10. Apoyos exteriores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre la torsión del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
PP+CP: gT=-10. T orsion en tablero (bL). Apoyos interiores.
x [m]
T [K
N·m
]
2030
-2030
1517
-1517
1007
-1007
500
-500
1-1
bL=2.0
bL=1.5
bL=1.0
bL=0.5
bL=0
Fig. 12.3-24.- Caso gT=-10. Apoyos interiores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre la torsión del tablero.
257
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
PP+CP: gT=-10. Flechas verticales en tablero (bL). Apoyos exteriores.
x [m]
v Z [mm
]
0
-19
0
-11
0
-5
0
-1
0-0
bL=2.0
bL=1.5
bL=1.0
bL=0.5
bL=0
Fig. 12.3-25.- Caso gT=-10. Apoyos exteriores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre las flechas del tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-25
-20
-15
-10
-5
0
PP+CP: gT=-10. Flechas verticales en tablero (bL). Apoyos interiores.
x [m]
v Z [mm
]
0
-21
0
-12
0
-5
0-1
0-0
bL=2.0
bL=1.5
bL=1.0
bL=0.5
bL=0
Fig. 12.3-26.- Caso gT=-10. Apoyos interiores. Influencia del desplazamiento de apoyos bL sobre las flechas del tablero.
Con respecto a las flechas, para apoyos interiores son sistemáticamente mayores para apoyos interiores (Fig. 12.3-26) que para apoyos exteriores (Fig. 12.3-25), y las deformadas adoptan formas muy
258
similares, debido a la mayor homogeneidad de las distribuciones de reacciones en el tablero.
12.4. SOBRECARGAS ALTERNADAS Y EFECTO DE LA POSICIÓN RELATIVA DE ANCLAJE Y CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SECCIÓN. Hasta ahora, sólo se ha contemplado el caso de sobrecargas uniformemente repartidas en todo el
tablero. Además, se ha considerado el caso de la sección dispuesta con su centro de gravedad (supuesto coincidente con el de esfuerzos cortantes) en el eje de la plataforma, con lo que dicha posición, simétrica respecto de la directriz, divide a la plataforma en dos semitableros iguales.
En un caso más general, la sección no sólo podrá disponerse en una posición no coincidente con el eje de la plataforma1, sino que las cargas podrán actuar, parcialmente, en zonas determinadas, y no en toda su área simultáneamente.
La sección asimétrica puede resultar muy adecuada, pues, como se ha visto, parece que interesa, a la luz de los resultados anteriores para cargas centradas, reducir la distancia bL, o distancia centro-apoyo. Análogamente, es sabido que, en los tableros curvos sobre apoyos fijos, se produce inversión del signo de la flexión ante sobrecargas alternadas por semitableros. Esto, en algunos casos, puede llevar a establecer los esfuerzos más desfavorables para patrones de sobrecargas que no ocupan toda la superficie del tablero simultáneamente.
Plantearemos un tratamiento unificado tanto para el efecto de las sobrecargas alternadas como el de la posición relativa entre el anclaje y el centro de gravedad de la sección. La disposición será la de la Fig. 12.4-1, en la que la colocación asimétrica de la sección divide ahora la plataforma en dos zonas susceptibles de ser cargadas, de anchos diferentes. Una, de ancho bi y situada entre el borde interior de la plataforma y la directriz (ahora de radio R') y una segunda, de ancho be situada entre la directriz y el borde
exterior de la plataforma. Introduciremos la variable auxiliar bbβ e= , que expresa la relación entre el
ancho cargable exterior de la plataforma y su ancho total, que hemos denominado, simplificadamente, b, supuesto bS=b (véase Fig. 3.5-1). Así, un valor de β entre 0 y 0.5 indica que el centro de la sección está más cerca del borde exterior que del interior.
be bi
b
Borde exterior
2.00 2.00
4.00
Borde interior
R=13
2 m
R=13
0 m
(g
T=-1
0)
R=12
8 m
bbβ e= bβ· bβ)·1( −
R
'R
EXT INT
Fig. 12.4-1.- Sección transversal tipo del tablero estudiado, con cajón descentrado en la sección.
Para el análisis de las sobrecargas siempre podremos descomponer el efecto de una sobrecarga superficial vertical y descendente, q, en la actuación conjunta de su resultante vertical P y un torsor concomitante T actuando en la directriz, ambos expresados por unidad de longitud.
Denominaremos Pi a la resultante vertical de la sobrecarga excéntrica que actúa entre el borde
1 Seguiremos manteniendo, sin embargo, la hipótesis de que el centro de gravedad y el de esfuerzos
cortantes coinciden en planta.
259
interior de la plataforma y la directriz del tablero (en el ancho bi), y análogamente, denominaremos Pe a la que actúa entre el borde exterior de la plataforma y la directriz (en el ancho be). Los torsores concomitantes con dichas resultantes son, respectivamente, Ti y Te. Es interesante hacer notar que dichas resultantes son independientes de la posición de apoyos (véase Fig. 12.4-2).
=
Pi+Pe
b
+
= +
= +
q
β)qb(Pi −= 1 ( )2
1 22 βqbTi
−=
q
q
SECCIÓN ASIMÉTRICA: RESULTANTES DE ACCIONES.
EXT. INT.
β·b b·(1- β)
qbβPe = 2
)( 2βbqTe =
( )βqbTT ei 21· −=+
Caso β<0.5
( )12· −=+ βqbTT ei
Caso β>0.5
Fig. 12.4-2.- Resultantes de acciones en un tablero con plataforma asimétrica.
En el caso de que el tablero se apoye en uno de sus bordes, bL coincidirá con be si se apoya en el borde exterior y con bi si lo hace en el borde interior.
12.4.1. EFECTO DE LAS SOBRECARGAS ALTERNADAS.
12.4.1.1. Sección con plataforma simétrica y apoyos centrados.
En el caso de sección simétrica respecto de la plataforma dichas acciones excéntricas, actuantes en semitableros iguales, se corresponderán con las sobrecargas SCUC y SCUD (Véase 3.5) si q=4 KN/m2, aunque utilizaremos, por generalidad, la notación que acabamos de introducir.
Así, 2bbb ie == , por simetría de la plataforma, y bL=0, pues los apoyos están bajo el centro de la
sección.
En lo que a flexión se refiere, el efecto de las sobrecargas alternadas se muestra con mucha claridad si analizamos los de las acciones P y T por separado.
bL=0
=
Pi+Pe=2·Pi
b
+
Ti=-Te
= +
= +
q
2qbPe =
8
2qbTe =
2qbPi =
8
2qbTi =q
q
2·M(Pi)
M(Pe)= M(Pi)
M(Pi) M(Ti)
M(Te)=-M(Ti)
-
+ - +
- +
- +
Leyes de flectores: SECCIÓN SIMÉTRICA: APOYOS CENTRADOS.
EXT. INT.
2bbe =
2bbi =
Fig. 12.4-3.- Resultantes de acciones y esfuerzos flectores en tableros simétricos con apoyos centrados.
260
Ya se vio en 4.5.1.5, confirmando los resultados de [26], que, dado que el tablero es lo bastante rígido a torsión, para una carga repartida P la ley de flexiones del tablero curvo es bastante similar a la del tablero recto del mismo desarrollo que el curvo rectificado (véase la Fig. 12.4-6 para el caso bL=0). Además, la torsión se mantiene en niveles muy bajos (véase la Fig. 12.4-8 para el mismo caso).
Por otra parte, el flector provocado por Ti es siempre positivo, mientras que el provocado por Te es siempre negativo2 (Véase la Fig. 12.4-7 para el caso de apoyos centrados). Análogamente, las torsiones producidas por ambos son de signo contrario (Véase la Fig. 12.4-9 para el mismo caso).
12.4.1.2. Sección con plataforma simétrica con apoyos en el borde.
Ya hemos visto (Fig. 12.3-21 y Fig. 12.3-22) que, ante una carga uniforme centrada, el desplazamiento de apoyos provoca la alternancia del signo de la flexión, en función de la posición relativa de la carga y los apoyos, desplazados una distancia bL. En la Fig. 12.4-6 podemos ver con claridad este efecto, en el que desplazar los apoyos hacia el exterior o hacia el interior provoca dos leyes de flexiones prácticamente simétricas, positivas y negativas, respectivamente.
Es de destacar el gran crecimiento de la torsión (Fig. 12.4-8) con respecto al caso de apoyos centrados.
En lo que respecta a la flexión producida por los torsores Ti y Te, vemos (véase la Fig. 12.4-7) que cuando bL≠0, el signo no se altera con respecto al caso de apoyos centrados. Además se produce un efecto de apalancamiento en estribos porque los apoyos de los estribos y el resto no están sobre la misma circunferencia, y la ley de flectores se altera cerca de los estribos. La forma de la ley es la misma para los tres casos.
Otro tanto ocurre con la torsión (Fig. 12.4-9), aunque se ve poco alterada con respecto al caso de apoyos centrados.
= +
= +
= +
q
q
q
2·M(Pi)
M(Pi)
-
Leyes de flectores:
-
-
M(Pe)=M(Pi)
SECCIÓN SIMÉTRICA: APOYOS INTERIORES.
Pi+Pe=2·Pi Ti=-Te
2qbPe =
2qbPi =
q
EXT. INT.
2bbL =
8
2qbTe =
8
2qbTi =
b 2bbe =
2bbi =
M(Ti)
-
+
M(Te)=-M(Ti)
Fig. 12.4-4.- Resultantes de acciones y leyes de flectores en tableros curvos simétricos con apoyos desplazados hacia el interior.
2 De ahí la causa de la inversión de signos en los tableros curvos con apoyos centrados (Fig. 11.3-16) ante
las sobrecargas por semitableros.
261
= +
= +
= +
q
q
q
M(Pi) M(Ti)
-
+ +
Leyes de flectores:
+
2·M(Pi)
+
SECCIÓN SIMÉTRICA: APOYOS EXTERIORES.
M(Pe)=M(Pi) M(Te)=-M(Ti)
Pi+Pe=2·Pi Ti=-Te
2qbPe =
2qbPi =
EXT. INT.
2bbL =
8
2qbTe =
8
2qbTi =
b 2bbe =
2bbi =
Fig. 12.4-5.- Resultantes de acciones y leyes de flectores en tableros curvos simétricos con apoyos desplazados hacia el exterior.
12.4.1.3. Resumen del efecto de las sobrecargas alternadas en secciones con plataforma simétrica.
Para sobrecargas centradas el tablero es un tablero curvo sobre apoyos puntuales en el caso de apoyos centrados, y su comportamiento se aproxima al del tablero rectificado. Para apoyos descentrados, se origina flexión positiva cuando se desplazan los apoyos al exterior y viceversa. También aparecen torsiones adicionales.
Los torsores repartidos Ti y Te producen leyes de flexiones adicionales, positivas y negativas respectivamente. Para apoyos descentrados, el signo de dichas flexiones se mantiene. Las torsiones cambian poco.
Para ambos tipos de carga aparecen unos momentos de apalancamiento entre los apoyos de los estribos y los adyacentes que perturban todas las leyes de esfuerzos, al dejar de estar situados en la misma circunferencia.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
Pi y Pe. gT=-10. Flexion en tablero (bL).
x [m]
M 3 [KN·
m]
165
016
-21
20
-135
Pi+Pe. bL=2.0 Ex terior.
Pi+Pe. bL=0.
Pi+Pe. bL=2.0 Interior.
Fig. 12.4-6.- Caso gT=-10. Sección simétrica: Flexiones debidas a Pi+Pe en función de bL.
262
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
T i y T e. gT=-10. Flexion en tablero (bL).
x [m]
M 3 [KN·
m]
75
0
66
0
56
-30
-75
0
-66
3
-56
Ti. bL=2.0 Ex terior.
Ti. bL=0.
Ti. bL=2.0 In terior.
Te. bL=2.0 Ex terior.
Te. bL=0.
Te. bL=2.0 Interior.
Fig. 12.4-7.- Caso gT=-10. Sección simétrica: Flexiones debidas a Ti y Te en función de bL.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
Pi. gT=-10. T orsion en tablero (bL).
x [m]
T [K
N·m
]
675
-675
1-1
729
-729
Pi. bL=2.0 Ex terior.
Pi. bL=0.
Pi. bL=2.0 Interior.
Fig. 12.4-8.- Caso gT=-10. Sección simétrica: Torsiones debidas a la acción Pi en función de bL. La ley es discontinua porque es debida a las reacciones localizadas en los apoyos desplazados.
263
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
T i y T e. gT=-10. T orsion en tablero (bL).
x [m]
T [K
N·m
]
335
-335
353
-353
362
-362
335
-335
353
-353
362
-362
Ti. bL=2.0 Ex terior.
Ti. bL=0. Centrado.
Ti. bL=2.0 In terior.
Te. bL=2.0 Ex terior.
Te. bL=0.
Te. bL=2.0 Interior.
Fig. 12.4-9.- Caso gT=-10. Sección simétrica: Torsiones debidas a la acción Ti y Te en función de bL.
12.4.2. POSICIÓN RELATIVA DE ANCLAJE Y CENTRO DE GRAVEDAD DE LA SECCIÓN.
12.4.2.1. Plataformas asimétricas con posición arbitraria de apoyos.
En la Fig. 12.4-10 se representa la planta de un ejemplo de tablero con sección asimétrica, para el caso bL=3.00 (apoyos exteriores), apoyada en el borde exterior, con lo que be=3.00 y bi=1.00. La curvatura del eje de la plataforma del tablero corresponde al caso gT=-10 (R=130 m).
Es de destacar que el radio del cajón, R', es diferente para cada posición, como se ve en la Fig. 12.4-1, ya que lo que se mantiene constante es la planta de la plataforma, que suele venir impuesta por condicionantes funcionales.
L=100 m (A ejes de plataforma)
gT=-10 (R=130 m)
Barras rígidas
Eje del cajón (R'=129 m)
Apoyos articulados(exteriores)
bL=3.0 m
Estribos articulados a flexión y empotrados a torsión
4.00
Bordes de la plataformaTe
Ti
Eje de plataforma (R=130 m)
Fig. 12.4-10.- Ejemplo de puente estudiado: Planta del caso bL=3.00 (apoyos exteriores), β=0.75.
En un caso general, el apoyo no estará en un borde, como en la sección de la Fig. 12.4-11, sino en una posición cualquiera de la sección.
264
=
Pi+Pe
b
+
= +
= +
q
β)qb(Pi −= 1 ( )2
1 22 βqbTi
−=
q
q
SECCIÓN ASIMÉTRICA CON POSICIÓN ARBITRARIA DE APOYOS.
EXT. INT.
β·b b·(1- β)
qbβPe = 2
)( 2bβqTe =
( )βqbTT ei 21· −=+
Caso β<0.5
( )12· −=+ βqbTT ei
Caso β>0.5
bL
R
'R
Fig. 12.4-11.- Resultantes de acciones en un tablero con plataforma asimétrica y posición arbitraria de apoyos3.
Para el análisis de la sección asimétrica con un apoyo en cualquier posición nos resulta muy útil el análisis que acabamos de realizar para sección simétrica. Basándonos en él, podemos concretarlo en los siguientes puntos:
1.- El radio del tablero es ahora el de la nueva posición de la directriz. En las Fig. 12.4-1, Fig. 12.4-10 y Fig. 12.4-11 se le ha denominado R'.
2.- El efecto de las resultantes verticales P es el que se obtiene en un tablero de radio R' con los apoyos desplazados una distancia bL.
El signo de las flexiones y torsiones que genera dicha carga P depende de si queda al lado exterior o interior de la línea de apoyos.
El valor de la carga P queda definido por el ancho de plataforma cargado y por el cambio de radio de la directriz de R a R', si bien esta variación es pequeña para los valores habituales.
3.- El efecto de los torsores T es el que hemos visto en el tablero de radio R', con zonas cargadas de distinto ancho a cada lado de la directriz, de tal manera que siempre existirá un torsor descompensado cuando actúa la sobrecarga en toda la plataforma.
El signo de dicha torsor descompensado depende de si el valor de β es mayor o menor de 0.5 (véase Fig. 12.4-11).
Los valores de Ti y Te (y las flexiones que producen) son directamente proporcionales a los cuadrados de bi y be.
Por otra parte, en función de bL (Fig. 12.4-7) se produce una perturbación en estribos que afecta a toda la ley de flectores en todo el tablero.
3 En las expresiones de Pi y de Pe no se ha considerado la influencia de la variación en el radio (y en el
desarrollo) de la directriz cargada con respecto al radio del eje de la plataforma. La expresión exacta repartiría en el desarrollo de la directriz de radio R' toda la sobrecarga actuante sobre el sector de corona circular cargada. Para b=4.00 m, β=0.75 y gT=-10m, los valores de Pe, Pi, y Pe+Pi calculados seran de 3q, q y 4q respectivamente, mientras
que los exactos resultan de 3.035·q, 0.996·q y 4.031·q. Este último se obtiene como'R
RqbPP ei =+ , que es el valor
de la resultante de la sobrecarga actuante en todo el ancho de la plataforma, ponderada por la relación entre el radio medio de ésta y el nuevo radio de la directriz. La diferencia no es relevante en los resultados que siguen.
265
12.4.2.2. Posición del centro de la sección en secciones apoyadas en un borde.
En el análisis que sigue se pretende establecer la eficacia del sistema del atirantamiento, definida por su capacidad para reducir las flechas y flexiones del tablero, cuando los centros de esfuerzos cortantes y de gravedad no están centrados en la plataforma, y las secciones están apoyadas en un borde.
Supondremos que la sección está formada por un cajón rectangular que ocupa una posición variable bajo la plataforma, como en la Fig. 12.4-1. Simplificadamente supondremos que el centro de gravedad y de esfuerzos cortantes de la sección total son los de dicho cajón rectangular, coincidentes entre sí, pero excéntricos respecto de la plataforma. A la sección total se le asignan las características mecánicas y posición de ejes principales del cajón, despreciando las variaciones de rigidez debidas a la variación de posición transversal.
El cajón tiene las siguientes características:
Sección de dintel: Características mecánicas: Material:
Sección cajón
bA = 1.50 m
hA = 1.00 m
tf = 15 mm
tw = 15 mm
Ω = 741 cm2
I = 1.320·106 cm4.
J = 2.599·106 cm4
EI/GJ = 1.32
Acero estructural.
E = 2.1·105 MPa.
ν = 0.3
ρ = 77 KN/m3.
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
bL=2.5
bL=3.0
bL=3.5
Apo
yos e
xter
iore
s
bL=3.5
bL=3.0
bL=2.5
bL=2.0
bL=1.5
bL=1.0
bL=0.5A
poyo
s int
erio
res
Fig. 12.4-12.- Casos correspondientes a los distintos casos de tableros estudiados en función de la posición de sus centros de gravedad.
Las acciones introducidas en cada caso son las siguientes, para q=4 KN/m y b=4 m:
Apoyos Exteriores
bL [m]
β
be/b
Apoyos Interiores
bL [m]
R' [m]
Pe [KN/m]
Te [KN·m/m]
Pi [KN/m]
Ti [KN·m/m]
0.5 0.125 3.5 131.50 2 0.5 14 -24.5 1.0 0.250 3.0 131.00 4 2.0 12 -18 1.5 0.375 2.5 130.50 6 4.5 10 -12 2.0 0.500 2.0 130.00 8 8.0 8 -8.0 2.5 0.625 1.5 129.50 10 12.5 6 -4.5 3.0 0.750 1.0 129.00 12 18.0 4 -2.0 3.5 0.875 0.5 128.50 14 24.5 2 -0.5
En primer lugar, para cargas verticales actuantes sobre la directriz, la ventaja de acercar el centro de gravedad al apoyo es muy grande (véanse la Fig. 12.4-13 y la Fig. 12.4-14) y se consigue una fuerte reducción de las flexiones tanto para apoyos exteriores como interiores. Otro tanto ocurre para las flechas
266
(Fig. 12.4-21), tanto en los nudos de la directriz como en los del extremo (Fig. 12.4-26) de tablero.
En segundo lugar, para momentos torsores aislados actuando sobre el tablero las leyes que se obtienen (Fig. 12.4-15 y Fig. 12.4-16) son similares a las de plataforma simétrica. Es de destacar que la posición de los apoyos provoca, para apoyos interiores, que las perturbaciones de la flexión que aparecen en estribos inviertan el signo de la flexión en las cercanías de los estribos con respecto a la ley negativa general.
Para las cargas definidas, la envolvente de flexiones en el tablero se obtiene, con suficiente aproximación, para la más desfavorable de las tres hipótesis de la Fig. 12.4-11, es decir:
1.- Pi+Ti
2.- Pe+Te
3.- Pi+Pe+Ti+Te
Sin embargo, para ésta última, como podemos ver tanto en la Fig. 12.4-17 como en la Fig. 12.4-18, la variación no es tan clara como para el caso de carga centrada, e incluso para el caso de apoyos interiores, los valores de la flexión son menores4 según crece mayor bL.
Las dos primeras hipótesis, que aparecen junto a la primera en la Fig. 12.4-19 y en la Fig. 12.4-20, reflejan la fuerte oscilación de la flexión entre dos sobrecargas alternadas cuanto más diferentes son be y bi entre sí.
Con respecto a las flechas, cuando se consideran las cargas verticales actuando junto a sus torsores asociados ( Fig. 12.4-21 a Fig. 12.4-25), la diferencia se disipa bastante, y si bien las flechas de los nudos de los centros de gravedad son menores cuanto menor es bL, las de los nudos extremos son bastante similares.
En resumen, podemos realizar las siguientes observaciones:
1.- Acercar el centro del tablero al anclaje al borde es muy eficaz para cargas centradas en la directriz. Dado que la única carga que, por definición, no da momento respecto al centro de gravedad5 es el peso propio, acercar el apoyo es especialmente útil en secciones de elevado peso propio, como de hormigón o mixtas.
A estos efectos, es interesante enfatizar que la carga permanente deja de comportarse como una carga centrada.
Es de destacar que, cuando se aleja el centro de gravedad del anclaje más allá de la mitad del tablero, la torsión descompensada provoca una flexión que compensa parcialmente la producida por la carga centrada, tanto para apoyos exteriores como interiores.
2.- Cuando se consideran los torsores propios de las sobrecargas excéntricas, la ventaja no es tan grande. Sin embargo, en nuestros cálculos6 sigue siendo más adecuado acercar los anclajes en tableros con apoyos exteriores. Con apoyos interiores, las flexiones crecen para sobrecargas, pues con altos valores de bL el momento de apalancamiento en estribos es elevado y se opone a la flexión negativa general del tablero. Otras disposiciones geométricas o tipológicas de apoyos en estribos de tableros apoyados al interior probablemente minimice este efecto.
3.- Así, parece que, en general, es eficaz acercar el centro de gravedad al apoyo o anclajes, si bien no tan dramáticamente como cuando sólo se consideran acciones centradas en la directriz. Para ambas posiciones de los apoyos, pero particularmente para las secciones apoyadas en su borde interior, este acercamiento será especialmente beneficioso con secciones de elevado peso propio.
4 Este efecto se debe a la inversión del momento de apalancamiento en los estribos con respecto al caso de
apoyos exteriores. Las leyes de la Fig. 12.4-18 estarían mucho más cercanas en el centro del tablero para los distintos valores de bL sin la zona de positivos cercana a estribos.
5 Supuesto coincidente con el centro de esfuerzos cortantes. 6 Tanto en la serie que mostramos en este capítulo, como en la repetición (no mostrada) para b=6.00 m.
267
-60 -40 -20 0 20 40 60
-10
0
10
20
30
40
50
60
P=-1 KN/m. gT=-10: Flexion longitudinal. Apoyos exteriores (bL=be)
x [m]
M 3 [KN·
m]
8
-1
14
0
21
-0
29
-0
36
0
44
-0
52
0
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
bL=2.5
bL=3.0
bL=3.5
Fig. 12.4-13.- Esfuerzos flectores en el tablero para una carga P=1KN/m centrada, en función de bL, para apoyos exteriores.
-60 -40 -20 0 20 40 60
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
P=-1 KN/m. gT=-10: Flexion longitudinal. Apoyos interiores (bL=bi)
x [m]
M 3 [KN·
m]
2
-8
2
-14
2
-19
3
-23
3
-28
4
-31
5
-34 bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
bL=2.5
bL=3.0
bL=3.5
Fig. 12.4-14.- Esfuerzos flectores en el tablero para una carga P=1KN/m centrada, en función de bL para apoyos interiores.
268
-60 -40 -20 0 20 40 60
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
T e=+1KN·m/m. gT=-10: Flexion longitudinal. Apoyos exteriores (bL=be)
x [m]
M 3 [KN·
m]
0
-13
0
-13
0
-14
0
-14
0
-14
0
-14
0
-15
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
bL=2.5
bL=3.0
bL=3.5
Fig. 12.4-15.- Esfuerzos flectores en el tablero para una carga Te=1KN·m/m centrada, en función de bL, para apoyos exteriores.
-60 -40 -20 0 20 40 60
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
T e=+1KN·m/m. gT=-10: Flexion longitudinal. Apoyos interiores (bL=bi)
x [m]
M 3 [KN·
m]
0
-12
0
-11
0
-11
0
-11
1
-10
1
-10
1
-9
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
bL=2.5
bL=3.0
bL=3.5
Fig. 12.4-16.- Esfuerzos flectores en el tablero para una carga Te=1KN·m/m centrada, en función de bL, para apoyos interiores.
269
-60 -40 -20 0 20 40 60
-100
0
100
200
300
400
500
Pe+Pi+T i+T e. gT=-10: Flexion longitudinal. Apoyos exteriores (bL=be).
x [m]
M 3 [KN·
m]
428
-0
438
0
448
-0
457
-0
466
0
475
-0
483
0
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
bL=2.5
bL=3.0
bL=3.5
Fig. 12.4-17.- Esfuerzos flectores en el tablero para la actuación de Pi+Pe+Ti+Te en función de bL. Apoyos exteriores.
-60 -40 -20 0 20 40 60
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
Pe+Pi+T i+T e. gT=-10: Flexion longitudinal. Apoyos interiores (bL=bi).
x [m]
M 3 [KN·
m]
18
-412
24
-399
32
-386
41
-373
49
-359
55
-345
61
-329
bL=0.5
bL=1.0
bL=1.5
bL=2.0
bL=2.5
bL=3.0
bL=3.5
Fig. 12.4-18.- Esfuerzos flectores en el tablero para la actuación de Pi+Pe+Ti+Te en función de bL. Apoyos interiores.
270
-60 -40 -20 0 20 40 60
-100
0
100
200
300
400
500
Pe,Pi. gT=-10: Flexion en tablero. Apoyos exteriores (bL=be).
x [m]
M 3 [KN·
m]
419
-0
407
0
381
-0
339
-0
280
0
204
-0
111
0 9 -4
31
-3
67
-0
119
-0
186
0
270
-0
371
0
428
-0
438
0
448
-0
457
-0
466
0
475
-0
483
0
bL=0.5 Pi+Ti
bL=1.0 Pi+TibL=1.5 Pi+Ti
bL=2.0 Pi+TibL=2.5 Pi+Ti
bL=3.0 Pi+TibL=3.5 Pi+Ti
bL=0.5 Pe+TebL=1.0 Pe+Te
bL=1.5 Pe+TebL=2.0 Pe+Te
bL=2.5 Pe+TebL=3.0 Pe+TebL=3.5 Pe+TebL=0.5 Pi+Ti+Pe+TebL=1.0 Pi+Ti+Pe+TebL=1.5 Pi+Ti+Pe+TebL=2.0 Pi+Ti+Pe+Te
bL=2.5 Pi+Ti+Pe+TebL=3.0 Pi+Ti+Pe+Te
bL=3.5 Pi+Ti+Pe+Te
Fig. 12.4-19.- Esfuerzos flectores en el tablero para los tres patrones de carga de la Fig. 12.4-11 en función de bL. Apoyos exteriores.
-60 -40 -20 0 20 40 60
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
Pe,Pi. gT=-10: Flexion longitudinal. Apoyos interiores (bL=be).
x [m]
M 3 [KN·
m]
4 -107
-31
12
-62
19
-102
28
-149
38
-200
51
-256
15
-402
18
-368
20
-323
22
-271
21
-211
17
-144
10
-73
18
-412
24
-399
32
-386
41
-373
49
-359
55
-345
61
-329
bL=0.5 Pi+Ti
bL=1.0 Pi+TibL=1.5 Pi+Ti
bL=2.0 Pi+TibL=2.5 Pi+Ti
bL=3.0 Pi+TibL=3.5 Pi+Ti
bL=0.5 Pe+TebL=1.0 Pe+Te
bL=1.5 Pe+TebL=2.0 Pe+Te
bL=2.5 Pe+TebL=3.0 Pe+TebL=3.5 Pe+TebL=0.5 Pi+Ti+Pe+TebL=1.0 Pi+Ti+Pe+TebL=1.5 Pi+Ti+Pe+TebL=2.0 Pi+Ti+Pe+Te
bL=2.5 Pi+Ti+Pe+TebL=3.0 Pi+Ti+Pe+Te
bL=3.5 Pi+Ti+Pe+Te
Fig. 12.4-20.- Esfuerzos flectores en el tablero para los tres patrones de carga de la Fig. 12.4-11 en función de bL. Apoyos interiores.
271
-60 -40 -20 0 20 40 60-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
P=-1 KN/m. gT=-10: Flechas verticales en nudos de tablero. Apoyos exteriores (bL=be).
x [m]
v Z [mm
]
0 -00
-1
0
-1
0
-2
0
-3
0
-5
0
-6
0
-1
0
-2
0
-4
0
-5
0
-6
0
-6
0
-7
bL=0.5. CDG
bL=1.0. CDG
bL=1.5. CDG
bL=2.0. CDG
bL=2.5. CDG
bL=3.0. CDG
bL=3.5. CDG
bL=0.5. Cordon interior.
bL=1.0. Cordon interior.
bL=1.5. Cordon interior.
bL=2.0. Cordon interior.
bL=2.5. Cordon interior.
bL=3.0. Cordon interior.
bL=3.5. Cordon interior.
Fig. 12.4-21.- Flechas en nudos de centros de gravedad y extremos interiores (véase Fig. 12.4-26) de tablero en función de bL para una carga sobre la directriz de 1 KN/m.
-60 -40 -20 0 20 40 60-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Pi + T i. gT=-10: Flechas verticales en nudos de tablero. Apoyos exteriores (bL=be).
x [m]
v Z [mm
]
0
-10
0
-18
0
-24
0
-27
0
-27
0
-23
0
-14
0
-77
0
-72
0
-64
0
-55
0
-43
0
-30
0
-16
bL=0.5. Pi + Ti CDG
bL=1.0. Pi + Ti CDG
bL=1.5. Pi + Ti CDG
bL=2.0. Pi + Ti CDG
bL=2.5. Pi + Ti CDG
bL=3.0. Pi + Ti CDG
bL=3.5. Pi + Ti CDG
bL=0.5. Pi + Ti Cordon interior.
bL=1.0. Pi + Ti Cordon interior.
bL=1.5. Pi + Ti Cordon interior.
bL=2.0. Pi + Ti Cordon interior.
bL=2.5. Pi + Ti Cordon interior.
bL=3.0. Pi + Ti Cordon interior.
bL=3.5. Pi + Ti Cordon interior.
Fig. 12.4-22.- Flechas en nudos de centros de gravedad y extremos interiores (véase Fig. 12.4-26) de tablero en función de bL para Pi+Ti.
272
-60 -40 -20 0 20 40 60-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Pe + T e. gT=-10: Flechas verticales en nudos de tablero. Apoyos exteriores (bL=be).
x [m]
v Z [mm
]
0-0
0 -10
-4
0
-9
0
-17
0
-29
0
-45
0 -10
-5
0
-11
0
-18
0
-28
0
-39
0
-52
bL=0.5. Pe + Te CDG
bL=1.0. Pe + Te CDG
bL=1.5. Pe + Te CDG
bL=2.0. Pe + Te CDG
bL=2.5. Pe + Te CDG
bL=3.0. Pe + Te CDG
bL=3.5. Pe + Te CDG
bL=0.5. Pe + Te Cordon interior.
bL=1.0. Pe + Te Cordon interior.
bL=1.5. Pe + Te Cordon interior.
bL=2.0. Pe + Te Cordon interior.
bL=2.5. Pe + Te Cordon interior.
bL=3.0. Pe + Te Cordon interior.
bL=3.5. Pe + Te Cordon interior.
Fig. 12.4-23.- Flechas en nudos de centros de gravedad y extremos interiores (véase Fig. 12.4-26) de tablero en función de bL para Pe+Te.
-60 -40 -20 0 20 40 60-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Pi + Pe + T i + T e. gT=-10: Flechas verticales en nudos de tablero. Apoyos exteriores (bL=be).
x [m]
v Z [mm
]
0
-10
0
-19
0
-28
0
-36
0
-44
0
-52
0
-59
0
-78
0
-76
0
-75
0
-73
0
-71
0
-69
0
-68
bL=0.5. CDG
bL=1.0. CDG
bL=1.5. CDG
bL=2.0. CDG
bL=2.5. CDG
bL=3.0. CDG
bL=3.5. CDG
bL=0.5. Cordon interior.
bL=1.0. Cordon interior.
bL=1.5. Cordon interior.
bL=2.0. Cordon interior.
bL=2.5. Cordon interior.
bL=3.0. Cordon interior.
bL=3.5. Cordon interior.
Fig. 12.4-24.- Flechas en nudos de centros de gravedad y extremos interiores (véase Fig. 12.4-26) de tablero en función de bL para Pi+Pe+Ti+Te.
273
-60 -40 -20 0 20 40 60-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Pi + Pe + T i + T e. gT=-10: Flechas verticales en nudos de tablero. Apoyos interiores (bL=bi).
x [m]
v Z [mm
]
0
-10
0
-20
0
-30
0
-41
0
-53
0
-65
0
-78
0
-77
0
-79
0
-81
0
-83
0
-85
0
-87
0
-89
bL=0.5. CDG
bL=1.0. CDG
bL=1.5. CDG
bL=2.0. CDG
bL=2.5. CDG
bL=3.0. CDG
bL=3.5. CDG
bL=0.5. Cordon ex terior.
bL=1.0. Cordon ex terior.
bL=1.5. Cordon ex terior.
bL=2.0. Cordon ex terior.
bL=2.5. Cordon ex terior.
bL=3.0. Cordon ex terior.
bL=3.5. Cordon ex terior.
Fig. 12.4-25.- Flechas en nudos de centros de gravedad y extremos exteriores (véase Fig. 12.4-26) de tablero en función de bL para Pi+Pe+Ti+Te.
Cordón interior
Nudos de CDG
Fig. 12.4-26.- Nudos interiores (en el extremo de la plataforma) y de centros de gravedad en un tablero con apoyos en el borde exterior.
Estos resultados coinciden con la disposición del tablero que se muestra en las realizaciones estudiadas en el capítulo 9.2: salvo secciones simétricas (como la pasarela de San Juan de la Cruz, en 9.2.1.1), el resto acercan claramente el centro de la sección a los anclajes, y no se ha localizado ningún caso que lo aleje.
Añadimos un último ejemplo (Fig. 12.4-27), también de Jiri Strasky, en el que se suspende una vez más el tablero de un borde, al que se acerca el centro de la sección.
274
Fig. 12.4-27.- Harbor Drive Bridge en San Diego. Proyecto de Jiri Strasky et al. [81]. El tablero está suspendido de su borde interior.
275
CAPÍTULO 13
13 ESTUDIO DE LAS PÉNDOLAS.
13.1. INTRODUCCIÓN. Las péndolas son los elementos que vinculan el arco con el tablero inferior. Suelen ser
biarticuladas y comportarse fundamentalmente a tracción. En determinados puentes, péndolas rígidas empotradas en el arco o en el tablero pueden excitar, como se verá, otros mecanismos resistentes.
En el caso de las péndolas articuladas formadas por cables (o barras) es más interesante para nuestro trabajo su comportamiento como elemento de conexión arco-tablero que el comportamiento de la péndola en sí. Por lo tanto, centraremos el estudio en las formas de evaluar y acotar el comportamiento no lineal de la péndola o los criterios de distribución de sus áreas.
13.2. EJEMPLOS. En los arcos de tablero inferior, las péndolas se pueden englobar en dos grandes grupos:
articuladas y rígidas.
13.2.1. PÉNDOLAS ARTICULADAS.
Las péndolas articuladas presentan anclajes extremos que permiten el giro. Suelen contar además con algún sistema reglable que permite su tesado mediante placas, roscas o tuercas una vez en posición.
Fig. 13.2-1.- Anclaje de péndolas en el tablero del puente arco sobre el río Cares-Deva en Panes. Proyecto de Siegrist y Moreno, S.L. [79]
Fig. 13.2-2.- Anclaje de péndolas en el arco del puente de Blythe Park [88].
276
Fig. 13.2-3.- Anclaje de péndolas en el arco del puente de Steinkjer (Noruega, 1963), proyecto de P. Tveit [91].
Fig. 13.2-4.- Anclaje de péndolas en arco y tablero de la pasarela [52] sobre la A-19 en Badalona. Proyecto de J. Llongueras y A. Martí (Construida en 1993).
Fig. 13.2-5.- Tipologías de anclajes de cables con extremos articulados según Buchhold [14].
Fig. 13.2-6.- Anclajes en el tablero de la pasarela del milenio de York (véase 2.3.3.5).
277
13.2.2. PÉNDOLAS RÍGIDAS.
En las péndolas rígidas se busca deliberadamente la colaboración resistente, principalmente a flexión, de las péndolas a base de darles dimensiones comparables a las de los elementos que vinculan.
Fig. 13.2-7.- Propuesta de puente sobre el río Galindo en Bilbao ([2], [50]) de Carlos Fernández Casado, S.L. Esta propuesta, cuyo arco es plenamente espacial, de proyección circular en planta, fue descartada finalmente a favor de una solución, en construcción, que recoge la torsión mediante un doble sistema de atirantamiento (Esta solución, descrita en 2.3.6.1, se estudia en el capítulo 14).
Entre otros ejemplos de péndolas rígidas dentro de las estructuras ya analizadas podemos citar las siguientes:
• Propuesta de concurso (2002) para los accesos al Aeropuerto de Barajas de Arenas & Asociados, (véase 2.3.6.3).
• Propuesta para el Pont Gentil sobre el Sena en París (véase 2.3.3.1). (El esbozo de la sección transversal de la Fig. 2.3-2, donde el conjunto tablero-péndola se asimila a un ave en vuelo, presenta, inintencionadamente, una cierta similitud con la Fig. 13.3-1.)
• Pasarela de la Devesa, en Ripoll (véase 2.3.3.2).
• Puente de la Alameda en Valencia (véase 2.3.3.3)
13.3. EFECTO ESTRUCTURAL DE LA PÉNDOLA RÍGIDA. Si la péndola está biarticulada, sólo transmite axiles en la dirección de la barra.
Si además se da rigidez a las péndolas el efecto estructural es distinto en función de los grados de libertad que se empotran:
• Si la péndola tiene rigidez a flexión transversal y está empotrada en un solo extremo, aparece un torsor localizado en el extremo empotrado que provoca una reacción perpendicular a la péndola en el extremo articulado.
• Si la péndola está biempotrada transversalmente, la movilización de la rigidez a flexión de la péndola provoca la aparición de dos torsores (en tablero y arco) localizados en sus extremos.
• Si además las péndolas están empotradas en el plano longitudinal, el comportamiento longitudinal es similar al de una viga Vierendel, donde los montantes son las péndolas rígidas, el cordón superior es el arco y el inferior el tablero.
Con una metodología similar al método de los nudos desplazados podría ahora estudiarse el comportamiento transversal por una sección que contenga simultáneamente una péndola y un diafragma de la siguiente manera.
278
Arco
Péndola
Tablero
bL
Diafragma
EIDE
EICD
Kδ,E Kθ,E
D
C
E E
D C
E Q
M
-M -Q
Fig. 13.3-1.- Redibujado de la Fig. 10.2-7 para incorporar el efecto de las péndolas rígidas simultáneamente empotrada en el arco y en el tablero. En la figura no se ha representado el axil de tracción según la péndola.
En la Fig. 13.3-1 se representa el efecto de la péndola rígida empotrada simultáneamente en el arco y el tablero. Las rigideces del diafragma y de la péndola en un plano transversal son respectivamente EICD y EIDE. El doble empotramiento introduce un cortante –Q y un torsor –M en el arco que se ha representado en un plano girado respecto de la cuerda intersección con el tablero.
El conjunto arco-péndola rígida se comporta, en su unión con el tablero, como un apoyo elástico al giro de torsión de éste y al del arco. Este efecto no depende de la inclinación de la péndola.
Kδ,E representa la rigidez del nudo del arco al movimiento perpendicular a la péndola, en la dirección de la carga reacción Q en su extremo. Dicha reacción no es nula si cualquier extremo de la péndola, D ó E, está empotrado.
Kθ,E representa la rigidez del nudo del arco al giro unitario a torsión, según el momento M en el extremo de la péndola. Dicho momento es nulo si el extremo superior de la péndola está articulado.
El efecto global de la vinculación rígida es aumentar la rigidez a torsión del tablero, ya que en el nudo D aparece una coacción elástica al giro en función de la rigidez conjunta del sistema arco-péndolas. La rigidez, a su vez, de dicha coacción dependerá de las rigideces a flexión transversal de las péndolas y de la rigidez fuera del plano (como viga balcón) del arco, función de su rigidez a flexión transversal y torsión.
Podríamos simular este efecto colocando un muelle elástico al giro en el extremo de la barra de diafragma a la hora de aplicar el método de los nudos desplazados.
Análogamente se moviliza la rigidez del tablero para, a través de las péndolas, coartar la deformación en el arco. Este efecto será mayor cuanto más rígido sea el tablero a torsión y las péndolas a flexión transversal (véase Greenwold [34])
La vinculación con péndolas rígidas es mucho más frecuente en los tablero rectos, donde, como se ha visto, es muy importante la rigidez a torsión en puentes suspendidos del borde lateral. En los tableros curvos la torsión se contrarresta de modo mucho más eficaz por el conjunto, no alineado, de péndolas.
13.4. CONSIDERACIÓN DE LA NO LINEALIDAD DE LAS PÉNDOLAS ARTICULADAS. Para simular la no linealidad de las péndolas articuladas en los extremos pueden emplearse
barras rectas de dos nudos. Esta barra recta, que sólo presenta rigidez a axil, modeliza adecuadamente la péndola para cables con tensiones altas, como las que nos ocupan. Para cables flojos, con mucha flecha, la técnica habitual sería representar el cable por un número elevado de elementos, aunque Tibert [87], por ejemplo, recoge cómo esta técnica puede volverse ineficiente mientras que incrementa sensiblemente el número de grados de libertad.
En los cables aparecen dos efectos no lineales: el primero sería exclusivamente geométrico y es debido al giro del cable al deformarse la estructura.
279
Péndolas
Sin deformar Deformada
Arco
Tablero
Fig. 13.4-1.- Efecto no lineal en el cable al deformarse la estructura (Adaptado de Astiz [8]).
El segundo se basa en el cambio de la geometría del cable durante su proceso de deformación. Un incremento de la tensión en el cable se traduce en un incremento de su longitud que tendrá dos componentes. La primera será elástica y por ello proporcional al cambio de tensión y la segunda geométrica debida a la disminución de curvatura del cable y función de la tensión que soporta el cable en cada momento así como de su peso y de su inclinación.
Para modelizar esta no linealidad se suele definir un módulo de elasticidad aparente que, multiplicado por el área del cable y dividido por la longitud de la cuerda, permite obtener la rigidez axial del cable.
La curva tensión-deformación del cable a partir del punto de carga permanente se representa en la Fig. 13.4-2, donde se muestra el significado de los módulos de elasticidad tangente y secante.
σ
ε
Εsec
Εtgte
1
1
σ2
σ1
Fig. 13.4-2.- Módulos de elasticidad secante y tangente de una péndola.
En la hipótesis de que el trazado del cable se pueda asimilar a una parábola (hipótesis que resulta aceptable en el caso de los tirantes estructurales habituales, en los que la flecha es pequeña) se demuestra que el módulo de elasticidad tangente viene dado por la fórmula de Ernst:
y el módulo de elasticidad secante:
donde E es el módulo de elasticidad del cable recto, γ es el peso específico equivalente del cable,
HL es su longitud en planta y σ1 y σ2 son los valores extremos del rango de variación de tensiones del
3
22
1211
σLγ
EEH
tgte ⋅⋅
+= [13.1]
22
21
2122
sec 2411
σσσσLγ
EEH
⋅+⋅
+= [13.2]
280
acero.
En las fórmulas anteriores se ponen de manifiesto los dos efectos citados: la deformación elástica del cable y la deformación por cambio de curvatura del cable.
Una formulación alternativa es utilizar los esfuerzos axiles del cable, N1 y N2 y su peso por unidad de longitud, w, que son parámetros más utilizados en el proyecto de estructuras con cables.
La formulación del módulo secante de elasticidad, para un cable de área Ω, queda :
( )2
22
1
2122sec
241
NNEΩNNLw
EEH
⋅⋅⋅+⋅
+=
[13.3]
Y si N1=N2, se obtiene el módulo de elasticidad tangente, donde N representa ahora el esfuerzo axil.
3
22
121
·NEΩLw
EEH
tgte
+=
[13.4]
La propia normativa española vigente (RPM-95. Apartado 4.1. [22]) acepta la validez de la consideración de un módulo de elasticidad reducido para la modelización del comportamiento no lineal de los cables de los puentes atirantados.
Para juzgar la necesidad de la aplicación de la formulación de Ernst en nuestro trabajo, que es tanto como la necesidad del cálculo no lineal de las péndolas, analicemos un caso concreto en el rango habitual de valores con los que nos manejamos en este trabajo. Los cables corresponden a las posiciones central y extrema de las péndolas del puente de la Fig. 13.4-3. El primero es largo y cercano a la vertical y el segundo es corto y bastante tendido. El área de las dos, igualada tras la homogeneización de áreas con los criterios del capítulo siguiente, es de 700 mm2.
Péndola central
Péndola extrema
LH
LH
Fig. 13.4-3.- Puente empleado en el cálculo del módulo de elasticidad equivalente de las péndolas. En el modelo, con las secciones empleadas en el capítulo 4, YT=6, gT=-10.
Con objeto de formular el módulo de elasticidad en función de magnitudes más habituales en este trabajo expresaremos w y N de la siguiente manera:
Ωρw ⋅=
uσΩµN ⋅⋅=
[13.5]
[13.6]
Donde ρ es el peso específico del cable, incluidas inyección y protección, que hemos considerado en este trabajo de 100 KN/m3 (véase 3.3.2.1) y µ es un coeficiente que expresa el grado de aprovechamiento del material del cable que corresponde con la relación adimensional entre la tensión de servicio del tirante y su tensión última, σu, y suele ser de 0.45.
281
Así la expresión [13.4] queda:
Esta formulación es independiente del área del tirante, y depende de la geometría en planta, el material y su aprovechamiento, por lo que puede ser útil para saber previamente al cálculo si necesitamos o no considerar la variación de E, como es nuestro caso, en el que no se conoce todavía ni el área del tirante ni su axil.
En el segundo sumando del denominador, el valor del cociente adimensional 3
2
uσEρ resulta
aproximadamente de 3·10-7 m-2 para los valores correspondientes al acero de pretensado de E=1.9·108 KN/m2 y uσ =1860 N/mm2.
Para LH=20, µ=0.45, Etgte ≈ E.
Como Etgte es menor según aumenta LH y según baja µ, incluso para cables largos poco aprovechados, la variación del módulo de elasticidad es inapreciable. Así, incluso para LH=50 y µ=0.20, Etgte= 0.99·E.
Estos resultados concuerdan con los de las referencias consultadas. Por ejemplo, Astiz [8] acota la reducción del módulo de elasticidad equivalente al 7% para longitudes de 250 m.
Asimismo, Arenas [3] afirma que, para tensiones del 30% de la carga de rotura (µ=0.30) sólo cables con proyecciones horizontales LH mayores de 200 o 250 m sufren una pérdida de rigidez mayor del 5%.
Por lo tanto, para el rango de valores habitual en el presente trabajo, no se justifica la complicación que supone considerar la variación del módulo de elasticidad equivalente para la poca trascendencia que pudiera tener en la respuesta resistente de las estructuras analizadas.
13.5. DISTRIBUCIÓN DEL ÁREA DE LAS PÉNDOLAS. Una de las conclusiones del estudio realizado en el capítulo 4 establece que el tablero posee una
gran capacidad de empotramiento a flexión negativa longitudinal para las sobrecargas, a pesar de no tener coaccionado en apoyos dicho grado de libertad. Una de las razones es que se sostiene un tablero articulado desde un arco empotrado. El fenómeno cualitativamente se puede asimilar al comportamiento de una viga sobre apoyos elásticos, donde la rigidez de los apoyos viene dada por la rigidez conjunta del sistema arco- péndolas. Así, el arco coacciona más los movimientos del tablero en su parte más rígida (cerca de arranques) y menos en su parte más flexible (en zona de clave). Esto no es conveniente desde el punto de vista del proyecto de la estructura porque crea concentraciones de flexión en un tablero que se supone de sección constante y porque dicho incremento axil en una péndola produce concentraciones de flexión en el arco. Esta concentración de flexión suele indicar una falta de rigidez transversal del arco, y, como se ha visto, se mitiga parcialmente en arcos con mayor rigidez transversal.
En los algoritmos de dimensionamiento utilizados por los programas desarrollados (véase el apartado 15.2 o el apéndice F) se puede plantear la determinación del área de las péndolas de modo automático en función del máximo axil que éstas soportan, limitando su tensión por motivos de fatiga.
Ahora bien, el proceso, correcto desde el punto de vista teórico, tiene dos posibles inconvenientes:
• Por un lado, cuando en las primeras iteraciones se dimensionan las péndolas ya aparece la necesidad de aumentar el área de las péndolas extremas, con lo que en sucesivas iteraciones estas péndolas, más rígidas, se cargan más y podrían demandar sucesivamente cada vez más área, con lo que nosotros mismos estaríamos excitando el fenómeno. Este efecto, que aparece de modo inevitable si el área es una función continua del axil, se evita parcialmente imponiendo una serie discreta de áreas posibles, por ejemplo, imponiendo que el área sea múltiplo de un área dada.
• Por otra parte, en un puente real, dadas las magnitudes de las péndolas que estamos obteniendo
( )3
22
121
u
Htgte
σµELρ
EE
⋅⋅+
= [13.7]
282
en el cálculo, es muy probable que se dispusieran todas las péndolas iguales (o a lo sumo en muy pocos tamaños distintos) por homogeneización de unidades de obra, de métodos de ejecución y de economía.
El efecto de la concentración de flexiones en el entorno de las péndolas extremas se modera si imponemos que todas las péndolas tengan en todas las iteraciones la misma área: igual a la de la péndola de máxima área dimensionada. En las figuras siguientes se representa el efecto de las sobrecargas para péndolas iguales y estrictas, recogiendo resultados del puente de la Fig. 13.4-3, en el que el arco es plano y vertical, con YT=6 y gT=-10 m.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160
140
280
420
560
700
840
Nº de pendola
Ω [
mm
2 ]
Área para péndolas iguales
Área estricta de dimensionamiento de péndolas
Fig. 13.5-1.- Distribución estricta y homogénea de áreas de péndolas obtenida en el dimensionamiento.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
50
100
150Pendolas estrictas-iguales. HIP 0: Axiles de pretensado en pendolas.
x [m]
N [K
N]
141
120
141
120
Pend. IGUALESPend. ESTRICTAS
Fig. 13.5-2.- Efecto de la homogeneización del área de las péndolas: Axiles de pretensado.
283
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
Pendolas estrictas-iguales. Flexion longitudinal en arco.
x [m]
M 3 [KN·
m]
945
-1979
888
-2083
945
-1979
888
-2083
197
-513
202
-593
200
-522
206
-603
200
-522
206
-603
Pend. IGUALES. M3 SCU A
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU A
Pend. IGUALES. M3 SCU B
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU B
Pend. IGUALES. M3 SCU C
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU C
Pend. IGUALES. M3 SCU D
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU D
Pend. IGUALES. M3 SCU E
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU E
Fig. 13.5-3.- Efecto de la homogeneización del área de las péndolas: Flexión longitudinal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
Pendolas estrictas-iguales. Flexion longitudinal en tablero.
x [m]
M 3 [KN·
m]
1776
-884
1812
-866
1776
-884
1812
-866
762
-406
797
-520
687
-434
724
-550
687
-434
724
-550
Pend. IGUALES. M3 SCU A
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU A
Pend. IGUALES. M3 SCU B
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU B
Pend. IGUALES. M3 SCU C
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU C
Pend. IGUALES. M3 SCU D
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU D
Pend. IGUALES. M3 SCU E
Pend. ESTRICTAS. M3 SCU E
Fig. 13.5-4.- Efecto de la homogeneización del área de las péndolas: Flexión longitudinal en tablero.
Como se ve, disponer todas las péndolas iguales alivia ligeramente los flectores en el empotramiento para aumentar los de vano en relación con los de las péndolas estrictas. El efecto es el
284
mismo con los picos de negativos que se generan bajo las péndolas extremas. El efecto no es muy acusado como tampoco lo es el cambio en la rigidez conjunta del sistema arco-péndolas.
Este sobredimensionado del área de las péndolas provoca que el cable trabaje a una tensión en servicio más baja, por debajo del factor teórico del 45% de la tensión de rotura. Como se ha demostrado en el apartado anterior, los tirantes no se aflojan lo bastante como para tener consecuencias prácticas en la determinación de su módulo equivalente de elasticidad.
Por lo tanto, y por las razones que se han expuesto anteriormente, parece razonable disponer todas las péndolas iguales. Este criterio es el que se ha seguido con carácter general en este trabajo.
13.6. PUESTA EN CARGA DE LAS PÉNDOLAS.
13.6.1. MÉTODOS DE PUESTA EN CARGA.
Para la puesta en carga de las péndolas existen fundamentalmente dos métodos:
1.- Mediante apeo del tablero, en el que una vez conectado a las péndolas, éstas entran en carga al desapear. Hablamos de péndolas pasivas.
Un ejemplo se puede encontrar en la descripción de Romo y Martín [71] de la puesta en carga de parte de los tirantes de la pasarela sobre el río Carrión.
2.- Mediante tesado de las péndolas (péndolas activas), en las que las péndolas se tesan hasta imponer a la estructura la deformación deseada, que generalmente coincide, para el tablero, con la deformada correspondiente a las acciones permanentes si se sitúan apoyos fijos en los anclajes.
Esta última forma de tesado de las péndolas es la que ha sido empleada por defecto en este trabajo.
13.6.2. CONTRAFLECHA DE TABLEROS ATIRANTADOS AL BORDE.
Los métodos de puesta en carga de las péndolas determinan tres posibles contraflechas de los tableros atirantados al borde, como se ve en la Fig. 13.6-1, de los que el caso (a) corresponde a péndolas pasivas y los (b) y (c) a péndolas activas. La deformada final coincide en los tres casos.
Geometría con contraflecha Deformada /directriz teórica
bL
Arco
Anclaje Tablero
Péndola
(a) (b) (c)
Fig. 13.6-1.- Contraflecha de los tableros atirantados al borde en función del modo de puesta en carga de las péndolas: (a) Apeo del tablero; (b) Pretensado de péndolas que anula las flechas en anclajes; (c) Pretensado de péndolas que anula las flechas en el tablero.
En el caso (a) (véase Fig. 13.6-1) se apea el tablero y la estructura completa queda en la posición esperada al desapearlo. En este caso descenderán tanto el anclaje como el tablero, de ahí que se
285
haya representado la contraflechas de ambos puntos por encima de la directriz teórica. El descenso del nudo del tablero será en general mayor que el del anclaje, por lo que la contraflecha representa el tablero por encima del anclaje.
En el caso (b) se han obtenido los axiles de pretensado de las péndolas con la condición de anular las flechas de los nudos de anclaje. La posición final del nudo de tablero se obtiene mediante contraflecha. En este caso el pretensado levantará el nudo de anclaje hasta su posición teórica una vez que actúen las cargas permanentes, por lo que no hay inconveniente en representar, como en la Fig. 13.6-1(b), el anclaje a la misma cota que la deformada teórica1. Y aunque no se conoce a priori el movimiento del nudo de tablero, lo más probable es que descienda al cargarse, por lo que se ha representado sobre la directriz teórica, y por encima del anclaje.
En el caso (c) por el contrario, los axiles de pretensado de las péndolas se obtienen anulando las flechas de los nudos de tablero. La posición final del nudo de anclaje se obtiene mediante contraflecha. Es decir, se anulan las flechas del tablero a costa de levantar los nudos de anclaje. El pretensado levantará el nudo de tablero hasta su posición definitiva una vez que actúen las cargas permanentes. Se ha representado éste a la misma cota que la posición teórica. Análogamente al caso anterior, lo más probable es que el nudo de anclaje ascienda por el efecto conjunto del pretensado y de las cargas permanentes, por lo que se le ha representado por debajo de la directriz teórica.
En todos los casos se ha supuesto que el arco sufre desplazamientos verticales y horizontales en el proceso de puesta en carga de las péndolas.
Además es de destacar que los puentes atirantados al borde necesitan, de modo general, contraflecha de torsión.
Para comprobar los resultados mostrados, se han aplicado las tres configuraciones de contraflecha de la Fig. 13.6-1 al puente de la Fig. 13.6-2.
Fig. 13.6-2.- Modelo de puente para la comprobación de la contraflecha de ejecución. Arco
vertical parabólico de 2º grado. Secciones de arco y tablero como las empleadas en el capítulo 7. Además se ha considerado YT=9.00, gT=-10, bL=2 (exterior). Se ha tenido en cuenta la no linealidad geométrica.
Como puede apreciarse en las Fig. 13.6-3 y Fig. 13.6-4, los tableros y sus anclajes deformados anulan en la práctica, para la HIP0, sus cotas2, como se pretendía.
Los resultados3 coinciden con las formas mostradas en la Fig. 13.6-1, y además, sirven de validación del algoritmo de determinación iterativa de la contraflecha de ejecución descrito en el apartado 6.2 y listado en el anejo G.
1 El criterio de suponer que los nudos cuya flecha ha de anularse mediante pretensado de péndolas están en
la directriz teórica cuando actúan las cargas permanentes es el que se ha seguido de forma sistemática en todo este trabajo (véase 15.2). De hecho, ocasiona algún caso paradójico de péndolas comprimidas en algunos puentes tipo Galindo (véase 14.5.2).
2 Resultados tan precisos como los mostrados en dichas figuras se consiguen con un modelo auxiliar en N y mm. Los resultados de los modelos en KN y m, normalmente mostrados en este trabajo, resultan menos precisos por la pérdida de dígitos significativos.
3 En el caso (c) no se ha dado contraflecha a los nudos de tablero en los que no se ancla ninguna péndola.
286
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 104
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-3 HIP0: Puesta en carga de pendolas. Directrices. Alzado.
x [m]
Z [m
m]
0
-0
0
-0
0
-0
0-0
Caso (a). Tablero.Caso (a). Anclajes.Caso (b). Tablero.Caso (b). Anclajes.
Fig. 13.6-3.- Contraflecha de los tableros atirantados al borde en función del modo de puesta en carga de las péndolas: Comprobación de resultados para los casos (a) y (b) del modelo.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x 104
-0 .045
-0.04
-0 .035
-0.03
-0 .025
-0.02
-0 .015
-0.01
-0 .005
0
0.005HIP0: Puesta en carga de pendolas. Directrices. Alzado.
x [mm]
Z [m
m]
0
-0
0 -0
Caso (c). Tablero .Caso (c). Ancla jes.
Fig. 13.6-4.- Contraflecha de los tableros atirantados al borde en función del modo de puesta en carga de las péndolas: Comprobación de resultados para el caso (c) del modelo.
287
CAPÍTULO 14
14 EL ARCO ESPACIAL SUPERIOR DE PLANTA CURVA IMPUESTA.
14.1. INTRODUCCIÓN. Con respecto a su posición en la sección transversal, el arco puede ocupar una posición central,
de tal manera que las proyecciones en planta de los ejes del arco y del tablero coincidan.
Como ya se ha visto en el capítulo 9, esta posición en los puentes arco de tablero inferior atirantado al centro obliga a un sobreancho en el centro de la plataforma para poder disponer tanto el ancho de la sección del arco en los estribos como los anclajes de las péndolas al eje del tablero. Las péndolas suelen ser verticales.
El arco adquiere carácter espacial cuando el eje del tablero se curva. Por razones de mantenimiento del gálibo horizontal, las péndolas han de seguir siendo verticales y la proyección horizontal del arco ha de acompañar a la del tablero.
Es entonces cuando hablamos de que el eje del tablero, una vez vista la necesidad de su curvatura en planta por razones geométricas o de trazado, impone al arco la proyección horizontal de su directriz.
Es de destacar que, dado que en este tipo de puentes coinciden los arranques del arco y los estribos del tablero, se puede plantear que la componente horizontal del arco quede contrarrestada por el tablero a tracción, en una variante del tipo conocido como bow-string en la que el arco y el tablero tienen planta curva.
14.2. DEFINICIÓN DE LA DIRECTRIZ DEL ARCO.
14.2.1. INTERSECCIÓN DE CILINDROS.
La directriz del arco viene definida por la intersección de dos superficies:
• La primera es, forzosamente, un cilindro que contiene al eje del tablero y de generatrices verticales.
• La segunda puede ser un cilindro de generatrices horizontales que contiene la definición del alzado y que generalmente es una parábola. La dirección de las generatrices es perpendicular a la cuerda que une los estribos del tablero.
Así se define la ordenada z de la directriz en función de la abscisa x, donde x se mide según la cuerda que une los estribos, de longitud LA, y con origen en su punto medio.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−⋅= 2
241A
A Lxfz [14.1]
donde fA es la flecha en clave.
Es de destacar que, al contrario que hasta ahora, como se está obligado a mantener la verticalidad de las péndolas, dividir L en segmentos iguales no genera luces iguales en el tablero.
14.2.2. CONSIDERACIÓN DEL PARÁMETRO ARCO.
Una forma alternativa de definir el alzado de la directriz es determinar las ordenadas de una parábola considerando como abscisas de la misma el parámetro arco desarrollado de la planta del tablero.
Así, si el radio de curvatura del tablero es
T
TA
g
gL
R⋅
+=
24
22
[14.2]
288
donde LA es la luz recta entre estribos y gT es la flecha horizontal del eje del tablero, el ángulo subtendido por los estribos es 02α , de tal manera que la longitud desarrollada del tablero es 02αR ⋅ .
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅=
RLarcsenα A
222 0 [14.3]
Y se define análogamente la ordenada z de la directriz en función de la abscisa angular α , donde α se mide según el desarrollo de la planta del tablero y con origen en su punto medio.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=
2
01
ααfz A [14.4]
Esta forma, aparentemente, más compleja, es la que se ha empleado en la definición de las directrices de los arcos mostrados en este capítulo, y coincide con la anterior en el caso de tablero recto.
La principal ventaja de definir así el arco, es que, al contrario que en el caso anterior, al dividir 02α en valores iguales manteniendo verticales las péndolas, se obtienen luces iguales en el tablero, porque
cada vano abarca un ángulo idéntico.
Otra ventaja, de posterior aplicación (véase 14.4.3), es que en caso de definir dos arcos paralelos sosteniendo el mismo tablero curvo, los montantes entre ellos, dispuestos radialmente, se mantienen horizontales.
14.3. PROBLEMAS ESPECÍFICOS DEL PUENTE DE PLANTA IMPUESTA.
14.3.1. FALTA DE ANTIFUNICULARIDAD.
En un arco que pasa por los arranques del tablero, donde además estamos imponiendo que sea circular en planta y coincidente con la del tablero, no se puede inscribir una directriz antifunicular. Adelantando las conclusiones del estudio de la metodología de obtención de la misma del capítulo 15 y los resultados del capítulo 16, la directriz antifunicular queda, en este caso, al lado contrario que el tablero con respecto a la cuerda que une los arranques.
El único caso posible en el que se podría obtener una geometría antifunicular sería el caso límite de arco vertical y plano. Como a medida que crece la curvatura, el arco antifunicular se desplaza más en sentido contrario, el problema de la falta de antifunicularidad crece con la curvatura (como se ve a continuación, la fuerza de desvío crece a medida que disminuye el radio).
14.3.2. ACOPLAMIENTO DE ESFUERZOS.
En el puente de planta curva impuesta se producen, por efecto de su espacialidad, fenómenos de acoplamiento entre los esfuerzos que no aparecen en el arco plano.
14.3.2.1. Acoplamiento flexión- torsión.
Como se ha visto (Fig. 11.3-9), la flexión provoca torsión si la directriz posee curvatura según el eje de dicha flexión. Este caso es el clásico de acoplamiento flexión-torsión en la viga balcón.
14.3.2.2. Acoplamiento axil-flexión transversal: Fuerzas horizontales descompensadas.
Análogamente, existe otro acoplamiento de esfuerzos, en los que el axil centrado provoca flexión de eje perpendicular al de la curvatura del tablero, tal y como se muestra en la Fig. 14.3-1.
Cuando esto ocurre en un arco vertical clásico de tablero recto, el antifunicular es posible porque la fuerza de desvío se compensa continuamente con el peso propio.
289
dα
N
N
dα
N
N
FH
Fig. 14.3-1.- Fuerza horizontal FH de desvío inducida por la curvatura en planta de una pieza comprimida por una pareja de axiles centrados N.
Así, en el arco espacial de planta curva, cuya proyección en planta es un arco de circunferencia, aparece una fuerza horizontal de desvío por acoplamiento del axil, que además, no puede ser contrarrestada por componente horizontal alguna de las péndolas porque que son verticales (Fig. 14.3-2).
Péndolas verticales
Arco
Tablero
FH
LADO INTERIOR
LADO EXTERIOR
Fig. 14.3-2.- Fuerza horizontal FH descompensada (en sentido hacia el exterior de la curva) en el arco de planta curva impuesta.
14.4. RIGIDEZ TRANSVERSAL DEL ARCO DE PLANTA CURVA IMPUESTA. Por lo tanto, al margen de los problemas del arco vertical clásico, en el arco de planta curva
impuesta la solución tipológica debe ir encaminada a dotarlo de rigidez transversal para compensar los esfuerzos asociados a las fuerzas de desvío horizontales que aparecen.
