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ESTUDIO DE MODELOS DE VOLATILIDAD

ESTOCÁSTICA EN EL MERCADO FX

Sherly Paola Alfonso Sánchez

Matemática, Magister en Ciencias-Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

Bogotá, D.C.

Mayo de 2016

ESTUDIO DE MODELOS DE VOLATILIDAD

ESTOCÁSTICA EN EL MERCADO FX

Sherly Paola Alfonso Sánchez

Matemática, Magister en Ciencias-Matemáticas

Trabajo de tesis para optar al título de

Magister en Actuaría y Finanzas

Director

Carlos Vázquez Cendón

Univerdidade da Coruña

Codirectora

Johanna Garzón Merchán, Ph.D.

Matemáticas

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

Bogotá, D.C.

Mayo de 2016

I

Título en español

ESTUDIO DE MODELOS DE VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA EN EL MERCADO FX

Title in English

STUDY OF STOCHASTIC VOLATILITY MODELS IN THE FX MARKET

Resumen: La identi�cación del movimiento de precios de productos con riesgo como unmovimiento browniano geométrico por parte de Black, Scholes y Merton, condujo a ladeducción del modelo de Black Scholes para la valoración de las opciones europeas; sinembargo, dicho modelo no resulta compatible con lo observado en la práctica en algunosmercados �nancieros como el FX (Foreign Exchange Markets), al suponer la volatilidadconstante. En este trabajo se estudian modelos más generales como son: los modelos de vo-latilidad estocástica, modelos de volatilidad local y modelos de volatilidad local estocástica.

Abstract: The modeling of the price of risky assets as a geometric Brownian motionfrom Black, Scholes and Merton, led to the Back Scholes model, which was used to valueEuropean options. Nevertheless, some assumptions of this model do not correspond towhat is observed in many �nancial markets like the FX (Foreign Exchange Markets),where volatility is not constant. This project studies models that are more general. Inparticular, it studies models of stochastic volatility, models of local volatility and modelsof local stochastic volatility.

Palabras clave: volatilidad local, volatilidad estocástica, función de apalancamiento,mercado FX, opciones europeas

Keywords: local volatility, stochastic volatility, leverage function, FX market, europeanoptions

Índice general

Índice general II

INTRODUCCIÓN 2

1. VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA 1

1.1. Deducción de la ecuación de valoración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. VOLATILIDAD LOCAL 7

2.1. Formulación de la volatilidad local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. MODELO DE VOLATILIDAD LOCAL ESTOCÁSTICA (SLV MO-

DEL) 12

3.1. Dinámica del modelo SLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1. Existencia y unicidad de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.2. Función de apalancamiento (leverage) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Derivación de la fórmula de valoración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4. CALIBRACIÓN DEL MODELO SLV Y TÉCNICAS DE VALORA-CIÓN 28

4.1. Calibración del modelo SLV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2. Ecuación de derivadas parciales de Fokker-Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1. Aproximación de la condición inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2.2. Aproximación de la función de leverage (apalancamiento) . . . . . . . . 32

4.2.3. Método de diferencias �nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.3.1. Construcción de la malla no uniforme (transformación decoordenadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.3.2. Discretización en espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.3.3. Discretización en tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. Ecuación de derivadas parciales para la valoración de una opción . . . . . . . . 45II

ÍNDICE GENERAL 0

5. RESULTADOS NUMÉRICOS 49

5.1. Calibración de la super�cie de volatilidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1. Estrategias risk reversal y butter�y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.2. De ATM , RR y BF a σc(∆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.1.3. Cálculo de la volatilidad implícita en términos de strikes a partir dela volatilidad implícita dada en términos de deltas. . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.4. Cálculo de la volatilidad local mediante la super�cie de volatilidadimplícita en términos del strike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2. Resultados de las ecuaciones diferenciales parciales dadas en el modelo SLV 55

Bibliografía 59

Agradecimiento

Agradezco a la Universidad Nacional de Colombia por brindarme las herramientasnecesarias para la ejecución de esta tesis de maestría. Así como el apoyo incondi-cional por parte de mi director Carlos Vázquez Cendón y de mi codirectora JohannaGarzón Merchán; sin olvidar la ayuda en varias ocasiones del profesor Oscar Lopez Alfonso.

Doy gracias a Dios, a mis padres Alvaro Alfonso y Stella Sánchez, a mis hermanosGersón Alfonso y Nathalia Alfonso; a mis amigos: Ingrid Ojeda, Lina Caicedo, Juan MarioCastro y Felipe Pabón y a mis compañeros perrunos, quienes me acompañaron y alentaronen el transcurso de este camino.

INTRODUCCIÓN

Es bien conocido que la hipótesis de volatilidad constante en el modelo clásico de BlackScholes para la evolución del precio del activo no resulta compatible con lo observado enla práctica en muchos mercados �nancieros, como el de tipo de cambio entre monedas(Foreign Exchange Market o FX), en el cual la volatilidad es altamente inestable. Paramejorar este aspecto, esencialmente han surgido dos tipos de modelos: los de volatilidadlocal y los de volatilidad estocástica. En esta tesis de maestría profundizaremos en losaspectos matemáticos y numéricos de estos modelos, así como en los modelos más recientesque combinan ambos: los modelos de volatilidad local estocástica.

Entre los hechos prácticos que contradice el supuesto de volatilidad constante, seencuentra que al observar la distribución de los retornos del precio del subyacente, estatiene un pico más alto y las colas más pesadas con respecto a una distribución normal.Adicionalmente, a grandes movimientos de la volatilidad le siguen grandes movimientosde volatilidad, lo cual recibe el nombre de volatility clustering. Aparte de las anteriorescontradicciones, el hecho de considerar la volatilidad constante conlleva a problemas en lavaloración de opciones. Se recuerda que el modelo de Black Scholes, describe la dinámicadel subyacente como:

dSt = µStdt+ σStdWt.

Observe que dicho modelo tiene dos parámetros, el término de deriva o drift, µ, y eltérmino de difusión, σ. Sin embargo, el drift queda determinado por un argumento deausencia de arbitraje o libertad de riesgo. Por lo tanto, el único parámetro con el que secuenta para valorar las opciones es el de volatilidad constante σ.

• Para valorar una opción call europea: se necesita el valor de σ y junto con el modelode Black Scholes, se encuentra el precio de la opción call europea BSCall(K,T, σ).

• Para determinar el valor de σ: se realiza el procedimiento de forma inversa, es decirse tiene en cuenta el precio del mercado de la opción call europea Cmer(K,T ) y seencuentra σ como aquella constante tal que:

BSCall(K,T, σ) = Cmer(K,T ).

Ahora, teniendo el valor de σ se podrá valorar cualquier opción call o put europeacon cualquier strike y vencimiento.

Si se desea determinar el valor de σ se presentan las siguientes dos limitaciones:2

INTRODUCCIÓN 3

1. Volatilidad que depende del tiempo:Si se tienen los precios de dos opciones call europeas con diferentes tiempos de ma-durez T1 < T2, en general no se encontrará un valor constante σ que satisfaga las dosecuaciones:

BSCall(K,T1, σ) = Cmer(K,T1)

BSCall(K,T2, σ) = Cmer(K,T2). (1)

Sin embargo, para solucionar este inconveniente se supone que la volatilidad delsubyacente varía con el tiempo, es decir, la volatilidad es una función de t (σ(t)). Porlo tanto la dinámica del subyacente queda descrita como:

dSt = µStdt+ σ(t)StdWt.

Por ejemplo si se de�ne la función de volatilidad σ(t) a trozos

queda totalmente determinado el sistema de ecuaciones (1).

2. Volatilidad que depende del strike σimp(K)

Se tienen los precios de mercado de dos opciones call europeas con igual vencimientopero diferentes strikes (K1,K2), por ejemplo el strike K1 está ATM (At the money)y K2 esta 10 % por encima de ATM. En este caso:

a. Se calcula σ tal que BSCall(K1, T, σ) = Cmer(K1, T ).

b. Con el valor de σ calculado, se halla por medio del modelo de Black Scholes elprecio BSCall(K2, T, σ).

En general, el precio calculado en 2.b. es diferente del precio del mercado de la opcióncall europea, es decir BSCall(K2, T, σ) 6= Cmer(K2, T ). En este caso no es sencillo realizaralguna modi�cación al modelo como se hizo en 1, con el �n de encontrar un modelo quesea consistente con el comportamiento de los precios. Por lo tanto se recurren a modelosmás complejos.

En un intento de mejorar esta situación, recientemente han surgido los modelos devolatilidad local estocástica, en los que se supone una dinámica estocástica para lavolatilidad pero combinada con un modelo local. Esta nueva metodología, que permiteuna mejor calibración del mercado, da lugar a interesantes problemas matemáticos en elanálisis de los modelos de ecuaciones en derivadas parciales resultantes y en la resoluciónnumérica de los mismos de manera e�ciente. En la tesis reciente [21] se plantean algunosde estos modelos utilizando ecuaciones de Fokker-Planck y se resuelven numéricamente

INTRODUCCIÓN 4

mediante el método de diferencias �nitas, tratando también el tema de calibrado. Enconcreto, en el mercado de tipos de cambio entre monedas (FX) se plantea la ecuación deFokker-Planck que satisface la densidad de probabilidad asociada al modelo de volatilidadlocal estocástico considerado. También, mediante la teoría de cobertura dinámica seobtiene la ecuación que veri�ca una opción sobre el precio del activo cuando éste satisfaceel modelo de volatilidad local estocástica con dinámica de Heston. Ambas ecuacionesconllevan ciertas di�cultades, en el primer caso la presencia de una delta de Dirac, la cualdebe ser aproximada convenientemente, como paso previo a su resolución numérica. Sepropone una calibración intermedia durante el proceso de resolución numérica. Para elcaso de la ecuación en derivadas parciales que conlleve a la valoración existen distintasposibilidades de condiciones de contorno estudiadas en la literatura.

En el primer capítulo de esta tesis de maestría estudiaremos el modelo de volatili-dad estocástica con la respectiva deducción de la ecuación de valoración, la cual esválida sobre cualquier mercado �nanciero en donde sea consistente asumir la volatilidadestocástica. En el segundo capítulo, introduciremos el concepto de volatilidad localhaciendo énfasis en el mercado FX, guiándonos de [9] y [15], quienes se basan en el trabajode Dupire [7]. Adicionalmente, estudiaremos la relación entre la super�cie de volatilidadimplícita y la de volatilidad local. En el tercer capítulo, introduciremos el modelo principalde estudio en la tesis doctoral [21] que es el modelo base de esta tesis de maestría, esdecir, el modelo de volatilidad local estocástica (SLV) con dinámica de Heston. De formasimilar a los dos capítulos anteriores, en el tercer capítulo se plantea la ecuación enderivadas parciales de valoración para un derivado asumiendo el modelo SLV. Para estoes necesario introducir el concepto de función de leverage (apalancamiento), la cual seobtiene mediante la función de densidad de probabilidad del subyacente, que satisface laEDP de Fokker-Planck, y de la volatilidad local.

Después de presentar los primeros tres capítulos en los cuales se dan las bases teó-ricas para la implementación del modelo SLV, en el cuarto capítulo se introducen losmétodos numéricos para la resolución de las dos ecuaciones en derivadas parciales medianteun método de diferencias �nitas, necesarias para la calibración de dicho modelo. Valela pena resaltar que en esta tesis de maestría se deducen las formas matriciales para laresolución de dichas EDP's mediante el método ADI, las cuales se muestran sin deducciónen [21]. Finalmente, en el quinto capítulo se muestran los resultados numéricos obtenidosal implementar el modelo SLV en MATLAB para la valoración de una opción call europea,proceso para el cual debimos calcular tanto la super�cie de volatilidad local como lafunción de leverage.

CAPÍTULO 1

VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA

La valoración de derivados se convirtió en un gran campo de aplicación del cálculoestocástico, desde que en 1973, Black, Scholes y Merton identi�caron el movimiento delos precios de productos con riesgo como un movimiento browniano geométrico. Esto llevóa la deducción de la ecuación de Black Scholes para la valoración de algunos de estosderivados como las opciones call y put europeas.

A pesar del éxito del modelo de Black Scholes entre quienes negocian en los mercadosde derivados así como entre los académicos, al introducir ideas novedosas como la de∆− cobertura y construcción de portafolios libres de riesgo; a partir de la crisis demercado en Octubre (1987), algunos de los supuestos de dicho modelo fueron puestos encuestionamiento:

• ∆− Cobertura continua: El modelo de Black Scholes asume una ∆− coberturacontinua, al eliminar el riesgo se debe hacer de forma continua (en cada tiempo sedeben adquirir ∆(t) unidades del subyacente), pero en realidad, entre una coberturay otra existen tiempos �nitos en los cuales no se esta eliminando el riesgo.

• Volatilidad constante o determinista: El modelo de Black Scholes supone lavolatilidad como una función determinista conocida que depende del tiempo y delsubyacente; sin embargo muchas series de tiempo muestran que la volatilidad esvariable e impredecible.

Teniendo en cuenta lo anterior, con el �n de plantear un modelo más general, se puede su-poner que la volatilidad es estocástica. Dicha suposición resulta útil para valorar contratosque son muy sensibles al comportamiento de la volatilidad, como por ejemplo las opcionesbarrera.

1.1. Deducción de la ecuación de valoración

La deducción de la ecuación de valoración para el modelo con volatilidad estocástica sebasa en lo presentado por Wilmott [22]. Sean S es el precio del subyacente y v su varianza,

1

CAPÍTULO 1. VOLATILIDAD ESTOCÁSTICA 2

la dinámica de dichos procesos se plantea mediante las siguientes ecuaciones diferencialesestocásticas:

dS(t) = µ(t)S(t)dt+√v(t)S(t)dZ1, (1.1)

dv(t) = α(S, v, t)dt+ ηβ(S, v, t)√v(t)dZ2, (1.2)

con Z1 y Z2, movimientos brownianos diferentes de manera que su correlación satisface:

dZ1dZ2 = ρdt, (1.3)

y:

• µ(t): función determinista que representa el precio esperado del subyacente (driftinstantáneo).

• η: Volatilidad de la volatilidad de los precios del subyacente.

• ρ: Correlación entre los retornos de los precios de S y los cambios de la varianza v.

En el caso de Black Scholes, solo hay una fuente de aleatoriedad (precio del subyacente),la cual puede cubrirse por medio de compra del subyacente. En este caso, los cambios en lavolatilidad también deben cubrirse con el objetivo de crear un portafolio de menor riesgo.Así se crea el portafolio:

π = V −∆S −∆1V1, (1.4)

donde V (S, v, t) es el precio del derivado que se desea valorar, ∆ es la cantidad desubyacente que se debe adquirir, y ∆1 es la cantidad de opciones de precio V1(S, v, t) quese deben adquirir. Aclarando que V y V1 son contratos diferentes.

Para hallar el rendimiento del portafolio dπ debemos hallar dV , para esto utiliza-mos la fórmula de Ito:

dV =∂V

∂tdt+

∂V

∂SdS +

∂V

∂vdv +

1

2

[∂2V

∂S2(dS)2 + 2

∂2V

∂v∂S(dS)(dv) +

∂2V

∂v2(dv)2

]. (1.5)

Para simpli�car (1.5), se recuerdan las reglas de multiplicación dtdt = 0, dtdZi = 0 ydZidZi = dt para i = 1, 2. Además, de las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.3) se tiene que:

(dS)2 =(µSdt+

√vSdZ1

)2= vS2(dZ1)

2 = vS2dt.

(dS)(dv) =(µSdt+

√vSdZ1

) (αdt+ ηβ

√vdZ2

)= ηvβS dZ1 dZ2 = ρηvβSdt.

(dv)2 =(αdt+ ηβ

√vdZ2

)2= η2β2v(dZ2)

2 = η2β2v dt.

Por lo anterior, la ecuación (1.5) se puede expresar como

dV =∂V

∂tdt+

∂V

∂SdS +

∂V

∂vdv +

1

2

[vS2∂

2V

∂S2dt+ 2ρηvβS

∂2V

∂v∂Sdt+ η2β2v

∂2V

∂v2dt

].