Además de la solución de la Fig. 14.3-2, que pone en juego sólo la rigidez transversal del arco, las soluciones que hemos estudiado para conseguirlo son las siguientes:
14.4.1. PÉNDOLAS RÍGIDAS.
A este tipo de péndolas ya se ha hecho referencia en el apartado 13.3. La solución aparece esquemáticamente en la Fig. 14.4-1. En ella se representa una péndola rígida empotrada a flexión transversal en arco y en tablero, lo que moviliza las rigideces transversales y torsionales de arco y tablero.
Péndola rígida
Arco
Tablero
FH
LADO INTERIOR
LADO EXTERIOR
Fig. 14.4-1.- Solución del arco curvo en planta con péndolas rígidas.
290
14.4.2. ATIRANTAMIENTO DE CONTRARRESTO EN BORDE INTERIOR (SOLUCIÓN TIPO GALINDO).
Hemos denominado esta solución como “tipo Galindo” porque no tenemos hasta la fecha conocimiento de que se haya empleado esta solución salvo por Carlos Fernández Casado, S.L. en la solución construida de su puente sobre el río Galindo, ya descrito en 2.3.6.1.
Fig. 14.4-2.- Solución construida del puente sobre el río Galindo ([2] y [50]), de Carlos Fernández Casado, S.L. con atirantamiento de contrarresto por el borde interior.
El esquema resistente de la solución se muestra en la Fig. 14.4-3. En ella se representa la estructura y las fuerzas que actúan sobre arco y tablero. El objeto es provocar en el arco una serie de cargas TH que ayuden a contrarrestar las fuerzas FH de desvío. Es interesante señalar que las cargas TH son forzosamente puntuales (una por cada péndola de contrarresto) mientras que FH puede ser repartida si la directriz del arco es continua (Las acciones FH serán también puntuales en el caso de que la directriz del arco sea poligonal).
En la Fig. 14.4-3(a) se representan a trazos los gálibos del tablero y cómo es necesario en general disponer una estructura suplementaria adosada al borde interior para salvarlos con las péndolas de contrarresto.
En la Fig. 14.4-3(c) se muestra cómo disponer el doble sistema de atirantamiento provoca un incremento en el axil vertical descendente que actúa sobre el arco de NP a NP+TV, es decir, de valor la componente vertical del axil de las péndolas de contrarresto, aunque, en realidad, como la misión de NP es suspender el tablero, lo que en realidad hace TV es compensar, en principio parcialmente, NP. Es decir, el axil de pretensado de la péndola es NP+TV, y NP será menor que si no hubiera péndolas de contrarresto.
Asimismo, a pesar de que el axil T en las péndolas de contrarresto ayuda a izar el tablero mediante TV, introduce sin embargo un esfuerzo horizontal TH en el tablero y un momento torsor T· eCEC, función de la excentricidad eCEC del cable respecto al centro de esfuerzos cortantes del tablero.
FH
Péndolas verticales
Arco
Tablero
FH
LADO INTERIOR
LADO EXTERIOR
Estructura suplementaria
Péndolas de contrarresto
T NP
NP
T
CEC
eCEC
FH TH
NP+Tv
T·eCEC
NP+Tv
TH
T
NP
(a) (b) (c)
= =
Fig. 14.4-3.- Solución tipo Galindo con atirantamiento de contrarresto en el borde interior. En la figura se representa la estructura y las fuerzas que actúan sobre arco y tablero. En (a) se representan a trazos los gálibos del tablero y la estructura suplementaria adosada a un lateral para salvarlos con las péndolas de contrarresto. En (b) se descomponen las fuerzas actuantes sobre arco y tablero. En (c) se muestra cómo disponer el doble sistema de atirantamiento provoca un incremento en el axil vertical descendente que actúa sobre el arco. Asimismo, a pesar de que el axil T en las péndolas de contrarresto ayuda a izar el tablero en la magnitud TV, introduce sin embargo un esfuerzo horizontal en el tablero y un momento torsor función de la excentricidad, eCEC, del cable respecto al centro de esfuerzos cortantes.
291
14.4.3. SOLUCIÓN CON DOBLE ARCO CON CELOSÍA INTERMEDIA.
En esta solución lo que se propone es compensar la carga horizontal FH mediante la disposición de una estructura que, en dicho plano, tenga rigidez suficiente al contar con un canto del orden del ancho del tablero1.
Para ello se desdobla el arco central en dos arcos en los bordes del tablero, desde los que se suspende éste. El comportamiento conjunto de ambos arcos se garantiza vinculando ambos arcos, por ejemplo, por un conjunto de montantes horizontales. Estos montantes resultan horizontales porque los arcos son diferentes en cada borde al definirse sus alzados según el parámetro arco desarrollado, de acuerdo con el apartado 14.2.2.
El conjunto se puede rigidizar aún más disponiendo diagonales en los recuadros de la estructura. Dado que la carga se dirige siempre en el sentido exterior de la curva, y sólo para valores altos de la curvatura, es posible que dichas diagonales sólo trabajen a tracción y puedan aligerarse mucho o ser incluso sustituidas por barras o cables, con capacidad exclusiva a tracción.
FH
Péndolas
Arco 1
Tablero
LADO INTERIOR
LADO EXTERIOR
FH
Arco 2 Montantes
Fig. 14.4-4.- Solución de doble arco con celosía.
Fig. 14.4-5.- Solución de doble arco con celosía. Perspectiva.
1 Una variante de esta solución consiste, en disponer dos arcos convergentes en clave, que pueden
inclinarse sobre la planta del tablero según ganan cota por encima de la caja de gálibos.
292
Fig. 14.4-6.- Solución de doble arco con celosía: Planta de los arcos mostrando las diagonales y los montantes radiales horizontales. En la figura no se ha mostrado el tablero por claridad, pero sus bordes exterior e interior quedarían justo bajo los arcos mostrados.
14.4.4. SOLUCIÓN CON ARCO ESPACIAL PRETENSADO.
Esta solución se basa en que, al pretensar longitudinalmente el arco, se genera, por efecto de la curvatura en planta del tendón, una fuerza PH de desvío que se opone a la fuerza FH. Esta solución destaca por su sencillez de ejecución, al no necesitar elementos estructurales adicionales al propio arco.
Si el pretensado del arco es centrado, sólo generaría esfuerzos de compresión uniforme en la directriz y no compensaría flexión alguna, como recoge Arenas en [5], aunque este axil, lógicamente, se vería modificado por el efecto de las pérdidas según el trazado y el de las reacciones hiperestáticas en arranques.
Análogamente, si disponemos el pretensado paralelo a la directriz (con excentricidad transversal constante), como en la Fig. 14.4-7, si los arranques del arco están empotrados sólo se genera un esfuerzo axil uniforme. Esta solución sólo sería válida pues en los casos en los que el arco presenta deformaciones apreciables ante cargas perpendiculares, pues las cargas varían sus valores y direcciones con las deformaciones de segundo orden, como recoge Strasky [82].
Péndolas
Arco
Tablero
FH
LADO INTERIOR
LADO EXTERIOR
PH
Tendón de pretensado
Fig. 14.4-7.- Solución con pretensado en el arco. En la figura se representa el efecto de un pretensado con excentricidad transversal.
Como se verá, esta solución, para los valores de nuestros ejemplos, con arcos relativamente rígidos, es muy poco eficaz: el porcentaje de flexión transversal compensada es muy bajo, y eso a costa de sobrecomprimir la sección del arco con axiles comparables al del arco en servicio. En el apartado 14.4.4 se detallan numéricamente estas afirmaciones.
14.5. CONSIDERACIONES SOBRE LAS SOLUCIONES AL ARCO DE PLANTA CURVA IMPUESTA.
14.5.1. EFICACIA DE LA PÉNDOLA RÍGIDA.
Para estudiar el efecto de las péndolas rígidas, se han realizado tres modelos en los que, manteniendo constantes todas las características, se cambian la sección y vinculación de las péndolas.
Se ha planteado la estructura como tipo bow-string, con movimientos longitudinales permitidos en uno de los apoyos en los que coinciden el arco y el tablero. Ambos son de planta curva con gT=-2.00 m (R=626 m).
293
Además, en el caso de péndolas articuladas se ha determinado el axil de pretensado para anular las flechas verticales de los anclajes de las péndolas en el tablero.
En el cálculo se ha considerado la no linealidad geométrica.
En todos los casos se ha determinado la contraflecha de ejecución de toda la estructura para garantizar que la deformada de la estructura coincide con la geometría original buscada (tablero curvo horizontal y arco parabólico según el desarrollo), con lo que además nos aseguramos de que las péndolas quedan verticales una vez deformada la estructura.
La sección del arco es cajón de 1000 mm de lado y 30 mm de espesor y la del tablero se ha supuesto equivalente a efectos resistentes a un cajón de 4000 x 800 de 15 mm de espesor, aunque el ancho de plataforma se ha supuesto a efectos de acciones de 8.00 m.
Los tres casos analizados son:
a) Péndolas pretensadas biarticuladas macizas de área determinada al 45% de σu para la HIPE.
b) Péndolas biempotradas en cajón de 400 x 400 x 20 mm.
c) Péndolas biempotradas en cajón de 800 x 800 x 25 mm.
Las dimensiones de las péndolas en los dos modelos no se han orientado en sentido radial, pero a efectos de esfuerzos no es relevante por la doble simetría de las mismas.
Fig. 14.5-1.- Estructura sin deformar (gT=-2) para analizar la influencia de las péndolas rígidas.
En la Fig. 14.5-2 se puede apreciar la enorme capacidad de coacción de la flexión transversal en el arco al aumentar la rigidez en las péndolas. En la Fig. 14.5-3 ocurre lo mismo para el tablero.
El comportamiento citado en el apartado 13.3 como viga Vierendel longitudinal cuando las péndolas son rígidas se muestra en el arco (Fig. 14.5-4) y en el tablero (Fig. 14.5-5), donde se muestran las perturbaciones en los axiles introducidas por las flexiones localizadas, si bien son de poca importancia.
Análogamente, el empotramiento a flexión introduce discontinuidades localizadas en los encuentros con las péndolas, véanse la Fig. 14.5-6 y la Fig. 14.5-7 para la flexión longitudinal en arco y en tablero, respectivamente.
294
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000CP: Influencia de las pendolas rigidas. Bowstring. Flexion transversal en arco.
x [m]
M 2 [KN·
m]
604
-1870
443
-194
365
-137
Articuladas activas.400 x 400 x 15800 x 800 x 25
Fig. 14.5-2.- Influencia de la rigidez de las péndolas: Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600CP: Influencia de las pendolas rigidas. Bowstring. Flexion transversal en tablero.
x [m]
M 2 [KN·
m]
505
0
186
-216
133
-232
Articuladas activas.400 x 400 x 15800 x 800 x 25
Fig. 14.5-3.- Influencia de la rigidez de las péndolas: Flexión transversal en tablero.
295
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-950
-900
-850
-800
-750
-700CP: Influencia de las pendolas rigidas. Bowstring. Axil en arco.
x [m]
N [K
N]
-725
-909
-751
-932
-752
-901
Articuladas activas.400 x 400 x 15800 x 800 x 25
Fig. 14.5-4.- Influencia de la rigidez de las péndolas: Axil en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50705
710
715
720
725
730
735
740
745
750
755CP: Influencia de las pendolas rigidas. Bowstring. Axil en tablero.
x [m]
N [K
N]
726 726
751
739
752
710
Articuladas activas.400 x 400 x 15800 x 800 x 25
Fig. 14.5-5.- Influencia de la rigidez de las péndolas: Axil en tablero.
296
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
0
50
100
150
200
250CP: Influencia de las pendolas rigidas. Bowstring. Flexion longitudinal en arco.
x [m]
M 3 [KN·
m]
235
-25
67
-23
125
-11
Articuladas activas.400 x 400 x 15800 x 800 x 25
Fig. 14.5-6.- Influencia de la rigidez de las péndolas: Flexión longitudinal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400CP: Influencia de las pendolas rigidas. Bowstring. Flexion longitudinal en tablero.
x [m]
M 3 [KN·
m]
356
0
50
-23
91
-19
Articuladas activas.400 x 400 x 15800 x 800 x 25
Fig. 14.5-7.- Influencia de la rigidez de las péndolas: Flexión longitudinal en tablero.
297
14.5.2. SOLUCIÓN TIPO GALINDO.
Para estudiar la solución tipo Galindo se han realizado tres modelos en los que manteniendo constantes todas las características, se cambia la curvatura del tablero (y, consecuentemente, de la proyección horizontal del arco).
Las secciones transversales del arco y del tablero son las del caso anterior.
Análogamente al caso anterior, se ha planteado la estructura como tipo bow-string, con conexión arranques-estribos. Las tres curvaturas analizadas de arco y tablero son de gT=-2, -4 y –6 m.
Las bases de las péndolas de contrarresto se sitúan en un arco de círculo situado a 6.00 m del eje del tablero y paralelo a éste por su interior. Se dispone una péndola de contrarresto por cada péndola vertical.
Los axiles de pretensado de las péndolas verticales y las de contrarresto se han determinado para verificar las siguientes condiciones simultáneamente:
• Anulación de las flechas verticales de los anclajes de las péndolas en el tablero.
• Anulación de los desplazamientos transversales según el eje Y global de los nudos del arco en los que se anclan las cabezas de las péndolas.
Todas las péndolas están biarticuladas y se han dimensionado para el 45% de σu para la HIPE.
Se ha considerado la no linealidad geométrica en el cálculo y en la determinación de los axiles de pretensado.
En todos los casos se ha determinado la contraflecha de ejecución de toda la estructura para garantizar que la deformada de la estructura coincide con la geometría original buscada (tablero curvo horizontal y arco parabólico según el parámetro arco), con lo que además nos aseguramos que las péndolas quedan verticales una vez deformada la estructura.
La sección del arco es cajón de 1000 mm de lado y 30 mm de espesor. El tablero se ha supuesto cajón de 4000 x 800 de 15 mm de espesor, aunque en los cálculos el ancho de plataforma se ha considerado de 8.00 m.
Fig. 14.5-8.- Modelo y perspectiva de una de las estructuras (caso gT=-6) empleadas en el estudio de la solución tipo Galindo.
298
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
-50
0
50
100
150
200
250HIP0: Solucion Galindo. Axiles de pretensado en pendolas.
x [m]
N [K
N]
141
74
68
30
123
12
136
60
103
-55
213
93
gT=-2 Pend. VERTICALES
gT=-2 Pend. CONTRARRESTO
gT=-4 Pend. VERTICALES
gT=-4 Pend. CONTRARRESTO
gT=-6 Pend. VERTICALES
gT=-6 Pend. CONTRARRESTO
Fig. 14.5-9.- Solución tipo Galindo: Axiles de pretensado.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
50
100
150
200
250
300
350SCUE: Solucion Galindo. Axiles en pendolas.
x [m]
N [K
N]
144139
73
41
117
83
187
71
90
13
338
103
SCUE. gT=-2. Pend. VERTICALES
SCUE. gT=-2. Pend. CONTRARRESTO
SCUE. gT=-4. Pend. VERTICALES
SCUE. gT=-4. Pend. CONTRARRESTO
SCUE. gT=-6. Pend. VERTICALES
SCUE. gT=-6. Pend. CONTRARRESTO
Fig. 14.5-10.- Solución tipo Galindo: Axiles en péndolas para la SCUE.
299
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
-50
0
50
100
150
200HIP0. Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flexion longitudinal en arco.
x [m]
M 3 [KN·
m]
170
-56
157
-47
124
-27
gT=-2.
gT=-4.
gT=-6.
Fig. 14.5-11.- Solución tipo Galindo. HIP0: Flexión longitudinal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
HIP0. Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flexion longitudinal en tablero.
x [m]
M 3 [KN·
m]
49
-158
36
-436
18
-917
gT=-2.
gT=-4.
gT=-6.
Fig. 14.5-12.- Solución tipo Galindo. HIP0: Flexión longitudinal en tablero.
300
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-40
-20
0
20
40
60
80HIP0. Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flexion transversal en arco.
x [m]
M 2 [KN·
m] 25
-8
50
-16
71
-28
gT=-2.
gT=-4.
gT=-6.
Fig. 14.5-13.- Solución tipo Galindo. HIP0: Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20HIP0. Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flexion transversal en tablero.
x [m]
M 2 [KN·
m]
5
-21
12
-41
19
-61
gT=-2.
gT=-4.
gT=-6.
Fig. 14.5-14.- Solución tipo Galindo. HIP0: Flexión transversal en tablero.
301
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
SCUA Y SCU E: Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flexion longitudinal en arco.
x [m]
M 3 [KN·
m]
2329
-2236
2390
-2211
2492
-2182
172
-107
260
-63
420
-26
gT=-2.SCU A
gT=-4. SCU A
gT=-6.SCU A
gT=-2.SCU E
gT=-4. SCU E
gT=-6.SCU E
Fig. 14.5-15.- Solución tipo Galindo. SCUA y E: Flexión longitudinal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
SCUA Y SCU E: Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flexion longitudinal en tablero.
x [m]
M 3 [KN·
m]
2329
-2236
2391
-2211
2492
-2182
172
-107
258
-63
420
-26
gT=-2.SCU A
gT=-4. SCU A
gT=-6.SCU A
gT=-2.SCU E
gT=-4. SCU E
gT=-6.SCU E
Fig. 14.5-16.- Solución tipo Galindo. SCUA y E: Flexión longitudinal en tablero.
302
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000SCUA Y SCU E: Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flexion transversal en arco.
x [m]
M 2 [KN·
m]
178
-270
493
-683
903
-1127
348
-502
951
-1364
1729
-2250
gT=-2.SCU A
gT=-4. SCU A
gT=-6.SCU A
gT=-2.SCU E
gT=-4. SCU E
gT=-6.SCU E
Fig. 14.5-17.- Solución tipo Galindo. SCUA y SCUE: Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1500
-1000
-500
0
500
1000SCUA Y SCU E: Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flexion tranversal en tablero.
x [m]
M 2 [KN·
m]
145
-155
301
-393
457
-713
236
-273
594
-706
914
-1276
gT=-2.SCU A
gT=-4. SCU A
gT=-6.SCU A
gT=-2.SCU E
gT=-4. SCU E
gT=-6.SCU E
Fig. 14.5-18.- Solución tipo Galindo. SCUA y SCUE: Flexión transversal en tablero.
En la figura Fig. 14.5-9 se representan los axiles de pretensado para los tres casos estudiados. Ya hemos comentado como FH crece con la curvatura, siguiendo la notación introducida en la Fig. 14.4-3. Al quedar el valor de TH determinado por el de FH, el valor de TV viene impuesto y compensa parcialmente el axil de pretensado de la péndola vertical NP.
303
El axil TV (como el NP) no sólo provoca flecha descendente en el arco, sino también ascendente en el tablero2.
Al analizar los resultados de la Fig. 14.5-9 lo primero que nos llama la atención es que hay péndolas verticales comprimidas en el modelo de mayor curvatura (gT=-6). Podría pensarse que esto ocurre porque los dos grupos de cables son activos, pero en la Fig. 14.5-19 se comparan los axiles de pretensado para la misma estructura en la que se han dispuesto pasivas las péndolas verticales, es decir, que toman su axil al deformarse el tablero. Como se puede apreciar, excepto una leve divergencia cerca de arranques, los resultados prácticamente coinciden, con lo que el problema no parece depender de si las péndolas verticales son o no activas.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
-50
0
50
100
150
200
250HIP0: Solucion tipo Galindo. Axiles de pretensado en pendolas.
x [m]
N [K
N]
74
-53
213
84
103
-55
213
93
gT=-6 Pend. VERTICALES PASIVAS
gT=-6 Pend. CONTRARRESTO PASIVAS
gT=-6 Pend. VERTICALES
gT=-6 Pend. CONTRARRESTO
Fig. 14.5-19.- Solución tipo Galindo. Axiles de pretensado en los dos juegos de péndolas. Comparación entre dos estructuras en las que en una de ellas el juego de péndolas verticales no está pretensado, sino que toma su tensión por deformación al desapear. En los dos casos el juego de péndolas de contrarresto sí está formado por péndolas activas.
El problema se debe a un fenómeno que surge en esta solución para curvaturas altas del tablero: El axil de pretensado de las péndolas de contrarresto no sólo desplaza el arco, sino que también levanta el tablero. Si el axil es muy fuerte (casos de gran curvatura, porque viene dado por FH) levanta el tablero por encima de su posición teórica final, con lo que a la péndola vertical solo le queda la posibilidad de dilatarse (alargarse) para devolver el tablero a su posición teórica, y se comprime al tener que empujar el tablero hacia abajo.
Una forma de evitar que la péndola entre en compresión es bajar el tablero en la geometría inicial del proceso, de manera que el axil de contrarresto no llegue nunca a levantarlo por encima de su posición teórica, y así la péndola vertical tenga que contraerse (traccionarse) para levantar el tablero. Es decir, la solución tipo Galindo puede obligar a dar contraflecha al tablero por debajo de su posición teórica final.
Es de destacar que tanto la flexión transversal como el esfuerzo torsor inducido en el tablero por
2 En realidad, dado que el axil TV no puede actuar independientemente de TH, en los cálculos realizados, el
arco se levanta al desplazarse hacia el interior de la curva.
304
las péndolas de contrarresto no dependen de la inclinación de la péndola, sino de la geometría del arco, en concreto de su curvatura (que determina FH) y de su ordenada z (Fig. 14.5-20). Por lo tanto, una vez que se decide emplear la solución tipo Galindo, sólo se puede actuar sobre el axil vertical de las péndolas de contrarresto, y variando la distancia B. Así, péndolas más tendidas disminuyen la componente ascendente TV y compensan en menor medida el axil de pretensado de las péndolas verticales.
FH·z
BzFH ⋅
FH = CEC
B
FH
T TV
TH
T TV TH
z
bL
bv
Fig. 14.5-20.- Efecto sobre el tablero de las péndolas de contrarresto. Como consecuencia, para tableros muy curvados el tablero se comporta, para cargas permanentes, de forma similar a un tablero con apoyos en el borde interior.
De acuerdo con la notación de la Fig. 14.5-20 el valor del torsor resulta
zFbBbzFbFbT Hv
LHvHLV ⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅⋅=⋅+⋅ [14.5]
donde se ha hecho uso de las relaciones:
HH FT =
zB
bbB
v
L =−
[14.6]
Otra consecuencia muy importante es que, para tableros muy curvados (con valores altos de FH), los torsores localizados FH·z son altos y el tablero tiende a comportarse como un tablero con apoyos en el interior. Esta es la explicación de la flexión longitudinal en el tablero mostrada en la Fig. 14.5-12.
Con respecto al comportamiento para sobrecargas, se recuerda que, para gT negativo, la sobrecarga C queda al lado izquierdo del tablero (entre los dos juegos de péndolas, al lado interior de la curva) y la sobrecarga D queda en el lado derecho exterior de la curva. Por lo tanto, es razonable lo que ocurre según la Fig. 14.5-21, en la que se muestra cómo la sobrecarga D carga más las péndolas verticales que la sobrecarga C, mientras que ocurre lo contrario para las péndolas de contrarresto.
El comportamiento de tablero con apoyos interiores se mantiene si representamos (Fig. 14.5-22) las sobrecargas C y D (semitableros izquierdo y derecho), si bien queda profundamente alterado por la flexibilidad del arco a las cargas horizontales, que alcanza valores muy altos (Fig. 14.5-23) y flexibiliza enormemente los apoyos del tablero.
La disposición de péndolas tipo Galindo no coarta las elevadas flexiones longitudinales que, como es usual, se producen en el arco (Fig. 14.5-15) y en el tablero (Fig. 14.5-16) por efecto de las sobrecargas alternadas en el semitablero dorsal o frontal.
305
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-50
0
50
100
150
200
250SCUC Y SCU D: Solucion tipo Galindo. Bowstring. Axiles en pendolas.
x [m]
N [K
N]
84
61
31
-4
83
57
77
9
55 4754 47
70
28
135
253323
120
63
57
-11
218
39
gT=-2. SCU C. Pend. VERTICALES
gT=-2. SCU C. Pend. CONTRARRESTO
gT=-2. SCU D. Pend. VERTICALES
gT=-2. SCU D. Pend. CONTRARRESTO
gT=-4. SCU C. Pend. VERTICALES
gT=-4. SCU C. Pend. CONTRARRESTO
gT=-4. SCU D. Pend. VERTICALES
gT=-4. SCU D. Pend. CONTRARRESTO
gT=-6. SCU C. Pend. VERTICALES
gT=-6. SCU C. Pend. CONTRARRESTO
gT=-6. SCU D. Pend. VERTICALES
gT=-6. SCU D. Pend. CONTRARRESTO
Fig. 14.5-21.- Solución tipo Galindo. Axiles en péndolas para las sobrecargas repartidas SCUC y SCUD.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
SCUC Y SCU D: Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flexion longitudinal en tablero.
x [m]
M 3 [KN·
m]
76
-83
101
-64
161
-36
102
-28
172
-13
259
7
gT=-2.SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-6.SCU C
gT=-2.SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-6.SCU D
Fig. 14.5-22.- Solución tipo Galindo. Flexión longitudinal en tablero para las sobrecargas repartidas SCUC y SCUD.
306
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-450
-400
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50SCU C Y SCU D: Solucion tipo Galindo. Bowstring. Flechas horizontales en arco.
x [m]
V Y [mm
]
36
-00
-79
0
-195
0
-164
0
-284
0
-412
gT=-2.SCU C
gT=-4. SCU C
gT=-6.SCU C
gT=-2.SCU D
gT=-4. SCU D
gT=-6.SCU D
Fig. 14.5-23.- Solución tipo Galindo. Flechas transversales de tablero para las sobrecargas repartidas SCUC y SCUD.
14.5.3. SOLUCIÓN CON ARCO ESPACIAL PRETENSADO.
De acuerdo con lo afirmado en el apartado 14.4.4, para modelizar el pretensado del arco espacial, se introduce en cada barra del modelo de la directriz del arco dos cargas puntuales iguales P y en sentido contrario en cada uno sus extremos y dos momentos transversales de 450 KN·m, correspondientes a una excentricidad de 0.45 m constante en todo el arco. Con esta modelización de las cargas, todas las fuerzas de desvío se concentran en los puntos de quiebro de la poligonal (Arenas [5]).
Dichas cargas son iguales entre sí e iguales al axil de tesado P si despreciamos las pérdidas instantáneas, lo que simplifica mucho el análisis, aunque todavía permite apreciar perfectamente la ineficacia de esta solución. En efecto, en la Tabla 14.5-1 se puede apreciar la poca influencia de introducir un pretensado de alrededor del 50% del axil en servicio. Las características de los modelos de cálculo corresponden al caso a) del apartado 14.5.1.
HIP0 PRETENSADO DEL ARCO
NC M2,C M3,C P NC(P) M2,C(P) M3,C(P)
Modelo Observaciones [KN] [KN·m] [KN·m] [KN] [KN] [KN·m] [KN·m]
Bow-string. -2044.8 -5269.4 410.3 -1004.7 536.7 54.5 gT=-2
Apoyos fijos. -2011.2 -1562.9 132.2 -992.8 -372.6 13.5
Bow-string. -2069.6 -10806.0 1898.6 -1010.2 502.3 116.5 gT=-4
Apoyos fijos. -1967.2 -3038.4 604.4
-1000
-991.6 -365.0 2.3
Tabla 14.5-1.- Axiles y flectores longitudinales y transversales en clave de arco para la HIP0 y comparación con los esfuerzos generados por un pretensado P del arco constante de –1000 KN, con excentricidad constante de 0.45 m.
307
Fig. 14.5-24.- Modelo gT=-2. Solución bow-string. Perspectiva del modelo.
14.5.4. EL TABLERO CURVO COMO TIRANTE DEL ARCO: PASARELA DE CAMPO VOLANTÍN.
En los modelos tipo bow-string, cuando no se pretensa el tablero y se libera el movimiento horizontal del arco, llama la atención el aumento de flexión transversal M2 en el arco, con la consecuente pérdida de eficacia de éste.
Para los casos analizados, en los que se manejan curvaturas relativamente bajas, la fuerza de desvío transversal producida por pretensar una pieza de las dimensiones del tablero, se mantiene en valores bastantes asumibles por las secciones (que además trabajan con canto el ancho del tablero) y compensa por las ventajas en esfuerzos que se obtienen en el arco al coartar su deformación horizontal.
Fig. 14.5-25.- Vista inferior de ambos estribos del tablero de la pasarela de Campo Volantín [89], en la que el tirante bajo el tablero curvo vincula los arranques del arco entre sí.
b/2
b/2
R
Eje de tablero
Arranque de arco
Arranque de arco
Tirante de tablero
α0
LA
gT
Fig. 14.5-26.- Ancho mínimo b del tablero para inscribir un tirante recto en un tablero curvo de radio R y luz recta LA. Planta de tablero.
308
Sin embargo, siempre y cuando la relación entre curvatura y ancho del tablero lo permita, se puede recurrir a inscribir el tirante recto en la planta del tablero curvo, con lo que su posición será variable transversalmente, pero conectará muy eficazmente los arranques del arco.
Éste es el caso de la Pasarela de Campo Volantín, descrita en 2.3.4.2, en la que el tablero curvo se articula en torno a un tubo metálico que vincula los arranques del arco.
De acuerdo con la Fig. 14.5-26, el semiancho b/2 del tablero mínimo para poder inscribir el tirante recto entre ejes de estribos (o arranques de arcos) coincide exactamente con gT, y la relación entre ambos es la [14.2].
Este ancho estricto puede ser menor si la posición se desplaza hacia el exterior de la curva, como acabamos de ver en el caso de la pasarela de Campo Volantín.
14.6. CONCLUSIONES. A la luz de los resultados del presente capítulo se pueden extraer las siguientes conclusiones:
1.- En el puente arco espacial de planta curva impuesta los arranques del arco y los estribos del tablero coinciden, con lo que pueden compartir la cimentación. En esto se diferencian de otros tipos espaciales en los que las necesidades de no interferencia relativa obligan a cimentarlos por separado.
2.- Por lo tanto, es posible el funcionamiento del tablero como tirante traccionado del arco superior, en una variante, de planta curva, del tipo bow-string. Los bajos valores de las fuerzas de desvío horizontales inducidas en el tablero provocan bajos valores de flexión transversal en un tablero que, además de estar pretensado, flecta según su ancho.
3.- En el arco espacial de planta curva impuesta no sólo es imposible inscribir una geometría antifunicular, sino que aparecen fuerzas de desvío horizontales mayores según aumenta la curvatura, por acoplamiento del axil con la flexión transversal. Las soluciones tipológicas deben ir encaminadas a compensar dichas fuerzas horizontales, ya que las péndolas, forzosamente verticales, no tienen posibilidad de hacerlo.
4.- Al margen de aumentar la rigidez transversal del arco, desde el punto de vista de la coacción de dichas fuerzas, la solución más eficaz parece ser el atirantamiento de contrarresto anclado en el borde interior (solución tipo Galindo). La ventaja fundamental de esta solución es que es activa, y puede emplearse para compensar parcialmente flexiones transversales producto de las sobrecargas. Para valores altos de la curvatura, para las cargas permanentes, tiende a comportarse como un puente con apoyos interiores.
5.- Una solución muy eficaz también es rigidizar las péndolas, si bien es una solución pasiva. Puede ser utilizada en combinación con la anterior para aumentar la rigidez transversal del sistema.
6.- Ambas soluciones movilizan la rigidez torsional del tablero. Además, la solución tipo Galindo, al vincular arco y tablero mediante péndolas inclinadas, hace uso de la rigidez transversal del tablero (muy alta según el canto) algo que no ocurre con soluciones sólo con péndolas verticales.
7.- Dadas las rigideces habituales y los valores de las curvaturas en planta y alzado de los arcos empleados, soluciones basadas en el pretensado interior longitudinal del arco son ineficaces. Como contrapartida, permiten el trabajo como tirante del tablero sin aumento significativo de su flexión transversal e, incluso, los tirantes son inscriptibles en la planta del tablero para valores moderados de la curvatura.
309
CAPÍTULO 15
15 METODOLOGÍA DE DETERMINACIÓN DE LA DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR DEL ARCO ESPACIAL.
15.1. INTRODUCCIÓN. Se ha definido un método iterativo para obtener directrices espaciales antifuniculares de arcos.
Para ello se ha desarrollado un potente algoritmo que forma parte de los módulos disponibles en SABRINA (véase 3.2). Las formas de los arcos obtenidos resultan de gran eficiencia estructural, al margen de su posible interés formal. Es además útil para otros tipos de estructuras con esfuerzos axiles importantes.
El método puede resumirse de la siguiente manera:
a) Se parte de una estructura espacial inicial. Generalmente1 (pero no necesariamente) esta estructura está formada por un arco plano vertical y un tablero inferior curvo. El arco y el tablero están unidos por una serie de péndolas articuladas. Debido al carácter espacial de la estructura los arranques del arco pueden no coincidir con los estribos del tablero.
b) En dicha estructura se introducen las cargas de cálculo habituales (peso propio, cargas permanentes, sobrecargas, etc.) Además se introducen dos grupos de acciones adicionales: una serie de incrementos térmicos en las péndolas y una serie de movimientos y giros en los arranques del arco. Las temperaturas simulan el tesado de las péndolas. Los movimientos y giros simulan el efecto de gatos hidráulicos actuando sobre los arranques del arco. Estas acciones se introducen para anular simultáneamente las flechas verticales del tablero para la hipótesis de cargas permanentes y para anular también las flexiones en algunas secciones del arco cuando actúa la hipótesis para la que se desea obtener la geometría antifunicular, que suele ser la correspondiente a la actuación simultánea de las cargas permanentes más la mitad de las sobrecargas repartidas2.
c) Anular una flexión dada impone un punto de paso del antifunicular, por lo que conviene anular las dos flexiones posibles en arranques del arco y la de eje horizontal en clave. Es decir, se antifuniculariza un arco biarticulado en planta y triarticulado en alzado. Así se impone que la nueva directriz pase por los arranques del arco y que la clave del arco mantenga su cota vertical. Para conseguir esto se resuelve un sistema de ecuaciones, que, en general, será no lineal.
d) Para la siguiente iteración la geometría se corrige en función del método elegido. Se han desarrollado dos métodos:
1.- El método de las reacciones globales, donde se supone que el incremento de flexión en un punto del arco depende de la variación de excentricidad respecto del nudo de arranques en el que actúan las reacciones.
2.- El método de las excentricidades locales, haciendo pasar la nueva directriz en cada punto del arco por la posición en ese punto de la resultante del esfuerzo axil.
e) El proceso se repite hasta la convergencia de la geometría.
Se han desarrollado formulaciones acopladas para los métodos de iteración de la geometría que permiten obtener directrices antifuniculares de una de las direcciones de flexión y simultáneamente imponer condiciones geométricas adicionales, como por ejemplo, que la directriz quede contenida en un plano.
Módulos adicionales proporcionan, en sus resultados intermedios, si se desea, el dimensionamiento del área de sus péndolas, así como la contraflecha de ejecución de un conjunto arbitrario de nudos en los grados de libertad para las acciones que se deseen.
1Como todos los datos son definibles, el método permite imponer condiciones a la estructura, en forma de
distribuciones arbitrarias de flechas o esfuerzos, o para acciones diferentes, y no sólo las citadas. 2 Esta es la hipótesis de antifunicularidad para arcos metálicos, considerados en este trabajo y en el que se
han construido la inmensa mayoría de las realizaciones estudiadas. Para arcos de hormigón armado, sólo se considerarían, en principio, las acciones permanentes.
310
15.2. DETERMINACIÓN DEL AXIL DE PRETENSADO, ÁREA DE LAS PÉNDOLAS Y CARGAS DE GATOS EN ESTRIBOS. Como ya hemos visto en el capítulo 13, las péndolas son los elementos que vinculan el arco con
el tablero. Cuando el puente es de tablero inferior suelen trabajar a tracción, y generalmente están formadas por elementos metálicos como perfiles, cables o barras, convenientemente protegidos contra la intemperie y la corrosión.
En general suele ser conveniente actuar sobre ellas tensándolas para imponer, en las situaciones deseadas, determinadas leyes de deformaciones o esfuerzos al tablero que sustentan. Cuando esto ocurre estamos en el caso de péndolas activas, y el axil que se les impone lo denominaremos axil de pretensado3.
Por el contrario, las péndolas pasivas toman su tensión por deformación relativa de sus extremos al actuar en su base las acciones correspondientes al tablero y estar en cabeza vinculadas al arco.
15.2.1. CASO ELÁSTICO LINEAL.
El método que sigue para la determinación del axil del pretensado en péndolas sólo precisa como condición previa la validez del análisis elástico lineal, lo que permite fundamentarlo en el principio de superposición.
Para simular el pretensado de las péndolas se introduce en cada una de las barras que modeliza cada péndola un decremento de temperatura tal que se verifiquen simultáneamente las condiciones impuestas para el sistema auxiliar de ecuaciones en el archivo de entrada de datos. El usuario puede especificar las condiciones que desee, pero para centrar la exposición, nos referiremos a las más frecuentes.
Tales condiciones son que la deformada de todos los puntos de anclaje de las péndolas en el tablero sea nula bajo la acción concomitante del peso propio, de las cargas permanentes y, por supuesto, del propio pretensado de las péndolas (HIP0). En este ejemplo se supone que hay un tablero único y un solo arco vinculados por una única familia de péndolas.
Sea pues nP el número de péndolas del puente, que estarán ancladas en igual número de nudos del tablero.4
Sea tj (1 ≤ j ≤ nP) un decremento de temperatura arbitrario aplicado en la péndola j.
Se deberá verificar para todos los nudos i de anclaje en el tablero la siguiente expresión:
0CP)(PP1
=++⋅∑=
ij
n
jij v)(tvα
P
[15.1]
donde
vi(PP+CP) es la flecha del punto i de anclaje del tablero bajo la acción simultánea del peso propio y de la carga permanente,
vi(tj) es la flecha producida en el nudo i del tablero por la acción de tj
jα es el coeficiente por el que hay que ponderar el decremento de temperatura tj en la péndola j para imponer simultáneamente la flecha nula en todos los puntos de anclaje de las péndolas en el tablero.
3 Este axil de pretensado de la péndolas no debe confundirse con el axil de tesado durante el montaje de la
estructura. Estos axiles sólo coincidirán en el caso de tesado simultáneo de todas las péndolas. 4 Esta es la configuración más habitual, y, como se ha dicho, la que está sirviendo de ejemplo para centrar
la exposición. En un puente tipo Nielsen ([31] ó [42]), tipo network [91] o tipo Galindo (véase 14.4.2) puede concurrir más de una péndola en un punto del tablero o del arco.
311
tj
Péndola j Nudo i vi(tj)
Fig. 15.2-1.- Efecto de la introducción del decremento de temperatura tj en la péndola j.
Estructura sin deformar Estructura deformada
vi(PP+CP)
Fig. 15.2-2.- Deformación de los nudos de anclaje del tablero, vi(PP+CP), al actuar simultáneamente el peso propio y las cargas permanentes.
Así se genera un sistema de nP ecuaciones con nP incógnitas, donde la solución del sistema la constituyen los coeficientes αj, que, como se ha dicho, son los valores por los que hay que ponderar cada decremento de temperatura. Así, por ejemplo, en la diagonal principal de la matriz de coeficientes, vjj, vendrán dadas las flechas en cada nudo de anclaje del tablero cuando la péndola anclada en dicho nudo es sometida al decremento de temperatura tj.
Dado que hemos supuesto que el cálculo es elástico y lineal, la siguiente expresión es correcta por el principio de superposición:
)t(αv)(tvα jjijij ⋅=⋅ [15.2]
Si definimos
jjj tαT ⋅≡ [15.3]
resultará la temperatura final Tj que hay que aplicar en la péndola j para resolver el sistema planteado en [15.1].
15.2.2. DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE LAS PÉNDOLAS.
Para determinar el área de las péndolas, puede emplearse el criterio de que la máxima tensión de servicio sea menor que un valor definido previamente. En general este valor suele ser un porcentaje dado de la tensión última5. La hipótesis de cálculo de tensión así como dicho porcentaje se pueden definir en el archivo de datos.
El caso más frecuente, y que tomaremos como ejemplo en la exposición, es que la hipótesis de servicio sea la HIPE (ver 3.5.2) y que el porcentaje de la tensión última, µ, sea del 45%. Así, se ha de verificar:
5 En 13.4 hemos denominado µ a este porcentaje, que expresa el grado de aprovechamiento del cable.
312
ui σ.σ ⋅≤ 450(HIPE) [15.4]
siendo σi la tensión en la péndola i, y σu =1860 N/mm2, suponiéndolas formadas por tendones del tipo Y 1860 S7 definido en la vigente Instrucción de Hormigón Estructural [19], aunque se puede definir cualquier otro material, por ejemplo barras6.
Dicha limitación, motivada por razones de fatiga, es la habitual en este tipo de estructuras, y recomendada de modo general por casi todos los autores7.
La expresión del axil máximo para la péndola i, Nmax,i, tiene por tanto la expresión:
∑=
+++=Pn
jjii,i )(TN NN
1max SCUE)CPPP( [15.5]
Donde ∑=
Pn
jji )(TN
1
es el axil en la péndola i debido a la actuación simultánea de todas las
temperaturas Tj y SCUE)CPPP( ++iN es el axil en la péndola i ante la actuación simultánea del peso propio, la carga permanente y la SCUE (4 KN/m2 en toda la plataforma, véase 3.5.2).
De las ecuaciones anteriores se puede deducir el área estricta de la péndola i, p,iΩ
u
,ip,i ·σ.
NΩ
450max≥ [15.6]
15.2.3. IMPLEMENTACIÓN DEL CASO ELÁSTICO LINEAL.
Para la programación del método para su aplicación al análisis de un puente concreto se ha seguido el siguiente proceso:
a) Se asigna un área arbitraria inicial a las péndolas, definida en el archivo de datos, siendo recomendable que sea del orden de magnitud de las áreas esperables. Áreas en torno a 700 mm2 suelen dan resultados aceptables.
b) Se genera un modelo exactamente igual que el del puente que se desea analizar, con dos diferencias:
• En primer lugar, se definen nP hipótesis adicionales de carga, que son el decremento de temperatura tj para cada una de las nP péndolas. Estas acciones se añaden a las acciones ya definidas para el puente en estudio, como la citada hipótesis HIP0, y la HIPE en la que se añade la sobrecarga uniforme a todo el tablero.
• Se define la geometría de dicho modelo en milímetros, y los esfuerzos en Newton, para obtener las flechas y los axiles con mayor número de dígitos significativos, dado que la salida del programa de cálculo utilizado no permite al usuario la imposición del número de decimales. Las pruebas realizadas con modelizaciones en metros daban poca precisión en los coeficientes del sistema de ecuaciones, de tal manera que el error que se cometía en la determinación de los coeficientes αj y consecuentemente de la flecha era significativo. Posteriormente se ha comprobado que empleando milímetros en la geometría de la modelización (y por tanto en el sistema de ecuaciones) se obtienen deformadas no mayores de 10-5 m en los puntos de anclaje.
c) Se calcula dicho modelo, procesando los archivos de salida de resultados de corrimientos y esfuerzos para resolver el sistema de ecuaciones.
d) Dado que el sistema es elástico lineal, el proceso termina aquí si no se desea determinar las
6 Las barras como elemento de atirantamiento son particularmente interesantes, entre otros casos, cuando
es más importante su contribución a la rigidez conjunta del sistema de atirantamiento arco-péndolas que su resistencia (véase, por ejemplo, Marí et al. [52]).
7 Este y otros criterios de dimensionamiento de cables, como el de limitar el incremento de tensión debido a las sobrecargas a 200 MPa, pueden verse en Mas y Casas [56] y Manterola et al. [46].
313
áreas de las péndolas. El área de cada péndola se determina por limitación de la tensión máxima en servicio. Es conveniente redondear las áreas obtenidas a múltiplos de una cantidad, lo que disminuye drásticamente el numero de iteraciones y genera resultados más realistas al quedar un número discreto de barras o cables. Se puede, por ejemplo, emplear un área de 140 mm2, con lo que el área de cada péndola queda como un número entero de T158.
e) Se repiten los pasos b) y d) con las áreas obtenidas en la iteración anterior hasta que las áreas obtenidas en dos iteraciones consecutivas coinciden.
15.2.4. DETERMINACIÓN DEL AXIL DE PRETENSADO Y SECCIÓN DE LAS PÉNDOLAS CONSIDERANDO LA NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA.
15.2.4.1. Diferencias propias del cálculo no lineal.
Para la determinación del axil en las péndolas y del área necesaria de éstas considerando la no linealidad geométrica, y en general cualquier efecto no lineal, se ha seguido un proceso doblemente iterativo, a diferencia del método directo descrito en 15.2.1.
El método es muy similar, pero impone los procedimientos iterativos propios del cálculo no lineal. Las diferencias son fundamentalmente dos:
1.- Ya no es válido el principio de superposición. Por lo tanto, ya no se pueden definir hipótesis de carga en las que las temperaturas impuestas a cada péndola y las cargas permanentes actúen independientemente.
Para evaluar las flechas en el tablero bajo cargas permanentes, éstas y las temperaturas impuestas a las péndolas deben actuar simultáneamente.
Así se definen, en un modelo auxiliar, en N y mm, nP+1 hipótesis de carga, donde las nP primeras corresponden a la imposición de temperaturas tj en cada péndola y la última corresponde a la actuación simultánea de PP, CP y las temperaturas Tj obtenidas en la iteración anterior.
2.- Por el mismo motivo, el axil máximo de cada péndola ya no se puede obtener por superposición, sino que hay que realizar un calculo no lineal con la HIPE, que es la empleada para el dimensionamiento de las péndolas, el cual se realiza en un segundo modelo auxiliar, dado que el programa de elementos finitos empleado sólo permite un análisis no lineal por cálculo.
15.2.4.2. Método iterativo de resolución.
En la figura Fig. 15.2-3 se ha representado la resolución de una péndola concreta. Una formulación teórica, puede encontrarse, por ejemplo, en los trabajos de Zienkiewicz [102]. Nosotros nos centraremos en el significado físico del método.
La flecha a compensar se ha representado negativa, de tal manera que se ha supuesto que el pretensado de las péndolas levanta los nudos. Dicha flecha provocada por las cargas permanentes se anula mediante la actuación concomitante de los axiles de pretensado de las péndolas, a través de los decrementos térmicos Tj. La solución buscada es el punto S.
Si se parte del punto inicial I (flecha con axiles de pretensado nulos) y se supone que el comportamiento es lineal, la solución está en el punto A, y los decrementos térmicos solución son Tj.
Como el comportamiento no es lineal, para los axiles de pretensado T0j la flecha queda realmente
en el punto A′. La flecha a compensar en la siguiente iteración será la longitud del segmento AA' , que será el término independiente correspondiente a esta péndola en el sistema lineal de ecuaciones de la siguiente iteración, cuya solución son los decrementos térmicos ∆Tj
1.
Análogamente, si ahora actúan simultáneamente las cargas permanentes y las temperaturas T0
j+∆Tj1, la flecha a compensar es la BB' .
Así, sucesivamente, se van resolviendo sistemas lineales de ecuaciones cuyos términos
8 Otra posibilidad que sugerimos, por su interés, es que el algoritmo seleccione el área estricta de una serie
comercial de barras o cables.
314
independientes son las flechas no compensadas en la iteración anterior, hasta que las flechas a compensar están por debajo de una tolerancia especificada anteriormente (tol en la figura), con lo que el error en la
determinación de Tj es ε, y las temperaturas adoptadas como solución son ∑=
+≅n
i
ijjj TTT
1
0 ∆ , donde n es el
número de iteraciones. El algoritmo implementado que resuelve el sistema auxiliar de ecuaciones genera automáticamente un vector de tolerancias en función del contenido de cada ecuación9.
El algoritmo presenta la ventaja de que el sistema que se resuelve para cada iteración es lineal. El algoritmo converge rápidamente, en particular, en los puentes con poca sensibilidad a la no linealidad geométrica, y en las últimas iteraciones los incrementos de temperatura son muy pequeños. El proceso se repite hasta que la magnitud de todas las flechas obtenidas es menor que la tolerancia especificada para dos distribuciones de áreas de péndolas iguales en dos iteraciones consecutivas.
Las pendientes de los tramos BA' , CB' , DC' no se han representado paralelas, porque, como se ha citado, entre iteraciones puede cambiar la rigidez de la estructura, por ejemplo, porque cambia el área de una péndola.
∆Tj
3 ∆Tj4 ∆Tj
2 Tj0
O
E′
Eε DB CA
∆Tj1
v(PP
+CP)
v(PP
+CP+
ΣTj)
tol
A′
B′
C′D′
T S
I
Tj
Fig. 15.2-3.- Método iterativo para la determinación en régimen no lineal de los axiles de pretensado de las péndolas (Adaptada y redibujada a partir de Mira [61] y Zienkiewicz [102]).
15.2.5. GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE ACCIÓN TÉRMICA A LAS CARGAS EN ESTRIBOS. ANULACIÓN DE FLEXIONES EN SECCIONES DE LA DIRECTRIZ.
En los métodos de determinación de la directriz antifunicular que se exponen a continuación se necesita anular la flexión en determinados puntos. Una forma de contrarrestar esfuerzos flectores en puentes arco que se emplea en la realidad es actuar con gatos, centrados o excéntricos, sobre una o varias secciones del arco, generalmente en clave o en estribos.
En el ámbito de luces de este trabajo y para arcos metálicos, las cargas en estribos son más cómodas de aplicar, en lugares más accesibles, y elimina la necesidad de trabajar in situ en las secciones de clave.
El efecto de los gatos en estribos sobre el resto de la estructura se simula actuando sobre unas
9 Este vector establece tolerancias distintas en cada fila del sistema de ecuaciones en función de qué
magnitud se esté determinando: si desplazamientos o esfuerzos, como se ve seguidamente al generalizar el concepto de acción térmica a las cargas en estribos (véase el código en el apéndice E).
315
barras cortas (del orden de 10-20 cm) en prolongación de las barras de arranques de los arcos. Dicha alineación entre las barras es necesaria para evitar flexiones indeseadas. El material de esta barra ha de ser muy rígido para que no se provoquen movimientos en sus extremos por efectos de las sobrecargas, lo que violaría la hipótesis de movimientos coaccionados en arranques10.
3n
1n -M3
-M2
-M2
+M2
∆T +M2
a) b) c)
+M3
+M3
-M3
3n
2n
3n
2n
1n
Nudo de estribos
Nudo de arranque de arco
2n
1n
Fig. 15.2-4.- Detalle de los esfuerzos en la barra que modeliza el estribo. La barra es muy corta (del orden de 10 a 20 cm) y su nudo final coincide con el arranque teórico de la directriz del arco. Su nudo inicial siempre está empotrado. Los versores de sus ejes locales son 1n , 2n y 3n . Está alineada en prolongación de la primera barra del arco para evitar flexiones parásitas, lo que obliga a reorientar esta barra en cada iteración. Los esfuerzos introducidos en ella tienen por objeto provocar movimientos en su nudo final para simular el efecto de la introducción de gatos excéntricos en el estribo actuando sobre la sección de arranques del arco. Es de un material muy rígido en comparación con el de la directriz, para que se pueda despreciar la deformación que sobre ella introducen las sobrecargas y así poder reproducir las condiciones de vinculación de empotramiento en arranques de la directriz.
El efecto de los gatos excéntricos en estribos se simula, en el caso más general, introduciendo tres esfuerzos diferentes (Fig. 15.2-4) en dichas barras:
a) Una variación uniforme de temperatura, que, en general, calentará la barra para compensar el acortamiento de la directriz por esfuerzo axil.
b) Un giro en su extremo (arranques del arco) según el eje local 2 de la barra impuesto mediante
10 El programa acepta el calentamiento de cualquier conjunto de barras, y no sólo las de estribos. Se ha
observado que establecer calentamientos de barras en clave produce ligeros picos en la clave de la directriz final, salvo que el cálculo se realice evolutivamente, estableciendo modelos diferentes para cada fase de ejecución.
316
dos parejas de momentos localizados.
c) Un giro análogo al anterior según el eje local 3.
Así, puede reproducir de forma suficientemente aproximada el efecto de una serie de gatos actuando entre el estribo y la sección de arranques con excentricidad en las dos direcciones perpendiculares de los ejes locales de la sección. En la figura se muestran con detalle estos momentos en un modelo real. Los desplazamientos según los ejes locales 2 y 3 son inevitables, como en la realidad, si la dimensión de la barra es finita. Luego se volverá sobre ellos, pero ahora baste adelantar que suelen muy pequeños y de nula relevancia al final del proceso.
La posición de los puntos de actuación de los momentos está escogida esquivando los puntos intermedios de salida de resultados de la barra, cuando se produce en 4 ó 5 puntos11.
Si damos un tratamiento análogo a las dos parejas de momentos localizadas en una barra dada al de las barras sometidas a incrementos de temperatura Tj, podemos determinar también los valores necesarios de estos momentos para imponer a la estructura las condiciones que se deseen.
15.2.6. PLANTEAMIENTO GENERAL DEL SISTEMA AUXILIAR DE ECUACIONES.
Como se ha citado, en el programa se puede definir con total libertad el sistema de ecuaciones auxiliar de la estructura. Ciñéndonos al caso del ejemplo, lo expuesto hasta ahora permite obtener, simultáneamente, mediante proceso iterativo no lineal:
• Incrementos de temperatura (que definen los axiles de tesado de péndolas y el desplazamiento según la directriz de los gatos en arranques) en todas las péndolas y en barras de estribos.
• Momentos localizados en las dos direcciones en barras de estribos (giros de las secciones de arranques)
Que permiten simultáneamente, imponer a la estructura:
• Anulación simultánea de todas las flechas de anclajes de tablero para la HIP0 (hipótesis de actuación simultánea de peso propio, cargas permanentes, pretensado de péndolas y cargas de gatos en estribos. Véase 3.5.2)
• Anulación simultánea de las flexiones longitudinales en arranques y en clave y de las transversales en arranques en la hipótesis a antifunicularizar (generalmente la HIPAF, definida por la actuación simultánea de peso propio, cargas permanentes, pretensado de péndolas, cargas de gatos en estribos y mitad de la sobrecarga uniforme sobre todo el tablero. Véase 3.5.2).
• Además el proceso proporciona, en sus resultados intermedios, si se desea, el dimensionamiento del área de sus péndolas. También se puede obtener la contraflecha de ejecución de los nudos en los grados de libertad que se deseen por un método análogo (véase el apartado 6.2.)
11 Este es un pequeño truco, haciendo de la necesidad virtud: Como el SAP2000 obtiene los valores de las
combinaciones de hipótesis sólo en determinados puntos a lo largo de la barra, si se define cada pareja de momentos en una zona que no comprenda ningún punto de salida, la salida de esfuerzos no queda perturbada por los valores de los momentos de estas barras, que alcanzan, por concentrados, valores muy altos.
317
Geometría inicial
Flexión longitudinal en arco (PP+CP+0.5·SCUE)
Flexión transversal en arco (PP+CP+0.5·SCUE)
Flechas verticales en tablero (15x) (PP+CP)
Acciones térmicas en péndolas
Acciones de gatos en estribos
+
=
Flexión longitudinal en arco (HIPAF)
Arco TRIARTICULADO EN ALZADO
Flexión transversal en arco (HIPAF)
Arco BIARTICULADO EN PLANTA
Flechas verticales NULAS en tablero (HIP0)
(a)
(b)
c)
(d)
PRETP
Fig. 15.2-5.- Axiles de pretensado de las péndolas y acciones de gatos en estribos: En un puente dado (a), existe un estado dado de flexiones y flechas. En (b) se representan las flexiones para la actuación de PP+CP+0.5·SCUE, y de flechas para PP+CP. Se introducen simultáneamente sobre esa estructura los decrementos térmicos en las péndolas y las acciones de gatos en arranques definidos en 15.2. En (c) se señalan dichas acciones, que juntas definen la hipótesis PRETP (véase 3.5.1). Como se muestra en (d), la actuación simultánea de PP+CP+0.5·SCUE+PRETP (ó HIPAF, véase 3.5.1) anula las flexiones longitudinales en clave y en arranques (arco triarticulado en alzado) y las transversales en arranques (arco biarticulado en planta). Al aplicar los métodos de obtención de antifunicularidad que se definen posteriormente, la anulación de estas flexiones obliga a que la directriz del arco pase, en la siguiente iteración del método, por arranques y mantenga la cota de la clave. Además, la hipótesis PRETP impone simultáneamente que las flechas de los anclajes del tablero sean nulas para la actuación simultánea de PP+CP+PRETP (ó HIP0, véase 3.5.1). Todos los resultados mostrados corresponden a la primera iteración del ejemplo del apartado 15.6.
318
15.3. FORMULACIÓN ACOPLADA DEL MÉTODO DE LAS REACCIONES GLOBALES.
15.3.1. PLANTEAMIENTO GENERAL.
El método se basa en las siguientes hipótesis:
1) El valor de las reacciones en los arranques del arco no varía entre iteraciones.
2) Al variar la posición de un nudo, la variación de sus flectores sólo depende de la variación de su posición respecto del nudo de cálculo de las reacciones.
3) Al variar la posición de un nudo, el valor de los flectores en el resto de nudos permanece constante.
La primera hipótesis es, en general, falsa, pero a medida que nos acercamos a la convergencia, la variación entre reacciones para dos iteraciones consecutivas es cada vez menor.
Otro tanto puede decirse de las dos últimas, pues, a medida que nos acercamos a la convergencia, las variaciones de posición de los nudos son cada vez menores, y su influencia en la flexión del resto de nudos también.
El método se basa en la introducción sucesiva de desplazamientos en los nudos del arco. Los desplazamientos sólo se producen en aquellos nudos cuya flexión no es nula, por lo que se pueden imponer puntos de paso de la directriz antifunicular anulando previamente las flexiones en dichos puntos. El desplazamiento de cada nudo se produce en las direcciones adecuadas para anular la flexión en dicho nudo suponiendo que ni las reacciones ni las flexiones del resto de nudos van a variar con la nueva posición del nudo. En la misma iteración se mueven todos los nudos.
15.3.2. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO.
Considerando lo que ya hemos visto en los apartados anteriores, se establece el siguiente procedimiento de cálculo:
a) Se introducen en la estructura acciones que anulen las flexiones en los grados de libertad asociados a las posiciones de los nudos que se pretendan imponer en la geometría.
En general, este proceso es iterativo y de carácter no lineal. En un arco espacial podemos imponer la nulidad de las flexiones longitudinales en arranques y en clave, y de las transversales sólo en arranques. Para ello introducimos por ejemplo temperaturas y momentos localizados en las barras de estribos, para simular la acción de gatos excéntricos sobre la sección de arranques del arco. La estructura que se antifuniculariza es pues un arco triarticulado en alzado y biarticulado en planta, aunque otras configuraciones son posibles. Obligamos así a que la directriz pase por los arranques y a conservar la proyección en alzado de la clave.
b) Se obtiene vectorialmente el momento que se introduce en un nudo cualquiera, ni, por variar su posición según los ejes Y y Z en los valores ∆Y y ∆Z. Se verá que los valores de estos momentos dependen del valor de las reacciones y de la geometría de las barras de la estructura.
c) La formulación acoplada es un sistema de dos ecuaciones (anulación simultánea de flexión en ejes locales 2 y 3 de la barra) con dos incógnitas (∆Y, ∆Z) para cada nudo12. La ecuación para la flexión para cada uno de los ejes se obtiene al imponer que la proyección según dicho eje del momento generado al variar la posición del nudo sea igual y contraria a la del momento exterior actuante.
d) Se repiten los pasos a) a c) hasta que la diferencia entre dos iteraciones sucesivas de la directriz es menor que una tolerancia especificada previamente.
12 El método es totalmente general y podría imponerse un movimiento ∆X en el nudo según el eje X
longitudinal del modelo. El motivo de no hacerlo es conservar la cadencia longitudinal de anclajes en el arco.
319
RZ RY RX
∆Z
∆Y
A
'in
in
in∆
'ir
ir
Fig. 15.3-1.- Notación del método de las reacciones globales: Se han representado las tres componentes de la reacción en el arranque dorsal, y la variación in∆ de coordenadas de un nudo
cualquiera, in ,hasta la posición 'in , expresada por sus componentes ∆Y y ∆Z en los ejes globales.
15.3.3. FORMULACIÓN.
Seguidamente se detalla el método para obtener en un punto los valores ∆Y y ∆Z:
El valor del flector que se desea compensar es extM y que con el criterio de signos de la Fig. 15.3-2 puede expresarse en función de los ejes locales de la barra:
ext3,ext2,ext MMM += [15.7]
3n
2n
1n
T
N
N
T
3n
2n1n
M3
M3
V2
Cara comprimida
Cara traccionada
3n
2n 1n
V3
V3
M2
Cara traccionada
Cara comprimida
M2
Axil N y torsor T positivos Flexión longitudinal M3 y esfuerzo cortante V2 positivos
Flexión transversal M2 y esfuerzo cortante V3 positivos
V2
Fig. 15.3-2.- Criterio de signos en SAP2000 [18]. En él se sigue el criterio de que los momentos positivos dan compresiones en las partes positivas de los ejes locales. La formulación expuesta (y el código escrito en consecuencia) se adapta a este criterio.
donde
22
3-nMnM
ext2,
3ext3,
⋅=
⋅=
,ext
,ext
MM
[15.8]
[15.9]
320
Por otra parte, (véase la Fig. 15.3-1) al desplazar un nudo de la posición in hasta la posición 'in
un vector in∆ de componentes [0 ∆Y ∆Z] puede suponerse, de acuerdo con la segunda hipótesis del método, descrita en 15.3.1, que la variación del momento es:
[ ] RnRrRnrRrRrn∆M iiiii'iiext ×∆=××∆=××=∆ -)(-)-()(-)()( [15.10]
donde R es el vector de reacciones en el nudo A de arranques R = [RX RY RZ].
Es importante señalar que el incremento de momento no depende de la posición relativa estribo-nudo, pero sí que es importante si establecemos las ecuaciones tomando las reacciones del estribo dorsal o el frontal. En nuestro caso todos los cálculos se han realizado desde el estribo dorsal.
( ) ( ) ( )kjikji
n∆M iext ∆ ∆ ∆∆0)( YRZ-RYZ-RRRRR
ZY XXZY
ZYX
⋅+⋅+⋅⋅=∆∆−=∆ [15.11]
Las componentes de los versores 2n y 3n son respectivamente [n2X n2Y n2Z] y [n3X n3Y n3Z].
Al proyectar dicho momento sobre los versores 2n y 3n de los ejes locales 2 y 3 respectivamente se obtienen ∆M2 y ∆M3, positivas sobre la parte positiva del versor.
( ) ( )( ) ( )YXXYZXXZ
YXXYZXXZ
nRnRZnRn-RYM
nRnRZnRn-RYM
222222
33333
)(
)(
⋅−⋅⋅∆+⋅+⋅⋅∆=⋅∆=∆
⋅−⋅⋅∆+⋅+⋅⋅∆=⋅∆=∆
nn∆M
nn∆M
iext
3iext [15.12]
[15.13]
Si se desea anular la flexión se ha de verificar que:
0n∆MM iextext =∆+ )( [15.14]
Ecuación que también resulta cierta al proyectarla sobre los ejes locales de la sección. Haciendo uso de las parejas de ecuaciones [15.8] - [15.9] y [15.12] - [15.13] se obtiene:
0 0-
22
33
=∆+
=∆+
MMMM
,ext
,ext [15.15]
[15.16]
Y, por lo tanto, a partir de las ecuaciones anteriores se genera el siguiente sistema de ecuaciones, correspondientes a la formulación acoplada del método de las reacciones globales, con los criterios de signos de las Fig. 15.3-1 y Fig. 15.3-2:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++−+
,ext
,ext
XYYXXZZX
XYYXXZZX
-M M
ZY
· nR· nR· n-R· nR· nR· nR· n-R· nR
2
3
2222
3333
∆∆
[15.17]
[15.18]
15.3.4. CONSECUENCIAS.
15.3.4.1. Influencia de una ley de flexión sobre la otra.
Al estar vinculadas entre sí por un sistema de ecuaciones, las discontinuidades en una de las direcciones de antifunicularización pueden proyectarse sobre la otra. En nuestros cálculos estos problemas han surgido, durante el desarrollo del método, en algunas estructuras particularmente mal condicionadas tenso-deformacionalmente.
Cuando esto ocurre este método da mejores resultados cuando cada una de las leyes de flexiones se interpola por un polinomio continuo que ajuste toda la ley a compensar. En particular los problemas suelen surgir en este tipo de estructuras por las discontinuidades de flexión longitudinal justo en las péndolas al actuar como cargas concentradas.
En particular han demostrado dar buen resultado las aproximaciones por mínimos cuadrados condicionados, ya que minimizan la distancia a la curva, lo que puede interpretarse físicamente por la excentricidad o distancia a la línea de presiones. Para su uso han resultado de particular utilidad las
321
herramientas de optimización incluidas con MATLAB [58].
Se impone a esa curva que, además de pasar por los arranques y tenga pendiente horizontal en clave, para evitar picos en la directriz.
Sin embargo estas interpolaciones dependen mucho de la discretización, concretamente del número de nudos entre péndolas. Este inconveniente se puede atemperar introduciendo coeficientes de ponderación que hagan pesar más los puntos de anclaje que los intermedios.
15.3.4.2. Establecimiento de condiciones geométricas adicionales.
Por ejemplo, dado un arco plano inclinado y dada una dirección de flexión arbitraria, se puede obtener un arco plano que, manteniendo la inclinación inicial, sea antifunicular para dicha dirección de flexión.
Para ello es necesario, evidentemente, que el eje de la flexión no quede contenido en el plano del arco. Sea fA la flecha vertical del arco y gA la proyección (con su signo) de la flecha sobre el eje Y. Si se sustituye cualquiera de las ecuaciones del sistema definido por las ecuaciones [15.17] y [15.18] por la siguiente relación:
A
A
fg
ZY
=∆∆ [15.19]
para todos los puntos del arco se está imponiendo simultáneamente la anulación de una flexión y el mantenimiento de la inclinación del plano del arco, ya que las variaciones de las coordenadas mantienen la pendiente inicial.
yi
zi
fA
gA
Fig. 15.3-3.- Como consecuencia de la formulación acoplada del método de las reacciones globales, se puede obtener un arco plano, dada una dirección de flexión arbitraria, que manteniendo la inclinación inicial, sea antifunicular para dicha dirección de flexión.
322
Fig. 15.3-4.- Ejemplo de arco plano en el que se ha antifunicularizado la flexión longitudinal del arco manteniendo su inclinación. Para ello se aplica la formulación acoplada del método de las reacciones globales. El presente ejemplo tiene los siguientes valores: gT=-10, YT=7, fA=20, gA=-0.90, y la sección es tubular de φ=1000 mm y t=25 mm. Es interesante señalar que el valor de gA considerado es la posición de la clave para la antifunicularizacion espacial de las dos flexiones simultáneamente, lo que mantiene la flexión transversal en valores relativamente acotados cuando se decide simplificar su directriz de alabeada a plana.
Fig. 15.3-5.- Ejemplo de aplicación de la formulación acoplada del método de las reacciones globales al arco plano inclinado de la Fig. 15.3-4 en el que se ha antifunicularizado la flexión longitudinal M3 del arco manteniendo su inclinación fA/gA. En la figura se representan las flexiones longitudinal (gráfico superior) y transversal (inferior). En cada gráfica se han representado a la misma escala, por comparación, las flexiones del tablero. La hipótesis para la obtención de la geometría la constituyen la actuación simultánea de todas las cargas permanentes y la mitad de las sobrecargas repartidas (ó HIPAF, véase 3.5.2). Es de destacar además que, como al plantear el sistema de ecuaciones se anulan las flexiones longitudinales en arranques y clave, y el eje local 3 es horizontal, la flecha vertical del arco, fA, se conserva en las sucesivas iteraciones.
Esta consecuencia es generalizable más allá de las geometrías planas y la relación [15.19] se puede sustituir por una relación no lineal del tipo
0=Ψ(∆Y,∆Z) [15.20]
de donde se puede establecer una condición geométrica arbitraria adicional a costa de que el sistema de ecuaciones [15.17] - [15.18] deje de ser lineal.
323
15.4. FORMULACIÓN DESACOPLADA DEL MÉTODO DE LAS REACCIONES GLOBALES. La formulación desacoplada del método de las reacciones globales anula uno sólo de los
momentos ext2,M ó ext3,M variando una única coordenada de los nudos. Pueden aplicarse sucesivamente en la misma iteración.
15.4.1. FORMULACIÓN.
Para anular M3,ext variando solamente la coordenada según el eje Z, se impone ∆Y=0 en la ecuación [15.17], que ahora queda:
,extXYYX M)· nR· nR(Z 333∆ =+−⋅ [15.21]
y la variación de coordenada Z, ∆Z, resulta:
·nR·n-RM
ΖXYYX
,ext
33
3
+=∆ [15.22]
Análogamente, imponiendo ∆Z =0 para anular M2,ext se obtiene, a partir de [15.18]:
·nR·nR-M
YXZZX
,ext
22
2
−=∆ [15.23]
Esta formulación no traslada las discontinuidades entre proyecciones de la directriz como ocurría con la acoplada (ver 15.3.4.1) porque cada una se calcula por separado, y los resultados son muy buenos para arcos con cargas puntuales localizadas en péndolas, como es el caso de los puentes estudiados.
En todos los cálculos comparados, los resultados finales presentan una coincidencia prácticamente total entre ambas formulaciones.
15.4.2. CASO PARTICULAR: ARCO PLANO VERTICAL.
15.4.2.1. Fórmula clásica del arco plano biarticulado y vertical.
En un arco plano vertical, con los criterios de signos que hemos considerado hasta ahora, se verifica simultáneamente:
3n = [ 0 -1 0 ]
RY=0 [15.24]
con lo que sustituyendo en [15.22] se obtiene la clásica fórmula
X
,ext
RM
Ζ 3=∆ [15.25]
para la directriz antifunicular del arco plano vertical bi o triarticulado (véase 15.7.3.2), que queda como caso particular de la formulación espacial recién presentada.
15.4.2.2. Planeidad de la directriz antifunicular con cargas contenidas en el plano.
Además de [15.24], en el arco plano vertical se verifica:
n2Y=0 [15.26]
Si además, las cargas están contenidas en el plano
M2,ext=0 [15.27]
324
Por lo que, de [15.18]:
∆Y· (+RX·n2Z -RZ·n2X)+ ∆Z· (-RX·n2Y +RY·n2X) = 0 [15.28]
donde el segundo sumando es nulo pues RY=n2Y=0 por [15.24] y [15.26].
Para verificar la ecuación anulando el segundo término se debería verificar:
+RX·n2Z-RZ·n2X =0 [15.29]
que se puede escribir
Z
Z
X
X
nR
nR
22= [15.30]
o lo que es lo mismo, que la reacción fuera paralela a la perpendicular de la barra (al versor 2n ), cuando en realidad está alineada con 1n (longitudinal según la barra) en los arranques.
Así, la única posibilidad es ∆Y=0, que impone que la directriz se mantiene en el plano vertical.
15.5. FORMULACIÓN DESACOPLADA DEL MÉTODO DE LAS EXCENTRICIDADES LOCALES.
15.5.1. PLANTEAMIENTO GENERAL.
El método de las excentricidades locales es un método alternativo al de las reacciones globales de determinar el movimiento que se ha de dar a un nudo para compensar la excentricidad provocada por una pareja axil-momento concomitantes.
Se basa en una trío de hipótesis similares a las del método de las reacciones globales, que son:
1) Al variar la posición de un nudo, el esfuerzo axil se mantiene constante.
2) La variación de sus flectores sólo depende de la variación de su posición respecto de su posición inicial.
3) Al variar la posición de un nudo, el valor de los esfuerzos en el resto de nudos permanece constante.
Análogamente, estas hipótesis también son falsas, pero, a medida que nos acercamos a la convergencia, las variaciones de posición de los nudos son cada vez menores, y su influencia en la flexión del resto de nudos también.
Este método no sólo tiene la ventaja respecto al anterior de que su formulación es más sencilla, sino además que es independiente de las reacciones, que no se necesitan calcular.
15.5.2. FORMULACIÓN.
De acuerdo con el convenio de signos de la Fig. 15.3-2, y la ec. [15.8], el momento ext3,M a compensar se puede expresar:
3ext3, nM ⋅= ,extM 3-
Sea Next el axil concomitante con el flector ,extM 3 . En el nudo i dorsal de la barra, la excentricidad e2 según el eje local 2 para ,extM 3 será:
ext
,ext
NM
e 32 = [15.31]
325
nudo i
e2
Next
nudo j
∆Z barra i-j
n2Z
2n
k
3n
1n
Fig. 15.5-1.- Método de las excentricidades locales: aplicación a la flexión ext3,M , con excentricidad e2 según el eje local 2 de versor 2n . La barra queda definida por sus nudos dorsal i y frontal j. Se han representado los tres versores de los ejes locales de la barra. En el caso estudiado el eje 3n es horizontal, por lo que los nudos i y j y el versor 2n están en el mismo plano vertical.
Para compensar la excentricidad e2 sólo con desplazamiento vertical ∆Z del nudo, la proyección de éste sobre el eje local 2n debe ser igual a –e2. La variación de la posición del nudo puede escribirse como k⋅Z∆ .
2∆ eZ −=⋅⋅ 2nk [15.32]
Como 2nk ⋅ = [0 0 1]· [n2X n2Y n2Z]= n2Z
se deduce
Zext
,ext
nNM
Z2
3 1∆ ⋅−= [15.33]
donde:
∆Z : Variación de la coordenada Z del nudo entre iteraciones
M3,ext : Flector exterior a anular
Next : Axil concomitante con M3,ext en la hipótesis de antifunicularidad.
n2Z : componente según el eje global Z del versor del eje local 2 de la barra.
Repitiendo el proceso para la flexión M2,ext se obtiene la variación de la coordenada Y del nudo entre iteraciones
Yext
,ext
nNM
Y3
2 1∆ ⋅−= [15.34]
326
15.6. EJEMPLO DE APLICACIÓN.
(a)
(b)
Fig. 15.6-1.- Perspectivas de las iteraciones inicial y final: (a) arco plano vertical: geometría inicial; (b) arco alabeado antifunicular: solución final para la HIPAF.
327
(a)
(b)
(a´) (b´)
Fig. 15.6-2.- Iteración inicial: Arco plano vertical (a) alzado y planta; (a’) alzado lateral. Iteración fínal: arco alabeado antifunicular (b) alzado y planta; (b’) alzado lateral.
15.6.1. LEYES DE ESFUERZOS OBTENIDAS DURANTE EL PROCESO DE ANTIFUNICULARIZACIÓN.
A continuación se muestran las sucesivas leyes de esfuerzos obtenidas durante el proceso de obtención de la geometría antifunicular.
328
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
Arco: Evolucion de la torsion T
x [m]
T [K
N·m
]
2484
-2484
1140
-1140
599
-599
299
-299
147
-14771-71 18
-189
-94
-40
-00
-0
Iteracion 0 (In icia l)Iteracion 1Iteracion 2Iteracion 3Iteracion 4Iteracion 5Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-3.- Evolución de la torsión.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
Arco: Evolucion de la flexion longitudinal M3
x [m]
M [K
N·m
]
258
-194
81
-23
50
-0
32
-018-010 -03 -14 4
-04
-04
-14
-0
Iteracion 0 (In icia l)Iteracion 1Iteracion 2Iteracion 3Iteracion 4Iteracion 5Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-4.- Evolución de la flexión longitudinal.
329
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-15
-10
-5
0
5
Arco: Evolucion de la flexion longitudinal M3
x [m]
M [K
N·m
]
3
-14
4
-0
4
-0
4
-1
4
-0
Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-5.- Evolución de la flexión longitudinal. Detalle de las cinco últimas iteraciones incluso la de convergencia.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Arco: Evolucion de la flexion trasnversal M2
x [m]
M [K
N·m
]
4133
18
2154
6
1137
3
571
2
280
1136033
018
09
00
-00
-0
Iteracion 0 (In icia l)Iteracion 1Iteracion 2Iteracion 3Iteracion 4Iteracion 5Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-6.- Evolución de la flexión transversal.
330
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Arco: Evolucion de la flexion trasnversal M2: 5 ultimas iteraciones
x [m]
M [K
N·m
]
33
0
18
0
9
00 -0
0-0
Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-7.- Evolución de la flexión transversal. Cinco últimas iteraciones, incluso convergencia.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-3400
-3200
-3000
-2800
-2600
-2400
-2200
-2000Arco: Evolucion del esfuerzo axil N
x [m]
N [K
N]
-2524
-3306
-2057
-2732
-2059
-2747
-2062
-2757
-2064
-2763
-2064
-2766
-2059
-2759
-2060
-2760
-2060
-2760
-2060
-2760
-2060
-2760
Iteracion 0 (In icia l)Iteracion 1Iteracion 2Iteracion 3Iteracion 4Iteracion 5Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-8.- Evolución del esfuerzo axil.
331
15.6.2. ESFUERZOS EN EL ARCO POR EFECTO DE LAS ACCIONES EN LOS ESTRIBOS.
En las figuras siguientes se muestran los distintos esfuerzos que provocan en la estructura los incrementos térmicos y giros impuestos en las barras que modelizan los estribos. Dichos esfuerzos son cada vez menores según progresa el proceso iterativo. Asintóticamente tenderían a los esfuerzos estrictos que compensan los acortamientos y giros que se producen por acortamiento elástico de la directriz para la hipótesis de antifunicularidad.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Arco: Evolucion de la flexion longitudinal M3 de GAT OS
x [m]
M [K
N·m
]
10224
-4063
4435
-1996
2314
-1052
1215
-491
665-201 395-57
177-49
173-49
158-50
143-52
143-52
Iteracion 0 (In icia l)Iteracion 1Iteracion 2Iteracion 3Iteracion 4Iteracion 5Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-9.- Evolución de la flexión longitudinal.
332
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-100
-50
0
50
100
150
200
Arco: Evolucion de la flexion longitudinal M3 de GAT OS. 5 ultimas iteraciones.
x [m]
M [K
N·m
]
177
-49
173
-49
158
-50
143
-52
143
-52
Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-10.- Evolución de la flexión longitudinal. Cinco últimas iteraciones, incluso convergencia.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 104 Arco: Evolucion de la flexion trasnversal M2 de GAT OS
x [m]
M [K
N·m
]
26768
2309
13926
651
7765
270
3991
1281947
72 90348103
2261
1250
-440
-5540
-55
Iteracion 0 (In icia l)Iteracion 1Iteracion 2Iteracion 3Iteracion 4Iteracion 5Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-11.- Evolución de la flexión transversal.
333
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
Arco: Evolucion de la flexion trasnversal M2 de GAT OS. 5 ultimas iteraciones.
x [m]
M [K
N·m
]
103
22
61
12
50
-4
40
-55
40
-55Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-12.- Evolución de la flexión transversal. Cinco últimas iteraciones, incluso convergencia.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1500
-1000
-500
0
500
1000
Arco: Evolucion del axil N de GAT OS
x [m]
N [K
N]
978
-1179
602
-571
362
-309
187
-159
85
-8231-43 -10
-15-9
-13-9
-16-7
-18-7
-18
Iteracion 0 (In icia l)Iteracion 1Iteracion 2Iteracion 3Iteracion 4Iteracion 5Iteracion 6Iteracion 7Iteracion 8Iteracion 9Iteracion fina l
Fig. 15.6-13.- Evolución del esfuerzo axil.
334
15.7. CONSIDERACIONES SOBRE LOS MÉTODOS ITERATIVOS PROPUESTOS.
15.7.1. AXILES Y ÁREA DE LAS PÉNDOLAS.
En general, una forma de modelizar la acción de las péndolas sobre la estructura es introducir las acciones equivalentes que los cables ejercen sobre ésta. Esta forma es muy cómoda, pero frente a ésta, el método propuesto de decrementos térmicos presenta las siguientes ventajas:
1.- El método propuesto incluye el peso propio de las péndolas en la formulación de modo directo. Aunque en los puentes estudiados el peso de las péndolas es muy pequeño comparado con el resto de elementos estructurales (equivalente en la mayoría de los casos al de pocos metros de barandilla), en el método propuesto es la propia péndola la que se acorta, como ocurre en la realidad al introducir tensión en los cables de pretensado, lo que permite la consideración exacta del peso de la péndola, a excepción de los alargamientos de los cables obtenidos del proceso de pretensado (Un posterior refinamiento podría incluir este efecto asignando al cable un peso ficticio que considerara la relación entre longitudes).
2.- Asimismo para la obtención de los axiles de tesado en gato durante el proceso de ejecución, basta con “desmontar” progresivamente la estructura anulando el decremento térmico en cada péndola para simular su destesado.
3.- No exige realizar modelos adicionales o auxiliares. En efecto, un modelo en el que las cargas de los tirantes se sustituyen por sus acciones sobre la estructura sólo puede modelizar adecuadamente el estado permanente. Para modelizar el efecto de las sobrecargas se necesita por lo menos otro modelo que incorpore dichos tirantes, amén de la dificultad añadida de postproceso e interpretación de resultados.
Existen otras formas de obtener la solución del sistema auxiliar de ecuaciones definido en 15.2 perfectamente posibles, mediante métodos directos o iterativos, según el cálculo sea elástico lineal o no. Véase, por ejemplo, Juliá y Ortega [39], para una definición del método de las longitudes neutras (y de su generalización, el de las geometrías neutras) empleado para la obtención de las deformaciones impuestas en las diagonales provisionales durante la ejecución por voladizos sucesivos del puente arco de Los Tilos.
15.7.2. FORMAS ALTERNATIVAS DE MODELIZAR LAS ACCIONES SOBRE LOS ESTRIBOS.
15.7.2.1. Gradientes térmicos en estribos.
La primera forma que se planteó en esta tesis de modelizar las acciones de las barras de estribos (de los gatos) sobre los arranques del arco definidas en el apartado 15.2.5 y mostradas en la Fig. 15.2-4 fue introducir gradientes térmicos en las barras, lo que introduce un giro relativo entre sus extremos.
Dado que en una barra isostática al introducir gradientes térmicos los movimientos relativos no dependen de su rigidez, sino de sus dimensiones, el método permite emplear barras de rigidez infinita para modelizar los gatos, lo que reproduce con mucha exactitud la condición de empotramiento de los arranques ante las sobrecargas.
Si se introducen esfuerzos localizados, como en 15.2.5, por el contrario, la rigidez de la barra ha de estar controlada, ya que las deformaciones entre sus extremos sí que dependen de su rigidez.
La rigidez de la barra corta de gatos de estribos, no deja de ser un compromiso, pues, entre:
• La necesidad de rigidez para impedir los movimientos del arranque ante las sobrecargas.
• La necesidad de flexibilidad para poder deformar la barra sin necesidad de introducir unas acciones de valores desorbitados, que pudieran incluso dar problemas de condicionamiento en el programa de cálculo empleado.
La introducción de gradientes térmicos para sustituir a los momentos localizados M2 y M3 de la Fig. 15.2-4 es la forma que nos permitimos recomendar si se desea reproducir este método con otro programa de cálculo. Sin embargo, en la versión de SAP2000 disponible daba errores, introduciendo movimientos en grados de libertad que no deberían tenerlos, por lo que no se han podido realizar así los cálculos, aunque está programado su uso (véase el código de la función, en el apéndice E).
335
15.7.2.2. Movimientos de los nudos de arranques.
El SAP2000 permite, como casi cualquier programa de cálculo de estructuras comercial, especificar movimientos en los nudos coaccionados, para simular, por ejemplo, un asiento diferencial. Por lo tanto, podría haberse modelizado la acción sobre los arranques moviendo y girando los nudos de las barras que concurren en ellos.
Sin embargo, dicho movimiento de nudos no se realiza en general según los ejes globales del modelo, sino según los ejes locales de los nudos de las secciones de arranques. Esto obligaba a redefinir los ejes locales de los nudos en cada iteración. (Esta opción es necesaria por ejemplo para imponer restricciones en nudos en direcciones no paralelas al sistema global de ejes coordenados, por ejemplo, empotramientos a torsión en un tablero curvo.)
En SAP2000 el proceso resulta relativamente incómodo, y sobre todo, dificulta la interpretación de resultados y la comparación entre modelos con orientaciones diferentes de nudos de arranques.
Sin embargo, es posible que tal incomodidad desaparezca si se emplea otro programa de cálculo, por lo que se cita por la posible utilidad que pudiera tener para el lector.
15.7.3. MÉTODOS DE OBTENCIÓN DE DIRECTRICES ANTIFUNICULARES.
15.7.3.1. Método de Mörsch del arco de igual resistencia.
En realidad, el desplazamiento de los nudos obtenido en cada iteración del método de las excentricidades locales tiene su base en el método del arco de igual resistencia de 1947, original de Mörsch13, y descrito por Swida [85].
En dicho método, pensado para materiales formáceos, y en general comprimidos, puede conseguirse, por desplazamiento del eje del arco respecto de la línea de presiones, que los valores máximos de las tensiones originadas por el peso propio y por las cargas móviles más desfavorables para cada una de las secciones sean iguales a la tensión de compresión admisible, tanto en el borde superior como en el inferior. El método, planteado para arcos planos, obtiene el canto de la sección y la posición respecto de la línea de presiones.
El método de las excentricidades locales toma la idea de que si las tensiones (los esfuerzos) se pueden controlar moviendo el eje de la directriz respecto de la línea de presiones, se pueden anular los esfuerzos para cualquier hipótesis haciendo coincidir el eje de la directriz con la línea de presiones para dicha hipótesis, es decir, haciendo pasar la directriz por la resultante de esfuerzos de la sección.
El método de las reacciones globales es una variante de éste, en el que además se incorpora el método clásico de obtener directrices antifuniculares de 15.7.3.2.
15.7.3.2. Determinación clásica del antifunicular del arco biarticulado.
El método más tradicional, al margen de la construcción de modelos, para la determinación teórica del antifunicular consiste en la construcción, por métodos gráficos, del polígono funicular de cargas. Es un clásico de la literatura técnica y por ejemplo, citaremos los trabajos de Rubió [72].
Otra forma de determinación del antifunicular del arco es determinar la ley de momentos flectores de todas las cargas que actúan sobre el arco, las propias y las que provienen del dintel y establecer la curva homotética de esta ley de momentos flectores, multiplicándola por 1/RX, siendo RX el empuje en el arranque (Fig. 15.7-2). Este método, también clásico, se cita, por ejemplo, en Manterola et al. [46], Menn [59], Strassner [83] o Siegrist14 [78], quien además da pautas para establecer el proceso
13 Swida, a su vez, refiere que el método del arco de igual resistencia fue empleado por primera vez por E.
Mörsch, en su obra Der Eisenbetonbau, II tomo, parte 3ª, 1947, pág. 41. Dicha obra no ha podido ser consultada, aunque como se verá, sólo se ha tomado la idea matriz del método de desplazar la directriz a la resultante de esfuerzos,
14 Siegrist cita también (Ibíd. pp. 29 y ss.) el método consistente en el bloqueo de articulaciones provisionales durante la construcción. Un ejemplo de aplicación puede verse en Fernández troyano et al. [28]. Los métodos teóricos propuestos en esta tesis son perfectamente aplicables a estructuras evolutivas. Sólo se necesitaría adaptar el software para considerar diferentes fases de ejecución en el cálculo de los esfuerzos a anular.
336
iterativo. En lo que refiere a nuestro trabajo, en este método se encuentra la raíz del método de las reacciones globales (véanse los apartados 15.3 a 15.4).
Fig. 15.7-1.- Construcción gráfica del polígono funicular de cargas (izquierda) y forma del hilo inextensible (derecha) según Rubió [72] .
Fig. 15.7-2.- Método de determinación de la directriz antifunicular del arco como homotecia de la ley de flectores, según Manterola et al. [46].
15.7.3.3. Método de las grandes deformaciones.
Una de los métodos clásicos de determinación de formas antifuniculares se basa en que un hilo sin rigidez a flexión se adapta al sistema de cargas que se le aplica, trabajando exclusivamente a tracción, y determinando una geometría única.
Esta propiedad es también ampliable a la superficie y se puede utilizar para obtener la imagen especular de estructuras traccionadas (funiculares) formadas por cables entrecruzados o telas. Este método, utilizado por Gaudí o Isler (véase Billington [12]), ha servido para obtener cubiertas laminares, es de las técnicas más famosas de la historia de la construcción y es suficientemente conocido y documentado. Los métodos que hacen uso de esta propiedad pasan, generalmente, por la confección de modelos con telas o alambres, convenientemente lastrados para reproducir las acciones que las solicitan.
Con el advenimiento de la informática, se han desarrollado diferentes algoritmos para reproducir dichos modelos sin necesidad de construirlos. Una adaptación informática de especial interés la constituye el método de las grandes deformaciones, desarrollado por Fernández, Del Ruata y Moisset [30].
Básicamente, consiste en dejar deformarse verticalmente, en régimen no lineal, una lámina plana y de espesor mucho menor que el previsto. Los movimientos de los nudos se coaccionan provisionalmente en planta para mantener la proyección de su posición entre iteraciones. Se obtienen deformadas sucesivas para sucesivos factores de mayoración de las cargas permanentes. El diseñador escoge entonces la deformada que considere más conveniente de todas, retira los apoyos provisionales, y le da el espesor previsto a la lámina. La ley definitiva de espesores se define afinando la prevista en un proceso interactivo de asignación y comprobación vía cálculo.
Lo interesante del método, del que no se pretende hacer un análisis crítico, es que un software comercial concebido para analizar tensiones y desplazamientos en una estructura se puede utilizar para diseñar la forma. Esa idea es la que nos ha movido a implementar algoritmos de determinación iterativa
337
de formas basándonos en SAP2000.
Algunas otras ideas esbozadas en el método, como la variación de rigidez entre iteraciones, han sido también recogidas, modificadas e incorporadas a nuestro trabajo (véase 15.7.4.2).
15.7.3.4. Limitaciones prácticas de los métodos propuestos.
En los métodos iterativos propuestos, hemos reiterado que los sistemas auxiliares de ecuaciones tienen limitada su precisión por la de los archivos de salida, en formato de texto, del SAP2000. De hecho, todos los modelos auxiliares se generan en N y mm, para obtener un número mayor de dígitos significativos.
Dicha salida también tiene sus limitaciones en la dimensión del sistema de ecuaciones no lineal que se puede resolver, y que depende directamente del número de péndolas, aunque también de la sensibilidad de las deformaciones de la estructura frente a las temperaturas, lo que es tanto como decir de sus rigideces. El límite práctico es ligeramente superior a la veintena de péndolas, algunas más que para los puentes que se han venido utilizando es esta tesis.
Aunque este problema es resoluble utilizando otro código comercial con control de la precisión de la salida, parece que la forma más expeditiva de resolver este problema es, sencillamente, escribir en MATLAB un código de análisis matricial, aprovechando todas las funciones de resolución de sistemas de ecuaciones que ya vienen implementadas en él y que resultan de muy fácil aplicación. Además de códigos comerciales, existen además códigos abiertos de libre distribución, generalmente con fines académicos o didácticos, y que podrían facilitar sustancialmente la tarea15.
15.7.3.5. Acciones concentradas de péndolas o montantes.
Con respecto a las cargas puntuales transmitidas por los montantes (o péndolas) existen, en general, dos tratamientos diferentes:
1.- Considerar la carga transmitida por los montantes como uniformemente repartida que se añade a la del tablero, lo que da a su vez una nueva carga repartida que origina una directriz continua, aunque no se ajuste tan bien a las cargas reales.
2.- Considerarlas como cargas puntuales concentradas, lo que provoca en principio discontinuidades en la directriz. Posteriormente los tramos de directrices entre montantes pueden refinarse con criterios geométricos más complejos (véase Pérez-Fadón et al. [65]), aunque otros autores (véanse las pp. 387-389 de Menn [59]) afirma que “los pequeños quiebros no deberían ser suavizados por razones estéticas para conseguir un arco continuo y que la línea de presiones es siempre la forma visualmente más convincente”16.
Nosotros hemos adoptado en nuestro trabajo una formulación sin simplificaciones:
• Por un lado consideramos las acciones de las péndolas como cargas concentradas actuando en su posición exacta.
• Por otro, obtenemos la curva antifunicular para el peso propio del arco para el tramo de arco entre péndolas17.
La aplicación de los algoritmos definidos en el presente capítulo genera pues una serie de curvas continuas entre péndolas18, con puntos de quiebro en las mismas, si bien es cierto que los quiebros son
15 Por ejemplo, un código gratuito de elementos finitos de código fuente abierto y que utiliza MATLAB es
el programa CALFEM [9], desarrollado por el Dpto. de Mecánica Estructural de la Universidad de Lund (Suecia). 16 Menn practica lo que sugiere: Su formidable viaducto de Reichenau ([12] y [60]) es un arco inferior
donde la directriz es una poligonal, y no es el único caso proyectado por él, (si bien es un arco laminar y la directriz poligonal está obligada).
17 Esto para el caso de los resultados mostrados en esta tesis. El programa permite establecer un subconjunto arbitrario de puntos donde anular la flexión y establecer cualquier tipo de relación entre este subconjunto y el resto de nudos, por ejemplo, unir los nudos de anclaje en el arco con rectas (o con otras curvas).
18 En teoría, dado que los tramos del arco entre péndolas sólo están sometidos a su peso propio, si se
338
bastante suaves.
Fig. 15.7-3.- Metodología de obtención de las ordenadas de las bases de los montantes en la directriz antifunicular en el arco de Los Tilos, según Pérez-Fadón et al. [65].
Fig. 15.7-4.- Refinamiento de la directriz [65] entre montantes mediante parábolas cúbicas tangentes a la bisectriz de los segmentos que confluyen en cada punto de la poligonal en el arco de Los Tilos, de la Fig. 15.7-3.
15.7.3.6. Sobre la forma de la directriz de los puentes arco.
Durante la redacción de este texto, y particularmente del presente capítulo, surge la duda de si la adecuación de la forma a los esfuerzos, obteniendo la directriz antifunicular del arco, compensa las posibles complicaciones de ejecución de los mismos. A este respecto, no nos resistimos a incluir un texto de Juan José Arenas [6] que escribe en 1992, donde se refiere al puente de la Barqueta en Sevilla:
“Punto importante fue el de la directriz del arco. Es sabido que la búsqueda de las figuras antifuniculares de las cargas de peso propio ha llenado en el pasado muchas páginas de la literatura técnica, lo que es bien comprensible cuando se trata de obras de hormigón en las que el peso propio predomina ampliamente sobre las cargas variables.
Pero, en acero, el problema cambiaba sustancialmente y ello tanto por la falta de preponderancia del peso de la estructura como por lo fácilmente que el acero acepta estados de flexocompresión con tracciones incluidas. Por ello, entendimos que había que dar prioridad a la limpieza de geometría sobre consideraciones de afinamientos mecánicos de la directriz, harto discutibles además con este material. Ello nos llevó, de modo directo, a concebir un arco de directriz circular, porque el círculo, figura perfecta para los pitagóricos y renacentistas, ofrece muy claras ventajas a la hora de la prefabricación en taller de sus diferentes segmentos.”
El texto pone en cuestión parte de la esencia misma de esta tesis, y sobre este texto, merecería la pena, desde el más profundo respeto por la obra de su autor, realizar los siguientes comentarios:
• Los pitagóricos y renacentistas, huelga decirlo, ni conocían el acero estructural ni la prefabricación en taller. Las ventajas de la directriz circular serán en todo caso técnicas o económicas, y con eso debería bastar.
anulan los flectores en los nudos extremos de las péndolas extremas del tramo, éste queda contenido en un plano vertical, por la conocida propiedad de la planeidad de la directriz antifunicular con cargas en un plano (véase 15.4.2.2). Esto, en la práctica, no es del todo exacto porque nuestros métodos no anulan totalmente las flexiones, sino que las reducen por debajo de un error aceptable.
339
• Es comprensible que una defensa tan enfática de las virtudes de la forma circular se produzca justo cuando se acaba de proyectar (y brillantemente) un arco de directriz circular.
• Esto que puede ser cierto en un arco plano, deja de serlo en un arco espacial, en el que la directriz ya no queda contenida en el mismo plano. También es cierto que podría sustituirse cada tramo entre péndolas por un arco circular, como en el Main Street Bridge (véase 2.3.3.4) pero los quiebros son inevitables.
• Desde que se escribió el texto, las posibilidades de la prefabricación en taller han mejorado tanto para la potencia de los elementos como para la complejidad geométrica de los mismos. En Grahn et al. [33], un artículo de 2004, se muestran parcialmente las posibilidades de curvar grandes elementos tubulares, doce años después del texto citado.
De todas maneras, se han procurado independizar todas las conclusiones posibles del material, no sólo por textos como éste, a los que no les falta razón, sino también, en buena lógica, por ampliar lo más posible el ámbito de aplicabilidad de los trabajos.
A este respecto, sin embargo, tampoco nos resistimos a incluir un texto de Santiago Pérez-Fadón, sobre el arco de los Tilos, que escribe:
“La idea básica para el trabajo estructural para el trabajo de un arco es que resista a compresión simple o compuesta. O dicho en términos que han perdido actualidad: que la línea de presiones no salga del núcleo central de la sección. Y en efecto estos términos han perdido actualidad porque los materiales modernos permiten resistir las tracciones producidas por la flexión. La disposición de armaduras, la adherencia, la resistencia del hormigón a compresión, el pretensado, etc, son factores que hacen que los proyectistas no se preocupen mayormente de que la línea de presiones se salga del núcleo central del arco, Las tracciones a las que dé lugar se absorberán con la armadura y el arco funcionará perfectamente. Y así es, pero el coste económico mínimo se obtiene haciendo que la línea de presiones se separe lo menos posible del núcleo central. Sería necesaria en esta revista otro artículo específico sobre el binomio Ingeniería versus Coste de la Obra, baste decir aquí que, en opinión de quien suscribe, es un tema que no preocupa como debiera a nuestros proyectistas.”
15.7.4. DOS ESTRATEGIAS SENCILLAS PARA MEJORAR LA CONVERGENCIA.
El proceso descrito de obtención de directrices antifuniculares sólo converge si lo hacen a su vez todas las iteraciones del mismo. De lo contrario, si en cualquiera de ellas el cálculo de la estructura obtenida no converge, el proceso se interrumpe.
Con carácter general, se ha observado en los cálculos de este trabajo que los problemas de convergencia suelen ocurrir en las primeras iteraciones (fundamentalmente en la inicial) y se suelen producir en estructuras relativamente flexibles y además (dado que el proceso exige la existencia de un esfuerzo axil), particularmente sensibles a los problemas de segundo orden.
Con el fin de minimizar estos problemas se han desarrollado dos estrategias muy sencillas, pero muy efectivas, que permiten ayudar a la convergencia en las iteraciones más críticas y, en consecuencia, mejorar significativamente la eficacia del proceso de determinación de la directriz antifunicular.
15.7.4.1. Introducción de acciones mediante escalones de carga.
Imaginemos que la geometría inicial del proceso es un arco plano vertical y que todo el tablero queda del mismo lado respecto a sus arranques, de modo similar a los ejemplos recién mostrados en el ejemplo del apartado 15.6 (el arco plano vertical, por otra parte, es la geometría inicial del arco de prácticamente todos los modelos de este trabajo).
Puede ocurrir que el arco sea lo suficientemente rígido si su directriz es antifunicular (en la iteración final) pero no lo suficiente como para converger si se somete su geometría inicial a las cargas horizontales totales desde la primera iteración.
La razón está en que el arco vertical, al no tener curvatura en el plano de las cargas horizontales, las resiste por flexión (como viga balcón), lo que puede deformarlo excesivamente, al aumentar los efectos de segundo orden.
Una forma de solucionarlo es introduciendo la carga total en escalones de carga. En cada escalón de carga se realiza un número variable de iteraciones hasta la convergencia, si bien la geometría
340
buscada sólo se obtiene para el último escalón de carga, cuando se alcanzan las cargas totales.
La idea que subyace es que si las cargas que se introducen en el primer escalón de carga son menores que las finales, lo son también los esfuerzos y, por tanto, las deformaciones horizontales del arco.
Por otra parte, después del primer escalón de carga, como las acciones son una fracción de las definitivas, la directriz del arco comienza a adquirir curvatura en la dirección transversal, lo que permite resistir las acciones transversales del segundo escalón de carga ya a flexocompresión.
El comportamiento a flexocompresión va mejorando con la modificación paulatina de la directriz, en la que la forma de la directriz va adaptando su curvatura en cada escalón de carga para resistir las acciones del siguiente.
Este proceso puede acelerarse sensiblemente si se considera que no es necesario que el proceso converja totalmente para todos los escalones de carga. De hecho, basta con que para los escalones intermedios la directriz comience a adoptar la forma adecuada, lo que ocurre ya en la primera o segunda iteraciones. La forma más cómoda es imponiendo un número máximo de iteraciones muy bajo, o también definiendo una tolerancia muy alta para la convergencia.
El proceso es muy sencillo de implementar, en la que basta con ponderar las hipótesis que entran en el proceso por un coeficiente de minoración monótonamente creciente hasta el valor unidad final.
También hay que tener la precaución de considerar dichos coeficientes cuando se plantea el sistema de ecuaciones auxiliar del proceso (véase 15.2.6). Al obtener mediante dicho sistema los incrementos de temperatura en todas las péndolas y en barras de estribos y los momentos localizados en las dos direcciones en las barras de estribos deben ponderarse por dicho coeficiente de minoración las hipótesis HIP0 (donde se anulan flechas en bases de péndolas) y la hipótesis HIPAF (anulación de flexiones en puntos de paso de directriz).
En los cálculos realizados se ha comprobado que el proceso converge mejor si los primeros incrementos son menores que los últimos. Una serie de coeficientes de minoración como [0.2 0.4 0.7 1.0] se ha mostrado como equilibrada entre las necesidades de convergencia y rapidez.
La introducción de acciones mediante escalones de carga ha sido implementada y se ha usado como opción por defecto en los cálculos de este trabajo.
15.7.4.2. Introducción decreciente de rigidez.
Como se ha visto, la principal causa de la falta de convergencia del proceso de antifunicularidad es la sensibilidad a la no linealidad de las primeras iteraciones del proceso.
Una segunda estrategia para reducir la sensibilidad de la estructura en estas iteraciones es aumentar las rigideces a flexión de las secciones del arco. No es conveniente sin embargo aumentar el área de la sección, pues el peso del arco, dado por su área, define la directriz antifunicular (véase la Fig. 16.2-7).
Una forma muy sencilla de hacerlo sería aumentar el modulo de deformación del material, que aumenta las rigideces a flexión en la misma proporción y mantiene inalterada el área y el peso de la sección transversal, si bien también aumenta en la misma proporción la rigidez axil de la barra, lo que en algunos casos puede ser problemático y necesitar de factores de corrección. Sin duda, lo ideal es simplemente mayorar las rigideces a flexión por un coeficiente adecuado, generalmente de definición empírica.
El proceso es muy similar al anterior, ya que a medida que la directriz va adquiriendo su carácter antifunicular puede ir disminuyéndose el exceso de rigidez de las secciones, que va siendo cada vez menos necesario al disminuir los esfuerzos.
Una variante de este método es emplear secciones de mayor rigidez que la estricta para obtener una directriz antifunicular, y posteriormente, con secciones de rigidez la deseada, utilizar la directriz recién obtenida como geometría inicial del proceso.
Las dos estrategias son perfectamente compatibles y se puede definir un proceso iterativo que simultáneamente defina escalones de carga crecientes y secciones de rigideces decrecientes.
341
CAPÍTULO 16
16 ARCO ESPACIAL ANTIFUNICULAR: EFECTO DE LA VARIACIÓN DE CURVATURA DEL TABLERO.
16.1. INTRODUCCIÓN. A continuación se analiza, a semejanza del estudio realizado en el capítulo 4, el efecto de la
curvatura del tablero (definida por la flecha horizontal, gT) en un arco cuyos arranques coinciden con los estribos del tablero.
La diferencia estriba en que el arco plano vertical de directriz parabólica es ahora la geometría inicial del proceso iterativo de determinación de la directriz antifunicular definido en el capítulo 15. Se ha empleado la formulación desacoplada del método de las excentricidades locales.
Las secciones que se han empleado en el cálculo son las mismas que en el capítulo 5, es decir, sección constante para el arco anular de 1.00 m de diámetro y 25 mm de espesor. Como se vio en el apartado 5.4, para el arco plano vertical, dichas secciones quedaban claramente infradimensionadas, fundamentalmente a acciones transversales.
El interés de repetir las mismas secciones consiste en comprobar si al asignar dichas secciones al arco, ahora de directriz antifunicular, se verifican los límites tensodeformacionales definidos en el capítulo 5.
En el proceso se han realizado cálculos considerando y sin considerar la no linealidad geométrica. La contraflecha de ejecución no es necesario tenerla en cuenta en el arco, porque el método obtiene la geometría sin deformar de la estructura.
La intención original era hacer variar gT entre 0 y –10 con incrementos de –2 m, al igual que en el capítulo 5. Como se verá, emplear la sección anular anterior tiene las siguientes consecuencias:
• Cuando el cálculo es elástico lineal, ya para valores bajos de gT, el arco queda del lado contrario que el tablero y muy tendido.
• Cuando se considera la no linealidad geométrica, el método no encuentra solución para valores incluso menores de gT, pues como se ha visto, el proceso de determinación de la directriz antifunicular sólo puede converger si lo hacen todas las iteraciones del proceso. En este caso, el problema no se le puede achacar al método en sí, sino a la excesiva sensibilidad a la no linealidad geométrica de arcos con poca rigidez, con acciones laterales muy fuertes actuando todas en el mismo lado.
A continuación se detallan los resultados obtenidos.
16.2. ANÁLISIS ELÁSTICO LINEAL.
16.2.1. FORMAS ANTIFUNICULARES.
En la Fig. 16.2-1 se muestra la perspectiva del antifunicular espacial para gT=-5. Se puede apreciar lo tendida que queda para los valores tan bajos empleados de la curvatura del tablero. La comprobación de que se ha alcanzado la antifunicularidad se muestra en la Fig. 16.2-2 donde se han representado a la misma escala las flexiones en arco y tablero. Gráficos con plantas y alzados de las directrices de las geometrías antifuniculares para todos los casos se muestran en las Fig. 16.2-3 y Fig. 16.2-4.
342
Fig. 16.2-1.- Último puente de la serie estudiada. Caso gT=-5. Geometría inicial con arco vertical plano (izquierda) y arco espacial antifunicular (derecha). Análisis elástico lineal. Perspectiva axonométrica.
(a) (b)
Fig. 16.2-2.- Caso gT=-5. Arco espacial antifunicular. Análisis elástico lineal. Hipótesis HIPAF. La escala de los gráficos de flexiones es la misma en arco y tablero. (a) Flexión longitudinal M3; (b) flexión transversal M2.
343
Fig. 16.2-3.- Plantas (1H/1V) de las directrices antifuniculares (deformadas para la HIPAF) de arco en función de gT. En líneas de trazos se representan las plantas de los respectivos tableros.
344
Fig. 16.2-4.- Alzados laterales (1H/1V) de las directrices antifuniculares (deformadas para la HIPAF) de arco en función de gT. En líneas de trazos se representan los alzados (horizontales) de los respectivos tableros. La cota de la clave es en todos los casos de 20 m. Como se puede apreciar, ya para el caso gT=-5, el ángulo que forma el arco con el plano horizontal es prácticamente de 45º.
Además puede verse que, a pesar de que las tensiones quedan bastante controladas (Fig. 16.2-6), sobre todo cuando se las compara son sus equivalentes verticales (véase 5.4), no ocurre lo mismo con las flechas verticales (Fig. 16.2-5), que no verifican los límites definidos en el apartado 5.3.3.
345
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0.5·SCUE: Arco antifunicular espacial. Analisis E-L. Flechas verticales en tablero (gT).
x [m]
v Z [mm
]
0
-155
0
-125
0
-104
0
-76
0
-50
0
-21
gT=-5
gT=-4
gT=-3
gT=-2
gT=-1
gT=0
Fig. 16.2-5.- Arco antifunicular espacial. Hipótesis 0.5·SCUE: flechas verticales en tablero en función de gT.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-150
-100
-50
0
50
100
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco alabeado antifunicular. Envolvente de tensiones normales en arco (gT).
x [m]
σ [M
Pa]
-55
-172
89
-11
-55
-157
78
-10
-55
-140
65
-9
-55
-138
66
-10
-53
-135
65
-11
-48
-133
63
-13
gT=-5 σ-
gT=-5 σ+
gT=-4 σ-
gT=-4 σ+
gT=-3 σ-
gT=-3 σ+
gT=-2 σ-
gT=-2 σ+
gT=-1 σ-
gT=-1 σ+
gT=0 σ-
gT=0 σ+
Fig. 16.2-6.- Arco antifunicular espacial: Envolvente de tensiones normales máximas en función de gT.
346
16.2.2. ANTIFUNICULARIDAD EN DIRECCIÓN TRANSVERSAL.
La excesiva inclinación del arco hay que atribuirla a que la sección empleada es muy ligera. En la Fig. 16.2-7 se muestra cómo, en este caso particular en el que coinciden estribos y arranques, todo el momento de basculación del tablero en torno de la cuerda que une sus estribos (articulados) ha de ser contrarrestado por el momento igual y contrario producido por el peso del arco.
PPT+CP+0.5·SCUE
PPA
e1 e2
Fig. 16.2-7.- Caso gT=5. Equilibrio de basculación del tablero cargado por el peso propio del arco.
Esto tiene las siguientes consecuencias:
• Secciones del arco más pesadas (de mayor área para el mismo material) definen antifuniculares más verticales.
• Análogamente, aumentar las cargas que actúan sobre el arco a través de la péndola definen antifuniculares más tendidos. Dichas cargas pueden crecer si a su vez se incrementan:
o El peso propio del tablero.
o Las cargas permanentes que actúen sobre él.
o La magnitud de sobrecargas para las que se obtiene la geometría antifunicular.
• Si todo el tablero queda del mismo lado respecto de la cuerda que une sus estribos, y éstos coinciden con los arranques del arco, todo el arco queda del lado contrario a esta cuerda.
16.3. ANÁLISIS CONSIDERANDO LA NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA.
16.3.1. CONVERGENCIA.
Los problemas que acabamos de ver se agudizan si consideramos la no linealidad geométrica: de los casos analizados, sólo converge el proceso para los valores de gT=0 y gT=-1, aunque también lo hace para el valor intermedio de gT=-1.5 m. Los valores de gT=-2, -3, -4 ó -5 m no convergen ni aun utilizando como geometría inicial la geometría antifunicular ya obtenida anteriormente en cálculo elástico lineal, utilizando el método descrito en 15.7.4.2.
En la Fig. 16.3-1 podemos ver los alzados laterales de las directrices antifuniculares (deformadas para la HIPAF) de arco para el caso gT=-1 según se considere la no linealidad geométrica o no.
347
0 2 4
0
5
10
15
20
HIPAF: Arco antifunicular espacial. gT=-1. Alzado lateral de directriz.
Y [m]
Z [m
]0
-00
-0
gT=-1. Analisis E.L. ARCO
gT=-1. Analisis E.L. TABLERO
gT=-1. Analisis P-δ. ARCO
gT=-1. Analisis P-δ. TABLERO
Fig. 16.3-1.- Alzados laterales (1H/1V) de las directrices antifuniculares (deformadas para la HIPAF) de arco para el caso gT=-1 según se considere la no linealidad geométrica o no.
16.3.2. EFECTO DE LA NO LINEALIDAD GEOMÉTRICA.
La consideración de la no linealidad geométrica produce antifuniculares menos tendidos. La explicación radica en que al establecer el equilibrio en la geometría deformada, como el tablero se deforma horizontalmente, acerca su centro de gravedad a la cuerda que une sus estribos y el centro de gravedad del arco puede mantenerse más cerca del eje.
De hecho, si se considera en el tablero la contraflecha de ejecución para la hipótesis HIPAF, las directrices antifuniculares del arco son muy similares, independientemente de la consideración o no de la no linealidad geométrica
-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0-6 0
-5 0
-4 0
-3 0
-2 0
-1 0
0
0.5·S C U E: A rco an ti fu n icu lar esp acial . g T = -1. F lech as v er ticales en tab lero .
x [m ]
v Z [mm
]
0
-50
0
-43
g T= -1 . An a lis is E.L .
g T= -1 . An a lis is P-δ .
Fig. 16.3-2.- Arco antifunicular espacial. Caso gT=-1. Hipótesis 0.5·SCUE: flechas verticales en tablero en función de la consideración o no de la no linealidad geométrica.
348
En los cálculos realizados produce menores valores de las flechas (Fig. 16.3-2).
Por supuesto, la consideración de la no linealidad geométrica produce problemas adicionales de convergencia al proceso de determinación de la directriz antifunicular.
16.4. CONCLUSIONES. Mantener coincidentes los estribos y los arranques del arco tiene las siguientes consecuencias:
1.- Si todo el tablero queda del mismo lado respecto de la cuerda que une sus estribos, y éstos coinciden con los arranques del arco, todo el arco antifunicular debe quedar del lado contrario a esta cuerda. Ya se vio en el capítulo 14 que esta era la razón que impedía antifunicularizar la flexión transversal del arco en el puente de planta curva impuesta.
2.- En principio no se pueden mantener las mismas secciones empleadas para el arco plano y vertical: cuando aumenta la curvatura del tablero, aunque las tensiones queden acotadas en valores razonables, la sección es demasiado sensible a las deformaciones.
Este fenómeno se acentúa por disponer todo el arco del mismo lado, que queda exageradamente tendido.
3.- La consideración de la no linealidad exige secciones más pesadas para la convergencia del proceso. Produce antifuniculares menos tendidos por la mayor deformabilidad horizontal del tablero. Es probable que se produzcan menores valores de las flechas, al ser las secciones más pesadas menos deformables, pues suelen ser más rígidas.
4.- Una de las consecuencias más importantes es que si no se pretende realmente penalizar la sección transversal del arco con respecto al arco plano, no se pueden hacer coincidir los arranques del arco con los estribos del tablero. Como hemos visto, esto obliga a que el arco antifunicular quede del lado contrario que el tablero y todas las acciones transversales que reciba el arco le vuelvan muy sensible a la no linealidad geométrica.
Por lo tanto, si se desea simultáneamente minimizar la influencia de la no linealidad en el arco sin penalizar la sección de éste, se ha de renunciar en principio al comportamiento como bow-string, y los movimientos longitudinales de los arranques del arco no pueden quedar contrarrestados ahora por el trabajo a tracción del tablero trabajando como tirante.
Aunque la separación transversal entre estribos y arranques se estudia en los capítulos que siguen, parece ser que el arco antifunicular espacial obliga a disponer cimentaciones separadas para arco y tablero, con la circunstancia agravante de que ambas deben resistir las componentes horizontales de las reacciones, pues no debemos olvidar que, en general, el tablero también está sometido a esfuerzos axiles.
Esta contrariedad no ocurre, lógicamente, en los puentes de arco inferior, donde existe libertad en la posición transversal de la cimentación.
349
CAPÍTULO 17
17 ARCO ESPACIAL ANTIFUNICULAR: INFLUENCIA DE LA POSICIÓN TRANSVERSAL DEL TABLERO.
17.1. INTRODUCCIÓN. A continuación se analiza, a semejanza del estudio realizado en el capítulo 7, el efecto de la
posición transversal relativa entre el arco y el tablero. En todos los casos se mantiene constante la curvatura del tablero, gT=-10. La variación de la posición del tablero queda definido por la coordenada de su estribo, YT.
Arco
Tablero
100 m
gT=-10m YT+
OX
Y
Fig. 17.1-1.- Planta de geometría inicial (con arco plano vertical) de puente tipo de la serie estudiada con YT variable, que coincide con la descrita en la Fig. 7.1-1.
El arco plano vertical de directriz parabólica de 2º grado, de flecha fA=20 m, contenido en el plano Y=0, es ahora la geometría inicial del proceso iterativo de determinación de la directriz antifunicular definido en el capítulo 15. Dichas directrices se han obtenido para la HIPAF (véase 3.5.2), en la que actúa, además de las acciones permanentes, (o HIP0), el 50% de la sobrecarga uniforme en todo el tablero, SCUE.
Se ha empleado la formulación desacoplada de las excentricidades locales.
En vista de lo restrictivo de la consideración de la no linealidad en los cálculos del capítulo anterior, se ha considerado directamente la no linealidad geométrica y no se han realizado cálculos en régimen elástico lineal en el presente capítulo.
Las secciones que se han empleado en el cálculo son nuevamente las mismas que en el capítulo 5, es decir, sección constante para el arco anular de 1.00 m de diámetro y 25 mm de espesor. Como en el caso del capítulo anterior, el interés de repetir las mismas secciones que en un arco vertical y plano consiste en comprobar si al asignar dichas secciones al arco, ahora de directriz antifunicular sobre un tablero curvo, se verifican los límites tensodeformacionales definidos en el capítulo 5.
Como se vio en el apartado 5.4, el cumplimiento de los condicionantes tensodeformacionales definidos está profundamente vinculado para el arco plano vertical a la posición transversal relativa entre arco y tablero. Análogamente (véase el apartado 7.7.2) la importancia de dicha posición es crítica en la minimización de la flexión transversal.
Es muy interesante señalar que el presente estudio nace no sólo del natural interés por acotar la influencia de un parámetro geométrico tan relevante, sino porque del capítulo anterior se deduce que el arco espacial debe desplazar transversalmente los arranques del arco (es decir, variar YT) de la posición coincidente con los estribos del tablero, si no desea penalizar excesivamente sus secciones para soportar los esfuerzos y reducir su sensibilidad a la no linealidad.
La intención original era definir una variación de YT de 0 a 10, con incrementos de 2.00 m. Sin embargo, no se ha alcanzado la convergencia en los casos YT=0, 2, 4 y 10, sino sólo en los casos YT=6 y 8. Así, dicha serie de valores se completa con posiciones en ese entorno que sí convergen y con las que resulta la siguiente serie final:
YT= 5, 6, 7, 8 y 8.5 m.
En las figuras Fig. 17.1-1 y Fig. 17.1-2 se muestran perspectivas de los puentes extremos de la serie, mientras que definiciones de plantas y alzados de todos ellos se muestran en las figuras del apartado 17.2.
A continuación se detallan los resultados obtenidos. Es de destacar que los esfuerzos mostrados
350
de la Fig. 17.3-1 a la Fig. 17.3-11 corresponden a la hipótesis HIP0. Como se ha citado, esta hipótesis corresponde a la actuación de las acciones permanentes con puente descargado, y no a la hipótesis HIPAF, de determinación de la antifunicularidad.
Fig. 17.1-2.- Primer puente de la serie estudiada: YT=5. Perspectivas cónicas de la geometría inicial (izquierda) y geometría final con directriz antifunicular (derecha). La cota de clave es la misma en ambos puentes. La diferencia aparente es un efecto de la perspectiva.
Fig. 17.1-3.- Último puente de la serie estudiada: YT=8.5. Perspectivas cónicas de la geometría inicial (izquierda) y geometría final con directriz antifunicular (derecha).
351
17.2. DIRECTRICES ANTIFUNICULARES.
Fig. 17.2-1.- Plantas (1H/1V) de las directrices antifuniculares (deformadas para la HIPAF) de arco en función de YT. En líneas de trazos se representan las plantas de los respectivos tableros. Nótense los casos YT =7.00 é YT =7.35, en los que la planta de la directriz antifunicular del arco presenta curva y contracurva.
352
Fig. 17.2-2.- Alzados laterales (1H/1V) de las directrices antifuniculares (deformadas para la HIPAF) de arco en función de YT. La cota de la clave es en todos los casos de 20 m.
353
17.3. RESULTADOS PARA CARGAS PERMANENTES.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en arco (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
59
-396
57
-237
56
-38
129
-177
252
-398 YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.3-1.- Flexión longitudinal en el arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en tablero (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
57
-77
57
-77
57
-77
57
-77
57
-77 YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.3-2.- Flexión longitudinal en el tablero.
354
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-800
-600
-400
-200
0
200
400
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en arco (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
388
-237
256
-124
78
-159
226
-387
315
-620
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.3-3.- Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1500
-1000
-500
0
500
1000
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en tablero (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
514
-1222
551
-1139
627
-975
727
-840
830
-726
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.3-4.- Flexión transversal en tablero.
355
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2300
-2200
-2100
-2000
-1900
-1800
-1700
-1600
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Axil en arco (YT)
x [m]
N [K
N]
-1648
-2241
-1651
-2192
-1658
-2141
-1663
-2152
-1672
-2224
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.3-5.- Axil en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Axil en tablero (YT)
x [m]
N [K
N]
1410
1207
931767
-6 -102
-916 -966
-1754 -1826
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.3-6.- Axil en tablero.
356
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-150
-100
-50
0
50
100
150
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. T orsion en arco (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
66
-66
35
-35
19
-19
71
-71
121
-121
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.3-7.- Torsión en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0.5
1
1.5
2
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. T orsion en tablero (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
2
-2
2
-2
2
-2
2
-2
2
-2
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.3-8.- Torsión en tablero.
357
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-300
-200
-100
0
100
200
300
Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Esfuerzos en arco (Caso YT=7. Cargas permanentes.)
x [m]
M 2, M3 [K
N·m
]
62
-73
60
-89
56
-38
201
-247
250
-131
78
-159
PP M3CP M3PRETP M3PP M2CP M2
PRETP M2
Fig. 17.3-9.- Caso YT=7. Esfuerzos en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Esfuerzos en tablero (Caso YT=7. Cargas permanentes.)
x [m]
M 2, M3 [K
N·m
]
163
-16
173
-59
57
-77
213
-292
306
-449
627
-975 PP M3CP M3PRETP M3PP M2CP M2
PRETP M2
Fig. 17.3-10.- Caso YT=7. Esfuerzos en tablero.
358
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
50
100
150
200
250
300
350
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Axiles en pendolas (YT)
x [m]
N [K
N]
304
126
272
122
213
121
165
117
156
125
YT=8.5
YT=8.
YT=7.
YT=6.
YT=5.
Fig. 17.3-11.- Axiles en péndolas.
359
17.4. RESULTADOS PARA SOBRECARGAS.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en arco (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
1282
-646
1299
-825
1405
-1367
1574
-1642
1773
-1700
792
-115
474
-11276
-113
355
-257
797
-502
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.4-1.- SCU A y E. Flexión longitudinal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en arco (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
391
-57
234
-55
38
-56
175
-127
393
-247
402
-58
241
-57
39
-57
180
-130
404
-254
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.4-2.- SCU C y D. Flexión longitudinal en arco.
360
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en tablero (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
1522
-1319
1401
-1293
1323
-1267
1466
-1289
1679
-1352
635
-110
505
-66
219
-74
519
-480
805
-924
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.4-3.- SCU A y E. Flexión longitudinal en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en tablero (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
339
-0
274
-0
179
-0
326
-208
467
-441
298
-126
234
-104
70
-80
193
-275
338
-487 YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.4-4.- SCU C y D. Flexión longitudinal en tablero.
361
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1000
-500
0
500
1000
1500
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en arco (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
726
-881
722
-772
674
-357
557
-285
866
-413
475
-777
253
-509
317
-165
773
-459
1241
-629
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.4-5.- SCU A y E. Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-400
-200
0
200
400
600
800
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en arco (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
234
-383
125
-251
156
-82
381
-226
612
-310
241
-394
128
-258
161
-84
392
-233
629
-319
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.4-6.- SCU C y D. Flexión transversal en arco.
362
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en tablero (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
439
-714
341
-702
210
-636
270
-495
404
-408
81
-287
207
-376
388
-569
466
-584
464
-435
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.4-7.- SCU A y E. Flexión transversal en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-300
-200
-100
0
100
200
300
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en tablero (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m] 40
-142
102
-186
191
-281
230
-288
229
-215
41
-145
105
-191
197
-288
236
-296
235
-220
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.4-8.- SCU C y D. Flexión transversal en tablero.
363
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. T orsion en arco (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
52
-88
26
-77
19
-70
62
-90
113
-138
132
-132
72
-72
41
-41
144
-144
243
-243
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.4-9.- SCU A y E. Torsión en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-150
-100
-50
0
50
100
150
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. T orsion en arco (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
65
-65
36
-36
20
-20
71
-71
120
-120
67
-67
37
-37
21
-21
73
-73
123
-123
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.4-10.- SCU C y D. Torsión en arco.
364
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. T orsion en tablero (YT)
x [m]
T [K
N·m
]233
-187
207
-178
163
-170
138
-175
159
-189
96
-96
72
-72
35
-35
64
-64
107
-107
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.4-11.- SCU A y E. Torsión en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. T orsion en tablero (YT)
x [m]
T [K
N·m
]
305
-305
317
-317
335
-335
344
-344
348
-348
400
-400
388
-388
370
-370
360
-360
356
-356
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.4-12.- SCU C y D. Torsión en tablero.
365
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1400
-1300
-1200
-1100
-1000
-900
-800
-700
-600
-500
-400
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Axil en arco (YT)
x [m]
N [K
N]
-496
-692
-490
-691
-478
-706
-469
-753
-465
-847
-994
-1231
-982
-1215
-957
-1209
-940
-1251
-930
-1351
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.4-13.- SCU A y E. Axil en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-700
-650
-600
-550
-500
-450
SCU C y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Axil en arco (YT)
x [m]
N [K
N]
-490
-607
-484
-599
-472
-596
-463
-617
-459
-666
-504
-624
-498
-616
-485
-613
-476
-634
-471
-685
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.4-14.- SCU C y D. Axil en arco.
366
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1500
-1000
-500
0
500
1000
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Axil en tablero (YT)
x [m]
N [K
N]
433 366
289 226
6 -55
-268 -325
-547 -584
811 735
519 454
-49 -98
-592 -634
-1110 -1158
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.4-15.- SCU A y E. Axil en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-600
-400
-200
0
200
400
600
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Axil en tablero (YT)
x [m]
N [K
N]
400 362
256 224
-24 -48
-292 -313
-547 -571
411 372
263 230
-25 -50
-300 -322
-562 -587
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.4-16.- SCU C y D. Axil en tablero.
367
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Axiles en pendolas (YT)
x [m]
N [K
N]
82
-4
85
-8
119
-20
173
-37
314
-56
108
28
104
34
114
66
143
91
258
96
YT=8.5 SCU A
YT=8. SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5 SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.4-17.- SCU A y E. Axiles en péndolas.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
20
40
60
80
100
120
140
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Axiles en pendolas (YT)
x [m]
N [K
N]
53
14
51
17
56
32
71
45
127
4755
14
53
17
58
33
73
46
131
49
YT=8.5 SCU C
YT=8. SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5 SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.4-18.- SCU C y D. Axiles en péndolas.
368
17.5. MOVIMIENTOS.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas verticales en arco (YT)
x [m]
V Z [mm
]
5
-23
5
-3
5 25
-38
6
-106
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.5-1.- HIP0: Flechas verticales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas verticales en tablero (YT)
x [m]
V Z [mm
]
0
-0
0
-0
0
-0
0
-0
0
-0
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.5-2.- HIP0: Flechas verticales en tablero. Comprobación de nulidad de flechas en nudos base de péndolas.
369
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-150
-100
-50
0
50
100
150
200
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
-3
-113
-2
-61
29
-1
110
1
178
2
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.5-3.-HIP0: Flechas transversales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales en tablero (YT)
x [m]
V Y [mm
]
0
-11
0
-8
7
-4
15
-1
22
0
YT=8.5
YT=8
YT=7
YT=6
YT=5
Fig. 17.5-4.- HIP0: Flechas transversales en tablero.
370
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
-50
0
50
100
150
200
250
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas verticales en arco (YT)
x [m]
V Z [mm
] 89
-47
78
-69
77
-81
97
-60
143
-31
48
-011 -0-0
-5
80
-0
215
-0
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.5-5.-SCU A y E: Flechas verticales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas verticales en tablero (YT)
x [m]
V Z [mm
]
0
-23
0
-17
0
-19
0
-35
0
-56
0
-23
0
-17
0
-19
0
-36
0
-57
YT=8.5 . SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5 . SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.5-6.-SCU C y D: Flechas verticales en arco.
371
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-150
-100
-50
0
50
100
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas verticales en tablero (YT)
x [m]
V Z [mm
]70
-115
70
-103
67
-92
60
-101
54
-120
0
-46
0
-34
0
-38
0
-70
0
-113
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.5-7.-SCU A y E: Flechas verticales en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas verticales en tablero (YT)
x [m]
V Z [mm
]
0
-23
0
-17
0
-19
0
-35
0
-56
0
-23
0
-17
0
-19
0
-36
0
-57
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.5-8.- SCU C y D: Flechas verticales en tablero.
372
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
128
-5
79
-95
-39-0
-116
-0
-181
222
0
123
0-0
-69
-0
-229
-0
-355
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.5-9.-SCU A y E: Flechas transversales en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [KN·
m]
110
0
61
0-0
-34
-0
-113
-0
-175
113
0
63
0-0
-35
-0
-116
-0
-180
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.5-10.-SCU C y D: Flechas transversales en arco.
373
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-15
-10
-5
0
5
10
15
SCU A y SCU E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales en tablero (YT)
x [m]
V Y [KN·
m]
5
-11
5
-9
4
-5
5
-1
9
-2
0
-6
0
-4
5
-2
10
-1
13
0
YT=8.5. SCU A
YT=8.SCU A
YT=7. SCU A
YT=6. SCU A
YT=5. SCU A
YT=8.5. SCU E
YT=8. SCU E
YT=7. SCU E
YT=6. SCU E
YT=5. SCU E
Fig. 17.5-11.-SCU A y E: Flechas transversales en tablero.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
SCU C y SCU D: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales en tablero (YT)
x [m]
V Y [KN·
m]
0
-3
0
-2
2
-1
5
-0
7
00
-3
0
-2
2
-1
5
-0
7
0
YT=8.5. SCU C
YT=8.SCU C
YT=7. SCU C
YT=6. SCU C
YT=5. SCU C
YT=8.5. SCU D
YT=8. SCU D
YT=7. SCU D
YT=6. SCU D
YT=5. SCU D
Fig. 17.5-12.-SCU C y D: Flechas transversales en tablero.
374
17.6. RESULTADOS TENSIONALES.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-200
-150
-100
-50
0
50
100
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-63
-127
54
-1
-59
-134
63
-3
-55
-145
74
-7
-62
-154
82
0
-61
-163
87
-1
YT=8.5 σ-
YT=8.5 σ+
YT=8 σ-
YT=8 σ+
YT=7 σ-
YT=7 σ+
YT=6 σ-
YT=6 σ+
YT=5 σ-
YT=5 σ+
Fig. 17.6-1.- Envolventes de tensiones normales máximas en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Servicio. Comb. Caracteristica: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Envolvente de tensiones normales en tablero.
x [m]
σ [M
Pa] 10
-55
81
25
6
-56
71
17
-4
-56
52
3
-18
-69
51
-5
-31
-89
50
-14
YT=8.5 σ-
YT=8.5 σ+
YT=8 σ-
YT=8 σ+
YT=7 σ-
YT=7 σ+
YT=6 σ-
YT=6 σ+
YT=5 σ-
YT=5 σ+
Fig. 17.6-2.- Envolventes de tensiones normales máximas en tablero.
375
17.7. ANÁLISIS DE RESULTADOS MÁS RELEVANTES.
17.7.1. ESTUDIO DE RESULTADOS.
17.7.1.1. Similitudes con estudios previos.
Ya se estudió anteriormente (véase el apartado 7.6.1.1, por ejemplo) cómo las proyecciones verticales de los axiles de pretensado de las péndolas coincidían, para cargas permanentes, con las reacciones del tablero supuesto viga continua con apoyos fijos en los anclajes de las péndolas. Asimismo, las proyecciones longitudinales de los axiles de pretensado de las péndolas coinciden para todos los casos, pues, dada la componente vertical, sólo dependen de la diferencia de abscisas entre sus extremos.
Como el tablero es el mismo para todos los puentes de la serie, las acciones que tienen su origen en las componentes verticales de los axiles de las péndolas se mantienen inalteradas, independientemente de su posición relativa con respecto al arco (Así, para idénticos valores de YT, las componentes verticales de los axiles de pretensado serán idénticas a las obtenidas para arcos planos verticales de la Fig. 7.6-1, ya que gT coincide en ambas series).
Por tanto, la flexión longitudinal en el tablero (Fig. 17.3-2) y la torsión (Fig. 17.3-8) coinciden para todos los puentes analizados, y además coinciden sus valores con los obtenidos en el capítulo 7 (Fig. 7.2-2 y Fig. 7.2-8). Sin embargo, la directriz del arco sí que varía (Fig. 17.2-1 y Fig. 17.2-2), y además fuertemente, según cambia YT.