(1.6)


Observe que (1.6) se tiene de forma similar para V1, así el rendimiento del portafolio quedaexpresado como:

dπ = dV −∆dS −∆1dV1

=

[(∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ ρηvβS

∂2V

∂v∂S+

1

2η2β2v

∂2V

∂v2

)− ∆1

(∂V1∂t

+1

2vS2∂

2V1∂S2

+ ρηvβS∂2V1∂v∂S

+1

2η2β2v

∂2V1∂v2

)]dt

+

(∂V

∂S−∆1

∂V1∂S−∆

)dS +

(∂V

∂v−∆1

∂V1∂v

)dv. (1.7)

Para que el portafolio π sea libre de riesgo se deben eliminar los factores dS y dv, de estemodo:

∂V

∂S−∆1

∂V1∂S−∆ = 0

∂V

∂S−∆1

∂V1∂S

= ∆ (1.8)

y

∂V

∂v−∆1

∂V1∂v

= 0.

(1.9)

Por lo tanto, se obtiene

∆1 =

∂V

∂v∂V1∂v

, ∆ =∂V

∂S−(∂V

∂v

∂V1∂S

)/∂V1∂v

. (1.10)

Bajo la condición que el portafolio sea libre de riesgo el rendimiento del portafolio quedadescrito como

dπ =

[(∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ ρηvβS

∂2V

∂v∂S+

1

2η2β2v

∂2V

∂v2

)− ∆1

(∂V1∂t

+1

2vS2∂

2V1∂S2


+1

2η2β2v

∂2V1∂v2

)]dt. (1.11)

Ahora para evitar oportunidades de arbitraje, el rendimiento del portafolio debe ser iguala la tasa de interés libre de riesgo r, es decir:

dπ = rπ dt.

Reemplazando (1.11) y (1.4) en la ecuación anterior[(∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ ρηvβS

∂2V

∂v∂S+

1

2η2β2v

∂2V

∂v2

)− ∆1

(∂V1∂t

+1

2vS2∂

2V1∂S2


+1

2η2β2v

∂2V1∂v2

)]dt = r (V −∆S −∆1V1) dt.


Tomando

A =∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ ρηvβS

∂2V

∂v∂S+

1

2η2β2v

∂2V

∂v2

y

B =∂V1∂t

+1

2vS2∂

2V1∂S2


+1

2η2β2v

∂2V1∂v2

,

se tiene por (1.8)

A−∆1B = r (V −∆S −∆1V1)

= r

(V −

(∂V

∂S−∆1

∂V1∂S

)S −∆1V1

)= rV − rS ∂V

∂S+ ∆1rS

∂V1∂S−∆1rV1.

Reescribiendo, y utilizando (1.10),

A+ rS∂V

∂S− rV = ∆1

(B + rS

∂V1∂S− rV1

)

=

∂V

∂v∂V1∂v

(B + rS

∂V1∂S− rV1

).

Por lo tanto, se obtiene

A+ rS∂V

∂S− rV

∂V

∂v

=B + rS

∂V1∂S− rV1

∂V1∂v

. (1.12)

Observe que el lado izquierdo de la ecuación depende de V y no de V1, mientras que ellado derecho depende de V1 y no de V . Por lo tanto, ambos lados de la ecuación deben seruna función f(S, v, t) de las variables S, v y t (independiente del tipo de contrato V y V1).

Si q(S, v, t) = ηβ√v, sin perdida de generalidad se puede suponer que f(S, v, t) =

−(α − ϕq), ya que al tener q 6= 0, ϕ =α+ f(S, v, t)

q(ϕ recibe el nombre de precio de

mercado del riesgo de la volatilidad).

De (1.12) se implica

A+ rS∂V

∂S− rV

∂V

∂v

= −(α− ϕq),


o equivalentemente

A+ rS∂V

∂S+ (α− ϕq)∂V

∂v− rV = 0

y reemplazando el valor de A se obtiene

∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ ρηvβS

∂2V

∂v∂S+

1

2η2β2v

∂2V

∂v2+ rS

∂V

∂S+ (α− ϕq)∂V

∂v− rV = 0 (1.13)

Así se ha encontrado la ecuación para valorar V bajo el supuesto de volatilidad estocástica.Adicionalmente, note que si se tiene el supuesto de volatilidad constante en la ecuación(1.13) se tendría

∂2V

∂v∂S=∂2V

∂v2=∂V

∂v= 0,

por lo tanto se implicaría la ecuación de Black Scholes:

∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ rS

∂V

∂S− rV = 0.

Anteriormente se denotó ϕ como el precio de mercado del riesgo de la volatilidad, pero¾cuál es su signi�cado?, para responder a esta pregunta se considerará el portafolio π,donde V es una opción que satisface (1.6)

π1 = V −∆S.

Así, se obtiene

dπ1 = dV −∆dS

=∂V

∂tdt+

∂V

∂SdS +

∂V

∂vdv+

1

2

[vS2∂

2V

∂S2dt+ 2ρηvβS

∂2V

∂v∂Sdt+ η2β2v

∂2V

∂v2dt

]−∆dS

=

(∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ ρηvβS

∂2V

∂v∂S+

1

2η2β2v

∂2V

∂v2

)dt+

(∂V

∂S−∆

)dS +

∂V

∂vdv.

Ahora, como se desea que el portafolio sea libre de riesgo respecto al subyacente, se elige

∆ =∂V

∂S, (1.14)

de modo que el rendimiento del portafolio queda descrito por

dπ1 =

(∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ ρηvβS

∂2V

∂v∂S+

1

2η2β2v

∂2V

∂v2

)dt+

∂V

∂vdv.


De esta forma si comparamos el rendimiento del portafolio dπ1 y la rentabilidad de esteportafolio bajo la tasa libre de riesgo rπ1dt, por (1.2), (1.13) y (1.14) tenemos

dπ1 − rπ1 dt =

(∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ ρηvβS

∂2V

∂v∂S+

1

2η2β2v

∂2V

∂v2

)dt

+∂V

∂vdv − rV dt+ r∆Sdt

=

(∂V

∂t+

1

2vS2∂

2V

∂S2+ ρηvβS

∂2V

∂v∂S+

1

2η2β2v

∂2V

∂v2+ rS

∂V

∂S− rV

)dt

+∂V

∂vdv

=

(−(α− ϕq)∂V

∂v

)dt+

∂V

∂v

(αdt+ ηβ

√vdZ2

)=∂V

∂v[(−α+ ϕq + α) dt+ qdZ2]

= q∂V

∂v(ϕdt+ dZ2) . (1.15)

Dado que existen dos factores que generan riesgo (el precio del subyacente y la volatilidaddel mismo), y que en el portafolio π1 solo se realiza cobertura para el precio del subyacente(por medio de la compra de ∆ unidades del mismo), entonces se genera un precio ϕ al notransar lo relativo a la volatilidad; y en (1.15) deducimos el signi�cado de dicho precio:por cada unidad de riesgo de volatilidad hay ϕ unidades de retorno extra en el portafolio.

Notemos que en el desarrollo de este capítulo en ningún momento nos restringimosal mercado sobre tasas de cambio, por lo tanto todos los conceptos obtenidos sonaplicables sobre cualquier mercado �nanciero en el cual sea razonable considerar que lavolatilidad presenta un comportamiento estocástico.

CAPÍTULO 2

VOLATILIDAD LOCAL

Dada la complejidad computacional de los modelos de volatilidad estocástica y la di�cultadpara encontrar parámetros adecuados para los precios actuales de las opciones vanilla, sebusca de manera sencilla valorar opciones exóticas consistentemente con la distorsión dela volatilidad (volatility skew). Desde antes, Breeden y Litzenberger [3] a�rmaron que lafunción de densidad de probabilidad neutral al riesgo podía derivarse de los precios de lasopciones europeas. Sin embargo, un gran avance se logró cuando Dupire [7], Derman yKani [6] encontraron que bajo neutralidad del riesgo existe un único proceso de difusiónconsistente con estas distribuciones. El proceso σLV (S, t) consistente con los precios de lasopciones europeas recibe el nombre de volatilidad local.

Dupire, Derman y Kani no pensaron la volatilidad local como una representaciónde la evolución de la volatilidad, sino como una especie de promedio de todas lasvolatilidades instantáneas posibles en el mundo de la volatilidad estocástica.

Observación 2.0.1. Los modelos de volatilidad local no son una clase de modelos dife-rentes a los de volatilidad estocástica, sino son modelos resultantes al realizar una sim-pli�cación de suposiciones, suponiendo en la ecuación (1.2), η = 0. Por lo cual v(S, t)resulta ser una función determinista de S y t, la cual es solución de la ecuación ordinariadv

dt= α(S, v, t).

La relación entre la volatilidad local y los precios de opciones call europeas fue estudiadapor Dupire en forma general, en esta tesis de maestría estudiaremos dicha relación sobremercados FX para esto nos basamos en [9] y [15].

2.1. Formulación de la volatilidad local.

Dado un tiempo de expiración T y el precio actual del subyacente S0 se consideran losprecios de las opciones call europeas para todos los valores de strikes K

{C(S0,K, T );K ∈ (0,∞)}.

7

CAPÍTULO 2. VOLATILIDAD LOCAL 8

Los precios actuales de dichas opciones satisfacen la siguiente relación:

C(S0,K, T ) = e−∫ T0 rd(s)ds

∫ ∞K

(ST −K) φ(ST , T ;S0)dST ,

= Z(0, T )

∫ ∞K

(ST −K) φ(ST , T ;S0)dST (2.1)

donde φ representa la función de densidad neutral al riesgo del precio del subyacente (ST )

en el tiemo de expiración T , rd es la tasa de interés doméstica y Z(0, T ) = e−∫ T0 rd(s)ds

representa el precio actual del bono con madurez T en mercado doméstico.

Ahora se desea encontrar∂2C

∂K2, para ello consideramos

∂C

∂K= Z(0, T ) lım

h→0

∫∞K+h(ST − (K + h)) φ(ST , T ;S0)dST −

∫∞K (ST −K) φ(ST , T ;S0)dST

h

= Z(0, T ) lımh→0

(∫ ∞K

ST − (K + h)− (ST −K)

hφ(ST , T ;S0)dST

−∫ K+h

K

ST − (K + h)

hφ(ST , T ;S0)dST

)= −Z(0, T )

(∫ ∞K

φ(ST , T ;S0)dST + lımh→0

∫ K+h

K

ST − (K + h)

hφ(ST , T ;S0)dST

).

(2.2)

Se mostrará que

lımh→0

∫ K+h

K

ST − (K + h)

hφ(ST , T ;S0)dST = 0,

realizando la integración por partes y denotando Φ la función de distribución acumulada:∫ K+h

K

ST − (K + h)

hφ(ST , T ;S0)dST

=

(ST −K − h

h

)Φ(ST , T ;S0)

]K+h

K−∫ K+h

K

Φ(ST , T ;S0)

hdST

= Φ(K,T ;S0)−∫K+hK Φ(ST , T ;S0)dST

h.

Por lo tanto, usando la regla de L'Hopital :

lımh→0

∫ K+h

K

ST − (K + h)

hφ(ST , T ;S0)dST = Φ(K,T ;S0)− lım

h→0

∫K+hK Φ(ST , T ;S0)dST

h

= Φ(K,T ;S0)− lımh→0

Φ(K + h, T ;S0) = 0.

Reemplazando lo anterior en (2.2), se obtiene

∂C

∂K= −Z(0, T )

∫ ∞K

φ(ST , T ;S0)dST = −Z(0, T )(1− Φ(K,T ;S0)) (2.3)


y derivando, se concluye que:

∂2C

∂K2= Z(0, T )φ(K,T ;S0). (2.4)

Ahora, recordando que φ satisface la siguiente ecuación de Fokker-Planck 1

1

2

∂2

∂S2T

(σ2LV S2Tφ)− ∂

∂ST(µSTφ) =

∂φ

∂T. (2.5)

Por (2.1) y (2.5) se tiene

∂C

∂T= Z(0, T )

[∂

∂T

(∫ ∞K

(ST −K) φ(ST , T ;S0)dST

)− rd

∫ ∞K

(ST −K) φ(ST , T ;S0)dST

]= Z(0, T )

∫ ∞K

∂

∂T((ST −K) φ(ST , T ;S0)) dST − rdC

= Z(0, T )

∫ ∞K

(∂

∂T(φ(ST , T ;S0))

)(ST −K)dST − rdC

= Z(0, T )

∫ ∞K

(1

2

∂2

∂S2T


∂ST(µSTφ)

)(ST −K)dST − rdC.

(2.6)

Ahora, integrando por partes, haciendo:

u = ST −K dv =1

2

∂2

∂S2T


∂ST(µSTφ)

du = dST v =1

2

∂

∂ST(σ2LV S

2Tφ)− µSTφ,

entonces

∂C

∂T= Z(0, T )

[(ST −K)

(1

2

∂

∂ST(σ2LV S

2Tφ)− µSTφ

)]∞K

−∫ ∞K

(1

2

∂

∂ST(σ2LV S

2Tφ)− µSTφ

)dST

]− rdC

= Z(0, T )

[(ST −K)

(1

2

∂

∂ST(σ2LV S

2Tφ)− µSTφ

)]∞K

−1

2(σ2LV S

2Tφ)

]∞K

+

∫ ∞K

µSTφ dST

]− rdC

=1

2Z(0, T )σ2LVK

2φ+ Z(0, T )

∫ ∞K

µSTφ dST − rdC, (2.7)

donde asumimos que

lımST→∞

(ST −K)

(1

2

∂

∂ST(σ2LV S

2Tφ)− µSTφ

)− 1

2(σ2LV S

2Tφ) = 0.

1Asumimos que la dinámica de St es dSt = µStdt+ σLV StdZ1 y se usa la proposición 2.10 de [21]


Ahora, por (2.1) y (2.3) se obtiene

µC = Z(0, T )

∫ ∞K

µ (ST −K) φ dST

= Z(0, T )

∫ ∞K

µSTφ dST − µK Z(0, T )

∫ ∞K

φ dST

= Z(0, T )

∫ ∞K

µSTφ dST + µK∂C

∂K.

Por lo tanto, tenemos

Z(0, T )

∫ ∞K

µSTφ dST = µC − µK ∂C

∂K, (2.8)

y reemplazando (2.8) en (2.7) se obtiene

∂C

∂T=

1

2Z(0, T )σ2LVK

2φ+ µ

(C −K ∂C

∂K

)− rdC (2.9)

y por (2.4), φ =1

Z(0, T )

∂2C

∂K2, por lo tanto la ecuación (2.9) queda expresada en la ecuación

∂C

∂T=

1

2σ2LVK

2 ∂2C

∂K2+ µ

(C −K ∂C

∂K

)− rdC,

que recibe el nombre de ecuación de Dupire.

Cuando el subyacente tiene el drift µ (neutral al riesgo), se tiene que µ(t) = r(t)−D(t) y

∂C

∂T=

1

2σ2LVK

2 ∂2C

∂K2+ (r −D)

(C −K ∂C

∂K

)− rdC (2.10)

siendo r(t) = rd(t)−rf (t) la tasa libre de riesgo yD(t) la tasa de dividendos del subyacente.Adicionalmente, si no hay pago de dividendos, la ecuación (2.10) queda escrita en la forma:

∂C

∂T=

1

2σ2LVK

2 ∂2C

∂K2+ (rd − rf )

(C −K ∂C

∂K

)− rdC

=1

2σ2LVK

2 ∂2C

∂K2− rfC − (rd − rf )K

∂C

∂K.

Despejando de la ecuación anterior el término de volatilidad local, tenemos la siguienteexpresión en términos de tasas de cambio:

σLV (S, t) =

√√√√√√∂C

∂T+ (rd − rf )K

∂C

∂K+ rfC

K2

2

∂2C

∂K2

(2.11)

De esta manera, si se tiene un conjunto completo de precios de opciones europeas paratodos los strikes y expiraciones a través de (2.11) las volatilidades locales pueden serdeterminadas de manera única.