Igual que para casos anteriores, pues, y para cargas permanentes, toda la evolución de los esfuerzos está vinculada a la de las componentes horizontales de las péndolas, que para toda la serie, mantienen constantes sus proyecciones verticales y longitudinales. Sin embargo, a diferencia de casos ya estudiados, también en el arco varían los esfuerzos dependientes de estas últimas.
17.7.1.2. Flexiones en arco.
Algo que llama la atención es que los picos de flexión en las péndolas cercanas a los arranques se producen para valores de YT distintos para cada orientación de la flexión. Para YT=5, el pico de flexión en las péndolas extremas se produce para la flexión longitudinal M3 (Fig. 17.3-1), mientras que para YT=8.5 se produce, sin embargo, para la flexión transversal M2 (Fig. 17.3-3).
Dado que la sección empleada es anular, resulta de especial interés representar, como se hace en la Fig. 17.7-1, el valor del módulo del flector
23
22 )()( MMM += [17.1]
sobre la que se pueden realizar las siguientes observaciones:
1.- La forma de la curva del módulo de la flexión es la misma en todos los casos: Con máximo en los arranques (o muy cerca de ellos), valores mínimos en riñones (a cuartos de la luz), y un nuevo máximo, menor que el de arranques, en el centro de la luz.
Se marca especialmente el pico que introduce la carga concentrada del axil de las péndolas extremas, en los mismos casos (YT=5, 8 y 8.5) en los que se produce en alguna de las gráficas de las componentes del flector.
2.- Las curvas para las HIP0 (sin sobrecargas) y la HIPE (con el 100% de la sobrecarga) prácticamente coinciden, lo que indica que el valor de la flexión oscila, de modo bastante simétrico, respecto de un valor central, definido por la HIPAF (con el 50% de la sobrecarga).
3.- El valor del módulo de la flexión es prácticamente nulo para todos los casos, lo que sirve, indirectamente, de comprobación de la bondad del método iterativo de obtención de directrices antifuniculares.
4.- Parece que la distribución más adecuada de dimensiones de las secciones transversales del arco es la decreciente de arranques a clave, si bien parece que con un refuerzo en arranques más concentrado que para los casos de arco plano y vertical, como parece deducirse de la forma de la distribución tensional de la Fig. 17.6-1, y de la incorporación de los resultados de la HIPA a la Fig. 17.7-1,
376
como se muestra en la Fig. 17.7-2.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
100
200
300
400
500
600
700
HIP0, AF y E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Modulos de flexion en arco.
x [m]
|M| =
( M 22 +
M32 )
0.5 [K
N·m
]
404
42
257
14
160
20
388
40
649
38
404
39
254
16
159
23
388
44
649
40
30
30
30
20
20
YT=8.5. HIP0
YT=8.HIP0
YT=7. HIP0
YT=6. HIP0
YT=5. HIP0
YT=8.5. HIPE
YT=8.HIPE
YT=7. HIPE
YT=6. HIPE
YT=5. HIPE
YT=8.5. HIPAF
YT=8. HIPAF
YT=7. HIPAF
YT=6. HIPAF
YT=5. HIPAF
Fig. 17.7-1.- Distribución del módulo del momento flector [17.1] en el arco, en función de YT, para las hipótesis HIP0, HIPE e HIPAF. El porcentaje de SCUE para cada una de ellas (véase 3.5.2) es del 0, 100 y 50%, respectivamente.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
HIP0, A, AF y E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Modulos de flexion en arco.
x [m]
|M| =
( M 22 +
M32 )
0.5 [K
N·m
]
404
42
257
14
160
20
388
40
649
38
404
39
254
16
159
23
388
44
649
40
30
30
30
20
20
1197
1
1298
2
1479
2
1617
2
1754
0
YT=8.5. HIP0
YT=8.HIP0
YT=7. HIP0
YT=6. HIP0
YT=5. HIP0
YT=8.5. HIPE
YT=8.HIPE
YT=7. HIPE
YT=6. HIPE
YT=5. HIPE
YT=8.5. HIPAF
YT=8. HIPAF
YT=7. HIPAF
YT=6. HIPAF
YT=5. HIPAF
YT=8.5. HIPA
YT=8. HIPA
YT=7. HIPA
YT=6. HIPA
YT=5. HIPA
Fig. 17.7-2.- Redibujado de la Fig. 17.7-1 para incorporar el efecto de la sobrecarga asimétrica HIPA, que define los máximos del módulo del momento en la zona de riñones y arranques del arco.
377
17.7.1.3. Acciones transversales e inclinación de las péndolas.
A semejanza del estudio para arcos planos verticales del capítulo 7, las distribuciones de esfuerzos que surgen como consecuencia de la excitación de los mecanismos resistentes transversales quedan más claras al estudiar la evolución de las acciones horizontales transmitidas por la péndolas.
Las proyecciones horizontales de sus axiles de pretensado se muestran en la Fig. 17.7-3.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
HIP0: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Componentes horizontales de axiles en pendolas (YT)
x [m]
N Y [KN]
-35
-271
-15
-235
23
-162
61
-92
98
-25
YT=8.5.
YT=8.
YT=7.
YT=6.
YT=5.
Fig. 17.7-3.- Distribución de las componentes transversales de los axiles de pretensado de las péndolas en función de YT. (Acciones de péndolas sobre nudos de anclaje del tablero).
En todos los casos la distribución presenta picos muy fuertes en las péndolas extremas, mayores con YT, y una distribución más uniforme en el centro.
17.7.1.4. Flexión transversal y axil en el tablero.
Como se vio en apartados anteriores, la flexión transversal en el tablero (Fig. 17.3-4) sería el equivalente a la flexión en un arco de directriz circular trabajando en planta (véanse el ap. 4.5.1.6 o la Fig. 7.2-4). Las flexiones transversales en el tablero están provocadas por las componentes horizontales de los axiles de pretensado de las péndolas (Fig. 17.7-3). La alternancia de signo de las flexiones está provocada por la posición relativa arco-tablero, en la que, además, los signos de los axiles cambian (Fig. 17.3-6).
Dicho valor del axil del tablero ya quedó explicado en el apartado 7.6.1.3.
17.8. FLEXIÓN EN EL ARCO EN FUNCIÓN DE YT.
17.8.1. VALOR DE YT QUE FIJA HORIZONTALMENTE LA CLAVE EN DIRECTRICES ANTIFUNICULARES.
A continuación se obtiene el valor de YT que fija horizontalmente la clave de la serie de puentes estudiados. El proceso se ha definido anteriormente en el apartado 7.7.1, y se recuerda que consiste básicamente en obtener la posición relativa arco-tablero que hace que el desplazamiento transversal de la clave sea nulo cuando el tablero se carga, que es tanto como anular la amplitud del movimiento cuando el tablero pasa de la hipótesis HIP0 a la HIPE. Cuando el arco es plano y vertical, y se ha impuesto contraflecha de ejecución, la clave está en el plano Y=0 y el movimiento de la clave es nulo. Además, este valor de YT se encuentra en un rango de valores que minimizan la flexión transversal y la deformabilidad
378
horizontal del arco.
Esto es cierto cuando la directriz es un arco plano y vertical, y no cambia porque la directriz del arco sea antifunicular. Ahora bien, la deformada para las hipótesis HIP0 e HIPE oscilará aproximadamente1 en torno a la de la hipótesis HIPAF, que es la que se ha empleado para la determinación de la directriz antifunicular. Por lo tanto, en general, el valor del movimiento de la clave no será nulo, como ocurre en el caso de arco plano vertical, sino el de la deformada para la HIPAF, porque el proceso obtiene la contraflecha de ejecución de la directriz antifunicular, si bien es cierto que los valores de las flechas para la HIPAF suelen ser extremadamente pequeños.
Se aclara esto en los resultados de la siguiente tabla. Para mejorar la precisión de los cálculos se complementa la serie con los valores de YT=7.35 y 7.45 m.
Posición de
arranques [m] Flechas horizontales de clave por
hipótesis [mm] Amplitud del movimiento
[mm]
YT vY,C (HIP0) vY,C (HIPE) vY,C (HIPAF) HIP0 HIPE
6.000 112.687 -116.512 -1.912 114.599 -114.600
7.000 31.190 -37.825 -3.353 34.543 -34.472
8.000 -60.464 62.904 1.220 -61.684 +61.684
7.350 4.050 -0.156 1.947 2.103 -2.103
7.450 -4.320 10.625 3.153 -7.473 7.472
7.372 2.133 2.102 2.118 0.015 -0.016
Tabla 17.8-1.- Movimientos horizontales de clave de arco y amplitud de movimientos respecto de la deformada para la hipótesis HIPAF de determinación de la directriz antifunicular. Para el valor obtenido como solución (YT=7.372) la oscilación es prácticamente nula.
Las flechas horizontales en el arco de la Tabla 17.8-1 para las hipótesis HIP0 e HIPE se muestran en la Fig. 17.8-1, lo que valida los resultados.
1 La oscilación sería, en teoría, perfectamente simétrica en régimen elástico lineal.
379
-50 -4 0 -30 -20 -1 0 0 10 2 0 30 40 50-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
HIP 0 Y E: Arco antifunicular espacial. Analisis P -δ. gT=-10. Flechas transv ersales en arco (Y T )
x [m ]
V Y [mm
]
-2
-60
0 -42 -14 -1
31
-1
63
-2
11
-12 -11
-1-1
-38
YT=8 . HIP 0
YT=7 .4 5 HIP 0
YT=7 .3 72 HIP 0
YT=7 .3 5 HIP 0
YT=7 HIP 0
YT=8 . HIP E
YT=7 .4 5 HIP E
YT=7 .3 72 HIP E
YT=7 .3 5 HIP E
YT=7 HIP E
Fig. 17.8-1.- Flechas horizontales en arco para hipótesis HIP0 e HIPE. Comprobación de los resultados de la Tabla 17.8-1.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
HIP 0 Y E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
2
-1
2
-1
2
-1
YT=7.372 HIP 0
YT=7.372 HIP E
YT=7.372 HIP AF
Fig. 17.8-2.- Detalle del caso YT=7.372 de la gráfica anterior: Flechas horizontales en arco para las hipótesis HIP0, HIPE e HIPAF. Los movimientos de los arranques no son nulos porque los gatos en estribos los desplazan, en concreto hacia la parte negativa del eje Y (véase la planta de la Fig. 17.2-1). La amplitud de los movimientos de la clave es prácticamente nula. Además, la deformada horizontal oscila alrededor de dos puntos situados aproximadamente a octavos de la luz.
380
17.8.2. MINIMIZACIÓN DE LA AMPLITUD DE LA FLEXIÓN EN EL ARCO.
17.8.2.1. Conveniencia de minimizar el módulo del flector.
En el apartado 7.7.2 se definían tres criterios de minimización de la flexión transversal en la directriz del arco. En dicho capítulo, la consideración exclusiva de la flexión transversal en el arco caracteriza muy bien su comportamiento, dado que en el arco plano y vertical, el comportamiento está desacoplado, y las flexiones transversales son, con diferencia, las componentes más importantes de la flexión, sobre todo para valores altos de gT, que obligan a disponer péndolas más tendidas.
Sin embargo, en el arco espacial de directriz antifunicular, las flexiones son del mismo orden de magnitud en las dos direcciones, independientemente del valor de YT (véanse las Fig. 17.3-1 y Fig. 17.3-3).
Así las cosas, parece más razonable definir como criterio de minimización de la flexión en el arco, el de minimizar su módulo (véase la Fig. 17.7-1). Con mayor motivo, además, si se considera que la sección de los puentes del estudio de este capítulo es anular.
17.8.2.2. Valor mínimo de la flexión: Comparación entre arcos planos y antifuniculares espaciales.
Es interesante señalar una diferencia, no de orden práctico, sino conceptual, que existe en la determinación del valor de YT que minimiza la flexión: Para cada uno de esos valores, en el arco plano existe un estado de flexiones permanente correspondiente al tablero descargado (HIP0). Al cargar el tablero, se produce un segundo estado de flexiones (HIPE). Se ha visto que las posiciones de YT que minimizan dichas flexiones están cerca, cuando no son coincidentes, para ambas hipótesis. La intención de los análisis desarrollados en el capítulo 7 era encontrar dichas posiciones, con lo que la flexión alcanza un valor mínimo, si bien muy ligeramente dependiente del criterio de minimización.
Sin embargo, en el arco antifunicular se parte de un estado teóricamente nulo de flexiones, y lo que se pretende es que la flexión crezca lo menos posible respecto de ese estado: En nuestro caso, el antifunicular se calcula para el conjunto de cargas permanentes y la mitad de las sobrecargas (HIPAF). Como el crecimiento puede ser en ambos sentidos, en realidad la minimización de la flexión implica la minimización de la oscilación de la flexión respecto del estado de flexión teóricamente nulo correspondiente a HIPAF ó hipótesis para la que se determina la directriz antifunicular.
17.8.2.3. Criterios de minimización.
Dado que al obtener el módulo de la flexión se pierde el signo, como se parte de un estado teóricamente nulo de flexiones, la oscilación de la flexión vendrá dada por EMMM += 0 ,
EMMM += 0 [17.2]
que es la suma respectivamente de los módulos2 de las flexiones correspondientes a las hipótesis HIP0 e HIPE.
Por lo tanto se tomarán como criterios de minimización los siguientes, donde Mi es cada uno de los flectores en cada punto de salida y bi es la longitud de su segmento tributario de barra, tal y como se define en el apartado 7.7.2.
2 Para poder sumar algebraicamente los módulos de las flexiones como lo estamos haciendo, en cada
punto de salida las flexiones han de ser coplanarias para todas las hipótesis. En el caso que nos ocupa esta suposición se verifica con suficiente aproximación si, como estamos viendo, las hipótesis HIP0 e HIPE producen estados iguales y contrarios de flexión, alrededor de un estado nulo de flexiones para la HIPAF.
381
Criterio: Formulación:
I ∫=Γ
dsM(s) M 2 2i
ii M ·bM ∑= [17.3]
II ∫=Γ
dsM(s) M ii
i M ·bM ∑= [17.4]
donde M corresponde a la expresión de [17.2].
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5 x 10 7
M
Y T [m]
Parábola cúbica Y T=7.333 m
2i
ii M ·b∑
Fig. 17.8-3.- Minimización de módulo de amplitud de flexión en el arco de acuerdo con el criterio I.
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.50
1
2
3
4
5
6
7
8 x 104
M
Y T=7.373 m Parábola cúbica
Y T [m]
ii
i M ·b∑
Fig. 17.8-4.- Minimización de módulo de amplitud de flexión en el arco de acuerdo con el criterio II.
382
Como se puede verificar, en el caso estudiado, la posición de YT (YT=7.372) que fija horizontalmente la clave (Tabla 17.8-1) prácticamente coincide con la posición (YT=7.373, Fig. 17.8-4) que minimiza la flexión en el arco con el criterio II definido en [17.4], que corresponde al área encerrada por el módulo de la flexión en el arco.
17.8.3. VALOR DE YT QUE FIJA HORIZONTALMENTE LOS RIÑONES.
Para analizar el valor de YT que fija horizontalmente los riñones, se analizan las deformaciones para el nudo 18 que en los modelos realizados se encuentra a cuartos de la luz, es decir en x=-25 m.
Posición de
arranques [m] Flechas horizontales de riñón por
hipótesis [mm] Amplitud del movimiento
[mm]
YT vY (HIP0) vY (HIPE) vY (HIPAF) HIP0 HIPE
7.000 16.131 -21.256 -2.562 18.693 18.694
8.000 -34.332 35.331 0.504 -34.836 34.827
7.350 1.632 0.897 1.264 0.368 0.367
7.450 -2.859 7.116 2.128 -4.987 4.988
7.3569 0.447 0.444 0.446 0.001 -0.002
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
HIP 0 Y E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
2
-1
0
-1
1
-1
YT=7.3569 HIP 0
YT=7.3569 HIP E
YT=7.3569 HIP AF
Fig. 17.8-5.- Detalle del caso YT=7.3569 que fija horizontalmente los riñones del arco para las HIP0 e HIPE.
Como se puede comprobar, la posición de YT que fija la clave y la que fija los riñones están muy cercanas, y separadas alrededor de entre sí alrededor de 15 mm, lo que supone aproximadamente una variación menor del 2% del canto de la sección empleada.
383
17.8.4. EVOLUCIÓN DE FLEXIONES EN EL ARCO PARA SOBRECARGAS ASIMÉTRICAS.
Hasta ahora se han estudiado las posiciones YT que minimizan las flexiones simétricas, es decir, las que cargan el tablero en toda su longitud.
En la siguiente figura, sin embargo, se muestra la evolución del área encerrada por la ley de módulos del flector para la hipótesis HIPA, cargando el semitablero dorsal. Por su interés, se representan junto a las ya conocidas de HIP0 e HIPE.
En la figura siguiente se han obtenido dichas áreas para cada una de las hipótesis:
5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.50
1
2
3
4
5
6 x 104
ii
i M ·b∑Y T=7.37 m
HIPA
HIPE
HIP0
Y T [m]
Fig. 17.8-6.- Integración del área encerrada por el módulo de la flexión a lo largo de la directriz del arco en función de la posición relativa arco-tablero, definida por YT. En la figura se comprueba que, con suficiente aproximación, la posición (YT=7.37) que minimiza las flexión debida a sobrecargas simétricas (HIP0 e HIPE) maximiza, sin embargo, la debida a sobrecargas asimétricas (HIPA).
En la gráfica anterior vemos además como las curvas HIP0 e HIPE casi se confunden, debido a que el antifunicular está calculado para la sobrecarga media de ambas.
De lo anterior podemos extraer la conclusión, como hemos visto, de que el arco espacial de directriz antifunicular se puede colocar en una posición relativa con respecto al tablero que minimice tanto la deformabilidad horizontal del arco como la flexiones en él producidas por las sobrecargas simétricas. Sin embargo, esto penaliza, si bien ligeramente, las flexiones producidas por acciones asimétricas.
384
17.9. EFECTO DEL ÁREA DE LA SECCIÓN. Ya en el apartado 16.2.2 se establecía el efecto del área en la determinación de la geometría
antifunicular del arco, y que secciones del arco más pesadas (de mayor área para el mismo material) definen antifuniculares más verticales, si bien en dicho capítulo las secciones posibles quedaban muy limitadas por la sensibilidad a las acciones laterales de un arco que recibe todas las cargas de las péndolas en un mismo lado.
Sólo a efectos de comprobación de lo anterior, así como de la validez de los algoritmos desarrollados, se comparan en las siguientes figuras dos series de puentes, en los que el área de la sección transversal es la misma.
Con el objeto de proceder a una comparación más precisa, se ha disminuido cuatro veces la tolerancia del método con respecto a los cálculos mostrados hasta ahora en el resto del capítulo, lo que permite conseguir, como se verá, flectores menores, y directrices más ajustadas.
La variación de la posición transversal de los estribos, YT, es la misma para las dos series y corresponde, como se ha visto, a la zona donde las flexiones y la deformabilidad a sobrecargas simétricas quedan relativamente controladas.
• En el primero de ellos la sección es la del presente capítulo, anular de diámetro 1.00 m y 25 mm de espesor.
• En el segundo, la sección es en cajón hueco rectangular de la misma área, de 0.79076 m de lado, y también de 25 mm de lado.
-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0-6
-4
-2
0
2
4
6
8
HIPAF: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. SEMIPLANT A DEFORMADA (YT)
X [m]
Y [m
]
YT=8.00 ARCO ANULAR
YT=8.00 ARCO RECTANGULAR
YT=7.35 ARCO ANULAR
YT=7.35 ARCO RECTANGULAR
YT=7.00 ARCO ANULAR
YT=7.00 ARCO RECTANGULAR
YT=8.00 TABLERO
YT=7.35 TABLERO
YT=7.00 TABLERO
Fig. 17.9-1.- Comparación, para secciones anulares y rectangulares de igual área, de las plantas de las semidirectrices dorsales (deformadas para la HIPAF) de los arcos en función de YT. En líneas de trazos se representan las plantas de los respectivos tableros. La escala es mayor en el eje vertical para poder apreciar mejor las diferencias.
Como se aprecia en la Fig. 17.9-1, las directrices son prácticamente coincidentes. En la Fig. 17.9-2 se muestran las flexiones transversales en el arco para la HIPAF y los casos YT=7.00, 7.35 y 8.00 m. La diferencia de flexiones es mayor en los casos en los que las directrices se separan más en la Fig. 17.9-3.
385
(Indirectamente, estas gráficas suponen una comprobación de la bondad del método, en la que ha sido incrementada la precisión con respecto a los casos mostrados hasta ahora en el capítulo: Se consiguen flexiones transversales menores de 1.50 KN·m para luces de 100 m para axiles concomitantes del orden de 2000 KN en clave).
-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
HIP AF: Arco antifunicular espacial. Analisis P -δ . gT = -10. F lexion transv ersal en arco (Y T )
x [m ]
M 2 [KN·
m]
1
00
-0-0
-1
0
-1
-0
-1
0 -0
YT= 8 AN U L AR
YT= 7 .3 5 AN U L AR
YT= 7 AN U L AR
YT= 8 R EC TAN GU L AR
YT= 7 .3 5 R EC TAN GU L AR
YT= 7 R EC TAN GU L AR
Fig. 17.9-2.- HIPAF: Flexiones transversales en arco para los casos YT=7.00, 7.35 y 8.00 m, para las directrices antifuniculares obtenidas para secciones rectangulares y anulares. La diferencia de flexiones es mayor en los casos en los que las directrices se separan más en la Fig. 17.9-3, aunque la excentricidad de la flexión que se muestra aquí no basta para compensar tal variación de la directriz.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
∆ [m
m]
∆Y YT=8.00
∆Y YT=7.00
∆Y YT=7.35
∆Z YT=8.00
∆Z YT=7.35
∆Z YT=7.00
HIPAF: Diferencia en semidirectriz deformada.P-δ. gT=-10. Comparación sección anular-rectangular.
x [m]
Fig. 17.9-3.- Comparación de directrices antifuniculares para secciones rectangulares y anulares en los casos YT=7.00, 7.35 y 8.00 m. En la gráfica se representan las diferencias en alzado (∆Z) y planta (∆Y) para la semidirectriz dorsal.
386
17.10. COMPARACIÓN DE ARCO ANTIFUNICULAR Y ARCO PLANO VERTICAL. Con el fin de estudiar las ventajas en un caso concreto de disponer directrices antifuniculares
para el arco, se comparan tres casos con introducción progresiva de antifunicularidad:
Modelo Posición relativa arco-tablero Planta de directriz Alzado de directriz Sección
AF YT =7.372 m Antifunicular espacial de M2 y M3
Plano AF Antifunicular de M3
Plano YT = 8.2455 m Plano vertical Y=0 (*)
Parábola 2º grado fA=20 (**)
Anular constante:
φ=1000 mm t=25 mm.
* Con contraflecha de ejecución de las coordenadas x é y del arco.
** Con contraflecha de ejecución de las coordenadas z del arco.
En todos los casos se ha considerado la no linealidad geométrica.
El tablero es el de gT=-10 m empleado en todo este capítulo.
Las posiciones relativas YT han sido elegidas porque fijan horizontalmente la clave para la HIPE en los dos últimos modelos, como se muestra en la Fig. 17.10-1.
-60 -40 -20 0 20 40 60-20
0
20
40
60
80
100
HIP 0 y E: Comparacion AF-Vertical. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales de arco.
x [m]
V Y [m]
2 -12 -1
97
0
97
0
76
0
97
0
AF YT=7.372 HIP0
AF YT=7.372 HIPE
Plano AF YT=8.2455 HIP0
Plano AF YT=8.2455 HIPE
Plano YT=8.2455 HIP0
Plano YT=8.2455 HIPE
Fig. 17.10-1.- Deformaciones horizontales del arco para los arcos estudiados. En los tres casos, la oscilación transversal de la clave es nula al solicitar con SCUE la estructura, previamente cargada con HIP0.
387
-60 -40 -20 0 20 40 60-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
HIP0 y E: Comparacion AF-Vertical. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en arco
x [m]
M 2 [KN·
m]
65 -8181 -62
429
-2013
706
-2585
429
-1993
709
-2578
AF YT=7.372 HIP0
AF YT=7.372 HIPE
Plano AF YT=8.2455 HIP0
Plano AF YT=8.2455 HIPE
Plano YT=8.2455 HIP0
Plano YT=8.2455 HIPE
Fig. 17.10-2.- Flexiones transversales en arco para las HIP0 e HIPE. Como se puede apreciar, el arco antifunicular espacial presenta (lógicamente) flexiones transversales muchísimo menores que el arco plano vertical.
-60 -40 -20 0 20 40 60-3000
-2500
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
HIPA: Comparacion AF-Vertical. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en arco
x [m]
M 2 [KN·
m]
618
-618
736
-2836
737
-2822
AF YT=7.372 HIPA
Plano AF YT=8.2455 HIPA
Plano YT=8.2455 HIPA
Fig. 17.10-3.- HIPA: Flexiones transversales en arco. El arco antifunicular espacial, pese a haberse obtenido para sobrecargas simétricas, sufre flexiones transversales muy inferiores a las del arco plano vertical.
388
-60 -40 -20 0 20 40 60
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
HIP0 y E: Comparacion AF-Vertical. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en arco
x [m]
M 3 [KN·
m]
57
-81
81
-55
71
-153
133
-75
88
-98
317
-245
AF YT=7 .372 HIP0
AF YT=7 .372 HIPE
Plano AF YT=8.2455 HIP0
Plano AF YT=8.2455 HIPE
Plano YT=8.2455 HIP0
Plano YT=8.2455 HIPE
Fig. 17.10-4.- HIP0 e HIPE: flexiones longitudinales en el arco. En las directrices antifuniculares, las flexiones oscilan alrededor de un estado nulo de flexiones. Para la directriz que no lo es, el estado de flexiones es (lógicamente) mucho mayor.
-60 -40 -20 0 20 40 60-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
HIPA: Comparacion AF-Vertical. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en arco
x [m]
M 3 [KN·
m]
1274
-1274
1323
-1343
1458
-1198
AF YT=7 .372 HIPA
Plano AF YT=8.2455 HIPA
Plano YT=8.2455 HIPA
Fig. 17.10-5.- HIPA: flexiones longitudinales en el arco. Independientemente del carácter antifunicular de la directriz, las flexiones son prácticamente iguales para las sobrecargas asimétricas.
389
De las figuras anteriores se pueden extraer las siguientes conclusiones:
1.- En lo que respecta a la flexión transversal M2, disponer una directriz espacial antifunicular es muy ventajoso con respecto a la directriz plana y vertical. Esto es cierto, se trate tanto de hipótesis simétricas como de asimétricas.
2.- Con respecto a la flexión longitudinal en el arco, la directriz antifunicular la reduce lógicamente muchísimo sólo para sobrecargas simétricas. Sin embargo, no supone ninguna mejora frente a las sobrecargas en semitableros alternos.
En general, como se esperaba, produce una disminución general de las tensiones, como se puede ver en la figura siguiente:
-60 -40 -20 0 20 40 60-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
Servicio. Comb. Caracteristica: Comparacion AF-Vertical. Analisis P-δ. gT=-10. Envolvente de tensiones normales en arco.
x [m]
σ [M
Pa]
-53
-141
70
-7
-66
-250
177
-1
-64
-247
173
-1
AF YT=7.372 σ-
AF YT=7.372 σ+
Plano AF YT=8.2455 σ-
Plano AF YT=8.2455 σ+
Plano YT=8.2455 σ-
Plano YT=8.2455 σ+
Fig. 17.10-6.- Comparación arco vertical - espacial antifunicular. Envolventes de tensiones normales en el arco.
391
CAPÍTULO 18
18 CARACTERÍSTICAS ESPECÍFICAS DEL PUENTE ARCO ESPACIAL DE TABLERO SUPERIOR.
18.1. INTRODUCCIÓN. Hasta ahora se ha estudiado el arco de tablero inferior. La razón de estudiarlo en primer lugar,
fundamentalmente, es que su comportamiento resistente se muestra mucho más claramente al vincular el arco y el tablero por elementos biarticulados como son las péndolas. Así no se perturba, por esfuerzos localizados en los extremos de las péndolas, el comportamiento del arco y del tablero, y su interpretación resulta más sencilla.
Como se verá, las conclusiones obtenidas hasta ahora sobre el comportamiento del arco espacial resultan de plena aplicabilidad en el puente arco de tablero superior.
Por ejemplo, ya se han visto las consecuencias beneficiosas en deformaciones y esfuerzos que tiene ripar transversalmente los arranques del arco respecto de la cuerda que une los estribos del tablero curvo. Si en el arco superior esto podía suponer renunciar a un posible efecto bow-string, en el arco inferior, por el contrario, esto no supone ninguna penalización, al estar forzosamente separadas en alzado.
Procederemos, pues, a continuación, a estudiar el arco inferior, centrándonos en las diferencias con el de arco superior, que son fundamentalmente las siguientes:
• La vinculación con el arco de tablero inferior puede realizarse con péndolas articuladas trabajando a tracción, mientras que con el arco de tablero superior ha de realizarse con montantes trabajando a compresión, que generalmente no están articulados, por lo menos en ambos extremos simultáneamente.
• No existe, para el puente de tablero superior, la posible interferencia de las péndolas con los gálibos del tablero que sí aparece en los puentes de tablero inferior. Desaparece pues la posible necesidad de sobreancho para disponer las bases de los anclajes, y, por el contrario, el tablero puede apoyarse en puntos situados directamente bajo la plataforma, incluyendo su eje.
18.2. ARCO PLANO VERTICAL INFERIOR ANTIFUNICULAR. A continuaciones se estudiará, en el arco plano inferior con montantes empotrados, la
aplicabilidad de los métodos iterativos desarrollados hasta ahora para la obtención de las directrices antifuniculares.
18.2.1. MÉTODO DE LAS EXCENTRICIDADES LOCALES: EFECTO DEL EMPOTRAMIENTO DE MONTANTES.
A continuación se estudia un arco plano y vertical que sostiene un tablero recto. El tablero tiene sus movimientos impedidos y las flexiones liberadas en los apoyos y el arco está biempotrado en arranques.
Se puede ver perfectamente el efecto de vincular el arco y el tablero con montantes biempotrados, en los que se produce flexión por la diferencia de movimientos entre sus dos extremos. Los montantes empleados son tubos de 600 mm de diámetro y 20 mm de espesor. Las secciones transversales de arco y tablero son las del capítulo anterior.
A este puente se le ha aplicado el método de las excentricidades locales definido en el apartado 15.5. No se ha considerado ninguna acción de pretensado de las péndolas1 en la hipótesis HIPAF pero sí
1 En un puente arco de tablero superior, el pretensado de las péndolas (véase 15.2.4) calentaría los
montantes para levantar los nudos del tablero con el fin de anular sus flechas verticales. Este efecto no se ha considerado, por lo que la ley de flectores de los tableros mostrados en el apartado 18.2 no se corresponde con la acostumbrada de viga continua sobre apoyos fijos.
392
las acciones de los gatos en los estribos.
La directriz antifunicular ha sido pues determinada para HIPAF sin pretensado de péndolas, es decir, para la actuación simultánea de PP, CP, las acciones de los gatos en estribos y el 50% de la SCUE, la cual carga uniformemente todo el tablero.
En la Fig. 18.2-1 pueden apreciarse perfectamente los quiebros, efecto de aplicar el método de las excentricidades locales a una estructura con montantes biempotrados: se consiguen antifunicularizar las flexiones excepto en las intersecciones del arco con los montantes, ya que el método ajusta el nudo frontal de una barra o el dorsal de la siguiente2.
Fig. 18.2-1.- HIPAF: Aplicación del método de las excentricidades locales al arco con montantes empotrados: desajuste en la intersección de los montantes con el extremo frontal de las barras.
18.2.2. MÉTODO DE LAS EXCENTRICIDADES LOCALES: APLICACIÓN A LA FLEXIÓN PROMEDIADA.
Una forma de intentar compensar los errores producidos es aplicar el método no a la ley de flectores dorsales o frontales, sino a la ley obtenida al promediar el momento frontal con el dorsal de la barra siguiente3. Cuando no se introducen momentos puntuales localizados (caso de las péndolas articuladas) ambos métodos coinciden.
Cuando existen momentos localizados en los nudos el método debe igualar flexiones a ambos lados de la sección donde se aplica el momento: en nuestro caso, a ambos lados de los nudos del empotramiento de la base del montante.
Aunque el momento a ambos lados de la base del montante es igual y de signo contrario, se siguen produciendo desajustes en la directriz, si bien menores que en el caso anterior, al repartirse a ambos lados del montante.
2 Precisamente casos como éstos, en los que no se reducen las flexiones por más que se itere, son los que
han establecido los criterios de convergencia de los métodos iterativos de obtención de directrices antifuniculares presentados en la convergencia de la geometría y no en la limitación de los valores de los esfuerzos.
3 Esto obliga a redefinir un eje local ficticio situado en la dirección de la flexión promediada a efectos de la formulación de 15.5.2.
393
Fig. 18.2-2.- HIPAF. Efecto de la aplicación del método de las excentricidades locales a la ley de flectores obtenida al promediar el momento frontal con el dorsal de la barra siguiente.
18.2.3. MÉTODO DE LAS EXCENTRICIDADES LOCALES: ARTICULACIÓN DE MONTANTES.
Por supuesto, como se ha citado, la articulación de los montantes en su base no se diferencia de la aplicación del método que ya hemos visto para puentes de tablero inferior suspendido de péndolas articuladas, por lo que genera directrices antifuniculares sin quiebros.
Fig. 18.2-3.- HIPAF. Efecto de la aplicación del método de las excentricidades locales a la ley de flectores obtenida al articular las bases de los montantes.
18.2.4. EMPOTRAMIENTO DE MONTANTES POSTERIOR A LA ANTIFUNICULARIZACIÓN.
Una posibilidad que da bastante buen resultado, si se han de disponer forzosamente montantes empotrados en sus bases es definir la directriz en un doble proceso:
1.- Obtener la directriz antifunicular para los montantes articulados en su base.
La ausencia de discontinuidades en la directriz está garantizada porque no hay momentos localizados, al estar las bases de los montantes articuladas durante el proceso de antifunicularización. La ley de momentos (y, por lo tanto, la geometría de la directriz) coincide con la del apartado 18.2.3.
2.- Empotrar posteriormente las bases de los montantes.
Una vez se empotran las bases de los montantes introduce dos momentos localizados en los
394
extremos de los tramos de directriz entre montantes4, que dan la ley lineal de signos alternos de la Fig. 18.2-4.
Fig. 18.2-4.- HIPAF. Efecto de la aplicación del método de las excentricidades locales a la ley de flectores obtenida al articular las bases de los montantes y empotrarlas posteriormente.
18.2.5. OTROS MÉTODOS DE OBTENCIÓN DE LA GEOMETRÍA ANTIFUNICULAR.
Un método que se puede utilizar para forzar a que la directriz sea continua, independientemente de los esfuerzos localizados en los montantes, se describe en 15.3.4.1, en los que puede aproximarse por polinomios continuos la ley de esfuerzos real, lo que garantiza su continuidad, pero no que se anulen las flexiones.
18.3. ARCO ESPACIAL INFERIOR ANTIFUNICULAR.
18.3.1. NECESIDAD DE LA SEPARACIÓN VERTICAL EN CLAVE.
Hasta ahora las directrices espaciales antifuniculares calculadas han sido para los arcos de tablero inferior. Salvo casos contados, a partir de la geometría inicial de arco plano vertical, la proyección horizontal de su directriz acaba alcanzando una gran amplitud en planta, con separaciones horizontales muy grandes (véanse, por ejemplo, las Fig. 17.2-1 y Fig. 17.2-2).
Esto provoca que la distancia horizontal en planta entre la clave del arco y el centro del tablero sea en ocasiones del orden de varios metros.
Si aceptamos la hipótesis de que las cargas sobre el arco no cambian cuando lo situamos bajo el tablero, la geometría antifunicular del arco tampoco cambiaría, y por lo tanto, tampoco lo haría la citada distancia clave del arco- punto medio del tablero.
Esto obliga, en general, a que las cargas del tablero no se puedan referir al arco (por poco eficaces) por montantes que estarán prácticamente horizontales si se acercan las cotas del tablero y de la clave del arco.
En la Fig. 18.3-1 se muestra este efecto. A pesar de estar separados en planta la misma distancia, en el caso (c) el montante es más eficaz al estar más vertical.
4 Estos momentos pueden corregirse parcialmente con la acción de gatos en el tablero en una fase
posterior.
395
Arco
Tablero
Montante
(a) (b) (c)
Fig. 18.3-1.- Necesidad de separación vertical entre la clave del arco y el tablero. En un arco vertical (a) no es necesaria. En el arco espacial, si hay separación en planta pero no en alzado (b) el montante es muy horizontal y poco eficaz. Una adecuada separación vertical (c) vuelve el montante más eficaz.
18.3.2. MODELOS DE CÁLCULO
Para la determinación de las geometrías antifuniculares de los arcos espaciales que siguen se han separado los ejes de tablero y arco una distancia de 2.00 m en vertical.
Para la geometría se adopta el método descrito en 18.2.4, empotrando los montantes posteriormente a la antifunicularización.
La posición de los arranques es YT=7.35 m, que hemos visto en capítulos anteriores para tableros inferiores que daba posiciones que limitaban razonablemente la deformabilidad transversal del arco.
Fig. 18.3-2.- Modelo de arco espacial inferior antifunicular. YT=7.35. Perspectivas cónicas. Obsérvese la similitud de las formas con la de la pasarela de Ripshorst de la Fig. 2.3-24 .
396
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-300
-200
-100
0
100
200
300
HIP0, AF y E: Arco espacial inferior. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en arco (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m] 37
-18
31
-37
16 0
142
-120
258
-245
200
-160
YT=7.35 Art. HIP0
YT=7.35 Art. HIPE
YT=7.35 Art. HIPAF
YT=7.35 Fijos. HIP0
YT=7.35 Art. HIPE
YT=7.35 Art. HIPAF
Fig. 18.3-3.- HIP0, AF y E: Evolución de la flexión transversal en el arco. Comparación de esfuerzos con bases articuladas de montantes y empotramiento posterior a la antifunicularización.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
HIP0, AF y E: Arco espacial inferior. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en arco (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
79
-30
25
-82
2-4
139
-254
257
-402
178
-328
YT=7.35 Art. HIP0
YT=7.35 Art. HIPE
YT=7.35 Art. HIPAF
YT=7.35 Fijos. HIP0
YT=7.35 Art. HIPE
YT=7.35 Art. HIPAF
Fig. 18.3-4.- HIP0, AF y E: Evolución de la flexión transversal en el arco. Comparación de esfuerzos con bases articuladas de montantes y empotramiento posterior a la antifunicularización.
397
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-300
-200
-100
0
100
200
300
400
HIPA: Arco espacial inferior. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en arco (YT)
x [m]
M 2 [KN·
m]
225
-220
313
-298
YT=7.35 Art. HIPA
YT=7.35 Fijos. HIPA
Fig. 18.3-5.- Flexiones M2 para HIPA. Comparación de esfuerzos con bases articuladas de montantes y empotramiento posterior a la antifunicularización.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
HIPA: Arco espacial inferior. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longitudinal en arco (YT)
x [m]
M 3 [KN·
m]
934
-933
632
-744
YT=7.35 Art. HIPA
YT=7.35 Fijos. HIPA
Fig. 18.3-6.- Flexiones M3 para HIPA. Comparación de esfuerzos con bases articuladas de montantes y empotramiento posterior a la antifunicularización.
398
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
2
4
6
8
10
12
14
HIP0, AF y E: Arco espacial inferior. Analisis P-δ. gT=-10. Flechas transversales en arco (YT)
x [m]
V Y [mm
]
7
0
12
0
9
0
6
0
13
0
10
0
YT=7.35 Art. HIP0
YT=7.35 Art. HIPE
YT=7.35 Art. HIPAF
YT=7.35 Fijos. HIP0
YT=7.35 Fijos. HIPE
YT=7.35 Fijos. HIPAF
Fig. 18.3-7.- HIP0, AF y E: Evolución de las flechas horizontales en el arco. Comparación de esfuerzos con bases articuladas de montantes y empotramiento posterior a la antifunicularización.
Como se ha podido ver, el hecho de poder articular los montantes en el arco permite establecer directrices continuas antifuniculares, y la posterior antifunicularización introduce flexiones localizadas, puntuales, que le hacen perder la antifunicularidad, pero que suelen oscilar más o menos en torno de la ley antifunicular.
Otros estudios (por ejemplo, Ruiz y Aparicio, [73]) concuerdan con nuestras conclusiones en el sentido de que recomiendan articular los montantes inferiores en su unión con el tablero para no introducir flexiones concentradas en tableros tan esbeltos.
En las flechas horizontales se puede observar que el modelo escogido (que se corresponde, cuando el tablero es inferior, con un modelo de clave prácticamente fija para la HIPE) tiene asimismo movimientos horizontales bastantes controlados en clave.
399
CAPÍTULO 19
19 RESUMEN, CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS DE ESTUDIO.
19.1. ADECUACIÓN A LOS OBJETIVOS PREVISTOS. En esta tesis se han estudiado las distintas configuraciones geométricas y tipológicas del puente
arco espacial y sus implicaciones resistentes. El estudio se ha centrado en el caso de puente de arco y tablero únicos, cuyas conclusiones resultan fácilmente extensibles a tipos más complejos, como los de arcos o tableros dobles.
Para ello se han realizado, entre otros, los siguientes trabajos:
• Se ha desarrollado el software SABRINA (Spatial Arch Bridges Iterative Non-linear Analysis), un conjunto de programas, escrito para MATLAB, expresamente desarrollado para esta tesis y que controla el programa de elementos finitos SAP2000 e implementa los algoritmos de análisis necesarios. Como se pretendía, ha resultado lo bastante potente como para poder abordar problemas de la complejidad de los planteados y lo suficientemente flexible como para haberse podido adaptar con rapidez a problemas de nueva aparición durante el desarrollo de los trabajos.
• Se ha desarrollado un método iterativo sistemático de obtención de las directrices antifuniculares de los puentes arco espaciales, incluyendo el caso más general para arcos biempotrados espaciales de directriz alabeada y con consideración de la no linealidad o la construcción por fases.
• Se han estudiado, en los arcos planos verticales, parámetros geométricos tales como el giro del arco, la curvatura del tablero, o el ripado transversal de los tableros, que están presentes en las realizaciones, y son, por sí solos, causa de espacialidad.
• Se ha estudiado la relación existente entre el carácter espacial de los puentes arco, y si éste puede ser un factor aislado de sensibilizacion ante la no linealidad geométrica.
• Se ha estudiado teórica y paramétricamente la influencia de las distintas configuraciones geométricas y resistentes en los tableros rectos y curvos en los que los apoyos se desplazan transversal o radialmente, con especial interés en las secciones suspendidas de uno de sus bordes, muy adecuadas para esta tipología.
• Se han determinado las peculiaridades del comportamiento de las péndolas en este tipo de puentes.
• Se ha generalizado a los puentes arco espaciales de directrices antifuniculares la influencia de los parámetros geométricos y resistentes anteriores.
• Se han estudiado los puentes arco de planta curva impuesta, que surgen cuando un tablero recto, atirantado en su eje mediante péndolas verticales, se curva, imponiendo la planta de la directriz del arco por razones de mantenimiento del gálibo.
• Se estudia la validez de los métodos y estudios anteriores en los puentes arco de directriz antifunicular y tablero curvo superior.
Los trabajos relacionados verifican, en todos sus aspectos, los objetivos establecidos en el apartado 1.2.
19.2. RESUMEN Y CONCLUSIONES GENERALES. A continuación se resumen, condensadas, las conclusiones extraídas con respecto al
comportamiento de los puentes arco espaciales.
Dichas conclusiones se presentan, agrupadas y estructuradas según los principales estudios que se han realizado.
400
19.2.1. CONCEPTO DE PUENTE ARCO ESPACIAL.
Podríamos entender el puente arco espacial como aquél cuyo comportamiento no es asimilable al de un puente arco clásico, vertical, con tablero recto de directriz coplanaria a la del arco y atirantamiento centrado al eje.
Es de destacar que el carácter espacial del puente arco aparece, forzosamente, en una estructura asimétrica respecto del plano longitudinal.
Además, los puentes asimétricos, por lo general, dejan de poder equipararse a arcos planos ya para cargas permanentes, mientras que los simétricos puede que sólo se aparten del comportamiento plano para determinadas sobrecargas.
Las causas más habituales de asimetría en las realizaciones de puentes formado por un único arco y un solo tablero son:
• Falta de coincidencia en planta entre los arranques del arco y los estribos del tablero.
• Tablero de planta curva o arco de proyección horizontal curva
• Arco descentrado del eje del tablero.
• Arco inclinado respecto de la vertical.
• Arco girado respecto de un eje vertical.
• Arco de directriz alabeada.
• Directriz o disposición relativa arbitraria entre arco y tablero o combinación de las anteriores.
19.2.2. EL PUENTE ARCO ESPACIAL FORMADO POR UN ARCO PLANO Y UN TABLERO CURVO INFERIOR.
Para este estudio (Fig. 19.2-1) se han realizado varias series de modelos en los que se atiranta el tablero en su eje con péndolas biarticuladas desde un arco plano de directriz parabólica de 2º grado.
(a) (b) (c)
Fig. 19.2-1.- Estudio de parámetros geométricos: (a) curvatura del tablero; (b) ripado transversal del tablero curvo; (c) giro del plano del arco.
1.- La parábola de 2º grado adoptada en el estudio como directriz del arco plano se ajusta bastante bien al antifunicular de las flexiones longitudinales para las cargas permanentes, incluso con los pequeños picos producidos por la introducción de las cargas localizadas en los anclajes de las péndolas.
El criterio establecido de anclar las péndolas uniformemente según las abscisas en el arco y según el desarrollo en el tablero define una carga relativamente uniforme, al igualar en el arco el área tributaria de tablero asignada a cada péndola, e igualar en el tablero las luces de flexión.
2.- Los axiles de pretensado de las péndolas, biarticuladas, se han obtenido con la condición de anular las flechas verticales de los nudos de anclaje en el tablero para cargas permanentes. Por lo tanto, prescindiendo del efecto del peso de las péndolas, las componentes verticales de dichos axiles coinciden con las reacciones verticales que se obtendrían si el tablero descansara sobre apoyos fijos y puntuales.
401
19.2.2.1. Efecto de la curvatura del tablero.
En el primer estudio (caso (a) de la Fig. 19.2-1), y a partir del arco plano vertical, se aumenta la curvatura del tablero mientras se mantiene la posición coincidente de arranques de arco y estribos de tablero.
En este caso, el comportamiento de arco y tablero puede explicarse con tres ideas fundamentales:
• El comportamiento del arco y del tablero es desacoplado en su plano y en el plano perpendicular. Así, tanto el comportamiento del arco como el del tablero se pueden descomponer simultáneamente en el de un arco (en su plano) y en el de una viga balcón (en el perpendicular).
• Como hemos citado, con respecto a las cargas permanentes, las componentes verticales de los axiles de pretensado de las péndolas son iguales a las reacciones del tablero curvo sobre apoyos fijos (Fig. 19.2-2). Estas reacciones dependerán, a su vez, de la curvatura, variable, del tablero. El efecto del peso propio de las péndolas es muy pequeño.
• A efectos de sobrecargas (Fig. 19.2-3), la variación en la eficacia del sistema de atirantamiento del tablero curvo vinculado a un arco plano vertical con respecto a la del tablero recto vinculado al mismo arco queda controlada por la deformabilidad transversal del arco, y en menor medida, por la del tablero, pues éste trabaja según su canto y como arco en planta.
Sus consecuencias son las siguientes:
Para las cargas permanentes (Fig. 19.2-2), las componentes del axil de pretensado de las péndolas son R, vertical, y H, en el plano horizontal (descompuesta en NPX y NPY según los ejes globales X é Y, respectivamente).
Arco
αTablero
Péndola
R(gT)
NP
Arco
Tablero
R
NP R
H
R NP
H
= NP
Arista intersección de planos de arco y de péndola.
NPZ=R H=NPX·i+NPY·j
PPA
Fig. 19.2-2.- Las componentes verticales de los axiles de pretensado de las péndolas son iguales a las reacciones del tablero curvo sobre apoyos fijos. Vista por plano de péndola abatido.
En el puente arco plano clásico, las componentes R existen siempre. En el arco, vertical, provocan, junto al peso propio del arco, PPA, su comportamiento clásico a flexocompresión. En el tablero el comportamiento es de viga continua recta, solicitada por su peso propio, PPT, y las cargas permanentes CP, donde los apoyos son fijados por los axiles de las péndolas.
En el caso de puente arco espacial, al curvar el tablero, el valor de las reacciones R cambia y las péndolas se inclinan, con lo que aparecen las componentes NPX y NPY. En el arco, la componente NPX se añade a la reacción R para modificar su trabajo como arco vertical clásico. La componente NPY es la encargada de su trabajo como viga balcón biempotrada, en el que la torsión en el arco aparece por acoplamiento por curvatura.
El tablero trabaja, en el plano horizontal, como un arco de directriz circular cargado por las componentes horizontales de las péndolas, H. Su comportamiento evoluciona desde el de una viga apoyada en sus estribos, en el que la flexión transversal pura es el único mecanismo resistente, al de un arco en el que, por forma, la flexión pura se acompaña progresivamente de esfuerzo axil.
La curvatura del tablero provoca, por tanto, que aparezcan esfuerzos inexistentes para el caso de tablero recto, como son las flexiones transversales y torsiones en arco y tablero, y axiles en el tablero. Los esfuerzos propios del puente arco espacial se resumen en la Tabla 19.2-1.
A efectos de sobrecargas, el tablero se comporta como un arco en planta (en su plano) y como una viga balcón sobre apoyos ahora elásticos (en el plano vertical). En la Fig. 19.2-3 se detalla qué
402
mecanismo resistente determina cada componente de la deformación de arco y tablero. La deformabilidad transversal del arco, controlada por el trabajo como viga balcón vertical, es crucial para controlar la deformabilidad vertical del tablero (es decir, la rigidez de sus apoyos elásticos). La deformabilidad transversal del tablero es, en general, de menor importancia, pues éste trabaja como arco en planta y según su ancho (que viene determinado por condicionantes funcionales) lo que le hace más rígido.
El arco, que puede analizarse en sentido longitudinal y transversal desacopladamente, presenta los mismos máximos en riñones y la misma sensibilidad a sobrecargas asimétricas que presenta el arco plano vertical clásico.
Comportamiento: Arco Tablero
En su plano Arco clásico vertical
R+PPA+NPX flexión + axil
Arco plano horizontal NPX+ NPY
flexión transversal + axil
En el plano perpendicular
Viga balcón vertical NPY
flexión transversal + torsión acoplada
Viga balcón horizontal sobre apoyos fijos R+PPT+CP
flexión + torsión acoplada
Tabla 19.2-1.- Cargas permanentes: Esquema resistente, acciones actuantes y esfuerzos en el arco y tablero del puente arco espacial de arco plano vertical al variar la curvatura del tablero.
α'
Arco sin deformar
Arco deformado
vZT
vrT
vZA
vrA
α Tablero sin deformar
Tablero deformado
Péndola sin deformar
Péndola deformada
q
NP
NP
q
VIGA BALCÓN VERTICAL
ARCO PLANO CLÁSICO
VIGA BALCÓN HORIZONTAL (APOYOS ELÁSTICOS).
ARCO HORIZONTAL
Fig. 19.2-3.- Deformaciones de arco y tablero (y mecanismos resistentes asociados) ante una sobrecarga vertical, q.
19.2.2.2. Demanda de rigidez transversal en el arco.
Aumentar la curvatura del tablero manteniendo coincidentes arranques y estribos provoca, por lo tanto, los siguientes efectos en secciones de dimensiones válidas para arcos planos clásicos:
• Posible sensibilidad a acciones horizontales: En los casos inicialmente estudiados, se producen flechas transversales métricas (y totalmente inadmisibles) en el arco. Esta sensibilidad se acentúa, sin duda, al cargar todas las péndolas del mismo lado del arco.
• Se producen asimismo concentraciones de axiles (y picos de flexión) en las péndolas extremas, y pérdida de la alternancia del signo ante sobrecargas en semitableros, como ocurriría en tableros curvos con apoyos fijos.
• Tensiones excesivas, sobre todo en el arco.
Así, puede ocurrir que, puentes que verifican las limitaciones tenso-deformacionales si el tablero es recto, dejen de hacerlo al curvarse éste. Todos los efectos citados se moderan si se aumenta la rigidez transversal del arco.
19.2.2.3. Predimensionamiento.
Así, para el caso de variación de curvatura del tablero con estribos coincidentes con los arranques del arco, se han predimensionado las secciones del arco.
403
Para ello se ha establecido simplificadamente la doble limitación de acotar el máximo valor absoluto de la tensión normal a 150 MPa para la envolvente característica de la IAP vigente y el criterio de la RPM-95 de limitación de la flecha a L/1200 para el 50% de la sobrecarga de 4 KN/m2 en medio o en todo el tablero.
En la serie estudiada, y para las cargas introducidas, lo determinante es la limitación tensional en las secciones y no la condición de limitación de las flechas verticales.
Sin embargo, la importancia de la rigidez horizontal del arco se pone de manifiesto cuando, para tableros con mucha curvatura, la limitación de flechas más desfavorable no se establece para semitableros alternos sino para todo el tablero cargado.
La repercusión de la no linealidad geométrica en el predimensionamiento se modera a medida que crece la rigidez transversal de la sección, hasta ser muy poco relevante en los casos estudiados encajados simultáneamente por condiciones de flechas y tensiones.
Las características de las secciones transversales de los arcos que se han predimensionado en la serie recién descrita convergen con la solución proyectada para el arco de la pasarela de Gateshead (Fig. 19.2-4):
• Orientadas horizontalmente, como corresponde a que la acción determinante sea la flexión transversal.
• De gran rigidez transversal: la sección de Gateshead tiene un canto en arranques de 4.00 m.
• El ancho de la sección no es constante, sino decreciente de arranques a clave, para adecuarse a la fuerte variación de la flexión transversal según la luz.
Fig. 19.2-4.- Perspectiva de la solución predimensionada para la distribución de anchos del arco (izquierda), e imagen real de la pasarela de Gateshead (derecha).
19.2.2.4. Posición transversal relativa arco-tablero.
En el estudio realizado (caso (b) de la Fig. 19.2-1), bajo un arco plano vertical, se ripa transversalmente un tablero de curvatura constante.
Las tres ideas básicas que exponíamos en 19.2.2.1 siguen siendo totalmente válidas, pero con las siguientes consideraciones adicionales:
• A efectos de cargas permanentes, como el tablero es el mismo para toda la serie, las componentes R de las péndolas, igual a las reacciones sobre apoyos fijos, ya no dependen de la curvatura, y son constantes.
La diferencia de abscisas entre los extremos de cada péndola se mantiene también constante, por lo que, si se impone R, las proyecciones longitudinales del axil de pretensado, NPX, no varían.
Así, como R y NPX no cambian, si prescindimos del peso propio de las péndolas, la proyección de los axiles de pretensado de las péndolas sobre el plano, vertical, del arco es independiente de la posición transversal relativa arco-tablero.
Por lo tanto, la Tabla 19.2-1 sigue siendo válida, pero, con la salvedad de que son constantes el comportamiento del arco en su plano y el del tablero en el perpendicular. Así, serán constantes
404
en arco la flexión longitudinal y el axil, y en el tablero su trabajo como viga balcón, con flexión longitudinal y torsión acoplada.
• A efectos de sobrecargas, cuando el arco ocupa una posición intermedia se consigue una solución más rígida que cuando queda todo él del mismo lado del tablero. El hecho de que no todas las péndolas estén situadas del mismo lado del arco reduce los movimientos transversales de la estructura, ya que las cargas a ambos lados se compensan entre sí.
Si se tiene libertad para ripar transversalmente el arco respecto del tablero, es más eficaz definir adecuadamente la posición relativa transversal arco-tablero que aumentar la rigidez horizontal del arco para controlar la deformabilidad transversal de la estructura, mejorar la eficacia del sistema de atirantamiento del tablero y controlar los esfuerzos.
En general, existe una posición relativa transversal del tablero en la que el movimiento horizontal de un punto dado del arco, y en particular de su clave o riñones, es nulo para una carga uniformemente repartida en todo el tablero.
En los cálculos realizados se ha comprobado que en el entorno de esta posición no sólo se minimiza la flexión en el arco, sino que se maximiza la eficacia y rigidez vertical del puente a sobrecargas repartidas simétricas.
YT
0.125·L 0.125·L0.250·L 0.250·L 0.250·L
L
Mi
bi
Σbi
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8x 105
Y T
HIPE
HIP0
ii
i M·b∑
Fig. 19.2-5.- Ejemplo de obtención de la posición relativa transversal arco-tablero, definida por YT, que minimiza la flexión transversal M2 en el arco para sobrecargas uniformes (criterio de mínima área encerrada por la ley de flectores).
El inconveniente es, que si la necesidad de ripado es muy alta, es necesario separar las cimentaciones de arco y tablero, y renunciar al trabajo del tablero como posible tirante del arco en un puente de tablero inferior. Este problema no existe en los puentes de tablero superior.
En lo que a sobrecargas asimétricas se refiere, las configuraciones estudiadas presentan, sin embargo, la misma sensibilidad que los puentes arco planos clásicos.
19.2.2.5. Contraflecha de ejecución y no linealidad geométrica.
El carácter espacial del puente arco puede ser una causa independiente de sensibilidad a la no linealidad geométrica, al margen de la configuración del arco en el plano vertical.
Los puentes espaciales con arranques y estribos coincidentes demandan secciones de mayor rigidez transversal a medida que aumenta la curvatura del tablero, que es tanto como decir las acciones horizontales fuera del plano. La necesidad de rigidez transversal va pareja con la sensibilidad de la estructura a la no linealidad geométrica.
Es de destacar el escaso efecto que la contraflecha de ejecución tiene en los casos estudiados, ya predimensionados. Como en el caso de la no linealidad geométrica, la limitación tensional en el arco controla su influencia al limitar las deformaciones transversales. Además, cuando se consideran simultáneamente la contraflecha de ejecución y la no linealidad geométrica en estructuras predimensionadas, el comportamiento transversal es bastante similar al obtenido en análisis elástico lineal, pues el equilibrio de la estructura se establece en la geometría deformada, y ésta coincide con la geometría
405
sin deformar empleada en el análisis lineal.
Así, si en el arco plano vertical la sensibilidad a la no linealidad geométrica se controla con el rebajamiento, en el puente arco espacial con arranques y estribos coincidentes se controla con la rigidez transversal del arco.
Cuando se puede ripar el arco, al margen de actuar sobre su rigidez transversal, la sensibilidad a la no linealidad geométrica se controla, fundamentalmente, con la posición transversal relativa arco-tablero.
19.2.2.6. Efecto del giro del plano del arco.
Se ha estudiado (caso (c) de la Fig. 19.2-1) el efecto de girar el plano del arco un ángulo ω en un puente arco espacial de tablero recto atirantado al eje.
Como en los estudios anteriores, las componentes verticales R de los axiles de pretensado de las péndolas son iguales a las reacciones del tablero sobre apoyos fijos y han de incluir la mitad del peso de las péndolas. En este caso, son independientes de ω.
Análogamente, el comportamiento del arco (y del tablero) está desacoplado en su plano y en el plano perpendicular.
A efectos de cargas permanentes, dicho giro ω provoca la aparición de esfuerzos que no existen en el arco plano vertical:
• Si se mantienen las componentes verticales de las péndolas, R, aparecen (Fig. 19.2-6) componentes horizontales, H, que producen flexión transversal en el tablero. (Además, NPX=0 en todos los casos.)
• Al crecer los axiles en las péndolas, NP, aumentan los esfuerzos transmitidos al arco en su plano.
• Aparecen esfuerzos en el plano perpendicular al del arco debido al peso propio del arco y de las péndolas, con lo que, con el giro del arco éste trabaja como viga balcón.
Arco
Tablero
Péndola
R
NP
R
NP+ PPA·cos(ω)
R NP
H
= ω
PPA ω
PPA·sen(ω)
ω NP =R/cos(ω) H=R ·tg(ω)
NP
NPZ=R NPY=H NPX=0
Fig. 19.2-6.- Esfuerzos en péndolas para cargas permanentes en función del giro ω del plano del arco (no se han representado las acciones del peso propio de las péndolas sobre el arco).
Comportamiento: Arco Tablero
En su plano
Arco clásico
)cos()cos(
2PP
A ωR
ωPLρ+⋅
⋅+ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
flexión + axil
Viga horizontal (según su canto) )(tg ωR ⋅
flexión transversal
En el plano perpendicular
Viga balcón
)(sen2
PPA
ωPLρ⋅
⋅+ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
flexión transversal + torsión acoplada
Viga continua sobre apoyos fijos R+PPT+CP
flexión
Tabla 19.2-2.- Cargas permanentes: Esquema resistente, acciones actuantes y esfuerzos en el arco y tablero del puente arco espacial de arco plano vertical al variar el giro del plano del arco.
406
A efectos de sobrecargas, las acciones actuantes en el plano del arco crecen con el ángulo de giro, y resulta necesario aumentar el área de las péndolas si se desea mantener la aportación de éstas a la rigidez del sistema de atirantamiento. Otro tanto ocurre con la rigidez en su plano del arco.
El giro del arco provoca habitualmente un problema de interferencia con el gálibo del tablero inferior, por lo que generalmente ha de ser movido de su posición central a un borde. Posiciones intermedias del arco obligan a sobreanchos en la sección transversal. El comportamiento del tablero apoyado en un borde se describe posteriormente.
19.2.3. TIPOLOGÍA DE SECCIONES TRANSVERSALES ATIRANTADAS O SUSPENDIDAS DESDE UN BORDE.
Una vez estudiada la necesidad del anclaje al borde, por interferencia con los gálibos del tablero, se propone una sencilla metodología geométrica de determinación de los sobreanchos necesarios en tableros curvos, que puede resultar de utilidad a la hora de implementar algoritmos automáticos.
El puente curvo apoyado en un borde es estable con una sola fila de apoyos articulados. Si el puente se apoya en su borde interior, se producen tracciones en la cara superior y compresiones en la inferior, tensiones que se invierten al apoyar en el borde exterior.
La decisión resistente de más trascendencia en las secciones transversales de los puentes curvos suspendidos del borde es la forma de resistir las cargas permanentes, que puede ser, fundamentalmente de tres maneras (véase la Fig. 19.2-7), si bien su rigidez queda acotada inferiormente por la que se necesita para hacer frente a las sobrecargas:
• La más frecuente, que es dando rigidez a torsión a la sección transversal, véase Fig. 19.2-7 (a), como, por ejemplo, en las rampas de la pasarela de las Glorias Catalanas (1977) o en la pasarela del Malecón (1996).
• Con pretensado interior horizontal con excentricidad vertical para compensar la torsión. Este pretensado está cercano a la fibra superior o inferior de la sección según se suspenda ésta del borde interior o exterior de la curva, respectivamente. La primera realización que nos consta es la pasarela de Kelheim de J. Schlaich (1987). Una evolución posterior de esta solución es simplificar la sección en anillos superpuestos, comprimidos y traccionados, como en la pasarela del Deutsche Museum de Munich, similar a la de la Fig. 19.2-7 (b).
• Suspendiendo la sección desde elementos rígidos laterales añadidos a la sección, como en la pasarela de Sassnitz, también de J. Schlaich, como la mostrada en la Fig. 19.2-7 (c).
(a) (b) (c)
NPZ
NPH
NPα
G
PH NPNP
Fig. 19.2-7.- Ejemplos de tipologías de suspensión: (a) con alta rigidez torsional; (b) con pretensado y baja rigidez torsional; (c) con suspensión desde elementos añadidos a la sección.
19.2.3.1. La sección transversal del tablero atirantado al borde en el puente arco espacial.
Algunos autores, como Strasky, desaconsejan, en puentes atirantados y colgantes, atirantar al lado exterior del tablero curvo porque presenta las siguientes desventajas:
• Lo elevado de los momentos transversales causados por la excentricidad en planta de las componentes horizontales de las péndolas, aunque las verticales ayuden a contener el torsor.
• Porque resulta más complicado encontrar una disposición de pretensado que ayude a compensar los efectos de las cargas permanentes.
Esto no es cierto en el caso de puentes arco, en el que un borde de atirantamiento del tablero no es a priori tan perjudicial en relación con el otro, por las siguientes razones:
407
• Existen ejemplos, (como la pasarela sobre el río Reedy), atirantadas al borde exterior, con una disposición de pretensado tan sencilla como las atirantadas al interior.
• El atirantamiento al borde exterior comprime la cara superior, con lo que la alternativa mixta con losa superior de hormigón cobra interés para el tablero.
• Las cargas horizontales que actúan sobre el tablero no son concurrentes en un punto (la cabeza del mástil de anclaje) como en el caso de los puentes atirantados, sino que se anclan en el arco, con lo que tales cargas son relativamente paralelas entre sí.
• Pero sobre todo, para controlar esfuerzos y deformabilidad, si el arco no es muy rígido, la posición que ocupa el arco con respecto al tablero debe ser intermedia, con lo que las cargas horizontales cambian de signo.
19.2.3.2. Rigidez en el puente arco de la sección transversal del tablero.
En el puente arco, las rigideces relativas de arco y tablero determinan el comportamiento de cada uno de ellos ante el conjunto de las solicitaciones. Los casos límite serían el tablero articulado en las uniones con los montantes del arco, donde la rigidez la aporta el arco, y el arco laminar con tablero de rigidez, donde la rigidez la aporta el tablero.
Así, el hecho de que se puedan emplear, en puentes atirantados, secciones muy depuradas, ligeras y reducidas al mínimo número de elementos resistentes, es una consecuencia de que estén vinculadas a elementos muy rígidos, como son las coronaciones de las pilas de atirantamiento, afianzadas por sus cables de contrarresto, y donde las sobrecargas no son excesivas
Estas secciones tan estrictas tienen su ámbito de aplicación en los puentes arco, pero demandarán un arco más rígido. Para no penalizar el comportamiento conjunto arco-tablero, el empleo de arcos más ligeros exige dotar de cierta rigidez a la sección del tablero.