Alternativamente dada la super�cie de volatilidad implícita σIV del modelo de BlackScholes, se puede calcular la super�cie de volatilidad local σLV mediante la siguienteecuación (la demostración de este hecho se encuentra en [15]):

σLV (S, t) =

√√√√√√√√σ2IV + 2σIV T

∂σIV∂T

+ 2(rd − rf )KT∂σIV∂K(

1 + d1K√T∂σIV∂K

)2

+ σIVK2T

[∂2σIV∂K2

− d1√T

(∂σIV∂K

)2]∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣K=S,T=t

,

(2.12)

donde

d1 =1

σIV√T − t

[ln

(S

K

)+

(rd − rf +

1

2σ2IV (T − t)

)].

CAPÍTULO 3

MODELO DE VOLATILIDAD LOCALESTOCÁSTICA (SLV MODEL)

La valoración de opciones exóticas, como por ejemplo las opciones barrera, se realiza deforma diferente a la hecha para opciones vanilla; dado que estos precios no dependerán dela dinámica de los mercados vanilla (calls y puts). De hecho, los modelos de volatilidadlocal (LV) y los modelos de volatilidad estocástica (SV) solo se encuentran calibrados paraopciones vanilla, y por lo tanto no tienen la �exibilidad para capturar la dinámica de lasopciones exóticas.

De esta manera, para poder capturar la dinámica de los precios de las opcionesexóticas, el uso de ambos modelos ha sido propuesto. Por ejemplo, en algunas ocasionesse ha usado el promedio lineal de los precios dados por el modelo LV y el modelo SV paravalorar opciones exóticas sin existir alguna justi�cación teórica al respecto.

El modelo de volatilidad local estocástica considerado en la tesis [21], no es conse-cuencia de una combinación lineal y paramétrica de los modelos LV y SV, sino que secalibra de manera que captura la dinámica tanto de las opciones vanilla como de lasopciones exóticas. Adicionalmente, el modelo SLV es más general que los modelos LV ySV ya que estos dos últimos son casos particulares del primer modelo.

3.1. Dinámica del modelo SLV

Las dinámicas generales del activo y la volatilidad en el modelo híbrido de volatilidad localestocástica son:

dSt = µ1(St, t)dt+ L(St, t)σ1(St, Vt, t)dW1t

dVt = µ2(Vt, t)dt+ σ2(Vt, t)dW2t

dW 1t dW

2t = ρdt

con la correlación −1 ≤ ρ ≤ 1 y L(St, t) es llamada la función de leverage (apalanca-miento), la cual se determina por la información del mercado con el �n de encontrar lasponderaciones de los modelos LV y SV.

12

CAPÍTULO 3. MODELO DE VOLATILIDAD LOCAL ESTOCÁSTICA (SLV MODEL) 13

Observación 3.1.1. En la clase de modelos SLV, existen diferentes puntos de vista demodelación y calibración. Por ejemplo, Lipton [13] propuso el llamado modelo universalde volatilidad, el cual combina la volatilidad local y estocástica, Ren [18] usó un modelolog normal para el proceso del activo y un proceso de volatilidad con correlación cero,de igual manera lo hicieron Tataru y Fisher [19], quienes sugirieron el uso de un modelo(term-structure) log normal para la volatilidad. Deelstra y Rayée [5] sugirieron un modeloSLV con tasa de interés estocástica para valorar las opciones de larga maduración en elmercado FX.

En la tesis [21], se hace la implementación del modelo de volatilidad estocástica localasumiendo que se sigue la dinámica de Heston. Así, el modelo SLV bajo la medida neutralal riesgo Q queda descrito por:

dSt = (rd − rf )Stdt+ L(St, t)√VtStdW

1∗t , S0 = s

dVt = κ∗(θ∗ − Vt)dt+ λ√VtdW

2∗t , V0 = v (3.1)

dW 1∗t dW 2∗

t = ρdt.

Dado que la valoración se está realizando en el mercado FX:

• rd es la tasa de interés doméstica.

• rf es la tasa de interés extranjera.

• L(St, t) es la función de leverage, la cual se calibrará numéricamente por medio delos datos del mercado y representará el peso de la volatilidad local en el modelo.

• W 1∗t y W 2∗

t son movimientos brownianos bajo la medida Q.

Las tasas de cambio rd y rf se asumen localmente deterministas y de ahora en adelantese denotará r = rd − rf . Adicionalmente las componentes del vector (κ∗, θ∗, λ, ρ) son losparámetros del modelo de Heston, los cuales se asumen constantes a trozos.

Observación 3.1.2. Las razones por las cuales se escoge el modelo SLV con dinámica deHeston-SLV son:

1. El proceso CIR (Cox Ingersoll Ross) y los parámetros de Heston se usan frecuente-mente en la industria al brindar representación del comportamiento de la volatilidad.

2. Existen fórmulas semi-analíticas (Heston [11]) y métodos para calibrar de formarápida y fácil los parámetros del modelo.

3.1.1. Existencia y unicidad de solución

En esta tesis de maestría se muestra la existencia y unicidad de la solución del modelo deHeston SLV dado en (3.1). En primer lugar, se tienen las siguientes hipótesis:


Hipótesis

• Los valores iniciales del activo y volatilidad son positivos, es decir S0, V0 > 0.

• Los coe�cientes κ∗, θ∗, λ > 0, −1 < ρ < 1 y rd, rf ∈ R.

• La función de leverage L es positiva y acotada. Además se debe tener una condiciónpara garantizar la positividad del proceso de varianza, dicha condición se denominacondición de Feller.

Dado2κ∗θ∗

λ2≥ 1 y V0 > 0, se tiene que P (Vt > 0) = 1 para todo t > 0.

De forma intuitiva la razón de esta condición se observa transformando el proceso devarianza a un proceso de log-varianza. Según la fórmula de Ito, si Zt = ln(Vt):

dZt =1

VtdVt −

1

2

1

V 2t

(dVt)2

=1

Vt

[κ∗(θ∗ − Vt)dt+ λ

√VtdW

2∗t

]− 1

2

1

V 2t

λ2Vtdt

=

[1

Vt

(κ∗θ∗ − 1

2λ2)− κ∗

]dt+

λ√VtdW 2∗

t

De lo anterior, se debe tener

κ∗θ∗ − 1

2λ2 ≥ 0

2κ∗θ∗

λ2≥ 1

Proposición 3.1.3. Bajo las suposiciones hechas, existe una única solución (St, Vt) del

modelo (3.1), dado Vt > 0 para todo t > 0. Además, existe una función p(St, Vt, t) la cual esla función de densidad de transición del modelo SLV y es la única solución de la ecuación

de Fokker Planck:

∂p

∂t= − ∂

∂S(rSp)− ∂

∂V(κ∗(θ∗ − Vt)p) +

1

2

∂2

∂S2(L2S2V p) +

∂2

∂S∂V(λρLSV p)

+1

2

∂2

∂V 2(λ2V p),

con la condición inicial

p(S, V, 0) = δ(S − S0)δ(V − V0),

donde δ(·) representa el operador delta de Dirac 1.

Antes de presentar la demostración de la proposición anterior se realiza una observaciónque deja en claro porque la ecuación de Fokker-Planck queda descrita de esa forma.

Observación 3.1.4. Con el objetivo de plantear la ecuación de Fokker Planck para la pro-babilidad de transición, conviene escribir el sistema de ecuaciones diferenciales estocásticasen forma matricial, es decir, si consideramos el caso n-dimensional

dXt = µ(Xt, t)dt+ σ(Xt, t)dWt, (3.2)

1Proposición 2.10 de [21]


donde Xt = (X1t , ..., X

nt )′ ∈ Rn, Wt = (W 1

t , ...,Wmt )′ ∈ Rm y

σ =

σ11 ... σ1mσ21 ... σ2m. ... .. ... .σn1 ... σnm

∈ Rn×m

con W 1t , ...,W

mt movimientos brownianos independientes. Si Xt satisface (3.2) y X0 =

(x1, ..., xn), la función de densidad de transición p(Xt, t) satisface la ecuación de FokkerPlanck:

∂p

∂t= −

n∑i=1

∂

∂Xi(µip) +

1

2

n∑i,j=1

∂2

∂Xi∂Xj[(σσT )ijp]

p(X, 0) =

n∏i=1

δ(Xi − xi)

donde δ(·) es la función delta de Dirac.

Para escribir el modelo de volatilidad estocástica local con la dinámica de Hestonen forma matricial se deben obtener los procesos W 1∗

t y W 2∗t (correlacionados) a partir de

dos procesos brownianos independientes Z1t y Z2

t . Con dicho �n tomamos:

W 1∗t = Z1

t

W 2∗t = ρZ1

t +√

1− ρ2Z2t .

Observemos que según la construcción

(dW 1∗t )(dW 2∗

t ) = (dZ1t )(ρdZ1

t +√

1− ρ2dZ2t )

= ρ(dZ1t )2

= ρdt.

De esta forma, en términos de movimientos brownianos independientes el modelo de vola-tilidad local estocástica queda descrito como

dSt = rStdt+ L(St, t)√VtStdZ

1t , S0 = s,

dVt = κ∗(θ∗ − Vt)dt+ λ√Vt(ρdZ

1t +

√1− ρ2dZ2

t )

= κ∗(θ∗ − Vt)dt+ λ√VtρdZ

1t + λ

√Vt(1− ρ2)dZ2

t , V0 = v,

dZ1t dZ

2t = 0.

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas en forma matricial es:(dStdVt

)=

(rSt

κ∗(θ∗ − Vt)

)dt+

(L√VtSt 0

λ√Vtρ λ

√Vt(1− ρ2)

)(dZ1

t

dZ2t

).

Es decir,

σ =

(L√VtSt 0

λ√Vtρ λ

√Vt(1− ρ2)

)


y

σσT =

(L2S2

t Vt λρLSVλρLSV λ2Vt

),

de donde se tiene la ecuación de Fokker-Planck dada en la proposición 3.1.1.

Ahora, se demuestra la existencia y unicidad de solución del modelo SLV dado en (3.1).

Demostración. Se hace la demostración de la proposición teniendo en cuenta el Corolario2.7 y el Teorema 2.5 de [21].

• Para ver que el proceso Vt tiene solución única se utiliza el Corolario 2.7. Se muestra

que κ∗(θ∗ − Vt) es Lipschitz y que λ√Vt es Hölder de orden

1

2.

Como κ∗ > 0,

|κ∗(θ∗ − Vt)− κ∗(θ∗ − Vs)| = κ∗ |Vt − Vs| ,

es decir κ∗(θ∗ − Vt) es Lipschitz.

Por otro lado, como:

|√x−√y| ≤

√|y − x|,

y λ > 0, entonces

|λ√Vt − λ

√Vs| ≤ λ|Vt − Vs|1/2,

es decir, λ√Vt es Hölder de orden 1/2. Como consecuencia existe la solución única

para Vt.

• En cuanto a la dinámica del subyacente se muestra que tanto el drift como el términode difusión de St son Lipschitz y de crecimiento lineal.

Para el término de drift del subyacente St, es sencillo ver las condiciones an-teriores, ya que:

|rSt − rSs| ≤ |r||St − Ss|,|rSt| ≤ |r|(1 + |St|).

De forma similar, el término de difusión resulta ser Lipschitz y de crecimiento linealrespecto a S. Al ser L positiva y acotada:

|L√V St − L

√V Ss| ≤

∣∣∣L√V ∣∣∣ |St − Ss||L√V St| ≤ L

√V (1 + |St|).

Por último, se utiliza el Teorema 2.11 de [21] para mostrar que se cumple la ecuación deFokker-Planck para la densidad de transición, se debe mostrar que µ(s, t) y σ(s, t) sonacotadas y dos veces diferenciables respecto a x, y que σσT es de�nida positiva. Ademáslos términos µ y σσT deben satisfacer la condición de Hölder.2Recordemos que dada la

2Acá se considera la norma euclidiana de µ y la norma de σ como√tr(σσT )


observación 3.1.4 se concluyó que para esta dinámica

µ(s, t) =

(rSt

κ∗(θ∗ − Vt)

)y σ(s, t) =

(L√VtSt 0

λ√Vtρ λ

√Vt(1− ρ2)

)

• µ(s, t) y σ(s, t) son acotadas:

‖µ(s, t)‖ ≤√r2S2

t + κ∗2(θ∗ − Vt)2

≤ rSt + κ∗|θ∗ − Vt|≤ rO + κ∗ max(|θ∗ −M |, θ∗),

donde M,O ∈ R+ tales que St ≤ O y Vt ≤M .Por otro lado,

‖σ(s, t)‖ =√Tr(σσT )

=√L2V S2 + λ2V

≤ LS√V + λ

√V

=√V (LS + λ)

≤√M(NO + λ).

Ya que por hipótesis L es acotada y positiva, se asume que L ≤ N , para algúnN ∈ R+

• µ(s, t) y σ(s, t) son dos veces diferenciables respecto a s:Para µ(s, t), la derivada esta dada por la matriz de representación(

r 00 −κ∗

).

y para σ(x, t) la derivada está dada por la matriz de representaciónL√V

LS

2√V

0 0

0λρ

2√V

0 λ√

1− ρ2

.

• σσT es de�nida positiva. Esto se tiene dado que el determinante de σσT es positivo

det(σσT ) = λ2L2V 2S2 − λ2L2V 2S2ρ2 = λ2L2V 2S2(1− ρ2) > 0,

ya que 0 ≤ ρ2 < 1.

• Los términos µ y σσT deben satisfacer la condición de Hölder. Para µ:∥∥∥∥( rStκ∗(θ∗ − Vt)

)−(

rSsκ∗(θ∗ − Vs)

)∥∥∥∥ ≤ max(r, κ∗)

∥∥∥∥( St − SsVt − Vs

)∥∥∥∥ .


En cuanto a σσT , se debe ver la siguiente norma:∥∥∥∥( L2S2Vt − L2S2Vs λρL(SVt − SVs)λρL(SVt − SVs) λ2(Vt − Vs)

)∥∥∥∥ =√[L2(S2Vt − S2Vs)]2 + 2λ2ρ2L2(SVt − SVs)2 + λ2(Vt − Vs)2.

3.1.2. Función de apalancamiento (leverage)

Recordemos que en (3.1) se dio la dinámica del subyacente dado por el modelo SLV, lacual depende de la función de leverage L(St, t), en adelante estudiaremos la construcciónde dicha función.

Dado que se espera que la valoración realizada por el modelo SLV coincida conaquella realizada por el modelo LV para opciones europeas, los procesos de difusión debencoincidir en ambos modelos. Si se consideran las densidades de probabilidad de transiciónp(St, Vt, t) y pLV (St, Vt, t) para los modelos SLV y LV respectivamente, se tendrá elsiguiente resultado:

Proposición 3.1.5. Para tener consistencia con el modelo LV, el proceso de difusión del

modelo SLV debe satisfacer:

σ2LV (x, t) = E(L(St, t)

2Vt|St = x)

= L(x, t)2E (Vt|St = x) . (3.3)

Además, la distribución de probabilidad del modelo LV es la probabilidad de distribución

marginal del modelo SLV de esta manera se tiene la siguiente relación:

pLV (S, t) =

∫R+

p(S, V, t)dV, (3.4)

La demostración de esta proposición se tiene como consecuencia del teorema de mimickingexpuesto en [21]. Además, de la proposición anterior se tiene que la función de leverage esel cociente entre la volatilidad local y el valor esperado de la volatilidad estocástica

L(x, t) =σLV (x, t)√E (Vt|St = x)

=σLV (x, t)√√√√∫R+V p(x, V, t)dV∫

R+p(x, V, t)dV

= σLV (x, t)

√√√√ ∫R+p(x, V, t)dV∫

R+V p(x, V, t)dV

(3.5)


Observación 3.1.6. Bajo el modelo SLV con dinámica de Heston (3.1) se pueden enmarcarlos modelos de volatilidad estocástica SV y volatilidad local LV:

• Si L(St, t) = 1, el modelo SLV se convierte en el modelo de Heston de volatilidadestocástica, ya que la dinámica del subyacente queda descrita por:

dSt = (rd − rf )Stdt+√VtStdW

1∗t .