19.2.4. EL MÉTODO DE LOS NUDOS DESPLAZADOS.
Se propone un método que hemos denominado método de los nudos desplazados, que permite determinar, de modo directo, la distribución de reacciones en un tablero de planta arbitraria en el que se ripan los apoyos perpendicularmente a la directriz.
El método parte de los resultados de un modelo auxiliar (Fig. 19.2-10) del tablero en el que no se modelizan los apoyos desplazados y las barras que los refieren a la directriz, sino que se sustituyen por dos acciones puntuales cada uno. El método construye un sistema de ecuaciones aplicando el principio de superposición, en las que las incógnitas son los valores de las reacciones.
La formulación propuesta considera la deformabilidad equivalente de los diafragmas de apoyos y la posibilidad de disponer apoyos elásticos. En los cálculos realizados el método ha presentado la suficiente precisión como para tomar decisiones tipológicas basadas en él.
El método no supone ninguna ventaja a la hora de analizar una sola geometría, porque este caso se resuelve con un sencillo emparrillado. La ventaja estriba en que una vez realizado el modelo auxiliar de tablero, el método propuesto permite realizar estudios paramétricos de modo muy cómodo, ya que el algoritmo es fácilmente programable.
Pero, sobre todo, el método pone de manifiesto muy claramente todos los mecanismos resistentes que se movilizan al desplazar los apoyos, así como su importancia relativa, en una compacta notación matricial, de fácil implementación en un ordenador personal.
Una de las posibilidades posiblemente más fecundas del método de los nudos desplazados es también la posibilidad de establecer iterativamente distribuciones de distancias de desplazamiento con el objeto de alterar deliberadamente las leyes de esfuerzos de la estructura.
En este caso, para aplicar el método es necesario modelizar al menos una directriz. Pero ésta se mantiene constante, porque viene dada por el trazado y es dato. Por lo tanto, la incógnita es la distribución de desplazamientos en los apoyos, que son precisamente los datos del algoritmo y muy rápidos de iterar.
En cualquier caso, debido a las inevitables imprecisiones numéricas, nos permitimos recomendar que siempre se debe modelizar la solución elegida para la distribución de distancias de desplazamiento.
408
Como se ha visto, desplazar los apoyos introduce flectores y torsores que no existían previamente en un tablero recto e igual ocurre en un tablero curvo, donde además se produce el acoplamiento entre ambos. La posibilidad de desplazar los apoyos radialmente debería considerarse, pues, en los puentes curvos con el objeto de variar deliberadamente los esfuerzos en el dintel. Esta variación debería, por supuesto, para un proyecto concreto, considerar factores tales como la compatibilidad con los condicionantes de la subestructura del puente, los efectos diferidos en puentes mixtos y de hormigón, o las redistribuciones flexión-torsión por efecto de la fisuración.
r1
m1
C1
B
A
rj-1
mj-1
Cj-1rj
mj
Cj rj+1
mj+1
Cj+1 rn
mn
Cn
RD1
RDj-1
RDj
RDj+1
RDn
(a) (b)
Pext Pext
C1
Cj-1
Cj
Cj+1
Cn
D1
Dj-1
Dj+1
Dn
Fig. 19.2-8.- (a) Modelo real; (b) Modelo auxiliar con los esfuerzos ri y mi a introducir en los nudos desplazados del modelo auxiliar para la aplicación del método. Este segundo modelo, forzosamente, ha de ser estable, lo que normalmente se verifica, pues los estribos suelen estar empotrados a torsión.
En resumen, el método resuelve un sistema de ecuaciones de orden n que obtiene los coeficientes αj donde RDj= αj·rj.
Para cada nudo i se resuelve la ecuación:
01
=+⋅∑=
)(PvαV extDj
n
jij i
donde
)(Pθb) (Pv)(Pv extiCiLextCextiD i⋅+=
en el modelo auxiliar, y cada elemento de la matriz de coeficientes
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+++⋅
≠⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+⋅
==
jiK·EI
bKb
Kr
jiK
bbK
r
)(r vV
iPCD
iL
,mθ
iL
,rvi
,mθ
LjL
,rvj
jDiij
iiiii
ji
i
ji
13
1
1
32
donde aparecen la rigidez a flexión del tablero, su rigidez a torsión, la deformabilidad equivalente a flexión de los diafragmas de apoyos y la rigidez de los apoyos elásticos.
Asimismo se ha desarrollado una formulación totalmente general para tableros curvos.
19.2.5. TABLERO RECTO CON APOYOS DESPLAZADOS LATERALMENTE.
El puente recto, al desplazar lateralmente los apoyos, puede ahora flectar y descender con toda la luz del tablero. El único mecanismo que se opone a este descenso es la coacción que suponen los apoyos, ahora desplazados, y cuya eficacia depende, como se ha visto en el método de los nudos desplazados, de la rigidez a torsión del tablero y de la deformabilidad de los diafragmas y de la rigidez de los apoyos elásticos.
Entonces, para el caso frecuente de apoyos fijos y diafragmas indeformables, el comportamiento del tablero depende de su rigidez a flexión (que controla el descenso de la directriz), y de la rigidez a torsión y la distancia de desplazamiento de los apoyos (que controla la rigidez de los apoyos que se
409
oponen a dicho descenso). Para ello, es imprescindible el empotramiento a torsión del puente en los estribos.
1.- Cuando se da desplazamiento lateral a los apoyos, las reacciones en los apoyos desplazados bajan y se produce una transferencia de reacciones hacia los estribos. Las reacciones en los apoyos intermedios no compensan la flexión ni las flechas, que crecen según lo hace el desplazamiento de los apoyos.
En el puente de alta rigidez torsional, ésta coacciona mucho más eficazmente su descenso, y la eficacia de los apoyos desplazados se acerca a la de los apoyos fijos en la zona central del tablero.
2.- Al mismo tiempo, el hecho de que las reacciones actúen con excentricidad lateral bL introduce en el tablero un esfuerzo torsor en cada sección de apoyos de valor RD·bL, donde RD es la reacción en cada nudo desplazado intermedio, lo que provoca una ley discontinua de torsores creciente hacia los estribos.
3.- Aumentar la rigidez del tablero disminuye las flechas, pero los mecanismos resistentes que se movilizan están asociados a las rigideces que se aumentan. Así, si se aumenta la rigidez a flexión crece la flexión longitudinal y diminuye tanto la torsión como las reacciones en los apoyos intermedios. El efecto sobre los esfuerzos es el contrario si se aumenta la rigidez a torsión.
4.- Así pues, el puente recto apoyado en el borde exige secciones muy rígidas para controlar los esfuerzos y las deformaciones. Si se desea disponer apoyos intermedios es más eficaz dar al puente rigidez a torsión que a flexión, ya que aumentan las reacciones en dichos apoyos. Aumentar en exceso la rigidez a flexión frente a la de torsión puede llegar a volver superfluo el sistema de atirantamiento intermedio.
5.- En todo el proceso de análisis de estos tableros se ha supuesto que el centro de gravedad coincide en planta con el centro de esfuerzos cortantes, y que las secciones de estudio son simétricas. Como las flechas y esfuerzos crecen con la distancia del centro de esfuerzos cortantes al punto de apoyo (o de anclaje), interesa que estas secciones sean asimétricas, con dichos puntos más cerca del apoyo.
7.- Parece pues que la rigidez elevada a torsión en los puentes rectos atirantados al borde es imprescindible para garantizar su correcto comportamiento estructural. A la luz de los resultados, parece que las secciones más adecuadas serán:
• Secciones grandes (con mucha área encerrada, que da inercia a torsión).
• Forzosamente empotrados a torsión en los estribos.
• Asimétricas (que disminuyen el efecto del desplazamiento lateral de los apoyos).
• Con la rigidez a flexión muy controlada para no excitar excesivamente el mecanismo resistente de flexión y no volver ineficaz el sistema de atirantamiento de los apoyos intermedios.
Que tienen los siguientes efectos:
• Las flechas quedan controladas por la coacción de los apoyos desplazados.
• Vuelve muy eficaz el sistema de atirantamiento, al aumentar el valor de las reacciones en los apoyos intermedios que no se transfieren por flexión a los estribos.
• Disminuye la flexión general del tablero.
8.- En nuestra opinión, no deben proyectarse tableros rectos de baja rigidez torsional con secciones apoyadas en un borde, ya que aumentan los esfuerzos y las flechas, se sobredimensionan las secciones y no se obtiene ninguna ventaja estructural. Además, no existe el problema de la limitación del gálibo por curvatura en planta, y en estos casos debe atirantarse al centro, o en ambos bordes simultáneamente.
410
19.2.6. TABLERO CURVO CON APOYOS DESPLAZADOS RADIALMENTE.
1.- Aumentar la curvatura del tablero con apoyos desplazados mejora sensiblemente su comportamiento, tanto en esfuerzos como en deformaciones.
2.- El empotramiento a torsión de los estribos no es imprescindible por estabilidad, pero sí por la enorme influencia beneficiosa que tiene en esfuerzos y deformaciones.
100 m
gT
Barras rígidas
Tablero
bL Apoyos articulados(exteriores)
Estribos articulados a flexión y empotrados a torsión
Fig. 19.2-9.- Planta tipo de tablero curvo con apoyos desplazados radialmente (hacia el exterior), correspondiente a uno de los modelos de tablero estudiados.
3.- Por el contrario, aumentar el desplazamiento lateral de los apoyos provoca en general incrementos de esfuerzos y de flechas.
4.- Los apoyos desplazados se comportan, pese a estar articulados, como empotramientos elásticos a torsión debido a la excentricidad respecto de la directriz.
5.- De modo general, disponer los apoyos en el lado exterior de la curva es más eficaz que disponerlos en el lado interior. Disminuyen los esfuerzos y las flechas, y además su comportamiento es menos sensible al desplazamiento lateral de los apoyos, lo que permite absorber posibles incertidumbres de cálculo o errores de ejecución con más facilidad.
6.- En los puentes curvos sobre apoyos centrados se produce alternancia de signos de la flexión al cargar el semitablero exterior o interior. En los puentes con apoyos desplazados y con cargas centradas en la plataforma, se produce también dicha alternancia de signos según apoyemos en el exterior o en el interior de la curva, pues los excéntricos ahora son los apoyos. Es decir, lo importante es la posición relativa de las cargas con respecto a los apoyos.
Los apoyos exteriores siempre producen flexión positiva, lo que favorece el empleo de secciones mixtas al trabajar la losa superior de hormigón en compresión.
Esto ocurre a partir de una cierta rigidez a torsión en el tablero. Además, se necesita cierta curvatura en planta, porque el puente tiende para valores bajos de la curvatura a comportarse más como un puente que flecta entre los estribos, en lugar de bascular en torno de la cuerda que los une.
7.- Una posibilidad que merece la pena estudiar más detenidamente es la posibilidad de plantear puentes de tableros curvos con algunos apoyos descentrados deliberadamente para introducir modificaciones en las leyes de esfuerzos.
8.- La curvatura del tablero y la adecuada posición de los apoyos funcionan como un mecanismo muy eficaz de control de los esfuerzos que se producen por el desplazamiento de los apoyos. El tablero curvo, pues, demanda menos rigidez que el tablero recto.
9.- La conclusión general, pues, es que si se ha de atirantar al borde un tablero de rigidez torsional baja o moderada, la configuración estructural más adecuada es proyectar el tablero con mucha curvatura y atirantado en el borde exterior.
411
Por el contrario, en el tablero de alta rigidez torsional, aunque siga siendo más favorable apoyar en el borde exterior, el borde de apoyo es menos importante, y se necesita menos curvatura para un funcionamiento correcto.
19.2.6.1. Posición relativa apoyos-centro de gravedad del tablero.
Todas las cargas actuantes sobre la plataforma pueden descomponerse en su resultante vertical actuando en el centro de gravedad del tablero1 y en un torsor asociado.
El signo de las flexiones producidas por las resultantes verticales depende de la posición relativa entre éstas y los apoyos.
Por otra parte, el signo de las flexiones debidas a los torsores asociados depende de la orientación del dicho torsor con respecto a la curvatura. La posición de los apoyos modifica ligeramente su valor, pero no su signo. Las flexiones serán positivas si se corresponden con los torsores asociados a una sobrecarga vertical en el semitablero interior, y viceversa.
1.- Para el peso propio, por lo tanto, acercar el centro del tablero a los apoyos (o los anclajes al borde) es muy eficaz para cargas centradas en la directriz, pues el valor de la flexión depende de la distancia entre la directriz y la línea de apoyos, y su signo de su posición relativa. Dado que es la única carga que, por definición, no da momento respecto a un centro de esfuerzos cortantes coincidente con el de gravedad, acercar el apoyo es especialmente útil en secciones de elevado peso propio, como de hormigón o mixtas.
2.- Para la carga permanente, centrada en la plataforma pero no en la directriz, aparece una torsión descompensada. En el caso de anclaje al borde, cuando la distancia entre éste y el centro de gravedad es menor que el semiancho de la plataforma, la torsión descompensada provoca una flexión que se añade a la producida por la resultante vertical, tanto para apoyos exteriores como interiores. Cuando dicha distancia es mayor, la flexión debida a la torsión cambia de signo y se opone a la producida por la resultante vertical, si bien ésta crece mucho.
3.- Cuando se consideran las sobrecargas excéntricas, en nuestros cálculos sigue siendo más adecuado acercar los anclajes en tableros con apoyos exteriores y en puentes rectos. En nuestros cálculos, y con apoyos interiores, las flexiones crecen, pues el momento de apalancamiento en estribos es elevado y se opone a la flexión negativa general del tablero. Otras disposiciones geométricas o tipológicas de apoyos en estribos de tableros apoyados al interior probablemente minimice este efecto.
4.- Así, parece que, en general, es eficaz acercar el centro de gravedad al apoyo o anclajes, si bien no tan dramáticamente como cuando sólo se consideran acciones centradas en la directriz. Para ambas posiciones de los apoyos, pero particularmente para las secciones apoyadas en su borde interior, este acercamiento será especialmente beneficioso con secciones de elevado peso propio.
19.2.7. LAS PÉNDOLAS DE LOS PUENTES ARCO ESPACIALES.
Para el rango de valores habitual en el presente trabajo (longitudes y tensiones de trabajo), no se justifica la complicación que supone considerar la variación del módulo de elasticidad equivalente (en general, el comportamiento no lineal de las péndolas) para la poca trascendencia que pudiera tener en la respuesta resistente de las estructuras analizadas.
Una distribución de áreas de péndolas uniforme, o que sobredimensione las péndolas centrales, genera asimismo una distribución de rigideces más equilibrada y uniforme del sistema de atirantamiento, que es una forma de mitigar las posibles concentraciones de esfuerzos que surgen en las zonas de arranques de arco en los casos de que la rigidez transversal del arco sea muy ajustada y las péndolas se dimensionan estrictamente.
Al mismo tiempo, la puesta en carga de las péndolas ancladas en un solo borde de la sección, exige, de modo general, disponer contraflecha de torsión en el tablero.
1 Supuesto coincidente con el centro de esfuerzos cortantes.
412
Dado que es este tipo de estructuras puede ser más relevante la contribución de las péndolas al sistema de atirantamiento que su resistencia, cobra interés la posibilidad de emplear barras pretensadas, de menor tensión de rotura que los cables empleados, con carácter general, en este trabajo.
19.2.8. PUENTE ARCO ESPACIAL DE PLANTA CURVA IMPUESTA.
En los puentes arco de tablero inferior atirantado al centro, el arco adquiere carácter espacial cuando el eje del tablero se curva (Fig. 19.2-10). Por razones de mantenimiento del gálibo horizontal, las péndolas han de seguir siendo verticales y la proyección horizontal del arco ha de acompañar a la del tablero. Es entonces cuando hablamos de que el eje del tablero, una vez vista la necesidad de su curvatura en planta por razones geométricas o de trazado, impone al arco la proyección horizontal de su directriz.
(a) (b) (c)
Fig. 19.2-10.- Puentes espaciales de planta curva impuesta: (a) con doble arco curvo y celosía intermedia; (b) tipo Galindo; (c) con péndolas rígidas.
1.- En el puente arco espacial los arranques del arco y los estribos del tablero coinciden, con lo que pueden compartir la cimentación. En esto se diferencian de otros tipos espaciales en los que las necesidades de no interferencia relativa obligan a cimentarlos por separado.
2.- Por lo tanto, es posible el funcionamiento del tablero como tirante traccionado del arco superior, en una variante, de planta curva, del tipo bow-string. Los bajos valores de las fuerzas de desvío horizontales inducidas en el tablero provocan bajos valores de flexión transversal en un tablero que flecta según su ancho.
3.- En el arco espacial de planta curva no sólo es imposible inscribir una geometría antifunicular, sino que aparecen fuerzas de desvío horizontales mayores según aumenta la curvatura. Las soluciones tipológicas deben ir encaminadas a compensar dichas fuerzas, ya que las péndolas, forzosamente verticales, no tienen posibilidad de hacerlo.
4.- Al margen de aumentar la rigidez transversal del arco, la solución más eficaz parece ser el atirantamiento de contrarresto anclado en el borde interior (solución tipo Galindo). La ventaja fundamental de esta solución es que es activa, y puede emplearse para compensar parcialmente flexiones transversales producto de las sobrecargas. Para valores altos de la curvatura, tiende a comportarse como un puente con apoyos interiores para las cargas permanentes.
5.- Una solución muy eficaz también es rigidizar las péndolas, si bien es una solución pasiva, y obliga a mayores sobreanchos en el eje del tablero. Puede ser utilizada en combinación con la anterior para aumentar la rigidez transversal del sistema.
413
6.- Ambas soluciones movilizan la rigidez torsional del tablero. Además, la solución tipo Galindo, al vincular arco y tablero mediante péndolas inclinadas, hace uso de la rigidez transversal del tablero (muy alta según el canto) mientras que no ocurre con soluciones sólo con péndolas verticales.
7.- Dadas las rigideces habituales y los valores de las curvaturas en planta y alzado de los arcos empleados, soluciones basadas en el pretensado interior longitudinal del arco son ineficaces. Como contrapartida, permiten el trabajo como tirante del tablero sin aumento significativo de su flexión transversal e, incluso, los tirantes son inscriptibles en la planta del tablero para valores moderados de la curvatura.
19.2.9. METODOLOGÍA DE OBTENCIÓN DE LA DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR.
Se ha definido un método iterativo para obtener directrices espaciales antifuniculares de arcos. Para ello se ha desarrollado un potente algoritmo que forma parte de los módulos disponibles en SABRINA. Las formas de los arcos obtenidos resultan de gran eficiencia estructural, al margen de su posible interés formal. Es además útil para otros tipos de estructuras con esfuerzos axiles importantes.
El método puede resumirse de la siguiente manera:
a) Se parte de una estructura espacial inicial. Generalmente (pero no necesariamente) esta estructura está formada por un arco plano vertical y un tablero inferior curvo. El arco y el tablero están unidos por una serie de péndolas articuladas. Debido al carácter espacial de la estructura los arranques del arco pueden no coincidir con los estribos del tablero.
b) En dicha estructura se introducen las cargas de cálculo habituales (peso propio, cargas permanentes, sobrecargas, etc.) Además se introducen dos grupos de acciones adicionales: una serie de incrementos térmicos en las péndolas y una serie de movimientos y giros en los arranques del arco. Las temperaturas simulan el tesado de las péndolas. Los movimientos y giros simulan el efecto de gatos hidráulicos actuando sobre los arranques del arco. Estas acciones se introducen para anular simultáneamente las flechas verticales del tablero para la hipótesis de cargas permanentes y para anular también las flexiones en algunas secciones del arco cuando actúa la hipótesis para la que se desea obtener la geometría antifunicular2, que suele ser la correspondiente a la actuación simultánea de las cargas permanentes más la mitad de las sobrecargas repartidas3.
c) Anular una flexión dada impone un punto de paso del antifunicular, por lo que conviene anular las dos flexiones posibles en arranques del arco y la de eje horizontal en clave. Es decir, se antifuniculariza un arco biarticulado en planta y triarticulado en alzado. Así se impone que la nueva directriz pase por los arranques del arco y que la clave del arco mantenga su cota vertical. Para conseguir esto se resuelve un sistema de ecuaciones, que, en general, será no lineal.
d) Para la siguiente iteración la geometría se corrige en función del método elegido. Se han desarrollado dos métodos:
1.- El método de las reacciones globales, donde se supone que el incremento de flexión en un punto del arco depende de la variación de excentricidad respecto del nudo de arranques en el que actúan las reacciones.
2.- El método de las excentricidades locales, haciendo pasar la nueva directriz en cada punto del arco por la posición en ese punto de la resultante del esfuerzo axil.
En resumen, la formulación acoplada de las reacciones globales es:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++−+
,ext
,ext
XYYXXZZX
XYYXXZZX
-M M
ZY
· nR· nR· n-R· nR· nR· nR· n-R· nR
2
3
2222
3333
∆∆
2Como todos los datos son definibles, el método permite imponer condiciones a la estructura, en forma de
distribuciones arbitrarias de flechas o esfuerzos, o para acciones diferentes, y no sólo las citadas. 3 Esta es la hipótesis de antifunicularidad para arcos metálicos, considerados en este trabajo y en el que se
han construido la inmensa mayoría de las realizaciones estudiadas. Para arcos de hormigón armado, sólo se considerarían, en principio, las acciones permanentes.
414
y la formulación desacoplada
·nR·n-RM
ΖXYYX
,ext
33
3
+=∆
·nR·nR-M
YXZZX
,ext
22
2
−=∆
La formulación desacoplada del método de las excentricidades locales es:
Zext
,ext
nNM
Z2
3 1∆ ⋅−=
Yext
,ext
nNM
Y3
2 1∆ ⋅−=
Donde R es la reacción, n2 y n3 los versores de los ejes locales de la barra, Next es el axil concomitante con la flexión y M2,ext y M3,ext son los flectores que se pretenden anular, medidos en el extremo dorsal de la barra. Las expresiones conservan entre iteraciones las posiciones de los nudos con flexiones anuladas.
e) El proceso se repite hasta la convergencia de la geometría.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 19.2-11.- Ejemplo de aplicación de metodología de determinación de directriz espacial antifunicular: (a) geometría inicial, con arco plano vertical; (b) geometría antifunicular espacial; (c) leyes de flexiones longitudinales, a la misma escala en arco y en tablero; (d) íd. para flexión transversal. En este ejemplo, en particular, se ha considerado la no linealidad geométrica. Además, se ha impuesto que la directriz antifunicular mantenga la posición de los arranques y la cota de clave de la geometría inicial. Durante el proceso se obtienen además el área de las péndolas, sus axiles de pretensado y la contraflecha de ejecución del tablero.
415
Se han desarrollado formulaciones acopladas para los métodos de iteración de la geometría que permiten obtener directrices antifuniculares de una de las direcciones de flexión y simultáneamente imponer condiciones geométricas adicionales, como por ejemplo, que la directriz quede contenida en un plano.
Módulos adicionales proporcionan, en sus resultados intermedios, si se desea, el dimensionamiento del área de sus péndolas, así como la contraflecha de ejecución de un conjunto arbitrario de nudos en los grados de libertad para las acciones que se deseen.
19.2.10. PUENTE ARCO ESPACIAL FORMADO POR UN ARCO ESPACIAL ANTIFUNICULAR Y UN TABLERO CURVO.
19.2.10.1. Influencia de la curvatura del tablero inferior.
El arco plano vertical de directriz parabólica vinculado a un tablero curvo inferior es ahora la geometría inicial del proceso iterativo de determinación de la directriz antifunicular.
1.- Si todo el tablero queda del mismo lado respecto de la cuerda que une sus estribos, y éstos coinciden con los arranques del arco, todo el arco antifunicular debe quedar del lado contrario a esta cuerda.
2.- En principio no se pueden mantener las mismas secciones empleadas para el arco plano clásico: cuando aumenta la curvatura del tablero, aunque las tensiones pueden quedar acotadas en valores razonables, la sección es demasiado sensible a las deformaciones. Este fenómeno se acentúa por disponer todo el arco del mismo lado, que queda exageradamente tendido.
3.- La consideración de la no linealidad exige secciones aún más pesadas para la convergencia del proceso. Produce antifuniculares menos tendidos por la deformabilidad horizontal del tablero.
(b)
(a)
Fig. 19.2-12.- Ejemplos de geometrías iniciales y antifuniculares de arcos: (a) gT=-2 (b) gT=-5.
4.- Como en el caso del arco plano, si no se pretende penalizar excesivamente la sección transversal del arco, no se pueden hacer coincidir los arranques del arco con los estribos del tablero.
416
19.2.10.2. Posición transversal relativa arco-tablero.
(a)
(b)
Fig. 19.2-13.- Ejemplos de geometrías iniciales y antifuniculares de arcos: (a) YT=6.00 (b) YT=7.35.
Las conclusiones obtenidas son prácticamente idénticas que para el arco plano:
1.- Si ripamos el arco transversalmente, para cargas permanentes, las acciones que tienen su origen en las componentes verticales de los axiles de las péndolas se mantienen inalteradas, independientemente de su posición relativa con respecto al arco. En el tablero, permanecen constantes la flexión longitudinal en el tablero y su torsión. En el arco cambian, sin embargo, al hacerlo la geometría, antifunicular, de su directriz para cada posición.
Caso YT=8.5
Geometría inicial Geometría antifunicular
Alzados laterales de directrices antifuniculares.
YT=5
YT=8.5
YT=7.35
Caso YT=5
Geometría inicial Geometría antifunicular
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-10
-5
0
5
10
15
HIPAF: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. Planta de directriz (YT).
X [m]
Y [m
]
YT=8.5: ARCO
YT=5: ARCO
YT=8.5: TABLERO
YT=5: TABLERO
YT=7.35: ARCO
YT=7.35: TABLERO
Fig. 19.2-14.- Perspectivas de geometrías iniciales y finales, alzados laterales y plantas de directrices antifuniculares en función de la posición transversal del arco. Nótese que, para el caso YT =7.35 la planta de la directriz antifunicular del arco presenta curva y contracurva.
417
2.- Como en el arco plano, si se tiene libertad para ripar transversalmente el arco respecto del tablero, es más eficaz definir adecuadamente la posición relativa transversal arco-tablero que aumentar la rigidez horizontal del arco para controlar la deformabilidad transversal de la estructura, mejorar la eficacia del sistema de atirantamiento del tablero y controlar los esfuerzos.
En los cálculos realizados, empleando secciones anulares en el arco, se ha comprobado que en el entorno de esta posición no sólo se minimiza el módulo de la flexión en el arco, sino que se maximiza la eficacia y rigidez vertical del puente a sobrecargas repartidas simétricas.
3.- En lo que a sobrecargas asimétricas se refiere, las configuraciones estudiadas presentan, sin embargo, la misma sensibilidad que los puentes arco planos clásicos.
4.- El inconveniente es, que si la necesidad de ripado es muy alta, es necesario separar las cimentaciones de arco y tablero, y renunciar al trabajo del tablero como posible tirante del arco en un puente de tablero inferior. Este problema no existe en los puentes de tablero superior.
19.2.10.3. Comparación de arco de directriz plana y de directriz antifunicular.
1.- La directriz antifunicular supone, con respecto a la directriz plana, una gran reducción de la flexión transversal en el arco, tanto para hipótesis simétricas como asimétricas.
2.- Con respecto a la flexión longitudinal en el arco, la directriz antifunicular la reduce lógicamente muchísimo sólo para sobrecargas simétricas. Sin embargo, no supone prácticamente ninguna mejora frente a las sobrecargas en semitableros alternos.
3.- La directriz antifunicular produce, en general, un descenso del estado tensional del arco.
19.2.10.4. Puente formado por un arco espacial antifunicular y un tablero curvo superior.
1.- Las diferencias con el de tablero inferior son fundamentalmente:
• La vinculación del arco inferior con el tablero superior ha de realizarse con montantes trabajando a compresión, que generalmente no están articulados, por lo menos en ambos extremos simultáneamente.
• No existe posible interferencia de las péndolas con los gálibos del tablero. Desaparece la necesidad de sobreancho y el tablero puede apoyarse en puntos situados directamente bajo la plataforma, incluyendo su eje.
2.- El método iterativo desarrollado en esta tesis para la obtención de directrices antifuniculares es perfectamente aplicable en el arco inferior si los montantes están articulados en su base.
3.- Si los montantes están empotrados en su base, los mejores resultados se consiguen obteniendo primero la directriz antifunicular para los montantes articulados en su base, y empotrando posteriormente las bases de los montantes.
4.- Es notable el beneficioso efecto, como en los arcos planos, que tiene para los esfuerzos en el tablero articular las cabezas de los montantes o introducir apoyos que permitan el movimiento relativo tablero-cabeza de montante en ellas.
5.- Los arcos espaciales antifuniculares vinculados a tableros curvos a veces están separados por grandes distancias transversales. Esto obliga a una cierta separación vertical arco-tablero en clave para que los montantes de esta zona no queden demasiado tendidos y pierdan eficacia.
6.- La deformabilidad transversal del arco inferior queda controlada por la rigidez de éste, pero sobre todo por la posición transversal relativa arco- tablero, como en el caso del arco superior.
418
Fig. 19.2-15.- Izquierda: Perspectivas cónicas de ejemplos de la aplicación de la metodología desarrollada en esta tesis de obtención de directrices antifuniculares a puentes arco de tablero superior. A la derecha, imágenes de la pasarela de Ripshorst, de J. Schlaich. Aunque no se ha pretendido reproducirla, las formas alabeadas de la directriz antifunicular del arco, como puede verse, son muy similares.
19.2.10.5. Consideraciones sobre la solución al problema resistente del arco inferior.
Con respecto al problema resistente que se plantea al sostener un tablero curvo con un arco inferior se pueden plantear las siguientes consideraciones, dado que el arco espacial que se propone en la presente tesis presenta numerosas ventajas desde el punto de vista resistente:
1.- Es posible buscar una adecuada posición transversal de los arranques del arco respecto del tablero para generar estructuras muy rígidas ante las nuevas solicitaciones transversales, dado que en el arco inferior existe libertad para definir la posición relativa de los arranques. Los beneficios se producen en cualquier caso, incluso en el de arcos planos y verticales.
2.- La eficacia resistente es lógicamente mayor si se recurre a directrices antifuniculares espaciales.
3.- Un caso intermedio en su eficacia es el de arco plano inclinado con su directriz antifunicularizada para las flexiones longitudinales, y con el giro y posición relativa estudiadas para minimizar la flexión transversal y la deformabilidad transversal.
Esta directriz se puede obtener, por ejemplo, aplicando la formulación acoplada desarrollada para el método de las reacciones globales, con la restricción de mantener la inclinación del plano de la geometría inicial.
Esta geometría es más fácil de ejecutar, ya que sólo tiene curvatura en un plano, y más sencilla de colocar en obra, ya que puede erigirse verticalmente para girarse después respecto de la cuerda que une sus arranques.
4.- En cualquier caso, para facilitar la ejecución, siempre pueden sustituirse los tramos entre
419
péndolas por arcos de circunferencia4, a costa de no optimizar tanto sus esfuerzos.
5.- Por el contrario, tiene la ventaja de que el tablero, trabajando según su canto y como arco en planta otorga mucha rigidez horizontal adicional al conjunto arco-tablero. Lógicamente el tablero ha de ser una pieza continua en sentido longitudinal, lo que impone soluciones sin juntas, si bien éstas están en desuso en arcos, y se tiende a proyectar tableros continuos.
6.- Lo anterior obliga a proyectar los estribos del tablero con capacidad de resistir esfuerzos horizontales.
7.- Los montantes estarán, en general, inclinados, si bien su inclinación es moderada para los casos estudiados excepto los más cortos, cercanos a la clave del arco.
19.2.11. RESUMEN DEL COMPORTAMIENTO TRANSVERSAL EN SERVICIO DEL PUENTE ARCO ESPACIAL.
El cuadro siguiente (Tabla 19.2-3) resume la relación existente entre las distintas variables que se han considerado en el comportamiento transversal del puente arco espacial de arco único y sección suspendida de un borde.
Si se desea emplear un arco flexible, es crítica su posición transversal con respecto al tablero. Si el tablero es recto, las péndolas han de estar contenidas en el plano del arco y sólo queda la opción de emplear una sección de tablero muy rígida, por la sensibilidad a sobrecargas asimétricas.
Si en el mismo caso, el tablero es muy curvo, la sección puede ser menos rígida, pero no excesivamente, pues ha de seguir aportando la rigidez al trabajo conjunto arco-tablero.
CURVATURA DEL TABLERO
RIGIDEZ TRANSVERSAL
DEL ARCO
POSICIÓN TRANSVERSAL
ARCO-TABLERO RECTO CURVO MUY CURVO
FLEXIBLE MUY IMPORTANTE MUY RÍGIDA MENOS RÍGIDA
MUY RÍGIDO MENOS IMPORTANTE
RÍGIDA A TORSIÓN
ALIGERADA PRETENSADA/
FLEXIBLE
SECCIÓN SUSPENDIDA DE UN BORDE
Tabla 19.2-3.- Cuadro resumen de la sección de tablero atirantada a un borde necesaria, y de la posición transversal arco-tablero, en el puente arco espacial en función de la rigidez transversal prevista del arco y de la curvatura del tablero.
Si por el contrario el arco es rígido, es menos sensible a las cargas horizontales y su posición transversal es menos importante. Si el tablero es recto, ha de seguir teniendo rigidez a torsión para no volver ineficaz el sistema de atirantamiento.
Si, conservando la rigidez del arco, el tablero, por el contrario, es muy curvo, su sección puede ser mucho más flexible y se puede recurrir a secciones aligeradas con pretensado, dado que la eficacia de las péndolas es muy alta al estar ancladas en un elemento rígido y muy apartadas de la alineación recta.
El trabajo como bow-string sólo es posible:
• Si el tablero es recto o con poca curvatura, en todos los casos que permita la posición del arco.
• Si el tablero es curvo, el arco debe ser lo bastante rígido para absorber las flexiones transversales que se generan al forzar su posición y además, la posición de los arranques del arco debe poderse hacer coincidir con la de los estribos, si bien esta limitación no es tan estricta, puesto que existe
4 Como en el caso del Main Street Bridge sobre el río Scioto, descrito en 2.3.3.4.
420
posibilidad de intentar encajar un tirante secante a la directriz curva del tablero, ocupando una posición variable dentro de la sección transversal.
El cuadro anterior no es aplicable al puente de planta curva impuesta, puesto que en éste no es posible el ripado transversal del arco respecto del tablero, ya que forzosamente arranques y estribos coinciden.
19.3. LÍNEAS FUTURAS DE ESTUDIO. A nuestro juicio, el trabajo aquí desarrollado tiene su continuación lógica en los siguientes
puntos:
19.3.1. ACCIONES.
Las acciones introducidas en el estudio son, en nuestra opinión, muy esclarecedoras del comportamiento resistente de los puentes estudiados. Las estructuras como los arcos, que trabajan por forma, quedan muy bien caracterizadas por las cargas permanentes e introducir sobrecargas alternadas define su sensibilidad a las cargas que las apartan de la antifunicularidad. Asimismo, el viento hace trabajar al arco en sentido transversal como una viga balcón y el incremento de temperatura provoca una variación de longitud que influye sobre elementos como las péndolas.
Pero las instrucciones recogen otras acciones que pueden ser muy interesantes desde el punto de vista del comportamiento de la estructura, como el vehículo de 600 KN de la IAP, que genera una concentración localizada de acciones que pierde importancia global a medida que crece la luz, pero puede ser crítica en los efectos locales o limitar la flexibilidad del tablero.
19.3.2. MODELIZACIÓN DE SECCIONES TRANSVERSALES.
En el estudio realizado hemos intentado estudiar esta tipología desde un punto de vista global, aun sabiendo que la amplitud ha hecho que tuviéramos que sacrificar aspectos que justificarían por sí solos un estudio completo. Sin duda uno de ellos es el estudio detallado de las secciones transversales empleadas. El hecho de suponer que el comportamiento global de las secciones puede reproducirse modelizando éstas por en una sola barra nos ha permitido realizar un análisis sencillo pero representativo del comportamiento conjunto del puente.
Sin embargo parece necesario incluir en futuros estudios, forzosamente más particulares, los efectos de una modelización más precisa de la sección transversal, y más en vista de las conclusiones de los capítulos 11 y 12, que recomiendan el uso de secciones asimétricas para el tablero atirantado al borde.
Dicha modelización puede plantearse por dos vías:
• Recurrir a un modelo muy preciso del tablero en el modelo completo, por ejemplo, mediante elementos finitos bidimensionales.
• Caracterizar adecuadamente la sección transversal en modelos auxiliares independientes, que incorporen todas las complejidades que se deseen, y luego intentar incorporar las conclusiones de dichos modelos en el menor número de elementos posible para reproducir el tablero en el modelo global.
Sin duda, la primera de ellas es más precisa, pero requiere mucha más complejidad en la definición del modelo, capacidad de cálculo y conlleva una mayor dificultad de interpretación de los resultados. La segunda de ellas está más en la línea de nuestro estudio.
En cualquier caso, sería muy interesante incorporar estudios que permitieran conocer el estado tenso-deformacional detallado dentro de la sección asimétrica atirantada al borde (mejorando el muy simplificado del capítulo 5), y tener la posibilidad de considerar efectos como arrastre por cortante, abolladura, distorsión, efecto de diafragmas, etc .
No hay que olvidar tampoco la posibilidad que existe, en los tableros atirantados al exterior preferentemente, de emplear secciones mixtas, con losa superior de compresión.
421
19.3.3. ANTIFUNICULARIZACIÓN EN PLANTA DEL TABLERO.
El arco trabaja en el plano horizontal como un arco de directriz circular sometido a las componentes horizontales de las péndolas. Nuevamente, como en el caso del arco, las acciones horizontales dependerán de la geometría, y el proceso es iterativo no sólo en forma sino también en cargas.
Si no se está sometido a una geometría determinada por razones de trazado, su directriz se puede optimizar para anular las flexiones transversales para cargas permanentes en él. En caso contrario, siempre se puede considerar la posibilidad de inscribir la planta de la parte “resistente” del tablero en el contorno de la plataforma, ocupando bajo ésta una posición transversal variable.
19.3.4. ESTUDIOS DINÁMICOS, VIBRACIONES Y FATIGA.
Muchas de las estructuras del presente trabajo son ligeras y muy deformables transversalmente. Sus configuraciones resistentes, eficaces en un cálculo estático, pueden presentar, sin embargo, sensibilidad a los efectos dinámicos, a las vibraciones o a la fatiga. Este aspecto requeriría sin duda de un análisis particular, por otra parte imprescindible en el caso de un proyecto real.
19.3.5. ARCOS DE HORMIGÓN Ó MIXTOS.
Las estructuras de este trabajo se han pensado en acero estructural, aunque se haya procurado independizar las conclusiones del mismo del material constituyente de la estructura. Este material es el que están construidas la inmensa mayoría de las realizaciones estudiadas. Sin embargo, merecería la pena plantear si el arco espacial es factible en soluciones de hormigón. Entre las ventajas está el peso de la sección, la mantenimiento, determinados valores formales, etc. Entre las desventajas estarían, por ejemplo, las complejidades de ferrallado, encofrado o potencia de medios auxiliares.
Otra posibilidad sería considerar arcos metálicos rellenos de hormigón5, donde la camisa metálica aporta eficacia para resistir tracciones, mientras el hormigón da resistencia a la compresión y aporta peso a la sección, lo que genera directrices antifuniculares menos tendidas.
En cualquier caso, sin atrevernos a anticipar conclusiones, el asunto merece, sin duda, un estudio más detallado.
19.3.6. ESTADOS AVANZADOS DE CARGA.
En el presente trabajo nos hemos ceñido al comportamiento en servicio y, aunque sí se ha considerado la no linealidad geométrica, hemos supuesto que el material trabaja siempre dentro del rango elástico.
El siguiente paso sería realizar estudios sobre el comportamiento de la estructura para estados avanzados de carga hasta llegar al colapso, para la cual es fundamental la caracterización del comportamiento no lineal del material, y su influencia en el comportamiento seccional. Resultarían para ello, posiblemente imprescindibles modelizaciones detalladas de la sección transversal, como las esbozadas en el apartado 19.3.2.
19.3.7. INESTABILIDAD DEL ARCO ESPACIAL.
Una de las futuras líneas de estudio posiblemente más fructíferas es el estado último de inestabilidad del arco espacial, al que se le podrían dedicar en exclusiva numerosos estudios6.
A modo de ejemplo, se ha comenzado tímidamente esta línea de investigación, pero sin introducir ningún elemento adicional a lo que ya se ha mostrado en esta tesis, ni de programación ni de tratamiento de la no linealidad del material, que dejamos para futuros trabajos. Sin embargo, a pesar de lo
5 Como el puente sobre el Becva de Jiri Strasky, mostrado en 2.3.4.5. 6 Nos atrevemos a aventurar, con todas las precauciones necesarias, que la rigidez horizontal que
proporcionan la curvatura en planta del arco antifunicular espacial y el trabajo como arco en planta del tablero curvo podrían constituir un elemento muy eficaz de coacción del pandeo “transversal” del arco espacial (ya que en un arco de directriz alabeada no parece muy correcto hablar de pandeo “fuera del plano”).
422
elemental de nuestro análisis, los resultados preliminares, como se verá, parecen prometedores.
19.3.7.1. Modelos iniciales.
Se han generado dos modelos iniciales de puentes arco con tablero inferior, con las características, que se resumen en la siguiente tabla:
Modelo Posición arco-tablero Tablero Planta de directriz Alzado de directriz Sección
Espacial YT =7.35 m gT=-10 m Antifunicular espacial de M2 y M3
Plano YT = 0 m gT=0 m Plano vertical Y=0 Antifunicular de M3
Anular constante:
φ=1000 mm t=25 mm.
Fig. 19.3-1.- Modelos iniciales: Espacial y plano, a izquierda y derecha, respectivamente. En ambos puentes, los arranques se sitúan en Y=0. En el arco plano, la clave se sitúa en Y=0, y en el espacial en Y=-0.952.
En ambos casos el cálculo ha considerado la no linealidad geométrica. Las directrices antifuniculares se han obtenido por el método de las excentricidades locales definido en el apartado 15.5.
19.3.7.2. Definición de imperfecciones geométricas.
Se modifican las directrices de los modelos iniciales por introducción de las imperfecciones geométricas e0, iguales a las que se utilizan para considerar el pandeo fuera del plano del arco de acuerdo con el apartado 4.3. de la RPM-95 [22]. Dichas imperfecciones se introducen sencillamente modificando la planta de la directriz de acuerdo con una ley parabólica de 2º grado de flecha e0 en el centro.
LA/2
e0
LA/2
2002350
Ay Lfe =⋅ [19.1]
Donde se ha considerado el factor 200
AL , del lado de la seguridad, que corresponde a la curva C
de la tabla 6.3.3 para cajones huecos.
Para fy=355 MPa y para una luz del arco de 100 m, resulta e0=403.6 mm en clave del arco.
Para el arco espacial, no simétrico longitudinalmente, se han considerado los dos sentidos de la imperfección geométrica. Para el arco plano, sólo se ha considerado un sentido.
423
19.3.7.3. Hipótesis de carga
Sobre los modelos así deformados, se define la siguiente combinación de cargas S:
S = PP + CP ±W + λ·SCUE [19.2]
es decir, correspondiente a la actuación simultánea del peso propio PP, las cargas permanentes CP, un viento W de 2 KN/m actuando sobre el arco en sentidos alternos y la sobrecarga uniforme SCUE de 4 KN/m2 sobre todo el tablero, ponderada por el coeficiente λ.
El objetivo del estudio es determinar el máximo valor del coeficiente λ para el que converge el cálculo considerando la no linealidad geométrica.
Los parámetros de control de dicho cálculo introducidos en SAP2000 son:
• Máximo nº de iteraciones: 40
• Error relativo entre esfuerzos y/o deformaciones: 10-5
En la tabla Tabla 19.3-1 se resumen los resultados, en los que se muestra el sentido de la imperfección geométrica (la geometría sin deformar se representa en un trazo más fino), el sentido del viento que actúa sobre el arco y máximo coeficiente λ para el que el cálculo converge.
Como se puede apreciar, el valor de λ, aun en el más desfavorable de los casos, resulta un 45% superior para los arcos espaciales que para los arcos planos.
En principio parece que la causa es doble:
1.- Por un lado, en el arco espacial, el tablero es un arco trabajando en planta a la hora de coartar las deformaciones transversales del arco. En el arco plano, por el contrario, es una viga trabajando a flexión, y resulta más deformable.
2.- Por otro lado, la forma de la directriz del arco espacial no provoca una ley monótonamente creciente de flexión transversal cuando es comprimido en sus arranques, como sí ocurre en el arco plano.
Una forma de separar ambos efectos es obtener el mismo coeficiente λ para los mismos puentes, pero minorando la inercia del tablero por un coeficiente de 0.01, de tal manera que su efecto sea mucho menos importante. Para este cálculo no se ha considerado el viento y se ha tomado el arco espacial que produce el menor coeficiente λ.
Análogamente, el coeficiente para el arco espacial es mayor que para el arco plano, e incluso con más margen que en el caso anterior.
424
Sentido de la imperfección Ordenada de nudo de clave Planta de directriz de arco Sentido del viento
de 2 KN/m λ
10.9
11.8
e0
LA/2 LA/2
-0.5484 m
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Y [m
]
X [m]
- 11.5
11.2
11.6
LA/2
e0
LA/2
-1.3556 m
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Y [m
]
X [m]
- 11.6
7.4
e0
LA/2 LA/2
0.4036 m
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Y [m
]
X [m]
- 7.5
Tabla 19.3-1.- Resumen de resultados: Valores máximos del coeficiente λ de ponderación de SCUE para los que converge el cálculo P-δ del puente sometido a la hipótesis de carga [19.2].
Sentido de la imperfección Ordenada de
clave Planta de directriz de arco Sentido del viento de 2 KN/m λ
-0.5484 m
-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 3 0 40 5 0-1 .6
-1 .4
-1 .2
-1
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
-
6.3
e0
LA/2 LA/2
0.4036 m
-5 0 -4 0 -3 0 -2 0 -1 0 0 10 20 3 0 40 5 00
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
1 .2
1 .4
1 .6
- 3.4
Tabla 19.3-2.- Resumen de resultados: Valores máximos de ponderación de SCUE para los que converge el cálculo P-δ del puente sometido a la hipótesis de carga [19.2], cuando se pondera la inercia del tablero al 1%.
425
19.3.8. OPTIMIZACIÓN DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL Y DE LAS DISTRIBUCIONES DE RIGIDEZ.
Como ya se ha visto, el esfuerzo más determinante del arco, la flexión transversal, corresponde al de una viga balcón, y presenta concentraciones de flexión generalmente en los arranques o en clave. Resulta evidente que hay secciones que resultan sobredimensionadas si la sección del arco es constante. Por otra parte, la rigidez horizontal del arco es crítica a efectos de flechas.
Una posible línea de estudio sería buscar la distribución más adecuada de rigidez horizontal del arco para conseguir verificar las condiciones tenso-deformacionales y minimizar una variable (o función de varias de ellas) que represente adecuadamente el coste de la ejecución del arco. Generalmente se optimiza el área de la sección transversal.
Una forma muy aplicable a los trabajos realizados se recoge en Martí [53]. En ella se optimiza un arco macizo sometido a su peso propio. La geometría del arco se define mediante 8 rectas que definen los cuatro puntos de cada arranque en contacto con el suelo y cuatro curvas β-spline que definen la variación de la sección. Lo interesante de este método es que, debido a la doble simetría en planta y alzado, con sólo 5 variables independientes (dos asociadas a la forma del arco (distancia de centro de cuerda que une los arranques a riñones y a clave) y tres asociadas al canto en arranques, riñones y clave) se puede definir completamente la geometría del arco.
Es decir, asumir una distribución adecuada de la sección transversal y de la geometría permite acelerar la convergencia del proceso de optimización, al depender de muy pocos puntos de control (variables independientes de diseño).
Esta forma de definir la estructura es un ejemplo del tipo de planteamiento que habrá que realizar para abordar posibles estudios de optimización de esta tipología. Sería deseable que estos estudios incorporaran además el efecto de la inestabilidad.
19.3.9. OTRAS CONFIGURACIONES DE ATIRANTAMIENTO.
Como se ha visto, los arcos antifuniculares de este trabajo presentan, como los arcos planos, gran sensibilidad a las sobrecargas alternadas. Una de las configuraciones de atirantamiento más eficaces a la hora de minimizar estas flexiones es la llamada tipo Nielsen ([31],[42]) en la que las péndolas se disponen oblicuas. Otras configuraciones que producen arcos muy esbeltos son las tipo network [91], en las que las péndolas se cruzan más de dos veces.
(a) (b)
Fig. 19.3-2.- Configuraciones de atirantamiento: (a) Atirantamiento tipo Nielsen; (b) péndolas “verticales”, como las usadas en el resto del trabajo.
A modo de ejemplo se comparan dos puentes, que se muestran en la Fig. 19.3-2. Las secciones de arco y tablero son las empleadas en el capítulo 7, con YT=9.446, gT=-10, y bL=2 (exterior), y la única diferencia entre ellos es la configuración del atirantamiento.
En Fig. 19.3-3 se aprecia que, en los cálculos realizados, el atirantamiento tipo Nielsen no supone mucha mejora en la flexión transversal del arco, mientras que la reducción de esfuerzos es más notable para la flexión longitudinal (Fig. 19.3-4).
En [17] pueden verse diferentes esquemas de atirantamiento de pasarelas colgadas que aumentan la rigidez, por ejemplo mediante la introducción de un sistema dual de cables. Merece la pena, sin duda, profundizar en el estudio de las diferentes configuraciones de atirantamiento arco-tablero, pues en ellas parece estar la solución a la falta de rigidez a flexión longitudinal ante sobrecargas alternas.
426
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-1000
-500
0
500
1000
1500
SCUA a E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion transversal en arco
x [m]
M 2 [KN·
m]
1044
-922
1044
-922
66
-8257
-89
123
-171
914
-828
914
-828
44
-108
42
-110
86
-218
SCU A. Pend. Vert.SCU B. Pend. Vert.SCU C. Pend. Vert.SCU D. Pend. Vert.SCU E. Pend. Vert.SCU A. Nie lsenSCU B. Nie lsenSCU C. Nie lsenSCU D. Nie lsenSCU E. Nie lsen
Fig. 19.3-3.- SCUA a SCUE: Comparación de configuraciones de atirantamiento. Flexión transversal en arco.
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-2000
-1500
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
SCUA a E: Arco antifunicular espacial. Analisis P-δ. gT=-10. Flexion longiudinal en arco
x [m]
M 3 [KN·
m]
1902
-1633
1902
-1633
136-67
133-68
269
-135
1445
-1335
1445
-1335
58 -6752 -70110
-137
SCU A. Pend. Vert.SCU B. Pend. Vert.SCU C. Pend. Vert.SCU D. Pend. Vert.SCU E. Pend. Vert.SCU A. Nie lsenSCU B. Nie lsenSCU C. Nie lsenSCU D. Nie lsenSCU E. Nie lsen
Fig. 19.3-4.- SCUA a SCUE: Comparación de configuraciones de atirantamiento. Flexión longitudinal en arco.
427
19.4. CONCLUSIONES FINALES. • Merced a los distintos estudios realizados, la presente tesis propone un método general de
análisis del problema del comportamiento en servicio del puente arco espacial.
• En ese aspecto, no sólo aborda con un tratamiento unificado el problema funcional del arco con tablero curvo, sino que recoge las implicaciones resistentes de determinadas elecciones tipológicas, cuando éstas están parcialmente motivadas por criterios formales.
• Aunque el estudio se ha ceñido a los puentes de arco y tablero únicos, la metodología desarrollada y las conclusiones obtenidas son lo bastante generales como para poder abordar fácilmente configuraciones más complejas, como los puentes con dobles arcos, dobles tableros, atirantamiento en ambos bordes de la sección, giro del arco o del tablero respecto de ejes verticales, etc.
• Nuestro trabajo ha ido encaminado, en general, a ampliar el ámbito de aplicación de los métodos conocidos, y así, por ejemplo, la metodología de obtención de directrices antifuniculares de arcos espaciales biempotrados se inspira en la clásica de arcos planos biarticulados o de estructuras de fábricas, o el estudio de los tableros con apoyos elásticos desplazados se basa en el conocido de tableros curvos sobre apoyos centrados fijos.
• En esta tesis se dan pautas para maximizar la eficacia resistente de las soluciones propuestas. En ese sentido, se muestra, sobre todo en los puentes de arco inferior, lo eficaz de la correcta posición relativa arco- tablero, y cómo, en los puentes de arco superior, la búsqueda de esta eficacia puede obligar a renunciar al efecto bow-string. Asimismo, se obtienen conclusiones de interés sobre las distribuciones de rigideces transversales en el arco.
• Los estudios demuestran la mayor eficacia de las soluciones antifuniculares espaciales, fundamentalmente a sobrecargas simétricas, con respecto a las de arco plano. Esta eficacia resulta máxima con una adecuada posición transversal.
• Por otro lado, dado que la solución más eficiente desde el punto de vista resistente no siempre es sencilla de ejecutar, los análisis realizados establecen criterios de obtención de soluciones equilibradas entre eficiencia resistente y la facilidad constructiva, como, por ejemplo, los arcos planos inclinados obtenidos de las formulaciones acopladas desarrolladas en esta tesis.
• Se ha demostrado cómo el carácter espacial del arco resulta una causa independiente de sensibilidad a la no linealidad geométrica, acotable indirectamente por limitaciones tensodeformacionales.
• Se ha puesto de manifiesto el problema funcional de la interferencia con el gálibo en los puentes arco de tablero inferior y se ha estudiado el tablero curvo atirantado a un borde. La rigidez a torsión de éste se ha mostrado como el parámetro más influyente en su comportamiento.
• Las conclusiones relativas a las disposiciones tipológicas que hemos obtenido concuerdan, de modo general, con los esquemas resistentes planteados en las realizaciones (tanto construidas como sólo proyectadas) recogidas en la documentación analizada.
• Como se ha visto, las dos principales líneas de estudio que abre esta tesis son el estudio en rotura del puente arco espacial (y en particular, la inestabilidad) y la búsqueda de soluciones al problema de la falta de rigidez longitudinal ante las sobrecargas alternas.
429
20 BIBLIOGRAFÍA.
[1] AGUILÓ ALONSO, Miguel. “Cien años de diseño de puentes.” Revista de Obras Públicas, nº 3348, pp. 27-32. Noviembre 2003.
[2] AGUILÓ ALONSO, Miguel; MANTEROLA ARMISÉN, Javier; ONZAIN, Mario; RUY-WAMBA MARTIJA, Javier. Javier Manterola Armisén. Pensamiento y obra. Fundación Esteyco. Madrid. 2004.
[3] ARENAS DE PABLO, Juan José. “El tirante.” Civil Engineering European Courses. Programme of Continuing Education. Cable Stayed Bridges/ Curso de puentes atirantados. ETSICCP. Madrid. Mayo-Junio 1990.
[4] ARENAS DE PABLO, Juan José. Caminos sobre el aire: los puentes. (2 vol.). Colección Ciencias, Humanidades e Ingeniería, nº 57. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Madrid. 2002.
[5] ARENAS DE PABLO, Juan José. “El pretensado como acción compensadora de las cargas exteriores.” Revista de Obras Públicas, nº 3106, pp 97-113. Febrero 1974.
[6] ARENAS DE PABLO, Juan José; PANTALEÓN, Marcos. “El puente de la Barqueta sobre el viejo cauce del río Guadalquivir, en Sevilla.” Revista de Obras Públicas, nº 3311, pp 47-63. Junio 1992.
[7] ARENAS DE PABLO, Juan José; “Calidad en ingeniería: innovación y madurez.” Comunicaciones a Jornadas sobre la vida de los puentes. Asociación Española de la Carretera. San Sebastián, 27 a 29 de abril de 2005.
[8] ASTIZ SUÁREZ, Miguel Ángel. “Análisis no lineal de puentes atirantados.” Civil Engineering European Courses. Programme of Continuing Education. Cable Stayed Bridges/ Curso de puentes atirantados. ETSICCP. Madrid. Mayo-Junio 1990.
[9] AUSTRELL, P.; DAHLBLOM, O.; LINDEMANN, J.; OLSSON, A.; PERSSON, K.; PETERSSON, H.; RISTINMAA, M.; SANDBERG, G.; WERNBERG, P. CALFEM. A finite element toolbox. Manuales de la version 3.4. The Division of Structural Mechanics. Lund University. 2004.
[10] BATHE, Klaus-Jurgen; WILSON, Edward L. Numerical methods in finite methods analysis. Prentice Hall, 1976.
[11] BILLINGTON, David P. Robert’s Maillart’s bridges. The art of engineering. Princeton University Press. Princeton, New Jersey. 1979.
[12] BILLINGTON, David. P. The tower and the bridge. The new art of structural engineering. Princeton University Press. Princeton, New Jersey.1985.
[13] BÖGLE, Annette; SCHMAL, Peter C.; FLAGGE, Ingeborg (Eds.) Licht weit/ Light Structures: Jörg Schlaich, Rudolf Bergermann. Catálogo de la exposición (22 de noviembre de 2003 a 8 de febrero de 2004) en el Deutsches Architektur Museum. Ed. bilingüe alemán/inglés. Prestel. Frankfurt am Main. 2003.
430
[14] BUCHHOLDT, H. A. An introduction to cable roof structures. (2nd ed.) Thomas Telford. Londres. 1999.
[15] BÚRDALO, Soledad. “Reencuentro de la ciudad y el río”. Revista del Ministerio de Fomento, nº 554, pp. 65-69. Septiembre 2006. Secretaría General Técnica. Ministerio de Fomento. Madrid. 2006.
[16] CLARK, Gordon. “Pasarelas del milenio en el reino unido” en G. PULIDO, Mª Dolores; SOBRINO ALMUNIA, Juan Antonio (Eds.), Tendencias en el diseño de puentes / Trends in Bridge Design, pp. 129-146. (Ed. bilingüe español/inglés). Grupo español del IABSE. Madrid. 2000.
[17] COBO DEL ARCO, Diego; APARICIO BENGOECHEA, Ángel. “Rigidización de pasarelas colgadas de hormigón armado y pretensado.”. Hormigón y Acero nº 211, pp. 37-51. Madrid. 2001.
[18] Computers and Structures, Inc. SAP2000. Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures. Manuales de la versión 7.4. Berkeley, California. 2000.
[19] Comisión Permanente del Hormigón. Instrucción de Hormigón Estructural EHE. Secretaría General Técnica. Ministerio de Fomento, Madrid. 1999.
[20] CORBAL ALVÁREZ, Jesús; G. MEIJIDE, Antonio; ANTÓN, Arturo. “Pasarelas metálicas de tablero suspendido.” Comunicaciones al III congreso ACHE de puentes y estructuras. Zaragoza. 2005.
[21] Dirección General de Carreteras. Recomendaciones para el proyecto de puentes mixtos de carreteras. RPX-95. Secretaría General técnica. Ministerio de Fomento. Madrid. 1995.
[22] Dirección General de Carreteras. Recomendaciones para el proyecto de puentes metálicos de carreteras. RPM-95. Secretaría General técnica. Ministerio de Fomento. Madrid. 1995.
[23] Dirección General de Carreteras. Instrucción sobre las acciones a considerar en el proyecto de puentes de carreteras. IAP-98. Secretaría General técnica. Ministerio de Fomento. Madrid. 1998.
[24] Dirección General de Carreteras. Manual de aplicación de las recomendaciones RPM-RPX/95. Secretaría General técnica. Ministerio de Fomento. Madrid. 2000.
[25] ENGEL, Heino. Sistemas de estructuras. Editorial Gustavo Gili. Buenos Aires. 2003.
[26] FERNÁNDEZ CASADO, Carlos; FERNÁNDEZ TROYANO, Leonardo; MANTEROLA ARMISÉN, Javier. “Puentes rectos y curvos sobre apoyos puntuales”. (Reproducido en MANTEROLA ARMISÉN, Javier. Puentes II. Tomo I. Apuntes de la cátedra. Publicaciones de la. E.T.S.I.C.C.P. Madrid. S.F.)
[27] FERNÁNDEZ ORDÓÑEZ, José Antonio. El pensamiento estético de los ingenieros. Funcionalidad y belleza. Discurso de Recepción Pública en la Real Academia de Bellas Artes de S. Fernando. Madrid. 1990.
[28] FERNÁNDEZ TROYANO, Leonardo; CUERVO FERNÁNDEZ, José; FERNÁNDEZ MUÑOZ, Lucía; IGLESIAS PÉREZ, Celso; SEVILLA PAYAL, Agustín. “Puentes arco sobre el río
431
Nervión en Bilbao para el ferrocarril metropolitano de la ciudad”. II congreso ACHE de puentes y estructuras. Madrid. 2002.
[29] FERNÁNDEZ TROYANO, Leonardo. Tierra sobre el agua. Visión histórica universal de los puentes. (1ª ed.) Colección Ciencias, Humanidades e Ingeniería, nº 55. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Madrid. 1999.
[30] M.C. FERNÁNDEZ, M.E. DEL RUATA, D. MOISSET DE ESPANÉS. “Capacidad sismorresistente de estructuras laminares “antifuniculares”. XVII Jornadas Argentinas de Ingeniería Estructural. Rosario. 4 a 6 de septiembre de 2002.
[31] FRANCIOSI, Vincenzo. Ponti ad arco con impalcato sospeso. Editore Ulrico Hoepi. Milán. 1958.
[32] GONZÁLEZ MEIJIDE, Antonio; CORBAL ALVÁREZ, Jesús; CAPELLÁN MIGUEL, Guillermo. “Pasarelas peatonales urbanas.” Monográfico “Puentes urbanos.” Ingeniería y Territorio, nº 65 (Tercera época), pp. 70-77. Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Barcelona. 2003.
[33] GRAHN, Bernd; MÜGLITZ, Jörg; BURGSTALLER, Volkmar. “Experiencia de fabricación de estructuras tubulares formadas por elementos curvados.” CONSTRUBER. Boletín Informativo del Instituto para la Construcción Tubular, nº 6, pp. 14-19. Año 2004.
[34] GREENWOLD, David Joshua. Dynamic analysis of Calatrava's la Devesa footbridge. Thesis (S.M.). Massachusetts Institute of Technology. Dept. of Civil and Environmental Engineering. 1999.
[35] HOLGATE, Alan. The Art of Structural Engineering. The Work of Jörg Schlaich and his team. Edition Axel Menges. Stuttgart/London. 1997.
[36] JODIDIO, Philip. Santiago Calatrava. Taschen. Colonia. 2003.
[37] JOHNSON, John; CURRAN, Peter. “Gateshead Millennium Bridge—an eye-opener for engineering.” Proceedings of ICE. Civil Engineering, nº 156 pp. 16-24. Febrero. 2003.
[38] JORQUERA LUCERGA, Juan José (Autor); MANTEROLA ARMISÉN, Javier (Director). Estudio sobre el comportamiento resistente de los puentes arco espaciales de tablero inferior. Trabajo de investigación tutelado para la obtención del D.A.E. Dpto. de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras. U.P.M. Madrid. 2003. (Inédito).
[39] JULIÁ VILARDELL, Manuel; ORTEGA VIDAL, David. “El control del proyecto del arco de los Tilos.” Comunicaciones al II congreso ACHE de puentes y estructuras. Madrid 2002.
[40] LAFFRANCHI, Massimo; MARTI, Peter. “Robert´s Maillart´s concrete arch bridges.” Journal of Structural Engineering, Vol.123, nº 10, pp.1280-1286, Octubre. 1997.
[41] LEWIS, Wanda J. Tension structures: form and behaviour. Thomas Telford. Londres. 2003.
[42] LLEÓ DE LA VIÑA, A. Puentes en arco con tablero suspendido por péndolas oblicuas. Monografías del Instituto Técnico de la Construcción, nº 66. Consejo Superior de Investigaciones Científicas. Madrid. 1952.
432
[43] MANTEROLA ARMISÉN, Javier. “Ingenieros-arquitectos. El futuro de los puentes.” Revista de Obras Públicas, nº 3366, pp. 17-32. Junio 1997.
[44] MANTEROLA ARMISÉN, Javier; GIL GINÉS, Miguel Ángel; ASTIZ SUÁREZ, Miguel Ángel; MARTÍNEZ CUTILLAS, Antonio. “Pasarelas.” Revista de Obras Públicas, nº 3384, pp. 18-32. Febrero 1999.
[45] MANTEROLA ARMISÉN, Javier. “Filosofía y técnica estructural.” Revista de Obras Públicas, nº 3388, pp. 172-175. Junio 1999.
[46] MANTEROLA ARMISÉN, Javier; SIEGRIST FERNÁNDEZ, Carlos; GIL GINÉS, Miguel Ángel. Puentes. Apuntes de la cátedra. (6 vol.) Publicaciones de la ETSICCP. Madrid. 2000.
[47] MANTEROLA ARMISÉN, Javier; MARTÍNEZ CUTILLAS, Antonio; GIL GINÉS, Miguel Ángel. “Puentes arco mixtos”. Comunicaciones a las III jornadas internacionales de puentes mixtos. Madrid. Junio 2001.
[48] MANTEROLA ARMISÉN, Javier. “Puentes arco con tablero inferior”. Revista de Obras Públicas, nº 3436, pp. 7-30. Septiembre 2003.
[49] MANTEROLA ARMISÉN, Javier; MUÑOZ-ROJAS FERNÁNDEZ, Javier; LÓPEZ PADILLA, Amando; FERNÁNDEZ REVENGA, Javier. “Actuación sobre el río Guadalentín y espacio urbano del barrio de San Cristóbal en la ciudad de Lorca.” Comunicaciones al III congreso ACHE de puentes y estructuras. Zaragoza. 2005.
[50] MANTEROLA ARMISÉN, Javier. “Últimas realizaciones y nuevos planteamientos.” Comunicaciones a Jornadas sobre la vida de los puentes. Asociación Española de la Carretera. San Sebastián, 27 a 29 de abril de 2005.
[51] MANTEROLA ARMISÉN, Javier; GIL GINÉS, Miguel Ángel. “Cuarto puente sobre el río Ebro en Logroño” Comunicaciones al III congreso ACHE de puentes y estructuras. Zaragoza. 2005.
[52] MARÍ BERNAT, Antonio; LLONGUERAS MESTRES, Jaume; COBO DEL ARCO, Diego; “Pasarelas peatonales atirantadas con barras”. Comunicaciones a la XVª Asamblea Técnica de la ATEP. Logroño. 12-15 de noviembre de 1996. (Reproducida en Hormigón y Acero nº 209, pp. 69-84. 3er trimestre 1998.)
[53] MARTÍ MONTRULL, Pascual. “Aplicación de las técnicas de optimización en el diseño de estructuras de grandes luces.” II Encuentro Internacional de Estructuras Ligeras para Grandes Luces. Murcia. 1995.
[54] MARTÍ MONTRULL, Pascual. Análisis de estructuras. Métodos clásicos y matriciales. Horacio Escarabajal Editores / Universidad Politécnica de Cartagena. Cartagena. 2003.
[55] MARTÍNEZ CALZÓN, Julio; ORTIZ HERRERA, Jesús. Construcción mixta hormigón-acero. Editorial Rueda. Madrid. 1978.
[56] MAS SOLER, Albert; CASAS RIUS, Joan Ramón. “Estudio de las solicitaciones de tráfico en puentes atirantados. Aplicación al dimensionamiento óptimo a fatiga de los cables.” Hormigón y Acero nº 211, pp 109 –124. Madrid 2001.
[57] The Mathworks Inc. Matlab. The Language of Technical Computing. Manuales de la versión
433
6.5. (Release 13). 2002.
[58] The Mathworks Inc. Optimization Toolbox for use with Matlab. Manuales de la versión 2.2. (Release 13). 2002.
[59] MENN, Christian. Prestressed Concrete Bridges. Birkhäuser Verlag. 1989.
[60] MENN, Christian. “Aesthetics in Bridge Design”. En Bridge Aesthetics around the World, pp.177-188. Transportation Research Board. Washington, D.C. 1991.
[61] MIRA McWILLIAMS, Pablo. “Técnicas especiales de análisis no lineal: longitud de arco y búsqueda direccional”. Curso sobre aplicaciones del método de los elementos finitos en ingeniería civil. CEDEX. Madrid, mayo 2000.
[62] MONLEÓN CREMADES, Salvador. Ingeniería de puentes: Análisis estructural. Universidad Politécnica de Valencia. Editorial U.P.V. Valencia. 1997.
[63] NAKAI, Hiroshi; HONG YOO, Chai. Analysis and design of curved steel bridges. Mc-Graw Hill, 1988.
[64] O’CONNOR, Colin. Design of bridge superstructures. Wiley-Interscience. 1971.
[65] PÉREZ-FADÓN, Santiago, HERRERO, José Emilio, SÁNCHEZ, Marcos, SÁNCHEZ, Juan José. “Arco de los Tilos. Aspectos del cálculo.” Comunicaciones al II congreso ACHE de puentes y estructuras. Madrid. 2002.
[66] PÉREZ-FADÓN, Santiago; HERRERO, José Emilio; SÁNCHEZ, Marcos; SÁNCHEZ, Juan José. “El arco de los Tilos en la isla de la Palma (Gran Canaria).” Comunicaciones al II congreso ACHE de puentes y estructuras. Madrid. 2002.
[67] PODOLNY, Walter; SCAZI, John. Construction and design of cable stayed bridges. John Wiley & Sons. 1986.
[68] POLLALIS, Spiro N. “What is a Bridge? Bridge Design as a Strategic Element in Urban and Regional Development.” 3rd International Conference on Current & Future Trends in Bridge Design. Shanghai, 28-29 de septiembre de 2003.
[69] ROBERTSON, Leslie E.; SEE, Saw-Teen; SESIL, Daniel A. “The Miho Museum Bridge. Shiga-Raki, Japan. A post-tensioned steel space-frame”. Comunicaciones al World Steel Bridge Symposium. Chicago, 2 a 4 de septiembre de 1998.
[70] ROMO MARTÍN, José. “Una reflexión sobre las tendencias actuales en el proyecto de puentes”. Comunicaciones a Jornadas sobre la vida de los puentes. Asociación Española de la Carretera. San Sebastián, 27 a 29 de abril de 2005.
[71] ROMO MARTÍN, José; MARTÍN CAÑUETO, Mariano “Pasarela sobre el río Carrión. Palencia”. Comunicaciones al III congreso ACHE de puentes y estructuras. Zaragoza. 2005.
[72] RUBIÓ, Santiago. Cálculo funicular del hormigón armado. Ediciones Gustavo Gili. Buenos Aires. 1952.
434
[73] RUIZ TERÁN, Ana María; APARICIO BENGOECHEA, Ángel C. “Respuesta estructural y criterios de diseño de puentes atirantados no convencionales.” Comunicaciones al III congreso ACHE de puentes y estructuras. Zaragoza. 2005.
[74] SÁNCHEZ DE LEÓN, Ramón. “Actuaciones en puentes urbanos”. Comunicaciones a Jornadas sobre la vida de los puentes. Asociación Española de la Carretera. San Sebastián, 27 a 29 de abril de 2005.
[75] SCHLAICH, Jörg. “Diversidad en el diseño de puentes / Variety in Bridge Design” en GARCÍA PULIDO, Mª Dolores; SOBRINO ALMUNIA, Juan Antonio (Eds.). Tendencias en el diseño de puentes / Trends in Bridge Design, pp. 67-100. (Ed. bilingüe español/inglés). Grupo español del IABSE. Madrid 2000.
[76] SCHLAICH, Jörg. “Les structures légères” Annales de l’institut technique du batiment et des travaux publics. Techique générale de la construction, nº479. Diciembre 1989.
[77] SCHLAICH, Jörg. “Urban footbridges.” Comunicaciones al 16º Congreso del IABSE. Lucerna, 2000.
[78] SIEGRIST FERNÁNDEZ, Carlos. Curso de doctorado de puentes arco de hormigón. Publicaciones de la E.T.S.I.C.C.P. Madrid. S.F.
[79] SIEGRIST FERNÁNDEZ, Carlos; SIEGRIST RIDRUEJO, Guillermo; UTRILLA ALONSO, Miguel Ángel. “Puente sobre el río Cares-Deva, en Panes (Asturias)”. Comunicaciones al II congreso ACHE de puentes y estructuras. Madrid. 2002.
[80] STRASKY, Jiri. “New structural concepts for footbridges.” Comunicaciones a Footbridge 2002. Design and dynamic behaviour of footbridges. Paris. 2002.
[81] STRASKY, Jiri. “Bridges designed by Strasky, Husty & Partner” Comunicaciones a Jornadas sobre la vida de los puentes. Asociación Española de la Carretera. San Sebastián, 27 a 29 de abril de 2005.
[82] STRASKY, Jiri. Stress ribbon and cable supported pedestrian bridges. Thomas Telford. Londres. 2005.
[83] STRASSNER, A. Nuevos métodos sobre la estática de las estructuras de pórtico y de los arcos elásticos especialmente aplicados a las construcciones de hormigón en masa y armado. Publicaciones de la Escuela Especial de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Madrid, 1942.
[84] SUÁREZ ARROYO, Benjamín; OÑATE IBÁÑEZ DE IBARRA, Eugenio; RIBÓ RODRÍGUEZ, Ramón. “Las herramientas numéricas y la práctica profesional en la ingeniería civil.” Revista de Obras Públicas, nº 3418, pp. 7-15. Febrero 2002.
[85] SWIDA, W. Estática de arcos y bóvedas (traducción de edición alemana de 1954). Editorial Dossat. Madrid. 1964.
[86] TARQUIS ALFONSO, Felipe; HUE IBARGÜEN, Pilar. “Puente Juscelino Kubitschek”. Comunicaciones al III congreso ACHE de puentes y estructuras. Zaragoza. 2005.
[87] TIBERT, Gunart. Numerical Analyses of Cable Roof Structures. Licentiate Thesis. Department of Structural Engineering. Royal Institute of Technology. Estocolmo. 1999.
435
[88] THOMAS, Graham Edward. “El puente de Blythe Park.” en MARTINEZ CALZÓN, Julio (Ed.); Comunicaciones a las III jornadas Internacionales de Puentes Mixtos. Estado actual de su tecnología y análisis. Madrid. 22-26 Enero 2001. Ediciones del Colegio de Ingenieros de Caminos, CC. y PP.
[89] TORRES ARCILA, Martha. Puentes. (Edición trilingüe español/italiano/portugués) Atrium Internacional de México. México D.F. 2002.
[90] TORROJA Y MIRET, Eduardo. Razón y Ser de los tipos estructurales. Consejo Superior de Investigaciones Científicas. 7ªed. Madrid. 1991.
[91] TVEIT, Per. The Network Arch. Internet edition. August 2005. (Serie de artículos disponible en http://pchome.grm.hia.no/~ptveit/ y http://fag.grm.hia.no/fagstoff/ptveit/)
[92] TUFECKI, E; DOGRUER, O.Y. “Exact Solution of Out-of-Plane of an Arch with Varying Curvature and Cross Section.” Journal of Engineering Mechanics, vol. 132, nº 6, pp. 600-609. Junio. 2006.
[93] TZONIS, Alexander. Santiago Calatrava. Obra completa. Ediciones Polígrafa. Barcelona. 2004.
[94] UNTERWEGER, H. “Modeling of bridge decks including cross section distortion using simplified spatial beam methods.” Second European Conference on Steel Structures. Technical University Praga. 1999.
[95] VARIOS AUTORES. Monografía Santiago Calatrava. El croquis. Año VIII, nº 38. Madrid. Marzo 1989.
[96] VARIOS AUTORES. 33 puentes singulares de España. Revista del Ministerio de Fomento, nº 531, pp. 112-116, 122-126 y 186-191. Julio-Agosto de 2004. Secretaría General Técnica. Ministerio de Fomento. Madrid. 2004.
[97] VIRLOGEUX, Michel. “Sobre la estructura y la arquitectura de los puentes.” Revista de Obras Públicas, nº 3349, pp. 23-32. Diciembre 1995.
[98] WALTHER, René. Cable stayed bridges. Thomas Telford. Londres. 1999.
[99] WELLS, Matthew. Puentes. Laurence King Publishing Ltd. Londres. 2002. (Edición española de Editorial H Kliczkowski. Madrid. 2003.)
[100] WILSON, Edward L. “Geometric stiffness and P-Delta effects” Computers and Structures Technical Papers nº 11. (Disponible en www.csiberkeley.com)
[101] WITTFOHT, Hans. Puentes. Ejemplos internacionales. Editorial Gustavo Gili. Barcelona. 1975.
[102] ZIENKIEWICZ, O.C. El método de los elementos finitos, 3ª ed. Editorial Reverté. Barcelona. 1982.
437
APÉNDICE A
A VARIABLES RESERVADAS EN EL CÓDIGO DE SABRINA. Como se especifica en 3.2, una de las tareas mas importantes en el desarrollo del código es el
establecimiento de unos criterios de notación compactos, que aprovechen al máximo las posibilidades de la capacidad de análisis matricial de MATLAB y establezcan el patrón a seguir para desarrollos adicionales.
Se presenta a continuación un listado de variables generales que pueden ser tanto definidas como datos como empleadas en el resto de módulos, lo que permite además apreciar la capacidad de modelización del conjunto de programas realizado.
programa SABRINA v. 2.0 Programa de ayuda a la generacion de estructuras espaciales en SAP 2000 NOMBRE DE VARIABLES EN ESTRUCTURAS A INICIALIZAR ' cell array ''cadena de texto [[ ]]:matriz [ ]:vector fila [|]:vector columna ( ):valor numerico ' Entre los signos el tamaño cuando procede ' NOTA GORDA: TODOS LOS VECTORES DATO SON VECTORES FILA, AL OBJETO DE OPERAR CON ELLOS O USARLOS COMO ARGUMENTOS EN FUNCIONES GEOMTERIA Y BARRAS DE MODELOS: va variables auxiliares CG configuracion general A arco T tablero LA barras laterales de arco LT barras laterales de tablero P pendolas OPCIONES DE ANALISIS DE PENDOLAS Y PROCESOS ITERATIVOS: dAP dim.automat. de pendolas fEP formulacion de Ernst sae sistema auxiliar de ecuaciones CF contraflecha de ejecucion AF antifunicular mac gestion de macros y archivos finales ACCIONES: S Datos de valores y geometria de CP y SCU SCU Hip. simples de CP y SCU DT Hip. simples de variaciones unformes de temperatura LOAD Hip. simples adicionales PD Definicion de caso P-delta COMB combinaciones adicionales % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % COMANDOS INICIALES % ___________________________________________________ Especificar como comando el archivo de inicializacion de variables % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % CONFIGURACION GENERAL Y OPCIONES % ___________________________________________________ arc_dat '' * ' Nombre del archivo de datos de modelo (Puede darse en command line o, preferiblemente, escrito en el archivo de datos) % struct CG (6 campos) nombre tipo DAT(*) Descripcion CG.dir '' * ' Directorio de escritura de archivo *.s2k. CG.arcs2k '' * ' Nombre dato del archivo s2k a generar (sin extension) CG.arc_copia () * ' ¿Copiar el archivo plantilla a CG.dir con nombre CG.ARCH y extesion *.m (0:NO 1:SI) CG.nom_prog '' - ' Path y nombre (s/ ext) del programa de generacion de modelos empleado en el calculo. CG.ARCH '' - ' Nombre con path completo de archivo s2k SIN extension CG.ARCHs2k '' - ' Nombre con path completo de archivo s2k CON extension % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % VARIABLES AUXILIARES % ___________________________________________________ % struct va (nº indefinido de campos) Sugerencias de nomenclatura auxilar util para para puentes de un arco y un tablero: va.L % Luz del arco va.nP % Nº de pendolas va.ntT % nº de tramos del tablero va.ntA % nº de tramos del arco va.nint % nº de nudos intermedios en cada tramo va.fA % Flecha vertical del arco va.gA % Flecha horizontal de arco
438
va.gT % Flecha horizontal de tablero circular va.YT % coordenada Y de arranque de tablero va.ZT % Coordenada Z de tablero. va.bS % Ancho de plataforma de tablero. % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEFINICION DE ARCO(S) % ___________________________________________________ % struct A (34 campos) 'ARCO: GEOMETRIA DE NUDOS Y RESTRAINTS' nombre tipo DAT(*) Descripcion A.on () * ' Hay (1) o no hay (0) arcos en el modelo. A.nud [nnud] * ' Numeración de nudos de arco(s) (p. ej. A.nud=1:1:A.nnud) A.nnud () - ' Numero de nudos de arco (p. ej. A.nnud=nP*(nintA+1)+1) A.nudP [] * ' Numeracion, en su caso, de los nudos del arco de los que nace una pendola o barra lateral. A.X [nnud] * ' Coordenadas x de nudos de arco (En ejes globales XYZ) A.Y [nnud] * ' Coordenadas y de nudos de arco (Proy. horizontal de directriz) A.Z [nnud] * ' Coordenadas z de nudos de arco (Proy. vertical de directriz) A.MREST [[nº nud apoy x 7]] * ' Coacciones (RESTraints) al movimiento y giro de los apoyos ' Col. 1 : nº de nudo coaccionado ' Col. 2 a 7: gdl libre (0) o coaccionado (1) ' Anulacion con A.MREST=[]; A.SPR [nº nud muelles x 7]] * ' Rigideces de los muelles (SPRings) en nudos ' Col. 1 : nº de nudo con muelle ' Col. 2 a 4: Rigidez del muelle en desplazamientos. K=0 no coloca muelle. ' Col. 5 a 7: Rigidez del muelle en giros. K=0 no coloca muelle. ' Anulacion con A.SPR=[]; (Pero puede no definirse) A.MNUD [[nnud x 4 ]] - ' Columna 1: A.nud ' Columna 2: A.X ' Columna 3: A.Y ' Columna 4: A.Z 'Variables de MATERIALES' A.MMAT [[nmat arco x 6 ]] * ' Columna 1: nº : nº de material ' Columna 2: E : Modulo de deformacion longitudinal [N/mm2] ' Columna 3: m : Masa del material [M/L 3] ' Columna 4: dens : Peso especifico [KN/m3] ' Columna 5: nu : cfte de Poisson [KN/m3] ' Columna 6: alfaT : Cfte dilatacion termica [1/ºC] A.MNMAT nmat arco x 2 - ' cell array columna de NOMBRES de los materiales ordenadas (col 1 de A.MMAT) ' Col. 1 : nº de material ' A.MNMATi= A + MMAT(i,1) (max.99 materiales) 'Variables de SECCIONES' A.sec [nsec] * ' Numeracion de secciones diferentes en el arco A.nsec () - ' Numero de secciones diferentes en el arco A.smat [nsec] * ' Numero de material de la seccion A.stipo [nsec] * ' Tipo de la seccion de arco [1:Rect 2:Box 3:Pipe 4:Gen] A.sh [nsec] * ' tipo 1 o 2: Canto [m] 3: Diametro [m] 4: Area [m2] A.sb [nsec] * ' tipo 1 o 2: Ancho [m] 3: Espesor [m] 4: Inercia a torsion [m4] A.tw [nsec] * ' tipo 1:nulo 2: Espesor alas [m] 3: nulo 4: Inercia a flexion I33 [m4] A.tf [nsec] * ' tipo 1:nulo 2: Espesor almas [m] 3: nulo 4: Inercia a flexion I22 [m4] A.dcort [nsec] * ' Activa (1) o no (0) la deformacion por cortante de la seccion. A.MSEC [[nsec x 9]] - ' col. 1 : A.sec ' col. 2 : A.smat ' col. 3 : A.stipo ' col. 4 : A.sh ' col. 5 : A.sb ' col. 6 : A.tw ' col. 7 : A.tf ' col. 8 : A.dcort ' col. 9 : vacio A.MNSEC nsec x 2 - ' Nombres de secciones prismaticas en el arco (generados a partir de MSEC) ' col.1: nº de seccion ' col.2: nombre de seccion A.MNSEC_NP nbar diftes x 3 - ' Nombres de secciones no prismaticas, con seccion dorsal y frontal ' (generados a partir de MBAR) ' col.1: nombre de seccion no prismatica ' col.2: nombre de seccion inicial ' col.3: nombre de seccion final 'Variables de BARRAS' A.bar [nbar] * ' Numeración de barras de arco(s) ( A.nbar=A.nnud-1 ) A.nbar [nbar] - ' Numero de barras ( A.nbar=length(A.bar) )
439
A.ni [nbar] * ' Numeracion de nudos dorsales de barras de arco A.nj [nbar] * ' Numeracion de nudos frontales de barras de arco A.si [nbar] * ' Secciones de nudos dorsales de barras de arco A.sj [nbar] * ' Secciones de nudos frontales de barras de arco (Por defecto, sj=si) A.nseg [nbar] * ' Nº de puntos de salida en cada barra de arco A.long [nbar] - ' Longitud de cada barra A.alfa [nbar] * ' Angulo de giro de ejes locales de barras. (Por defecto, alfa=0) A.aM [[nº barras art. x 5]] * ' Articulaciones de flexion en arco (3 gdl en ejes locales de barra) ' Col. 1 : nº de barra con gdl liberado ' col. 2. : extremo en que se liberan los gdl (0:i 1:j) ' Col. 3 a 5: T, M22, M33 (0: mantener 1: liberar ) A.MBAR [[nbar x 10]] - ' col. 1 : A.bar ' col. 2 : A.ni ' col. 3 : A.nj ' col. 4 : A.si ' col. 5 : A.sj ' col. 6 : A.nseg ' col. 7 : A.long ' col. 8 : A.alfa ' col. 9 : vacio ' col.10 : vacio A.MNSECBAR nbar x 2 - ' col. 1: nº de barra ' col. 2: nombre de seccion correspondiente a la barra '(Generada a partir de MBAR) % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEFINICION DE TABLERO(S) % ___________________________________________________ % struct T (34 campos) Ver definicion de variable A en arco. % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEF. DE BARRAS LATERALES DE ARCO(S) % ___________________________________________________ % struct LA (34 campos) 'Variables de NUDOS' nombre tipo DAT(*) Descripcion LA.on () * ' Hay barras laterales de arco o no (0:NO, 1:SI) LA.ni [LA.nbar] - ' = A.nudP (Campo redundante) Numeración de nudos de arco en los que nace una barra lateral. LA.nud [LA.nbar] * ' Numeracion de nudos j en los que terminan las barras laterales de arco. LA.bLh [LA.nbar] * ' Distancia horizontal de atirantamiento lateral en arco [m] (-:der s/X +:izq) LA.bLv [LA.nbar] * ' Distancia vertical de atirantamiento en arco [m] (+:sup s/Z -:inf) LA.lat () * ' Forzar lado atirantamiento arco (-1:der 0:el dado 1:izq 2:pendolas + verticales) LA.X [LA.nbar] * ' Coordenadas x de nudos j de barras laterales de arco (En ejes globales XYZ) LA.Y [LA.nbar] * ' Coordenadas y de nudos j de barras laterales de arco LA.Z [LA.nbar] * ' Coordenadas z de nudos j de barras laterales de arco ' Se deben especificar o las formulas o las coordenadas LA.MNUD [[nnud x 4 ]] - ' Columna 1: LA.nnud ' Columna 2: LA.X ' Columna 3: LA.Y ' Columna 4: LA.Z ' Longitudes menores de 0.2 en principio anulan la barra. 'Variables de MATERIALES' LA.MMAT [[nmat LA x 6 ]] * ' Columna 1: : nº de material ' Columna 2: E : Modulo de deformacion longitudinal [N/mm2] ' Columna 3: m : Masa del material [M/L 3] ' Columna 4: dens : Peso especifico [KN/m3] (En general, LA tendra peso nulo) ' Columna 5: nu : cfte de Poisson [KN/m3] ' Columna 6: alfaT : Cfte dilatacion termica [1/ºC] LA.MNMAT nmat LA x 2 - ' cell array columna de NOMBRES de los materiales ordenadas col 1 de LA.MMAT ' col.1 :nº de material ' LA.MNMATi= LA + MMAT(i,1) (max.99 materiales) 'Variables de SECCIONES' LA.sec [nsec] * ' Numeracion de secciones diferentes de barras laterales de arcos LA.nsec () * ' Numero de secciones diferentes de barras laterales de arcos LA.smat [nsec] * ' Numero de material de la seccion LA.stipo [nsec] * ' Tipo de la seccion de tablero [1:R 2:B 3:P 4:G] LA.sh [nsec] * ' tipo 1 o 2: Canto [m] 3: Diametro [m] 4: Area [m2] LA.sb [nsec] * ' tipo 1 o 2: Ancho [m] 3: Espesor [m] 4: Inercia a torsion LA.tw [nsec] * ' tipo 1:nulo 2: Espesor alas [m] 3: nulo 4: Inercia a flexion I33 LA.tf [nsec] * ' tipo 1:nulo 2: Espesor almas [m] 3: nulo 4: Inercia a flexion I22 LA.dcort [nsec] * ' Activa (1) o no (0) la deformacion por cortante de la seccion. LA.MSEC [[nsec x 9]] - ' col. 1 : LA.sec ' col. 2 : LA.smat ' col. 3 : LA.stipo ' col. 4 : LA.sh
440
' col. 5 : LA.sb ' col. 6 : LA.tw ' col. 7 : LA.tf ' col. 8 : LA.dcort ' col. 9 : vacio LA.MNSEC nsec x 2 - ' Nombres de secciones prismaticas en el tablero (generados a partir de MSEC) ' col.1: nº de seccion ' col.2: nombre de seccion :T+col1 LA.MNSEC_NP nbar diftes x 3 - ' Nombres de secciones no prismaticas, con seccion dorsal y frontal ' (generados a partir de MBAR) ' col.1: nombre de seccion no prismatica ' col.2: nombre de seccion inicial ' col.3: nombre de seccion final 'Variables de BARRAS' LA.bar [nbar] * ' Numeración de barras de tablero(s) ( LA.nbar=LA.nnud-1 ) LA.ni - ' Ya definida LA.nj * ' =LA.nud (Campo redundante) LA.si [nbar] * ' Secciones de nudos dorsales de barras laterales LA.sj [nbar] * ' Secciones de nudos frontales de barras laterales (Por defecto, sj=si) LA.nseg [nbar] * ' Nº de puntos de salida en cada barra de tablero LA.long [nbar] - ' Longitud de cada barra LA.alfa [nbar] * ' Angulo de giro de ejes locales de barras. (Por defecto, alfa=0) LA.aM [[nº barras art. x 5]] * ' Articulaciones de flexion en tablero (3 gdl en ejes locales de barra) ' Col. 1 : nº de barra con gdl liberado ' col. 2. : extremo en que se liberan los gdl (0:i 1:j) ' Col. 3 a 5: T, M22, M33 LA.MBAR [[nbar x 10]] - ' col. 1 : LA.bar ' col. 2 : LA.ni ' col. 3 : LA.nj ' col. 4 : LA.si ' col. 5 : LA.sj ' col. 6 : LA.nseg ' col. 7 : LA.long ' col. 8 : LA.alfa ' col. 9 : vacio ' col.10 : vacio LA.MNSECBAR nbar x 2 - ' col. 1: nº de barra lateral de arco ' col. 2: nombre de seccion correspondiente a la barra ' (Generada a partir de MBAR) % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEF. DE BARRAS LATERALES DE TABLERO(S) % ___________________________________________________ % struct LT (34 campos) Ver definicion de variable LA de barras laterales de arco. % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEFINICION DE PENDOLAS % ___________________________________________________ struct P (27 campos) 'Variables de NUDOS' nombre tipo DAT(*) Descripcion P.on; () * ' Hay (1) o no hay (0) pendolas en el modelo. P.nP () * ' Nº de pendolas P.ni [nP] * ' Numeración de nudos iniciales de pendolas (en A o LA) P.nj [nP] * ' Numeración de nudos iniciales de pendolas (en T o LT) ' P.nudi y P.nudj datos se reajustan a partir de LA.ni,LA.nj,LT.ni y LT.nj 'Variables de MATERIALES' P.MMAT [[nP x 6 ]] * ' Columna 1: nº pendola (NO de la barra sino del ordinal de la pendola) ' Columna 2: E : Modulo de deformacion longitudinal [N/mm2] ' Columna 3: m : Masa del material [M/L 3] ' Columna 4: dens : Peso especifico [KN/m3] (En general, tendran peso nulo) ' Columna 5: nu : cfte de Poisson [KN/m3] ' Columna 6: alfaT : Cfte dilatacion termica [1/ºC] ' (Se impone [[ nP x 6]] para facilitar dimensionamiento y ec. Ernst.) P.MNMAT nP x 2 - ' cell array columna de NOMBRES de los materiales ordenadas col 1 de P.MMAT ' col.1 : nº de material ' P.MNMATi= P + MMAT(i,1) (max. 99 materiales) 'Variables de SECCIONES' P.sec [nsec] * ' Numeracion de secciones diferentes de pendolas P.nsec nP - ' Numero de secciones diferentes de pendolas P.smat [nsec] * ' Numero de material de la seccion P.stipo [nsec] * ' Tipo de la seccion de pendola [1:R 2:B 3:P 4:G]
441
P.sh [nsec] * ' tipo 1 o 2: Canto [m] 3: Diametro [m] 4: Area [m2] P.sb [nsec] * ' tipo 1 o 2: Ancho [m] 3: Espesor [m] 4: Inercia a torsion P.tw [nsec] * ' tipo 1:nulo 2: Espesor alas [m] 3: nulo 4: Inercia a flexion I33 P.tf [nsec] * ' tipo 1:nulo 2: Espesor almas [m] 3: nulo 4: Inercia a flexion I22 P.dcort [nsec] * ' Activa (1) o no (0) la deformacion por cortante de la seccion. ' (Dimensionamiento de pendolas impone: ' P.sec=1:np P.smat=1:nP (pendolas de seccion cte y 1 material por pendola) ' P.stipo=3 P.sb=0 P.tw=0 P.ft=0 (circulares macizas) ) P.MSEC [[sec x 9]] - ' col. 1 : P.sec ' col. 2 : P.smat ' col. 3 : P.stipo ' col. 4 : P.sh ' col. 5 : P.sb ' col. 6 : P.tw ' col. 7 : P.tf ' col. 8 : P.dcort ' col. 9 : vacio P.MNSEC nP x 2 - ' Nombres de secciones prismaticas en pendolas (generados a partir de MSEC) ' col.1: nº de seccion ' col.2: nombre de seccion P.MNSEC_NP nbar diftes x 3 - ' Nombres de secciones no prismaticas, con seccion dorsal y frontal ' (generados a partir de MBAR) ' col.1: nombre de seccion no prismatica ' col.2: nombre de seccion inicial ' col.3: nombre de seccion final 'Variables de BARRAS' P.bar [nbar] * ' Numeración de barras de pendolas P.ni [P.nudi] - ' Numeracion de nudos dorsales de barras de arco P.nj [P.nudj] - ' Numeracion de nudos frontales de barras de arco P.si [nbar] * ' Secciones de nudos dorsales de barras de arco P.sj [nbar] * ' Secciones de nudos frontales de barras de arco (Por defecto, sj=si) P.nseg [nbar] * ' Nº de puntos de salida en cada barra de arco P.long [nbar] - ' Longitud de cada barra P.alfa [nbar] * ' Angulo de giro de ejes locales de barras. (Por defecto, alfa=0) P.aM [[nº barras art. x 5]] * ' Articulaciones de flexion en arco (3 gdl en ejes locales de barra) ' Col. 1 : nº de barra con gdl liberado ' col. 2. : extremo en que se liberan los gdl (0:i 1:j) ' Col. 3 a 5: T, M22, M33 P.MBAR [[nbar x 10]] - ' col. 1 : P.bar ' col. 2 : P.ni ' col. 3 : P.nj ' col. 4 : P.si ' col. 5 : P.sj ' col. 6 : P.nseg ' col. 7 : P.long ' col. 8 : P.alfa ' col. 9 : vacio ' col.10 : vacio P.MNSECBAR nbar x 2 - ' col. 1: nº de barra ' col. 2: nombre de seccion correspondiente a la barra ' (Generada a partir de MBAR) % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % ACCIONES PP, CP y SCU SOBRE ESTRUCTURA % ___________________________________________________ struct S (9 campos) 'Datos de valores de las cargas' nombre tipo DAT(*) Descripcion S.on [ 3 ] * ' Activar la introduccion o no de las hipotesis PP, CP y de SCU (0:NO, 1:SI) ' S.on(1) : Activacion de PP ' S.on(2) : Activacion de CP ' S.on(3) : Activacion de resto de cargas definidas en S.SCU S.b [[[T.bar bd bi]] * ' b: Ancho medio cargado de plataforma de tablero en cada barra [m] ' col. 1 : numeracion de las barras de tablero ' col. 2 : Ancho cargado a la derecha del eje de la barra (s/x local de barra) ' col. 3 : Ancho cargado a la izquierda del eje de la barra (s/x local de barra) S.CP () * ' CP: carga permanente sobre tablero (KN/m2) ' (¡¡¡¡¡POSITIVA SEGUN EJE LOCAL z, QUE GENERALMENTE ASCIENDE !!! S.SCU () * ' SCU: Sobrecarga uniforme de uso [KN/m2] S.CPP [[T.bar x 4 ]] - ' Carga vertical correspondiente a CP sobre todo el ancho del tablero
442
' ¡¡¡¡¡POSITIVA SEGUN EJE LOCAL Z, QUE GENERALMENTE ASCIENDE !!! ' col. 1 : Numeracion de barras de tablero ' col. 2 : Vector de carga CPPd(i)=CP*bSd(i) ' col. 3 : Vector de carga CPPi(i)=CP*bSi(i) ' col. 4 : Vector de cargas CPP(i)=CPPd(i) + CPPi(i) S.CPT [[T.bar x 4 ]] - ' Mto torsor correspondiente a la sobrecarga uniformemente repartida en mitades de tablero ' col. 1 : Numeracion de barras de tablero ' col. 2 : Vector de carga CPTd(i)=CP*bSd(i) 2/2 (a la derecha) ' col. 3 : Vector de carga CPTi(i)=CP*bSi(i) 2/2 (a la izquierda) ' col. 4 : Vector de cargas CPT(i)=CPTi(i) + CPTd (i) S.SCUP [[T.bar x 4 ]] - ' Carga vertical correspondiente a la sobrecarga uniformemente repartida a todo lo ' ancho del tablero (U3) (¡¡¡¡¡POSITIVA SEGUN EJE LOCAL Z, QUE GENERALMENTE ASCIENDE !!! ' col. 1 : Numeracion de barras de tablero ' col. 2 : Vector de carga SCUPd(i)=SCU*bSd(i) ' col. 3 : Vector de carga SCUPi(i)=SCU*bSi(i) ' col. 4 : Vector de cargas SCUP(i)=SCUPi(i) + SCUPd (i) S.SCUT [[T.bar x 4 ]] - ' Mto torsor correspondiente a la sobrecarga uniformemente repartida en mitades de tablero ' col. 1 : Numeracion de barras de tablero ' col. 2 : Vector de carga SCUTd(i)=SCU*bSd(i) 2/2 (a la derecha) ' col. 3 : Vector de carga SCUTi(i)=SCU*bSi(i) 2/2 (a la izquierda) ' col. 4 : Vector de cargas SCUT(i)=SCUTi(i) + SCUTd (i) S.LOAD [[ T.bar x 12 ]] - ' col. 1 : Numeracion de barras de tablero ' col. 2 : Ancho cargado a la derecha del eje de la barra (s/x local de barra) ' col. 3 : Ancho cargado a la izquierda del eje de la barra (s/x local de barra) ' col. 4 : Vector de carga CPPd(i) ' col. 5 : Vector de carga CPPi(i) ' col. 6 : Vector de carga CPP(i) ' col. 7 : Vector de carga CPTd(i) ' col. 8 : Vector de carga CPTi(i) ' col. 9 : Vector de carga CPT(i) ' col. 10 : Vector de carga SCUPd(i) ' col. 11 : Vector de carga SCUPi(i) ' col. 12 : Vector de carga SCUP(i) ' col. 13 : Vector de carga SCUTd(i) ' col. 14 : Vector de carga SCUTi(i) ' col. 15 : Vector de carga SCUT(i) 'Datos de cargas generadas por CP y SCU' struct SCU (2 * nºde hipotesis campos) nombre tipo DAT(*) Descripcion SCU.nombre.M [] * ' Hipotesis de carga simples originadas por CP y por SCU (DISTRIBUTED SPAN) SCU.nombre.P * ' nombre : campo con nombre de la hipotesis de carga (en letras mayusculas) ' M : [[nº diferente de lineas de carga en s2k x 5]] ' col. 1 : Barra inicial ' col. 2 : Barra final ' col. 3 : Incremento ' col. 4 : RD inicial ' col. 5 : RD Final ' P : nº diferente de lineas de carga en s2k x 1 ' col. 1 : nombre de la carga ( 'CPd'; 'CPi'; 'CP'; 'SCUi'; 'SCUd'; 'SCU'; ) ' tabla de cargas asociadas automaticamente: ' dato asociada ' CP CPT ' SCUP SCUT ' SCUd SCUTd ' SCUi SCUTi SCU.Text Nº lineas texto s2k - ' Transcripcion a texto de las hipotesis de carga simples ' definidas a partir de S.on y valores de PP, CP Y SCU. ' se generan las hipotesis : ' PP : peso propio ' CP : Carga permanente CP a todo el ancho del tablero definido en T.bar ' Resto de hipotesis simples definidas en SCU.nombre. % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % ACCIONES TERMICAS % ___________________________________________________ struct DT (4 campos) nombre tipo DAT(*) Descripcion DT.on [2] * Activar la introduccion o no de las hipotesis de incrementos termicos (0:NO, 1:SI)
443
DT.nombre [[nºlin x 5]] * incT: Variaciones de temperatura sobre Estructura [ºC] (+: calentamiento) ' col. 1 : Barra inicial ' col. 2 : Barra final ' col. 3 : Incremento de nº de barras ' col. 4 : 0 o 1 : incremento uniforme de temperatura ' 2 : Gradiente termico en el eje local 2-2 ' 3 : Gradiente termico en el eje local 3-3 ' col. 5 : Incremento de temperatura correspondiente a las barras definidas en col 1 a 3 DT.Text Nº lineas texto s2k - ' Transcripcion a texto de las hipotesis de carga simples definidas en DT.incT % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % HIPOTESIS SIMPLES DE CARGA ADICIONALES % ___________________________________________________ 'Datos de hipotesis simples adicionales de carga' struct LOAD (2 campos) ' LOAD.on () * Especifica si hay o no hipotesis simples adicionales de sobrecargas con este formato ' LOAD.nombre nº lineas s2k * nombre : campo con nombre de la hipotesis de carga ' Tipo de la carga que se define. Se define explicitamente en el nombre. ' p.ej. LOAD.VTO1='TYPE=DISTRIBUTED SPAN' ' LOAD.VTO2= ['ADD=1',num2str(char(A.bar(1))),',' num2str(char(A.bar(end))),', RD=0,1 UYP=10,10'] ' LOAD.nombre=[]; define una hipotesis VACIA CON nombre pero SIN cargas. ' LOAD.Text Nº lineas texto s2k - ' Transcripcion a texto de las hipotesis de carga simples adicionales definidas en LOAD % NOTA IMPORTANTE: En el caso sae.on=1, las cargas definidas en LOAD no se convierten autoamticamente en N y mm. % Asi, si alguna carga de LOAD condiciona el sistema sae, DEBE ir en N-mm. % Si luego se desean sus resultados en el modelo final, se duplica la hipotesis por el factor de conversion adecuadito. % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % OPCIONES DE ANALISIS P-DELTA % ___________________________________________________ struct PD (4 campos) PD.on () * ' Activar la introduccion o no de la hipotesis de P-delta (0:NO, 1:SI) PD.T [3] * ' Parametros del analisis PDelta PD.T =[Nº Iteraciones TOLD TOLP ] PD.HIP * ' Escritura de las hipotesis simples ponderadas' P. ej. HIP= 'PP' 'CP' 'SCUA' 'HIPA' PD.SF [] * ' Vector de coeficientes de las hipotesis simples' P. ej. SF= [1 1 0.5 1.5] PD.Text Nº lineas texto s2k - ' Transcripcion a texto del bloque definido en PD % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % COMBINACIONES DE ACCIONES % ___________________________________________________ struct COMB ( 2 + (ncomb x 3) campos) COMB.on () * ' Especifica si hay o no combinaciones de acciones COMB.nombre.T '' * ' Tipo de la combinacion (En general, T='ADD' o T='ENVE' ' Si no se especifica, se toma como ADD. COMB.nombre.HIP * ' Escritura de las hipotesis (u otras combos) ponderadas' P. ej HIP= 'LOAD=PP' 'LOAD=CP' 'LOAD=SCUA' 'COMB=HIPA' COMB.nombre.SF [] * ' Vector de coeficientes de las hipotesis definidas en HIP' P. ej SF= [1 1 0.5 1.5] COMB.Text Nº lineas texto s2k - ' Transcripcion a texto de las combinaciones definidas en COMB '--------------------------------' 'OPCIONES DE ANALISIS DE PENDOLAS Y POSTPROCESO' '--------------------------------' 'Variables de proceso de DIMENSIONAMIENTO AUTOMATICO de seccion de PENDOLAS a traccion simple' struct dAP (8 campos) nombre tipo DAT(*) Descripcion dAP.on () * ' Activar dimensionamiento del area de pendolas (0:NO, 1:SI) dAP.bar [] * ' Numeracion de barras cuyas areas se dimensionan por este metodo. ' El resto permanecen fijas con areas dadas. ' Por def. dAP.barP=P.bar (todas las barras de pendolas) dAP.porc () * ' Porcentaje [%] de tension de rotura (sobre 1860 MPa) de dimensionamiento de pendolas. dAP.Hip '' * ' Hipotesis de dimensionamiento de pendolas (la que provoque maximo axil) ' (Con el nuevo postprocesador puede ser una combinacion o envolvente) dAP.ARCH '' - ' Nombre con path y sin extension del archivo (generalmente auxiliar) donde esta dAP.Hip dAp.rAP () * ' Redondear areas calculada a multiplos de rApa (0:NO, 1:SI) dAP.rAPa () * ' Area de redondeo: rAPa [mm2] cuando se activa rAP (1 T15 = 140 mm2). dAP.max [] * ' Igualar areas obtenidas para las dAP.barP dimensionadas a la de pendola de mayor
444
' seccion de las dAP.barP calculadas ponderada por dAp.fmax(0:NO, 1:SI) dAP.fmax () * ' Factor dAp.fmax por la que se pondera la seccion maxima cuando se activa dAp.max dAP.AP [dAP.barP] - ' Resultado del proceso de dimensionamiento automatico de las pendolas. ' Vector de area de las pendolas definidas en dAP.barP 'Variables de FORMULACION DE ERNST a las pendolas' struct fEP (5 campos) nombre tipo DAT(*) Descripcion fEP.on () * ' Aplicar formulación de Ernst al modulo de deformacion de pendolas (0:NO, 1:SI). fEP.barP [ ] * ' Numeracion de barras de pendolas donde se aplica fEP. ' El resto permanecen con E definido en P.MMAT. Por defecto fEP.barP=P.bar (todas las pendolas) fEP.Hip0 '' * ' Hipotesis de partida de formulacion de Ernst fEP.ARCH0 '' * ' Nombre con path y sin extension del archivo donde esta fEP.Hip0 fEP.Hip1 '' * ' Hipotesis final de formulacion de Ernst. fEP.ARCH1 '' * ' Nombre con path y sin extension del archivo donde esta fEP.Hip1 (por defecto fEP.ARCH0=fEP.ARCH1) fEP.tol () * ' Tolerancia relativa de variacion de E entre iteraciones para convergencia (tanto por uno) ' Una medida razonable de fEP.tol es 0.10. fEP.E [fEP.barP] - ' Resultado del proceso de formulacion de Ernst. ' Vector de modulos de elasticidad de las pendolas definidas en fEP.barP % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEF. DE SISTEMA AUXILIAR DE ECUACIONES % ___________________________________________________ nota: si se activa el sae no puede haber hipotesis de carga llamadas solo D,E o R struct sae (9 campos) nombre tipo DAT(*) Descripcion sae.on () * ' Activar el sistema auxiliar de ecuaciones (0:NO, 1:SI) sae.comp () * ' Activar la comprobacion de los archivos LOG del calculo de los modelos auxiliares(0:NO, 1:SI) sae.niter () * ' nº maximo de iteraciones del proceso de resolucion del sae sae.T [] * ' Numeracion de las barras a las que se les aplica la variacion uniforme de temperatura. sae.T3 [] * ' Numeracion de las barras a las que se les aplica gdte termico en eje local 3-3 sae.T2 [] * ' Numeracion de las barras a las que se les aplica gdte termico en eje local 2-2 sae.M3 [] * ' Numeracion de las barras a las que se les aplica flexioneas locales en eje local 3-3 sae.M2 [] * ' Numeracion de las barras a las que se les aplica flexioneas locales en eje local 2-2 sae.PD [] * ' Datos de hipotesis PD del archivo donde se calcula el sae. (sae.PD.on, T, HIP y SF) ' sae.PD=PD copia las opciones del modelo general ' sae.PD puede incluir a la hipotesis DT.SAE que es el resultado del proceso sae en forma de temperaturas. sae.CG - ' Copia de CG particularizado para la generacion de los modelos auxilaires sae.c * ' Escritura de ecuaciones de sistema. ' p.ej. : sae.c1='CSEa(sae,'M',P.nudj,3)=0*(P.nudj)' : Anulacion de flechas en nudos extremos pendolas comandos de escritura de sistema auxiliar de ecuaciones A·x=b : Lado izquierdo (matriz de coeftes del sistema) CSEa (sae,'M',selnud, gdl) CSEa (sae,'R',selnud, gdl) CSEa (sae,'E',selbar, [RD gdl]) CSEt (sae,'T',selbar) CSEt (sae,'T3',selbar) CSEt (sae,'T2',selbar) Lado derecho (vector columna de terminos independientes) CSEa (sae,'M',selnud, gdl,hip) CSEa (sae,'R',selnud, gdl,hip) CSEa (sae,'E',selbar, [RD gdl],hip) p.ej. sae.c1=' CSEa(sae,'M',P.nudj,3)=0*(P.nudj)' 'Variables de OBTENCION DE CONTRAFLECHA DE EJECUCION' struct CF (8 campos) nombre tipo DAT(*) Descripcion CF.on () * ' Activar la obtencion de la contraflecha de ejecucion (0:NO, 1:SI) CF.tol () * ' Tolerancia absoluta de las contraflechas CF.niter () * ' Numero maximo de iteraciones del proceso CF.nud * ' CF.nudii = vector [] de numeracion de nudos para los que se desea hallar la contraflecha. CF.gdl * ' CF.gdlii = [0 0 1] impone que se calcula la contraflecha en cordenadas Z globales de los nudos definidos en CF.nudii. CF.HIP * ' CF.HIPii define la hipotesis de carga para los que se obtiene la contraflecha de los nudos definidos en CF.nudii. CF.conv () * ' CF.conv = 1 cuando el proceso converge ' CF.conv = 0 se puede imponer para obligar a que se calcule la contraflecha.
445
'Variables de DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR' struct AF (9 campos) nombre tipo DAT(*) Descripcion AF.on () * ' Activar la obtencion de la contraflecha de ejecucion (0:NO, 1:SI) AF.tol () * ' Maxima variacion de coordenadas globales entre iteracion de geoemtria antifunicular AF.niter () * ' Nº maximo de iterciones del proceso AF.R * ' En MRG: Reaccion en nudo con el que se calcula la reaccion ' p.ej. AF.R1='CSEbV(sae,''R'',A.nud(1),1,''HIPAF'')'; ' Reaccion horizontal en el arranque del nudo 1 para la HIPAF en formato vectorial con CSEbV AF.M * ' Flexion a antifunicularizar ' p.ej. AF.Mii= CSEb(sae,''E'',[2:ceil(A.nbar/2)+1],[0 6],''HIPAF'')'; AF.macro * ' Cell de caracteres conteniendo exactamente las instrucciones de matlab a ejecutar despues de la antifunicularizacion ' de cada contorno AF.it.copia () * ' Si se activa (1) o no (0) las copias de los archivos s2k de cada iteracion AF.it.nit () * ' COntador global del nº de iterciones del proceso..
447
APÉNDICE B
B EJEMPLO DE ARCHIVO DE DATOS DE SABRINA. En el siguiente listado se muestra el archivo de datos de SABRINA empleado para los cálculos de
uno de los puentes de esta tesis. El puente es uno de las tres modelos de soluciones tipo Galindo del capítulo 14.5.2, concretamente el correspondiente a gT=-6 m.
Se ha elegido este ejemplo, entre otras razones, por mostrar especialmente bien las posibilidades del control de flujo de la modelización, y cómo, mediante la introducción de variables adicionales, exactamente igual que en cualquier otro programa de MATLAB, se aumentan las posibilidades del programa.
En particular, en este modelo, la variable BowString=1 establece la conexión del arco y el tablero, libera los movimientos en uno de los extremos, y genera una serie de barras adicionales transversales en ambos apoyos, para materializar el empotramiento a torsión. La opción BowString=0 empotra los arranques del arco y fija los movimientos y los torsores en estribos.
Por otro lado, la variable Galindo=1 controla si se genera un segundo juego de péndolas al borde interior de la curva a una distancia B definible e impone que su axil de pretensado anule los movimientos horizontales de los anclajes superiores en el arco.
Como puede verse, se hace uso intensivo de las variables reservadas definidas en el apéndice A.
clear; % Nombre de archivo de datos arc_dat='D:\td\calculos\pimp\pr1A_gT6_Gal_bows_CF.m'; % SABRINA % version 2. 10 febrero 2006. JJJL. % Ver codigos de variables en % D:\td\prog\sabrina\Sabrina_v2_Variables_Reservadas_2.m % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DESCRIPCION DEL MODELO % ___________________________________________________ % TABLERO CURVO CON UN ARCO DE PLANTA IMPUESTA % Arco radial afin definido por parametro arco % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % COMANDOS INICIALES % ___________________________________________________ % LINEAS INICIALES a ejecutar: % INICIALIZACION DE VARIABLES: % Ejecutable de inicializacion de struct de datos del modelo dato=eval_arc_m('D:\td\prog\Sabrina\Sabrina_v2_Reset_Var.m' ); clear('dato'); % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % CONFIGURACION GENERAL Y OPCIONES % ___________________________________________________ CG.dir = 'D:\td\calculos\pimp\1A' ; CG.arc_copia = 1 ; CG.arcs2k = 'pr1A_gT6_Gal_bows_CF' ; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % VARIABLES AUXILIARES en struct va % ___________________________________________________ va.L=100; % Luz del arco va.nP=16; % Nº de pendolas va.nint=3; % nº de nudos intermedios en cada tramo va.fA=20; % Flecha vertical del arco % va.gA=0; % Flecha horizontal de arco va.gT=-6; % Flecha horizontal de tablero circular Y DE ARCOS va.YT=0; % coordenada Y de arranque de tablero va.ZT=0; % Coordenada Z de tablero. va.bS=8; % Ancho de plataforma de tablero. % Numeracion modelo Nudos Barras % A 1:99 1:99 % T 101:199 101:199 % Pi - 201:299 % LT 300:399 301:399 barra de tablero opcional a va.B y activadas con LT.on=1 % P 400:499 2º juego de pendolas opcional % % ESTOS MODELOS NO TIENEN BARRAS DE 20 CM AL EXTREMO DE LOS ARCOS
448
% ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEFINICION DE TABLERO(S) % ___________________________________________________ T.on = 1; % TABLERO: GEOMETRIA DE NUDOS DEL CORDON CENTRAL % Numeracion nudos de tablero T.nud = (1:(va.nP+1)*(va.nint+1)+1)+100; % Numeracion de nudos de tablero de los que nacen por ambos lados las barras laterales T.nudP = T.nud(va.nint+2:va.nint+1:end-va.nint-1); T.nnud = length(T.nud); % Numero de nudos de tablero [T.X,T.Y] = nudos_circular(T.nnud,va.L,va.gT,0);, T.X=T.X';, T.Y=T.Y'; % Segmento de circulo T.Y = T.Y+va.YT; T.Z = va.ZT; % Tablero en el plano horizontal Z=0; % Apoyos empotrados de cordon central T.MREST (1,:) = [T.nud(1) 1 1 1 1 1 1]; % Todos movimientos de inicios de tablero coaccionados. T.MREST (2,:) = [T.nud(end) 1 1 1 1 1 1]; % TABLERO: MATERIALES T.MMAT(1,:)=[1 210000 0 77 0.3 1.2e-5]; %Acero estructural (sin masa) % TABLERO: SECCIONES T.sec = [1]; % 1 tipo de seccion T.smat = [1]; % Acero estructural T.stipo = [2]; % Tipo 2: cajon cerrado rectangular T.sh = [0.80]; % Canto: 0.80 m T.sb = [4.00]; % Ancho: 4.00 m T.tw = [0.015]; % Espesores de alas : 15 mm T.tf = [0.015]; % Espesores de almas: 15 mm % TABLERO: BARRAS T.bar = T.nud(1:end-1); % Numeracion consecutiva por defecto de barras y nudos de tablero T.ni = T.nud(1:end-1); T.nj = T.nud(2:end); T.si = 1; % seccion 1 T.sj = 1; % seccion 1 T.nseg = 4 ; T.alfa = 0 ; % T.aM=[]; T.aM(1,:) = [ T.bar(1) 0 0 1 1]; % Extremo i de barra 1 de tablero : Empot. a torsion y liberacion a flexion. T.aM(2,:) = [ T.bar(end) 1 0 1 1]; % Extremo j de barra final de tablero: Empot. a torsion y liberacion a flexion. % barras de tablero cargadas T.barC=T.bar; T.nbarC=T.nbar; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEFINICION DE ARCOS % ___________________________________________________ A.on = 1; % % DEFINICION DEL ARCO % ARCO: GEOMETRIA DE NUDOS Y DEF. DE APOYOS A.nud = T.nud-100; A.nnud = T.nnud; A.nudP = T.nudP -100 ; % Numeracion de nudos de tablero de los que nacen por ambos lados las barras laterales %Planta del arco derecho [A.X,A.Y] = nudos_circular(T.nnud,va.L,va.gT,0);, A.X=A.X';, A.Y=A.Y'; % Segmento de circulo A.Y = A.Y+va.YT; % Alzado del arco derecho en funcion del parametro arco. [borrar A.Z] = parab2(T.nnud,va.L,va.fA); ,A.Z = A.Z'; % Parabola de segundo grado con va.fA de flecha, % Apoyos del arco A.MREST (1,:) = [A.nud(1) 1 1 1 1 1 1]; % Todos los mvtos de arranques coaccionados A.MREST (2,:) = [A.nud(end) 1 1 1 1 1 1]; % ARCO:MATERIALES A.MMAT(1,:) = [1 210000 0 77 0.3 1.2e-5]; %Acero estructural %nº de secciones: ceil(A.nnud/2) A.sec = [1:ceil(A.nnud/2)]; % Seccion variable A.smat = [1]; % Acero estructural % definicion de cajon variable A.stipo = [2]; % Tipo 2: cajon cerrado rectangular A.sh = [1.00 ]; % Canto: 1.00 m A.sb = [1.00 ]; % Ancho: 1.00 m A.tw = [0.030 ]; % Espesores de alas : 3 cm A.tf = [0.030 ]; % Espesores de almas: 3 cm % ARCO:BARRAS A.bar = A.nud(1:end-1); % Numeracion consecutiva por defecto de barras y nudos de arco
449
A.nbar = length(A.bar); A.ni = A.nud(1:end-1); A.nj = A.nud(2:end); parA = (rem(A.nbar,2)==0); % parA=0 si nbar es impar if parA seccion=[A.sec A.sec(end-1:-1:1)]; else seccion=[A.sec A.sec(end:-1:1)]; end A.si = [seccion(1:end-1)]; % Seccion constante A.sj = [seccion(2:end)]; A.nseg = 4 ; A.alfa = 0 ; A.aM=[]; % No hay articulaciones en barras de arco % A.aM = [[A.bar(1) 0 0 1 0];[A.bar(end) 0 0 1 0]] ; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % OPCION DE BOWSTRING % ___________________________________________________ BowString=1 % Activacion del bowstring if BowString==1 % Se conecta el tablero al arco T.ni(1)=A.ni(1); T.nj(end)=A.nj(end); % Se eliminan los nudos iniciales de tablero T.nud=T.nud(2:end-1); T.X(1)=[];,T.X(end)=[]; T.Y(1)=[];,T.Y(end)=[]; if not(length(T.Z)==1) T.Z(1)=[];,T.Z(end)=[]; end % Se generan dos nudos a cada lado de los apoyos del tablero % distancia de apoyos va.dapoy va.dapoy=1; % Apoyos en el lado exterior 2001 y 2101 [xaext,yaext] = nudos_circular(2,va.L,va.gT,va.dapoy); %, xaext=xaext';, yaext=yaext' % Apoyos en el lado interior 2002 y 2102 [xaint,yaint] = nudos_circular(2,va.L,va.gT,-va.dapoy); %, xaint=xaint';, yaint=yaint' %Adicion de nudos a los nudos del tablero T.nud=[T.nud 2001 2101 2002 2102]; T.X=[T.X xaext' xaint']; T.Y=[T.Y yaext' yaint']; T.nnud=length(T.nud); % Definicion de barras adicionales deesde apoyos a inicios de arco T.bar=[T.bar 2001 2002 2101 2102]; T.ni=[T.ni 2001 2002 2101 2102]; T.nj=[T.nj A.nud(1) A.nud(1) A.nud(end) A.nud(end)]; T.nbar=length(T.bar); % Redefinicion de los apoyos : articulados en 2001, articulados moviles en 2101 % Apoyos del arco A.MREST = []; T.MREST = []; T.MREST(1,:)=[2001 0 0 1 0 0 0]; T.MREST(2,:)=[2002 0 0 1 0 0 0]; T.MREST(3,:)=[2101 0 0 1 0 0 0]; T.MREST(4,:)=[2102 0 0 1 0 0 0]; T.MREST(5,:)=[A.nud(1) 1 1 0 0 0 0]; % Muellecito en extremo frontal T.MSPR(1,:)=[A.nud(end) 10 10 0 0 0 0]; end % de BowString % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEF. DE BARRAS LATERALES DE ARCO(S) % ___________________________________________________ LA.on=0; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEF. DE BARRAS LATERALES DE TABLERO(S) % ___________________________________________________ LT.on = 1; % En la variable va.B se define el ancho del atirantamiento del interior de % la curva si se desea emplear la solucion Galindo. va.B=6; % va.B se coloca del lado interior de la curva.
450
va.B=-abs(va.B)*sign(va.gT); % BARRAS LATERALES DE TABLERO :NUDOS LT.ni = [ T.nudP ]; LT.nj = [ T.nudP+200]; % numeracion de los nudos en 100 + los del tablero (del 200 en adelante) LT.nud=LT.nj; LT.bLh = 0;, LT.bLv = 0;, LT.lat = 0; % Coordenadas de los nudos j finales de barras laterales [LT.X,LT.Y] = nudos_circular(A.nnud,va.L,va.gT,-va.B);, LT.X=LT.X';, LT.Y=LT.Y'; % Segmento de circulo % filtrado por coordenadas de pendolas borrar=1:T.nnud; LT.nudP=borrar(va.nint+2:va.nint+1:end-va.nint-1); % indices de nudos de pendolas LT.X=LT.X(LT.nudP); LT.Y=LT.Y(LT.nudP); % BARRAS LATERALES DE TABLERO: MATERIALES LT.MMAT(1,:)=[1 210000*100 0.0 0 0.3 1.2e-5]; % Material 100 veces mas rigido que el acero y sin peso propio. % BARRAS LATERALES DE TABLERO: SECCIONES LT.sec = [1]; % 1 tipo de seccion LT.smat = [1]; % Material ultrarrigido sin peso LT.stipo= [2]; % Tipo 2: cajon cerrado rectangular LT.sh = [0.80]; % Canto: 1.00 m LT.sb = [1.00]; % Ancho: 1.00 m LT.tw = [0.03]; % Espesores de alas : 10 cm LT.tf = [0.03]; % Espesores de almas: 10 cm % BARRAS LATERALES DE TABLERO: BARRAS LT.bar = [ T.nudP+200 ] ; % Numeracion de barras las del tablero + 200 (De 300 en adelante) LT.si = 1; % seccion 1 LT.sj = 1; % seccion 1 LT.nseg = 2; LT.alfa = 0; LT.aM = []; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEFINICION DE PENDOLAS % ___________________________________________________ P.on=1; if not(LT.on==0) % CASO DE DEFINICION DE DOBLE JUEGO DE PENDOLAS % PENDOLAS: NUDOS P.nP=2*va.nP; P.ni=[ A.nudP A.nudP]; %Extremos de barras laterales de arco P.nj=[ T.nudP LT.nj]; %Extremos de barras laterales de tablero % PENDOLAS: MATERIALES for ff=1:2*va.nP P.MMAT(ff,:) = [ ff 190000 0 100 0.3 1.2e-5] ; %(sin masa) end clear('ff'); % PENDOLAS: SECCIONES P.sec = [1:2*va.nP]; % P.nP tipos de seccion P.smat = [1]; % Acero estructural P.stipo= [3]; % Circulares macizas P.sh = [(4*700*1e-6/pi) 0.5]; % Diametro de seccion de 700 mm2 P.sb = [0]; % Macizas P.tw = [0]; % Espesores de alas : nulos P.tf = [0]; % Espesores de almas: nulos % PENDOLAS: BARRAS P.bar = [ A.nudP+200 A.nudP+400]; % Primer juego de pendolas 201-299 % Segundo juego de pendolas 401-499 P.si = [1:2*va.nP]; % Tantas secciones como pendolas P.sj = P.si; % Secciones constantes P.nseg = 2; P.alfa = 0 ; P.aM = zeros(4*va.nP,5); % Se articulan todas las pendolas a flexion P.aM (1:2*va.nP,1) = (P.bar)'; P.aM (1:2*va.nP,2) = 0; % Articulaciones de extremos inicial de pendolas P.aM (1:2*va.nP,4:5) = 1; % Liberacion de M22 y M33 en cabeza de barra. P.aM (2*va.nP+1:4*va.nP,1) = (P.bar)'; P.aM (2*va.nP+1:4*va.nP,2) = 1; % Articulaciones de extremos finales de pendolas P.aM (2*va.nP+1:4*va.nP,3:5) = 1; % Liberacion de T,M22 y M33 en fin de barra. else % CASO DE DEFINICION DE UN SOLO JUEGO DE PENDOLAS % PENDOLAS: NUDOS P.nP=va.nP;
451
P.ni=[ A.nudP ]; %Extremos de barras laterales de arco P.nj=T.nudP; %Extremos de barras laterales de tablero % PENDOLAS: MATERIALES for ff=1:va.nP P.MMAT(ff,:) = [ ff 190000 0 100 0.3 1.2e-5] ; %(sin masa) end clear('ff'); % PENDOLAS: SECCIONES P.sec = [1:va.nP]; % P.nP tipos de seccion P.smat = [1]; % Acero estructural P.stipo= [3]; % Circulares macizas P.sh = [(4*700*1e-6/pi) 0.5]; % Diametro de seccion de 700 mm2 P.sb = [0]; % Macizas P.tw = [0]; % Espesores de alas : nulos P.tf = [0]; % Espesores de almas: nulos % PENDOLAS: BARRAS P.bar = [ A.nudP+200 ]; % Numeracion de nudos de arco de los que sale pendola + 200 (Barras 200 a 300) P.si = [1:va.nP]; % Tantas secciones como pendolas P.sj = P.si; % Secciones constantes P.nseg = 2; P.alfa = 0 ; P.aM = zeros(2*va.nP,5); % Se articulan todas las pendolas a flexion P.aM (1:va.nP,1) = (P.bar)'; P.aM (1:va.nP,2) = 0; % Articulaciones de extremos inicial de pendolas P.aM (1:va.nP,4:5) = 1; % Liberacion de M22 y M33 en cabeza de barra. P.aM (va.nP+1:2*va.nP,1) = (P.bar)'; P.aM (va.nP+1:2*va.nP,2) = 1; % Articulaciones de extremos finales de pendolas P.aM (va.nP+1:2*va.nP,3:5) = 1; % Liberacion de T,M22 y M33 en fin de barra. end % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % ACCIONES PP, CP y SCU SOBRE ESTRUCTURA % ___________________________________________________ S.on=[1 1 1]; S.b = ones(length(T.barC),3); S.b(:,1)= T.barC'; S.b(:,2)= va.bS/2-0.10; S.b(:,3)= va.bS/2-0.10; S.CP=-12/(va.bS-0.20); S.SCU=-4.00 ; %CP: Carga permanente en tablero SCU.CP.M= [ T.barC(1) T.barC(end) 1 0 1]; SCU.CP.P= 'CP'; % SCUA: SCU SOBRE PRIMER SEMIVANO % SCUB: SCU SOBRE SEGUNDO SEMIVANO T.nbarC=length(T.barC); parT = (rem(T.nbarC,2)==0); % parT=0 si nbar es impar SCU.SCUA.M= [ T.barC(1) T.barC(floor(T.nbarC/2)) 1 0 1]; SCU.SCUA.P= 'SCU'; SCU.SCUB.M= [T.barC(ceil(T.nbarC/2+1)) T.barC(end) 1 0 1]; SCU.SCUB.P= 'SCU'; if not(parT) % barra central cargada con barras impares en el tablero SCU.SCUA.M(2,:)= [ T.barC(ceil(T.nbarC/2)) T.barC(ceil(T.nbarC/2)) 1 0 0.5]; SCU.SCUA.P= 'SCU'; 'SCU'; SCU.SCUB.M(2,:)= [ T.barC(ceil(T.nbarC/2)) T.barC(ceil(T.nbarC/2)) 1 0.5 1]; SCU.SCUB.P= 'SCU'; 'SCU'; end clear('parT'); % SCUC CARGA UNIFORME SOBRE SEMITABLERO IZQUIERDO (s/ X) SCU.SCUC.M= [ T.barC(1) T.barC(end) 1 0 1]; SCU.SCUC.P= 'SCUi'; % SCUD CARGA UNIFORME SOBRE SEMITABLERO DERECHO (s/ X) SCU.SCUD.M= [ T.barC(1) T.barC(end) 1 0 1]; SCU.SCUD.P= 'SCUd'; % SCUE CARGA UNIFORME SOBRE TODO TABLERO (s/ X) SCU.SCUE.M= [ T.barC(1) T.barC(end) 1 0 1]; SCU.SCUE.P= 'SCU';
452
% ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % ACCIONES TERMICAS % ___________________________________________________ DT.on=1; % Calentamiento % A Y T : +30ºC % P : +60ºC DT.INCT=[ [A.bar(2) A.bar(end-1) 1 1 30]; [T.barC(1) T.barC(end) 1 1 30] ; [P.bar(1) P.bar(end) 1 1 60]]; % Enfriamiento % A Y T : -30ºC % P : -40ºC DT.DECT=[ [A.bar(1) A.bar(end) 1 1 -30]; [T.barC(1) T.barC(end) 1 1 -30] ; [P.bar(1) P.bar(end) 1 1 -40]]; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % HIPOTESIS SIMPLES DE CARGA ADICIONALES % ___________________________________________________ LOAD.on=1; LOAD.VTO1= 'TYPE=DISTRIBUTED SPAN'; LOAD.VTO2= ['ADD=1,', num2str(A.bar(1)), ',' num2str(A.bar(end)),' RD=0,1 UYP=10,10'] ; LOAD.PRET1='TYPE=CONCENTRATED SPAN' LOAD.PRET2=['ADD=', num2str(A.bar(1)), ',' num2str(A.bar(end)),',1 RD=0 U1=1000'] ; LOAD.PRET3=['ADD=', num2str(A.bar(1)), ',' num2str(A.bar(end)),',1 RD=1 U1=-1000'] ; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % OPCIONES DE ANALISIS P-DELTA % ___________________________________________________ PD.on=1; PD.T =[40 1e-5 1e-5 ]; PD.HIP= 'PP' 'CP' 'SAE'; PD.SF= [ 1 1 1] ; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % COMBINACIONES DE ACCIONES % ___________________________________________________ COMB.on =1; COMB.HIP0.HIP= 'LOAD=PP' 'LOAD=CP' 'LOAD=SAE' ; COMB.HIP0.SF =[ 1 1 1]; COMB.HIPSAE.HIP= 'LOAD=PP' 'LOAD=CP' 'LOAD=SAE' ; COMB.HIPSAE.SF =[ 1 1 1 ]; COMB.HIPAF.HIP= 'LOAD=PP' 'LOAD=CP' 'LOAD=SCUA' 'LOAD=SCUB' 'LOAD=SAE'; COMB.HIPAF.SF =[ 1 1 1 1 1]; COMB.HIPA.HIP= 'COMB=HIP0' 'LOAD=SCUA'; COMB.HIPA.SF =[ 1 1 ]; COMB.HIPB.HIP= 'COMB=HIP0' 'LOAD=SCUB'; COMB.HIPB.SF =[ 1 1 ]; COMB.HIPC.HIP= 'COMB=HIP0' 'LOAD=SCUC'; COMB.HIPC.SF =[ 1 1 ]; COMB.HIPD.HIP= 'COMB=HIP0' 'LOAD=SCUD'; COMB.HIPD.SF =[ 1 1 ]; COMB.HIPE.HIP= 'COMB=HIP0' 'LOAD=SCUE'; COMB.HIPE.SF =[ 1 1 ]; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEF. DE SISTEMA AUXILIAR DE ECUACIONES % ___________________________________________________ % % CASO DE ANULACION DE FLECHAS DE EXTREMOS DE PENDOLAS % sae.on=1; % sae.comp=1; % sae.PD=PD; % sae.niter=20; % Caso nulas flechas en nudos extremos de pendolas sae.T = P.bar; if LT.on==1 % caso de un doble juego de pendolas %Anulacion de las flechas de nudos finales de pendolas en tablero para hipotesis HIPSAE sae.c1='CSEa(sae,''D'',T.nudP,3)= - 1 * CSEb(sae,''D'',T.nudP,3,''HIPSAE'')'; %Anulacion de las flechas HORIZONTALES DE ARCO EN CABEZA DE PENDOLAS para hipotesis HIPSAE sae.c2='CSEa(sae,''D'',A.nudP,2)= - 1 * CSEb(sae,''D'',A.nudP,2,''HIPSAE'')'; else %Anulacion de las flechas de nudos finales de pendolas en tablero para hipotesis HIPSAE sae.c1='CSEa(sae,''D'',T.nudP,3)= - 1 * CSEb(sae,''D'',T.nudP,3,''HIPSAE'')'; end % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
453
% DEF. DE GEOMETRIA ANTIFUNICULAR % ___________________________________________________ AF.on = 0 ; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEF. DE CONTRAFLECHA DE EJECUCION % ___________________________________________________ CF.on = 1 ; % inicializacion del proceso. CF.tol = 1E-6; %[m] CF.niter =10; % Definicion de contraflecha: CF.nud1 = A.nud; ; % Nudos extremos de barras laterales; CF.gdl1 = [ 1 0 1] ; % Contraflecha en tres coordenadas CF.HIP1 = 'HIPSAE' ; % Para la hipotesis HIP0 CF.nud2 = T.nud; ; % Nudos extremos de barras laterales; CF.gdl2 = [ 1 1 1] ; % Contraflecha en el plano horizontal CF.HIP2 = 'HIPSAE' ; % Para la hipotesis HIP0 if not(LT.on==0) CF.nud3 = LT.nj; ; % Nudos extremos de barras laterales; CF.gdl3 = [ 1 1 1] ; % Contraflecha total CF.HIP3 = 'HIPSAE' ; % Para la hipotesis HIP0 end % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DEF. DE DIMENSIONAMIENTO DE AREA DE PENDOLAS % ___________________________________________________ dAP.on = 1 ; % Inicializacion del proceso. dAP.bar = P.bar ; % Se dimensionan todas las pendolas dAP.porc = 45 ; % Dimensionamiento al 45% de 1860 MPa en la pendolas dAP.HIP ='HIPE' ; % dAP.ARCH '' - ' Nombre con path y sin extension del archivo (generalmente auxiliar) donde esta dAP.Hip dAp.rAP = 1; dAP.rAPa = 140; % [mm2] dAP.max = 1; dAP.fmax = 1; % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % COMANDOS FINALES y MACROS % ___________________________________________________ % struct ma: datos de macros que se quieren ejecutar % Preparacion de los datos Sab_Gen_Data_v2; % PROCESO ITERATIVO INCREMENTAL DE CALCULO % Proceso convergido en AF y CF y no en dAP AF.conv=0 ; CF.conv=0 ; dAP.conv=0 ; % Definicion de incrementos del proceso ma.sf = [ 1 1 1 1 1 ] ; ma.niter = [ 5 5 5 5 5 ] ; ma.tol = [ 0.005 0.005 0.005 0.002 0.002 ] ; % Sistema inicial auxiliar de ecuaciones AF.tol=ma.tol(1); AF.niter=ma.niter(1); COMB.HIPSAE.SF=[ 1 1 1]; AF.it.copia=1; AF.it.nit=0; Sab_Macro_sae_v3; for mm=1:length(ma.sf) AF.tol=ma.tol(mm); AF.niter=ma.niter(mm); % Contraflecha Sabrina_v2_m_Contraf_3D; % Areas de las pendolas Sabrina_v2_m_dAP ; sae=struct_keep(sae,'on','PD','T','T3','T2','M2','M3','c','comp','niter'); Sab_Macro_sae_v3 ; % Analisis de todas las convergencias simultaneamente % para la maxima carga if ma.sf(mm)==1
454
ma.on = [AF.on dAP.on CF.on ]; ma.conv = [AF.conv dAP.conv CF.conv ]; ma.conv(ma.on==0)=1; if all(ma.conv==1) break disp('FIN DE CALCULOS POR CONVERGENCIA'); end % all end % if end % de mm mensaje=Gen_s2k_v1_f_Nmm(CG,A,T,LA,LT,P,S,SCU,LOAD,DT,PD,COMB,0); % sonido de aviso al terminar cada escritura de archivo s2k AF.sound.file='c:\windows\media\ringin.wav'; [AF.sound.a,AF.sound.b,AF.sound.c] = wavread(AF.sound.file); wavplay(AF.sound.a,AF.sound.b,'sync'); wavplay(AF.sound.a,AF.sound.b,'sync'); clear( 'mm', 'niter', 'tol');
455
APÉNDICE C
C CÓDIGO DE FUNCIONES DE POSTPROCESO DE SAP2000 (v. 7.40). Los códigos a continuación son funciones de postproceso de los archivos de salida de SAP2000,
de extensión OUT y EKO (Véase el manual del programa en [18]).