• Cuando la volatilidad de la volatilidad λ = 0, entonces la dinámica de Vt quedadescrita por:

dVt = κ∗(θ∗ − Vt)dt.

Así, Vt resulta un proceso determinista y

L =σLV (x, t)√E (Vt|St = x)

=σLV (x, t)√

Vt,

de modo que la dinámica de St queda descrita por

dSt = (rd − rf )Stdt+ L(St, t)√VtStdW

1∗t ,

es decir,

dSt = (rd − rf )Stdt+σLV (x, t)√

Vt

√VtStdW

1∗t

o equivalentemente,

dSt = (rd − rf )Stdt+ σLV (x, t)StdW1∗t .

A continuación, se mostrará porque las ecuaciones (3.3) y (3.4) resultan ser equivalentes.Integrando la ecuación de Fokker-Planck tenemos∫ V

0

∂p

∂tdV = −

∫ V

0

∂

∂S(rSp)dV −

∫ V

0

∂

∂V(κ∗(θ∗ − Vt)p)dV +

1

2

∫ V

0

∂2

∂S2(L2S2V p)dV

+

∫ V

0

∂2

∂S∂V(λρLSV p)dV +

1

2

∫ V

0

∂2

∂V 2(λ2V p)dV.

(3.6)

Por la regla de Leibniz

∂

∂t

(∫ V

0pdV

)= − ∂

∂S

(rS

∫ V

0pdV

)− ∂

∂V

(∫ V

0κ∗(θ∗ − Vt)pdV

)+

1

2

∂2

∂S2

(L2S2

∫ V

0V pdV

)+

∂2

∂S∂V

(λρLS

∫ V

0V pdV

)+

1

2

∂2

∂V 2

(λ2∫ V

0V pdV

). (3.7)


Ahora, tomando el límite V → ∞, las integrales se vuelven independientes de V y por lotanto las derivadas respecto a V de la ecuación (3.7) se anulan, obteniendo:

∂

∂t

(∫ ∞0

pdV

)= − ∂

∂S

(rS

∫ ∞0

pdV

)+

1

2

∂2

∂S2

(L2S2

∫ ∞0

V pdV

). (3.8)

Por lo tanto, si se tiene (3.3) entonces

σ2LV = L2E (Vt|St = x) ,

es decir

σ2LV = L2

∫∞0 V pdV∫∞0 pdV

o equivalentemente

σ2LV

∫ ∞0

pdV = L2

∫ ∞0

V pdV. (3.9)

Reemplazando (3.9) en (3.8), se tiene:

∂

∂t

(∫ ∞0

pdV

)= − ∂

∂S

(rS

∫ ∞0

pdV

)+

1

2

∂2

∂S2

(σ2LV S

2

∫ ∞0

pdV

). (3.10)

Ahora si recordamos la ecuación de Fokker-Planck para el modelo de volatilidad local LV

∂pLV∂t

= − ∂

∂S(rSpLV ) +

1

2

∂2

∂S2

(σ2LV S

2pLV), (3.11)

y si comparamos la ecuación (3.10) con la ecuación (3.11), debido a la unicidad de ladensidad de probabilidad de transición, obtenemos:

pLV (S, t) =

∫R+

p(S, V, t)dV.

Por lo tanto las ecuaciones (3.3) y (3.4) son equivalentes.

3.2. Derivación de la fórmula de valoración

Se supone que bajo la probabilidad objetiva P el modelo SLV se describe como:

dSt = µ1(t)Stdt+ L(St, t)σ1(Vt, t)StdW1t , S0 = s,

dVt = µ2(Vt, t)dt+ σ2(Vt, t)dW2t , V0 = v, (3.12)

dW 1t dW

2t = ρdt,

donde µ1(t) es la tasa objetiva de retorno y σ1(Vt, t) es la volatilidad del proceso delactivo, mientras que µ2(Vt, t) y σ2(Vt, t) son las respectivas del proceso de volatilidad. YW 1

t y W 1t son movimientos brownianos bajo la medida P.

En primer lugar, construiremos un portafolio Πt libre de riesgo que contenga una


unidad de la opción ut := u(St, Vt, t) a valorar. Al considerar la volatilidad estocásticase deben cubrir dos fuentes de riesgo, a diferencia del modelo de Black-Scholes en elcual solo se debe cubrir una. Con el �n de cubrir el riesgo dado por el cambio deprecio del activo, se comprarán ∆t unidades del activo; mientras que para cubrir el cam-bio en la volatilidad de dicho activo se comprarán νt opciones con precio uht := uh(St, Vt, t).

En el mercado FX, la ∆t cobertura se realiza multiplicando St por el bono en mo-neda extranjera Bt

f . Así, el portafolio libre de riesgo Πt queda expresado en términos dela moneda doméstica como:

Πt = ut −∆tStBtf − νtuht . (3.13)

Si u∗t = ut − νtuht , reescribimos (3.13) como

Πt = u∗t −∆tStBtf . (3.14)

De (3.14), (3.12) y de la fórmula de Ito para el producto obtenemos

dΠt = du∗t −∆td(StBtf )

= du∗t −∆t(StdBtf + dStB

tf )

= du∗t −∆tStdBtf −∆tdStB

tf

= du∗t −∆tSt(rfBtfdt)−∆tB

tf

(µ1(t)Stdt+ L(St, t)σ1(Vt, t)StdW

1t

)= du∗t − (rf + µ1(t))∆tStB

tfdt−∆tB

tfL(St, t)σ1(Vt, t)StdW

1t . (3.15)

Por el lema de Ito:

du∗t =∂u∗t∂t

dt+∂u∗t∂S

dSt +∂u∗t∂V

dVt +1

2

[∂2u∗t∂S2

(dSt)2 + 2

∂2u∗t∂V ∂S

(dSt)(dVt) +∂2u∗t∂V 2

(dV )2].

(3.16)

Según el modelo SLV (3.12) se tiene

(dSt)2 = (µ1(t)Stdt+ L(St, t)σ1(Vt, t)StdW

1t )2 = L2σ21S

2t dt

(dVt)2 = (µ2(Vt, t)dt+ σ2(Vt, t)dW

2t )2 = σ22dt (3.17)

dStdVt = (µ1(t)Stdt+ L(St, t)σ1(Vt, t)StdW1t )(µ2(Vt, t)dt+ σ2(Vt, t)dW

2t )

= ρLσ1σ2dt.

Reemplazando (3.17) en (3.16), deducimos

du∗t =∂u∗t∂t

dt+∂u∗t∂S

(µ1Stdt+ Lσ1StdW1t ) +

∂u∗t∂V

(µ2dt+ σ2dW2t )

+1

2

∂2u∗t∂S2

(L2σ21S2t dt) +

∂2u∗t∂V ∂S

(ρLσ1σ2dt) +1

2

∂2u∗t∂V 2

(σ22dt). (3.18)


Teniendo en cuenta (3.15) y (3.18), la dinámica del portafolio queda descrita por

dΠt =

(∂u∗t∂t

+ µ1St∂u∗t∂S

+ µ2∂u∗t∂V

+1

2L2σ21S

2t

∂2u∗t∂S2

+ ρLσ1σ2∂2u∗t∂V ∂S

+1

2σ22∂2u∗t∂V 2

−(rf + µ1)∆tStBtf

)dt+

(Lσ1St

∂u∗t∂S−∆tB

tfLσ1St

)dW 1

t + σ2∂u∗t∂V

dW 2t .

(3.19)

Ahora, como el portafolio construido debe ser libre de riesgo, eliminamos los factores dW 1t

y dW 2t , eligiendo adecuadamente las coberturas:

0 = Lσ1St∂u∗t∂S−∆tB

tfLσ1St,

de modo que

∆t =Lσ1St

∂u∗t∂S

BtfLσ1St

=1

Btf

∂u∗t∂S

, (3.20)

y

σ2∂u∗t∂V

= 0

σ2∂

∂V(ut − νtuht ) = 0

∂ut∂V

= νt∂uht∂V

νt =

∂ut∂V∂uht∂V

. (3.21)

De (3.19),(3.20) y (3.21), la dinámica del portafolio libre de riesgo es

dΠt =

(∂u∗t∂t

+ µ1St∂u∗t∂S

+ µ2∂u∗t∂V

+1

2L2σ21S

2t

∂2u∗t∂S2


+1

2σ22∂2u∗t∂V 2

−(rf + µ1)∆tStBtf

)dt. (3.22)

Adicionalmente, para que el portafolio sea libre de riesgo y no existan oportunidades dearbitraje, su rendimiento debe ser el mismo que aquel dado por la tasa libre de riesgodoméstica rd:

dΠt = rdΠtdt

= rd(u∗t −∆tStB

tf

)dt. (3.23)


Igualando (3.22) y (3.23), se obtiene(∂u∗t∂t

+ µ1St∂u∗t∂S

+ µ2∂u∗t∂V

+1

2L2σ21S

2t

∂2u∗t∂S2

+ρLσ1σ2∂2u∗t∂V ∂S

+1

2σ22∂2u∗t∂V 2

− (rf + µ1)∆tStBtf

)dt = rd

(u∗t −∆tStB

tf

)dt.

Es decir, deducimos

∂u∗t∂t

+ µ1St∂u∗t∂S

+ µ2∂u∗t∂V

+1

2L2σ21S

2t

∂2u∗t∂S2


+1

2σ22∂2u∗t∂V 2

+ (rd − rf − µ1)∆tStBtf − rdu∗t = 0 (3.24)

Ahora, se de�ne el operador en derivadas parciales L como:

Lf =∂f

∂t+ µ1St

∂f

∂S+ µ2

∂f

∂V+

1

2L2σ21S

2t

∂2f

∂S2+ ρLσ1σ2

∂2f

∂V ∂S

+1

2σ22∂2f

∂V 2− rdf.

Como uh puede ser el payo� de cualquier opción en el mercado, se de�ne la variable

α(St, Vt, t) =Luh

∂uht /∂V. (3.25)

De esta manera, dado que u∗t = ut−νtuht y de (3.21), (3.24) y (3.25), la ecuación diferencialparcial que satisface el precio de la opción u es:

∂u

∂t+ µ1St

∂u

∂S+ (µ2 − α)

∂u

∂V+

1

2L2σ21S

2t

∂2u

∂S2+ ρLσ1σ2

∂2u

∂V ∂S

+1

2σ22∂2u

∂V 2+ (rd − rf − µ1)∆tStB

tf − rdu = 0. (3.26)

Observación 3.2.1. Note que el término (rd−rf−µ1)∆tStBtf sólo se anula si µ1 = rd−rf .

Debido a la observación 3.2.1 y a que el derivado se debe valorar bajo la medida neutralal riesgo Q, el objetivo es escribir el modelo SLV con la dinámica de Heston dado en lamedida real P en la medida Q. Además, recordemos que en la sección 3.1.1, se mostró laexistencia y unicidad de solución del modelo SLV con dinámica de Heston en la medidalibre de riesgo Q (3.1).

Observación 3.2.2. Del Modelo de Heston.

• Recordemos que para el modelo SLV con la dinámica de Heston se tiene que µ1 esla tasa de retorno real del subyacente y los demás parámetros dados bajo la medida


real P son:

σ1 = St√Vt

µ2 = κ(θ − Vt)

σ2 = λ√Vt

• Heston asume que el parámetro α es proporcional a la volatilidad, es decir α = βVt.De esta manera α se puede inferir de la volatilidad del activo, lo cual no es sencilloen el mercado real.

• Debido a que las opciones se valoran bajo la medida libre de riesgo Q, se necesitapasar de la medida real P a la medida Q. Así, los drifts (dados en la medida P), µ1para el activo y κ(θ−Vt) para la volatilidad, serán modi�cados bajo la medida Q enr = rd − rf y κ(θ − Vt)− α, respectivamente.

Aplicando el teorema de Girsanov realizamos un cambio de medida del modelo de Heston-SLV de la siguiente forma:

dW 1∗t = dW 1

t + ϑtdt,

dW 2∗t = dW 2

t + γtdt,

dQdP

= exp

{−1

2

∫ t

0(ϑ2s + γ2s )ds−

∫ t

0ϑsdW

1s −

∫ t

0γsdW

2s

},

ϑt =µ1 − rL√Vt, (3.27)

γt =κ(θ − Vt)− (κ(θ − Vt)− α)

λ√Vt

=α

λ√Vt,

donde W 1∗t y W 2∗

t son movimientos brownianos bajo la medida Q. Además, recordemosque ϑt y γt son los precios del mercado del riesgo del subyacente y de la volatilidad,respectivamente.

Utilizando la observación 3.2.3, (3.12) y (3.27) el modelo SLV con dinámica deHeston bajo la medida neutral al riesgo queda descrito por

dSt = µ1(t)Stdt+ L√vtSt(dW

1∗t − ϑtdt),

dVt = κ(θ − Vt)dt+ λ√vt(dW

2∗t − γtdt), (3.28)

(dW 1∗t − ϑtdt)(dW 2∗

t − γtdt) = ρdt.

Simpli�cando, obtenemos:

dSt = (µ1(t)− L√vtϑt)Stdt+ L

√vtStdW

1∗t

dVt = (κ(θ − Vt)− λ√vtγt)dt+ λ

√vtdW

2∗t

ρdt = dW 1∗t dW 2∗

t .


De lo anterior y de (3.27), se obtiene:

dSt = rStdt+ L√VtStdW

1∗t

dVt = (κ(θ − Vt)− α)dt+ λ√VtdW

2∗t (3.29)

ρdt = dW 1∗t dW 2∗

t .

Ahora, si se asume que α = βVt, deducimos:

κ(θ − Vt)− α = κ(θ − Vt)− βVt= κθ − (κ+ β)Vt

= (κ+ β)

(κθ

κ+ β− Vt

)= κ∗(θ∗ − Vt)

Si κ∗ = κ+ β y θ∗ =κθ

κ+ β, el sistema diferencial estocástico (3.29) queda escrito bajo la

medida Q como

dSt = rStdt+ L√vtStdW

1∗t , S0 = s

dVt = κ∗(θ∗ − Vt)dt+ λ√vtdW

2∗t , V0 = v (3.30)

dW 1∗t dW 2∗

t = ρdt

Teniendo en cuenta (3.26) y (3.30), bajo la medida neutral al riesgo la ecuación diferencialpara la valoración del derivado u en la medida neutral al riesgo Q es:

∂u

∂t+ (rd − rf )St

∂u

∂S+ (κ∗(θ∗ − Vt))

∂u

∂V+

1

2L2VtS

2t

∂2u

∂S2+ ρLλStVt

∂2u

∂V ∂S

+1

2λ2Vt

∂2u

∂V 2− rdu = 0. (3.31)

Observación 3.2.3. Recordemos que de (3.27), α = γtλ√Vt, es decir, α depende del precio

de mercado del riesgo de la volatilidad γt, y al encontrarnos en un mercado completo elprecio del mercado del riesgo debe ser el mismo para cualquier otro activo riesgoso. Así,si usamos el precio de mercado de opciones para calibrar los parámetros del modelo deHeston, dicho precio γt estará inmerso en la calibración de los parámetros κ∗ y θ∗, por estoel parametro α se elimina bajo la medida libre de riesgo.3.

La forma en la cual se derivó la EDP para el modelo SLV, se realizó aplicando el lemade Ito y eliminando cualquier oportunidad de arbitraje en el mercado; sin embargo, dichavaloración también se puede realizar utilizando el Teorema de Feyman Kac.

3Le deducción de este hecho se realiza con más claridad que en la tesis [21], dado que en esta últimaen diferentes secciones se utilizan los parámetros del modelo SLV de Heston en la medida P y Q en formaindistinta.


Teorema 3.2.4. (Fórmula de Valoración por medio de matingalas4) Con el �n de evitar

oportunidades de arbitraje, un contrato contingente debe ser valorado como:

Π(t,X) = BtEQ[X

BT|Ft

]= EQ

[e−

∫ Tt rd(s)dsX|Ft

],

sobre la medida neutral al riesgo Q y dado Π(T ) = X.

Según el teorema anterior, el precio del derivado u(St, Vt, t) debe satisfacer la ecuación:

u(St, Vt, t) = EQ[e−

∫ Tt rd(s)dsu(ST , VT , T )|St, Vt

].

Además, debido al primer teorema fundamental, se sabe que el proceso

{u(St, Vt, t)} =

{u(St, Vt, t)

Bdt

}es una martingala bajo la medida de probabilidad Q, siendo Bd

t el precio del bono en la

moneda doméstica, es decir Bdt = e

∫ t0 rd(s)ds.

Ahora, por el lema de Ito, se tiene

dut =∂u

∂tdt+

∂u

∂SdSt +

∂u

∂VdVt +

1

2

∂2u

∂S2(dSt)

2 +∂2u

∂S∂V(dSt)(dVt) +

1

2

∂2u

∂V 2(dVt)

2 (3.32)

y, como el modelo SLV con la dinámica de Heston bajo la medida Q, satisface

(dSt)2 = L2S2

t Vtdt

(dVt)2 = λ2Vtdt (3.33)

(dSt)(dVt) = λρLStVtdt,

reemplazando (3.33) en (3.32) y teniendo en cuenta las dinámicas de St y Vt, bajo la medidaQ, concluimos

dut =∂u

∂tdt+

∂u

∂S(rStdt+ L

√vtStdW

1∗t ) +

∂u

∂V(κ∗(θ∗ − Vt)dt+ λ

√vtdW

2∗t )

+1

2

∂2u

∂S2(L2S2

t Vtdt) +∂2u

∂S∂V(λρLStVtdt) +

1

2

∂2u

∂V 2(λ2Vtdt)

=

{∂u

∂t+ rSt

∂u

∂S+ κ∗(θ∗ − Vt)

∂u

∂V+

1

2L2S2

t Vt∂2u

∂S2+ λρLStVt

∂2u

∂S∂V+

1

2λ2Vt

∂2u

∂V 2

}dt

+ L√vtSt

∂u

∂SdW 1∗

t + λ√vt∂u

∂VdW 2∗

t . (3.34)

Ahora, como el proceso {ut} es una martingala, su término de drift debe ser cero, por lotanto, de (3.34) se tiene la ecuación:

∂u

∂t+ rSt

∂u

∂S+ κ∗(θ∗ − Vt)

∂u

∂V+

1

2L2S2

t Vt∂2u

∂S2+ λρLStVt

∂2u

∂S∂V+

1

2λ2Vt

∂2u

∂V 2= 0,

(3.35)

4Proposición 10.25 en [2].


y debido a la de�nición de u =u(St, Vt, t)

Bdt

deducimos

•

∂u

∂t= e−

∫ t0 rd(s)ds

∂u

∂t− e−

∫ t0 rd(s)dsrdu

=1

Bdt

(∂u

∂t− rdu

)(3.36)

•

∂u

∂S=

1

Bdt

∂u

∂S

∂2u

∂S2=

1

Bdt

∂2u

∂S2

∂2u

∂S∂V=

1

Bdt

∂2u

∂S∂V(3.37)

De forma similar, para las demás derivadas de respecto a S y V .

Reemplazando (3.36) y (3.37) en (3.35), obtenemos

1

Bdt

(∂u

∂t+ rSt

∂u

∂S(κ∗(θ∗ − Vt))

∂u

∂V+

1

2L2VtS

2t

∂2u

∂S2+ ρLλStVt

∂2u

∂V ∂S

+1

2λ2Vt

∂2u

∂V 2− rdu

)= 0

o equivalentemente

∂u

∂t+ rSt

∂u

∂S+ (κ∗(θ∗ − Vt))

∂u

∂V+

1

2L2VtS

2t

∂2u

∂S2+ ρLλStVt

∂2u

∂V ∂S

+1

2λ2Vt

∂2u

∂V 2− rdu = 0,

que es la misma EDP para la valoración de u en (3.31).

CAPÍTULO 4

CALIBRACIÓN DEL MODELO SLV YTÉCNICAS DE VALORACIÓN

En este capítulo presentamos la implementación del modelo de volatilidad local estocástica(SLV) basándonos en el capítulo 5 de [21]. En primer lugar, mostramos el proceso decalibración de la función de leverage del modelo SLV y, posteriormente, la resolución de laEDP (3.31) para la valoración de opciones por medio del método de diferencias �nitas.

4.1. Calibración del modelo SLV

Para la implementación del modelo SLV dos conjuntos de parámetros deben ser calibrados:los parámetros del modelo de Heston (κ∗, θ∗, λ, ρ) y la función de leverage L.

Si los parámetros del modelo de Heston son calibrados mediante la volatilidad im-plícita de datos cercanos a strikes ATM, el modelo de volatilidad estocástica no puedeexplicar toda la super�cie de volatilidades implícitas del mercado (particularmente, lascorrespondientes a strikes ITM u OTM). Por lo tanto, se introduce la función de leveragecon el objetivo de considerar el efecto de la volatilidad local y así poder obtener toda lasuper�cie de volatilidad implícita.

Para la calibración de los parámetros del modelo de Heston existen fórmulas semi-analíticas ([11], [16]), métodos mediante transformaciones de Fourier ([4]) y mediante elmétodo COS ([8]). Para calibrar la función de leverage, utilizaremos la ecuación, (3.5)en la cual se expresa dicha función en términos de una esperanza condicional y esta asu vez en términos de integrales de la función de densidad de probabilidad del modeloSLV. Ahora, como sabemos que la ecuación de Fokker-Planck describe la evolución dela función de densidad de probabilidad, podemos resolver dicha ecuación numéricamentepara así poder evaluar la función de leverage.

Además de calibrar los parámetros del modelo SLV, debemos observar que para im-plementarlo al considerar el proceso

√Vt, Vt debe ser un proceso positivo. Por lo cual se

debe satisfacer la condición de Feller 2κ∗θ∗ ≥ λ2, sin embargo dicha condición no se tienefrecuentemente en el mercado real y esto puede llevar a cálculos erróneos de la función dedistribución de probabilidad. Así, con el objetivo de mantener la positividad del proceso

28

CAPÍTULO 4. CALIBRACIÓN DEL MODELO SLV Y TÉCNICAS DE VALORACIÓN 29

de varianza transformamos el modelo original SLV de (St, Vt) en el modelo log-escaladoSLV (Xt, Zt) = (ln(St/S0), ln(Vt/V0)), iniciando en el punto (X0, Z0) = (0, 0).

De (3.30) y el lema de Ito

dXt =1

StdSt −

1

2S2t

(dSt)2

=1

St[(rd(t)− rf (t))Stdt+ L(St, t)

√VtStdW

1∗t ]− 1

2

1

S2t

L2(St, t)VtS2t dt

=

[(rd(t)− rf (t))− 1

2L2(St, t)Vt

]dt+ L(St, t)

√VtdW

1∗t

y de forma similar para el proceso Z

dZt =1

VtdVt −

1

2V 2t

(dVt)2

=

[1

Vt

(κ∗θ∗ − 1

2λ2)− κ∗

]dt+

λ√VtdW 2∗

t

por lo tanto el modelo SLV log-escalado es

dXt =

[(rd(t)− rf (t))− 1

2L2(Xt, t)V0e

Zt

]dt+ L(Xt, t)

√V0eZtdW 1∗

t , X0 = 0,

dZt =

[1

V0eZt

(κ∗θ∗ − 1

2λ2)− κ∗

]dt+

λ√V0eZt

dW 2∗t , Z0 = 0,

dW 1∗t dW 2∗

t = ρdt, (4.1)

donde St = S0eXt , Vt = V0e

Zt y L(Xt, t) := L(St, t).

4.2. Ecuación de derivadas parciales de Fokker-Planck

En esta sección describiremos el proceso a realizar para la resolución numérica de laecuación de Fokker-Planck generada por el modelo SLV log-escalado (4.1).

Observemos que si consideramos Z1 y Z2 movimientos brownianos independientestales que

W 1∗t = Z1

t

W 2∗t = ρZ1

t +√

1− ρ2Z2t

dZ1t dZ

2t = 0,

el modelo SLV log-escalado lo podemos escribir en forma de sistema matricial de ecuacionesdiferenciales estocásticas como :

(dXt

dZt

)=

(rd − rf )− 1

2L2(Xt, t)V0e

Zt

1

V0eZt

(κ∗θ∗ − 1

2λ2)− κ∗

dt+

L√V0eZt 0

λ1√V0eZt

ρ λ

√1− ρ2√V0eZt

( dZ1t

dZ2t

).


De esta forma la ecuación de Fokker-Planck (Kolmogorov Forward) que satisface dichomodelo es

∂p

∂t= − ∂

∂X

[((rd − rf )− 1

2L2V0e

Z

)p

]− ∂

∂Z

[(1

V0eZ

(κ∗θ∗ − 1

2λ2)− κ∗

)p

]+

1

2

∂2

∂X2

(L2V0e

Zp)

+∂2

∂X∂Z(λρLp) +

1

2

∂2

∂Z2

(λ2

V0eZ, p

), (4.2)

con la condición inicial

p(X,Z, 0) = δ(X)δ(Z) (4.3)

donde δ(·) es la función delta centrada en el cero. Así (4.2)-(4.3) es el problema de valorinicial a resolver.

También sabemos de (3.5) que la función de leverage es

L(X, t) =σLV (X, t)√E (V0eZ |X)

(4.4)

= σLV (X, t)

√√√√ ∫R+p(X,Z, t)dZ∫

R+V0eZp(X,Z, t)dZ

, (4.5)

en particular en el tiempo cero tenemos

L(X, 0) =σLV (X, 0)√

V0(4.6)

Notemos que de (4.3) y (4.6) los valores de p y L son conocidos en el tiempo cero, mientrasque los valores de dichas dos funciones son desconocidos en tiempos futuros. Así, dada unasucesión de tiempos t0 = 0 < t1 < t2 < ... < tS = T , empezando con p(X,Z, 0) y L(X, 0),calculamos p(X,Z, t1) resolviendo la EDP (4.2) y con esta evaluamos L(X, t1) median-te (4.5). Luego, de forma similar dadas p(X,Z, t1) y L(X, t1) encontramos p(X,Z, t2) yL(X, t2). De forma general, podemos obtener p(X,Z, tn) y L(X, tn) de la forma en que seilustra a continuación


4.2.1. Aproximación de la condición inicial

Como indicamos anteriormente el punto de partida para la resolución de la ecuación deFokker-Planck y, por consiguiente, de la calibración de la función de leverage es el cálculode p(X,Z, 0) y L(X, 0). Sin embargo, debemos prestar mucho cuidado a la aproximaciónde p(X,Z, 0) ya que su expresión consiste de multiplicación de dos deltas (4.3), lo cual noes sencillo de aproximar numéricamente.

Para la resolución de la EDP (4.2) mediante diferencias �nitas, discretizaremos lafunción de densidad de probabilidad en las direcciones X y Z como

pni,j = p(Xi, Zj , tn),

sobre una malla de diferencias �nitas en la dirección de X, X1 < X2 < ... < XM , yen la dirección Z, Z1 < Z2 < ... < ZN . La forma en la cual se aproximará el valorinicial de la función de densidad de probabilidad p(X,Z, 0) será siguiendo la propuestahecha por Jensen y Poulsen ([12]) mediante el uso de la distribución normal bidimensional.

Así, asumiremos que la función de densidad de probabilidad en el tiempo cerop0i,j = p(Xi, Zj , t0) puede ser bien aproximada en un tiempo pequeño ∆t como:

p0i,j =

≈ 1

2πσXσZ√

1− ρ2exp

−(Xi − µX)2

σ2X+

(Zj − µZ)2

σ2Z− 2ρ(Xi − µX)(Zj − µZ)

σXσZ

2(1− ρ2)

(4.7)

con

µX =

[r(0)− 1

2L2(0, 0)V0

]∆t, σX = L(0, 0)

√V0∆t,

µZ =

[((κ∗θ∗ − 1

2λ2)

1

V0− κ∗

)]∆t, σZ = λ

√∆t

V0.

Nótese que cuando ∆t → 0 la densidad de probabilidad anterior converge a la delta deDirac de la condición inicial (4.3).

Como por de�nición de función de densidad de probabilidad se debe tener que∫R∫R p(X,Z, 0)dXdZ = 1, el valor discretizado de la integral mediante la regla del

trapecio debe satisfacer

M∑i=1

N∑i=1

1

4(p0i,j + p0i+1,j + p0i,j+1 + p0i+1,j+1)∆Xi∆Zj ≈ 1.


4.2.2. Aproximación de la función de leverage (apalancamiento)

Teniendo los valores para la función de densidad de probabilidad p en un tiempo dado tn,para calcular el valor de la función de leverage en dicho tiempo utilizaremos la regla deltrapecio para aproximar el valor de las integrales en la expresión (3.5)

L(Xi, tn) ≈ σLV (Xi, tn)

√√√√√√1

2

∑Nj=1(p

ni,j + pni,j+1)∆Zj

V02

∑Nj=1(e

Zjpni,j + eZj+1pni,j+1)∆Zj

. (4.8)

Si la malla es uniforme en la dirección Z, la expresión (4.8) queda descrita como

L(Xi, tn) ≈ σLV (Xi, tn)

√√√√ ∑Nj=1(p

ni,j + pni,j+1)

V0∑N

j=1(eZjpni,j + eZj+1pni,j+1)

. (4.9)

4.2.3. Método de diferencias �nitas

En esta sección expondremos el método numérico utilizado para la resolución de laecuación de Fokker-Planck (4.2), el cual también será implementado para resolver la EDPde valoración (3.31).

Para la implementación del modelo SLV se utilizará una malla no uniforme, lo cualincrementa la efectividad del método de diferencias �nitas. Por ende, se introducirá ladiscretización de las derivadas parciales para mallas no uniformes. Posteriormente, seutiliza el método ADI (Alternating-Direction-Implicit) para la discretización en tiempo yespacio.

4.2.3.1. Construcción de la malla no uniforme (transformación de coordenadas)

Entre las ventajas del uso de mallas no uniformes en el desarrollo del método de diferencias�nitas están: en primer lugar, que genera más puntos en la malla en áreas donde esnecesaria una mejor aproximación, por ejemplo, cerca al valor inicial, lo cual incrementala estabilidad del método. En segundo lugar, incrementa la precisión del método sin uncambio muy signi�cativo en el algoritmo, por ejemplo concentrarse en un precio de barrerao en un cota inferior de la volatilidad.

Dada cualquier malla uniforme se puede realizar una transformación de coordena-das para generar una malla no uniforme. Si Y es la coordenada original y ε ∈ [0, 1]se de�ne una transformación de coordenadas como Y = Y (ε). Entonces el jacobiano oprimera derivada de la transformación es:

J(ε) =dY

dε.

Tavella y Randall [20] con el �n de obtener una transformación regular que se concentreen los puntos B1, ..., BD en el intervalo [Ymin, Ymax] propusieron el uso de la siguiente


de�nición del jacobiano:

J(ε) = A

[D∑

k=1

Jk(ε)−2

], (4.10)

donde

Jk(ε) =[β2 + (Y (ε)−Bk)2

]1/2, (4.11)

para k = 1, ..., D, A es una constante a determinar y β =Ymax − Ymin

U, con el parámetro

U ∈ (0,∞) (que determina la uniformidad de la malla). Si U < 1, la malla será uniformey si U es muy lejano a 1 la malla será no uniforme.

Ejemplo 4.2.1. Cuando la malla se deba concentrar en un solo punto B, integrando eljacobiano con las condiciones de frontera Y (ε = 0) = Ymin y Y (ε = 1) = Ymax se obtieneuna fórmula explicita para la transformación. En concreto, se tiene:

J(ε) = A[√

β2 + (Y (ε)−B)2]

=dY

dε.