Las funciones son las siguientes:
• Lee_EKO_Force_Length.m
• Lee_EKO_Joint_Coordinates
• Lee_EKO_Frame_Caract_Prism.m
• Lee_EKO_Frame_Data.m
• Lee_EKO_Frame_Dimen_Prism.m
• Lee_EKO_Frame_Sect_Label.m
• Lee_EKO_Shell_Elements.m
• Lee_EKO_OU_Disp_Joints.m
• Lee_EKO_OU_Frame_Forces.m
• Lee_EKO_OU_React_Joints.m
• Lee_OUT_Joint_Reactions.m
• Lee_OUT_Joint_Displacements.m
• Lee_OUT_Frame_Internal_Forces.m
• Lee_OUT_Shell_Internal_Forces.m
Lee_EKO_Force_Length.m function [Un_Force,Un_Length]=Lee_EKO_Force_Length(archivo) % Lectura de las unidades LENGTH UNITS y FORCE UNITS de % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Un_Force : cadena de texto de unidades de fuerza % Un_Length : cadena de texto de unidades de longitud %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; while encuentra==0 linea = fgets(arc); if not(isempty(findstr('LENGTH UNITS',linea))) encuentra=1; end end %se toman los 5 caracteres ultimos de la linea y se limpian de blancos linea=deblank(linea(end-5:end)); Un_Length=deblank(linea(min(find(not(isspace(linea)))):end)); %se toman los 5 caracteres ultimos de la linea y se limpian de blancos linea = fgets(arc); linea=deblank(linea(end-5:end)); Un_Force=deblank(linea(min(find(not(isspace(linea)))):end)); fclose(arc);
456
Lee_EKO_Joint_Coordinates function Mnudos=Lee_EKO_Joint_Coordinates(archivo) % Lectura del bloque Joint Coordinates del % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Mnudos: matriz de n*4 % columna 1: nº de nudo % columna 2: coord. X % columna 3: coord. Y % columna 4: coord. Z %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; %orden=0 while encuentra==0 linea = fgets(arc); % orden=orden+1 if not(isempty(findstr('G E N E R A T E D J O I N T C O O R D I N A T E S',linea))) encuentra=1; end end %Dos lineas en blanco linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); %DEFINICION DE Mnudos % nº,X,Y,Z Mnudos=[]; linea=fgets(arc); f=1; encuentra=0; while encuentra==0 [Mnudos(f,1),Mnudos(f,2),Mnudos(f,3),Mnudos(f,4)] ... = strread(linea,'%f %f %f %f' ); f=f+1; linea=fgets(arc); if not(isempty(findstr('C S I / S A P 2 0 0 0',linea))) encuentra=1; end end fclose(arc);
Lee_EKO_Frame_Caract_Prism.m function [MNomSec,MCarSec]=Lee_EKO_Frame_Caract_Prism(archivo) % Lectura del bloque de caracteristicas mecanicas de % secciones prismaticas de SAP 2000 % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % % RESULTADOS: % MNomSec: Cell array de n*1 % Nombres de seccion % MCarSec: matriz de n*7 % % col 1 col 2 col 3 col 4 col 5 col 6 col 7 % SECTION AXIAL TORSIONAL MOMENTS OF INERTIA SHEAR AREAS % LABEL AREA CONSTANT I33 I22 A2 A3 %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0;
457
%se busca el segundo bloque donde aparezca la cadena while not(encuentra==2) linea = fgets(arc); if not(isempty(findstr(... 'F R A M E S E C T I O N P R O P E R T Y D A T A - P R I S M A T I C',... linea))) encuentra=encuentra+1; end end %Cuatro lineas en blanco for f=1:4 linea=fgets(arc); end %Inicializacion de matrices MNomSec=cellstr(''); MCarSec=[]; linea=fgets(arc); ff=1; encuentra=0; while encuentra==0 [MNomSecff,1,MCarSec(ff,1),MCarSec(ff,2),MCarSec(ff,3),MCarSec(ff,4),... MCarSec(ff,5),MCarSec(ff,6),MCarSec(ff,7)]... = strread(linea,'%s %f %f %f %f %f %f %f' ); ff=ff+1; linea=fgets(arc); if not(isempty(findstr('C S I / S A P 2 0 0 0',linea))) encuentra=1; end if all(isspace(linea)) encuentra=1; end end fclose(arc);
Lee_EKO_Frame_Data.m function Mbarras=Lee_EKO_Frame_Data(archivo) % Lectura del bloque FRAME ELEMENT DATA del % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Mbarras: matriz de n*8 % columna 1: Element Label % columna 2: Joint. End I % columna 3: Joint. End J % columna 4: Element Length % columna 5: End Offset Length I % columna 6: End Offset Length J % columna 7: Rigid-End Factor % columna 8: Number of segments %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; while encuentra==0 linea = fgets(arc); if not(isempty(findstr('F R A M E E L E M E N T D A T A',linea))) encuentra=1; end end %Tres lineas en blanco linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); %DEFINICION DE COEFICIENTES DE Mbarras % nº,X,Y,Z
458
Mbarras=[]; linea=fgets(arc); f=1; encuentra=0; while encuentra==0 [Mbarras(f,1),Mbarras(f,2),Mbarras(f,3),Mbarras(f,4),Mbarras(f,5),Mbarras(f,6), ... Mbarras(f,7),Mbarras(f,8)]= strread(linea,'%f %f %f %f %f %f %f %f' ); f=f+1; linea=fgets(arc); if not(isempty(findstr('C S I / S A P 2 0 0 0',linea))) encuentra=1; end end fclose(arc);
Lee_EKO_Frame_Dimen_Prism.m function MDimSec=Lee_EKO_Frame_Dimen_Prism(archivo) % Lectura del bloque de dimensiones de % secciones tipo definidas de SAP 2000 % % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % MDimSec: Cell array de n*3 n: nº de tipos diferentes de secciones % columna 1 : nombre del tipo de seccion % columna 2: tipo de la seccion (codificacion de SAP2000) % columna 3: vector de 1*ndim. ndim=nº de magnitudes que SAP2000 necesaita para % definir una seccion % columna 4: [semicanto eje 3, semicanto eje 2] %archivo: Nombre con extension de archivo archEKO=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archEKO,'r'); MDimSec=cell(1,4); encuentra=0; %se busca el primer bloque donde aparezca la cadena while not(encuentra==1) linea = fgets(arc); if not(isempty(findstr(... 'F R A M E S E C T I O N P R O P E R T Y D A T A - P R I S M A T I C',... linea))) encuentra=encuentra+1; end end %Cinco lineas en blanco for f=1:5 linea=fgets(arc); end linea=fgets(arc); ff=1; encuentra=0; while encuentra==0 if not(isempty(findstr('C S I / S A P 2 0 0 0',linea))) encuentra=1; break; end if all(isspace(linea)) encuentra=1; break; end %nombre de la seccion [MDimSecff,1,b]=strtok(linea); % tipo de la seccion [MDimSecff,2,b]=strtok(b); % Casos de secciones tipificadas %------------------------ if MDimSecff,2 =='B' % seccion tipo BOX/TUBE
459
% a(1): t3 : canto exterior (medido sobre eje local 2) (flexion sobre eje local 3) % a(2): t2 : ancho exterior (medido sobre eje local 3) (flexion sobre eje local 2) % a(3): tf : espesor de la pared del alma (medido sobre eje local 3) (cortante paralelo a eje 2) % a(4): tw : espesor de la pared (medido sobre eje local 2) (cortante paralelo a eje 3) [a(1),a(2),a(3),a(4)]=strread(b,'%f %f %f %f' ); MDimSecff,3=a; MDimSecff,4=[a(1)/2 a(2)/2]; end %------------------------ if MDimSecff,2 =='R' % seccion tipo RECTANGULAR % a(1): t3 : canto exterior (medido sobre eje local 2) (flexion sobre eje local 3) % a(2): t2 : ancho exterior (medido sobre eje local 3) (flexion sobre eje local 2) [a(1),a(2)]=strread(b,'%f %f' ); MDimSecff,3=a; MDimSecff,4=[a(1)/2 a(2)/2]; end %------------------------ if MDimSecff,2 =='P' % seccion tipo PIPE (tambien circular) % a(1): t3 : diametro exterior % a(2): t3 : diametro exterior % a(3): tw : espesor de la pared % a(4): tw : espesor de la pared [a(1),a(2),a(3),a(4)]=strread(b,'%f %f %f %f' ); MDimSecff,3=a; MDimSecff,4=[a(1)/2 a(1)/2]; end %------------------------ if MDimSecff,2 =='G' % seccion tipo General % a(1): : Canto % a(2): : Ancho % a(3): : Semicanto % a(4): : Semiancho archs2g=[archivo,'.s2g']; arc2=fopen(archs2g,'r'); % 2 lineas inutiles linea=fgets(arc2); linea=fgets(arc2); s=0; while s==0 linea=fgets(arc2); [c,b]=strtok(linea); % ca=blanks(length(MDimSecff,1)) % ca(1:length(c))=c(:) ca=char(MDimSecff,1,c); if all(ca(1,:)==ca(2,:)) % if all(MDimSecff,1 ==c) [a(1),a(2),a(3),a(4)]=strread(b,'%f %f %f %f' ); MDimSecff,3=a(1:2); MDimSecff,4=a(3:4); s=1; end end fclose(arc2); end %----------------------- ff=ff+1; linea=fgets(arc); end fclose(arc);
Lee_EKO_Frame_Sect_Label.m function [MBarLab]=Lee_EKO_Frame_Sect_Label(archivo) % Lectura del segundo bloque de caracteristicas de las barras % de SAP 2000 % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo
460
% Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % % RESULTADOS: % MBarLab: cell array de section labels n 2 n:_nº de barras % col 1: nº de la barra % col 2: nombre de la seccion de la barra. %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; %orden=0+ %se busca el segundo bloque donde aparezca la cadena while not(encuentra==2) linea = fgets(arc); if not(isempty(findstr(... ' F R A M E E L E M E N T D A T A',... linea))) encuentra=encuentra+1; end end %Cuatro lineas en blanco for f=1:4 linea=fgets(arc); end %Inicializacion de matrices MBarLab=cellstr(''); linea=fgets(arc); ff=1; encuentra=0; while encuentra==0 [MBarLabff,1,MBarLabff,2,a,b,c,d,e,f,g]= strread(linea,'%f %s %s %s %s %s %s %s %s' ); ff=ff+1; linea=fgets(arc); if not(isempty(findstr('C S I / S A P 2 0 0 0',linea))) encuentra=1; end if all(isspace(linea)) encuentra=1; end end clear('a','b','c','d','e','f','g'); fclose(arc);
Lee_EKO_Shell_Elements.m function Melem=Lee_EKO_Shell_Elements(archivo) % Lectura del bloque Shell Element Data del % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo : % Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Melem: matriz de nelem*nnud % columna 1 : nº de elemento % columna 2 a nnud : nudos de elemento % El nº de columna es el numero maximo de nudos de cq elemto. % Los que tienen menos nudos tienen 0 en las columnas sobrantes de la matriz. %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; %orden=0 while encuentra==0 linea = fgets(arc); % orden=orden+1
461
if not(isempty(findstr('S H E L L E L E M E N T D A T A',linea))) encuentra=1; end end %cuatro lineas en blanco for ff=1:4 linea=fgets(arc); end %DEFINICION DE Mnudos % nº,X,Y,Z Melem=[]; linea=fgets(arc); ff=1; % fila jj=0; % columna encuentra=0; while encuentra==0 while not ( all( isspace(linea) ) ) jj=jj+1; [a linea] = strtok(linea); Melem(ff,jj)=str2num(a); end jj=0; ff=ff+1; linea=fgets(arc); if not(isempty(findstr('S A P 2 0 0 0',linea))) encuentra=1; end end fclose(arc);
Lee_EKO_OU_Disp_Joints.m function Ccargas=Lee_EKO_OU_Disp_Joints(archivo) % Lectura de OUTPUT SELECTION % Lectura del bloque DISPLACEMENTS AT JOINTS del % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Ccargas: cell array de n x 1 % En cada fila se almacena el nombre de las hipotesis simples para % las que se ha pedido salida de desplazamientos en nudos % Nota: Esta funcion solo lee hipotesis simples % Si se introducen combinaciones se produce un error %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; while encuentra==0 linea = fgets(arc); if not(isempty(findstr('DISPLACEMENTS AT JOINTS',linea))) encuentra=1; end end %Cuatro lineas en blanco linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); %DEFINICION DE Ccargas Ccargas=cellstr(''); linea=fgets(arc); f=1; encuentra=0; while encuentra==0
462
Ccargasf,1=deblank(linea(min(find(not(isspace(linea)))):end)); f=f+1; linea=fgets(arc); if all(isspace(linea)) %para cuando encuentra linea en blanco encuentra=1; end end fclose(arc);
Lee_EKO_OU_Frame_Forces.m function Ccargas=Lee_EKO_OU_Frame_Forces(archivo) % Lectura de OUTPUT SELECTION % Lectura del bloque INTERNAL FORCES AT ELEMENT FRAME del % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Ccargas: cell array de n x 1 % En cada fila se almacena el nombre de las hipotesis simples para % las que se ha pedido salida de esfuerzos internos en barras % Nota: Esta funcion solo lee hipotesis simples % Si se introducen combinaciones se produce un error %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; % orden=0 while encuentra==0 linea = fgets(arc); % orden=orden+1 if not(isempty(findstr('INTERNAL FORCES AT ELEMENT FRAME',linea))) encuentra=1; end end %Cuatro lineas en blanco linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); %DEFINICION DE Ccargas Ccargas=cellstr(''); linea=fgets(arc); f=1; encuentra=0; while encuentra==0 Ccargasf,1=deblank(linea(min(find(not(isspace(linea)))):end)); f=f+1; linea=fgets(arc); if not(isempty(findstr('C S I / S A P 2 0 0 0',linea))); encuentra=1; end end fclose(arc);
Lee_EKO_OU_React_Joints.m function Ccargas=Lee_EKO_OU_React_Joints(archivo) % Lectura de OUTPUT SELECTION % Lectura del bloque REACTIONS AT JOINTS del % archivo EKO de SAP2000 % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .EKO % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Ccargas: cell array de n x 1 % En cada fila se almacena el nombre de las hipotesis simples para
463
% las que se ha pedido salida de reacciones en nudos % Nota: Esta funcion solo lee hipotesis simples % Si se introducen combinaciones se produce un error %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.EKO']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; % orden=0 while encuentra==0 linea = fgets(arc); % orden=orden+1 if not(isempty(findstr('REACTIONS AT JOINTS',linea))) encuentra=1; end end %Cuatro lineas en blanco linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); linea=fgets(arc); %DEFINICION DE Ccargas Ccargas=cellstr(''); linea=fgets(arc); f=1; encuentra=0; while encuentra==0 Ccargasf,1=deblank(linea(min(find(not(isspace(linea)))):end)); f=f+1; linea=fgets(arc); if all(isspace(linea)) %para cuando encuentra linea en blanco encuentra=1; end end fclose(arc);
Lee_OUT_Joint_Reactions.m function [Mhip,Mdesp]=Lee_OUT_Joint_Reactions(archivo) % Lectura de reacciones en nudos de archivo OUT % archivo OUT de SAP2000 %_________________________________________ % % Para versiones 6.11 y 7.40 de sap2000 % Para hipotesis simples y COMB de sap2000 %_________________________________________ % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .OUT % Se introduce sin extension como argumento % % % RESULTADOS: % Mhip: cell array columna de 1 x 2 % columna 1: nhip: VECTOR COLUMNA nº de hipotesis por orden de aparicion % columna 2: hip: CELL ARRAY con nombres de las hipotesis % % Esta version lee tambien COMB añadiendo _M al nombre de la hipotesis para la % maxima y _m a la minima % % Mdesp: matriz de nnudos * 8 % columna 1: nº de nudo % columna 2: nº de hipotesis coincidente con nhipo de Mhip % columna 3 a 8: reacciones en nudo para los 6 grados de libertad. %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.OUT']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; %orden=0 while encuentra==0 linea = fgets(arc); % orden=orden+1
464
if not(isempty(findstr('R E S T R A I N T F O R C E S ( R E A C T I O N S )',linea))) encuentra=1; end end %TRES lineas en blanco linea=fgetl(arc); linea=fgetl(arc); linea=fgetl(arc); %inicializacion de variables %cell de nombres de hipotesis hip=cellstr(''); %matriz de desplzamientos Mdesp=[]; %vector de lectura de cada linea v=zeros(1,8); f=0; fin=0; %indicador de fin de bloque de desplazamientos finhip=0; %indicador de fin de bloque de desplazamientos para una hipotesis while fin==0 f=f+1; %indice de lectura de hipotesis %lectura de nombres de hipotesis linea=fgetl(arc); if not(isempty(findstr('LOAD',linea))); %hipotesis simple nueva [a,linea]=strtok(linea); hipf,1=strtok(linea); end if not(isempty(findstr('COMB',linea))); %combinacion nueva [a1,a2,a3,a4]=strread(linea,'%s %s %s %s'); % si es una combinacion (o envolvente) añade '_M' % a la maxima y '_m' a la minima if strcmp(a4,'MAX') m='_M'; else m='_m'; end hipf,1=[char(a2),m]; end %DOS lineas en blanco linea=fgetl(arc); linea=fgetl(arc); finhip=0; while finhip==0 linea=fgetl(arc); if or (not(isempty(findstr('PROGRAM SAP2000',linea))) ,... % version 6.11 not(isempty(findstr('Program SAP2000',linea))) ) % version 7.40 fin=1; break end if all(isspace(linea)) finhip=1; break end [v(1),v(3),v(4),v(5),v(6),v(7),v(8)]= strread(linea,'%f %f %f %f %f %f %f' ); v(2)=f; Mdesp=[Mdesp;v]; end end fclose(arc); %Escritura de Mhip Mhip=cell(1,2); Mhip1,1=(1:1:length(hip))'; Mhip1,2=hip;
Lee_OUT_Joint_Displacements.m function [Mhip,Mdesp]=Lee_OUT_Joint_Displacements(archivo) % Lectura de desplazamientos en nudos de archivo OUT % archivo OUT de SAP2000 %_________________________________________ %
465
% Para versiones 6.11 y 7.40 de sap2000 % Para hipotesis simples y COMB de sap2000 % ________________________________________ % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .OUT % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Mhip: cell array columna de 1 x 2 % columna 1: nhip: VECTOR COLUMNA nº de hipotesis por orden de aparicion % columna 2: hip: CELL ARRAY con nombres de las hipotesis % % Esta version lee tambien COMB añadiendo _M al nombre de la hipotesis para la % maxima y _m a la minima % % Mdesp: matriz de nnudos * 8 % columna 1: nº de nudo % columna 2: nº de hipotesis % columna 3 a 8: desplazamientos del nudo para los 6 grados de libertad. %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.OUT']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; %orden=0 while encuentra==0 linea = fgets(arc); % orden=orden+1 if not(isempty(findstr('J O I N T D I S P L A C E M E N T S',linea))) encuentra=1; end end %TRES lineas en blanco linea=fgetl(arc); linea=fgetl(arc); linea=fgetl(arc); %inicializacion de variables %cell de nombres de hipotesis hip=cellstr(''); %matriz de desplzamientos Mdesp=zeros(50000,8); %vector de lectura de cada linea v=zeros(1,8); f=0; num_lin=0; fin=0; %indicador de fin de bloque de desplazamientos finhip=0; %indicador de fin de bloque de desplazamientos para una hipotesis while fin==0 f=f+1; %indice de lectura de hipotesis %lectura de nombres de hipotesis linea=fgetl(arc); [a,linea]=strtok(linea); % si es una hipotesis simple añade el nombre directamente if strcmp(a,'LOAD') hipf,1=strtok(linea); end % si es una combinacion (o envolvente) añade '_M' a la maxima y '_m' a la minima if strcmp(a,'COMB') [a,linea,m]=strread(linea,'%s %s %s'); if strcmp(m,'MAX') m='_M'; else m='_m'; end hipf,1=[char(a),m]; end %DOS lineas en blanco linea=fgetl(arc); linea=fgetl(arc);
466
finhip=0; while finhip==0 linea=fgetl(arc); if or( not(isempty(findstr('PROGRAM SAP2000',linea))),... % version 6.11 not(isempty(findstr('Program SAP2000',linea))) ) % version 7.40 fin=1; break end if all(isspace(linea)) finhip=1; break end [v(1),v(3),v(4),v(5),v(6),v(7),v(8)]= strread(linea,'%f %f %f %f %f %f %f' ); v(2)=f; num_lin=num_lin+1; Mdesp(num_lin,:)=v; end end fclose(arc); %limpieza de Mdesp %Como no hay numero de nudo 0 se eliminan las filas donde la primer columna es cero Mdesp(find(Mdesp(:,1)==0),:)=[]; %Escritura de Mhip Mhip=cell(1,2); Mhip1,1=(1:1:length(hip))'; Mhip1,2=hip;
Lee_OUT_Frame_Internal_Forces.m function [Mhip,Mbar,Mesf]=Lee_OUT_Frame_Internal_Forces(archivo) % Lectura de esfuerzos internos en barras de archivo OUT de SAP2000 %_________________________________________ % % Para versiones 6.11 y 7.40 de sap2000 % Para hipotesis simples y COMB de sap2000 % ________________________________________ % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .OUT % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Mhip: cell array columna de 1 x 2 % celda 1,1: nhip: VECTOR COLUMNA nº de hipotesis por orden de aparicion % celda 1,2: hip: CELL ARRAY con nombres de las hipotesis % % Esta version lee tambien COMB añadiendo _M al nombre de la hipotesis para la % maxima y _m a la minima % % Mbar: matriz de nbar x 2 % columna 1: nbar : nº de barra % columna 2: longbar: longitud de las barra % % Mesf: matriz de nbar * 9 % columna 1 : nº de barra % columna 2 : localizacion en la barra % columna 3 : nº de la hipotesis coincidente con nhip de Mhip. % columna 4 a 9 : esfuerzos en la barra para los 6 grados de libertad. %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.OUT']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; %orden=0 while encuentra==0 linea = fgets(arc); % orden=orden+1 if not(isempty(findstr(' F R A M E E L E M E N T I N T E R N A L F O R C E S',linea))) encuentra=1; end
467
end %UNA linea en blanco linea=fgets(arc); %inicializacion de variables %cell de nombres de hipotesis hip=cellstr(''); %nº de barras nbar=[]; %long de barras longbar=[]; %matriz de esfuerzos Mesf=zeros(100000,9); %vector de lectura de cada linea de Mesf v=zeros(1,9); f=0; nueva=0; ind=1; %(indice de filas de Mesf) while 1 %mientras no llegue el fin del bloque de elementos linea=fgets(arc); if ~ischar(linea), break, end %sale de while si se acaba el archivo if not(isempty(findstr('ELEM',linea))) %elemento nuevo [a1,a2,a3,a4,a5,a6]=strread(linea,'%s %s %s %s %s %s'); numbar=str2num(char(a2)); nbar=[nbar;numbar]; lbar=str2num(char(a6)); longbar=[longbar;lbar]; linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea nueva=nueva+1; f=0; end if not(isempty(findstr('LOAD',linea))) %hipotesis nueva if nueva==1 [a1,a2,a3]=strread(linea,'%s %s %s'); hipend+1,1=char(a2); end f=f+1; linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea end if not(isempty(findstr('COMB',linea))) %combinacion nueva if nueva==1 [a1,a2,a3,a4]=strread(linea,'%s %s %s %s'); % si es una combinacion (o envolvente) añade '_M' % a la maxima y '_m' a la minima if strcmp(a4,'MAX') m='_M'; else m='_m'; end hipend+1,1=[char(a2),m]; end f=f+1; linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea end while not(all(isspace(linea))) [Mesf(ind,2),Mesf(ind,4),Mesf(ind,5),Mesf(ind,6),Mesf(ind,7),Mesf(ind,8),Mesf(ind,9)]=... strread(linea,'%f %f %f %f %f %f %f' ); Mesf(ind,1)=numbar; Mesf(ind,3)=f; ind=ind+1; linea=fgets(arc); if ~ischar(linea), break, end end end fclose(arc);
468
%limpieza de Mesf %Como no hay numero de barra 0 se eliminan las filas donde la primer columna es cero Mesf(find(Mesf(:,1)==0),:)=[]; %Escritura de Mhip hip=hip(2:end); Mhip=cell(1,2); Mhip1,1=(1:1:length(hip))'; Mhip1,2=hip; %Escritura de Mbar Mbar=[nbar,longbar];
Lee_OUT_Shell_Internal_Forces.m function [Mhip,Mbar,Mesf]=Lee_OUT_Shell_Internal_Forces(archivo) % Lectura de esfuerzos internos en shell de archivo OUT de SAP2000 v.7.40 %_________________________________________ % % ¿ Para versiones 6.11 y 7.40 de sap2000 ? % Para hipotesis simples y COMB de sap2000 % ________________________________________ % % DATOS: % archivo % Nombre y path completo de archivo .OUT % Se introduce sin extension como argumento % % RESULTADOS: % Mhip: cell array columna de 1 x 2 % celda 1,1: nhip: VECTOR COLUMNA nº de hipotesis por orden de aparicion % celda 1,2: hip: CELL ARRAY con nombres de las hipotesis % % Esta version lee tambien COMB añadiendo _M al nombre de la hipotesis para la % maxima y _m a la minima % % Mbar: Vectpr columna de nº de elementos % % Mesf: matriz de nbar * 9 % columna 1 : nº de shell % columna 2 : numero del nudo de la shell % columna 3 : nº de la hipotesis coincidente con nhip de Mhip. % columnas 4 a 35: SALIDA % columna 4 a 9 : F11 F22 F12 F-MAX F-MIN ANGLE % columna 10 a 15 : M11 M22 M12 M-MAX M-MIN ANGLE % columna 16 a 19 : V13 V23 V-MAX ANGLE % columna 20 a 25 : S11-TOP S22-TOP S12-TOP S-TOP-MAX S-TOP-MIN ANGLE % columna 26 a 31 : S11-BOT S22-BOT S12-BOT S-BOT-MAX S-BOT-MIN ANGLE % columna 32 a 35 : S13-AVG S23-AVG S-AVG-MAX ANGLE %archivo: Nombre con extension de archivo archivo=[archivo,'.OUT']; arc=fopen(archivo,'r'); encuentra=0; %orden=0 while encuentra==0 linea = fgets(arc); % orden=orden+1 if not(isempty(findstr('S H E L L E L E M I N T E R N A L F O R C E S',linea))) encuentra=1; end end %UNA linea en blanco linea=fgets(arc); %inicializacion de variables %cell de nombres de hipotesis hip=cellstr(''); %nº de barras nbar=[]; %long de barras longbar=[]; %matriz de esfuerzos Mesf=zeros(500000,35); %vector de lectura de cada linea de Mesf v=zeros(1,9); f=0; nueva=0;
469
ind=1; %(indice de filas de Mesf) while 1 %mientras no llegue el fin del bloque de elementos linea=fgets(arc); if ~ischar(linea), break, end %sale de while si se acaba el archivo if not(isempty(findstr('ELEM',linea))) %elemento nuevo [a1,a2,a3,a4,a5,a6]=strread(linea,'%s %s %s %s %s %s'); numbar=str2num(char(a2)); nbar=[nbar;numbar]; % lbar=str2num(char(a6)); % longbar=[longbar;lbar]; linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea nueva=nueva+1; f=0; end if not(isempty(findstr('LOAD',linea))) %hipotesis nueva if nueva==1 [a1,a2,a3]=strread(linea,'%s %s %s'); hipend+1,1=char(a2); end f=f+1; linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea end if not(isempty(findstr('COMB',linea))) %combinacion nueva if nueva==1 [a1,a2,a3,a4]=strread(linea,'%s %s %s %s'); % si es una combinacion (o envolvente) añade '_M' % a la maxima y '_m' a la minima if strcmp(a4,'MAX') m='_M'; else m='_m'; end hipend+1,1=[char(a2),m]; end f=f+1; linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea linea=fgets(arc); %lectura de siguiente linea end % BLOQUE DE LECTURA DE SALIDA DE CADA ELEMENTO nnud=0; %inicio de lectura de 6 bloques en cada elemento while not(all(isspace(linea))) % columna 4 a 9 : F11 F22 F12 F-MAX F-MIN ANGLE [Mesf(ind,2),Mesf(ind,4),Mesf(ind,5),Mesf(ind,6),Mesf(ind,7),Mesf(ind,8),Mesf(ind,9)]=... strread(linea,'%f %f %f %f %f %f %f' ); Mesf(ind,1)=numbar; Mesf(ind,3)=f; ind=ind+1; nnud=nnud+1; linea=fgets(arc); if ~ischar(linea), break, end end linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %linea en blanco ind=ind-nnud; while not(all(isspace(linea))) % columna 10 a 15 : M11 M22 M12 M-MAX M-MIN ANGLE [Mesf(ind,2),Mesf(ind,10),Mesf(ind,11),Mesf(ind,12),Mesf(ind,13),Mesf(ind,14),Mesf(ind,15)]=... strread(linea,'%f %f %f %f %f %f %f' ); Mesf(ind,1)=numbar; Mesf(ind,3)=f; ind=ind+1; linea=fgets(arc); if ~ischar(linea), break, end end linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %linea en blanco ind=ind-nnud; while not(all(isspace(linea)))
470
% columna 16 a 19 : V13 V23 V-MAX ANGLE [Mesf(ind,2),Mesf(ind,16),Mesf(ind,17),Mesf(ind,18),Mesf(ind,19)]=... strread(linea,'%f %f %f %f %f ' ); Mesf(ind,1)=numbar; Mesf(ind,3)=f; ind=ind+1; linea=fgets(arc); if ~ischar(linea), break, end end linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %linea en blanco ind=ind-nnud; while not(all(isspace(linea))) % columna 20 a 25 : S11-TOP S22-TOP S12-TOP S-TOP-MAX S-TOP-MIN ANGLE [Mesf(ind,2),Mesf(ind,20),Mesf(ind,21),Mesf(ind,22),Mesf(ind,23),Mesf(ind,24),Mesf(ind,25)]=... strread(linea,'%f %f %f %f %f %f %f ' ); Mesf(ind,1)=numbar; Mesf(ind,3)=f; ind=ind+1; linea=fgets(arc); if ~ischar(linea), break, end end linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %linea en blanco ind=ind-nnud; while not(all(isspace(linea))) % columna 26 a 31 : S11-BOT S22-BOT S12-BOT S-BOT-MAX S-BOT-MIN ANGLE [Mesf(ind,2),Mesf(ind,26),Mesf(ind,27),Mesf(ind,28),Mesf(ind,29),Mesf(ind,30),Mesf(ind,31)]=... strread(linea,'%f %f %f %f %f %f %f' ); Mesf(ind,1)=numbar; Mesf(ind,3)=f; ind=ind+1; linea=fgets(arc); if ~ischar(linea), break, end end linea=fgets(arc); %linea en blanco linea=fgets(arc); %linea en blanco ind=ind-nnud; while not(all(isspace(linea))) % columna 32 a 35 : S13-AVG S23-AVG S-AVG-MAX ANGLE [Mesf(ind,2),Mesf(ind,32),Mesf(ind,33),Mesf(ind,34),Mesf(ind,35)]=... strread(linea,'%f %f %f %f %f' ); Mesf(ind,1)=numbar; Mesf(ind,3)=f; ind=ind+1; linea=fgets(arc); if ~ischar(linea), break, end end end fclose(arc); %Limpieza de Mesf %Como no hay numero de barra 0 se eliminan las filas donde la primer columna es cero Mesf(find(Mesf(:,1)==0),:)=[]; % Se ordena la matriz por nº de elemento y luego por numero de nudo %Escritura de Mhip hip=hip(2:end); Mhip=cell(1,2); Mhip1,1=(1:1:length(hip))'; Mhip1,2=hip; %Escritura de Mbar Mbar=[nbar,longbar];
471
APÉNDICE D
D CÓDIGO DE FUNCIONES DE ESCRITURA DE ARCHIVOS *.s2k DE DATOS DE SAP2000.
Las funciones listadas a continuación se emplean para escribir en formato *.S2K los archivos de datos de SAP2000, a partir de los datos del modelo introducidos y procesados por los algoritmos de SABRINA. Cada una genera un bloque de datos del archivo ASCII descrito en [18]. La última de la lista escribe el archivo completo.
• Gen_s2k_System_Nmm.m
• Gen_s2k_Joints_Nmm.m
• Gen_s2k_Restraints.m
• Gen_s2k_Spring_Nmm.m
• Gen_s2k_Material_Nmm.m
• Gen_s2k_FrameSec_Nmm.m
• Gen_s2k_Frame.m
• Gen_s2k_PP_CP_SCU_Nmm.m
• Gen_s2k_LoadLoad.m
• Gen_s2k_LoadTemp_Nmm.m
• Gen_s2k_PDelta.m
• Gen_s2k_Combo.m
• Gen_s2k_v1_f_Nmm.m
Gen_s2k_System_Nmm.m function System=Gen_s2k_System_Nmm(CG,Nmm) % Gen_s2k_System pero en N mm % Generacion del texto que hay que incluir en el bloque SYSTEM del s2k de SAP2000 % DATOS: % struct CG (5 campos) % nombre tipo DAT(*) Descripcion % CG.nom_prog '' - ' Path y nombre (s/ ext) del programa de generacion de modelos empleado en el calculo. % CG.dir '' * ' Directorio de escritura de archivo *.s2k. % CG.arcs2k '' * ' Nombre dato del archivo s2k a generar (sin extension) % CG.arc_copia () * ' ¿Copiar el archivo plantilla a CG.dir con nombre CG.ARCH y extesion *.m (0:NO 1:SI) % CG.ARCH '' - ' Nombre con path completo de archivo s2k sin extension % CG.ARCHs2k '' - ' Nombre con path completo de archivo s2k con extension % % Todos los datos se generan bien en la entrada, bien en el sabrina. % Nmm : Opcion de escribir en N y mm el modelo % 'Nmm' de lo contrario, se escribe en KN y m if nargin < 2 Nmm=0; else if strcmp(Nmm,'Nmm') Nmm=1; end end System=cell(1,1); % System=cell(''); num_lin=0; %-------------------------------- %Bloque Comentarios iniciales, fecha y hora %para imprimir un \ hay que sustituirlo por dos \\ %nombre del archivo s2k generado num_lin=num_lin+1; Systemnum_lin,1= ['; Arch. s2k : ',strrep(CG.ARCHs2k,'\','\\')];
472
%nombre del programa de generacion de modelos num_lin=num_lin+1; Systemnum_lin,1= ['; Programa : ',strrep(CG.nom_prog,'\','\\')]; %nombre del archivo de datos num_lin=num_lin+1; Systemnum_lin,1= ['; Arch. Datos : ',strrep(CG.arc_dat,'\','\\')]; %archivos de macros en los datos if any( not(cellfun('isempty',CG.arc_macro))) num_lin=num_lin+1; Systemnum_lin,1= ['; Arch. Macro : ',strrep(CG.arc_macro1,'\','\\')]; for ff=2: length(CG.arc_macro); num_lin=num_lin+1; Systemnum_lin,1= [' ',strrep(CG.arc_macroff,'\','\\')]; end end %fecha com=datestr(date,20); num_lin=num_lin+1; Systemnum_lin,1= ['; Fecha : ',com]; %hora com=clock; %hora : clock(4) %minuto: hora(4) com=com(4:5); num_lin=num_lin+1; Systemnum_lin,1=['; Hora : ',num2str(com(1),'%2.0f'),':',num2str(com(2),'%02.0f')]; num_lin=num_lin+1; Systemnum_lin,1=[' ']; %-------------------------------- %Bloque SYSTEM num_lin=num_lin+1; Systemnum_lin,1=[' SYSTEM']; num_lin=num_lin+1; if not(Nmm==1) Systemnum_lin,1=[' DOF=UX,UY,UZ,RX,RY,RZ LENGTH=m FORCE=KN PAGE=SECTIONS ']; else Systemnum_lin,1=[' DOF=UX,UY,UZ,RX,RY,RZ LENGTH=mm FORCE=N PAGE=SECTIONS ']; end num_lin=num_lin+1;
Gen_s2k_Joints_Nmm.m function Joints=Gen_s2k_Joints_Nmm(A,Nmm) % Gen_s2k_Joints pero con la opcion de escribila N mm % Generacion del texto que hay que incluir en el bloque JOINTS del s2k de SAP2000 % DATOS: % A : Variable tipo struct con un campo llamado MNUD % A.MNUD [[nnud x 4 ]] ' Columna 1: A.nud :numeracion de los nudos % ' Columna 2: A.X : coordenada X % ' Columna 3: A.Y : coordenada Y % ' Columna 4: A.Z : coordenada Z % RESULTADOS: % Joints: cell array nnud x 1 En cada fila una linea con fin de linea incluido. % Nmm : Opcion de escribir en N y mm el modelo % 'Nmm' de lo contrario, se escribe en KN y m if nargin < 2 Nmm=0; else if strcmp(Nmm,'Nmm') Nmm=1; end end if not ((A.on)==0) if Nmm==1 % Paso a mm de las coordenadas de los nudos A.MNUD(:,2:4)=1000*A.MNUD(:,2:4); end Joints=cell(1,1); MNUD = getfield(A,'MNUD');
473
%Bloque JOINTS for ff=1:length(MNUD(:,1)) Jointsff,1= sprintf([' ',num2str(MNUD(ff,1)),' X=',num2str(MNUD(ff,2)),... ' Y=',num2str(MNUD(ff,3)),' Z=',num2str(MNUD(ff,4))]); end else Joints=cell(1); end
Gen_s2k_Restraints.m function Restraints=Gen_s2k_Restraints(A) % Generacion del texto que hay que incluir en el bloque RESTRAINTS del s2k de SAP2000 % DATOS: % A : Variable tipo struct con un campo llamado MREST % MREST [[nº nud apoy x 7]] Coacciones (RESTraints) al movimiento y giro de los apoyos % Col. 1 : nº de nudo coaccionad0 % Col. 2 a 7: gdl libre (0) o coaccionado (1) % RESULTADOS: % Joints: cell array nnud x 1 En cada fila una linea con fin de linea incluido. if not ((A.on)==0) Restraints=cell(1,1); MREST = getfield(A,'MREST'); %Bloque RESTRAINTS num_lin=0; if(not(isempty(MREST))) for ff=1:length(MREST(:,1)) % si esta libre todo no se escribe nada if any(MREST(ff,2:7)==1) num_lin=num_lin+1; a=sprintf([' ADD=',num2str(MREST(ff,1)) ,' DOF=']); if MREST(ff,2)==1 a=[a,'U1,']; end if MREST(ff,3)==1 a=[a,'U2,']; end if MREST(ff,4)==1 a=[a,'U3,']; end if MREST(ff,5)==1 a=[a,'R1,']; end if MREST(ff,6)==1 a=[a,'R2,']; end if MREST(ff,7)==1 a=[a,'R3,']; end %eliminacion de coma final a=a(1:end-1); Restraintsnum_lin,1=a; end % de if any end % de for end % de if else Restraints=cell(1); end
Gen_s2k_Spring_Nmm.m function Spring=Gen_s2k_Spring_Nmm(A,Nmm) % Generacion del texto que hay que incluir en el bloque Spring del s2k de SAP2000 % DATOS: % A.SPR [nº nud muelles x 7]] * ' Rigideces de los muelles (Spring) en nudos % ' Col. 1 : nº de nudo con muelle % ' Col. 2 a 4: Rigidez del muelle en desplazamientos. K=0 no coloca muelle. % ' Col. 5 a 7: Rigidez del muelle en giros. K=0 no coloca muelle. % ' Anulacion con A.SPR=[]; (Pero puede no definirse) % RESULTADOS: % Spring: cell array nnud x 1 En cada fila una linea con fin de linea incluido. if nargin < 2 Nmm=0; else if strcmp(Nmm,'Nmm')
474
Nmm=1; end end % Paso de rigideces a N y mm MSPR = getfield(A,'MSPR'); if Nmm==1 if(not(isempty(MSPR))) % Las columnas 2 a 4 no cambian 1 KN/m =1 N/mm % Las columnas 5 a 7 si 1 KN·m/rad =1e6 N·mm/rad MSPR(:,5:7)=1e6*MSPR(:,5:7); end end if not ((A.on)==0) Spring=cell(1,1); %Bloque Spring num_lin=0; if(not(isempty(MSPR))) for ff=1:length(MSPR(:,1)) % si toda la fila son nulos no se escriba nada if any(not(MSPR(ff,2:7)==0)) num_lin=num_lin+1; a=sprintf([' ADD=',num2str(MSPR(ff,1))]); if not(MSPR(ff,2)==0) a=[a,' U1=',num2str(MSPR(ff,2))]; end if not(MSPR(ff,3)==0) a=[a,' U2=',num2str(MSPR(ff,3))]; end if not(MSPR(ff,4)==0) a=[a,' U3=',num2str(MSPR(ff,4))]; end if not(MSPR(ff,5)==0) a=[a,' R1=',num2str(MSPR(ff,5))]; end if not(MSPR(ff,6)==0) a=[a,' R2=',num2str(MSPR(ff,6))]; end if not(MSPR(ff,7)==0) a=[a,' R3=',num2str(MSPR(ff,7))]; end Springnum_lin,1=a; end % de if any end % de for end % de if else Spring=cell(1); End
Gen_s2k_Material_Nmm.m function Material=Gen_s2k_Material_Nmm(A,Nmm) % Generacion del texto que hay que incluir en el bloque MATERIAL del s2k de SAP2000 % DATOS: % A : Variable tipo struct con DOS campos llamado MMAT Y MNMAT % % MMAT [[nmat x 6 ]] * ' Columna 1: nº : nº de material % ' Columna 2: E : Modulo de deformacion longitudinal [N/mm2] % ' Columna 3: m : Masa del material [M/L 3] % ' Columna 4: dens : Peso especifico [KN/m3] % ' Columna 5: nu : cfte de Poisson [KN/m3] % ' Columna 6: alfaT : Cfte dilatacion termica [1/ºC] % MNMAT nmat x 2 - ' cell array columna de NOMBRES de los materiales ordenadas col 1 de LT.MMAT % ' col.1 : nº de material % ' col.2 : nombre del material % RESULTADOS: % Materials: cell array nnud x 1 En cada fila una linea a falta del fin de linea. if nargin < 2 Nmm=0; else if strcmp(Nmm,'Nmm') Nmm=1; end end
475
if not ((A.on)==0) Material=cell(1,1); MMAT = getfield(A,'MMAT'); MNMAT= getfield(A,'MNMAT'); num_lin=0; for ff=1:length(MMAT(:,1)) if (not(Nmm==1)) %Bloque MATERIAL en KN y m num_lin=num_lin+1; a=[' NAME=',MNMATff,2,' IDES=N M=',num2str(MMAT(ff,3)),' W=',num2str(MMAT(ff,4))]; Materialnum_lin,1=a; num_lin=num_lin+1; % Se pasa previamente en la escritura de E de MPa a KN/m2 a=[ ' T=0 E=', num2str(MMAT(ff,2)*1000,'%12.6E'),' U=',num2str(MMAT(ff,5)),' A=',num2str(MMAT(ff,6),'%12.6E') ]; Materialnum_lin,1=a; else %Bloque MATERIAL en N y mm num_lin=num_lin+1; a=[' NAME=',MNMATff,2,' IDES=N M=',num2str(MMAT(ff,3)),' W=',num2str(MMAT(ff,4)*1e-6)]; % 1 KN/m3 = 1e-6· N/mm3 Materialnum_lin,1=a; num_lin=num_lin+1; % E se da como dato ya en MPa a=[ ' T=0 E=', num2str(MMAT(ff,2),'%12.6E'),' U=',num2str(MMAT(ff,5)),' A=',num2str(MMAT(ff,6),'%12.6E') ]; Materialnum_lin,1=a; end end else Material=cell(1); end
Gen_s2k_FrameSec_Nmm.m function FrameSec=Gen_s2k_FrameSec_Nmm(A,Nmm) % Generacion del texto que hay que incluir en el bloque FRAME SECTIONS del s2k de SAP2000 % DATOS: % % % A.MNMAT nmat x 2 - ' cell array columna de NOMBRES de los materiales ordenadas col 1 de A.MMAT % ' Col. 1 : nº de material % ' A.MNMATi= A + MMAT(i,1) (max.99 materiales) % % A.MSEC [[nsec x 9]] - ' col. 1 : A.sec % ' col. 2 : A.smat % ' col. 3 : A.stipo % ' col. 4 : A.sh % ' col. 5 : A.sb % ' col. 6 : A.tw % ' col. 7 : A.tf % ' col. 8 : A.dcort % ' col. 9 : vacio % % A.MNSEC nsec x 2 - ' Nombres de secciones prismaticas en el arco (generados a partir de MSEC) % ' col.1: nº de seccion % ' col.2: nombre de seccion % % A.MNSEC_NP nbar diftes x 3 - ' Nombres de secciones no prismaticas, con seccion dorsal y frontal % ' (generados a partir de MBAR) % ' col.1: nombre de seccion no prismatica % ' col.2: nombre de seccion inicial % ' col.3: nombre de seccion final % RESULTADOS: % FrameSec: cell array nnud x 1 En cada fila una linea sin fin de linea incluido. if nargin < 2 Nmm=0; else if strcmp(Nmm,'Nmm') Nmm=1; end end
476
if not ((A.on)==0) FrameSec=cell(1,1); MNMAT=getfield(A,'MNMAT'); MNMAT1=[MNMAT:,1]; %vector con todos los numeros de material MNMAT2=MNMAT:,2; %cell 1 x nmat con todos los nombres de materiales MSEC=getfield(A,'MSEC'); MNSEC=getfield(A,'MNSEC'); MNSEC1=[MNSEC:,1]; %vector con todos los numeros de seccion MNSEC2=MNSEC:,2; %cell 1 x nmat con todos los nombres de secciones MNSEC_NP=getfield(A,'MNSEC_NP'); %Bloque FrameSec %Escritura segun notacion de secciones % canto ancho tipo1=' SH=R' ' T=' ',' ; % canto ancho ala alma tipo2=' SH=B' ' T=' ',' ',' ',' ; %diametro espesor tipo3=' SH=P' ' T=' ',' ; % area torsion I33 I22 tipo4=' SH=G' ' A=' ' J=' ' I=' ','; if Nmm==1 % coficientes de paso de KN·m a N·m % canto ancho cfte1=' SH=R' '1000' '1000' ; % canto ancho ala alma cfte2=' SH=B' '1000' '1000' '1000' '1000'; %diametro espesor cfte3=' SH=P' '1000' '1000' ; % area Jtorsion I33 I22 cfte4=' SH=G' '1e6' '1e12' '1e12' '1e12'; else % coficientes de paso de KN·m a N·m % canto ancho cfte1=' SH=R' '1' '1' ; % canto ancho ala alma cfte2=' SH=B' '1' '1' '1' '1' ; %diametro espesor cfte3=' SH=P' '1' '1' ; % area Jtorsion I33 I22 cfte4=' SH=G' '1' '1' '1' '1' ; end %SECCIONES PRISMATICAS num_lin=0; % El bloque de secciones prismaticas hay que definirlo forzosamente % aunque toda la estructura tenga secciones variables for ff=1:length(MSEC(:,1)) num_lin=num_lin+1; %ESCRITURA DE NOMBRE DE SECCION a=[' NAME=' MNSEC2find(MNSEC1==MSEC(ff,1))]; %ESCRITURA DE MATERIAL a=[a,' MAT=', MNMAT2find(MNSEC1==MSEC(ff,2))]; %Escritura de caracteristicas de secciones a=[a, char(tipoMSEC(ff,3)(1))]; for gg=1:length(tipoMSEC(ff,3))-1 a=[a, char(tipoMSEC(ff,3)(gg+1)) ,num2str(MSEC(ff,gg+3) * str2num( char( cfteMSEC(ff,3)(gg+1) ) ) ) ]; end % Escritura de la opcion de deformacion por cortante if not(MSEC(ff,8)==1) a=[a,' AS=0,0']; end FrameSecnum_lin,1=a; end % SECCIONES NO PRISMATICAS if not(isempty(MNSEC_NP)) % si no esta vacio for gg=1:length(MNSEC_NP:,1) num_lin=num_lin+1; a=[' NAME=',char(MNSEC_NPgg,1) ,' TYPE=NONPR' ]; FrameSecnum_lin,1=a; num_lin=num_lin+1; a=[' SEC=' char(MNSEC_NPgg,2),',',char(MNSEC_NPgg,3) ,' EIVAR=2,2 VL=1' ];
477
FrameSecnum_lin,1=a; end end else FrameSec=cell(1); end
Gen_s2k_Frame.m function Frame=Gen_s2k_Frame(A) % Generacion del texto que hay que incluir en el bloque FRAME SECTIONS del s2k de SAP2000 % DATOS: % % %A.aM [[nº barras art. x 5]] * ' Articulaciones de flexion en arco (3 gdl en ejes locales de barra) % ' Col. 1 : nº de barra con gdl liberado % ' col. 2. : extremo en que se liberan los gdl (0:i 1:j) % ' Col. 3 a 5: T, M22, M33 % % A.MBAR [[nbar x 10]] - ' col. 1 : P.bar % ' col. 2 : P.ni % ' col. 3 : P.nj % ' col. 4 : P.si % ' col. 5 : P.sj % ' col. 6 : P.nseg % ' col. 7 : P.long % ' col. 8 : P.alfa % ' col. 9 : vacio % ' col.10 : vacio % % A.MNSECBAR nbar x 2 - ' col. 1: nº de barra % ' col. 2: nombre de seccion correspondiente a la barra % ' (Generada a partir de MBAR) % ' col.3: nombre de seccion final % % RESULTADOS: % FrameSec: cell array nnud x 1 En cada fila una linea sin fin de linea incluido. if not ((A.on)==0) Frame=cell(1,1); aM=getfield(A,'aM'); MBAR=getfield(A,'MBAR'); MNSECBAR=getfield(A,'MNSECBAR'); MNSECBAR1=[MNSECBAR:,1]; %vector con todos los numeros de barra MNSECBAR2=MNSECBAR:,2; %cell 1 x nmat con todos los nombres de secciones de barras num_lin=0; for ff=1:length(MBAR(:,1)); num_lin=num_lin+1; %nudos iniciales y finales a=[' ',num2str(MBAR(ff,1)),' J=' ,num2str(MBAR(ff,2)), ',', num2str(MBAR(ff,3))]; % seccion correspondiente al nº de barra, escritura de nseg y alfa a=[a,' SEC=',MNSECBAR2find(MNSECBAR1==MBAR(ff,1)),' NSEG=',num2str(MBAR(ff,6)),' ANG=',num2str(MBAR(ff,8))]; art=''; %Escritura de liberaciones de flexiones if not(isempty(aM)) if not(isempty(find(aM(:,1)==MBAR(ff,1)))) %nudo i filares=find(and( aM(:,1)==MBAR(ff,1),aM(:,2)==0)); if not(isempty(filares)) art=' IREL='; if aM(filares,3)==1 art=[art,'R1,']; end if aM(filares,4)==1 art=[art,'R2,']; end if aM(filares,5)==1 art=[art,'R3,']; end art=art(1:end-1); end %nudo j filares=find(and( aM(:,1)==MBAR(ff,1),aM(:,2)==1)); if not(isempty(filares))
478
art=[art,' JREL=']; if aM(filares,3)==1 art=[art,'R1,']; end if aM(filares,4)==1 art=[art,'R2,']; end if aM(filares,5)==1 art=[art,'R3,']; end art=art(1:end-1); end end end a=[a,art]; Framenum_lin,1=a; end else Frame=cell(1); End
Gen_s2k_PP_CP_SCU_Nmm.m function Load = Gen_s2k_PP_CP_SCU_Nmm(S,SCU,Nmm) % Gen_s2k_System pero con la opcion de escribila N mm % Campo SCU.Text a partir S y SCU % ¡¡¡¡ ampliarla para que se puedan introducir cargas torsoras aisladas, % haciendo que colT=0 y solo imprima si colT no sea nula. % Nmm : Opcion de escribir en N y mm el modelo % 'Nmm' de lo contrario, se escribe en KN y m if nargin < 3 Nmm=0; else if strcmp(Nmm,'Nmm') Nmm=1; end end if Nmm==1 % caso Nmm=1 % Se multilican las cargas definidas en S.LOAD para pasarlas a N y mm S.LOAD(:,[4:6 10:12])=S.LOAD(:,[4:6 10:12])*1.0; %Paso de KN/m a N/mm : 1.0 S.LOAD(:,[7:9 13:15])=S.LOAD(:,[7:9 13:15])*1e3; %Paso de KN·m/m a N·mm/mm : 1000 end % Escritura de Load num_lin=0; Load=[]; %ESCRITURA DE HIPOTESIS %PP: CARGA DE PESO PROPIO if S.on(1)==1 num_lin=num_lin+1; Loadnum_lin,1=' NAME=PP SW=1 CSYS=0'; end SCU=rmfield(SCU,'Text'); % definicion explicita de los campos que no interesan if S.on(3)==0 % Caso de no imprimir hipotesis de SCU SCU=struct_keep(SCU,'CP'); end if S.on(2)==0 % Caso de no imprimir hipotesis de CP % Borrado de la hipotesis CP SCU=rmfield(SCU,'CP'); end % listahip: cell array con lista de nombre de hipotesis de carga listahip=fieldnames(SCU); %ESCRITURA DE HIPOTESIS CP Y SCU if not(isempty(listahip)) for gg=1:length(listahip) % t=['gg=',num2str(gg)]; % disp(t); % num_lin=num_lin+1; % Loadnum_lin,1=' '; num_lin=num_lin+1; Loadnum_lin,1=[' NAME=',char(listahipgg),' CSYS=0'];
479
num_lin=num_lin+1; Loadnum_lin,1=[' TYPE=DISTRIBUTED SPAN']; M=SCU.(listahipgg).M; P=SCU.(listahipgg).P; % Determinacion de lineas de cargas for ff=1:length(M(:,1)); %Cada linea de M genera por lo menos una linea de cargas % Determinacion de caso y de carga torsora asociada en la misma % fila de P % colP : columna de cargas verticales % colT : columna de cargas torsoras asociadas % S.LOAD % ' col. 4 : Vector de carga CPPd(i) % ' col. 5 : Vector de carga CPPi(i) % ' col. 6 : Vector de carga CPP(i) % % ' col. 7 : Vector de carga CPTd(i) % ' col. 8 : Vector de carga CPTi(i) % ' col. 9 : Vector de carga CPT(i) % % ' col. 10 : Vector de carga SCUPd(i) % ' col. 11 : Vector de carga SCUPi(i) % ' col. 12 : Vector de carga SCUP(i) % % ' col. 13 : Vector de carga SCUTd(i) % ' col. 14 : Vector de carga SCUTi(i) % ' col. 15 : Vector de carga SCUT(i) Pff=Pff; switch char(Pff) case 'CPd' colP=4; colT=colP+3; case 'CPi' colP=5; colT=colP+3; case 'CP' colP=6; colT=colP+3; case 'SCUd' colP=10; colT=colP+3; case 'SCUi' colP=11; colT=colP+3; case 'SCU' colP=12; colT=colP+3; otherwise disp('**************************** !!!!!!ERROR !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'); er=['LA CARGA', char(P), ' NO CORRESPONDE A NINGUNO DE LOS TIPOS POSIBLES DE SCU']; disp(er); end % t=['ff=',num2str(ff)]; % disp(t); or = M(ff,1) ; fin = M(ff,2); inc = M(ff,3); %v: vector de control para evitar el error al buscar cargas en barras que no existen. %v=vector de barras cargadas que a la vez si que existen en la primera columna de S.LOAD v=intersect(S.LOAD(:,1),or:inc:fin); f1=v(1); ind1=1; f2=f1; ind2=ind1; while 1 %Anchos correspondientes a las dos barras b1=[ S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),2) S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),3) ]; b2=[ S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f2),2) S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f2),3) ]; if (b1==b2) % si se mantienen los anchos if ind2 < length(v) % y no se excede el tamaño de v ind2=ind2+1; % el bucle abarca mas barras f2=v(ind2); else % si ind2 iguala el tamaño de v hay que imprimir ind2 %barras t1 =[' ADD=',num2str(f1),',',num2str(v(ind2)),',',num2str(inc),'
480
RD=',num2str(M(ff,4)),',',num2str(M(ff,5)),' ']; % solicitacion vertical t2 =[char(S.LN(colP)),'=', num2str( S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colP)),',', num2str( S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colP))]; % solicitacion torsora t3= [char(S.LN(colT)),'=', num2str( S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colT)),',', num2str( S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colT))]; if not (S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colP)==0) % solo se escriben las cargas no nulas num_lin=num_lin+1; Loadnum_lin,1=[t1,t2]; end if not (S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colT)==0) % solo se escriben las cargas no nulas num_lin=num_lin+1; Loadnum_lin,1=[t1,t3]; end break % se sale del while al imprimir la ultima barra end else % si no se mantienen los anchos hay que imprimir hasta ind2-1 %barras t1 =[' ADD=',num2str(f1),',',num2str(v(ind2-1)),',',num2str(inc),' RD=',num2str(M(ff,4)),',',num2str(M(ff,5)),' ']; % solicitacion vertical t2 =[char(S.LN(colP)),'=', num2str( S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colP)),',', num2str( S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colP))]; % solicitacion torsora t3= [char(S.LN(colT)),'=', num2str( S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colT)),',', num2str( S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colT))]; if not (S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colP)==0) % solo se escriben las cargas no nulas num_lin=num_lin+1; Loadnum_lin,1=[t1,t2]; end if not (S.LOAD(find(S.LOAD(:,1)==f1),colT)==0) % solo se escriben las cargas no nulas num_lin=num_lin+1; Loadnum_lin,1=[t1,t3]; end % redefinicion de ind1 como inicio del siguiente rango de % impresion ind1=ind2; f1=v(ind1); f2=v(ind2); end % de if end % de while end % de for ff end % de gg end % de if % En cualquier caso, se ecribe una carga llamada NULA sin carga para : % - evitar error en bloque LOAD % - facilitar combinaciones % if S.on==[0 0 0]; num_lin=num_lin+1; Loadnum_lin,1=' NAME=NULA SW=0 CSYS=0'; % end
Gen_s2k_LoadLoad.m function Load=Gen_s2k_LoadLoad(LOAD) % Generacion del texto de hipotesis simples adicionales no definidas en el resto de hipotesis de carga % DATOS: % LOAD.on () * Especifica si hay o no hipotesis simples adicionales de sobrecargas con este formato % nombre : campo con nombre de la hipotesis de carga % LOAD.nombre nº lineas s2k * Tipo de la carga que se define. Se define explicitamente en el nombre. % Ejemplo: % LOAD.on=1; % LOAD.VTO1= 'TYPE=DISTRIBUTED SPAN' % LOAD.VTO2= ['ADD=1,', num2str(A.bar(1)), ',' num2str(A.bar(end)),', RD=0,1 UYP=10,10'] % LOAD.NULA=[]; % % LOAD.nombre=[]; define una hipotesis VACIA CON nombre pero SIN cargas. % LOAD.Text Nº lineas texto s2k - Transcripcion a texto de las hipotesis de carga simples adicionales definidas en LOAD
481
if not ((LOAD.on)==0) Load=cell(1,1); num_lin=0; % listahip: cell array con lista de nombre de hipotesis de carga listahip=fieldnames(LOAD); hip_borrar='Text' 'on'; % definicion explicita de los campos que no interesan %Borrado de la lista de los nombres de los tipos de carga y campos que no %se necesitan for ff=length(listahip):-1:1 for gg=1:length(hip_borrar) if strcmp(listahipff, hip_borrargg) listahip(ff)=[]; end end end %ESCRITURA DE RESTO DE LINEAS for gg=1:length(listahip) %Nombre de la hipotesis: num_lin=num_lin+1; Loadnum_lin,1=[' NAME=',char(listahipgg),' CSYS=0']; % Si no esta vacio el contenido de la hipotesis if not(isempty(LOAD.(listahipgg))) for ff= 1:length( LOAD.(listahipgg)) % Escritura del Type num_lin=num_lin+1; if ff==1 t=' '; else t=' '; end Loadnum_lin,1=[t,LOAD.(listahipgg)ff]; end %de ff end % de if end % de gg else Load=cell(1); end % de if
Gen_s2k_LoadTemp_Nmm.m function Temp=Gen_s2k_LoadTemp_Nmm(DT,Nmm) % Generacion del texto de las hipotesis termica que hay que incluir en el bloque LOAD Del s2k de SAP2000 % DATOS: % DT.on [2] * Activar la introduccion o no de las hipotesis de incrementos termicos (0:NO, 1:SI) % % % DT.nombre [[nºlin x 5]] * Matriz de variaciones de temperatura sobre Estructura [ºC] (+: calentamiento) % col. 1 : Barra inicial % col. 2 : Barra final % col. 3 : Incremento de nº de barras % col. 4 : 0 o 1 : incremento uniforme de temperatura % 2 : Gradiente termico en el eje local 2-2, en KN y m % 3 : Gradiente termico en el eje local 3-3, en KN y m % 5 : Momento localizado segun eje local 2-2 en KN y m en RD 0.40, 0.45, 0.55, 0.60 % 6 : Momento localizado segun eje local 3-3 en KN y m en RD 0.40, 0.45, 0.55, 0.60 % 7 : Giro imopuesto en nudo de apoyo segun eje X % 8 : Giro imopuesto en nudo de apoyo segun eje Y % 9 : Giro imopuesto en nudo de apoyo segun eje Z % col. 5 : Incremento de temperatura correspondiente a las barras definidas en col 1 a 3 % % CONTROL DE CAMBIOS respecto de version anterior % ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- % nº Autor Fecha Descripcion % 1.- JJJL 20 oct 2005 Se añade la posibilidad de definir el tipo como 5 o 6, lo que introduce momentos % localizados en las abscisas relativas que genera el sae % 2.- JJJL 19 nov 2005 Se añade la posibidad de definir el tipo como 7, 8 y 9 (RX,RY y WZ) que introducen giros % localizados en los nudos de apoyos. % ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ if nargin < 2 Nmm=0; else if strcmp(Nmm,'Nmm') Nmm=1;
482
end end if not ((DT.on)==0) Temp=cell(1,1); num_lin=0; % listahip: cell array con lista de nombre de hipotesis de carga listahip=fieldnames(DT); hip_borrar='Text' 'on'; % definicion explicita de los campos que no interesan %Borrado de la lista de los nombres de los tipos de carga y campos que no %se necesitan for ff=length(listahip):-1:1 for gg=1:length(hip_borrar) if strcmp(listahipff, hip_borrargg) listahip(ff)=[]; end end %gg end %ff %ESCRITURA DE RESTO DE LINEAS for gg=1:length(listahip) %Nombre de la hipotesis: num_lin=num_lin+1; Tempnum_lin,1=[' NAME=',char(listahipgg),' CSYS=0']; Hip=DT.(listahipgg); % para cada matriz definitoria de una hipotesis diferente for ff=1:length(Hip(:,1)); % CASO ACCION TERMICA TIPO 0,1,2 o 3 if any(Hip(ff,4)==[0 1 2 3]) % Caso de temperaturas % comprobacion de que la hipotesis anterior no es del tipo frame if not(ff==1) if not(any(Hip(ff-1,4)==[0 1 2 3])) num_lin=num_lin+1; Tempnum_lin,1=[' TYPE=TEMPERATURE ELEM=FRAME']; end else %caso ff=1 num_lin=num_lin+1; Tempnum_lin,1=[' TYPE=TEMPERATURE ELEM=FRAME']; end a=[' ADD=',num2str(Hip(ff,1)), ',' ,num2str(Hip(ff,2)), ',' ,num2str(Hip(ff,3))]; switch Hip(ff,4) case 0 t=' T='; cfte=1; case 1 t=' T='; cfte=1; case 2 t=' T2='; cfte=1e-3; case 3 t=' T3='; cfte=1e-3; end %switch num_lin=num_lin+1; if Nmm==1 a=[a,t,num2str(Hip(ff,5)*cfte)]; else a=[a,t,num2str(Hip(ff,5))]; end Tempnum_lin,1=a; end % if any % CASO MOMENTOS FLECTORES CONCENTRADOS TIPO 5 o 6 if any(Hip(ff,4)==[5 6 ]) % Caso de flectores localizados % comprobacion de que la hipotesis anterior no es del tipo frame if not(ff==1) if not(any(Hip(ff-1,4)==[5 6])) num_lin=num_lin+1; Tempnum_lin,1=[' TYPE=CONCENTRATED SPAN']; end else %caso ff=1
483
num_lin=num_lin+1; Tempnum_lin,1=[' TYPE=CONCENTRATED SPAN']; end a=[' ADD=',num2str(Hip(ff,1)), ',' ,num2str(Hip(ff,2)), ',' ,num2str(Hip(ff,3))]; switch Hip(ff,4) case 5 t=' R2='; cfte=1e6; case 6 t=' R3='; cfte=1e6; end if not(Nmm==1) cfte=1; end num_lin=num_lin+1; b=[a,' RD=0.37 ',t,num2str(Hip(ff,5)*cfte)]; Tempnum_lin,1=b; num_lin=num_lin+1; b=[a,' RD=0.45 ',t,num2str(-1*Hip(ff,5)*cfte)]; Tempnum_lin,1=b; num_lin=num_lin+1; b=[a,' RD=0.55 ',t,num2str(Hip(ff,5)*cfte)]; Tempnum_lin,1=b; num_lin=num_lin+1; b=[a,' RD=0.63 ',t,num2str(-1*Hip(ff,5)*cfte)]; Tempnum_lin,1=b; end % if any % CASO GIROS CONCENTRADOS EN AP0OYOS TIPOS 6 7 Y 8 if any(Hip(ff,4)==[7 8 9 ]) % Caso de giros impuestos en nudos de apoyos % comprobacion de que la hipotesis anterior no es del tipo frame if not(ff==1) if not(any(Hip(ff-1,4)==[7 8 9])) num_lin=num_lin+1; Tempnum_lin,1=[' TYPE=RESTRAINT DISPLACEMENT']; end else %caso ff=1 num_lin=num_lin+1; Tempnum_lin,1=[' TYPE=RESTRAINT DISPLACEMENT']; end a=[' ADD=',num2str(Hip(ff,1))]; %Estos tipos ignoran lo valores de las columnas 2 y 3 switch Hip(ff,4) case 7 t=' RX='; cfte=1; case 8 t=' RY='; cfte=1; case 9 t=' RZ='; cfte=1; end if not(Nmm==1) cfte=1; end num_lin=num_lin+1; b=[a,t,num2str(Hip(ff,5)*cfte)]; Tempnum_lin,1=b; end % if any end % de ff end % de gg else Temp=cell(1); end
484
Gen_s2k_PDelta.m function PDelta=Gen_s2k_PDelta(PD) % Generacion del texto que hay que incluir en el bloque PDELTA del s2k de SAP2000 % DATOS: % PD.on () * ' Activar la introduccion o no de la hipotesis de P-delta (0:NO, 1:SI) % PD.T [3] * ' Parametros del analisis PDelta % PD.T =[Nº Iteraciones TOLD TOLP ] % PD.HIP * ' Escritura de las hipotesis (u otras combos) ponderadas' % P. ej HIP= 'PP' 'CP' 'SCUA' 'HIPA' % PD.SF [] * ' Vector de coeficientes de las hipotesis simples' % P. ej SF= [1 1 0.5 1.5] % PDelta: cell array nnud x 1 En cada fila una linea con fin de linea incluido. if not ((PD.on)==0) PDelta=cell(1,1); num_lin=0; % num_lin=num_lin+1; % PDeltanum_lin,1='PDELTA'; num_lin=num_lin+1; PDeltanum_lin,1=[' ITMAX=',num2str(PD.T(1)),' TOLD=', num2str(PD.T(2)),' TOLP=',num2str(PD.T(3)) ]; for ff=1:length(PD.SF); num_lin=num_lin+1; PDeltanum_lin,1=[' LOAD=',char(PD.HIPff),' SF=', num2str(PD.SF(ff))]; end else PDelta=cell(1); end
Gen_s2k_Combo.m function Combo=Gen_s2k_Combo(COMB) % Generacion del texto que hay que incluir en el bloque COMBO del s2k de SAP2000 % DATOS: % COMB.on () * ' Especifica si hay o no combinaciones de acciones % COMB.nombre.T '' * ' Tipo de la combinacion (En general, T='ADD' o T='ENVE' % ' Si no se especifica, se toma como ADD. % COMB.nombre.HIP * ' Escritura de las hipotesis (u otras combos) ponderadas' % P. ej HIP= 'LOAD=PP' 'LOAD=CP' 'LOAD=SCUA' 'COMB=HIPA' % COMB.nombre.SF [] * ' Vector de coeficientes de las hipotesis definidas en HIP' % P. ej SF= [1 1 0.5 1.5] % RESULTADOS: % COMB.Text Nº lineas texto s2k - ' Transcripcion a texto de las combinaciones definidas en COMB if not ((COMB.on)==0) Combo=cell(1,1); num_lin=0; % num_lin=num_lin+1; % Combonum_lin,1='COMBO'; % listahip: cell array con lista de nombre de hipotesis de carga listahip=fieldnames(COMB); hip_borrar='Text' 'on'; % definicion explicita de los campos que no interesan %Borrado de la lista de los nombres de los tipos de carga y campos que no %se necesitan for ff=length(listahip):-1:1 for gg=1:length(hip_borrar) if strcmp(listahipff, hip_borrargg) listahip(ff)=[]; end end end %ESCRITURA DE RESTO DE LINEAS for gg=1:length(listahip) num_lin=num_lin+1; if isfield(COMB.(listahipgg),'T') Combonum_lin,1=[' NAME=',char(listahipgg),' TYPE=',char(COMB.(listahipgg).T) ]; else Combonum_lin,1=[' NAME=',char(listahipgg)]; end HIP=COMB.(listahipgg).HIP; SF=COMB.(listahipgg).SF; for ff=1:length(SF); num_lin=num_lin+1; Combonum_lin,1=[' ',char(HIPff),' SF=', num2str(SF(ff))];
485
end % de for ff end % de gg else Combo=cell(1); end
Gen_s2k_v1_f_Nmm.m function mensaje=Gen_s2k_v1_f_Nmm(CG,A,T,LA,LT,P,S,SCU,LOAD,DT,PD,COMB,Nmm) % Hacer Nmm='Nmm' para escribir el archivo en N y mm % Generacion del archivo completo s2k pero con variables definidas como % argumentos, indpendientemente de las almacenadas en WS. if nargin < 13 Nmm=0; end disp(' _________________________________________________________') text=' | ESCRITURA DE ARCHIVO s2k: |'; disp(text); text=[' *** ',CG.ARCHs2k,' *** ']; disp(text); % Archivo de datos de escritura de archivo s2k arc=fopen(CG.ARCHs2k,'w'); %________________________________ % Bloque inicial y SYSTEM try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_System_Nmm(CG,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque SYSTEM en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end %________________________________ % Bloque JOINT a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'JOINT\r'); try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Joints_Nmm(A,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque JOINTS (de arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Joints_Nmm(T,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque JOINTS (de tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Joints_Nmm(LA,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque JOINTS (de barras laterales de arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Joints_Nmm(LT,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque JOINTS (de barras laterales de tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end %________________________________ % Bloque RESTRAINT a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'RESTRAINT\r'); try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Restraints(A), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque RESTRAINT (de arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text) end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Restraints(T), '\r' );
486
catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque RESTRAINT (de tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text) end %________________________________ % Bloque PATTERN a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'PATTERN\r'); a=fprintf(arc, ' NAME=DEFAULT\r'); %________________________________ % Bloque SPRING a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'SPRING\r'); try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Spring_Nmm(A,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque SPRING (de arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text) end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Spring_Nmm(T,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque SPRING (de tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text) end %________________________________ % Bloque MATERIAL a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'MATERIAL\r'); try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Material_Nmm(A,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque MATERIAL (de arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Material_Nmm(T,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque MATERIAL (de tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Material_Nmm(LA,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque MATERIAL (de barras laterales de arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Material_Nmm(LT,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque MATERIAL (de barras laterales de tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Material_Nmm(P,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque MATERIAL (de pendolas) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end %________________________________ % Bloque FRAME SECTION a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'FRAME SECTION\r'); try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_FrameSec_Nmm(A,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME SECTION (arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text);
487
end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_FrameSec_Nmm(T,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME SECTION (tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_FrameSec_Nmm(LA,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME SECTION (de barras laterales de arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_FrameSec_Nmm(LT,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME SECTION (de barras laterales de tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_FrameSec_Nmm(P,Nmm), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME SECTION (pendolas) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end %________________________________ % Bloque FRAME a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'FRAME\r'); try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Frame(A), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME (arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Frame(T), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME (tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Frame(LA), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME (barras laterales de arco) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Frame(LT), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME (barras laterales de tablero) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Frame(P), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque FRAME (pendolas) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end %________________________________ % Bloque LOAD a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'LOAD\r'); try % Cargas de PP,CP y SCU a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_PP_CP_SCU_Nmm(S,SCU,Nmm),'\r'); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque LOAD (PP, CP y SCU) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end
488
try % Hipotesis adicionales a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_LoadLoad(LOAD),'\r'); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque LOAD (LOAD)en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end try % Hipotesis termicas a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_LoadTemp_Nmm(DT,Nmm),'\r'); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque LOAD (DT) en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end %________________________________ % Bloque PDELTA try if not ((PD.on)==0) a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'PDELTA\r'); end a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_PDelta(PD), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque PDELTA en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end %________________________________ % Bloque COMBO try if not ((COMB.on)==0) a=fprintf(arc, '\r'); a=fprintf(arc, 'COMBO\r'); end a=fprintf_cell( arc, Gen_s2k_Combo(COMB), '\r' ); catch text=[' ¡¡¡ ERROR: Escribiendo bloque COMBO en archivo: ',CG.ARCHs2k,' !!!']; disp(text); end %-------------------------------- %Bloques OUTPUT y END fprintf(arc,['\r']); fprintf(arc,['OUTPUT\r']); fprintf(arc,[' ELEM=JOINT TYPE=DISP LOAD=*\r']); fprintf(arc,[' ELEM=JOINT TYPE=REAC LOAD=*\r']); fprintf(arc,[' ELEM=FRAME TYPE=FORCE LOAD=*\r']); fprintf(arc,[' ELEM=JOINT TYPE=DISP COMB=*\r']); fprintf(arc,[' ELEM=JOINT TYPE=REAC COMB=*\r']); fprintf(arc,[' ELEM=FRAME TYPE=FORCE COMB=*\r']); fprintf(arc,['\r']); fprintf(arc,['END\r']); fprintf(arc,['\r']); fprintf(arc,['\r']); fclose(arc); % text=' O.K. Archivo escrito.'; % disp(text) % disp(' |_________________________________________________________|'); disp(' |_ O.K. Archivo escrito. _________________________________|'); mensaje='O.K.';
489
APÉNDICE E
E CÓDIGO DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES.