Integrando ambos lados de la ecuación:∫Adε =

∫dY√

β2 + (Y (ε)−B)2

Aε+ C =

∫dY

β

√1 +

(Y (ε)−B

β

)2

y haciendo el cambio de variable X =Y −Bβ

, dX =dY

β

Aε+ C =

∫dX√

1 +X2= sinh−1(X).

De lo anterior, la expresión para la transformación esta dada por

Aε+ C = sinh−1(Y −Bβ

),

Y (ε) =B + β sinh (Aε+ C) . (4.12)

Para encontrar los valores de A y de C utilizamos las condiciones de frontera, de estaforma:

• Si Y (ε = 0) = Ymin, de (4.12) podemos encontrar el valor para C:

C = sinh−1(Ymin −B

β

)= c1


• Si Y (ε = 1) = Ymax, de (4.12) encontramos el valor para A

A = sinh−1(Ymax −B

β

)− C = c2 − c1

Así, de lo anterior, podemos reescribir (4.12) como

Y (ε) =B + β sinh ((c2 − c1)ε+ c1) = B + β sinh (c1(1− ε) + c2ε)

Sin embargo, si se necesita que la malla se concentre en dos o más puntos no existeuna fórmula analítica para encontrar la transformación. Por lo cual se utilizan métodosnuméricos para resolver la EDO (4.10), en este caso se realiza mediante el método deRunge-Kutta clásico de cuarto orden.

Para el caso particular de valoración de opciones, la malla en la dirección del sub-yacente se debe concentrar en el subyacente inicial, en el precio de ejercicio o strike y enlas barreras, si las hay. En la dirección de la volatilidad se debe concentrar en el valorinicial de la volatilidad y en las cotas inferiores cercanas a cero donde se necesita de granprecisión cuando la condición de Feller no se tiene.

Ejemplo 4.2.2. A manera de ejemplo presentamos una malla no uniforme construidamediante el método de Runge Kutta, construida sobre las coordenadas del subyacente yde la volatilidad log-escaladas. Se puede observar que se tienen más puntos cercanos a losvalores iniciales de S0 y V0. En este ejemplo se tomo U = 20.

4.2.3.2. Discretización en espacio

Se plantea el método de discretización para aproximar las derivadas en el sentido espacialsobre una malla no uniforme. Consideremos una función diferenciable G de las variablesx y z, y x1, ..., xM y z1, ..., zN una sucesión de puntos sobre una malla no uniforme.De�nimos la sucesión de diferencias en la dirección de x y de z como ∆xi = xi+1 − xi,i = 1, ...,M − 1 y ∆zi = zi+1 − zi, i = 1, ..., N − 1.


Para aproximar las derivadas de primer orden de la EDP en los puntos interioresde la malla no uniforme, se utilizarán diferencias centrales. En los puntos del borde seusarán diferencias centrales si es posible imponer alguna condición de frontera, de locontrario se utilizará diferencias hacia adelante (forward) o hacia atrás (backward), segúnsea el borde. A continuación veremos los tres casos de aproximación:

1. Diferencia de primer orden hacia adelante (Forward)

∂

∂xG(xi, zj) ≈

G(xi+1, zj)−G(xi, zj)

∆xi

=

(− 1

∆xi

)G(xi, zj) +

(1

∆xi

)G(xi+1, zj) (4.13)

2. Diferencias de primer orden centralesRecordemos que:

∂

∂xG(xi, zj) ≈

G(xi, zj)−G(xi−1, zj)

∆xi−1(4.14)

∂

∂xG(xi, zj) ≈


∆xi(4.15)

Ahora, utilizando (4.14) y (4.15), obtenemos

∂

∂xG(xi, zj) =

(∆xi + ∆xi−1∆xi + ∆xi−1

)∂

∂xG(xi, zj)

≈ ∆xi∆xi + ∆xi−1

∂

∂xG(xi, zj) +

∆xi−1∆xi + ∆xi−1

∂

∂xG(xi, zj)

≈ ∆xi∆xi + ∆xi−1

G(xi, zj)−G(xi−1, zj)

∆xi−1

+∆xi−1

∆xi + ∆xi−1


∆xi(4.16)

≈∆x2i (G(xi, zj)−G(xi−1, zj)) + ∆x2i−1(G(xi+1, zj)−G(xi, zj))

∆xi∆xi−1(∆xi + ∆xi−1)

≈−∆x2iG(xi−1, zj) + (∆x2i −∆x2i−1)G(xi, zj) + ∆x2i−1G(xi−1, zj)

∆xi∆xi−1(∆xi + ∆xi−1)

≈ −∆xi∆xi−1(∆xi + ∆xi−1

G(xi−1, zj)

+∆xi −∆xi−1

∆xi∆xi−1G(xi, zj) +

∆xi−1∆xi∆xi−1

G(xi+1, zj). (4.17)

3. Diferencia de primer orden hacia atrás (Backward). De (4.14), concluimos

∂

∂xG(xi, zj) ≈

−1

∆xi−1G(xi−1, zj) +

1

∆xi−1G(xi, zj). (4.18)


En resumen, de (4.13), (4.17) y (4.18), se tiene el siguiente esquema para la discretizaciónde la derivada espacial de primer orden:

Forward:∂

∂xG(xi, zj) ≈ fi,0G(xi, zj) + fi,1G(xi+1, zj),

Central:∂

∂xG(xi, zj) ≈ ci,−1G(xi−1, zj) + ci,0G(xi, zj) + ci,1G(xi+1, zj),

Backward:∂

∂xG(xi, zj) ≈ bi,−1G(xi−1, zj) + bi,0G(xi, zj), (4.19)

donde,

fi,0 = − 1

∆xi, fi,1 =

1

∆xi,

ci,−1 =−∆xi

∆xi−1(∆xi + ∆xi−1, ci,0 =

∆xi −∆xi−1∆xi∆xi−1

, ci,1 =∆xi−1

∆xi∆xi−1

bi,−1 = − 1

∆xi−1, bi,0 =

1

∆xi−1

Respecto a las derivadas de segundo orden, en la frontera se impondrá la condición deque estas sean cero, y para los puntos del interior se aproximará mediante diferenciascentrales, como se deduce a continuación.

Por la aproximación mediante la serie de Taylor, tenemos:

G(xi+1, zj) = G(xi, zj) + ∆xi∂

∂xG(xi, zj) +

1

2∆x2i

∂2

∂x2G(xi, zj) +O(∆x3i )

≈ G(xi, zj) + ∆xi∂

∂xG(xi, zj) +

1

2∆x2i

∂2

∂x2G(xi, zj), (4.20)

y

G(xi−1, zj) = G(xi, zj) + (−∆xi−1)∂

∂xG(xi, zj) +

1

2(−∆xi−1)

2 ∂2

∂x2G(xi, zj) +O(∆x3i−1)

≈ G(xi, zj) + (−∆xi−1)∂

∂xG(xi, zj) +

1

2(−∆xi−1)

2 ∂2

∂x2G(xi, zj). (4.21)

Utilizando (4.20) y (4.21), se tiene respectivamente:

1

∆x2i

[G(xi+1, zj)−G(xi, zj)−∆xi

∂

∂xG(xi, zj)

]≈ 1

2

∂2

∂x2G(xi, zj) (4.22)

1

∆x2i−1

[G(xi−1, zj)−G(xi, zj) + ∆xi−1

∂

∂xG(xi, zj)

]≈ 1

2

∂2

∂x2G(xi, zj). (4.23)

Sumando (4.22) y (4.23), deducimos:

1

∆x2i[G(xi+1, zj)−G(xi, zj)] +

1

∆x2i−1[G(xi−1, zj)−G(xi, zj)]

+∂

∂xG(xi, zj)

[1

∆xi−1− 1

∆xi

]≈ ∂2

∂x2G(xi, zj). (4.24)

Con el �n de simpli�car la notación, tomamos a = G(xi+1, zj)−G(xi, zj) y b = G(xi−1, zj)−G(xi, zj). De la expresión para la derivada de primer orden (4.16), la expresión (4.24) queda


escrita como:

∂2

∂x2G(xi, zj)

≈ 1

∆x2ia+

1

∆x2i−1b+

(∆xi −∆xi−1

∆xi∆xi−1

)[∆xi

∆xi−1(∆xi−1 + ∆xi)(−b) +

∆xi−1∆xi(∆xi−1 + ∆xi)

(a)

]≈ 2a

∆xi(∆xi−1 + ∆xi)+

2b

∆xi−1(∆xi−1 + ∆xi)

≈2

[[G(xi+1, zj)−G(xi, zj)] ∆xi−1 + [G(xi−1, zj)−G(xi, zj)] ∆xi

∆xi∆xi−1(∆xi−1 + ∆xi)

].

Por lo tanto, la discretización para la segunda derivada es

∂2

∂x2G(xi, zj) ≈

2

∆xi−1(∆xi−1 + ∆xi)G(xi−1, zj)−

2

∆xi−1 + ∆xiG(xi, zj) +

1

∆xi(∆xi−1 + ∆xi)G(xi+1, zj)

o, equivalentemente,

∂2

∂x2G(xi, zj) ≈ si,−1G(xi−1, zj) + si,0G(xi, zj) + si,1G(xi+1, zj), (4.25)

donde

si,−1 =2

∆xi−1(∆xi−1 + ∆xi), si,0 =

2

∆xi−1∆xi, si,1 =

2

∆xi(∆xi−1 + ∆xi)

Asociada a la discretización de las derivadas, tanto de primer como de segundo orden, seintroduce la siguiente de�nición de matrices.

De�nición 4.2.3. Las matrices tridiagonales de las diferencias �nitas de la primera de-rivada en la dirección x (T 1

x ∈ MM (R)) y en la dirección z (T 1z ∈ MN (R)) se de�nen

respectivamente por:

T 1x =

f1,0 f1,1c2,−1 c2,0 c2,1

c3,−1 c3,0 c3,1. . . . . . . . .

cn−1,−1 cn−1,0 cn−1,1bn,−1 bn,0

y

T 1z =

fz1,0 fz1,1cz2,−1 cz2,0 cz2,1

cz3,−1 cz3,0 cz3,1. . . . . . . . .

czn−1,−1 czn−1,0 czn−1,1bzn,−1 bzn,0

,


donde los coe�cientes de T1x y de T1

z están dados en (4.19) en función de las diferenciasrespecto a la variable x y z, respectivamente.

De forma similar, según (4.25) y las condiciones de frontera, se de�nen las matricestridiagonales para las derivadas de segundo orden en dirección X (T2

x ∈ MM (R)) y endirección (T2

z ∈MN (R)).

T2x =

0 0 0s2,−1 s2,0 s2,1

s3,−1 s3,0 s3,1. . . . . . . . .

sn−1,−1 sn−1,0 sn−1,10 0 0

y

T2z =

0 0 0sz2,−1 sz2,0 sz2,1

sz3,−1 sz3,0 sz3,1. . . . . . . . .

szn−1,−1 szn−1,0 szn−1,10 0 0

,

donde, tanto los coe�cientes de T2x como los de T2

z, están dados por (4.25) en función delas diferencias sobre x y z, respectivamente.

Observación 4.2.4. Con el objetivo de simpli�car se notará Gi,j = G(xi, zj),en un tiempo tm. Así se de�nen las matrices en MM×N (R) G := (Gi,j),∂

∂xG :=

(∂

∂xGi,j

),∂

∂zG :=

(∂

∂zGi,j

),∂2

∂x2G :=

(∂2

∂x2Gi,j

),

∂2

∂z∂xG :=

(∂2

∂z∂xGi,j

)y∂2

∂z2G :=

(∂2

∂z2Gi,j

).

A partir de (4.19) y (4.25), las derivadas en términos de las matrices tridiagonalesde�nidas antes se pueden expresar como:

∂

∂xG = T1

xG, (4.26)

∂

∂zG = G

(T1

z

)′, (4.27)

∂2

∂x2G = T2

xG, (4.28)

∂2

∂z2G = G

(T2

z

)′. (4.29)

Teniendo presente las expresiones anteriores, encontraremos la discretización para las de-rivadas parciales mixtas. Primero, observemos que:

(T1

xG(T1

z

)′)i,j

=

1∑k,l=−1

cxi,kczj,lG(xi+k, zj+l, tm). (4.30)


Por otro lado, observamos que la �la i−ésima de T1xG

m tiene la forma:(T1

xG)(i)

=[∗ ∗ ∗

(T1

xG)i,j−1

(T1

xG)i,j

(T1

xG)i,j+1

∗ ∗∗], (4.31)

donde (T1

xG)i,j−1 = cxi,−1G(xi−1, zj−1) + cxi,0G(xi, zj−1) + cxi,1G(xi+1, zj−1),(

T1xG)i,j

= cxi,−1G(xi−1, zj) + cxi,0G(xi, zj) + cxi,1G(xi+1, zj),(T1

xG)i,j+1

= cxi,−1G(xi−1, zj+1) + cxi,0G(xi, zj+1) + cxi,1G(xi+1, zj+1).

De esta manera, por (4.31) y (4.19) obtenemos

(T1

xG)(i) ≈ [∗ ∗ ∗ ∂

∂xG(xi, zj−1)

∂

∂xG(xi, zj)

∂

∂xG(xi, zj+1) ∗ ∗∗

](4.32)

y

(T1

xG(T1

z

)′)i,j

=(T1

xG)(i)

∗∗∗

czj,−1cxj,0cxj,1∗∗∗

= czj,−1

∂

∂xG(xi, zj−1) + czj,0

∂

∂xG(xi, zj) + czj,1

∂

∂xG(xi, zj+1)

≈ ∂

∂z

(∂

∂xG(xi, zj)

)≈ ∂2

∂z∂xG(xi, zj). (4.33)

Así, de (4.30) y (4.33) se deduce la discretización de las derivadas parciales mixtas:

∂2

∂z∂xG(xi, zj) ≈

1∑k,l=−1

cxi,kczj,lG(xi+k, zj+l). (4.34)

4.2.3.3. Discretización en tiempo

Para cumplir nuestro objetivo de resolver la ecuación de Fokker-Planck (4.2), ademásde realizar una discretización del espacio, se utiliza el método de ADI (Alternating-Direction-Implicit) para discretizar el tiempo. En décadas pasadas el método ADI hasido éxitosamente utilizado en diferentes áreas, debido a que el método popular deCrank-Nicolson no es efectivo cuando la EDP tiene estructura multidimensional y lasmallas utilizadas son de gran tamaño.


En [21], se utiliza una modi�cación del esquema de Douglas del método ADI, reali-zada por Tataru y Fisher [19], de la siguiente forma:

A = pn−1 + ∆tn[F0(p

n−1, tn−1) +F1(pn−1, tn−1) + F2(p

n−1, tn−1)],

B − α∆tnF1(B, tn) = A− α∆tnF1(pn−1, tn−1),

C − α∆tnF2(C, tn) = B − α∆tnF2(pn−1, tn−1),

pn = C, n = 1, ..., S, (4.35)

donde

F0 = λρ∂2

∂Z∂X(Lp)

F1 = − ∂

∂Z

[(1

V0eZ

(κ∗θ∗ − 1

2λ2)− κ∗

)p

]+

1

2

∂2

∂Z2

(λ2

V0eZp

)F2 = − ∂

∂X

[(r − 1

2L2V0e

Z

)p

]+

1

2

∂2

∂X2

(L2V0e

Zp).

En (4.35) el parámetro α ∈ [0, 1] es determinante, tanto para la estabilidad como para laprecisión de la resolución del método ADI. Si α = 0 el esquema considerado es el explícito,si α = 1 el esquema considerado es el implícito y si α = 0,5 el esquema es parecido al deCrank-Nicolson.

Por otro lado, según las de�niciones de los operadores F0, F1 y F2, A,B y C sonaproximaciones de pn. Además, hablando de manera general no hay una condición defrontera para resolver el problema de valor inicial (4.2), este tema ha sido discutido porAndreasen y Huge [1] y Lucic [14].

Con el �n de resolver (4.35), dicho sistema lo expresaremos de forma matricial. SeaPn = (pni,j), P

n ∈ MM×N (R) (siendo la malla de tamaño M ×N , M puntos en direccióndel subyacente log-escalado y N puntos en dirección de la volatilidad log-escalada). Así,la expresión (4.35) se escribe matricialmente en la forma:

A = Pn−1 + ∆tn[F0(P

n−1) +F1(Pn−1) + F2(P

n−1)],

B− α∆tnF1(B) = A− α∆tnF1(Pn−1),

C− α∆tnF2(C) = B− α∆tnF2(Pn−1),

Pn = C, n = 1, ..., S,

con

F0(P) = λρ∂2

∂Z∂X(LP)

F1(P) = −(κ∗θ∗ − 1

2λ2)

∂

∂Z

(1

V0eZP

)+ κ∗

∂

∂ZP + λ2

1

2

∂2

∂Z2

(1

V0eZP

)F2(P) = −r ∂

∂X(P) +

1

2

∂

∂X(L2V0e

ZP) +1

2

∂2

∂X2

(L2V0e

ZP), (4.36)


donde LP,1

V0eZP, y L2V0e

ZP son matrices de tamañoM×N , tales que para i = 1, ...,M

y j = 1, ..., N :

(LP)i,j = (Lipi,j) ,(1

V0eZP

)i,j

=

(1

V0eZjpi,j

),(

L2V0eZP)i,j

=(L2iV0e

Zjpi,j).

Ahora expresaremos el sistema (4.36) mediante las matrices tridiagonales de las derivadasde primer y segundo orden (De�nición 4.2.3). Con el mismo �n notaremos por ∗ el productoentre matrices del mismo tamaño, que consiste en multiplicar coe�ciente por coe�ciente 1.

Observación 4.2.5. A continuación, indicaremos la deducción de las expresiones F0, F1

y F2, que hemos utilizado en este trabajo de maestría y que no están recogidas en [21]:

• De (4.30) y (4.34), obtenemos

F0(P) = λρ(T1

X(Lipi,j)i,j(T1Z)′)

= λρ

L1 L2 . . . LM

L1 L2 . . . LM

. . . . . .L1 L2 . . . LM

∗T1X

P(T1Z)′

= λρ[EX(L) ∗T1

X

]P(T1

Z)′, (4.37)

donde la matriz EX(L) ∈MM (R) tiene la expresión

EX(L) :=

L1 L2 . . . LM

L1 L2 . . . LM

. . . . . .L1 L2 . . . LM

y Li = L(Xi, t) es la función de Leverage en el tiempo t.

1Si A = (ai) y B = (bi) son matrices del mismo tamaño, A ∗B := (aibi)


• De (4.27) y (4.29) concluimos

F1(P) =

−(κ∗θ∗ − 1

2λ2)

∂

∂Z

(1

V0eZjpi,j

)i,j

+ κ∗∂

∂Z(pi,j)i,j +

1

2λ2

∂2

∂Z2

(1

V0eZjpi,j

)i,j

= −(κ∗θ∗ − 1

2λ2)P

(T1

Z)′ ∗ 1

V0

1

eZ1

1

eZ1. . .

1

eZ1

1

eZ2

1

eZ2. . .

1

eZ2

. . . . . .1

eZN

1

eZN. . .

1

eZN

+ κ∗P(T1Z)′ +

1

2λ2P

(T2

Z)′ ∗ 1

V0

1

eZ1

1

eZ1. . .

1

eZ1

1

eZ2

1

eZ2. . .

1

eZ2

. . . . . .1

eZN

1

eZN. . .

1

eZN

.

Así, deducimos

F1(P) =

−(κ∗θ∗ − 1

2λ2)P

[(T1

Z)′ ∗EZ

(1

V0eZ

)]+ κ∗P(T1

Z)′ +1

2λ2P

[(T2

Z)′EZ

(1

V0eZ

)]

donde la matriz EZ

(1

V

)∈MN (R) y tiene la expresión

EZ

(1

V

):=

1

V0

1

eZ1

1

eZ1. . .

1

eZ1

1

eZ2

1

eZ2. . .

1

eZ2

. . . . . .1

eZN

1

eZN. . .

1

eZN

De esta manera, podemos factorizar P a la izquierda en la expresión de F1 y obtener:

F1(P) =

P

[−(κ∗θ∗ − 1

2λ2)[

(T1Z)′ ∗EZ

(1

V

)]+ κ∗(T1

Z)′ +1

2λ2[(T2

Z)′EZ

(1

V

)]]= PQ (4.38)


• Similarmente, de (4.26) y (4.28), obtenemos

F2(P) = −r ∂

∂X(pi,j)i,j +

1

2

∂

∂X

(L2iPi,jV0e

Zj)i,j

+1

2

∂2

∂X2

(L2i pi,jV0e

Zj)i,j

= −rT1XP +

1

2

[EX(L2) ∗T1

X

]PD

(V0e

Z)

+1

2

[EX(L2) ∗T2

X

]PD

(V0e

Z)

= −rT1XP +

1

2

([EX(L2) ∗T1

X

]+[EX(L2) ∗T2

X

])PD

(V0e

Z)

= −rT1XP +

1

2RPD

(V0e

Z), (4.39)

donde la matriz D(V0e

Z)∈MN (R) tiene la expresión

D(V0e

Z)

:= V0

eZ1

eZ2

. . .eZN

Como conclusión de (4.37), (4.38) y (4.39), el sistema (4.36) asociado al método ADI (102)lo podemos escribir de la siguiente forma matricial simpli�cada:

A = Pn−1 + ∆tn[F0(P

n−1) +F1(Pn−1) + F2(P

n−1)],

B− α∆tnF1(B) = A− α∆tnF1(Pn−1),

C− α∆tnF2(C) = B− α∆tnF2(Pn−1),

Pn = C, n = 1, ..., S,

donde

F0(P) = λρ[EX(L) ∗T1

X

]P(T1

Z)′

F1(P) = P

[−(κ∗θ∗ − 1

2λ2)[

(T1Z)′ ∗EZ

(1

V0eZ

)]+ κ∗(T1

Z)′ +1

2λ2[(T2

Z)′EZ

(1

V0eZ

)]]= PQ,

F2(P) = −rT1XP +

1

2

([EX(L2) ∗T1

X

]+[EX(L2) ∗T2

X

])PD

(V0e

Z)

= −rT1XP +

1

2RPD

(V0e

Z). (4.40)

A partir de lo anterior, plantearemos la forma en la cual encontramos la matriz C paracada paso de tiempo:

1. A se encuentra reemplazando directamente el valor de Pn−1 en los operadores F0, F1

y F2.

2. Con la matriz A, se encuentra B factorizando a la izquierda en la forma:

B (IN − α∆tnQ) = A− α∆tnF1(Pn−1)

B =(A− α∆tnF1(P

n−1))

(IN − α∆tnQ)−1 ,


siendo IN la matriz identidad de tamaño N .

3. Teniendo B, no se puede factorizar a derecha o a izquierda la matriz C de la ecuacióndada por el método ADI. Por lo tanto, debemos recurrir a otras técnicas de álgebramatricial para encontrarC. Esto constituye un aporte original de la tesis de maestría.Para ello, se introducen las siguientes de�niciones:

De�nición 4.2.6. Sean W = (wi,j)i,j ∈ Mm×n y Y = (yi,j)i,j ∈ Mp×q. Se de�ne elproducto de Kronecker de W y Y, como W ⊗Y ∈Mmp×nq tal que:

W ⊗Y :=

w1,1Y w1,2Y . . . w1,nYw2,1Y w2,2Y . . . w2,nY

. . . . . .wm,1Y wm,2Y . . . wm,nY

.

Y se de�ne el operador vec como aquel que convierte la matriz W en un vectorcolumna de tamaño mn

vec (W) =

W(1)

W(2)...

W(n)

,

donde W(j) representa la j-ésima columna W, j = 1, ..., n.

A partir de las anteriores de�niciones, se utilizará el siguiente teorema demostradoen [10]:

Teorema 4.2.7. Para W ∈Mm×n, O ∈Mn×p y Y ∈Mp×q se tiene

vec (WOY) =(Y′ ⊗W

)vec (O)

Ahora, si retomamos el estudio de la ecuación que satisfaceC, por el teorema anterior:

C− α∆tnF2(C) = B− α∆tnF2(Pn−1)

C− α∆tn

(−rT1

XC +1

2RCD

(V0e

Z))

= B− α∆tnF2(Pn−1)(

IM + α∆tnrT1X

)C− 1

2α∆tnRCD

(V0e

Z)

= B− α∆tnF2(Pn−1)

vec((IM + α∆tnrT

1X

)C)− 1

2α∆tnvec

(RCD

(V0e

Z))

=

vec(B− α∆tnF2(P

n−1))[

IN ⊗(IM + α∆tnrT

1X

)+ D

(V0e

Z)⊗R

]vec(C) =

vec(B− α∆tnF2(P

n−1)),

(4.41)

de modo que usando la expresión dada en (4.41), encontramos C.


4.3. Ecuación de derivadas parciales para la valoración de una

opción

Análogamente al desarrollo del método para resolver la ecuación de Fokker-Planck, en estasección describiremos la resolución numérica de la EDP para valoración de una opción conprecio ut = u(St, Vt, t). Recordemos la EDP (3.31) derivada en el Capítulo 3, si tomamosesta ecuación en un dominio log escalado (X, Z), obtenemos:

∂u

∂t+

[r − 1

2L2V0e

Z

]∂u

∂X+

[(κ∗θ∗ − 1

2λ2)

1

V0eZ− κ∗

]∂u

∂Z

+1

2L2V0e

Z ∂2u

∂X2+ ρLλ

∂2u

∂Z∂X+

1

2λ2

1

V0eZ∂2u

∂Z2− rdu = 0,

junto con la condición �nal en el tiempo de vencimiento T :

uT = u(S0eXT , V0e

ZT , T ),

en particular para la opción call europea uT = (S0eXT − K, 0)+, donde K es el strike o

precio de ejercicio.

Si cambiamos la variable t por la variable τ = T − t, la EDP anterior es equiva-lente a

∂u

∂τ=

[r − 1

2L2V0e

Z

]∂u

∂X+

[(κ∗θ∗ − 1

2λ2)

1

V0eZ− κ∗

]∂u

∂Z

+1

2L2V0e

Z ∂2u

∂X2+ ρLλ

∂2u

∂Z∂X+

1

2λ2

1

V0eZ∂2u

∂Z2− rdu, (4.42)

junto con la condición inicial en τ = 0:

uT−0 = u(S0eXT−0 , V0e

ZT−0 , T − 0),

en particular para la opción call europea uT−0 = (S0eXT−0 −K, 0)+.

De manera similar a la EDP de Fokker-Planck, para resolver (4.42) según el méto-do ADI se tienen las siguientes ecuaciones

A = un−1 + ∆τn[G0(u

n−1, τn−1) +G1(un−1, τn−1) +G2(u

n−1, τn−1)],

B − α∆τnG1(B, τn) = A− α∆τnG1(un−1, τn−1),

C − α∆τnG2(C, τn) = B − α∆τnG2(un−1, τn−1),

un = C, n = 1, ..., S,


donde

G0(u, τ) = λρL∂2u

∂Z∂X+ b0(τ)

G1(u, τ) =

[(κ∗θ∗ − 1

2λ2)

1

V0eZ− κ∗

]∂u

∂Z+

1

2λ2

1

V0eZ∂2u

∂Z2− 1

2rd(τ)u+ b1(τ)

G2(u, τ) =

[r(τ)− 1

2L2V0e

Z

]∂u

∂X+

1

2L2V0e

Z ∂2u

∂X2− 1

2rd(τ)u+ b2(τ). (4.43)

En (4.43), bi(τ) son las condiciones de frontera impuestas sobre las derivadas mixtas,dichas condiciones se muestran en la Tabla 2.3 de [21].

A continuación se describirán las condiciones en las fronteras espaciales para la re-solución del problema (4.43).

Condiciones de frontera espaciales

Normalmente en la dirección del subyacente log-escalado, se usan diferencias �nitas cen-trales para las primeras y segundas derivadas, en otro caso se usan diferencias �nitas haciaadelante o hacia atrás dependiendo de la ubicación y se asume que la segunda derivada deu respecto al S (subyacente) es cero. Es decir

∂2u

∂S2= 0, para S → 0 y S →∞. (4.44)

Sin embargo, como nuestra ecuación esta en términos log-escalados debemos encontrar lacondición equivalente a (4.44) en dicho dominio.

∂2u

∂X2=

∂

∂X

(∂S

∂X

∂u

∂S

)=∂2S

∂X2

∂u

∂S+∂S

∂X

∂2u

∂X∂S. (4.45)

Como S = S0eX ,

∂S

∂X=∂2S

∂X2= S0e

X = S, entonces de (4.45) concluimos

∂2u

∂X2=∂S

∂X

(∂u

∂S+

∂2u

∂X∂S

)=S

(∂u

∂S+∂S

∂X

∂

∂S

(∂u

∂S

))=S

(∂u

∂S+ S

∂2u

∂S2

), (4.46)


Teniendo en cuenta (4.46), la expresión relativa a la segunda derivada respecto a X en(4.43) para G2 es

1

2L2V0e

Z ∂2u

∂X2=

1

2L2V0e

ZS

(∂u

∂S+ S

∂2u

∂S2

)=

1

2L2V0e

Z ∂u

∂X+

1

2L2S2V0e

Z ∂2u

∂S2. (4.47)

Reemplazando (4.47) en la expresión de G2 (cuando no hay condiciones de frontera b2),

G2(u, τ) =

[r(τ)− 1

2L2V0e

Z

]∂u

∂X+

1

2L2V0e

Z ∂u

∂X+

1

2L2S2V0e

Z ∂2u

∂S2− 1

2rd(τ)

= r(τ)∂u

∂X+

1

2L2S2V0e

Z ∂2u

∂S2− 1

2rd(τ). (4.48)

Así, las condiciones de frontera (4.44) son equivalentes a imponer que G2 sobre las fronteras( X = Xmin y X = Xmax) sea

G2(u, τ) = r(τ)∂u

∂X− 1

2rd(τ). (4.49)

En cuanto a la dirección de la varianza log-escalada, respecto a las derivadas de primerorden razonamos de forma similar a la dirección del subyacente log-escalado. Para lasderivadas de segundo orden, se impone la siguiente condición

∂2u

∂V 2= 0, para V → 0 y V →∞. (4.50)

De forma similar el término relativo a la segunda derivada respecto a Z en (4.43) para G1

queda expresada como

1

2λ2

1

V0eZ∂2u

∂Z2=

1

2λ2

1

V0eZ∂

∂Z

(∂V

∂Z

∂u

∂V

)=

1

2λ2

1

V0eZ∂V

∂Z

(∂u

∂V+∂V

∂Z

∂2u

∂V 2

)=

1

2λ2

1

V0eZ∂u

∂Z+

1

2λ2V0e

Z ∂2u

∂V 2. (4.51)

Reemplazando (4.51) en la expresión de G1 (cuando no hay condiciones de frontera b1),

G1(u, τ) =

[(κ∗θ∗ − 1

2λ2)

1

V0eZ− κ∗

]∂u

∂Z+

1

2λ2

1

V0eZ∂2u

∂Z2− 1

2rd(τ)u

=

[(κ∗θ∗ − 1

2λ2)

1

V0eZ− κ∗

]∂u

∂Z+

1

2λ2

1

V0eZ∂u

∂Z+

1

2λ2V0e

Z ∂2u

∂V 2− 1

2rd(τ)u.

(4.52)


Luego las condiciones de frontera (4.50) son equivalentes a imponer que G1 sobre lasfronteras (Z = Zmin y Z = Zmax) quede expresada como:

G1(u, τ) =

(κ∗θ∗

1

V0eZ− κ∗

)∂u

∂Z− 1

2rd(τ)u.