El código listado a continuación resuelve el sistema no lineal de ecuaciones planteado en 15.2.4.2. El código incluye, entre otros:
• Definición automática de vector de tolerancias en función de las magnitudes implicadas en cada ecuación (esfuerzos o flechas).
• Introducción automática por filas de factores (determinados empíricamente) de ponderación de los coeficientes para condicionar mejor el sistema de ecuaciones.
• Una bifurcación en el flujo del programa para contemplar el caso en el que los términos independientes (por ejemplo, las flechas de los nudos de anclajes de las péndolas) no dependan de los decrementos de las temperaturas introducidas en las péndolas.
• Generación de archivos temporales auxiliares para almacenamiento de resultados que permiten reducir aproximadamente el tiempo de resolución del sistema al 9% del original en los casos de control.
if not(sae.on==0) % se ejecuta todo el proceso del sistema auxiliar de ecuaciones %______________________________________________________ % Definicion del vector de tolerancias del SAE sae.tol=0; % Esfuerzos y reacciones; sae.tol.E=1; % Ecuaciones en N y mm luego ponderadas por cfteE: tolerancia 0.001 KN·m sae.tol.R=1; % Ecuaciones en N y mm luego ponderadas por cfteE: tolerancia 0.001 KN·m sae.tol.cfteE=1e-3; % Factor de ponderacion de las ecuaciones en esfuerzos % Movimientos sae.tol.D=1e-3; % Ecuaciones en N y mm : tolerancia 1e-6 m % Giros impuestos en apoyos, incrementos y gradientes termicos en apoyos. sae.tol.W=1e-6; sae.tol.T=1e-6; % Ecuaciones en N y mm : tolerancia 1e-6 m sae.tol.T2=1e-3; % Ecuaciones en N y mm : tolerancia 1e-6 m % Momentos impuetos en las barras sae.tol.M2=1 % Ecuaciones en N y mm luego ponderadas por cfteE: tolerancia 0.001 KN·m % Ecuaciones de relacion entre soluciones (CSEt) sae.tol.CSEt=1e-6; sae.tol.v=0; % tolerancia a aplicar a las ecuaciones definidas en sae.c % A la ecuacion sae.cff le corresponde la tolerancia sae.tol.v(ff) sae.Vtol=0; % Vector de sae.nbar con todas las tolerancias escritas %______________________________________________________ % Generacion automatica del vector de tolerancias en funcion de lo que % se pide en cada ecuacion del SAE sae.tol.v=zeros(length(sae.c),1); for ff=1:length(sae.c) if not(isempty(findstr(sae.cff,'''T'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.T; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''T2'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.T2; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''T3'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.T2; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''M2'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.M2; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''M3'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.M2; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''E'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.E; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''R'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.R;
490
end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''D'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.D; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''RX'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.W; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''RY'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.W; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'''RZ'''))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.W; end if not(isempty(findstr(sae.cff,'CSEt'))) sae.tol.v(ff)=sae.tol.CSEt; end end %______________________________________________________ % sae.CG: Redefinicion de los datos de CG sae.CG=CG; % Nombre del archivo s2k sae.CG.arcs2k=[CG.arcs2k,'_sae']; % Definicion de datos generales sae.CG=sab_gen_dat0_v1(sae.CG); %______________________________________________________ % Generacion de nombre de variables y valores asociadas a los incrementos termicos % sae.bar Numeracion de barras a las que se les somete a temperatura % sae.tipo 0 o 1: T 2: T2 3:T3 5:M2 6:M3 % sae.nbar nº de barras total a las que se les aplica T, T2, T3, M5 O M6 (orden del sae: longitud de sae.bar) sae.bar=[]; sae.tipo=[]; % sae.tipo 1, 2 o 3 en funcion de T, T2 o T3 if isfield(sae,'T') sae.T(find(sae.T==0))=[]; if not(isempty(sae.T)) sae.bar=[sae.bar sae.T]; sae.tipo=[sae.tipo 1+0*sae.T]; end end if isfield(sae,'T2') sae.T2(find(sae.T2==0))=[]; if not(isempty(sae.T2)) sae.bar=[sae.bar sae.T2]; sae.tipo=[sae.tipo 2+0*sae.T2]; end end if isfield(sae,'T3') sae.T3(find(sae.T3==0))=[]; if not(isempty(sae.T3)) sae.bar=[sae.bar sae.T3]; sae.tipo=[sae.tipo 3+0*sae.T3]; end end if isfield(sae,'M2') sae.M2(find(sae.M2==0))=[]; if not(isempty(sae.M2)) sae.bar=[sae.bar sae.M2]; sae.tipo=[sae.tipo 5+0*sae.M2]; end end if isfield(sae,'M3') sae.M3(find(sae.M3==0))=[]; if not(isempty(sae.M3)) sae.bar=[sae.bar sae.M3]; sae.tipo=[sae.tipo 6+0*sae.M3]; end end if isfield(sae,'RX') sae.RX(find(sae.RX==0))=[]; if not(isempty(sae.RX)) sae.bar=[sae.bar sae.RX]; sae.tipo=[sae.tipo 7+0*sae.RX]; end
491
end if isfield(sae,'RY') sae.RY(find(sae.RY==0))=[]; if not(isempty(sae.RY)) sae.bar=[sae.bar sae.RY]; sae.tipo=[sae.tipo 8+0*sae.RY]; end end if isfield(sae,'RZ') sae.RZ(find(sae.RZ==0))=[]; if not(isempty(sae.RZ)) sae.bar=[sae.bar sae.RZ]; sae.tipo=[sae.tipo 9+0*sae.RZ]; end end % sae.nbar: nº de barras calentadas y orden del SAE. sae.nbar=length(sae.bar); %______________________________________________________ % Generacion de los datos iniciales del proceso del sistema de ecuaciones % sae.hip : de nombres de hipotesis termicas de calentamiento con sae.T0 ºC en cada barra. % sae.DT : Hipotesis termicas en el sistema auxiliar, que son: % sae.DT.nombres termicos (las de modelo general) % sae.DT.T1 a sae.DT.Tnbar : calentamiento de sae.T0 ºC % sae.DT.SAE : todas las temperaturas ACUMULADAS de todas las barras calentadas. % El formato matricial de sae.DT es el mismo que el de DT. sae.hip=cell(1); if not (exist('DT')==0) if not (DT.on==0) sae.DT=DT; end end %______________________________________________________ sae.T0=10; % temperatura inicial del sistema sae.T0=sae.T0+0*sae.tipo; for ff=1:sae.nbar; sae.DT.SAE(ff,1:5)= [sae.bar(ff) sae.bar(ff) 1 sae.tipo(ff) 0]; end % Las barras con T2, T3, M2 y M3 se corrigen para mejorar el condicionamiento del sistema de ecuaciones sae.T0(find((sae.tipo==2)))= sae.T0(find((sae.tipo==2)))*1000; sae.T0(find((sae.tipo==3)))= sae.T0(find((sae.tipo==3)))*1000; sae.T0(find((sae.tipo==5)))= sae.T0(find((sae.tipo==5)))*1000; sae.T0(find((sae.tipo==6)))= sae.T0(find((sae.tipo==6)))*1000; sae.T0(find((sae.tipo==7)))= sae.T0(find((sae.tipo==7)))*0.00001; sae.T0(find((sae.tipo==8)))= sae.T0(find((sae.tipo==8)))*0.00001; sae.T0(find((sae.tipo==9)))= sae.T0(find((sae.tipo==9)))*0.00001; %______________________________________________________ % Activacion de las cargas termicas en sae: sae.DT.on=1; for ff=1:sae.nbar; % Escritura del nombre del campo (T + ordinal de 3 o mas cifras de barra calentada) % hip=['T',sprintf('%03.0f',ff)]; % Escritura del nombre del campo (T + ordinal de barra calentada) sae.hipff,1=['T',num2str(ff)]; sae.DT.(sae.hipff)= [sae.bar(ff) sae.bar(ff) 1 sae.tipo(ff) sae.T0(ff)]; end %______________________________________________________ % sae.Ma : Matriz de soluciones sucesivas del sistema de ecuaciones (matriz de nº iteraciones x sae.nbar). % sae.Mb : Matriz de vectores de terminos independientes (SIN CORREGIR) del sistema (lados izquierdos de las ecuaciones) % sae.Mca : Matriz de vectores obtenidos al sustituir en cada iteracion % Mca(:,ii)=Mcoef(:,ii)*Ma(:,ii-1); % sae.Mtemp : Matriz de temperaturas sucesivas del sistema de ecuaciones (matriz de nº iteraciones x sae.nbar). sae.Ma * T0 % (El vector de temperaturas acumuladas es el que se escribe en sae.DT.SAE(:,5) ) % sae.Vcoef : Vector de terminos independientes del sistema (iteracion i) % sae.Mcoef : Matriz de cftes del sistema de ecuaciones (iteracion i) % sae.Mti : Matriz de vectores de terminos independientes (CORREGIDOS) que se han resuelven en cada iteracion sae.Ma = zeros(sae.nbar,1); sae.Mb = zeros(sae.nbar,1); sae.Mca = zeros(sae.nbar,1); sae.Mtemp = sae.Ma; sae.Mti = sae.Ma; sae.Mcoef = zeros(sae.nbar); sae.Vcoef = zeros(sae.nbar,1);
492
%______________________________________________________ % Los siguientes tres archivos solo se generan si se necesitan, pero % reducen MUCHO MUCHO el tiempo de evaluacion del SAE. % sae.Emat : archivo de nombre sae.CG.dir + saeE.mat donde se almacenan Mhip, Mbar y Mdesp % sae.Dmat : archivo de nombre sae.CG.dir + saeD.mat donde se almacenan Mhip y Mdesp % sae.Rmat : archivo de nombre sae.CG.dir + saeR.mat donde se almacenan Mhip y Mdesp % sae.Emat=[sae.CG.dir,'\','saeE.mat']; % sae.Dmat=[sae.CG.dir,'\','saeD.mat']; % sae.Rmat=[sae.CG.dir,'\','saeR.mat']; sae.Emat=[sae.CG.ARCH,'_','E.mat']; sae.Dmat=[sae.CG.ARCH,'_','D.mat']; sae.Rmat=[sae.CG.ARCH,'_','R.mat']; %______________________________________________________ %______________________________________________________ % *** COMIENZO DE PROCESO ITERATIVO****** for ii=1:sae.niter % ii: nº de iteracion disp(' '); sae.text=['SISTEMA AUXILIAR DE ECUACIONES: ITERACION Nº ',num2str(ii),'.' ]; disp(sae.text); % borrado de los archivos antes de una nueva iteracion if exist(sae.Emat)==2,delete(sae.Emat);, end; if exist(sae.Dmat)==2,delete(sae.Dmat);, end; if exist(sae.Rmat)==2,delete(sae.Rmat);, end; %______________________________________________________ % Generacion del modelo en N y mm sae.mensaje=Gen_s2k_v1_f_Nmm(sae.CG,A,T,LA,LT,P,S,SCU,LOAD,sae.DT,PD,COMB,'Nmm'); if sae.comp==1 % Ejecucion del calculo y comprobacion del *.log sae.mensaje=corre_sap2000_f(sae.CG.ARCHs2k,'calc','comp','borra'); else % Ejecucion del calculo y comprobacion del *.log sae.mensaje=corre_sap2000_f(sae.CG.ARCHs2k,'calc','borra'); end if not(strcmp(sae.mensaje,'O.K.')) break end %______________________________________________________ % Generacion, comprobacion y resolucion del sistema de ecuaciones del sistema de ecuaciones % A partir de las ecuaciones definidas en sae.c disp(' _________________________________________________________') disp(' | Generando ecuaciones de SAE. |'); sae.cont=0; for ff=1:length(sae.c) % separacion de ambos lados del igual try tic sae.text=[' Ecuacion ',num2str(ff),'/',num2str(length(sae.c))]; % disp(sae.text) % separacion a ambos lados del igual y evaluacion [sae.li,sae.ld]=separa_igual(sae.cff); sae.li=eval(sae.li); sae.ld=eval(sae.ld); sae.text=[sae.text, '. L.Izq: ',num2str(length(sae.li(:,1))),' Ec.']; sae.text=[sae.text, ' L.Der: ',num2str(length(sae.ld(:,1))),' Ec. ']; % disp(sae.text) disp(sae.text) sae.t=toc ; text1=(' |_________________________________________________________|'); sae.text= [' Tiempo de evaluacion de ecuacion ',num2str(ff),'/',num2str(length(sae.c)),': ', num2str(sae.t),'s.']; if ff==length(sae.c) text1(9:length(sae.text))=sae.text(9:end); sae.text=text1; end disp(sae.text); catch disp('**************************** !!!!!!ERROR !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'); er='ERROR EN LA DEFINICION DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA AUXILIAR DE ECUACIONES.'; disp(er); end % Verificacion de los tamaños de las matrices if not( length(sae.li(:,1)) ==length(sae.ld(:,1)))
493
disp('**************************** !!!!!!ERROR !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'); er='ERROR EN LA DEFINICION DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA AUXILIAR DE ECUACIONES.'; disp(er); er=['El nº de filas a ambos lados de la ecuacion no coincide para la linea sae.c',num2str(ff),'']; disp(er); end % Escritura de las matrices de cftes if sae.tol.v(ff)==sae.tol.E; % Ecuaciones en esfuerzos sae.Mcoef(sae.cont+1:sae.cont+length(sae.li(:,1)),:)=sae.li*sae.tol.cfteE; sae.Vcoef(sae.cont+1:sae.cont+length(sae.ld(:,1)),:)=sae.ld*sae.tol.cfteE; else sae.Mcoef(sae.cont+1:sae.cont+length(sae.li(:,1)),:)=sae.li*1; sae.Vcoef(sae.cont+1:sae.cont+length(sae.ld(:,1)),:)=sae.ld*1; end if ii==1 % Escritura del vector de tolerancias en la primera iteracion sae.Vtol(sae.cont+1:sae.cont+length(sae.ld(:,1)),:) = sae.tol.v(ff)+0*sae.Vcoef(sae.cont+1:sae.cont+length(sae.ld(:,1)),:); end sae.cont= sae.cont+length(sae.ld(:,1)); end % de ff if sae.cont > sae.nbar disp('**************************** !!!!!!ERROR !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'); er='ERROR EN LA DEFINICION DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA AUXILIAR DE ECUACIONES.'; disp(er); er='El nº total de filas de la matriz de cftes es mayor que el nº de barras con incrementos termicos. '; disp(er); end if sae.cont < sae.nbar disp('**************************** !!!!!!ERROR !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'); er='ERROR EN LA DEFINICION DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA AUXILIAR DE ECUACIONES.'; disp(er); er='El nº total de filas de la matriz de cftes es menor que el nº de barras con incrementos termicos. '; disp(er); end %______________________________________________________ % Mb: terminos independientes sin corregir %descomentar para anular % sae.Vcoef(find(sae.Vcoef==0))=1e-6; sae.Mb(:,ii)=sae.Vcoef; %______________________________________________________ % caso en el que los valores no se corrigen por temperatura entre iteraciones if not (ii==1) if sae.Mb(:,1)== sae.Mb(:,2) sae.corrT=0; disp(' '); disp(' Terminos independientes SIN correcion por temperatura: ' ); else sae.corrT=1; disp(' '); disp(' Terminos independientes CON correcion por temperatura: ' ); end end if ii==1 % la 1ª iteracion no se corrige en cualquier caso sae.Mti(:,ii)=sae.Vcoef; else if sae.corrT==1 sae.Mti(:,ii)=sae.Vcoef; else % Mca: Estimacion de la iteracion anterior sae.Mca(:,ii)=sae.Mcoef*sae.Ma(:,ii-1); % Mti: terminos independientes corregidos for ff=1:sae.nbar sae.Mti(ff,ii)=sae.Mb(ff,1)-sum(sae.Mca(ff,1:ii)); end end end %________________________________________________________ % solucion del sistema de ecuacion sae.Ma(:,ii)= sae.Mcoef\(sae.Mti(:,ii)); % disp(sae.Ma);
494
% temperaturas de la iteracion sae.Mtemp(:,ii)=sae.Ma(:,ii).*(sae.T0'); % Nueva columna de temperaturas (hipotesis SAE); % Temperaturas acumuladas en el SAE for ff=1:sae.nbar sae.DT.SAE(ff,5)=sum(sae.Mtemp(ff,1:ii)); end % for ff disp(sae.Mti); % EXPRESION DEL ERROR EN FUNCION DE ti if not(ii==1) % se ejecutan como poco 2 iteraciones if all( abs(sae.Mti(:,ii)) < sae.Vtol ) disp(' '); sae.text=['CONVERGENCIA DE SISTEMA AUXILIAR DE ECUACIONES ALCANZADA EN ITERACION Nº ',num2str(ii),'.' ]; disp(sae.text); break end end end % for ii % Definicion de hipotesis termica con las temperaturas if DT.on==0; % si se anulan las cargas termicas DT=0; % se vuelve a definir DT solo con campos on y SAE DT.on=1; DT.SAE=sae.DT.SAE; else DT.SAE=sae.DT.SAE; end %borrado de archivos intermedios de sap sae.mensaje=corre_sap2000_f(sae.CG.ARCHs2k,'borra'); % borrado final de archivos de datos de sae para evitar lecturas % no intencionadas if exist(sae.Emat)==2,delete(sae.Emat);, end; if exist(sae.Dmat)==2,delete(sae.Dmat);, end; if exist(sae.Rmat)==2,delete(sae.Rmat);, end; % Generacion de modelo completo sae.mensaje=Gen_s2k_v1_f_Nmm(CG,A,T,LA,LT,P,S,SCU,LOAD,DT,PD,COMB,0); % sonido de aviso al terminar cada escritura de archivo s2k sae.sound.file='c:\windows\media\notify.wav'; [sae.sound.a,sae.sound.b,sae.sound.c] = wavread(sae.sound.file); wavplay(sae.sound.a,sae.sound.b,'async'); clear('text','text1'); end % de if sae.on
495
APÉNDICE F
F CÓDIGO DE DIMENSIONAMIENTO AUTOMÁTICO DE PÉNDOLAS. El código listado a continuación obtiene el área de las péndolas para una hipótesis dada, con el
criterio de dimensionamiento de limitación de la tensión normal descrito en 15.2. if not(dAP.on==0) dAP.rAP = 1; % Se impone el redondeo del area de pendolas disp(' '); dAP.text='DIMENSIONAMIENTO DEL AREA DE LAS PENDOLAS.'; disp(dAP.text); dAP.ini=0; % En principio no se inicializa el proceso. % Se fijan los datos iniciales si no se han generado ya. if isfield(dAP,'AP') % si AP es campo if isempty(dAP.AP) % y esta vacio dAP.ini=1; end else % si AP no es campo dAP.ini=1; end % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % GENERACION DE DATOS INICIALES DE LA ITERACION %____________________________________________________ if dAP.ini==1 % ______________________________________________ % Vector de inicio de calculos dAP.AP=0; % ______________________________________________ % nombre del archivo del que se extraen los datos if not(sae.on==0) % si se ejecuta sae el archivo de calculo es sae.CG.ARCH; % si se ejecuta AF tambien hay que ejecutar sae dAP.ARCH=sae.CG.ARCH; else % si no se ejecuta sae el archivo es CG.ARCH dAP.ARCH=sae.CG.ARCH; end % ______________________________________________ % Se impone seccion de tipo circular en las definidas % No se impone un area inicial del proceso % Se impone sb=tw=tf=0; for cc=1:length(dAP.bar) % fila de dAP.bar(cc) en la matriz P.MBAR fila=find(P.MBAR(:,1)==dAP.bar(cc)); % Se impone que la seccion j de la barra sea igual que la de la barra i P.MBAR(fila,5)=P.MBAR(fila,4); % fila de la matriz de secciones donde se define la seccion correspondiente a dAP.bar(cc) fila=find( P.MSEC(:,1) == P.MBAR(fila,4) ); % Se impone que las secciones son circulares macizas P.MSEC(fila,3) = 3; P.MSEC(fila,[5 6 7]) = 0; end % de cc % ______________________________________________ % Calculos de modelo en m o mm [dAP.Un_Force,dAP.Un_Length]=Lee_EKO_Force_Length(dAP.ARCH); % Paso a m si los incrementos estan en mm if strcmp(dAP.Un_Length,'MM') dAP.Nmm='Nmm'; dAP.cfte=1e-3; else dAP.Nmm=0; dAP.cfte=1; end dAP.ini=0; % Una vez calculados los datos iniciales % no se vuelven a calcular en iteraciones sucesivas
496
end % de dAP.ini % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % DIMENSIONAMIENTO DE AREAS Y % COMPROBACION DE LA CONVERGENCIA %____________________________________________________ if dAP.ini==0 % ______________________________________________ % Calculo de axiles para la hipotesis dAP.HIP if sae.on==1 % En nudo inicial de barra dAP.N0=CSEb(sae,'E',dAP.bar,[0 1],dAP.HIP) ; % En nudo final de barra dAP.N1=CSEb(sae,'E',dAP.bar,[1 1],dAP.HIP) ; % Borrado de archivos para evitar lectur de datos anticuados % sae.Emat=[sae.CG.ARCH,'_','E.mat']; if exist(sae.Emat)==2,delete(sae.Emat);, end; else [Mhip,Mbar,Mesf]=Lee_OUT_Frame_Internal_Forces(dAP.ARCH); % Filtrado por hipotesis for cc=1:length(Mhip2(:)) if or ( strcmp ( dAP.HIP , Mhip2(cc) ) , ... % hipotesis simple o combinacion strcmp ([ dAP.HIP,'_M'] , Mhip2(cc)) ) ; % Combinacion MAX por defecto nhip=cc; end end % de cc % Se filtran los resultados a dibujar en funcion de: % filtrado de nº de hipotesis % filtrado solo de axil cc = find(ismember(Mesf(:,3),nhip)); Mesf=Mesf(cc,1:4); %filtrado de barras cc = find(ismember(Mesf(:,1),dAP.bar)); %filtrado por grado de libertad Mesf=Mesf(cc,:); dAP.N0=zeros(length(dAP.bar),1); dAP.N1=zeros(length(dAP.bar),1); for cc=1: length(dAP.N0) dAP.N0(cc)=Mesf(find( and( Mesf(:,1)==dAP.bar(cc), Mesf(:,2)==0) ),4); dAP.N1(cc)=Mesf(find( and( Mesf(:,1)==dAP.bar(cc), Mesf(:,2)==1) ),4); end % de cc end % de sae.on % dAP.N : Maximo axil entre dAP.N0 y dAP.N1 ponderado por dAP.cfte % Paso a KN si el resultado esta en N dAP.N = ( ( dAP.N1 >= dAP.N0 ) .* dAP.N1 + ( dAP.N1 < dAP.N0 ) .* dAP.N0 )* dAP.cfte ; % _____________________________________________ % Dimensionamiento de las areas % Tension estricta de dimensionamiento en KN/m2 % 1.86e3 MPa = 1.86e6 KN/m2 dAP.sigma = 0.01*dAP.porc*1.86e6; % Area estricta [mm2] dAP.AreaP = (dAP.N / dAP.sigma)*1e6 ; % Redondeo del area de las pendolas en multiplos de dAP.rAPa [mm2] if dAp.rAP == 1 dAP.AreaP=ceil(dAP.AreaP/dAP.rAPa)*dAP.rAPa; end % de dAP.ini % Igualacion de las areas de las pendolas a la maxima, ponderada por dAP.fmax if dAP.max == 1 dAP.AreaP(:)=max(dAP.AreaP)*dAP.fmax; end % _____________________________________________ % Escritura de los diametros en la matriz de secciones circulares for cc=1:length(dAP.bar) % fila de dAP.bar(cc) en la matriz P.MBAR
497
fila=find(P.MBAR(:,1)==dAP.bar(cc)); % fila de la matriz de secciones donde se define la seccion correspondiente a dAP.bar(cc) fila=find( P.MSEC(:,1) == P.MBAR(fila,4) ); % Se escribe el diametro [m] del area dAp.AreaP recien calculado [mm2] P.MSEC(fila,4) = ((4*dAP.AreaP(cc)/pi) 0.5) / 1000 ; P.MSEC(fila,[5 6 7]) = 0; end % de cc % ______________________________________________ % Comprobacion de la convergencia disp('Areas de pendolas calculadas [mm2]'); disp (dAP.AreaP); if all ( dAP.AP==dAP.AreaP ) % se produce la convergencia dAP.text='CONVERGENCIA DE DETERMINACION DE AREAS DE PENDOLAS.'; disp(dAP.text); dAP.conv=1; else dAP.AP=dAP.AreaP ; dAP.conv=0; end end % dAP.ini end % dAP.on
499
APÉNDICE G
G CÓDIGO DE DETERMINACIÓN DE CONTRAFLECHA DE EJECUCIÓN.
El código listado a continuación obtiene la contraflecha de ejecución de parte o la totalidad de una estructura, para una hipótesis de carga dada y en los grados de libertad deseados, de acuerdo con el procedimiento iterativo descrito en 6.2.
if not(CF.on==0) CF.conv=0; disp(' '); CF.text=['DETERMINACION DE CONTRAFLECHA DE EJECUCION.' ]; disp(CF.text); CF.ini=0; % En principio no se inicializa la geometria. % Se fijan las geometrias iniciales a igualar si no se han generado ya. if isfield(CF,'geom1') % si geom es campo if isempty(CF.geom1) % y esta vacio CF.ini=1; end else % si geom no es campo CF.ini=1; end % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % GENERACION DE GEOMETRIA Y DATOS INCIALES DE LA ITERACION %____________________________________________________ if CF.ini==1 % ______________________________________________ % nombre del archivo del que se extraen los datos if or (not(sae.on==0) , not(AF.on==0)) % si se ejecuta sae el archivo de calculo es sae.CG.ARCH; % si se ejecuta AF tambien hay que ejecutar sae CF.ARCH=sae.CG.ARCH; else % si no se ejecuta sae el archivo es CG.ARCH CF.ARCH=sae.CG.ARCH; end % ______________________________________________ % Calculos de modelo en m o mm [CF.Un_Force,CF.Un_Length]=Lee_EKO_Force_Length(CF.ARCH); % Paso a m si los incrementos estan en mm if strcmp(CF.Un_Length,'MM') CF.Nmm='Nmm' CF.cfte=1e-3; else CF.Nmm=0 CF.cfte=1; end % ______________________________________________ % Generacion de matriz geom1 % Matriz geom1 de nudos x 7 % col. 1 : nº del nudo del que se desea la contraflecha % col. 2 : 1 ( o no) si se desea ( o no ) contraflecha en x para el nudo de col.1 % col. 3 : 1 ( o no) si se desea ( o no ) contraflecha en y para el nudo de col.1 % col. 4 : 1 ( o no) si se desea ( o no ) contraflecha en z para el nudo de col.1 % col. 5 : coordenada x del nudo del que se desea contraflecha % col. 6 : coordenada y del nudo del que se desea contraflecha % col. 7 : coordenada z del nudo del que se desea contraflecha % Escritura de columna 1 CF.geom1=[]; for cc=1:length(CF.nud) CF.geom1=[CF.geom1; (CF.nudcc)' ]; end % de cc % Se eliminan nudos repetidos y se ordenan CF.geom1=unique(CF.geom1); CF.geom1=sort(CF.geom1); CF.geom1=[CF.geom1 zeros(length(CF.geom1),6)];
500
% Lectura de coordenadas de nudos de modelo recien calculado CF.Mnudos=Lee_EKO_Joint_Coordinates(CF.ARCH); for cc=1: length(CF.nud) % para cada grupo de nudos for dd=1:length(CF.nudcc) % para los nudos del grupo % Escritura de columnas 2 a 4 % Esta escritura permite añadir grados de libertad solapando definiciones de nudos if CF.gdlcc(1)==1 CF.geom1 (find(CF.geom1(:,1)==CF.nudcc(dd)),2) = CF.gdlcc(1); end if CF.gdlcc(2)==1 CF.geom1 (find(CF.geom1(:,1)==CF.nudcc(dd)),3) = CF.gdlcc(2); end if CF.gdlcc(3)==1 CF.geom1 (find(CF.geom1(:,1)==CF.nudcc(dd)),4) = CF.gdlcc(3); end % Escritura de columnas 5 a 7 CF.geom1 (find(CF.geom1(:,1)==CF.nudcc(dd)),[5:7]) = ... CF.Mnudos( find( CF.Mnudos(:,1)== CF.nudcc(dd)),2:4) * CF.cfte ; end % de dd end % de cc CF.ini==0; % Una vez calculados los datos iniciales % no se vuelven a calcular en iteraciones sucesivas end % de CF.ini % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % GENERACION DE CALCULOS DE CONTRAFLECHA Y ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA %____________________________________________________ if CF.ini==0 % ______________________________________________ % Matriz geom2 de coordenadas de los nudos en modelo recien calculado CF.geom2=zeros(length(CF.geom1(:,1)),4); CF.geom2(:,1)=CF.geom1(:,1); CF.Mnudos=Lee_EKO_Joint_Coordinates(CF.ARCH); for cc=1:length(CF.geom2(:,1)) hh=find(CF.Mnudos(:,1)== CF.geom2(cc,1) ); CF.geom2(cc,2:4)=CF.Mnudos(hh,2:4); end CF.geom2(:,2:4)=CF.geom2(:,2:4)*CF.cfte; % ______________________________________________ % Matriz flechas de corrimientos en modelo recien calculado CF.flechas=zeros(length(CF.geom1(:,1)),4); % matriz def: % columna 1: nº del nudo % columna 2 a 4: deformada de cada nudo. % En cada columna se escribe la deformada segun los gdl y la hipotesis definida CF.flechas(:,1)=CF.geom1(:,1); % Calculo de desplazamientos en el modelo [CF.Mhip,CF.Mdesp]=Lee_OUT_Joint_Displacements(CF.ARCH); for cc=1: length(CF.nud) % para cada grupo de nudos % Filtrado de la hipotesis de carga %Se encuentra el nº de hipotesis pedida for hh=1:length(CF.Mhip2(:)) if or ( not (isempty(strmatch(CF.HIPcc,CF.Mhip2(hh)))) , ... % hipotesis simple o combinacion not (isempty(strmatch([CF.HIPcc,'_M'],CF.Mhip2(hh)))) ) % Combinacion MAX por defecto CF.nhip=hh; end end % de hh %filtrado de nº de hipotesis CF.M=CF.Mdesp(find(ismember(CF.Mdesp(:,2),CF.nhip)),:); for dd=1:length(CF.nudcc) % fila de la matriz CF.flechas hh=find(CF.flechas(:,1)==CF.nudcc(dd)); % flechas del nudo CF.nudcc(dd) ponderadas por gdl cc CF.flechas(hh,2:4)= CF.M( find(CF.M(:,1) == CF.nudcc(dd)),3:5 ); end % de dd end % de cc % Paso a m en su caso CF.flechas(:,2:4)=CF.flechas(:,2:4)*CF.cfte; % ______________________________________________ % Matriz def = coord + flechas
501
CF.def=zeros(length(CF.geom1(:,1)),4); CF.def(:,1)=CF.geom1(:,1); CF.def(:,2:4) = CF.geom2(:,2:4) + CF.flechas(:,2:4); % Paso a m de la matriz def CF.def(:,2:4)=CF.def(:,2:4); % ______________________________________________ % Matriz de difer = geom1 - geom2 CF.difer=zeros(length(CF.geom1(:,1)),4); CF.difer(:,1)=CF.geom1(:,1); CF.difer(:,2:4)=CF.def(:,2:4)-CF.geom1(:,5:7); % Filtrado de CF.difer por grados de libertad for cc=1:length(CF.difer(:,1)) CF.difer(cc,2:4)=CF.difer(cc,2:4).*CF.geom1(cc,2:4); end disp(CF.difer); % ______________________________________________ % Comprobacion de la convergencia if all(all ( abs( CF.difer(:,2:4) ) < CF.tol )) % se produce la convergencia CF.text=['CONVERGENCIA DE DETERMINACION DE CONTRAFLECHA DE EJECUCION.' ]; disp(CF.text); CF.conv=1; end % ______________________________________________ % Modificacion de las coordenadas de los nudos con -CF.difer % Modificacion de las coordenadas de los puntos en las matrices A.MNUD, T.MNUD, LA.MNUD y LT.MNUD for cc=1:length(CF.difer(:,1)) % Arco CF.fila=find( A.MNUD(:,1)==CF.difer(cc,1) ); if not(isempty(CF.fila)) A.MNUD(CF.fila,2:4)= A.MNUD(CF.fila,2:4) - CF.difer(cc,2:4); end % Tablero if not(T.on==0) CF.fila=find( T.MNUD(:,1)==CF.difer(cc,1) ); if not(isempty(CF.fila)) T.MNUD(CF.fila,2:4)= T.MNUD(CF.fila,2:4) - CF.difer(cc,2:4); end end if not(LA.on==0) % Barras laterales de arco CF.fila=find( LA.MNUD(:,1)==CF.difer(cc,1) ); if not(isempty(CF.fila)) LA.MNUD(CF.fila,2:4)= LA.MNUD(CF.fila,2:4) - CF.difer(cc,2:4); end end if not(LT.on==0) % Barras laterales de arco CF.fila=find( LT.MNUD(:,1)==CF.difer(cc,1) ); if not(isempty(CF.fila)) LT.MNUD(CF.fila,2:4)= LT.MNUD(CF.fila,2:4) - CF.difer(cc,2:4); end end end % de cc end % de CF.ini % CF.mensaje=Gen_s2k_v1_f_Nmm(CG,A,T,LA,LT,P,S,SCU,LOAD,DT,PD,COMB,0); end % de CF.on
503
APÉNDICE H
H CÓDIGO DE DETERMINACIÓN DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR. • Método de las reacciones globales acopladas.
if not (AF.on==0) % METODO DE LAS REACCIONES GLOBALES: FORMULACION ACOPLADA % datos : AF.R : se calcula con CSEbV % AF.M : solo es necesario definir AF.M3. % El programa ya calcula en los mismos puntos M2 y los ejes locales % ____________________________________ % NOTA IMPORTANTE DE SAP 2000: % M3 se proyecta cuando es positivo sobre la parte NEGATIVA del eje local 3. % M2 se proyecta cuando es positivo sobre la parte POSITIVA del eje local 2. % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % macro: DETERMINACION DE ANTIFUNICULAR % AJUSTE DE UN ARCO % Los nudos que se ajustan solo pueden estar en A o en T que es donde los % busca el programa. % Los esfuerzos se definen con el comando CSEb, pq el programa ya % calcula los versores de los ejes locales. % Ejecucion de sae porque no se puede ejecutar AF sin ejecutar antes sae. if sae.on==0 % sae no se ha ejecutado y necesita ajecutar sae sae.on=1; Sab_Macro_sae_v3; end % variables propias del proceso: % AF.on () * ' Activa o no el proceso de determinacion de antifunicular. % AF.ARCH '' - ' Path y nombre s/ext del archivo donde se realizan las iteraciones. % Por cada contorno a antifunicularizar se añade un elemento a cada cell array % AF.R '' * ' Nudos de esfuerzo de determinacion de antifunicularidad. % AF.M '' * ' Esfuerzos a antifunicularizar. % AF.gdl [3] * ' [1 1 1] en X,Y y Z [0 0 0]:Coaccionados en los tres % AF.tol () * ' Valor de la tolerancia en m de los incrementos de coordenadas. % AF.macro * ' Expresiones a ejecutar justo despues de generada la geometria. % Geometria inicial del proceso AF.G0=A.MNUD T.MNUD; AF.ARCH = sae.CG.ARCH; % Ajuste de la tolerancia en funcion de las unidades del archivo AF.ctol=1; [AF.Un_Force,AF.Un_Length]=Lee_EKO_Force_Length(AF.ARCH); if any( [strcmp(AF.Un_Force,'N') strcmp(AF.Un_Length,'MM')]) AF.ctol=1e3; % Para expresar el movimiento en mm; end for gg=1:AF.niter % gg: nº de iteracion del proceso antifunicular. disp(' '); text=['DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR: ITERACION Nº ',num2str(gg) ]; disp(text); for ff=1:length(AF.R) % ff: nº de las ecuaciones. try tic; text=[' Ecuacion ',num2str(ff),'/',num2str(length(AF.R))]; disp(text); % Reaccion de determinacion de directriz. AF.Rf=eval([AF.Rff,';']); % Momentos exteriores a antifunicularizar segun el eje local 3 [AF.Mf3 tipo selnud RD gdl hip] =eval([AF.Mff,';']); % Esfuerzos a antifunicular (Mtos M22, gdl=5) segun el eje 2 AF.Mf2=CSEb(sae,tipo,selnud,[RD 5], hip); if all(not ([ gdl==5 gdl==6 ])) text=['ERROR EN LA DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR: ITERACION Nº ',num2str(gg) ]; disp(text); text=['gdl solo puede adoptar valores de 5 (M22) o 6 (M33)'];
504
disp(text); interrupcion % LINEA DE ERROR end %Matriz de versores de ejes locales de barras AF.lax=Sap_Local_Axes(sae.CG.ARCH,selnud); t=toc ; text1=(' |_________________________________________________________|'); text= [' Tiempo de evaluacion de ecuacion ',num2str(ff),'/',num2str(length(AF.M)),': ', num2str(t),'s.']; if ff==length(AF.M) text1(9:length(text))=text(9:end); text=text1; end disp(text); catch disp('**************************** !!!!!!ERROR !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'); er='ERROR EN LA DEFINICION DE LAS REACCIONES O ESFUERZOS DE LA DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR.'; disp(er); end % de try Rx = AF.Rf(5); Ry = AF.Rf(6); Rz = AF.Rf(7); % AF.D: Matriz de incrementos de coordenadas globales de cada nudo % AF.D [[ nº de nudos x 4]] % col. 1 : nº de nudo % col. 2 a 4 : incrementos de coordenadas en cada punto AF.D=zeros(length(AF.Mf3),4); AF.D(:,1)=selnud'; for jj=1: length(AF.Mf3(:,1)); % versores de los ejes locales de las barras m11 = AF.lax(jj,2); m12 = AF.lax(jj,3); m13 = AF.lax(jj,4); m21 = AF.lax(jj,5); m22 = AF.lax(jj,6); m23 = AF.lax(jj,7); m31 = AF.lax(jj,8); m32 = AF.lax(jj,9); m33 = AF.lax(jj,10); % FORMULACION DESACOPLADA DE LAS EXCENTRICIDADES LOCALES % % Calculo de excentricidad a compensar % if gdl==6 % caso M3 % % AF.D(jj,4)=-AF.exc(jj)/m23; % end % % if gdl==5 % caso M2 % % AF.D(jj,3)=-AF.exc(jj)/m32; % end % FIN DE FORMULACION DESACOPLADA DE LAS EXCENTRICIDADES LOCALES % FORMULACION ACOPLADA DE LAS REACCIONES GLOBALES AF.cfte=[ [ Rx*m33-Rz*m31 -Rx*m32+Ry*m31] ; [Rx*m23-Rz*m21 -Rx*m22+Ry*m21]]; AF.m=[ AF.Mf3(jj) ; - AF.Mf2(jj) ]; bb= AF.cfte \ AF.m ; AF.D(jj,3) = bb(1); AF.D(jj,4) = bb(2); % FIN de FORMULACION ACOPLADA DE LAS REACCIONES GLOBALES end % de jj % Paso a m si los incrementos estan en mm if strcmp(AF.Un_Length,'MM') AF.D(:,2:4)=AF.D(:,2:4)/1000; end % Modificacion de las coordenadas de los puntos en las matrices A.MNUD o T.MNUD for jj=1:length(AF.D(:,1)) fila=find( A.MNUD(:,1)==AF.D(jj,1) );
505
if not(isempty(fila)) A.MNUD(fila,2:4)= A.MNUD(fila,2:4) + AF.D(jj,2:4); end if not(T.on==0) fila=find( T.MNUD(:,1)==AF.D(jj,1) ); if not(isempty(fila)) T.MNUD(fila,2:4)= T.MNUD(fila,2:4) + AF.D(jj,2:4); end end end % de jj %Ejecucion de archivos macro correspondientes a la ecuacion ff for jj=1:length(AF.macro); eval(char(AF.macroff)); end % de jj % Reescritura de A.X, A.Y, A.Z, T.X, T.Y, T.Z A.X=A.MNUD(:,2)'; A.Y=A.MNUD(:,3)'; A.Z=A.MNUD(:,4)'; if not(T.on==0) T.X=T.MNUD(:,2)'; T.Y=T.MNUD(:,3)'; T.Z=T.MNUD(:,4)'; end end % de ff AF.Agg=A.MNUD; if not(T.on==0) AF.Tgg=T.MNUD; end % Comparacion de movimientos entre iteraciones con tolerancias if not(T.on==0) if not(gg==1) if and(all(all(abs( AF.Agg(:,2:4)-AF.Agg-1(:,2:4) ) < AF.tol)),all(all( abs( AF.Tgg(:,2:4)-AF.Tgg-1(:,2:4) ) < AF.tol))) disp(' '); text=['CONVERGENCIA DE DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR ALCANZADA EN ITERACION Nº',num2str(gg),'.' ]; disp(text); break end end else if not(gg==1) if all(all( abs( AF.Agg(:,2:4)-AF.Agg-1(:,2:4) ) < AF.tol )) disp(' '); text=['CONVERGENCIA DE DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR ALCANZADA EN ITERACION Nº',num2str(gg),'.' ]; disp(text); AF.conv=1; break end end end % Inicializacion de variables en macro sae sae=struct_keep(sae,'on','PD','T','T3','T2','M2','M3','c','comp','niter'); Sab_Macro_sae_v2; end % de gg disp(' '); text='FIN DE PROCESO DE DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR.'; disp(text); rmfield(AF,'Un_Force' 'Un_Length' ); % Generacion de modelo completo mensaje=Gen_s2k_v1_f_Nmm(CG,A,T,LA,LT,P,S,SCU,LOAD,DT,PD,COMB,0); end % de AF.on
• Método de las excentricidades locales desacopladas. if not (AF.on==0) % ____________________________________ % GEOMETRIAS ANTIFUNICULARES: METODO DE LAS EXCENTRICIDADES LOCALES % Formulacion desacoplada por compensacion de las excentricidades
506
% locales en extremos de barras. % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % ____________________________________ % Opcion de copia de iteraciones (AF.it.copia=1) % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % ____________________________________ % NOTA IMPORTANTE DE SAP 2000: % M3 se proyecta cuando es positivo sobre la parte NEGATIVA del eje local 3. % M2 se proyecta cuando es positivo sobre la parte POSITIVA del eje local 2. % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % ____________________________________ % El ajuste se realiza siempre desde el nudo de arranque dorsal. % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % Los nudos que se ajustan solo pueden estar en A o en T que es donde los % busca el programa. % Los esfuerzos en AF.M se definen con el comando CSEb, pq el programa ya % calcula los versores de los ejes locales. %____________________________________ % Ejecucion de sae porque no se puede ejecutar AF sin ejecutar antes sae. if sae.on==0 % sae no se ha ejecutado y necesita ajecutar sae sae.on=1; Sab_Macro_sae_v2; end % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ %_________________________________ % proceso de copia de cada iteracion % Si esta definido el proceso de copias de las iteraciones sucesivas: if isfield(AF,'it') % Si se quiere copiar el archivo if not(AF.it.copia==0) if AF.it.nit ==0 % Se borran las iteraciones del proceso anterior [aa,bb]=dos(['del ', CG.ARCH,'_it*.*' ]); end % Se copia el modelo en el de la iteracion si es la inicial if AF.it.nit ==0 [aa,bb]=dos(['copy ', CG.ARCHs2k,' ',CG.ARCH,'_it',sprintf('%02.0f',AF.it.nit),'.s2k' ]); % Se incrementa en uno el numero de las iteraciones a copiar AF.it.nit=AF.it.nit+1; end end % de if end % de isfield % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ % variables propias del proceso: % AF.on () * ' Activa o no el proceso de determinacion de antifunicular. % AF.ARCH '' - ' Path y nombre s/ext del archivo donde se realizan las iteraciones. % Por cada contorno a antifunicularizar se añade un elemento a cada cell array % AF.M '' * ' Esfuerzos a antifunicularizar. % AF.tol () * ' Valor de la tolerancia en m de los incrementos de coordenadas. % AF.macro * ' Expresiones a ejecutar justo despues de generada la geometria. % Geometria inicial del proceso AF.G0=A.MNUD T.MNUD; AF.ARCH = sae.CG.ARCH; %_________________________________ % Ajuste de la tolerancia en funcion de las unidades del archivo AF.ctol=1; [AF.Un_Force,AF.Un_Length]=Lee_EKO_Force_Length(AF.ARCH); if any( [strcmp(AF.Un_Force,'N') strcmp(AF.Un_Length,'MM')]) AF.ctol=1e3; % Para expresar el movimiento en mm; end % ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ %_________________________________ for gg=1:AF.niter % gg: nº de iteracion del proceso antifunicular. disp(' '); text=['DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR: ITERACION Nº ',num2str(gg) ]; disp(text); for ff=1:length(AF.M) % ff: nº de contornos a antifunicularizar % _______________________________________ % Calculo de esfuerzos try tic; text=[' Ecuacion ',num2str(ff),'/',num2str(length(AF.M))];
507
disp(text); % Momentos exteriores a antifunicularizar [AF.Mf tipo selnud RD gdl hip] =eval([AF.Mff,';']); if all(not ([ gdl==5 gdl==6 ])) text=['ERROR EN LA DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR: ITERACION Nº ',num2str(gg) ]; disp(text); text=['gdl solo puede adoptar valores de 5 (M22) o 6 (M33)']; disp(text); interrupcion % LINEA DE ERROR end % Esfuerzos axiles concomitantes con los momentos recien calculados AF.Nf=CSEb(sae,tipo,selnud,[RD 1], hip); % Excentricidad de todos los nudos recien calculados AF.exc=AF.Mf./AF.Nf; %Matriz de versores de ejes locales de barras AF.lax=Sap_Local_Axes(sae.CG.ARCH,selnud); t=toc ; text1=(' |_________________________________________________________|'); text= [' Tiempo de evaluacion de ecuacion ',num2str(ff),'/',num2str(length(AF.M)),': ', num2str(t),'s.']; if ff==length(AF.M) text1(9:length(text))=text(9:end); text=text1; end disp(text); catch disp('**************************** !!!!!!ERROR !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'); er='ERROR EN LA DEFINICION DE LAS REACCIONES O ESFUERZOS DE LA DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR.'; disp(er); end % de try % _______________________________________ % Matriz inicial de incrementos de coordenadas de nudos % AF.D: Matriz de incrementos de coordenadas globales de cada nudo % AF.D [[ nº de nudos x 4]] % col. 1 : nº de nudo % col. 2 a 4 : incrementos de coordenadas en cada punto AF.D=zeros(length(AF.Mf),4); AF.D(:,1)=selnud'; % _______________________________________ % Calculo de excentricidades de los nudos for jj=1: length(AF.Mf(:,1)); % versores de los ejes locales de las barras m11 = AF.lax(jj,2); m12 = AF.lax(jj,3); m13 = AF.lax(jj,4); m21 = AF.lax(jj,5); m22 = AF.lax(jj,6); m23 = AF.lax(jj,7); m31 = AF.lax(jj,8); m32 = AF.lax(jj,9); m33 = AF.lax(jj,10); % Calculo de excentricidad a compensar if gdl==6 % caso M3 AF.D(jj,4)=-AF.exc(jj)/m23; end if gdl==5 % caso M2 AF.D(jj,3)=-AF.exc(jj)/m32; end end % de jj % _______________________________________ % Paso a m si los incrementos estan en mm if strcmp(AF.Un_Length,'MM') AF.D(:,2:4)=AF.D(:,2:4)/1000; end % _______________________________________ % Modificacion de las coordenadas de los puntos en las matrices A.MNUD o T.MNUD for jj=1:length(AF.D(:,1)) fila=find( A.MNUD(:,1)==AF.D(jj,1) ); if not(isempty(fila))
508
A.MNUD(fila,2:4)= A.MNUD(fila,2:4) + AF.D(jj,2:4); end if not(T.on==0) fila=find( T.MNUD(:,1)==AF.D(jj,1) ); if not(isempty(fila)) T.MNUD(fila,2:4)= T.MNUD(fila,2:4) + AF.D(jj,2:4); end end end % de jj % Ejecucion de archivos macro correspondientes a la ecuacion ff for jj=1:length(AF.macro); eval(char(AF.macrojj)); end % de jj % Reescritura de A.X, A.Y, A.Z, T.X, T.Y, T.Z A.X=A.MNUD(:,2)'; A.Y=A.MNUD(:,3)'; A.Z=A.MNUD(:,4)'; if not(T.on==0) T.X=T.MNUD(:,2)'; T.Y=T.MNUD(:,3)'; T.Z=T.MNUD(:,4)'; end end % de ff AF.Agg=A.MNUD; if not(T.on==0) AF.Tgg=T.MNUD; end % _______________________________________ % Comprobacion de la convergencia % Comparacion de movimientos entre iteraciones con tolerancia if not(T.on==0) % Caso en que existen arco y tablero if not(gg==1) if and(all(all(abs( AF.Agg(:,2:4)-AF.Agg-1(:,2:4) ) < AF.tol)),all(all( abs( AF.Tgg(:,2:4)-AF.Tgg-1(:,2:4) ) < AF.tol))) disp(' '); text=['CONVERGENCIA DE DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR ALCANZADA EN ITERACION Nº',num2str(gg),'.' ]; disp(text); AF.conv=1; break end end else % Caso en que no existe tablero if not(gg==1) if all(all( abs( AF.Agg(:,2:4)-AF.Agg-1(:,2:4) ) < AF.tol )) disp(' '); text=['CONVERGENCIA DE DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR ALCANZADA EN ITERACION Nº',num2str(gg),'.' ]; disp(text); AF.conv=1; break end end end % _______________________________________ % Ejecucion de sistema auxiliar de ecuaciones % Inicializacion de variables en macro sae sae=struct_keep(sae,'on','PD','T','T3','T2','M2','M3','c','comp','niter'); Sab_Macro_sae_v3; %_________________________________ % proceso de copia de cada iteracion % Si esta definido el proceso de copias de las iteraciones sucesivas: if isfield(AF,'it') % Si se quiere copiar el archivo if not(AF.it.copia==0) % Se copia el modelo en el de la iteracion if AF.it.nit <=99 [aa,bb]=dos(['copy ', CG.ARCHs2k,' ',CG.ARCH,'_it',sprintf('%02.0f',AF.it.nit),'.s2k' ]); else [aa,bb]=dos(['copy ', CG.ARCHs2k,' ',CG.ARCH,'_it',sprintf('%03.0f',AF.it.nit),'.s2k' ]); end % Se incrementa en uno el numero de las iteraciones a copiar AF.it.nit=AF.it.nit+1;
509
end % de if end % de isfield end % de gg (De niter) %_________________________________ disp(' '); text='FIN DE PROCESO DE DETERMINACION DE DIRECTRIZ ANTIFUNICULAR.'; disp(text); rmfield(AF,'Un_Force' 'Un_Length' ); % Generacion de modelo completo en KN y m mensaje=Gen_s2k_v1_f_Nmm(CG,A,T,LA,LT,P,S,SCU,LOAD,DT,PD,COMB,0); % % sonido de aviso al terminar cada escritura de archivo s2k % AF.sound.file='c:\windows\media\ringin.wav'; % [AF.sound.a,AF.sound.b,AF.sound.c] = wavread(AF.sound.file); % wavplay(AF.sound.a,AF.sound.b,'async'); end % de AF.on
.