Método de diferencias �nitas

En adelante, teniendo en cuenta las condiciones de contorno en las fronteras espacialesdescribiremos el método de ADI en forma matricial derivado de (4.43) para resolver laecuación de valoración. Si denotamos Un = (ui,j)i,j ∈ MM×N (R), la forma matricial(4.43) se escribe:

A = Un−1 + ∆τn[G0(U

n−1) +G1(Un−1) +G2(U

n−1)],

B− α∆τnG1(B) = A− α∆τnG1(Un−1),

C− α∆τnG2(C) = B− α∆τnG2(Un−1),

Un = C, n = 1, ..., S,

con

G0 (U) = λρD(L)T1XU(T1

Z)′ + b0(τ)

G1 (U) =

[(κ∗θ∗ − 1

2λ2)U(T1

Z

)′+

1

2λ2U

(T2

Z

)′]D

(1

V0eZ

)− κ∗U

(T1

Z

)′ − 1

2rd(τ)UIZ + b1(τ)

G2 (U) = r(τ)T1XU−

[1

2D(L2)T1

XU− 1

2D(L2)T2

XU

]D(V0e

Z)− 1

2rd(τ)IXU + b2(τ),

(4.53)

donde T2X ∈ MM (R) y T2

Z ∈ MN (R) son las matrices tridiagonales de los coe�cientesde las derivadas de segundo orden incluyendo las condiciones de contorno, mientras que

D(L2) ∈ MM (R), D

(1

V0eZ

),D(V0e

Z) ∈ MN (R) son matrices diagonales tales que sus

diagonales son L2,1

V0eZy V0eZ , respectivamente.

Así, (4.53) es la forma matricial de la ecuación para la valoración de u y su resolu-ción la haremos de forma similar a lo explicado para la ecuación de Fokker-Planck en lasección 4.2.

CAPÍTULO 5

RESULTADOS NUMÉRICOS

En este capítulo presentaremos los principales resultados obtenidos mediante la aplicaciónde los diferentes métodos numéricos descritos para encontrar la función de valoración u. Elcapítulo se divide en tres partes: la primera relativa al cálculo de la super�cie de volatilidadimplícita, la segunda a la resolución de la ecuación de la EDP de Fokker-Planck y la terceraa la resolución de la EDP de valoración de una call europea, todos los cálculos los realizamosutilizando MATLAB.

5.1. Calibración de la super�cie de volatilidad local

Para la obtención de los resultados hemos utilizado los datos que aparecen en [21].

Moneda doméstica USDMoneda foránea EUR

Fecha 23 de Agosto de 2012Subyacente inicial 1.257 USD por EURVarianza inicial 0.008

Tabla 5-1. Datos iniciales para la calibración del modelo SLV

5.1.1. Estrategias risk reversal y butter�y

Usualmente en el mercado FX (Foreign exchange) no se transa mediante los precios deopciones europeas en términos de sus precios de ejercicio (strike), sino a través de ciertasestrategias dadas en términos de la delta de una opción call europea. Se dará una expli-cación de dichas estrategias y cómo a partir de éstas se puede encontrar la volatilidad entérminos de la función delta de una opción call europea.

1. Risk Reversal (RR): Siendo K1 < K2, la estrategia (RR) está compuesta de la ventade una opción put europea (con strike K1) y la compra de una opción call europea

49

CAPÍTULO 5. RESULTADOS NUMÉRICOS 50

(con strike K2), es decir el portafolio está dado por:

RR = C(K2)− P (K1).

Y la grá�ca de su función de pago a vencimiento (pay o� ) se muestra a continuación:

2. Butter�y (BF ): Esta estrategia se compone de tres opciones call europeas del mismovencimiento y tres strikes diferentes. Los strikes van a ser ATM (at the money), OTM(out of the money) e ITM (in the money). Al considerar opciones call europeas estosstrikes se ordenan:

ITM < ATM < OTM.

Una estrategia BF se tiene comprando una call ITM y una call OTM y vendiendodos opciones call ATM. Es decir:

BF = C(ITM)− 2C(ATM) + C(OTM).

Y la grá�ca de su función de pago a vencimiento (pay o� ) es:

Como ya lo hemos indicado, si se transan opciones sobre tipos de cambio, la forma estándarde referirse al strike es a través de la delta de la opción correspondiente. Esto signi�ca que


no se expresará el strike de manera explícita en términos del subyacente, sino que se tendráel strike que haga que la opción call europea tenga determinado valor de delta.Se recuerda que para la opción call europea se tiene:

∆ =∂BSCall

∂S= N(d1),

donde N(.) denota la función de distribución acumulada de una variable normal estandáry

d1 =1

σ√T − t

[ln

(S

K

)+

(r +

1

2σ2(T − t)

)].

Observe que :

• Si la opción call esta muy dentro de dinero (in the money), entonces el strike K es

muy inferior a S, por lo tantoS

Kes un valor muy grande. Así, por la de�nición de

d1, d1 →∞ y como consecuencia ∆ = N(d1)→ 1.

• Si la opción call esta at the money, entonces ∆→ 1

2.

• Si la opción call es muy fuera de dinero (out the money), entonces el strike K es muy

superior a S y, por lo tanto,S

Kes un valor muy cercano a cero. Así, por la de�nición

de d1, d1 → −∞ y ∆ = N(d1)→ 0.

Mediante las estrategias de�nidas anteriormente, para un mismo vencimiento se de�nenlas siguientes volatilidades en términos de delta:

1. σATM : volatilidad de una call o put de delta 0, 5.

2. 25∆RR: Es la diferencia entre volatilidades de una call con strike al 0, 25 delta y unaput con strike al 0, 25 delta. Así:

25∆RR = Call − Put= σc(0, 25)− σc(0, 75).

3. 25∆BF : Es la relación entre las volatilidades involucradas en una estrategia BF. Así:

25∆BF =Call + Put

2−ATM

=σc(0, 25) + σc(0, 75)

2− σc(0, 5).

De forma similar a lo anterior se pueden de�nir las siguientes volatilidades.

4

10∆RR = σc(0, 1)− σc(0, 9).


5

10∆BF =σc(0, 1) + σc(0, 9)

2− σc(0, 5)

En la Tabla 5-2 se presentan los precios en términos de estrategias con los datos de [21].

Madurez Moneda Moneda 10∆BF 25∆BF σATM 25∆RR 10∆RRdoméstica Foránea

1m 0.41 0.04 0.51 0.17 9.15 -0.68 -1.222m 0.51 0.11 0.70 0.22 9.33 -1.18 -2.123m 0.66 0.23 0.94 0.28 9.55 -1.50 -2.736m 0.95 0.47 1.25 0.36 10.13 -1.92 -3.559m 1.19 0.62 1.42 0.42 10.68 -2.10 -3.941y 1.16 0.64 1.62 0.47 11.18 -2.25 -4.222y 0.60 0.03 1.52 0.44 11.68 -2.32 -4.403y 0.72 0.03 1.28 0.37 12.00 -2.38 -4.504y 0.72 0.03 1.19 0.36 12.10 -2.38 -4.505y 0.72 0.03 1.21 0.38 12.20 -2.43 -4.60

Tabla 5-2. Precios en términos de las estrategias

Ahora veremos como a partir de dichas estrategias, se pueden calcular ciertas volatilidadesen términos de la delta de una call europea.

5.1.2. De ATM , RR y BF a σc(∆)

Mediante las cotizaciones ATM , RR y BF , se pueden presentar ciertas volatilidades ab-solutas de la siguiente forma:

σc(0, 75) = σc(0, 5)− 0, 5(σc(0, 25)− σc(0, 75)) + 0, 5σc(0, 75) + 0, 5σc(0, 25)− σc(0, 5)

= σc(0, 5)− 0, 5(σc(0, 25)− σc(0, 75)) + [0, 5(σc(0, 75) + σc(0, 25))− σc(0, 5)]

= σATM − 0, 5(25∆RR) + 25∆BF, (5.1)

y de forma similar

σc(0, 5) = σATM

σc(0, 25) = σATM + 0, 5(25∆RR) + 25∆BF

σc(0, 9) = σATM − 0, 5(10∆RR) + 10∆BF

σc(0, 1) = σATM + 0, 5(10∆RR) + 10∆BF (5.2)

Así, dados los datos en la Tabla 5-2, calculamos las volatilidades en términos de delta enla Tabla 5-3.


Madurez σc(0,1) σc(0,25) σc(0,5) σc(0, 75) σc(0, 9)

1m 0.0905 0.0898 0.0915 0.0966 0.10272m 0.0897 0.0896 0.0933 0.1014 0.11093m 0.0912 0.0908 0.0955 0.1058 0.11856m 0.0960 0.0953 0.1013 0.1145 0.13169m 0.1013 0.1005 0.1068 0.1215 0.14071y 0.1069 0.1053 0.1118 0.1278 0.14912y 0.1100 0.1096 0.1168 0.1328 0.15403y 0.1103 0.1118 0.1200 0.1356 0.15534y 0.1104 0.1127 0.1210 0.1365 0.15545y 0.1111 0.1137 0.1220 0.1379 0.1571

Tabla 5-3. Volatilidad implícita en términos de Deltas

5.1.3. Cálculo de la volatilidad implícita en términos de strikes a partirde la volatilidad implícita dada en términos de deltas.

Dada la Tabla 5-3 que involucra las volatilidades implícitas en términos de deltas. Ahoradeseamos encontrar la volatilidad implícita en términos del strike. Para esto, necesitamostener una función continua de las volatilidades implícitas en términos de deltas, es decirσ(∆), esta función se obtendrá usando un proceso de interpolación. Así �jado un venci-miento, dados un strike K y una volatilidad implícita dependiente de σ(∆), mediante unproceso iterativo calculamos la volatilidad en términos del strike K como se muestra en elsiguiente pseudocódigo dado en [17].

Algorithm 1 Cálculo de la volatilidad implícita en términos del strike dado el strike K yla volatilidad implícita en términos de delta, σ(∆).Require: Criterio de convergencia ε y número máximo de iteraciones itMax > 0.1: σlast = 0, σnext = σATM , it = 02: while |σnext − σlast| > ε & it < itMax do3: ∆next = ∆(K,σnext)4: σlast = σnext5: σnext = σ(∆next)6: it = it+ 17: end while8: if it < itMax then9: return

10: σnext11: else12: Error13: end if

En el pseudocódigo anterior ∆(K,σnext) = N(d1), es decir la función delta de una op-ción call con strike K y volatilidad σnext, recordemos que en este caso es la función dedistribución acumulada de la normal estandard calculada en d1, siendo

d1 =1

σ√T − t

[ln

(S

K

)+

(r +

1

2σ2(T − t)

)].


De esta forma, encontramos la super�cie de volatilidad implícita en términos del strike.

5.1.4. Cálculo de la volatilidad local mediante la super�cie de volatilidadimplícita en términos del strike

Como enunciamos en el Capítulo 2, dada la super�cie de volatilidad implícita σIV delmodelo de Black Scholes, se puede calcular la super�cie de volatilidad local σLV mediantela siguiente expresión:

σLV (S, t) =

√√√√√√√√σ2IV + 2σIV T

∂σIV∂T

+ 2(rd − rf )KT∂σIV∂K

(1 + d1K√T∂σIV∂K

)2 + σIVK2T

[∂2σIV∂K2

− d1√T

(∂σIV∂K

)2]∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣K=S,T=t

.

Observe que para encontrar la super�cie de volatilidad local se necesita aproximar lasderivadas parciales de σIV respecto a T y respecto a K. Para esto se utiliza diferenciascentrales de forma análoga a como se mostró para las derivadas parciales espacialesdiscretizadas para la resolución de la EDP de Fokker-Planck. Si al hacer el cálculo dela volatilidad local se encuentra algún valor negativo, se hace una interpolación con losvalores positivos encontrados.

Así, la super�cie de volatilidad local encontrada se muestra a continuación:


5.2. Resultados de las ecuaciones diferenciales parciales dadas

en el modelo SLV

Teniendo la super�cie de volatilidad local, usamos el método ADI para resolver la ecuaciónde Fokker-Planck (4.2) cuya condición inicial la aproximamos mediante una distribuciónnormal bidimensional. Las funciones de probabilidad de transición en el tiempo inicial yen un tiempo futuro se muestra a continuación:


Note que para el tiempo futuro la distribución de probabilidad tiene cola más pesada quepara el tiempo inicial en el dominio log-escalado. Dadas las distribuciones de probabilidadpara los diferentes tiempos, se calcula la función de leverage que depende del tiempo y delsubyacente log-escalado.

Además, se muestra la super�cie de la opción call europea, obtenida en la resolución dela EDP deducida para el modelo SLV y que también se resuelve mediante el método dediferencias �nitas ADI.

Por último, es importante resaltar que con el modelo SLV propuesto y las técnicas numé-ricas descritas se pueden valorar otros tipos de opciones, haciendo los cambios respectivostanto en las condiciones iniciales como en las condiciones de frontera de las ecuaciones enderivadas parciales involucradas. Adicionalmente, la resolución de la ecuación de valora-ción, cuyo modelo es el de volatilidad estocástica, es un caso particular de la resolución delmodelo SLV que se obtiene tomando la función de leverage como una función constanteigual a 1.

CONCLUSIONES

La presente tesis de maestría tenía por objetivo hacer una revisión rigurosa de algunostrabajos recientes en la literatura orientados a superar la limitación del modelo inicial deBlack-Scholes al suponer volatilidades constantes, con especial orientación a los mercadosde tipos de cambio (FX), no obstante éstos podrían tener aplicación en otros mercados.En concreto, se ha hecho una breve revisión de las ideas fundamentales de los modelos devolatilidad local y del modelo de Heston de volatilidad estocástica. A continuación, se haprofundizado en la revisión de un modelo híbrido entre ambos, que se enmarca dentro delos modelos de volatilidad local estocástica (SLV), siguiendo la tesis [21], recientementepresentada.

Además de la revisión de los contenidos y la ordenación y escritura rigurosa de losmodelos y ecuaciones involucradas, se han obtenido los resultados de existencia y unicidadde solución del sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas del modelo SLV. Parala calibración del modelo a mercado es preciso obtener la función de apalancamiento(leverage) en cada paso de tiempo a partir de las volatilidades locales cotizadas enmercado y de la función de densidad de probabilidad. La volatilidad local se obtienea partir de las volatilidades implícitas a través de una fórmula de Dupire, mientrasque las volatilidades implícitas en términos del strike se han de obtener a partir decotizaciones de ciertas estrategias en términos de deltas. En cuanto a la función dedensidad de probabilidad, ésta se obtiene numéricamente resolviendo una ecuación deFokker-Plank mediante un método de diferencias �nitas de direcciones alternadas (ADI),cuya condición inicial al ser una delta de Dirac, genera ciertas di�cultades a nivel numérico.

Por otro lado, una vez obtenida numéricamente la función de apalancamiento cali-brada a mercado, se resuelve numéricamente la ecuación en derivadas parciales queproporciona la valoración de la opción que queramos considerar, por ejemplo, una opcióncall europea en el caso de esta memoria. Para esto último se ha utilizado un métodonumérico (ADI) diferente a los métodos clásicos como lo son el método explícito, elmétodo implícito y el método de Crank Nicolson. El método ADI da lugar a una serie deecuaciones matriciales, cuya resolución en algunos casos presenta especial complejidad yha requerido un análisis del problema con mayor profundidad de lo que aparece en la tesisreferida. Este análisis ha permitido detallar y precisar las técnicas de resolución matricialempleadas.

Finalmente, se presentan resultados numéricos que con�rman el buen funcionamien-to del conjunto de técnicas numéricas desarrolladas, tras su contraste con los resultadosexistentes en la literatura. Claramente, las técnicas de valoración, una vez calibrado a

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mercado el modelo, pueden extenderse a otras opciones utilizando la función de pagocorrespondiente. Los métodos numéricos se han desarrollado en Matlab, por su facilidadde manejo y programación. Si el coste computacional lo requiere, se pueden realizar lasimplementaciones en otros lenguajes que pudiesen resultar más rápidos (C, C++, etc).

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estudio de modelos de volatilidad …...el modelo de volatilidad local estocástica con dinámica de...

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